DERIVADAS

Contenidos.

Derivadas de Funciones

Inversas.

Derivadas de orden

Superior.

Derivación Implícita.

Derivación Logarítmica.

Derivadas de Ecuaciones

Paramétricas.

Derivadas de Orden Superior o sucesivas

Ya hemos visto que al derivar

una función , obtenemos

otra función . Si a su

vez tiene una derivada , ésta se

denota por y se llama la

segunda derivada de .

y f ( x )'f ( x )

''f ( x )

f

'f ( x )

En base a lo anterior, podemos

denotar:

2" ( 2 )

2

d dy d yf ( x ) f

dx dx dx

Similarmente, si es

derivable con respecto a , la

tercera derivada existe y se

denota por

f "( x )

x

2 3"' ( 3 )

2 3

d d y d yf ( x ) f

dx dx dx

Lo anterior se puede generalizar.

Si una función es n veces

derivable con respecto a , se

dice que tiene derivada de

orden n y se denota por:

xf

n 1 n( n )

n 1 n

d d y d yf ( x )

dx dx dx

Ejemplo.

Halla las primeras cuatro derivadas

de𝑓 𝑥 =2

𝑥 .

𝑓′ 𝑥 = −2

𝑥2

𝑓′′ 𝑥 =4

𝑥3

𝑓(3) 𝑥 = −12

𝑥4

𝑓(4) 𝑥 =48

𝑥5

Ejemplo. Si 𝑓 𝑥 = 6𝑥3 − 5𝑥2, entonces la:

primera derivada es :

𝑓′ 𝑥 = 18𝑥2 − 10𝑥

segunda derivada es:

𝑓"(𝑥) = 36𝑥 − 10

tercera derivada es :

𝑓′′′ 𝑥 = 36

cuarta derivada es :

𝑓(4) = 0

n-ésima derivada es :

𝑓(𝑛) = 0

Ejemplo.

Si 𝑓 𝑥 = −𝑥4 + 2𝑥3 + 𝑥 + 4.

Halla 𝑓′′′(−1).

𝑓′ 𝑥 = −4𝑥3 + 6𝑥2 + 1.

𝑓′′ 𝑥 = −12𝑥2 + 12𝑥.

𝑓′′′ 𝑥 = −24𝑥 + 12.

Luego 𝑓′′′ −1 = 36

Ejercicios Propuestos.

Dadas las siguientes funciones, derive lo

que se indique.

donde

23 2

2 n

24 x

25

2

2 35 2 x

2 3 3

x 1

1) v( x ) 4x 3x 2x 3 v ( x )

2 ) m( x ) x 5x m ( x )

3 ) f ( x ) 3x e f ( x )

d t4 ) t( x ) 2x sen( x )

dx

d d y 25 ) 3x e 6 ) y

dx dx x

Derivación Logarítmica.

Es un método que permite calcular

fácilmente muchas derivadas y que consiste

en tomar logaritmos neperianos en los dos

miembros de la función y derivar a

continuación.

Ejemplo: Derivar 2x 1f ( x ) ( 3x )

2

2

x 1

x 1 2

f ( x ) ( 3x ) / ln

ln f ( x ) ln( 3x ) ln f ( x ) x 1 ln( 3x )

Derivando

2

2 2

2

2

2x 1

d d dln f ( x ) x 1 ln( 3x ) x 1 ln( 3x )

dx dx dx

f '( x ) 32x ln( 3x ) x 1

f ( x ) 3x

x 1f '( x ) f ( x ) 2x ln( 3x )

x

x 1f '( x ) 3x 2x ln( 3x )

x

Ejercicios propuestos.

Deriva las funciones:

tan( x )

cos( x )

sen( x )

x

x

ln( x )

1) f ( x ) ( x )

2 ) f ( x ) ( sen ( x ))

3 ) f ( x ) ( sen ( x ))

4 ) f ( x ) (cos( x ))

5 ) f ( x ) (ln( x ))

6 ) f ( x ) (tan( x ))

Derivación implícita.

Cuando se da una relación entre 𝑥 e

𝑦 por medio de una ecuación no

resuelta para 𝑦, es decir 𝐹 𝑥, 𝑦 = 0,

entonces 𝑦 se llama función implícita

de 𝑥 (o también 𝑥 función implícita

de 𝑦).

Por ejemplo:

2F( x, y ) x 4 y 0

En algunas ocasiones, por

ejemplo:

𝑒𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑥𝑦

despejar una de las variables es

imposible o muy complicada.

Cuando sucede tal caso, para

calcular la derivada de esta

clase de funciones se aplican los

siguientes pasos:

A veces, es posible resolver la

ecuación que define una función

implícita con respecto a una de las

variables, obteniendo así una función

explícita. Así, puede definirse 𝑦 como

función explícita de 𝑥.

21y x

4

Derivar término a término con

respecto a 𝑥 y donde aparece 𝑦

derivarla como función de 𝑥.

Agrupar términos con en el primer

miembro 𝑑𝑦

𝑑𝑥 o

𝑑𝑥

𝑑𝑦 (según sea el

caso).

Despejar 𝑑𝑦

𝑑𝑥 o

𝑑𝑥

𝑑𝑦 (según sea el

caso).

Para derivar implícitamente, debes

seguir los siguientes pasos:

Ejemplo.

Sea la función , hallar la

derivada .

1x37xy2y 3

dx

dy

3

2

2

2

d d d dy 2 x y x y 3x 1

dx dx dx dx

dy dy3y 2y 2x 3

dx dx

dy3y 2x 3 2y

dx

dy 3 2y

dx 3y 2x

Deriva la función x3x53y2 332

32 3

22 2

22 2

2

22

2y 3 5x 3x

dy3 2y 3 4 y 15x 3

dx

dy12y 2y 3 15x 3

dx

dy 15x 3

dx 12y 2y 3

Ejercicios Propuestos.

Deriva las siguientes funciones:

3 2

y x1) 6

3 y

2 ) x xy y 4

3 ) sen( x ) 2cos( 2y ) 1

4 ) xy x 2y

2

2 2 xy

xy

5 ) sen( x ) x(1 tan( y ))

6 ) sen( x ) cos( y ) 2

7 ) x y y x e

8 ) e ln xy sen( xy ) yx

Derivadas de Funciones Inversas.

Si una función f es inyectiva y

derivable, con derivada distinta

de cero, la función inversa

también es derivable y su

derivada es:

1

1

1(x)

(x)f

f f

Ejemplo.

Derivar 𝑓 𝑥 =𝑥

arctan(𝑥)

𝑑

𝑑𝑥

𝑥

arctan(𝑥)=1∙arctan 𝑥 −𝑥∙

1

1+𝑥2

arctan(𝑥) 2

𝑑

𝑑𝑥

𝑥

arctan(𝑥)=

1+𝑥2 arctan 𝑥 −𝑥

1+𝑥2

arctan(𝑥) 2

𝑑

𝑑𝑥

𝑥

arctan(𝑥)=

1+𝑥2 arctan 𝑥 −𝑥

1+𝑥2 arctan(𝑥) 2

Derivar

Observemos que por tratarse de un producto de radicales del mismo índice.

xarcseny

=

2

d 1 1arcsen x

dx 2 x1 x

1 1

2 x 1 x 2 x 1 x

xxxx 11

Ejercicios Propuestos.

Deriva las siguientes funciones.

1) f x arc sec 2x 4

2 x3 ) f x arctan e 3tan x

12

3 3

xe) f ( x ) arctan

x4 ) f x arccos e

25 ) f x arcsen x 4

Ecuaciones Paramétricas.

Las coordenadas (𝑥, 𝑦)de un punto

𝑃de una curva pueden ser funciones

𝑥 = 𝑓 𝑡 , 𝑦 = 𝑔(𝑡) , de una tercera

variable o parámetro 𝑡.

Las ecuaciones 𝑥 = 𝑓 𝑡 , 𝑦 = 𝑔 𝑡

reciben el nombre de ecuaciones

paramétricas de la curva dada.

Ejemplo.

𝑥 = cos 𝜃 , 𝑦 = 4𝑠𝑒𝑛(𝜃)son las ecuaciones

paramétricas, siendo el parámetro 𝜃, de la

parábola 4𝑥2 + 𝑦 = 4, ya que:

4𝑥2 + 𝑦 = 4𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃

Ejemplo.

𝑥 =1

2𝑡, 𝑦 = 4 − 𝑡2 es otra representación

paramétrica de la curva, en la que el

parámetro es 𝑡.

Obsérvese, sin embargo, que el primer sistema

de ecuaciones paramétricas solo representa

una porción de la curva, mientras que el

segundo representa la totalidad de ella.

La primera derivada 𝑑𝑦

𝑑𝑥 viene dada por:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑡𝑑𝑥

𝑑𝑡

.

Segunda Derivada 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 viene dada por

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=

𝑑

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑡

Ejemplo.

Hallar 𝑑𝑦

𝑑𝑥 y

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 , siendo 𝑥 = 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛(𝜃) e 𝑦 = 1 − cos(𝜃).

𝑑𝑥

𝑑𝜃= 1 − cos 𝜃 ,

𝑑𝑦

𝑑𝜃= 𝑠𝑒𝑛 𝜃 entonces

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦𝑑𝜃𝑑𝑥𝑑𝜃

=𝑠𝑒𝑛(𝜃)

1 − cos(𝜃)

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=

𝑑𝑑𝜃

𝑠𝑒𝑛(𝜃)1 − cos(𝜃)

1 − cos(𝜃)

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=

cos 𝜃 − 1

1 − cos(𝜃 )2∙

1

1 − cos 𝜃= −

1

1 − cos(𝜃) 2

Ejemplo.

Hallar 𝑑𝑦

𝑑𝑥 y

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 , siendo 𝑥 = 𝑒𝑡𝑐𝑜𝑠(𝜃) e 𝑦 = 𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛(𝜃).

t t

2

22 t t

dy dxe cos( t ) sen( t ) ; e sen( t ) cos( t )

dt dt

dy cos( t ) sen( t )

dx sen( t ) cos( t )

d sen( t ) cos( t )

dt cos( t ) sen( t )d y 2 1

dx e sen( t ) cos( t ) e cos( t ) sen( t )cos( t ) sen( t )

2

22 t

d y 2

dx e cos( t ) sen( t )

Ejercicios Propuestos.

Encuentra primera y segunda derivada

para las siguientes curvas.

con

3 2

2

2

2

x( t ) tx( t ) t t 11) , t 2 )

y( t ) 1 t y( t ) t t

3x( t )

x( t ) t sen( t )t 13 ) 4 )

3t y( t ) 1 cos( t )y( t )

t 1