UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

COORDENAÇÃO DE ENGENHARIA QUÍMICA

CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA

ANA KAROLINA MAYER DE LIMA

ANGÉLICA LUBASKI

PAMELA ANTUNES PEREIRA

ESTUDOS DE FLUIDOS NEWTONIANOS E NÃO NEWTONIANOS E

DETERMINAÇÃO DA VISCOSIDADE DINÂMICA DE LÍQUIDOS

PRÉ-RELATÓRIO

PONTA GROSSA – PR

2013

OBJETIVO

Identificar o comportamento de fluidos, classificando-os como newtonianos ou

não newtonianos, e determinar a viscosidade dinâmica de diferentes líquidos através

do método do copo de FORD.

1. INTRODUÇÃO TEÓRICA

1.1 VISCOSIDADE

É a medida da resistência interna ou fricção interna de uma substância ao

fluxo quando submetida a uma tensão. Quanto mais viscosa a massa, mais difícil de

escoar e maior o seu coeficiente de viscosidade (MUNSON, 1994).

1.2 DEFORMAÇÃO E GRADIENTE DE VELOCIDADE

A massa específica e o peso específico são propriedades que indicam o

“peso” de um fluido. É claro, que estas propriedades não são suficientes para

caracterizar o comportamento dos fluidos porque dois fluidos (como a água e o óleo)

podem apresentar massas específicas aproximadamente iguais, mas se comportar

muito distintamente quando escoam. Assim, torna-se aparente que é necessário

alguma propriedade adicional para descrever a “fluidez” das substâncias (MUNSON,

1994).

Se nós variarmos as condições de certo experimento, feito para medir a

tensão cisalhante, nós obteríamos que a tensão de cisalhamento aumenta se

aumentarmos o valor de P (lembre que τ = P/A) e que a taxa de deformação por

cisalhamento aumenta proporcionalmente, ou seja (MUNSON, 1994):

� ∝ �� ou � ∝ ����

Figura 1: Força de cisalhamento aplicada sobre um fluido.

(Fonte: http://www.setor1.com.br/analises/reologia/cisa_figu.htm)

Este resultado indica que, para fluidos comuns (como a água, óleo, gasolina e

ar), a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação de cisalhamento (gradiente de

velocidade) podem ser relacionadas com uma equação da seguinte forma

(MUNSON, 1994):

� = ���� (1)

Onde a constante de proporcionalidade, µ, é denominada viscosidade

dinâmica do fluido. De acordo com a equação acima, os gráficos de τ em função de

du/dy devem ser retas com inclinação igual à viscosidade dinâmica e isto está

corrobado nas curvas da Figura 2. O valor da viscosidade dinâmica varia de fluido

para fluido e, para um fluido em particular, esta viscosidade depende muito da

temperatura. Este fato está mostrado nas duas curvas referentes à água da Figura

2. Os fluidos que apresentam relação linear entre tensão de cisalhamento e taxa de

deformação por cisalhamento (também conhecida como taxa de deformação

angular) são denominados fluidos newtonianos. A maioria dos fluidos comuns, tanto

líquidos como gases, são newtonianos (MUNSON, 1994).

Figura 2: Tensão de cisalhamento em função da taxa de deformação por cisalhamento para alguns

fluidos. (Fonte: MUNSON, 1994)

Os fluidos que apresentam relação não linear entre a tensão de cisalhamento

e a taxa de deformação por cisalhamento são denominados fluidos não

newtonianos. A Figura 3 mostra o comportamento dos fluidos não newtonianos mais

simples e comuns. É interessante ressaltar que existem fluidos não newtonianos que

exibem outros tipos de comportamento. A inclinação da curva tensão de

cisalhamento em função da taxa de deformação por cisalhamento é denominada

viscosidade dinâmica aparente, �. Note que, para fluidos newtonianos, a

viscosidade dinâmica aparente é igual a viscosidade dinâmica e é independente da

taxa de cisalhamento (MUNSON, 1994).

Para fluidos não dilatantes (curva acima da referente ao fluidos newtoniano),

a viscosidade dinâmica aparente diminui com o aumento da taxa de cisalhamento,

ou seja, a viscosidade aparente se torna menor quanto maior for a tensão de

cisalhamento imposta no fluido. Muitas suspensões coloidais e soluções de

polímeros apresentam este comportamento. Por exemplo, a tinta látex não pinga do

pincel porque a taxa de cisalhamento é baixa e a viscosidade aparente é alta.

Entretanto, ela escoa suavemente na parede porque o movimento provoca uma taxa

de cisalhamento suficientemente grande na camada fina de tinta que recobre a

parede. Assim como du/dy é grande, a viscosidade dinâmica aparente se torna

pequena (MUNSON, 1994).

Figura 2: Tensão de cisalhamento em função da taxa de deformação por cisalhamento para alguns

fluidos (incluindo alguns não newtonianos). (Fonte: MUNSON, 1994)

A viscosidade dinâmica varia pouco com a pressão e o efeito de variação da

pressão sobre o valor da viscosidade normalmente é desprezado, mas a viscosidade

dinâmica é muito sensível as variações de temperatura. Por exemplo, quando a

temperatura da água varia de 15 oC a 38 oC, a massa específica diminui em menos

de 1% mas a viscosidade decresce de aproximadamente 40%. Por este motivo,

torna-se muito importante determinar a viscosidade do fluido na temperatura correta

de aplicação (MUNSON, 1994).

A figura abaixo mostra mais detalhadamente como a viscosidade varia de

fluido para fluido e como esta propriedade varia com a temperatura. Note que a

viscosidade decresce com o aumento da temperatura enquanto e que a dos gases

aumenta quando a temperatura do gás aumenta. Esta diversidade de

comportamento pode ser atribuída a diferença que existe entre a estrutura molecular

dos gases e a dos líquidos. Os espaçamentos entre as moléculas de líquidos são

pequenos (quando comparados com os dos gases) e as forças coesivas entre as

moléculas são grandes. Assim, a resistência ao movimento relativo entre camadas

contíguas de líquido está relacionada as forças intermoleculares. Quando a

temperatura aumenta, estas forças coesivas são reduzidas e isto provoca a redução

da resistência ao movimento. Como a viscosidade dinâmica é um índice desta

resistência, verificamos uma redução da viscosidade dinâmica pelo aumento da

temperatura. Já para os gases, as moléculas estão bem mais espaçadas e as forças

moleculares são desprezíveis. Neste caso, a resistência ao movimento relativo é

devida as trocas de quantidade de movimento das moléculas de gás localizadas em

camadas adjacentes. Como as moléculas são transportadas pelo moléculas numa

região com velocidade do meio mais alta (e vice versa), existe uma troca efetiva de

quantidade de movimento (que impõe uma resistência a movimentação relativa entre

as camadas). Quando a temperatura do meio aumenta, a atividade molecular

aumenta (as velocidades aleatórias aumentam), e detectamos um aumento na

viscosidade dinâmica do gás (MUNSON, 1994).

Figura 4: Viscosidade dinâmica de alguns fluidos em função da temperatura.

(Fonte: MUNSON, 1994)

O efeito da temperatura sobre a viscosidade dinâmica pode ser aproximado

com duas equações empíricas. A equação de Sutherland, adequada para os gases

pode ser expressa por:

= ��� �⁄��� (2)

Onde C e S são constantes empíricas e T é a temperatura absoluta. Assim,

podemos determinar as valore de C e S se conhecermos um conjunto de valores da

viscosidade dinâmica em duas temperaturas. Se conhecermos um conjunto de

valores de viscosidade, nós podemos correlacionar o conjunto de dados com a

Equação 2 e algum tipo de esquema de aproximação por curvas (MUNSON, 1994).

Para os líquidos, a equação empírica que tem sido utilizada é a equação de

Andrade, ou seja,

= ��� �⁄ (3)

Onde D e B são constantes e T é a temperatura absoluta. Como nos casos do

gases, nós devemos conhecer, no mínimo, duas viscosidades obtidas em

temperaturas diferentes para que as duas constantes possam ser determinadas

(MUNSON, 1994).

É frequente, nos problemas de mecânica dos fluidos, a viscosidade dinâmica

aparecer combinada com a massa específica do seguinte modo:

� = �� (4)

Esta relação define viscosidade cinemática (que é representada por ν). A

dimensão da viscosidade cinemática é L2/T, assim, no SI, sua unidade é m2/s

(MUNSON, 1994).

1.3 FLUIDOS NEWTONIANOS X FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS

O estudo da deformação de fluidos em escoamento é chamado de reologia.

Fluidos Newtonianos, definidos como fluidos para os quais a tensão de cisalhamento

é linearmente proporcional à taxa de deformação de cisalhamento. Os fluidos

newtonianos são análogos aos sólidos elásticos (Lei de Hooke: tensão proporcional

à deformação). (ÇENGEL; CIMBALA, 2007)

Fluidos para os quais a tensão de cisalhamento não está linearmente

relacionada com a taxa de deformação de cisalhamento são chamados de fluidos

não newtonianos. Como exemplos podemos incluir lamas e suspensões coloidais,

soluções de polímeros, sangue, pasta e massa de bolo. Alguns fluidos newtonianos

apresentam uma característica de “memória” – a tensão de cisalhamento depende

não somente da taxa de deformação local, mas também de sua história. Um fluido

que retorna (totalmente ou parcialmente) à sua forma original depois que a tensão

aplicada foi removida é chamado de viscoelástico. (ÇENGEL; CIMBALA, 2007)

1.4 CLASSIFICAÇÃO REOLÓGICA

Quanto à deformação, os fluidos podem ser classificados em:

- Reversíveis ou elásticos: são sistemas que não escoam; sua deformação é

reversível e o sistema obedece à Lei de Hooke.

- Irreversíveis ou viscosos: são sistemas que escoam; sua deformação é

irreversível e o sistema obedece à Lei de Newton, de viscosidade constante.

Também podem ser classificados quanto à relação entre a taxa de

deformação e a tensão de cisalhamento:

- Fluidos Newtonianos

- Fluidos Não Newtonianos

Além disso, os fluidos não newtonianos ainda podem ser classificados em:

viscoelásticos, dependentes e independentes do tempo, como podemos ver na

Figura 4.

Figura 2: Classificação dos Fluidos segundo seu comportamento reológico.

(Fonte: http://www.setor1.com.br/analises/reologia/cla_ssi.htm)

1.4.1 NÃO NEWTONIANOS INDEPENDENTES DO TEMPO

Para fluidos do tipo dilatantes (curva abaixo da referente ao fluido

newtoniano), a viscosidade dinâmica aparente aumenta com o aumento da taxa de

cisalhamento, ou seja, ela se torna cada vez maior quanto maior for a tensão de

cisalhamento imposta ao fluido. Dois exemplos de fluidos que apresentam esse

comportamento são as misturas de água – mel de milho e água – areia (areia

movediça). Este é o motivo para que o esforço necessário para remover um objeto

de uma areia movediça aumenta brutalmente com o aumento da velocidade de

remoção (MUNSON, 1994)..

Alguns fluidos não newtonianos são chamados de fluidos de cisalhamento

diluto ou fluidos pseudopláticos, porque quanto mais o fluido é cisalhado, menos

viscoso ele se torna. Um bom exemplo disso é a tinta. A tinta é muito viscosa

quando tirada da lata ou quando apanhada por um pincel, porque a taxa de

cisalhamento é pequena. No entanto, quando aplicamos a tinta na parede, a fina

camada de tinta entre o pincel e a parede é submetida a uma grande tensão de

cisalhamento, e ela se torna muito menos viscosa. Fluidos plásticos são aqueles nos

quais o efeito de diminuição de cisalhamento é extremo. (ÇENGEL; CIMBALA, 2007)

O outro tipo de comportamento indicado na Figura 2 é do plástico de Bingham

que não é um fluido nem um sólido. Este tipo de material pode resistir a uma tensão

de cisalhamento finita sem se mover (assim, ele não é um fluido) mas, uma vez

exercida a tensão de escoamento , material se comporta como um fluido (assim, ele

não é sólido). Dois exemplos desse tipo de material são a pasta de dente e a

maionese (MUNSON, 1994)..

Numerosas equações empíricas têm sido propostas para modelar as

relações observadas entre Ƭ e ���� para fluidos com comportamento independente do

tempo. Para muitas aplicações da engenharia, essas relações podem ser

adequadamente representadas pelo modelo exponencial que para o escoamento

unidimensional, torna-se:

Ƭyx= k(����)n

No qual o expoente n, é chamado de índice de comportamento do

escoamento, e o coeficiente, k, é o índice de consistência. Essa equação reduz-se à

lei da viscosidade de Newton para n=1 com k=µ. Para assegurar que Ƭyx tenha o

mesmo sinal de ���� a equação é reescrita da forma:

Ƭyx= k| ���� |n-1 ���� = � ��

��

O termo � = k| ���� |n-1 é denominado viscosidade aparente do fluido. A ideia

por trás dessa equação é usar uma viscosidade � em uma equação cujo formato é

idêntico ao da equação para fluidos Newtonianos, em que a viscosidade µ é

aplicada. A grande diferença é que enquanto µ é constante (exceto para efeitos de

temperatura), � depende da taxa de cisalhamento. (FOX; PRITCHARD;

MCDONALD, 2010)

Os fluidos em que a viscosidade aparente decresce conforme a taxa de

deformação cresce (n<1) são chamados fluidos pseudoplásticos (tornam-se mais

finos quando sujeitos a tensões cisalhantes). Se a viscosidade aparente cresce

conforme a taxa de deformação cresce (n>1), o fluido é chamado de dilatante. (FOX;

PRITCHARD; MCDONALD, 2010)

Um “fluido” que se comporta como um sólido até que uma tensão limítrofe

Ƭy, seja excedida e, subsequentemente, exibe uma relação linear entre tensão de

cisalhamento e taxa de deformação é denominado plástico de Bingham ou plástico

ideal. O modelo correspondente para a tensão de cisalhamento é:

Ƭyx= Ƭy + µp ����

1.4.2 FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS DEPENDENTES DO TEMPO

O estudo dos fluidos não newtonianos é ainda mais complexo pelo fato de

que a viscosidade aparente pode ser dependente do tempo. Fluidos tixotrópicos

mostram um decréscimo em � com o tempo sob uma tensão cisalhante constante;

muitas tintas são tixotrópicas. Fluidos reopéticos mostram um aumento de � com o

tempo. (FOX; PRITCHARD; MCDONALD, 2010)

2. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

Para a realização da medida da viscosidade cinemática, será usado o método

do copo FORD. Para que tal método seja corretamente executado, se utilizará como

guia a norma brasileira do seu manuseamento.

Para a realização do ensaio primeiramente deve-se escolher o orifício

adequado para as medições utilizando uma tabela a ser disponibilizada em

laboratório. Escolhido o orifício, a amostra que será determinada sua viscosidade,

deve ser homogeneizada e o material a ser ensaiado deve estar a 25 oC.

Em seguida, o aparelho deve ser nivelado com o auxílio do nível de bolha dos

dois reguladores que estão situados nos pés do viscosímetro.

Ao inserida a amostra do fluido no copo Ford, o orifício deve estar fechado

com o dedo, e a amostra deve preencher o copo até o nível mais elevado, com

cuidado para que não haja a formação de bolhas, já que estas podem interferir nos

resultados do experimento. Para remoção do excesso da amostra, é ideal utilizar

uma placa plana de vidro ou aço inox.

Assim que os procedimentos anteriores forem realizados corretamente, o

dedo que fecha o orifício de escoamento deve ser retirado e imediatamente o

cronometro deve ser acionado, e apenas parada quando a primeira interrupção de

fluxo de escoamento cessar. Esse procedimento deve ser realizado em triplicata.

É importante ressaltar que para cada determinação o viscosímetro deve ser

limpo. Após as medições dos tempos, calcular a viscosidade dinâmica de acordo

com o tamanho do orifício que foi utilizado, as equações a serem utilizada se

encontram no arquivo em Anexo do roteiro da prática.

3.DEDUÇÃO DE EQUAÇÕES

O princípio de funcionamento baseia-se na equação de Poiseuille. Assim, o

princípio operacional do Copo Ford é similar ao do viscosímetro capilar. Em primeira

aproximação pode-se supor um regime de escoamento ‘quase-permanente’ durante

o esvaziamento do copo e ainda desprezar qualquer perda no copo. Assim, somente

as perdas no escoamento através do orifício, onde a velocidade é maior, serão

consideradas (UNICAMP, 1999).

Ainda mais, se os efeitos de aceleração devidos ao desenvolvimento do perfil

hidrodinâmico no orifício (L/D ≅ 2) são desprezados, pode-se afirmar que a diferença

de pressão do escoamento através do orifício é (ρgh), sendo h a altura do fluido no

copo (o orifício descarrega o fluido na atmosfera) (UNICAMP, 1999).

Assim, se ∆p é a perda de pressão de um escoamento de Poiseuilli.

A dedução da equação de Hagen- Poiseville.

Considerações:

- Escoamento permanente: ∂/∂t=0

- Escoamento incompressível: ρ constante

- Escoamento axial: vz, vr, vθ = 0

- Escoamento Laminar e Fluido Newtoniano (Utiliza esquação de Navier

Stokes)

- Condições de Contorno: r = R vz = 0

r = 0 vz = V máximo

Equação da Continuidade (Considerando escoamento unidimensional).

= 0 = 1# $$# (# #% &

1#$ θ$θ & $ z

$z = 0

$ z$z = 0)*�+,-�+.�/�0�+12*13/2 $4$z = 52+0.,+.�

6 = 6(#% Aplicando Equação de Navier-Stokes (variação apenas em r)

4 7$ z$t & z $ z$r & θ#$ z$θ & 6 $ z$z : = ;$4$z & 4<6 & =1#

$$# >#

$ z$r ? &

1#@$@ z$θ@ & $@ z

$z@ A

4D

LQ128gh

π⋅µ≅ρ

0 = −$4$z + 4<6 + 71#$$# >#

$ z$r ?: + 4<

Como só existe uma componente e varia com r

$ z$r = $ z

$r

As outras componentes

$4$r =

$4$B = 0 $4$z =

$4$6

$4$z − 4< + 71#

$$# >#

$ z$r ?: = C(5)

Usando as definições

- Pressão Piezométrica

∗ F = F ± 4<6

Aplicando para o nosso caso

∗ F = F ± 4<6

∗ $F$6 =$F$6 − 4<

∗ $F$6 = C3+.�<#,+/2 ∗ F = C6 + C1

Obedecendo as condições de contorno z=0 P=P0 *P0=P0

Z=L P=PL *P=PL

∗ F2 = CH ∗ FI = CI + CH ∗ FI = CI +∗ FJ

∗ FI = CI + FJ∗ FI = CI +∗ FJC = ∗ FI−FJK

C = −∆ ∗ FK (6)

Retornando a equação (5) e substituindo a equação (6)

71#$$# >#

$ z$r ?: =

−∆ ∗ FK

7 $$# >#$ z$r ?: =

−∆ ∗ F#K N+.�<#,+/2

7># $ z$r ?: =−∆ ∗ F#@2K + P1

$ z$r = −∆ ∗ F#@

2K + P1# N+.�<#,+/2

6 = −∆ ∗ F#@4K + P1*+# + P2

Condições de Contorno: r=R; Vz=0

0 = −∆ ∗ F#@4K + P1*+R + P2

r=0 Vz=Vmáx:

$ z$r = 0P1 = 0

Isolando C2:

P2 = ∆ ∗ FR@4K

6 = −∆ ∗ F#@4K + ∆ ∗ FR@

4K

6 = ∆ ∗ FR@4K 71 − S#RT

@: F�#U3*/� �*253/,/�

V = 6. XV = 71XY 6/X:X

V = Z Z [∆ ∗ FR@4K 71 − S#RT@:\ #/#/B]

^@_^

V = `∆ ∗ FRa8K 2cV = `∆ ∗ F�a

128K [efc,çã2/�i,<�+ − F230�13**�]

REFERÊNCIAS

ÇENGEL, Yunus; CIMBALA, John. Mecânica dos Fluidos - Fundamentos e Aplicações. São Paulo: Amgh Editora Ltda, 2007. FOX, Robert; PRITCHARD, Philip; MCDONALD, Alan. Introdução à Mecânica dos Fluidos. 7. ed. Rio de Janeiro: Editora Ltc, 2010. MUNSON, Bruce R.; YOUNG, Donald F.; OKIISHI, Theodore H.. Fundamentos da mecânica dos fluidos. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., 1994. 1 v. UNICAMP. Determinação da viscosidade: Métodos de Stokes e do copo Ford. 1999.