1a Elementos Finitos

1ESTRUCTURAS IV

E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGA DE LA CONSTRUCCIN Juan Prez Valcrcel

INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOSJUAN PREZ VALCRCEL

Catedrtico de Estructuras

E.T.S.A. de La Corua

2ESTRUCTURAS IV



APLICACIONES ARQUITECTNICAS9

GENERACIN DE MALLAS 8

ELEMENTOS FINITOS RECTANGULARES7

ELEMENTOS FINITOS TRIANGULARES6

ELASTICIDAD PLANA5

FORMULACIONES ISOPARAMTRICAS4

ELEMENTOS UNIDIRECCIONALES3

FUNCIONES DE FORMA2

INTRODUCCIN1

INDICE DE CONTENIDOS

3ESTRUCTURAS IV



JUSTIFICACIN DEL TEMA

No calculamos estructuras, sino modelos matemticos que las idealizan como resultado de una determinada discretizacin.Barras [matricial], elementos [M.E.F.]

La realidad es tridimensional.Bsqueda de un modelo que aproxime ms la realidad construida.

El M.E.F es de reciente implantacin en arquitectura, pero es ampliamente usado en todas las ingenieras.Las impresionantes prestaciones actuales se basan en recursos de clculo disponibles desde hace medio siglo.

Enorme importancia en la actividad profesional.Los programas de M.E.F son imprescindibles en el anlisis de estructuras complejas de edificacin y en el anlisis de edificios histricos.

4ESTRUCTURAS IV



CLCULO DE ESTRUCTURAS: MTODOS NUMRICOS

Estructura Modelo Matemtico

Discretizacin

Sistema de Ecuaciones

Resolucin

Lineal

No lineal

Elementos (M.E.F.)

Barras (clculo matricial)

Val

idac

in

Mtodo de Elementos Finitos

Mtodo Matriciales de barras

5ESTRUCTURAS IV



IDEALIZACIN DE LA ESTRUCTURA

Estructura real Modelo matemtico

Discretizacin Elementos conectados pornudos

ELEMENTOS LINEALES PrticosEmparrilladosCelosas

SUPERFICIALES PantallasLosasLminas

VOLUMTRICOS Losas gruesasMacizosPresas

Elementos lineales - Discretizacin en barras (matricial)

Elementos superficiales - Discretizacin en elementos finitosy volumtricos

ESQUEMA DE LOS MTODOS NUMRICOS DE CLCULO

6ESTRUCTURAS IV



SISTEMAS DISCRETOS Clculo matricial

SISTEMAS CONTINUOS Mtodo de elementos finitos

Dos formas de Clculo Anlisis del elemento

estudiarlos infinitesimal infinitesimal

Integracin

M.E.F. Anlisis del elemento finito

Ensamblaje de matrices

7ESTRUCTURAS IV



BASES DEL MTODO DE ELEMENTOS FINITOS.

En estructuras la relacin determinista CAUSA EFECTO

se establece como

FUERZA MOVIMIENTO

Es una relacin biunvoca que debe satisfacer:

1.- Ecuaciones constitutivas del material Ley de Hooke

2.- Ecuaciones de compatibilidad

3.- Ecuaciones de equilibrio

ESTRUCTURAS ISOSTTICAS Ecuacin 3

ESTRUCTURAS HIPERESTTICAS Ecuaciones 1,2, 3

8ESTRUCTURAS IV



MTODO DE RIGIDEZ. (Igual clculo matricial)

INCGNITAS BSICAS MOVIMIENTOS EN LOS NUDOS

DATOS FUERZAS EN LOS NUDOS

APLICACIN DEL MTODO

1.- Expresar las esfuerzos en los extremos de las barras en funcin de los movimientos en dichos extremos. (Ecuacin constitutiva).

2.- Aplicar las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones. Se ponen los movimientos de los extremos de las barras (coordenadas locales) en funcin de los movimientos de los nudos (coordenadas globales). (Ecuacin de compatibilidad).

3.- Aplicar las ecuaciones de equilibrio de nudos. (Ecuacin de equilibrio).

SE GENERA UN SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES

L = matriz de cargas en los nudos

S = matriz de rigidez en coordenadas globales

X = matriz incgnita (desplazamientos en los nudos)

RESOLUCIN X = S-1.L Desplazamientos en coord. globales

Se aplica 2 Desplazamientos en coord. locales

Se aplica 1 Esfuerzos

L = S X

9ESTRUCTURAS IV



SUPUESTOS PREVIOS

LINEARIDAD

Los movimientos y esfuerzos son funciones lineales de las cargas aplicadas.

Ventajas Simplifica el anlisisPermite la superposicin de soluciones

Condiciones Materiales elsticosDesplazamientos pequeos

f

P.l4 4

P.l

P

n.P

n.

n.f

+

+SUPERPOSICIN

Los esfuerzos y movimientos que produce unconjunto de sistemas de carga actuando a la vez es igual a la suma de los que produciran actuando por separado.

En clculo matricial es fundamental este principio de superposicin, puesto que en general hemos de superponer dos estados:

Estado de empotramiento perfectoEstado final de clculo.

10ESTRUCTURAS IV



FUNDAMENTOS PRCTICOS DEL MATRICIAL

y los tres conjuntos de ecuaciones que intervienen:

PAP ~~~ t =

dAd = ~~~dKP~~~

=

Ecuaciones de equilibrio ..[Matriz de equilibrio]

Ecuaciones de compatibilidad .[Matriz de transformacin]

Ecuaciones constitutivas del material.[Matriz de barra en ejes locales]

La combinacin de las ecuaciones anteriores nos conduce a la ecuacin matricial formulada en coordenadas globales:

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

~~ ~~

~ ~ ~ ~

P = K d P = K A d'

At PP'

= At K AS

d'

P' = S d'

11ESTRUCTURAS IV



FUNDAMENTOS PRCTICOS DEL MATRICIAL

=

j

i

jjji

ijii

j

i

dd

SSSS

PP

~~

~~~~

~~

El clculo matricial de una simple cercha plana o de un complejo entramado espacial de nudos rgidos no entraa diferencias conceptuales, sino simplemente volumen de datos que se manejan.

que para un elemento de nudo inicial iy nudo final j, adopta la forma

12ESTRUCTURAS IV



ECUACIN CONSTITUTIVA

C Expresa la relacin entre los esfuerzos sobre un elemento ylos desplazamientos de dicho elemento. Para materialeselsticos es la ley de Hooke.

C Al referirse a cada elemento se formula en coordenadaslocales.

C Su grado de complejidad depende del nmero de esfuerzosque definan el estado de la barra.

13ESTRUCTURAS IV



Pxi Pxji j

dxi xjd

( )

P = - P

l = d - d = P l E A

P = - P = E Al

d - d

xi xj

xj xixj

xj xi xj xi

N NPP

P

= E A

l- E A

l- E A

lE A

lK

dd

d

xi

xj

xi

xj

~ ~ ~

ji xjxi PP

yjPPyi mjmi

ESTRUCTURAS ARTICULADAS ESTRUCTURAS RETICULADAS

PPmPPm

= K

dd

dd

xi

yi

i

xj

yj

j

xi

yi

i

xj

yj

j

~

14ESTRUCTURAS IV



ECUACIN DE COMPATIBILIDAD.Los esfuerzos internos llevan la direccin de los ejes locales.

Las fuerzas externas llevan la direccin de los ejes globales.

Las leyes de cambio de coordenadas son las mismas que para ejes.

Se trata de una rotacin de ejes de ngulo a

Esfuerzos Desplazamientos

m

xi

yi

P

P

y'

x'

i

jyj mP

xjPy

x

N N

xyzx

= cos sen 0-sen cos 0

0 0 1

A

x'y'z'x'

~ ~ ~

N N

PPm

P


0 0 1

A

P 'P 'm'

P'

x

y

x

y

~ ~ ~

N

dd

d


0 0 1

A

d 'd '

'

d'

x

y

x

y

~ ~ ~

15ESTRUCTURAS IV



ECUACIN DE EQUILIBRIO

Los esfuerzos internos llevan la direccin de los ejes locales.

Las fuerzas externas llevan la direccin de los ejes globales.

Las leyes de cambio de coordenadas son las mismas que para ejes.

Se trata de una rotacin de ejes de ngulo a

m'

x2x1 P'P' 1 2

1m'y2y1P' P'

2

3 4

Estructura cualquiera con cargas en los nudos

Fuerzas exteriores Fuerzas interioresse equilibran

Aplicando el principio de trabajos virtualesN N

Fuerzas P' PDesplazamientos d' d

exteriores internas

~ ~

~ ~

12

P' d' = 12

P di ii

j jj

trabajo fuerzasexternas

trabajo fuerzasinternas

~ ~ ~ ~P' d' = P dt t ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~P' d' = P A d P' = P At t t t ~ ~ ~P' = A P

16ESTRUCTURAS IV



PLANTEAMIENTO GENERAL DEL CLCULO MATRICIAL

Ecuacin constitutiva

Ecuacin de compatibilidad

Ecuacin de equilibrio

~ ~ ~

~ ~

~ ~ ~

P = K d d = A d' P' = A P t

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

~~ ~~

~ ~ ~ ~

P = K d P = K A d'multiplicando a la izquierda por AA P

P' = A K A

Sd' P' = S d'

t

t t

s s s ... ss s s ... ss s s ... s: : : ... :

s s s ... s

xxx:

x

=

ppp:

p

11 12 13 1n

21 22 23 2n

31 32 33 3n

n1 n2 n3 nn

1

2

3

n

1

2

3

n

Una vez resuelto el sistema se conocen los desplazamientos de los nudos en coordenadas globales.

Sistema lineal de ecuaciones

n datos - Fuerzas en los nudosn incgnitas - Desplazamientos en los nudosEl problema se reduce a resolver un sistema lineal de n ecuaciones con n incgnitas, por cualquiera de los mtodos matemticos disponibles.

17ESTRUCTURAS IV



ENSAMBLAJE POR BLOQUESMatriz de un elemento Coordenadas globales

~~

~ ~~ ~

~~

P'P '

= S SS S

d 'd '

i

j

ii ij

ji jj

i

j

Situacin en la matriz de rigidez de la totalidad de la estructura

+S +S

+S +S

fila i

fila j

columna i

columna j

ii ij

ji jj

18ESTRUCTURAS IV



EJEMPLO DE ENSAMBLAJE POR BLOQUES

En los nudos 5 y 6 los tres desplazamientos son nulos al tratarse de empotramientos. Pueden eliminarse del sistema de ecuaciones.

El nudo 4 tiene dos desplazamientos nulos (articulaciones). Las filas correspondientes a esos desplazamientos tambin pueden eliminarse.

5

21

6

3

4

1 2

3 4 5

P'12P'

3P'

4P'

5P'

6P'

11S1 3

11S+112S

+ 222S122S +

422S

+ 533S233S

S143

425S

121S

S322

0

536S

S344

566S

455S

635S

452S

0

0

0

0

0

0

0

41S3 0

0

0

0

0 0

0

0 0

0

0

0

6

5

4

3

2

d'd'd'd'd'

1d'

= .

= 0

= 0

223S

19ESTRUCTURAS IV



RESOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Mtodos directos.- Son algoritmos que proporcionan una solucin exacta del sistema tras un nmero finito de operaciones.

Mtodo de Gauss

Mtodo de Gauss-Jordan

Mtodo frontal

Mtodo de Cholesky

Mtodo iterativos.- Son algoritmos que suponen una solucin inicial inexacta que va convergiendo a la solucin exacta por aproximaciones sucesivas.

C Mtodo de JacobiC Mtodo de Gauss-SeidelC Mtodo de gradientes conjugados

El problema principal de los mtodos iterativos es asegurar la convergencia de la solucin en un nmero finito de pasos.

20ESTRUCTURAS IV



CLCULO DE ESFUERZOSSe obtienen los desplazamientos en los nudos , pero interesa conocer los esfuerzos en la barras.

~ ~ ~P' = S d'

xjyiP P

xiP

m i

x'

x

y'mPyj j

y~ ~ ~d = A d'

~ ~ ~P = K d

Ecuacin compatibilidad

Ecuacin equilibrio

Al afectar a las barras una por una no es necesario recurrir a las matrices completas de la estructura, sino slo a las de cada barra, lo que supone una gran simplificacin de clculo.

21ESTRUCTURAS IV



ESTRUCTURAS PLANAS DE NUDOS ARTICULADOS

Ecuacin de la barra

Puesto en forma matricial

x'

yy'

xij

Pxi Pxji j

dxi xjd

( )

P = - P

l = d - d = P l E A

P = - P = E Al

d - d

xi xj

xj xixj

xj xi xj xi

N NPP

P

= E A

l- E A

l- E A

lE A

lK

dd

d

xi

xj

xi

xj

~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~P = K d + K d

P = K d + K di ii i ij j

j ji i jj j

22ESTRUCTURAS IV



ESTRUCTURAS PLANAS DE NUDOS ARTICULADOS: PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES.

En forma matricial

Aplicando el P.T.V.

x'

yy'

xij

xi xje e

e e1 2R R1 2

e

e i iiV dV - x R = 0 ~x = xxe 1e2e = =

ee e1 2e

e e1 2e

l 1= = ( x - x )l l

1E E ( x - x ) l

e e

e e e T1 2

e e

e1 e

e e e ee2

1 1 l l= ( x x ) = ( x ) 1 1- - l l

x1 1 1 1 = E - = E - x l l l lx

e

eel 1e e e e e e e T1 1 2 2e e e0

2e

1 R1 1 l( x ) EA - x dx = x R + x R = ( x ) l l1 R-

l

23ESTRUCTURAS IV



ESTRUCTURAS PLANAS DE NUDOS ARTICULADOS: PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES.

Integrando nos queda:

e igualando los operadores

Que es exactamente la misma expresin obtenida en el clculo matricial.

x'

yy'

xij

xi xje e

e e1 2R R1 2

e

N( ~ ) ( ~ )

~

~

x EAl

EAl

EAl

EAl

xx

= x RR

e Te e

e e

K

1e

2e

d

e T 1e

2e

Pe

eee

N

EAl

EAl

EAl

EAl

xx

= RR

e e

e e

K

1e

2e

d

1e

2e

Pe

eee

~

~

24ESTRUCTURAS IV



DISCRETIZACIN DEL CONTINUO: SISTEMAS UNIDIRECCIONALES.

l

R1 b(x) 2R

A A (x)

,

=

(x) = u (x) ( u) x x

(x) = E (x) = E (u(x) ) x

=

Aplicando el P.T.V.l

iiv 0Superficie Interior del cuerpo

dv = u R + u b(x) dx

l l

i i0 0

u ( u) EA dx - u b dx = u R x x

El problema est en la obtencin de los desplazamientos por lo que se recurre a aproximaciones.

25ESTRUCTURAS IV



APROXIMACIN POR FUNCIONES DE FORMA ni i i

1

u (x) = N (x) u

l

R1 b(x) 2R

R1 R2b(x)

1u u2R1e e e e2R

lee1 2

Parmetros del elemento:

desplazamientos en nudos

26ESTRUCTURAS IV



APROXIMACIN POR FUNCIONES DE FORMA

e1

eN1

e

N2e

2 1 2

Aproximacin lineal

ue = N1e (x) u1e + N2e (x) u2e X=0 ue = u1e

X= le ue = u2e

Para que la aproximacin sea coherente es necesario que se cumpla la condicin de desplazamiento del slido rgido.

up pu

u = up = N1 up + N2 up

N1 + N2 = 1

27ESTRUCTURAS IV



APROXIMACIN POR FUNCIONES DE FORMA

Definido en forma matricial

Siendo: Vector de funciones de forma

Vector de parmetros nodales: En este caso slo los desplazamientos u.

Las definiciones de la tensin y deformacin sern

e1e e e e e e e e e

1 1 2 2 1 2 e2

uu N u + N u = (N N ) N a

u

= =

eNea

Nee

ee e e e1e e e e e1 2 1 1

1 2 e2

B a

u N N N N u ( u + u ) ( ) B a x x x x x u

= = = =

e e e E E B a = =

28ESTRUCTURAS IV



INTEGRACIN NUMRICA: MTODO DE LAS CUADRATURAS DE GAUSS.

. Integra exactamente funciones polinmicas

. Es sencillo y de fcil implementacin en ordenador.

. Slo integra en el intervalo (-1,1) Es necesario hacer cambios de variables.

. Los puntos de Gauss son las races de los polinomiosde Legendre.

p1

p i-11

I = F ( ) d I i F( ) w =

-1 +1

i i

0.5 10

1

-1

0.5

-0.5

0P1P

2P 3P 4P 5P

0

1

22

33

4 34

5 35

P (x)= 1P (x)= x

3 1P (x)= x - 2 25 3P (x)= x - x2 235 15 3P (x)= x - x 8 4 8

. .

63 35 35P (x)= x - x x8 4 8

. . .

+

+

29ESTRUCTURAS IV



INTEGRACIN NUMRICA: MTODO DE LAS CUADRATURAS DE GAUSS.

EJEMPLO

Es un polinomio de grado 2 Basta una cuadratura de orden 2

Integracin exacta

La precisin depende de la aproximacin de los puntos de Gauss.

En el clculo en elementos finitos la integracin se hace en el recinto (-1,1)

En caso contrario Transformacin de COORDENADAS.

1 12 2

1 -1

EA EA= (1-2 ) d = (1 - 4 + 4 d2l 2l

)

2 2EA EA (1,000 1 4(0,57735) 4(0,57735) +1,000 1 4(0,57735) 4(0,57735) ) 4,66666 2l 2l

= + + + + =

11 2 2 3

11

EA EA 4 EA 8 EA (1-4 +4 -2 (2+ = 4,66667 2l l 3 2l 3 2l

) )

= = + =

30ESTRUCTURAS IV



ERRORES EN LAS FUNCIONES DE FORMA

u = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + .... Valor exacto desarrollado

u = a0 + a1x Valor aproximado ( lineal)

u = a0 + a1x + a2x2 Valor aproximado ( cuadrtico)

El error cometido ser . hm+1 ( error de aproximacin)

Funcin de forma lineal Funcin de forma cuadrtica

1 1

solucin exacta

solucin aproximada error

(error discretizacin)

aproximacinErrores

Aproximacin Funciones de forma

Discretizacin N0 Elementos

31ESTRUCTURAS IV



ECUACIN DE LOS TRABAJOS VIRTUALES PARA UN ELEMENTO.

Dada su complejidad se aproxima por las funciones de forma

Siendo

La ecuacin resulta

e el le e e e e e e1 1 2 20 0

A dx - u b dx= u R u R + e e e e e e e T e T

e e e e T e T

e e e

u N a u N a ( a ) (N )

B a ( a ) (B )

E B a

= = = = = =

e e e1e e e e e 1 2

1 2e2

u N Na N ( N N ) B = x xu

= =

2 2 el l 1e T e T e e e T e T e Te0 02

R( a ) (B ) EA B a dx- ( a ) (N ) b dx= ( a )

R

e el le T e e e T e

0 0

e e e ev

(B ) EA B dx a (N ) b dx q

K a - f = q

=

e e e ev K a - f = q

32ESTRUCTURAS IV



EJEMPLO.- BARRA DE SECCIN CONSTANTE

Formulando desplazamientos Sustituyendo en la ecuacin anterior

En forma matricial Resolviendo

1

l

(x)b = cteR

2

P

2N = x/l

1l = l

N = 1- x/l1

1

1

1

= =

= = =

111 1 112

11 111 1 1 11 112

ux xu N a 1 l l u

u N N 1 1 B a a x x l l u

( )l l1 T 1 1 1 T 10 0l l1 1

0 0

(B ) EA B dx a (N ) b dx q

1 x 1-1 1l l EA dx a b dx ql l1 x

l l

=

=

1 11 11 12 2

1 1 1 1v

EA EA bl - u R Rl l 2 EA EA bl Pu R-

l l 2 K a - f = q

= =

1

2

R= - P - b l u 0b l( P+ ) l2 u =

EA

=

33ESTRUCTURAS IV



ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES DE CLASE C(0)

Son los que garantizan la continuidad de la variable

Clase c(0) Continuidad de la variableClase c(1) Continuidad variable y 1a derivada

Desplazamiento del elemento unidimensional

u (x) = 0 + 1x + 2x2 + .... u (x) = 0 + 1x(Aproximacin Lineal)

Cambio de variable

Particularizando para los puntos 1 y 2

u (x1) = u1 = 0 + 1x1

u (x2) = u2 = 0 + 2x2

De donde

1 2

(x)N1 2(x)N

l(e)1x cx 2x

2N1N ()

=1 =0 =+1

()

c(e)

2 (x - x )l

=

2 11

1 2 2 10

u u l

u x u x l

=

=

1 2

1 2 2 1 2 1 2 1 11 1 2

N (x) N (x)

1 1 2 2

u x u x u u x x x xu (x)= x u ul l l l

u (x) = N (x) u + N (x) u

+ = +

34ESTRUCTURAS IV



ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES DE CLASE C(0).- Funciones de forma.

Lo mismo se puede obtenerse con polinomios de LAGRANGE

Para el elemento de dos nodos

Haciendo la transformacin(coordenadas normalizadas) 1 = -1 ; 2 = +1

nj1 2 n

ij 1i 1 i 2 i n i jj i

x-x(x-x ) (x-x ) ....... (x-x )N (x)= (x -x ) (x -x ) ....... (x -x ) x x

=

=

2 2 1 11 2(e) (e)

1 2 2 1

x - x x - x x - x x - xN (x)= N (x)= x - x l x - x l

= =

c(e)

x - x = 2 l

ni

ij 1 i jj i

21

1 2

12

2 1

- N ( )=-

- 1N ( )= (1 - )- 2 - 1N ( )= (1 + )- 2

=

= =

35ESTRUCTURAS IV



ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES DE CLASE C(0).- Funciones de forma.

Para un elemento de tres nodos

1N1

e

1N2

e

1N3

e

=0 =1 =+11 2 3

1

2

3

1N ( )= ( - 1)2

N ( )= (1 + ) (1 - )1N ( )= (1 + )2

36ESTRUCTURAS IV



FORMULACIN PARAMTRICA

Se basa en INTERPOLAR la geometra del elemento a partir de coordenadas de puntos conocidos

Para calcular las derivadas hay que hacer un cambio de variable

Para calcular d/dx es preciso conocer una relacin explicita entre x y . En general lo que se conocen son datos de unos puntos Interpolacin Lineal

Estas funciones de interpolacin geomtrica NO tienen que coincidir con las funciones de forma. Se definen por el grado de polinomios utilizados.

Grado ( Ni ) > grado ( Ni ) Forma superparamtrica

Grado ( Ni ) = grado ( Ni ) Forma isoparamtrica

Grado ( Ni ) < grado ( Ni ) Forma subparamtrica

1 (e) (e)1 1 2 2 1 2

2

1 (e) (e)1 2 1 2 1 2

2

uu ( )= N ( ) u N ( ) u (N N ) N a

u

udu dN ( ) dN ( ) u u (B B ) B adx dx dx u

+ = =

= = + = =

1 1

2 2

d N ( ) d N ( ) d d 1 d 1 d dx d dx d 2 dx 2 dx


= = =

+ = = = +

1 1 2 2 1 m x= N ( ) x N ( ) x ....... +N ( ) x + +

37ESTRUCTURAS IV



FORMULACIN ISOPARAMTRICA DEL ELEMENTO DE BARRA LINEAL.

Se define la variable x y su derivada respecto a

Con lo que

Aplicando estos valores a la ecuacin de la barra

Y haciendo el cambio de variable siendo

1 1 2 2(e)

1 2 2 11 2 1 2

x( )= N ( ) x N ( ) x

dx dN dN 1 1 x x l x x x xd d d 2 2 2 2

+

= + = + = = 1

(e)

2(e)

dN ( ) 1- dx l

dN ( ) 1 +dx l

=

=

1 1

2 2



= = =

+ = = = +

N2 21 1

x x(e) T (e) (e) T (e)

x xD

(B ) (E ) B dx a (N ) b dx q

=

(e) (e) (e)1 11 (e) (e) (e) (e) (e)1 2(e)1 1

2

1-B l l2D (B B ) d a b d q

2 21+B2

=

1(e) 1

1(e)v -1

1 1 -11 1 l EAlK D d =

l l 2 l1 -1 1 l

1- bll2 2f b d21- bl

2 2

=

= =

e e e ev K a - f = q

38ESTRUCTURAS IV



ELASTICIDAD PLANA

Las deformaciones sern funcin de los desplazamientos (u,v)

yz

x x

y

z

Tensin plana Deformacin plana

zz z

z

0 = 0

0 =

zz z

z

0 = 0

0 =

x

y

xy

u x v y u v y x

=

= = +

e

1 3

2

N

x

y

xy u

L

u 0 x x

u v 0 L u y y v

u v y x y x

= = = =

+

39ESTRUCTURAS IV



ELASTICIDAD PLANA

Suponiendo un elemento triangular

En resumen ponindolo en forma matricial

1

1

(e) (e) (e)1 2 3 2e (e) (e) (e)

(e) (e) (e)21 2 3

3

3

u 0 v x

N 0 N 0 N 0 u L u L N a 0

v y 0 N 0 N 0 N u

y x v

( )

= = =

# # # #

e( )

=

1 2 3

31 2

31 2

3 31 1 2 2

B B B

N N N 0 0 0 x x x

N N N 0 0 0 y y y

N N N N N N y x y x y x

=

# #

# #

# #

e

1

1

12 (e) (e) (e)

1 2 3 22

3

3

3

uv

au

( B B B a v

auv

( )

)

=

e (e) (e)B a( ) =

40ESTRUCTURAS IV



DEFORMACIONES Y TENSIONES INICIALES

Aplicando la ley de Hooke

Si existen tensiones iniciales

Aplicando estas ecuaciones al elemento

N N Nel el

0 0Total Elstica Inicial

+ = =

el0 D D ( - ) = =

N N Nel

0 0 0Total Elstica Inicial

D ( - ) = + = +

N

(e) (e) (e)

e (e) (e) e (e) (e) (e) (e)0 0

TensionesDeforminiciales0 0 iniciales

u N a B a D B a D +

D ( -

( ) ( )

.)

= = = = +

41ESTRUCTURAS IV



ECUACIONES CONSTITUTIVAS

TENSIN PLANA F= ( Fx Fy Jxy)T g= ( g x g y (xy)T

x x y2 2

y x y2 2

xy xy2

D

E E 1- 1-

E E 1- 1-E (1- ) 2 (1- )

=

= +

= +

=

En forma matricial

N

x

y

xy

2

x

y

xy

E1-

0 1 0

0 0 (1- )2D

=

~ ~ ~

1

42ESTRUCTURAS IV



ECUACIONES CONSTITUTIVAS

DEFORMACIN PLANA F= ( Fx Fy Jxy)T g= ( g x g y (xy)T

En forma matricial

x x y

y x y

xy xy

E (1- ) E(1+ ) (1-2 ) (1+ ) (1-2 )

E E (1- )(1+ ) (1-2 ) (1+ ) (1-2 )

E 2 (1+ )

= +

= +

=

x x

y x

xyxy

1 0E 1 0

(1+ ) (1-2 )1-2 0 0

2

=

43ESTRUCTURAS IV



EQUILIBRIO DEL ELEMENTO

13

2

Ry2

Rx2

x3R

Ry3

x1R

Ry1xb

yb t x

yt

=

=

= =

(e) (e)

(e) (e)

(e) (e)

u N B D D B

h= espesor del elemento

(e)

(e)

(e) (e)

a

aa

Aplicando el teorema de trabajos virtuales(e)

(e) (e)

x x y y xy xyA

x y x yA s

1 x1 1 y1 2 x2 2 y2 3 x3 3 y3

h dA =

= u b v b h dA ( u t v t ds +

+ ( u R v R u R v R u R v R

( )

( ) )

)

+ +

+ + + + + + + +

v

Puesto en forma matricial(e) (e)

(e)

xx

x y xy yA Ay

xy

x1

y1

x2x1 1 2 2 3 3s

y2y

x3

y3

b h dA = u v h dA

b

RR

Rt ( u v ds +( u v u v u v

Rt

RR

( ) ( )

) )

+

+

v

44ESTRUCTURAS IV



EQUILIBRIO DEL ELEMENTO

Con lo que se obtiene

Y sustituyendo cada trmino por su valor

Con lo que se obtiene al fin

Siendo

(e) (e) e

(e) T (e) (e) T (e) T (e) T (e)

A s ( h dA- ( u ) b h dA ( u t ds= ( a q

( )) ) )

v

e e e

(e) T (e) T (e) (e) (e) T (e) T (e) T (e) T (e) T (e)

A A s ( a (B D B a h dA ( a (N b h d ( a (N t ds= ( a q

( ) ( ) ( )) ) ) ) ) ) ) v

e e e

(e) T (e) (e) (e) T (e) T (e)

A A s

e(e)

(B ) D B h dA a (N b h dA (N t ds = q

fK

( ) ( ) ( )

( )

) ) +

v

(e) (e) (e) (e)K a f q =

(e)

(e) (e)

(e) (e) T (e)

A

(e) (e) T (e) T

A s

K (B ) D B h dA

f (N ) b h dA (N ) t ds

=

= +

v

45ESTRUCTURAS IV



TENSIONES Y DEFORMACIONES INICIALES

En este caso

Sustituyendo en la expresin matricial del teorema de trabajos virtuales.

Desarrollando esta expresin se obtiene

Con lo que se obtiene

siendo

(e) (e) e

e (e) e

e (e) (e)0 0

u N a B a

D B a D

( )

( ) ( )

( )

=

=

= +

(e) (e) e

(e) T (e) (e) T (e) T (e) T (e)

A A s ( h dA- ( u b h dA ( u t ds = ( a q

( )) ) ) ) v

(e) (e) (e) (e)

0 0

(e) T (e) (e) (e) T (e) T (e) T0 0A A

e e eev

(B D B h dA a (B D h dA (B h dA (N b h dA

f (defor. inicial) f fK ( ) ( ) ( )( )

) ) ) )

+

(e) T (e)

s

es

(N t ds= q

f ( )

)

v

(e) (e) (e) (e)K a f q =

0 0

e e e e ev sf f f f f

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + +

46ESTRUCTURAS IV



ELEMENTOS FINITOS TRIANGULARES

x,u

y,v

i j

k

e

uv

ii v

ujj1 2

3

e

vu

kk

i j

k

Elemento Coordenadas locales Coordenadas globales

e u1 u2 u3 ui uj ukv1 v2 v3 v i vj vk1 2 3 i j k

Desplazamientos u(e) = N1(e) u1(e) + N2(e) u2(e) + N3(e) u3(e)

v(e) = N1(e) v1(e) + N2(e) v2(e) + N3(e) v3(e)

47ESTRUCTURAS IV




3

2

1

1

1

1

2

3

1

2

3N1(e) N2(e) N3(e)

1

(e) (e) (e) (e) (e) (e) (e)1 1 2 2 3 3

(e) (e) (e) (e) (e) (e) (e)1 1 2 2 3 3

e (e) (e) (e)1 2 3(e)

(e) (e) (e)1 2 3

u = N u + N u + N u

v = N v + N v + N v

N 0 N 0 N 0 uu

v 0 N 0 N 0 N

( )

= =

# # ## #

e1

1 (e)1

2 (e) (e) (e) (e) (e) e1 2 3 2

2 (e)3

3

3

uv

au

N N N ) a = N av

auv

( )

( )(

=

48ESTRUCTURAS IV




En forma matricial siendo

Sustituyendo en las ecuaciones anteriores

Que es la matriz de rigidez del elemento finito triangular.

(e) (e) e

e (e) e

e (e) e0 0

u N a B a

D B a D

( )

( ) ( )

( ) ( )

=

=

= +

(e)i(e) (e) (e) (e) (e)

1 2 3 i (e)i

(e)i

(e)(e) (e) (e) (e) i

1 2 3 i

(e) (e)i i

N 0N (N N N ; N

0 N

N 0 x

NB (B B B B 0 y

N N y x

)

);

= =

= =

(e) (e)

(e)1

(e) (e) T (e) (e) (e) (e) (e)2 1 2 3A A(6x6)(e)3

T T T1 1 1 2 1 3

T T T2 1 2 2 2 3

T T3 1 3 2

B

K (B D B h dA= B D (B B B h dA

B

B DB B DB B DB

h B DB B DB B DB

B DB B DB

) )

= =

=

(e)

(e) e11 12 13

21 22 23AT

31 32 33 3 3

K K KdA= K K K

K K K B DB

( )

49ESTRUCTURAS IV




En forma matricial siendo

Sustituyendo en las ecuaciones anteriores

Que es la matriz de rigidez del elemento finito triangular.

(e) (e) e

e (e) e

e (e) e0 0

u N a B a

D B a D

( )

( ) ( )

( ) ( )

=

=

= +

(e)i(e) (e) (e) (e) (e)

1 2 3 i (e)i

(e)i

(e)(e) (e) (e) (e) i

1 2 3 i

(e) (e)i i

N 0N (N N N ; N

0 N

N 0 x

NB (B B B B 0 y

N N y x

)

);

= =

= =

(e) (e)

(e)1

(e) (e) T (e) (e) (e) (e) (e)2 1 2 3A A(6x6)(e)3

T T T1 1 1 2 1 3

T T T2 1 2 2 2 3

T T3 1 3 2

B

K (B D B h dA= B D (B B B h dA

B

B DB B DB B DB

h B DB B DB B DB

B DB B DB

) )

= =

=

(e)

(e) e11 12 13

21 22 23AT

31 32 33 3 3

K K KdA= K K K

K K K B DB

( )

50ESTRUCTURAS IV




Cada una de las submatrices ser

(e) (e)

j

i i11 12 13

(e) T (e)ij i j 21 22 23 A A

(2x2) i i 31 32 33

N 0

N N xd d d 0 x y

K (B D B h dA h d d d 0 N N 0 d d d y x

)

= =

jj j

N h dA

y N N

y x

51ESTRUCTURAS IV




Fuerzas internas del elemento

Fuerzas de volumen: fv(e)

Siendo

Fuerzas de superficie: fs(e)

e e e

0 0

(e) (e) T (e) T (e) T (e) T0 0A A A

(e) (e) (e)(e)sv

f = (N b h dA (N t ds (B D h dA (B h dA

ff f f

( ) ( ) ( )) ) ) )

+ + v

(e) (e)

e e ttv1 11

t t(e)v2 2 2A A

t t6x13 3v3

f N bN

f N b h dA = N b h dAv

N N bff

( ) ( ) = =

ix

(e) (e) (e)

iy

e

(e) x i xv i (e) TiA A A

i y i yi v2x1

b N bf N 0 N ) b h dA h dA h dAv b N b0 Nf

f( )

(

= = = =

ix

iy

e t ts1 1 1

t t(e)s2 2 2

t t6x13 3s3

xs i(e) T(e)i

i yis2x1

f N N

f N ds = N dssN N f

tf N 0 N t ds = ds =

s t0 N f

f

f

( )t

t tt

( )

= =

= =

v v

v v i xi y

N t ds

N t v

52ESTRUCTURAS IV




Fuerzas de deformaciones iniciales: fg0(e)

Fuerzas de tensiones iniciales: fF0(e)

(e) (e)

(e)e tt1 001 1

t t(e)2 0 2 002 A A0t6x1 t303 3 0

B D f B

f B D h dA = B D h dA

Bf B D f

( ) = =

0ix

(e)

0iy

(e)i i

11 12 13 x0(e) T(e)i 0 21 22 23 y0A0i i i 2x1

31 32 33 xy0

N N d d d 0 f x y

B ) D h dA d d d N Nf 0 d d d y x

f ( = =

=

(e)A h dA

(e) (e)

(e)e tt01 1 01

t t(e)2 0 2 002 A A0t t6x13 3 003

f B B

f B h dA = B

B B ff

( ) = =

0ix

(e)

0iy

(e)

(e) T(e)i 0A0i

2x1

(e) (e) (e)i ii i

x0 xy0x0

y0Ai i

xy0

f B ) h dA

f

N N N N h + 0 x y x y h dA

N N0 y x

f (

= = =

= =

(e) (e) (e)Ai i

y0 xy0

dA N Nh +

y x

53ESTRUCTURAS IV




Clculo de las funciones de forma: Parmetros nodales

u(e) = f 1(x,y) = "1 + "2 x + "3 yv(e) = f 2(x,y) = "4 + "5 x + "6 y

(e)1

(e) (e)2(e)3

(e)i(e)

i (e)i

a

a a

a

ua

v

=

=

e

3

1

1

y

x 1

2

nodo 1: u1(e) = "1 + "2 x1 + "3 y1 ; v1(e) = "4 + "5 x1 + "6 y1nodo 2: u2(e) = "1 + "2 x2 + "3 y2 ; v2(e) = "4 + "5 x2 + "6 y2nodo 3: u3(e) = "1 + "2 x3 + "3 y3 ; v3(e) = "4 + "5 x3 + "6 y3Resolviendo

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

(e) (e) (e)1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

(e) (e) (e)1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

1u= a b x c y u a b x c y u a b x c y u2A

1v= a b x c y v a b x c y v a b x c y v2A

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

54ESTRUCTURAS IV




Clculo de las funciones de forma.

3

2

1

1

1

1

2

3

1

2

3

N1(e)

N2(e)

N3(e)

1

(e) 1 1 11

a b x c yN2A

+ +=

(e) 2 2 22

a b x c yN2A

+ +=

(e) 3 3 33

a b x c yN2A

+ +=

Con

ai = xj ym - xm yjbi = yj - ymci = xm xj

Siendo

A = rea del triangulo

i, j, m ndices en permutacin cclica

55ESTRUCTURAS IV




Matriz de funciones de forma

Matriz de deformaciones

Matriz de rigidez

Siendo

(e)i(e) (e) (e) (e) (e)

1 2 3 i (e)i

(e) i i ii

N 0N (N N N ) ; N

0 Na b x c ySiendo N

2A

= =

+ +=

(e) (e) (e) (e)1 2 3

(e)i

i(e)(e) ii i

(e) (e) i ii i

B (B B B )

N 0 x b 0

N 1B 0 0 c x 2A

c b N N y x

=

= =

(e)

e

11 12 13

(e) (e) T (e)21 22 23A

31 32 33

K (B D B h dA

( )K K K

) K K K

K K K

= =

e

(e) (e) t (e)ij i jA

K (B D B h dA =( )

)=

e

j11 12i j 11 i j 33 i j 12 j i 33i i

21 22 jAi i i j 21 i j 33 i j 33 i j 22

33 j j

b 0d d 0 b b d c c d b c d b c db 0 c1 1 h d d 0 0 c h dA = 2A 2A 4A0 c b c b d b c d b b d c c d

0 0 d c b( )

+ +

= + +

56ESTRUCTURAS IV




Fuerzas de volumen:

Fuerzas de superficie:

Fuerzas de deformaciones iniciales:

Fuerzas de tensiones iniciales:

e

v1

ev v2

v3

f

f f

f

( )

( )

=

i

(e)x xie (e) t

v i (e)A Ay yi

b bN 0 Ahf (N b h dA= h dA=b b3 0 N

( ) )

=

e

s1

es s2

s3

f

f f

f

( )

( )

=

i i i xe (e) t

si ii i i y

(a b x c y) tf (N t ds= ds

(a b x c y) t( ) )

+ + =

+ + v v0

0 0

0

e

1

e2

3

f

f f

f

( )

( )

=

x011 12t i 11 x0 12 y0 i 33 xy0i i(e) (e)

0i i 0 11 22 y0Ai i i 12 x0 22 y0 i 3

33 xy0

d d 0 b (d + d )+ c d b 0 c h hf (B D h dA= d d 0 2 20 c b c (d + d )+ b d

0 0 d)

= =

3 xy0

0

0 0

0

e

1

e2

3

f

f f

f

( )

( )

=

x0i x0 i xy0i i(e) (e) t

i 0 y0A0ii i i y0 i xy0

xy0

b cb 0 c h hf (B h dA=

2 20 c b c b

)

+

= = +

57ESTRUCTURAS IV



ELEMENTOS RECTANGULARES

FUNCIONES DE FORMA

Nodos primarios

i = 1,2,3,4

Nodos medios de los lados

i = 5,6,7,8

4 1

23

7

8

5

6

a

b

b

a

=1

=1

=1 =1

=

=

0

0

x - xa

y - yb

= + + (e)i i i i i1N (1 ) (1+ ) ( 1)4

= + + +

2 2(e) 2 2i ii i iN (1 ) (1- ) (1 ) (1 )2 2

58ESTRUCTURAS IV



ELEMENTOS CURVOS

Coordenadas globales Coordenadas locales

Con esta transformacin puede aproximarse cualquier recinto.

La ecuacin general en elementos finitos ser

Siendo

4 1

23

7

8

5

6

a

b

b

a

=1

=1

=1 =1

x

y

4

8

5

1

3

7

62

n(e) (e)

i i i1

n(e) (e)

i i i1

x ( , )= N x

y ( , )= N y

(e) (e) (e) (e)K a f q = e (e) T (e)

A

(e) (e) T (e) T

A s

K (B D B h dx dy

f (N b h dx dy+ (N t ds

( ) )

) )

=

=

v

59ESTRUCTURAS IV



ELEMENTOS CURVOS

Haciendo el cambio de variables a coordenadas locales. Para hacerlo es necesario cambiar

N(e) B(e) dA

En forma matricial

dx dy = Det J(e) . d> d

i i i

i i i

N N x N y x y

N N x N y x y

= +

= +

i i

ii

(e)

ii

(e) 1

i i

N x y N x

N N x y y

J N N x (J

N N y

)

=

=

[ ] [ ]+1 +1(e) (e)A -1 -1

K F(x,y) h dx dy= G( , h J d d)=

60ESTRUCTURAS IV



GENERACIN DE MALLAS

CSe define el recinto por reas definidas por puntos (keypoints)

61ESTRUCTURAS IV



GENERACIN DE MALLAS

CSe plantea un sistema de coordenadas locales definidos por dichos puntos

CSe define una malla rectangular en coordenadas locales dividiendo el rectngulo en las divisiones que se quieran.

CPor medio de la transformacin de coordenadas se obtienen los nodos en coordenadas globales

CSe definen los elementos

8(e)

i i i1

8(e)

i i i1

x ( , )= N ( , ) x

y ( , )= N ( , ) y

62ESTRUCTURAS IV



GENERACIN DE MALLAS

Transformacin de coordenadas de malla

x

y

63ESTRUCTURAS IV



GENERACIN DE MALLAS

64ESTRUCTURAS IV



GENERACIN DE MALLAS.- MALLADO POR TAMAO.

65ESTRUCTURAS IV



GENERACIN DE MALLAS.- MALLADO POR DIVISIONES.

66ESTRUCTURAS IV



GENERACIN DE MALLAS

67ESTRUCTURAS IV



GENERACIN DE MALLAS

68ESTRUCTURAS IV



FININTRODUCCIN AL

MTODO DE ELEMENTOS FINITOS

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1a Elementos Finitos