PowerPoint Presentation · Title: PowerPoint Presentation Created Date: 6/8/2013 4:27:53 PM

دانشكده مكانيك -دانشگاه صنعتي اصفهان روش اجزاي محدود 1

المان مثلثي خطي

:خطي مثلثي المان در شکل تابع بزاي : يادآيري

:المان اس وقط ز بزاي

x

y

A

A

A

A

A

A

3

3

22

11

N

N

N

1

P (x,y)

2

3

A3

A2

A1



:ومد تعزيف سيز صرت ب شکل تابع تانمي طبيعي مختصات بزاي

خطي مثلثيالمان طبيعي بزاي مختصات

:صرت ايه در



خطي مثلثيالمان طبيعي بزاي مختصات

i

1,N

0,

:iوقط در

:وقاط ديگزدر

.است (x,y)بزحسب ييا بزحسب بيان قابل المان داخل در (u,v) تغييزمکان

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

u(x, y)= N u + N u + N u

v(x, y)= N v + N v + N v

دانشكده مكانيك -دانشگاه صنعتي اصفهان روش اجزاي محدود

4

(مختصات طبيعي )المان مثلثي خطي

است محلي ک طبيعي مختصات يکي :داريم مختصات دستگا دي ايىجا در

مختصات دستگا دي ايه بيه ارتباط بزاي اگز .(x,y) سزاسزي دستگا ديگزي ي :وشت تانمي (isoparametric المان) شد استفاد تغييزمکان شکل تابع اس

1, , 321 NNN

1

(1,0,0) 2

(0,1,0)

3

(0,0,1)

(1)

(2)

(3)

1 2 3 1 1

1 2 3 2 2

1 2 3 3 3

N = 1, N = 0, N = 0 x = x , y = y

N = 0, N = 1, N = 0 x = x , y = y

N = 0, N = 0, N = 1 x = x , y = y

→→

→



( )

( ) ( )

1 2 3

1 3 2 3 3

13 23 3

x x x 1 x

x x x x x x

x x x x

1 1 2 2 3 3x N x N x N x

13 23 3y y y y 1 1 2 2 3 3y N y N y N y

:مثال

P (3.85,4.8)

1 (1.5,2)

2 (7,3.5)

3 (4,7) 332211

332211

yNyNyNy

xNxNxNx

321

321

75.32

475.1

NNNy

NNNx

)1(75.328.4

)1(475.185.3

2.0

3.0

.

.

.

1

2

3

N 0 3

N 0 2

N 0 5



:با تج ب قاعذ مشتق سوجيز اي

J ي شدمي واميذ اوتقال ماتزيس ژاکبيه :با است بزابز

32313

32313

321 )1(

yyyy

xxxx

xxxx

2313

2313

,

,

yy

yy

xx

xx

[ ]det

13 23 23 131

13 23 23 13

x x y y1J

y y x x

JJ

det 13 23 23 13x y x y 2A J



:با جايگذاري خايم داشت( ) ( )

( ) ( )det det

23 13

23 1 3 13 2 3

23 1 3 13 2 323 13

u uuy y

y u u y u u1 1x

u u u x u u x u ux x

y

J J

( ) ( )

( ) ( )det det

23 13

23 1 3 13 2 3

23 1 3 13 2 323 13

v vvy y

y v v y v v1 1x

v v v x v v x v vx x

y

J J

)()()()(

)()(

)()(

det

1}{

3213312332133123

32133123

32133123

vvyvvyuuxuux

vvxvvx

uuyuuy

J

x

v

y

u

y

v

x

u



3

3

2

2

1

1

122131132332

211332

123123

000

000

det

1}{

v

u

v

u

v

u

yxyxyx

xxx

yyy

J

x

v

y

u

y

v

x

u

:تغييزمکان بزابز با-تان ماتزيس کزوشبا مقايس با ؛ مي

det

23 31 12

32 13 21

32 23 13 31 21 12

y 0 y 0 y 01

0 x 0 x 0 xJ

x y x y x y

B



Murnaghan (1951): dA=det [J] dd

T dA

t A k B EB

1 1

T

0 0det d dt

k B EB J


2المان مثلثي درج

ي دي، درج ي خطي مثلثي الماواي بعذي دي مسايل در استفاد مرد الماواي .ستىذ دي درج ي خطي مزبعي الماواي

Quadratic Triangular Element

Linear Strain Triangle (LST or T6)


دارد يجد ضلع ز يسط در گز س ي المان رئس در گز س گز؛ شش المان ايه در

اي خلاف جت در ک درج دي داراي گز ز .مي شوذ شمار گذاري ساعت عقزب

تابع صرت ب المان داخل در تغييزمکان .است (y ي x جت در جابجايي) آسادي

:شوذمي گزفت وظز در (yي x) حسب بز دي درج

bi (i=1,2,…12) ستىذثابتي اعذاد. شد ي وتايج بتزي مقاديز کزوش خطي حاصل مي

.در مقايس با المان خطي مرد اوتظار است



:گزفت وظز در المان بزاي شکل تابع شش تانمي طبيعي مختصات در

Shape Function N1 for LST

i

1,N

0,

:iوقط در

:وقاط ديگزدر



:اس است عبارت اگز در تغييزمکان

:المان سختي ماتزيس

but here is quadratic in x and y. In general, the integral

has to be computed numerically.



مقايس المان مثلثي خطي ي درج دي

1 Linear Strain Triangle

6 Nodes

12 D-O-F

4 Constant Strain Triangles

6 Nodes

12 D-O-F

:مثال



12 in

48 in

Parabolic Load

40 kip (Total)

4 x 16 mesh مثال:

t= 1 in



Test Run # of Nodes # of D-O-F # of Elements

4 x 16 Mesh 85 160 128 CST

8 x 32 Mesh 297 576 512 CST

2 x 8 85 160 32 LST

4 x 16 297 576 128 LST

:مثال



Run D-O-F

Tip

Deflection

(in)

Max

Stress

(ksi)

x-location y-location

1 160 -0.29555 67.236 2.250 11.250

2 576 -0.33850 81.302 1.125 11.630

3 160 -0.33470 58.885 4.500 10.500

4 576 -0.35159 69.956 2.250 11.250

Exact Solution -0.36133 80.00 0 12

:مثال


المان مزبعي خطي

Linear Quadrilateral Element (Q4)

Non-constant strain matrix

More accurate representation of stress and strain

Regular shape makes formulation easy



b b

h

h x, u

y, v

1 2

3 4 u3 u4

u1 u2 v1 v2

v3 v4

1

1

2

2

3

3

4

4

displacements at node 1




u

v

u

v

u

v

u

v

d

1 2

3 4

(b - x)(h - y) (b+ x)(h - y)N = N =

4bh 4bh

(b+ x)(h+ y) (b - x)(h+ y)N = N =

4bh 4bh

,

,

(x,y)المان مزبعي در دستگا مختصات



1

2

3

4

(b - x)(h - y)N =

4bh

(b+ x)(h - y)N =

4bh

(b+ x)(h+ y)N =

4bh

(b - x)(h+ y)N =

4bh

u Nd

Interpolation functions (b=h=1)

-10

1 -1

0

10

0.5

1

y

(1-x) (1-y)/4

x

-10

1 -1

0

10

0.5

1

y

(1+x) (1-y)/4

x

-10

1 -1

0

10

0.5

1

y

(1+x) (1+y)/4

x

-10

1 -1

0

10

0.5

1

y

(1-x) (1+y)/4

x

(x,y)تابع شکل در دستگا مختصات



,

,

,

,

1 2 3 4

5 6 7 8

1 2

3 4

1 2

3 4

u x y a a x a y a xy

v x y a a x a y a xy

b x h y u b x h y u1u x y

4bh b x h y u b x h y u

b x h y v b x h y v1v x y

4bh b x h y v b x h y v

تغييز مکان در المان مزبعي



1

1

2

1 2 3 4 2

1 2 3 4 3

3

4

4

u

v

u

N 0 N 0 N 0 N 0 vu

0 N 0 N 0 N 0 N uv

v

u

v

Define Strain/Displacement:

,

x

y

xy

u

x

v

y

u v

y x

Bd

تغييز مکان در المان مزبعي



( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

h y 0 h y 0 h y 0 h y 01

0 b x 0 b x 0 b x 0 b x4bh

b x h y b x h y b x h y b x h y

B

h b

-h b

T

tdxdy

dv dS

T

T

V S

k B EB

f N X N T

(x,y)ماتزيس سختي المان مزبعي در دستگا مختصات


x, u

y, v

1 (x1, y1)

(u1, v1)

2 (x2, y2)

(u2, v2)

3 (x3, y3)

(u3, v3)

2b

4 (x4, y4)

(u4, v4)

2h

1 (1, 1)

(u1, v1)

2 (1, 1)

(u2, v2)

3 (1, +1)

(u3, v3) 4 (1, +1)

(u4, v4)

( , ) ( , )x y x yu N d 31 2 4

31 2 4

Node 2 Node 3Node 1 Node 4

00 0 0

00 0 0

NN N N

NN N N

Nwhere

(مختصات طبيعي) المان مزبعي خطي

تابع شکل المان مزبعي در دستگا مختصات طبيعي


)1)(1(

)1)(1(

)1)(1(

)1)(1(

41

4

41

3

41

2

41

1

N

N

N

N

113 4at node 11

113 4at node 2

1

113 4at node 31

113 4at node 4

1

(1 )(1 ) 0

(1 )(1 ) 0

(1 )(1 ) 1

(1 )(1 ) 0

N

N

N

N

Delta function

property

4

1 2 3 4

1

14

14

[(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )]

[2(1 ) 2(1 )] 1

i

i

N N N N N

Partition of unity

1 (1, 1)

(u1, v1)

2 (1, 1)

(u2, v2)

3 (1, +1)

(u3, v3) 4 (1, +1)

(u4, v4)

( )( )1j j j4

N 1 1


تابع شکل المان مزبعي در دستگا مختصات طبيعي


Rectangular elements have limited application

Quadrilateral elements with unparallel edges are more useful

Irregular shape requires coordinate mapping before using

Gauss integration


ب دستگا مختصات طبيعي (x,y)اوتقال اس دستگا مختصات

Documents

PowerPoint Presentation · Title: PowerPoint Presentation Created Date: 6/8/2013 4:27:53 PM