Sveučilǐste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveučilǐsni nastavnički studij matematike i informatike

Ivana Jurilj

Povijesni pregled bojenja grafova

Diplomski rad

Osijek, 2010.

Sveučilǐste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveučilǐsni nastavnički studij matematike i informatike

Ivana Jurilj

Povijesni pregled bojenja grafova

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. I. MatićKomentor: Lj. Jukić, asistent

Osijek, 2010.

Sadržaj

Uvod 5

1 Formulacija problema i neki rezultati 71 Jordanov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Osnovni pojmovi teorije grafova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1 Šetnje, putovi i povezanost grafa . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Bojenje grafova i kromatski broj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1 Kromatski polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Planarni grafovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1 Planarni grafovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2 Eulerova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 Planarnost i bojenje grafova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Povijesni pregled teorema o četiri boje 231 Rani počeci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Preciznija definicija problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Cayleyjev početak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1 Karte i Eulerovi poliedri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Kempeovo rješenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.1 Kempeovi lanci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2 Greška u Kempeovom dokazu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3 Neizbježni skupovi i reducibilne konfiguracije . . . . . . . . . . 41

5 Dokaz pomoću računala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 Topološki aspekt teorema o četiri boje . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Zanimljivosti 481 Bojenje regija Sjedinjenih Američkih država . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 Računalo u nastavi 511 Utjecaj tehnološkog napretka na učenje

matematike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.1 Tehnologija u školama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.2 Konstruktivni pristup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.3 Instrumentalni pristup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2 Nastavnici i didaktička pitanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543 Efekti primjene informacijsko-komunikacijskih

tehnologija u nastavi matematike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3

SADRŽAJ 4

3.1 Teorijske osnove i primjena ICT-a u nastavi matematike-programiranoučenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2 Uloga računala u nastavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3 Primjena računala u nastavi matematike . . . . . . . . . . . . . 59

Literatura 63

Uvod

Može li se bilo koja karta obojiti najvǐse četirima bojama tako da susjedne države budurazličito obojene? Ovo jednostavno pitanje koje je formulirao Francis Guthrie 1852.godine pokazalo se jednim od najtežih problema u matematici. Jednostavan iskaz ilaka razumljivost problema potaknula je mnoge amatere, ljubitelje zagonetki, ali i pro-fesionalne matematičare na potragu za rješenjem. Medutim, problem četiri boje vǐseje nego samo zanimljiv.Usprkos rekreativnoj prirodi problema, mnogi pokušaji rješavanja problema potaknulisu razvoj zanimljive matematike koja ima primjenu u mnogim važnim svakodnevnimproblemima. Iako bismo odmah uvidjeli primjenu u bojanju realnih karti svijeta,gledajući atlas primjećujemo da kartografi rijetko koriste minimalan broj boja potreb-nih za bojenje karata. Mnoge knjige o kartografiji ne spominju problem četiri boje,iako proučavaju druge probleme vezane za bojenje karata. Sam problem četiri bojemožda nije od prevladavajućeg utjecaja u matematici, ali napredci koji su ostvarenipri rješavanju ovog problema imaju važnu ulogu u evoluciji matematike. Iako se povi-jesno ovom problemu pristupilo s mnogo različitih područja matematike, u ovom radućemo razmotriti problem s perspektive teorije grafova.Važnost teorije grafova postaje sve veća. Njene primjene mogu se pronaći u drugimpodručjima matematike kao i u ostalim znanostima. Aktivno se koristi u biokemiji,elektrotehnici i računalnim znanostima. Osnovni pojmovi teorije grafova potrebni sunam kako bismo lakše razumjeli teorem na jeziku teorije grafova. Stoga ćemo u prvompoglavlju dati definicije osnovnih pojmova, primjera i teorema.Svako područje karte zamijenjeno je vrhom grafa, a dva vrha su povezana bridom akoi samo ako dva područja dijele granicu (ne samo rubnu točku). Sada problem bojenjakarte postaje problem bojenja grafova. Postoje mnogi dokazi slabijih verzija problema-bojenje grafova s pet i vǐse boja. U ovom radu ćemo vidjeti dokaz jednog takvog teo-rema o pet boja koji je dao Heawood 1890. godine.Dokaz teorema o četiri boje izbjegavao je matematičare vǐse od 150 godina. U drugompoglavlju dajemo pregled karakteristične i bogate povijesti ovog teorema. Vidjet ćemomnogobrojne pokušaje dokaza, kao i lažan dokaz koji je dao Sir Alfred Bray Kempe.Na grešku u Kempeovom dokazu ukazao je Percy Heawood, ali tek nakon jedanaestgodina. U svom članku, Heawood daje primjer u kojem Kempeova metoda ne vrijedi.Pored toga, neke ključne ideje koje je Heawood dao u svom članku pokazale su seplodonosnima. Zahvaljujući tim idejama, dokaz teorema se ipak pokazao mogućim.

5

SADRŽAJ 6

Uspjeh su napokon ostvarili 1976. godine Kenneth Appel i Wolfgang Haken uzpomoć računala. Dokaz je sadržavao 1936 konfiguracija (kasnije smanjen na 1476),koje je provjeravalo računalo. 1996. godine Neil Robertson, Daniel Sanders, Paul Sey-mour i Robin Thomas dali su sličan dokaz u kojem su provjeravali 633 različita slučaja.Ovaj noviji dokaz takoder sadrži dijelove koji zahtijevaju uporabu računala i nemogućeih je provjeriti ”ručno”. Teorem o četiri boje bio je prvi veliki problem koji je dokazanuz pomoć računala. Mnogi matematičari ne prihvaćaju ovaj dokaz zbog nemogućnostiprovjere bez računala.Ipak, računalo ima veliku važnost pri istraživanjima u matematici. U teoriji brojeva,numeričkoj matematici i statistici se uz pomoć računala dobivaju odredene ocijene, dokse u teoriji grafova računala koriste u formalnom dokazivanju prilikom provjeravanjarazličitih slučajeva.Primjenom računala, granice matematičkih sposobnosti čovjeka se proširuju. Složenostjednog broja matematičkih problema prelazi ljudske sposobnosti i ako u toj situacijimatematičari odustanu od upotrebe računala, razvijat će se samo ”ograničena” matem-atika. Stoga je potrebno obrazovati nove generacije učenika da se matematika možerazvijati i uz pomoć računala. Kako bi se učenicima približila matematika, pobolǰsalorazumijevanje matematičkih pojmova i zakonitosti, u nastavu je potrebno uvesti novanastavna sredstva. U posljednjem poglavlju promatramo kako računalo utječe namatematičko obrazovanje. Kako, kada i zašto koristiti računalo u nastavi, samo suneka pitanja na koja ćemo pokušati dati odgovor.

Poglavlje 1

Formulacija problema i nekirezultati

Iako nas najvǐse zanimaju povijesni razvoj ovog problema i sama metodička važnostkorǐstenja računala pri matematičkom istraživanju, radi potpunosti dajemo precizaniskaz ovog problema na jeziku teorije grafova. Osim toga, nakon navodenja osnovnihpojmova i rezultata, dokazat ćemo slabiju verziju promatranog problema - teorem opet boja.Sam dokaz ove slabije, ali ipak važne tvrdnje, nije pretjerano kompliciran u usporedbis teoremom o četiri boje. No, vidjet ćemo kako se već i pri ovom dokazu koristenetrivijalni rezultati. Osnovni rezultat koji nam je potreban ima veliku sličnost spolaznim problemom. Naime, tvrdnja tog teorema je sasvim očita, pogotovo zboggeometrijske interpretacije koju skriva, ali dokaz te tvrdnje je vǐse nego kompliciran.Iz tog razloga ovdje u taj dokaz nećemo ulaziti, no iznijet ćemo povijesni pregledrazvoja i ovog problema te njegov iskaz. Radi se o jednom od najvažnijih rezultataopće topologije, koji se naziva Jordanov teorem za krivulje.

7

Formulacija problema i neki rezultati 8

1 Jordanov teorem

Prije iskaza, definirati ćemo sve potrebne pojmove:Jordanova krivulja je slika neprekidnog preslikavanja ϕ sa segmenta [0, 1] u R2 čija re-strikcija na poluotvoreni interval [0, 1〉 je injekcija. Drugim riječima, Jordanova krivuljaje jednostavna zatvorena krivulja u R2, tj. zatvorena krivulja koja ne siječe samu sebe(osim u početnoj točki koja se podudara sa završnom). Npr. kružnica je Jordanovakrivulja, dok osmica nije.

Kružnica Osmica

Podskup S od Rn nazivamo povezanim ako se ne može napisati kao unija dva disjunktnaotvorena skupa. Na primjer, skup 〈−1, 1〉 je povezan, dok 〈−1, 0〉 ∪ 〈0, 1〉 nije.Maksimalni povezan podskup skupa S se naziva komponenta povezanosti. Jasno, akoS nije povezan, tada se sastoji od barem dvije komponente povezanosti.Unutrašnjost (ili nutrina) skupa S, u oznaci int(S), je najveći otvoren skup koji jesadržan u S, dok je vanǰstina skupa S, u oznaci ext(S), nutrina njegova komplementa,tj. ext(S) = intRn\(S). Zatvarač skupa S je najmanji zatvoren skup koji sadrži S, aoznačava se s cl(S).Rub skupa S se definira s cl(S)\int(S). Nas posebno interesira situacija u euklidskomprostoru R2.

Ako postoji d > 0 takav da je skup S sadržan u kugli radijusa d s centrom u ishodǐstu,za skup S ćemo reći da je ograničen. Svaki konačni interval je ograničen skup, dokniti jedan beskonačni interval to nije. Primijetimo da je kružnica u R2 sa sredǐstem uishodǐstu proizvoljnog radijusa r ograničena. Nadalje, nutrina te kružnice je krug sasredǐstem u ishodǐstu radijusa takoder jednakog r, dok je zatvarač te kružnice unijakruga i same kružnice. Osim toga, očito je rub kruga jednak upravo kružnici.

Formulacija problema i neki rezultati 9

Sada smo spremni iskazati Jordanov teorem za krivulje:

Teorem 1.1 Neka je C Jordanova krivulja u R2. Tada se komplement od C sas-toji od dvije komponente povezanosti. Jedna od tih dvaju komponenata povezanosti jeograničena, dok je druga komponenta neograničena. Krivulja C je rub obaju kompo-nenta povezanosti.

Slika 1.1: Jordanova krivulja

Jordanov teorem se može činiti očiglednim, ali je prilično težak za dokazati (dokazteorema se može pronaći na [2]).Bernard Bolzano je prvi formulirao iskaz problema, uvidjevši da teorem nije očigledan,nego zahtjeva dokaz. Lako je utvrditi rezultat za poligonalne linije, ali se problem po-javio u generaliziranju teorema na sve krivulje, koje uključuju i diferencijabilne krivulje,kao što su Kochova pahulja i druge fraktalne krivulje. Prvi dokaz dao je Camille Jor-dan na predavanjima iz realne analize i objavio ga je u svojoj knjizi Cours d’analyse del’cole Polytechnique. Postoje polemike oko toga je li Jordanov dokaz potpun. Većinaautora je tvrdila da je prvi cjeloviti dokaz dao Oswald Veblen.Zbog svoje važnosti u nisko-dimenzionalnoj topologiji i kompleksnoj analizi, Jordanovteorem je privukao veliku pažnju uglednih matematičara prve polovice dvadesetogstoljeća. Razne dokaze teorema i njegove generalizacije su pronašli JW Alexander,Antoine, Bieberbach, Brouwer, Denjoy, Hartogs, Kerékjártó, Pringsheim, Schoenflies.Novi elementarni dokazi Jordanovog teorema, kao i pojednostavljenja ranijih dokaza, idalje se konstruiraju.

Formulacija problema i neki rezultati 10

2 Osnovni pojmovi teorije grafova

Teorija grafova je relativno mlada matematička disciplina koja se u zadnje vrijemenaglo razvija usporedno s razvojem i primjenom računala. Graf je tako od pomoćnogdijagrama prerastao u objekt matematičke teorije i jedne od osnovnih matematičkihstruktura, stoga se i pojavljuje u raznim oblicima i raznim situacijama. Postoji nizraznovrsnih praktičnih problema u kojima upotreba grafova osigurava njihovo jednos-tavnije rješavanje. Grafovi se koriste u različitim područjima kao što su ekonomija,biologija, kartografija, transport, sociologija i još mnoga druga. Dva najvažnija po-dručja primjene teorije grafova su informatika i primjenjena matematika.Na primjer, točke (vrhovi ili čvorovi) mogu predstavljati ljude iz neke skupine, a spo-jnice (bridovi) parove prijatelja. Ako promatramo neku zemljopisnu kartu s mnoštvomgradova koji su povezani nekim cestama, dobivamo jedan graf.Veoma je česta upotreba grafova za opis modela ili struktura podataka. Strukturajedne web prezentacije se može predstaviti slikovito upotrebom grafa. Čvorovi toggrafa su pojedine stranice, a spojnice grafa su veze kojima se može s jedne straniceprelaziti na drugu.Ponovimo ukratko osnovne pojmove.

Definicija 2.1 Graf je uredeni par G=(V , E), gdje je ∅ 6= V = V (G) skup vrhova,E = E(G) skup bridova disjunktni s V , a svaki brid e ∈ E spaja dva vrha u, v ∈ V kojise zovu krajevi od e1.

Kažemo još da su vrhovi u i v incidentni s e, a vrhovi u i v susjedni i pǐsemo u ∼ vili e = uv (ili pravilno e = {u, v}). Bridove s bar jednim zajedničkim krajem takoderzovemo incidentnim.Skup susjeda vrha v ∈ V (G) u grafu G označavamo s NG(v). Ako je G jednostavangraf, onda definiramo stupanj vrha v, dG(v) kao broj susjeda od v. Općenito, u bilokojem grafu G je stupanj od v broj dG(v) bridova od G incidentnih s v, pri čemuse svaka petlja računa kao dva brida. Intuitivno stupanj vrha je broj sjecǐsta malekružnice oko vrha s linijama koje izlaze iz tog vrha. Ako je jasno o kojem se grafu radi,pǐsemo d(v) umjesto dG(v).Graf G je konačan ako su V i E konačni skupovi, a inače je beskonačan.

Grafovi G i H su izomorfni i pǐsemo G ≈ H ako postoje bijekcije θ : V (G)→ V (H) iϕ : E(G) → E(H) tako da je vrh v incidentan s bridom e u G ako i samo ako je θ(v)incidentan s ϕ(e) u H. Uredeni par f = (θ, ϕ) : G→ H se tada zove izomorfizam iz Gu H. Izomorfizam, dakle, čuva incidenciju i susjednost.Brid čiji se krajevi podudaraju zove se petlja, a ako su krajevi različiti - pravi brid ilikarika. Dva brida ili vǐse njih s istim parom krajeva zovu se vǐsestruki bridovi.Graf G je jednostavan ako nema ni petlja ni vǐsestrukih bridova. Graf sa samo jednimvrhom zove se trivijalan, a inače netrivijalan. G je prazan graf ako je E(G) = ∅. Akone kažemo drukčije, mi ćemo isključivo proučavati konačne grafove.Dva osnovna parametra vezana uz konačni graf su

v(G) = |V (G)| = red od G = broj vrhova od G,e(G) = |E(G)| = veličina od G = broj bridova od G.

1Preciznije, graf je uredena trojka G = (V,E, ϕ), gdje je ϕ : E → ((V2

)) funkcija koja svakom bridu

e pridružuje 2-člani multiskup vrhova ϕ(e) = {u, v} koji se zovu krajevi od e.

Formulacija problema i neki rezultati 11

Opǐsimo neke specijalne grafove koje ćemo često koristiti. Jednostavan graf u kojemje svaki par vrhova spojen bridom zove se potpun graf. Do na izomorfizam postojijedinstveni potpun graf s n vrhova (i

(n2

)bridova) koji označavamo s Kn. Ustvari, ako

je V (Kn) = {1, 2, . . . , n} = [n], onda je E(Kn) =(

[n]2

), gdje je

([n]2

)skup neuredenih

parova prirodnih brojeva izmedu 1 i n.

Graf G je bipartitan (ili dvodijelni) ako mu se skup vrhova može particionirati u dvaskupa X i Y tako da svaki brid ima jedan kraj u X, a drugi u Y . Particija (X, Y ) zovese tada biparticija grafa. Bipartitni graf s biparticijom (X, Y ) označavamo s G(X, Y ).Potpun bipartitni graf jednostavan je bipartitni graf s biparticijom (X, Y ) u kojem jesvaki vrh iz X spojen sa svakim vrhom u Y .Ako je |X| = m i |Y | = n, takav je graf jedinstven do na izomorfizam i označava se sKm,n ; v(Km,n) = m+ n, e(Km,n) = mn.Graf odreden vrhovima i bridovima kocke zove se kubni graf.

Evo nekih primjera:

Slika 1.2: Trivijalan i kubni graf

Estetski je vrlo lijep (ornament, pleter, čipka) crtež grafa K23 s 253 brida:

Slika 1.3: Ornament

Formulacija problema i neki rezultati 12

Definicija 2.2 Neka su G i H grafovi. Ako je V (H) ⊆ V (G) i E(H) ⊆ E(G), a svakibrid iz H ima iste krajeve u H kao što ih ima u G, onda kažemo da je H podgraf od Gi pǐsemo H ⊆ G (ili G ⊇ H), a G zovemo nadgraf od H.

Ako je H ⊆ G i H 6= G, pǐsemo H ⊂ G i zovemo pravi podgraf od G. Podgraf H ⊆ Gza koji je V (H) = V (G) zovemo razapinjući podgraf od G. Podgraf H ⊆ G koji jepotpun zove se klika u G.Unija dvaju podgrafova G1, G2 ⊆ G je podgraf G1 ∪G2 čiji je skup vrhovaV (G1) ∪ V (G2), a skup bridova E(G1) ∪ E(G2). Slično je presjek G1 ∩G2 podgraf saskupom vrhova V (G1) ∩ V (G2) i skupom bridova E(G1) ∩ E(G2).

Formulacija problema i neki rezultati 13

2.1 Šetnje, putovi i povezanost grafa

Definicija 2.3 Šetnja u grafu G je niz W := v0e1v1e2 . . . ekvk, čiji članovi su naizm-jence vrhovi vi i bridovi ei, tako da su krajevi od ei vrhovi vi−1 i vi, 1 ≤ i ≤ k. Ujednostavnom je grafu šetnja potpuno odredena samo nizom svojih vrhova v0v1 . . . vk.Kažemo da je v0 početak, a vk kraj šetnje W ili da je W šetnja od v0 do vk ili(v0, vk)-šetnja.

Vrhovi v1, v2, . . . , vk−1 su unutarnji vrhovi šetnje, a broj k se zove duljina šetnje W .Dio šetnje W = v0e1v1e2 . . . ekvk je podniz viei+1vi+1 . . . ejvj susjednih članova od W .To se još zove i (vi, vj)- dio od W .Šetnja W je zatvorena ako je v0 = vk. Kažemo da vi prethodi vrhu vj u W ako je i < ji katkad pǐsemo vi ≺ vj. Ako su svi bridovi e1, e2, . . . , ek šetnje W medusobno različiti,onda se W zove staza, a ako su na stazi i svi vrhovi v0, . . . , vk medusobno različiti,onda se zove put.Dva vrha u, v grafa G su povezana ako postoji (u, v)-put u G. Smatramo da uvijekimamo trivijalni (u, u)-put.Graf je povezan ako su svaka dva njegova vrha povezana nekim putom. Komponentapovezanosti grafa G je maksimalni povezan podgraf od G (tj. povezani podgraf kojinije sadržan ni u jednom većem povezanom podgrafu). Ekvivalentno se povezanostmože definirati ovako.Povezanost medu vrhovima je relacija ekvivalencije, pa stoga postoji particija skupavrhova V na klase ekvivalencije i to su komponente povezanosti. Ako graf ima samojednu komponentu povezanosti, onda je povezan (a inače nepovezan).Broj komponenti povezanosti od G označavamo s c(G).

Slika 1.4: Povezanost grafa

Primjer 2.1 Dokažite da je c(G) + e(G) ≥ v(G).

Dokaz. Indukcijom po e(G). Ako je e(G) = 0, onda se G sastoji od izoliranih vrhova,pa je c(G) = v(G). Ako je e(G) ∈ E(G), onda je e(G) ≥ c(G−e)−1, jer e spaja ili dvavrha iz iste komponente od G− e, pa je c(G) = c(G− e), ili iz različitih komponenata,pa je c(G− e) = c(G)− 1.Indukcijom slijedic(G− e) + e(G− e) ≥ v(G− e) = v(G)⇒c(G) + e(G) ≥ c(G− e) + 1 + e(G− e)− 1 = c(G− e) + e(G− e) ≥ v(G). 2

Formulacija problema i neki rezultati 14

3 Bojenje grafova i kromatski broj

Definicija 3.1 Neka je G graf, a k ∈ N zadan broj. Tada je k- bojenje vrhova odG funkcija c : V (G) → {1, 2, . . . , k} (ili c : V (G) → C, |C| = k) koja svakom vrhupridruži jednu od k boja. Ako je c(v) = i, kažemo da je vrh v obojen bojom i.

Bojenje c je pravilno ako su susjedni vrhovi različito obojeni, tj. u ∼ v ⇒ c(u) 6= c(v).Pravilno k- bojenje grafa bez petlji je rastav (C1, C2, . . . , Ck) od V (G) na k disjunktnihskupova Ci = {v ∈ V (G)|c(v) = i} (mogu biti i prazni) i koji su nezavisni. Uočimo dasamo grafovi bez petlji dopuštaju pravilno bojenje. Zato ćemo ovdje razmatrati samografove bez petlji.Graf je k-obojiv ako dopušta pravilno k-bojenje. Jasno je da je G k-obojiv ako isamo ako je pripadni jednostavni graf k-obojiv, pa ćemo se nadalje ograničiti samo najednostavne grafove.Graf je 1-obojiv ako i samo ako je prazan (tj. E(G) = ∅), a 2-obojiv ako i samo ako jebipartitan.Kromatski broj γ(G) grafa G je najmanji broj k ∈ N, tako da je G k-obojiv.G je k-kromatski ako je γ(G) = k, a k-kritičan ako je k-kromatski, a γ(G − v) < k,∀v ∈ V (G).Kromatski broj digrafa D je kromatski broj pripadnog grafa G(D).Analogno se definira i bridno bojenje grafa (bez petlji).Bridno k-bojenje grafa G je pridruživanje c : E(G)→ {1, 2, . . . , k}, a pravilno bridnok-bojenje je takvo kod kojeg su incidentni bridovi različito obojeni.Bridno kromatski broj γ′(G) grafa G (bez petlji) je najmanji broj k ∈ N, za kojipostoji pravilno bridno k-bojenje od G. Graf je 1-bridno obojiv ako i samo ako su musvaka dva brida disjunktna, a ako je G bipartitan, onda je jasno da je γ′(G) ≥ ∆(G)(maksimalni stupanj), zapravo je γ′(G) = ∆(G).Takoder važni primjeri (jednostavnih) grafova su ciklusi i putovi. Ciklus Cn na n vrhovamožemo definirati skupom vrhova V = {1, 2, . . . , n} i skupom bridovaE = {{i, i+ 1}|i < n} ∪ {1, n}:

Slika 1.5: Ciklusi: C3, C4, C5, C6

Formulacija problema i neki rezultati 15

Put Pn na n vrhova : V = {1, 2, . . . , n} = {{i, i+ 1}|i < n}:

Slika 1.6: Putovi: P2, P4, P7

Izračunajmo kromatski i bridno - kromatski broj nekih grafova.

Primjer 3.1 Izračunajte γ i γ′ sljedećih grafovaa) puta Pnb) ciklusa Cnc) Knd) Km,n.

Rješenje.a) Potrebno je pronaći kromatski broj γ(Pn), odnosno najmanji prirodni broj k, takoda je Pn k-obojiv. Postavlja se pitanje, koliko nam je boja potrebno da obojimo zadanigraf tako da su susjedni vrhovi obojeni različitom bojom? S obzirom da se radi o putuPn, gdje je svaki vrh susjedan s najvǐse dva vrha, potrebne su nam dvije boje.Slično, potrebno je pronaći broj γ′(Pn), odnosno najmanji prirodni broj k, za kojipostoji pravilno bridno k-bojenje. Svaki brid je incidentan s najvǐse dva brida, stogasu nam dovoljne dvije boje. (Vidi sliku 1.7.)Dakle, vrijedi sljedeće:γ(Pn) = γ

′(Pn) = 2, n > 1

Slika 1.7: a)

Formulacija problema i neki rezultati 16

b) Analogno prethodnom rješenju vrijedi:γ(Cn) = γ

′(Cn) = 2 za n paran, a γ(Cn) = γ′(Cn) = 3 za n neparan. (Vidi sliku 1.8)

Slika 1.8: b)

c) Svi vrhovi potpunog grafa Kn su medusobno susjedni, odnosno svaki par vrhova jespojen bridom, stoga je svakom vrhu potrebno pridružiti različitu boju.Najprije, očito je n boja uvijek dovoljno, dok n − 2 boje nikada nisu dovoljne (poštose u svakom vrhu dodiruje točno n − 1 bridova). Direktno se može provjeriti da je uslučaju n paran dovoljna n − 1 boja. Dokažimo kako to ne vrijedi u slučaju da je nneparan.Primijetimo kako graf Kn ima točno

(n2

)= n(n−1)

2bridova. Ako postoji bridno (n− 1)-

bojenje, tada je svakom bojom obojan jednak broj bridova. Označimo taj broj s x.Odatle slijedi x · (n− 1) = ukupnom broju bridova, tj. x · (n− 1) = n(n−1)

2. Dobivamo

x = n2, što nije cijeli broj (jer je n neparan), što znači da bridno (n − 1)-bojenje ne

postoji. Dakle, u slučaju da je n neparan, potrebno je n boja.γ(Kn) = n, a γ

′(Kn) = n− 1, za n paran, γ′(Kn) = n, za n neparan. (Vidi sliku 1.9)

Formulacija problema i neki rezultati 17

Slika 1.9: c)

d) γ(Km,n) = 2, a γ′(Km,n) = max{m,n}. (Vidi sliku 1.10) 2

Slika 1.10: d)

Formulacija problema i neki rezultati 18

Neke osnovne činjenice smo skupili u sljedećoj Propoziciji.

Propozicija 3.1 a) Ako je G k-kritičan graf, onda je minimalni stupanj δ ≥ k + 1;b) Ako je G k-kromatski graf, onda barem k vrhova od G ima stupanj δ ≥ k − 1;c) Za svaki graf je γ ≤ ∆ + 1 (∆ je maksimalni stupanj).

Dokaz. a) Pretpostavimo da je δ < k − 1 i neka je v vrh s minimalnim stupnjem,tj. d(v) = δ. Kako je G k- kritičan, slijedi da je G − v (k − 1)-obojiv, pa neka je(C1, . . . , Ck−1) jedno (k − 1)-bojenje od G− v. Tada je v susjedan s δ < k − 1 vrhovau G, pa prema Dirichletovom principu v mora bti susjedan sa svim vrhovima nekogCj. No tada je (C1, C2, . . . , Cj ∪ {v}, . . . , Ck−1) jedno (k − 1)-bojenje od G, što jekontradikcija s tim da je γ(G) = k. Stoga je δ ≥ k − 1.b) Neka je G k-kromatski, a H ⊆ G k-kritični podgraf od G. Iz a) slijedi da je svakivrh u H stupnja ≥ k − 1 u H, pa stoga i u G. Kako je H k-kromatski, slijedi da jev(H) ≥ k, pa tvrdnja slijedi.c) Iz b) imamo da ako je γ(G) = k, onda postoji barem k vrhova v1, . . . , vk tako daje ∆ ≥ d(v1), . . . , d(vk) ≥ k − 1, pa je γ ≤ ∆ + 1. Možemo i ovako zaključivati. Akoredom bojimo vrhove grafa (u nekom poretku) pazeći da ”uštedimo” što vǐse boja,tj. tako da svaki vrh obojimo sa što manjom od boja 1, 2, 3, . . ., dobivamo bojenje snajvǐse ≤ ∆ + 1 boja, pa je γ ≤ ∆ + 1. 2

Formulacija problema i neki rezultati 19

3.1 Kromatski polinomi

U proučavanju bojenja bolji uvid može se dobiti razmatrajući ne samo egzistencijubojenja grafa sa zadanim brojem t boja, nego i broj svih t-bojenja grafa.Označimo s P (G, t) broj svih različitih t-bojenja grafa G. (Jasno, dva bojenja sma-tramo različitim ako je neki vrh u ta dva bojenja različito obojen.)Dakle, P (G, t) > 0 ako i samo ako je G t-obojiv. Odnosno, P (G, t) > 0 za t ≥ γ(G),a P (G, t) = 0 za t < γ(G). Očito je P (Kn, t) = t(t − 1) . . . (t − n + 1) = tn, a ako jeG = Kcn = prazan graf na n vrhova, onda je P (K

cn, t) = t

n.Osnovna rekurzija za računanje brojeva P (G, t) jest sljedeća.

Propozicija 3.2 Za jednostavni graf G i svako e ∈ E(G) vrijedi

P (G, t) = P (G− e, t)− P (G/e, t).

Dokaz. Neka je e = xy. Svako t-bojenje od G− e ili ima kod x i y iste boje ili različiteboje. Zato bojenju od G−e kod kojeg su x i y različito obojeni, pridružimo bojenje odG, a ako su isto obojeni pridružimo mu bojenje od G/e. Ovo pridruživanje je bijekcija,pa slijediP (G− e, t) = P (G, t) + P (G/e, t). 2

Korolar 3.1 Funkcija t 7→ P (G, t) grafa G s n vrhova je polinom u varijabli t stup-nja n s cijelim koeficijentima. Vodeći član je tn, konstantni član je 0, a koeficijentialterniraju po predznaku.

Dokaz. Dokaz provodimo indukcijom po e(G). Ako je e(G) = 0, znamo da je tadaP (G, t) = tn i tvrdnja je točna. Pretpostavimo da je tvrdnja točna za grafove s manjeod m bridova i neka je G graf s n vrhova i m ≥ 1 bridova, a e ∈ E(G).Tada je |E(G− e)| = |E(G/e)| = m− 1, pa po pretpostavci indukcije postojea1, a2, . . . , an−1, b2, . . . , bn−1 ∈ N0, tako da je

P (G− e, t) =n−1∑i=1

(−1)n−iaiti + tn, P (G/e, t) =n−2∑i=1

(−1)n−i−1biti + tn−1.

Tada iz Propozicije 3.2 imamo

P (G, t) = P (G− e, t)− P (G/e, t) =n−2∑i=1

(−1)n−i(ai + bi)ti − (an−1 + 1)tn−1 + tn,

a odatle slijedi tvrdnja. 2

Zbog svega ovoga se P (G, t) zove kromatski polinom grafa G. Na isti se način kaogore pokazuje da je koeficijent uz tn−1 jednak −e(G), a najmanji broj r tako da jekoeficijent uz tr različit od nule je broj c(G) komponenti od G i, kako smo već rekli,γ(G) je najmanji cijeli broj t ≥ 0, za koji je P (G, t) 6= 0. Stoga kromatski polinomsadržava mnoge važne podatke o grafu, a gornja rekurzija ne daje polinomski algoritamza njegovo računanje. Ustvari, ne zna se neka korisna karakterizacija polinoma koji sukromatski polinomi.

Formulacija problema i neki rezultati 20

4 Planarni grafovi

4.1 Planarni grafovi

Definicija 4.1 Graf je planaran ako se može nacrtati (smjestiti) u ravnini R2 takoda mu se bridovi sijeku samo u vrhovima. Ili, kraće, graf G je planaran, ako dopuštasmještavanje u ravninu. To znači da postoji funkcija f koja svakom vrhu od Gpridružuje točku u ravnini R2, a svakom bridu e jednostavnu krivulju f(e) ⊂ R2 takoda se f(e1) i f(e2) sijeku u točki T ako i samo ako je T = f(v), za neki vrh incidentans e1 i e2 u G.

Graf koji je već tako smješten u ravninu zove se ravninski, tj. to je uredeni par (G, f),gdje je G planarni graf, a f smještanje od G u ravninu. Graf koji nije planaran zovese, naravno, neplanaran.Tako su npr. grafovi svih pet pravilnih poliedara (tzv. Platonovih tijela) planarni; grafprizme sl. a) je ravninski; K4 (tj. graf tetraedra) je planaran, iako na sl. b) ne izgledatako, ali su na sl. c) i d) njegove izomorfne ravninske realizacije (smještenja), a na sl.e) i f) su K5 i K3,3 koji su neplanarni.

Slika 1.11: Planarni i neplanarni grafovi

Formulacija problema i neki rezultati 21

4.2 Eulerova formula

Neka je G ravninski graf (dakle, planarni graf već smješten u ravninu R2).Strana od G je (topološki) zatvarač komponente povezanosti komplementa R2\G. Brid(ili vrh) od G je incidentan sa stranom, ako je sadržan u toj strani.Rub strane čine oni bridovi koji su incidentni s tom stranom i još nekom drugomstranom. Dvije su strane susjedne ako imaju zajednički incidentan brid, a strana inci-dentna reznom bridu, susjedna je samoj sebi. Svi bridovi (i njihovi krajevi) incidentnisa stranom f čini zatvorenu šetnju u kojoj su rezni bridovi prijedeni dvaput. Duljinate šetnje se zove stupanj strane f i označava s dG(f) (ili kratko d(f)). Ako je ta šetnjaciklus, strana je ciklička.Pojam strane se slično definira i za smještanje grafa u druge plohe. Iz Jordanovogteorema odmah vidimo da svaka ciklička strana definira svoju unutrašnjost i vanǰstinu,a isto tako da svaki ravninski graf definira točno jednu neomedenu stranu, koju jošzovemo vanjska strana.Skup svih strana ravninskog grafa G označavamo s F (G), a njihov broj f(G) := |F (G)|.Rezni brid grafa G je brid e ∈ E(G) za koji je c(G−e) > c(G), tj. čijim se izbacivanjemgraf raspada na vǐse komponenti povezanosti.

U matematici je poznato nekoliko Eulerovih (Leonhard Euler, 1707.− 1783.) teoremai formula. Eulerova formula koju ćemo sada izvesti veže broj vrhova, bridova i stranaravninskog grafa i kao takva je jedina formula takve vrste, a i najstarija. Iz nje serazvila algebarska topologija i prvi put ju je Euler spomenio u pismu Goldbachu 1752.,a odnosila se na konveksne poliedre. Prvi je dokaz te formule dao Cauchy 1831., aznatno je poopćio francuski matematičar Henri Poincaré (1854.-1912.).

Teorem 4.1 (Eulerova formula). Neka je G povezan ravninski graf. Tada je Eu-lerova karakteristika od G

χ(G) := v(G)− e(G) + f(G) = 2.

Dokaz. Dokaz provodimo indukcijom po e(G). Ako je e(G) = 0, onda je v = 1 i f = 1,pa formula vrijedi. Neka je e(G) ≥ 1. Pretpostavimo prvo da G nema ciklusa. Tadaje G stablo, pa je v = e + 1 i f = 1, jer tada imamo samo jednu neomedenu stranu,pa formula opet vrijedi. Sada uzmimo da imamo ciklus i neka je e ∈ E(G) brid nekogciklusa. Tada je G − e povezan, pa je po pretpostavci indukcije χ(G − e) = 2. Očitoje v(G − e) = v(G) i e(G − e) = e(G) − 1. No, iz Jordanovog teorema slijedi da je eincidentan s točno dvjema stranama f i f ′, pa nakon uklanjanja e, te se dvije stranestope u jednu stranu i stoga je f(G− e) = f(G)− 1. Zato imamo

χ(G) = v(G)− e(G) +f(G) = v(G− e)− (v(G− e) + 1) +f(G− e) + 1 = χ(G− e) = 2.

2

Formulacija problema i neki rezultati 22

Propozicija 4.1 a) Sva ravninska smještenja danog povezanog planarnog grafa imajuisti broj strana.b) Jednostavni planaran graf G s n ≥ 3 vrhova ima najvǐse 3n− 6 bridova.c) Jednostavni planaran graf G ima vrh stupnja najvǐse 5, tj. δ ≤ 5.d) Za ravninski graf G je χ(G) := v(G)− e(G) + f(G) = 1 + c(G).

Dokaz. Dokazat ćemo tvrdnju pod c).Neka je n = V (G). Ako je n ≥ 2, to je trivijalno, a za n ≥ 3, iz b) slijedi

δn ≤∑

v∈V (G)

d(v) = 2e(G) ≤ 6n− 12⇒ δ ≤ 6− 12n⇒ δ ≤ 5

2

4.3 Planarnost i bojenje grafova

Teorem 4.2 (Heawood, 1890) Svaki je planaran graf 5-obojiv.

Dokaz. Uzmimo da teorem ne vrijedi. Tada postoji 6-kritični ravninski graf G. IzPropozicije 3.1 slijedi da je δ ≥ 5, a iz Propozicije 4.1 c) da je δ ≤ 5, pa je δ = 5 i nekaje vrh v ∈ V (G) takav da je d(v) = 5. Tada postoji 5-bojenje od G−v i neka je Vi skupsvih vrhova boje i, i = 1, . . . , 5. Kako G nije 5-obojiv, v mora biti susjedan vrhu svakeod 5 boja. Stoga možemo uzeti da su susjedi od v takvi da je vi ∈ Vi, i = 1, . . . , 5.Označimo s G(i, j) := G[Vi ∪ Vj] graf induciran s Vi ∪ Vj. Tvrdimo da vi, vj pripadajuistoj komponenti od G(i, j). Kad ne bi bilo tako, pogledamo komponentu od G(i, j)koja sadrži vi. Zamijenimo li boje i, j u toj komponenti, dobivamo novo 5-bojenje odG− v u kojemu sudjeluju samo 4 boje (sve osim boje i) kojima su obojeni svi susjediod v. No, već smo vidjeli da je to nemoguće. Stoga su vi, vj u istoj komponenti odG(i, j).Neka je Pi,j (vi, vj)-put u G(i, j), a neka je C ciklus vv1P13v3v. Budući da C separirav2 ∈ Int C i v4 ∈ ext C kao na slici 1.12, onda prema Jordanovom teoremu slijedi daput P24 mora sjeći C u nekoj točki. Jer je G ravninski, ta točka mora biti vrh u G. No,to je nemoguće, jer su vrhovi od P24 obojeni bojama 2 i 4, a vrhovi od C nisu obojenitim bojama. Time smo dobili kontradikciju i teorem je dokazan. 2

Slika 1.12: Ravninski graf

Poglavlje 2

Povijesni pregled teorema o četiriboje

Svaka planarna karta1 s povezanim zemljama se može obojiti koristeći četiri boje takoda zemlje sa zajedničkom graničnom linijom (ne samo točkom) budu obojene različitombojom. Nevjerojatno je da se tako jednostavno izrečeni rezultat opirao dokazu prekojednog stoljeća, čak i danas nije potpuno razumljiv. Potraga za dokazom teorema očetiri boje bila je osnovna pokretačka snaga u razvoju grane matematike koju danasznamo kao teorija grafova. Mnogi napredci u teoriji grafova nastali su u procesu dokazi-vanja teorema o četiri boje.

1 Rani počeci

Bez sumnje, teorem o četiri boje jedan je od rijetkih matematičkih problema u povijestičije se porijeklo može precizno odrediti. Francis Guthrie (1831.-1899.), student izLondona, prvi je istaknuo pretpostavku u listopadu 1852. godine dok je bojao regijena karti Engleske. Primijetio je da može obojiti kartu koristeći samo četiri boje takoda su susjedne države obojene različito. Guthrie je želio znati vrijedi li to za sve karte imože li se dokazati matematički. Objasnio je svoju pretpostavku u pismu svom mladembratu Fredericku, koji je bio student na Sveučilǐstu u Londonu. Frederick nije mogaoriješiti bratov problem, pa je proslijedio pismo svom profesoru Augustusu DeMorganu2

(1806.-1871.), slavnom matematičaru devetnaestog stoljeća. DeMorgan je bio jakoimpresioniran tom pretpostavkom. Iako sam nije mogao riješiti problem, predstavio jeproblem svom kolegi i prijatelju Sir William Rowan Hamiltonu (1805.-1865.), koji jeuveo pojam kvaterniona3, u slavnom pismu 23. listopada 1852. godine. Ova završnafaza ”lanca pisama o pretpostavci o četiri boje” obilježava rodenje teorema o četiriboje.

1Planarna karta je planarni graf zajedno sa svojim smještenjem u ravnini.2britanski matematičar i logičar koji je formulirao zakone u logici, danas poznati kao De Morganovi

zakoni, a uveo je i termin matematička indukcija.3Kvaternioni su izrazi oblika x + yi + zj + wk s x, y, z, w ∈ R, gdje i, j, k zadovoljavaju sljedeća

svojstva i2 = j2 = k2 = −1, ij = k, jk = i, ki = j.

23

Povijesni pregled teorema o četiri boje 24

Slika 2.1: Dio DeMorganovog pisma

U pismu navodi tvrdnju i daje primjer iz kojeg je očito da su četiri boje nužne. No,jesu li četiri boje uvijek dovoljne? Ako je odgovor na postavljeno pitanje negativan,trebalo je pronaći protuprimjer, tj. barem jednu kartu za koju je potrebno najmanjepet različitih boja. Ako je pak tvrdnja istinita, treba dokazati da ona vrijedi za svaku,pa čak i ”najuvrnutiju” kartu, bila ona stvarna zemljopisna karta ili neka potpunoizmǐsljena.I DeMorgan i Hamilton bili su ugledni britanski matematičari i redovito su se dopisivalivǐse od 30 godina. No, Hamiltona problem četiriju boja uopće nije zanimao. Priličnorazočaran time, DeMorgan pǐse i drugim kolegama, a u travnju 1860. ga po prvi putaobjavljuje u književnom časopisu Athenaeum. Tako za njega doznaju i matematičari sdruge strane Atlantika. Priča kaže da se američki matematičar, filozof i logičar CharlesSanders Pierce ”zarazio” problemom, mjesecima ga je pokušavao riješiti, a navodno ijeste, samo što njegov dokaz nikad nije objavljen.

Iako je danas prihvaćeno da je Francis Guthrie započeo potragu za pokazivanjem do-voljnosti četiri boje, neki su netočno tvrdili da je njemački matematičar i astronomAugust Ferdinand Möbius (1790.-1868.) pokrenuo potragu 1840. godine. Möbius, kojije najpoznatiji po svojoj Möbiusovoj vrpci (vidi sliku 2.2), pitao je razred na satugeometrije da riješe ”problem pet kneževa”, znajući da nema rješenja.

Slika 2.2: Möbiusova vrpca

Povijesni pregled teorema o četiri boje 25

Problem je postavljen u nekoliko različitih oblika, ali može biti skraćeno tako dase iskaže sljedeće: treba pronaći razmještaj pet susjednih regija tako da svaka regijagraniči s ostale četiri. Ako takav razmještaj postoji, tada bi za bojenje svake regijerazličitom bojom bilo potrebno pet boja, pružajući tako protuprimjer teoremu o četiriboje. Budući da takav razmještaj može biti dokazan nemogućim, neki su tvrdili da jeteorem o četiri boje bio trivijalan rezultat. Medutim, postoji nedostatak u logičkomzaključivanju iz kojeg je nastala ova tvrdnja.Na primjer, istina je da ako postoji karta s pet susjednih regija, tada je teorem o četiriboje lažan (tj. neistinit). Iz toga slijedi, ako je teorem o četiri boje istinit, tada nepostoji karta s pet susjednih regija. Medutim, logično je reći da ako ne postoji karta spet susjednih regija, tada je teorem o četiri boje istinit. Drugim riječima, nemogućnostpostojanja karte s pet susjednih regija je nužan, ali ne i dovoljan uvjet za dokazivanjeteorema o četiri boje. Dakle, potvrda ovog uvjeta, koja je vrlo jednostavna, ne dokazujeteorem. Taj pogrešan dokaz je procvjetao u kasnim 1800-tim kada ga je njemački ge-ometričar Richard Baltzer objavio u časopisu. Vjerovanje u ovaj dokaz je trajalo do1959. godine, kada je geometričar H. S. M. Coxeter napokon uvidio pogrešku. Odtada, Guthrie je potpisan kao pokretač ovog problema.

Prvu referencu je izdao Cayley 1878. godine. Godinu dana kasnije se pojavio Kempeovprvi ”dokaz”, na čije neispravnosti je ukazao Heawood jedanaest godina kasnije. Jošjedan promašen dokaz je izdao Tait 1880. godine, a na nedostatke u argumentima jeukazao Peterson 1891. godine. Ipak, oba neispravna dokaza imala su neke vrijednosti.Kempe je dokazao teorem o pet boja, te uveo pojam danas poznat kao Kempeovilanci, a Tait je pronašao ekvivalentnu formulaciju teorema o četiri boje u terminimabojanja vrhova trima bojama. Sljedeći veliki doprinos je dao G. D. Birkhoff 1913., čijije rad omogućio Franklinu da 1922. dokaže da je pretpostavka o četiri boje točna zakarte s najvǐse 25 regija. Istu metodu su koristili i drugi matematičari kako bi ostvarilinapredak u problemu o četiri boje.

Važan je takoder i rad Heescha koji je razvio dva važna sastojka potreba za konačandokaz - ”reducibilnost” i ”izbacivanje”. Iako su i drugi istraživači takoder proučavalikoncept reducibilnosti, ideja o ”izbacivanju”, presudna za neizbježni dio dokaza, Heeschovaje zasluga. Takoder je pretpostavio da će prikladan razvoj ove metode riješiti problemčetiri boje. Ovo su potvrdili Appel i Haken kada su izdali svoj dokaz teorema o četiriboje u dva članka 1977., a drugi zajedno s Kochom.

Povijesni pregled teorema o četiri boje 26

2 Preciznija definicija problema

Prije nego zakopamo dublje u povijest, važno je razumjeti teorem s obzirom na matem-atiku. Iako se teorem o četiri boje najčešće smatra temom teorije grafova, nekolikodrugih područja matematike se takoder mogu primijeniti. U zajedničkom radu EveryPlanar Map is Four Colorable, Kenneth Appel i Wolfgang Haken tvrde da je ”takomnogo područja matematike bilo uključeno u različitim pokušajima da se dokaže teo-rem o četiri boje da bi bilo nemoguće sve ih raspraviti u ovom radu”.

Definicije koje su nam potrebne da bismo pristupili problemu s perspektive teorijegrafova smo već naveli u prvom poglavlju.

Teorem 2.1 Svaki planaran graf je 4- obojiv.

Definirajmo još neke pojmove:

Karta- cjelina koja se sastoji od medusobno povezanih država ili regija.Granica svake države- zatvorena krivulja koja se može podijeliti na onoliko dijelova-graničnih linija ili bridova, koliko ta država ima susjeda.Susjedne države- dvije države sa zajedničkim bridom. Bridovi se sastaju u vrhovimaili čvorovima.

Slika 2.3: Karta

Prevodenje s teorije grafova na kartografiju je smjesta napravljeno ističući da svakivrh može reprezentirati zemlju na karti, a brid spajajući dva vrha može predstavl-jati granicu izmedu dvije susjedne zemlje. Robin Thomas dalje pojednostavljuje ovukorelaciju koristeći možda vǐse vizualni pristup. On sugerira da ”za svaku zemlju od-aberemo glavni grad (proizvoljnu točku unutar zemlje) i spojimo glavne gradove svihparova susjednih zemalja. Tako dolazimo do pojma planarnog grafa”.

Slika 2.4: Korelacija izmedu kartografske interpretacije i interpretacije teorije grafova

Povijesni pregled teorema o četiri boje 27

3 Cayleyjev početak

Nakon DeMorganove smrti 1871. godine, problem četiriju boja jedva je primio ikakvupozornost i na neko vrijeme pada u zaborav, sve dok ga 13. srpnja 1878. na uglednomsastanku Londonskog matematičkog društva, Britanac Arthur Cayley nije ponovnouspostavio i time ponovno zapalio entuzijazam za problemom.Arthur Cayley bio je izvrstan student matematike i ponio titulu najmladeg profesorana Cambridgeu u cijelom 19. stoljeću. Cayley se iskreno zainteresirao za problemčetiriju boja i 1878. godine objavljuje prvi članak o njemu i to (sasvim razumljivo) ugeografskom, a ne matematičkom časopisu. U članku priznaje da nije uspio dokazatiteorem, ali dolazi do nekoliko za dokaz važnih zaključaka.Cayley je najprije dokazao sljedeće: ako je proizvoljna karta, koja se sastoji od n država,već obojena s četiri boje i ako toj karti dodamo jednu državu, tada se i nova karta odn+ 1 država može obojiti četirima bojama.

Slika 2.5: Arthur Cayley

Drugo, Cayley je zaključio kako je dovoljno promatrati samo karte kod kojih se usvakom čvoru dodiruju točno tri države, tzv. kubne karte. Naime, ako se u nekomčvoru susreće vǐse od triju država, tada se na taj čvor postavi mala kružna ”zakrpa”,oboji se tako dobivena kubna karta, a zatim se zakrpa jednostavno ukloni.

Slika 2.6: Kubna karta

I treće, ako je teorem o četiri boje istinit, tada se bojenje karata uvijek može izvesti natakav način da se sve države koje leže uz rub karte mogu obojiti najvǐse trima bojama.

Povijesni pregled teorema o četiri boje 28

Prvi zaključak usmjerio je Cayleya na dokaz metodom matematičke indukcije. Zan = 1, 2, 3, 4 tvrdnja je trivijalna. Dokazati korak indukcije (iz pretpostavke da se svekarte s n država mogu obojiti najvǐse četirima bojama slijedi da se i sve karte s n+ 1država mogu obojiti najvǐse četirima bojama), značilo bi dokazati teorem. Tada bi izočite tvrdnje za n = 4 slijedilo da teorem vrijedi i za n = 5, ako vrijedi za sve karte s 5država, vrijedio bi i za sve karte sa 6 država, itd. Dakle, tvrdnja bi vrijedila općenitoza sve karte.Ali, postoji bezbroj načina na koje se nekoj karti može dodati još jedna država. Kakoodrediti kojom bojom treba obojiti tu dodanu državu? U nekim situacijama je to lako,bojenje nove države izvodi se direktno bez ikakve promjene boja prethodno obojenihdržava. No, sigurno ima slučajeva kad to nije jednostavno, jer je potrebno promijenitiboju cijelom nizu prethodno obojenih država.Bilo je vrlo teško pronaći metodu za proširenje karte s n na n+1 država koja bi vrijedilaopćenito. Zato je Cayley rješavanju problema pokušao prići na drugi način: metodomkontradikcije.Zamislimo da je teorem lažan i da postoje neke karte koje se ne mogu obojiti samočetirima bojama. Medu svim takvim uljezima za koje je potrebno 5 ili vǐse boja,izaberemo onu s najmanjim brojem država. Nazovimo je najmanjim uljezom. Tadavrijedi sljedeća tvrdnja: najmanji uljez ne može se obojiti četirima bojama, ali svakakarta s manjim brojem država može. Dokazati teorem o 4 boje, sada znači dokazati danajmanji uljezi ne postoje.

Lako se može dokazati da najmanji uljez ne sadrži dvokut- državu koja ima samo dvasusjeda. Naime, uklonimo li takvoj državi jedan brid, dobit ćemo kartu s jednomdržavom manje, koja se može obojiti najvǐse četirima bojama. Vratimo li uklonjenibrid, nije nikakav problem odrediti boju za državu s dvama susjedima, jer su nam od4 na raspolaganju čak dvije boje.

Slika 2.7: Dvokut

Povijesni pregled teorema o četiri boje 29

Na sličan način dokazuje se da najmanji uljez ne može sadržavati niti jedan trokut-državu s trima susjedima. Pretpostavimo suprotno, uklonimo jedan brid i od 4 dobi-jemo 3 države. Takva karta se može obojiti četirima bojama, za 3 države potrošimo 3boje, vratimo uklonjeni brid i državu obojamo preostalom, četvrtom bojom.

Slika 2.8: Trokut

No, već u četvrtom koraku metoda uklanjanja i vraćanja brida pada u vodu. Proma-tramo li države s 4, 5 ili vǐse bridova taj postupak očito vǐse ne vrijedi.

Slika 2.9: Države s 4 i 5 bridova

Cayley je tu zapeo. No, u pomoć priskače čuveni Leonhard Euler. Zahvaljujući nje-govom proučavanju poliedara i zaključcima do kojih je došao stotinjak godina ranije,dokaz je ipak mogao napredovati.

Povijesni pregled teorema o četiri boje 30

3.1 Karte i Eulerovi poliedri

Eulerovo bavljenje poliedrima i njegova čuvena formula za poliedre (vidi teorem 4.1)odigrali su važnu ulogu u dokazivanju problema četiriju boja. Veza izmedu karte ipoliedara se lako uočava projiciramo li poliedar iz jedne točke na ravninu. Na taj načinmožemo dobiti ravninsku projekciju bilo kojeg poliedra, a Eulerova formula i daljevrijedi.

Slika 2.10: Projekcija kocke na ravninu

Zamislimo li da strane poliedra predstavljaju države, da su bridovi poliedra zapravogranice država, a vrhovi poliedra čvorovi, te ubrojimo li i vanǰstinu projekcije kao jednudržavu, tada Eulerova formula vrijedi i za tako dobivene karte i glasi ovako:

broj država - broj bridova + broj čvorova = 2

Obratno, svaku kubnu kartu možemo nacrtati na sferi i onda zamisliti da ona pred-stavlja neki poliedar. Pritom je problem bojenja sferne karte jednak problemu bojenjakarte na ravnini. Sasvim je svejedno ubrajamo li i vanǰstinu karte kao još jednu regijukoju treba obojiti ili ne.

Direktna posljedica Eulerove formule je tzv. formula prebrajanja. Pretpostavimo li dakarta ima d2 država koje imaju točno 2 susjeda, d3 država koje imaju točno 3 susjeda,d4 država s točno 4 susjeda, itd., tada je ukupan broj država na toj karti (računajući ivanǰstinu karte)

D = d2 + d3 + d4 + d5 + . . .

Zatim prebrojavamo bridove, a kako svaki brid pripada točno dvjema državama, slijedi:

2B = 2d2 + 3d3 + 4d4 + 5d5 + . . .

odnosno,

B = d2 +32d3 + 2d4 +

52d5 + . . .

Povijesni pregled teorema o četiri boje 31

I na kraju, s obzirom da promatramo kubne karte, tj. da se u svakom čvoru sastajutočno tri države, tada za broj vrhova V vrijedi:

3V = 2d2 + 3d3 + 4d4 + 5d5 + . . .

odnosno,

V = 23d2 + d3 +

43d4 +

53d5 + . . .

Uvrstimo li gornje izraze u Eulerovu formulu i sredimo li je, dobivamo formulu prebra-janja za kubne karte:

4d2 + 3d3 + 2d4 + d5 − d7 − d8 − 3d9 − . . . = 12

Iz formule se vidi da za kubnu kartu barem jedan od brojeva d2, d3, d4 i d5 mora bitiveći od 0. Drugim riječima, vrijedi sljedeći teorem.

Teorem 3.1 (Samo 5 susjeda) Svaka kubna karta ima barem jednu državu s 5 ili manjesusjeda.

Osim toga, ako karta ne sadrži niti jedan dvokut, niti jedan trokut i niti jedan kvadrat,tada mora sadržavati barem 12 peterokuta.Na sličan način se može zaključiti i sljedeće: ako se kubna karta sastoji isključivo odpeterokuta i šesterokuta, tada ona mora imati točno 12 peterokuta.I konačno, iako Arthur Cayley nije uspio dokazati da najmanji uljezi ne postoje, njegovaideja se ipak pokazala korisnom. Mogla se dokazati nešto slabija tvrdnja, teorem o šestboja.

Teorem 3.2 Svaka karta može se obojiti sa šest boja tako da susjedne države buduobojene različito.

Povijesni pregled teorema o četiri boje 32

4 Kempeovo rješenje

Iako je diplomirao pravo 1872. godine, Sir Alfred Bray Kempe (1849. - 1922.) bioje strastveni zaljubljenik u matematiku, te je bio prisutan na sastanku Londonskogmatematičkog društva kada je Arthur Cayley govorio o problemu četiriju boja.

Slika 2.11: Alfred Bray Kempe

Ideju svog dokaza Kempe je objavio sredinom 1879. godine u časopisu Nature, a kra-jem iste godine objavljuje cijeli dokaz u časopisu American Journal of Mathematics.U svom članku, Kempe predstavlja problem i daje nekoliko primjedbi na Cayleyevedoprinose.Kempe nastavlja dijeliti svoj članak u tri glavna odjeljka, jedan od kojih daje kratkorazumijevanje strukture dokaza. U tom odjeljku iskazuje princip koji je od bitnogznačaja za njegov pristup. On pronalazi da ”svaka karta nacrtana na jednostavnopovezanoj površini mora imati predio s manje od šest granica”. U terminima teorijegrafova, teorem smo naveli u prvom poglavlju (vidi propoziciju 4.1 c)).Koristeći taj rezultat i uzimajući u obzir sve dosad navedene zaključke, Kempe jepredložio sljedeću metodu bojenja bilo koje karte ili grafa, koja se može opisati u šestkoraka:

1. pronaći na karti državu koja ima 5 ili manje susjeda (ona svakako postoji po teo-remu 3.1 ”samo 5 susjeda”), odnosno pronaći vrh stupnja manjeg ili jednakog 5 (takavvrh mora postojati prema propoziciji 4.1 c))

2. pokriti tu državu (odnosno vrh) komadićem praznog papira sličnog ili istog oblika,samo malo većeg

Povijesni pregled teorema o četiri boje 33

3. produljiti sve granice koje dodiruju ”zakrpu” tako da se sastanu u jednoj točki napapiriću. Ovo ima učinak brisanja vrha i svih bridova njemu incidentnih, odnosno kaoda se odabrana država smanjila u jednu točku. Time se broj država na karti, odnosnobroj vrhova na grafu smanjio za 1

4. ponavljati prethodna tri koraka sve dok se početna karta ne smanji do karte s točnojednom državom, odnosno sve dok ne ostane samo jedan vrh na grafu

5. obojiti jedinu preostalu državu, odnosno vrh bilo kojom od 4 dane boje

6. obrnuti gornji proces skidajući ”zakrpe” unatrag sve dok se ne dobije početnakarta, odnosno dok se ne obnovi originalni graf. Pritom svaku ”vraćenu” državu, tj.obnovljeni vrh obojiti tako da se razlikuje od susjeda.

No, hoćemo li uvijek moći odrediti boju za ”vraćenu” državu? Kako dokazati daje moguće izvršiti šesti korak koristeći samo četiri boje? Koristeći Kempeove lance,naravno! Unutar ovog pitanja i odgovora je Kempe ostvario velike napretke u teorijigrafova.Problem na kojem je zapeo i Arthur Cayley nastaje ako država koju treba obojiti ima4 ili 5 susjeda, dakle ako je to kvadrat ili peterokut.

Povijesni pregled teorema o četiri boje 34

4.1 Kempeovi lanci

Kempeov lanac je ”lanac”, tj. niz vrhova koji su obojeni s dvije naizmjenične boje.Iako je ovaj pojam teško precizno definirati, Kempeove lance je najlakše razumjeti nakonkretnom primjeru. Ako je naša karta (graf), karta Sjedinjenih Država, tada je NewYork (plava), Pennsylvania (crvena), Ohio (plava), Indiana (crvena) i Illionois (plava)plavo-crveni Kempeov lanac, ali California se ne može dodati ovom Kempeovom lancu,jer ne dijeli granicu s niti jednom od ovih pet država.

Slika 2.12: Konkretan primjer Kempeovog lanca

Ovi Kempeovi lanci služe kao kralješnica Kempeovog dokaza teorema o četiri boje, kojije lako shvatiti s osnovnim znanjem teorije grafova. On odvaja svaki stupanj šestogkoraka u vǐse slučajeva i nastavlja kako bi potvrdio svaki od tih slučajeva koristećiKempeove lance. Kao dodatak svom dokazu teorema o četiri boje, uključio je nekeprimjedbe i specijalne slučajeve koje su predvidjeli oni koji su ranije objavljivali na tutemu.

Evo kako je Kempe riješio problem.

Pretpostavimo najprije da je država za koju treba odrediti boju kvadratnog oblika,dakle ima 4 susjedne države. Odaberu se one dvije države koje se medusobno nedodiruju. Neka su to na primjer crveni i zeleni susjedi države K.Svaka od tih dviju država započinje jednu ili vǐse crveno - zelenih grana (dijelova kartekoji se sastoje od niza država obojenih crveno ili zeleno). Mogu nastati dvije situacije.

1. slučaj 2. slučaj

Povijesni pregled teorema o četiri boje 35

U prvom slučaju niti jedna grana koja počinje crvenim susjedom od K nije povezanas donjom zelenom državom. Tada se crveni susjed države K može obojiti u zelenu bojui sve države u crveno-zelenim granama mogu zamijeniti boje. Tada nam za državu Kostaje na raspolaganju crvena boja.

Slika 2.13: Bojanje slučaja 1

U drugom slučaju, kada jedna od grana koje započinju s crvenim susjedom državeK završava sa zelenim susjedom države K, zamjenom boja nǐsta ne dobivamo. No,uočimo da lanac zapravo čini zatvorenu petlju: počinje i završava u K. Sada prebacimopažnju na druga dva susjeda: plavog i žutog. Uočimo da se niti jedan lanac jednog odtih dvaju susjeda ne može nadovezati na neki od lanaca drugog susjeda jer ih prekidaranije uočena petlja. Sada zapravo imamo situaciju kao u prvom slučaju: obojimoli plavog susjeda u žuto te cijeloj plavoj - žutoj grani zamijenimo boje, za državu Kpreostaje nam plava boja.

Slika 2.14: Bojanje slučaja 2

Time smo završili bojenje karte kada država, s koje je uklonjena ”zakrpa”, ima 4susjeda. Zapravo smo dokazali da niti jedan najmanji uljez ne sadrži kvadrat.

Kempe je zatim svu pažnju usmjerio na slučaj kada je vraćena država peterokut P .Peterokut okružuje 5 država već obojenih četirima bojama.

Povijesni pregled teorema o četiri boje 36

Sličnim načinom razmǐsljanja, Kempe odabire dva susjeda od P koji se ne dodiruju:neka su to žuti i crveni susjed iznad i ispod P kao na slici dolje.

Slika 2.15: Peterokut

Ako gornje žuto - crvene grane nisu povezane s donjim granama, tada im se boje moguzamijeniti, pa žuti susjed od P može postati crven, ostavljajući time žutu boju naraspolaganju za P .

Slika 2.16: Bojanje peterokuta

No, ako je žuto - crveni lanac s gornje strane povezan s crveno - žutim lancem ispod P ,tada Kempe uočava zelenog susjeda i promatra crveno - zelene i zeleno - crvene grane.

Slika 2.17: Žuto - crveni lanac povezan s crveno - žutim lancem

Povijesni pregled teorema o četiri boje 37

Ako gornji zeleno - crveni niz nije povezan s donjim crveno - zelenim, zeleni susjedod P može postati crveni i cijeli gornji niz smije promijeniti boje u crveno - zelene.

Slika 2.18: Promjena boja gornjeg niza

Time za P ostaje zelena boja.

Ako su pak lanci ponovo povezani, tada zajedno s prethodnim imamo dvije petlje isituaciju kao na slici dolje.

Slika 2.19: Povezani lanci

Uočimo sada kako je plavo - žuti niz s lijeve strane države P sigurno nepovezan s plavo -žutim nizom desno od P , pa bez problema smijemo izmijeniti boje plavo - žutom nizu sdesne strane. Isto tako, plavo - zeleni lanac s lijeve strane odvojen je od plavo - zelenoglanca s desne strane, pa lancu s lijeve strane smijemo izmijeniti boje. Napravimo liistovremeno obje izmjene boja, država P imat će susjede žute, crvene i zelene boje, pase ona može obojiti u plavo.

Slika 2.20: Obojeni lanac

Povijesni pregled teorema o četiri boje 38

Time smo završili bojenje karte kada je ”vraćena” država peterokut i dokazali smoda najmanji uljez ne sadrži peterokut. No, to je u kontradikciji s teoremom ”samo 5susjeda”, po kojem svaka kubna karta sadrži barem jednu državu s 5 ili manje susjeda,dakle teorem je dokazan.

Iako je bilo i drugih predloženih dokaza u to vrijeme, naime onih koje su napisali Baltzer(1885.) i Peter Guthrie Tait (1880.), Kempeu je dana zasluga za dokaz teorema o četiriboje.Gore opisana metoda danas je poznata pod nazivom metoda Kempeovih lanaca.Zanimljiva je i sasvim lijepo dokazuje da su 4 boje dovoljne za bojenje bilo kakve karte.Medutim, dokaz ne valja.

Povijesni pregled teorema o četiri boje 39

4.2 Greška u Kempeovom dokazu

Kempeov dokaz jedan je od najslavnijih dokaza u povijesti matematike i upravo greškau njemu čini taj dokaz tako poznatim. Zavarao je većinu matematičara tog vremena.Prilično je tragično što se Kempe pamti samo po njegovoj grešci, a ne po njegovomuspjehu, jer je od strane svojih suvremenika bio smatran vrsnim matematičarom. Osimtoga, mnoge Kempeove rezultate i ideje su koristili matematičari dvadesetog stoljećakako bi ostvarili velike napretke u teoriji grafova i teoremu o četiri boje. Čak štovǐse,važno je naglasiti da je trebalo čak jedanaest godina da se otkrije pogreška. Dakle, sig-urno je reći da je greška prilično suptilna. Unatoč tomu, Kempe će uvijek biti čuven popogrešnom dokazu teorema o četiri boje. Pogrešku u dokazu pronašao je 1890. godineekscentrični profesor matematike iz Durhama, Percy John Heawood (1861. - 1955.).Heawood je završio dva studija na Oxfordu: matematiku te klasični studij latinskog,grčkog i hebrejskog. Još za vrijeme studija zainteresirao se za problem bojenja karatai proučavao je Kempeov dokaz. U lipnju 1890. godine u časopisu Quaterly Journal ofMathematics Heawood objavljuje članak u kojem ”ruši” Kempeov dokaz.Heawood je pružio protuprimjer Kempeovom dokazu, ali taj protuprimjer nije opovrgnuoteorem, osporio je samo Kempeovu metodu dokazivanja teorema o četiri boje. Kempeje pokušao dokazati da kada vraća u početno stanje svoje ”zakrpane” države, uvijekmože ponovno obojiti kartu koristeći samo četiri boje. Imao je za dokazati samo dvaslučaja jer propozicija 4.1 c) jamči da svaki ”zakrpani” vrh ima stupanj manji od šest,a oni slučajevi sa stupnjem manjim ili jednakim tri su trivijalni. Kempeov dokaz zastupanj četiri je potpuno valjan, no Heawood je pronašao grešku u slučaju stupnja pet.Pogreška u dokazu javlja se pri samom kraju, u raspravi o odredivanju boje za pe-terokut P : . . . napravimo li istovremeno obje izmjene boja. . .Postoje karte kod kojih nije moguće provesti izmjenu boja istovremeno u dvama ra-zličitim lancima. Evo jedne takve karte:

Na toj karti je svaka od dvadeset i pet država obojena crveno, žuto i zeleno osim pe-terokuta P u sredini. Karta se sigurno može obojiti samo četirima bojama, no pokazujeda je Kempeova metoda dokazivanja pogrešna.

Pokušamo li odrediti boju peterokuta P slijedeći Kempeovu logiku, izmijenit ćemoboje dvaju P -ovih susjeda.

Povijesni pregled teorema o četiri boje 40

Svaka od tih dviju promjena dozvoljena je, izvodi li se sama za sebe. No, pokušamo liih izvesti istovremeno, dolazi do problema, jer dvije susjedne države (jedna označenaslovom A, koja je bila zelena, i druga, označena slovom B, koja je bila žuta) postajucrvene, što se ne smije dogoditi.

Alfred Kempe javno je priznao grešku, 1891. godine na sastanku Londonskog matematičkogdruštva. Ni Kempe ni Heawood nisu znali kako popraviti dokaz. Iako je Heawoodprikazao tu grešku u Kempeovoj metodi, priznao je da nije imao valjan dokaz teoremai da njegov članak nije konstruktivan. Ali, Heawoodov članak nije bio u potpunosti ne-produktivan i iskoristivši Kempeove ideje, dokazao je da vrijedi teorem o pet boja. Natemelju svog imena, očito teorem o pet boja iskazuje da je svaki planarni graf 5-obojiv(vidi teorem 4.2). Teorem možemo i drugačije iskazati.

Teorem 4.1 Svaka karta može se obojiti najvǐse s pet boja tako da su susjedne državeobojene različito.

Iako po iskazu slabiji, ovaj teorem je još jedna karika u nizu koja će biti neophodna udokazu polaznog problema. No, priču o Kempeu ćemo završiti tek kad spomenemo jošjednu njegovu ideju o načinu na koji možemo razmǐsljati o problemu. Zamislimo dase u svakoj državi na karti istakne jedna točka (kao što se npr. označava glavni grad),a zatim se točke koje predstavljaju susjedne države povežu linijama. Dobiven je graf.Problem odredivanja boja pojedinih država sveo bi se na to da se točkama pridružeslova abecede, ali tako da susjedne točke budu različito imenovane.

Povijesni pregled teorema o četiri boje 41

Važnost ove ideje leži u tome što se problem bojenja karata na ovaj način prevodi naproučavanje veza i teoriju grafova, moćan matematički alat kojim će problem četirijuboja napokon biti riješen. Ali tek uz pomoć računala.

Heawood je takoder ostvario napredak i na drugim relevantnim temama unutar pred-meta i to je promoviralo buduće napretke poznatih matematičara u dvadesetom stoljeću.Iako je Heawood ponovno zapalio četverobojni plamen u matematici kada je napisaosvoj članak, vrlo malo napredovanja je ostvareno u godinama koje su neposredno sli-jedile. U dvadesetom stoljeću, četverobojna opsesija je pomaknuta s uglavnom bri-tanske potrage do uključenja američkih matematičara, kao što su George Birkhoff,Oswald Veblen, Philip Franklin, Hassler Whitney i drugi.Ti su američki matematičari veoma doprinijeli teoremu kako se problem četiri bojesuzio na ostvarenje samo jednog zadatka koristeći dva principa svojstvena Kempeovomdokazu, a to su neizbježni skupovi i reducibilne konfiguracije. Oba se pojmamogu razumjeti koristeći osnove navedene gore u objašnjenju Kempeovog dokaza.

4.3 Neizbježni skupovi i reducibilne konfiguracije

Još je na početku dokazano da svaka kubna karta mora sadržavati barem jednu odovakvih država:

Skup takvih država naziva se neizbježni skup - na svakoj karti mora negdje postojatibarem jedna država iz tog skupa. Evo još jednog neizbježnog skupa:

Drugim riječima, ako kubna karta ne sadrži dvokut, trokut, ni kvadrat, tada morasadržavati peterokut, ali i ne samo to: ona mora sadržavati ili dva spojena peterokutaili spojeni peterokut i šeterokut.

Povijesni pregled teorema o četiri boje 42

Propozicija 4.1 c) izrečena u prethodnom poglavlju najbolje objašnjava ideju neizbježnihskupova. Ako je A skup koji sadrži sve vrhove sa stupnjem manjim od 6, tada je Aneizbježni skup u bilo kojem planarnom grafu. To je zato što skup vrhova u bilo kojemplanarnom grafu mora sjeći A, znači graf ne može izbjeći A. Pošto je već utvrdenoda dokazivanje Kempeovog manjkavog slučaja ”stupnja pet” završava dokaz teoremao četiri boje, matematičari su tražili neizbježne skupove koji su produžetci od A unastojanju da se ovaj zadatak učini lakšim.

Drugi smjer vodio je preko proučavanja najmanjih uljeza. Prateći Kempeov dokaz možese zaključiti da najmanji uljez ima barem 13 država. Te države ne mogu imati manjeod pet susjeda, odnosno dvokut, trokut i kvadrat se ne nalaze u najmanjem uljezu.Reducibilna konfiguracija je skup država koje se ne mogu pojaviti u najmanjem uljezu.Da je Kempe uspio dokazati da je peterokut reducibilan, dokazao bi teorem o četiri boje.

Kako bi shvatili reducibilne konfiguracije, važno je shvatiti pojam najmanji protuprim-jer ili najmanji uljez. Koristeći dokaz kontradikcijom, pretpostavimo da je teorem očetiri boje neistinit s namjerom da dodemo do apsurda. Ako je teorem o četiri bojeneistinit, tada postoji graf koji nije 4-obojiv, te zahtjeva pet boja. Iz toga slijedi damora postojati takav graf s minimalnim brojem vrhova, najmanji uljez.Primjeri takvih konfiguracija su vrhovi sa stupnjem najvǐse 4. Ako graf sadrži re-ducibilne konfiguracije, tada bilo koje bojenje ostatka grafa sa četiri boje može bitiprošireno, poslije neophodnog ponovnog bojanja, kako bi se obojio cijeli graf sa četiriboje. Ipak, kako je već napomenuto ranije, Kempe nije uspio učinkovito dokazati slučaj”stupnja 5” i taj slučaj je jedini stajao izmedu njega i točnog dokaza.Stoga je u dvadesetom stoljeću većina pokušaja da se dokaže ovaj teorem bila usmjerenana pronalaženje neizbježnog skupa reducibilnih konfiguracija. Takvo otkriće dokazujeteorem o četiri boje kako slijedi:budući da je skup neizbježan, svaki graf mora sadržavati barem jedan od njegovih el-emenata, i to reducibilne konfiguracije. Niti jedna od tih konfiguracija ne može bitisadržana u najmanjem uljezu.

Sužavanje teorema na jedan zadatak zvučalo je obećavajuće, ali su se početna očekivanjapostupno razǐsla od stvarnog napretka dok su se matematičari znojili nad ovim prob-lemom vǐse od samo nekoliko godina.

Kako je već spomenuto, napredak je stagnirao poslije Heawoodovog članka iz 1890.godine. Sljedeći tračak napretka je dao Oswald Veblen (1880. - 1960.), poznati ge-ometričar s Princetona. U prezentaciji danoj američkom matematičkom društvu utravnju 1912. godine, Veblen, koristeći koncepte iz Heawoodovog pristupa teoriji bro-jeva, objasnio je problem u obliku lineranih jednadžbi u konačnom prostoru.Veblenov rad nije ostvario velike napretke u dokazivanju, ali je utjecao na nekoliko nje-govih učenika da rade na teoremu o četiri boje, te je njihov doprinos daleko premašionjegov. Dva istaknuta učenika su George David Birkhoff (1884. - 1944.) s Harvarda iPhilip Franklin (1898. - 1965.) s MIT-a.Uspjeh u pronalaženju reducibilnih konfiguracija dramatično se promijenio 1913. go-dine zahvaljujući Georgu Davidu Birkoffu. Te godine Birkhoff u časopisu AmericanJournal of Mathematics objavljuje članak Reducibilnost karata. On je u najmanjimuljezima proučavao čitave prstenove država i dokazao da su reducibilni.

Povijesni pregled teorema o četiri boje 43

Birkhoff je analizirao Kempeov rad i pobolǰsao ga. Iako Birkhoff nije dokazao važanslučaj stupnja 5, našao je odredene velike reducibilne konfiguracije.Franklin je proširio Birkhoffov rad i 1920. godine dokazuje da je teorem o četiriboje istinit za sve grafove s najvǐse 25 vrhova. Birkhoffove metode su koristili mnogimatematičari izmedu 1913. i 1950. kako bi unaprijedili broj i veličinu reducibilnihkonfiguracija. Iako njihov rad svakako nije bio uzaludan, do 1950. skup svih poznatihreducibilnih konfiguracija je smanjen na one koje su nužne za stvaranje neizbježnogskupa. Zapravo, u to vrijeme jedini napredak u Franklinovoj donjoj granici je bio skoks 25 na 35.

Progresija je ǐsla kako slijedi :

1920. Philip Franklin 251926. C. N. Reynolds 271936. Philip Franklin 311938. C. E. Winn 351968. O. Ore i J. Stemple 40

Dakle, poslije 1968. godine, bilo koji protuprimjer teoremu o četiri boje mora imatibarem 41 vrh.Dok se ranije spomenuta potraga za reducibilnim konfiguracijama nastavljala, istovre-meno je postojala i potraga za neizbježnim skupovima. Cilj je bio povećati veličinu ikoličinu neizbježnih skupova, te povećati složenost reducibilnih konfiguracija, nadajućise da će se spojiti negdje, tvoreći neizbježni skup reducibilnih konfiguracija.Dakle, što se tiče neizbježnih skupova, cilj je bio naći neizbježni skup koji sadrži nekuvrstu transformacije slučaja stupnja 5, jer sam slučaj nije dokazan reducibilnim.Paul Wernicke, njemački matematičar, pokušao je konstruirati veće neizbježne skupove.U svibnju 1903. godine Wernicke je objavio članak u kojem dokazuje da bilo koji grafkoji ne sadrži vrhove sa stupnjem najvǐse 4, mora sadržavati barem jedno od sljedećeg:

1. Dva susjedna vrha, oba stupnja 52. Dva susjedna vrha, jedan stupnja 5 i drugi stupnja 6

Ovaj rezultat unaprijedio je traženje neizbježnih skupova. Franklinovi doprinosi za-pravo su proizašli iz njegove potrage za većim neizbježnim skupovima. Franklinovirezultati proširili su Wernickeove kako bi izgradili veći neizbježni skup. Franklin jedokazao da bilo koji graf koji ne sadrži vrhove sa stupnjem najvǐse 4, mora sadržavatibarem jedno od sljedećeg:

1. Vrh stupnja 5 susjedan je drugom stupnja 52. Vrh stupnja 5 susjedan je jednom vrhu stupnja 5 i drugom stupnja 63. Vrh stupnja 5 susjedan je dvama vrhovima stupnja 6

Dodatne neizbježne skupove konstruirao je Henri Lebesgue (1875. - 1941.).Godinu dana prije svoje smrti, Lebesgue je napisao članak o računalnoj formuli kojuje koristio za konstrukciju tih neizbježnih skupova.

Povijesni pregled teorema o četiri boje 44

Šezdesetih godina 20. stoljeća pokušaji pronalaženja neizbježnih skupova i re-ducibilnih konfiguracija odvijali su se još uvijek odvojeno i bili su medusobno neovisni.Najnoviji napredci na ovom području su ostvareni koristeći moderan pristup zvanizbacivanje.Kako bismo lakše razumjeli metodu izbacivanja promatrat ćemo planarni graf kaocjelokupan sustav sličan električnoj mreži, gdje vrhovi imaju pozitivne i negativnenaboje. Dodijelimo svakom vrhu početni naboj 6− i, gdje je i stupanj vrha. Označimos vi broj vrhova stupnja i, te neka je ∆ maksimalni stupanj grafa. Eulerova formulapovlači

∆∑i=1

(6− i)vi = 12.

Zatim prenesemo naboje izmedu vrhova na taj način da po 13

naboja svakog vrhastupnja 5 prenese na svakog od njemu susjednih vrhova stupnja 7 ili vǐse. Koristećisvojstva neizbježnih skupova, može se pokazati kako nakon ove raspodjele niti jedanvrh neće imati pozitivan stupanj, te nije moguće da ukupni naboj ostane nepromijenjen.

5 Dokaz pomoću računala

Metodu izbacivanja je prvi koristio Heinrich Heesch (1906.-1995.), matematičar saSveučilǐsta u Hanoveru, koji je započeo svoj rad na teoremu o četiri boje 1936. godine.Prema Kenneth Appelu i Wolfgang Hakenu, Heesch je možda bio ”prvi matematičar(poslije Kempea) koji je javno objavio vjerovanje da se pretpostavka o četiri boje možedokazati tako da se pronade neizbježni skup reducibilnih konfiguracija”.Pronalaženje takvog skupa dokazalo bi teorem o četiri boje: zato jer je skup neizbježan,svaka karta mora sadržavati barem jednu od konfiguracija iz tog skupa, a kako je svakakonfiguracija reducibilna, ona se ne može nalaziti u najmanjem uljezu. To pak značida najmanji uljezi ne postoje.Dalje, Heesch je tvrdio da će skup sadržavati oko deset tisuća konfiguracija koje ćeimati odredene restrikcije na svakoj od njih. Ovo se činilo nedostižno matematičarimatog vremena, ali rodenje brzih računala učinilo je takav dokaz mogućim.Heesch je sistematizirao reducibilnost, te uvodi pojam ”D-reducibilnost”, koji implicirareducibilnost.Složenost konfiguracije označava se veličinom svog prstena, što je broj vrhova koji ga”okružuju” ili ”omotavaju”. U to vrijeme, računala su bila samo toliko snažna da mogutestirati figure s veličinom prstena manjom od 12, što je bilo nedovoljno za dokaz.1964. godine, Heesch je trebao prilagoditi svoj algoritam računalnom programiranju,te je to i učinio uz pomoć Karl Dürrea, koji je u to vrijeme predavao u srednjoj školi.Heesch i Dürre su suradivali, te pokušali dokazati teorem o četiri boje pomoću računala.Njihova nova metoda je poprilično uzburkala matematički svijet.Oni prvi put koriste računalo u testiranju reducibilnosti raznih konfiguracija. Od tadaono postaje neizbježno pomagalo bez kojeg dokaz ne bi niti bilo moguće provesti.23. studenog 1965. godine pokrenut je prvi test na računalu CDC 1604A na Tehnološkominstitutu u Hannoveru. Prema današnjim standardima, tehnološke postavke su bileprapovijesne, ali su u to vrijeme bile poprilično otkriće.

Povijesni pregled teorema o četiri boje 45

Prvo su testirali konfiguraciju za koju se već znalo da je reducibilna, kako bi potvrdilitočnost svog programa. Sljedeći mjesec, prvi put u povijesti, konfiguracija veličineprstena 9, čija je reducibilnost bila nepoznata, bila je testirana pomoću računala. Ovoje zvučalo krajnje obećavajuće, ali su bili strogo ograničeni kapacitetom računala.U kasnim 1960-ima, Heesch i Dürre putovali su nekoliko puta u Sjedinjene Države kakobi radili s američkim matematičarima na mnogo jačim računalima i ta su putovanjarezultirala otkrićima, ali je problem i dalje ostao neriješen.Heesch se konačno vratio u Hannover s težnjom da sam završi dokaz teorema o četiriboje. Medutim, zbog neslaganja s njemačkom istraživačkom zajednicom i nedostatkafinancija, Heeschu su odbijeni resursi i računalna energija potrebna za završetak pro-jekta.1970. godine Heesch suraduje s mladim Wolfgangom Hakenom, koji se još kao stu-dent matematike, fizike i filozofije na Sveučilǐstu u Kielu u Njemačkoj, počeo bavititeoremom o četiri boje. Heesch i Haken susreli su se nekoliko u puta u SjedinjenimDržavama kako bi testirali Dürreov progam. Izmjenjivali su rezultate i suradivali dokje Heesch bio u Njemačkoj.U ranim 1970-im, kada su resursi postali problem, Haken je ”mahnuo bijelom zastavom”i na predavanju u Illinoisu, izjavio: ”računalni eksperti su mi rekli da je nemoguće nas-taviti ovako. Ali sada odustajem. Smatram da je ovo točka od koje se ne može nastavitibez računala”.Nakon što je čuo Hakenovu izjavu, Kenneth Appel, matematičar i računalni programersa Sveučilǐsta u Illinoisu, inzistirao je da on i Haken završe ovo putovanje. Haken jebio zastrašen svojim neznanjem na području računalnih znanosti, budući da će ve-liki dio dokaza uključivati programiranje. Appel ga je uvjerio da će on rukovati svomračunalnom implementacijom i u Hakenu se ponovno probudio entuzijazam, stoga sunastavili s riješavanjem problema.

Slika 2.21: Kenneth Appel i Wolfang Haken

Njihov rad se najprije velikim dijelom sastojao od traženja neizbježnih skupova, nakonkojeg nastavljaju provjeru reducibilnosti. Procjena da će neki od tih neizbježnihskupova biti veličine prstena 16, stvarao je problem Appelu i Hakenu, lako je vidjeti izašto.

Povijesni pregled teorema o četiri boje 46

Sljedeća tablica prikazuje broj mogućih bojenja za konfiguracije za veličine prstenaod 6 do 14:

veličina prstena 6 7 8 9 10 11 12 13 14bojenje 31 91 274 820 2461 7381 22144 64430 199291

Ova tablica sugerira da je za konfiguracije veličine prstena 14 nužno uzeti u obzir nemanje nego 199291 različitih bojenja okružujućeg prstena. Nije teško vidjeti da jeza testiranje reducibilnosti jedne konfiguracije veličine prstena 16, potrebna ogromnaračunalna snaga. Stoga, 1974. godine, njih dvojica traže pomoć Odjela za računalneznanosti sa Sveučilǐsta u Illinoisu, te tamo pronalaze apsolventa John Kocha, još jednogmladog i sposobnog programera i matematičara. Kochov zadatak je bio da ekonomiziratest reducibilnosti, to su nakon rješavanja nekih poteškoća u njihovom sustavu, on iAppel i učinili.Njih trojica zajedno su uspjeli sastaviti program za traženje neizbježnih skupova re-ducibilnih konfiguracija. Teorija i metode kojima su se pri tome koristili nisu bilenimalo jednostavne. Haken i Appel mukotrpno su i strpljivo radili na ispitivanju.Sljedeće godine, Haken je imao dosjetku koja je ostvarila ogroman napredak u njihovojmetodi. Taj napredak je omogućio restrikciju svih konfiguracija na veličinu prstenanajvǐse 14.U ljeto 1976. godine, nakon nekoliko stotina stranica razmatranih detalja i preko 1200sati rada na snažnom računalu, četverobojno osvajanje dolazi do zastoja.Appel i Haken prezentirali su svoj dokaz grupi matematičara na sastanku u Torontu.Ubrzo nakon njihove prezentacije, 22. srpnja 1976. godine objavili su dokaz problema,koji je opširan, ali se u osnovi svodi na provjeravanje reducibilnosti 1936 slučaja.S obzirom da je svaki od tih slučajeva zahtijevao da računalo izvodi do 500000 logičkihoperacija, valjanost dokaza i dalje ostaje pitanje. Mnogi matematičari ne smatraju todokazom, zato što je praktično nemoguće provjeriti dokaz bez računala. Usprkos svomskepticizmu, dokaz je zaista obilježen kao valjan.1977. godine, Appel, Haken i Koch objavljuju dokaz u časopisu Illinois Journal ofMathematics u kojem dolaze do neizbježnog skupa od 1482 reducibilne konfiguracije.Dokaz je objavljen u dva dijela, a uz tekst je priložen i materijal na mikrofilmu s 450stranica raznih dijagrama i detaljnih objašnjenja.No, njihov uspjeh biva poljuljan, jer 1981. godine Ulrich Schmidt otkriva pogreškuu programu. I premda se ona vrlo brzo ispravila, ipak dokaz nije bio lako prihvaćeni stalno su ga pratile sumnje. Zato 1986. Appel i Haken objavljuju članak detaljnoopisujući svoje metode, snažno braneći dokaz i odbacujući svaku sumnju, a tri godinekasnije objavljuju i knjigu pod naslovom Every Planar Map is Four Colorable.

Hakenov i Appelov dokaz nije u cijelosti završio istraživanje na teoremu o četiri boje.Kako je već spomenuto, mnogi matematičari nisu vjerovali dokazu, te su pokušali naćinačine kako bi unaprijedili njihove metode. To je ostvareno nekoliko puta izmedu 1976.godine i danas. Pronadeno je da su od 1936 konfiguracija, 102 od njih suvǐsna, i timese smanjio broj na 1834 konfiguracije. Taj broj je kasnije smanjen na 1482, ali i daljenedovoljno da uvjeri mnoge matematičare.

Povijesni pregled teorema o četiri boje 47

Zatim, 1996. godine, Neil Robertson, Daniel Sanders, Paul Seymour i RobinThomas su napravili prilično veliko pobolǰsanje u dokazu, smanjivši neizbježni skupna samo 633 konfiguracije. Iako njihove metode jako nalikuju Appelovim i Hakonovim,te su zapravo njihova pobolǰsanja, Robertson, Sanders, Seymour i Thomas trenutnoimaju najuspješniji dokaz teorema o četiri boje.

Posljednjih 150 godina, teorem o četiri boje zasigurno je imao veliki utjecaj na matematičkodruštvo. Od Guthrieve pretpostavke sve do dokaza iz 1996. godine, teorem je odveomatematičare na poprilično težak put i mnoge važne metode su proizašle iz tog teorema.Neki matematičari i dalje ne vjeruju rješenju koji su predložili Robertson, Sanders, Sey-mour i Thomas, koje zapravo predstavlja dokaz, jer ne može biti provjeren ”rukom”.Skeptici i dalje postavljaju pitanje: može li se dokaz dobiven pomoću računala uopćeprihvatiti kao pravi dokaz? Prava je šteta da dokaz nije bilo moguće provesti ”čistoteoretski”, kažu neki.Možda se nikada neće pronaći elegantan dokaz teorema o četiri boje, ali kao i uvijek,samo vrijeme može reći.

6 Topološki aspekt teorema o četiri boje

Problem pronalaženja minimalnog broja potrebnih boja se pojavljuje i u slučaju da jepovršina sfere ili zakrivljene plohe podijeljena na konačno mnogo susjednih regija.A. Dharwadker je 2000. godine obznanio kako posjeduje formalan dokaz ovog problema,koji koristi bogatu topološku i algebarsku pozadinu.Njegova osnovna i najvažnija primjena je fizikalna interpretacija dokaza koji direktnoimplicira postojanje standardnog modela elementarnih čestica.

Poglavlje 3

Zanimljivosti

1 Bojenje regija Sjedinjenih Američkih država

Svaki teorem najlakše možemo objasniti na primjerima. Na zanimljivom primjerupokazat ćemo primjenu teorema o četiri boje.

Na slici 3.1 je prikazana karta Sjedinjenih Američkih Država. Cjelokupna zbirka od3109 regija obojena je sukladno teoremu. Državne granice su dodane kako bi pružilebolji pregled, ali nemaju utjecaja na bojenje.

Slika 3.1: Četverobojna karta SAD-a

Kao što smo već vidjeli, teorem o četiri boje ima precizan matematički iskaz. Zapotrebe ovog primjera, dovoljno je pretpostaviti da je svaka regija jednostavan poligon.Dvije regije smatraju se susjednima, ako je njihovo sjecǐste linija. Ako se sijeku ujednoj točki, tada ih ne smatramo susjednim regijama.

48

Zanimljivosti 49

Gledajući tipični atlas otkrivamo da kartografi rijetko koriste minimalni broj bojapotrebnih za bojenje karata. Ipak, zanimljiv je izazov napisati program koji automa-tizira proceduru bojenja karte, te ga primijeniti na veliku, realnu kartu svijeta.

Ured za popis stanovnǐstva SAD-a vodi detaljnu evidenciju političkih granica i njihoveinformacije su lako dostupne u obliku datoteke (eng. shapefile)- zakonom zaštićeni ob-lik zapisa datoteke kreiran za pohranu kompliciranih geografskih informacija. Mnogetakve datoteke, uključujući i granice regija SAD-a, dostupne su putem njihove webstranice [9] .

Nakon što smo dobili datoteku koja opisuje granice regija SAD-a, učitali smo datotekuu program Mathematica i unijeli informacije o susjedstvu regija1. Informacije o sus-jedstvu se najlakše mogu pohraniti u obliku grafa. Svaki vrh predstavlja regiju i dvasu vrha spojena bridom kada su odgovarajuće regije susjedne. Graf koji prikazuje teinformacije je prikazan na slici 3.2.

Slika 3.2: Planarni graf susjedstva

Graf na slici gore nije samo graf susjedstva regija SAD-a, već je i planarni, što značida nema bridova koji se sijeku. Ovaj graf je kreiran koristeći centroide2 poligonakao vrhove, spajajući susjedne vrhove ravnom linijom uz neke prilagodbe kako bi seodstranila križanja. Kada su regije jednostavni poligoni, moguće je automatizirati pro-ces koristeći zakrivljene bridove, ali je to kompliciranije.Medutim, naše regije nisu sve spojene. Zapravo, jedna regija je morala biti predstavl-jena s dva posebna vrha. Posebno, dvije tamno plave regije s podebljanim rubovimai žutim vrhovima na slici 3.3, zapravo su dva dijela iste regije, St. Martin’s Parish uLouisiani. Budući da su ta dva dijela iste boje, naposljetku završavamo bojenje ci-jele karte s četiri boje. Ovo je jedino neophodno pojednostavljenje u grafu. Takoderpostoje dva otoka koji su dijelovi nepovezanih regija na kopnu.

1Primjeri su preuzeti iz [4].2točke smještene istovjetno s centrom gravitacije odgovarajućih homogenih tankih ploča ili tankih

žica. Centroidi su uključeni u analizu pojedinih problema u mehanici, na primjer pojava savijanja.

Zanimljivosti 50

Slika 3.3: St. Martin’s Parish

Zanimljivu primjedbu istaknuli su Bernard Lidicki i Robin Thomas. Naime, ovajgraf ima svojstvo da se vrhovi mogu izvući tako da svaki vrh ima stupanj najvǐse 4.Ovo je prvi korak u Kempeovom dokazu, gdje on dopušta vrhove stupnja najvǐse 5.

Poglavlje 4

Računalo u nastavi

1 Utjecaj tehnološkog napretka na učenje

matematike

Računalna tehnologija snažno je utjecala na obrazovanje u kratkom vremenu. Stoga jevrlo važno razumjeti kakav je utjecaj nove tehnologije na matematičko obrazovanje.Evolucija tehnologije potaknula je istraživanja koja su tražila odgovore na pitanjapoput: ”Kako interakcija s računalom utječe, oblikuje, potiče kognitivni razvoj umatematici? Kako pojedine karakteristike računalnog okruženja utječu na kognitivnofunkcioniranje? Kako sve to utječe na nastavnu praksu?”S obzirom na kompleksnost problema, korǐstenje tehnologije u poučavanju i učenjupromatralo se s raznih stanovǐsta. Nije jednostavno dati odgovor na gornja pitanja, sobzirom da svako stajalǐste ističe druge prednosti i mogućnosti koje se ne mogu unifi-cirati.

U prvom dijelu dat ćemo pregled prednosti i nedostatka uporabe računala i tehnologijes teorijskog aspekta u okviru nastavnog procesa. A trećem dijelu dat ćemo pregled us-pješne integracije računala u matematičkoj učionici s praktičnog metodičkog aspekta.

1.1 Tehnologija u školama

Anna Sfard i Uri Leron (1996.) razmatrali su utjecaj računalnog programiranja naučenje matematike. Autori su opisali kako prisutnost računala može promijeniti stan-dardni način shvaćanja težine problema.Proučavali su sljedeći problem:1. Dane su tri točke (2, 3), (−1, 4) i (0, 1) u ravnini. Nadite sredǐste i radijus kružnicekoja prolazi tim točkama.2. Napǐsite računalni program koji prihvaća bilo koje tri točke u ravnini (dane svojimkoordinatama), te vraća sredǐste i radijus kružnice koja prolazi tim točkama.

Problemi su slični, ali pažljiva analiza pokazuje da su različite prirode. Razlika jevezana uz računalo, ali važno je vidjeti točno kako je računalo uključeno.

51

Računalo u nastavi 52

Prvi problem uključuje odredivanje konkretne kružnice, njenog sredǐsta i radijusa uKartezijevoj ravnini. Učenik mora razraditi dane podatke kako bi izračunao koordinatei duljinu radijusa.Drugi problem uključuje pisanje programa kako bi se dobilo sredǐste i radijus za bilokoje dane tri točke. To znači da se sama procedura mora identificirati kao ishod, teizložiti kao pisano rješenje (prezentirano u programskom jeziku).Autori su pretpostavili da će učenicima biti lakše riješiti prvi problem, ali učenici subili uspješniji u rješavanju drugog problema.Čini se da prisutnost računala uzrokuje takvu promjenu. Različita okruženja kao štosu matematička učionica i računalni laboratorij, daju jedinstveni identitet i karaktergore navedenim problemima. Ovi rezultati pružaju dobar primjer kako računala mogupromijeniti prirodu problema.Interakcija s računalom pruža mnoge mogućnosti za aktivnosti koje uključuju ”matematičkinačin razmǐsljanja”, a koji je često zanemaren u nastavi. Na primjer, razdvajanje plani-ranja i izvršavanja teško je postići kroz klasične školske aktivnosti, ali prirodno proizlaziiz računalnog programiranja.Iako su mogućnosti koje se postižu primjenom računala u učionici velike, u posljednjihnekoliko godina mnoga su istraživanja pokazala da prisutnost računala nema uvijekočekivani učinak.

1.2 Konstruktivni pristup

U mnogim situacijama često se ističe uloga konkretne reprezentacije kao što su slike ilimodeli. Misaoni procesi sastoje se od transformacija i manipulacije fizikalnih ili kog-nitivnih modela pa u tom smislu, računala i računalni softveri pružaju različite načinedoživljavanja matematike. Računalo omogućuje konkretan doživljaj pomoću direktnemanipulacije matematičkih objekata i relacija. Novi modeli mogu se prilagodavati ilako mijenjati, pa je to promijenilo klasični odnos izmedu kognitivnih procesa i vizual-izacije. Apstraktni matematički objekti postali su konkretni i dobili su svoj vizualniprikaz. Taj fenomen