Primjeri ploha u prostoru 3

Rotacioni paraboloid

2 2z x y

Eliptički paraboloid

2 2

2 22

a b

x ypz

Parametarske jednadžbe

cosx au t

siny bu t

21

2 pz u

Hiperbolički paraboloid

2 2

2 22

a b

x ypz

Parametarske jednadžbe

chx au t

shy bu t

21

2 pz u

Jednoplohni hiperboloid je pravčasta ploha. To znači da kroz svaku točku na

hiperboloidu prolazi pravac koji je čitav u njemu sadržan (štoviše dva takva

pravca).

Elipsoid

2 2 2

2 2 21

a b c

x y z

Parametarske jednadžbe

sin cosx a u t

sin siny b u t

cosz c u

Jednoplohni hiperboloid

2 2 2

2 2 21

a b c

x y z

Parametarske jednadžbe

ch cosx a u t

ch siny b u t

shz c u

Dvoplohni hiperboloid

2 2 2

2 2 21

a b c

x y z

Parametarske jednadžbe

sh cosx a u t

sh siny b u t

chz c u

Sijecanjem rotacionog konusa (sa a b ) ravninama možemo dobiti sve krivulje

drugog reda. Zato se krivulje drugog reda ponekad nazivaju „čunjosječnice“

(konus = čunj).

Elipsa Parabola Hiperbola

Cilindri drugog reda

Konus drugog reda

2 2 2

2 2 20

z

a b c

x y

Parametarske jednadžbe

cosx au t

siny bu t

z cu

Eliptički cilindar

2 2

2 21

a b

x y

Parametarske jednadžbe

cosx a t

siny b t

z u

Parabolički cilindar

2 2y px

Parametarske jednadžbe

21

2x t

p

y t

z u

Hiperbolički cilindar

2 2

2 21

a b

x y

Parametarske jednadžbe

chx a t

shy b t

z u

Torus

(je algebarska ploha četvrtog reda)

2

2 2 2 2 2 2 2 24 0x y z a b a b z

Parametarske jednadžbe

cos cosx a b u t

cos siny a b u t

sinz b u

Jos nekoliko primjera ploha

(grafovi dobiveni programom Mathematica)

Graf funkcije:

2 2

1,

1x yf

x y

za 1,1 , 1,1x y

Graf funkcije:

2 3 4,x yf x x y

za 1,1 , 1,1x y

Helikloid

(je transcendentna ploha,tj. ne

može se dobiti kao skup nultočaka

polinoma u tri varijable)

tg 0z

y xc

Parametarske jednadžbe

cosx u t

siny u t

z ct

Graf funkcije:

, sin sinx yf y x

za 3,3 , 3,3x y

Graf funkcije:

2 2

5,f x y

x y

za 5,5 , 5,5x y

Graf funkcije:

,xy

f x yx y

za

20,20 , 20,20x y