Polynomiale Basisfunktionen und Quadratur (1) Polynomiale Basissysteme Quadraturformeln Spezielle Polynome und deren Eigenschaften Polynomiale Basisfunktionen und Quadratur (1) Christian

Polynomiale Basissysteme Quadraturformeln Spezielle Polynome und deren Eigenschaften

Polynomiale Basisfunktionen und Quadratur (1)

Christian Otto

Universitat des Saarlandes

10.05.2016


Gliederung

1 Polynomiale BasissystemeEinleitungGram-Schmidt-Verfahren und RekursionsbeziehungGautschi-Stieltjes-Methode

2 QuadraturformelnGrundsatzlichesLagrange-InterpolationGaußsche Quadratur


3 Spezielle Polynome und deren EigenschaftenLegendre-PolynomeHalf-range-Legendre-PolynomeAssoziierte Legendre-PolynomeFourier-FunktionenKugelflachenfunktionenAssoziierte Laguerre-PolynomeAnwendung: SchrodingergleichungSonin-PolynomeHermite-PolynomeGegenbauer-Polynome


Einleitung

Definitionen

Seien f , g : [a; b] −→ R. Dann ist deren Skalarproduktdefiniert durch

〈f |g〉 :=

∫ b

af (x)g(x)w(x) dx (1)

mit w(x) > 0 ∀x ∈ [a; b].

Zwei Polynome f, g heißen orthogonal, wenn gilt:

〈f |g〉 = 0. (2)


Einleitung

γn :=√〈Qn|Qn〉 (3)

Pn :=Qn

γn(4)

wobei die Qn die orthogonalen Polynome sind. Die Polynome Pn

sind also normiert

µn :=

∫ b

axnw(x)dx (5)

Die µn heißen Momente von w(x)


Einleitung

Zielsetzung

Verfahren zur Konstruktion eines orthogonales Basissystemszu einer vorgegeben Gewichtsfunktion

Ansatz:

Qn(x) = xn +N−1∑k=0

Qnkxk (6)

Herleitung einer Rekursionsbeziehung zwischen denKoeffizienten (Drei-Term-Rekursion )


Gram-Schmidt-Verfahren und Rekursionsbeziehung

Gram-Schmidt-Verfahren

Setze Qn an wie oben und fordere

〈Qn|Qk〉 = 0 ∀n, k ≤ n (7)

⇒ LGS mit n Variablen und n Gleichungen

sehr umstandlich! Effizienter durch Rekursionsformeln



Rekursionsformeln fur Polynome

x |Qn〉 = |Qn+1〉+n∑

k=0

cnk |Qk〉 ‖ · 〈Qk | (8)

cnk =1

γn〈Qn|x |Qk〉 (9)

cnk 6= 0 genau dann, wenn k = n − 1 und k = n. So vereinfachtsich die Summe

x |Qn〉 = |Qn+1〉+ αn|Qn〉+ βn|Qn−1〉 ‖ ∗ 〈Qn| (10)

〈Qn|x |Qn〉 = αnγn (11)

Merke: αn = 0, wenn w(x) = w(−x)Dies ist bei den Legendre- und Hermitepolynomen der Fall!



Rekursionsformeln fur Polynome

Multipliziere nun (10) mit 〈Qn−1|:

〈Qn−1|x |Qn〉 = βnγn−1 (12)

Ersetze nun in (11) n durch n − 1, multipliziere mit 〈Qn|

γn = 〈Qn−1|x |Qn〉 (13)

Setze nun (12) und (13) gleich

βn =γn

γn−1(14)

Es folgt die

Drei-Term-Rekursion

|Qn+1〉 = (x − αn)|Qn〉 − βn|Qn−1〉 (15)

x |Pn〉 =√βn+1|Pn+1〉+ αn|Pn〉+

√βn|Pn−1〉 (16)



Beurteilung des Verfahrens

mangelt an Effizienz

schlecht konditioniertes Problem!γn = µ2n −

∑n−1k=0 c2

nk kann sehr klein werdenWegen βn = γn

γn−1wird durch solch eine Große geteilt

−→ extreme Fortpflanzung von Rundungsfehlern


Gautschi-Stieltjes-Methode

Berechnung der Nullstellen

Die Gautschi-Stieltjes-Methode beruht auf der numerischenBerechnung von Eigenwerten.Definiere Jacobi-Matrix:

Jnm : = 〈Pn|x |Pm〉 (17)

Aus (16) folgt:

Jnm =√βm+1δn,m+1 + αmδnm +

√βmδn,m+1 (18)

Daher sieht sie (exemplarisch) so aus (n = 3):α0

√β1 0 0√

β1 α1√β2 0

0√β2 α2

√β3

0 0√β3 α3

(19)


Gautschi-Stieltjes-Methode

Definiere nun :

−d2hn(x)

dx2+ x2hn(x) = (2n + 1)hn(x) (20)

R(x) : = [P0(x) . . .Pn−1(x)] (21)

e : = [0, . . . , 1] (22)

Schreibe nun () um:

xR(x) = J(x) + αnPn(x)e (23)

Genau fur Pn(xi ) = 0 ergibt sich Eigenwertgleichung:

xiR(xi ) = J(xi ) (24)

Also sind die Nullstellen xi von Pn genau die EW von J.−→ stabile und effiziente Berechnung der xi , da es furDiagonalisierung stabile und effiziente Verfahren gibt.


Grundsatzliches

Was sind Quadraturen?

Ziel: Algorithmus gewinnen, um Integral einer Funktionnaherungsweise zu berechnen, wenn nur die Funktionswerte andiskreten Stutzstellen xi gegeben sind.

Methode: Interpoliere Funktion durch Polynom und integrieredieses

Wahl der Stutzstellen hat entscheidenden Einfluss auf dieGenauigkeit


Lagrange-Interpolation

Lagrange-Interpolation

Gegeben: Funktionswerte f(xi ) an den Stellen x1 . . . xi . . . xn. Dannwird f(x) durch Polynom n-ten Grades interpoliert:

f (x) ≈ fn(x) :=n∑

i=1

f (xi )li (x) (25)

li (x) :=n∏

j = 1j 6= n

x − xj

xi − xj(26)

Man sieht, dass die Interpolation an den Stutzstellen exakt ist:

li (xj) = δij (27)

Definition:

Pn(x) :=n∏

j=1

(x − xj) (28)


Gaußsche Quadratur

Gaußsche Quadratur: Methode

Ziel: Polynom q(x) vom Grade 2n − 1 oder kleinerfolgendermaßen integrieren∫ b

aq(x)w(x)dx (29)

Wahle ONB von R≤n[x ] aus Polynomen Pn, die bzgl. w(x)auf [a ; b] orthogonal sind.Achtung: Intervall [a ; b] und Gewichtsfunktion w(x) gebeneindeutig vor, welche Polynome zu wahlen sind!

Wahle dessen Nullstellen xi als Stutzstellen furLagrange-Interpolation

Dann weiter wie bisher


Gaußsche Quadratur

Methode

Approximiere also wieder q(x) mithilfe von Lagrange-Interpolation:

q(x) ≈n∑

i=1

q(xi )li (x)

Integriere nun ∫ b

aw(x)q(x)dx ≈

n∑i=1

q(xi )wi (30)

mit

wi :=

∫ b

aw(x)li (x)dx (31)

Frage : Wie bestimmt man die wi und die xi moglichst effizient?


Gaußsche Quadratur

Fehleranalyse fur Gauß-Quadratur

Der Vorteil der Gauß-Quadratur ist, dass sie exakt ist! BetrachteRestglied:

R(x) := q(x)− qn(x) (32)

deg R(x) ≤ 2n − 1

Da R(xi ) = 0 existiert Teilerpolynom d(x), sodass:

R(x) = d(x)Pn(x) (33)

deg d(x) ≤ n − 1

Also ist d(x) als LK von Polynomen Pk mit deg Pk ≤ n orthogonalzu Pn.


Gaußsche Quadratur

Fehleranalyse fur Gauß-Quadratur

Daher verschwindet der Fehler ε:

ε :=

∫ a

bR(x)w(x)dx

=

∫ b

ad(x)w(x)Pn(x)dx

= 0 (34)


Gaußsche Quadratur

Christoffel-Darboux-Relation

Was fehlt noch?

Berechnung der Nullstellen−→ schon erledigt durch Gautschi-Stieltjes-Methode!

Berechnung der Quadraturgewichte wi

−→ Herleitung der Christoffel-Darboux-Relation

Man betrachte wieder die Drei-Term-Rekursion ():

xPk(x) =√βk+1Pk+1(x) + αkPk(x) +

√βkPk−1(x)

yPk(y) =√βk+1Pk+1(y) + αkPk(y) +

√βkPk−1(y)


Gaußsche Quadratur


Nun multipliziere man mit Pk(x) bzw. Pk(y):

xPk(x)Pk(y) =√βk+1Pk+1(x)Pk(y) + αkPk(x)Pk(y)

+√βkPk−1(x)Pk(y)

yPk(y)Pk(x) =√βk + 1Pk+1(y)Pk(x) + αkPk(x)Pk(y)

+√βkPk−1(y)Pk(x) (35)

Subtrahiere beide Gleichungen voneinander:

(x − y)Pk(x)Pk(y) =√βk+1[Pk(y)Pk+1(x)− Pk(x)Pk+1(y)]√βk [−(Pk(x)Pk−1(y)) + Pk(y)Pk−1(x)]


Gaußsche Quadratur


Summiere uber k von 0 bis n und beachte, dass sich jeweilsunterstrichene und uberstrichene Terme wegheben!

n∑k=0

Pk(y)Pk(x)

=

√βn+1

x−y [Pn(y)Pn+1(x)− Pn(x)Pn+1(y)] (36)

Setze y = xi und beachte Pn(xi ) = 0:

n∑k=0

Pk(xi )Pk(x) =

√βn+1

x − xi· (−Pn(x)Pn+1(xi )) (37)

Multipliziere mit w(x)P0(x) und integriere:

P0(xi )︸︷︷︸1

= −√βn+1Pn+1(xi )

∫ b

a

Pn(x)

x − xiw(x)dx (38)


Gaußsche Quadratur


Wir betrachten den Integranden genauer:

Pn(x)

x − xi=

∏nj=1(x − xj)

x − xi

=n∏

j = 0j 6= i

(x − xj) (39)

Außerdem gilt

P ′n(xi ) =n∏

j = 0j 6= i

(xi − xj) (40)

Aus (39), (40) und der Definition von li (x) (26) folgt:

Pn(x)

x − xi= li (x) · P ′n(xi ) (41)


Gaußsche Quadratur


Damit lasst sich das Integral (38) auswerten:

1 = −√βn+1Pn+1

∫ b

a

w(x)Pn(x)

x − xidx

= −√βn+1Pn+1

∫ b

aw(x)li (x)P ′n(xi )dx

= −√βn+1P ′n(xi )Pn+1(xi )wi

Nun kann man umstellen und erhalt:

wi = − 1√βn+1Pn+1(xi )P ′n(xi )

(42)

Wir wollen den Nenner auf eine andere Form bringen. Betrachte(37) und bilde mithilfe von L’Hopital’s Regel den limx−→xi .


Gaußsche Quadratur


Es folgt:

−√βn+1Pn+1(xi )P ′n(xi ) =

n−1∑k=0

Pk(xi )2 (43)

Man erhalt durch Einsetzen in (42):


wi =1∑n−1

k=0 Pk(xi )2(44)

Dieser Ausdruck lasst sich leicht mithilfe der Gautschi-StieltjesMethode berechnen!


Gaußsche Quadratur

Gautschi-Stieltjes-Methode (2)

Erinnerung (Gautschi-Stieltjes-Methode):

R(x) := (P0(x) . . .Pn−1(x))

R(xi ) · R(xi )> =

n−1∑k=0

Pk(xi )2

=1

wi(45)

(√

wiR(xi )) · (√

wiR(xi ))> = 1 (46)

Also ist√

wiR(xi ) ein ganz spezieller Vektor: der normierteEigenvektor zum Eigenwert xi !


Gaußsche Quadratur

Gautschi-Stieltjes-Methode (2)

Dieser ist numerisch berechenbar und wird im Folgenden als ubezeichnet. Indem man berucksichtigt, dass P0(x) = 1

µ0und die

erste Komponente betrachtet, findet man:

√wiP0 =

√wi

µ0

= (u)0

Numerische Bestimmung der Quadraturgewichte

wi = (u)0µ20 (47)

−→ fertiger Algorithmus fur numerische Quadratur!


Legendre-Polynome

Legendre-Polynome

Wir wollen in diesem Kapitel die wichtigsten Eigenschaften einigerklassischer Polynombasen studieren und beginnen mit denLegendre-Polynomen.

Gewichtsfunktion: w(x) = 1

Definitionsbereich [−1 ; 1]

Normquadrat: γl = 22l+1

Rekursionskoeffizienten: αl = 0 und βl = 2l−12l+1

Sturm-Liouville-Problem: Legendre-DGL :

d

dx

[(1− x2)

dPl

dx

]= −l(l + 1)Pl (48)


Legendre-Polynome

Momente der Gewichtsfunktion: µn = 2n+1 fur gerade n, sonst

0.


Half-range-Legendre-Polynome

Half-range-Legendre-Polynome

Gesucht: Polynome, die auf [0 ; 1] bzgl. w(x) = 1 orthogonal sind!Losung durch Variablensubstitution:

Phrl (x) = Pl(2x − 1) (49)

Da die Phrl auf den Pl basieren, lassen sich deren Eigenschaften

leicht aus denen der Pl gewinnen:

Gewichtsfunktion w(x) = 1

Definitionsbereich [0 ; 1]

Normquadrat: γl = 12l+1

Rekursion: wie bei Legendre-Polynomen

Momente: µn = 1n+1


Assoziierte Legendre-Polynome


Will man Legendres verallgemeinerte DGL losen, benotigtman ein Orthogonalsystem, das nicht mehr aus Polynomenbesteht.


Definitionsbereich [−1 ; 1]

Normquadrat: γn = 2(l+m)!(2l+1)(l−m)!

Rekursionskoeffizkienten: αn = 0 und βn = 2l−12l+1

l+ml−m




Sturm-Liouville-Problem (Legendres verallgemeinerteDGL ):

d

dx

[(1− x2)

dPml

dx

]− m2

1− x2Pm

l = −l(l + 1)Pml (50)

Momente: wie bei Legendre

Bedeutung: VLDG tritt z.B. nach Variablentrennung inQuantenmechanik und Elektrodynamik auf. Außerdem fuhrendie ALP auf die Kugelflachenfunktionen.


Fourier-Funktionen

Fourier-Funktionen

Um im nachsten Schritt die Kugelflachenfunktionen zukonstruieren, brauchen wir noch ein weiteres Orthogonalsystem:

Gewichtsfunktion: w(x) = 1

Definitionsbereich: [0 ; 2π]

explizite Formel:Φm(ϕ) = e imϕ

mit m ∈ ZSturm-Liouville-Problem:

d2Φm(ϕ)

dϕ2= −m2Φ(ϕ) (51)


Kugelflachenfunktionen


Als Funktionen, die von ϕ und cos(ϑ) abhangen und auf[0 ; π]× [0 ; 2π] orthonormal sind, definieren wir dieKugelflachenfunktionen:

Ylm(ϕ, ϑ) :=

√(2l + 1)

(l −m)!

(l + m)!Pm

l

(cos(ϑ)

)e imϕ (52)

Eigenschaften:

orthonormal:∫ ϕ=2π

ϕ=0

∫ ϑ=π

ϑ=0Y ∗lm(ϕ, ϑ)Yl ′m′(ϕ, ϑ)sin(ϑ)dϑdϕ = δll ′δmm′

Eigenfunktionen des Winkelanteils des Laplace-Operators

∆ΩYlm(ϕ, ϑ) = l(l + 1)Ylm(ϕ, ϑ) (53)

∆Ω :=1

sin(ϑ)

∂

∂ϑ

[sin(ϑ)

∂

∂ϑ

]+

1

sin2(ϑ)

∂2

∂ϕ2(54)




Eigenfunktionen des ∂ϕ-Operators:

∂Ylm(ϕ, ϑ)

∂ϕ= mYlm(ϕ, ϑ) (55)

Daher Anwendungen: Losungen der Schrodinger-Gleichung derQM oder der Laplace-Gleichung der E-Dynamik


Assoziierte Laguerre-Polynome

Assoziierte Laguerre-Polynome

Gewichtsfunktion: w(x) = xαe−x

Definitionsbereich [0 ; ∞)

Normquadrat: γn = Γ(n+α+1)n!

Rekursionsformel:

L(α)n (x) = (2 +

α− x − 1

n)L

(α)n−1(x)− (1 +

α− 1

n)L

(α)n−2(x)

Anwendungen:

Radialgleichung der Atomorbitale beim WasserstoffatomEigenfunktionen des Kollisionsoperators derBoltzmann-Gleichung


Anwendung: Schrodingergleichung


Die (stationare) Schrodingergleichung fur ein Teilchen mit Masse µund Energie E im Potential V (r) lautet allgemein:[

− ~2

2µ∆ + V (r)

]ψ(r) = Eψ(r) (56)

Fur ein Elektron im Coulompotential des Kerns lautet das Potential

V (r) = −k

r(57)

Schreibt man den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten, erhaltman:(

− ~2

2µ

[1

r 2

∂

∂r(r 2 ∂

∂r) +

1

r 2 sin(ϑ)

∂

∂ϑ

(sin(ϑ)

∂

∂ϑ

)+

1

sin(ϑ)2

∂2

∂ϕ2

]+ E − V (r)

)Ψ = 0 (58)




Man setze an

ψ(r) = R(r)Φ(ϕ)Θ(ϑ) (59)

Setzt man diesen Ansatz ein und teilt durch ~2

2µ , erhalt man:

1

r 2

d

dr

(r 2 dR(r)

dr

)Θ(ϑ)Φϕ

+1

r 2 sin(ϑ)

d

dϑ

(sin(ϑ)

dΘ(ϑ)

dϑ

)R(r)Φ(ϕ)

+1

r 2 sin2(ϑ)

d2Φ(ϕ)

dϕ2R(r)Θ(ϑ)

+2µ

~2

(E − V (r)

)R(r)Θ(ϑ)Φ(ϕ) = 0 (60)




Nun multipliziere man mit sin2(ϑ)r 2

sin(ϑ)2 d

dr

(r 2 dR(r)

dr

)Θ(ϑ)Φ(ϕ)

+ sin(ϑ)d

dϑ

(sin(ϑ)

dΘ(ϑ)

dϑ

)R(r)Φ(ϕ)

+d2Φ(ϕ)

dϕR(r)Θ(ϑ)

+2µ

~2

(E − V (r)

)r 2 sin(ϑ)R(r)Θ(ϑ)Φ(ϕ) = 0 (61)

Als nachstes teile man durch RΦΘ. Zur Abkurzung werdenArgumente der Funktionen nicht mitangeschrieben.




sin2(ϑ)

R

d

dr

(r 2 dR

dr

)+

sin(ϑ)

Θ

d

dϑ

(sin(ϑ)

dΘ

dϑ

)+

1

Φ

d2Φ

dϕ2︸︷︷︸−m2

+2µ

~2

(E − V (r)

)r 2 sin2(ϑ) = 0 (62)

Da die Gleichung bzgl ϕ komplett separiert ist, muss derunterklammerte Term konstant sein. Daraus ergibt sich fur Φ(ϕ)die DGL:

d2Φ

dϕ2= −m2Φ (63)

Da die Losung auch 2π-periodisch sein muss, ergeben sich alsLosungen die Fourierfunktionen und m ∈ N.




Nun setze man also fur 1Φ

d2Φdϕ2 den Eigenwert −m2 ein, teile durch

sin2(ϑ) und sortiere nach Variablen:

1

R

d

dr

(r 2 d2R

dr 2

)+

2µ

~2

(E − V (r)

)r 2

+1

sin(ϑ)Θ

d

dϑ

(sin(ϑ)

dΘ

dϑ

)− m2

sin2(ϑ)= 0 (64)

Beachtet man nun, dass

d

dϑ= − sin(ϑ)

d cos(ϑ)(65)

und dass

sin2(ϑ) = 1− cos2(ϑ) (66)




dann erhalt man:

1

R

d

dr

(r 2 d2R

dr 2

)+

2m

~2

(E − V (r)

)r 2

+d

d cos(ϑ)Θ

[1− cos2(ϑ)

dΘ

d cos(ϑ)

]− m2

1− cos2(ϑ)︸︷︷︸=C

= 0(67)

Da der unterstrichene Teil nur von Θ abhangt, muss er gleich einerKonstanten C sein sein. Diese Bedingung ergibt wieder Legendre’sVDG zum Eigenwert C, und die Losungen sind:

Θ(ϑ) = Pml (cos(ϑ)) (68)

C = −l(l + 1) (69)

Man setzt also den Eigenwert fur C ein und erhalt eine nur nochvon r abhangige Gleichung.



Anwendung: Schrodingerleichung

d

dr

(r 2 dR

dr

)+

2m

~2

(E − V (r)

)r 2R = CR (70)

Diese hat die Losung (fur gegebene l):

Rnl(r) = e−kr (2kr)lL2l+1n−l−1(2kr) (71)

k :=

√−2mE

~(72)

E ∝ − c

n2(73)

Die Losung wurde uber einen Separationsansatz gewonnen. IhreAllgemeinheit folgt aus physikalischen Randbedingungen,algebraischen Uberlegungen und Konvergenzbetrachtungen.




Wir fassen nochmal zusammen:

Schrodingergleichung fur 1r -Potential

Die Losungen der stationaren Schrodingergleichung[− ~2

2m∆− k

r

]Ψ(r) = E Ψ(r)

lauten

Ψnlm(r , ϕ , ϑ) = e−kr (2kr)lL2l+1n−l−1(r)Pm

l (cos(ϑ)) (74)


Sonin-Polynome

Sonin-Polynome

Gewichtsfunktion: w(x) = x2α+1e−x2

Definitionsbereich: [0 ; ∞)

Achtung: Nehme als Variable nicht x , sondern x2!

Normierung

γn =Γ(n + α + 1)

2n!(75)

Anwendung in der kinetischen Gastheorie, wobei x die Rolleeiner reduzierten Geschwindigkeit spielt


Hermite-Polynome

Hermite-Polynome

Gewichtsfunktion w(x) = e−x2

Definitionsbereich (−∞ ; ∞)

Normierung γn =√π2nn!

Rekursionsbeziehungen

Hn+1(x) = 2xHn(x)− 2nHn−1(x) (76)

Hn+1(x) = 2xHn(x)− dHn(x)

dx(77)

dHn(x)

dx= 2nHn−1 (78)

Rekursionskoeffizienten: αn = 0 und βn = 2n


Hermite-Polynome

Hermite-Polynome

Sturm-Liouville-Problem

− d

dx

[e−x2

H ′n(x)]

= 2ne−x2Hn(x) (79)


Hermite-Polynome

Orthonormale Hermite-Polynome

Aus den Hermite-Polynomen kann man auch die sogenanntenorthonormalen Hermite-Polynome ableiten:

hn(x) :=Hn(x)√√π2nn!

(80)

Diese haben folgende Eigenschaften:


Definitionsbereich (−∞ ; ∞)

Normierung γn = 1

Rekursionskoeffizienten: αn = 0 und βn = n2


Hermite-Polynome

Orthonormale Hermite-Polynome

Anwendung: Die OHP losen die Schrodingergleichung fureinen harmonischen Oszillator.

−d2hn(x)

dx2+ x2hn(x) = (2n + 1)hn(x) (81)


Gegenbauer-Polynome

Gegenbauer-Polynome

Gewichtsfunktion: w(x) = (1− x2)λ−12

Definitionsbereich: [−1 ; 1]

Normierung γn = 21−2λπΓ(n+2λ)n!(n+λ)[Γ(λ)]2

Rekursionskoeffizienten: αn = 0 und βn = Γ(l+2λ)Γ(l+2λ−1

l−1+λl+λ

1l

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