Upload
others
View
5
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Posouvající sílu v zadaném průřezu c lze vypočítat jako algebraický součet všech svislých sil po jedné straně průřezu. Postupuje-li se z levéstrany, do součtu se zahrnou kladně síly působící zdola nahoru, záporně síly působícíshora dolů. Při postupu z pravé strany je to naopak: kladné jsou síly působící shora dolů, záporné směřujízdola nahoru.
Posouvající síla V
Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
V
V
osanosníku
x
ba
Kladné směry kolmésložky vnitřních sil
VV
Rb
Ra
F
VV-+
+
Ohybový moment v zadaném průřezu c lze vypočítat jako algebraický součet statických momentůk bodu c všech sil a momentů působících po jedné straně průřezu. Postupuje-li se z levéstrany, do součtu se zahrnou kladně momenty působící ve smyslu chodu hodinových ručiček, záporně momenty otáčejícíproti ručičkám. Při postupu z pravé strany je to naopak: kladné jsou momenty proti ručičkám, záporné po ručičkách.
Ohybový moment M
Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
M M
osanosníku
x
b
Rb
a
Ra
FM M
b
Rb
a
Ra FM M
Kladné směrymomentové
složky vnitřních sil
tah
tah
tlak
tlak
-
+
+
Schwedlerovy vztahyJohann Wilhelm Schwedler(1823-1894)významný německý inženýr,např. Schwedlerova kupole
Diferenciální podmínky rovnováhy elementu v p íčné úloze
Rovnováha elementuv p íčné úloze
Obr. 7.22. / str. 102
Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
V
V+dV
M M+dM
x1
x2x
x dxz
m
q
dQ = q.dx -V + (V+dV) + q.dx = 0
-M + (M+dM) – V.dx + q.dx.dx/2 + m.dx = 0
→ qx
V −=d
d
→ mVx
M −=d
d0 pro
d
d == mVx
M
Rz = 0:
Σ Mi,x2 = 0:
Diferenciální podmínky rovnováhy elementu v p íčné úloze
Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
Závěry: ( )0
d
d =x
xfExtrém funkce f(x):
0d
d =−= qx
V
0d
d =−= mVx
M
Extrém V v průřezu, kde q=0
Extrém M v průřezu, kde V=0, V=m, V mění znaménko
→( ) ( )
1d∫ +−= CxxqxV
( ) ( ) 0)( , d2
=+= ∫ xmCxxVxM
C1, C2 z okrajových podmínek
a a
M=0a
M=0, V=0
→
Diferenciální podmínky rovnováhy elementu v p íčné úloze
Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
Závěry:
inte
gra
ce
de
riva
ce
M
V
-q
Derivačně – integrační schéma
Diferenciální podmínky rovnováhy elementu v p íčné úloze
Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
inte
gra
ce
M
de
riva
ce
1º q=konst.
q=0
2º
3º
1º
2º
0º
1º
Vx
M =d
d
qx
V −=d
d
Po
lyn
om
stupně
n
n+1
n+2
Extrém M může vzniknout:a) v podporových bodechb) v působištích osamělých sil
(znaménko V se mění skokem)c) pod spojitým zatížením v místě,
kde je V=0
M
Určení extrémních hodnot vnit ních sil
Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
p
p
Mmax
Mmax
V
2º
1º
1º
0º
M
V
+
-
+
+
-
+
Nebezpečný (kritický) průřez.
Nejjednodušší zatěžovací stavy konzoly
Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
Rbz
a
F
l
Výpočet reakcí
Posouvající síla
Ohybový moment
( )↑= FRbz
( ) ( ) FVV xa −== =0
( ) ( ) FVV lxb −== =
( ) ( ) 00 == =xa MM
( ) ( ) lFMM lxb .−== =
b( )lFM by .=Mby
-
-
x
( ) FVL
x −== konst.
lx ,0∈
( ) xFML
x .−=-F
-F.l
xF.−M
V
( ) MML
x −=
Nejjednodušší zatěžovací stavy konzoly
Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
a
l
b
MbyM
-
xlx ,0∈
Výpočet reakcí
Posouvající síla
Ohybový moment
0=bzR
( ) ( ) lVV xa == =0
( ) ( ) 0== =lxb VV
( ) ( ) MMM xa −== =0
( ) ( ) MMM lxb −== =
( )MM by =
( ) 0=L
xV
-M
0
M
V
( ) 2
.
2..
2xqx
xqML
x −=−=
Nejjednodušší zatěžovací stavy konzoly
Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
Rbz
a
l
b
Mby
q = konst.Q = q.l
-
2º
-
xlx ,0∈
Výpočet reakcí
Posouvající síla
Ohybový moment
( )↑== lqQRbz .
( ) ( ) 00 == =xa VV
( ) ( ) bzlxb RlqVV −=−== = .
( ) ( ) 00 == =xa MM
( ) ( ) bylxb Mlq
MM −=−== = 2
. 2
( )2
.
2.
2lql
QM by ==
( ) xqVL
x .−=
xq.−
( ) 8
. 2
2
lqM lx
−==
2
. 2lq−lq.−
0
8
. 2lq−M
V
Nejjednodušší zatěžovací stavy konzoly
Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
M
Rbz
a
l
b
Mby
q2
.lqQ =
3º
-
-
xlx ,0∈
V
Výpočet reakcí
Posouvající síla
Ohybový moment
( )↑==2
.lqQRbz
( ) ( ) 00 == =xa VV
( ) ( ) bzlxb Rlq
VV −=−== = 2
.
( ) ( ) 00 == =xa MM
( ) ( ) bylxb Mlq
MM −=−== = 6
. 2
( )6
.
3.
2lql
QM by ==
( )l
xq
l
xxqxqV xL
x .2
.
2.
..
2
. 2−=−=−=
( )l
xqx
l
xqM
L
x .6
.
3.
.2
. 32 −=−=
( ) 162
. 2
3
lqM lx
−==
( ) 8
.2
lqV lx
−==
2
.lq−0
8
.lq−2º
0 ( ) 2
.32 ..
81
4lqM
lx−==
162
. 2lq−
2..81
4lq− 6
. 2lq−
l
xq.
Nejjednodušší zatěžovací stavy konzoly
Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
Rbz
a
l
b
Mby
q
3º
2º
-
-
M
V
2
.lqQ =
xlx ,0∈ l-x
Výpočet reakcí
Posouvající síla
Ohybový moment
( )↑==2
.lqQRbz
( ) ( ) 00 == =xa VV
( ) ( ) bzlxb Rlq
VV −=−== = 2
.
( ) 0=aM ( ) byb Mlq
M −=−=3
. 2
( )3
..
3
2.
2lq
lQM by ==
( ) ( )( )( ) ( )
l
lxxq
l
xlxlq
lqxlqRV x
bz
P
x
.2
.2..
2.
..2
.
2
.
−=−−++−=−+−=
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
l
lxxq
l
xlqlqxl
lq
xl
l
xlqMxlRM bybz
P
x
.6
.3..
.6
.
3
..
2
.
3.
2.
..
232
2
−=−−−−+==−−−−−+=
( ) 2
3..
81
4lqM lx
−==
( ) lqV lx..
8
32
−==
( ) 2
.32 ..
81
14lqM
lx−==
2
.lq−
0
lq..8
3−
0
2..81
4lq−
2..81
14lq− 3
. 2lq−
( )l
xlq −.
( ) ( ) azxa RVV == =0
( ) xRM az
L
x .=
Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků
Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
b
Rbz
a
Raz
F
c d
l
Výpočet reakcí
Posouvající síla
Ohybový moment
( )↑=l
dFRaz
. ( )↑=l
cFRbz
.
( ) ( ) bzazlxb RFRVV −=−== =
( ) ( ) 00 == =xa MM
1
( ) ( ) 0== =lxb MM
( ) ( ) cRMM azcx .1 == =
-
+
+
xlx ,0∈
cx ,0∈lcx ,∈
( ) az
L
x RV =( ) FRV az
L
x −=
cx ,0∈
lcx ,∈ ( ) ( )cxFxRM az
L
x −−= ..
( ) ( )xlRM bz
P
x −= .
( ) ( ) dRMM bzcx .1 == =
l
dF.
l
cF.−
dRcR bzaz .. =M
V
( ) ( )xlRM bz
P
x −= .
( ) ( ) cFcxFxRM az
L
x ... =−−=( ) xRM az
L
x .=
( ) bzaz
L
x RFRV −=−= .2
( ) 0=−= FRV az
L
x
Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
c
b
Rbz
a
Raz
F
c d
l
Výpočet reakcí
Posouvající síla
Ohybový moment
( )↑= FRaz ( )↑= FRbz
( ) aza RV =
( ) bzb RV −=
21
F
-
+
+
Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků
M
V
xlx ,0∈ cx ,0∈
dccx +∈ ,
ldcx ,+∈
( ) az
L
x RV =
F
F−cx ,0∈
dccx +∈ ,
ldcx ,+∈
( ) 0=aM
( ) 0=bMcF.
( ) ( )xlRM bz
P
x −−= .
( ) ⎟⎠⎞⎜⎝
⎛ −=−= 1.l
dFFRV az
L
x
lx ,0∈
Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
c
b
Rbz
a
Raz
F
c d
l
21
F
-
+
+
-
+
Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků
x
M
V
( ) ( )( )lclxxd
l
F
cxFxRM az
L
x
....
..
+−==−−=
( ) xRM az
L
x .=
( ) az
L
x RV =
Výpočet reakcí
Posouvající síla
Ohybový moment
( )↑=l
dFRaz
. ( )↓=l
dFRbz
.
( ) aza RV =
( ) azb RV =
cx ,0∈dccx +∈ ,
ldcx ,+∈
( ) az
L
x RV =
cx ,0∈dccx +∈ ,
ldcx ,+∈
( ) 0=aM
( ) 0=bM
l
dF.
l
dF.
⎟⎠⎞⎜⎝
⎛ −1.l
dF
( ) ( )l
dcFMM cx
..1 == = ( ) ( )
l
dcFMM
P
dcx
..2 −== +=
l
dcF ..−
( )l
xMxRM az
L
x
.. −=−=
Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
b
Rbz
a
Raz
M
c d
l
Výpočet reakcí
Posouvající síla
Ohybový moment
( )↓=l
MRaz ( )↑=
l
MRbz
1
+
-
-
Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků
M
V
( )l
MRV az
L
x −=−== konst.
( ) ( )l
MVV xa −== =0
( ) ( )l
MVV lxb −== =
( ) ( )xll
MMxRM az
L
x −=+−= ..
cx ,0∈lcx ,∈
l
M−
( )l
cMM cx
.1 −== ( )
l
dMM cx
.2 ==
l
cM .−
l
dM .0 0
( ) ( )22
..22
.. xxl
qxqxRM az
L
x −=−=
20
2. max
lxx
lq =→=⎟⎠
⎞⎜⎝⎛ −
( ) ⎟⎠⎞⎜⎝
⎛ −=−= xl
qxqRV az
L
x 2..
q = konst.
Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
b
Rbz
a
Raz
l
Q = q.l
p
2º
+
+
-
Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků
lx ,0∈ x
2
.lq−0
8
. 2lq
M
V
0
2
.lq
Výpočet reakcí
Posouvající síla
Ohybový moment
( )↑==2
.
2
lqQRbz
( ) ( ) 2
.0
lqVV xa == =
( ) ( ) bzlxb Rlq
VV −=−== = 2
.
( ) ( ) 00 == =xa MM ( ) ( ) 0== =lxb MM
( ) ( ) 8
. 2
2 max
lqMM xlx
===
( )↑==2
.
2
lqQRaz
llx .577350,0.3
3max == &
( ) ( )222
.3..6.2
.
6
.
2
.xl
l
q
l
xqlqxqRV x
az
L
x −=−=−=
Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
b
Rbz
a
Raz l
p
2
.lqQ =
-
+
+
Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků
M
q
3º
x lx ,0∈
V
Výpočet reakcí
Posouvající síla
Ohybový moment3
.lq−6
.lq
24
.lq2º
0
2..81
4lq
0
l
xq.
2..81
5lq
( )↑==3
..
3
2 lqQRbz( )↑==
6
.
3
lqQRaz
( ) ( ) 6
.0
lqVV xa == =
( ) ( ) bzlxb Rlq
VV −=−== = 3
. ( ) 24
.2
lqV lx
==
( ) →=− 0.3..6
22xl
l
q
( )
( )22
3
..6
..6
.
6
..
3.
2
..
xll
xq
l
xqxlqxxqxRM x
az
L
x
−==−=−=
( ) 2
3..
81
4lqM lx
==
( ) 2
.32 ..
81
5lqM
lx==( ) 2..
27
3max
lqM x =2..27
3lq
( ) ( )( )( ) ( )22 .2..6.3.
.62.
..6
.
2
.
lxlxl
q
l
xlxlq
lqxlqRV x
bz
P
x
+−=−−++−=−+−=
llx .422649,03
31.max =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛ −= &
Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
b
Rbz
a
Raz l
p
2
.lqQ =
-
+
+
Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníkůq
M
V
xlx ,0∈ l-x
Výpočet reakcí
Posouvající síla
Ohybový moment
( )↑==3
..
3
2 lqQRaz
( ) ( ) 3
.0
lqVV xa == =
( ) ( ) bzlxb Rlq
VV −=−== = 6
.
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )lxlx
l
xq
l
xlqxl
lq
xl
l
xlqxlRM bz
P
x
.2...6
.
.6
..
6
.
3.
.2
..
3
2
−−=−−−+==−−−−+=
( ) 24
.2
lqV lx
−==
0
( )l
xlq −.
0
( )↑==6
.
3
lqQRbz
24
.lq−6
.lq−
3
.lq
( ) 0.2..6.3..6
22 =+− lxlxl
q
2..81
5lq
2..81
4lq
( ) 2..27
3max
lqMP
x =2..27
3lq
( ) mRV az
L
x −=−== konst.
Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
b
Rbz
a
l
Výpočet reakcí
Posouvající síla
Ohybový moment
( )↓== ml
MRaz
( )↑== ml
MRbz
( ) 0.... =+−=+−= xmxmxmxRM az
L
x
m = konst.M = m.l
Raz
-
Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků
M
V
( ) ( ) mVV xa −== =0
( ) ( ) mVV lxb −== =m−
x
Šikmý nosník
Výpočet nosníku v rovinné úloze
b
Rbz
a
Raz
2
1
F1
F2
Rax=0γ
+
N
NV
V
M
M osa
nosníku
x
γ
γsin.l
γcos.l
l
Šikmý nosník – zatížení vlastní tíhou
Výpočet nosníku v rovinné úloze
b
a
γ
Spojité zatížení působící svisle podél střednice nosníku – na jednotku šikmédélky
[ ]šikq kN/m.konst=
Rbz
Raz
Rax=0
γsin.l
γcos.l
l
Šikmý nosník – zatížení vlastní tíhou
Výpočet nosníku v rovinné úloze
Rozklad zatížení na složku rovnoběžnou s osou nosníku a kolmou (příčnou) k ose nosníku
γ
γ
γ
γcos.qq =′ γsin.qq =′′
q ′′
q ′[ ]šikq kN/m.konst=
Šikmý nosník - zatížení větrem
Výpočet nosníku v rovinné úloze
b
Rbz
a
Raz
Rax
q = konst.
Spojité zatížení působící kolmo na nosník
γγsin.l
γcos.l
l
Šikmý nosník – zatížení sněhem
Výpočet nosníku v rovinné úloze
b
a
Spojité zatížení působící na vodorovný (půdorysný) průmět nosníku
γ
[ ]vodq kN/m.konst=
Rbz
Raz
Rax=0
γsin.l
γcos.l
l
Šikmý nosník – úprava zatížení sněhem
Výpočet nosníku v rovinné úloze
b
a
lqlq .. =l
lqq
.=
γ
[ ]vodq kN/m.konst=
Rbz
Raz
Rax=0
γsin.l
γcos.ll =
l
[ ]šikq kN/m.konst=
→γcos.qq =nebo
azR⇒
Šikmý nosník
Dva způsoby grafického znázornění intenzityspojitého zatížení na šikmém nosníku
Obr. 7.49. / str. 121
Výpočet nosníku v rovinné úloze
Postup ešení:
b)
bzR⇒
0=zR
0=∑ iaM
0=∑ ibM
a)
c) kontrola
d) Je-li zadáno q, pak γcos.qq =e) Rozklad reakcí na příčné a osové složky
γsin.aza RR =′′ γsin.bzb RR =′′γcos.aza RR =′ γcos.bzb RR =′
f) Rozklad zatížení na příčné a osové složky
γcos.qq =′ γsin.qq =′′γcos.PP =′ γsin.PP =′′
g) Dále řešení příčné a osové úlohy
P íklad 4.20
Zadání a ešení p íkladu 4.20Obr. 7.50. / str. 122
Výpočet nosníku v rovinné úloze
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Zadání: pro oba zatěžovací stavy téhožšikmého nosníku určit svislé reakce, rozložit rovinnou úlohu na příčnou a osovou a stanovit průběhy vnitřních sil.