Presentación de PowerPoint y... · Carmen Cortés Parejo Tema 2: Introducción a la Teoría de la Probabilidad Experimento: lanzar un dado Espacio muestral: 𝑆=1,2,3,4,5,6 Suceso

Carmen Cortés Parejo

Tema 2: Introducción a la Teoría de la Probabilidad

Experimento aleatorio:

Se puede repetir siempre en las mismas condiciones.

No se puede predecir el resultado, pero si se repite un número elevado de veces se observan regularidades.

Se conocen de antemano los posibles resultados.

Ejemplos: lanzar una moneda, lanzar un dado, nacimiento de un individuo…

Espacio muestral 𝑆: conjunto de todos los posibles resultados del experimento.

Suceso aleatorio: cualquier subconjunto de 𝑆. Suelen denotarse por las primeras letras del alfabeto: 𝐴, 𝐵, 𝐶…

Suceso imposible ∅: conjunto vacío.

Suceso seguro 𝑆: es propio espacio muestral considerado como suceso.

Sucesos elementales: están formados por un único elemento.



Experimento: lanzar un dado

Espacio muestral: 𝑆 = 1,2,3,4,5,6

Suceso imposible: ∅

Suceso seguro: 𝑆 = 1,2,3,4,5,6

Sucesos elementales: {1}, {2}, … {6}

Otros sucesos:

𝐴 = 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑟 𝑝𝑎𝑟 = 2,4,6

𝐵 = 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑟 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 4 = 5,6

𝐶 = 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 4 = {1,2,3,5}

𝐷 = {1,6}


Tema 2: Introducción a la Teoría de la ProbabilidadDados dos sucesos 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑆:

𝑆𝐴

𝐵

𝑆𝐴

𝐵

𝑆

𝐴𝐵

𝑆𝐴

𝐵

𝑆𝐴

𝐵

Suceso unión: 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∈ Τ𝑆 𝑥 ∈ 𝐴 ó 𝑥 ∈ 𝐵}

Suceso intersección: 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥 ∈ Τ𝑆 𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 𝑥 ∈ 𝐵

Sucesos incompatibles: 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅

Suceso complementario ocontrario de 𝑨: ҧ𝐴 = 𝑥 ∈ Τ𝑆 𝑥 ∉ 𝐴

Diferencia de sucesos: 𝐴 ∖ 𝐵 = 𝑥 ∈ Τ𝑆 𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 𝑥 ∉ 𝐵 = 𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)




Espacio muestral: 𝑆 = 1,2,3,4,5,6

Suceso imposible: Ø

Suceso seguro: 𝑆 = 1,2,3,4,5,6

Sucesos elementales: {1}, {2}, … {6}

Otros sucesos:

𝐴 = 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑟 𝑝𝑎𝑟 = 2,4,6

𝐵 = 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑟 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 4 = 5,6

𝐶 = 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 4 = {1,2,3,5}

𝐷 = {1,3}

𝐴 ∪ 𝐵 = {2,4,5,6}

𝐴 ∩ 𝐵 = 6

𝐴 ∩ 𝐷 = ∅ ⟹ 𝐴 𝑦 𝐷 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

ҧ𝐴 = 1,3,5

𝐴 ∖ 𝐵 = {2,4}

ҧҧ𝐴 = 𝐴

ഥ∅ = 𝑆 𝑦 ҧ𝑆 = ∅

𝐴 ∪ 𝐵 = ҧ𝐴 ∩ ത𝐵

𝐴 ∩ 𝐵 = ҧ𝐴 ∪ ത𝐵

Algunas propiedades:

Ejercicio 2.1 y 2.2

LEYES DE DE MORGAN



Probabilidad de Laplace o “a priori”:

Se puede aplicar a sucesos de un espacio muestral que procede de un experimento que da lugar a un número finito

de resultados posibles, todos igualmente factibles.

𝑃 𝐴 =𝑛º 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

𝑛º 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠


𝐴 = 𝑠𝑎𝑐𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟 ⟶ 𝑃 𝐴 =3

6=1

2

Experimento: extraer una carta de una baraja de 40 cartas

𝐵 = 𝑠𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑜 ⟶ 𝑃 𝐵 =10

40=1

4

Ejercicio 2.6 y 2.5



Definición axiomática de probabilidad:

Dado un espacio muestral 𝑆 de un experimento aleatorio, una función de probabilidad es una aplicación:

𝑃: 𝑆 ⟶ [0,1]

que cumple los siguientes axiomas:

𝑃(𝐴) ≥ 0, para cualquier suceso 𝐴 ∈ 𝑆

𝑃 𝑆 = 1

Si 𝐴 𝑦 𝐵 ∈ 𝑆 son sucesos incompatibles (𝐴 ∩ 𝐵 = ∅) entonces: 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵)

Propiedades de la probabilidad:

1.) P A + P ҧ𝐴 = 1 ⟹ 𝑃 ҧ𝐴 = 1 − 𝑃 𝐴

2.) P ∅ = 0

3.) Si 𝐴 𝑦 𝐵 𝑠𝑜𝑛 𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎:

P A ∪ 𝐵 = P A + P B − P A ∩ 𝐵

4.) Si B ⊂ 𝐴, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑃 𝐴 ∖ 𝐵 = 𝑃 𝐴 − 𝑃(𝐵)

𝑆𝐴

𝐵



Ejercicio 2.18 (menos aptdo. g.); 2.13; 2.8; 2.11



Ejercicio 2.18 (menos aptdo. g.); 2.13; 2.8; 2.11; 2.19


Tema 2: Introducción a la Teoría de la ProbabilidadProbabilidad Condicionada:

Dados dos sucesos 𝐴 y 𝐵 de un espacio muestral 𝑆 con 𝑃(𝐴) ≠ 0, la probabilidad del suceso 𝐵 condicionada al suceso 𝐴

(o probabilidad de que ocurra 𝐵 suponiendo que previamente ha ocurrido 𝐴) se define como:

𝑃 𝐵|𝐴 =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴)

Igualmente puede definirse la probabilidad de 𝐴 condicionada a 𝐵 (siempre que 𝑃(𝐵) ≠ 0): 𝑃 𝐴|𝐵 =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵)

Las dos fórmulas anteriores nos permiten escribir la probabilidad de la intersección de dos sucesos de dos formas:

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐵|𝐴 ∙ 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴|𝐵 ∙ 𝑃(𝐵)

Se dice que 𝐴 y 𝐵 son sucesos independientes si 𝑃 𝐴|𝐵 = 𝑃(𝐴) (o equivalentemente, si 𝑃 𝐵|𝐴 = 𝑃(𝐵)). Esto quieredecir que el hecho de que ocurra uno de los sucesos no está influido por el hecho de que el otro haya ocurrido o no. Encaso contrario se dice que son dependientes.

*

Si A y B son independientes ⟹ 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)

De la fórmula se deduce:*



Dada una baraja de 40 cartas, se extraen dos cartas sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos cartas

sean un Oro?

𝐴 = 𝑠𝑎𝑐𝑎𝑟 𝑢𝑛 𝑂𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛

𝐵 = 𝑠𝑎𝑐𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑂𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛

Al no devolver la primera carta a la baraja, el resultado de la segunda carta depende de lo obtenido en la primera, o lo que es lo mismo, el suceso 𝐵 depende de 𝐴. Son sucesos dependientes.

𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑂𝑟𝑜𝑠

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐵|𝐴 ∙ 𝑃 𝐴 =9

39∙10

40= 0.057

¿Y si devolviéramos la primera carta a la baraja?

Al devolver la primera carta a la baraja, el resultado de la segunda carta ya no depende de lo obtenido en la primera, o lo que es lo mismo, 𝐴 y 𝐵 son independientes.

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵 =10

40∙10

40= 0.062



OBSERVACIÓN IMPORTANTE:

𝑃 𝐴|𝐵 + 𝑃 𝐴| ത𝐵 = 1𝑃 𝐴|𝐵 + 𝑃 ҧ𝐴|𝐵 = 1

CORRECTO INCORRECTO

Ejercicio 2.18 (aptdo. g)







PROBABILIDAD TOTAL. TEOREMA DE BAYES.

𝑆 ≡ 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 ⊂ 𝑆 𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒:

𝑆 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3

𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅, ∀ 𝑖 ≠ 𝑗 (𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑎 𝑑𝑜𝑠)

Entonces, para cualquier otro suceso 𝐵 ⊂ 𝑆:

𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴1 ∪ 𝐵 ∩ 𝐴2 ∪ 𝐵 ∩ 𝐴3 =

= 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴1 + 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴2 + 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴3 =

= 𝑃 𝐵|𝐴1 𝑃 𝐴1 + 𝑃 𝐵|𝐴2 𝑃 𝐴2 + 𝑃 𝐵|𝐴3 𝑃 𝐴3 Fórmula de la probabilidad total

Además, para cualquiera de los 𝐴𝑖:

𝑃 𝐴𝑖|𝐵 =𝑃(𝐴𝑖 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵)=

𝑃 𝐵|𝐴𝑖 𝑃 𝐴𝑖

𝑃 𝐵|𝐴1 𝑃 𝐴1 + 𝑃 𝐵|𝐴2 𝑃 𝐴2 + 𝑃 𝐵|𝐴3 𝑃 𝐴3

Teorema de Bayes

Sucesosincompatibles

𝑆𝐴1 𝐴2

𝐴3

𝐵



Ejercicio 2.25

Ejercicio 2.30

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