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Pr. Dr. Xavier Bonnaire
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Temario
● Introducción● Axiomas Básicos● Definiciones● Teoremas● Funciones● Compuertas Lógicas● Minimización de Funciones
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Álgebra de Boole
● Álgebra de Boole– Es une herramienta matemática que permite modelar los Sistemas
Digitales– Desarrollada por el matemático Ingles George Boole (1815) en un
libro llamado “Una Investigación sobre las Leyes del Pensamiento”
● Es un sistema matemático cerrado que consiste en:– Un conjunto P de dos o más elementos– Dos operaciones OR (notación +) y AND (notación .) que cumplen
los siguientes axiomas:
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Axioma 1
● Ax1: Conmutatividad
∀ A , B∈PAB=BAA⋅B=B⋅A
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Axioma 2
● Ax2: Asociatividad
∀ A , B∈PABC =ABCA⋅B⋅C =A⋅B ⋅C
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Axioma 3
● Ax3 Distributividad
∀ A , B ,C∈PAB⋅C =AB ⋅AC A⋅BC =A⋅B A⋅C
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Axioma 4
● Ax4
Existen dos elementos neutros 0 y 1
∀ A∈PA0=AA⋅1=A
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Axioma 5
● Ax5
Existencia de complemento
∀ A∈PAA=1A⋅A=0
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Álgebra de Conmutación
● Postulado de Hungtinton:– Considera al conjunto P como P={0,1}– Define un caso especial de la Álgebra de Boole llamado Álgebra de
Conmutación– De aquí en adelante es esta álgebra la que se utilizará para la
modelación de los sistemas digitales
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Definiciones
● Def1 - Variable– Es un símbolo que puede representar cualquier valor de P– El valor de un variable puede cambiar en el tiempo– El concepto es igual a los variable de los lenguajes de
programación
● Def2 - Constante– Es un símbolo que representa un solo valor de P para cualquier
instante del tiempo– El concepto es igual a concepto de constante en los lenguajes de
programación
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Definiciones
● Def3 - Expresión de Conmutación– Es una combinación de un número finito de variables y constantes
relacionadas mediante operaciones OR y AND– Para simplificar el uso de paréntesis, se aplican reglas de
precedencia de operadores al igual que las expresiones del álgebra normal considerando el OR como suma y el AND como producto
– Ejemplo:
A⋅BCB⋅D0D
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Definiciones
● Def4 – Literal– Es toda ocurrencia de una variable, ya sea complementada o sin
complementar, en una expresión de conmutación– Ejemplo:
A⋅BCB⋅D0DExisten 4 Variables: A, B, C y D
Existen 6 Literales: A , B ,C , B , D ,D
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Definiciones
● Def5 – Expresión Dual– Es la expresión que se obtiene intercambiando las operaciones
AND por OR, OR por AND y las constantes 0 por 1 y 1 por 0 en una expresión de conmutación
– Ejemplo:
AB⋅C 0 A⋅BC ⋅1
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Teoremas
● Los siguientes teoremas se deducen– Aplicando los Axiomas anteriores– Por Inducción
● Se verán un conjunto de teoremas que sirven para trabajar con las expresiones de conmutación con un sentido práctico
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Teorema 1
● Teorema 1 – Operaciones Básicas
1+0 = 10+0 = 0
1.1 = 10.1 = 0
∀ A∈PA0=AA⋅1=A
Axioma 4
● Se demuestra con el Axioma 4– A+0 = A A.1 = A
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Teorema 2
● Teorema 2 – Operaciones Básicas
A+1 = 1 A.0 = 0
● Se demuestra aplicando axiomas
A1=A1⋅1= A1⋅ AA A1⋅ AA=A1⋅A=1
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Operaciones AND, OR, NOT
AND
00.0 = 00.1 = 01.0 = 01.1 = 1
OR
00+0 = 00+1 = 11+0 = 11+1 = 1
AND 0 1
0
1
0 0
0 1
OR 0 1
0
1
0 1
1 1
NOT
00 = 1
1 = 0
NOT
0
1
1
0
AND: A∧BOR: A∨BNOT :¬A
Otra Notación
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Teorema 3
● Teorema 3 – El complemento de A es único– Supongamos que existen dos complementos A1 y A2 para A:
AA1=1 AA2=1A⋅A1=0 A⋅A2=0A1=A1⋅1=A1⋅AA2=A1⋅AA1⋅A2A1=0A2⋅A1A1=A⋅A2A1⋅A2=AA1⋅A2A1=A2
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Teoremas 4 y 5
● Teorema 4
A=A● Teorema 5
AA=AA⋅A=A
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Teorema 6
● Teorema 6 - Absorción
AA⋅B=AA⋅BA=A
– Demostración
AA⋅B=A⋅1A⋅B=A⋅1B=A
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Teorema 7 y 8
● Teorema 7 - Simplificación
AA⋅B=ABA⋅AB=A⋅B
● Teorema 8 – Teorema de Morgan
ABC...=A⋅B⋅C⋅...
A⋅B⋅C⋅...=ABC...
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Teorema de Morgan
● Ejemplo:
A⋅BC =AB⋅C
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Funciones
● Una función de conmutación se define como una relación de Pn en P. Formalmente es:
P={0,1}f : PnP
● Se puede expresar de tres maneras:– En forma algebraica– Por una tabla de verdad– En forma canónica
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Tablas de Verdad
● La forma más intuitiva de represantar una función de conmutación (FC) es por medio de una Tabla de Verdad
● La Tabla de Verdad expresa el valor de salida de una función para cada combinación de entrada.
● La Tabla de Verdad permite modelar un tipo especial de sistema Digital llamado Sistema Combinacional
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Ejemplo de Tablas de Verdad
● Forma Algebraica: f x1 , x2 , x3=x1⋅x2x2⋅x3
x1 x2 x3 f0 0 0 00 0 1 00 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0
Tabla de Verdad
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Formas Canónicas
● Problema: Dada una Tabla de Verdad, Obtener la forma algebraica
● Para convertir se observa la combinación de entrada para la cual la salida toma el valor 1– La variable aparece sin complementar si vale 1 para la combinación
en la cual la salida vale 1– La variable aparece complementada si vale 0 para la combinación
en la cual la salida toma el valor 1
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Formas Canónicas
x1⋅x2⋅x3
x1⋅x2⋅x3
x1⋅x2⋅x3
x1⋅x2⋅x3
x1 x2 x3 f0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 0
– La forma algebraica queda:F x1, x2, x3=x1⋅x2⋅x3x1⋅x2⋅x3x1⋅x2⋅x3x1⋅x2⋅x3
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Forma Canónica - Mintérminos
● Se denomima mintérmino a un factor de una expresión booleana que está formado por el AND de todas las variables.– Ejemplo: x1⋅x2⋅x3
● Una función de conmutación corresponde al OR de mintérminos. La función generada de esta manera se denomina OR canónico de AND
f x1, x2, x3=∑ m1,m2, ... ,mn
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Forma Canónica - Mintérminos
x1⋅x2⋅x3
x1⋅x2⋅x3
x1⋅x2⋅x3
x1⋅x2⋅x3
x1 x2 x3 f0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 0
m1
m0
m2
m3
m4
m5
m6
m7
f x1, x2, x3=∑ m1,m3,m5,m6
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Forma Canónica - Maxtérminos
● Una forma alternativa de expresar la función es examinando las combinaciones en las cuales vale 0
● Para convertir se observa la combinación de entrada para la cual la salida toma el valor 0– La variable aparece sin complementar si vale 0 para la combinación
en la cual la salida vale 0– La variable aparece complementada si vale 1 para la combinación
en la cual la salida toma el valor 0
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Forma Canónica - Maxtérminos
x1x2x3
x1x2x3
x1x2x3
x1x2x3
x1 x2 x3 f0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 0
f x1, x2, x3=x1x2x3⋅x1x2x3⋅x1x2x3⋅x1x2x3
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Forma Canónica - Maxtérminos
● Se denomina maxtérmino expresión booleana que está formado por el OR de todas las variables
● Una función de conmutación corresponde al AND de maxtérminos. La función generada de esta manera se denomina AND canónico de OR
f x1, x2, x3=∏ M 0,M 1, .......M n
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Forma Canónica - Maxtérminos
x1x2x3
x1x2x3
x1x2x3
x1x2x3
x1 x2 x3 f0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 0
M1
M0
M2
M3
M4
M5
M6
M7
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Obtención de Formas Canónicas
f A ,B ,C , D=∑ m6,m8,m9,m10,m11,m12,m13
f A ,B ,C , D=A⋅CA⋅B⋅CA⋅B⋅C⋅DForma algebraica:
Obtener una forma con terminos con todas las variables:
...=A⋅C⋅BB⋅DDA⋅B⋅C⋅DDA⋅B⋅C⋅D1 1 1
Distribuyendo los terminos:
...=A⋅BC⋅DDA⋅BC⋅DDA⋅B⋅C⋅DA⋅B⋅C⋅DA⋅B⋅C⋅D
...=A⋅B⋅C⋅DA⋅B⋅C⋅DA⋅B⋅C⋅DA⋅B⋅C⋅DA⋅B⋅C⋅DA⋅B⋅C⋅DA⋅B⋅C⋅D
Quendan 7 Mintérminos:
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Obtención de Formas Canónicas
● Explicación
MinTérmino : A⋅B⋅C⋅D
1 1 0 1 = 23 + 22 + 20 = 13
m13
A⋅B⋅C⋅D
0 1 1 0 = 22 + 21 = 6
m6MinTérmino :
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Conversión entre Formas Canónicas
● Dada una función en OR canónico de AND, obtener la forma canónica AND canónico de OR
f A ,B ,C =∑ m0,m1,m2,m7
NOT f = f A , B ,C , D=∑ m3,m4,m5,m6
...=A⋅B⋅CA⋅B⋅CA⋅B⋅CA⋅B⋅C0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0
f A ,B ,C =ABC ⋅ABC ⋅ABC ⋅ABC
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Funciones Equivalentes
● Dos funciones de conmutación son equivalentes cuando sus expansiones en formas canónicas son idénticas, es decir tienen el mismo valor de salida para las mismas combinaciones de entradas
● Una forma similar de expresar lo mismo es que dos funciones de conmutación son equivalentes cuando tienen la misma Tabla de Verdad
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Funciones Equivalentes
● ¿Cuántas funciones de n variables existen?● ¿Cuántas Tablas de verdad existen con n variables?● La respuesta está en observar la columna de salida. El
número de funciones es:
22n
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Funciones de Una o Dos Variables
● Función NOT
f x =x● Función OR
f x , y =x y● Función AND
f x , y =x⋅y● Función NAND
f x , y =x y
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Funciones de Una o Dos Variables
● Función NOR
f x , y =x⋅y● Función XOR – OR Exclusivo
f x , y =x⋅yx⋅y● Función XAND – AND Exclusivo
f x , y =x⋅yx⋅y● Ejercicio: Construir las tablas de verdad de estas
funciones
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Operadores Funcionalmente Completos
● Las funciones anteriores se pueden expresar por medio de operadores: AND, OR, NAND, NOR, NOT, XOR, XAND
● Se dice que un conjunto de operadores es funcionalmente completo si cualquier función se puede expresar sólo con los operadores del conjunto
● El conjunto {AND, OR, NOT} es funcionalmente completo por definición del álgebra, pero {AND,NOT} también es funcionalmente completo
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Operadores Funcionalmente Completos
● Demostrar que {AND,NOT} es funcionalmente completo
● Para la demostración sólo falta construir el OR sólo con AND y NOT. Esto se puede hacer de la siguiente manera:
x⋅y=x y● Otros conjuntos funcionalmente completos son: {NOR},
{NAND}. ¡Demostrarlo!
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Compuertas Lógicas
● Compuertas Lógicas– Es una forma alternativa de representar funciones– Se construyen físicamente con electrónica integrada en sustratos
de silicio
● El éxito de los sistemas digitales– Se debe al bajo costo que se logra con este proceso– A la alta densidad de integración de los circuitos actuales
● Millones de compuertas en un circuito de 1cm2
● Una red de compuertas logicas se denomina circuito combinacional
● Son partes importantes de una CPU moderna
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Compuertas Lógicas
NOT
AND NAND
OR NOR XOR
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Compuertas Lógicas
F A , B ,C , D=A⋅CA⋅B⋅CA⋅B⋅C⋅D
A
B
C
D
F(A,B,C,D)
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Minimización de Funciones
– Minimizar una función de conmutación F(x1,x2,.....xn) es encontrar una función G (x1,x2,.....xn) equivalente a F y que contenga el mínimo número de términos y literales en una expresión OR de AND
– Ejemplo:
F A , B ,C , D =A⋅C⋅DA⋅C⋅DA⋅C DA⋅C⋅DA⋅B⋅D...=AA⋅C⋅DAA⋅C⋅DA⋅B⋅D...=C⋅DC⋅DA⋅B⋅D=CC ⋅DA⋅B⋅DF A , B ,C , D =DA⋅B⋅D
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Minimización de Funciones
A
B
C
D
Circuito Inicial
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Minimización de Funciones
A
B
C
D
Circuito Minimal
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Minimización de Funciones
● ¿Por que minimizar funciones / circuitos?– Para diseñar / construir circuitos con costo más bajo
● Importante para la producción de circuitos ASICs para artículos electrónicos corrientes
– Computadores– Lector de CD, DVD, MP3, TV– Cámaras Digitales– Microondas, Lavadoras, etc...
– Circuitos con un mejor desempeño● Más rapido
– Circuitos que emiten menos calor– Para integrar más funciones en el mismo circuito
● Más espacio disponible
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Métodos de Minimización
● Tablas de Karnaugh– Permiten minimizar funciones de hasta 5 o 6 variables– Se usa un código gray para construir una tabla óptima
● Idea– Construir grupos de variables adyacentes
● Grupos de 1 (subcubos) en la tabla de Karnaugh
– La Función se expresa como la suma de los subcubos para cubrir todo los 1 de la tabla
– Para que la función sea mínima, hay que buscar el mínimo numero de subcubos posible
● Método manual– No sirve para funciones de más de 6/7 variables
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Métodos de Minimización
● Método de Quine y McCluskey– Se puede aplicar con más variables– Tambien es un método manual
● Difícil de aplicar con cientos de variables
● Los métodos que se usan para un gran número de variables– Programacion linear
● Método del SIMPLEX
– Redes Neuronales– Algoritmos Genéticos– BDD – Binary Decision Diagrams