Principes de la commande prédictive. Applications sous MATLABacse.pub.ro/.../Principes_de_la_commande_predictive_CV.pdf · 2019-06-04 · Début à la fin des années ’70 (Richalet

Principes de la commande prédictive. Applications sous MATLAB

Cristina Vlad

[email protected]

Ecole d’été francophone CA’NTI 25/2019

mailto:[email protected]

Plan du cours

Introduction

Concepts de la commande prédictive

Commande prédictive sans contraintes

Approche GPC (Commande Prédictive Généralisée)

Approche MPC (Model Predictive Control)

Commande prédictive avec contraintes : Approche MPC (Model Predictive Control)

Conclusion

Quelques références

28/05/2019 2

Plan du cours

Introduction






Conclusion


28/05/2019 3

Introduction

Avantages de la commande prédictive

Facilité de mise en œuvre (bonnes performances et simplicité d’implémentation)

Effet anticipatif : par utilisation explicite de la trajectoire à suivre dans le futur

Méthode systématique de manipulation des contraintes

Technique bien adaptée pour :

commande des systèmes complexes : multivariables (plusieurs entrées – plusieurs sorties),systèmes soumis aux contraintes, systèmes non linéaires, …

problèmes de suivi de trajectoire sans/sous contraintes (entrées, sorties, états), pour lesquelsla trajectoire à suivre est parfaitement connue à l’avance et planifiée

différents objectifs

parmi les commandes avancées les plus utilisées dans le milieu industriel

28/05/2019 4

Introduction Historique : Début à la fin des années ’70 (Richalet et al., Cutler&Ramaker)

Améliorations dans les années ’90 : conditions de faisabilité, de stabilité en boucle fermée

Maturité depuis le début des années 2000 : développements de la commande prédictive robuste(Mayne et al.), solutions explicites, commande prédictive des systèmes hybrides et non-linéaires, applications aux systèmes rapides

2010 : commande prédictive stochastique, distribuée, économique

Applications industrielles : initialement sur des systèmes linéaires et lents

1979 Dynamic Matrix Control (DCM) : applications dans l’industrie pétrolière (raffinerie depétrole)

Plus de 1000 applications répertoriées (Qin&Badgwell’03)

Robots, machines-outils, applications dans l’industrie chimique ou biochimique,aéronautique, thermique, l’industrie du ciment …

Exemple : régulation de vitesse des ascenseurs de la tour Eiffel

surtout pour des systèmes avec une trajectoire à suivre connue à l’avance

28/05/2019 5

Applications

28/05/2019 6

Principe de la commande prédictive

Exemple introductif

Objectif : Minimiser le temps de parcours en suivant le trajet et en évitant lesautres voitures

Contraintes :

Rester sur la piste, pas de dérapage, accélération limité,

éviter les autres voitures

Perturbations : la manque d’attention du chauffeur

Référence : le parcours souhaité

Approche intuitive :

Regarder la route et anticiper les décisions en fonction de :

‒ Conditions de la route

‒ Virages

‒ Caractéristiques de la voiture (puissance, stabilité…)

28/05/2019 7


Exemple introductif

Solution : résoudre un problème d’optimisation afin de minimiser le temps deparcours

Minimiser (temps de parcours) commande calculée en utilisant des

tel que respecter le trajet méthodes d’optimisation

éviter les autres voitures …

o Nécessité : anticiper les évènements possibles (présence d’une autre voiture aprèsun virage )

introduire un retour (feedback) dans la boucle

o Optimisation en temps-réel planification de la route à chaque itération

28/05/2019 8

Utilisation d’un modèle du processus pour la prédiction du comportementdynamique du processus afin d’optimiser le signal de commande

Trajectoire de référence connue et planifiée

Effet anticipatif

Horizon glissant

Prise en compte des contraintes

28/05/2019 9


Optimisation

à base de

modèle

Processus )(tr

référence

)(tu )(ty

commande sortie

mesures

Stratégie de commande prédictive – principe de l’horizon fuyant

28/05/2019 10

Principe de l’horizon fuyant

Horizon de

commande

Horizon de prédiction

FuturePassé

k+1 k+N − 1

Sorties prédites y(k+i)

Entrées prédites u(k+i)

k+1 k+N − 1

k+1 k+N−1

y(k)

u(k)

Horizon de prédiction k+1

Horizon de prédiction k

k

k

r(k+i)

k

r(k+i)

k+Nu − 1

Plan du cours

Introduction


Principes de base

Choix du modèle du processus

Paramètres de réglage





Conclusion


28/05/2019 11

Élaboration de la commande

Choix d’un modèle numérique du processus sur lequel est fondée la prédiction dela sortie

Spécification de la trajectoire que doit suivre la sortie

Formulation d’un critère de performance à partir des objectifs de la commande

Choix des paramètres de réglage

Minimisation d’un critère quadratique à horizon fini élaborant une séquence decommandes futures en boucle ouverte

Application du premier élément de la séquence de commande optimale au système

Répétition à chaque période d’échantillonnage : principe de l’horizon fuyant

structure de commande en boucle fermée

28/05/2019 12


Choix du modèle du processus

Un « bon » modèle = le plus simple possible, mais malgré tout suffisamment significatif etadapté aux besoins, en offrant des prédictions suffisamment précises

une connaissance appropriée du système

Un modèle résultant souvent d’un phase d’identification

Un modèle capable de prédire le comportement du système

Souvent un modèle linéaire

Généralement un modèle à temps discret

Procédure

Modèle initial premier essai de commande prédictive

Modèle retouché nouvelle loi de commande prédictive

Remarque

Simplicité du modèle l’intérêt de l’utilisation en milieu industriel

28/05/2019 13


Fonction de coût

Structure du critère Facteurs de pondérations sur l’erreur de poursuite (Q) sur l’effort de commande (R)

Horizons de prédiction Horizon inférieur (N1) de prédiction sur la sortie Horizon supérieur (N2) de prédiction sur la sortie Horizon de prédiction sur la commande (Nu)

Choix de la période d’échantillonnage

Remarque

MIMO : généralement les mêmes horizons de prédiction sur toutes les sorties, ainsique les mêmes horizons de commande

28/05/2019 14


1ou / 11 NTdN e

er TtN /2

uu NN ou 1

IQ

1

0

22

)()()(ˆ2

1

uN

iR

N

NiQr ikuikykikyJ

Plan du cours

Introduction




Modèle CARIMA (Controlled AutoRegressive Integrated Moving Average)

Structure du prédicteur optimal

Minimisation du critère pour l’élaboration de la loi de commande

Structure polynomiale RST équivalente

Tableau récapitulatif

Exemple



Conclusion


28/05/2019 15

Approche GPC

Modèle numérique : système SISO

Définition du modèle sous forme CARIMA (Controlled AutoRegressive IntegratedMoving Average)

Cette structure apporte un terme intégrateur dans la loi de commande et garantitl’annulation de toute erreur statique vis à vis de consigne ou de perturbation constante

28/05/2019 16

)(

)()()1()()()(

1

111

q

kqCkuqBkyqA

onperturbati de polynôme )(

centré blancbruit )(

temporelretardopérateur , 1)(

)(

1)( : avec

1

111

2

2

1

10

1

2

2

1

1

1

qC

k

qqq

qbqbqbbqB

qaqaqaqA

b

b

a

a

n

n

n

n

Approche GPC

Structure du prédicteur optimal

Prédiction de la sortie à l’instant i :

Apres avoir mis en évidence les valeurs futures et passés :

réponse libre réponse forcée

Les polynômes inconnus sont solutions d’équations diophantiennes pouvant êtrerésolues récursivement :

28/05/2019 17

)()()1()( )1()(

)()(

)(

)()( 11

1

1

1

1

ikqJikuqGkuqC

qHky

qC

qFkiky ii

ii

)()()()()(

)()()()()(11111

11111

qJqBqHqqGqC

qCqFqqJqAq

ii

i

i

i

i

i

1 1( ) ( )( ) ( 1) ( )

1 1 1( ) ( ) ( )

B q C qy k i u k i k i

A q A q q

Approche GPC

Forme matricielle de l’équation de prédiction

r

28/05/2019 18

1 1

réponse libre

1 1ˆ ( ) ( 1)

( ) ( )y Gu F Hy k u k

C q C q

1 1

1 1

1 1

1 1

2 2 2

2 2 2

1

1 1

1

1 1

G

u

N N

N N

N N

N N

N N N

N N N N

g g

g g

g g g

1 11

1 1

( ) ( )ˆ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1)

( ) ( ) i i

i

F q H qy k i k y k u k G q u k i

C q C q

Les coefficients de la matrice G

sont les coefficients de la

réponse indicielle du modèle.

1 2

1 2

1 1

1 1

1 2

1 2

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( 1)

ˆ ˆ ˆ( ) ( )

( ) ( )

T

N N

T

N N

Tu

T

Tr r r

F q F q

H q H q

u k u k N

y k N y k N

y k N y k N

F

H

u

y

y

Approche GPC


Forme matricielle du critère


Séquence de commandes optimales

Commande appliquée au système à l’instant k

28/05/2019 19

opt 1 1

1 1 ( ) ( 1)

( ) ( )u N F H yry k u k

C q C q

T

T

1

T1T

u

u

N

N

n

n

GIGGN

T1 1 1

1 1( ) ( 1) n ( ) ( 1)

( ) ( )r F H yopt opt optu k u k y k u k

C q C q

0~

u

J

opt

( )

( 1)

opt

opt u

u k

u k N

u

1 1

1 1( ) ( 1)

( ) ( )rM Gu F H yy k u k

C q C q T T( )u M M u uJ

2

1

2 2

1

ˆ( ( ) ( )) ( ( 1)) , avec , uNN

ri N i

J y k i y k i u k i Q I R

sous l’hypothèse

avec

avec

( ) 0 pour uu k i i N

Approche GPC

Mise en œuvre : Régulateur polynomial équivalent

Equation aux différences pour l’implantation de la loi de commande

Par rapport à une structure RST classique, le polynôme T est ici non causal

Reformulation avec un polynôme T causal :

Loi de commande :

28/05/2019 20

+

+

+

-

yr(k)

u(k) y(k)

)(

11

zS

)(

11 zBz

)(

11

zA

Régulateur

polynomial

équivalent

)(zT

)( 1zR

1 2

1 1 T 11

1 T1

T1 T

1

( ) ( ) n

( ) n

( ) ( )n

H

F

N N

S z C z z

R z

T z C z z z

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )rS z z u k R z y k T z y k

2 1 2 1T11 1 T

1( ) ( )n 1N N N N

T z C z z z

)()()()()()()( 2

1111 NkyzTkyzRkuzzS r

Approche GPC


Programmation hors ligne

Définition de la consigne (stockage point par point)

Choix d’une période d’échantillonnage et définition des polynômes A et B du modèle

CARIMA (par identification préalable si nécessaire)

Choix des paramètres de réglage de la fonction de coût

Calcul des prédicteurs optimaux par résolution des équations diophantiennes

Synthèse des polynômes R, S et T du régulateur équivalent

Boucle temps réel

Acquisition de la sortie

Calcul de la commande par équation aux différences

Envoi de la commande

28/05/2019 21

Boucle temps réel très

rapide (moins de 200 ms)

Approche GPC

Cas 1 : commande GPC d’un moteur asynchrone

Le transfert entre le couple et la vitesse identifié pour une période

d’échantillonnage de 5ms

Paramètres de réglage GPC :

28/05/2019 22

m m

21

21

02,098,01

024,3344,1

)(

)(

zz

zz

k

k

m

m

200,1,8,121

u

NNN

8765

432

11

211

01010008700073000590

00460003200018000040)(

734201)(

00490237102840)(

z,z, z,z,

z,z, z,z,zT

z,zS

z,z,, zR

Approche GPC

Exemple : commande GPC d’un moteur asynchrone

Simulation sous MATLAB : échelon unitaire de consigne sans aucune perturbation

Réponse indicielle Commande

28/05/2019 23

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Temps (s)

Rép

onse

tem

pore

lle

y

MPC0

Consigne yr

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.01

0.02

0.03

0.04

Temps (s)

Com

man

de

u

MPC0

Plan du cours

Introduction





Modèle sous forme d’état

Prédiction de la sortie



Exemples


Conclusion


28/05/2019 24

Approche MPC

Modèle sous forme d’état : système MIMO (m entrées, p sorties)

Modèle linéaire à temps invariant

Ajout d’une action intégrale pour annuler les erreurs statiques

Représentation d’état étendue :

28/05/2019 25

1 1 1( 1) ( ) ( ), où ,B ,C ,x ,u , y

( ) ( )

x A x Bu A R R R R R R

y Cx

n n n m p n n m pk k k

k k

( ) ( 1) ( )u u uk k k

( 1) ( ) ( )

( ) ( )

x A x B u

y C x

e e e e

e e

k k k

k k

mpe

m

e

mnm

eek

kk ,

,

,,,)1(

)()(où 0CC

I

BB

I0

BAA

u

xx

Approche MPC

Prédiction de la sortie

Fonction de coût quadratique

minimisation du critère pour l’élaboration de la loi de commande

28/05/2019 26

1

0

)(

0

1 )()1()()(ˆ)(ˆi

j

jk

j

l

jii lkkkkikik

u

uuBACxACyy

2

1

12 2

Q( ) R( )0

ˆ ( ) ( ) ( )y y uuNN

r i ii N i

J k i k i k i

npondératio de facteurs,

commande lasur prédiction dehorizon

supérieur prédiction dehorizon

inférieur prédiction dehorizon

2

1

RQ

N

N

N

u

Approche MPC


avec

et

28/05/2019 27

2222)()()()()()(

RQRQUΘUΦUYY kkkkkkJ r

)1()(ˆ)()(

)()1()(ˆ)(

kkkk

kkkk

r uΦxΨYΘ

UΦuΦxΨY

)(kU

)()()( 1 kk JJJ ΘQΦΦQΦRUTT

i

j

ji

i

NNNNNNN

N

N

N

N

N

u

0

11

01

1

1

,

00

,,

212122

1

2

1

2

1

BACΣ

ΣΣΣΣ

ΣΣ

Φ

Σ

Σ

Φ

CA

CA

Ψ

,

)1(

)(

)(,

)(

)(

)(,

)(ˆ

)(ˆ

)(

2

1

2

1

ur

r

r

Nk

k

k

Nk

Nk

k

Nk

Nk

k

u

u

U

y

y

Y

y

y

Y ))((

))((

idiag

idiag

J

J

QQ

RR

0)(

k

J

UCommandes futures

Etat étendu et

consignes futures

Approche MPC

Loi de commande

Séquence de commandes futures obtenue par minimisation du critère J

Par application du principe de l’horizon fuyant, seule la première valeur de cette

séquence est appliquée au système

28/05/2019 28

JJJNmmm u

QΦΦQΦR0IμTT

1

)1(, )(,

)(ky

0C

BA)( 2Nkr y )(ku )(ku

)(kex

Modèle étendu

L

)(kFry

rF

)()()( 2 kNkk err LxyFu μΦμΨLLL 21avec

)1(

2

1

)(

12,

,

NNpmmm

nmmnm

RμRL

RLRL

Approche MPC


Définition de la consigne

Choix du modèle sous la forme d’une représentation d’état (matrices A, B, C), choix

d’une période d’échantillonnage

Choix des paramètres de réglage de la fonction de coût

Calcul direct des matrices nécessaires pour la mise sous forme matricielle du critère J

Dans le cas où l’état est mesurable, synthèse de la matrice L (« retour d’état ») du

correcteur équivalent

28/05/2019 29

Approche MPC Exemple : Commande MPC de la bicyclette (Astrom et al., IEEE CSM 2015)

Modèle non-linéaire

Modèle linéarisé

avec :

28/05/2019 30

2 2

2sin

d g aV d V

h bh dt bhdt

2

sin( )d d aV g V

dt dt bh h bh

1 1

22 21

0 1

cos 0

aV

x x bhg

x xx Vh

bh

1

2

xx d aV

xdt bh

1y x

Approche MPC

Exemple : Commande MPC de la bicyclette (Astrom et al., IEEE CSM 2015)

Fonction de transfert E/S

système instable en boucle ouverte

Synthèse MPC

Système discrétisé avec Te = 0,1s

Paramètres de réglage MPC

28/05/2019 31

2

( )

( )

Vs

s V a ags bh

sh

1 21 , 10

1 , 10 000

u

N N

N λ

Approche MPC

Réponse à une consigne d’angle d’inclinaison de 10° (situation improbable …)

Pas de saturation de commande

Angle d’inclinaison Angle de braquage

28/05/2019 32

Approche MPC

Réponse à une perturbation de 10° sur l’angle d’inclinaison (coup de vent)

Pas de saturation de commande


28/05/2019 33

Approche MPC


Saturation de la commande à 5°


28/05/2019 34

Plan du cours

Introduction






Formulation du problème d’optimisation

Exemple

Conclusion


28/05/2019 35

Approche MPC avec contraintes Fonction de coût quadratique

coût terminal

Séquence de commande

Système étendu Prédicteur

Contraintes

incrément de la commande :

commande :

sortie :

état final (contraintes terminales) :

28/05/2019 36

1

, , , , ,0

ˆ ˆ( , ) (( ) ( ) )u Q RN

T T Te k k e k N e k N k i r k i k i r k i k i k i

i

J x x x y y y y u u

P

)()(

)()()1(

kxky

kukxkx

ee

eeee

C

BA

NNN 21 ,0,

1:0 , )()( umaxmin NiuikuuUiku

1:0, )()( umaxmin NiuikuuUiku

1:0, )()( NiyikyyYiky maxmin

i

fe

i

ffe bNkxaXNkx )()(

11

0

ˆ ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ( ) ( )

A A B

C

ii i j

e e e ej

e e

x k i k x k u k i

y k i k x k i k

TNkkkk uuu 11 ,,, u

Approche MPC avec contraintes

Formulation matricielle de la fonction de coût

avec

28/05/2019 37

, , , , ,

1( , )

2u u u y u

T T T T T Te k k k k e k x r k w k e k P e k JJ x x x x

H F F P R

2( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )

2( ) ( ) ( ) ( 1)

2 ( )

( )

Q R y Qy y Q

Q y

Q Q

Q R

T T T TN N J r r r e

TT T Tx N N r r r

Tw

T Tp N N

k k k x k

k y k y k N

diag Q

diag R

H λ Pλ Γ Γ R Φ

F Pλ Φ Γ

F Γ

P Φ Φ Pλ


Formulation matricielle de la fonction de coût

Equation du prédicteur :

28/05/2019 38

u

e

i

j

ji

ee

i

ee

Niiku

Niikukxkiky

BACAC

,0)( avec

1:0),()()(ˆ1

0

1

ku

k

u

e

NN

eee

N

ee

eeeee

ee

e

N

ee

ee

e

Nku

ku

kx

kNky

kky

kky

u

y

)1(

)(0

000

)(

)1(ˆ

)1(ˆ

)(ˆ

12

1

ˆ

Γ

ΦBACBAC

BCBAC

BC

AC

AC

C

kek kx uy ΓΦ )(ˆ

)1(

)(

)()(ˆ1

u

e

NN

ee

N

ee

N

ee

Nku

ku

kxkNkx

N

u

N

λ

BABAA

kNeNe kxNkx u λ)()(ˆ


Solution en absence des contraintes :

Problème d’optimisation avec contraintes :

Contraintes sur l’incrément Δu(k+i)

28/05/2019 39

))()(())(( 1 kkxkx rwexe

opt

SC yu FFH 0

k

J

u

)( àsujet

)),((minarg))((,

kx

kxJkx

ek

keeoptkk

EWG

u

uuu

max

max max

minmin

min

1 0 0

0

0

( ) 0 0 1

1 0 0( )

0

0

0 0 1

uk

u

u k i u u

uu k i u

u


Problème d’optimisation avec contraintes :

Contraintes sur u(k+i), i = 0 : Nu − 1

Contraintes sur la sortie :

Contraintes sur l’état final :

28/05/2019 40

)(10)1(

)()1()();(

10

1

1

10

111

0

11

001

111

0

11

001

)(

)(

1

0

1

1

min

min

max

max

min

max

kxku

jkukuikukx

u

u

u

u

uiku

uiku

en

i

je

n

n

k u

)()(ˆ

)(ˆ

min

max

min

maxkx

kx

kxek

kek

kek

Φ

Φ

Γ

Γ

ΓΦ

ΓΦ

y

yu

yuy

yuy

)()()(

)(kxaba

kxNkx

bNkxaeN

i

f

i

fkN

i

f

kNeNe

i

fe

i

f

u

uλ

λ

)( àsujet

)),((minarg))((,

kx

kxJkx

ek

keeoptkk

EWG

u

uuu

Exemple : Commande MPC de la bicyclette (Astrom et al., IEEE CSM 2015) Contraintes sur la commande , paramètres de réglage N1 = 1, N2 = 10, Nu = 1, λ = 10 000



28/05/2019 41

5)( ku


Exemple : Commande MPC de la bicyclette (Astrom et al., IEEE CSM 2015) Contraintes sur la commande , paramètres de réglage N1 = 1, N2 = 10, Nu = 2, λ = 10 000



28/05/2019 42

5)( ku


saturation

optimisation

en ligne

Plan du cours

Introduction






Conclusion


28/05/2019 43

Conclusion

Commande prédictive : beaucoup utilisée dans l’industrie

Etapes à suivre en vue de l’élaboration d’un commande prédictive

choix du modèle sur lequel est basée la prédiction de la sortie

spécification de la trajectoire que doit suivre la sortie

minimisation d’un critère quadratique à horizon fini élaborant une séquence de commandes

futures

application du premier élément de la séquence de commande au système et au modèle et

réitération à l’instant suivant

Application possible à plusieurs classes de systèmes (SISO, MIMO, systèmes avec contraintes)

Approche polynomiale (GPC) Commande RST équivalente

Approche d’état (MPC) Commande par « retour d’état »

Atout : prise en compte des contraintes directement dans la synthèse

28/05/2019 44

Plan du cours

Introduction






Conclusion


28/05/2019 45

P. Boucher, D. Dumur, “La commande prédictive”, Collection Méthodes et pratiques de l’ingénieur,Editions Technip, Paris, 1996.

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28/05/2019 46


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Principes de la commande prédictive. Applications sous MATLABacse.pub.ro/.../Principes_de_la_commande_predictive_CV.pdf · 2019-06-04 · Début à la fin des années ’70 (Richalet