Prezentácia programu PowerPoint - Math Hyperbolicky paraboloid.pdf · Hyperbolický paraboloid Konoid určený dvoma mimobežnými priamkami a a b, ktoré sú rôznobežné s riadiacou

1

Kapitola P3.1.1b

Hyperbolický paraboloid

Hyperbolický paraboloid

Konoid určený dvoma mimobežnými priamkami a a b, ktoré sú rôznobežné s riadiacou

rovinou , sa nazýva hyperbolický paraboloid.

Konštrukcia tvoriacej priamky:

a) Zostrojíme rovinu 1 rovnobežnú

s riadiacou rovinou .

b) 1 a = {A}

c) 1 b = {B}

d) Priamka AB je tvoriaca priamka plochy.

Priamka AB leží v rovine 1, ktorá je

rovnobežná s riadiacou rovinou , a preto má

s ňou v priestore E3 spoločný nevlastný bod,

ktorý označíme ∞C.

AB = {∞C}.

e) Na zostrojenie ďalších tvoriacich priamok

kroky a - d opakujeme pre sústavu

rovnobežných rovín 1 2 3 ...

Riadiace prvky:

a – priamka

b – priamka mimobežná s priamkou a

c – rovina rôznobežná s priamkami a, b

2

Tvoriace priamky hyperbolického paraboloidu sú rovnobežné s riadiacou rovinou .

A B

C

1

b

a

2 3

Mészárosová, Tereňová

3

Platí:

Každé tri rôzne roviny 1, 2, 3 rovnobežné

s riadiacou rovinou pretínajú riadiace

priamky a, b v dvoch trojiciach bodov s tým

istým deliacim pomerom.

(1A, 3A; 2A) = (1B, 3B; 2B)

Vlastnosti hyperbolického paraboloidu

Zhrnutie: Hyperbolický paraboloid môže byť určený aj dvoma protiľahlými stranami 1A3A, 1B3B priestorového štvoruholníka 1A3A3B1B.

Poznámka: Rovina je určená priamkami rovnobežnými

s priamkami 1A1B, 3A3B. Podrobnejšie pozri [Medek].

Platí aj opačné tvrdenie:

Ak na dvoch mimobežkách a, b určíme dve

trojice rôznych bodov 1A, 2A, 3A a 1B, 2B, 3B

s tým istým deliacim pomerom, t. j.

(1A, 3A; 2A) = (1B, 3B; 2B), tak

– priamky 1A1B, 2A2B, 3A3B sú navzájom

mimobežné a

– ktorékoľvek dve z týchto mimobežiek určia

rovinu , ktorá je rovnobežná so všetkými

priamkami 1A1B, 2A2B, 3A3B.

1A 1B

1

2A

b

a

2 3

2B

3B

3A

1A 1B

1

2A

b

a

2 3

2B

3B

3A

Tereňová

4

Nech je hyperbolický paraboloid určený dvoma protiľahlými stranami AB, CD priestorového

štvoruholníka ABCD.

1) Úsečku AB rozdelíme na 4 zhodné časti (resp.

podľa požadovanej presnosti na viac zhodných

častí). Deliace body označíme 1, 2, 3. Bod 1 je

prvý deliaci bod pri bode A.

2) Úsečku CD rozdelíme na 4 zhodné časti.

Deliace body označíme 1', 2', 3'. Bod 1' je prvý

deliaci bod pri bode D.

3) Priamky 11', 22', 33' sú tvoriace priamky plochy.

Takto získame jednu sústavu priamok.

Tereňová

Tento istý hyperbolický paraboloid môže byť určený aj

protiľahlými stranami AD, BC štvoruholníka ABCD.

Rozdelením strán AD a BC na zhodné úsečky získame

ďalšie priamky na ploche, druhú sústavu priamok.

Konštrukcia tvoriacich priamok hyperbolického paraboloidu:

A

B

C

D

x y

z

A1

B1

C1

D1

1 2

3

1'

2'

3' I

II

III

I' II'

III'

Poznámka: Ďalej budeme zobrazovať iba časť hyperbolického

paraboloidu medzi úsečkami AB, CD a AD, BC. Poznámka: Každú stranu štvoruholníka ABCD rozdelíme na 8 zhodných častí a doplníme ďalšie 4 priamky

z každej sústavy.

5 Tereňová

Poznámka: Každú stranu štvoruholníka ABCD rozdelíme na 8 zhodných častí a doplníme ďalšie 4 priamky

z každej sústavy.

A

C

D

x y

z

A1

B1

C1

D1

B

A

C

D x

y

z

A1

B1

C1

D1

B

1

2

3

1'

2'

3' I

II

III

I'

II'

III'

II

III

1

2

3

1'

2'

3'

I'

II'

III'

Poznámka: Doplníme obrys zobrazovanej plochy. Časťou obrysu je časť paraboly, ktorú zostrojíme ako

obálku priemetov zostrojených tvoriacich priamok plochy.

I

Poznámka: Pozor na označenie deliacich bodov, bod 1 je prvý deliaci bod pri bode A a bod 1' je prvý deliaci

bod pri bode D.

DWFx

http://www.math.sk/skriptaDG2/2/DWF/P3.1.1b_Hyperbolicky paraboloid_str.5.dwfx


A

B

C

D

x y

z

A1

B1

C1

D1

1 2

3

1'

2'

3' I

II

III

I' II'

III'

6


Zhrnutie:

• Hyperbolický paraboloid obsahuje dve sústavy priamok.

• Priamky z jednej sústavy sú navzájom mimobežné a rovnobežné s riadiacou rovinou.

• Každá priamka z jednej sústavy pretína všetky priamky z druhej sústavy.

• Každým bodom hyperbolického paraboloidu prechádzajú dve tvoriace priamky, pričom

každá je z inej sústavy.

• Hyperbolický paraboloid je určený priestorovým štvoruholníkom.

Tereňová

7

Zhrnutie:

Nech je hyperbolický paraboloid určený priestorovým štvoruholníkom ABCD.

1. sústava tvoriacich priamok:

Riadiace prvky hyperbolického paraboloidu:

• priamka AB

• priamka CD

• rovina rovnobežná s priamkami AD, BC

→ priamky AD, BC, 11', 22', 33' sú tvoriace priamky plochy

2. sústava tvoriacich priamok:

Riadiace prvky hyperbolického paraboloidu:

• priamka AD

• priamka BC

• rovina rovnobežná s priamkami AB, CD

→ priamky AB, CD, I I', II II', III III' sú tvoriace priamky plochy

Ak sú riadiace roviny a navzájom kolmé, tak sa plocha nazýva ortogonálny (kolmý)

hyperbolický paraboloid. Inak je to klinogonálny (šikmý) hyperbolický paraboloid.


Tereňová

A

B

C

D

x y

z

A1

B1

C1

D1

1 2

3

1'

2'

3' I

II

III

I' II'

III'

4' 3

8

Hyperbolický paraboloid je určený priestorovým štvoruholníkom ABCD.

V Mongeovej projekcii zobrazte časť hyperbolického paraboloidu medzi úsečkami AB, CD a AD, BC.

Zostrojte obidve sústavy priamok.

P7

Postup rysovania:

1) Doplníme bokorys priestorového štvoruholníka

ABCD.

2) Strany AB a CD rozdelíme napr. na 6 zhodných

častí a zostrojíme tvoriace priamky z jednej sústavy.

A1

B1

C1

D1

x1,2

y1

y3

z2

A2

B2

C2

D2

A3

C3

B3 D3

11

21

31

41

51

1' 1

2' 1

3' 1

4' 1

5' 1

12

22

32

42

52 1' 2

2' 2

3' 2

4' 2

5' 2 13

23

33

43

53 1' 3

2' 3

3' 3

5' 3

Tereňová

= z3

9




A1

B1

C1

D1

x1,2

y1

y3

z2

A2

B2

C2

D2

A3

C3

B3 D3

I1 II1

III1 IV1

V1

I2

II2

III2

IV2

V2

I3

II3

III3

IV3

V3

I' 1

II' 1 III' 1

IV' 1

V' 1

I' 2

II' 2

III' 2

IV' 2

V' 2

I' 3

II' 3

III' 3

IV' 3

V' 3

Tereňová

Postup rysovania:

3) Strany AD a BC rozdelíme tiež na 6 zhodných

častí a zostrojíme tvoriace priamky z druhej sústavy.

4' 3

10




A1

B1

C1

D1

x1,2

y1

y3

z2

A2

B2

C2

D2

A3

C3

B3 D3

11

21

31

41

51

1' 1

2' 1

3' 1

4' 1

5' 1

12

22

32

42

52 1' 2

2' 2

3' 2

4' 2

5' 2 13

23

33

43

53 1' 3

2' 3

3' 3

5' 3

I1 II1

III1 IV1

V1

I2

II2

III2

IV2

V2

I3

II3

III3

IV3

V3

I' 1

II' 1 III' 1

IV' 1

V' 1

I' 2

II' 2

III' 2

IV' 2

V' 2

I' 3

II' 3

III' 3

IV' 3

V' 3

Tereňová

Postup rysovania:

4) Doplníme obrys plochy v náryse a bokoryse ako

obálku priemetov zostrojených tvoriacich priamok

plochy.

5) Pre lepšiu názornosť vyfarbíme jednu stranu

plochy modrou farbou a druhú stranu fialovou farbou.

DWFx



4' 3

11




P7 - zhrnutie

A1

B1

C1

D1

x1,2

y1

y3

z2

A2

B2

C2

D2

A3

C3

B3 D3

11

21

31

41

51

1' 1

2' 1

3' 1

4' 1

5' 1

12

22

32

42

52 1' 2

2' 2

3' 2

4' 2

5' 2 13

23

33

43

53 1' 3

2' 3

3' 3

5' 3

I1 II1

III1 IV1

V1

I2

II2

III2

IV2

V2

I3

II3

III3

IV3

V3

I' 1

II' 1 III' 1

IV' 1

V' 1

I' 2

II' 2

III' 2

IV' 2

V' 2

I' 3

II' 3

III' 3

IV' 3

V' 3

Tereňová

12

https://i.ytimg.com/vi/UoiJHvYKiq0/maxresdefault.jpg

4 hyperbolické paraboloidy

13

http://www.archdaily.com/296093/the-church-of-st-aloysius-erdy-mchenry-architecture

Hyperbolické paraboloidy použité na zastrešenie budovy

Erdy McHenry Architecture

The Church of St. Aloysius

Jackson, NJ, USA, 2009

14

Hyperbolický paraboloid použitý na zastrešenie budovy nad štvorcovým pôdorysom

Roland Rainer

Friedrich-Ebert-Halle

Ludwigshafen am Rhein, Nemecko, 1965

http://www.db-bauzeitung.de/db-themen/db-archiv/friedrich-ebert-halle-in-ludwigshafen/

http://ludwigshafen-eberthalle.de/

15

Hyperbolické paraboloidy použité na zastrešenie nástupíšť nad obdĺžnikovým pôdorysom

Autobusové nádraží

České Budějovice, Česká republika, 2006

http://www.casopisstavebnictvi.cz/budova-doc-mercury-ceske-budejovice-s-autobusovym-nadrazim-na-strese-stavby_N336

16 x

y

z

A = A1

B1

C = C1

B

D

k = k1

P8

Vyriešte zastrešenie budovy s kruhovým pôdorysom. Použite hyperbolický paraboloid, ktorý je určený

priestorovým štvoruholníkom ABCD.

Úlohu riešte v kolmej axonometrii.

Zastrešenie budovy s kruhovým pôdorysom k

bude plocha, ktorá je časťou hyperbolického

paraboloidu.

Zostrojíme prienik tohto hyperbolického

paraboloidu s rotačnou valcovou plochou V

s riadiacou kružnicou k a s osou o = z.

V

Tereňová

D1

Poul Hultberg

Scandinavium arena

Göteborg, Švédsko, 1971

http://www.goteborgdaily.se/gothenburg-to-renovate-scandinavium

DWFx

http://www.math.sk/skriptaDG2/2/DWF/P3.1.1b_Hyperbolicky paraboloid_str.16 a 21.dwfx


17 x

y

z

A = A1

B1

C = C1

B

D

k = k1




x

y

z

A = A1

B1

C = C1 D1

B

D

6 cm

8 cm

8 cm

30 15

k = k1

Poznámka: Pri rysovaní môžete použiť rozmery,

ktoré sú uvedené na obrázku. Elipsu k zostrojíme

prúžkovou konštrukciou.

Tereňová

D1

18




B

D

x

y

z

A = A1

B1

C = C1

D1

k = k1

E1 F1

G1

E

F

G

H1 I1

J1

H

I

J

P1

Q1

P

Q

R1

S1

R

S

U

T

T1

U1

Postup rysovania:

1) Strany AB a CD rozdelíme napr. na 4

zhodné časti. Deliace body označíme E, F, G

a H, I, J. Priamky EH, FI, GJ sú tvoriace

priamky hyperbolického paraboloidu.

2) Zostrojíme prienik tvoriacej priamky EH

s rotačnou valcovou plochou V s riadiacou

kružnicou k. Priesečníky označíme P a Q.

3) Analogicky zostrojíme priesečníky

tvoriacich priamok FI a GJ s valcovou

plochou V.

V

Tereňová

19




B

D

x

y

z

A = A1

B1

C = C1

D1

k = k1

E1 F1

G1

E

F

G

H1 I1

J1

H

I

J

P1

Q1

P

Q

R1

S1

R

S

U

T

T1

U1

Postup rysovania:

4) Pre presnejšie vykreslenie prienikovej

krivky rozdelíme strany AB a CD na

8 zhodných častí a doplníme ďalšie

4 priamky z tejto sústavy. V

Poznámka: Zobrazíme iba časť tvoriacich priamok

hyperbolického paraboloidu nad kruhovým

pôdorysom k.

5) Zostrojíme 2 časti prienikovej krivky

hyperbolického paraboloidu a valcovej

plochy V a to medzi bodmi A, B a medzi

bodmi C, D. Obe krivky nakreslíme približne.

Zostrojenými bodmi prieniku preložíme krivku

(nie lomenú čiaru).

Tereňová

20




B

D

x

y

z

A = A1

B1

C = C1

D1

k = k1

E1 F1

G1

E

F

G

H1 I1

J1

H

I

J

P1

Q1

P

Q

R1

S1

R

S

U

T

T1

U1

V

Postup rysovania:

6) Strany AD a BC rozdelíme tiež na 4

zhodné časti. Zostrojíme tvoriace priamky

z druhej sústavy a určíme ich priesečníky

s rotačnou valcovou plochou V.

8) Zostrojíme ďalšie 2 časti prienikovej krivky

hyperbolického paraboloidu a valcovej

plochy V a to medzi bodmi A, D a medzi

bodmi B, C. Obe krivky nakreslíme približne.

Zostrojenými bodmi prieniku preložíme krivku

(nie lomenú čiaru).

Poznámka: Prieniková krivka leží na rotačnej

valcovej ploche V, t. j. axonometrický priemet tejto

krivky sa dotýka obrysových tvoriacich priamok

valcovej plochy V.

7) Pre presnejšie vykreslenie prienikovej

krivky rozdelíme strany AD a BC na

8 zhodných častí a doplníme ďalšie

4 priamky z tejto sústavy.

Tereňová

21




B

D

x

y

z

A = A1

B1

C = C1

D1

k = k1

E1 F1

G1

E

F

G

H1 I1

J1

H

I

J

P1

Q1

P

Q

R1

S1

R

S

U

T

T1

U1

V

Postup rysovania:

9) Doplníme obrys plochy ako obálku

axonometrických priemetov zostrojených

tvoriacich priamok plochy. Obrysová krivka je

parabola.

10) Pre lepšiu názornosť vyfarbíme

zastrešenie budovy modrou farbou a časť

valcovej plochy V medzi pôdorysňou

a hyperbolickým paraboloidom vyfarbíme

červenou farbou.

Tereňová

DWFx



22




B

D

x

y

z

A = A1

B1

C = C1

D1

k = k1

E1 F1

G1

E

F

G

H1 I1

J1

H

I

J

P1

Q1

P

Q

R1

S1

R

S

U

T

T1

U1

V

Tereňová

P8 - zhrnutie

23

http://www.arcaro.org/tension/album/saddledome.htm

Graham McCourt Architects

Olympic Saddledome

Calgary, Kanada, 1983

Hyperbolický paraboloid použitý na zastrešenie budovy – strecha je prienik gule

a hyperbolického paraboloidu

24

Rovinný rez hyperbolického paraboloidu

Hyperbolický paraboloid je plocha druhého stupňa.

Rovinným rezom hyperbolického paraboloidu môžu byť

• dve tvoriace priamky (Ak rovina rezu obsahuje jednu tvoriacu priamku, tak obsahuje ešte jednu

ďalšiu tvoriacu priamku. Rovina rezu je dotyková rovina plochy v priesečníku tvoriacich priamok.)

• parabola (Ak je rovina rezu rovnobežná s priamkou o = ∩ a neobsahuje žiadnu priamku plochy,

tak rez je parabola. Os paraboly je rovnobežná s priamkou o.)

• hyperbola (V každom inom prípade je rez hyperbola. Asymptoty hyperboly sú rovnobežné

s priesečnicami roviny rezu s rovinami a .)

Poznámka: Podrobnejšie pozri [Medek].

Poznámka: Nech je hyperbolický paraboloid

určený priestorovým štvoruholníkom ABCD.

Rovina je rovnobežná s priamkami AD, BC.

Rovina je rovnobežná s priamkami AB, CD.

(pozri stranu 7)

y

B

D

x

z

A = A1

B1

C = C1 D1

''

'

p'

p''

p''

p

h

q' q''

q

p'

p''

''

'

O

p'

T

T

Tereňová

y

25

P9


Zostrojte rezy hyperbolického paraboloidu súradnicovými rovinami a rovinami s nimi rovnobežnými

a incidujúcimi s bodmi A, B, C a D. Úlohu riešte v axonometrii.

Tereňová

B

D

x

z

A = A1

B1

C = C1 D1

O

Poznámka: Pri rysovaní dodržte nasledujúce podmienky:

AO = CO

B1O = D1O

BB1 = DD1.

Postup rysovania:

1) Zostrojíme tvoriace priamky hyperbolického

paraboloidu. Každú stranu štvoruholníka ABCD

rozdelíme napr. na 8 zhodných častí. Zobrazíme

časť hyperbolického paraboloidu medzi úsečkami

AB, CD a AD, BC.

y

26 Tereňová

B

D

x

z

A = A1

B1

C = C1 D1

E1

E

PEF

F1

F

h

O

Postup rysovania:

2) Zostrojíme rez hyperbolického paraboloidu

pôdorysňou. Rezom je hyperbola h a jej body sú

pôdorysné stopníky tvoriacich priamok plochy.




Poznámka: Parabola p' (p'' ) sa pretína s hyperbolou h na

pôdorysnej stope roviny ' ('' ). Priesečníky označíme 1, 2 (3, 4).

Postup rysovania:

3) Rez hyperbolického paraboloidu nárysňou

je parabola p. Jej body sú priesečníky

tvoriacich priamok plochy s nárysňou.

4) Analogicky zostrojíme rez hyperbolického

paraboloidu rovinami ' a '', ktoré sú rovnobežné

s nárysňou a incidujú s bodmi B a D. Rezové

krivky sú paraboly p' a p'' zhodné s parabolou p.

y

27 Tereňová

B

D

x

z

A = A1

B1

C = C1 D1

1

2

3

4

E1

E

PEF

F1

F

p'

p''

p'

p''

p

h

H1

G

G1

H

S1

S

''

'

R1

R

O




Postup rysovania:

5) Rez hyperbolického paraboloidu bokorysňou

je parabola q. Jej body sú priesečníky tvoriacich

priamok plochy s bokorysňou.

y

28 Tereňová

B

D

x

z

A = A1

B1

C = C1 D1

''

'

1

2

3

4

E1

E

PEF

F1

F

p'

p''

p''

p

h

q'

q''

q

p'

p''

R1

R

O

p'

H1

G

G1

H

S1

S

6) Analogicky zostrojíme rez hyperbolického

paraboloidu rovinami ' a '', ktoré sú rovnobežné

s bokorysňou a incidujú s bodmi A a C. Rezové

krivky sú paraboly q' a q'' zhodné s parabolou q.




y

29 Tereňová

B

D

x

z

A = A1

B1

C = C1 D1

1

2

3

4

E1

E

PEF

F1

F

p'

p''

p''

p

h

q'

q''

q

p'

p''

''

'

R1

R

O

p'

H1

G

G1

H

S1

S

8) Vyznačíme časť hyperbolického paraboloidu

nad pôdorysňou a medzi rovinami ' a ''. Pre

lepšiu názornosť vyfarbíme jednu stranu plochy

modrou farbou a druhú stranu fialovou farbou.

Postup rysovania:

7) Doplníme obrys plochy ako obálku

axonometrických priemetov zostrojených

tvoriacich priamok plochy. Časť obrysovej

krivky je parabola.




y

30 Tereňová

B

D

x

z

A = A1

B1

C = C1 D1

''

'

1

2

3

4

E1

E

PEF

F1

F

p'

p''

p''

p

h

q'

q''

q

p'

p''

''

'

R1

R

O

p'

H1

G

G1

H

S1

S

P9 - zhrnutie




31

Félix Candela

L'Oceanogràfic

Valencia, Španielsko, 2003

Félix Candela

Restaurante Los Manantiales,

Xochimilco, Ciudad de México,

Mexiko, 1958


https://en.wikipedia.org/wiki/L'Oceanogr%C3%A0fic

https://es.wikiarquitectura.com/index.php/Restaurante_Los_Manantiales

Poznámka: Strecha budovy je zložená

zo 4 hyperbolických paraboloidov.

32

Matthew Nowicki, William Henley Dietrick

J. S. Dorton Arena (Paraboleum)

Raleigh, North Carolina, USA, 1952

Hyperbolický paraboloid použitý na zastrešenie budovy

http://www.ncstatefair.org/facilities/dorton.htm

http://www.arcaro.org/tension/album/dorton.htm

Poznámka: Je to prvá budova zastrešená pomocou lanovej siete tvaru hyperbolického paraboloidu.

Strecha je medzi dvoma parabolickými oblúkmi.

33


Helmut Hafner

Kindergarten

Stainz, Steiermark, Rakúsko, 1993

http://www.thecube.at/kindergarten-stainz.html

Poznámka: Hyperbolický paraboloid je translačná plocha,

ktorá vznikne posúvaním paraboly po parabole (pozri

kapitolu Translačné plochy).

Documents

Prezentácia programu PowerPoint - Math Hyperbolicky paraboloid.pdf · Hyperbolický paraboloid Konoid určený dvoma mimobežnými priamkami a a b, ktoré sú rôznobežné s riadiacou