Pr. Dr. Xavier Bonnairebonnaire/download/ARQ_2_Inform... · 2006-02-28 · Pr. Dr. Xavier Bonnaire - Universidad Tecnica Federico Santa María – Departamento de Informática SlSliidede

Pr. Dr. Xavier Bonnaire - Universidad Tecnica Federico Santa MarPr. Dr. Xavier Bonnaire - Universidad Tecnica Federico Santa María – Departamento de ía – Departamento de InformáticaInformática

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Pr. Dr. Xavier Bonnaire


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Temario

● Introducción● Sistemas Numéricos● Conversión entre Bases Numéricas● Introducción a la Aritmética Computacional● Códigos


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Introducción

● Informática– informática

(Del fr. informatique).● 1. f. Conjunto de conocimientos científicos y técnicas que hacen posible el

tratamiento automático de la información por medio de ordenadores.

● Informática– Manejar informaciones

● Guardar, Procesar● Representar la información● Transformar la información


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Introducción

● Representación de la información– Es una abstracción

● Del espacio mental● Del lenguaje● De la tipografía

La unidad de información es el bit (valores 0, 1)


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Información Analógica y Digital

● En el mundo real– Muchas informaciones son continuas

● El espacio temporal● El espacio físico● El sonido● ...

– Algunas son digitales● Precios● Temperatura● ...


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Información Analógica y Digital

● Señal analógica– Una señal se expresa como una función del tiempo– Cada nivel de la función g(t) aporta información– Ejemplos

● Señal audio (de un instrumento, radio, etc...)● Señal vídeo ( TV, Camara, etc...)

● Señal Digital– También se expresa como una función del tiempo– La función es una función discreta con varios niveles– Solamente esos niveles aportan información – Ejemplos

● CD, DVD, TV-Cable


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Información Analógica

● Función g(t) continua en términos matemáticos– Cada valor de g(t) aporta información

g(t)

t

Info

rmac

ión


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Información Digital

● Una función g(t) discreta en términos matemáticos

t

4 niveles4 niveles

Nivel 1Nivel 1

Nivel 2Nivel 2

Nivel 3Nivel 3

Nivel 4Nivel 4


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Tranformación Analógico / Digital

● Señal Digital– Se puede transformar en una señal analógica

● Ejemplo: los CD, DVD

● Señal Analógica– Se puede transformar en una señal digital (Digitalización) – Pero se pierde en calidad de la información

● Infinitos niveles a niveles finitos● Discretización de g(t)

– Se hace con circuitos especializados (ASICS)● Los DSP (Digital Signal Processors)


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Digitalización

● ¿Por qué conviene digitalizar?– Se evita la deriva

● Los circuitos analógicos pueden producir derivas por el calor durante el funcionamiento

● Transistores, Resistencias

– Se puede corregir los errores● Usando códigos de corrección incorporados en los datos● Códigos CRC (Cross Redundancy Codes)● Códigos Reed Solomon● Ejemplos: CD, DVD, TV-Cable, etc...

– Permite reducir los costos● Circuitos VLSI, DSP

– Almacenamiento más fácil y eficiente


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Sistemas Numéricos Posicionales

● Sistema Numérico Posicional– Es un sistema donde el valor de un dígito depende de la posición

en la que se encuentra– En general:

Es decir:

d0,d1,d2,...,dm son los digitos. Si la base es b, existen b digitos representables.

0d m−1 d m−2 ... d ¿d 0 ⋅b0 d 1 ⋅b1 ...d m−2⋅bm−2d m−1⋅bm−1

0

d m−1 d m−2 ... d ¿ ∑i=0

i=m−1

d i⋅bi


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El sistema decimal

● Es el sistema numérico comúnmente el mas usado● Un número en el sistema decimal corresponde a un

polinomio en base 10● La base 10 tiene 10 digitos (0,1,2,3, ..., 9)

– Por ejemplo el número 6903 se puede expresar por el polinomio:

6903 =3 ⋅100 0 ⋅101 9 ⋅102 6 ⋅103

d0d1d2d3


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El sistema decimal

● La notación anterior se puede extender a números con punto o coma decimal– Por ejemplo:

– En general:6903,78 =3 ⋅100 0 ⋅101 9 ⋅102 6 ⋅103 7 ⋅10−1 8 ⋅10−2

d m−1 d m−2 ... d 1 d 0, d−1 d−2 ... d−k

es igual a

d 0⋅b0d 1⋅b1...d m−2⋅bm−2d m−1⋅bm−1d−1⋅b−1...d−k⋅b−k


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El Sistema Binario

● Si la base b=2, el sistema numérico se denomina sistema binario. El conjunto de dígitos representables es {0,1}. Este conjunto se denomina bits. Por ejemplo:

– Para eliminar problemas de interpretación, la base se indica con un subíndice. Por ejemplo 1910

– También se puede generalizar para números con punto decimal:

10011=1 ⋅2 40 ⋅230 ⋅221 ⋅211 ⋅20=1910

1,1101=1 ⋅2 01 ⋅2−11 ⋅2−20 ⋅2−31 ⋅2−4=1.812510


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Otras Bases Numéricas Interesantes

● Si b=8, el sistema numérico se denomina sistema octal– El conjunto de dígitos es {0,1,2,...7}– Por ejemplo:

● Si la base b=16, el sistema numérico se denomina sistema Hexadecimal– El conjunto de dígitos es {0,1,2,...9,A,B,C,D,E,F}– Por ejemplo:

1753,68=1 ⋅8 37 ⋅825 ⋅813 ⋅806 ⋅8 −1=1003.7510

A67F916=10 ⋅16 46 ⋅1637 ⋅16215 ⋅1619 ⋅16 0=68197710


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Las Bases Octal y Hexadecimal

● Tienen una gran importancia en arquitectura de computadores– Permiten representar la información binaria en forma compacta– En el lenguaje C, se pueden representar constantes octales y

hexadecimales:

const int i=056; // el prefijo 0 indica// que el valor es octal

const int j=0xA9; // el prefijo 0x indica//que el valor es hexadecimal


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Conversiones entre Bases Numéricas

● Base Decimal --> Binaria– Se dividen sucesivamente los cuocientes por 2 y se registran los

restos de la división

– Por ejemplo, convertir 1910 en binario:

19 294210

11001

1910 = 100112Restos


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Conversión entre Bases Numéricas

● Con el mismo método que la base 2 se puede convertir un número decimal a base octal– Por ejemplo, convertir 47810 a base octal:

478 8

5970

637

Restos 4788 = 73610

● Y la conversión en decimal– Evaluando el polinomio correspondiente

7368=7 ⋅823 ⋅816 ⋅80 =47810


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Conversión entre Bases Numéricas

● Otro ejemplo– Convertir 47810 a base Hexadecimal:

478 16

2910

14131

Restos

1514131211109876543210

FEDCBA9876543210

Digito Decimal

Digito Hexa

47810 = 1DE16


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Conversión Binario / Hexadecimal / Octal

● Propiedades de las bases numéricas– Las bases que son potencias de 2

permiten una conversión rápida– Por ejemplo: b=8=23 , y b=16=24

– Si b=2n, se puede separar en grupos de n bits y convertir el grupo

– Por ejemplo:

1010 1101 0110 1011A D 6 B 1110 E

1101 D1100 C1011 B1010 A1001 91000 80111 70110 60101 50100 40011 30010 20001 10000 0

1111 F


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Conversión Binario / Hexadecimal / Octal

● Ejemplo, convertir a octal:

010 101101110 0111

1 2 6 5 5 3– Esta propiedad justifica el amplio uso de números octales y

hexadecimales como forma de compactar la representación de números binarios. Usaremos esta representación en los lenguajes de máquina y para expresar códigos.

– Ejemplo: Dirección MAC para un adaptador de red:

00:60:08:DC:31:CC● Equivale a un número de 48 bits


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Introducción a la Aritmética Computacional

● Los computadores actuales son binarios● Información que maneja un computador

– Es almacenada en dispositivos de hardware llamados Registros– Se denomina ancho del registro al número de bits que puede

almacenar– Los procesadores de tecnología actual tienen registros de 32, 64, o

128 Bits– El número de registros que tiene un procesador es variable de un

procesador a otro● Tecnología CISC (Complex Instruction Set Computer) = Pocos registros● Tecnología RISC (Reduced Instruction Set Computer) = Muchos registros


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Registros

● Usaremos la siguiente notación para representar registros

1 10101101011010 1Registro de 16 bits

● Se denomina Byte, un conjunto de 8 bits– Como notación se usa b para bits, y B para Bytes– El registro anterior tiene 16b o 2B– 1KB = 1024 Bytes = 210 Bytes

1MB = 1024 Kbytes = 220 Bytes1GB = 1024 Mbytes = 230 Bytes...


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Registros

● Tamaño de los registros– La información máxima que puede manejar un procesador está

limitada por el tamaño de los registros o de un conjunto de registros– Con un registros de 16b, el mayor entero representable es:

1 11111111111111 1Registro de 16 bits

Valor Maximo = 6553510

● Tamaño actual– La mayoria de los procesadores actual son de 32Bits o de 64Bits– El entero mas grande es 232 o 264


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Representación de Números

● Los computadores tienen una aritmética de precisión finita debido a la limitación de los registros

● ¿Cómo representar números negativos?● ¿Cómo representar números que tienen punto

decimal?


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Representación de Números Negativos

● Por convención– Se utiliza el bit más significativo (el bit de potencia más alta) para

representar el signo– Los números positivos tienen el bit más significativo a 0– Los números negativos tienen el bit más significativo a 1

0 10101101011010 1Número positivo

1 10101101011010 1Número negativo


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Representación de Números Negativos

● Existen tres formas para representar números negativos– Signo y Magnitud (S-M)– Complemento Uno (C-1)– Complemento Dos (C-2)

● Los números positivos se representan de la misma manera en la tres formas

● Todo los computadores modernos usan la forma Complemento Dos (C-2)– Esa forma tiene muchas ventajas


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Números Negativos / Signo y Magnitud

● Magnitud del número– Corresponde al valor absoluto– Si consideramos un registro de 5b (5 bits)

1 0 0 1 1

Signo0 = positivo1 = negativo

Magnitud

Signo = 1 = negativoMagnitud = 3

Valor = -3

– Se puede observar que existen dos ceros: +0 y -0● Esto puede traer serias complicaciones en los cálculos aritméticos


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Números Negativos / Signo y Magnitud

● En general– Si el ancho de los registros es n, el rango representable está dado

por:

−2n−1−1≤N≤2n−1−1– Por ejemplo si el ancho de los registros es de 5 bits, queda:

−15 ≤N≤15-0 -0 +0 +0

+1 +1

+15 +15 -15 -15

-2 -2 +2 +2

-1 -1

Representación circular


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Complemento Uno

● El Complemento Uno de un número– Se obtiene complementando cada bit (NOT)– Ejemplo para representar -3 con un registro de 5 bits:

1000 1

0111 0

Se complementa cada bit

Primero se considera +3

NOT ( 1000 1 ) =


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Complemento Uno

● Igual que en S-M– Existen dos ceros: -0 y +0– En general, si el ancho de los registros es n, el rango representable

está dado por:

−2n−1−1≤N≤2n−1−1-0 -0 +0 +0

+1 +1

+15 +15 -15 -15

-2 -2 +2 +2

-1 -1

Representación circular con unregistro de 5 bits


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Complemento Dos

● El Complemento Dos de un número N en un registro de ancho n– Se obtiene calculando:– Si consideramos representar -3 en un registro de 5 bits:

2n−N

0001 0 0

0001 0 0

25

3

0 111 0 1 C-2


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Complemento Dos

● Una forma más fácil de obtener C-2– Calcular el C-1 y sumar uno

1000 1

0111 0

1+

111 0 1

3

C-1 de 3

C-2 de 3


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Complemento Dos

● Se puede observar que– Sólo hay una representación para el cero– Hay una asimetría ya que el valor absoluto de máximo número

negativo es mayor que el máximo positivo

0001 0

1110 1

Con registros de 5 bits

Máx Negativo

Máx Positivo

– En general, si el ancho de los registros es n, el rango representable está dado por:

−2n−1≤N≤2n−1−1


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Suma de Registros

● Suma en C-2– Es el caso más frequente en los procesadores actuales– Para sumar en C-2, se suma los números en forma binaria– Precaución: con los números que tienen el mismo signo, podría

ocurrir rebalse (overflow)● Esto significa que el resultado no cabe en los bits disponibles en el registro

– Para detectar el overflow, se usa un bit especial llamado Carry


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Sumas Binarias

11

0

No hay carry de entraday se genera carry de salida

1+

Carry deSalida

11

0

Hay carry de entrada y se genera carry de salida

0+

1Carry deSalida

Carry deEntrada


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Suma de Registros

● Ejemplo: 8+ (-3) en registros de ancho 5b

0 1 0 0 0 +8

0 0 1 0 1 Resultado en C-2

1 1 1 0 1 -3 en C-2+


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Suma de Registros - Overflow

● Ejemplo de 8+9 en registros de ancho 5b

0 1 0 0 0 +8

1 0 0 0 1 ¡Cambió el signo!

0 1 0 0 1 +9+

Se genera carry 1 que entra a la última etapaSe genera

carry 0


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Suma de Registros - Overflow

● Detección del Overflow en C-2– Hay que observar el carry que entra al bit de signo, y el carry que

se genera en el bit de signo– Ocurre overflow cuando ambos carry son diferentes

● Unidades aritméticas– Los procesadores tienen una lógica que permite detectar

automáticamente esta situación– Se genera una exception de overflow


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Sumas en Complemento Uno

● Procesadores– No hay procesadores modernos que usen C-1

● Algoritmos de detección de errores– Se usa C-1 en algoritmos de detección y corrección de errores en

transmisión de datos (Checksum)● Redes● CD / DVD (Codigos CRC, Reed Solomon, ...)


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Sumas en Complemento Uno

● Ejemplo de 8+(-3) en C-1, registros de ancho 5b

0 1 0 0 0 +8

0 0 1 0 0

Resultado en C-1

1 1 1 0 0 -3 en C-1

+

1

+

0 0 1 0 1

End Around Carry


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Códigos

● Un código– Es una relación entre dos conjunto de símbolos– El dominio es un conjunto arbitrario

● Letras● Símbolos gráficos● Números

– El co-dominio es un conjunto de strings de bits– Los códigos son un pilar fundamental de los Sistemas de

Computación .– La teoría de los códigos es la disciplina que estudia sus

propiedades– Existen varios códigos en computación


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Códigos

a

@5

B

1101

11001

1001

110101

Dominio Co-Dominio


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El Código BCD

● ¿Como representar el número 199510?– Una solución, convertirlo a binario

199510 = 111110010112

– Dificultad de este método● La Conversión ● Se puede hacer solamente cuando se conoce el número completo● Dificulta de la entrada


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El Código BCD

● El código BCD permite una conversion facil entre decimales y binarios– Es útil en teclados numéricos

77 88 99

44 55 66

11 22 33

00

Decimal BCD0 00001 00012 00103 00114 0100

Decimal BCD5 01016 01107 01118 10009 1001

Ejemplo: 219= 0010 0001 1001


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El Código Gray

● El Código Gray tiene interesantes propiedades que se utilizarán en el próximo capítulo.

● El Código Gray se define de la siguiente manera:– Código Gray de un bit= {0,1}– Dado un Código Gray de d-bits, se puede construir un Código Gray

de (d+1)-bits haciendouna lista del Código Gray con prefijo 0, seguido de una lista del Código Gray en orden inverso con prefijo 1


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Construcción de un Código Gray

01

0110

0011

0110

0011

01111000

00001111


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Código Gray de 3 bits

0

1

1

0

0

0

1

1

01

11

10

00

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

2

3

4

5

6

7

G(i)i

Se define el inverso G-1(i)=j ssi G(j)=i

Ejemplo:

G-1(6) = 4

0

1

3

2

6

7

5

4

G(i)


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Otros Códigos

● Existen varios otros codigos– El código ASCII (American Standard Code for Information

Interchange)● El más usado para representar las letras, digitos, etc...

– El código EBCDIC● Utilizado en unos terminales de IBM

– UNICODE● El código Up To Date para representar letras y símbolos

– www.unicode.org

http://www.unicode.org/

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