Predmet Poslovno Odlucivanje - Odlucivanje u uslovima neizvjesnosti

UVOD

Predmet našeg seminarskog rada je «odlučivanje u uslovima neizvjesnosti».Cilj seminarskog rada je da što više spoznamo o samoj prirodi odlučivanja, prije svega o

odlučivanju u uslovima neizvjesnosti. Međutim, da bismo upotpunili naše proučavanje, osvrnut ćemo se i na ostale oblike odlučivanja. Naravno, pokušat ćemo rad prezentirati na način koji će

omogućiti i ostalim studentima da prošire svoje znanje o izloženoj tematici. Prilikom izrade našeg rada koristili smo se sekundarnim izvorima, tj. podacima koji su već

prikupljeni u nekom ranijem istraživanju.Rad je sastavljen iz četiri dijela, pri čemu će u prvom dijelu biti riječi o podjeli odlučivanja

prema stepenu izvjesnosti. Pri tome ćemo se, da bismo mogli što potpunije da pojasnimo pojam odlučivanja u uslovima neizvjesnosti, osvrnuti i na druge oblike donošenja poslovnih odluka, tj.

odlučivanje u uslovima rizika i sigurnosti. To zbog činjenice što ne bi bilo moguće shvatiti odlučivanje u uslovima neizvjesnosti bez prethodnog, iako kratkog, analiziranja odlučivanja u

uslovima rizika.Odmah na početku ćemo definisati pojam neizvjesnosti kao situaciju gdje je stanje prirode

(problema koji se rješava) nepoznato i gdje , za razliku od rizika, nije moguće doći do informacija na osnovu kojih bi se moglo odrediti (dodijeliti) vjerovatnoće nastupanja pojedinih

stanja.Neizvjesnost proizilazi iz nepredvidivosti unutarnjih faktora poslovnog sistema i faktora

okruženja. Okruženje u kome donosilac odluke djeluje je u pravilu izuzetno kompleksno i dinamično bez obzira da li se radi o poslovnom ili društvenopolitičkom odlučivanju.

U drugom dijelu, u okviru odlučivanja pri neizvjesnosti biće riječi o metodama odlučivanja (kriterij odlučivanja): kriterij odlučivanja bez određivanja početnih vjerovatnoća i kriterij

odlučivanja sa početnim vjerovatnoćama, u okviru kojeg je obrađena i očekivana vrijednosti i Bayesov kriterij.

U trećem dijelu rada biće riječi o simulaciji kao tehnici odlučivanja u uslovima neizvjesnosti, a u sklopu toga i o samom procesu simulacije, kao i tipovima simulacijskih tehnika.

Četvrta cjelina odnosi se na primjere iz prakse, gdje ćemo navesti tri primjera, koji su vezani za simulaciju, Bayesovu analizu i očekivanu vrijednost.

1. PODJELA ODLUČIVANJA PREMA STEPENU IZVJESNOSTI

Statistička teorija odlučivanja razlikuje odlučivanje u uslovima :1. izvjesnosti,

2. uslovima rizika, 3. uslovima neizvjesnosti i

4. uslovima konflikta. Odlučivanjem u uslovima sigurnosti (izvjesnosti) donosioc odluke tačno zna što će se dogoditi

sa odlukom, izabere li bilo koju od mogućnosti. Odlučivanje u uslovima rizika karakterizira činjenica što su menadžeru, kao donosiocu odluka,

poznate moguće verzije rješavanja problema, međutim nisu mu sa sigurnošću poznate posljedice svake od verzija. Dakle, odlučivanje u uslovima rizika jest odlučivanje u okolnostima u kojima

rezultati nisu sigurni, ali su poznate vjerojatnosti za različite rezultate. Statistički modeli odlučivanja najčešće se prikazuju kao skup vektora: alternativa (akcija,

strategija) a i mogućih okolnosti (stanja prirode) s. Kombiniranjem parametara vektora akcija sa parametrima vektora stanja obezbjeđuje se određeni efekat eij.

Prikladno sredstvo prikazivanja modela odlučivanja su : tabele odlučivanja i stablo odlučivanja.Tabela ili matrica odlučivanja (matrica efikasnosti, tabela uslovnih vrijednosti) je matrica kvantitativno izraženih posljedica akcija i stanja prirode uz određenu vjerovatnoću stanja.

Očekivani (uslovni) ishodi mogu se izraziti kao financijski efekti i efekti izraženi u jedinicama mjera korisnosti.

Ako su financijski efekti u matrici odlučivanja izraženi kao očekivani profiti ili dobit (koji mogu poprimiti i negativnu vrijednost), tabela odlučivanja se naziva tabela ostvarenih finansijskih efekata (payoff table, conditional profit table), a u domaćoj literature se prevodi kao tabela

plaćanja.

Tabela 1.1.:Matrica efikasnosti(tabela plaćanja)

Stanja prirodeSi Akcije (Aj)

a1 a2 …… aj …… ans1 e11 e12 …… e1j …… e1ns2 e21 e22 …… e2j …… e2n

. . . . .si ei1 ei2 …… eij …… ein

. . . . .sm em1 em2 …… emj …… emn

Ako su financijski efekti izraženi kao oportunitetni gubici, takvu tabelu zovemo tabela propuštenih dobiti (opportunity loss table, regret table). U našoj literature je susrećemo pod

nazivom tabela žaljenja.

Tabela1.2.: Matrica propuštenih dobiti(tabela žaljenja)Stanja prirodeSi Akcije (Aj)

a1 a2 …… aj …… ans1 o11 o12 …… o1j …… o1ns2 o21 o22 …… o2j …… o2n

. . . . .si oi1 oi2 …… oij …… oin

. . . . .sm om1 om2 …… omj …… omn

2. ODLUČIVANJE PRI NEIZVJESNOSTI

Odlučivanje pri neizvjesnosti predstavlja najsloženiji i u praksi najčešći oblik odlučivanja. Neizvjesnost se definiše kao situacija gdje je stanje prirode (problema koji se rješava) nepoznato

i gdje , za razliku od rizika, nije moguće doći do informacija na osnovu kojih bi se moglo odrediti (dodijeliti) vjerovatnoće nastupanja pojedinih stanja. Obzirom na složenost i u realnom

životu učestalost potrebe za rješavanjem problema odlučivanja pri neizvjesnosti razvijena je posebna naučna disciplina koja nosi naziv analiza odlučivanja. Neizvjesnost proizilazi iz

nepredvidivosti unutarnjih faktora poslovnog sistema i faktora okruženja. Okruženje u kome donosilac odluke djeluje je u pravilu izuzetno kompleksno i dinamično bez obzira da li se radi o poslovnom ili društvenopolitičkom odlučivanju. Osnovni razlog te složenosti leži u činjenici što je izuzetno teško razumjeti prirodu i okolnosti odigravanja faktora koji utiču na sve alternative

odlučivanja za posmatrani problem. Ti faktori mogu biti ekonomski, kulturološki, institucionalni, socijalni, tehnički i faktori okruženja. Intenzitet uticaja na pojedine poslovne

odluke ovisi kako od značaja odluke tako i od vremena u kome se donosi. Donosilac odluke kroz raspodjelu vjerovatnoća treba da kvantificira uticaj kako faktora

okruženja tako i unutarnjih faktora. Ovaj proces se odvija kroz analizu odlučivanja a nazivamo ga šifrovanjem neizvjesnosti ili analizom neizvjesnosti. Analizu odlučivanja čine sljedeći

koraci: Korak 1: Strukturiranje problema: Nabrajanje svih mogućih alternativa odlučivanja, stanja i

određivanja plaćanja.Korak 2: Analiza neizvjesnosti: Dodjeljivanje vjerovatnoća svim mogućim stanjima.

Korak 3: Analiza korisnosti ili preferencija: Dodjeljivanje preferencija za rizične posljedice.Korak 4: Izbor optimalne akcije: Izbor se vrši na osnovu kriterija očekivane novčane vrijednosti

ili kriterija očekivane korisnosti.Korak 5: Prikupljanje novih informacija (evidencija): Prikupljanje dodatnih informacija iz odgovarajućih uzoraka radi smanjenja neizvjesnosti i izbor najbolje akcije u svjetlu novih

informacija. Samu primjenu analize odlučivanja, posmatrat ćemo kroz procesni model odlučivanja. Dakle

sve faktore uticaja i elemente analize odlučivanja neophodno je uobličiti i prikazati kao elemente statističkog modela odlučivanja.

Obzirom na prisutnost neizvjesnosti , s jedne strane, i osobinama donosioca odluke izraženim u

sklonosti riziku, s druge strane, modele analize odlučivanja pri neizvjesnosti možemo podijeliti u četiri grupe:

1. Odlučivanje bez određivanja apriori vjerovatnoća,2. Odlučivanje sa apriori vjerovatnoćama,

3. Odlučivanje sa pribavljanjem dodatnih informacija iz uzorka i4. Sekvencionalno ili višeetapno odlučivanje

2.1. Metode odlučivanja- kriteriji odlučivanja

Postoje metode odlučivanja bez određivanja početnih(apriori) vjerovatnoća i metode odlučivanja sa početnim vjerovatnoćama.

2.1.1. Odlučivanje bez određivanja apriori vjerovatnoća

Odlučivanje bez određivanja apriori vjerovatnoća primjenjujemo onda kada donosilac odluke ne može ili ne želi procijenit vjerovatnoće stanja prirode. U takvim situacijama model odlučivanja

formiramo u vidu matrice efikasnosti ili matrice propuštenih dobit i na njih primjenjujemo kriterije odlučivanja u uslovima neizvjesnosti. Ove kriterije nazivamo neprobalistički kriteriji i u

njih ubrajamo:1. Max/min kriterij2. Max/max kriterij3. Min/max kriterij

4. Hurwiczov kriterij5. Laplacoeov kriterij

Max/min kriterij se primjenjuje na tabelu financijskih efekata. Ovaj kriterij nazivamo još i kriterij pesimizma zbog nesklonosti donosioca odluke riziku. Prema ovom kriteriju, odnosno strategiji koju je razvio Wald, donosioc odluke najprije za svaku altenativu utvrditi najlošije

rezultate kako bi zatim među tim najlošijim izabrao najbolje rješenje. Primjenjujući ovu strategiju utvrđujemo najlošiju opciju (maksimalni troškovi, minimalni profit) koja se može dogoditi a potom izaberemo najbolju od tih najlošijih opcija. Ovaj pristup je konzervativan i

predstavlja “strategiju pesimista”. Metoda se sastoji od dva koraka:“Korak 1: Za svaku opciju pronaći najniži profit između scenarija koji se mogu dogoditi.

Korak 2: S liste najnižih profita izabrati rješenje koje donosi najviši profit. Ova strategija donosi maksimum (max) od minimuma (min) pa je to i razlog zašto se naziva max/min”

Donosilac smatra da su sva stanja za njega “nepovoljna” i zbog toga za svaku akciju aj bira minimalni financijski efekat, a zatim se izabire kao najbolja akcija, ak, za koju je prethodno

izabrani minimalni efekat najveći. Izbor ak vršimo primjenom matematičke relacije maxi minj i=1,2,...,m, j=1,2,...,n)(uij)

Tabela 2.1.: Izbor metodom maxminAkcija Događaj Maximin metod

S1 S2 S3 S4 minj ui minj uij maxi A1 A2

A3 1 5 16 412 4 7 49 9 5 5 1

45

5 (A3)

Poređenjem najgorih ishoda posmatranih akcija konstatujemo da izborom A3 ostvarujemo najveći među minimalnim dobicima.

Primjenom Valdovog metoda izbjegavamo neprijatna iznenađenja, jer izabranom akcijom postižemo najmanje “max/min” efekat. Pa ipak, to ne može biti opravdanje za njegovu

primjenu, jer ćemo eliminisati mnoge dobre alternative u korist manje povoljnih. Primjena metode max/min je opravdana u ekstremno nepovoljnim uslovima odlučivanja. Na primjer, ako sve vrijednosti u tabeli odlučivanja predstavljaju gubitke, onda je opravdano da

odaberemo akciju čiji je maksimalni gubitak najmanji. Tada bismo ishode prikazali negativnim brojevima i izabrali akciju kojom maksimiziramo minimalnu korisnost. U ostalim slučajevima, izbori zasnovani na ovom principu nemaju racionalnog opravdanja, a dosljedna primjena ovog

metoda u poslovnim odlukama bi mogla biti opasnost po privredni rast. Pretjeranom obazrivošću i izborom akcija koje donose sigurne skromne dobitke, menadžeri bi prije održavali

status quo nego što bi doprinosili ekonomskom prosperitetu.

Max/max kriterij primjenjujemo na tabelu financijskih efekata i nazivamo ga kriterij optimizma. Ovaj se kriterij koristi kod donošenja odluka tako da se najprije za svaku alternativu utvrdi

najbolje rješenje kako bi se u sljedećem koraku među njima utvrdilo ono apsolutno najbolje. Donosilac odluke primjenjujući ovaj kriterij smatra da su za njega sva stanja “povoljna” i za svaku akciju bira najveći financijski efekat a od njih odabire onaj sa najvećom vrijednošću.

Max/max metod se izražava matematičkom relacijom: maxi maxj i=1,2,...,m, j=1,2,...,n)(uij)

Tabela 2.2: Izbor metodom maxmax.Akcija Događaj Maximin metod

S1 S2 S3 S4 maxj ui maxj uij maxi A1 A2

A3 1 5 16 412 4 7 4

9 9 5 5 1612

9 16 ( A1 )

Treća kolona ove tabele sadrži najbolje ishode posmatranih akcija, a njihovim međusobnim poređenjem zaključujemo da je A1 najbolja opcija po ovom metodu.

S druge strane, možemo vidjeti da izabrana akcija za posljedicu može imati najgori ishod u tabeli isplata, tj. vrijednost 1 pri realizaciji događaja S1. Primjenjujući ovaj metod ponašamo se kao kockari koji idu na “sve ili ništa”, tj. biramo akciju sa najboljim rezultatom i zanemarujemo

ostale ishode, od kojih neki mogu bit porazni. Ako se dogodi da dvije ili više akcija imaju identičan maksimalni ishod, postupak nastavljamo tako da posmatramo samo “prvoplasirane” akcije i poredimo ih njihovim “drugim najboljim” ishodima. Ako ni tada ne donesemo odluku,

proceduru ćemo ponavljati do konačnog izbora.Primjenom max/max metoda ne možemo da branimo racionalnim argumentima, zbog čega se u literaturi on navodi kao moguća, mada rijetko i sugerisana procedura izbora. Ipak, ovu metodu

možemo da koristimo u slučaju kada sve akcije imaju veoma povoljne ishode, tj. kada bi realizacija i najslabijeg ishoda bila dobro ili barem prihvatljivo rješenje.

Metod min/max kajanja, koji je formulisao Sevidž ( L. Savage ) razlikuje se od do sada navedenih metoda već po samoj postavci problema. Ovdje se kajanje shvaća izgubljenom

prilikom donosioca odluke koji si svojom odlukom nije osigurao najbolji rezultat i koji nastoji da minimizira kajanje koje se javlja nakon realizacije akcije. Mjera kajanja predstavlja razliku između rezultata koji se mogao ostvariti izborom najbolje akcije i one koju je on odabrao prije nego je znao stvarno stanje. Ako izabranom akcijom ne ostvarimo najbolji mogući rezultat u datim okolnostima, onda ćemo se kajati što nismo izabrali onu akciju koja bi nam donijela

maksimalne efekte. Zbog nemogućnosti da prepoznamo najbolju alternativu, pretrpjet ćemo psihološki “gubitak”, tj. žalit ćemo zbog propuštene šanse ostvarenja većeg dobitka. Sevidžov

metod ne možemo da primijenimo na originalne podatke, prikazane tabelom isplata, već je potrebno da formiramo novu tabelu. Nazivamo je tabelom gubitaka (propuštenih dobitaka ili oportunitetnih gubitaka) i izvodimo je iz originalne tabele na sljedeći način: za svaki događaj Sj , j = 1,2,3...,n (u svakoj koloni) nalazimo najbolji ishod (maxi uij = Uj , i = 1...m); ovom

ishodu pripisujemo 0 u tabeli “gubitaka”, jer u slučaju izbora akcije sa najboljim ishodom, u datim okolnostima nema kajanja. Kajanje se javlja ako smo izabrali jednu od preostalih akcija;

prikazujemo ga razlikom između najboljeg ishoda u koloni Sj , Uj i ishoda ostvarenog primjenom date akcije, tj. kij= Uj - uij .

Tabela 2.3. Izbor metodom minmaxAkcija

Tabela isplata Tabela gubitaka Sevidžov metod

S1 S2 S3 S4 S1 S2 S3 S4 maxi kij maxj kijmini A1A2A3

1 5 16 412 4 7 4

9 9 5 5 11 4 0 1 0 5 9 1

3 0 11 0 119

11 A2 (9)

Kada formiramo tabelu “gubitaka” Sevidž sugeriše da zauzmemo Valdov pesimistički stav. Pri tome, moramo imati na umu da su vrijednosti u tabeli “gubici”, a ne dobici. Zato za svaku

akciju nalazimo najveći “gubitak”, tj. kajanje koje možemo da iskusimo nakon njene realizacije, a zatim biramo akciju sa najmanjim među maksimalnim kajanjima. Formalno, Sevidžov metod

glasi:maxj= mini maxj (Uj -uij )mini , i=1,2,...,m, j=1,2,...,n,kij

a njegovom pripremom izabrat ćemo akciju A2.

Hurwiczov kriterij predstavlja balans između kriterija optimizma i kriterija pesimizma. Ovaj kriterij se primjenjuje kako na tabelu efekata tako i na tabelu žaljenja. Na osnovu Hurwiczovog

kriterija ili tzv. metoda optimizma-pesimizma, akcije se ocjenjuju na osnovu njihovih ekstremnih ishoda. Da bismo bili konzistentni u ocjenjivanju, ekstremne ishode svih akcija treba

da vrednujemo na isti način. Zato svaku akciju ocjenjujemo na osnovu ponderisanog zbira njenog najboljeg i najgoreg rezultata, pri čemu su ponderi jednaki za sve akcije. Najbolji ishod

množimo tzv. indeksom optimizma, (0 . 1), a najslabiji ishod njegovim komplementom, 1-

Hurwiczov metod glasi:) (1- + (minj uij) (maxj uij ) maxi i=1,2,...,m, j=1,2,...,n.

Pondere biramo subjektivno, po ličnom nahođenju. Ako smo npr.,izabrali =0,4, onda ćemo primjenom Hurwiczovog metoda izabratiindeks optimizma akciju A2, sa najvećom

vrijednošću ponderisnog zbira.Tabela 2.4. :Izbor Hurwiczovom metodom

Akcija Najgori ishod minj (uij)= ui Najbolji ishod maxj (uij )=Ui ) ui (1- Hurwiczov metod Ui Optimalna akcija

A1A2

A3 14

5 1612

9 0,6=70,4+1160,6=7,20,4+4120,6=6,60,4+59

A2 (7,2)

Hurwiczov metod ima i značajne nedostatke zbog kojih je izložen opravdanim prigovorima.Tabela 2.5.

Akcija DogađajS1 S2 S3 ... Sj... Sn Hurwiczov metod

)+ ui (1-Ui Optimalna akcijaA1A2

1 0 0... 0.... 0 0 1 1...1... 1 )=(1-+ 0 1)=(1-+ 01 A1A2

Primjenom Hurwiczovog metoda, dvije akcije prihvatili bismo kao jednako povoljne. Oslanjajući se samo na njihove ekstremne uslove, ovaj metod značajno osiromašuje informacionu osnovu i problem svodi na sljedeći izbor:

A1 1 0A2 0 1Teško je argumentovano braniti metod koji ne pravi razliku između akcije A2 ( kojom u svim okolnostima, sa izuzetkom jedne, postižemo najbolji rezultat) i akcije A1 ( kojom u svim okolnostima, sa izuzetkom jedne, ostvarujemo najgori rezultat).Laplaceov kriterij racionalnostiPretpostavka od koje je pošao Laplace u svome kriteriju je sljedeća: u koliko nema nikakve realne osnove za davanje prednosti nekom stanju u odnosu na neko drugo stanje, onda je najbolje svim stanjima dodijeliti podjednaku vjerovatnost događaja. Budući da nema raspoloživih informacija o tome je li jedan ishod više ili manje vjerovatan u odnosu na bilo koji drugi, strategija očekivane vrijednosti može biti korištena samo uz pretpostavku kako su svi ishodi jednako vjerovatni, u čemu je i suština Laplaceovog kriterija racionalnosti. Ako su nam vjerovatnoće nepoznate, možemo na primjer, da pretpostavimo njihovu jednakost.Laplaceov postulat: “Ako ništa ne znam o budućim događajima, onda mogu smatrati da su oni jednako vjerovatni”, naziva se i principom nedovoljnog razloga. Okolnosti prikazujemo kompletnim skupom među sobom isključujućih događaja, Sj, j=1,2,...,n. To znači da se jedan od njih mora javiti, kao i da pojava jednog događaja automatski isključuje mogućnost pojave bilo kog drugog događaja, iz čega slijedi da je vjerovatnoća svakog pojedinog događaja jednaka 1/n. U našem primjeru pj =1.broj mogućih događaja je 4, pa je pj =1/4, j=1,2,3,4, i Tabela 2.6.Akcija DogađajS1 S2 S3 S4 Laplaceov metod uijj (1/4) uijj (1/4)maxi A1A2A3 1 5 16 412 4 7 49 9 5 5 6,56,757

A3 (7)Vjerovatnoća ¼ ¼ ¼ ¼

Kada u tabeli odlučivanja pojedinim događajima pridružimo jednake vjerovatnoće, zadatak se svodi na izračunavanje očekivanih korisnosti akcija, koju izračunavamo kao ponderisani zbir korisnosti njenih mogućih ishoda, gdje su ponderi vjerovatnoće pojedinih ishoda.Laplaceovim metodom biramo akciju sa najvećom očekivanom korisnošću. Izražen simbolima metod glasi:, i=1,2,...,m, j=1,2,,...,n,j uij (1/n)= maxi uij 1 (1/n)= maxi j pj uij maxi pa bismo njegovom primjenom izabrali akciju A3.Ovaj metod izbora bazira se na svim ishodima iz matrice isplata, što predstavlja njegov kvalitet. Međutim, pretpostavka o jednakim vjerovatnoćama javljanja svih događaja izaziva osjetljivost rezultata na promjene u broju događaja. Poznato je da događaj možemo da definišemo sa različitom preciznošću, pa i da jedan događaj možemo da razložimo na više “podstanja”, u kojima ishodi akcija ostaju nepromjenjeni. Promjena broja događaja (n) u tabeli odlučivanja izaziva promjenu njihovih vjerovatnoća (pi =1/n),koje zatim utiču na ocjene posmatranih akcija.

2.1.2. Odlučivanje sa apriori vjerovatnoćama

Odlučivanje sa apriori vjerovatnoćama podrazumijeva odlučivanje u kome se donosilac odluke ne želi izlagati rizičnom ponašanju prema posljedicama. Procedure određivanje apriori vjerovatnoća opisane su u razmatranju problema odlučivanja za slučaj rizika. Za donošenje odluka u ovakvim slučajevima razvijen je model odlučivanja koji je prikazan u matrici efikasnost i matrici propuštenih dobiti . Donosilac odluke konačan izbor vrši primjenom kriterija odlučivanja koje nazivamo probalistički kriteriji i u koje ubrajamo: 1. Kriterij očekivane novčane vrijednosti ili kriterij očekivane korisnosti2. Bayesova analiza odlučivanja

Kriterij očekivane novčane vrijednosti koristimo u slučajevima kada smo unaprijed subjektivno odredili vjerovatnoće stanja prirode. Primjenjuje se na matricu efekata i matricu propuštenih dobit a kriterij odlučivanja je maxsimalna odnosno minimalna očekivana novčana vrijednost. Kriterij očekivane novčane vrijednosti i kriterij očekivane korisnosti često se u literaturi spominje i kao Bayesov kriterij odlučivanja što nije tačno ali zato predstavlja preteču Bayesovog kriterija odlučivanja. Ovaj kriterij u izboru najpovoljnije akcije uključuje subjektivne vjerovatnosti.

Očekivana novčana vrijednost se može definisati i sljedećom relacijom:EV( ) Odluka:

pri čemu je : EV (aj) = očekivana vrijednost dobiti akcije aj;eij = dobit ostvarena pri stanju si , ako se provede akcija aj;P(si) = početna subjektivna vjerovatnoća stanja si

Bayesov kriterijKombinovanjem apriori vjerovatnoća sa vjerovatnoćama dobivenim iz dodatne informacije vršimo primjenom Bayesove formule i dobivamo nove vrerovatnoće koje nazivamo aposteriorne vrjerovatnoće ili Bayesove vjerovatnoće. Bayesove vjerovatnoće su pod direktnim uticajem vjerovatnoća dobivenih iz dodatne informacije što znači da će konačan rezultat biti determinisan veličinama ovih vjerovatnoća .Bayesova analiza odlučivanja se provodi u četiri faze: 1. Prethodna (apriori) analiza – u ovoj fazi problem prikazujemo tabelom odlučivanja i na osnovu početno određenih ( apriori ) vjerovatnoća događaja izračunavamo očekivane vrijednosti akcija. Izračunavamo i očekivanu vrijednost potpune informacije ( OVPI ). Na osnovu nje odlučujemo da li da odmah izvršimo konačan izbor ili da odluku odložimo i pribavimo dopunsku informaciju. Ako je vrijednost OVPI mala, onda dopunsku informaciju ne nabavljamo, već odmah donosimo odluku, tj. biramo akciju sa maksimalnom očekivanom vrijednošću. U protivnom, ako je OVPI velika, pristupamo slijedećoj fazi.2. Preaposteriorna analiza (analiza prije naknadne analize)– U ovoj fazi nastojimo da otkrijemo pouzdane izvore informacija, čije angažovanje ima ekonomsko opravdanje. Cijena informacija treba da bude niska a dosadašnje iskustvo sa izabranim izvorom informacija treba da je pozitivno, u smislu da su prethodne prognoze bile pouzdane.3. Aposteriorna (naknadna) analiza – Ako se kupovina dopunske informacije pokazala opravdanom, onda je nabavljamo, i u njenom svjetlu mijenjamo početne vjerovatnoće događaja. Zatim, primjenom korigovanih, aposteriori vjerovatnoća izračunavamo očekivane vrijednosti posmatranih akcija i na osnovu dobijenih rezultata vršimo izbor.4. Buduća analiza – Moguće je da novi rezultati pokrenu nova pitanja i ukažu na potrebu za novim

informacijama . Tada se cijeli postupak ponavlja. Sa svakim slijedećim uključenjem dopunskih informacija, prethodno izračunate aposteriori vjerovatnoće tretiramo kao početne apriori vjerovatnoće, zatim vršimo njihovu korekciju u nove aposteriori vjerovatnoće, sve dok konačno ne odustanemo od prikupljanja novih informacija i pristupamo izboru akcija.

Bayesova teorema: Bayesova teorema nam omogućuje da, u svjetlu prikupljenih informacija, izvršimo korekcije svojih uvjerenja u realizaciju posmatranih događaja. Posmatrajmo kompletan skup disjunktnih događaja, S={ S1, S2,....., Sj ..., Sn}. To znači da se jedan od događaja mora realizovati, ∑j P(Sj)=1, kao i da realizacija jednog događaja isključuje pojavu ostalih događaja. Posmatrajmo događaj I, koji se može javiti samo ako se javi jedan od događaja Sj, j=1,2,...,n. Vjerovatnoća javljanja događaja Sk , pod uslovom da se događaj I već realizovao, jednaka je:P(Sk │I)= k=1,2,...,n.pri čemu su: P(Sj ) - vjerovatnoća događaja Sj ( početna, a priori);P(I) - vjerovatnoća događaja I;P(I│ Sj ) - vjerovatnoća događaja I pod uslovom da se događaj Sj realizovao;P(Sj │I) - vjerovatnoća događaja Sj pod uslovom da se događaj I realizovao ( korigovana, a posteriori).

3. SIMULACIJA U POSLOVNOM ODLUČIVANJU

3.1. Definisanje pojma simulacije

Sam termin simulacija (lat.simulatio) bi se mogao prevesti kao pretvaranje ili ponašanje “kao da je stvarno tako”. Često se za simulaciju koristi i naziv statističko modeliranje a i Monte-Carlo tehnika koja ustvari predstavlja osnovnu metodu simulacije. Simulaciju koristimo u situacijama kada je previše teško i skupo eksperimentisati u realnoj situaciji. Ona nam omogućava da efekte odluke testiramo na simulacijskom modelu prije nego je primijenimo.Simulacijski model oponaša sistem pod istragom, studiranjem interakcija između svojih komponenti. Ove interakcije možemo utvrditi matematički i statistički. Proučavanjem simulacijskog modela možemo utvrditi i stvarne zakonitosti u odnosima među elementima sistema.Simuliranje znači dovođenje modela jednog sistema u primjerene situacije i posmatranje efekata koje oni proizvode.Simulacija nam omogućava:

Stvaranje modela koji se lako modificiraju ; Realizovanje uslova oprobavanja, koji bi inače bili mogući samo uz veliki trošak vremena i novca; Proučavanje ponašanja sistema pri promjeni veličina koje utiču na njega.

Prema tome, možemo zaključiti da je simulacija jednostavan metod analiziranja problema kreiranjem modela koji mogu biti manipulisani metodom pokušaja i grešaka. Model treba biti aproksimativan pravoj situaciji i sigurno kako aproksimacija postaje bliža, teže će biti analizirati model i to će zahtjevati više vremena. Sposobnost menadžera leži u načinu na koji on balansira realnost ovog modela sa naporom koji će biti potreban za iznalaženje odgovora na njegov problem.

3.2. Simulacijski proces

Simulacijski proces je struktura rješavanja stvarnih problema pomoću simulacijskog modeliranja. On se može prikazati u obliku niza koraka koji opisuju pojedine faze rješavanja problema ovom metodom.

Osnovni koraci simulacijskog procesa su:

1) Definicija cilja simulacijske studije2) Identifikacija sistema3) Skupljanje podataka o sistemu i njihova analiza4) Izgradnja simulacijskog modela5) Izgradnja simulacijskog programa

Tokom rada na fazama 4 i 5 može se pokazati potreba za dopunom koraka 3 (skupljanje i analiza dodanih podataka o sistemu).

6) Verificiranje simulacijskog programa7) Vrednovanje simulacijskog modela8) Planiranje simulacijskih eksperimenata i njihovo izvođenje.9) Analiza rezultata eksperimenata.10) Zaključci i preporuke. 3.3. Tipovi simulacijskih tehnika

Prikazane podjele simulacijskih modela dovele su do formiranja četiri osnovna tipa simulacijskih modela, koji se razlikuju kako pristupom modeliranju i tipu problema koji se njima rješavaju, tako i tehnikama modeliranja i simulacije koje su za njih razvijene. To su:- Monte-Carlo simulacija- Kontinuirana simulacija- Simulacija diskretnih događaja- Mješovita kontinuirano-diskretna simulacija

3.4. Monte-Carlo simulacija

Monte-Carlo simulacija, kao što joj i ime kaže, povezana je slučajnim fenomenima. Monte-Carlo tehnika se počinje koristiti poslije drugog svjetskog rata. Ime je dobila po poznatom Francuskom gradu čuvenom po kockarnicama. Smatra se da je ovu tehniku pronašao jedan matematičar koji je posmatrao kretanje pijanca koji se htio udaljiti od ulične svjetiljke, ali se kod svakog drugog koraka zanosio u drugom pravcu tj. teturao je. On je htio izračunati koliko će se udaljiti od svjetiljke nakon određenog broja koraka. Tako je matematičar pokušao da simulira put tog pijanca. Neki autori Monte-Carlo simulacijama zovu bilo koju vrstu programa što se koriste slučajnim brojevima. Monte-Carlo tehnika podrazumijeva korištenje slučajnim brojevima za simuliranje vrijednosti slučajne promjenjive. Tačnost simulacije zavisi od broja simulacijskih krugova i što je ovaj broj veći, veći je i stepen tačnosti.

Razlikujemo sljedeće tipove primjene Monte-Karlo simulacije:

a) Deterministički problemi koje je teško ili skupo rješavati. Tipičan primjer ovoga tipa je računanje vrijednosti određenih integrala koji se ne mogu riješiti analitički, tj. čija je podintegralna funkcija takva da se ne može naći rješenje u obliku matematičkog izraza.

b) Složeni fenomeni koji nisu dovoljno poznatiDruga klasa problema koji se rješavaju Monte-Carlo simulacijom su fenomeni koji nisu dovoljno poznati da bi se mogli precizno opisati. Ovim se pristupom najčešće analiziraju društveni ili

ekonomski fenomeni poput rasta populacije, ekonomskih predviđanja ili analize rizika odlučivanja.

c) Statistički problemi koji nemaju analitičkog rješenjaStatistički problemi bez analitičkog rješenja, jedna su od širokih klasa problema kod koje se koristi Monte-Carlo simulacija. Njima npr. pripadaju procjene kritičnih vrijednosti ili snaga testiranja novih hipoteza.

3.5. Šta su slučajni brojevi

S pojmovima slučajan broj i slučajna varijabla treba biti oprezan, jer nije jednostavno reći da li je određeni niz brojeva slučajan, iako nam se za neki niz čini da nije slučajan (npr.1,2,3,4,1,2,3,4,….) dok bismo za drugi rekli da jest slučajan (npr.2,7,5,9,3,6…).

Simulacija procjenjuje rezultate sistema kroz biranje uzorka. Biranje uzorka iz bilo koje vjerovatnoće bazirano je na upotrebi slučajnih brojeva. Pri tome moraju biti ispunjeni slijedeći statistički uslovi:

1. Svaki slučajan broj ima istu vjerovatnoću da bude izabran, odnosno oni su uniformno raspoređeni.

2. Sukcesivni brojevi su numerisani na intervalu (0,1), tako da su oni nezavisni i negrupisani.

Precizno govoreći pod pojmom “slučajni broj” podrazumijevamo kontinuiranu slučajnu varijablu s uniformnom razdiobom na intervalu (0,1). Tu razdiobu označavat ćemo U (0,1). Razlikujemo slučajne brojeve kod ručne i digitalne simulacije.

3.5.1. Uloga slučajnih brojeva u simulacijskom eksperimentu

Simulacijski modeli sistema ili procesa koji sadrže komponente koje se slučajno ponašaju zahtijevaju odgovarajuće metode generiranja slučajnih brojeva. Tokom izvođenja simulacijskog eksperimenta može se npr. tražiti generiranje vrlo velikog broja vrijednosti vremena posluživanja, veličine zahtjeva ili međuvremena dolaska koji pripadaju nekim razdiobama vjerovjatnosti. Zato je potrebno imati kvalitetan i efikasan način generiranja vrijednosti slučajnih brojeva i varijabli. Pri tome naziv “generiranje slučajnih varijabli” nije najprecizniji, tj. pod tim pojmom zapravo mislimo na generiranje numeričkih vrijednosti slučajnih varijabli ili odgovarajućih razdioba vjerovjatnosti. Niz generiranih vrijednosti slučajnih varijabli čini uzorak iz razdiobe vjerojatnosti te varijable.

Korištenje slučajnih brojeva i varijabli u simulacijskom modelu omogućuje dakle reproduciranje nepravilnosti ponašanja elemenata sistema bez potrebe da model sadrži izvanredno detaljan opis tog ponašanja. Slučajni brojevi i varijable opisuju, dakle, nepravilno ponašanje u komprimiranom obliku.

3.5.2.Slučajni brojevi kod ručne simulacije

Za ručnu simulaciju slučajni brojevi mogu biti izabrani na razne načine. Tako imamo:1. Biranje slučajnih brojeva elektronskim simuliranjem ruleta čiji su sektori cifre 0,1,2,…,9;2. Bacanjem kockice, gdje brojevi od 1 do 6 imaju istu vjerovatnoću da se pojave;3. Upotrebom AWF slučajnim bacanjem dobivamo slučajne brojeve od 0 do 1295.Ovdje se bacaju

četiri kockice, a svaka kockica ima slijedeće brojeve:KOCKICA 1 0 1 2 3 4 5KOCKICA 2 0 6 12 18 24 30KOCKICA 3 0 36 72 108 144 180KOCKICA 4 0 216 432 648 864 1080

4. Najstarija metoda za ručno određivanje slučajnih brojeva je tzv. URNE-METODA. Ovdje kartice označene sa brojevima od 0 do 9 stavimo u jednu kutiju, dobro promiješamo i povučemo karticu, pročitamo broj i vratimo karticu nazad. Tako postupak ponavljamo za svaki slučajan broj.

3.5.3 .Slučajni brojevi kod digitalne simulacije

Kod digitalne simulacije tabela slučajnih brojeva se mora memorisati. Kod mašinskog odabira slučajnih brojeva javlja se problem što se oni biraju deterministički tj. po određenim, strogo propisanim, pravilima, a trebali bi biti stohastički (slučajni). Zato se oni zovu još i pseudoslučajnim brojevima. Međutim najveća prednost ovih brojeva je u velikoj brzini odabira.Rekli smo da se pseudoslučajni brojevi biraju po određenim pravilima, a sada ćemo da pokažemo neke od metoda za biranje:

1. Najstarija je Von Neumannova metoda koja se svodi na sljedeći postupak:

a) Izbor baze (četverocifrenog broja);

b) Kvadriranje i odbacivanje prva i posljednja dva mjesta kod dobivenog osmocifrenog broja;

c) Dobiveni broj je pseudoslučajan broj i ujedno nova baza.

Postupak je prikazan u tabeli 3.1.

I X X2 PSEUDOSLUČAJAN BROJ1 1234 01522756 52272 5227 27321529 32153 3215 10336225 33624 3362 11303044 30305 3030 01980900 18096 1809 03272481 2724

Nedostatak ovakvog biranja brojeva je u pojavljivanju nultog broja (0000) i u pojavljivanju perioda tj. da se cifre počnu istim redom ponavljati. Ovaj nedostatak se može otkloniti tako što će se okrenuti redoslijed brojeva.

2. Kongruenz metoda (Njem. kongruent-podudaran) podrazumijeva biranje brojeva na osnovu izraza:

Zi+1 = ostatak od dijeljenja aZi/m odnosno Zi+1 = aZi (mod.m)

Ovdje kvalitet izabranih pseudoslučajnim brojeva zavisi od izabranog Z0, a i m. Kod ove metode se

veoma brzo javlja period. Zato se pri izboru parametara Z0, a i m preporučuje m = 2k gdje je k iz intervala 40-50. ,

3. Modificirana kongruenz metoda je Greenbergerova metoda gdje se pseudoslučajni brojevi formiraju po slijedećem zakonu:

Zi+1 = aZi +k (mod.m)Gdje se prvo izaberu Z0, a, b i m.

4. PRIMJERI

1. Primjer očekivane vrijednostiUpravni odbor proizvodnog preduzeća treba da donese odluku o izgradnji novog proizvodnog pogona (Tvornice stočne hrane TSH). Odluku treba donijeti na bazi rezultata predinvesticijske studije. U predinvesticijskoj studiji su predložene tri moguće varijante izgradnje proizvodnog pogona (TSH) i to : izgradnja tvornice kapaciteta 2 tone/sat; izgradnja tvornice kapaciteta 5 tona/sat i izgradnja tvornice kapaciteta 8 tona/sat. U studiji su identifikovana tri stanja u ekonomiji koja mogu nastupiti u vrijeme eksploatacije proizvodnog pogona (otplate investiranih sredstava): recesija, normalno i stanje prosperiteta. U studiji su pored alternativa i stanja ( na bazi naučnih procedura) date i početne vjerovatnoće odigravanja pojedinih stanja koje glase: 0,15, 0,65, 0,20. Kao funkcija cilja izdvojena je očekivana dobit koja za:• prvu alternativu pri odigravanju normalnog stanja iznosi 242.000 KM godišnje, ako dođe do recesije dobit će biti ostvarena sa 70,2479% a u slučaju odigravanja stanja prosperiteta sa 119,8347% od stanja ostvarenog pri normalnom stanju u ekonomiji.• drugu alternativu pri odigravanju stanja recesije iznosi 420.000 KM godišnje, ako nastupi normalno stanje dobit će biti ostvarena sa 121,4286% a u slučaju odigravanja stanja prosperiteta sa 150% od stanja ostvarenog pri recesiji.• treću alternativu za slučaj odigravanja stanja prosperiteta iznosi 690.000 KM, za slučaj normalnog stanja 76,8116% a za slučaj recesije 43,4783% od stanja ostvarenog pri prosperitetu.Primjenom opisanih procedura formirati matricu (tabelu) plaćanja i matricu (tabelu) žaljenja.Rješenje:Vektor stanja (Si):s1 – nastupanje stanja recesije u ekonomijis2 – nastupanje normalnog stanja u ekonomijis3 – nastupanje stanja prosperiteta u ekonomijiVektor akcija (Aj):a1 – izgraditi proizvodni pogon (TSH) kapaciteta 2 tone/sata2 – izgraditi proizvodni pogon (TSH) kapaciteta 5 tona/sata3 – izgraditi proizvodni pogon (TSH) kapaciteta 8 tona/satVektor početnih vjerovatnoća P (si):P(s1) = 0,15 –vjerovatnoća nastupanja recesije u ekonomijiP(s2) = 0,65 –vjerovatnoća nastupanja normalnog stanja u ekonomijiP(s3) = 0,20 –vjerovatnoća nastupanja prosperiteta u ekonomiji

Izračunavanje elemenata matrice plaćanja:e11 = 242.000 * 0,702479 = 170.000 KMe21 = 242.000 e31 = 242.000 * 1,198347 = 290.000 KM

e12 = 420.000 KM

e22 = 420.000 * 1,214286 = 510.000 KMe32 = 420.000 * 1,50000 = 630.000 KM

e13 = 690.000 * 0,434783 = 300.000 KMe23 = 690.000 * 0,768116 = 530.000 KMe33 = 690.000 KM

Formiranje matrice plaćanja bez vektora početnih vjerovatnoća:

Vrijednosti izražene u hiljadama KMStanjaSi Akcije (Aj)A1 A2 a3s1 170 420 300s2 242 510 530s3 290 630 690Tabela 4.1.: Matrica plaćanja bez početnih (apriornih)vjerovatnoća

Izračunavanje koeficijenata matrice propuštenih dobiti:Shodno, prethodnom tumačenju, prvo tražimo maksimalne vrijednosti efekta eij po stanju si i njih transformišemo u efekat žaljenja oij sa vrijednošću 0 (koga označavamo sa Mj) a potom primjenom formule oij = Mj - eij izračunavamo ostale koeficijente žaljenja za akcije po stanju si.= M1 = e12 pri čemu je a = M2 = e23 pri čemu je a = M3 = e33 pri čemu je a o11 =M1 –170= 420 – 170 = 250o13 = M1 –170= 420 – 300 = 120o21 = M2 –242= 530 – 242 = 288o22 = M2 –510= 530 – 510 = 20o31 = M3 –290= 690 – 290 = 400o32 = M3 –630= 690 – 630 = 60Sada možemo formirati matricu žaljenja bez vektora početnih (apriornih) vjerovatnoća:Vrijednosti izražene u hiljadama KMStanjaSi Akcije (Aj)a1 a2 a3S1 250 0 120S2 288 20 0S3 400 60 0Tabela 4.2.: Matrica propuštenih dobiti (tabela žaljenja)

Koeficijent na poziciji e 22 = 20, znači da , ako bi se realizirala akcija a2 pri odigravanju normalnog stanja (s2), donosilac odluke propušta ostvarenje dobiti u iznosu od 20 hiljada DEM. Pri odigravanju normalnog stanja prirode za donosioca odluke bi bila najpovoljnija akcija a3 jer je vrijednost propuštene dobiti jednaka nuli.Pridružimo li vektor pojedinih vjerovatnoća kako je to prikazano u tabeli br.4 dobit ćemo nove koeficijente koji su pod direktnom zavisnošću od apriorne raspodjele vjerovatnoća (do koje donosilac odluke dolazi na jedan od opisanih načina)Izračunavanje koeficijenatae11 = 170.000 * 0,15 = 25.500 KMe21 = 242.000 * 0,65 = 157.300 KM

e31 = 290.000 * 0,20 = 58.000 KMe12 = 420.000 * 0,15 = 63.000 KMe22 = 510.000 * 0,65 = 331.500 KMe32 = 630.000 * 0,20= 126.000 KM

e13 = 300.000 * 0,15 = 45.000 KMe23 = 530.000 * 0,65 = 344.500 KMe33 = 690.000 * 0,20 = 138.000 KM

Vrijednosti izražene u hiljadama KMStanja Akcije (Aj)si V (sj): a1 a2 a3s1 0,15 25,5 63,0 45,0s2 0,65 157,3 331,5 344,5s3 0,20 58,0 126,0 138,0Tabela 4.3.: Matrica koeficijenti očekivanih dobiti Istim postupkom izračunavamo koeficijente za tabelu propuštenih dobiti, (tabela broj 5).

Vrijednosti izražene u hiljadama KMStanja Akcije (Aj)sj V (sj) a1 A2 a3s1 0,15 37,5 0,0 18,0s2 0,65 183,3 13,0 0,0s3 0,20 80,0 12,0 0,0Tabela4.4.:Matrica koeficijenata očekivanih propuštenih dobitiOčekivane vrijednosti dobiti akcija izračunate su i prikazane u sljedećoj tabeli efikasnosti:Vrijednosti izražene u hiljadama KMStanja Akcije (Aj)Si V (si): a1 a2 a3s1 0,15 25,5 63,0 45,0s2 0,65 157,3 331,5 344,5s3 0,20 58,0 126,0 138,0Σ 1,00 240,8 520,5 527,5Tabela 4.5.: Izračunavanje očekivane vrijednosti i izbor najprihvatljivije akcije primjenom kriterija očekivane novčane vrijednosti (matrica financijskih efekata)Provođenjem akcije a3 ostvaruje se najveća očekivana vrijednost dobiti u iznosu od 527,5 hiljada DEM, te je navedena akcija izabrana kao najpovoljnija akcija.

2.Primjer Bayesove analize:

Proizvođač X proizvodi jednake količine dva proizvoda, S1 i S2 , pri čemu ih pakuje u tri vrste ambalaže: A, B, C. Za proizvod S1 koristimo ambalaže A i B ( i to 80% proizvoda pakuje u ambalažu A, a 20% u ambalažu B), dok za proizvoda S2 koristi sve tri ambalaže u sljedećim procentima: A – 25%, B – 50% i C – 25%. Ako znamo da je proizvod spakovan u ambalaži B, koja je vjerovatnoća da se radi o proizvodu S2 ?

Na osnovu raspoloživih informacija (proporcija) možemo odrediti sljedeće vjerovatnoće, koje smo i grafički prikazali na slici:

P(S1 )=0,5P(S2 )=0,5

P(A׀S1 )=0,8 P(A׀S2 )=0,25 P(B׀S1 )=0,2 P(B׀S2 )=0,5P(C׀S1 )=0 P(C׀S2 )=0,25

B0,2

B0,5

A0,8

C0,25

A0,25Potrebno je da izračunamo uslovnu vjerovatnoću da je izabran proizvod S2 , ako znamo da se on nalazi u ambalaži B, tj. P(S2׀B ). Primjenom Bayesove formule dobivamo:

Na isti način možemo da izračunamo uslovnu vjerovatnoću da se u ambalaži B nalazi proizvod S1 :

Primijetimo da je

Na osnovu početnih informacija o strukturi proizvodnje zaključili smo da su vjerovatnoće izbora proizvoda S1 i S2 , međusobno jednake i iznose 0,5. Ali dopunska informacija o vrsti ambalaže B je značajno promijenila vjerovatnoće u korist proizvoda S2 . Ako znamo da je proizvod spakovan u ambalaži B, šanse da se radi o proizvodu S2 su 1:1 (0,5:0,5) porasle na skoro 3:1 (0,714:0,286). Drugim riječima, polazne apriori vjerovatnoće događaja S1 i S2 izmijenili smo u svjetlu novih informacija ) ambalaže i izračunali njihove korigovane aposteriori vjerovatnoće. Na prethodnoj slici kvadrat predstavlja ukupnu vjerovatnoću, koja je jednaka 1. Apriori vjerovatnoće izbora proizvoda S1 i S2 su prikazane pravougaonicima iste veličine, odnosno one su jednake 0,5. Kada dobijemo informaciju da je proizvod spakovan u ambalaži, sada osjenčena površina B predstavlja izvjestan događaj, čija je vjerovatnoća jednaka1. Ova površina je podijeljena na dva nejednaka pravougaonika, koji pokazuju vjerovatnoće i .U posmatranom primjeru vjerovatnoća događaja P(S1 ) i P(S2 ), kao i uslovne vjerovatnoće i smo izračunali na osnovu relativne frekvencije, tj. one predstavljaju statističke vjerovatnoće.

3. Primjer simulacije

Fizioterapeutska klinika – ilustracija simulacije

Rhianon Adam je fizioterapeutkinja koja radi u klinici gdje prima pacijente po narudžbi. Počinje u 9 sati i radi bez pauze cijelo jutro, nadajući se da će završiti oko podne. Pacijenti imaju rezervisane termine od 15 minuta, ali naravno oni ne stižu tačno na vrijeme. Takođe svaka konsultacija ne traje tačno 15 minuta. Ako pacijent stigne ranije a fizioterapeutkinja je slobodna, pacijent se prima odmah. Rhianon je rekla svojoj recepcionarki da vrati svakog pacijenta koji kasni pet minuta, bez obzira da li je ona slobodna ili nije. To je zbog toga što bi nastalo kašnjenje uzrokovalo nagomilavanje pacijenata koji ne bi mogli biti pregledani do poslijepodneva. Ako prvi pacijent stigne rano, on ne bude primljen prije 9 sati i jutarnja sesija se završava kada svi ugovoreni pacijenti, osim onih koji budu vraćeni, budu primljeni. Adam je svjesna da postupanje na ovaj način dovodi do toga da će ponekad čekati idućeg pacijenta. Određena količina slobodnog vremena je sasvim korisna ali ona ne želi da ga ima previše. Ona takođe smatra da pacijenti postaju nervozni ako moraju čekati predugo, naročito ako shvate da pacijent koji je raspoređen prije njih još uvijek čeka. Konačno, ona smatra da radi sasvim pravilno sve do kasno poslijepodne. Nju zanima koji bi bili efekti mijenjanja nekog broja njenih operacijskih parametara. Ona bi mogla praviti termine u intervalima od 20 minuta ( svaki drugi interval ne bi bio praktičan). Ona bi mogla napraviti zadnji termin ranije nego što je to do sada radila. Ona bi mogla promijeniti svoj kriterij vraćanja na 7 ili 8 minuta; ona bi takođe mogla koristiti ovu politiku u drugoj polovici jutra. Mogla bi praviti termine u intervalima od 15 minuta u prva dva sata, ali u intervalu od 20 minuta u zadnjem satu. Tako bi imala veću šansu da primi sve nagomilane pacijente prije podne. Sve ove mogućnosti bi mogle biti testirane u praksi. Jasno da postoji mnogo sistema kad su sve kombinacije alternativne strategije isprobane i snaga pristupa matematičkim modeliranjem je takva da alternative mogu biti isprobane brzo i jeftino bez rizika ometanja fizioterapeutske usluge , kada se upotrebljava djelimično neefikasna kombinacija.Prvo treba razmatrati originalnu postavku . Postoje dva slučajna elementa u sistemu. Prvo, to je razlika između pacijentovog zakazanog termina i njegovog stvarnog vremena dolaska. Ovo može biti pozitivna i negativna količina. Drugo, to je vrijemae konsultacije ili vrijeme koje pacijent provodi sa fizioterapeutkinjom. Ovo je u suštini redovna situacija, ali kompleksnost i najjednostavnije verzije je takva da je realno analitičko nemoguće. Osim toga simulacijski pristup je otvoren i jasno je da ga treba upotrijebiti. U tu svrhu pretpostavimo da su podaci prikupljeni na osnovu vremenu dolaska i vremena konsultacije za 16 jutarnjih sesija. Podaci pretvoreni u relativne frekvencije a iz toga onda u odgovarajuće slučajne brojeve su dati u tabeli 4.6. i 4.7. :Tabela 4.6.:

Vrijeme konsultacijePotrebno vrijeme (u minutama) Frekvencije Relativne frekvencije Slučajni brojevi10 2 0,011 001-01111 3 0,016 012-02712 3 0,016 028-04313 5 0,026 044-06914 11 0,059 070-12815 18 0,096 129-22416 23 0,122 225-34617 27 0,144 347-49018 27 0,144 491-63419 21 0,112 635-74620 17 0,090 747-83621 12 0,064 837-90022 9 0,048 901-94823 5 0,026 949-974

24 4 0,021 975-99525 1 0,005 996-000Ukupno 188 1,000

Tabela 4.7.

Vrijeme dolaskaRano/kasno korekcija (u minutama) Frekvencija Relativna frekvencija Slučajni brojevi-5 12 0,063 001-063-4 26 0,135 064-198-3 46 0,240 199-438-2 34 0,177 439-615-1 29 0,151 616-7660 15 0,078 767-8441 10 0,052 845-8962 7 0,036 897-9323 5 0,026 933-9584 3 0,016 959-9745 1 0,005 975-979Vraćanje 4 0,021 980-000Ukupno 192

Koristeći prvi blok pseudo-slučajnih brojeva jedna jutarnja operacija može biti simulirana. Slučajni brojevi moraju biti u grupama od tri i to može biti postignuto jednostavno crtajući redove. Sa ručnom simulacijom rezultati mogu biti postavljeni kao u tabeli 4.8.

Izdvajajući značajno važne podatke iz tabele 4.3. dobijamo:Prekoračenje sesije +31 minutaSlobodno vrijeme fizioterapeutkinje 1 minutaMaksimalni broj čekanja 2 minuta Ukupno vrijeme čekanja 202 minuteTo je samo evidencija iz simuliranih operacija jednog jutra. Da bi uporedili strategije bili bi potrebni rezultati iz nekoliko pokušaja iz kojih bi mogli npr. porediti prosjeke ili alternativno ekstremne vrijednosti. Bilo bi neprikladno jednostavno voditi sesiju više od tri sata ujutro. Ponavljanja sesije koje počinju u 9 sati i traju tri sata je potrebno. Bilo bi krajnje zamorno da to uradimo ručno, ali na sreću, jednostavne numeričke operacije potrebne simulaciji mogu biti riješene na računaru i to je uobičajena praksa.

Da zaključimo ilustraciju, pretpostavimo da ugovoreni interval od 20 minuta treba odmjeriti i uporediti sa originalnim intervalom. Ista forma simulacije može biti riješena i osim toga da bi poređenje bilo neposrednije, isti slučajni brojevi mogli biti korišteni i lakše riješeni koristeći generacijski metod za pseudoslučajne brojeve. To pokazujemo u sljedećoj tabeli:Prekoračenje sesije 1 minutaSlobodno vrijeme fizioterapeuta 24 minutaMaksimalan broj čekanja 1 minutaUkupno vrijeme čekanja 2 minute

Upoređujući ova dva pojedinačna pokušaja, očigledno je da je vrijeme čekanja pacijenta zamjenjeno za slobodno vrijeme fizioterapeuta. I naredni pokušaji bi dali više pouzdane mjere ovog fenomena. Analiza takođe ukazuje na moguće koristi prebacivanja sa 15-minutnog intervala na 20-tominutni u toku zadnjeg sata. Sljedeće tačka je da se podrazumjeva da isti ulazni podaci budu korišteni za simulaciju svih alternativnih strategija. Može biti ustanovljeno, na primjer, da kada se poveća ugovoreni interval, fizioterapeutkinja će težiti da se posveti nešto duže svakom pacijentu. Ako je to tako, jednostavno podešavanje skale prema distribuciji vremena konsultacija može biti postignuto.

Tabela 4.8.:

Višak vremena fiziotera-peutkinje 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Vrijeme čekanja pacijenta 0 7 10 15 16 15 15 17 17 26 31 33Broj čekanja na kraju konsultacije 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 0Vrijeme konsultacije Vrijeme konsultacije 9.01-9.21 9.21-9.39 9.39-9.58 9.58-10.13 10.13-10.26 10.26-10.45 10.45-11.00 11.00-11.19 11.19-11.38 11.38-11.58 11.58-12.14 12.14-12.31vrijeme 20 18 19 15 13 19 15 19 19 20 16 17Slučajni brojevi 779 565 688 143 052 730 195 682 724 776 305 400Stvarni dolazak Vrijeme 9.01 9.14 9.29 9.43 9.57 10.11 10.30 10.43 11.02 11.12 11.27 11.41Korekcija +1 -1 -1 -2 -3 -4 0 -2 +2 -3 -3 - 4Slučajni brojevi 847 642 689 470 312 149 782 451 921 223 363 135

Ugovoreni sastanak 09.00 09.15 09.30 09.45 10.00 10.15 10.30 10.45 11.00 11.15 11.30 11.45

Zaključak

Nakon svega izloženog, možemo zaključiti da je odlučivanje u uslovima neizvjesnosti, za razliku od odlučivanja u uslovima izvjesnosti pod uticajem velikog broja faktora koje treba analizirati i imati u vidu pri donošenju odluka.Također, mogli smo ustvrditi da je ovaj oblik odlučivanja usko povezan sa odlučivanjem u uslovima rizika, te smo tim povodom nešto i rekli o tom obliku odlučivanja. vidjeli smo da donosilac odluke kroz raspodjelu vjerovatnoća treba da kvantificira uticaj kako faktora okruženja tako i unutarnjih faktora. Donosilac mora da pri analizi neizvjesnosti ispoštuje određene korake kao što su: strukturiranje problema, analiza neizvjesnosti, analiza preferencija, izbor optimalne akcije i prikupljanje novih informacija.Vidjeli smo da u okviru odlučivanja bez određivanja apriori vjerovatnoća postoje određeni kriteriji,

a to su: maxmin, maxmax, minmax, Hurwiczov i Laplaceov, pri čemu je svaki od njih primjenjiv u određenoj situaciji.Uočili smo da je simulacija dovođenje modela jednog sistema u primjerene situacije i posmatranje efekata koje oni proizvode i da nam ona omogućava stvaranje modela koji se lako modificiraju, realizovanje uslova oprobavanja i proučavanje ponašanja sistema, te možemo zaključiti da je simulacija jednostavan metod analiziranja problema kreiranjem modela koji mogu biti manipulisani metodom pokušaja i grešaka.U završnom dijelu rada, pokazali smo, kroz konkretne primjere iz prakse, kako se određeni problemi mogu riješiti putem simulacije, metodom očekivane vrijednosti i Bayesove analize.