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浙江大学控制科学与工程学系
信号与系统 Signals and Systems
第三章连续时间信号与系统的频域分析
Chapter 3 The Frequency Domain Analysis of
Continuous Signal and System
控制系网络课程平台:http://www.cse.zju.edu.cn/eclass/signal_system/
本章主要内容
LTI系统k kk
输入函数输出
k ––特征函数
k––特征值或系统函数(传递函数)
(1) 连续时间LTI系统的特征函数
(2) 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
(3) 非周期信号的表示:连续时间信号的傅里叶变换
(4) 周期信号的傅里叶变换
stLTIst esHe )(
00
2
T
k
tjkkeatx ,)( 0
0
0)(1
0T
tjkk dtetx
Ta
dtetxjX tj)()(
dejXtx tj)(2
1)(
FT变换对
kk kajX )(2)( 0 ––周期信号的FT公式
kk
k
tjkk kaea )(2 0
0 F
(频域为冲激函数的线性组合)
本章主要内容
(1) 连续时间LTI系统的特征函数
(2) 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
(3) 非周期信号的表示:连续时间信号的傅里叶变换
(4) 周期信号的傅里叶变换
(5) 傅里叶变换的性质
(6) 连续时间LTI系统的频域分析
)()()()( 22112211 jXajXatxatxa F(1)线性性质:
(2)时移特性: 00 )(
0 )()()(tjtjF ejXjXettx
(3)频移特性 ))(()( 00
jXtxe Ftj
)()( jXtxF
4
傅里叶变换的性质(5-1)
5
(1) 若x(t)为实信号, 即x(t)=x(t) )()( jXjX)()( jXjX
)()()( jXjejXjX 若:
)](Im[)](Re[)( jXjjXjX 若:
)()( jXjX
)()( jXjX
幅度谱偶对称
相位谱奇对称
(2) 若x(t)为实偶信号, 即x(t)=x(t)且x(-t)=x(t) )()( jXtxF
x(t)=x(t)
x(-t)=x(t)
实
偶
)](Re[)](Re[ jXjX
)](Im[)](Im[ jXjX
实部偶对称
虚部奇对称
(3) 若x(t)为实奇信号, 即x(t)=x(t)且x(-t)=-x(t)
)()( jXjX
)()( jXjX
实
偶
x(t)=x(t)
x(-t)=-x(t)
实
奇
)()( jXjX 虚
奇)()( jXjX
(4) )()()( txtxtx oe )}(Im{)}(Re{)( jXjjXjX
)}(Re{)( jXtxeF
)}(Im{)( jXjtxoF
傅里叶变换的性质(5-2)
(4)共轭性质:
(5)微分与积分
微分: )()(
jXjdt
tdx F 推广 )(
)( jXj
dt
txd nF
n
n
积分: )()0()(1
)(
XjXj
dx Ft
频域上分析微分方程表
示的系统
)()( jXtxF
由积分产生的
直流分量
傅里叶变换的性质(5-3)
6
(6)时间与频率的尺度变换 )(1
)(a
jX
aatx F
)()(1
jaXa
tx
a
F
)()( jXtx F 时域反褶频域反褶
说明:时域压缩频域扩展
时域扩展频域压缩时域和频域存在互反关系
)()()( XjXtxF
)(2)( xtXF
重要对偶关系式
)()( 00
jXettx
tjF))(()( 0
0
jXtxetj F
)()0()(1
)(
XjXj
dx Ft
djXtxtxjt
F )()()0()(1
)()(
jXjdt
tdx F
d
jdXtjtx F )()(
1)( Ft )(21 F
cc
Fc TcT
else
Tttx sin2
0
1)(
else
tc
cFcc
0
1sin
熟悉常用信号的变换对,利用对偶关系往往可简化F变换。7
(7)对偶性
傅里叶变换的性质(5-4)
8
傅里叶变换的性质(5-5)
(8)帕斯瓦尔定理(Parseval’s Relation ) ––能量守恒
)()( jXtx F
djXdttx
22)(
2
1)(
信号在时域拥有的总能量 = 频谱在单位频率内能量 的总和)2/)((2
jX
对于周期信号:
k
kT
adttxT
22
00
)(1
周期信号平均功率 = 各谐波频率分量平均功率之和
0
0 0
2 2 2
0 0
1 1jk t
k k kT T
a e dt a dt aT T
例3-19 已知X1(jω)和X2(jω).
ω-1 -0.5 0.5
X1(jω)
1
2求
dttxE
2
1 )(
解:
8
54/
2
1)(
2
1)(
1
5.0
5.0
5.0
5.0
1
2
1
2
1
ddddjXdttxE
9
傅里叶变换的性质(5-6)
(9)时域卷积性质
)()( jXtx F
)()( jHth F )()()(*)( jHjXthtx F
频域系统分析
时域卷积 频域相乘
(10)调制性质(频域卷积)
)()( 11 jXtx F
)()( 22 jXtx F
一个信号被另一个信号相乘, 可以理解为用一个信号去调制另一个信号的振幅––调制性质
)(*)(2
1)()( 2121
jXjXtxtx F
傅里叶变换的性质(5-7)
例
t
tWtx i
sin)( ?)()()( thtxty
t
tWth c
sin)(
0
X(j)
Wi-Wi
1
0
H(j)
Wc-Wc
1 =
0
Y(j)
Wo-Wo
1
Wo=min(Wi, Wc)
t
tWty o
sin)(
FT-1
10
注意到:在此应用时域卷积性
质会使问题的求解变得容易。
本章主要内容
(1) 连续时间LTI系统的特征函数
(2) 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
(3) 非周期信号的表示:连续时间信号的傅里叶变换
(4) 周期信号的傅里叶变换
(5) 傅里叶变换的性质
(6) 连续时间LTI系统的频域分析
连续时间LTI系统的频域分析
——基本内容
12
连续时间LTI系统的频率响应
连续时间LTI系统的零状态响应的频率求解
用线性常系数微分方程表征的LTI系统
周期信号激励下的系统响应
电路系统的频域求解
信号的不失真传输
信号的滤波与理想滤波器
连续时间LTI系统的频率响应(1)
13
定义:对于一个冲激响应为h(t)的LTI系统,其Fourier变换H(jω)称为
LTI系统的频率响应(简称频响),是特征函数ejωt的特征值。
H(jω)X(jω) Y(jω) 系统对某一频率为ω的信号的响应特性由其频率
响应H(jω)的特性来决定。
)()( jHth F定义1: 定义2:
)(
)()(
jX
jYjH zs
*1. 频域相乘是无顺序的级联系统总的频率响应等于各单个子
系统频率响应的乘积
*2. LTI系统的频域分析法适用于稳定系统。
)()()( jejHjH
幅频特性(放大特性)
相频特性(延时特性)
)()()( jXjHjY )()()( jjj XHY
连续时间LTI系统的频率响应(2)
14
例3-25 (P117) 求微分器的频率响应H(jω)。
解:微分器可以表示为:
dt
tdxty
)()( Fourier 变换 )()( jXjjY
j
jX
jYjH
)(
)()(
例3-26 (P117) 求积分器的频率响应H(jω)。
解:积分器可以表示为:
)(*)()()( tutxdxtyt
)()( tuth )(
1)(
jjH
例3-27 (P118) 求延时系统的频率响应H(jω)。
解:延时系统可以表示为:
)()( 0ttxty Fourier 变换 )()( 0 jXejY
tj
0
)(
)()(
tje
jX
jYjH
)633( )()( tth
)()( 0ttth
连续时间LTI系统的零状态响应频率求解(1)
15
时域上:卷积积分
LTI系统的零状态响应
频域上: 卷积性质输出信号y(t)的频谱
反变换
h(t)
H(jω)频域:X(jω) Y(jω)= X(jω)H (jω)
时域:x(t) y(t)=x(t)*h(t)
y(t)=Y-1(jω)
连续时间LTI系统的零状态响应频率求解(2)
16
例3-28 (P119) 因果LTI系统输入信号 的零状态响应为
,求频率响应H(jω)和 h(t)。
)()( 2 tuetx t
)(2
1)( 3 tueety tt
解:分别求输入x(t)和输出y(t)的傅里叶变换
jjXtuetx Ft
2
1)()()( 2
jjjj
jYtueety Ftt
31
1
3
1
1
1
2
1)()(
2
1)( 3
jjjj
j
jX
jYjH
3
21
1
21
31
2
)(
)()(
)(2
1)( 3 tueeth tt
用线性常系数微分方程表征的LTI系统(1)
17
线性常系数微分方程:
M
kk
k
k
N
kk
k
kdt
txdb
dt
tyda
00
)()(
微分方程频率响应?方程频域求解?假定系统是稳定因果的。
对微分方程两边取Fourier变换,注意到如下性质:
线性性质
微分性质
)()()()( 2121 jbXjaXtbxtax F
)()()(
jXjdt
txd kF
k
k
)()()()(00
jXjbjYjaM
k
k
k
N
k
k
k
N
k
k
k
M
k
k
k
ja
jb
jX
jYjH
0
0
)(
)(
)(
)()(
用线性常系数微分方程表征的LTI系统(2)
18
例3-29 (P120) 因果LTI系统 ,求该系
统的频率响应和单位冲激响应。
)()(
)()()(
txdt
tdxty
dt
tdy
dt
tyd 223
2
2
解:系统的频率响应2)(3)(
1)(2
)(
)()(
2
jj
j
jX
jYjH
单位冲激响应h(t)可以用H(jω)的Fourier反变换获得
jjjj
j
jX
jYjH
2
3
1
1
2)(3)(
1)(2
)(
)()(
2
jatue
Fat
1
)(
)(3)( tueeth tt
用线性常系数微分方程表征的LTI系统(3)
19
例3-30 (P120) 因果LTI系统 ,当输入信号
且系统初始静止,求系统输出y(t)。
)(2)(
)(3)(
4)(
2
2
txdt
tdxty
dt
tdy
dt
tyd
)()( tuetx t
解题思路:H(jω), X(jω) Y(jω) y(t)
3)(4)(
2)(
)(
)()(
2
jj
j
jX
jYjH
jjXtuetx
Ft
1
1)()()(
)3()1(
2)()()(
2
jj
jjXjHjY
311)(
2
j
C
j
B
j
AjY
2
1)1)((
1
2
j
jjYB
3
1( )( 3)
4jC Y j j
A=?
将已求得的B和C代入上述方程, 并令j=0得
12
1
2
1
3
2 A
4
1A
)(4
1
2
1
4
1)( 3 tueteety ttt
周期信号激励下的系统响应(1)
20
LTI系统
h(t)
stestesH )(
tje tjejH )(
思路:
周期信号输入 傅里叶级数
系统输出响应特征函数性质
线性性质
k
tjk
k
k
tjk
k
LTI
k
tjk
k ebejkHatyeatx 000 )()()( 0
)( 0jkHab kk 周期信号{ak} LTI 周期信号{akH(jkω0)}
?)sincos()(
1
000
LTI
k
kk tkCtkBBtx
周期信号的三角函数表示的响应:
方法:先求取cosω0t和sinω0t的响应特性,然后按照线性性质,即可求
出三角函数形式的周期信号的响应。
周期信号激励下的系统响应(2)
21
假设:LTI系统的冲激响应为实函数
)()()( jejHjH )()( jHjH
)()( jj
)()()(
)()()(
)()()()(
)()()()(
0
)(
0
)(
0
0
)(
0
)(
0
0000
00
00
00
jj
jj
eejH
eejH
jHjH
jHjY
)()()cos( 000 jjF eet
)()()cos( 000 Ft (3-66)
例3-4
幅度谱为偶
相位谱为奇
))(cos()()()cos()( 000)(
0 tjHtyttxthLTI
周期信号激励下的系统响应(3)
22
))(cos()()()cos()( 000)(
0 tjHtyttxthLTI
同理可证
))(sin()()()sin()( 000)(
0 tjHtyttxthLTI
推广:
))(cos()()()cos()( 0000
)(
00 tjHtyttx thLTI
))(sin()()()sin()( 0000
)(
00 tjHtyttx thLTI
0 0 0
1
0 0 0 0 0 0 0
1
( ) ( cos sin )
( ) (0) ( ( ) cos ( ) ( ) sin ( ) )
LTI
k k
k
k k
k
x t B B k t C k t
y t B H B H jk k t k C H jk k t k
对于LTIS而言,系统对正弦输入的响应为同频率正弦信号,但幅值与相位与
H相关。
周期信号激励下的系统响应(4)
23
例3-32 有一周期信号x(t),其基波频率为2π,
a0=1, a1=a-1=1/4, a2=a-2=1/2, a3=a-3=1/3, 该周期信号x(t)通过一单位脉冲响
应为 的LTI系统,计算系统的输出。
3
3
2
k
tjk
keatx )(
)()( tueth t
解:方法一
jjHtueth Ft
1
1)()()(
3
3
23
3
2 )()(k
tjk
k
LTI
k
tjk
k ebtyeatx
)( 0jkHab kk
1)0( 000 ajHab
21
1
4
1)2(11
jjHab
41
1
2
1)22(22
jjHab
61
1
3
1)23(33
jjHab
3
3
2)(
k
tjk
kebty
周期信号激励下的系统响应(5)
))(cos()()()cos()( 000)(
0 tjHtyttxthLTI
24
方法二:ttteatx
k
tjk
k 6cos3
24cos2cos
2
11)(
3
3
2
1)0(11 HLTI
jjH
1
1)(
))2(2cos()2(12
1))2(2cos()2(
2
12cos
2
1
2
arctgttjHt LTI
))4(4cos()4(1
1))4(4cos()4(4cos
2
arctgttjHt LTI
))6(6cos()6(13
2))6(6cos()6(
3
26cos
3
2
2
arctgttjHt LTI
3
3
2)(k
tjkkebty
𝐻 𝑗𝜔 =1
1 + 𝜔2𝜃 𝜔 = −arctan(𝜔)
电路系统的频域求解(1)
25
电路系统的组成:放大器、加法器、电阻、电容、电感等
频域上定义复阻抗:
)(
)()(
jI
jUjR
阻抗两端电压的Fourier变换
阻抗两端电流的Fourier变换
假定初始静止:
电阻: RjI
jUjRtiRtu
R
RR
F
RR )(
)()()()(
电容:CjjI
jUjR
dt
tduCti
c
cc
Fcc
1
)(
)()(
)()(
电感: LjjI
jUjR
dt
tdiLtu
L
LL
FLL
)(
)()(
)()(
通过复阻抗,可将电路中的基尔霍夫定律直接用于频域中。
电路系统的频域求解(2)
26
例3-33 (P123) RC低通网络,输入端信号为单位阶跃v(t)=u(t),用傅里叶
方法分析该电路的输出信号,RC=1/2。
v(t) vc(t)解:电阻R的复阻抗 RjRR )(
电容C的复阻抗Cj
jRc
1
)(
)(1
1
)()()(
)()(
jV
CjR
CjjV
jRjR
jRjV
cR
cc
jRCjjV
jVjH c
2
2
1
1
)(
)()(
输入: )(1
)()()(
j
jVtutv F
输出:
)()()(
)(2
11)(
1
2
2)()()(
21
tuetutv
jjjjjVjHjV
t
c
F
c
信号的不失真传输
27
信号传输过程的失真:系统响应的波形与激励的波形不一致。
)()()( jXjHjY
幅度失真——系统幅频特性|H(jω)|引起的失真,即对信号幅度的
放大/缩小。
相位失真——系统相频特性θ(ω)引起的失真,使响应的各频率分量
在时间轴上相对位置产生变化。
无失真传输定义:输出信号与输入信号相比,只是大小与相对时间轴
的位置不同,并没有波形上的变化,即:
)()( 0ttKxty )()( 0 jXKejY
tj
无失真的频率响应: 0)(tj
KejH
KjH )(
0)( t
与频率无关
呈线性关系
无失真的单位冲激响应: )()( 0ttKth
参见P125,图3-28
信号的滤波与理想滤波器(1)
28
信号的滤波——目的是改变一个信号中各频率分量的大小,或者全部
消除某些频率成份
滤波器——用于完成滤波功能的系统
LTI系统
h(t)tje tjejH )(
实现——适当地设计系统的频率响应
(1)理想低通滤波器的频域特性和冲激响应
理想低通:|ω|<ωc的信号无失真地通过
|ω|>ωc的信号完全衰减ωωc-ωc
|H(jω)|
1
ω
φ(ω)
k=-t0ω
频域特性
else
ejH
c
tj
0
)(
0
截止频率
通带
阻带
对不同频率不同加权: 滤波作用
信号的滤波与理想滤波器(3)
30
else
ejH
c
tj
0
)(
0
低通滤波器
)(
)(sin)(
0
0
tt
ttth
c
cc
t
t
)sin(
)10(
))10(sin(
t
t
t<0时,h(t)≠0 理想低通滤波器是非因果系统,物理上不可实现
t
ttx
elsejX
c
ccFc
sin)(
0
1)(
1
抽样函数频谱 时移特性
ωωc-ωc
|H(jω)|
1
ω
φ(ω)
k=-t0ω
31
Cj
CjR
jXjY
1
1
)()(
jRC
RC
Cj
CjR
jH
1
1
1
1
1)(
C
R
+
–
y(t)=Vc(t)x(t)=Vs(t)
H(j)
)()()( jHjXjY
00
1
h(t)
t
RC
1
例3-34 求一个实际一阶低通滤波器的H(jω)与h(t).
解:
)(1
)(
1
tueRC
tht
RC
––因果系统
+
–
信号的滤波与理想滤波器(4)
32
R
CjR
jXjY
1
)()(
RCj
RCjR
CjR
jH
11
1)(
)()()( jHjXjY
例3-35 求一个实际一阶高通滤波器的H(jω)与h(t).
解:C
R+
–
y(t)=VR(t)
x(t)=Vs(t)
H(j)
+ –
00
1
h(t)
t
1
( ) ( )t
RCh t e u t
––因果系统
RC
1/e
信号的滤波与理想滤波器(5)
33
(2)理想低通滤波器的阶跃响应s(t)
else
ejH
c
tj
0
)(
0
低通滤波器
阶跃输入: )(1
)(
jtu F
)(1
2
1)( 0ttSits c
x
dtt
txSi
0
sin)(
1
1 1( ) ( 10)
2s t Si t
1
1 1( ) 0.3 ( 10)
2s t Si t
ωc越大,上升越快
cc
rf
t12
fc——滤波器的带宽tr
输出存在吉布斯现象
0))(1
()(tj
ej
jS
信号的滤波与理想滤波器(6)
信号的滤波与理想滤波器(7)
34
(2)理想低通滤波器对矩形脉冲的响应y(t)
else
ejH
c
tj
0
)(
0
低通滤波器
矩形脉冲输入: )()()( tututx
)()(1
)(1
2
1)(
1
2
1)(
00
00
ttSittSi
ttSittSits
cc
cc
ωc越大,输出越接近矩形脉冲
ωc越小,输出越失真
)1020()10(1
)( tSitSits
)1020(1.0)10(1.01
)( tSitSits
连续时间LTI系统的频率响应:小结_1
频率响应定义:一个冲激响应为h(t)的LTI系统的Fourier变换H(jω)
)()( jHth F定义1:
定义2:)(
)()(
jX
jYjH zs
h(t)
H(jω)频域:X(jω) Y(jω)= X(jω)H (jω)
时域:x(t) y(t)=x(t)*h(t)
yzs(t)=Y-1(jω)
周期信号激励下的系统响应:
tje tjejH )(
k
tjk
k
LTI
k
tjk
k ejkHatyeatx 00 )()()( 0
电路系统的频域求解:通过复阻抗可将基尔霍夫定律直接用于频域中。
))(cos()()()cos()( 0000
)(
00 tjHtyttx thLTI
))(sin()()()sin()( 0000
)(
00 tjHtyttx thLTI
35
连续时间LTI系统的频率响应:小结_2
理想低通滤波器
0
H(j)
c-c
1
|ω|<ωc的信号无失真地通过
|ω|>ωc的信号完全衰减
理想低通滤波器是一种理想化的模型,它是研究与设计各种实际滤波器
的理论基础。
理想化模型虽然与真实情况有一定距离,然而借助于它们往往可以简
化问题,有助于建立统一的宏观概念,并认清事物的本质。如我们已经碰
到过的δ函数。
无失真传输定义: )()( 0ttKxty )()( 0 jXKejY
tj
理想低通滤波器的频域、时域特性?
36
回顾本章主要内容
(1) 连续时间LTI系统的特征函数、特征值:概念与应用
(2) 周期信号的傅里叶级数表示
(3) 非周期信号的傅里叶变换
(4) 周期信号的傅里叶变换
(5) 傅里叶变换的性质--10条性质:掌握并灵活应用
(6) 连续时间LTI系统的频域分析--系统响应求解
常见信号的FT对
需要记忆并掌握