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8/18/2019 Practica Distribuciones de Probabilidad Discretas.
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PRÁCTICA: “DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD DISCRETAS”
DATOS GENERALES NOMBRE DEL ESTUDIANTE:
PRODUCTO:Cálculo de la probabi l idad para variables aleator ias
discretas
FECHA DE ENTREGA:
ESPECIALIDAD: SEMESTRE:
COMPETENCIAUso de software (Geogebra y Excel) para
calcular las probabilidades de eventos de variablesaleatorias
discretas. Identificación de las propiedades de diferentes
distribuciones de probabilidad.
FUNDAMENTO
VARIABLE: un experimento produce observaciones numéricas que
varían de muestra a muestra.
VARIABLE ALEATORIA: se define como una función con valores
numéricos definida sobre unespacio muestral. Y es aleatoria porque
los valores implican un suceso numérico aleatorio.
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: es una variable que solo puede
asumir un conjuntonumerable de valores. Ejemplos: el número de
tornillos en un lote, el número de hogares que tienenluz eléctrica
en una zona, el número de personas en una fila para comprar un
boleto.
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA: es una variable que puede asumir el
número infinitamente
grande de valores correspondientes a los puntos sobre un
intervalo de línea recta. Ejemplos: Laestatura de una persona, la
presión arterial, tiempo de vida de una célula, volumen de lluvia
que caeen un día en una selva.
Una DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD indica toda la gama de valores
que pueden presentarsecomo resultado de un experimento si éste se
llevase a cabo. Constituye una herramienta fundamental
para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un
escenario de acontecimientos futurosconsiderando las tendencias
actuales de diversos fenómenos. Dependiendo del tipo de variable
que seestudie, se puede tener una DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
DISCRETA o unaDISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTINUA. Figura 1.
Distribución de Probabilidad Discreta Distribución de
Probabilidad ContinuaFigura 1
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PROPIEDADES DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (X)
Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma
X deben ser mayores o iguales acero.
El área definida bajo la función de densidad de probabilidad
deberá ser de 1.
El conocimiento acerca de la obtención de probabilidades para
eventos discretos es una herramientamuy útil para el ingeniero,
puesto que comúnmente este tipo de distribuciones son las que
sigueneventos como la cantidad de producto defectuoso en un lote de
producción o el tiempo quetranscurrirá para la ocurrencia de alguna
falla en un proceso.
Nota: Para esta práctica, se utilizarán dos software: (1)
Geogebra, con el cual se podrán observar lasgráficas que
representan cada una de las distribuciones de probabilidad
discretas estudiadas así comolas áreas que representan las
probabilidades obtenidas. (2) Excel, en el cual a través de
comandos y
ventanas de diálogo nos permitirán obtener las probabilidades
deseadas.
PROCEDIMIENTOPARTE I. USO DE GEOGEBRA
1. Para realizar el análisis de las distribuciones
discretas y continuas la herramienta a utilizar seidentifica como
Calculadora de Probabilidad y se selecciona del menú VISTA
que apareceen el menú principal. Figura 2.
Figura 2
2. En la ventana Calculadora de
Probabilidad seleccionar la Distribución de Probabilidad quese
adecúe al problema. Dentro de las opciones se tienen en primer
lugar las Distribuciones
Continuas (Normal, Student, Chi Cuadrada, Distribución F,
etc.) y posteriormente lasDistribuciones Discretas (Binomial,
Pascal, Poisson e Hipergeométrica). Figura 3.
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Figura 3
DISTRIBUCIONES BINOMIAL
Los parámetros requeridos son: tamaño de muestr a
(n) y probabi l idad de éxi to (p) . La
probabilidadse puede calcular en intervalos definidos en uno o
ambos lados. En el caso de la probabilidad
puntual, se calcula utilizando un intervalo cerrado dando
el mismo valor en ambos lados de ladesigualdad. Figura 4.
Figura 4
Como se puede observar en la figura anterior, del lado derecho
de la gráfica aparece la tabla dedistribución de probabilidad del
experimento (la parte sombreada de la gráfica y de la
tablacorresponde a la probabilidad del intervalo especificado por
el usuario).
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EJEMPLO 1. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
EJEMPLO 1 : Para una muestra de 12 elementos, cuya
probabilidad de éxito es de 0.4, calcular la probabilidad de
encontrar:
a) Exactamente 5 elementos exitosos. Figura
5. b) Máximo 5 elementos exitosos, P(x≤5)c) Más de 5
elementos exitosos, P(x>5)d) Entre 3 y 7 elementos éxitos,
incluyendo estos valores, P(3≤x≤7)
Figura 5
SOLUCIÓN: De acuerdo a las características del problema, el
experimento sigue una distribuciónBinomial, por lo que el primer
paso es elegir la distribución Binomial del menú de
distribucionesde probabilidad. Introducir el valor de 12 en n, el
valor de 0.4 en p.
a) Seleccionar la opción de intervalo cerrado. Introducir
el valor de 5 en ambos lado delintervalo. Con estos datos obtenemos
la probabilidad de encontrar exactamente 5 elementos
exitosos que es de 0.227, b) Seleccionar la opción de
intervalo abierto a la izquierda. Introducir el valor de 5 en el
lado
derecho de la desigualdad. Con estos datos obtenemos la
probabilidad de encontrar máximo 5elementos exitosos que es de
0.6652,
c) Seleccionar la opción de intervalo abierto a la
derecha. Introducir el valor de 6 en el ladoderecho de la
desigualdad. Con estos datos obtenemos la probabilidad de encontrar
más de 5elementos exitosos que es de 0.3348,
d) Seleccionar la opción de intervalo cerrado. Introducir
el valor de 3 en el lado izquierdo dela desigualdad y el valor de 7
en el lado derecho de la desigualdad. Con estos datos
obtenemos la probabilidad de encontrar entre 3 y 7 elementos
exitosos (incluyendo estosvalores), que es de 0.5045,
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DISTRIBUCIONES HIPERGEOMÉTRICA
Los parámetros requeridos son: tamaño de población (población),
número de éxi tos en la pobl ación(n) y tamaño de muestr a (muestr
a) . Figura 6.
Figura 6
EJEMPLO 2. DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
EJEMPLO: Se tiene una población de 50 personas, de las cuales 10
son mayores de edad. Si se tomaal azar una muestra de 5
personas,
a) ¿cuál es la probabilidad de encontrar exactamente 3
personas que sean mayores de edad? b) ¿De encontrar
máximo 2 personas que sean mayores de edad?c) ¿De encontrar
más de 2 pero menos de 5 personas que sean mayores de edad?
SOLUCIÓN: De acuerdo a las características del problema, el
experimento sigue una distribuciónHipergeométrica, por lo que el
primer paso, y que será válido para la solución de todos los
incisos, eselegir la distribución Hipergeométrica del menú de
distribuciones de probabilidad. Introducir elvalor de 50 en
población, el valor de 10 en n y el valor de 5 en
muestra.
a) Seleccionar opción de intervalo cerrado. Introducir el
valor 3 en ambos lado del intervalo. Conestos datos obtenemos la
probabilidad de encontrar exactamente 3 personas mayores,
0.0442,
b) Seleccionar opción de intervalo abierto a la
izquierda. Introducir el valor 2 en el lado derechode la
desigualdad. Con estos datos obtenemos la probabilidad de encontrar
máximo 2 personasmayores que es de 0.9517,
c) Seleccionar opción de intervalo cerrado. Introducir el
valor 3 en el lado izquierdo de ladesigualdad y el valor 4 en el
lado derecho de la desigualdad. Con estos datos obtenemos la
probabilidad de encontrar entre 3 y 5 elementos exitosos
(incluyendo estos valores), que es de0.0481,
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DISTRIBUCIONES POISSON.
El parámetro requerido es: número promedio de éxi tos que ocur
ren en un i ntervalo ( ). La
probabilidad se puede calcular en intervalos definidos en
uno o ambos lados. En el caso de la probabilidad puntual, se
calcula utilizando un intervalo cerrado dando el mismo valor en
amboslados de la desigualdad. Figura 7.
Figura 7
EJEMPLO 3. DISTRIBUCIÓN DE POISSON
EJEMPLO 3. En una intersección ocurren en promedio 3 accidentes
viales por mes.a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un
determinado mes, en esta intersección ocurran
exactamente 5 accidentes? b) ¿Cuál es la probabilidad
de que ocurran como máximo 5 accidentes en un mes?c) ¿Cuál es
la probabilidad de que ocurran más de 5 accidentes en un mes?
SOLUCIÓN: De acuerdo a las características del problema, el
experimento sigue una distribución dePoisson, por lo que el primer
paso y que será válido para la solución de todos los incisos es
elegir la
distribución Poisson del menú de distribuciones de probabilidad.
Introducir el valor de 3 en .a) Seleccionar la opción de
intervalo cerrado. Introducir el valor 5 en ambos lados. Con
estos
datos obtenemos la probabilidad de que sucedan exactamente 5
accidentes en un mes,0.1008,
b) Seleccionar la opción de intervalo abierto a la izquierda.
Introducir el valor de 5 en el ladoderecho de la desigualdad. Con
estos datos obtenemos la probabilidad de encontrar máximo 2
personas mayores que es de 0.9161,c) Seleccionar opción de
intervalo abierto. Introducir el valor 6 al lado izquierdo de
la
desigualdad. Obtenemos la probabilidad de que ocurran más de 5
accidentes en un mes,
0.0839,
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PARTE II. DISTRIBUCIONES DISCRETAS. USO DE EXCEL.DISTRIBUCIONES
BINOMIAL. EJEMPLO 1
EJEMPLO 1 . Para una muestra de 12 elementos, cuya
probabilidad de éxito es de 0.4, encontrar:a) La probabilidad de
encontrar exactamente 5 elementos exitosos. Figura 8.
Utilizar la función x
f de Excel: DISTR.BINOM
Figura 8
SOLUCIÓN : A continuación se muestran las ventanas de
dialogo que mostrara Excel después de
seleccionar la función x
f :DISTR.BINOM
Una vez que has seleccionado el tipo de distribución a utilizar,
Excel abrirá la ventana de dialogocorrespondiente para que vacíes
los datos del problema, como se muestra en la Figura 9.
Figura 9
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El significado de cada uno de los datos solicitados es el
siguiente: Núm_éxito 5 (número de éxitos buscados, valor de
x )Ensayos 12 (tamaño de muestra)Prob_éxito 0.4 (probabilidad
de éxito)
Acumulado FALSO (FALSO: se requiere probabilidad puntual,
VERDADERO: serequiere probabilidad acumulada)
b) La probabilidad de encontrar máximo 5 elementos
exitosos (se requiere la probabilidad de cerohasta cinco,
incluyéndolos)
Utilizar la función x f de Excel:
DISTR.BINOM
A continuación se muestra la información con la cual debes
alimentar en la ventana dediálogo:
Núm_éxito 5 (número de éxitos buscados)Ensayos 12 (tamaño
de muestra)Prob_éxito 0.4 (probabilidad de éxito)Acumulado
VERDADERO (se requiere probabilidad acumulada)
c) La probabilidad de encontrar más de 5 elementos exitosos (se
pide la probabilidad de 6, de 7,de 8, ……, hasta 12)
A la unidad, 1 (probabilidad total), le restamos la probabilidad
acumulada de 5 (véase inciso b).
DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA Y POISSONCOMANDO EN EXCEL
Es posible utilizar los comandos de Excel para generar
información de otras distribuciones de probabilidad. Se anexan
los comandos base para acceder a algunas de estas probabilidades,
lasventanas de diálogo que se van presentando te permitirán obtener
las probabilidades utilizando estaherramienta.
A continuación, se anotan los comandos para acceder a la
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Y LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON. Con los criterios revisados en
esta práctica y los vistos enclase, es factible resolver problemas
usando esta herramienta.
Para la DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA. Utilizar la
función: f x de Excel:DISTR.HIPERGEOM
Para la DISTRIBUCIÓN POISSON. Utilizar la función
x f de Excel: POISSON.
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REPORTE DE PRÁCTICA PARTE I y IIDISTRIBUCIONES DISCRETAS, USO
GEOGEBRA / EXCEL
I NSTRUCCIONES GENERALES: Utilizando las herramientas
previamente descritas, resuelve los
problemas propuestos aplicando la distribución que
corresponda. Para cada problema desglosa, loque se pide a
continuación:
i) Denota la distribución de Probabilidad aplicable para
la solución del problema. ii) Describe la información
alimentada en las ventanas de diálogo del software usado de
acuerdo a la distribución elegida (puedes incluir la imagen de
la pantalla).iii) Para los ejercicios que se solicita
realizar por ambos software, incluye el resultado
obtenido en cada uno de ellos y comenta o enuncia una conclusión
breve de lo querepresenta el dato obtenido y/o la respuesta del
problema.
PROBLEMAS PARA REALIZAR EN GEOGEBRA
1. Suponga que solo 0.10% de todas las computadoras de
cierto tipo experimentan fallas del CPUdurante el periodo de
garantía. Considere una muestra de 10,000 computadoras.a)
¿Cuáles son el valor esperado y la desviación estándar del número
de computadoras en la
muestra que tienen el defecto? b) ¿Cuál es la
probabilidad de que más de 10 computadoras muestreadas tengan el
defecto?c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna
computadora muestreada tenga el defecto?
Nota: Resuelve con la distri bución original y compara el r esul
tado con la aproximación a otradistribución.
2. Supóngase que 60% de las personas prefieren el refresco
Coca-Cola al refresco Pepsi-Cola. Seseleccionan 18
personas.a) ¿Cuántas se espera que prefieran Coca-Cola?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que 10 de las
personas prefieran Coca-Cola?c) ¿Cuál es la probabilidad de
que 15 personas prefieran Coca-Cola?Si se seleccionan 10
personas.d) ¿Cuál es la probabilidad de que como 4 personas o
más prefieran Pepsi-Cola?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que como 4 personas o más
prefieran Coca-Cola?
3. Sea x el número de anomalías que ocurren en
el material de una región particular de un disco deturbina de gas
en aviones. El artículo “Methodology for Probabilistic Life
Prediction of Multiple-Anomay Materials” (Amer. Inst. Of
Aeronautics and Astronautics J., 2006: 787-793) proponeuna
distribución de Poisson para x. Supongamos que μ = 4.a)
Calcule P( x ≤ 4) y P( x < 4).
b) Calcule P(4 ≤ x ≤ 8) c) P(8
≤ x )d) ¿Cuál es la probabilidad de que el número
observado de anomalías sobrepase su valor medio
por más de una desviación estándar?
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4. Se estima que 4000 de los 10000 residentes con derecho
al voto de una ciudad están en contra deun nuevo impuesto sobre las
ventas. Si se seleccionan al azar 15 votantes y se les pide su
opinión,¿cuál es la probabilidad de que a lo sumo 7 estén a favor
del nuevo impuesto?Nota: Resuelve con la distri bución original y
compara el r esul tado con la aproximación a otra
distribución.
5. Una alerta contra smog de segunda etapa ha sido emitida
en un área del condado de Los Ángelesen la cual hay 50 firmas
industriales. Un inspector visitará 10 firmas seleccionadas al azar
paraver si no han violado los reglamentos.a) Si 15 de las
firmas sí están violando por lo menos un reglamento, ¿cuál es la
función de
densidad de probabilidad del número de firmas visitadas por el
inspector que violan por lomenos un reglamento?
b) Para los datos anteriores. ¿Cuál es la
probabilidad de que los inspectores durante sus visitasencuentren
más de 5 firmas que han violado el reglamento?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que encuentre entre 3 y 6
firmas inclusive, que violen elreglamento?
6. Un distribuidor recibe un lote muy grande de
componentes. El lote sólo puede ser caracterizadocomo aceptable si
la proporción de componentes defectuosos es cuando mucho de 0.10.
Eldistribuidor decide seleccionar 10 componentes al azar y aceptar
el lote sólo si el número decomponentes defectuosos presentes en la
muestra es cuando mucho de 2.a) ¿Cuál es la probabilidad de
que el lote será aceptado cuando la proporción real de
componentes defectuosos es de 0.01?, ¿0.05?, ¿0.10?, ¿0.20?,
¿0.25? b) Sea p la proporción real de
componentes defectuosos presentes en el lote. Una gráfica de
P(se acepta el lote) sobre el eje vertical, se llama curva
característica de operación del plan
de muestreo de aceptación. Use los resultados del inciso (a)
para trazar esta curva con0 1 p .c) Repita los incisos
(a) y (b) con “1” reemplazando a “2” en el plan de muestreo de
aceptación.d) Repita los incisos (a) y (b) con “15”
reemplazando a “10” en el plan de muestreo de
aceptación.e) ¿Cuál de estos planes de muestreo, el del
inciso (a), (c) o (d) parece más satisfactorio y por
qué?
PROBLEMAS PARA REALIZAR CON AMBOS SOFTWARE: GEOGEBRA Y
EXCELCOMPARAR RESULTADOS Y COMENTAR EN CADA PROBLEMA
7. Se utiliza un número telefónico particular para recibir
tanto llamadas de voz como faxes.Suponga que 25% de las llamadas
entrantes son faxes y considere una muestra de 25
llamadasentrantes. ¿Cuál es la probabilidad de quea) Cuando
mucho 6 de las llamadas sean un fax?
b) Exactamente 6 de las llamadas sean un
fax?c) Por lo menos 6 de las llamadas sean un fax?d)
Más de 6 de las llamadas sean fax?
8. Se supone que el número de clientes que llegan por hora
a ciertas instalaciones de servicioautomotriz sigue una
distribución de Poisson con media 7.
a) Calcule la probabilidad de que lleguen más de 10
clientes en un periodo de dos horas. b) ¿Cuál es el
número medio de llegadas durante un periodo de 2 horas
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Lista de cotejo para “Distribuciones de probabilidad
discretas”
DATOS GENERALES
Nombre(s) de los estudiante(s) :
Asignatura: Probabil idad y estadística
Producto de aprendizaje : Reporte de la Práctica No.
___3___.
La calificación que se otorgará al Reporte de la Práctica,
dependerá de la
puntuación obtenida en cada uno de los rubros que se indican a
continuación, afin de obtener la calificación final.
Aspectos a evaluarPuntuaciónpropuesta
Puntuaciónobtenida
Observaciones
Presenta el reporte deresultados en el formatosolicitado
10
Entrega en tiempo y forma,vía electrónica.
10
Selecciona de forma adecuadael tipo de distribución con elcual
se debe resolver cadaejercicio.
10
Obtiene las probabilidades demanera correcta, utilizando
lasherramientas de Geogebra.
36
Obtiene las probabilidades demanera correcta, utilizando
lasherramientas de Excel.
24
Realiza un análisis de losresultados obtenidos y escribeuna
conclusión congruente conel ejercicio.
10
TOTAL
