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1
那么如何描述一条曲线的连续形态呢?
§1.4 连 续
自然界中很多现象都是连续不断的变化的,
比如气温的变化、青少年身高和体重的变化等,
都是随着时间 t 在连续不断的变化的,反应在数
学上就是函数的连续性。
2
或 0
0lim[ ( ) ( )] 0x x
f x f x
即 0
0lim ( ) ( )x x
f x f x
--①
1. 连续与间断
定义1.4.1. 称函数 )(xf 在点 0x 处是连续的, 如果它满足
(1) )(xf 在 0x 处有定义;
(2) )(xf 在 0x 处的极限存在, 即 ;)(lim0
Axfxx
即 ).( 0xfA
0x若函数 )(xf 在 处连续, 则称 0x 为 )(xf 的连续点.
(3) )(xf 在 处的极限值等于函数值, 0x
3
间断: 不满足连续定义(三条), 就说在 0x 点不连续,
也称 )(xfy 在 0x 点间断.
0x 叫做 )(xfy 间断点或不连续点.
4
故得连续性概念的实质:
0lim0
yx
增量的概念:
附近的一点,为设 0xx0x-xx 记 的增量为在点称 0xx
)()( 0x-fxfy 对应的函数增量在点称为 0)( xxf
时,当 0x 0x
5
由 ① 式可看出 )lim()(lim00
xfxfxxxx
即对连续函数而言, 极限符号 lim“ ” 与函数符号“ ” f 的先后
顺序可交换.
在区间上连续性: 若函数 )(xf 在开区间 ),( ba 内每一点
处都连续, 则称 )(xf 在开区间 ),( ba 内连续.
若函数 )(xf 在开区间 ),( ba 内连续, 并且在区间的左端点处
是右连续. )),()(lim(0
afxfax
在区间的右端点 b 处左连
续 )),()(lim(0
bfxfbx
则称 )(xf 在区间 ],[ ba 上是连续的.
若一个函数 )(xf 在它的定义域的每一点都是连续的, 则称为
连续函数.
6
xxxy sinsin
设x是区间 ),( 内任意一点,当x有增量 x
xxxy sinsin
故 时,0x 0y
所以 siny x 上连续),(在
siny x例
基本初等函数在定义域内是连续的
2cos
2sin2
xx
x
2cos
2sin2
xx
x
2sin2
x x
7
例1.4.1
( ) 0 ( ) ( )
, , ( ) , .
f x x f x y f x f y
x y f x
若函数 在 点连续,且 对任意的
都成立,试证 为 上的连续函数
证 , ,x 由已知条件知,对 有
0 0,f 所以
,x 从而,对任意 有
,f x 在 上连续.
0f x f
0
lim 0 0x
f x f
0 0
lim ( + ) lim ( ) ( )x x
f x x f x f x
0f x f x
( )f x
0f x x 又因为 在 点连续,即有
8
x
xxf
sin)( 例1.4.3 讨论函数 在点 0x 处的连续性.
解:因为 )(xf 在 0x 处无定义. 所以 0x 是 )(xf
的间断点.
1sin
lim0
x
x
x 0x 是可去间断点.
若补充定义 ,1)0( f 则函数
0 1
0 sin
)(
x
xx
x
xg
则函数 )(xg 在 0x 处连续.
可去间断点的条件?
9
例1.4.4 讨论函数 x
xf1
sin)( 在点 0x 的连续性.
38( )P
例 1
1)(
xxf 1x
因为 ,1
1lim
01
xx
1
1lim
01 xx
1x 称为无穷间断点.
0
y
x 1
x=0称为震荡间断点
10
跳跃间断点
.)(
),0()0(,
,)(
000
0
的跳跃间断点
为函数则称点但存在
右极限都处左在点如果
xf
xxfxf
xxf
可去间断点
.)(
)(),()(lim
,)(
0
00
0
0
的可去间断点为函数义则称点
处无定在点或但
处的极限存在在点如果
xfx
xxfxfAxf
xxf
xx
0 ,1
0 1,)(
2
xx
xxxg例 0x
11
跳跃间断点与可去间断点为第一类间断点.
特点: .,0 右极限都存在处的左函数在点x
可去型 第一类间断点
跳跃型
0
y
x 0x0
y
x 0x
间断点的分类
12
0
y
x
无穷型 振荡型
第二类间断点
0
y
x 0x
第二类间断点
.
)(,
,)(
0
0
类间断点
的第二为函数则称点至少有一个不存在
右极限处的左在点如果
xfx
xxf
13
),()(lim 00
xfxfxx
)()(lim 00
xgxgxx
由极限的运算法则得
)]()([lim0
xgxfxx
)(lim)(lim00
xgxfxxxx
)()( 00 xgxf
0x所以 )()( xgxf 在点 处是连续的.
(和、差、积可推广到有限个函数的情形)
证明: )(xf 与 )(xg 在点 0x 处连续
2. 连续函数的运算法则.
定理1.4.1 若函数 )(xf 与 )(xg 都在同一点 0x 处连续, 则
),()( xgxf ),()( xgxf )0)( ( )(/)( 0 xgxgxf
也在点 0x 处连续.
14
定理1.4.2. (反函数的连续性)
如果函数 xI在区间 上单调增加(或单调减少) )(xfy
那么它的 反函数 )(1 yfx 也在对应的区间
xy IxxfyyI ),( 上单调增加(或单调减少)
且连续,
且连续.
)(xfy
x
y
o
)),(( xxf
))(,( xfx
)(1
xfy
15
复合函数极限的运算法则:
定理1.4.3 设函数 )(xu 当 0xx 时的极限存在且等于
a , 即 ,)(lim0
axxx
而且函数 )(ufy 在点 au 处连
续,
即 )()]([lim0
afxfxx
)](lim[0
xfxx
从此定理可看出:
(1)求 )]([ xf 的极限时, 极限符号与函数 符号可以交换次序.
(2) )(lim)]([lim0
ufxfauxx
即在该定 理条件下, 作代换
)(xu 可将求 )]([lim0
xfxx
转化为求 )(lim ufau
)(lim0
xaxx
其中
自变量的其它变化过程亦可
时的极限也存在,当那么复合函数 0)( xxxfy
)(并且等于发 af
16
例1.4.6 求 9
3lim
23
x
x
x
解: 函数 9
32
x
xy 是由 ,uy 复合而成
9
32
x
xu
6
1
9
3lim
23
x
x
x 函数 uy 在
6
1u 处连续.
9
3lim
23
x
x
x 9
3lim
23
x
x
x 6
1
6
6
17
证明: 令 ),( 00 xua )(x 在点 0x 连续.
)]([lim0
xfxx
)( 0uf )]([( 0xf
所以复合函数 )]([ xf 在点 0x 连续.
由前面知道:基本初等函数在其定义域区间内都是连续的.
0uu 在点 )(ufy 连续, 则复合函数 )]([ xfy 在点
0xx 也是连续的.
推论: (复合函数的连续性)
设函数 )(xu 在点 0xx 连续, 且 ,)( 00 ux 而函数
结论: 初等函数在其定义域区间内都是连续的.
18
例1.4.2.. 讨论函数 在
0 1
0 1)(
2 xx
xxxf 其定义域
),( 内的连续性.
解: )(xf 在 )0,( 内连续,
在 ),0( 内连续. 且
)(lim00
xfx
)1(lim00
xx
1
)(lim00
xfx
)1(lim 2
00
x
x1
1)(lim0
xfx
)0(f 所以函数在 0x 处连续.
x
y
o
1
1
19
例1.4.7. 求 x
xx
x arctan4
)2ln(lim
2
1
解: 函数在 1x 处 , 且是连续点.
x
xx
x arctan4
)2ln(lim
2
1
1arctan4
)12ln(1
1
例1.4.8 求
x
x
x
1lnlim
0
解: 函数在 0x 处无定义 , 但
xxx
xx
x 1
1ln1ln11ln
20
而 ex xx
1
01lim 且 uuf ln 在 e 点连续,
x
xxx
x
x 1
001lnlim
1lnlim
x
xx
1
01limln eln 1
即 0x 时, x1ln ~ x
即 0x 时, x1ln ~ x
21
例1.4.9 求
x
ex
x
1lim
0
解: 设 1 xey 1 yex )1ln( yx
当 0x 时 0y
x
ex
x
1lim
0
y
y
y
1lnlim
0 y
yy
101ln
1lim
yy
y1
01limln
1
eln
1 1
1 0 xex 时, ~ x
~ 1 xe x即 0x 时,
22
例: 求 x
xx
cot
1sin1lim
xxx
x
x
xex
sin
1
)sin1ln(cos
1
cot
1limsin1lim
x
xxxx
e sin
1
11)sin1ln(limcoslim
x
xxxx
e sin
1
11)sin1(limlncoslim
ee ln11 e
23
3. 闭区间上连续函数的性质
定理1.4.4(最大最小值定理)若函数 )(xf 在闭区间
ba, 上连续,则 )(xf 一定有最大值和最小值, 即一定
存在点 ,,, 21 baxx 使得对于 ba, 上的一切点 x都
有 xfxfxfbxa
max)( 1
xfxfxfbxa
min)( 2
21, xx 分别称为函数的最大值点与最小值点. 21),( xfxf
分别称为 )(xf 在区间 ba, 上的最大值与最小值.
注: 闭区间,连续函数,这两个条件是重要的(例)
24
证明:设函数 )(xf 在闭区间 ba, 上连续,一定存在 M 与
m ,使得对于 ba, 上任一 x , 都有 ,)( Mxfm
令 ,,max mMk
则对于任一 ,,bax 均有 ,kxf
所以函数 )(xf 上有界. 在 ba,
推论(有界性定理)闭区间上连续函数一定在该区间上有界.
25
定理1.4.5(介值定理)设函数 )(xf 在闭区间 ba, 上连续,
则对于 )(af 与 )(bf bfaf 之间的任何数 ,c 在
开区间 ba, 内至少存在一点 , 使 ,cf ba, .
几何意义: 闭区间 ba, 上连续函数
)(xf 的图象与水平直线 cy
至少有一个交点.
推论1. 在闭区间 ba, 上连续的函数 )(xf , 必然取得介于最
大值 M 与最小值 m 之间的任何值.
y
xo a b
c)(xfy
1 2 3
26
设 ),( 1xfm ),( 2xfM 而 Mm , 在闭区间
21, xx 或 12 , xx 上应用介值定理, 即得此结论.
推论2 (根的存在定理):设函数 )(xf 在闭区间 ba, 上
连续,且 ,0)( bfaf 则在开区间 ba, 内至少存在
一点 ,使 .0f (零点定理)
证: ,0)( bfaf )(af 与 )(bf 异号, 不妨设
,0)( af ,0)( bf 因为 0 是介于 )(af 与 )(bf 之间的
一个数,由介值定理知, 存在 ba, ,使得 .0f
27
例1.4.10 3 6 2 0x x 估计方程 根的大概位置.
3 6 2,P x x x P x 令 显然 是连续函数,又
3 7 0, 2 6 0,P P
0 2 0, 1 3 0,P P
2 2 0, 3 11 0,P P
3, 2 , 0,1 , 2,3 由根的存在定理知,方程在 内
最少各一个根;又方程是三次方程,最多有三个
根,这就确定了根的存在范围.
28
汉英名词对照表
连续 continuous
连续点 continuous point
连续函数 continuous function
间断点 discontinuous point
增量 increment