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Analisis de sistemas decontrol en el espacio de
estados
Cuevas, Hernández, Valderrama
Indice
– Representaciones canónicas en el espacio de estados• Forma Canónica controlable• Forma Canónica Observable• Forma Canónica Diagonal• Forma Canónica de Jordan
– Eigenvalores de una matriz A de nxn– Diagonalización de una matriz de nxn– Invarianza de EigenValores– No-unicidad de un conjunto de variables de estado
Un sistema cualquiera sepuede representar asi:
Forma canónica controlable
Forma canónica observable
Forma canónica diagonal
Forma canónica de Jordán
Ejemplo de representaciones
Forma canónica controlable
Sea:
Representese en espacio de estados en la forma canónicacontrolable, observable y de Jordan
Forma canónica observable
Forma canónica diagonal
Eigenvalores de una matriz Ade nxn
Los eigenvalores (valores propios o autovalores)son las raices de la siguiente ecuación característica
Por ejemplo, considerese:
Los eigenvalores son entonces -1, -2 y -3
Diagonalización de una matriznxn
Sea una matriz con eigenvalores distintos:
La transformación x=Pz, donde P es
Donde λn son distintos eigenvalores de A
Transformará P-1AP en la matriz diagonal:
Si la matriz A definida por la ecuación incluye valores propios múltiples, la transformación amatriz diagonal es imposible . Por ejemplo, si la matriz diagonal es imposible.
A esta forma se denomina forma canoníca de Jordán
EjemploConsiderese la siguiente representacion en espacio de estado de un sistema
Donde:
o de forma estándar:
Los eigenvalores de A son:
Se tienen pues tres eigenvalores distintos. Si se define una variable de estado zmediante la transformacion:
donde:
entonces al sustituir en la ecuacion de espacios de estados original se tiene:
y al multiplicar por P-1
simplificando da
La ecuación de salida se modifica asi:
Con la transformadainversa de laplace
Ejemplo
Invarianza de losEigenvalores
Para comprobar que los eigenvalores son identicos aun despues de unatransformacion lineal se demostrará que se mantiene la relacion:
=
Puesto que la determinante de un producto es el producto de lasdeterminantes, se tiene:
La no unicidad de un conjuntode variables de estado
Se comprobará que un conjunto de variables de estado no es unico para un sistemadado. Sean x1, x2, …, x3 un conjunto de variables de estado. Entonces se pueden tomarcomo otro conjunto de variables de estado cualquier conjunto de funciones:
Siempre que para cada conjunto de valores corresponda un conjuntoúnico de valores x1, x2, …, xn, y viceversa. Por lo cual, si x es un vector de estado,entonces , donde
Es también un vector de estado, mientras que P sea no singular. Se puede obtener lamisma información sobre el comportamiento de un sistema de diferentes vectores deestado.
Ejemplo
Considérese el sistema definido por
Variables de estado
A sustituir
La ecuación de salida esta dada por
Se pueden colocar en la forma normalizada , como
donde
Bibliografia
• Ingeniería de Control Moderno, Ogata