Embed Size (px)
Citation preview
P - 463
Primjena običnih diferencijalnih jednadžbi – modeliranje i
vizualizacija
Ivo Baras
Sveučilište u Splitu, Sveučilišni odjel za stručne studije; Split, Republika Hrvatska
Renata Kožul Blaževski
Sveučilište u Splitu, Sveučilišni odjel za stručne studije; Split, Republika Hrvatska
Nada Roguljić
Sveučilište u Splitu, Sveučilišni odjel za stručne studije; Split, Republika Hrvatska
Sažetak. Obične diferencijalne jednadžbe neizostavan su sadržaj temeljne matematičke
edukacije na tehničkim studijima. Kako bi se ukazalo na važnost diferencijalnih jednadžbi u
prirodnim i tehničkim znanostima bitno je studente upoznati s mogućnošću modeliranja
diferencijalnim jednadžbama. Koncept modeliranja dodatno se može približiti studentima na
način da se modeli računalno vizualiziraju korištenjem različitih programskih paketa. Takav
pristup u radu je ilustriran na primjeru harmonijskog oscilatora i problemu monitoringa
zagađenja, a kao programski paket korištena je Wolfram Mathematica. Pokazano je kako se
korištenjem računalne vizualizacije može provesti provjera, diskusija i poopćavanje rezultata.
Dobiveni osnovni modeli su zatim korišteni za opisivanje složenijih situacija. Ovakav način
rada ne samo da pobuđuje dodatni interes studenata već i upućuje studente na korištenje
matematičkih alata i programiranja.
Ključne riječi: diferencijalne jednadžbe, modeliranje, Wolfram Mathematica, harmonijski oscilator,
monitoring zagađenja.
1. Uvod
"Matematičar ne proučava matematiku zato što je korisna; proučava je zato što u njoj uživa, a
uživa u njoj zato što je lijepa", zapisao je poznati matematičar Henri Poincare. Podučavajući
studente tehničkih studija, koji najčešće ne dijele istu estetsku fascinaciju, matematičar se
međutim suočava s drugačijim izazovom: on mora matematiku učiniti zanimljivom upravo na
način da pokaže njenu korisnost.
Prva nastavna cjelina kolegija Primijenjena i numerička matematika, kojeg slušaju studenti
prve i druge godine tehničkih studija Odjela za stručne studije, posvećena je osnovnim
tipovima običnih diferencijalnih jednadžbi i primjeni Laplaceove transformacije.
Diferencijalne jednadžbe predstavljaju važno oruđe u tehničkim znanostima i fizici pa je
uobičajeno da se jedan termin predavanja pri kraju cjeline posveti primjerima pojava iz
stvarnog života u čijem matematičkom modeliranju se one koriste (kretanje pod utjecajem sile
teže, Newtonov zakon hlađenja, populacijska dinamika, harmonijski oscilator i sl.). Iskustvo
predavača kolegija međutim pokazuje da studenti nisu osobito zainteresirani za ove primjere i
to predavanje često doživljavaju kao digresiju, predah između “zaista važnih” dijelova
kolegija, onih koji će im omogućiti polaganje ispita i osvajanje pripadnih ECTS bodova.
P - 464
Logički gledano, takva reakcija studenata je paradoksalna, jer se nalaze na pragu usvajanja
moćnog alata čijom se primjenom na jednostavan način opisuje većina fizikalnih pojava koju
su do tada učili i izvodi većina fizikalnih formula koju će ikada u praksi trebati. S druge
strane, takva reakcija može začuditi samo onoga tko baš ništa ne zna o sustavu školovanja u
Republici Hrvatskoj, koji učenje činjenica uglavnom pretpostavlja njihovom samostalnom
propitivanju i suvislom povezivanju. U takvom okruženju nisu na cijeni inicijativa,
kreativnost i znatiželja pa se učenici zarana nauče ponašati prema očekivanjima autoriteta.
Kako bi se promijenilo pristup, u primjerima primjene diferencijalnih jednadžbi je iskorišten
programski paket Wolfram Mathematica, sa sljedećim ciljevima:
1. Na zanimljiv, vizualno atraktivan i interaktivan način ilustrirati primjenu
diferencijalnih jednadžbi.
2. Potaknuti postavljanje pitanja i diskusiju te korištenjem računalne simulacije modela
provjeriti rezultate.
3. Poopćavanjem rezultata na neke složenije situacije pokazati kako i jednostavni
modeli mogu biti relevantni za praksu.
4. Koristeći zanimanje za računala zainteresirati studente za matematičko i računalno
modeliranje.
Wolfram Mathematica (u daljem tekstu WM) je programski paket koji je razvila kompanija
Wolfram Research. Prva mu je verzija izdana 1998., a od tada je postao jedan od
najnaprednijih i najkorištenijih softvera za upotrebu u tehničkim i znanstvenim područjima, a
posebno u matematici i fizici. Pored mogućnosti simboličkog i numeričkog računanja, snaga
mu je strukturiranost i velika prilagodljivost pa služi kao podloga brojnim aplikacijama. Zbog
lakoće kojom se računanja provode moguće je lako napraviti korak od korištenja osnovnih
modela ka modeliranju složenijih i specijalnih slučaja. Također, interaktivno sučelje novih
programa omogućava nam da na elegantan način problem vizualiziramo, mijenjamo
parametre i promatramo ishode u animaciji. Treba međutim naglasiti da je WM samo jedan od
popularnih programskih paketa integriranih u radno okruženje (drugi takvi programi su
Matlab, Maple, Sage, itd). Autori su sticajem okolnosti koristili baš programski paket WM i
nemaju osobnog interesa u njegovom propagiranju.
Kako bi se ilustriralo izrečeno, u nastavku su pomoću WM modelirana dva tipična primjera
primjene diferencijalnih jednadžbi. Iako WM naredba DSolve analitički rješava Cauchyjev
problem većine običnih diferencijalnih jednadžbi iz primjene, zbog brzine računanja je katkad
korištena Laplaceova transformacija [1] (WM naredbe LaplaceTransform i
InverseLaplaceTransform). Ukoliko je Cauchyjev problem teško ili nemoguće riješiti
analitički, na raspolaganju stoji WM naredba NDSolve, koja ga rješava numerički. Treba
spomenuti i vrlo zgodnu naredbu Manipulate, koja omogućava interaktivnost u mijenjanju
parametara modela [7].
2. Harmonijski oscilator
Sustav (Slika 1.) se sastoji od elastične opruge čiji je jedan kraj nepomičan, a drugi pričvršćen
za tijelo mase m . Neka je 0k konstanta elastičnosti opruge. Pomicanjem tijela iz
ravnotežnog položaja, zbog rastezanja ili sabijanja opruge, na tijelo počinje djelovati
elastična sila, proporcionalna veličini pomaka, koja uzrokuje titraje (oscilacije) oko
ravnotežnog položaja. Označimo pomak u trenutku t sa tx .
Analizom oscilacija sustava u sredstvu bez otpora (tzv. slobodno titranje), uz zanemarivanje
svih drugih mogućih utjecaja, kao npr. mase opruge, dimenzija utega te svih drugih sila koje
bi u prirodi mogle djelovati na sustav, dobiva se da funkcija pomaka tx zadovoljava
P - 465
diferencijalnu jednadžbu 0)()( tkxtxm . Ako se gibanje tijela odvija u sredstvu u kojem je
otpor proporcionalan brzini (tzv. prigušeno titranje), funkcija pomaka tx zadovoljava
diferencijalnu jednadžbu 0)()()( tkxtxtxm , gdje 0 predstavlja koeficijent otpora
sredstva (konstantu prigušenja). Ukoliko na tijelo djeluje još i vanjska sila tF , proizvodeći
efekt tzv. prisilnog titranja, pomak tx se opisuje diferencijalnom jednadžbom
)()()()( tFtkxtxtxm .
Slika 1 Harmonijski oscilator
Matematički, radi se o linearnim diferencijalnim jednadžbama drugog reda s konstantnim
koeficijentima. Kako bi se gibanje opisalo u potpunosti potrebno je navesti i početne uvjete.
Ako je u trenutku 0t tijelo bilo u točki 0x , prvi početni uvjet glasi 00 xx . Ukoliko je u
trenutku 0t mirovalo, drugi početni uvjet glasi 00 x , a ako se kretalo brzinom 0v ,
00 vx . Diferencijalna jednadžba s zadanim početnim uvjetima predstavlja početni
(Cauchyjev) problem, čije rješenje je jednadžba gibanja tijela [6].
WM program primjenjiv na sva tri slučaja harmonijskog oscilatora dan je na Slici 2.
Kako bi se mogli razmatrati različiti slučajevi, program prvo traži unos vrijednosti početnog
pomaka 0x i početne brzine 0v , te funkcije tF . Nakon što odredi funkciju pomaka tx ,
program računa brzinu tv i ubrzanje ta tijela koje titra, te kao dodatnu opciju, iscrtava
grafove sve tri funkcije. Radi lakšeg pregleda, sustav harmonijskog oscilatora je okrenut
vertikalno, a graf s desne strane predstavlja funkciju txt . Za unesene 30 x , 00 v ,
0)( tF , rezultat naredbe prikazan je na Slici 3, a za 20 x , 10 v , ttF sin)( , rezultat
naredbe na Slici 4. Klizači za varijable ,,, kmt omogućavaju da se u danim granicama
vrijednosti tih varijabli mijenjaju i može se promatrati ponašanje harmonijskog oscilatora u
promijenjenim uvjetima.
Korištenje računalnog modela omogućava i da se napravi korak dalje. Novi programski paketi
opremljeni gotovim alatima numeričke matematike bitno pojednostavljuju matematički dio
posla i omogućuju da se umjesto na matematičke tehnike koncentrira na fizikalno interesantna
pitanja. Prednost toga nije samo u jednostavnijem modeliranju manje uobičajenih situacija,
već i u količini sačuvane energije koju pojedinac (student, nastavnik, istraživač) ne mora
utrošiti da se bi bavio čisto matematičkim aspektima problema. Novostečena sloboda može se
P - 466
iskoristiti za postavljanje kreativnih i maštovitih pitanja koja će produbiti razumijevanje
problema, a možda i otvoriti nove teme. Npr: što ako konstante u sustavu prestanu biti
konstantne? Što ako se promatra model s utegom promjenjive mase (npr. uslijed
sagorijevanja ili taljenja), ili s promjenjivom konstantom elastičnosti (npr. zbog slabljenja
opruge), ili sa sredstvom čiji otpor nije u svakoj točki jednak? Što ako je pobuđujuća sila
diskontinuirana, npr. pulsna, što ako ona nije uvjetovana samo vremenski, već i prostorno?
Modeli takvih situacija mogu predstavljati ozbiljne matematičke probleme koje je teško ili
čak nemoguće riješiti analitički.
Slika 2 WM program za modeliranje harmonijskog oscilatora
Slika 3 WM simulacija prigušenih oscilacija Slika 4 WM simulacija prisilnih oscilacija
x0 3, v0 0
t
m
5
k
8
1
pomak , brzina , akceleracija
5 5 10 15 20 25 30
6
4
2
2
4
funkcija pobude F t 0
x0 2, v0 1
t
m
3.6
k
1
0.34
pomak , brzina , akceleracija
5 5 10 15 20 25 30
6
4
2
2
4
funkcija pobude F t Sin t
P - 467
2.1 Problem pulsirajuće sile
Neka harmonijski oscilator sa Slike 1 miruje u ravnotežnom položaju. Nakon 5 jedinica
vremena na njega djeluje snažan, ali kratkotrajan puls, koji se smiri nakon 0.1 jedinice
vremena. Kako izgleda jednadžba gibanja na taj način pobuđenog oscilatora?
Neka je sila u modelu dana sa
1.5,0
1.55,50
5,0
x
x
x
tF .
Ovaj je problem zanimljiv zbog diskontinuiranosti pobuđujuće sile i zato je u WM modelu
korištena Laplaceova transformacija (Slika 5.). Ukoliko nema prigušenja sustav nastavlja
slobodno titrati (Slika 6.).
Slika 5 WM naredba za modeliranje prisilnih oscilacija, slučaj pulsnog udara
Slika 6 WM model prisilnih oscilacija, slučaj pulsnog udara
2.2 Problem mase koja “nestaje”
Ako se zamisli slučaj titranja harmonijskog oscilatora sa Slike 1, čiji je uteg načinjen npr. od
leda mase m , i uslijed taljenja u toku gibanja postaje sve “lakši“. Jednostavnosti radi neka je
gubitak mase linearan, tako da tijelo u toku 30 jedinica vremena izgubi svu masu (npr.
t
m
k
10 20 30 40 50
6
4
2
2
4
P - 468
potpuno se rastali). Jednadžba gibanja tada glasi 0)()(30
1
tkxtxtx
tm . Neka su
dani početni uvjeti 30 x , 10 x . WM program dan je na Slici 7., a model na Slici 8.
Iščeznućem utega gibanje se, očekivano, zaustavlja.
Kad bi se promatralo slobodno titranje harmonijskog oscilatora uz linearni gubitak mase do
njenog nestanka iz sustava (potpunog rastaljenja ili rasipanja utega) u stotoj jedinici vremena i
uz početne uvjete 10 x , 00 x , graf funkcije tx bi izgledao kao na Slici 9.
Slika 7 WM program za modeliranje mase koja “nestaje”
Slika 8 WM model mase koja “nestaje”
t
m
5.38
k
5.22
0
5 5 10 15 20 25 30
6
4
2
2
4
P - 469
Slika 9 – Titranje mase koja “nestaje” u 100 – toj jedinici vremena
2.3 Problem prostorno i vremenski promjenjive sile
U ovoj varijanti prisilnih titraja na tijelo mase 1m (Slika 1.) djeluje elastična sila opruge
konstante elastičnosti 1k u sredstvu konstante otpora 05.0 i uz početne uvjete 10 x
, 30 x . Funkcija koja vrši prisilu je oblika
1,0
1,sin6,
tx
txttxtF , što znači da je
uvjetovana i prostorno, a ne samo vremenski. Ovaj je problem potrebno rješavati numerički
pa ga modeliramo WM naredbom NDSolve (Slika 10.). Rezultirajuće gibanje spoj je
periodičkog i kaotičnog gibanja (Slika 11.) i primjer je jednostavnog načina generiranja
nepravilnog šuma niskog intenziteta koji može poslužiti za ispitivanje čvrstoće materijala [2].
Slika 10 WM program za modeliranje prostorno i vremenski ovisne sile pobude
Slika 11 WM model prostorno i vremenski ovisne sile pobude
20 40 60 80 100
1.0
0.5
0.5
1.0
t
10 20 30 40 50
6
4
2
2
4
P - 470
2.4 Problem složenijeg harmonijskog gibanja
Sustav se sastoji od dvaju tijela masa 1m i 2m (slika 12). Koeficijenti elastičnosti
opruga su redom 1k , 2k i 3k . U trenutku 0t masa 1m se pusti u gibanje iz točke 1x u
sredstvu bez otpora. Treba ispitati ponašanje sustava za 0t .
Ukoliko se horizontalni pomaci masa 1m i 2m označe sa tx1 i tx2 , matematički
model je sljedeći početni problem [3]:
00,00,00,10
0
0
2211
2122322
2121111
xxxx
txtxktxktxm
txtxktxktxm
WM program koji će ga simulirati na prvi je pogled dugačak i jako složen (Slika 13.),
ali to je samo privid jer je računski dio sadržan u prvih pet linija, dok se ostatak koda
uglavnom sastoji od zadavanja grafičkih elemenata za sliku (Slika 14.). Klizačima se mogu
varirati mase tijela i konstante opruga. Grafikoni s desne strane predstavljaju redom grafove
funkcija pomaka tx1 i tx2 .
Slika 12 Problem složenijeg harmonijskog gibanja
Slika 13 WM program za problem složenijeg harmonijskog gibanja
P - 471
Slika 14 WM model složenijeg harmonijskog gibanja
3. Monitoring zagađenja
Zagađenje okoliša jedan je od osnovnih problema današnjice. Razvijanje svijesti o tom
problemu i njegovim implikacijama mogla bi biti ključna za budućnost čovječanstva. Da bi se
uspješno monitoriralo zagađenje zraka i vode razvijeni su brojni modeli od kojih su neki vrlo
složeni. Slijedi jednostavni model, zasnovan na običnim diferencijalnim jednadžbama.
Pretpostavimo da promatramo vodenu masu (bazen, rezervoar, ribnjak, jezero, zaljev,
more) volumena tV u kojem je prisutan kontaminant čija je prosječna koncentracija u vodi
prikazana kao funkcija vremena tC . Neka postoji n pritoka, kapaciteta
tQtQtQ nuuu ,2,1, ,,, i koncentracija kontaminanta tCtCtC nuuu ,2,1, ,,, , te m odliva,
kapaciteta tQtQtQ miii ,2,1, ,,, i koncentracija kontaminanta tCtCtC miii ,2,1, ,,, .
Neki su kontaminanti u vodi kemijski nepostojani i s vremenom se razgrađuju. Neka je tk
koeficijent interakcije štetne tvari i vode. Ponašanje sustava opisano je jednadžbom
tCtktC
tV
tQtC
tV
tQtC
m
j
ji
jin
j
iu
ju
1
,
,
1
,
,. Ovaj model je vrlo grub, jer uzima u
obzir samo vremensku dimenziju problema, a zanemaruje utjecaje kao što su dubina, oblik,
temperature, strujanja vode i zraka, ali svaki od slučajeva opisanih u nastavku predstavljat će
varijaciju ove formule. Intencija ionako nije precizno opisivanje pojave, već da studenti
prepoznaju kako se diferencijalne jednadžbe mogu pojaviti i u situacijama bliskim njihovom
iskustvu.
3.1 Problem zagađenog jezera
U jezeru poznatog i stalnog volumena vodene mase V je prisutan kontaminant čija je
prosječna koncentracija u vodi prikazana kao funkcija vremena tC [mg/l]. Neka je tQ [l]
ukupna količina vode koja se ulijeva u jezero, koja je zbog stalnosti volumena jednaka i
ukupnoj količini vode koja se iz jezera izlijeva. Neka je koncentracija kontaminanta u vodi
koja se uliva tCu [mg/l]. Jednostavnosti radi, pretpostavimo da je priljev jezera stalan
QtQ , da je jezero dobro izmiješano i da je koeficijent interakcije konstantan, ktk . Za
koncentraciju kontaminanta tada vrijedi zakonitost tkCtCV
QtC
V
QtC u , što je
nehomogena linearna diferencijalna jednadžba prvog reda. Početni uvjet 00 CtC
predstavlja koncentraciju kontaminanta u jezerskoj vodi na početku promatranja.
t
m1
m2
k1
k2
k3
5 10 15 20 25 30
1.0
0.5
0.5
1.0
5 10 15 20 25 30
1.0
0.5
0.5
1.0
P - 472
U praksi su uobičajene tri situacije: da je ulazna koncentracija kontaminanta konstantna,
uu CtC , da se mijenja periodički s vremenom, T
tCtC uu
2cos (period je T ) ili da se
zagađenje događa jednokratnim ispuštanjem određene količine VCu kontaminanta u nekom
trenutku 1t . WM program (Slika 15) uključuje sva tri slučaja. Na Slici 16 prikazana je
situacija u kojoj se dvadeset dana promatra koncentracija kontaminanta u jezeru pri dnevnom
priljevu/odljevu od VQ %10 , uz koeficijent interakcije 2.0k , početni uvjet 30 0 CC
mg/l, i to u slučaju periodičkog ispuštanja u jednakim tjednim ciklusima 7
cos5 2 ttCu
mg/l. Klizačima se mogu mijenjati veličine Q , uC i t .
Slika 15 WM program za model zagađenja jezera
Slika 16 WM model zagađenja jezera
P - 473
3.2 Zagađenje Kaštelanskog zaljeva organskim otpadom – jednostavni model
Kaštelanski zaljev je morski zaljev na čijim su obalama smješteni gradovi Split, Solin,
Kaštela i Trogir. Brza industrijalizacija praćena nekontroliranom izgradnjom i desetljećima
nebrige lokalne uprave za osnovne komunalne standarde dovela je do toga da je već u
osamdesetim godinama prošlog stoljeća postao jednim od najzagađenijih područja na Jadranu.
U narednih dvadesetak godina pritisak industrije se smanjio jer je više velikih zagađivača
prestalo s radom, ali se “divlja” gradnja nastavila nesmanjenim intenzitetom, pogotovo u
Kaštelima, pa ima smisla promatrati zagađenje zaljeva tekućim organskim otpadom.
Jedan od osnovnih pokazatelja čistoće vode je količina u njoj otopljenog kisika, budući da je
on preduvjet za život vodenih organizama. Zato se stupanj onečišćenosti otpadnih voda
organskim tvarima prikazuje mjerenjem biokemijske potrošnje kisika BPK (engl. BOD ).
Konkretno, 5BPK (pokazatelj petodnevne biokemijske potrošnje kisika) je količina kisika
otopljenog u vodi potrebna za razgradnju organske tvari u pet dana. Primjerice, otpadne vode
jednog kućanstva imaju 5BPK do 400 mg/l. U praksi se voda u prirodi s manje od 2 mg/l
5BPK smatra praktički čistom, a voda s više od 15 mg/l 5BPK vrlo zagađenom (Tablica 1).
Količina otpadnih voda obično se izražava brojem ekvivalentnih stanovnika ( ES ), s tim da se
uzima da 1 ES odgovara 60g 5BPK /dan. Primjer izračuna broja ekvivalentnih stanovnika i
ukupnog dnevnog tereta zagađenja [kg/dan 5BPK ] prikazan je na Slici 17 preuzetoj iz [5].
Krajem devedesetih godina prošlog stoljeća, pokrenut je opsežan i dugoročan projekt Eko
Kaštelanski zaljev, s ciljem izgradnje sustava kojim bi se sanirali svi kanalizacijski izljevi u
Kaštelanski zaljev i riješili problemi odvoda otpadnih voda na području Splita, Solina, Kaštela
i Trogira. Godine 2005. u rad su puštene crpne stanice na području Splita i Solina, čime se u
međuvremenu popravila situacija u tom dijelu zaljeva, ali i šire. Radovi na područjima
Kaštela i Trogira do danas nisu završeni, a zbog materijalnih poteškoća i imovinsko – pravnih
problema u koje je projekt zapao, trenutno im se ni ne nazire kraj.
Tablica 1 – 5BPK kao pokazatelj kvalitete vode
Kvaliteta vode
Nezagađena ili
skoro
nezagađena
Blago zagađena Srednje zagađena Vrlo zagađena
Otopljeni kisik
2O [mg/l] 5.62 O 5.66.4 2 O 6.40.2 2 O 0.22 O
Biokemijska
potrošnja kisika
5BPK [mg/l]
0.35 BPK 9.40.3 5 BPK 0.159.4 5 BPK 0.155 BPK
Zbog svoje zatvorenosti i relativno malog volumena vodene mase od svega 34.1 kmV ,
zagađenje Kaštelanskog zaljeva može se modelirati po uzoru na model zagađenja jezera. U
njega se ulijevaju dvije rječice, više potoka te brojni komunalni i industrijski kanalizacijski
ispusti pa procijenjeni priljev iznosi približno lQ 11105.2 godišnje. Neka je t vrijeme
[godine], tC [mg/l] koncentracija kontaminanta u zaljevu, tCu procijenjena koncentracija
kontaminanta u priljevnim vodama, tCv koncentracija kontaminanta u moru Bračkog i
Splitskog kanala i V procijenjena količina vode Kaštelanskog zaljeva koja se u godini dana
izmijeni miješanjem s vodom iz Splitskog i Bračkog kanala. Diferencijalna jednadžba
P - 474
tkCtCtCV
QtC
V
QtC vu
, uz početni uvjet 00 CtC poslužit će kao
osnova za jednostavno modeliranje zagađenja Kaštelanskog zaljeva.
Slika 17 Primjer izražavanja tereta zagađenja preko ES
U WM modelu (Slika 18 i Slika19) početni uvjet je dan za 100 t , a vrijeme
10,10t odnosi se na razdoblje od 2005. do 2025. godine uz korištenje podataka iz [4] i
[5].
Slika 18 WM program za jednostavni model zagađenja Kaštelanskog zaljeva
P - 475
Slika 19 – WM jednostavni model zagađenja Kaštelanskog zaljeva
3.3 Zagađenje Kaštelanskog zaljeva organskim otpadom – složeniji model
Naravno da prikazani jednostavni model zagađenja Kaštelanskog zaljeva nije osobito realan,
jer promatra prosječnu, a ne stvarnu koncentraciju kontaminanta. Ljudi se u stvarnosti kupaju
u uskom i plitkom obalnom području pokraj kanalizacijskih ispusta, a ne na pučini. Korisnije
je zato zaljev podijeliti na četiri različita dijela: 1KZ splitsko – solinski,
2KZ kaštelanski,
3KZ trogirski i 4KZ centralni dio i na svakog od njih primijeniti jednostavni model. Na ovaj
način može se zgodno opisati učinak pročišćavanja u razdoblju od 2005. kad su proradile
crpne stanice kanalizacijskog sustava Split – Solin (1KZ ).
Pretpostavimo da crpke u 1KZ ispumpavaju %p otpadnih voda. Ako sa tC j označimo
koncentraciju 5BPK , s jV volumen, s jQ godišnji procijenjeni priljev, a s tC uj , procijenjene
koncentracije 5BPK u priljevnim vodama jKZ za 4,3,2,1j , ako je jjV procijenjena
količina vode koju u godini dana izmijeni dio jKZ , 3,2,1j sa dijelom 4KZ , a
44V
procijenjena količina vode koju u godini dana izmijeni dio 4KZ s Bračkim i Splitskim
kanalom, te tCv koncentracija kontaminanta u moru Bračkog i Splitskog kanala,
matematički model za opisivanje zagađenja Kaštelanskog zaljeva tekućim organskim
otpadom bit će sustav linearnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda
t
10 5 0 5 10
4.0
4.2
4.4
4.6
4.8
5.0
5.2
vrijeme godine
konc
entr
acij
am
gl
Koncentracija C t BPK5 mg l u vodi Kaštelanskog zaljeva
P - 476
tkCtCtCVQV
tCVQV
tCV
QtC
tkCtCtCV
QtC
V
QtC
tkCtCtCV
QtC
V
QtC
tkCtCtCV
QtC
V
QptC
v
j
jjj
j
jjjju
u
u
u
44
4
1
4
4
3
14
,4
4
44
34333
3
3,3
3
33
24222
2
2,2
2
22
14111
1
1,1
1
11
11
1
uz početne uvjete 0,101 CtC , 0,202 CtC , 0,303 CtC , 0,404 CtC .
U WM modelu (Slika 20 i Slika 21) vrijeme 10,10t se odnosi na razdoblje od 2005. do
2025. godine, početni uvjeti dani su za 2005. godinu, tj. 100 t , a svi podaci su uzeti ili
procijenjeni iz [4] i [5].
Slika 20 WM program za složeniji model zagađenja Kaštelanskog zaljeva
P - 477
Slika 21 WM složeniji model zagađenja Kaštelanskog zaljeva
4. Zaključak
Sposobnost modeliranja i primjene u suvremenoj nastavi matematike je jedna od
ključnih matematičkih kompetencija. Na Bloomovoj ljestvici ishoda spada u kognitivne
procese višeg reda i kao takva poželjan je obrazovni ishod. Matematičko je modeliranje spoj
matematike i drugih znanosti. Studente upućuje da se razne pojave iz života mogu predočiti
matematičkim jezikom, a problemi riješiti matematičkim aparatom. Zato je integriranje
formalnog (čisto matematičkog) sadržaja s realnim problemima nužni put za kvalitetniju
nastavu. Cilj primjera izloženih u ovom radu (harmonijski oscilator te problem monitoringa
zagađenja) je da otvore neke od tema kojima se u stalnoj trci s vremenom i obimnim
nastavnim programima nastavnici i studenti najčešće ne stignu baviti. Intencija je pokazati
kako u pozadini poznatih i uobičajenih primjera ima mnogo prostora za istraživanje i
primjenu te kako je umijeće postavljanja pravih pitanja često mnogo važnije od sposobnosti
davanja pravih odgovora. Dodatno, pristup je unaprijeđen korištenjem programskog paketa
WM, sa ciljem da se umjesto na matematičke tehnike student koncentrira na konceptualno
zanimljivija pitanja. Budući da su pragmatičnost i inventivnost u rješavanju problema odlike
dobrih inženjera, ovakav će pristup vjerujemo naići na dobru reakciju studenata tehničkih
profila.
Reference
[1] Elezović, N. (2008): Fourierov red i integral. Laplaceova tranformacija, Zagreb, Element
[2] Manu P. J, Nandakumaran V. M. (2012): Chaotic oscillations in a piecewise linear spring–mass
system, Theoretical and applied mechanics letters, September 2012.
[3] Popović D. (2006) Primjena numeričkog načina rješavanja diferencijalnih jednadžbi na sustav
vezanih harmoničkih oscilatora – diplomski rad, PMF, Sveučilišta u Zagrebu, preuzeto 31.03.2014. s
http://www.phy.pmf.unizg.hr/~planinic/diplomski/dpopovic.pdf
[4] Ravlić, N. (2003): Optimizacija projekta prve etape kanalizacijskog sustava Split/Solin,
Građevinar 55, 12, 713 – 722
[5] Reić P. (2004): Kanalizacijski sustav Kaštela – Trogir, Građevinar 56, 5, 259 – 265
[6] Šikić, Z. (2003): Diferencijalne jednadžbe, udžbenik Sveučilišta u Zagrebu, Zagreb, Profil
t
p
10 5 0 5 10
3
4
5
6
7
8
9
10
vrijeme godine
konc
entr
acij
am
gl
Koncentracija C1 t BPK5 mg l u vodi Kaštelanskog zaljeva
10 5 0 5 10
6
7
8
9
vrijeme godine
konc
entr
acij
am
gl
Koncentracija C2 t BPK5 mg l u vodi Kaštelanskog zaljeva
10 5 0 5 10
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
vrijeme godine
konc
entr
acij
am
gl
Koncentracija C3 t BPK5 mg l u vodi Kaštelanskog zaljeva
10 5 0 5 10
3.6
3.7
3.8
3.9
4.0
4.1
4.2
vrijeme godine
konc
entr
acij
am
gl
Koncentracija C4 t BPK5 mg l u vodi Kaštelanskog zaljeva
P - 478
[7] Wellin, P. R. (2013): Programming with Mathematica, An Introduction, Cambridge University
Press
Application of Ordinary Differential Equations - Modeling and
Visualization
Ivo Baras
University Department of Professional Studies, University of Split, Croatia
Renata Kožul Blaževski
University Department of Professional Studies, University of Split, Croatia
Nada Roguljić
University Department of Professional Studies, University of Split, Croatia
Abstract. Ordinary differential equations are an essential part of core mathematical training in the
field of technical studies. To highlight the importance of differential equations in natural and technical
sciences, it is important to introduce students to possibility of modeling by using differential
equations. The concept of modeling can be further clarified to students by using different computer
visualization software packages. In the paper, this approach was illustrated by the modeling of the
harmonic oscillator and the problem of pollution monitoring. The software package used was Wolfram
Mathematica. It has been shown that computer visualization is a convenient method for checking,
discussing and generalizing results. The resulting simplified models are then used to describe more
complex situations. This approach to the problem of modeling not only enhances students' interest, but
also improves their insight into the comprehensive use of mathematical tools and programming.
Key words: differential equations, modeling, Wolfram Mathematica, harmonic oscillator, pollution
monitoring.
