Poznamky k MKP uloh´´ ´am Princip minimamechanika.fs.cvut.cz/content/files/MKP/cv3_prezentace.pdf · Metoda konecnyc´ h prvku˚ - prezentace k 3. cviˇ cen´ıˇ Martin NESLADEK´

Poznamky k MKP uloham Princip minima

Metoda konecnych prvku - prezentace k 3. cvicenı

Martin NESLADEK

Faculty of mechanical engineering, CTU in Prague

14. listopadu 2017

1 / 22Metoda konecnych prvku - prezentace k 3. cvicenı


Poznamky k uloham resenym MKP

Na presnost simulace pomocı MKP a prostorove rozlisenıvysledku ma vliv predevsım:

Stupen idealizace ulohy (napr. u 2D ulohy musım a prioripredpokladat stav rovinne napjatosti nebo deformace)Znalost materialovych vlastnostı a platnost zvolenehomaterialoveho modeluOkrajove podmınky, resp. mıra zjednodusenı vnejsıho zatızenıa ulozenıMıra zanedbanı konstrukcnıch detailu (prechodove radiusy,zkosenı, zavity, drazkovanı, ...)Typ elementu (linearnı vs. kvadraticky)Kvalita sıte (tvar jednotlivych elementu v sıti)Hustota sıte



Vliv zanedbanı konstrukcnıch detailu -prıklad

Zanedbanı konstrukcnıho prvku duleziteho z hlediska pevnostnı analyzy muzevest ke kritickym chybam ve vypoctu!!!

Prıklad: odstranenı prechodoveho radiusu mezi vodorovnym a svislym ramenemkonzoly (uloha c. 2)



Vliv zanedbanı konstrukcnıch detailu

Obecne je zanedbanı konstrukcnıho prvku zadoucı pro vytvorenıpravidelne a rovnomerne sıte a snızenı poctu elementu/uzlu

Pri upravach geometrie je ovsem nutne dbat na to, aby nebylodstranen prvek, ktery je kritickym mıstem z hlediska pevnosti

Zjednodusenı geometrie je akceptovatelne do te mıry, dokud jiminenı zasadne ovlivnena tuhost soucasti



Vliv zanedbanı konstrukcnıch detailu



Vliv pouziteho typu elementuZakladnı typy:

Linearnı element - rozlozenı hodnot posuvu je na elementupopsano linearnı funkcı

Kvadraticky element - rozlozenı hodnot posuvu na elementu jepopsano polynomem druheho radu



Vliv pouziteho typu elementu



Vliv pouziteho typu elementuAplikace linearnıch elementu Aplikace kvadratickych elementu



Vliv pouziteho typu elementu

Sıt’ z linearnıch elementu ma podstatne ”pomalejsı”konvergenci

Linearnı elementy proto postihujı daleko hure ostre gradienty vkoncentratorech



Vliv kvality sıte



Vliv kvality sıte



Vliv kvality sıte

Z hlediska presnosti vypoctu jsou nezadoucı predevsım prılisprotazene elementy a elementy s prılis ostrym uhlem mezihranami

MKP programy obsahujı nastroje pro diagnostiku sıte, nekvalitnıelementy lze tedy snadno odhalit a opravit jeste pred vypoctem



Vliv hustoty sıte

Bez lokalnıho zjemnenı: Petinasobne lokalnı zjemnenı sıte:



Vliv hustoty sıte



Princip minima celkove potencialnı energie(PMCPE)

Proc se bavıme o PMCPE v MKP I:1 Pomocı PMCPE lze odvodit metodu konecnych prvku pro resenı

uloh mechaniky poddajnych teles

2 Na jednoduchych ulohach resenych pomocı PMCPE lze ukazatradu pojmu, se kterymi MKP pracuje



Zakladnı pojmy

Celkova potencialnı energie telesa zatızeneho vnejsımisilovymi ucinky

Π = U + W

U . . . deformacnı energieW . . . potencial vnejsıch sil na pretvorenı telesa

uvedeny vyraz je z matematickeho hlediska funkcional

pozn.: funkcional je zobrazenı z prostoru funkcı na mnozinurealnych cısel



Zakladnı pojmy

Princip minima celkove potencialnı energiePole posuvu u(x , y , z), ktere je resenım ulohy mechanikypoddajnych teles, minimalizuje funkcional celkove potencialnıenergie Π

Kinematicky prıpustne pole posuvuAby mohlo byt nejake pole posuvu u(x , y , z) resenım ulohymechaniky poddajnych teles, musı byt kinematicky prıpustne,neboli musı splnovat okrajove podmınky a musı byt na daneoblasti spojite diferencovatelne



Zakladnı pojmy

PMCPE je prımym dusledkem Lagrangeova principu:

Lagrangeuv princip mechaniky poddajnych teles

∂U∂ui

= Fi

∂

∂ui(U − Fiui) = 0

∂Π

∂ui= 0



Zakladnı pojmy

F

ϕ(x)v(x)

x

v

Bernoulliho diferencialnı rovnice pruhybove cary nosnıku

v ′′(x) =d2v(x)

dx2 =−Mo(x)

E · Jz

Deformacnı energie nosnıku (posouvajıcı sıly zanedbany)

U =

∫ l

0

M2o (x)

2E · Jzdx



Algoritmus vypoctu v(x) pomocı PMCPE

Postup aplikovany na prıklady resenı v(x) nosnıku (platı pro SUi SN prıpady)

1 Navrh tvaru resenı (bazove funkce) v(x) (napr. polynom)

2 Aplikace OP na bazovou funkci→ kinematicky prıpustna funkcev(x)

3 Vypocet U a W

4 Π = U + W

5 PMCPE, neboli derivace Π podle neznamych - zobecnenychstupnu volnosti (ZSV)

6 Resenı soustavy lin. algebr. rovnic pro nezname ZSV

7 Dosazenı do v(x)







3 Vypocet U a W

4 Π = U + W



7 Dosazenı do v(x)







3 Vypocet U a W

4 Π = U + W



7 Dosazenı do v(x)







3 Vypocet U a W

4 Π = U + W



7 Dosazenı do v(x)







3 Vypocet U a W

4 Π = U + W



7 Dosazenı do v(x)







3 Vypocet U a W

4 Π = U + W



7 Dosazenı do v(x)







3 Vypocet U a W

4 Π = U + W



7 Dosazenı do v(x)



Deformace prutu - odvozenı

F

B

A

F

B

A

x

y

pozn.: lok. sour. system

ve stycnıku A

B

A

~l0

~l

~uB

~uA

x

y


ve stycnıku A

|~l|

B

A

~l0

~l

~uB

~uA

|~l|

x

y


ve stycnıku A

Z vektoroveho obrazce:

|~l | =~l0|~l0|·~l

~l0+ ~uB = ~uA+~l ⇒~l−~l0 = ~uB− ~uA

Prodlouzenı prutu:

∆l = |~l |−|~l0| =~l0|~l0|·~l− |

~l0||~l0|·|~l0| =

=~l0~l − ~l0~l0|~l0|

=(~l − ~l0) · ~l0|~l0|




F

B

A

F

B

A

x

y


ve stycnıku A

B

A

~l0

~l

~uB

~uA

x

y


ve stycnıku A

|~l|

B

A

~l0

~l

~uB

~uA

|~l|

x

y


ve stycnıku A


|~l | =~l0|~l0|·~l

~l0+ ~uB = ~uA+~l ⇒~l−~l0 = ~uB− ~uA

Prodlouzenı prutu:

∆l = |~l |−|~l0| =~l0|~l0|·~l− |

~l0||~l0|·|~l0| =

=~l0~l − ~l0~l0|~l0|

=(~l − ~l0) · ~l0|~l0|




F

B

A

F

B

A

x

y


ve stycnıku A

B

A

~l0

~l

~uB

~uA

x

y


ve stycnıku A

|~l|

B

A

~l0

~l

~uB

~uA

|~l|

x

y


ve stycnıku A


|~l | =~l0|~l0|·~l

~l0+ ~uB = ~uA+~l ⇒~l−~l0 = ~uB− ~uA

Prodlouzenı prutu:

∆l = |~l |−|~l0| =~l0|~l0|·~l− |

~l0||~l0|·|~l0| =

=~l0~l − ~l0~l0|~l0|

=(~l − ~l0) · ~l0|~l0|




F

B

A

F

B

A

x

y


ve stycnıku A

B

A

~l0

~l

~uB

~uA

x

y


ve stycnıku A

|~l|

B

A

~l0

~l

~uB

~uA

|~l|

x

y


ve stycnıku A


|~l | =~l0|~l0|·~l

~l0+ ~uB = ~uA+~l ⇒~l−~l0 = ~uB− ~uA

Prodlouzenı prutu:

∆l = |~l |−|~l0| =~l0|~l0|·~l− |

~l0||~l0|·|~l0| =

=~l0~l − ~l0~l0|~l0|

=(~l − ~l0) · ~l0|~l0|




B

A

~l0

~l

~uB

~uA

|~l|

x

y


ve stycnıku A

Prodlouzenı prutu:

∆l =( ~uB − ~uA) · ~l0

|~l0|

Deformace:

ε =∆l

|~l0|=

( ~uB − ~uA) · ~l0|~l0|2



Celkova potencialnı energie soustavy teles

Celkova potencialnı energie soustavy teles zatızenevnejsımi silovymi ucinky

Π =n∑

i=1

Ui +m∑

j=1

Wj

Ui . . . deformacnı energie telesa iWj . . . potencial vnejsı sily j

uvedeny vyraz je z matematickeho hlediska funkcional

pozn.: funkcional je zobrazenı z prostoru funkcı na mnozinurealnych cısel


Documents

Poznamky k MKP uloh´´ ´am Princip minimamechanika.fs.cvut.cz/content/files/MKP/cv3_prezentace.pdf · Metoda konecnyc´ h prvku˚ - prezentace k 3. cviˇ cen´ıˇ Martin NESLADEK´