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Primeras Prácticas Calificadas de Algebra Lineal UNI
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2011 - IICODIGO : CB-111DOCENTE : L. KALA, A. HUAMAN, R. CHUNG FECHA : 29.09.11
1.- Dadas las siguientes matrices
i jA a j i de orden 30 15
i jB b ij , min ,i jC c i j matrices cuadradas de orden 15
i jD d i j matriz de orden 15 20
Si Ti jA BC D E e
Calcular a) El término genérico de la matriz E.
b) El término de la fila 12 y columna 10 de la matriz E
2.- Calcular el siguiente determinante
1
1
1
1 2 3
2 3
2 3
2 3
n n n
n n n
n n n
n n n
a a n a
a a n a
a a n a
a a a n
3.- Si A y B son matrices cuadradas no singulares demostrar que:
1 1 1 11I AB A I I A B A B I A A I
4.- Sea la matriz
1 2 1
1 2 1
1 2 1
1 2 3
1 2 3
x n x
x n x
x n xB
x x
n x
donde 0x i 1,2,...,i n .
Si ( ), 0nB adj A , Calcular 1nA
si es que existe.
Victoria
PRÁCTICA CALIFICADA N° 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2011– ICODIGO : CB-111DOCENTE : L. KALA, A. HUAMAN, R. CHUNG FECHA : 28.04.2011
1.- Calcular el siguiente determinante de orden n
1 3 5 7 2 1
1 3 5 2 3
2 1 3 2 5
2 2 2 1
n
x x n
x x x n
x x x x x
2.- Usando propiedades, calcular el valor de la constante k
1 5 3 5
2 2 15 15 3
3 10 3 3 2
5 0 6 1
6k
3.- Sean las matrices: A con elementos reales positivos,
1( )T TB C C C C es no singular donde1 1 1 1
0 2 1 1TC
X y B son matrices conmutables, siendo TX MM ,
B XA y0
0 0
0 0 0
a b c d
a e fA
a g
a
Hallar X (adj A)
4.- ijA a es una matriz simétrica de orden 3 con determinante negativo donde
11 2a , 13a b , 33 1a
9 3
( ) 7
1
a
adj A
b
donde 0, 3 1a a b . Calcular1
( (3 ))81
adj adj A
Victoria
PRÁCTICA CALIFICADA N° 1
Calcular
m
m
m
m
zzzzzz
A
10000
02000
000000
000600
00070
00008
!2!6!7!8 872210
B=
1 0 0 0 0
1 2 0 0 0
0 2 3 0 0
0 0 0 0 .
x
n x
n x
x
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2010-IIICODIGO : CB-111DOCENTE : A. HUAMAN, G. TAFUR FECHA : 21.01.2011
1.- Dada la matriz
1 1 1 1 1
1 2 0 0 0
0 1 2 0 0
0 0 0 1 2 n n
A
2.- Sin desarrollar calcule la suma de determinantes
2 2 2 2 2
2
2 2
a b c a b a b bc a c
E b b c ac ac b bc
bc c aba c c
3.- Sean M, N, A y C matrices cuadradas de orden 4, donde
0
b b b
b b bM
b b b
b b
,
1 2 1 1
1 1 2 30,
0 3 2 1
1 2 3 0
A
y TN AA ,
además 1N XNX y 1X NM determine tX C C
4.- Dada la matriz
2 3 1
3 5 2
1 2 2
A
si B es la matriz triangular inferior tal que
tBB A2
4
3
BY
y tB X Y . Hallar la matriz X, sabiendo que eX Y son
matrices columna
Victoria
PRÁCTICA CALIFICADA N° 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2010-IICODIGO : CB-111DOCENTE : A. HUAMAN, R. CHUNG FECHA : 17.09.2010
1.- Halle la determinante siguiente:
1 0 0 0 0 0
2 2 0 0
0 ( 1) 4 3 0 0
0 0 ( 2) 6 4 0 0
0 0 0 ( 3) 8 0 0
0 0 0 0 0 2( 1)
0 0 0 0 0 0 2
x
n x
n x
n x
n x
x n n
x n
2.- Si
1 1 2 2 3 3 4 4
1 1 2 2 3 3 4 4
1 1 2 2 3 3 4 4
1 1 2 2 3 3 4 4
4 4 4 4
4 4 4 4
4 4 4 4
4 4 4 4
x y x y x y x y
y z y z y z y z
z w z w z w z w
w x w x w x w x
=
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
x x x x
y y y yk
z z z z
w w w w
calcule k
3.- Indicar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones (justifique su respuesta)
a) Si A es no singular entonces tI A y 1tI A
conmutan
b) Sea ija a de orden 3 SI ( ) ( )cofact BX cofact XB y 0XA B (matriz nula)
entonces la matriz A es diagonal sabiendo que B y X son simétricas no singulares.
4.- a) Si tA A con elementos enteros positivos y ( ) 16A Adj A y
5( )
5tAdj A A
calcular 1( 5 )Adj A A
b) 0 3
2 4
b o a
A b
a b a
con ,a b z y 0A si 1( ) 1adj A y
(3 )adj A 99
0
a b
Victoria
PRÁCTICA CALIFICADA N° 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2010-ICODIGO : CB-111DOCENTE : L. KALA , A. HUAMAN, R. CHUNG FECHA : 30.04.2010
1.- Calcule el siguiente determinante
1 0 0 0 0 0
2 2 0 0 0 0
0 ( 1) 4 3 0 0 0
0 0 ( 2) 6 4 0 0
0 0 0 0 0 2( 1)
0 0 0 0 0 1 2
x
n x
n x
n x
x n n
x n
2.- Sean las matrices:( )ijA a j i de orden 30 x 5
( )ijB b ij y ( )ijC c min ,i j matrices cuadradas de orden 5
( ) 2ijD d i j matriz de orden 5 x 30
Si ( ) ( )TijA BC D E e , calcular el término genérico de E para i = 15 y j = 15
3.- Calcule el valor de la constante k2
2
2 2
1
1
y y y xy x
x x xy x y
x y xyx y xy
2 2 2
1 1 1
k x y z
x y z
4.- Sea
1 3
c o a
A b a c
c
done 0a , b y c enteros, 0A
( )adj A 0
3
y 1 3116
4adj A
Calcular 112A A si es que existe.
Victoria
PRÁCTICA CALIFICADA N° 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2009-IIICODIGO : CB-111DOCENTE : A. HUAMAN, R. VASQUEZ FECHA : 22 .01.2010
1.- Indique la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
a) Si A es una matriz antisimétrica de orden n entonces 0A
b) las matrices (I – A) y (I + A )-1 conmutan sabiendo que A es no singular
c) (I – A) (I + A )-1 es antisimétrica sabiendo que AAT = AT A = I
2.- Sea T TD CB A en donde
30 20ijA a i
, 20 10ijB b j
, 15 10ijC c i j
a) Calcule el elemento genérico de la fila i columna j de D.
b) Calcule el elemento genérico de la fila 10 columna 18 de la matriz D
3.- Calcule el siguiente determinante
1
2 1
3 2 1
4 3 2 1
1 2 ( 3) 1
x x x x
x x x
x x
x
n n n n
4.- Dadas las matrices
8 0 0 0
8 0 0
8 0
8
aA
b c
d e f
y
1 2 3 4
2 3 6 2
3 6 5 1
4 2 1 7
B
Hallar la matriz ( )TM adj CC siendo C matriz no singular tal que:B = M BM-1
M = B A-1.
Victoria
PRÁCTICA CALIFICADA N° 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2009-IICODIGO : CB-111DOCENTE : A. HUAMAN, L. KALA FECHA : 18 .09.09
1.- Calcule el siguiente determinante
0 1 2 55! 4! 3!
5 0 0
0 4 0
0 0 0
a a a a
x
x
x
2.- Dada las matrices A y B
2 2 2
2
2 2
2
1
0 1
1
wyz wy z y xz xy x z yx
xw y yA
z y z zy y
xy w w
y
2 2 2 2
1 1 1 1
x y z w
Byzw xzw xyw xyz
x y z w
¿ ?A B . Justifique su respuesta.
3.- ¿La siguiente afirmación es verdadera o falsa?. Justifique su respuesta.
1 1 1 1 1t t t t t t t t t t t t tA B A A B I A A B A A B I A I A
4.- Dada la matriz 5 0
4
x z y
A z y
y x
Con determinante positivo donde 112 64adj A
si
110
5 75
110
A
calcule nA y 1nA
Victoria
PRÁCTICA CALIFICADA N° 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2009 – ICODIGO : CB-111DOCENTE : A. HUAMAN, L. KALA FECHA : 24.04.09
1.- Usando propiedades, calcule la siguiente suma de determinantes
1 1 2 2 3 3 1 2 1 3
1 1 2 2 3 3 1 2 1 3
1 1 2 2 3 3 1 2 1 3
kx y kx y kx y x x x x
ky z ky z ky z y y y y
kz x kz x kz x z z z z
2.- Sean M, N, A y C matrices cuadradas de orden 4, donde
0
0 0
0 0 0
a b c
d eM
f
, 0 ,
1 2 1 1
1 1 2 3
0 3 2 1
1 2 3 0
A
y TN AA ,
1N XNX y 1X NM . Determine X si TX C C
3.- Calcular el siguiente determinante:
1
1
21
3
1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x xn
!
k
n
Calcular el valor de la constante k.
4.- Sea A la matriz cuadrada de orden 3 ,
0
2 4
2
a a
A c
c b
donde el cofactor del
elemento 12a es 8 y el cofactor del elemento 32a es -2.
Si 0A , (2 ) 64adj A A . Calcular A y 1A .
Victoria
PRÁCTICA CALIFICADA N° 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
CURSO : ALGERA LINEAL CICLO : 2008 – IIICODIGO : CB-111DOCENTE : ALEJANDRO HUAMAN, RIQUELMER
VASQUEZFECHA : 23.01.09
1.-Sean las matrices A, B, C y D de orden 20 x 8, 8 x 20, 8 x 8 y m x n respectivamente,donde los elementos situados en k fila y columna j de cada matriz son :
i ja i j , ( 1)i jb i j , i jc ij , dij , si TT T TD c A B I
Calculea) ijd b) 7,1d
2.- Si A es una matriz de orden n
Halle
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
x a a a a a x
a x a x a a a
a a x a a aA
a a a x a x a
a a a a x
3.- Sin desarrollar calcule la suma de determinantes
2 2 2 2 2
2
2 2
a b c a b a b bc a c
b b ac ac b bc
bc c aba c c
4.- Calcule el determinante
2 4
2
2 4
2
1 1
1 1 1
1 2 3 4
4 3 2 1
x x
x
x x
x
Victoria
PRÁCTICA CALIFICADA N° 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2008 – IICODIGO : CB-111DOCENTE : R. VASQUEZ, A. HUAMAN FECHA : 19.09.08
1.- Sean las matrices F y G cuadradas de orden 12, en donde el elemento de la matriz1
( )2
F G ubicado en la fila i columna j es i +2j , T TF F G G , 2 2D F G FG ,
calcule:a) El elemento de la fila i, columna j de la matriz Db) El elemento de la fila 10, columna 10 de la matriz D
2.- Calcule sin desarrollar (utilizando propiedades)
2
2
2 2 2
1
1
a a b a bc
b b a b ac
c c a c c ab
3.- Calcular el siguiente determinante de orden n
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
a
a
a
a
4.- Sea
2 4a b
a c dA
c b
d a c e
una matriz en donde:
0e , TAdj A AdjA , 400A , calcule: TTAdj AdjA AdjA
Victoria
PRÁCTICA CALIFICADA N° 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2008 - ICODIGO : CB-111 U-V-W-XDOCENTE : A. HUAMAN- L. KALA- R. VASQUEZ FECHA : 25.04.08
1.- Usando las propiedades (sin desarrollar los determinantes), calcular la constante k.
2
2
1
1
x y
x xy y
x xz z
+2 2
1 1
1
z
x yz z kI
x y z yz
2.- Sean las matrices A, B, C, D y F donde
40 2
2ijA a ij
2
3 si ó 1
2 si ó 2iji j j i i j
C cj i i j i j
2 240 2ijD d i j
2 40
2ijE e j
8( )T T TD A C B T TF A B CE
a) Hallar el término situado en la fila i y columna j de la matriz F
b) Hallar el término de la fila 2 y columna 32 de la matriz F
3.- Si A, B, C, D son matrices: de orden n x n, n x m, m x n, m x m respectivamente entonces.Demuestre que:
11 1 1 1 1 1A BDC A A B D CA B CA
4.- Sea la matriz
4 5
3
3 5 1
a
A b c
donde 12 64| | 0,
3 729A adj A
325 124
( ) ( )Tadj A adj A
, 3
TijAA a donde 13 24a .
Calcular 1A A .
Victoria
PRÁCTICA CALIFICADA N° 1