Priručnik iz predmeta S T A T I S T I K A · Dani krediti stanovništvu u 2005. godini (u mil. kn) Banka Stambeni kredit Auto kredit Gotovinski kredit Erste Bank 3 191 365 - Slavonka

Sveučilište u Rijeci

Fakultet za menadžment u turizmu i ugostiteljstvu SVEUĈILIŠNI PREDDIPLOMSKI STUDIJ

»Poslovna ekonomija u turizmu i hotelijerstvu»

Priručnik iz predmeta

S T A T I S T I K A

Šifra kolegija: PST0103

ECTS bodovi: 6

Nositelj predmeta:

Prof. dr. sc. SUZANA MARKOVIĆ

2

GRAFIĈKO PRIKAZIVANJE STATISTIĈKIH NIZOVA

PRIMJER 1.

Uvoz u Primorsko goranskoj županiji

Godina Uvoz (u mil. USD)

2000. 449

2001. 532

2002. 478

2003. 638

2004. 739

Izvor: Statistički ljetopis Primorsko-goranske županije 2005, str.249.

Podatke iz tabele prikažite grafički linijskim grafikonom. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?

RJEŠENJE:

Grafikon: Uvoz u Primorsko goranskoj županiji

0

100

200

300

400

500

600

700

800

2000. 2001. 2002. 2003. 2004.

Godina

Uvo

z (

u m

il.

US

D)

Uvoz (u mil. USD)

Izvor: Statistički ljetopis Primorsko-goranske županije 2005, str.249.

3

PRIMJER 2.

Broj registriranih domena pri Carnetu od siječnja do lipnja 2006. godine

Mjesec Broj domena

Siječanj 717

Veljača 731

Ožujak 1 061

Travanj 777

Svibanj 812

Lipanj 596

Izvor: www.dns.hr, 28.7.2006.

Podatke iz tabele prikažite grafički jednostavnim stupcima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?

RJEŠENJE:

Grafikon: Broj registriranih domena pri Carnetu od siječnja do lipnja 2006. godine

0

200

400

600

800

1000

1200

Sije

čanj

Veljača

Ožu

jak

Trava

nj

Sviba

nj

Lipa

nj

Mjesec

Bro

j d

om

en

a

Broj domena

Izvor: www.dns.hr, 28.7.2006.

PRIMJER 3.

Robna razmjena Republike Hrvatske od siječnja do lipnja 2006. godine:

Zemlja Izvoz (u mil. kn) Uvoz (u mil. kn)

Austrija 1 865 3 253

Italija 7 100 9 932

Njemačka 3 066 8 935

Slovenija 2 335 3 915

Izvor: www.dzs.hr, 20.8.2006

Podatke iz tabele prikažite grafički dvostrukim i razdijeljenim stupcima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?

http://www.dns.hr/

http://www.dns.hr/

http://www.dzs.hr/

4

RJEŠENJE:

Grafikon: Robna razmjena Republike Hrvatske od siječnja do svibnja 2006. godine

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Austrija Italija Njemačka Slovenija

Zemlja

Izvo

z/U

vo

z

Izvoz

Uvoz

Izvor: www.dzs.hr

Grafikon: Robna razmjena Republike Hrvatske od siječnja do svibnja 2006. godine

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

Austrija Italija Njemačka Slovenija

Zemlja

Izvo

z/U

vo

z

Uvoz

Izvoz

Izvor: www.dzs.hr

PRIMJER 4.

Dani krediti stanovništvu u 2005. godini (u mil. kn)

Banka Stambeni kredit Auto kredit Gotovinski kredit

Erste Bank 3 191 365 -

Slavonka banka 1 417 78 387

Međimurska 117 43 46

Volksbank 250 1 089 320

Izvor: Privredni vjesnik, lipanj 2006., str. 50.

Podatke iz tabele prikažite grafički višestrukim i razdijeljenim stupcima (s apsolutnim frekvencijama). Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?

5

RJEŠENJE:

Grafikon: Dani krediti stanovništvu u 2005. godini (u mil. kn)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

Erste bank Slavonska

banka

Međimurska

banka

Volksbank

Banka

Izn

oskre

dit

a

Stambeni kredit Auto kredit Gotovinski kredit


Grafikon: Dani krediti stanovništvu u 2005. godini (u mil. kn)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

Erste bank Slavonska

banka

Međimurska

banka

Volksbank

Banka

Izn

os k

red

ita

Stambeni kredit Auto kredit Gotovinski kredit


PRIMJER 5.

Robna razmjena Republike Hrvatske od siječnja do lipnja 2006. godine:

Zemlja Izvoz (u mil. kn) Uvoz (u mil. kn)

Austrija 1 865 3 253

Italija 7 100 9 932

Njemačka 3 066 8 935


Izvor: www.dzs.hr, 20.8.2006.

Strukturu izvoza i uvoza usporedite strukturnim krugovima i proporcionalnim strukturnim krugovima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?

http://www.dzs.hr/

6

RJEŠENJE:

Zemlja Izvoz (u mil. kn) Uvoz (u mil. kn) Isječak - izvoz Isječak - uvoz

Austrija 1 865 3 253 46,74o 44,96o

Italija 7 100 9 932 177,92o 137,28o

Njemačka 3 066 8 935 76,83o 123,50o

Slovenija 2 335 3 915 58,51o 54,25o

Ukupno 14 366 26 045 360,00o 360,00o

x0 = 0360

cjelina

dio

Grafikon: Robna razmjena Republike Hrvatske od siječnja do lipnja 2006. godine

Izvoz Uvoz

Austrija

Italija

Njemačka

Slovenija


PRIMJER 6.

Dolasci turista u RH

Turisti Br. turista (u tis.)

2004. godina 2005. godina

Domaći turisti 1 500 1 528

Strani turisti 7 912 8 467

Ukupno 9 412 9 995

Izvor: Priopćenje DZS, Zagreb, veljača 2006., str.1.

Podatke iz tabele prikažite grafički strukturnim polukrugovima i proporcionalnim strukturnim polukrugovima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?

http://www.dzs.hr/

7

RJEŠENJE:

Turisti Br. turista (u tis.) Isječak 2004.g. Isječak 2005.g.


Domaći turisti 1 500 1 528 28,69o 27,52o

Strani turisti 7 912 8 467 151,31o 152,48o

Ukupno 9 412 9 995 180,00o 180,00o

00 180cjelina

diox

Grafikon: Dolasci turista u RH

8

RELATIVNI BROJEVI

PRIMJER 1.

Fizički obujam telekomunikacijskih usluga od siječnja do lipnja 2006. godine

Vrsta usluge Broj usluga (u mil.)


Utrošene minute u

nepokretnoj mreži

5 162 4 463

Utrošene minute u

pokretnoj mreži

1 215 1 831

SMS poruke 1 153 1 235


Izračunajte strukturu broja telekomunikacijskih usluga u 2005. i 2006. godini. Strukturu prikažite grafički strukturnim stupcima. Što se može zaključiti na temelju grafičkog prikaza?

RJEŠENJE:

Vrsta usluge Br. usluga (u mil.) Struktura za

2005. g. (%)

Struktura

za 2006. g.

(%) 2005. 2006.

Utrošene minute u

nepokretnoj

mreži

5 162 4 463 68,55 59,28

Utrošene minute u

pokretnoj mreži

1 215 1 831 16,14 24,32

SMS poruke 1 153 1 235 15,31 16,40

Ukupno 7 530 7 529 100,00 100,00

100cjelina

dioP

Grafikon: Fizički obujam telekomunikacijskih usluga od siječnja do lipnja 2006. godine

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

2005. 2006.

Godina

Str

ukt

ura

sms poruke

utroš.min. u pokret.

mreži

utroš.min. u nepokret.

mreži


http://www.dzs.hr/

http://www.dzs.hr/

9

PRIMJER 2.

Stanovništvo i površina odabranih europskih zemalja:

Zemlja Broj stanovnika u 000 Površina u km 2

Austrija 8 148 83 871

Hrvatska 4 743 56 594

Mađarska 10 083 93 032


Izvor: SLJRH 2004., str. 783.

Pomoću navedenih podataka izračunajte broj stanovnika na km2, tj. izračunajte relativne brojeve koordinacije. Dobivene veličine prikažite grafički Varzarovim znakom. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?

RJEŠENJE: Zemlja Broj stanovnika u 000 Površina u km 2 RBK

Austrija 8 148 83 871 97,15

Hrvatska 4 743 56 594 83,81

Mađarska 10 083 93 032 108,38

Slovenija 1 933 20 273 95,35

Površina

ovnikasBr

f

fRBK

tan.

2

1

Grafički prikaz relativnih brojeva koordinacije jednostavnim stupcima:

0

20

40

60

80

100

120

Austrija Hrvatska Mađarska Slovenija

Zemlja

RB

K

10

Grafički prikaz relativnih brojeva koordinacije Varzarovim znakom:

Mjerilo (baza): 1cm=30 000km

PRIMJER 3.

Odobreni krediti po bankama u Hrvatskoj (stanje 31.12.2005.)

Banka Odobreni krediti (u mil.kn)

Zagrebačka banka 38 126

Privredna banka 29 801

Raiffeisenbank 16 587

Hypo Alpe-Adria Bank 13 739

Erste und Steiermärkische Bank 19 365

Izvor: Privredni vjesnik, lipanj 2006., str.49.

Izračunajte indekse odobrenih kredita u 2005. godini. Za osnovu uzmite iznos odobrenih kredita u Hypo Alpe-Adria banci. Indekse prikažite grafički odgovarajućim grafikonom. Što se može zaključiti na temelju izračunatih indeksa?

RJEŠENJE:

Banka Odobreni krediti (u mil.kn) Indeksi

Zagrebačka banka 38 126 277,50

Privredna banka 29 801 216,91

Raiffeisenbank 16 587 120,73

Hypo Alpe-Adria Bank 13 739 100

Erste und Steiermärkische Bank 19 365 140,95

1002

1 f

fI

RBK

110

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

baza Austrija Hrvatska Mađarska Slovenija

11

Grafikon: Indeksi odobrenih kredita po bankama u Hrvatskoj

277,5

216,91

120,73100

140,95

0

50

100

150

200

250

300

Zagre

bačka

banka

Privre

dna

banka

Raiffe

isen

Hypo

banka

Ers

te

banka

Banka

Ind

eks

Izvor: Privredni vjesnik, lipanj 2006., str.49.

12

NUMERIĈKI NIZ: Srednje vrijednosti (potpune i položajne)

PRIMJER 1.

Zadan je slijedeći numerički niz:

Xi 110 110 114 110 115 115 105 114 106 100

Izračunajte: izračunajte potpune i položajne srednje vrijednosti.

RJEŠENJE:

Xi 1/xi log xi rx

110 0,009 2,0414 100

110 0,009 2,0414 105

114 0,009 2,0569 106

110 0,009 2,0414 110

115 0,009 2,0607 110

115 0,009 2,0607 110

105 0,010 2,0212 114

114 0,009 2,0569 114

106 0,009 2,0253 115

100 0,010 2,0000 115

∑ 1 099 0,092 20,4059

90,10910

1099

N

XiX

70,108092,0

10

1

ix

NH

ixN

G log1

log

4059,2010

1log G

04059,2log G

80,109G

110Mo

2

21 rr xxMe

, 5

2

10

21

Nr , 615112 rr

1102

110110

Me

13

PRIMJER 2.

Na kolokviju iz kolegija Statistika 30 studenata ostvarilo je sljedeće rezultate:

Ocjena 1 2 3 4 5

Broj

studenata

3 4 9 10 4

Izračunajte: aritmetičku sredinu, harmonijsku sredinu, geometrijsku sredinu, mod i medijan.

RJEŠENJE:

xi fi xi fi fi/ xi log xi fi log xi Kum. niz

1 3 3 3,00 0 0 3

2 4 8 2,00 0,3010 1,2040 7

3 9 27 3,00 0,4771 4,2939 16

4 10 40 2,50 0,6021 6,0210 26

5 4 20 0,80 0,6989 2,7956 30

∑ 30 98 11,30 2,0791 14,3145

27,330

98

i

ii

f

fxX

65,230,11

30

i

i

i

x

f

fH

ii

i

xff

G log1

log

3145,1430

1log G

47715,0log G

00,3G

4Mo

152

30

2

NMe , 3Me

14

PRIMJER 3.

Zaposleni prema godinama u poduzeću X:

Starost u godinama Broj zaposlenih

21 – 30 32

31 – 40 162

41 – 50 404

51 – (65) 142

Ukupno 740

Izračunajte: aritmetičku sredinu, harmonijsku sredinu, geometrijsku sredinu, mod i medijan.

RJEŠENJE:

Starost

u

godinama

Broj

zaposlenih

fi

Precizne

granice

xi

i

fc

xi fi

fi/ xi

log xi

filog xi

Kum.niz

21-30 32 21-31 26 10 3,2 832 1,23 1,4149 45,2768 32

31-40 162 31-41 36 10 16,2 5832 4,50 1,5563 252,1206 194

41-50 404 41-51 46 10 40,4 18584 8,78 1,6627 671,7712 598

51-(65) 142 51-65 58 14 10,1 8236 2,45 1,7634 250,4028 740

∑ 740 33484 16,96 1219,5714

2

21 LLxi

, 12 LLi ,

i

ff i

c

25,45740

33484

i

ii

f

fxX

63,4396,16

740

i

i

i

x

f

fH

ii

i

xff

G log1

log

5714,1219740

1log G

6481,1log G

47,44G

44,4510

)1,104,40()2,164,40(

2,164,40411

i

cbab

abLMo

15

if

fN

LMemed

1

12 , 370

2

740

2

N

36,4510404

19437041

Me

16

NUMERIĈKI NIZ: Mjere disperzije

PRIMJER 1.


Xi 110 110 114 110 115 115 105 114 106 100

Izračunajte: (a) interkvartil, koeficijent kvartilne devijacije, (b) varijancu, standardnu devijaciju i koeficijent varijacije.

RJEŠENJE:

Xi rx (xi – x)2

110 100 0,01

110 105 0,01

114 106 16,81

110 110 0,01

115 110 26,01

115 110 26,01

105 114 24,01

114 114 16,81

106 115 15,21

100 115 98,01

∑ 1 099 222,90

810611413 QQIQ

50,24

10

41

Nr , 31 r , 1061 Q

50,74

30

4

31

Nr , 81 r , 1143 Q

04,0220

8

106114

106114

13

13

QQ

QQVQ

29,2210

91,222)( 2

2

N

xxi

72,429,222

%29,410090,109

72,4100

xV

17

PRIMJER 2.


Ocjena 1 2 3 4 5

Broj

studenata

3 4 9 10 4

Izračunajte: (a) raspon varijacije, interkvartil, koeficijent kvartilne devijacije, (b) varijancu, standardnu devijaciju i koeficijent varijacije.

xi fi Kum. niz fi(xi-x)2

1 3 3 15,46

2 4 7 6,45

3 9 16 0,66

4 10 26 5,33

5 4 30 11,97

∑ 30 39,87

415minmax XXR

13413 QQIQ

5,74

30

41

NQ , 31 Q

5,224

90

4

33

NQ 43 Q

14,07

1

34

34

13

13

QQ

QQVQ

33,130

87,39)( 2

2

i

ii

f

xxf

15,133,12

%25,3510027,3

15,1100

xV

18

PRIMJER 3.

Zaposleni prema godinama u poduzeću X:


21 – 30 32

31 – 40 162

41 – 50 404

51 – (65) 142

Ukupno 740

Izračunajte: (a) raspon varijacije, interkvartil, koeficijent kvartilne devijacije, (b) varijancu, standardnu devijaciju i koeficijent varijacije.

Starost u

godinama

Broj

zaposlenih

fi

Precizne

granice

xi

i

Kum.niz

fi(xi-x)2

21-30 32 21-31 26 10 32 11 858

31-40 162 31-41 36 10 194 13 861,13

41-50 404 41-51 46 10 598 227,25

51-(65) 142 51-65 58 14 740 23 083,88

∑ 740 49 030,26

442165minmax XXR

50,944,409,4913 QQIQ

if

fN

LQQ

1

1

114 185

4

740

4

N

44,4010162

32185311

Q

if

fN

LQQ

3

1

134

3

5554

2220

4

3

N

94,4910404

194555413

Q

11,044,4094,49

44,4094,49

13

13

QQ

QQVQ

26,66740

26,49030)( 2

2

i

ii

f

xxf

19

14,826,662

99,1710025,45

14,8100

xV

20

NUMERIĈKI NIZ: Mjere asimetrije i mjere zaobljenosti

PRIMJER 1.


Xi 110 110 114 110 115 115 105 114 106 100

Izračunajte: (a) koeficijent asimetrije, Pearsonove mjere asimetrije, Bowleyjevu mjeru asimetrije; (b) koeficijent zaobljenosti.

RJEŠENJE: Xi (xi – x)3 (xi – x)4

110 0,001 0,0001

110 0,001 0,0001

114 68,92 282,58

110 0,001 0,0001

115 132,65 676,52

115 132,65 676,52

105 -117,65 576,48

114 68,92 282,58

106 -59,32 231,34

100 -970,30 9 605,96

∑ 1 099 -744,12 12 331,98

71,024,105

41,74

)72,4(

41,7433

3

3

41,7410

12,774)( 3

3

N

xxi

02,072,4

11090,1091

MoxSk

06,072,4

)11090,109(3)(32

MexSk

08

0

106114

11021141062

13

31

QQ

MeQQSkQ

48,233,496

20,1233

)72,4(

20,123344

44

20,123310

98,12331)( 4

4

N

xxi

21

PRIMJER 2.


Ocjena 1 2 3 4 5

Broj

studenata

3 4 9 10 4

Izračunajte: (a) koeficijent asimetrije, Pearsonove mjere asimetrije, Bowleyjevu mjeru asimetrije; (b) koeficijent zaobljenosti.

RJEŠENJE:

xi fi fi(xi-x)3 fi(xi-x)4

1 3 -35,09 79,66

2 4 -8,19 10,41

3 9 -0,18 0,05

4 10 3,89 2,84

5 4 20,71 35,83

∑ 30 -18,86 128,79

41,052,1

63,0

)15,1(

63,033

3

3

63,030

86,18)( 3

3

i

ii

f

xxf

63,015,1

427,31

MoxSk

70,015,1

)327,3(3)(32

MexSk

11

1

34

32432

13

31

QQ

MeQQSkQ

45,275,1

29,4

)15,1(

29,444

44

29,430

79,128)( 4

4

i

ii

f

xxf

22

NUMERIĈKI NIZ: srednje vrijednosti, mjere disperzije,

mjere asimetrije, mjere zaobljenosti

PRIMJER 1.

Prodaja šećera u trgovini X tijekom radnog tjedna bila je sljedeća:

202 206 190 196 198 208

Izračunajte: a) aritmetičku sredinu i harmonijsku sredinu b) medijan, donji i gornji kvartil c) varijancu, standardnu devijaciju d) koeficijent asimetrije i koeficijent zaobljenosti.

RJEŠENJE:

Xi 1/xi rx (xi – x)2 (xi – x)3 (xi – x)4

202 0,0050 190 4 8 16

206 0,0049 196 36 216 1 296

190 0,0053 198 100 -1 000 10 000

196 0,0051 202 16 -64 256

198 0,0051 206 4 -8 16

208 0,0048 208 64 512 4 096

∑ 1 200 0,03 224 -336 15 680

2006

1200

N

XiX

20003,0

6

1

ix

NH

2

21 rr xxMe

3

2

6

21

Nr 413112 rr

2002

202198

Me

5,14

6

41

Nr 21 r 1961 Q

5,44

18

4

31

Nr 51 r 2063 Q

23

33,376

224)( 2

2

N

xxi

11,633,372

25,009,228

56

)11,6(

5633

3

3

566

336)( 3

3

N

xxi

88,168,1393

33,2613

)11,6(

33,261344

44

33,26136

15680)( 4

4

N

xxi

PRIMJER 2.

Zadan je numerički niz:

Broj odsutnih

učenika

0 1 2 3 4

Broj razreda 2 4 7 5 3

Na temelju distribucije frekvencija u tablici izračunajte: a) aritmetičku sredinu, harmonijsku sredinu, mod, medijan b) kvartile, intrkvartil, raspon varijacije, koeficijent kvartilne devijacije c) varijancu, standardnu devijaciju, d) koeficijent asimetrije, Pearsonove mjere asimetrije e) koeficijent zaobljenosti f) nacrtajte histogram i poligon frekvencija.

RJEŠENJE:

xi fi xi fi fi/ xi Kum. niz fi(xi-x)2 fi(xi-x)3 fi(xi-x)4

0 2 0 0 2 9,16 -19,60 41,94

1 4 4 4 6 5,20 -5,93 8,30

2 7 14 3,50 13 0,14 -0,02 0,002

3 5 15 1,67 18 3,70 3,18 2,73

4 3 12 0,75 21 10,38 19,30 35,90

∑ 21 45 9,92 28,58 -3,08 88,88

24

14,221

45

i

ii

f

fxX

12,292,9

21

i

i

i

x

f

fH

2Mo

5,102

21

2

NMe 2eM

25,54

21

41

NQ 11 Q

75,154

213

4

33

NQ 33 Q

21313 QQIQ

404minmax XXR

50,013

13

13

13

QQ

QQVQ

36,121

58,28)( 2

2

i

ii

f

xxf

16,136,12

09,056,1

15,0

)16,1(

15,033

33

15,0

21

08,33

3

i

ii

f

xxf

12,016,1

214,21

o

k

MxS

25

36,0

16,1

214,2332

e

k

MxS

34,281,1

23,4

)16,1(

23,444

44

23,4

21

88,884

4

i

ii

f

xxf

Histogram:

Poligon frekvencija:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4

xi

fi

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4

xi

fi

26

PRIMJER 3.

Zadana je distribucija broja zaposlenih prema godinama starosti:


20-26 9

27-31 15

32-41 27

42-50 16

51-60 8

Ukupno 75

Izračunajte:

a) aritmetičku sredinu, mod

b) medijan, kvartile, koeficijent kvartilne devijacije

c) varijancu, standardnu devijaciju, koeficijent varijacije

d) koeficijent asimetrije, Bowleyevu mjeru asimetrije

e) koeficijent zaobljenosti.

RJEŠENJE:

Starost u

godinama

Broj

zaposlenih

fi

Precizne

granice

xsi

(xi)

i xi fi fc Kum. niz

20-26 9 20-27 23,50 7 211,50 1,29 9

27-31 15 27-32 29,50 5 442,50 3,00 24

32-41 27 32-42 37,00 10 999,00 2,70 51

42-50 16 42-51 46,50 9 744,00 1,78 67

51-60 8 51-61 56,00 10 448,00 0,80 75

∑ 75 2 845,00

fi(xi-x)2 fi(xi-x)3 fi(xi-x)4

1 874,02 -2 7042,17 392 384,85

1 065,97 -8 986,16 76 473,90

23,35 -21,72 21,97

1 175,12 10 070,76 85 502,67

2 612,20 47 202,44 849 176,07

6 750,67 21 223,16 1 403 559,46

2

21 LLxsi

, 12 LLi ,

i

ff i

c

27

93,3775

2845

i

ii

f

fxx

25,315

70,2329,13

29,13271

i

cbab

abLM o

if

fN

LMme

e

1

1

2 50,372

75

2

N

00,371027

2450,3732

eM

if

fN

LQQ

1

1

11

4 75,184

75

4

N

25,30515

975,18271

Q

if

fN

LQQ

3

1

13

4

3

25,564

225

4

3

N

95,44916

5125,56423

Q

20,025,3095,44

25,3095,44

13

13

QQ

QQVQ

01,90

75

67,67502

2

i

ii

f

xxf

49,901,902

01,2510093,37

49,9100

xV

28

33,067,854

97,282

)49,9(

97,28233

33

97,282

75

16,212233

3

i

ii

f

xxf

08,0

25,3095,44

37295,4425,302

13

31

QQ

MQQS e

kq

30,2

82,8110

13,18714

)49,9(

13,1871444

44

13,18714

75

46,14035594

4

i

ii

f

xxf

29

METODA UZORAKA: Procjena aritmetičke sredine, totala

i proporcije osnovnog skupa

PRIMJER 1.

Na otoku koji ima 1620 domaćinstava slučajno smo izabrali 100 domaćinstava i zabilježili za svako od

njih koliko hektara obradive zemlje posjeduje. Izračunali smo aritmetičku sredinu tog uzorka koja je

iznosila 1,83 ha. Pomoću standardne devijacije tog uzorka procijenili smo standardnu devijaciju

osnovnog skupa i dobili s = 1,36 ha.

Izračunajte s 99% pouzdanosti kolika je prosječna površina obradive zemlje svih domaćinstava na tom otoku.

RJEŠENJE:

N=1 620

n=100

x =1,83

s=1,36

99%

xxstxXstx

t=2,58

06,01620

100

N

n > 0,05

13,011620

1001620

100

36,1

1

N

nN

n

ss

x

17,249,1

13,058,283,113,058,283,1

X

X

Prosječna površina obradive zemlje na promatranom otoku nalazi se između 1,49ha i 2,17ha uz 99%

pouzdanosti.

PRIMJER 2.

Od 186 elemenata jednog osnovnog skupa slučajno smo izabrali 20 jedinica. Aritmetička sredina tog

uzorka iznosi 2,5, a standardna devijacija je 1,204.

Uz 95% vjerojatnosti procijenite aritmetičku sredinu promatranog osnovnog skupa.

30

RJEŠENJE:

N=186

n=20

x =2,5

σ=1,204

95%

xxstxXstx

191201 nk t=2,093

1,0186

20

N

n > 0,05

27,01186

20186

120

24,1

11

N

nN

n

ss

x

24,1120

20204,1

1

n

ns

07,394,1

27,0093,25,227,0093,25,2

X

X

Aritmetička sredina promatranog osnovnog skupa nalazi se između 1,94 i 3,07 uz 95% pouzdanosti.

PRIMJER 3.

U svrhu ispitivanja vremena potrebnog za dolazak na rad, od 915 djelatnika jedne tvrtke anketirano

je 150 osoba. Pomoću tog uzorka dobiveni su ovi rezultati: prosječno vrijeme u uzorku = 47 minuta,

standardna greška aritmetičke sredine uzorka = 0,0747.

Izračunajte 99% pouzdan interval procjene totala osnovnog skupa, tj. ukupno vrijeme potrebno za dolazak na rad svih djelatnika te tvrtke. Zaključak?

RJEŠENJE:

N=915

n=150

x =47

xs =0,0747

99%

31

''''

xxstxXstx

4300547915' xNx

t=2,58

35,680747,0915'

xx

sNs

4318142828

35,6858,24300535,6858,243005

X

X

Ukupno vrijeme potrebno za dolazak na rad svih djelatnika tvrtke nalazi se između 42 828min i

43 181min uz 99% pouzdanosti.

PRIMJER 4.

U pošiljci limuna (N=90 000) potrebno je utvrditi postotak škarta. Iz pošiljke je odabano 100 limuna,

od kojih se 6 počelo kvariti.

Procijenite uz 95% pouzdanosti proporciju škarta u toj pošiljci. Zaključak?

RJEŠENJE:

N=90 000

n=100

m=6

95%

pp stpPstp

06,0100

6

n

mp 94,006,011 pq

t=1,96

01,090000

100

N

n < 0,05

02,01100

94,006,0

1

n

qps p

11,001,0

02,096,106,002,096,106,0

P

P

Proporcija škarta u promatranoj pošiljci limuna nalazi se između 0,01 i 0,11, tj. između 1% i 11% uz

95% pouzdanosti.

32

KORELACIJSKA I REGRESIJSKA ANALIZA. KORELACIJA RANGA

PRIMJER 1.

Na prvom i drugom kolokviju iz kolegija „Statistika“ šest studenata dobilo je bodove prikazane u

tablici.

Odredite: a) pravce regresije b) koeficijent korelacije c) koeficijent korelacije ranga d) napišite zaključak e) nacrtajte dijagram rasipanja.

I. kolokvij 88 62 55 96 78 49

II. kolokvij 47 63 70 80 70 40

RJEŠENJE:

I.

kolokvij

X

II.

kolokvij

Y

XY

X2

Y2

rx

ry

di

di2

88 47 4 136 7 744 2 209 5 2 3 9

62 63 3 906 3 844 3 969 3 3 0 0

55 70 3 850 3 025 4 900 2 4,5 -2,5 6,25

96 80 7 680 9 216 6 400 6 6 0 0

78 70 5 460 6 084 4 900 4 4,5 -0,5 0,25

49 40 1 960 2 401 1 600 1 1 0 0

∑ 428 370 26 992 32 314 23 978 - - - 15,50

Prvi pravac regresije

bxaYc

34,076,1784

90,599

42833,7132314

37033,71269922

xxx

yxyxb

33,716

428

N

xx 67,61

6

370

N

yy

42,3733,7134,067,61 xbya

xYc 34,042,37

33

Drugi pravac regresije

ybaXc ,,

51,010,160.1

24,597

37067,61978.23

42867,61992.262

,

yyy

xyyxb

88,3967,6151,033,71,, ybxa

yXc 51,088,39

Koeficijent korelacije

42,051,034,0, bbr

Koeficijent korelacije ranga

56,044,01210

931

6216

50,1561

61

3

2

nn

dr

i

s

Korelacija (veza) između bodova na prvom i drugom kolokviju iz kolegija „Statistika je srednja i

pozitivna.

Dijagram rasipanja

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 20 40 60 80 100 120

X

Y

34

VREMENSKI NIZ: Individualni indeksi (verižni i bazni),

trend modeli (linearni trend)

PRIMJER 1.

Godina 1997. 1998. 1999. 2000. 2001.

Broj noćenja 54 43 53 83 67

Na temelju podataka iz tablice izračunajte: a) verižne indekse b) bazne indekse (1997=100) c) jednadžbu linearnog trenda s ishodištem na početku niza d) jednadžbu linearnog trenda s ishodištem u sredini niza e) izračunajte sve trend vrijednosti f) grafički prikažite podatke iz tablice i napišite zaključak g) grafički prikažite verižne i bazne indekse i napišite zaključak.

RJEŠENJE:

Godina

Broj noćenja

Y

Vt

It

1997. 54 - 100

1998. 43 79,63 79,63

1999. 53 123,26 98,15

2000. 83 156,60 153,70

2001. 67 80,72 124,07

Verižni indeksi

1001

t

tt

Y

YV

Bazni indeksi

100b

tt

Y

YI

35

Godina

Broj

noćenja

Y

Ishodište na POĈETKU Ishodište u SREDINI

X XY X2 Yc X XY X2 Yc

1997. 54 0 0 0 46,80 -2 -108 4 46,80

1998. 43 1 43 1 53,40 -1 -43 1 53,40

1999. 53 2 106 4 60,00 0 0 0 60,00

2000. 83 3 249 9 66,60 1 83 1 66,60

2001. 67 4 268 16 73,20 2 134 4 73,20

∑ 300 10 666 30 300,00 - 66 10 300,00

Jednadžba linearnog trenda s ishodištem na početku niza

xbaYc

6,610

66

10230

30026662

xxx

yxyxb

25

10

N

xx 60

5

300

N

yy

8,4626,660 xbya

xYc 6,68,46

Jednadžba linearnog trenda s ishodištem u sredini niza

bxaYc

6,610

662

x

yxb

605

300

N

ya

xYc 6,660

36

Grafički prikaz podataka iz tablice (linijski grafikon)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1997 1998 1999 2000 2001

Godine

Bro

j n

oćen

ja

Grafički prikaz verižnih indeksa

Grafički prikaz baznih indeksa

1. način:

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1997 1998 1999 2000 2001

Godine

Ind

eks

160

150

140

130

120

110

100

90

80

70

1997 1998 1999 2000 2001

37

2. način:

160

150

140

130

120

110

100

90

80

70

38

S TA T I S T I Ĉ K E T A B L I C E

TABLICA 1 Logaritmi faktorijela

TABLICA 2 Binomni koeficijenti

TABLICA 3 Ordinate jedinične normalne razdiobe

TABLICA 4 Površine ispod normalne krivulje

TABLICA 5 Vrijednosti 2 i pripadne vrijednosti P(2) za stupnjeve slobode

k = 1, 2, 3, …, 30

TABLICA 6 Vrijednosti t za Studentovu razdiobu, uz vjerojatnosti Q(t) i

stupnjeve slobode k = 1, 2, 3, …, 30

TABLICA 7 Vjerojatnosti pri binomnoj razdiobi

TABLICA 8 Vjerojatnosti pri Poissonovoj razdiobi

TABLICA 9 Kritične vrijednosti koeficijenta korelacije ranga

TABLICA 1: Logaritmi faktorijela n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

00 0,0000 0,0000 0,3010 0,7782 1,3802 2,0792 2,8573 3,7024 4,6055 5,5598

10 6,5598 7,6012 8,6803 9,7943 10,9404 12,1165 13,3206 14,5511 15,8063 17,0851

20 18,3861 19,7083 21,0508 22,4125 23,7927 25,1906 26,6056 28,0370 29,4841 30,9465

30 32,4237 33,9150 35,4202 36,9387 38,4702 40,0142 41,5705 43,1387 44,7185 46,3096

40 47,9116 49,5244 51,1477 52,7811 54,4246 56,0778 57,7406 59,4127 61,0939 62,7841

50 64,4831 66,1906 67,9066 69,6309 71,3633 73,1037 74,8519 76,6077 78,3712 80,1420

60 81,9202 83,7055 85,4979 87,2972 89,1034 90,9163 92,7359 94,5619 96,3945 98,2333

70 100,0784 101,9297 103,7870 105,6503 107,5196 109,3946 111,2754 113,1619 115,0540 116,9516

80 118,8547 120,7632 122,6770 124,5961 126,5204 128,4498 130,3843 132,3238 134,2683 136,2177

90 138,1719 140,1310 142,0948 144,0632 146,0364 148,0141 149,9964 151,9831 153,9744 155,9700

100 157,9700 159,9743 161,9829 163,9829 166,0128 168,0340 170,0593 172,0887 174,1221 176,1595

110 178,2009 180,2462 182,2955 184,3485 186,4054 188,4661 190,5306 192,5988 194,6707 196,7462

120 198,8254 200,9082 202,9945 205,0844 207,1779 209,2748 211,3751 213,4790 215,5862 217,6967

130 219,8107 221,9280 224,0485 226,1724 228,2995 230,4298 232,5634 234,7001 236,8400 238,9830

140 241,1291 243,2783 245,4306 247,5860 249,7443 251,9057 254,0700 256,2374 258,4076 260,5808

150 262,7569 264,9359 267,1177 269,3024 271,4899 273,6803 275,8734 278,0693 280,2679 282,4693

160 284,6735 286,8803 289,0898 291,3020 293,5168 295,7343 297,9544 300,1771 302,4024 304,6303

170 306,8608 309,0938 311,3293 313,5674 315,8079 318,0509 320,2965 322,5444 324,7948 327,0477

180 329,3030 331,5606 333,8207 336,0832 338,3480 340,6152 342,8847 345,1565 347,4307 349,7071

190 351,9859 354,2669 356,5502 358,8358 361,1236 363,4136 365,7059 368,0003 370,2970 372,5959

200 374,8969 377,2001 379,5054 381,8129 384,1226 386,4343 388,7482 391,0642 393,3822 395,7024

210 398,0246 400,3489 402,6752 405,0036 407,3340 409,6664 412,0009 414,3373 416,6758 419,0162

220 421,3587 423,7031 426,0494 428,3977 430,7480 433,1002 435,4543 437,8103 440,1682 442,5281

230 444,8898 447,2533 449,6189 451,9862 454,3555 456,7265 459,0994 461,4742 463,8508 466,2292

240 468,6094 470,9914 473,3752 475,7608 478,1482 480,5374 482,9283 485,3210 487,7154 490,1116

250 492,5096 494,9093 497,3107 499,7138 502,1186 504,5252 506,9334 509,3433 511,7549 514,1682

260 516,5832 518,9999 521,4182 523,8381 526,2597 528,6830 531,1078 533,5344 535,9625 538,3922

270 540,8236 543,2566 545,6912 548,1273 550,5651 553,0044 555,4453 557,8878 560,3318 562,7774

280 565,2246 567,6733 570,1235 572,5753 575,0287 577,4835 579,9399 582,3977 584,8571 587,3180

290 589,7804 592,2443 594,7097 597,1766 599,6449 602,1147 604,5860 607,0588 609,5330 612,0087

300 614,4858 616,9644 919,4444 621,9258 624,4087 626,8930 629,3787 631,8659 634,3544 636,8444

310 639,3357 641,8285 644,3226 646,8182 649,3151 651,8134 654,3131 656,8142 659,3166 661,8204

320 664,3255 666,8320 669,3399 671,8491 674,3596 676,8715 679,3847 681,8993 684,4152 686,9324

330 689,4509 691,9707 694,4918 697,0143 699,5380 702,0631 704,5894 707,1170 709,6460 712,1762

340 714,7076 717,2404 719,7744 722,3097 724,8463 727,3841 729,9232 732,4635 735,0051 737,5479

350 740,0920 742,6373 745,1838 747,7316 750,2806 752,8303 755,3823 757,9349 760,4888 763,0439

360 765,6002 768,1577 770,7164 773,2764 775,8375 778,3997 780,9632 783,5279 786,0937 788,6608

370 791,2290 793,7983 796,3689 798,9406 801,5135 804,0875 806,6627 809,2390 811,8165 814,3952

380 816,9749 819,5559 822,1379 824,7211 827,3055 829,8909 832,4775 835,0652 837,6540 840,2440

390 842,8351 845,4272 848,0205 850,6149 853,2104 855,8070 858,4047 861,0035 863,6034 866,2044

400 868,8064 871,4096 874,0138 876,6191 879,2255 881,8329 884,4415 887,0510 889,6617 892,2734

410 894,8862 897,5001 900,1150 902,7309 905,3479 907,9660 910,5850 913,2052 915,8264 918,4486

420 921,0718 923,6961 926,3214 928,9478 931,5751 934,2035 936,8329 939,4633 942,0948 944,7272

430 947,3607 949,9952 952,6307 955,2672 957,9047 960,5431 963,1826 965,8231 968,4646 971,1071

440 973,7505 976,3949 979,0404 981,6868 984,3342 986,9825 989,6318 992,2822 994,9334 997,5857

450 1000,2389 1002,8931 1005,5482 1008,2043 1010,8614 1013,5194 1016,1783 1018,8383 1021,4991 1024,1609

460 1026,8227 1029,4874 1032,1520 1034,8176 1037,4841 1040,1516 1042,8200 1045,4893 1048,1595 1050,8307

470 1053,5028 1056,1758 1058,8498 1061,5246 1064,2004 1068,8771 1069,5547 1072,2332 1074,9127 1077,5930

480 1080,2742 1082,9564 1085,6394 1088,3234 1091,0082 1093,6940 1096,3806 1099,0681 1101,7565 1104,4458

490 1107,1360 1109,8271 1112,5191 1115,2119 1117,9057 1120,6003 1123,2951 11125,9921 1128,6893 1131,3874

500 1134,0864 1136,7862 1139,4869 1142,1885 1144,8909 1147,5942 1150,2984 1153,0034 1155,7093 1158,4160

510 1161,1236 1163,8320 1166,5412 1169,2514 1171,9623 1174,6741 1177,3868 1180,1003 1182,8146 1185,5298

520 1188,2458 1190,9626 1193,6803 1196,3988 1199,1181 1201,8383 1024,5593 1207,2811 1210,0037 1212,7272

530 1215,4514 1218,1765 1220,9023 1223,6292 1226,3567 1229,0851 1231,8142 1234,5442 1237,2750 1240,0066

540 1242,7390 1245,4722 1248,2062 1250,9410 1253,6766 1256,4130 1259,1501 1261,8881 1264,6269 1267,3665

550 1270,1069 1272,8480 1275,5899 1278,3327 1281,0762 1283,8205 1286,5655 1289,3114 1292,0580 1294,8054

560 1297,5536 1300,3026 1303,0523 1305,8028 1308,5541 1311,3062 1314,0590 1316,8126 1319,5669 1322,3220

570 1325,0779 1327,8345 1330,5919 1333,3501 1336,1090 1338,8687 1341,6291 1344,3903 1347,1522 1349,9149

580 1352,6783 1355,4425 1358,2074 1360,9731 1363,7395 1366,5066 1369,2745 1372,0432 1374,8126 1377,5827

590 1380,3535 1283,1251 1385,8974 1388,6705 1391,4443 1394,2188 1396,9940 1399,7700 1402,5467 1405,3241

600 1408,1023 1410,8812 1413,6608 1416,4411 1419,2221 1422,0039 1424,7863 1427,5695 1430,3534 1430,1380

610 1435,9234 1438,7094 1441,4962 1444,2836 1447,0718 1449,8607 1452,6503 1455,4405 1458,2315 1461,0232

620 1463,8156 1466,6087 1469,4025 1472,1970 1474,9920 1477,7880 1480,5846 1483,3819 1486,1798 1488,9785

630 1491,7778 1494,5779 1497,3786 1500,1800 1502,9821 1505,7849 1508,5883 1511,3924 1514,1973 1517,0028

640 1519,8090 1522,6158 1525,4233 1528,2316 1531,0404 1533,8500 1536,6602 1539,4711 1542,2827 1545,0950

650 1547,9079 1550,7215 1553,5357 1556,3506 1559,1662 1561,9824 1564,7993 1567,6169 1570,4351 1573,2540

660 1576,0736 578,8938 1581,7146 1584,5361 1587,3583 1590,1811 1593,0046 1595,8287 1598,6535 1601,4789

670 1604,,3050 1607,1317 1609,9591 1612,7871 1615,6158 1618,4451 1621,2750 1624,1056 1626,9368 1629,7687

680 1632,6012 1635,4344 1638,2681 1641,1026 1643,9376 1646,7733 1649,6096 1652,4466 1655,2842 1658,1224

40

TABLICA 2: Binomni koeficijenti

n

0

n

1

n

2

n

3

n

4

n

5

n

6

n

7

n

8

n

9

n

10

n

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

7 1 7 21 35 35 21 7 1

8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11

12 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66

13 1 13 78 286 715 1 287 1 716 1 716 1 287 715 286

14 1 14 91 364 1 001 2 002 3 003 3 432 3003 2002 1001

15 1 15 105 455 1 365 3 003 5 005 6 435 6 435 5 005 3 003

16 1 16 120 560 1 820 4 368 8 008 11 440 12 870 11 440 8 008

17 1 17 136 680 2 380 6 188 12 376 19 448 24 310 24 310 19 448

18 1 18 153 816 3 060 8 568 18 564 31 824 43 758 48 620 43 758

19 1 19 171 969 3 876 11 628 27 132 50 388 75 582 92 378 92 378

20 1 20 190 1 140 4 845 15 504 38 760 77 520 125 970 167 960 184 756

41

TABLICA 3: Ordinate jedinične normalne razdiobe

Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 ,39894 ,39892 ,39886 ,39876 ,39862 ,39844 ,39822 ,39797 ,39767 ,39733

0,1 ,39695 ,39654 ,39608 ,39559 ,39505 ,39448 ,39387 ,39322 ,39253 ,39181

0,2 ,39104 ,39024 ,38940 ,38853 ,38762 ,38667 ,38568 ,38466 ,38361 ,38251

0,3 ,38139 ,38023 ,37903 ,37780 ,37654 ,37524 ,37391 ,37255 ,37115 ,36973

0,4 ,36827 ,36678 ,36526 ,36371 ,36213 ,36053 ,35889 ,35723 ,35553 ,35381

0,5 ,35207 ,35029 ,34849 ,34667 ,34482 ,34294 ,34105 ,33912 ,33718 ,33521

0,6 ,33322 ,33121 ,32918 ,32713 ,32506 ,32297 ,32086 ,31874 ,31659 ,31443

0,7 ,31225 ,31006 ,30785 ,30563 ,30339 ,30114 ,29887 ,29659 ,29431 ,29200

0,8 ,28969 ,28737 ,28504 ,28269 ,28034 ,27798 ,27562 ,27324 ,27086 ,26848

0,9 ,26609 ,26369 ,26129 ,25888 ,25647 ,25406 ,25164 ,24923 ,24681 ,24439

1,0 ,24197 ,23955 ,23713 ,23471 ,23230 ,22988 ,22747 ,22506 ,22265 ,22025

1,1 ,21785 ,21546 ,21307 ,21069 ,20831 ,20594 ,20357 ,20121 ,19886 ,19652

1,2 ,19419 ,19186 ,18954 ,18724 ,18494 ,18265 ,18037 ,17810 ,17585 ,17360

1,3 ,17137 ,16915 ,16694 ,16474 ,16256 ,16038 ,15822 ,15608 ,15395 ,15183

1,4 ,14973 ,14764 ,14556 ,14350 ,14146 ,13943 ,13742 ,13542 ,13344 ,13147

1,5 ,12952 ,12758 ,12566 ,12376 ,12188 ,12001 ,11816 ,11632 ,11450 ,11270

1,6 ,11092 ,10915 ,10741 ,10567 ,10396 ,10226 ,10059 ,09893 ,09728 ,09566

1,7 ,09405 ,09246 ,09089 ,08933 ,08780 ,08628 ,08478 ,08329 ,08183 ,08038

1,8 ,07895 ,07754 ,07614 ,07477 ,07341 ,07206 ,07074 ,06943 ,06814 ,06687

1,9 ,06562 ,06439 ,06316 ,06195 ,06077 ,05959 ,05844 ,05730 ,05618 ,05508

2,0 ,05399 ,05292 ,05186 ,05082 ,04980 ,04879 ,04780 ,04682 ,04586 ,04491

2,1 ,04398 ,04307 ,04217 ,04128 ,04041 ,03955 ,03872 ,03788 ,03706 ,03626

2,2 ,03547 ,03470 ,03394 ,03319 ,03246 ,03174 ,03103 ,03034 ,02965 ,02898

2,3 ,02833 ,02768 ,02705 ,02643 ,02582 ,02522 ,02463 ,02406 ,02349 ,02294

2,4 02239 ,02186 ,02134 ,02083 ,02033 ,01984 ,01936 ,01889 ,01842 ,01797

2,5 ,01753 ,01709 ,01667 ,01625 ,01585 ,01545 ,01506 ,01468 ,01431 ,01394

2,6 ,01358 ,01323 ,01289 ,01256 ,01223 ,01191 ,01160 ,01130 ,01100 ,01071

2,7 ,01042 ,01014 ,00987 ,00961 ,00935 ,00909 ,00885 ,00861 ,00837 ,00814

2,8 ,00792 ,00770 ,00748 ,00727 ,00707 ,00687 ,00668 ,00649 ,00631 ,00613

2,9 ,00595 ,00578 ,00562 ,00545 ,00530 ,00514 ,00499 ,00485 ,00471 ,00457

3,0 ,00443 ,00430 ,00417 ,00405 ,00393 ,00381 ,00370 ,00358 ,00348 ,00337

3,1 ,00327 ,00317 ,00307 ,00298 ,00288 ,00279 ,00271 ,00262 ,00254 ,00246

3,2 ,00238 ,00231 ,00224 ,00216 ,00210 ,00203 ,00196 ,00190 ,00184 ,00178

3,3 ,00172 ,00167 ,00161 ,00156 ,00151 ,00146 ,00141 ,00136 ,00132 ,00127

3,4 ,00123 ,00119 ,00115 ,00111 ,00107 ,00104 ,00100 ,00097 ,00094 ,00090

3,5 ,00087 ,00084 ,00081 ,00079 ,00076 ,00073 ,00071 ,00068 ,00066 ,00063

3,6 ,00061 ,00059 ,00057 ,00055 ,00053 ,00051 ,00049 ,00047 ,00046 ,00044

3,7 ,00042 ,00041 ,00039 ,00038 ,00037 ,00035 ,00034 ,00033 ,00031 ,00030

3,8 ,00029 ,00028 ,00027 ,00026 ,00025 ,00024 ,00023 ,00022 ,00021 ,00021

3,9 ,00020 ,00019 ,00018 ,00018 ,00017 ,00016 ,00016 ,00015 ,00014 ,00014

42

TABLICA 4: Površine ispod normalne krivulje

Z Druga decimalna znamenka u Z

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 ,00000 ,00399 ,00798 ,01197 ,01595 ,01994 ,02392 ,02790 ,03188 ,03586

0,1 ,09383 ,04380 ,04776 ,05172 ,05567 ,05962 ,06356 ,06749 ,07142 ,07535

0,2 ,07926 ,08317 ,03706 ,09095 ,09483 ,09871 ,10257 ,10642 ,11026 ,11409

0,3 ,11791 ,12172 ,12552 ,12930 ,13307 ,13683 ,14058 ,14431 ,14803 ,15173

0,4 ,15542 ,15910 ,16276 ,16640 ,17003 ,17364 ,17724 ,18082 ,18439 ,18793

0,5 ,19146 ,19497 ,19847 ,20194 ,20540 ,20884 ,21226 ,21566 ,21904 ,22240

0,6 ,22575 ,22907 ,23237 ,23565 ,23891 ,24215 ,24537 ,24857 ,25175 ,25490

0,7 ,25804 ,26115 ,26424 ,26730 ,27035 ,27337 ,27637 ,27935 ,28230 ,28524

0,8 ,28814 ,29103 ,29389 ,29673 ,29955 ,30234 ,30511 ,30785 ,31057 ,31327

0,9 ,31594 ,31859 ,32121 ,32381 ,32639 ,32894 ,33147 ,33398 ,33646 ,33891

1,0 ,34134 ,34375 ,34614 ,34850 ,35083 ,35314 ,35543 ,35769 ,35993 ,36214

1,1 ,36433 ,36650 ,36864 ,37076 ,37286 ,37493 ,37698 ,37900 ,38100 ,38298

1,2 ,38293 ,38686 ,38877 ,39065 ,39251 ,39435 ,39617 ,39796 ,39973 ,40147

1,3 ,40320 ,40490 ,40658 ,40824 ,40988 ,41149 ,41309 ,41466 ,41621 ,41774

1,4 ,41924 ,42073 ,42220 ,42364 ,42507 ,42647 ,42786 ,42922 ,43056 ,43189

1,5 ,43319 ,43448 ,43574 ,43699 ,43822 ,43943 ,44062 ,44179 ,44295 ,44408

1,6 ,44520 ,44630 ,44738 ,44845 ,44950 ,45053 ,45154 ,45254 ,45352 ,45449

1,7 ,45543 ,45637 ,45728 ,45818 ,45907 ,45994 ,46080 ,46164 ,46246 ,46327

1,8 ,46407 ,46485 ,46562 ,46638 ,46712 ,46784 ,46856 ,46926 ,46995 ,47062

1,9 ,47128 ,47193 ,47257 ,47320 ,47381 ,47441 ,47500 ,47558 ,47615 ,47670

2,0 ,47725 ,47778 ,47831 ,47882 ,47932 ,47982 ,48030 ,48077 ,48124 ,48169

2,1 ,48214 ,48257 ,48300 ,48341 ,48382 ,48422 ,48461 ,48500 ,48537 ,48574

2,2 ,48610 ,48645 ,48679 ,48713 ,48745 ,48778 ,48809 ,48840 ,48870 ,48899

2,3 ,48928 ,48956 ,48983 ,49010 ,49036 ,49061 ,49086 ,49111 ,49134 ,49158

2,4 ,49180 ,49202 ,49224 ,49245 ,49266 ,49286 ,49305 ,49324 ,49343 ,49361

2,5 ,49379 ,49396 ,49413 ,49430 ,49446 ,49461 ,49477 ,49492 ,49506 ,49520

2,6 ,49534 ,49547 ,49560 ,49573 ,49585 ,49598 ,49609 ,49621 ,49632 ,49643

2,7 ,49653 ,49664 ,49674 ,49683 ,49693 ,49702 ,49711 ,49720 ,49728 ,49736

2,8 ,49744 ,49752 ,49760 ,49767 ,49774 ,49781 ,49788 ,49795 ,49801 ,49807

2,9 ,,49813 ,49819 ,49825 ,49831 ,49836 ,49841 ,49846 ,49851 ,49856 ,49861

3,0 ,49865 ,49869 ,49874 ,49878 ,49882 ,49886 ,49889 ,49893 ,49897 ,49900

3,1 ,49903 ,49906 ,49910 ,49913 ,49916 ,49918 ,49921 ,49924 ,49926 ,49929

3,2 ,49931 ,49934 ,49936 ,49938 ,49940 ,49942 ,49944 ,49946 ,49948 ,49950

3,3 ,49952 ,49953 ,49955 ,49957 ,49958 ,49960 ,49961 ,49962 ,49964 ,49965

3,4 ,49966 ,49968 ,49969 ,49970 ,49971 ,49972 ,49973 ,49974 ,49975 ,49976

3,5 ,4997674

4,0 ,4999683

4,5 ,4999966

5,0 ,499999713

TABLICA 5: Vrijednosti 2 i pripadne vrijednosti P(2) za stupnjeve slobode k = 1, 2, 3, …, 30

k 0,99 0,98 0,95 0,90 0,80 0,70 0,50 0,30 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001

1 0,000 0,001 0,004 0,016 0,064 0,148 0,455 1,074 1,642 2,706 3,841 5,412 6,635 10,827

2 0,020 0,040 0,103 0,211 0,446 0,713 1,366 2,408 3,219 4,605 5,991 7,824 9,210 13,815

3 0,115 0,185 0,352 0,584 1,005 1,424 2,366 3,665 4,642 6,251 7,815 9,837 11,341 16,268

4 0,297 0,429 0,711 1,064 1,649 2,195 3,357 4,878 5,989 7,779 9,488 11,668 13,277 18,465

5 0,554 0,752 1,145 1,610 2,343 3,000 4,351 6,064 7,289 9,236 11,070 13,388 15,086 20,517

6 0,872 1,134 1,635 2,204 3,070 3,828 5,348 7,291 8,558 10,645 12,592 15,033 16,812 22,457

7 1,239 1,564 2,167 2,833 3,822 4,671 6,346 8,383 9,803 12,017 14,067 16,622 18,475 24,322

8 1,646 2,032 2,733 3,490 4,594 5,527 7,344 9,524 11,030 13,362 15,507 18,168 20,090 26,125

9 2,088 2,532 3,325 4,168 5,380 6,393 8,343 10,656 12,242 14,684 16,919 19,679 21,666 27,877

10 2,558 3,059 3,940 4,865 6,179 7,267 9,342 11,781 13,442 15,987 18,307 21,161 23,209 29,588

11 3,053 3,609 4,575 5,578 6,989 8,148 10,341 12,899 14,631 17,275 19,675 22,618 24,725 31,264

12 3,571 4,178 5,226 6,304 7,807 9,034 11,340 14,011 15,812 18,549 21,026 24,054 26,217 32,909

13 4,107 2,765 5,982 7,042 8,634 9,926 12,340 15,119 16,985 19,812 22,362 25,472 27,688 34,528

14 4,660 5,368 6,571 7,790 9,467 10,821 13,339 16,222 18,151 21,064 23,685 26,873 29,141 35,123

15 5,229 5,985 7,261 8,547 10,307 11,721 14,339 17,322 19,311 22,307 24,996 28,259 30,578 37,697

16 5,812 6,614 7,962 9,312 11,152 12,624 15,338 18,418 20,465 23,542 26,296 29,633 32,000 39,252

17 6,408 7,255 8,672 10,085 12,002 13,531 16,338 19,511 21,615 24,769 27,587 30,995 33,409 40,790

18 7,015 7,906 9,390 10,865 12,857 14,440 17,338 20,601 22,760 22,760 25,989 32,346 34,805 42,312

19 7,633 8,567 10,117 11,651 13,716 15,352 18,338 21,689 23,900 27,204 30,144 33,687 36,191 43,820

20 8,260 9,237 10,851 12,443 14,578 16,266 19,337 22,775 25,038 28,412 31,410 35,020 37,366 45,315

21 8,897 9,915 11,391 13,240 15,445 17,182 20,337 23,858 26,171 26,615 32,671 36,343 38,932 46,797

22 9,542 10,600 12,338 14,041 16,314 18,101 21,337 24,939 27,301 30,813 33,924 37,659 40,289 48,268

23 10,196 11,293 13,091 14,848 17,187 19,021 22,337 26,018 28,429 32,007 35,172 38,968 41,638 49,728

24 10,856 11,992 13,848 15,659 18,062 19,943 23,337 27,096 29,553 33,196 36,415 40,270 42,980 51,179

25 11,524 12,697 14,611 16,473 18,940 20,867 24,337 28,172 30,675 34,382 37,652 41,566 44,314 52,620

26 12,198 13,409 15,379 17,292 19,820 21,792 25,336 29,246 31,795 35,563 38,885 42,856 45,642 54,052

27 12,879 14,125 16,151 18,114 20,703 22,719 26,336 30,319 32,912 36,741 40,113 44,140 46,963 55,476

28 13,565 14,847 16,928 18,939 21,588 23,647 27,336 31,391 34,027 37,916 41,337 45,419 48,278 56,893

29 14,256 15,574 17,708 19,768 22,475 24,577 28,336 32,461 35,139 39,087 42,557 46,693 49,588 58,302

30 14,953 16,306 18,493 20,599 23,364 25,508 29,336 33,530 36,250 40,256 43,773 47,962 50,892 59,703

TABLICA 6: Vrijednosti t za Studentovu razdiobu, uz vjerojatnosti Q(t) i

stupnjeve slobode k = 1, 2, 3, …, 30

k 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,001

1 0,158 0,325 0,510 0,727 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636,619

2 0,142 0,289 0,445 0,617 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,598

3 0,137 0,277 0,424 0,584 0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,941

4 0,134 0,271 0,414 0,569 0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610

5 0,132 0,267 0,408 0,559 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,859

6 0,131 0,265 0,404 0,553 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959

7 0,130 0,263 0,402 0,549 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,405

8 0,130 0,262 0,399 0,546 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041

9 0,129 0,261 0,398 0,543 0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781

10 0,129 0,260 0,397 0,542 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587

11 0,129 0,260 0,396 0,540 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437

12 0,128 0,259 0,395 0,539 0,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318

13 0,128 0,259 0,394 0,538 0,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221

14 0,128 0,258 0,393 0,537 0,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140

15 0,128 0,258 0,393 0,536 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073

16 0,128 0,258 0,392 0,535 0,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015

17 0,128 0,257 0,392 0,534 0,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965

18 0,127 0,257 0,392 0,534 0,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922

19 0,127 0,257 0,391 0,533 0,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883

20 0,127 0,257 0,391 0,533 0,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850

21 0,127 0,257 0,391 0,532 0,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819

22 0,127 0,256 0,390 0,532 0,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792

23 0,127 0,256 0,390 0,532 0,685 0,858 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,767

24 0,127 1,256 0,390 0,531 0,665 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745

25 0,127 0,256 0,390 0,531 0,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725

26 0,127 0,256 0,390 0,531 0,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707

27 0,127 0,256 0,389 0,531 0,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,690

28 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,267 2,763 3,674

29 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,659

30 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646

45

TABLICA 7: Vjerojatnosti pri binomnoj razdiobi

x

p

0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

n = 5

0 ,77378 ,73390 ,69569 ,65908 ,62403 ,5905 ,3277 ,1681 ,0778 ,0313

1 ,19363 ,23423 ,26182 ,28656 ,30859 ,3280 ,4096 ,3601 ,2592 ,1562

2 ,02143 ,02990 ,03941 ,04983 ,06104 ,0729 ,2048 ,3087 ,3456 ,3125

3 ,00113 ,00191 ,00297 ,00434 ,00604 ,0081 ,0512 ,1323 ,2304 ,3125

4 ,00003 ,00006 ,00011 ,00019 ,00029 ,0005 ,0064 ,0284 ,0768 ,1562

5 ,00000 ,00000 ,00000 ,00000 ,00001 ,0000 ,0003 ,0024 ,0102 ,0313

n = 10

0 ,59874 ,53862 ,48398 ,43439 ,38942 ,3487 ,1074 ,0282 ,0060 ,0010

1 ,31512 ,34379 ,36429 ,37773 ,38513 ,3874 ,2684 ,1211 ,0404 ,0097

2 ,07464 ,09875 ,12334 ,14780 ,17141 ,1937 ,3020 ,2335 ,1209 ,0440

3 ,01047 ,01681 ,02476 ,03428 ,04521 ,0574 ,2013 ,2668 ,2150 ,1172

4 ,00097 ,00188 ,00327 ,00521 ,00782 ,0112 ,0881 ,2001 ,2508 ,2051

5 ,00006 ,00014 ,00029 ,00055 ,00093 ,0015 ,0264 ,1030 ,2007 ,2460

6 ,00000 ,00001 ,00002 ,00004 ,00008 ,0001 ,0055 ,0367 ,1114 ,2051

7 ,00000 ,00000 ,00000 ,00000 ,0000 ,0008 ,0090 ,0425 ,1172

8 ,0001 ,0015 ,0106 ,0440

9 ,0000 ,0001 ,0016 ,0097

10 ,0000 ,0001 ,0010

n = 15

0 ,46329 ,39529 ,33670 ,28630 ,24301 ,2059 ,0352 ,0047 ,0005 ,0000

1 ,36576 ,37847 ,38015 ,37343 ,36050 ,3431 ,1319 ,0306 ,0047 ,0005

2 ,13475 ,16911 ,20029 ,22730 ,24959 ,2669 ,2309 ,0915 ,0219 ,0032

3 ,03073 ,04677 ,06533 ,08566 ,10696 ,1285 ,2502 ,1701 ,0634 ,0139

4 ,00486 ,00896 ,01475 ,02234 ,03174 ,0429 ,1876 ,2186 ,1268 ,0416

5 ,00056 ,00125 ,00244 ,00427 ,00690 ,0105 ,1031 ,2061 ,1859 ,0917

6 ,00005 ,00014 ,00031 ,00062 ,00114 ,0019 ,0430 ,1473 ,2066 ,1527

7 ,00000 ,00001 ,00003 ,00007 ,00014 ,0003 ,0139 ,0811 ,1771 ,1964

8 ,00000 ,00000 ,00001 ,00002 ,0000 ,0034 ,0348 ,1181 ,1964

9 ,00000 ,00000 ,0001 ,0115 ,0612 ,1527

10 ,0000 ,0030 ,0245 ,0917

11 ,0006 ,0074 ,0416

12 ,0001 ,0016 ,0139

13 ,0000 ,0003 ,0032

14 ,0000 ,0005

15 ,0000

46

TABLICA 7 (nastavak)

x

p

0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

n = 20

0 ,35849 ,29011 ,23424 ,18869 ,15164 ,1216 ,0115 ,0008 ,0000 ,0000

1 ,37735 ,37034 ,35262 ,32817 ,29996 ,2701 ,0577 ,0068 ,0005 ,0000

2 ,18868 ,22458 ,25214 ,27109 ,28183 ,2852 ,1369 ,0279 ,0031 ,0002

3 ,05958 ,08600 ,11387 ,14143 ,16724 ,1901 ,2053 ,0716 ,0124 ,0011

4 ,01333 ,02334 ,03642 ,05228 ,07029 ,0898 ,2182 ,1307 ,0350 ,0046

5 ,00224 ,00476 ,00878 ,01454 ,02225 ,0319 ,1746 ,1789 ,0746 ,0148

6 ,00030 ,00076 ,00165 ,00316 ,00550 ,0089 ,1091 ,1916 ,1244 ,0370

7 ,00003 ,00010 ,00025 ,00055 ,00109 ,0020 ,0546 ,1643 ,1659 ,0739

8 ,00000 ,00001 ,00003 ,00008 ,00017 ,0003 ,0221 ,1144 ,1797 ,1201

9 ,00000 ,00000 ,00001 ,00003 ,0001 ,0074 ,0653 ,1597 ,1602

10 ,00000 ,00000 ,0000 ,0020 ,0309 ,1172 ,1762

11 ,0005 ,0120 ,0710 ,1602

12 ,0001 ,0038 ,0355 ,1201

13 ,0003 ,0049 ,0739

14 ,0000 ,0013 ,0370

15 ,0003 ,0148

16 ,0000 ,0046

17 ,0011

18 ,0002

19 ,0000

n = 30

0 ,21464 ,15626 ,11337 ,08197 ,05905 ,0424 ,0012 ,0000 ,0000 ,0000

1 ,33890 ,29921 ,25599 ,21382 ,17522 ,1413 ,0093 ,0003 ,0000 ,0000

2 ,25864 ,27693 ,27939 ,26961 ,25126 ,2277 ,0337 ,0018 ,0000 ,0000

3 ,12705 ,16498 ,19627 ,21881 ,23194 ,2360 ,0785 ,0072 ,0003 ,0000

4 ,04513 ,07108 ,09972 ,12843 ,15484 ,1771 ,1325 ,0209 ,0012 ,0000

5 ,01236 ,02359 ,03903 ,05807 ,07963 ,1023 ,1723 ,0464 ,0042 ,0002

6 ,00271 ,00628 ,01224 ,02104 ,03281 ,0474 ,1795 ,0829 ,0115 ,0005

7 ,00049 ,00137 ,00316 ,00628 ,01113 ,0180 ,1538 ,1219 ,0263 ,0019

8 ,00007 ,00025 ,00068 ,00156 ,00316 ,0058 ,1105 ,1501 ,0505 ,0055

9 ,00001 ,00004 ,00013 ,00034 ,00077 ,0015 ,0676 ,1573 ,0823 ,0133

10 ,00000 ,00001 ,00002 ,00006 ,00016 ,0004 ,0355 ,1416 ,1152 ,0280

11 ,00000 ,00000 ,00001 ,00002 ,0001 ,0161 ,1103 ,1396 ,0508

12 ,00000 ,00001 ,0000 ,0064 ,0748 ,1474 ,0806

13 ,00000 ,0022 ,0444 ,1360 ,1115

14 ,0007 ,0232 ,1101 ,1355

15 ,0002 ,0105 ,0783 ,1444

16 ,0000 ,0043 ,0490 ,1355

17 ,0015 ,0279 ,1115

18 ,0004 ,0119 ,0806

19 ,0002 ,0054 ,0508

20 ,0000 ,0020 ,0280

21 ,0007 ,0133

22 ,0002 ,0055

23 ,0000 ,0019

24 ,0005

25 ,0002

26 ,0000

47

TABLICA 8: Vjerojatnosti pri Poissonovoj razdiobi

x λ

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0 ,90484 ,81873 ,74082 ,67032 ,60653 ,54881 ,49659 ,44933 ,40657 ,36788

1 ,09048 ,16374 ,22225 ,26813 ,30327 ,32929 ,34761 ,35946 ,36591 ,36788

2 ,00452 ,01638 ,03334 ,05363 ,07582 ,09879 ,12166 ,14379 ,16466 ,18394

3 ,00015 ,00109 ,00333 ,00715 ,01264 ,01976 ,02839 ,03834 ,04940 ,06131

4 ,00000 ,00006 ,00025 ,00072 ,00158 ,00296 ,00497 ,00767 ,01112 ,01533

5 ,00000 ,00002 ,00006 ,00016 ,00036 ,00070 ,00123 ,00200 ,00307

6 ,00000 ,00000 ,00001 ,00004 ,00008 ,00015 ,00030 ,00051

7 ,00000 ,00000 ,00001 ,00002 ,00004 ,00007

8 ,00000 ,00000 ,00000 ,00001

9 ,00000

λ

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0 ,13534 ,04979 ,01832 ,00674 ,00248 ,00091 ,00034 ,00012 ,00005 ,00002

1 ,27067 ,14936 ,07326 ,03369 ,01287 ,00638 ,00268 ,00111 ,00045 ,00018

2 ,27067 ,22404 ,14653 ,08422 ,04462 ,02234 ,01074 ,00500 ,00227 ,00101

3 ,18045 ,22404 ,19537 ,14037 ,08924 ,05213 ,02863 ,01499 ,00757 ,00371

4 ,09022 ,16803 ,19537 ,17547 ,13385 ,09123 ,05725 ,03374 ,01892 ,01019

5 ,03609 ,10082 ,15629 ,17547 ,16062 ,12772 ,09160 ,06073 ,03783 ,02242

6 ,01203 ,05041 ,10420 ,14622 ,16062 ,14900 ,12214 ,09109 ,06306 ,04110

7 ,00344 ,02160 ,05954 ,10445 ,13768 ,14900 ,13959 ,11712 ,09008 ,06458

8 ,00086 ,00810 ,02977 ,06528 ,10328 ,13038 ,13959 ,13176 ,11260 ,08879

9 ,00019 ,00270 ,01323 ,03627 ,06884 ,10141 ,12408 ,13176 ,12511 ,10853

10 ,00004 ,00081 ,00529 ,01813 ,04130 ,07098 ,09926 ,11858 ,12511 ,11938

11 ,00001 ,00022 ,00193 ,00824 ,02253 ,04517 ,07219 ,09702 ,11374 ,11938

12 ,00000 ,00006 ,00064 ,00343 ,01126 ,02635 ,04813 ,07277 ,09478 ,10943

13 ,00001 ,00020 ,00132 ,00520 ,01419 ,02962 ,05038 ,07291 ,09260

14 ,00000 ,00006 ,00047 ,00223 ,00709 ,01692 ,03238 ,05208 ,07275

15 ,00002 ,00016 ,00089 ,00331 ,00903 ,01943 ,03472 ,05335

16 ,00000 ,00005 ,00033 ,00145 ,00451 ,01093 ,02170 ,03668

17 ,00001 ,00012 ,00060 ,00212 ,00579 ,01276 ,02373

18 ,00000 ,00004 ,00023 ,00094 ,00289 ,00709 ,01450

19 ,00001 ,00009 ,00040 ,00137 ,00373 ,00840

20 ,00000 ,00003 ,00016 ,00062 ,00187 ,00462

21 ,00001 ,00006 ,00026 ,00089 ,00243

22 ,00000 ,00002 ,00011 ,00040 ,00121

23 ,00001 ,00004 ,00017 ,00058

24 ,00000 ,00002 ,00007 ,00027

25 ,00001 ,00003 ,00012

26 ,00000 ,00001 ,00005

27 ,00000 ,00002

28 ,00001

29 ,00000

48

TABLICA 9: Kritične vrijednosti koeficijenta korelacije ranga

Veličina

uzorka n

Razina signifikantnosti

5% 1%

6 0,829 0,943

7 0,714 0,893

8 0,643 0,833

9 0,600 0,783

10 0,564 0,746

12 0,506 0,712

14 0,456 0,645

16 0,425 0,601

18 0,399 0,564

20 0,377 0,534

22 0,359 0,508

24 0,343 0,485

26 0,329 0,465

28 0,327 0,448

30 0,306 0,432

49

P R E G L E D F O R M U L A

GRAFIĈKO PRIKAZIVANJE

Strukturni krug

x0 = 0360

cjelina

dio

x0

dio

cjelina

– isječak (sektor kruga)

– parcijalna frekvencija pojave

– ukupna frekvencija

Pr

r

P

π

– polumjer kruga

– ukupna frekvencija koja se prikazuje

grafički

– Ludolfov broj (3,14)

Strukturni polukrug

00 180cjelina

diox

x0

dio

cjelina

– isječak (sektor kruga)

– parcijalna frekvencija pojave

– ukupna frekvencija

Pr

2

r

P

π

– polumjer kruga

– ukupna frekvencija koja se prikazuje

grafički

– Ludolfov broj (3,14)

RELATIVNI BROJEVI

Postoci

100cjelina

dioP

P

dio

cjelina

- postotak, relativna frekvencija

- parcijalna frekvencija pojve

- ukupna frekvencija

Relativni brojevi koordinacije (RBK)

2

1

f

fRBK

1

2

f

fRBK

f1

f2

- frekvencija jedne statističke pojave (mase)

- frekvencija druge statističke pojave

(mase)

50

Indeksi

1001 Bf

fI

I

f1

fB

- indeks

- jedna frekvencija statističke pojave

- druga frekvencija iste statističke pojave

(baza usporedbe)

NUMERIĈKI NIZ

Srednje vrijednosti

Aritmetička sredina

Jednostavna (negrupirani podaci)

N

x

x

N

i

i 1

x

fi

N

xi

- aritmetička sredina

- frekvencija numeričkog niza, i=1,...,n

- ukupan broj jedinica u nizu

- vrijednost numeričkog obilježja, i=1,...,n

Vagana (grupirani podaci)

n

i

i

n

i

ii

f

fx

x

1

1

Harmonijska sredina

Jednostavna (negrupirani podaci)

N

i ix

NH

1

1

H

fi

N

xi

- harmonijska sredina





n

i i

i

n

i

i

x

f

f

H

1

1

51

Geometrijska sredina

Jednostava (negrupirani podaci)

N

i

ixN

G1

log1

log

ili

NNxxxG ...21

G

fi

N

xi

log

- geometrijska sredina




- Logaritam


n

i

iin

i

i

xf

f

G1

1

log1

log

ili

N f

k

ff kxxxG ...21

21

Mod

Grupirani podaci (distribucija frekvencija

s razredima)

i

cbab

abLMo

1

Mo

L1

b

a

c

i

- mod

- donja granica modalnog razreda

- najveća frekvencija u nizu (najveća

korigirana frekvencija kod nejednakih

razreda)

- frekvencija iznad b

- frekvencija ispod b

- veličina modalnog razreda

i

ff i

c

fc

fi

i

- korigirana frekvencija


- veličina razreda čija se frekvencija

korigira

Medijan

Negrupirani podaci

2

1

Nr

2

1

Nr

112 rr

2

21 rr xxMe

r

r1, r2

N

Me

xr1, xr2

- redni broj podatka, koji predočuje

medijan u uređenom nizu s neparnim

brojem članova (jedinica)

- redni brojevi podataka u uređenom nizu s

parnim brojem članova (jedinica)

- ukupan broj članova (jedinica) u nizu

- medijan

- podatak s rednim brojem r1 tj. r2

52


s razredima)

if

fN

LMemed

1

12

L1

∑ f1

fmed

i

- donja granica medijalnog razreda

- zbroj frekvencija do medijalnog razreda

- frekvencija medijalnog razreda

- veličina medijlanog razreda

Mjere disperzije

Raspon varijacije

minmax xxR

R

xmax

xmin

- raspon varijacije

- najveća vrijednost numeričkog obilježja

- najmanja vrijednost numeričkog obilježja

Kvartili

Donji kvartil

Negrupirani podaci

4

1

Nr

112 rr

2

211

rr xxQ

r1, r2

N

Q1

xr1, xr2

L1

∑ f1

fQ1

i

- redni brojevi podataka u uređenom nizu

kojima se određuje donji kvartil


- donji kvartil


- donja granica kvartilnog razreda

- zbroj frekvencija do kvartilnog razreda

- frekvencija kvartilnog razreda

- veličina kvartilnog razreda


s razredima)

if

fN

LQQ

1

1

114

Gornji kvartil

Negrupirani podaci

4

31

Nr

112 rr

53

2

213

rr xxQ

r1, r2

N

Q3

xr1, xr2

L1

∑ f1

fQ3

i

- redni brojevi podataka u uređenom nizu

kojima se određuje gornji kvartil


- gornji kvartil


- donja granica kvartilnog razreda

- zbroj frekvencija do kvartilnog razreda

- frekvencija kvartilnog razreda

- veličina kvartilnog razreda


s razredima)

if

fN

LQQ

3

1

134

3

Interkvartil

13 QQIQ

IQ

Q1

Q3

- interkvartil

- donji kvartil

- gornji kvartil

Koeficijent kvartilne devijacije

13

13

QQ

QQVQ

VQ

Q1

Q3

- koeficijent kvartilne devijacije

- donji kvartil

- gornji kvartil

Standardna devijacija

2 σ

μ2

- standardna devijacija

- varijanca ili drugi moment oko sredine

Koeficijent varijacije

100x

V

V

σ

x

- koeficijent varijacije



54

Mjere asimetrije i mjere zaobljenosti

Momenti oko nule

Negrupirani podaci

N

x

m

N

i

k

i

k

1 ,

N

x

m

N

i

i 1

1 , N

x

m

N

i

i 1

2

2 ,

N

x

m

N

i

i 1

3

3 , N

x

m

N

i

i 1

4

4

mk

xi

N

fi

- k-ti moment oko nule, k=0,1,...




n

i

i

n

i

ii

f

xf

m

1

1

3

3 ,

n

i

i

n

i

ii

f

xf

m

1

1

4

4

Grupirani podaci

n

i

i

n

i

k

ii

k

f

xf

m

1

1 ,

n

i

i

n

i

ii

f

xf

m

1

11 ,

n

i

i

n

i

k

ii

f

xf

m

1

1

2

2 ,

Momenti oko sredine

Negrupirani podaci

N

xx

kN

i

i

k

1 ,

N

xxN

i

i

2

1

2

,

N

xxN

i

i

3

1

3

,

N

xxN

i

i

4

1

4

μk

mk

xi

N

x

fi

- k-ti moment oko sredine, k=0,1,...

- k-ti moment oko nule, k=0,1,...





55

Grupirani podaci

n

i

i

kn

i

ii

k

f

xxf

1

1 ,

n

i

i

n

i

ii

f

xxf

1

2

1

2 ,

n

i

i

n

i

ii

f

xxf

1

3

1

3 ,

n

i

i

n

i

ii

f

xxf

1

4

14

10 , 01

Pomoću momenata oko nule 2

122 mm 3

12133 23 mmmm 4

12

2

13144 364 mmmmmm

Koeficijent asimetrije

3

33

α3

μ3

σ

- koeficijent asimetrije

- treći moment oko sredine


Pearsonove mjere asimetrije

MoxSk

1

)(32

MexSk

Sk

x

Mo

Me

σ

- Pearsonova mjera asimetrije


- mod

- medijan


Bowleyjeva mjera asimetrije

13

31 2

QQ

MeQQSkQ

SkQ

Q1

Q3

Me

- Bowleyjeva mjera asimetrije

- donji kvartil

- gornji kvartil

- medijan

56

Koeficijent zaobljenosti

4

44

α4

μ4

σ

- koeficijent zaobljenosti

- četvrti moment oko sredine


KOMBINATORIKA

Permutacije

Bez ponavljanja

!nP

P

P

- permutacije bez ponavljanja

- permutacije s ponavljanjem

S ponavljanjem

!!...!

!

21 krrr

nP

n

r - broj elemenata

- razred

Varijacije

Bez ponavljanja

)!(

!

rn

nV

V

V

n

r

- varijacije bez ponavljanja

- varijacije s ponavljanjem

- broj elemenata

- razred S ponavljanjem

rnV

Kombinacije

Bez ponavljanja

)!(!

!

rnr

n

r

nK

K

K n

r

- kombinacije bez ponavljanja

- kombinacije s ponavljanjem

- broj elemenata

- razred S ponavljanjem

r

rnK

1

57

VJEROJATNOST

Matematička vjerojatnost ili vjerojatnost a priori

n

mAP )(

P(A)

m

n

- vjerojatnost događaja A

- broj povoljnih mogućnosti

- broj svih mogućnosti

Statistička vjerojatnost ili vjerojatnost a posteriori

n

AfAP

)()(

P(A)

f(A)

n


- frekvencija događaja A

- broj izvršenih pokusa

Suprotna vjerojatnost

)(1)( APAQ

Q(A)

- suprotna vjerojatnost

1)()( AQAP

P(A) - vjerojatnost događaja A

Zbrajanje vjerojatnosti – vjerojatnost „ili-ili“ u ekskluzivnom smislu

)()()( BPAPBAP

P(A)

P(B)


- vjerojatnost događaja B

Množenje vjerojatnosti – vjerojatnost „i-i“

)()()( BPAPBAP

P(A)

P(B)



Vjerojatnost barem jedan – vjerojatnost „ili“ u inkluzivnom smislu

)()(1 BQAQP

)()()()()( BPAPBPAPBAP

P(A)

P(B)

Q(A)

Q(B)



- suprotna vjerojatnost događaja A

- suprotna vjerojatnost događaja B

58

Vjerojatnost samo jedan

)()()()( BPAQBQAPP

P(A)

P(B)

Q(A)

Q(B)



- suprotna vjerojatnost događaja A

- suprotna vjerojatnost događaja B

Vjerojatnost događaja koji se ponavljaju

npP 1 npQ )1(

npP )1(12

P1

Q

P2

p

n

- vjerojatnost da događaj nastupi n-puta

- vjerojatnost da događaj n-puta ne nastupi

- vjerojatnost da događaj u n pokusa nastupi

barem jedanput

- vjerojatnost da će se dogoditi neki događaj

- broj ponavljanja (pokusa)

Uvjetna vjerojatnost

)(

)()/(

BP

BAPBAP

)(

)()/(

AP

BAPABP

P(A/B)

P(B/A)

P(A)

P(B)

- vjerojatnost događaja A uz uvjet događaja

B

- vjerojatnost događaja B uz uvjet događaja

A



Totalna vjerojatnost

)/()(...)/()()/()()( 2211 ii BAPBPBAPBPBAPBPAP

P(A)

P(Bi)

- vjerojatnost događaja

A

- vjerojatnost događaja

Bi, i=1, 2,..

Bayesova formula

)/()(

)/()()/(

ii

iii

BAPBP

BAPBPABP

P(A)

P(Bi)


- vjerojatnost događaja Bi, i=1, 2,..

59

TEORIJSKE DISTRIBUCIJE

Binomna distribucija

xnx qpx

nxP

)(

P(x)

- vjerojatnost da slučajna varijabla ima

vrijednost x

pnXxE )(

qpnxV )(

pn

qV

100

qpn

qpn

pq

3

qpn

qp

6134

ppnMoqpn

E(x)

x

n

p

q

V(x)

V

σ

α3

α4

Mo

- matematičko očekivanje

- broj nastupanja događaja A u n pokusa

- broj elemenata u uzorku ili broj pokusa

- vjerojatnost ostvarenja događaja A

- vjerojatnost nenastupanja događaja A

- varijanca





- mod

Poissonova distribucija

ex

xPx

!)(

eP )0(

P(x)

e

- vjerojatnost da slučajna varijabla ima

vrijednost x

- baza prirodnog logaritma, e= 2,7182...

XxE )(

)(xV

100V

13

134

Mo1

E(x)

λ

V(x)

V

σ

α3

α4

Mo

- matematičko očekivanje

- lamda

- varijanca





- mod

60

Normalna ili Gaussova distribucija

2

2

2

)(

2

1)(

xx

exf

f(x)

- funkcija vjerojatnosti tj. gustoća razdiobe

2

2

2

1)(

z

ezf

;

xxz

03

34

x

x

σ

e

π

α3

α4

- tekuća vrijednost slučajne varijable

- aritmetička sredina osnovnog skupa


- baza prirodnog logaritma, e= 2,7182...

- Ludolfov broj (3,14)



METODA UZORAKA

Frakcija izbora

N

nf

f

n

N

- frakcija izbora

- uzorak

- populacija, osnovni skup

Metode procjene

Procjena aritmetičke sredine osnovnog skupa

Interval:

xx

stxXstx

X

x

t

xs


- aritmetička sredina uzorka

- koeficijent pouzdanosti

- standardna greška procjene aritmetičke

sredine

f<0,05

n>30 n

ss

x

n<30 1

n

ss

x

f>0,05

n>30 1

N

nN

n

ss

x

n<30 11

N

nN

n

ss

x

n>50 s

n<50 1

n

ns

s

σ

- procijenjena standardna devijacija

osnovnog skupa


61

Procjena totala osnovnog skupa

Interval:

''''

xxstxXstx

∑X

∑x'

t

'xs

- total osnovnog skupa

- procijenjeni total


- standardna greška procjene totala

xNx'

xxsNs

'

xs


sredine

Procjena proporcije osnovnog skupa

Interval:

pp stpPstp

P

p

t

ps

- proporcija osnovnog skupa

- proporcija uzorka


- standardna greška procjene proporcije

f<0,05

1

n

qps p

f>0,05

11

N

nN

n

qps p

pq 1

62

Testiranje hipoteze (z-test)

Testiranje hipoteze o nepoznatoj sredini osnovnog skupa

00 : XXH

01 : XXH

H0

H1

X

0X

- nul-hipoteza

- alternativna hipoteza


- pretpostavljena aritmetička sredina

osnovnog skupa

xs

xXz

0

z

x

xs

- z-vrijednost

- aritmetička sredina uzorka


sredine osnovnog skupa

Testiranje hipoteze o nepoznatoj proporciji osnovnog skupa

00 : PPH

01 : PPH

H0

H1

P

P0

- nul-hipoteza


- proporcija osnovnog skupa

- pretpostavljena proporcija osnovnog

skupa

ps

pPz

0

z

p

ps

- z-vrijednost

- proporcija uzorka

- standardna greška procjene proporcije

onovnog skupa

Testiranje hipoteze o jednakosti aritmetičkih sredina dvaju osnovnih skupova

210 : XXH

211 : XXH

H0

H1

1X

2X

- nul-hipoteza


- aritmetička sredina prvog osnovnog skupa

- aritmetička sredina drugog osnovnog

skupa

21

21

xxs

xxz

z

1x

2x

21 xxs

- z-vrijednost

- aritmetička sredina uzorka iz prvog

osnovnog skupa

- aritmetička sredina uzorka iz drugog

osnovnog skupa

- standardna greška razlike aritmetičkih

sredina

63

n>30

2

2

2

1

2

1

21 n

s

n

ss

xx

n<30

21

21

11

nnss

xx

221

2

22

2

11

nn

snsns

Testiranje hipoteza o jednakosti proporcija dvaju osnovnih skupova

210 : PPH

211 : PPH

H0

H1

1P

2P

- nul-hipoteza


- proporcija prvog osnovnog skupa

- proporcija drugog osnovnog skupa

21

21

pps

ppz

z

1p

2p

21 pps

- z-vrijednost

- proporcija uzorka iz prvog osnovnog

skupa

- proporcija uzorka iz drugog osnovnog

skupa

- standardna greška razlike proporcija

21

1121 nn

QPs pp

21

21

nn

mmP

PQ 1

P

Q

m1

m2

- prosječna proporcija

- procječna suprotna proporcija

- broj jedinica iz prvog uzorka s nekim

odabranim svojstvom

- broj jedinica iz drugog uzorka s nekim

odabranim svojstvom

HI – KVADRAT TEST

)()(: 00 xFxFH

)()(: 01 xFxFH

H0

H1

F(x)

F0(x)

- nul-hipoteza


- zadana empirijska razdioba

- pretpostavljena teorijska razdioba

n

i i

ii

f

ff

1'

2'

2 )(

2

fi

fi'

- hi-kvadrat test

- empirijske frekvencije, i=1,...,n

- teorijske frekvencije, i=1,...,n

64

)(' xPNf i

)(' zYiN

f i

N

P(x)

i

σ

Y(z)

- ukupan broj jedinica

- vjerojatnost odabrane teorijske distribucije

- veličina razreda (interval između dviju

vrijednosti numeričkog obilježja


- ordinate gustoće jedinične normalne

distribucije

1 nk - uniformna distribucija

2 nk - binomna i Poissonova

3 nk - normalna distribucija

k

n

- stupnjevi slobode

- broj teorijskih frekvencija

KORELACIJSKA I REGRESIJSKA ANALIZA

Linearna korelacija

Jednadžbe pravaca regresije

Jednadžba prvog pravca regresije

xbaYc

XXX

YXXYb

2

XbYa

Yc

a, b

Xi

Yi

- vrijednost prvog pravca regresije

- parametri prvog pravca regresije

- frekvencije jedne pojave, i=1,...,n

- frekvencije druge pojave, i=1,...,n

N

XX

i ,

N

YY

i

X

Y

N

- aritmetička sredina (prosječna vrijednost)

prve pojave

- aritmetička sredina (prosječna vrijednost)

druge pojave

- broj frekvencija u pojavi X ili Y

Jednadžba drugog pravca regresije

ybaXc ''

YYY

XYXYb

2

'

YbXa ''

Xc

a', b

'

- vrijednost drugog pravca regresije

- parametri drugog pravca regresije

65

Pearsonov koeficijent korelacije

22 )()(

)()(

YYXX

YYXXr

ii

ii r

Xi

Yi

- koeficijent korelacije

- frekvencije jedne pojave, i=1,...,n

- frekvencije druge pojave, i=1,...,n

'bbr

b

b'

- parametar u prvoom pravcu regresije

- parametar u drugom pravcu regresije

Analiza varijance

Jednadžba analize varijance

N

YY

N

YY

N

YY cici

222 )()()(

222

npp

N

YYi

2

2)(

N

YYXYbYap

2

N

XYbYaYnp

2

2

σ2

σp2

σnp2

- ukupna varijanca

- protumačena varijanca

- neprotumačena varijanca

Korelacija ranga

Spearmanov koeficijent korelacije ranga

nn

d

r

n

i

i

s

3

1

26

1

rs

di

n

- koeficijent korelacije ranga

- razlika rangova

- broj frekvencija u pojavi X ili Y

yxi rrd

rx

ry

- rang od pojve X

- rang od pojave Y

66

VREMENSKI NIZ

Individualni indeksi

Verižni indeksi

1001

t

tt

Y

YV

Vt

Yt

Yt-1

- verižni indeks

- vrijednost pojave (frekvencija) u tekućem

razdoblju, t=2,3,...,n

- vrijednost pojave (frekvencija) u

prethodnom razdoblju

Bazni indeksi

100b

tt

Y

YI

It

Yt

Yb

- bazni indeks

- vrijednost pojave (frekvencija) u tekućem

razdoblju, t=1,2,...,n

- vrijednost pojave (frekvencija) u baznom

razdoblju

Linearni trend

Ishodište na početku razdoblja

xbaYc

XXX

YXXYb

2

XbYa

Yc

a,b

- vrijednost trenda

- parametri trenda

N

XX

i ,

N

YY

i

N

- broj vremenskih jedinica

Ishodište u sredini razdoblja

xbaYc

2X

XYb

N

Ya

Yc

a,b

- vrijednost trenda

- parametri trenda

67

Bilješke:

Documents

Priručnik iz predmeta S T A T I S T I K A · Dani krediti stanovništvu u 2005. godini (u mil. kn) Banka Stambeni kredit Auto kredit Gotovinski kredit Erste Bank 3 191 365 - Slavonka