Pracownia Astronomiczna

Błędy pomiarowe Analiza pomiarów

Przenoszenie błędu Cyfry znaczące i zaokrąglanie

Każdy pomiar obarczony jest błędami Przyczyny ograniczeo w pomiarach:

• Ograniczenia instrumentalne – każdy przyrząd pomiarowy jest wykonany ze ograniczoną dokładnością.

• Błędy systematyczne – są to błędy spowodowane przez czynnik (instrument, technika), który nie zmienia się w trakcie pomiarów. Powodują systematyczne odchylenie pomiarów od wartości prawdziwej. Również wartośd średnia wyliczonej z wielu pomiarów będzie obciążona tymi błędami. Nie są uwzględniane w oszacowaniu niepewności pomiarowej, dlatego są wyjątkowo wredne (trudne do wykrycia).

• Błędy losowe – wynikają z różnych przyczyn losowych (nieprzewidzianych, nieznanych), np. z niezauważonych drobnych zmian w czasie pomiarów. Zachowanie tych błędów jest często przewidywalne (metody statystyczne). Prawdziwie losowe błędy nie mają wpływu na wartośd średniej liczonej z wielu pomiarów.

• „Błąd” człowieka – błąd wynikający ze źle wykonanej pracy.

Błąd i niepewnośd pomiaru Te dwa terminy oznaczają:

• Błąd pomiaru – różnica między wartością zmierzoną a wartością prawdziwą (wzorcową, oczekiwaną). Błąd pomiaru jest nieznany! Gdybyśmy go znali, poprawka pomiaru na błąd byłaby prosta.

• Niepewnośd pomiaru – przedział, w którym z pewnym prawdopodobieostwem znajduje się prawdziwa wartośd wielkości mierzonej. Niepewnośd tę możemy oszacowad.

• Wartośd prawdziwa – jest nieznana, ale zakładamy, że istnieje (co nie zawsze musi byd prawdą)

Precyzja a dokładnośd pomiaru • Pomiar precyzyjny – kolejne niezależne pomiary tej samej jakości są bliskie siebie. Ich

średnia może byd jednak odległa od wartości prawdziwej/wzorcowej (inaczej: błędy losowe są małe).

• Pomiar dokładny – kolejne niezależne pomiary są bliskie wartości prawdziwej/wzorcowej. (inaczej: błędy systematyczne są małe)

niska precyzja niska dokładnośd

niska precyzja wysoka dokładnośd

wysoka precyzja niska dokładnośd

wysoka precyzja wysoka dokładnośd

na powyższych rysunkach: - pojedynczy pomiar, x - wartośd średnia, + - wartośd prawdziwa

x

+ x + x + x +

Zapisywanie wyników Każdy pomiar podawany jest łącznie z niepewnością. Pozwala to ocenę jego jakości. Przykład: Z pomiarów otrzymujemy, że masa obiektu może wynosid 1.54 kg, ale może to byd nieco mniej (1.51 kg) lub trochę więcej (1.57 kg). Taki pomiar zapiszemy

𝑀 = 1.54 ± 0.03 kg Przy zapisie musimy pamiętad, że wynik musi byd zapisany zgodnie z precyzją, z jaką jest znany. Tu stosujemy zasadę cyfr znaczących:

Zaokrąglany niepewnośd pomiarową do dwóch cyfr znaczących i dostosowujemy do niej precyzję zapisu pomiaru przez zaokrąglanie.

Cyfry znaczące Cyfry znaczące to te, które mają znaczenie fizyczne (są uzasadnione niepewnością pomiaru). Przykłady:

dobrze: 𝟏𝟎. 𝟒𝟕 ± 𝟎. 𝟐𝟑 źle: 10.47 ± 0.232, 10.5 ± 0.23, 10.473 ± 0.23

4200 ± 43 wynik ma 4 cyfry znaczące, w tym 2 zera 4200 ± 1500 2 cyfry znaczące, zera nie są znaczące z powodu wielkości niepewności 4214 ± 1500 zły zapis, cyfry 14 nie mają znaczenia

Istotne zasady:

• Niepewnośd pomiarowa powinna byd zapisana z dwiema cyframi znaczącymi. To zasada przyjęta np. w zapisywaniu stałych fizycznych podstawowych. Pozwala ona też minimalizowad błędy zaokrąglania.

• Wszystkie cyfry niezerowe są znaczące.

• Wszystkie zera między cyframi niezerowymi są znaczące (np. 1507 – tu wszystkie cyfry są znaczące).

• Zera poprzedzające nie są znaczące (np. 0.056 ma tylko 2 cyfry znaczące 5 i 6).

• Zera następujące po kropce dziesiętnej są znaczące (np. 14.0 ma 3 cyfry znaczące w tym koocowe zero).

• Zera następujące przed kropą dziesiętną mogą byd znaczące (np. 4200 w powyższym przykładzie)

Zaokrąglanie Zasady zaokrąglania:

• Jeśli pierwsza cyfra do odrzucenia jest mniejsza niż 5, usuwany cyfry nieznaczące

przykład (złóżmy, że ostatnią cyfrą znaczącą jest pierwsza cyfra „po przecinku”):

5.326 → 5.3

• Jeśli pierwsza cyfra do odrzucenia jest większa niż 5, usuwając cyfry nieznaczące i podnosimy wartośd ostatniej cyfry znaczącej o 1

przykład (złóżmy, że ostatnią cyfrą znaczącą jest pierwsza cyfra „po przecinku”):

5.386 → 5.4

• Jeśli pierwsza cyfra do odrzucenia jest równa 5, zaokrąglamy ostatnią cyfrę znaczącą do najbliższej cyfry parzystej. To ogranicza wpływ zaokrąglania na wynik.

przykład (złóżmy, że ostatnią cyfrą znaczącą jest pierwsza cyfra „po przecinku”):

7.550 → 7.6 7.650 → 7.6

Analiza statystyczna pomiarów Wielokrotna powtórzenie pomiaru pozwoli:

• lepiej oszacowad, jaka może byd wartośd prawdziwa

• poznad niepewnośd naszych pomiarów

Co możemy wyznaczyd:

• wartośd średnia: 𝑥ś𝑟 =𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑁

𝑁=

1

𝑁 𝑥𝑖𝑁𝑖=1

• lub średnia ważona: 𝑥ś𝑟 =𝑤1𝑥1+𝑤2𝑥2+⋯+𝑤𝑁𝑥𝑁

𝑤1+𝑤2+⋯+𝑤𝑁=

𝑤𝑖𝑥𝑖𝑁𝑖=1

𝑤𝑖

• residua (odchylenia): 𝑑𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥ś𝑟

• średnia z residuów: 1

𝑁 𝑑𝑖𝑁𝑖=1 = 0 (zawsze wynosi 0 i dlatego nie daje żadnej informacji)

Uwaga:

Średnia nie jest wartością prawdziwą! Średnia może stanowid oszacowanie tej wartości.

Residua nie są błędami!

Analiza statystyczna pomiarów Co możemy wyznaczyd:

• średnie odchylnie: α =1

𝑁 𝑑𝑖𝑁𝑖=1 =

1

𝑁 𝑥𝑖 − 𝑥ś𝑟𝑁𝑖=1

• odchylenie standardowe: 𝜎 = 𝑥𝑖−𝑥ś𝑟

2𝑁𝑖=1

𝑁

Co odchyleniem standardowym (niepewnością pomiaru) wartości średniej? (za chwilę)

Uwaga:

𝜎 informuje nas o typowej niepewności jednego pomiaru, ale nie jest niepewnością pomiarową wartości średniej.

𝜎2 to tzw. wariancja

Analiza statystyczna pomiarów Wielokrotna powtórzenie pomiaru pozwoli:

• lepiej oszacowad, jaka może byd wartośd prawdziwa

• poznad niepewnośd naszych pomiarów

Szczegóły analizy statystycznej pomiarów zależą od wielkości próby (liczby powtórzeo pomiarów).

Przy próbie poniżej 10-30 pomiarów wyznaczamy (N – liczba pomiarów, x – wielkośd mierzona):

• wartośd średnia: 𝑥ś𝑟 =𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑁

𝑁

• zakres (rozrzut): 𝑅 = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛

• niepewnośd jednego pomiaru: ∆𝑥 =𝑅

2

• niepewnośd wartości średniej: ∆𝑥ś𝑟 =∆𝑥

𝑁

• koocowy zapis wyniku: 𝑥ś𝑟 ± ∆𝑥ś𝑟

Zwiększenie liczby pomiarów zwiększa precyzję wartości średniej i zmniejsza jej niepewnośd.

Analiza statystyczna pomiarów Jeśli pomiar zaburzany jest tylko błędami losowymi, rozkład mierzonych wartości ma zwykle kształt rozkładu normalnego (patrz rysunek). Widad to przy dużej liczbie pomiarów.

Stąd, przy próbie poniżej 30 możemy wyznaczyd (N – liczba pomiarów, x – wielkośd mierzona):

• wartośd średnia: 𝑥ś𝑟 =𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑁

𝑁=

𝑥𝑖𝑁𝑖=1

𝑁

• niepewnośd jednego pomiaru: ∆𝑥 = 𝜎 = 𝑥𝑖−𝑥ś𝑟

2𝑁𝑖=1

𝑁−1

• niepewnośd wartości średniej: ∆𝑥ś𝑟 = 𝜎ś𝑟 =𝜎

𝑁

• koocowy zapis wyniku 𝑥ś𝑟 ± 𝜎ś𝑟

Wartości 𝑥ś𝑟 oraz 𝜎 są parametrami charakteryzującymi rozkład normalny.

𝑥ś𝑟

liczb

a p

om

iaró

w

Przenoszenie błędów Rozważmy taki przykład.

Mierzymy długości boków prostokąta 𝑎 i 𝑏. Każdy z tych wielkości znamy z pewną niepewnością. Jeśli z tych pomiarów wyznaczymy obwód i pole prostokąta, to jaką niepewnością będą obciążone te wielkości?

Przenoszenie błędów Rozważmy taki przykład.

Mierzymy długości boków prostokąta 𝑎 i 𝑏. Każdy z tych wielkości znamy z pewną niepewnością. Jeśli z tych pomiarów wyznaczymy obwód i pole prostokąta, to jaką niepewnością będą obciążone te wielkości?

Możemy to obliczyd dzięki analizie przenoszenia błędów. Dodatkowym efektem tej analizy jest możliwośd wskazania źródła dominującego błędu i następnie jego zredukowania.

W analizie konieczne jest obliczanie pochodnych cząstkowych. Jeśli wartośd koocowa zależy od dwóch lub więcej zmiennych obciążonych błędem, to mamy (w przypadku dwóch zmiennych):

• funkcja dwóch zmiennych: 𝑓 𝑥, 𝑦

• pochodna cząstkowa po 𝑥: 𝜕𝑓(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥 (wartośd 𝑦 traktujemy jak stałą)

• pochodna cząstkowa po 𝑦: 𝜕𝑓(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦 (wartośd 𝑥 traktujemy jak stałą)

Jeśli wartośd koocowa zależy od jednej zmiennej, liczymy zwykłą pochodną.

• funkcja jednej zmiennej: 𝑓 𝑥

• pochodna zwykła po 𝑥: 𝑑𝑓(𝑥)

𝑑𝑥

Przenoszenie błędów Ogólny wzór przenoszenia błędów umożlwiający oszacowanie niepewności wartości koocowej, która zależy od M zmiennych 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑀 (niezależnych od siebie!):

• wartośd koocowa: 𝑓 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑀

• niepewności poszczególnych zmiennych: 𝜎𝑎1 , 𝜎𝑎2, …, 𝜎𝑎𝑀

• niepewnośd wartości koocowej: 𝜎𝑓 = 𝜕𝑓

𝜕𝑎𝑗

2

𝜎𝑎𝑗

2𝑀𝑗=1

Kroki do wykonania, aby otrzymad 𝜎𝑓 i zapisad koocowy wynik:

• Ustal od jakich zmiennych 𝑎 zależy wartośd koocowa 𝑓 oraz jaka jest postad funkcji opisującej tę zależnośd i jakie są niepewności 𝜎𝑎.

• Zapisz postad wszystkich potrzebnych pochodnych cząstkowych 𝜕𝑓

𝜕𝑎𝑗.

• Oblicz i posumuj wszystkie wyrażenia 𝜕𝑓

𝜕𝑎𝑗

2

𝜎𝑎𝑗

2

• Wyciągnij pierwiastek z powyższej sumy.

• Zaokrąglij: 𝜎𝑓 do dwóch cyfr znaczących, a koocowy wynik 𝑓 zgodnie z zaokrąglonym 𝜎𝑓

• Zapisz koocowy wynik w formie 𝑓 ± 𝜎𝑓