UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

Lab. Cálculo por Elementos Finitos – MC516-D

TRACCIÓN SIMPLE

Alumno Código

HUAMAN CHIPILI, jose elvis 20120065G

Docente: Ing. Ronald Cueva

Ciclo: 2015-I

1

2

PRIMERA PRÁCTICA

(TRACCIÓN SIMPLE)

ENUNCIADO DEL PROBLEMA

De la siguiente placa triangular de espesor constante, t=150mm.

Calcular:

Los esfuerzos en cada elemento finito y la reacción en el apoyo. Utilizar

tres elementos finitos.

Sabiendo que:

P =30000 N

T (espesor) = 150 mm

E = 3.0x105 N/mm2

γ = 8.0 gr-f/cm3 = 7,848x10-5 N/mm3

SOLUCIÓN:

3

1. MODELADO DEL CUERPO REAL

Consideramos tres elementos finitos de longitud de 250, 250 y 500

mm desde la base hasta la punta.

El ancho de cada elemento lo calculamos tomando el punto medio

de cada elemento finito:

b1=(800+400 )2

=600 mm

b2=(400+200 )2

=300 mm

b3 =2002

=100 mm

Luego

4

Conectividad:

e

NODOS GDL

le

(mm)

Ae

(mm2)

(1)

Prime

r

nodo

(2)

Segund

o

Nodo

1 2

1 1 2 Q1 Q2 250 90000

2 2 3 Q2 Q3 250 45000

3 3 4 Q3 Q4 500 15000

2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES .- (GDL)

(VECTOR DESPLAZAMIENTO)

En el siguiente gráfico se muestran los vectores desplazamientos

nodales globales

5

El vector de desplazamiento será:

Q∫¿ =¿ [0 ¿ ] [Q 2¿ ] [Q3¿ ] ¿

¿¿¿

¿

Donde Q1= 0 debido a que la placa esta empotrada y los demás

desplazamientos son incógnitas donde procederemos a

calcularlos.

3. VECTOR CARGA

6

Analizando las fuerzas en cada elemento finito:

F11=

y ( Axl )12

+R1 =−882 .9 + R1 N

F21=y ( Axl )12

=−882.9N

F22=

y (Axl )22

=−441 .45N

F32 =

y (Axl )22

+P =−30441 .5N

F33 =

y (Axl )32

=−294 .3N

F43 =

y (Axl )32

=−294 .3 N

Analizando las fuerzas para todo el cuerpo:

7

F1= F11 =−882 .9+ R1 N

F2= F21 + F2

2 =−1324 .35 N

F3 = F32 + F3

3 =−30735 .8NF4 =F4

3 =−294 .3N

Entonces, el vector carga se expresaría de la siguiente manera

F1= ¿ [F 1¿ ] [F 2¿ ] [F3 ¿ ] ¿¿

¿

4. MATRIZ DE RIGIDEZ

A continuación pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que

está determinada por la siguiente ecuación:

Ki∫¿= (AEl )1 ¿

[1 −1 0 0 ¿ ] [−1 1 0 0 ¿ ] [ 0 0 0 0 ¿ ]¿¿

¿¿

+ ( AEl )2¿ [0 0 0 0 ¿ ] [0 1 −1 0 ¿ ] [ 0 −1 1 0 ¿ ]¿

¿¿− ( AEl )

3¿ [ 0 0 0 0 ¿ ] [ 0 0 0 0 ¿ ] [ 0 0 1 −1 ¿ ]¿

¿¿

Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de

conectividad obtenemos:

8

Ki∫¿= (90000 x3 x105250 )

1¿

[1 −1 0 0 ¿ ] [−1 1 0 0 ¿ ] [ 0 0 0 0 ¿ ]¿¿

¿¿+ (45000 x 3x 105250 )2¿ [0 0 0 0 ¿ ] [0 1 −1 0 ¿ ] [ 0 −1 1 0 ¿ ]¿

¿¿

+ (15000 x3 x105500 )3¿ [ 0 0 0 0 ¿ ] [ 0 0 0 0 ¿ ] [ 0 0 1 −1 ¿ ]¿

¿¿

Finalmente:

Ki∫¿= 3x 10

5x ¿

[ 360 −360 0 0¿ ] [−360 540 −180 0 ¿ ] [ 0 −180 210 −30 ¿ ] ¿¿

¿¿

5. ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO

La ecuación de rigidez está determinada por la siguiente ecuación:

F i = Ki∫ Q∫¿

¿

Con nuestros valores calculados tenemos:

[−882 .9 + R1¿ ] [−1324 .35¿ ] [−30735 .8¿ ]¿¿

¿¿= 3x 105 x ¿ [ 360 −360 0 0 ¿ ] [−360 540 −180 0 ¿ ] [ 0 −180 210 −30¿ ]¿¿

¿

Para obtener los desplazamientos tomamos la siguiente submatriz:

9

¿ [−1324 .35 ¿ ] [ −30735.8 ¿ ] ¿¿

¿=3 x 105 x ¿ [ 540 −180 0¿ ] [ −180 210 −30 ¿ ]¿¿

¿Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:

Q2 =−29 .9578 x10−5 mm

Q3 =−87 .421 x 10−5 mm

Q4 =−90 .691 x10−5 mm

Para obtener la reacción en el empotramiento tómanos la

siguiente submatriz:

[−882 .9 + R1] = 3x 105 x [360 −360 0 0 ] ¿ [0 ¿ ] [Q2 ¿ ] [Q3 ¿ ] ¿¿

¿Resolviendo obtenemos:

R1= 33237 .3 N

6. ESFUERZOS

Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos

la siguiente ecuación:

σ e=( El )e

[−1 1 ] ¿ [ Qi ¿ ] ¿¿

¿

Y obtenemos lo siguiente:

σ 1= ( 3 x 105250 )1

[−1 1 ] ¿ [ 0 ¿ ] ¿¿

¿

σ 2= ( 3 x 105250 )

2[−1 1 ] ¿ [−29 .9578¿ ]¿

¿¿

10

σ 31= ( 3 x 105500 )

3[−1 1 ] ¿ [ −87 .421 ¿ ]¿

¿¿

7. RESULTADOS

R1 =−33237 .3 N

σ1 =−0 .3594 N

mm2

σ 2=−0 ,6895 N

mm2

σ 3=−0.03924 N

mm2

8. DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

INGRESO DE DATOSCONSTANTES : E, f, tVECTORES: L, A, P

CALCULO DE VECTORES

11

F=

[AL1γ2

+R1

AL2γ2

+ AL1γ2

AL3 γ2

+ AL2 γ2

+PA

AL3 γ2

] ; K=

[EA1

L1−EA1

L10 0

−EA1

L1EA2

L2+EA1

L1−EA2

L20

0 −EA2

L2EA3

L3+EA2

L2−EA3

L3

0 0 −EA3

L3EA3

L3]

TRAFORMACION DE ECUACION MATRICIAL

[AL1 γ2

AL2γ2

+ AL1γ2

AL3 γ2

+ AL2 γ2

+PA

AL3 γ2

]=

[−1 −EA1

L10 0

0EA2

L2+EA1

L1−EA2

L20

0 −EA2

L2EA3

L3+EA2

L2−EA3

L3

0 0 − EA3

L3EA3

L3] [R1Q2Q3Q4

]

CALCULO DE ESFUERZOS

σ e=( El )e

[−1 1 ] ¿ [ Qi ¿ ] ¿¿

¿

12

β

β

IMPRESIÓN DE RESULTADOS

R1 , Q2 , Q3 , Q4 , e1 , e2 , e3

9. DIGITACIÓN EN MATLAB

clear all clc%Ingresando los datos del ProblemaH=input('Ingrese el valor de la altura de la placa(mm) = ');B=input('Ingrese el valor de la base de la placa(mm) = ' );E=input('Ingrese el valor del Modulo de Elasticidad(N/mm^2) = ');P=input('Ingrese el valor de la fuerza P en Newton= ');D=input('Ingrese el valor de la densidad del cuerpo gr-f/cm^3 = ');t=input('Ingrese el valor del Espesor (mm)= ');h=[H/4 H/4 H/2];b=[(B+3*B/4)/2 (3*B/4 + B/2)/2 (B/4)];d=D*9.81*10^-6;w=zeros(4);K=zeros(4);for i=1:3 a(i)=b(i)*t; w(i,i)=1;w(i,i+1)=-1;w(i+1,i)=-1;w(i+1,i+1)=1; K=K+(a(i)*E/h(i))*w; w=w-w;endf=[];f(1)=-(a(1)*h(1)/2)*d;f(2)=-[(d*a(2)*h(2)/2)+d*a(1)*h(1)/2];f(3)=-[(d*a(2)*h(2)/2) + (d*a(3)*h(3)/2)]+P;f(4)=-d*a(3)*h(3)/2;f=f';K=K';Q=zeros(4,1);Q(2:4,1)=inv(K(2:4,2:4))*f(2:4,1); % Matriz de desplazamientosR1= K(1,1:4)*Q - f(1); %Valor de la Reaccion donde x=0 , en el apoyoe=[] ; %Matriz de esfuerzosfor i=1:3 e(i)=(E/h(i))*[-1 1]*Q(i:i+1,1);ende=e';f(1)=f(1)+R1;f=f;disp(' ')disp('RESULTADOS OBTENIDOS')disp('La Matriz de K es :')disp(K)disp('Matriz de Fuerzas es : ' )

13

FIN

disp(f)disp('La reaccion en el punto de apoyo es (N) : ')disp(R1)disp('Matriz de desplazamientos(mm) es :')disp(Q)disp('Matriz de esfuerzos en (MPa) es e[e1 ; e2 ; e3] : ')disp(e)

Resultados obtenidos en Matlab:

Ingrese el valor de la altura de la placa (mm) = 1000Ingrese el valor de la base de la placa (mm) = 800Ingrese el valor del Módulo de Elasticidad(N/mm^2) = 3*10^5Ingrese el valor de la fuerza P en Newton= 30000Ingrese el valor de la densidad del cuerpo gr-f/cm^3 = 8Ingrese el valor del Espesor (mm)= 150

RESULTADOS OBTENIDOS:

La Matriz de K es:

126000000 -126000000 0 0 -126000000 216000000 -90000000 0 0 -90000000 108000000 -18000000 0 0 -18000000 18000000

Matriz de Fuerzas es:

14

1.0e+004 * -2.6321 -0.1766 2.8676 -0.0589

La reacción en el punto de apoyo es (N):

-2.5291e+004

Matriz de desplazamientos (mm) es:

1.0e-003 * 0 0.2089 0.5210 0.4883

Matriz de esfuerzos en (MPa) es e[e1 ; e2 ; e3] :

0.2507 0.3745 -0.0196

10. CONCLUSIONES

Los esfuerzos calculados en los elementos son negativos lo que

nos indica que dichos esfuerzos son esfuerzos de compresión

respecto a nuestro sistema de referencia.

La fuerza neta total que se ejerce sobre el cuerpo, es en contra

del sistema de referencia (opuesta al eje x), y es igual al

volumen total del cuerpo (V=6x107 mm3) por su Peso específico

15

(γ=7,848x10-5 N/mm3) más la Fuerza aplicada (P=30000N), lo

que da de resultado un valor de 33237.3N.

Teóricamente este resultado 33237.3 sería el valor de la

reacción en el nodo (1).

El error del cálculo de la reacción en el nodo (1) es casi cero,

con lo que podemos afirmar que la aproximación del cuerpo a 3

elementos finitos es casi exacta, si consideramos menos

elementos finitos el error aumentará y asimismo, si

aumentamos el número de elementos, el error tendería a cero.

Para otras figuras, la precisión será directamente proporcional al número

de elementos finitos en que se divida, pues entre más se escojan, menor

error en los cálculos.

16