1

31224)(

7643)(

23

23

++−=

−+−=

xxxxQ

xxxxP

POLINOMI SA JEDNOM PROMENLJIVOM

Oblika su:

1

1 1 0( ) ...n n

n nP x a x a x a x a−

−= + + + +

Ovaj oblik se dobija ''sredjivanjem” polinoma (sabiranjem, oduzimanje...) i naziva se

kanonički, x-je promenljiva 1 0, ,...,n na a a−

su koeficijenti (konstante), n je prirodan broj

ili nula.

Ako je 0≠na , onda kažemo da je polinom P stepena n , pa je na ‘’najstariji’’

koeficijenat.

Primer: 7264)( 23+−+= xxxxP

- ovaj polinom je stepena 3 a najstariji koeficijenat je 4.

- zanimljivo je da se član bez x-sa, takozvani slobodni član dobija kad umesto x stavimo

0, tj. 3 2(0) 4 0 6 0 2 0 7 7P = ⋅ + ⋅ − ⋅ + = → 7)0( =P , ili za

polinom 1

1 1 0( ) ...n n

n nP x a x a x a x a−

−= + + + + → 0)0( aP =

- takodje ako umesto x stavimo 1 imamo 01 ...)1( aaaP nn +++=−

SABIRANJE I ODUZIMANJE POLINOMA: Primer:

)31224()7643()()( 2323++−+−+−=+ xxxxxxxQxP

312247643 2323++−+−+−=

−−−−−−−−−−−−

xxxxxx

=krenemo sa sabiranjem članova sa najvećim stepenom pa dok ne

dodjemo do ‘’slobodnih članova’’, to jest onih bez x-sa

3 27 6 18 4x x x= − + −

)31224()7643()()( 2323++−−−+−=− xxxxxxxQxP

=pazi: Minus ispred zagrade menja znak svim članovima u zagradi 312247643 2323

−−+−−+−=−−−−−−−−−−−−

xxxxxx

3 22 6 10x x x= − − − −

Najbolje je da podvlačite slične monome kako se ne bi desila greška u sabiranju

(oduzimanju) www.matematiranje.com

2

74)(

32)(

2−+=

−=

xxxQ

xxP

MNOŽENJE POLINOMA

Primer 1. Pomnožiti sledeće polinome:

Rešenje: )74()32()()( 2

−+⋅−=⋅ xxxxQxP

Kako množiti?

Množi se ‘’svaki sa svakim’’. Najbolje je da prvo odredimo znak ,( +=+⋅+ ,+=⋅−− ,−=⋅−+ )−=⋅+− , onda pomnožimo brojke i na kraju nepoznate.

Naravno da je 2xxx =⋅ , 32 xxx =⋅ , 422 xxx =⋅ , itd. (ovde koristimo pravila iz

stepenovanja: nmnm xxx +=⋅ )

Vratimo se na zadatak:

=−+⋅− )74()32( 2 xxx

=+−−−+−−−−−−−−−−−

211231482 223 xxxxx sad saberemo( oduzmemo) slične monome

212652 23+−+= xxx

Primer 2. Pomnožiti sledeće polinome:

152)(

74)(

2

2

++=

−+−=

xxxB

xxxA

Rešenje:

)152()74()()( 22++⋅−+−=⋅ xxxxxBxA

4 3 2 3 2 22 5 8 20 4 14 35 7x x x x x x x x= − − − + + + − − −

4 3 22 3 5 31 7x x x x= − + + − −

www.matematiranje.com

3

______________

)(

2

)(

2

42

12)2(:)652(

xx

xxxx

+−−

−=−+−

__________

2

6

−++−

+−

x

x

2

412

2

652 2

−+−=

−

+−

xx

x

xx

xx

x2

2 2

=

1−=−

x

x

DELJENJE POLINOMA

Podsetimo se najpre deljenja brojeva.

Primer: 248423:57146 =

______

46−

111

______

92−

194

_______

184−

106

_____

92−

4 - ostatak

Možemo zapisati: 23

42848

23

57146+=

deljenik ostatak

rešenjedelilac delilac

= +

Probajmo sad sa polinomima:

Primer 1:

POSTUPAK

→ Podelimo ‘’prvi sa prvim’’

i upišemo 2x u rešenju

→ 2x pomnožimo sa deliocem i potpišemo

ispod 2x²-5x

→ promenimo znake (ono u zagradi)

→4 Ostatak → prvi se uvek skrate a druge saberemo

-5x+4x=-x

Dakle: → dopišemo +6

→ opet delimo ‘’prvi sa prvim’’

→ množimo sa deliocem

→ promenimo znake i saberemo

www.matematiranje.com

4

5)1(:)542( 223−+=++−+ xxxxxx

_____________

2

)(

3

)( xx−

−+

10

___________

)()(55

55

++

−−

+−

x

x

1

105

1

542 223

++−+=

+

+−+

xxx

x

xxx

____________

)(

2

)(

2 4

xx

xx

−−

+

−

23

xx

x=

2x2x

23 2xx +23 2xx +

2222 xxx =−

xx

x=

2

55

−=−

x

x

Primer 2: POSTUPAK → Podelimo ‘’prvi sa prvim’’

upišemo u rešenje

→ pomnožimo sa deliocem i potpišemo

ispod

→ promenimo znake kod

→ prvi se uvek ‘’skrate’’, a

→ spustimo - 4x → opet ‘’prvi u prvom’’ → x množimo sa deliocem → menjamo znake kod x²+x → prvi se skrate a -4x-x=-5x → spuštamo +5 Dakle: → → -5·(x+1)=-5x-5 → promenimo znake i prvi se skrate

→ 5+5=10

Primer 3:

155)32(:)523( 22234+−=−+−++− xxxxxxxx

______________________

2

)(

3

)(

4 32 xxx+−

−−+

3 2

3 2

( ) ( ) ( )

___________________________

5 5

5 10 15

x x x

x x x+ + −

− + +

− − +

__________________________

)()(

2

)(

2

453015

51415

+−−

−+

−−

xx

xx

→+− 4044x ostatak

4 3 2

2

2 2

3 2 5 44 405 15

2 3 2 3

x x x x xx x

x x x x

− + + − − += − + +

+ − + −

www.matematiranje.com

5

_____________

3

)(

4

)( xx+

−−

⇒−=

−+−=

−⋅+⋅−=

−+−=

7)2(

712208)2(

726252)2(

765)(

23

23

P

P

P

xxxxP

Primer 4:

1)1(:)1( 234+++=−− xxxxx PAZI:

Kad skratimo ‘’prve’’ a drugi nisu istog

stepena prepišemo ih, prvo onaj sa većim

pa sa manjim stepenom, to jest: +x³-1

Nema ostatka

Dakle: 11

1 234

+++=−

−xxx

x

x

U nekim zadacima interesovaće nas samo ostatak koji se dobija deljenjem dvaju

polinoma a ne i količnik. Tu nam pomaže Bezuova teorema: Ostatak pri deljenju polinoma P(x) sa (x-a) jednak je P(a), to jest vrednosti polinoma P(x) u tački x = a. Ako je P(a)=0, deljenje je bez ostatka.

Primer1: Nadji ostatak pri deljenju polinoma 765 23−+− xxx sa 2−x

Najpre rešimo x-2=0, pa je x = 2

onda uporedjujemo x-a i x-2→ a=2

Sada je

Ostatak je -7

www.matematiranje.com

_____________

2

)(

3

)(

3 1

xx

x

+−

−+

−+

12−x

____________

)(

2

)(

xx+

−

−

1−x

_________

)()(

1+

−

−x

6

6116)( 23−+−= xxxxP

0)1(

61161)1(

6111161)( 23

=

−+−=

−⋅+⋅−=

P

P

xP

0)( =aP

_______________

)(

2

)(

2

55

115

xx

xx

−+

+−

+−

____________

)()(

66

66

+−

−

−

x

x

)3)(2(

)2(3)2(

−−=

−−−=

xx

xxx

Primer2: Nadji ostatak pri deljenju polinoma 652 3+− xx sa 1+x

Pazi , ovde je a = -1, jer je x+1=0

x = -1

Ostatak je 13

Još jedna izuzetna primena Bezueve teoreme je kod rastavljanja polinoma na činioce. Mi

smo do sada naučili da faktorišemo polinome drugog stepena. Za polinome trećeg i

četvrtog stepena postoje algoritmi, ali su suviše teški, dok za polinome petog i većeg

stepena ne postoji univerzalan način da se faktorišu, odnosno reše.

Kako nam to pomaže Bezuova teorema?

Primer1: Dat je polinom Izvrši njegovu faktorizaciju.

POSTUPAK za x=1 → uočimo ‘’slobodan’’ član, to jest onaj bez x-sa.

ovde je to 6. → on se može podeliti: +1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, -6

→redom zamenjujemo ove brojeve dok ne

dobijemo da je

→ našli smo da je a=1

→ podelimo polinom sa )1()( −=− xax

65)1(:)6116( 223+−=−−+− xxxxxx

_____________

2

)(

3

)(

xx+

−

−

Nema ostatka

Ovim smo smanjili stepen polinoma i sad već 652+− xx znamo da rastavljamo

63265 22+−−=+− xxxxx

⇒=−

++=−

+−⋅−−⋅=−

+−=

13)1(

652)1(

6)1(5)1(2)1(

652)(

2

2

P

P

P

xxxP

6116)( 23−+−= xxxxP

7

04)1(

4432141412121)1( 234

≠=

++−−=+⋅+⋅−⋅−=

P

P

044321)1(

4)1(4)1(2)1(2)1()1( 234

=+−−+=−

+−⋅+−⋅−−⋅−−=−

P

P

_______________

2

)(

3

)(

23

33

33

xx

xx

++

−−

−−

____________

)()(

44

44

−−

+

+

x

x

______________

)()(

2

44

44

xx

x

++

−−

+−

Dakle: 3 26 11 6 ( 1)( 2)( 3)x x x x x x− + − = − − −

Primer 2:

Izvršiti faktorizaciju polinoma: 4 3 2( ) 2 2 4 4P x x x x x= − − + +

Posmatrajmo broj 4 (slobodan član). Pošto njega možemo podeliti sa

+1, -1, +2, -2,+4, -4, redom menjamo u polinom dok ne bude P(a)=0

Za x = 1

Idemo dalje:

Za x = -1

Dakle, delimo sa 1)1( +=−− xx

43)1(:)4432( 23234+−=+++−− xxxxxxx

_____________

3

)(

4

)(

xx−

−

+

Dalje gledamo 43)( 23

1 +−= xxxP

Za x=-1 04314)1(3)1()1( 23

1 =+−−=+−−−=−P

Opet delimo sa (x+1)

44)1(:)43( 223+−=++− xxxxx

____________

2

)(

3

)(

xx−

−

+

22 )2(44 −=+− xxx

8

Konačno rešenje je: )44)(1)(1(4432 2234+−++=++−− xxxxxxxx

22 )2()1( −+= xx

Primer 3:

Odrediti realan parametar m tako da polinom 5 3 2( ) 3 2 8P x x mx x x= + + − + bude deljiv

sa x + 2.

Rešenje:

Iz x+2 = 0 je x = -2 , pa je a = -2

5 3 2

5 3 2

( ) 3 2 8

( 2) ( 2) ( 2) 3( 2) 2( 2) 8

( 2) 32 8 12 4 8

( 2) 8 8

( 2) 0 jer u zadatku kaže da je P(x) deljiv sa -2

8 8 0

1

P x x mx x x

P m

P m

P m

P

m

m

= + + − +

− = − + − + − − − +

− = − − + + +

− = − −

− =

− − =

= −

Primer 4:

Odrediti realne vrednosti parametara a i b tako da polinom 3 2( ) 5 4P x ax bx x= − − + pri deljenju sa 1x + daje ostatak 6, a pri deljenju sa 1x − daje ostatak 2. Rešenje:

Kako pri deljenju sa 1x + daje ostatak 6, to je ( 1) 6P − =

3 2

3 2

( ) 5 4

( 1) ( 1) ( 1) 5( 1) 4

( 1) 9

9 6

3

3

P x ax bx x

P a b

P a b

a b

a b

a b

= − − +

− = − − − − − +

− = − − +

− − + =

− − = −

+ =

www.matematiranje.com

9

Kako pri deljenju sa 1x − daje ostatak 2, to je (1) 2P =

3 2

3 2

( ) 5 4

(1) 1 1 5 1 4

(1) 1

1 2

3

P x ax bx x

P a b

P a b

a b

a b

= − − +

= ⋅ − ⋅ − ⋅ +

= − −

− − =

− =

Dalje oformimo sistem jednačina:

3

3

a b

a b

a b

+ =

− =

+ 3

a b

=

− 3

2 6 3 0

Rešenja su 3, 0

a a b

a b

=

= → = → =

= =

www.matematiranje.com