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Aula 7 - Planos e Direções Cristalográficas
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Pontos, Direes e Planos para o Sistema Cbico
Trata-se de um esquema reticulado necessrio para
especificar pontos num determinado "espao" com
dimenses.
Cartesiano um adjetivo que se refere ao matemtico
francs e filsofo Descartes que, entre outras coisas,
desenvolveu uma sntese da lgebra com a geometria
euclidiana, que permitiu o desenvolvimento de reas
cientficas como a geometria analtica, o clculo e a
cartografia.
O sistema de coordenadas cartesiano
B (6,5)
C (4,5; -3,5)
A (-5,3)
D
A
B
C
D (0,0)
Determine as direes A, B, C e D.
Determine as posies:
As posies so
representadas por
nmeros inteiros
ou no, separados
por vrgulas.
0, 0, 1
0, 0, 0
0, 1, 0
1, 0, 0
1, 0, 1
0, 1, 1
1, 1, 1
1,1,0
x, y, z
1
2 3
4
5
7 8
9 6
, ,
, ,
0, 0, 0
0, 1, 0
0, 1, 1
1, 1, 1
, , 1
, 1,
, 0,
, ,0 , ,
I
II
III
IV
V
Exerccio
Para a clula unitria mostrada na figura (a), localize
os pontos que possuem coordenadas 1 .
qa = (0,48 nm) = 0,12 nm
Eixo X ponto N
rb = 1(0,46 nm) = 0,46 nm
Paralelamente ao eixo Y ponto O
sc = (0,40 nm) = 0,20 nm
Paralelamente ao eixo Z ponto P.
N O
P ( 1 )
0,46 nm
0,20 nm
Uma direo cristalogrfica definida como uma
linha entre dois pontos, ou um vetor, com seu
ponto inicial na origem de um sistema cartesiano
de referncia e seu ponto final em uma posio
qualquer, dependendo da direo considerada.
Direes Cristalogrficas
Direes nos Cristais
a, b e c definem os eixos de
um sistema de coordenadas
em 3D. Qualquer linha (ou
direo) do sistema de
coordenadas pode ser
especificada atravs de dois
pontos: um deles sempre
tomado como sendo a
origem do sistema de
coordenadas, geralmente
(0,0,0) por conveno;
A posio de um ponto
do espao descrita
fornecendo-se sua
localizao relativa a trs
eixos coordenados
perpendiculares entre si,
que se interceptam na
origem O.
Direes Cristalogrficas
Dizemos que um ponto P do espao tem coordenadas
retangulares (ou cartesianas) x, y, z.
Direes Cristalogrficas
Se P= (x,y,z) um ponto
qualquer do espao, o
vetor posio:
pode ser escrito na
forma:
e os nmeros x, y e z
chamam-se
respectivamente,
componentes i, j e k.
OPR
zkyjxiR
Direes Cristalogrficas
1221 RRPP
kzjyixkzjyixPP 11122221
kzzjyyixxPP 12121221
Se P1 = (x1,y1,z1) e P2 = (x2,y2,z2) so dois pontos
quaisquer do espao, a distncia entre eles o
comprimento do vetor de P1 a P2. 21PP
Direes Cristalogrficas
Direes Cristalogrficas
Para descrever a
estrutura cristalina
necessrio escolher
uma notao para
posies, direes e
planos.
Posies so
definidas dentro de
um cubo com lado
unitrio.
Direes Cristalogrficas
So representadas entre colchetes;
Direes nos Cristais
Determine os pontos da Origem; Determine os pontos da Extremidade; Subtraia a Extremidade da Origem; Reduza a nmeros inteiros; Escreva entre colchetes;
So representadas entre colchetes;
Se a subtrao der negativa, coloca-se uma barra sobre o nmero.
Direes nos Cristais
So representadas entre colchetes;
Quando passa pela origem.
Direes nos Cristais
So representadas entre colchetes;
Os nmeros devem ser
divididos ou
multiplicados por um
fator comum para dar
nmeros inteiros.
Direes nos Cristais
26
A simetria da estrutura cbica permite que as
direes equivalentes sejam agrupadas para formar
uma famlia de direes:
Direes para o Sistema Cbico
para as faces;
para as diagonais das faces;
para a diagonal do cubo.
No sistema CCC os
tomos se tocam ao
longo da diagonal do
cubo, que corresponde a
famlia de direes .
Ento, a direo a
de maior empacotamento
atmico para o sistema
CCC.
Direes para o Sistema CCC
No sistema CFC os
tomos se tocam ao
longo da diagonal da
face, que corresponde a
famlia de direes
Ento, a direo a
de maior empacotamento
atmico para o sistema
CFC.
Direes para o Sistema CFC
A adoo de um sistema de eixos permite a
localizao de tomos na rede bem como a
identificao de direes e planos cristalinos.
Coordenadas Cristalinas
Coordenadas de um tomo em
uma Rede Cbica Simples
As coordenadas do tomo vermelho so (a,a,0);
Podem ser escritas em termos dos parmetros de rede como
(1,1,0);
Devido regularidade da estrutura cristalina formam-
se colunas de tomos. Estas colunas atmicas podem
ser identificadas por sua direo.
Coluna de tomos na direo [010].
Direes Cristalinas
Certos processos fsicos envolvem a interao entre
os tomos dispostos segundo certas direes. Por
exemplo, um feixe de luz sendo transmitido atravs de
uma estrutura cristalina. O feixe percorre a estrutura
em uma dada direo e interage com os tomos. Uma
trao agindo em certa direo em uma estrutura
cristalina tende a afastar os tomos naquela direo.
A distncia entre os
tomos destas colunas
depende do tipo de rede e
da direo da coluna.
As diferentes distncias interatmicas das diferentes
direes resultam em diferentes respostas do material
ao estmulo externo. Certas propriedades dependem
das direes cristalinas em que so medidas, como o
ndice de refrao e o mdulo de elasticidade. A
dependncia que as propriedades exibem com a
direo cristalina em que so medidas d-se o nome
de anisotropia.
Uma direo cristalina identificada por trs ndices
entre colchetes [u,v,w]. Estes ndices representam um
vetor.
Direes Cristalinas
As coordenadas so determinadas [a,a,a/2];
Os parmetros de rede so descartados [1,1,1/2];
Os ndices so multiplicados por um fator que os transforme
no conjunto de menores
inteiros possveis;
As vrgulas so retiradas [221]; Caso algum ndice for negativo
uma barra colocada sobre o
respectivo ndice [201];
Direes Cristalinas
Existem direes cristalinas consideradas equivalentes
porque as colunas de tomos formadas naquelas
direes so semelhantes, ou seja, os tipos de
tomos, a densidade de tomos e a distncia entre
os tomos daquelas direes so iguais.
As direes cristalinas formam uma famlia de
direes, que so representadas pelos ndices de uma
das direes equivalentes entre os sinais < > .
Por exemplo, as direes [100], [010] e [001] so
equivalentes para o sistema cbico.
Tem-se a famlia .
Direes Cristalinas
A regularidade da estrutura cristalina tambm forma
planos de tomos. Estes planos so representados
por ndices, denominados ndices de Miller.
Planos Cristalinos
A distncia entre planos
cristalinos conforme o tipo de
rede e a direo perpendicular
ao plano cristalino.
Plano atmico (001) em rede CS.
A clivagem de certos minerais ocorre em determinados
planos atmicos. A supercondutividade eltrica de
certas fases cristalina existe em certos planos
cristalinos.
So os planos cristalinos que emitem os sinais na
tcnica de difrao de Raios X, largamente empregada
na investigao de materiais.
A plasticidade dos metais est relacionada ao
movimento de defeitos cristalinos, as discordncias,
em planos cristalinos preferenciais. Isto justifica o
estudo dos planos cristalinos.
Planos Cristalinos
ndices de Miller so uma notao utilizada em
cristalografia para definir famlias de planos em uma
Rede de Bravais.
Isto feito indicando-se as coordenadas de um vetor
no espao recproco, que normal famlia de planos.
Em trs dimenses, os ndices de Miller so
representados pela tripla entre parnteses (hkl), onde
h,k e l so inteiros com maior divisor comum igual a 1.
Se algum dos inteiros negativo, a conveno
escrever o nmero com uma barra em cima.
ndices de Miller
As coordenadas dos pontos em que o plano intercepta
cada eixo de coordenadas
so determinadas: (a/2, 0,0),
(0,a/2,0), (0,0,a/2).
Os ndices so multiplicados por um fator que os
transforme no conjunto de
menores inteiros possveis:
(1,1,1,).
As vrgulas so retiradas(111);
Caso algum ndice for negativo o sinal colocado
sobre o respectivo ndice;
ndices de Miller
Quando o plano paralelo a
um eixo de coordenadas, seu
ponto de interseo com o
eixo correspondente o
infinito. Logo, o ndice de
Miller correspondente zero.
ndices de Miller
As coordenadas dos pontos em que o plano corta cada
eixo de coordenadas so
determinadas: (a, 0,0),
(0,a,0) e paralelo a Z.
Os parmetros de rede so descartados (11);
Os ndices so multiplicados por um fator que os
transforme no conjunto de
menores inteiros possveis:
(1,1,0).
As vrgulas so retiradas (110);
ndices de Miller
Planos paralelos possuem os mesmos ndices de Miller.
Estes planos so equivalentes.
Um plano equivalente a outro quando a configurao
espacial dos tomos nestes planos igual, ou seja o
arranjo dos tomos e as distncias entre eles so
iguais.
Planos equivalentes formam uma famlia de planos
equivalente, que representada pelos ndices de um
dos planos da famlia entre chaves, {120}.
No sistema cbico, os planos (100), (010) e (001)
pertencem famlia {100}.
ndices de Miller
Quando o plano passa pela origem, o procedimento
usado anteriormente deve ser modificado, pois a
operao de inverso das coordenadas divergiria.
A soluo para isso trabalhar com um plano paralelo
que no passa pela origem.
Como dito, eles so equivalentes e possuem os
mesmos ndices.
ndices de Miller
O plano A passa pela origem do sistema de
coordenadas. Para
determinar seus ndices
de Miller o plano paralelo
B deve ser usado.
Este plano corta o eixo Z nas coordenadas
(0,0,a/2). paralelo ao
eixo Y. Corta o eixo X em
(-a,0,0).
Usando o procedimento j descrito os ndices so
determinados (102).
ndices de Miller
Para a determinao da estrutura cristalina
Os mtodos de difrao medem diretamente a
distncia entre planos paralelos de pontos do
reticulado cristalino. Esta informao usada para
determinar os parmetros do reticulado de um cristal.
Os mtodos de difrao tambm medem os ngulos
entre os planos do reticulado. Estes so usados para
determinar os ngulos interaxiais de um cristal.
Planos Cristalinos - Por qu so
importantes?
Para a deformao plstica
A deformao plstica (permanente) dos metais ocorre
pelo deslizamento dos tomos, escorregando uns
sobre os outros no cristal. Este deslizamento tende a
acontecer preferencialmente ao longo de planos
direes especficos do cristal.
Planos Cristalinos - Por qu so
importantes?
Regime de deformao em que ocorre mudana dimensional permanente decorrente do deslocamento de tomos ou molculas para novas posies no
reticulado. Os cristais deformados plasticamente possuem mais energia que os no-deformados, pois tiveram suas discordncias, lacunas e outras
imperfeies aumentadas.
Para as propriedades de transporte
Em certos materiais, a estrutura atmica em
determinados planos causa o transporte de eltrons
e/ou acelera a conduo nestes planos, e,
relativamente, reduz a velocidade em planos distantes
destes.
Planos Cristalinos - Por qu so
importantes?
Supercondutores a base de
YBa2Cu3O7
Alguns planos contm
somente Cu e O. Estes planos
conduzem pares de eltrons
(chamados pares de cobre) que
so os responsveis pela
supercondutividade. Estes
supercondutores so
eletricamente isolantes em
direes perpendiculares as
dos planos Cu-O.
Planos Cristalinos - Por qu so
importantes?
So representados de maneira similar s direes.
So representados pelos ndices de Miller = (hkl).
Planos paralelos so equivalentes tendos os mesmos ndices.
Planos Cristalinos
Planos (010)
So paralelos aos eixos x e z (paralelo face)
Cortam um eixo (neste exemplo: y em 1 e os eixos x e z em )
1/ , 1/1, 1/ = (010)
Planos Cristalinos
Planos (110)
So paralelos ao eixo (z)
Cortam dois eixos (x e y)
1/ 1, 1/1, 1/ = (110)
Planos Cristalinos
Planos (111)
Cortam os 3 eixos cristalogrficos
1/ 1 , 1/1, 1/ 1 = (111)
Planos Cristalinos
Quando as intercesses no
so bvias desloca-se o plano
at obter as intercesses
corretas
Planos Cristalinos
Fonte: Prof. Sidnei Paciornik, Departamento de Cincia dos Materiais e
Metalurgia da PUC-Rio.
Famlia de Planos {110} (paralelo um eixo)
Famlia de Planos {111} Intercepta os 3 eixos
A simetria do sistema cbico faz com que a famlia de planos tenham o mesmo arranjamento e densidade.
A deformao em metais envolve o deslizamento de planos atmicos. O deslizamento ocorre mais facilmente nos planos e direes de maior densidade atmica.
Planos no Sistema Cbico
A famlia de planos {110} no sistema CCC o de maior
densidade atmica.
Planos de maior densidade atmica no
sistema CCC
A famlia de planos
{111} no sistema cfc
o de maior
densidade atmica.
Planos de maior densidade atmica no
sistema CFC