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francisco-daza
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jlc
El espacio de estados es un ente matemtico que
permite obtener el modelo de un sistema en el
dominio del tiempo; es tan general que sirve para
sistemas no lineales y de mltiples entradas y
salidas.
jlc
Ventajas de la Representacin en Variables de
Estado
La representacin de sistemas de mltiples entradas
y mltiples salidas es ms sencilla
Toda la dinmica del sistema se representa por
ecuaciones diferenciales o de diferencia de primer
orden.
jlc
Simulacin con mtodos computacionales ms
eficientes
Nueva perspectiva sobre la dinmica de los
sistemas
Algunas de las tcnicas de control moderno se
basan en este tipo de representacin.
jlc
o Variables de estado.
Conjunto mnimo de variables del sistema, tal que,
conocido su valor en un instante dado permiten
conocer la respuesta del sistema ante cualquier
seal de entrada o perturbacin.
Estas variables de estado deben ser linealmente
independientes entre s.
jlc
o Estado de un sistema dinmico.
Es el conjunto mnimo de informacin tal que su
conocimiento en = 0 conjuntamente con la entrada para 0 , determina totalmente el comportamiento el sistema para 0.
o Vector de estado.
Es aquel que tiene como componentes las
variables de estado ()
jlc
Ecuacin de estados
Ecuacin de salida
u: vector de entradas
y: vector de salidas
x: vector de variables de estado.
A: Matriz caracterstica del sistema
B: Matriz de entrada
C: Matriz de salida
D: Matriz de transferencia directa
entrada-salida
jlc
El modelo en EE para una planta con n variables de estado, p entradas y q salidas estara compuesto por dos ecuaciones
= +
= + ( )( )
jlc
Espacio de estados cannicos EEC Controlable y observable
Espacio de estados fsicos EEF Por variables fsicas y por elementos que almacenan energa
jlc
Para los sistemas LTI, existen infinitas formas de
representar los sistemas por EE, formas que son de
referencia llamadas cannicas (normadas o
estandarizadas) que nos sern tiles en el momento
de analizar y disear el control para el sistema.
Adems no existe solamente una sola forma
cannica, sino varias como son controlable,
observable, entre otras
jlc
El modelo de una planta tipo SISO expresado por una
EDO de orden
El nmero de variables de estado es igual al orden
de la ecuacin diferencial.
jlc
ubdt
dub
dt
ydb
dt
udbya
dt
dya
dt
yda
dt
yda
m
m
mn
n
n 012
2
2012
2
2 .....
En primer lugar expresados de la forma mnica:
coeficiente de la derivada de mayor orden igual a 1),
y el coeficiente de u(t) igual a 1.
Definiendo las variables de estado como la salida junto con sus 1 derivadas
jlc
uyadt
dya
dt
yda
dt
yda
dt
ydn
n
nn
n
012
2
21
1
1 ..
1 = 2 = 3 = =
1
jlc
Todas la derivadas de las variables de estado se
expresaron en funcin de variables de estado, excepto
. . Sin embargo, se puede despejar de la EDO
declarando las derivadas de las variables de estado
como sigue
n
n
dt
yd
yadt
dya
dt
yda
dt
ydau
dt
ydn
n
nn
n
012
2
21
1
1 ..`
1021321 ..` xaxaxaxaux nnn
Entonces las ecuaciones de primer orden seran
jlc
Expresadas en forma canonca matricial se obtendra
Como es de notarse la matriz caracterstica del
sistema A queda en trminos de los coeficientes de la
ecuacin diferencial.
jlc
Expresadas en forma de Diagrama de Bloques
jlc
El modelo genrico de espacio de estados obtenido es
un modelo en forma cannica controlable, que est
compuesto como se muestra en la siguiente ecuacin
Donde
0 = vector de ceros de orden (n-1)x1 1x(n-1), segn sea el caso.
= Matriz identidad de orden n-1
a = Vector de coeficientes de la EDO de orden n
jlc
-
Cualquier modelo en EE cuya matriz caracterstica del
sistema tenga estas componentes (0, y a), sin importar el orden donde se encuentren ubicadas
(siempre y cuando cumplan con que A sea de orden n),
se considera un modelo cannico de la planta.
jlc
El EE se puede obtener directamente de EDO o de FT, teniendo cuidado de dejar la representacin de forma
mnica (el coeficiente de mayor exponente sea 1)
jlc
uyadt
dya
dt
yda
dt
yda
dt
ydn
n
nn
n
012
2
21
1
1 .. EDO
FT
Representar la EDO con C.I.=0 por EEc
jlc
>> sft=tf(1,[1 3 2]);
>> [yt_ft,t]=step(sft,t);
>> yt=dsolve('2*D2y+6*Dy+4*y=2','y(0)=0','Dy(0)=0');
>> t=[0:.1:10];
>> yt_edo=subs(yt,t);
>> see=ss([0 1;-2 -3],[0;1],[1 0],0);
>> [yt_ee]=step(see,t);
>> subplot(131)
>> plot(t,yt_edo,b)
>> subplot(132)
>> plot(t,yt_ft,r)
>> subplot(133)
>> plot(t,yt_ee,g)
jlc
01
2
2
1
1
01
2
2
1
1
..
..
)(
)()(
asasasas
bsbsbsbsb
sU
sYsG
n
n
n
m
m
m
m
ubdt
dub
dt
udb
dt
udbya
dt
dya
dt
yda
dt
ydm
m
mm
m
mn
n
nn
n
011
1
1011
1
1 ......
El EE que representa al sistema se puede hallar
recordando que la FT se puede expresar en DB como
una multiplicacin de funciones, tal y como
aparece a continuacin.
jlc
01
2
2
1
1
01
2
2
1
1
..
..
asasasas
bsbsbsbsbn
n
n
m
m
m
m
U(s)
Y(s)
01
2
2
1
1 .. bsbsbsbsbm
m
m
m
Y(s) 01
2
2
1
1 ..
1
asasasas nnn
U(s) Z(s)
Si tomamos el sistema ente U(s) y la variables de
estados a la variable auxiliar Z(s) y sus n-1
derivadas tendramos el caso estudiando
anteriormente, por ende la ecuacin de estados se
mantendra igual para (n>m).
jlc
01
2
2
1
1 ..
1
asasasas nnn
U(s) Z(s)
La ecuacin de salida que expresa y(t) se obtendra
de la transformada inversa de Laplace de la FT
contenida en el bloque que tiene como entrada Z(s)
y como salida Y(s).
En funcin de las variables de estado
jlc
01
2
2
1
1 .. bsbsbsbsbm
m
m
m
Y(s) Z(s)
Ordenando el sistema de manera vectorial y DB se
tiene:
jlc
jlc
>> t=[0:.1:7];
>> sft=tf([2 1],[1 2 1]);
>> see=ss([0 1;-1 -2],[0;1],[1 2],0);
>> [yt_ft]=step(sft,t);
>> [yt_ee]=step(see,t);
>> plot(t,yt_ee,'xr',t,yt_ft,'b')
Los coeficiente de ci se calculan de realizar la divisin de los polinomio B(s) entre A(s) siendo d0 es el residuo de la divisin.
jlc
ubdt
dub
dt
udb
dt
udbya
dt
dya
dt
yda
dt
ydm
n
nn
n
nn
n
nn
n
011
1
1011
1
1 ......
01
2
2
1
1
01
2
2
1
1
..
..
asasasas
bsbsbsbsbn
n
n
n
n
n
n
U(s)
Y(s)
0
01
2
2
1
1
01
2
2
1
1
..
..d
asasasas
cscscscn
n
n
n
n
U(s)
Y(s)
y
Si n>m entonces bn== bm+1=0. Lo anterior es la una manera general de mostrar la forma CANONCA CONTROLABLE
jlc
nnnnnn babcbabcbabc 111111000 ,,, nbd 0
Para obtener la representacin en forma CANONCA
OBSERVABLE se puede realizar la asignacin
siguiente:
jlc
jlc
jlc
jlc