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8/17/2019 Pontos, Direções e Planos Cristalográficos v18.03.2015
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5 – Pontos, Direções e PlanosCristalográficos
Prof. Carlos Angelo Nunes
Disciplina : Ciência dos Materiais
!M "#$" – %#$5M$
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& 'ora( esta)elecidas con*enções para designar as locali+ações de pontos,direções e planos no interior de u(a clula unitária.
& A )ase para deter(inaç-o dos *alores dos ndices a clula unitária co(u( siste(a de coordenadas, /ue consiste e( três ei0os 10,2,+3 co( orige(e( u( dos *rtices e coincidentes co( as arestas da clula unitária.
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Coordenadas dos pontos
& A posiç-o de /ual/uer ponto locali+ado no interior de u(a clula unitáriapode ser especificada e( ter(os das suas coordenadas na for(a de
(4ltiplos fracionários dos co(pri(entos das arestas das clulas unitárias1isto , e( ter(os de a, ) e c3.
& ! /ue significa u( ponto de coordenadas $ 6 7
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& 8specifi/ue as coordenadas dos pontospara todas as posições at9(icas e(u(a clula unitária CCC.
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Direções Cristalográficas
& As seguintes etapas s-o consideradas para deter(inaç-o dos ndicesdirecionais:
$ ;( *etor co( co(pri(ento con*eniente posicionado de (aneira tal /ue elepasse atra*s da orige( do siste(a de coordenadas<
% =-o deter(inados os co(pri(entos das pro>eções do *etor so)re cada u( dostrês ei0os< esses são medidos em termos das dimensões a, b e c da célula unitária;
" 8sses três n4(eros s-o (ultiplicados ou di*ididos por u( fator co(u(, para
redu+ilos aos (enores *alores inteiros<? !s três ndices, se( separaç-o por *rgulas, s-o colocados entre colc@etes:u*B.
& Pode @a*er ndices negati*os7
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& Para algu(as estruturas cristalinas, *árias direções n-o paralelas co(ndices diferentes s-o cristalografica(ente e/ui*alentes< isso significa /ueo espaça(ento entre os áto(os ao longo de cada direç-o o (es(o.
& As direções a)ai0o s-o cristalografica(ente e/ui*alentes no siste(a c4)ico.
& As direções [100] e [001] são equivalentes nos cristais com simetriatetragonal?
]100][001][010][010][001][100[−−−
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Cristais e0agonais : ;tili+aç-o de u( siste(a de coordenadas co( /uatro ei0os,ou de MillerEra*ais.
!s três ei0os a$, a% e a" est-o contidos e( u( 4nico plano 1c@a(ado plano )asal3 efor(a( Fngulos de $%#o entre si. ! ei0o + perpendicular a esse plano )asal.
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Con*ers-o do siste(a de três ndices para o siste(a de /uatro ndices:
´)´2(3
1
vuu −=
)( vut +−=
´)´2(3
1
uvv −=
´ww =
´]´´[ wvu ][uvwt
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8( todos os siste(as cristalinos, G e0cess-o do siste(a @e0agonal, os planos cristalográficoss-o especificados por três ndices de Miller na for(a 1@Hl3. Iuais/uer dois planos paralelosentre si s-o e/ui*alentes e possue( ndices idênticos.
O procedimento utilizado para determinar os valores dos índices h, k e l é o seguinte:
$ =e o plano passa atra*s da orige( /ue foi selecionada, ou outro plano paralelo de*e serconstrudo no interior da clula unitária (ediante u(a translaç-o apropriada, ou u(a no*aorige( de*e ser esta)elecida no *rtice de outra clula unitária.
% Desse (odo, ou o plano cristalográfico intercepta ou ele paralelo a u( dos três ei0os< oco(pri(ento da interseç-o planar a cada ei0o deter(inado e( ter(os dos parF(etros darede a, ), c.
Planos Cristalográficos
" !s *alores in*ersos desses n4(eros s-o o)tidos. ;( plano paralelo a u( ei0o pode serconsiderado co(o tendo u(a interseç-o no infinito e portanto, u( ndice igual a +ero.
? =e necessário, esses três n4(eros (udados para o con>unto de (enores n4(eros inteirospela (ultiplicaç-o ou di*is-o por u( fator co(u(.
5 'inal(ente, os ndices inteiros, n-o separados por *rgula, s-o colocados entre parênteses.
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Planos Cristalográficos
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z
x
a b
c
?. Jndices de Miller 1$$#3
80e(plo:a b c
z
x
a b
c
?. Kndices de Miller 1$##3
$. Jnterceptos $ $ ∞
%. Leciprocos $$ $$ $∞$ $ #
". Leduç-o $ $ #
$. Jnterceptos $% ∞ ∞%. Leciprocos $6 $∞ $∞
% # #". Leduç-o % # #
80e(plo:
a b c
Planos Cristalográficos
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z
x
a b
c
?. Jndices de Miller 1"?3
80e(plo:$. Jnterceptos $% $ "?
a b c
%. Leciprocos $6 $$ $O% $ ?"
". Leduç-o " ?
Planos Cristalográficos
•
•
•
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Planos Cristalográficos
& ! arran>o at9(ico para u( plano cristalográfico, /ue fre/uente(ente deinteresse, depende da estrutura cristalina
& ;(a fa(lia de planos cont( todos os planos /ue s-o cristalografica(entee/ui*alentes, ou se>a, a/ueles /ue te( o (es(o e(pacota(ento at9(ico.
Iuais os planos da fa(lia $##Q da estrutura cristalina tetragonal7
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Densidade inear 1D3
!E=. 8( relaç-o ao n4(ero de áto(os, necessário le*ar e( consideraç-oo co(partil@a(ento dos áto(os co( as clulas unitárias ad>acentes.
direçãovetor doocompriment
direçãovetor o sobreátomosdenúmero DL
......
............=
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e0: densidade linear do Al na direç-o $$#
a R #.?#5 n(
a
$$#
S ato(s
Co(pri(.
$".5 n(
a%
%D −==
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Densidade Planar 1DP3
planodoárea planonoátomosdenúmero DP
............=
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=oluç-o: Para T U V$%WC o ferro te( estrutura CCC.
1$##3
raio do ferro ! R #.$%?$ n(
! "
"?a =
%D Clula
RDens. Planar R a%
$áto(os%D clula
Rn(%
áto(os$%.$(%
áto(osR $.% 0 $#$V
$%
! "
"?área
%D clula
Densidade Planar do 'e: Plano 1$##3
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$ áto(o no plano clula
""" %
%
! "
$!
"?%
a"ah%área =
===
Xto(os no plano
Xto(os aci(a do plano
Xto(os a)ai0o doplano
ah%"=
a%
% D c , l u l a
$
R Rn(%
áto(osY.#(%
áto(os#.Y# 0 $#$V" %!
"
$Dens. Planar R
áto(os %D clula
area
%D clula
Densidade Planar do 'e: Plano 1$$$3
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8struturas Cristalinas Co(pactas
& C'C e CP : 'ator de e(pacota(ento R #,Y?.
& 8stas duas estruturas pode( ser descritas e( ter(os de e(pil@a(ento de
planos co(pactos. A diferença entre as duas está na se/uência dessee(pil@a(ento.
HCP: ABABABAB
C!C: ABCABCABC
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8struturas Cristalinas Co(pactas
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8struturas Cristalinas Co(pactas
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e0a(ple a$ a% a" c
?. MillerEra*ais Jndices 1$#$$3
$. Jntercepts $ ∞ $ $%. Leciprocals $ $∞$ #
$$
$$
". Leduction $ # $ $
a%
a"
a$
z