Polarimetría de sistemas difusores con microestructuras

FACULTAD DE CIENCIASDepartamento de Fısica Aplicada

POLARIMETRIA DE SISTEMASDIFUSORES CON MICROESTRUCTURAS:

EFECTOS DE DIFUSION MULTIPLE

MEMORIA PRESENTADA POR

Juan Marcos Sanz Casado

PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTORPOR LA UNIVERSIDAD DE CANTABRIA

Santander, Julio de 2010

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NOTA INFORMATIVA

Gráficos en baja resolución

Departamento de Fısica AplicadaFacultad de CienciasUniversidad de Cantabria

Tesis Doctoral

POLARIMETRIA DE SISTEMAS DIFUSORES CONMICROESTRUCTURAS: EFECTOS DE DIFUSION MULTIPLE

POLARIMETRY OF MICROSTRUCTURED SCATTERINGSYSTEMS: MULTIPLE SCATTERING EFFECTS

Juan Marcos Sanz Casado

Santander, Julio de 2010

Director:

Dr. Jose Marıa Saiz Vega

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El Dr. Jose Marıa Saiz Vega, Profesor Titular de Optica de la Universidad de Cantabria,declara:

Que la presente Memoria, titulada “Polarimetrıa de sistemas difusores con micro-estructuras: efectos de difusion multiple ”, ha sido realizada, bajo mi direccion, porJuan Marcos Sanz Casado, y constituye su Tesis para optar al grado de Doctor por laUniversidad de Cantabria. Asimismo, emito mi conformidad para que dicha memoria seapresentada y tenga lugar, posteriormente, la correspondiente lectura.

Santander, a 23 de Julio de 2010

Fdo.: Dr. Jose Marıa Saiz Vega

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Agradecimientos

En primer lugar, agradezco a Andrea su comprension, aliento y carino, que tanto me han ayudadoen el transcurso de este trabajo.

Gracias a los ejemplos mas cercanos, que siempre son la primera referencia: A mi hermano Victor,el emprendedor, a mi prima Marimar, la lectora, a mi tıa Lali, la maestra, y a mi tıa Telvi, la solidaria.Gracias a mi madre, por sus anos de cuidado y dedicacion a la familia, y a mi padre, por todas y cadauna de las habilidades que he podido vislumbrar o adquirir con el mero hecho de observar su formade trabajar: Gracias a los dos por vuestro contınuo apoyo.

Gracias a aquellos que habeis estado ahı: Rosa, Emilia, Gelo, Salva, Jesus e Isabel, Jorge y Yoli. Ygracias por todas las carcajadas que las tres pitufas: Iria, Ines y Marıa, habeis conseguido arrancarme.Sin ser estrictamente de la familia, ya forman parte de ella Tono, Benjamın y Candi, a los que agradezcosu disposicion y los buenos ratos que hemos compartido.

En el aspecto academico, debo agradecer al Dr. Francisco Gonzalez y al Dr. Fernando Moreno laoportunidad que me dieron para trabajar en el grupo de optica de la UC, hace ya algun tiempo, tras lacual no han dejado de alentarme. De igual modo, debo mencionar especialmente el buen hacer de miDirector, el Dr. Jose Marıa Saiz, ya que su paciencia, su capacidad de analisis y su forma de compartirlos conocimientos me han servido de mucha ayuda, tanto en el desarrollo de esta memoria, como en laresolucion de todos los problemas cotidianos propios del trabajo en los laboratorios. Queridos Paco,Fernando y Chema: Muchas gracias.

Sin hacer de menos al resto de companeros, hay dos que han compartido en mayor medida elentusiasmo y tambien las preocupaciones en mis primeros pasos como investigador en la UC: Makale,mi companera de despacho, y Pablo, el hombre de las simulaciones. Gracias a todos los miembros delGrupo de Optica actuales por los buenos momentos que hemos pasado: Manolo, Pedro, Lola, Rodri,Vidal, Miguel, Braulio y Borja; y gracias a aquellos con los que he coincidido aquı, especialmente algran Olivier.

Mi estancia en Santander ha estado ligada, de forma inequıvoca, a la apuesta por la I+D+i de laempresa HISBALIT, personificada en su gerente, D. Javier Guzman, al que transmito en estas brevespalabras mi agradecimiento.

En estos anos como investigador, han sido fundamentales las tecnicas que pude aprender de aquelloscon los que me inicie en la investigacion, y con los que compartı largas horas de laboratorio. No puedodejar de dar las gracias al Dr. Jose Ignacio Calvo, la Dra. Laura Palacio y el Dr. Pedro Pradanos.Tampoco puedo dejar de lado a mi amigo cubano, el Dr. Daniel Jardines, gracias al cual tuve unaagradable estancia en Genova que nunca olvidare.

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La musica ha tenido mucha importancia en mi vida: Mi participacion en diversos coros y gruposde camara (la Polifonica, el Orfeon Trives, la Camerata Coral de la UC, la Rondalla de San Romany el grupo Retales) y los momentos como Director de Augustine, han ayudado mucho a mi bienestarpersonal. Gracias a todos los que habeis compartido conmigo los momentos de expansion musical,especialmente a los Maestros Javier Canduela y Antonio Noguera, al amigo Thales, a los miembros dela Camerata y a mis chicos: Sara, Sabri, Marimar, Oscar, Elena y Sandra. Ademas, debo aprovecharla ocasion para traer a la memoria a ese gran musico, maestro y amigo que fue D. Luis Olano.

Gracias tambien a los que han compartido, en los ultimos tiempos, mis momentos de asueto ju-gando al Squash, en particular a mi monitora Icıar, aunque mi oıdo derecho comience a padecer yalos sıntomas de sus instrucciones.

Hace algunos anos tuve la oportunidad de trabajar y vivir en Barcelona, donde me encontre comoen casa gracias a las Hermanas de la Escola Infant Jesus, y a los chicos y chicas que trabajaban conlos ninos. No puedo recordar a todos, pero seguro que Mireia Galobart, la directora del centro, meayuda a transmitirles mi gratitud: Gracias Mireia.

Los amigos de la infancia y de la juventud siempre estan ahı, ahora con familia propia: David ySoni, Ruben y Eli (y Jesus), Rebe y Alberto, Richard y Rocıo, Julio e Irene, Alex y Rocıo, . . . Ellos,al igual que el resto de la panda de San Roman, estan impacientes por ver esto acabado de una vez.No puedo dejar atras a mis amigos de Valladolid: Pala, Jorge, Pablo, Monica, Marıa, Natalia, Bea yChema. Desde la distancia, gracias por tan buenos momentos.

Es seguro que no estan todos los que son, pues la memoria es caprichosa, pero son todos los queestan. . .

. . .lo demas es silencio. . .

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A mis padres, Esther y Noe:su teson, su trabajo y su sacrificio

han sido los Doctores cuyas lecciones magistralesme han ayudado a llegar hasta aquı

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Figura 1: Recortes del artıculo original de G. Mie (1908): Solucion al campo difundido por una esfera.

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Indice general

1. Introduccion y Objetivo 11.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Objetivo de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Difusion de la Luz 52.1. Teorıa Electromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1. Ecuaciones de Maxwell y Campos Armonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2. Propagacion de Ondas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.3. Reflexion y Transmision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. Difusion por Estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.1. Difusion por una Partıcula Aislada en un Medio Homogeneo . . . . . . . . . . 122.2.2. Difusion por una Partıcula Sobre un Substrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.3. Difusion Multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3. Polarimetrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.1. Formalismos de Jones, Stokes y Mueller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.2. Representaciones Matriciales de Medios Opticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.3. Dispositivos de Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3. Descomposicion Polar 393.1. Principios Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.1. Criterio de Coherencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1.2. Concepto de Pureza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.1.3. Concepto de Despolarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.1.4. Descomposicion Polar en Sistemas No Despolarizantes . . . . . . . . . . . . . . 463.1.5. Descomposicion Polar en Sistemas Despolarizantes . . . . . . . . . . . . . . . . 463.1.6. Otros Tipos de PD en Sistemas Despolarizantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2. Aplicabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.1. Esfera Aislada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.2. Par de Esferas Metalicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2.3. Superposicion Incoherente de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4. Dispositivo Experimental 614.1. Analisis de Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1.1. Laser y Polarizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.1.2. Eleccion de Compensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.1.3. Otros Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2. Puesta en Marcha y Calibrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2.1. Polarımetro de Compensador Dual Rotatorio (DRCP) . . . . . . . . . . . . . . 724.2.2. Polarımetro de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3. Medidas en Sistemas Sencillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.3.1. Transmision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.3.2. Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.3.3. Difusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

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4.4. Elaboracion de Muestras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.4.1. Procedimiento Manual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.4.2. Muestras Fotolitograficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5. Resultados Experimentales 995.1. Estructuras tipo “Rib” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.1.1. Ribs de Silicio: Variacion con el Tamano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.1.2. Ribs de Silicio: Variacion con la Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.1.3. Ribs de Oro: Variacion con el Tamano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.1.4. Ribs de Oro: Variacion con la Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.2. Estructuras tipo “Groove” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.2.1. Grooves de Silicio: Variacion con el Tamano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.2.2. Grooves de Silicio: Variacion con la Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.2.3. Grooves de Oro: Variacion con el Tamano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.2.4. Grooves de Oro: Variacion con la Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.3. Simetrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.4. Despolarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.5. Diferenciacion Rib-Groove . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.5.1. Analisis Convencional de la Matriz de Mueller . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.5.2. Analisis Mediante PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.6. Partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.6.1. Nanopartıculas en Coloide: Nanosizing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.6.2. Depositos sobre Sustrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.7. Medios Densos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1445.8. Metrologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.8.1. Medidas sobre un Polarizador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.8.2. Medidas sobre un Retardador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6. Conclusiones y Trabajo Futuro 1516.1. Tareas Realizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.2. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.3. Perspectiva de Futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

A. Calculo de Fourier 155

B. Compendio de Resultados 165

Difusion de Resultados: Publicaciones y Congresos 181

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Indice de figuras

1. Recortes del artıculo de G. Mie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

2.1. Esquema de la reflexion y transmision de una onda electromagnetica. . . . . . . . . . . 92.2. Calculos de reflectancias en Agua y Oro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3. Calculo de reflectancias en funcion del angulo de incidencia: Reflexion total para el

Vidrio BK7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4. Representaciones graficas del problema de difusion por una partıcula. . . . . . . . . . . 122.5. Eficiencias de extincion en funcion del parametro de tamano de la partıcula para λ = 633

nm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6. Ejemplos de difusion de Mie para una partıcula aislada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.7. Trazado de rayos para un experimento de difusion por una partıcula con r = a λ . . 212.8. Difusion por una partıcula sobre un substrato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.9. Representaciones de la luz polarizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.10. Esquema general de un dispositivo polarimetrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.11. Configuracion de los polarımetros utilizados para la elaboracion de la memoria. . . . . 36

3.1. Difusion por una esfera aislada: (a) Esquema geometrico y (b) Simulacion del campo. 513.2. Esfera de Plata aislada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3. Esfera de vidrio aislada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4. Geometrıas experimentales de la difusion por un par de esferas. . . . . . . . . . . . . . 563.5. Evolucion de las magnitudes polarimetricas en la difusion por un par de esferas . . . . 573.6. Simulaciones de la difusion por un par de partıculas en campo cercano. . . . . . . . . . 573.7. Pureza de la matriz de Mueller y Capacidad de Despolarizacion resultante del PD,

en funcion del angulo de scattering (θ), en sistemas de dos partıculas (Ag) por sumaincoherente de estados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.8. Parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ), en un sistema de dos partıculas(Ag, r = 0,1λ; d = 0,1λ) por suma incoherente de estados. . . . . . . . . . . . . . . . . 59



4.1. Dispositivo Experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2. Caracterısticas de emision en intensidad del laser He:Ne. . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3. Medidas de elipticidad de las laminas retardadoras realizadas con dos detectores distintos. 644.4. Medidas de linealidad en el Detector 1 para λ = 633 nm. OD = 0 corresponde a una

potencia incidente de 5 mW. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.5. Perfil del haz laser (He:Ne) en la posicion de la muestra. . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.6. Fotografıas del dispositivo polarimetrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.7. Imagenes del PSG, del anclaje de la muestra y del PSA . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.8. Valores de la matriz de Mueller obtenidos en dos medidas para distintas velocidades de

paso de la Lamina 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.9. Ciclos de Fourier teoricos para medias en vacıo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.10. Calibrado del DRCP: Captura de pantalla y comparativa con un ciclo experimental. . 76

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4.11. Capturas de pantalla del programa de control del polarımetro. . . . . . . . . . . . . . 794.12. Captura de pantalla en el transcurso de una medida del DRCP. . . . . . . . . . . . . . 804.13. Captura de pantalla en el transcurso de una medida del SP. . . . . . . . . . . . . . . . 824.14. Matriz de Mueller experimental para la reflexion en una interfase de Vidrio BK7 . . . 844.15. Matriz de Mueller experimental para la reflexion en una interfase de Vidrio BaK1 . . . 854.16. Matriz de Mueller experimental para la reflexion en una interfase de Oro . . . . . . . . 864.17. Reflexion total en un prisma: Geometrıa del problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.18. Matriz de Mueller experimental para la reflexion total en Vidrio BK7 . . . . . . . . . . 874.19. Matriz de Mueller experimental para la reflexion total en Vidrio BaK1 . . . . . . . . . 884.20. Difusion por una superficie de spectralon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.21. Difusion por una superficie de escayola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.22. Difusion de una disolucion de partıculas de Poliestireno de 3 µm (0,001 % solido) en

α-glucosa 1M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.23. Deposicion de fibras sobre substrato: Dispositivo de deposicion y muestra fabricada. . 924.24. Fotografıa de una muestra de partıculas de Poliestireno de 1,1 µm (Microscopio Optico,

×100). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.25. Esquema positivado de la mascara fotolitografica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.26. Imagen de dos ribs obtenida por microscopıa electronica de barrido (SEM, ×6000). . . 944.27. Imagen del elemento 6B-F de una oblea de Silicio (Microscopio Optico, ×100). . . . . 954.28. Imagenes de imperfecciones en diferentes elementos de dos obleas de Silicio de alturas

1 µm y 2 µm (Microscopio Optico, ×100). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.29. Perfilometrıa del ataque en una oblea medida con un perfilometro de contacto. . . . . 974.30. Defecto de fabricacion en el elemento 5C, correspondiente a una oblea de Silicio 2 µm

de altura (Microscopio Optico, ×100). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.31. Imagenes de pares de estructuras obtenida por microscopıa electronica (SEM, ×3000). 98

5.1. Parametros de despolarizacion para una rib 1× 3 de Si. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.2. Parametros de despolarizacion para una rib 1× 4 de Si. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.3. Parametros de despolarizacion para una groove 1× 3 de Si. . . . . . . . . . . . . . . . 1005.4. Parametros de despolarizacion para una groove 1× 4 de Si. . . . . . . . . . . . . . . . 1005.5. Perfil de dos ribs: Magnitudes de la Muestra (h× w − d). . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.6. Patrones de difusion del parametro m00 calculados mediante ET para una rib de Au:

a) variacion con la altura h, b) variacion con la anchura w. . . . . . . . . . . . . . . . 1035.7. Difusion (medida con el SP) por una rib de Si (2 × 1 µm): Evolucion de la matriz de

Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . . . . . . . 1045.8. Difusion (medida con el SP) por una rib de Si (2 × 4 µm): Evolucion de la matriz de

Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . . . . . . . 1045.9. Difusion (medida con el SP) por una rib de Si (2 × 3 µm): Evolucion de la matriz de

Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . . . . . . . 1065.10. Difusion (medida con el DRCP) por una rib de Si (1 × 3 µm): Evolucion de la matriz

de Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . . . . . 1065.11. Difusion (medida con el DRCP) por dos ribs de Si (1 × 3 − 4 µm): Evolucion de la

matriz de Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . 1085.12. Difusion (medida con el DRCP) por dos ribs de Si (1 × 3 − 7 µm): Evolucion de la

matriz de Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . 1085.13. Difusion (medida con el SP) por una rib de Au (2× 1 µm): Evolucion de la matriz de

Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . . . . . . . 1105.14. Difusion (medida con el SP) por una rib de Au (2× 4 µm): Evolucion de la matriz de

Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . . . . . . . 1105.15. Difusion (medida con el SP) por una rib de Au (2× 3 µm): Evolucion de la matriz de

Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . . . . . . . 1115.16. Difusion (medida con el DRCP) por una rib de Au (1× 3 µm): Evolucion de la matriz

de Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . . . . . 111

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5.17. Difusion (medida con el DRCP) por dos ribs de Au (1 × 3 − 4 µm): Evolucion de lamatriz de Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . 113

5.18. Difusion (medida con el DRCP) por dos ribs de Au (1 × 3 − 7 µm): Evolucion de lamatriz de Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . 113

5.19. Difusion (medida con el DRCP) por una groove de Si (1×3 µm): Evolucion de la matrizde Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . . . . . 115

5.20. Difusion (medida con el DRCP) por una groove de Si (1×4 µm): Evolucion de la matrizde Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . . . . . 115

5.21. Difusion (medida con el DRCP) por dos grooves de Si (1× 3− 4 µm): Evolucion de lamatriz de Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . 117

5.22. Difusion (medida con el DRCP) por dos grooves de Si (1× 3− 7 µm): Evolucion de lamatriz de Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . 117

5.23. Difusion (medida con el DRCP) por una groove de Au (1 × 1 µm): Evolucion de lamatriz de Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . 118



5.26. Difusion (medida con el DRCP) por dos grooves de Au (1× 3− 4 µm): Evolucion de lamatriz de Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . 121

5.27. Difusion (medida con el DRCP) por dos grooves de Au (1× 3− 7 µm): Evolucion de lamatriz de Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . 121

5.28. Matriz pura y matriz de despolarizacion para una rib de Au (1× 3 µm): Evolucion delos elementos en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.29. Difusion por una rib de Silicio (elemento E4, 2× 2− 3 µm). . . . . . . . . . . . . . . . 1245.30. Difusion por el substrato de Silicio (elemento E4) y esquemas de medida. . . . . . . . 1255.31. Relacion de despolarizacion para la luz difundida por una estructura de Au (1× 4 µm)

rib/groove (punto negro), y por una groove (1× 4 µm) de Au/Si (triangulo rojo). . . . 1265.32. Relacion entre las eficiencias de despolarizacion asociadas a los distintos parametros di

para estructuras de 1× 4 µm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.33. Relacion entre las eficiencias de despolarizacion asociadas a los parametros di para los

substratos de las distintas estructuras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.34. Eficiencia de despolarizacion total entre substrato y estructuras de Si de 1× 4 µm (con

y sin suavizado de las curvas). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.35. Transmitancia total (m00) de las distintas geometrıas: Comparacion con modelos di-

fraccionales e interferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.36. Evolucion angular de ϕ, δ y ρ para distintas geometrıas tipo rib y groove en Au y Si. . 1315.37. a) Elementos mij vs. θ para una estructura de Silicio (1× 3 µm): Rib (negro) y groove

(rojo), b) Arriba: Parametros PD correspondientes con la rib a), y Abajo: ParametrosPD para la groove equivalente b). Los graficos centrales muestran el desfase, δ, obtenidovıa PD. c) Pendiente de δ para una rib/groove obtenida a traves del PD. Las barrasb/n muestran el signo dominante de la pendiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.38. Graficos de δ (arriba) y del signo de la pendiente de δ (abajo) para diferentes geometrıasy composiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.39. Difusion por nanopartıculas (Au, r = 50 nm): Evolucion de los elementos de la matrizde Mueller en funcion del angulo de scattering (θ) para muestras reales y simulacionteorica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.40. Difusion por nanopartıculas (Au, r = 50 nm): Evolucion de los parametros PD enfuncion del angulo de scattering (θ) para muestras reales y simulacion teorica. . . . . . 135

5.41. Difusion por nanopartıculas (Au, r = 50 nm, 70 µl/ml): Evolucion de los parametrosde despolarizacion en funcion de θ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

xv

5.42. Difusion por nanopartıculas (Au, r = 100 nm): Evolucion de los elementos de la matrizde Mueller en funcion del angulo de scattering (θ) para muestras reales y simulacionteorica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.43. Difusion por nanopartıculas (Au, r = 100 nm): Evolucion de los parametros PD enfuncion del angulo de scattering (θ) para muestras reales y simulacion teorica. . . . . . 137

5.44. Difusion por nanopartıculas (Au, r = 100 nm, 10 µl/ml): Evolucion de los parametrosde despolarizacion en funcion de θ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.45. Nanoesferas de Ag (r = 50 nm y r = 65 nm): Parametros PD para θ = 900. . . . . . . 1385.46. Nanoesferas de Ag (r = 20 nm y r = 30 nm): Parametros PD para θ = 900 y eficiencias

de difusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.47. Nanoesferas de Ag: Tendencia de los mınimos en ∆δ para θ = 900 en funcion del tamano.1385.48. Difusion por partıculas (Au, r = 1,1 µm) sobre sustrato (Au): Evolucion de los elemen-

tos de la matriz de Mueller en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . . . . . . . . 1395.49. Difusion por partıculas (Au, r = 1,1 µm) sobre sustrato (Au): Evolucion de los parame-

tros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.50. Difusion por partıculas (Au, r = 3,3 µm) sobre sustrato (Au): Evolucion de los elemen-

tos de la matriz de Mueller en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . . . . . . . . 1415.51. Difusion por partıculas (Au, r = 3,3 µm) sobre sustrato (Au): Evolucion de los parame-

tros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.52. Intensidad difundida (IS) por partıculas (Au) sobre sustrato (Au) en funcion del angulo

de scattering (θ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.53. Difusion por una fibra (Au, r ' 3,7 µm) sobre sustrato (Au): Evolucion de los elementos

de la matriz de Mueller en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . . . . . . . . . . 1435.54. Difusion por una fibra (Au, r ' 3,7 µm) sobre sustrato (Au): Evolucion de los parame-

tros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.55. Intensidad difundida (IS) por dos fibras (Au) sobre sustrato (Au) en funcion del angulo

de scattering (θ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.56. Parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ) para una muestra turbia de

partıculas de Latex en suspension acuosa (r = 3,3 µm). . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.57. Parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ) para una muestra turbia de

partıculas de Latex en suspension acuosa (concentracion de α-glucosa 1 M , r = 3,3 µm).1455.58. Variacion de la rotacion introducida en la luz transmitida por una solucion de α-glucosa

en funcion de la concentracion (se incluye la medida realizada para la suspension departıculas de Latex, r = 3,3 µm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.59. Perfil de la matriz de Mueller de un Polarizador a lo largo de 10 mm. . . . . . . . . . . 1465.60. Evolucion transversal (a lo largo de 10 mm) de los parametros resultantes de la aplica-

cion del PD a un Polarizador Lineal. De izquierda a derecha: El azimut α, la elipticidadβ y la transmitancia de un estado propio t1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.61. Perfil de la matriz de Mueller de una Lamina λ4 a lo largo de 6 mm. . . . . . . . . . . 147

5.62. Evolucion transversal (a lo largo de 6 mm) de los parametros resultantes de la apli-cacion del PD a una Lamina λ

4 . Parametros de: (a) Diatenuacion, (b) Retardo y (c)Despolarizacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.63. Evolucion transversal (superficie de 8×10 mm) de la matriz de Mueller y los parametrosPD principales de una Lamina λ

4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

B.1. Difusion (medida con el DRCP) por una rib de Si (1 × 1 µm): Evolucion de la matrizde Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . . . . . 165

B.2. Difusion (medida con el DRCP) por una rib de Si (1 × 4 µm): Evolucion de la matrizde Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . . . . . 166

B.3. Difusion (medida con el SP) por dos ribs de Si (2× 3− 4 µm): Evolucion de la matrizde Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . . . . . 166


xvi




B.8. Difusion (medida con el DRCP) por dos ribs de Si (1 × 3 − 5 µm): Evolucion de lamatriz de Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . 169

B.9. Difusion (medida con el DRCP) por dos ribs de Si (1 × 3 − 6 µm): Evolucion de lamatriz de Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . 169

B.10.Difusion (medida con el DRCP) por dos ribs de Si (1 × 3 − 8 µm): Evolucion de lamatriz de Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . 170

B.11.Difusion (medida con el DRCP) por una rib de Au (1× 1 µm): Evolucion de la matrizde Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . . . . . 170

B.12.Difusion (medida con el DRCP) por una rib de Au (1× 4 µm): Evolucion de la matrizde Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . . . . . 171

B.13.Difusion (medida con el SP) por dos ribs de Au (2× 3− 4 µm): Evolucion de la matrizde Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . . . . . 171





B.18.Difusion (medida con el DRCP) por dos ribs de Au (1 × 3 − 5 µm): Evolucion de lamatriz de Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . 174



B.21.Difusion (medida con el DRCP) por una groove de Si (1×1 µm): Evolucion de la matrizde Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . . . . . 175

B.22.Difusion (medida con el DRCP) por dos grooves de Si (1× 3− 5 µm): Evolucion de lamatriz de Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . 176



B.25.Difusion (medida con el DRCP) por dos grooves de Au (1× 3− 5 µm): Evolucion de lamatriz de Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . 177



B.28.Difusion (medida con el SP) por una rib de Si (2 × 2 µm): Evolucion de la matriz deMueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ). . . . . . . . . . . 179


xvii

xviii

Indice de tablas

2.1. Representacion matricial de sistemas opticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1. Aplicacion de la condicion de Coherencia a dos matrices teoricas. . . . . . . . . . . . . 42

4.1. Bandas de emision del laser Ar:Kr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2. Elipticidades de las laminas retardadoras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3. Matrices de calibrado para los dos detectores en identica configuracion experimental. . 654.4. Distancias entre elementos opticos y diametro de los mismos (mm). . . . . . . . . . . . 674.5. Configuraciones para el calculo de ciclos de Fourier teoricos. . . . . . . . . . . . . . . . 754.6. Medidas de sistemas opticos en transmision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.7. Medidas en vacıo no consecutivas del DRCP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.1. Valores del parametro ΥR−G para estructuras de perfil cuadrado. . . . . . . . . . . . . 1335.2. Tamanos de las partıculas depositadas sobre substrato (Au-Au). . . . . . . . . . . . . 1405.3. Tamanos de las fibras depositadas sobre substrato (Au-Au). . . . . . . . . . . . . . . . 142

xix

xx

Capıtulo 1

Introduccion y Objetivo

1.1. Introduccion

Nuestra relacion con el entorno se basa en la percepcion sensorial. Dentro de los sentidos, la vistaes el que nos aporta una informacion mas completa de todo lo que nos rodea, incluso de aquello queesta a una gran distancia. Si bien el ojo es el instrumento fundamental para la percepcion de estainformacion, la luz es la informacion en sı misma y, dadas las caracterısticas de nuestro sistema visualy la naturaleza de la luz, gran parte de la informacion permanece oculta (por ejemplo, la referente alestado de polarizacion o la que se encuentra fuera del espectro visible) haciendo necesario el uso desistemas de deteccion especıficos.

La complejidad de la luz se pone de manifiesto al observar que su naturaleza ha sido fuente degrandes debates cientıficos y que su descripcion completa, actualmente aceptada, no goza siquiera deun siglo de vida. Sin embargo, su estudio es fundamental para conocer el mundo que nos rodea: Ya seaobservando la radiacion emergente de astros lejanos en el universo, o recorriendo grutas con candiles olinternas, la luz ha sido una de las herramientas imprescindibles en la exploracion de nuestro entorno.

La posibilidad de observar y analizar sistemas de forma no invasiva y en su entorno habitual(observacion in-vivo) es, con toda seguridad, una de las aplicaciones fundamentales de la luz a ni-vel cientıfico-tecnologico. En este aspecto, el conocimiento de su naturaleza, como radiacion electro-magnetica, y de las propiedades de la fuente luminosa con la que exploramos dichos sistemas, nospermite determinar el comportamiento de estos a partir de las propiedades de la radiacion luminosaemergente de los mismos. Desde el momento en que la luz es formulada como una onda transversal, laorientacion del campo asociado a esa onda se convierte en una de sus caracterısticas principales, a laque nos referimos, de forma general, con el termino polarizacion [1, 2, 3]. Si caracterizamos completa-mente la luz que incide sobre un sistema, y tambien la que emerge del mismo, conseguiremos toda lainformacion referente al comportamiento de ese sistema para esa frecuencia y esa incidencia. A estaforma de caracterizar un sistema la denominamos polarimetrıa, aunque este termino es tan generalque abarca casi cualquier estudio relativo a la polarizacion de la luz.

Este planteamiento “directo” de la caracterizacion de sistemas tiene una motivacion mas profundaque la del conocimiento academico: Observando distintas muestras podemos obtener patrones delcomportamiento de las mismas, lo cual es fundamental para abordar el “problema inverso”, es decir,a partir del comportamiento de una muestra desconocida ser capaces de determinar su naturaleza,propiedades opticas y composicion. Este es el punto de partida de la polarimetrıa: Interpretar lainformacion obtenida del analisis polarimetrico de la luz emergente de un medio.

En los ultimos veinte anos, el interes de muchos investigadores se ha dirigido hacia tecnicas decaracterizacion no invasivas, basadas en el analisis de la luz difundida por los sistemas bajo estudio.Entre ellos cabe destacar la observacion de partıculas, aisladas o sobre sustratos, y tambien libres ocomo parte de sistemas agregados. Desde que la difusion de luz por cilindros o esferas fue resueltade forma analıtica por Mie [4], la teorıa de la difusion por partıculas regulares o irregulares ha sidodesarrollada ampliamente por muchos autores [5, 6, 7], que han construido potentes herramientas decalculo. Estas tienen la capacidad de encontrar soluciones aproximadas, basadas en soluciones exactas,del problema electromagnetico en cuestion. Como ejemplos, cabe citar el DDA [8], el T-Matrix [9], el

1

1.1. INTRODUCCION CAPITULO 1. INTRODUCCION Y OBJETIVO

Teorema de Extincion [10] o el FDTD [11], los cuales se describiran brevemente en la seccion 2.2.Existen variados metodos experimentales para el analisis de la luz difundida que, en la mayor

parte de los casos, son complementarios. Ası, es interesante citar las tecnicas estadısticas, tanto en eldominio del tiempo (Dynamic Light Scattering o DLS) como en el del espacio (correlaciones espacialeso angulares, speckle), o las geometrıas especiales (Total Integrated Scattering o TIS, backscattering,etc.). En relacion a las propiedades electromagneticas de la luz, la medida de la intensidad difundidaen combinacion con el estado de polarizacion de la misma, constituye una forma habitual de trabajo.Ademas, debemos recordar que estos metodos se complementan con el estudio de la respuesta espectralpara cada longitud de onda incidente.

Desde el punto de vista experimental, la configuracion geometrica puede ayudar a obtener unosobservables que se relacionen mas facilmente con las propiedades intrınsecas de los sistemas. Determi-nadas configuraciones merecen, en general, especial atencion: Las medidas en difusion hacia adelanteo en retrodifusion [12, 13] pueden ayudar a obtener unos parametros de gran interes en determinadomomento, mientras que, para ciertos tipos de sistemas en la nanoescala [14], la medida a 900 aportagran informacion sobre los mismos.

Resulta de gran ayuda a estos experimentos el uso de herramientas computacionales, como lascitadas anteriormente, que intentan predecir el comportamiento de determinados sistemas antes de sumedida experimental, permiten seleccionar la configuracion idonea y ayudan a explicar los resultadosexperimentales [15]. Si a este tipo de herramientas computacionales, le anadimos otra algebraica queayuda al tratamiento de resultados, como es el metodo de Descomposicion Polar (PD) aplicado a lasmatrices de Mueller [16], conseguimos que el trabajo de laboratorio se vea, por un lado, respaldadopor los resultados teoricos, y por otro, eficientemente analizado.

En la actualidad, la polarimetrıa, que permite obtener toda la informacion relativa a la polarizacionde la luz incidente y emergente de los sistemas, es una herramienta extendida en multitud de camposcientıficos, y algunas de sus aplicaciones son:

Industria y metrologıa optica: Caracterizacion de componentes opticos y microelectronicos [17,18, 19, 20, 21], analisis de componentes opticos [22], diseno y fabricacion de componentes [23],etc.

Radar e Imagen: Polarimetrıa de imagen [24, 25, 26] y aplicaciones Radar [27], como controlremoto, observacion de terrenos (vegetacion, humedad, arenales, glaciares,...), modelado y me-teorologıa, etc.

Medicina y biologıa [28, 29]: Estudio y caracterizacion de tejidos biologicos [30, 31], tomografıaoptica, oftalmologıa [32, 33, 34], deteccion de tejidos infartados o cancerosos [35], etc.

Fibras opticas y cristales fotonicos [36]: Sistemas de comunicacion, control y caracterizacion delos modos de dispersion, sensores, etc.

Difusion de luz por sistemas [6, 7]: Fenomenos atmosfericos y aerosoles [37], rugosidad y ca-racterizacion de superficies [38], determinacion de propiedades opticas y tamanos de partıculas(particle-sizing) [39, 40, 41, 42] en contaminantes, microorganismos, etc.

Investigacion en optica cuantica [43, 44]: Computacion cuantica y criptologıa.

Multicapas y pelıculas delgadas (Thin Films) [45, 46, 47].

Astrofısica [48, 49]: Polarimetrıa de Rayos-X y solar, analisis del polvo estelar y de atmosferasplanetarias, experimentacion bajo condiciones de microgravedad [50], etc.

Con frecuencia, estos campos se solapan y combinan.

2

CAPITULO 1. INTRODUCCION Y OBJETIVO 1.2. OBJETIVO DE LA TESIS

1.2. Objetivo de la Tesis

Teniendo en cuenta lo expuesto con anterioridad, el objeto de la presente memoria consiste enel estudio polarimetrico de la luz difundida por sistemas microestructurados sobre substrato y porpartıculas en suspension, aplicando el PD al tratamiento de las matrices de Mueller resultantes, deforma que se pueda obtener un avance en la resolucion del problema inverso. Para llevar a cabo larealizacion de medidas polarimetricas experimentales y el tratamiento de los resultados con nuevosalgoritmos que permitan procesar la informacion obtenida, ha sido necesario cumplir cuatro objetivosprincipales que se enumeran a continuacion:

1. Poner en marcha un dispositivo polarimetrico eficiente que permita la medida experimental demuestras difusoras, expresando la informacion en un formato convencional, como es la matriz deMueller.

2. Disponer de metodos de calculo capaces de simular matrices de Mueller cuando el calculo analıti-co no sea posible.

3. Disenar una herramienta matematica que permita transformar la informacion polarimetrica dela matriz de Mueller (4× 4) en una informacion cuyos parametros esten mas cercanos a la fısicade los sistemas.

4. Desarrollar estudios y casuıstica que permitan encontrar patrones de comportamiento, predecirgeometrıas, composicion y/o propiedades, de forma que ahondemos en el problema inverso.

A lo largo de la presente memoria se ha seguido el siguiente esquema:

Una introduccion teorica sobre la interaccion de la luz con la materia, las propiedades de laluz (entre ellas la polarizacion), la informacion que se puede obtener de ella y de los sistemasdifusores a partir de la polarizacion de la misma, los metodos de simulacion de difusion de luzpor sistemas y, brevemente, sobre los distintos dispositivos experimentales utilizados.

Una exposicion de las bases teoricas del PD: Las distintas variables que toman parte, la despo-larizacion de la luz y los tipos de PD existentes. Ademas, se mostrara la aplicacion del PD endistintas simulaciones de sistemas difusores, comprobando su validez, y dejando la herramientalista para el analisis de experimentos reales.

Una descripcion del dispositivo experimental polarimetrico, que merece una exposicion detenidade su diseno y puesta en marcha. Se detallaran las pruebas a las que fue sometido para comprobarsu correcto funcionamiento. En esta seccion se describira tambien la metodologıa de preparacionde muestras.

Un capıtulo de resultados, acompanados de su analisis y comentario, para un conjunto de sistemasreales:

Muestras planas microestructuradas

Soluciones coloidales de nanopartıculas metalicas

Superficies con depositos de partıculas y fibras.

Metrologıa y caracterizacion de componentes polarimetricos.

En la seccion final de esta memoria, se detalla un resumen de las conclusiones principales,ası como las perspectivas futuras de este trabajo.

Por ultimo, para facilitar la lectura de la memoria, han sido incluidos dos apendices: Uno de elloscon el tratamiento matematico de los datos del dispositivo polarimetrico, y otro con la serie defiguras resultantes del analisis polarimetrico de gran cantidad de sistemas microestructurados,que no podıan ser ubicados en el capıtulo de resultados.

3

1.2. OBJETIVO DE LA TESIS CAPITULO 1. INTRODUCCION Y OBJETIVO

4

Capıtulo 2

Difusion de la Luz por Micro- yNano-Estructuras

La vision del mundo que nos rodea esta gobernada inevitablemente por un fenomeno al que, confrecuencia, nos referimos por su termino anglosajon Scattering, ya que el termino en castellano, difu-sion, es ambiguo en su uso cientıfico. A pesar de esto, a lo largo de esta exposicion ambos terminosseran utilizados indistintamente. Ya sea de una forma cuantitativa o cualitativa, por medio de mo-delos fısico-matematicos o mediante nuestras impresiones sensoriales, describir la luz y su obligadainteraccion con la materia de nuestro entorno necesita de la introduccion del concepto de difusion. Talconcepto implica una redistribucion espacial de la energıa y la aparicion de luz en direcciones diferentesa las de emision de la fuente luminosa, las cuales son tıpicamente radiales, para fuentes extensas, olineales, para fuentes direccionales. Este mecanismo, al que estamos tan acostumbrados, unido al deabsorcion, es el responsable de procesos tan diversos como la diferente irisacion de los distintos tiposde nubes, la generacion del arco-iris, el color azul del cielo, las puestas de sol anaranjadas o el verdeintenso del follaje en los grandes bosques o en la selva.

El estudio generico de la difusion de la luz dentro de la Optica ha sido abordado por muchos autores,porque es basico y, por tanto, muy importante [6, 5]. Puesto que se trata de un vasto campo de trabajo,es normal que los procesos de difusion de luz sean estudiados comenzando con sistemas sencillos, apartir de los cuales se puedan ir estableciendo las reglas generales y los modelos matematicos quepermitan incrementar la complejidad. Atras queda la solucion de Mie [4] para el modelo de difusionde luz por una partıcula esferica aislada, que es, no obstante, el punto de partida de cualquier estudioque se pretenda realizar en torno al scattering.

Antes de comenzar a analizar el problema de la difusion de la luz y sus soluciones para unas deter-minadas configuraciones del difusor, es necesario describir la naturaleza de la luz desde un formalismoapropiado, lo que venimos a llamar Electromagnetismo. Esta disciplina suministra el aparato fısicoy matematico que ayudara a desarrollar los siguientes apartados. Es por esto que, en este capıtulo,presentaremos un resumen de los conceptos basicos y de las ecuaciones mas vinculadas a la resoluciondel fenomeno de la difusion de la luz por sistemas sencillos. En el ultimo apartado se resumen lasmagnitudes polarimetricas de mas interes para el desarrollo de esta tesis doctoral.

2.1. Fundamentos de la Teorıa Electromagnetica

2.1.1. Ecuaciones de Maxwell y Campos Armonicos

En lo que sigue, se adoptara una vision macroscopica del problema de la difusion de luz porpartıculas. Por lo tanto, el punto de partida para abordar el problema son las ecuaciones de Maxwell[51] para el campo electromagnetico macroscopico. Considerando que E es el campo electrico, B lainduccion magnetica, D es el desplazamiento electrico y H el campo magnetico [52]. Las ecuaciones

5

2.1. TEORIA ELECTROMAGNETICA CAPITULO 2. DIFUSION DE LA LUZ

de Maxwell en el Sistema Internacional se resumen como:

∇ ·D = ρ

∇×E +∂B∂t

= 0

∇ ·B = 0

∇×H− ∂D∂t

= J

(2.1)

Estas ecuaciones se complementaran con las siguientes, que unen la causa (E,H) con el efecto(D,B) a traves de la interaccion de la luz con el medio en el que se propaga:

D = ε0E + P

H =Bµ0−M

(2.2)

En la ec. 2.2, P es la polarizacion electrica (momento dipolar electrico medio por unidad devolumen), M es la magnetizacion (momento dipolar magnetico medio por unidad de volumen), y ε0 y µ0

son la permitividad y permeabilidad del vacıo, respectivamente. Se denomina ρ a la densidad de cargay J a la densidad de corriente. Ambas magnitudes estan asociadas a las comunmente denominadascargas libres.

Las anteriores ecuaciones no son suficientes por sı mismas, es necesario completarlas con las rela-ciones de constitucion del campo electromagnetico, que estan referidas a las propiedades del mediopor el que se esta propagando la luz:

J = σE

B = µH

P = ε0χE

(2.3)

donde σ es la conductividad del medio, µ es su permeabilidad magnetica, y χ su susceptibilidad electri-ca. A pesar de que estos coeficientes fenomenologicos dependen del medio en consideracion, podemossuponer que son independientes de los campos (medio lineal), de la posicion (medio homogeneo) yde la orientacion de los vectores de campo (medio isotropo). Afortunadamente, una gran cantidad demateriales cumplen estas premisas. No obstante, estos coeficientes no son, por norma general, inde-pendientes de la frecuencia (ω) ya que todos los materiales son, en mayor o menor medida, dispersivos[6].

Una posible solucion a la ecuacion de ondas (2.2) utilizada por su relativa sencillez, es la solucionarmonica:

E = E · exp(−iωt)H = H · exp(−iωt)

(2.4)

Existen dos expresiones para el factor dependiente del tiempo: exp(−iωt) o exp(+iωt). Noexiste diferencia entre ellas en lo que a cantidades de interes fısico se refiere, por lo que se ha tomadoel convenio de signo negativo, sugerido en varias referencias [53]. Aunque la eleccion es arbitraria, esnecesario respetar el criterio tomado, ya que de otro modo se alcanzarıan resultados inconsistentes.

Asumiendo la dependencia temporal armonica, y haciendo uso de las relaciones de constitucion,las ecuaciones de Maxwell se escriben:

∇ · (εE) = 0∇×E = iωµH

∇ ·H = 0∇×H = −iωεE

(2.5)

donde se ha hecho uso de la permitividad compleja, definida como:

ε = ε0(1 + χ) + iσ

µ(2.6)

6

CAPITULO 2. DIFUSION DE LA LUZ 2.1. TEORIA ELECTROMAGNETICA

Cualquier combinacion (E,H) que verifique las ecs. 2.5, es una onda electromagnetica propagantey, como tal, transporta energıa. El flujo de esta energıa viene determinado por el conocido vector dePoynting, cuya expresion viene dada por:

S = E×H (2.7)

La media temporal del vector de Poynting para campos armonicos esta ligada a la irradiancia, yse expresarıa como:

〈S〉 =12ReE×H∗ (2.8)

2.1.2. Propagacion de Ondas Planas

Hasta el momento se ha descrito solo el formalismo matematico del comportamiento temporal delcampo electromagnetico en un medio cualquiera, sin explicar como realiza su propagacion a traves delmedio en cuestion. Solo determinados campos electromagneticos, aquellos que satisfacen las ecuacionesde Maxwell, corresponden a una realidad fısica. Habitualmente son utilizadas las ondas electromagneti-cas planas para expresar la propagacion del campo electromagnetico. Representan bien la radiacionde una fuente distante y, ademas, cualquier onda se puede descomponer como suma de ondas planas.Una onda plana se puede expresar, si consideramos E0 y H0 vectores constantes, compatibles con lasecuaciones de Maxwell, de la forma siguiente:

E = E0 · exp(ikr− iωt)H = H0 · exp(ikr− iωt)

(2.9)

donde r es el vector de posicion respecto al origen del sistema de coordenadas y el vector de ondak = k′ + ik′′ es complejo en el caso mas general, con k′ y k′′ vectores reales. De esta forma, operandoen la ec. 2.9 obtenemos la siguiente expresion para el campo electromagnetico:

E = E0 · exp−(k′′r) · exp(ik′r− iωt)H = H0 · exp−(k′′r) · exp(ik′r− iωt)

(2.10)

siendo E0 · exp−(k′′x) y H0 · exp−(k′′r) las amplitudes de las ondas electricas y magneticas,respectivamente, y (φ = k′r− iωt) la fase de las mismas. Dado que, para cualquier vector real K, larelacion K · r =Constante define una superficie plana perpendicular a K, es inmediato ver que k′ esperpendicular a las superficies de fase constante y k′′ lo es a las superficies de amplitud constante. Siambos son vectores paralelos o k′′ = 0, ambos tipos de superficie coinciden y las ondas son homogeneas.En caso de que ambas componentes del vector de onda no sean paralelas, estaremos hablando de ondasinhomogeneas. La velocidad de propagacion de las superficies de fase constante, la velocidad de fase,es v = ω

k′ . Se denomina numero de onda a k′, y se ha definido como k′ = k′ · u siendo u el vectorunitario en la direccion de propagacion.

Las ecuaciones de Maxwell para ondas planas dan como resultado:

k ·E0 = 0k ·H0 = 0

k×E0 = ωµH0

k×H0 = −ωεE0

(2.11)

Las dos primeras igualdades son las condiciones de transversalidad, es decir, k y E0 son ortogonales,de igual modo que k y H0. Las siguientes muestran que E0 y H0 tambien son ortogonales. No obstante,los tres vectores son, en general, complejos, por lo que su interpretacion no es evidente, salvo que lasondas a considerar sean homogeneas. En tal caso, los campos reales E y H permaneceran en un planoperpendicular a la direccion de propagacion, y serıan perpendiculares entre sı. Existen ondas en lascuales no se cumple la condicion de homogeneidad como, por ejemplo, las ondas evanescentes, que sonondas planas locales inhomogeneas, de fase compleja, que se propagan en medios sin perdidas [54].

7


Las ondas evanescentes se propagan a lo largo del plano definido por la superficie del material y, almismo tiempo, se atenuan en la direccion normal a la superficie [55].

Operando en la tercera igualdad se puede ver que:

k · k = ω2εµ ⇐⇒ k′2 − k′′2 + 2ik′ · k′ = ω2εµ (2.12)

expresion particularmente interesante porque relaciona las propiedades opticas del medio (ε y µ) conpropiedades de la onda que lo atraviesa (a la izquierda de la ecuacion). Podemos escribir el vector deonda como k = (k′ + ik′′)u, donde k′ y k′′ son reales positivos y u es un vector real unitario en ladireccion de propagacion. De esta forma, si c es la velocidad de la luz en el vacıo y N es el ındice derefraccion complejo del medio, la ec. 2.12 impone que:

k = k′ + ik′′ =ωNc

N = c√εµ =

√εµ

ε0µ0

N = n+ ik

(2.13)

siendo n y k las partes real e imaginaria del ındice de refraccion, ambos reales positivos. El numero deonda en el espacio libre, considerando λ la longitud de onda en el vacıo, se define como ω

c = 2πλ

. Conesta notacion, la parte electrica de una onda plana homogenea toma la forma (el termino E puede sersustituido por H para obtener la parte magnetica):

E = E0 · exp−(

2πkzλ

) · exp(i2πnz

λ− iωt) (2.14)

con z = u · r, si escogemos el eje Z como direccion de propagacion de la onda.La ec. 2.14 introduce la conclusion mas interesante que se buscaba con esta parte de la memoria:

Las constantes opticas n y k determinan la velocidad de fase de la onda en el medio v = cn , y su

atenuacion al propagarse, respectivamente.Antes de pasar al siguiente punto, indagaremos un poco en el problema de la absorcion. El vector

de Poynting de una onda plana es:

S =12Re E×H∗ = Re

k∗(E ·E∗)

2ωµ∗

(2.15)

donde se ha supuesto que la onda es homogenea. Con lo cual, para una onda propagandose en ladireccion u

S =12Re

√ε

µ

|E0|2 exp−

(4πkzλ

)u (2.16)

resultando S en la direccion de propagacion. El modulo del vector de Poynting, promediado temporal-mente, es la irradiancia I, o cantidad de energıa que atraviesa el medio por unidad de area y tiempo.Cuando una onda homogenea atraviesa un medio, la irradiancia es atenuada exponencialmente. Dichaatenuacion viene dada por el coeficiente de absorcion caracterıstico del medio:

I = I0e−αz =⇒ α =

4πkλ

(2.17)

Hemos considerado que el medio material por el que se transmite la onda electromagnetica eshomogeneo, suposicion correcta en primera aproximacion. Aun ası, en los medios considerados comono homogeneos, la atenuacion de un impulso luminoso se debe tanto a la absorcion como a la difusion.

2.1.3. Reflexion y Transmision

Consideremos la incidencia de una onda electromagnetica sobre la superficie plana que separa dosmedios. Esta situacion, aparentemente simple, es de gran ayuda al desarrollo de esta memoria, ya queel analisis polarimetrico de la reflexion y la transmision sera utilizado como prueba para evaluar elcorrecto funcionamiento del dispositivo experimental. Ademas de esto, los resultados que se obtienenal imponer las condiciones de contorno de este problema ilustran la forma de trabajo de algunos delos metodos mas comunes para el analisis de los problemas de difusion por partıculas pequenas (porejemplo el MDIM, del que se hablara en la seccion 2.2.2).

8

CAPITULO 2. DIFUSION DE LA LUZ 2.1. TEORIA ELECTROMAGNETICA

Figura 2.1: Esquema de la reflexion y transmision de una onda electromagnetica con el vector electricoparalelo (flecha) o perpendicular (punto) al plano de incidencia

Incidencia normal

Sea una onda plana propagandose a traves de un medio no absorbente de ındice de refraccionN2 = n2, que incide sobre un medio cuyo ındice de refraccion es N1 = n1 + ik1, separado del primeropor una interfase plana (fig. 2.1). Denotaremos el campo incidente por Ei, y los campos transmitidoy reflejado por Et y Er, respectivamente. Las soluciones a las ecuaciones de Maxwell para Θi = 0 enambos lados de la interfase son:

Et · expiω(N1zc − t) (z > 0)

Ei · expiω(N2zc − t)+ Er · exp−iω(N2z

c − t) (z < 0),(2.18)

La continuidad de las componentes tangenciales del campo electrico a lo largo de z = 0 implica,para el caso de incidencia normal, que:

Ei + Er = Et (2.19)

y para las componentes tangenciales del campo magnetico se ha de cumplir:

Ei −Er =N1

N2Et (2.20)

donde hemos usado la ec. 2.11 y hemos supuesto µ1 = µ2 = 1. La solucion de ambas ecuaciones es:Er = rEi =⇒ r = 1−m

1+m

Et = tEi =⇒ t = 21+m

(2.21)

siendo r y t los coeficientes de reflexion y transmision, respectivamente, y N1N2

= m = n+ ik el ındicede refraccion relativo entre medios. La Reflectancia R a incidencia normal, definida como la relacionentre la irradiancia incidente y la reflejada, es

R = |r|2 =∣∣∣∣1−m1 +m

∣∣∣∣2 =(n− 1)2 + k2

(n+ 1)2 + k2(2.22)

Curiosamente R es cercano al 100 % tanto si n 1, n 1 o k 1, ya que, aunque el materialsea altamente absorbente, su alta Reflectancia impide que la onda se introduzca en este.

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Incidencia oblicua

Todas las ondas planas, que inciden normalmente sobre una interfase plana entre dos medios, sonreflejadas y transmitidas de acuerdo con la ec. 2.21 independientemente de su estado de polarizacion(orientacion de Ei), ya que no hay nada que rompa la simetrıa de revolucion en torno a la direccion depropagacion y, supuesta una interfase plana perfecta, tampoco habrıa luz en otras direcciones. Estasituacion es analoga, como se vera, a la difusion de la luz hacia delante (0°) o hacia atras (180°) poruna esfera isotropa o por una coleccion de partıculas orientadas de forma aleatoria, direcciones paralas cuales cualquier orientacion de la onda incidente se resuelve de forma similar. Cuando hay luzfuera de esas direcciones, se puede definir un plano de difusion respecto del cual cada polarizacion secomporta de un modo diferente. Algo parecido ocurre cuando la incidencia sobre la interfase planaes oblicua, ya que la direccion de incidencia y la normal determinan el plano de incidencia que, denuevo, rompe la simetrıa. Entonces la polarizacion de la onda incidente es realmente importante (Losconceptos relativos a la difusion y polarizacion seran tratados con mas profundidad en las secciones 2.2y 2.3). Si la luz incidente no esta polarizada, la luz reflejada o transmitida por la interfase puede estarloparcial o totalmente. Para tratar la reflexion consideraremos dos estados de polarizacion, uno paralelo(Onda P) y otro perpendicular (Onda S ) al plano de incidencia (fig. 2.1), determinado por la direccionde propagacion de la onda incidente y la direccion normal a la interfase. Cualquier onda puede serexpresada como combinacion de ambos estados, que ademas son independientes: Si la onda incidentees tipo S (respectivamente P) las ondas reflejada y transmitida son del tipo S (respectivamente P).

Consideremos el campo electrico incidente tipo P. Por la continuidad de las componentes tangen-ciales del campo electrico, se debe cumplir:

EPi cos Θi + EPr cos Θr = EPt cos Θt

EPi −EPr = N1N2

EPt

(2.23)

En reflexion Θi = Θr y, en primera aproximacion, para la refraccion:

sin Θt =sin Θi

m(2.24)

En general, la relacion entre Θt y las propiedades geometricas de la onda transmitida para medioscon ındice complejo produce ondas inhomogeneas que no son de aplicacion para los objetivos de estamemoria. Los coeficientes de reflexion y transmision obtenidos a partir de las ecs. 2.23 y 2.24, son:

rP = EPrEPi

= cos Θt −m cos Θicos Θt +m cos Θi

tP = EPtEPi

= 2 cos Θicos Θt +m cos Θi

(2.25)

Realizando un analisis semejante con la componente perpendicular del campo electrico, los coefi-cientes de reflexion y transmision resultan ser:

rS = ESrESi

= cos Θi −m cos Θtcos Θi +m cos Θt

tS = EStESi

= 2 cos Θicos Θi +m cos Θt

(2.26)

Las ecs. 2.25 y 2.26 son las Formulas de Fresnel para la reflexion y transmision de la luz en unainterfase plana. La Reflectancia R o factor de reflexion es una magnitud relativamente sencilla demedir o simular para cada tipo de polarizacion, y representa el cociente de energıa reflejada en lainterfase. Se puede obtener de forma especıfica para la onda incidente tipo S y P, o, de forma general,para luz incidente despolarizada:

RP = |rP |2, RS = |rS |2 o R =12

(RP +RS) (2.27)

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CAPITULO 2. DIFUSION DE LA LUZ 2.2. DIFUSION POR ESTRUCTURAS

(a) Agua, λ = 633 nm (b) Au, λ = 521 nm (c) Au, λ = 633 nm

Figura 2.2: Calculos de reflectancias para incidencia con polarizacion paralela (p), perpendicular (s)y despolarizada (t), en funcion del angulo de incidencia. Ejemplos de Agua pura y Oro a distintaslongitudes de onda.

En la fig. 2.2 se expone la evolucion angular de las reflectancias para el paso desde el vacıo alAgua (n633 ' 1,330) y al Oro (m633 = 0,197 + 3,0908i, m521 = 0,567 + 2,2026i) [56]. Para la situacionparticular de la interfase plana entre el vacıo (N2 = 1) y cualquier otro medio continuo, se puedenencontrar dos situaciones que mas adelante seran usadas para probar el dispositivo experimental (conla salvedad de incidir desde el aire, en lugar del vacıo):

1. Para una onda que circula por el vacıo e incide sobre un medio que no presente absorcion(N1 = n), RP 6= 0 siempre, pero existe un angulo de incidencia en el cual RP = 0. Para esteangulo, angulo de Brewster, la componente reflejada esta totalmente polarizada en direccionperpendicular al plano de incidencia, a partir de la ecuacion 2.25 se puede ver que:

tan ΘB = n (2.28)

2. Si, por contra, la superficie que atraviesa la onda plana tiene un ındice superior al del mediosobre el que incide, a partir de la ley de Snell se puede ver que (suponiendo, en este caso, ambosmedios no absorbentes):

sin Θt =n2

n1sin Θi (2.29)

encontrando que, para un n2 ≥ n1, existe un Θi = arcsin(n1n2

)(denominado angulo lımite o

angulo crıtico) entre 0 y π2 para el cual Θt = π

2 y, a partir del cual, al aplicar la Ley de Snell seobtendrıa sin Θt ≥ 1, solucion que resulta no ser real. Esta circunstancia especial, denominadareflexion total, se caracteriza porque la onda incidente es totalmente reflejada t = 0, como sepuede ver en la fig. 2.3 para el Vidrio BK7 (n633 = 1,51509) [56].

2.2. Difusion de luz por Estructuras

Cuando una partıcula es iluminada por un haz de unas caracterısticas conocidas, la cantidadtotal de luz difundida, sus propiedades polarimetricas y la distribucion angular de esta dependen, deforma unıvoca, de la composicion, forma y tamano de la partıcula. A pesar de que de esta afirmacionsurgen una amplia variabilidad de combinaciones y resultados, existen una serie de comportamientoscomunes a todos los procesos de difusion de la luz por partıculas, los cuales nos permiten abordarde una forma exitosa el gran reto de la resolucion del problema inverso. Salvo que sea necesariopara evitar la exposicion erronea de algun concepto, en los razonamientos sucesivos se hara referenciaunicamente al campo electrico. Se entiende que el campo magnetico cumple las mismas condicionesy queda unıvocamente determinado a partir de aquel, sin aportar una informacion util en materialesconsiderados como “no magneticos” (µ = 1), lo cual es tıpico en el rango visible, donde vamos atrabajar.

11

2.2. DIFUSION POR ESTRUCTURAS CAPITULO 2. DIFUSION DE LA LUZ

Figura 2.3: Calculo de reflectancias en funcion del angulo de incidencia: Reflexion total para el VidrioBK7.

2.2.1. Difusion por una Partıcula Aislada en un Medio Homogeneo

Supongamos una partıcula aislada, de un determinado tamano, composicion y forma, que es ilu-minada por un haz monocromatico con una polarizacion dada, vamos a determinar el campo electro-magnetico dentro de esta y el campo difundido por ella en cualquier punto del medio que la rodea. Elproblema se puede abordar partiendo de la ec. 2.5, de la cual se desprende la ecuacion de onda parael vector electrico que, para un medio lineal, homogeneo y libre de fuentes, es:

∇2E + k2E = 0 (2.30)

donde k2 = ω2εµ y ∇2E = ∇ · (∇E).

(a) Diagrama de contribuciones del campo. (b) Representacion de las componentes.

Figura 2.4: Representaciones graficas del problema de difusion por una partıcula.

Como se indica en la fig. 2.4(a), denominando E1 al campo electrico en el interior de la partıcula,E2 = Ei + Esca al campo electrico en el medio que la rodea, Ei al campo electrico incidente y Esca alcampo electrico difundido por la partıcula, la condicion de contorno para que la componente tangencialde E sea continua a lo largo de la superficie S es:

[E2(x)−E1(x)]× n = 0, x ∈ S (2.31)

siendo n el vector unitario normal a la superficie con direccion hacia el exterior. Como se puedever en las referencias [6], la anterior relacion es condicion necesaria y suficiente para la conservacionde la energıa a traves de la superficie, con lo cual, el problema se reduce a construir una soluciona las ecuaciones de Maxwell (2.5) que verifique las condiciones de contorno (2.31). La solucion alproblema de interaccion entre un campo electromagnetico y una partıcula puede ser obtenida mediante

12


la superposicion de soluciones fundamentales, como consecuencia de la linealidad de las ecuaciones deMaxwell y de las condiciones de contorno. Esto justifica el uso de ondas monocromaticas planas [57].Ademas, dado que una onda electromagnetica puede ser expresada como la superposicion de dosestados de polarizacion ortogonales [1], la solucion puede ser calculada de forma independiente paraambas componentes ortogonales.

En base a la fig. 2.4(b), la direccion de la luz incidente define el eje Z. La direccion de difusion er

y la de incidencia ez definen el plano de scattering, cuya funcion es analoga a la que cumplıa el planode incidencia en los problemas de reflexion de la seccion 2.1.3. No obstante, en aquellos casos es elmedio el que determina el plano, mientras que en los casos de scattering se puede separar el plano deincidencia (determinado por la normal y la direccion de incidencia) y el plano de scattering, que esvariable y queda determinado por la direccion de observacion y la normal. De modo que el plano descattering queda determinado de forma unıvoca por medio del angulo acimutal φ, salvo cuando ambasdirecciones coinciden. El campo incidente Ei puede descomponerse en la componente paralela al planode scattering (EPi) y la perpendicular (ESi), de forma que, si k = 2πN2

λ es el numero de onda en elmedio, λ es la longitud de onda para el campo incidente en el vacıo y N2 es el ındice de refraccion delmedio para esa longitud de onda

Ei = (E0PePi + E0SeSi) exp(ikz − iωt) = EPiePi + ESieSi (2.32)

con la base de vectores ortonormales:ePi = cosφex + sinφey

eSi = sinφex − cosφey

eSi × ePi = ez

(2.33)

Del mismo modo tenemos: eSi = −eφePi = sin θer + cos θeθ

(2.34)

donde er, eθ y eφ es la base ortonormal de vectores asociados al sistema de coordenadas esfericas (r,θ, φ).

En la region de campo lejano (kr 1), el campo electrico difundido (Esca) es aproximadamentetransversal (er ·Esca ' 0), con lo cual puede ser escrito como:

Esca = ES,scaeS,sca + EPseP,sca

eP,sca = eθ, eS,sca = −eφ, eS,sca × eP,sca = er(2.35)

Debido a la linealidad de las condiciones de contorno (2.31), la amplitud del campo difundido poruna partıcula es una funcion lineal de la amplitud del campo incidente, y se puede escribir de formamatricial, usando las relaciones 2.32 y 2.35, como:(

EP,sca

ES,sca

)=eik(r−z)

−ikr

(S2(θ, φ) S3(θ, φ)S4(θ, φ) S1(θ, φ)

)(EPi

ESi

)(2.36)

siendo denominada como matriz de amplitud de scattering, la matriz compuesta por los elementos Sj .

Difusion por una Esfera:

Cualquier solucion para el campo electromagnetico debe cumplir las relaciones impuestas por laec. 2.30, tener divergencia nula y una dependencia entre el campo electrico y magnetico de acuerdo ala ec. 2.5. A partir de aquı, se puede construir una solucion plausible. Imaginemos una esfera de radioa e ındice de refraccion N1, inmersa en un medio de ındice de refraccion N . Supongamos que, dadauna funcion escalar ψ y un vector constante c, construimos el siguiente vector:

M = ∇× (cψ) (2.37)

resultando que, como la divergencia del rotacional de cualquier vector es nula,

∇ ·M = 0 (2.38)

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Sustituyendo M en la ecuacion de onda (2.30) y aplicando algunas identidades vectoriales, se puedeafirmar que M cumple la ecuacion de onda si y solo si ψ es una solucion de la ecuacion de onda escalar:

∇2ψ + k2ψ = 0 (2.39)

Si construimos una nueva funcion vectorial N = ∇×Mk , la cual satisface la ecuacion de onda y tiene

divergencia nula, se cumplira:∇×N = kM (2.40)

de forma que M y N presentan todas las propiedades exigidas a un campo electromagnetico: Satis-facen la ecuacion de onda vectorial, presentan divergencia cero y, finalmente, el rotacional de M esproporcional a N, y viceversa. El problema se reduce, pues, a encontrar soluciones a la ecuacion deonda escalar. Es por esto que ψ es denominada funcion generadora para los vectores armonicos M yN, y c recibe el nombre de vector guıa.

Una forma de abordar la solucion es mediante el trabajo en coordenadas esfericas. En cuyo caso rpuede ser elegido como vector guıa, y la ecuacion de onda escalar es:

1r2

∂

∂r

(r2∂ψ

∂r

)+

1r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂ψ

∂θ

)+

1r2 sin θ

∂2

∂θ2+ k2ψ = 0 (2.41)

la cual, si se usan soluciones del tipo ψ (r, θ, φ) = R(r) · Θ(θ) · Φ(φ), da lugar a tres ecuaciones devariables separadas en las que aparecen dos constantes m = 0, 1, . . ., y n = m,m + 1, . . ., que sondeterminadas por las condiciones que la funcion ψ (r, θ, φ) debe satisfacer. Finalmente, las funcionesque satisfarıan la ecuacion escalar de onda en coordenadas esfericas son:

ψemn = cos(mφ) · Pmn (cos θ) · zn(kr)ψomn = sin(mφ) · Pmn (cos θ) · zn(kr)

(2.42)

donde zn es cualquiera de las cuatro funciones de Bessel esfericas (jn,yn,h(1)n y h(2)

n , estas dos ultimastambien denominadas funciones de Hankel), Pmn (cos θ) son las funciones asociadas de Legendre deprimer orden, y los subındices e y o hacen referencia a la paridad (even y odd). Cualquier funcion quesatisfaga la ecuacion de ondas escalar en coordenadas esfericas se puede ser expandida en una serieinfinita de estas funciones.

Los armonicos esfericos vectoriales (AEV) generados por las funciones ψemn y ψomn son:Memn = ∇× (rψemn)

Nemn = ∇×Memnk

,

Momn = ∇× (rψomn)

Nomn = ∇×Momnk

(2.43)

Cualquier solucion de las ecuaciones de campo puede ser expandida en series infinitas de estasfunciones. De este modo, se puede expandir una onda plana en AEV. De acuerdo con la fig. 2.4(b), sepuede escribir una onda plana incidente polarizada en x en coordenadas polares como:

Ei = E0 expikr cos θex (2.44)

para la cual, la expansion en terminos de AEV es:Ei = E0

∞∑n=1

in 2n+1n(n+1)

(M(1)

o1n − iN(1)e1n

)

Hi = −kωµE0

∞∑n=1

in 2n+1n(n+1)

(M(1)

e1n + iN(1)o1n

) (2.45)

Se debe expandir en AEV tambien el campo en el interior de la partıcula (E1,H1) y el difundido(Esca,Hsca). Si se aplican las condiciones de contorno en la superficie de la esfera:

(Ei + Esca −E1)× er = (Hi + Hsca −H1)× er = 0 (2.46)

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al unirlas con la ortogonalidad de los AEV y con la forma que adopta la expansion del campo incidente,condicionan la forma de expansion del campo dentro de la esfera:

E1 =∞∑n=1

En

(cnM

(1)o1n − idnN

(1)e1n

)

H1 = −k1ωµ1

∞∑n=1

En

(dnM

(1)e1n + icnN

(1)o1n

) (2.47)

siendo µ1 la permeabilidad de la esfera y En = E0in 2n+1n(n+1) .

La expresion para el campo difundido en aproximacion de campo lejano, es:Esca =

∞∑n=1

En

(ianN

(3)e1n − bnM

(3)o1n

)

Hsca = kωµ

∞∑n=1

En

(ibnN

(3)o1n + anM

(3)e1n

) (2.48)

donde el ındice (3) hace referencia a la dependencia radial de los AEV con la funcion generadoraconstruida a partir de h(1)

n . Las expresiones explıcitas para los coeficientes de difusion se obtienen enbase a la aplicacion de las condiciones de contorno (2.46). Por norma general, y en primera aproxima-cion, el campo difundido es una superposicion de los modos normales an y bn. Si suponemos que lapermeabilidad de la partıcula y la del medio son iguales (µ = µ1) los coeficientes an y bn se puedenexpresar, introduciendo las funciones de Riccati–Bessel ψn(ρ) y ξn(ρ), como:

an = mψn(mx)ψn(x)′ − ψn(x)ψn(mx)′

mψn(mx)ξn(x)′ − ξn(x)ψn(mx)′

bn = ψn(mx)ψn(x)′ −mψn(x)ψn(mx)′

ψn(mx)ξn(x)′ −mξn(x)ψn(mx)′

(2.49)

siendo x = ka = 2πNaλ

el parametro de tamano de la esfera, a el radio de la misma y m = k1k

= N1N

su ındice de refraccion relativo.

Figura 2.5: Eficiencias de extincion en funcion del parametro de tamano de la partıcula para λ = 633nm

15


A partir de los coeficientes de difusion se pueden definir la seccion eficaz de extincion, la seccioneficaz de difusion y la seccion eficaz de absorcion que, en terminos geometricos, vienen a ser las areasefectivas que presenta la partıcula ante estos fenomenos:

σext = 2π

k2

∞∑n=1

(2n+ 1)Rean + bn

σsca = 2πk2

∞∑n=1

(2n+ 1)(|an|2 + |bn|2

)σabs = σext − σsca

(2.50)

cuyas eficiencias (Qext, Qsca y Qabs) vendrıan dadas por la relacion entre estas secciones y el areageometrica real transversal (σ0) de la partıcula (area de su proyeccion sobre un plano normal a ladireccion del haz incidente, e.g. para esferas σ0 = πa2). Mientras que las secciones eficaces presentanunidades de area, las correspondientes eficiencias son adimensionales. Estas expresiones, calculadaspara un haz de luz con polarizacion lineal en x son validas para cualquier haz linealmente polarizado,ya que solo harıa falta volver a interpretar cual es la direccion x. La tercera ecuacion de la expresion2.50 representa el denominado teorema optico: La extincion es el efecto combinado de la absorcion porla partıcula y la difusion en el resto de direcciones, y depende unicamente de la amplitud de difusionen la direccion 00 [6].

Se puede analizar brevemente la fig. 2.5, calculada a partir de los algoritmos de la referencia [58],en la que se presenta la eficiencia de extincion en funcion del parametro de tamano de la partıcula(ka). Se aprecia como, para materiales dielectricos, la eficiencia aumenta de forma paulatina hastaencontrar un maximo en torno a x = 4,0 para el Vidrio y x = 6,5 para el Agua. Aparece, asimismo,una oscilacion de baja frecuencia sobre la cual se superpone una oscilacion de mas alta frecuencia,ribeteando la estructura. La oscilacion es denominada estructura interferencial, mientras el ribeteadoviene impuesto por las resonancias de Mie (efecto de los coeficientes an y bn cuyos denominadorestienden a 0). La estructura del conductor, Oro en este caso, no presenta el mismo patron, siendounicamente visibles los picos equiespaciados. En la fig. 2.5 se intuye lo que se ha venido a denominarparadoja de extincion, es decir, que lım

x→∞Qext(x,m) = 2. La optica geometrica no es capaz, por

sı misma, de explicar esta situacion: Un objeto grande no podrıa extinguir el doble de energıa que llegaa el. No obstante, un calculo conjunto de teorıa geometrica y difraccional (difraccion de Fraunhofer)[6] darıa como resultado una seccion eficaz de extincion σext = 2σ0, dos veces superior a la secciongeometrica del objeto, deshaciendo tal paradoja.

Partıculas con r ' λ: Difusion de Mie

A pesar de que el calculo teorico general para esferas fue llevado a cabo por Gustav Mie [4], loque tradicionalmente se denomina difusion de Mie es la difusion de la luz por partıculas cuyo radio es,aproximadamente, del tamano de la longitud de onda de la luz que incide sobre ella. Esta restriccionaparente es debida a que, para tamanos mayores es posible hacer aproximaciones geometricas alproblema, y para tamanos menores resulta apropiada una aproximacion dipolar (scattering Rayleigh).Como ejemplo de este tipo de scattering, muestro en la fig. 2.6 los diagramas de difusion generadospara varios parametros de tamano de partıcula, para Oro y Agua (este ultimo comparable con lasgotas atmosfericas), y para polarizacion incidente paralela y perpendicular.

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(a) Onda P: Oro (b) Onda S: Oro

(c) Onda P: Agua (d) Onda S: Agua

Figura 2.6: Ejemplos de difusion de Mie para una partıcula aislada (λ = 633 nm). Diagramas polarescon escala radial logarıtmica para x = 0,5, x = 2 y x = 10

Cabe destacar que, para partıculas pequenas, la componente P a 900 tiende a 0. Las desviacionesde este comportamiento indican, bien un mayor tamano de las partıculas (x ∼ 1 o mayor), o bien laaparicion de efectos de difusion multiple, relacionados con la coexistencia de varias partıculas vecinasen un entorno cercano (agregados) [59]. Por otro lado, es observable el hecho de que la contribucion dela luz difundida hacia atras (en la zona proxima a los 1800 o region de backscattering) es mucho menorque en la zona proxima a los 00 (denominada forward-scattering). La contribucion de backscatteringaumenta con el tamano de la partıcula, llegando a ser predominante, lo que sucederıa si la partıculaalcanzara tamano suficiente para ser considerada como una superficie en la que el haz se reflejara. Lalobulacion existente en los diagramas de difusion puede ser utilizada para el calculo del tamano de lapartıcula, como se ha demostrado en distintas referencias [60].

Aunque hasta el momento no se ha hecho referencia al haz incidente, es necesario aclarar que elhaz realmente no es infinito como se ha supuesto en todas las situaciones previas. No obstante, si seconsidera un tıpico haz gausiano, de un tamano superior al obstaculo, la hipotesis de un haz idealplano e infinito es plausible.

Los modelos de calculo para sistemas Mie se basan en la resolucion directa de la teorıa de Mie,aplicando la solucion recurrente de los coeficientes de difusion mediante las reglas de calculo y de-rivacion de las funciones de Bessel y Hankel. Esto permite calcular en buena aproximacion, con unerror conocido en el redondeo del calculo y dependiente de la cantidad de terminos que se estimen, lassecciones eficaces y el diagrama de difusion asociados al problema en cuestion.

Partıculas Pequenas (r λ): Difusion de Rayleigh y Aproximacion Electrostatica

Para el supuesto de partıculas mucho mas pequenas que la longitud de onda, es necesario ir unpoco mas alla en la teorıa de Mie. La expansion de las funciones de Bessel en serie de potencias,cortando en los terminos de orden x6 y suponiendo µ1 = µ, da lugar a los siguientes coeficientes para

17


los modos TE (ai) y TM(bi):

a1 = − i2x3

3m2 − 1m2+2

− i2x5

5(m2 − 2)(m2 − 1)

(m2 + 2)2 + 4x6

9(m2 − 1)2

(m2 + 2)2 +O(x7)

b1 = − ix5

45 (m2 − 1) +O(x7)

a2 = − ix5

15m2 − 12m2 + 3

+O(x7)

b2 = +O(x7)

(2.51)

A partir de esta relacion, suponiendo partıculas pequenas (|m|x 1), tenemos que |b1| a1, conlo cual el modo TE es dominante, y para terminos de orden x3:

a1 = − i2x3

3m2 − 1m2 + 2

(2.52)

Si la luz incidente es despolarizada, la irradiancia difundida por la partıcula sera:

Isca =8π4Na6

λ4r2

∣∣∣∣m2 − 1m2 + 2

∣∣∣∣2︸︷︷︸∗

(1 + cos2 θ)Ii (2.53)

con lo cual, si el termino senalado (∗) es debilmente dependiente de la longitud de onda (afirmacion novalida, por ejemplo, para partıculas metalicas) la irradiancia difundida sera proporcional a 1

λ4 . Estetipo de difusion es conocida como difusion Rayleigh. Las eficiencias de absorcion y scattering en estecaso, cumplen:

Qabs ∝1λ, Qsca ∝

1λ4

(2.54)

es decir, si la extincion es dominada por la absorcion, es proporcional a λ−1, mientras que si esdominada por la difusion, varıa con λ−4. De tal forma que las longitudes de onda mas cortas seextinguen de forma mas eficiente que las largas. Esto produce un desplazamiento hacia el rojo (enterminos del espectro visible) del espectro de la luz transmitida por un grupo de partıculas pequenas,al tiempo que el espectro de la luz difundida sufre un desplazamiento hacia el azul. Para este caso,el diagrama de difusion depende fuertemente de la polarizacion incidente, siendo constante para lacomponente perpendicular al plano de scattering (vease el caso x = 0,5 en la fig. 2.6):

iP = 9|a1|24k2r2 cos2 θ

iS = 9|a1|24k2r2

i = 12(iP + iS)

(2.55)

Resulta conveniente adelantar aquı, por su interes, uno de los resultados relativos a la parte depolarimetrıa (seccion 2.3). Recordemos que el grado de polarizacion lineal de un haz de luz viene dadopor:

PL =iS − iPiS + iP

(2.56)

Si lo aplicamos a la luz difundida por una partıcula en regimen de difusion Rayleigh, por mediode la ec. 2.55 obtenemos:

PL =1− cos2 θ

1 + cos2 θ(2.57)

siempre positivo o cero para partıculas pequenas. Para la luz difundida a 900 resultara PL = 1, comose anticipaba en la fig. 2.6. En difusion Rayleigh, PL es independiente del tamano de la partıcula. Noobstante, la precision de esta prediccion disminuye a medida que |m| aumenta [6].

18


Las eficiencias de absorcion y de scattering para partıculas pequenas con µ1 = µ pueden escribirsecomo:

a1 = − i2x3

3ε− 1ε+ 2

=⇒

Qabs = 4xImε1 − εmε1 + 2εm

︸︷︷︸

∗

Qsca = 83x

4

∣∣∣∣ ε1 − εmε1 + 2εm

∣∣∣∣2︸︷︷︸∗

(2.58)

siendo ε1 la permitividad de la esfera y εm la del medio.Como se demostrara a continuacion, la cantidad (∗) aparece en el problema electrostatico de un

dipolo dentro de un campo electrostatico. Suponiendo un potencial escalar tal que Ei = −∇Φi coni = 1 para el campo dentro de la esfera e i = 2 para el campo en el exterior, se tiene en aproximacionde campo lejano:

Φ1 = − 3εmε1+2εm

E0r cos θ

Φ2 = −E0r cos θ + a3E0ε1 − εmε1 + 2εm

cos θr2︸︷︷︸

p

(2.59)

donde |p| = p = qd es el momento dipolar existente entre dos cargas puntuales (+q,−q) separadasuna distancia d. En aproximacion de dipolo ideal d→ 0 y el potencial es:

Φ =pr

4πεmr3=

p cos θ4πεmr2

(2.60)

con el siguiente momento dipolar:

p = 4πεma3 ε1 − εmε1 + 2εm

E0 (2.61)

es decir, el campo aplicado induce un momento dipolar en la partıcula proporcional al mismo. Parael caso de una esfera se puede especificar una polarizabilidad, α, definida como:

p = εmαE0

α = 4παcm = 4πa3 ε1 − εmε1 + 2εm

(2.62)

donde se ha introducido la definicion de αcm, la denominada polarizabilidad de Clausius-Mosotti, quedefine una cantidad microscopica en funcion de cantidades que pueden determinarse en una basemacroscopica [61].

Pese a que estos resultados son aplicables solo a campos estaticos, la extrapolacion a ondas planases directa: Si p = εmαE0e

−iωtex es el momento dipolar de un dipolo ideal, situado en z = 0 e iluminadopor una onda plana polarizada en x, el campo electrico irradiado (difundido) por el dipolo es [52]:

Esca = expik(r − z)ikr

XE

X = ik3

4π α[er × (er × ex)]

(2.63)

donde se ha extraıdo la parte dependiente de la frecuencia. Las secciones eficaces de extincion y difusionpara el dipolo son:

σabs = kImα = πa24xImε1 − εmε1 + 2εm

σsca = k4

6π |α|2 = πa2 8

3x4∣∣∣ ε1 − εmε1 + 2εm

∣∣∣2 (2.64)

Como se puede apreciar, las relaciones 2.64 y 2.58 son formalmente identicas. De esta forma elproblema de difusion por partıculas pequenas se puede abordar considerando el campo difundido

19


por dipolos localizados en lugar de las partıculas. Esta suposicion es correcta siempre que se cumpla|m|x 1, condicion que implica un parametro de tamano muy pequeno y un campo electrico incidentecuya frecuencia propia de oscilacion (ω) sea suficientemente baja como para que el campo penetre enla partıcula. No se ha hecho mencion al caso en el que la permeabilidad magnetica del medio yla partıcula difieren (partıculas magneticas), en cuyo caso habrıa que tener en cuenta tambien losdipolos magneticos.

A partir de la aproximacion dipolar para una partıcula esferica pequena se pueden obtener, me-diante un razonamiento semejante aunque algo mas complejo, las polarizabilidades asociadas a unapartıcula elipsoidal pequena, con uno de sus semiejes ai (i = 1, 2, 3) paralelo al campo incidente:

αi = 4πa1a2a3ε1 − εm

3εm + 3Li (ε1 − εm)(2.65)

donde la distribucion de carga para el semieje i-esimo es:Li = a1a2a3

2

∫∞0

dq

(a2i+q)f(q)

f(q) =

√3∏i=1

(q + a2

i

) (2.66)

El caso particular de esferas pequenas pero anisotropas, o esferoides cuya orientacion es aleatorianecesita de un tratamiento algo mas detallado. Para tal proposito se define, en aproximacion dipolar,el tensor de polarizabilidad αij : px

pypz

= εm

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

E0x

E0y

E0z

(2.67)

siendo E0x, E0y y E0z las componentes del campo incidente sobre la partıcula relativas a los ejesprincipales de la misma. De este modo, en virtud del teorema optico, si la luz incidente esta polarizadaen direccion x′, la seccion eficaz de absorcion se puede escribir, de forma general como:

σabs,x′ =kImpx′εmE0x′

(2.68)

con lo cual, para partıculas simetricas anisotropas, los promedios estadısticos daran lugar a la obtencionde las secciones eficaces de difusion y absorcion medias: 〈σsca〉 y 〈σabs〉.

Partıculas Grandes (r λ): Aproximacion Geometrica

Los conceptos aproximados, simples e intuitivos de la optica geometrica y el trazado de rayospueden ayudar en la resolucion de los problemas de difusion cuando la teorıa exacta complica sis-tematicamente la solucion. Los coeficientes de reflexion y transmision en la interfase entre la partıculay el medio, es decir, la aplicacion de las ecuaciones de Fresnel y la ley de Snell a una estadıstica derayos incidentes en la partıcula, dan lugar a expresiones concretas para el campo y las eficiencias descattering que ilustran el proceso en cuestion [62]. En la fig. 2.7 se ilustra el proceso de difusion poruna partıcula grande.

Para dar una idea del potencial de esta aproximacion a la hora de calcular las eficiencias de losprocesos, presento las lıneas generales seguidas para su calculo.

Si Ii es la irradiancia total incidente sobre la partıcula, T (θi, n) y R(θt, 1n) son la transmitancia y re-

flectancia para luz despolarizada con un angulo de incidencia θi y de transmision θt, ξ = 2a√n2 sin2 θin

es el camino optico recorrido por el rayo entre los puntos 1 y 2 (fig. 2.7) y α es el coeficiente de ab-sorcion de la partıcula, la energıa absorbida por unidad de tiempo en el interior de la esfera se puedeexpresar como [6]:

Wabs = Ii2πa2

∫ π2

0

T (θi, n)

∞∑j=0

[R(θt,

1n

) exp−αξ]j (1− exp−αξ) cos θi sin θidθi

(2.69)

20


Figura 2.7: Trazado de rayos para un experimento de difusion por una partıcula con r = a λ

expresion que se consigue mediante la suma de la contribucion energetica de todas las reflexionesinternas de ambas componentes (S y P) de polarizacion para un rayo incidente dado, que es integradoa todos los posibles angulos de incidencia (entre 0 y π

2 ).Pese a que las ecuaciones de Fresnel y la ley de Snell son aproximaciones, la ec. 2.69 es completa-

mente general. La suma de la serie infinita es:∞∑j=0

[R(θt,

1n

) exp−αξ]j

=1

1−R(θt, 1n) exp−αξ

(2.70)

Si suponemos que la partıcula absorbe debilmente la luz incidente (2aα 1), los terminos deabsorcion se pueden simplificar quedando como sigue:

1− exp−αξ ' αξ, 11−R exp−αξ

' 1T

(2.71)

habiendo hecho uso de las relaciones recıprocas entre coeficientes de Fresnel y de la conservacion dela energıa (R + T = 1). Una vez llegado este punto, se obtiene la expresion de la seccion eficaz deabsorcion (σabs = Wabs

Ii):

σabs =43πa3α

n

[n3 − (n2 − 1)

32

](2.72)

La energıa difundida por una esfera grande (Wsca) puede descomponerse, desde el punto de vistageometrico y en primera aproximacion, en las siguientes contribuciones:

Wsca = Wdif +Wref +Wtr (2.73)

entre las que forman parte la difraccion, la reflexion y la transmision. Esta ultima se puede descom-poner, a su vez, en la contribucion tras cada una de las reflexiones internas:

Wtr =∞∑j=0

Wtr,j (2.74)

La eficiencia de reflexion (Qref = Wref

Ii) es:

Qref = 2∫ π

2

0R(θi) cos θi sin θidθi (2.75)

de forma que, en el lımite, toda la luz que entra en una esfera absorbente suficientemente grande esabsorbida.

Si la esfera no es absorbente, la eficiencia de difusion podra expresarse, de forma analoga a la ec.2.73:

Qsca = Qdif +Qref +Qtr

21


Partıculas No Esfericas Regulares e Irregulares: Modelos Computacionales

Las partıculas esfericas en la naturaleza son, por norma general, la excepcion. No obstante, losmodelos matematicos para simulacion mas sencillos suelen, con frecuencia, dar resultados muy cercanosa la realidad, utilizando modelos en los que los sistemas son simulados con partıculas esfericas, auncuando el sistema se aleja de dicha suposicion. En general, todos los metodos de resolucion de problemasde difusion de luz por partıculas sin simetrıa se basan en el hallazgo de expresiones analıticas onumericas de las amplitudes de difusion, es decir, de los elementos de la matriz de amplitud descattering (ec. 2.36). Una revision amplia y bastante detallada acerca de la difusion por partıculasirregulares puede encontrarse en la referencia [63].

El metodo de separacion de variables es aplicable en sistemas cuya geometrıa coincida con sistemasde coordenadas que lo permitan. Anteriormente se ha expuesto el caso de Mie y Rayleigh, ambosbasados en este metodo analıtico. Elipsoides y cilindros son ejemplos de aplicacion de este metodo.No obstante, su computacion es complicada y lenta, sobre todo en partıculas grandes o en las que senecesita un calculo estadıstico de orientaciones.

Uno de los metodos numericos mas utilizados es conocido como metodo de dipolo acoplado (CDM),expuesto por Purcell y Pennypacker [64], que computa el momento dipolar inducido en cada uno delos atomos por el campo incidente y el efecto combinado de este con el generado por el resto de losatomos. La partıcula es dividida en un numero de elementos identicos considerando cada uno de elloscomo un oscilador dipolar, cuya polarizabilidad es derivada de la relacion de Clausius-Mosotti (2.62),obteniendo ası la funcion dielectrica de la partıcula. El campo difundido por cada dipolo es calculadode forma iterativa, de forma que el campo total difundido, las secciones eficaces y el diagrama dedifusion pueden ser obtenidos mediante la combinacion de todos los campos dipolares.

En la actualidad el CDM ha pasado a denominarse Aproximacion de Dipolo Discreto (DDA) , a lavez que ha sido mejorado en algunos aspectos de calculo y computacion. Existen diversos codigos deimplementacion del DDA, destacando el de Amsterdam (ADDA) y el codigo introducido por Draine[8]. La polarizabilidad propuesta por Draine [65] es:

α =αcm

1− 23 ik

3αcm(2.76)

donde αcm es la polarizabilidad de Clausius-Mosotti (2.62) y 23 ik

3 es la correccion de la reaccion deradiacion, o correccion radiativa. Si se considera la partıcula como un volumen de N dipolos polari-zables situados a una distancia rj (j = 1, . . . , N) del origen y caracterizados por una polarizabilidadαj . Cuando el sistema es excitado por una onda plana monocromatica, sobre cada dipolo incide uncampo que puede ser separado en dos contribuciones: El campo incidente y el campo radiado inducidopor otros dipolos. La suma de ambas contribuciones define el campo local, dado por:

Eloc(rj) = Ej,loc = Ej,inc + Ej,dip = E0 · eikr −∑k 6=j

Ajkpk (2.77)

donde pk es el momento dipolar del elemento k-esimo y Ajk es la matriz de interaccion entre dipolos.La solucion de las 3N ecuaciones complejas lineales acopladas dadas por pk = αkEk,loc da lugar a lassecciones eficaces de absorcion y difusion. La reiteracion del analisis para diversas polarizaciones delhaz incidente conforma, finalmente, los patrones de difusion y la matriz de scattering del sistema.

El metodo T-Matrix [9] esta basado en una formulacion integral del problema de difusion poruna partıcula arbitraria. La linealidad de las ecuaciones de Maxwell y las condiciones de contorno(2.31) establecen que los coeficientes del campo difundido esten relacionados linealmente con el campoincidente. Esta relacion implica una transformacion lineal que conecta ambos, y que viene dada, enformulacion matricial de la aplicacion lineal, por la matriz de transicion o T-Matrix. Si la partıcula esesferica, la matriz T es diagonal, como se ha dejado entrever a lo largo de este epıgrafe. Este metodoha sido el utilizado para el calculo de los diagramas de difusion mostrados en la fig. 2.6 [58]. Enlos ultimos anos son numerosas las aplicaciones [66] y avances [67] computacionales de este metodoaplicados a la caracterizacion de partıculas con geometrıas complejas.

Existen numerosos metodos de resolucion, pero todos ellos tienen algo en comun con los mostradoshasta el momento. La complejidad de algunas geometrıas y la situacion dinamica de algunos sistemas,

22


como los aerosoles, ha implicado desarrollo del tratamiento estadıstico aplicado a los metodos tradi-cionales de difusion. De esta forma, la aleatoriedad a la hora de introducir diversos parametros en elcalculo (tamano, geometrıa, orientacion,...) a lo largo de varias iteraciones permite, finalmente, obser-var las medias estadısticas y simular la difusion por partıculas irregulares a partir de una formulacionestadıstica del problema [68].

2.2.2. Difusion por una Partıcula Sobre un Substrato

El problema de la difusion de una partıcula situada sobre un substrato, va un paso mas alla de loscasos expuestos anteriormente. Su interes reside, entre otras cosas, en la posibilidad de determinar eltamano de las partıculas, ası como en la deteccion de defectos en la industria de los semiconductores.La interaccion partıcula substrato presenta un aumento considerable de la complejidad del problema.El supuesto teorico a tratar se expone en la fig. 2.8(a). La forma de abordar el problema depende,fundamentalmente, del procedimiento a seguir para la implementacion del substrato y la descripcionde la interaccion de este con la partıcula. Una comparativa entre buena parte de los metodos existenteses relatada en la referencia [69].

(a) Esquema general (b) Teorıa de la Imagen (c) Metodo MDIM

Figura 2.8: Difusion por una partıcula sobre un substrato.

Teorema de Extincion (ET)

Implementado en un principio para resolver la difusion de luz por substratos rugosos [10], el ETfue ampliado para resolver el problema de difusion por partıculas pequenas en superficies planas. Sederiva directamente de la representacion integral de las ecuaciones de Maxwell incluyendo condicionesde contorno extendidas en las superficies. Aparecen ası, dos integrales de superficie en el modelo: Laprimera conecta el campo incidente con la densidad de corriente en las superficies, mientras que lasegunda conecta la densidad de corriente en las superficies con el campo difundido:

E(r′) = 14π

∫Vi

F(r) ·G(r′, r)dv − 14πSinti (r′)

mSinti (r′) = ∇×∇×

∫Si

[Eint(r)∂G(r′,r)

∂n −G(r′, r)∂Eint(r)∂n

]ds,

0 = Sext(r′) =∑i

Sexti (r′)− S∞(r′)

mSexti (r′) = ∇×∇×

∫Si

[E(r)∂G(r′,r)

∂n −G(r′, r)∂E(r)∂n

]ds

(2.78)

donde Sint y Sext son las superficies de integracion en el lımite interior y exterior del substrato y lapartıcula (las partıculas, en caso de resolucion para un sistema de varias partıculas); G(r′, r) es lafuncion de Green bidimensional, F(r) son las fuentes del campo electrico, Ein(r) es el valor lımite delcampo electrico en la superficie Si, y S∞ tiene el mismo significado que Sext tomando una superficiede integracion cuyo radio puede ser considerado infinito.

23


En terminos generales, se podrıa afirmar que la densidad de corriente superficial es la fuente delcampo electromagnetico difundido. La discretizacion del problema permite transformar las integralesen sistemas de ecuaciones lineales. Para la resolucion, pues, no son necesarias mas aproximaciones yaque la interaccion substrato partıcula esta incluıda en la resolucion, ası como otros efectos superficiales(e.g. generacion de plasmones en substratos metalicos [70]). Las restricciones al modelo aparecenunicamente en la implementacion numerica y la discretizacion, ya que puede ser considerada cualquiergeometrıa para la partıcula y el substrato, con la condicion de que el numero de elementos en ladiscretizacion sea suficiente para la resolucion del sistema de ecuaciones. La potencia de este metodoradica en la posibilidad de realizacion de calculos para campo cercano y en su generalizacion paravarios difusores cuyas superficies no estan conectadas [71].

Teorıa de la Imagen (IT)

Esta aproximacion consiste en resolver las condiciones de contorno en la partıcula y el substratoal mismo tiempo. Las componentes del campo electromagnetico (incidente, interna, difundida y deinteraccion) son expandidas de acuerdo con el metodo de separacion de variables en armonicos esfericosvectoriales [72] para dos sistemas de coordenadas: El propio de la partıcula y el de su partıcula imagen(fig. 2.8(b)), situada al otro lado de la superficie plana. El campo incidente es, pues, la suma del quellega directamente a la partıcula y del que es reflejado en el substrato. El campo de interaccion es eldifundido por la partıcula imagen y puede ser considerado como una parte del campo incidente en lapartıcula. La aplicacion del metodo T-Matrix sobre la partıcula aislada satisfara las condiciones decontorno de la misma. El substrato presenta un mayor problema, siendo necesario un analisis diferentepara substratos conductores perfectos y para los que no lo son. En los primeros, la introduccion delos campos de interaccion de la imagen de la partıcula, que son exactamente la imagen de los camposde interaccion de la partıcula, permite resolver las condiciones de contorno. El campo total difundidoes, pues, la suma de los campos difundidos por la partıcula y su imagen. Para los substratos que noson conductores perfectos, una de las aproximaciones mas factibles consiste en suponer que el campode interaccion es la imagen del difundido, pero multiplicado por el coeficiente de reflexion de Fresnelen incidencia normal. El campo total es, de este modo, la suma del difundido por la partıcula y deldifundido por su imagen una vez ha sido multiplicado por el coeficiente correspondiente. Del mismomodo que el ET, este metodo puede ser utilizado para el calculo en la region de campo cercano. Sonnumerosos las referencias que comparan resultados experimentales y los obtenidos con este metodo[73, 74].

Modelo de Doble Interaccion Modificado (MDIM)

Este metodo es una version mejorada del modelo de doble interaccion propuesto en [75]. El algo-ritmo utiliza un modelo de trazado de rayos sobre el que se aplica la teorıa de Mie para manipularel campo difundido y difractado por la esfera. Incorpora el efecto del substrato mediante la adicionde las relaciones de Fresnel para las diferentes reflexiones. Como se puede apreciar en la fig. 2.8(c),la partıcula es iluminada por un haz primario y por la reflexion especular de este sobre el substra-to, que conforma el haz secundario. El haz secundario presenta un desfase propio correspondiente ala diferencia de camino optico con respecto al primario y a la reflexion. Del mismo modo, existendos contribuciones al campo difundido en una direccion arbitraria, la procedente directamente de lapartıcula y la que, tras partir de esta, se ve reflejada en el substrato. Como es logico tras la exposicionanterior, la segunda contribucion presenta un desfase con respecto a la primera exactamente por losmismos motivos que presentaba un desfase el haz secundario con respecto al primario. El campo totalse puede calcular a partir de las cuatro componentes ası planteadas:

1. La componente del haz primario que llega al detector procedente directamente de la partıcula.

2. La componente del haz primario que incide en la partıcula y llega al detector tras reflejarse enel substrato.

3. La componente del haz secundario que llega al detector procedente directamente de la partıcula.

24


4. La componente del haz secundario que incide en la partıcula y llega al detector tras reflejarse enel substrato.

En este modelo la interaccion entre la partıcula y su imagen no es tenida en cuenta. Sin embargo, sepuede abordar un problema: El efecto de sombreado. Cuando la incidencia del haz primario es normal,la partıcula crea una sombra sobre la region que corresponderıa a su imagen. Del mismo modo, lascontribuciones 2, 3 y 4 se ven modificadas a medida que se varıa el angulo de incidencia del hazprincipal. El metodo MDIM introduce un factor de sombreado geometrico para que la variacion enestas contribuciones debida al angulo de incidencia sea tenida en cuenta. La mayor aportacion de estemetodo es su gran claridad a la hora de relacionar las distintas contribuciones y el factor de sombreadocon los parametros fısicos externos, como el angulo de difusion o el tamano de la partıcula [76] e, incluso,circunstancias ajenas a la partıcula, como defectos en el substrato [77, 12] y pseudo-enterramientos dela partıcula en este [60]. Las partıculas regulares e irregulares pueden ser implementadas calculandosu difusion con metodos mas complejos que la teorıa de Mie, como T-Matrix o DDA, y la aplicacionde las contribuciones y el factor de sombreado al campo total difundido.

FDTD

El metodo de las Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo (FDTD) es apropiado para re-solver problemas electromagneticos transitorios utilizando diferencias finitas, aunque se puede usarpara obtener el resultado estacionario. El metodo fue desarrollado, en un principio, para resolver lasecuaciones de Maxwell [11] y es un caso particular del metodo de Diferencias Finitas, ampliamenteutilizado para la resolucion de ecuaciones en derivadas parciales. La eleccion conveniente de los puntosen que se evaluan las componentes de los campos en estas ecuaciones da lugar a la solucion al sistemade ecuaciones que satisface las condiciones de contorno.

Los algoritmos basados en el metodo FDTD son frecuentes en la actualidad debido a su flexibi-lidad y su facil implementacion, soportada por distintas versiones libres (Meep MIT, GFDTD, . . . )y comerciales (que facilitan el proceso de diseno geometrico de los difusores). Sus limitaciones masimportantes son la dependencia que la estabilidad de los resultados presenta ante la discretizacion delos cuerpos difusores y la integracion en el tiempo, y la elevada potencia de computacion necesariapara resolver los distintos algoritmos.

Optica Geometrica: Trazado de Rayos (RT)

Este metodo, aunque en principio solo es aplicable a partıculas grandes, ha sido aplicado al calculode densidades de partıculas en superficies [78] y a la simulacion de estados de polarizacion inducidospor superficies rugosas [79]. El modelo es simple y directo: En terminos geometricos una onda planaque incide sobre la partıcula, o sistema difusor, es un grupo de rayos paralelos de densidad uniformeque es reflejado por la partıcula y el substrato. Cuando el rayo alcanza una superficie, la propagacion oreflexion de este depende de las relaciones de Fresnel. El campo difundido se calcula mediante la sumacoherente de los rayos que emergen del sistema con una direccion (angulo de difusion) determinada.La difusion multiple es inherente al modelo, ya que las reflexiones multiples entre partıcula y substratoson tenidas en cuenta desde el primer momento. Pese a que los tamanos de partıcula para este modelodeberıan ser mucho mayores que la longitud de onda, recientes resultados muestran que, incluso parasistemas difusores cuyo tamano es comparable a la longitud de onda, el metodo reproduce de formainteresante simulaciones realizadas con FDTD [80]. Implementaciones mas complicadas, con la adicionde la teorıa de la difraccion, hacen este metodo mas preciso y amplıan su rango de validez [39].

Simulaciones Integrales: Integral Sommerfeld

La mayorıa de metodos de los que se ha hablado tienen puntos en comun. Algunos de ellos sepodrıan englobar en un apartado de simulaciones integrales. El ultimo al que se hara una brevereferencia, por su especial interes en el estudio de plasmones superficiales y de ondas evanescentes, esla integral de Sommerfeld [81]. Se utiliza, fundamentalmente, en el tratamiento de partıculas pequenassobre substratos. El modelo extrapola el tamano de la partıcula suponiendo que se comporta como

25

2.3. POLARIMETRIA CAPITULO 2. DIFUSION DE LA LUZ

un dipolo puntual, y considera que dicho dipolo y su imagen (dipolo imagen) son equidistantes alsustrato. Una vez establecidas las condiciones de contorno y habiendo aplicado una transformada deFourier a los campos, se puede escoger la funcion de Green apropiada que transforma el problema enuna integral tipo Sommerfeld para el campo electrico.

2.2.3. Difusion Multiple

Pese a que ya se han adelantado algunas definiciones, en un sistema de partıculas en volumen opartıculas sobre sustrato se habla de difusion multiple cuando las partıculas interaccionan entre sı.De esta forma, el medio no puede considerarse diluıdo y la contribucion al campo que recibe cadauno de los elementos no es debida solo al campo original, sino tambien a los campos difundidos por elresto de elementos que componen el sistema (partıculas y/o substrato). La practica totalidad de losmetodos aplicados al problema de una partıcula situada sobre un substrato plano pueden ser aplicadosa la resolucion de los problemas de difusion multiple [82, 83]. Sin embargo, la potencia de calculo, laprecision numerica y la relativamente sencilla implementacion de los elementos difusores, hacen quealgunos de ellos (cabe destacar el DDA, el T-Matrix, y el FDTD) sean preferidos frente a los otros.Ademas de todos los metodos, no es poca la bibliografıa existente sobre la resolucion analıtica desistemas difusores susceptibles de presentar difusion multiple [84].

En ocasiones, un sistema de muchas partıculas puede ser tratado de forma asociativa, es decir,como un conjunto de sistemas independientes con una sola partıcula. Este supuesto es conocido comoSSA (Single-Scattering Approximation). Esta aproximacion puede ser aplicada a grupos aleatorios departıculas pequenas suficientemente separadas, observadas en la region de campo lejano. El campototal difundido es la suma coherente del campo difundido por cada una de ellas.

Los efectos de la difusion multiple se ponen de manifiesto en diversas magnitudes analizadasen los procesos de difusion. La difusion multiple causa desplazamientos y enmascaramientos en losmınimos interferenciales de los diagramas de difusion en intensidad. Estos desplazamientos son, a suvez, sensibles al tipo de polarizacion del haz de entrada [85]. Cuando la difusion multiple se hace masacusada, los efectos de despolarizacion en la luz emergente de los sistemas de partıculas se ponen demanifiesto. El hecho de que las partıculas presenten orientaciones aleatorias y distintos tamanos actua,a efectos del campo difundido, como un despolarizador que enmascara toda la informacion contenida enla matriz de difusion. Los mınimos, caracterısticos de cada tamano y orientacion, se ven promediados,disminuyendo la visibilidad de estos en los diagramas de difusion, debido a la mezcla estadıstica deintensidades. Se ha comprobado como, en agregados de partıculas Rayleigh cuyo tamano total essimilar a la longitud de onda del haz incidente, aparece una mezcla de efectos debidos al agregado ensı, comportandose como una partıcula de tipo Mie, y a las nanopartıculas constituyentes del mismo,siempre unidos a una parte de despolarizacion caracterıstica de los fenomenos de difusion multiple[63].

Realmente podemos considerar la interaccion de partıculas sobre sustratos o medios cercanos comoun caso de interaccion multiple. De hecho, algunos metodos utilizados para resolver problemas deuna partıcula sobre sustrato incluyendo interaccion son aplicables al caso de muchas partıculas queinteraccionan. Un ejemplo reciente del interes que tienen estas situaciones, de especial importanciapor su aplicacion directa y actualidad, es el del desplazamiento espectral en nanopartıculas metalicas[86], utilizado en microscopıa de campo cercano (SNOM) [87].

2.3. Polarimetrıa

Se puede definir la polarizacion como el comportamiento del campo electrico vectorial, asociado ala propagacion de luz, al observarlo desde un punto fijo del espacio. Tal y como aparece en la ec. 2.32,el campo electrico de una onda electromagnetica que se propaga en una determinada direccion, puedeser descompuesto en dos estados ortonormales [1] y transversales a la direccion de propagacion. Su-pongamos que el campo se propaga en la direccion del eje z y que las ondas son armonicas temporales,

26

CAPITULO 2. DIFUSION DE LA LUZ 2.3. POLARIMETRIA

entoncesE = ax cos(φ+ δx)︸︷︷︸

Ex

ex + ay cos(φ+ δy)︸︷︷︸Ey

ey (2.79)

donde ax y ay son las amplitudes de cada componente, y φ = kz − ωt. Desarrollando y haciendoδ = δy − δx (

Exax

)2

+(Eyay

)2

− 2Exax

Eyay

cos δ = sin2 δ (2.80)

que es la ecuacion de la elipse de polarizacion en el sistema de referencia de los estados ortonormalesx e y [2]. Existen varias posibilidades de polarizacion, segun los parametros de la ecuacion:

Si 0 < δ < π, la polarizacion de la luz es elıptica dextrogira.

Si π < δ < 2π, la polarizacion es elıptica levogira.

Si δ = 2π, π, 0, la polarizacion es lineal.

Si δ = π2 (ax = ay), la polarizacion es circular dextrogira.

Si δ = 3π2 (ax = ay), la polarizacion es circular levogira.

En la fig. 2.9(a) se ha representado la elipse de polarizacion, con a y b como semieje mayor y menor,respectivamente, en su sistema de coordenadas propio x′y′. En ella se pueden definir tres magnitudesangulares, el acimut (χ), la elipticidad (ε) y la relacion entre amplitudes de los estados ortonormales(α = arctan ayax ). Estas magnitudes angulares, de gran utilidad a la hora de describir algunos elementosen sistemas polarimetricos, junto con el desfase (δ) entre estados ortonormales, cumplen una serie derelaciones [88]:

tan 2χ = tan 2α cos δsin 2ε = sin 2α sin δcos 2α = cos 2ε cos 2χtan δ = tan 2ε

sin 2χ

(2.81)

(a) Elipse de Polarizacion (b) Esfera de Poincare

Figura 2.9: Representaciones de la luz polarizada.

2.3.1. Formalismos de Jones, Stokes y Mueller

Dada la expresion para el vector campo electrico de la ec. 2.79, se denomina vector de Jones alvector columna:

εεε ≡(ExEy

)= eiΓ

(axe−iδ/2

ayeiδ/2

)=⇒ Γ = φ+

δx + δy2

(2.82)

27


que contiene toda la informacion relativa al campo en cuestion. Dos estados de polarizacion seranortogonales cuando εεε+

1 εεε = εεε+εεε1 = 0 (por ejemplo Ex y Ey, o bien, ES y EP). εεε+ es el transpuestoconjugado del vector εεε. Cuando una onda dada εεε incide en un medio optico sin producir efectosincoherentes, la onda electromagnetica que surge εεε′ esta relacionada con la incidente por la relacion:

εεε′ =(A11 A12

A21 A22

)︸︷︷︸

J

εεε (2.83)

donde J es la matriz de Jones asociada al medio optico. A partir de la ec. 2.82 se puede deducir queel vector de Jones esta definido exclusivamente para la luz polarizada. Cualquier medio que disminuyael grado de polarizacion (ec. 2.56, pg. 18) del haz incidente no puede ser representado por la matriz deJones. Salvando este aspecto, existe una relacion directa entre las expresiones 2.36 y 2.82, que ponede manifiesto la dependencia angular de la matriz de Jones. Asimismo, en los procesos de difusion enlos que no aparecen efectos incoherentes, la matriz de amplitud de scattering coincide con la matrizde Jones. Cuando un haz de luz monocromatica incide sucesivamente en varios sistemas opticos nodespolarizantes, el vector de Jones final es el resultante de aplicar sucesivamente las matrices de Jonesde cada uno de los medios sobre el vector de Jones emergente del medio anterior [2]. Del mismo modo,la matriz de Jones asociada a una serie de medios opticos no despolarizantes es igual al productoordenado de las matrices de Jones de cada uno de los medios (por norma general no se cumple lapropiedad conmutativa):

J = Jn · Jn−1 · · · J2 · J1

Es obvio que entendemos por producto ordenado aquel en el que el primer medio que actua sobreel haz incidente, J1, es tambien el primero que actua sobre el vector de Jones del haz incidente.Esto implica que el orden de actuacion de los sistemas en su representacion matricial es de derecha aizquierda. Esto se cumple tanto para el formalismo de Jones, del que estamos hablando, como parael formalismo de Mueller, del que hablaremos mas adelante. A partir del vector de Jones podemosdefinir la matriz de coherencia o matriz de polarizacion [89]:

Φ = εεε× εεε+ =(ε1ε∗1 ε1ε

∗2

ε2ε∗1 ε2ε

∗2

)(2.84)

la cual puede ser expresada como una combinacion de las matrices de Pauli [90] y la matriz identidad

σ0 =(

1 00 1

), σ1 =

(1 00 −1

), σ2 =

(0 11 0

), σ3 =

(0 −ii 0

)(2.85)

que constituyen una base del espacio de matrices Hermıticas 2 × 2 [91]. De este modo la matriz decoherencia se podrıa escribir como

Φ =12

3∑i=0

siσi (2.86)

Los coeficientes si son los parametros de Stokes:

si = tr(σiΦ), i = 0, 1, 2, 3 (2.87)

si son cantidades observables y susceptibles de ser medidas en el laboratorio. Los parametros de Stokescumplen las siguientes restricciones, resultantes de la condicion no negativa de la matriz de coherencia

s0 ≥ 0, s20 ≥ s2

1 + s22 + s2

3 (2.88)

La igualdad en la segunda de las expresiones solo se cumple en el caso de que la luz este totalmentepolarizada. El vector de Stokes se define a partir de los parametros de Stokes, como

s =

s0

s1

s2

s3

=

IQUV

=

ExE

∗x + EyE

∗y

ExE∗x − EyE∗y

ExE∗y + EyE

∗x

i(ExE∗y − EyE∗x)

=

a2x + a2

y

a2x − a2

y

2axay cos δ2axay sin δ

(2.89)

28


en donde se han utilizado las definiciones previas. O bien, denominando I = a2x + a2

y y usando laigualdad 2.81

s =

II cos 2ε cos 2χI cos 2ε sen 2χI sin 2ε

=

II cos 2αI sin 2α cos 2δI sin 2α sin δ

(2.90)

Si definimos el grado de polarizacion P =

√s2

1 + s22 + s2

3s0

, entonces

s = I

(1Pu

)⇔ u =

cos 2ε cos 2χcos 2ε sen 2χsin 2ε

(2.91)

y estamos en situacion de representar los estados de polarizacion en la esfera de Poincare (fig. 2.9(b)),donde u es el vector unitario que define la direccion 0P y todos los estados presentan la intensidadnormalizada. Los puntos de la superficie de la esfera son estados puros (luz totalmente polarizada)mientras que los interiores representan estados de luz parcialmente polarizada. El origen representa laluz natural o totalmente despolarizada. Podemos definir el grado de polarizacion lineal y circular [3]como: PL =

√s2

1 + s22/s0

PC = s3/s0

(2.92)

Un haz de luz parcialmente polarizado (P < 1) puede ser considerado como la superposicion deun haz totalmente polarizado y un haz totalmente despolarizado [1]:

s =

s0

s1

s2

s3

= sP + s∆ = s0P

1s1/s0

s2/s0

s3/s0

+ s0(1− P )

1000

(2.93)

Dado que el formalismo de Jones no es apropiado para la representacion de la luz parcialmentepolarizada, el formalismo de Stokes se erige como imprescindible a la hora de interpretar situacionesreales, que se alejan en mayor o menor medida de la idealizacion que supone una polarizacion total(P = 1). Cuando un haz con un estado de polarizacion cualquiera, definido por s, incide sobre un medio,el estado de la luz que emerge del medio se caracteriza por un vector de Stokes s′, que esta relacionadocon el del haz incidente por medio de la matriz de Mueller (tambien denominada matriz de difusiono de scattering):

s′ = Ms = (mij)s, i, j = 0, . . . , 3 (2.94)

que es una matriz 4 × 4 que depende, al igual que la matriz de Jones para estados puros, de ladireccion y longitud de onda del haz incidente y del emergente. A diferencia de la matriz de Jones, lamatriz de Mueller esta definida en base a una aplicacion lineal entre vectores de Stokes, por lo que essusceptible de ser utilizada para describir los procesos en los que esta involucrada la luz parcialmentedespolarizada. La matriz de Mueller es caracterıstica de cada medio optico, constituye un formalismoapropiado para describir todas las caracterısticas polarimetricas de un sistema (independientementedel estado de polarizacion de la luz incidente en el sistema), con la salvedad de no considerar procesosno lineales o inelasticos.

Estructura General de la Matriz de Mueller

La estructura de una matriz de Mueller generica mij (ec. 2.94) puede ser analizada “grosso-modo” por zonas, segun afecten cada uno de sus elementos al vector de Stokes emergente del sistemaoptico [92]:

M = m00

(1 DT

P m3×3

) D = 1

m00[ m01 m02 m03 ]T

P = 1m00

[ m10 m20 m30 ]T(2.95)

29


donde D y P son el vector Diatenuacion y Polarizancia, respectivamente. El primero de ellos es elresponsable de la intensidad luminosa que es transmitida por el sistema en funcion de la polarizacionque presenta el haz incidente, mientras que el segundo es el responsable del estado de polarizacionemergente tras incidir en el sistema con un haz de luz despolarizada, o luz natural. En ocasiones sedenomina Polarizancia Directa al vector Polarizancia y Polarizancia Inversa al vector Diatenuacion,haciendo referencia a la capacidad del medio de polarizar la luz despolarizada cuando la direccion deincidencia y observacion se intercambian. Ambos estan relacionados con procesos de dicroısmo. Porultimo, la submatriz m3×3 es la responsable de los fenomenos relacionados con lo que se denominacomunmente actividad optica, rotacion o giro introducido en el estado de polarizacion de la luz por elmaterial, y con la birrefringencia del mismo [93, 94].

Al igual que en el formalismo de Jones, cuando un haz de luz incide sucesivamente sobre variosmedios, el vector de Stokes del haz emergente puede ser calculado a partir de la aplicacion sucesivade cada una de las matrices de Mueller de los medios sobre los vectores de Stokes del haz emergentedel medio anterior. Es decir, la matriz de Mueller asociada a una serie de medios opticos es igual alproducto ordenado de sus matrices respectivas:

s′ = Ms = Mn ·Mn−1 · · ·M2 ·M1︸︷︷︸M

s (2.96)

A partir de la definicion de la matriz de coherencia y de los parametros de Stokes se puedenrelacionar los formalismos de Jones y Mueller para sistemas puros (aquellos que no despolarizan la luzincidente polarizada) [95]:

s′i2.94=

3∑j=0

mijsj2.87= tr(σiΦ′)

2.84= tr(σi[ε′ × ε′+]) = tr(σi[Jε× ε+J+]) =

tr(σiJ [ε× ε+]J+) = tr(σiJΦJ+) =

2.86= tr(12σiJ

3∑j=0

sjσjJ+) =

3∑j=0

[tr(1

2σiJσjJ+)]sj , i = 0, 1, 2, 3

(2.97)

Es obvio que, para sistemas puros, los elementos de la matriz de Mueller se pueden relacionan conlos de la matriz de Jones. Como se ha demostrado en la ec. 2.97, dicha relacion viene dada por

mij = tr(12σiJσjJ

+) i, j = 0, . . . , 3 (2.98)

que representa la relacion de equivalencia entre formalismos, con M = (mij)3i,j=0. Asimismo, las

matrices J+ y JT , traspuesta conjugada y traspuesta de la matriz de Jones J , tienen su equivalenciaen las matrices de Mueller MT y M ′, respectivamente, con [96]:

M ′ =

m00 m10 m20 −m30

m01 m11 m21 −m31

m02 m12 m22 −m32

−m03 −m13 −m23 m33

(2.99)

2.3.2. Representaciones Matriciales de Medios Opticos

Como hemos visto, conocido el estado de polarizacion de la luz incidente sobre cualquier medio, lascaracterısticas polarimetricas de la luz difundida por el mismo estan determinadas por su matriz deMueller. Esta dependera de la forma, la composicion y las propiedades inherentes del medio, ası comode la direccion de observacion para una incidencia dada. Asimismo, la igualdad 2.98 establece que,del mismo modo, los medios que no presentan despolarizacion ni fenomenos incoherentes, pueden sercaracterizados por su matriz de Jones. Existen una serie de medios de gran importancia para estamemoria, por lo que creo conveniente introducir aquı brevemente algunas de las caracterısticas yrelaciones de constitucion de los mismos, ası como su descripcion matricial para mejorar el devenirde los proximos epıgrafes. En general, y salvo por la adicion de un apartado especıfico para mediosdespolarizadores, los elementos opticos que se definen en la tabla 2.1 (pg. 38) son puros.

30


Rotores y Sistemas de Coordenadas

Un rotor o giro MG(θ) (pg. 38) es un elemento optico que gira un angulo θ un vector de Stokes. Larepresentacion matricial de un rotor en el formalismo de Mueller es la de una matriz de giro θ en elespacio de matrices 4× 4. Para un medio optico cualquiera, sobre el que incide un haz cuyo vector deStokes si definido en un sistema de coordenadas XY ortogonal a la direccion de propagacion del haz,cuya matriz de Mueller en dicho sistema de coordenadas es M1, se puede conocer la matriz de Muellerrelativa a un sistema de coordenadas X ′Y ′ (M2), tambien ortogonal a la direccion de propagacion,girado un angulo θ con respecto al primero, mediante una rotacion del sistema de coordenadas [97]:

sX′Y ′ = MG(θ)sXY , s′X′Y ′ = MG(θ)s′XY , MG(θ)−1 = MG(−θ)⇓

s′X′Y ′ = M2sX′Y ′ ⇒ MG(θ)s′XY = M2MG(θ)sXY ⇒ s′XY = MG(θ)−1M2MG(θ)sXY

=⇒ M1 = MG(−θ)M2MG(θ)

(2.100)

Dada la forma de trabajo de los Rotores, la seleccion de los sistemas de coordenadas para los hacesincidente y emergente no es importante a la hora de determinar los estados de polarizacion de estos,pero es crucial para identificar las caracterısticas polarimetricas del medio. Los medios que introducengiros en los estados de polarizacion de la luz son denominados medios opticamente activos.

Diatenuadores y Polarizadores

Se denomina diatenuador a un medio optico polarizante que aplica transmitancias de forma selec-tiva para dos estados de polarizacion de entrada. Los polarizadores son diatenuadores que presentanuna diatenuacion, diferencia entre los coeficientes de transmision de los estados propios (|D|, segunla ec. 2.95), cercana a 1. Algunos diatenuadores lineales bien conocidos son los materiales dicroicosy las superficies metalicas y dielectricas. Se denomina diatenuador homogeneo a aquel que tiene dosestados propios ortogonales y puede ser representado dentro de un formalismo matricial de Jones(tabla 2.1, pg. 38). Un diatenuador elıptico homogeneo es opticamente equivalente a un diatenuadorlineal, situado entre dos retardadores lineales alineados con este. La forma de construir la matriz deun diatenuador elıptico es, por tanto, la siguiente:

MD(p1, p2, α, β) = MR(0,−β)MG(−α)MD(p1, p2)MG(α)MR(0, β) (2.101)

donde p1 y p2 son los coeficientes de transmision en amplitud para los estados propios de polarizacion,β es responsable de la elipticidad de los mismos y α y α+ π

2 son sus acimuts.

Retardadores Ideales y Reales

Un retardador es un medio optico no absorbente y birrefringente, es decir, que presenta diferentesındices de refraccion para sus dos estados ortogonales de polarizacion. En ocasiones, bajo determinadascircunstancias, son denominados compensadores [2]. Un retardador elıptico (pg. 38) introduce unretardo δ entre sus estados propios de polarizacion, cuya elipticidad ξ y acimut ϕ con respecto alsistema de coordenadas del haz incidente, estan relacionados de acuerdo a la ec. 2.81 que, para estecaso, se transforma en:

tan 2ϕ = tan 2α cosψ

sin 2ξ = sin 2α sinψ(2.102)

estando definidos en los lımites 0 ≤ α ≤ π2 y −π ≤ ψ ≤ π.

La matriz de un retardador elıptico puro (tanto en el formalismo de Jones como de Mueller) puedeser construida como [91]:

MR(ϕ, δ, ψ) = MR(0,−ψ)MG(−ϕ)MR(0, δ)MG(ϕ)MR(0, ψ) (2.103)

31


de forma que ψ informa acerca de la elipticidad del retardador. Esta formulacion que es equivalente a[96]:

MR(ϕ, δ, θ) = MR(ϕ, δ)MG(θ) (2.104)

donde θ es el giro introducido por el retardador (relacionado con la elipticidad de sus estados propios).Esta equivalencia en la generacion de la matriz de un retardador, permitira utilizar ambas formas deconstruccion indiferentemente segun se crea conveniente el uso de una u otra.

No obstante, todas estas definiciones hacen referencia a retardadores elıpticos puros ideales. Sinembargo, los retardadores reales presentan, por norma general, unas transmitancias para sus estadospropios (lineas neutras) distintas de 1. Esta circunstancia puede ser incorporada a la representacionmatricial mediante la matriz de Mueller de un retardador elıptico real, de forma que la matriz delretardador lineal, MR(0, δ), debe ser sustituida en la ec. 2.103 por el producto de un diatenuador linealcuyos estados propios estan alineados, MD(k1, k2), con un retardador lineal:

MR(k1, k2, 0, δ) = MD(k1, k2)MR(0, δ) (2.105)

donde MR(k1, k2, 0, δ) es la matriz del retardador elıptico real, de forma que k1 y k2 son los coeficientesde transmision en amplitud para los estados propios de polarizacion. Ası, mediante un proceso decomposicion semejante al de un retardador elıptico puro ideal, se obtendrıa la matriz de Mueller deun retardador elıptico real.

Despolarizadores

Son aquellos medios que causan una reduccion del grado de polarizacion del haz emergente conrespecto al haz incidente. Se entiende que un despolarizador es total cuando unicamente el elementom00 = 1 es distinto de 0. Un despolarizador parcial ideal es aquel que cumple m00 = 1, 0 < mii < 1para i = 1, 2, 3 y mij = 0 para todo i 6= j. Sin embargo, tal como se puede ver en la tabla 2.1(pg. 38), la expresion mas general para un despolarizador real M∆(di, ai, zi), cuyos coeficientes dedespolarizacion son los elementos di y ai, presenta la aparicion de un vector polarizancia caracterısticodel medio despolarizante P∆ = [ z1 z2 z3 ]T , actuando como un despolarizador tras el que se situaun polarizador [98].

2.3.3. Dispositivos de Medida

Tras el analisis realizado en las secciones precedentes, es inmediato interpretar que cualquierfenomeno de difusion es susceptible de ser caracterizado mediante su matriz de Mueller asociada;matriz que sera caracterıstica para cada longitud de onda del haz incidente, direccion de incidencia ydireccion de deteccion (direccion del haz emergente considerado). Es decir, existe una relacion directaentre la matriz de Mueller del medio y las propiedades fısicas de este. He aquı el punto de partida dela Polarimetrıa: La resolucion del problema inverso interpretando la informacion obtenida del analisispolarimetrico de la luz emergente de un medio. Mediante la incidencia con un haz cuya intensidady caracterısticas polarimetricas se conocen, y el analisis de las caracterısticas polarimetricas del hazemergente, pretendemos conocer las propiedades del medio (geometricas, opticas, estadısticas, etc.).

En general, Elipsometrıa y Polarimetrıa suelen tratarse indiferentemente. No obstante, el terminoElipsometrıa hace referencia a la caracterizacion de los parametros de la elipse de polarizacion (elipti-cidad, acimut y excentricidad) del campo electrico, mientras que Polarimetrıa es la caracterizacion delestado de polarizacion de un haz de luz. En esta memoria, entendiendo la mayor generalidad que repre-senta el termino Polarimetrıa a la hora de obtener informacion sobre un sistema optico que modificael estado de polarizacion de un haz luminoso, se utilizara preferentemente este termino. No obstante,dada la diversidad de dispositivos experimentales disenados para extraer la informacion polarimetricade los sistemas, se intentara respetar los nombres que se le han dado a estos en las distintas referencias.Sin embargo, parece aceptado que el termino Elipsometrıa tiene su uso principal en la determinacionde las propiedades opticas de superficies mediante reflexion [3].

La caracterizacion polarimetrica de un vector de onda, en su descripcion mas general, se realizamediante la medida de la intensidad transmitida a traves de un analizador de estados de polarizacion

32


Figura 2.10: Esquema general de un dispositivo polarimetrico.

(PSA). Se denomina analizador a un elemento cuya transmision es proporcional a la cantidad de unestado de polarizacion especıfico contenida en un haz. El estado de polarizacion transmitido por unanalizador, sin embargo, no tiene por que ser el mismo que se pretende analizar. Caracterizar un mediorequiere, por tanto, de la introduccion de un haz cuyo estado de polarizacion sea controlado medianteun generador de estados de polarizacion (PSG), y la deteccion de la intensidad transmitida por elhaz emergente a traves de un PSA (fig. 2.10). Generalmente, y salvo que se indique lo contrario, sedenominara analizador al polarizador de salida de un sistema optico.

Elipsometros

Pese a la enorme variedad de dispositivos existentes en la bibliografıa (cito, por su interes, losdescritos en las referencias [99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 47, 106]), las diferencias de funciona-miento entre los principales sistemas de medida son pequenas en lo esencial, ya que los principios defuncionamiento basico son comunes a todos ellos.

Elipsometro de Nulo Posiblemente se trata del mas conocido de los dispositivos elipsometricos,dada su relativa sencillez y su adecuacion al trabajo manual, previo a la automatizacion de laera informatica. Esta basado en la determinacion de los angulos acimutales de los componentesdel PSG (Polarizador) y del PSA (Compensador y Analizador) para los cuales se extingueel flujo luminoso de salida (intensidad recibida por el detector). La forma de trabajo de esteelipsometro es por reflexion, ya que los calculos se realizan por medio de la relacion entre loscoeficientes de reflexion de los dos estados ortogonales de polarizacion, P y S. Ademas de lostres angulos acimutales (correspondientes al polarizador, al compensador y al analizador), elretardo introducido por el compensador es el parametro libre, que puede ser ajustado paraencontrar la condicion de extincion o de nulo, siempre y cuando se utilice un compensadorvariable. Considerando el coeficiente νC = eiδ para un compensador ideal, la condicion de nuloimplica:

ρ =rPrS

=VxVy

= tan Ψei∆ = − tanA[

tanC + νC tan(P − C)1− νC tanC tan(P − C)

](2.106)

donde P , C y A son los acimuts del polarizador, el compensador y el analizador, y Ψ =arctan(|rP |/|rS |) y ∆ = δP − δS son los angulos elipsometricos. El montaje del dispositivo puedevariar, situando el compensador antes de la muestra. El formalismo para este caso es semejanteal expuesto en la referencia [2]. La caracterıstica principal de este instrumento es su exactitud,que contrasta con su relativa sencillez.

Elipsometros Rotatorios De configuracion semejante al elipsometro de Nulo, los elipsometros Ro-tatorios estan disenados para la medida haciendo uno de los elementos rotatorios. Ası tenemoselipsometros de Analizador, Compensador o Polarizador Rotatorio. La velocidad de adquisicionde datos para estos dispositivos, igual que para todos los que tienen elementos rotatorios, depen-de de la velocidad de rotacion de tales elementos. No obstante, de las tres configuraciones la masaconsejable es la de Compensador Rotatorio, ya que la ausencia de movimiento en Polarizadory Analizador hace que el dispositivo no sea sensible a la polarizacion emitida por la fuente ni ala sensibilidad del detector a la polarizacion.

Elipsometrıa Espectroscopica y Generalizada A los modelos de elipsometro enumerados, se pue-de anadir una variacion de los mismos, consistente en la medida progresiva de los angulos elip-sometricos para distintas longitudes de onda, mediante la adicion de una fuente policromati-

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ca (tıpicamente luz blanca, cuyo arco de espectro es muy continuo) y un monocromador queseleccione cada longitud de onda para realizar la medida. Esta es la llamada Elipsometrıa Es-pectroscopica, que amplıa la informacion del comportamiento de los materiales para todas laslongitudes de onda que sea capaz de seleccionar el monocromador.

La denominada Elipsometrıa Generalizada en algunas referencias, es mucho mas compleja. Enella se utilizan configuraciones con dos retardadores, capaces de arrojar informacion acerca dela practica totalidad de la matriz de Mueller. Puede ser considerada, por tanto, en la seccion dePolarimetrıa.

Scatterometros Pese a que no son elipsometros como tal, resulta conveniente introducir el terminode Scatterometro por el frecuente uso que se ha hecho de este tipo de dispositivos ([76, 60, 107]).Entre sus ventajas cabe destacar el control preciso de los angulos de incidencia y difusion, suversatilidad y la cantidad de informacion que pueden ofrecer en sistemas que presentan alguntipo de simetrıa (reduccion de parametros en la matriz de Mueller [5]). La configuracion mashabitual para un Scatterometro es utilizar un polarizador como PSG y un analizador como PSA,ambos situados alineados o con polarizaciones cruzadas. Es decir, se introduce en el sistema unaonda tipo S (tipo P) y se analiza la senal tipo S (tipo P) recibida, o bien se introduce una ondatipo S (tipo P) y se analiza la senal tipo P (tipo S). La primera de las configuraciones midela intensidad Co-Polarizada, mientras la segunda de ellas mide la intensidad Cross-Polarizada(resultante de la medida de estados de polarizacion cruzados). Es obvio que el analisis de losvectores de Stokes de entrada y salida en los estados de polarizacion ortonormales da lugaral conocimiento de los parametros m00, m01, m10 y m11 de la matriz de Mueller asociada almedio, y del grado de polarizacion lineal PL de la luz emergente. Estos dispositivos son de granayuda en medidas astronomicas por la aparicion de una zona caracterıstica de PL < 0 (NegativePolarization Branch) en la region de backscattering para cometas y satelites [49].

Medida de parametros especıficos: Es de destacar que, dado que la luz introducida eslinealmente polarizada, PL en el haz emergente informa acerca de la perdida de polarizacionlineal de la luz debida al medio. Pese a que esta es la configuracion mas habitual, el uso de otrosestados propios de polarizacion ortonormales mediante la adicion de retardadores puede ofrecermas posibilidades para la medida de distintos parametros de interes de la matriz de Mueller.

A modo de ejemplo, en la referencia [14] se ha simulado el sistema compuesto por una nano-partıcula sobre sustrato mediante el DDA. Los resultados obtenidos en incidencia normal sobreel sustrato muestran que PL medida a un angulo de scattering de 900 informa acerca del tipo desustrato y de la distancia relativa entre ambos. Esta tecnica, susceptible de ser implementadaen un scatterometro, constituirıa un complemento a los avances realizados en microscopıa en losultimos anos [87].

Polarımetros

Tal y como se ha definido la Elipsometrıa, el maximo total de parametros que se puede obte-ner mediante una medida elipsometrica es igual al numero de parametros que pueden determinar lascaracterısticas de la elipse de polarizacion. Sin embargo, para el analisis de sistemas complejos es im-prescindible conocer el comportamiento de estos frente a cualquier tipo de luz incidente. He ahı dondereside la potencia de trabajo de la Polarimetrıa: La Scatterometrıa y la Elipsometrıa Generalizadaaumentan la capacidad de descripcion del medio en cuestion, pero es la Polarimetrıa la que obtieneinformacion acerca de los 16 elementos de la matriz de Mueller.

La polarimetrıa es el siguiente paso en la busqueda de la interpretacion de las propiedades fısicasy morfologicas de los medios opticos mediante el analisis de las caracterısticas de la luz emergente deestos medios. El esquema general de un polarımetro es igual al presentado en la fig. 2.10, es decir,basicamente igual al de un elipsometro. La diferencia fundamental es que la determinacion de lasmagnitudes elipsometricas requiere de unas pocas medidas, en comparacion con el numero mınimo de16 medidas que, en el mejor de los casos (sistema compatible determinado), son necesarias para obtenerlos 16 parametros de la matriz de Mueller (M4×4). Logicamente, las simetrıas en los medios difusores

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ayudaran a reducir el numero necesario de ecuaciones para resolver el sistema, pero esto no implicaque, para la resolucion del problema inverso, no sea necesaria la caracterizacion (sin informacion previadel sistema) de todos los parametros de la matriz de Mueller. Para el desarrollo de esta memoria sehan utilizado dos configuraciones polarimetricas bien diferenciadas, de las cuales se procedera a haceruna breve descripcion teorica.

Polarımetro de Stokes (SP) Se ha adoptado este nombre debido a que la base del funcionamientode este polarımetro consiste en la generacion de sucesivos estados de polarizacion, que conformanuna base del espacio de vectores de Stokes. El haz emergente es analizado midiendo su intensidadtras atravesar el PSA en las distintas configuraciones generadas por el PSG. La realizacion de unamedida polarimetrica de este tipo implica la generacion de una base de estados de polarizacion,es decir, utilizar el PSG para la construccion de 4 vectores de Stokes si4i=1 ortogonales ylinealmente independientes. Si se considera que el PSG esta compuesto por un polarizador linealde entrada, idealmente caracterizado por su acimut α1, y por un retardador, caracterizado porsu desfase δ1 y acimut φ1, los estados de polarizacion posibles del haz incidente en el medio secaracterizan por un vector de Stokes del tipo:

si = MR(φ1, δ1)MP (α1)sf (2.107)

donde sf es el vector de Stokes del haz procedente de la fuente de iluminacion, cuya intensidad esI0. Si el acimut del polarizador se situa en α1 = 00 (onda P), para un retardador que introduzcaun desfase δ1 = π/2 el vector de Stokes del haz incidente es:

sin = I0

1cos2 2φ1

sin 2φ1 cos 2φ1

sin 2φ1

(2.108)

Una vez se han controlado las caracterısticas polarimetricas del haz incidente, es necesario opti-mizar el PSA del dispositivo para conseguir conocer todos los elementos de la matriz de Muellerdel medio en cuestion. Dada la configuracion del PSG, la forma mas facil de obtener las carac-terısticas del medio es consiguiendo que el PSA compense los estados de polarizacion introducidospor el PSG. Para ello, el PSA estara compuesto por los mismos elementos que el PSG, pero enorden inverso. Esto es, debe estar formado por un retardador con desfase similar al del PSG, ypor un polarizador lineal de identicas caracterısticas. De esta forma, el vector de Stokes del hazque llega al detector queda determinado por:

sout = I0

1 cos2 2φ2 sin 2φ2 cos 2φ2 − sin 2φ2

1 cos2 2φ2 sin 2φ2 cos 2φ2 − sin 2φ2

0 0 0 00 0 0 0

M4×4

1cos2 2φ1

sin 2φ1 cos 2φ1

sin 2φ1

(2.109)

Suponiendo que se pueden controlar los acimuts de ambos retardadores (fig. 2.11(a)), el terminosout,1 que hace referencia a la intensidad recibida en el detector, es:

sout,1 = I0 · [m00 +m03 sin 2φ1 + cos 2φ2(m10 +m13 sin 2φ1 +m11 cos 2φ1+

· · ·+m12 cos 2φ1 sin 2φ1)− sin 2φ2(m30 +m33 sin 2φ1 +m31 cos 2φ1+

· · ·+m32 cos 2φ1 sin 2φ1) +m01 cos 2φ1 +m02 cos 2φ1 sin 2φ1 + cos 2φ2 sin 2φ2(m20+

· · ·+m23 sin 2φ1 +m21 cos 2φ1 +m22 cos 2φ1 sin 2φ1)]

(2.110)

donde los mij son los elementos de la matriz de Mueller asociada al medio optico problema.La correcta eleccion del acimuts de ambos retardadores proporcionara la base de estados depolarizacion necesaria y suficiente para obtener el valor de todos los parametros de la matriz deMueller del medio mediante un conjunto mınimo de 16 medidas.

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(a) Polarımetro de Stokes (b) Polarımetro DRCP

Figura 2.11: Configuracion de los polarımetros utilizados para la elaboracion de la memoria.

Polarımetro de Compensador Dual Rotatorio (DRCP) El fundamento teorico de este tipo dedispositivo fue expuesto por primera vez en [108, 109]. La viabilidad y aplicacion de esta tecnicaha sido puesta de manifiesto en [110] y una serie de referencias posteriores sobre las que sehablara en el capıtulo 4. El esquema de funcionamiento del DRCP responde al montaje respondeal grafico de la fig. 2.11(b). El haz que llega a la muestra se caracteriza por un vector de StokesP =

[p0 p1 p2 p3

]T . La matriz del PSA es:

A = (aji) =

A0

A1

A2

A3

(2.111)

donde Aj =[aj0 aj1 aj2 aj3

]es el vector fila j-esimo de la matriz del PSA. El flujo

luminoso total que llega al detector, determinado por el parametro s0 del vector de Stokes delhaz emergente del sistema, quedara determinado por:

I = s0 = A0MP =3∑

i,j=0

a0ipjmij =3∑

i,j=0

µijmij (2.112)

Los elementos de la matriz µij determinan el peso con el que cada uno de los correspondientesmij de la matriz de Mueller a analizar contribuye al total de la intensidad detectada. La matrizµ da una representacion concisa y completa de cualquier tipo de polarımetro cuyo esquema seaPolarizadorRetardador-RetardadorAnalizador (el SP tambien puede expresarse en terminos deµij). Si se aplica una modulacion tanto al PSG como al PSA, la matriz µ se vera afectada pordicha modulacion. Supongamos que se introduce una modulacion a frecuencias discretas ωk. Lamatriz µ puede ser descrita en terminos de su transformada de Fourier como:

µ =∑k

(µAk cosωkt+ µBk sinωkt

)(2.113)

ecuacion que puede ser sustituida en la ec. 2.112 obteniendo como resultado:

I =∑k

(Ak cosωkt+Bk sinωkt)

⇒

Ak

Bk

=3∑

i,j=0

µAkij

µBkij

mij

(2.114)

donde Ak y Bk son las amplitudes de Fourier de la intensidad (I ) de frecuencia ωk. Para unpolarımetro dado, µ puede determinarse mediante la 2.112, y para una modulacion dada, µA,Bk

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puede, por lo tanto, ser determinado. El DRCP tambien es denominado polarımetro de Fourier,haciendo referencia a la transformada de Fourier que se lleva a cabo, o polarımetro de retardadordual rotatorio [111], al utilizar el termino retardador en lugar de compensador. Para obtenermediante el DRCP los 16 elementos de la matriz de Mueller de la muestra, la modulaciondebe producir una senal de, al menos, 16 amplitudes de Fourier independientes. Obtener 16amplitudes de Fourier independientes requiere de un mınimo de ocho armonicos ωk diferentes(k = 1, 2, . . . , 8). La realizacion de una medida sobre un elemento optico conocido, o en vacıo(matriz identidad), permitira realizar la calibracion tanto del PSG como del PSA (fijando angulosacimutales, transmitancias y desfases).

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hhhhhhhhhhhhhhhhhMedio OpticoFormalismo

Jones Mueller

Vacıo(

1 00 1

) 1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Medio Absorbente

(a)

(a 00 a

) a 0 0 00 a 0 00 0 a 00 0 0 a

Polarizador Lineal

(00)

(1 00 0

)12

1 1 0 01 1 0 00 0 0 00 0 0 0

Polarizador Lineal

(α)

(c2α sαcαsαcα s2

α

)12

1 c2α s2α 0c2α c2

2α s2αc2α 0s2α s2αc2α s2

2α 00 0 0 0

Diatenuador Lineal Alineado

(p1, p2)

(p1 00 p2

)12

T (p) R(p) 0 0R(p) T (p) 0 00 0 2p1p2 00 0 0 2p1p2

Diatenuador Elıptico (Puro)

(p1, p2, α, β)

(p1c

2α + p2s

2α cαsαe

−iδ(p1 − p2)cαsαe

−iδ(p1 − p2) p1s2α + p2c

2α

)12

T (p) c2αR(p) cδs2αR(p) sδs2αR(p)c2αR(p) c2

2αT (p) + 2p1p2s22α Υ6 Υ8

cδs2αR(p) Υ5 Υ1 Υ2

sδs2αR(p) Υ7 Υ3 Υ4

Retardador Lineal

(00, δ)

(eiδ/2 00 e−iδ/2

) 1 0 0 00 1 0 00 0 cδ sδ0 0 −sδ cδ

Retardador Lineal

(ϕ, δ)

(c2ϕe

iδ/2 + s2ϕe−iδ/2 (eiδ/2 − e−iδ/2)sϕcϕ

(eiδ/2 − e−iδ/2)sϕcϕ s2ϕe

iδ/2 + c2ϕe−iδ/2

) 1 0 0 00 c2

2ϕ + cδs22ϕ (1− cδ)s2ϕc2ϕ −sδs2ϕ

0 (1− cδ)s2ϕc2ϕ s22ϕ + cδc

22ϕ sδc2ϕ

0 sδs2ϕ −sδc2ϕ cδ

Retardador Elıptico Ideal (Puro)

(ϕ, δ, ψ)

(c2ϕe

iδ/2 + s2ϕe−iδ/2 (eiδ/2 − e−iδ/2)sϕcϕe−iψ

(eiδ/2 − e−iδ/2)sϕcϕeiψ s2ϕe

iδ/2 + c2ϕe−iδ/2

) 1 0 0 00 c2

2ϕ + 12cδs

22ϕ cψΩϕ + 1

2s2ϕsδsψ sψΩϕ − 12s2ϕsδcψ

0 cψΩϕ − 12s2ϕsδsψ Λ1 Λ2

0 sψΩϕ + 12s2ϕsδcψ Λ3 Λ4

Retardador Elıptico Real

(k1, k2, ϕ, δ, ψ)

(c2ϕk1e

iδ/2 + s2ϕk2e

−iδ/2 (k1eiδ/2 − k2e

−iδ/2)sϕcϕe−iψ

(k1eiδ/2 − k2e

−iδ/2)sϕcϕeiψ s2ϕk1e

iδ/2 + c2ϕk2e

−iδ/2

)12

T (k) c2ϕR(k) cψs2ϕR(k) sψs2ϕR(k)c2ϕR(k) c2

2ϕT (k) + 2k1k2cδs22ϕ Ξ6 Ξ8

cψs2ϕR(k) Ξ5 Ξ1 Ξ2

sψs2ϕR(k) Ξ7 Ξ3 Ξ4

Despolarizador Ideal @

1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

Despolarizador Parcial

(d1, d2, d3)@

1 0 0 00 d1 0 00 0 d2 00 0 0 d3

Despolarizador Real

(di, ai, zi)@

1 0 0 0z1 d1 a1 a2

z2 a1 d2 a3

z3 a2 a3 d3

cx ≡ cosx, sx ≡ sinx, c2x ≡ cos 2x, s2x ≡ sin 2x, Ωx ≡ 1

2s2xc2x, T (x) ≡ (x2

1 + x22), y R(x) ≡ (x2

1 − x22),

Υ1 ≡ c2δ(s22αT (p) + 2p1p2c22α) + 2p1p2s

2δ, Υ4 ≡ s2δ(s22αT (p) + 2p1p2c

22α) + 2p1p2c

2δ,

Υ2 ≡ Υ3 ≡ sδcδ(s22αT (p) + 2p1p2c22α) + 2p1p2cδsδ,

Υ5 ≡ Υ6 ≡ cδ(s2αc2αT (p)− 2s2αc2αp1p2), Υ7 ≡ Υ8 ≡ sδ(s2αc2αT (p)− 2s2αc2αp1p2),Λ1 ≡ (sψ( 1

2cδsψ + 1

2cψsδc2ϕ)) + (cψ(cψ( 1

2cδc

22ϕ + s22ϕ)− 1

2sδsψc2ϕ)),

Λ2 ≡ (cψ(sψ( 12cδc

22ϕ + s22ϕ) + 1

2cψsδc2ϕ))− (sψ( 1

2cδcψ − 1

2sδsψc2ϕ)),

Λ3 ≡ (sψ(cψ( 12cδc

22ϕ + s22ϕ)− 1

2sψsδc2ϕ))− (cψ( 1

2cδsψ + 1

2sδcψc2ϕ)),

Λ4 ≡ (cψ( 12cδcψ − 1

2sψsδc2ϕ)) + (sψ(sψ( 1

2cδc

22ϕ + s22ϕ) + 1

2sδcψc2ϕ)),

Ξ1 ≡ (sψ(2k1k2cδsψ + 2k1k2cψsδc2ϕ)) + (cψ(cψ(2k1k2cδc22ϕ + T (k)s22ϕ)− 2k1k2sδsψc2ϕ)),

Ξ2 ≡ (cψ(sψ(2k1k2cδc22ϕ + T (k)s22ϕ) + 2k1k2sδcψc2ϕ))− (sψ(2k1k2cδcψ − 2k1k2sδsψc2ϕ)),

Ξ3 ≡ (sψ(cψ(2k1k2cδc22ϕ + T (k)s22ϕ)− 2k1k2sδsψc2ϕ))− (cψ(2k1k2cδsψ + 2k1k2sδcψc2ϕ)),

Ξ4 ≡ (cψ(2k1k2cδcψ − 2k1k2sψsδc2ϕ)) + (sψ(sψ(2k1k2cδc22ϕ + T (k)s22ϕ) + 2k1k2sδcψc2ϕ)),

Ξ5 ≡ cψ(s2ϕc2ϕT (k)− 2s2ϕc2ϕk1k2)− 2s2ϕsδsψk1k2, Ξ6 ≡ cψ(s2ϕc2ϕT (k)− 2s2ϕc2ϕk1k2) + 2s2ϕsδsψk1k2,Ξ7 ≡ sψ(s2ϕc2ϕT (k)− 2s2ϕc2ϕk1k2) + 2s2ϕsδcψk1k2, Ξ8 ≡ sψ(s2ϕc2ϕT (k)− 2s2ϕc2ϕk1k2)− 2s2ϕsδcψk1k2.

Tabla 2.1: Representacion matricial de sistemas opticos

38

Capıtulo 3

Fundamentos del Metodo deDescomposicıon Polar (PD)

Como ya se ha visto (seccion 2.3.1), la matriz de Mueller que caracteriza un sistema difusor,para un perfil espectral y para una direccion de difusion, contiene toda la informacion que puedeportar la luz difundida referente al sistema en cuestion. La dependencia angular de los elementosde esta matriz suele estudiarse representando la evolucion de cada uno de ellos frente al angulo descattering [112]. Sin embargo, a pesar de que el grueso de las propiedades polarimetricas del sistemay, por tanto, de sus caracterısticas fısicas esta contenido en los elementos de la matriz de Mueller,tanto el significado de cada uno de ellos como su relacion con el resto de elementos permanecen,generalmente, ocultos. Esta es la razon por la que, en los ultimos anos, se han propuesto diferentesmetodos para simplificar la interpretacion fısica de este formalismo matricial, introduciendo una seriede parametros independientes apropiados para la resolucion e interpretacion de la matriz de cadaproblema [113, 114]. Uno de estos es el metodo de Descomposicion Polar (PD), que reduce el numerode parametros necesarios hasta el mınimo de ellos suficiente para representar el sistema, introduciendomagnitudes independientes con sentido fısico, de facil manejo, y que ayudan a comprender los procesosque tienen lugar en sistemas difusores complejos.

Este capıtulo tiene dos partes bien diferenciadas. La primera contiene una exposicion teorica delformalismo del PD. En ella se abordaran los principios fundamentales y su aplicacion a los distintostipos de sistemas, ası como una serie de discusiones acerca del metodo de aplicacion. La segunda partemuestra los resultados teoricos procedentes de la aplicacion del PD en distintos sistemas simuladosmediante DDA (seccion 2.2.1, pg. 22). Esto ultimo proporciona un test de aplicabilidad del metodo, esdecir, una vıa segura para comprobar su posible aplicacion en los distintos situaciones experimentales.

3.1. Principios Fundamentales

El manejo del algebra matricial [115] y el formalismo de las matrices de Pauli [16, 89] se tornaimprescindible para exponer como funciona el PD. Supongamos un medio que no introduce efectosincoherentes en la luz que incide sobre el (eso permite utilizar el formalismo de Jones o el de Muellerpara representarlo). Si el sistema esta representado por la matriz V, el PD indica que puede serdescompuesto en la forma:

V = UH (3.1)

donde H es una matriz hermıtica y U es una matriz unitaria. Ambas son denominadas factorespolares de V por su analogıa con la formulacion polar de los numeros complejos. Pese a esta analogıa,a diferencia de lo que ocurre con los numeros complejos, los factores polares matriciales no suelen serconmutables: La descomposicion V = H ′U ′ en dos nuevas matrices H ′ y U ′ no conmuta, dado que lamatriz unitaria coincide, U ′ = U , y la hermıtica, que cumple la igualdad H ′ = UHU−1, generalmenteverifica que H ′ 6= H. No obstante, es equivalente aplicar el PD de cualquiera de las dos formas,teniendo en cuenta, logicamente, que las variables de las que dependen H y U no tienen por que serlas mismas que las variables de las que dependen U ′ y H ′ [116]. La nocion de Descomposicion Polar es

39

3.1. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES CAPITULO 3. DESCOMPOSICION POLAR

conocida en algebra lineal, pero hasta los ultimos anos no ha gozado de aplicacion plena en el campode la optica. La matriz unitaria U no altera el grado de polarizacion del sistema (pg. 29), sin embargola matriz hermıtica H puede presentar diatenuacion, que podrıa entenderse como una despolarizacionpor absorcion selectiva y que nada tiene que ver con la despolarizacion por falta de correlacion, odespolarizacion por superposicion incoherente de estados.

Las transformaciones matriciales que introducen U y H se pueden asociar con distintos elementosopticos cotidianos. La matriz U introduce una rotacion del vector u, que representa el estado depolarizacion en la esfera de Poincare (fig. 2.9(b), pg. 27). Si la rotacion es en sentido del anguloacimutal χ, el elemento optico equivalente es un rotor, mientras que si ocurre en sentido del angulo ε, lamatriz U correspondera a un retardador lineal alineado. Cualquier rotacion combinada representara unretardador lineal no alineado. La matriz H, por su parte, se corresponde con un polarizador generalo diatenuador. Si H es singular, representa un polarizador lineal. De lo contrario, representara undiatenuador elıptico.

Existen una serie de teoremas ampliamente utilizados en el tratamiento de sistemas no despolari-zantes, que resultan de utilidad en la aplicacion del PD [16, 96, 91]:

1. Un sistema V que no introduzca efectos incoherentes en la luz que incide sobre el, es equivalentea un retardador (representado por la matriz U) seguido de un polarizador (representado por lamatriz H). Este teorema equivale al PD.

2. Existe una unica matriz H que cumple la ec. 3.1. La matriz U es unica sı y solo sı H no essingular, es decir, la matriz U no es unica si H es un polarizador lineal.

3. Un retardador U es equivalente a un rotor seguido por un retardador lineal.

U = MR(ϕ, δ, θ) = MR(ϕ, δ)MG(θ) = MG(−ϕ)MR(δ)MG(ϕ)MG(θ) (3.2)

4. Cualquier retardador U puede ser generado por dos retardadores.

5. Cualquier polarizador H puede ser generado por un polarizador lineal y dos retardadores.

6. Un sistema V no despolarizante puede ser generado por un polarizador lineal, dos retardadoresy un rotor.

7. De forma equivalente, un sistema V no despolarizante puede ser generado por un polarizadorlineal y tres retardadores.

8. Un sistema V compuesto solo por polarizadores lineales y rotores, puede ser sustituido por unsistema conformado por un polarizador lineal y un rotor.

9. Dos retardadores lineales alineados no pueden sustituir a un retardador cuyo vector u (pg. 27)se encuentre fuera del plano ecuatorial (definido por los ejess1 y s2).

10. Si la matriz de Jones de un sistema optico cuando la luz lo traviesa en un cierto sentido es J , lamatriz de Jones del sistema cuando la luz lo atraviesa en sentido opuesto es JT .

11. Del mismo modo, si la matriz de Mueller del anterior sistema optico cuando la luz lo traviesaen un cierto sentido es M , la matriz de Mueller cuando la luz lo atraviesa en sentido opuesto esM ′.

12. Teorema General de Equivalencia (TGE): Si M es la matriz de Mueller asociada a un mediono despolarizante, existe un sistema equivalente compuesto por un rotor MG(θ), un retardadorlineal MR(ϕ1, δ1), un diatenuador MD(p1, p2, α, 0) y un retardador lineal MR(ϕ2, δ2).

13. Cualquier retardador elıptico puro es equivalente a un retardador lineal situado entre dos retar-dadores lineales alineados:

U = MR(ϕ, δ, ψ) = MR(−ψ)MR(ϕ, δ)MR(ψ) = MR(−ψ)MG(−ϕ)MR(δ)MG(ϕ)MR(ψ) (3.3)

40

CAPITULO 3. DESCOMPOSICION POLAR 3.1. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

14. Cualquier diatenuador elıptico puro es equivalente a un diatenuador lineal situado entre dosretardadores lineales alineados:

H = MD(p1, p2, α, β) = MR(−β)MD(p1, p2, α)MR(β) = · · ·· · · = MR(−β)MG(−α)MD(p1, p2)MG(α)MR(β)

(3.4)

15. En base al PD, si V es la matriz asociada a un medio no despolarizante, el numero maximo deparametros que describen el sistema viene determinado por el numero maximo de parametrosque describen completamente las matrices de los factores polares U y H, con:

U = MR(ϕ, δ, ρ) y H = MD(p1, p2, α, β) (3.5)

donde se ha elegido el orden de la ec. 3.1 por concretar.

16. A partir de los puntos anteriores se deduce que el numero maximo de parametros necesarios paradescribir un sistema no despolarizante, tanto en el formalismo de Jones como en el de Mueller,son 7.

17. El punto 3 y el 13 son equivalentes y mantienen el numero de parametros que describen alsistema U , variando unicamente los lımites en los que estan definidos y el significado fısico delos mismos.

3.1.1. Criterio de Coherencia

A priori, cualquier matriz 4×4 resultante de una medida experimental podrıa ser considerada unamatriz de Mueller valida, una vez se hayan probado las condiciones de transmitancia (ec. 3.11). Laaplicacion del criterio de pureza servirıa para discernir que matrices son o no despolarizantes, perono serıa una condicion necesaria y suficiente para saber si una matriz es fısicamente realizable. Lacondicion para que una matriz de Mueller sea fısicamente realizable, es decir, la condicion necesaria ysuficiente para considerar como matriz de Mueller de un sistema una matriz 4 × 4 es la denominadacondicion de Coherencia o condicion de Cloude [117]. Una matriz de Mueller experimental M , conindependencia del ruido o margen de error que presenten sus elementos, sera fısicamente realizablesı y solo sı su matriz de Coherencia T4×4 asociada es hermıtica semi-definida positiva y cumple lascondiciones de transmitancia (ec. 3.11). Para ello T4×4 debe presentar cuatro autovalores λi, coni = 1, · · · , 4, reales mayores o iguales a cero, y cuatro vectores propios ortogonales asociados a estosvalores propios. La matriz T4×4 se corresponde de forma unıvoca con la matriz de Mueller M , y sepuede calcular a partir de los elementos mij de M segun la siguiente relacion:

T4×4=

0BBBBB@m00+m11+m22+m33 m01+m10−i(m23−m32) m02+m20+i(m13−m31) m03+m30−i(m12−m21)

m01+m10+i(m23−m32) m00+m11−m22−m33 m12+m21+i(m03−m30) m13+m31−i(m02−m20)

m02+m20−i(m13−m31) m12+m21−i(m03−m30) m00−m11+m22−m33 m23+m32+i(m01−m10)

m03+m30+i(m12−m21) m13+m31+i(m02−m20) m23+m32−i(m01−m10) m00−m11−m22+m33

1CCCCCA (3.6)

Haciendo uso de matrices teoricas se puede comprobar como, determinadas matrices que cumplenlas condiciones de transmitancia (ec. 3.11) y cuyo grado de pureza este comprendido entre 0 y 1,pueden no corresponderse con matrices de Mueller fısicamente realizables. A modo de ejemplo, en latabla 3.1 se presentan dos matrices, A y B, de las cuales solo la A cumple la condicion de Coherenciay, por tanto, solo la A es una matriz de Mueller fısicamente realizable. Toda medida experimental, portanto, debe someterse al criterio de Coherencia para asegurar su validez, como paso previo a cualquierotro tipo de analisis.

41


A B

Matrices

1,0 0,0 0,0 0,00,0 0,0 0,1 0,10,0 0,1 0,0 0,00,0 0,1 0,0 0,0

1,0 0,0 0,0 0,00,0 0,0 0,5 0,20,0 0,5 0,0 0,00,0 0,2 0,0 0,0

Grado de Pureza 0,0133 0,1933

Matriz de Coherencia

1,0 0,0 0,0 0,00,0 1,0 0,2 0,20,0 0,2 1,0 0,00,0 0,2 0,0 1,0

1,0 0,0 0,0 0,00,0 1,0 1,0 0,40,0 1,0 1,0 0,00,0 0,4 0,0 1,0

Autovalores

0,721,001,281,0

−0,081,002,081,00

Tabla 3.1: Aplicacion de la condicion de Coherencia a dos matrices teoricas.

Existe otros criterios con grado de aceptacion razonable en el entorno cientıfico [118, 119], perocuyas restricciones son mucho mas permisivas que las de la condicion de Coherencia, por otro ladoampliamente utilizada [120, 106], que sera la que utilice en la caracterizacion de todos los sistemaspresentados en esta Tesis. En adelante nos referiremos a matrices de Mueller fısicamente realizables,o con estricto sentido fısico, siempre que estas cumplan la condicion de Coherencia. Nuevos estudioscomienzan a imponer condiciones mas restrictivas [121], en cierto modo ligadas al criterio de coherencia,que seran de referencia para futuros trabajos.

3.1.2. Concepto de Pureza

Hasta el momento se ha puesto la condicion de que los sistemas a los que se le va a aplicar el PDno introducen despolarizacion por efectos de incoherencia. No obstante, cuando se analiza un mediocualquiera no se esta en condiciones, a priori, de afirmar si pertenece a este tipo de sistemas. En primerlugar, la siguiente condicion es necesaria para que una matriz sea considerada matriz de Mueller deun sistema optico [122]:

Tr(MTM) ≤ 4m200 (3.7)

A partir de esta ecuacion se puede definir una nueva magnitud, denominada Pureza o grado dePureza de una matriz de Mueller M como:

P (M) =

√Tr(MTM)−m2

00

3m200

(3.8)

cuyos valores van de 0 ≤ P (M) ≤ 1.Una matriz es pura cuando P (M) = 1, en cuyo caso es susceptible de ser descompuesta segun la

ec. 3.1. Por contra, una matriz con P (M) = 0 representa un despolarizador total, cuyos elementosson todos iguales a 0 excepto m00. Los casos intermedios corresponden a medios que introducen unadespolarizacion parcial en la luz que incide sobre ellos.

Se denomina comunmente criterio de pureza a la igualdad en la ec. 3.7 [116]:

Tr(MTM) = 4m200 (3.9)

Son muchas y variadas las discusiones acerca de la aplicabilidad de este criterio [118, 95], sinembargo, ha sido probada su validez para matrices de Mueller fısicamente aceptables [123], y goza deuna amplia aceptacion en la comunidad cientıfica. Las controversias sobre este criterio (del mismo modoque podrıa ocurrir al tratar la definicion de despolarizacion en el siguiente apartado) estan basadasen la diferente definicion o interpretacion, en ocasiones confusa, de terminos de gran importancia.Las matrices de Mueller son un conjunto de matrices incluido en el conjunto de matrices de Stokes,que transforman vectores de Stokes en vectores de Stokes. Cualquier matriz de Mueller es, por tanto,una matriz de Stokes. Sin embargo, la afirmacion inversa no es verdadera. Las matrices de Stokes no

42


satisfacen parte de las condiciones previas que deben satisfacer las matrices de Mueller, de tal formaque no tiene sentido aplicar el criterio de pureza sobre ellas.

Existen otras condiciones imprescindibles para caracterizar los sistemas susceptibles de ser descri-tos por matrices de Mueller puras. Las denominadas condiciones de transmitancia sirven de referenciapara establecer cuales son matrices susceptibles de ser matematicamente descompuestas como unacombinacion de matrices de Mueller puras. Las condiciones de transmitancia no son mas que la apli-cacion del principio de conservacion de la energıa a los sistemas opticos. Si se denomina gf o gr a latransmitancia maxima considerando todos los posibles estados de polarizacion incidente (donde lossubındices f y r hacen referencia al sentido directo, forward, o inverso, reverse, de la luz incidente),entonces:

gf = m00(1 + |P|)

gr = m00(1 + |D|)(3.10)

siendo P y D polarizancia y diatenuacion (ec. 2.95), respectivamente. Es decir, la direccion r se obtieneintercambiando las posiciones del haz incidente y el emergente. Las condiciones de transmitancia paraun sistema cualquiera son [124, 123]:

gf ≤ 1, y gr ≤ 1 (3.11)

que viene a decir que cualquier sistema difusor es considerado pasivo en el sentido de que no puedeliberar mas energıa (de la frecuencia incidente) que la puesta en juego por el haz incidente, no pudiendoamplificar la cantidad de luz recibida.

En este punto se pueden analizar las magnitudes caracterısticas de las matrices puras, que serande utilidad en los apartados siguientes. Se define el desfase o retardo δ entre los estados propios de unretardador elıptico MR como [98]:

δ = arc cos(Tr(MR)

2− 1)

︸︷︷︸3.3

= arc cos(√

(mR22 +mR33)2 + (mR32 −mR23)2 − 1)

︸︷︷︸3.2

(3.12)

Del mismo modo, el giro introducido por un retardador elıptico MR es:

θ =12

arctan(mR23 −mR32

mR22 +mR33

)︸︷︷︸

3.2

(3.13)

Finalmente, en un diatenuador elıptico puro MD(p1, p2, α, β), diatenuacion y polarizancia coinci-den, es decir, D = P y los parametros caracterısticos (magnitudes angulares y transmitancias de losestados propios) estan relacionados con ambos vectores como sigue [91]:

α = 12 arctan

√(m2D20 +m2

D30)mD10

= 12 arctan

√(m2D02 +m2

D03)mD01

β = arctan

(mD30mD20

)= arctan

(mD30mD20

)p2

1 = mD00(1 + |D|)

p22 = mD00(1− |D|)

(3.14)

La matriz de un diatenuador puro, en su sentido mas general puede ser descrita del siguiente modo[98]:

MD = T

(1 DT

D mD

)con mD =

√1−D2I3×3 +

(1−

√1−D2

)uDuTD (3.15)

donde uD = D/|D| es el vector unitario en a direccion de D, T = 12(p2

1 + p22) es la transmitancia total

del sistema para luz despolarizada y D = (p21−p2

2)/(p21 +p2

2) es la diatenuacion del sistema, es decir, la

43


relacion entre las transmitancias de los estados propios. Logicamente el numero de grados de libertad oparametros independientes necesarios para describir el diatenuador sigue siendo 4: MD(T,D1, D2, D3),MD(m00,m01,m02,m03), o bien, MD(p1, p2, α, β).

3.1.3. Concepto de Despolarizacion

Una vez analizados los sistemas puros, se abre el interrogante sobre la posibilidad de aplicaciondel PD en aquellos que no lo son. En primer lugar es necesario definir y reconocer lo que se entiendepor despolarizacion. En la referencia [92] aparecen una serie de comentarios de gran interes en estamemoria, que se resumen a continuacion. Las matrices de Mueller pueden ser clasificadas de acuerdoal comportamiento que presentan frente al vector de Stokes del haz incidente como:

1. Matrices no despolarizantes: Transforman vectores de Stokes completamente polarizados (P = 1)en vectores de Stokes completamente polarizados (P = 1), y pueden ser deducidas a partir dematrices de Jones (P (M) = 1).

2. Matrices pseudo-despolarizantes: Transforman vectores de Stokes completamente polarizados(P = 1) en vectores de Stokes completamente polarizados (P = 1), pero no pueden ser derivadasdel formalismo de Jones (P (M) < 1). Su determinante es negativo (|M | < 0).

3. Matrices despolarizantes: Cualquiera con sentido fısico que no se incluya en los dos gruposanteriores (P (M) < 1).

Segun esta clasificacion, las matrices no despolarizantes y las pseudo-despolarizantes no disminuyenP en los haces completamente polarizados. Sin embargo, para vectores de Stokes parcialmente polari-zados pueden disminuir P . Por contra, las matrices despolarizantes pueden incrementar P para hacesparcialmente polarizados. El primer grupo de matrices, es decir las correspondientes a sistemas puroso con equivalencia Jones-Mueller, es al que se ha hecho referencia como matrices que no introducendespolarizacion por incoherencia o matrices no despolarizantes en general.

En este punto es conveniente indicar brevemente lo que se entiende por efectos de incoherencia enpolarimetrıa [125]. Cualquier suma aleatoria de estados de polarizacion podrıa considerarse como tal.Se podrıan enumerar algunos ejemplos, segun la incoherencia sea espacial o temporal:

Un ejemplo de incoherencia espacial serıa la suma de estados de polarizacion de la luz difundidapor un sistema a traves de una ventana de deteccion extensa. A cada punto de la ventana dedeteccion llegarıa una intensidad que dependerıa de la posicion subjetiva del sistema respecto aeste punto. El analisis polarimetrico de la intensidad total recibida en la ventana de deteccion(es decir, el analisis polarimetrico de la suma de todas las intensidades llegadas al mismo tiempoa cada uno de los puntos del detector) darıa lugar a una suma incoherente de estados. De esterazonamiento se desprende que, cuanto menor sea la ventana de deteccion, menor sera la incohe-rencia espacial introducida. Esta incoherencia es la responsable de los efectos de despolarizacionen la medida de la difusion por superficies estaticas (generadoras de speckle).

Por otra parte, podrıamos hablar de incoherencia temporal en el caso del analisis polarimetricode muestras en suspension (bien sean aerosoles o suspensiones acuosas). En este caso la sumaincoherente serıa debida a la ventana de integracion temporal del detector. El tiempo transcurridoen la toma de una lectura podrıa ser suficiente para que varias partıculas de distinto tamano oforma, o distintas configuraciones de agregados, difundieran luz sobre el detector. La intensidadtotal medida serıa un promedio de todas las contribuciones llegadas al detector en el tiempo queestuvo realizando la medida. De nuevo tendrıamos una suma incoherente de estados. Ni que decirtiene que, tambien en casos de incoherencia temporal, habrıa una contribucion de incoherenciaespacial debida a la extension de la ventana de deteccion.

Finalmente, y aunque sea un fenomeno con una contribucion sensiblemente menor que los ante-riores, podrıamos hablar de una incoherencia temporal debida a que el haz no es perfectamentemonocromatico. Como se comenta en la referencia [39] (pg. 31): La aditividad de los parametrosde Stokes (por ejemplo, ec. 2.93) nos permite generalizar el principio de equivalencia optica para

44


una luz quasi−monocromatica, de forma que es imposible (mediante el uso tradicional de instru-mentos opticos) distinguir entre la mezcla incoherente de haces monocromaticos que conformanun mismo vector de Stokes. Es por esto que el uso de un haz quasi−monocromatico es una formade introducir despolarizacion. En este sentido, es necesario resaltar los efectos de desplazamientoespectral (desplazamiento de Wolf [126]) que surgen en interfases rugosas debidos a la perdidade coherencia espectral, dando lugar a un ensanchamiento en el espectro de luz difundida quevarıa con el angulo de scattering [127].

Cualquiera de los tres tipos de matrices despolarizantes expuestos en la tabla 2.1 (pg. 38) secorresponden con matrices de medios despolarizantes. Un despolarizador lineal M∆(di) es aquel cuyosejes principales se encuentran alineados con los ejes si de la esfera de Poincare (fig. 2.9(b)). Taldespolarizador presenta unos factores de despolarizacion (1 − |di| con i = 1, 2, 3), que describen ladespolarizacion introducida a lo largo de esos ejes. Se puede definir la capacidad de despolarizacioncomo la media de los factores principales de despolarizacion [98]:

M∆(di) =

1 0 0 00 d1 0 00 0 d2 00 0 0 d3

, y ∆ = 1− 13

3∑i=1

|di|, con 0 ≤ ∆ ≤ 1 (3.16)

En general, los ejes principales del despolarizador no tienen por que coincidir con los ejes de laesfera de Poincare. Por lo tanto, la matriz de despolarizacion de un medio despolarizador cuyos ejesprincipales sean arbitrarios sera:

M∆(di, ai) =

1 0 0 0

0 d1 a1 a2

0 a1 d2 a3

0 a2 a3 d3

=(

1 0T

0 m∆

),

con mT∆ = m∆ y ∆ = 1− |Tr(m∆)|

3 = 1− |Tr(M∆)− 1|3

(3.17)

en la cual m∆ es una matriz simetrica 3 × 3. Los valores propios de m∆ son sus factores principalesde despolarizacion, y su capacidad de despolarizacion se podrıa calcular a partir de la ec. 3.16. Noobstante, esta expresion unicamente presenta 6 grados de libertad. Ademas, como se comento conanterioridad, un medio despolarizante puede presentar la capacidad de polarizar la luz de un hazincidente despolarizado. Esto unicamente sera posible si la matriz del medio despolarizante presentauna determinada polarizancia, es decir, si despues de despolarizar el haz incidente, actua sobre el unamatriz con una componente de polarizancia:

M∆(di, ai, zi) =

1 0 0 0

z1 d1 a1 a2

z2 a1 d2 a3

z3 a2 a3 d3

=(

1 0T

P∆ m∆

)=(

1 0T

P∆ I3×3

)(1 0T

0 m∆

)(3.18)

donde P∆ = [ z1 z2 z3 ]T . Es decir, la matriz de Mueller de un medio despolarizante, en general,presenta 9 grados de libertad: 3 asociados al retardo, 3 asociados a la diatenuacion y 3 asociados a ladiagonal [128]. Existen algunos ejemplos en la bibliografıa que pueden ilustrar acerca de esta clase desistemas, como por ejemplo el polarizador lineal ideal sin perdidas [123], cuya matriz de Mueller es:

1 01 0

O2×2

O2×2 O2×2

La matriz de polarizancia de la ec. 3.18 representarıa un desplazamiento del vector de Stokes. De

esta forma, el efecto de un despolarizador real sobre un vector de Stokes arbitrario en la esfera dePoincare darıa lugar a una deformacion elipsoidal de la misma centrada en P∆ [92].

45


3.1.4. Descomposicion Polar en Sistemas No Despolarizantes

Resulta directa la aplicacion del PD a sistemas no despolarizantes. La unica necesidad es fijar lametodologıa de trabajo ante la ambiguedad manifiesta que presenta el PD frente al orden de actuacionde las matrices hermıtica y unitaria. No obstante, la definicion de diatenuador (ec. 3.15) deja claroque conocida la primera fila o columna de elementos de la matriz M del medio optico analizado esinmediata la obtencion de la matriz del diatenuador MD [129], con independencia del orden en ladescomposicion que se elija. Una vez obtenida la matriz del diatenuador, se puede verificar:

MM−1D1 = MRMD1M

−1D1 = MR, si M = MRMD1

M−1D2M = M−1

D2MD2MR = MR, si M = MD2MR

(3.19)

El resultado de la ec. 3.19 da lugar a la obtencion de todos los parametros opticos libres del sistema,pues de la metodologıa anterior se desprenden tanto la matriz del diatenuador como la del retardador.Solo en sistemas singulares, como un polarizador lineal, pueden presentarse indeterminaciones debidoa que el determinante de la matriz de diatenuacion es nulo y, por tanto, no presenta inversa. Estasituacion, matematicamente compleja, se torna fısicamente trivial: Tras la obtencion de la matriz dediatenuacion correspondiente a un polarizador lineal, el retardador elıptico puro de caracterısticasunicas queda perfectamente determinado por un mınimo de tres parametros, tras realizar el productoMR ·MD.

Esta no es la unica forma de resolucion posible. Si se consideran las matrices del retardador y eldiatenuador, MR(ϕ, δ, ρ) y MD(p1, p2, α, β), y se plantea la resolucion del sistema:

M = MR(ϕ, δ, ρ)MD(p1, p2, α, β) = (mij), i, j = 0, . . . , 3 (3.20)

se obtiene un conjunto de 16 ecuaciones y 7 incognitas, que conforman un sistema compatible indeter-minado. La resolucion de este sistema por metodos simbolicos y numericos en entornos matematicosapropiados (MathCAD, MATLAB, . . . ) planteando unos lımites de entrada para los valores de lastransmitancias y de las magnitudes angulares puede ser, en ocasiones, muy recomendado para man-tener la continuidad de las variables angulares en los analisis polarimetricos, ası como para evitar lasindeterminaciones en sistemas singulares. Las equivalencias existentes a la hora de construir un siste-ma optico determinado (punto 17, pg. 41), que podrıan jugar una mala pasada al realizar el analisiscomputacional, desaparecen mediante este protocolo de aplicacion del PD.

En resumen, el orden de aparicion del diatenuador o el retardador en el PD, y el operar segun laec. 3.19 o la 3.20 son, a priori, elecciones que no deben influir en el resultado final del PD. Mas aun, elmodo de trabajo presentado en la ec. 3.19 y el de la 3.20 pueden resultar, en determinadas situaciones,complementarios. El primero de ellos parte de las matrices de diatenuacion y retardo para llegar a losparametros independientes, mientras que el segundo ajusta los parametros independientes para darlugar, finalmente, a las matrices correspondientes. Obviamente, el segundo de los metodos requiereuna capacidad de calculo y ajuste mucho mas elevada, pero compatible con los procesadores actuales.

3.1.5. Descomposicion Polar en Sistemas Despolarizantes

Los grados de libertad asociados al orden de actuacion de los elementos presentes en la aplicaciondel PD a sistemas no despolarizantes se multiplican al trabajar con los despolarizantes. En estossistemas introducimos una nueva matriz, la matriz de despolarizacion o M∆, que dara cuenta de losprocesos de despolarizacion en el sistema. La permutacion en el orden de los tres sistemas opticos enlos que descomponemos el sistema real (diatenuacion, retardo y despolarizacion) da lugar a 6 posiblescombinaciones matriciales. La siguiente descomposicion:

M = M∆MRMD (3.21)

es particularmente interesante desde el punto de vista del analisis de las medidas experimentales. Enprimer lugar, porque separa claramente la componente despolarizante del sistema puro y, en segundolugar, porque el orden relativo de ambas componentes hace que el grado de polarizacion de la luz

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completamente polarizada se conserve tras su paso por el sistema puro, y la componente despolari-zante sea la unica responsable de la perdida del grado de polarizacion lineal (ver pg. 44 acerca de ladisminucion del grado de polarizacion lineal en la luz parcialmente despolarizada en sistemas puros).Esta descomposicion es una generalizacion natural del PD a sistemas despolarizantes [98].

Dado que la capacidad de polarizacion de un sistema solo puede describirse en base a la polarizanciadel mismo y, por tanto, unicamente puede estar representada mediante las matrices que contenganun vector polarizancia, las 6 combinaciones matriciales posibles en la aplicacion del PD a mediosdespolarizantes pueden ser clasificadas en dos familias. La familia de 3 combinaciones en las quela diatenuacion preceda a la despolarizacion (∆D), y la familia de 3 combinaciones en las que ladespolarizacion preceda a la diatenuacion (D∆). No obstante, unicamente la familia ∆D da lugara matrices de Mueller con sentido fısico en cualquiera de las tres permutaciones de elementos [130].Actualmente se denomina a estas familias como descomposicion directa (forward decomposition) en elcaso ∆D, e inversa (reverse decomposition) en el caso D∆ [131, 125]. Sin embargo, la realizacion fısicade la descomposicion inversa pasa por considerar como matriz de despolarizacion una matriz del tipo:

M∆,r =(

1 DT∆,r

0 m∆r

)y no la matriz de despolarizacion M∆ considerada en otras referencias [98, 130]. A lo largo de lapresente memoria, al igual que en distintos trabajos de actualidad [132, 35, 133, 134] se ha optado poruna descomposicion directa, como la expuesta en la ec. 3.21. No obstante, en la actualidad existenreferencias [135] que han abordado ambos tipos de descomposicion con similares resultados en terminosde despolarizacion, diatenuacion, rotacion optica y retardo, siempre y cuando las muestras a analizarpresenten una matriz de despolarizacion cuya estructura sea lo suficientemente proxima a la de unamatriz diagonal y la diatenuacion presente valores bajos, es decir, muestras cuya despolarizacionsea debida casi unicamente a los coeficientes principales de despolarizacion (di) y cuya principalcontribucion sea la actividad optica.

La aplicacion del PD de acuerdo a la ec. 3.21 permite cualquiera de los dos tipos de actuacionexpuestos en el apartado 3.1.4, bien obteniendo los valores de diatenuacion en primer lugar, o bienobteniendo las transmitancias y demas parametros angulares de la descomposicion por resolucion delsistema de ecuaciones. Razonando del mismo modo que antes, si se pretenden obtener las matrices delos distintos elementos virtuales que compondrıan el sistema (diatenuador, retardador y despolariza-dor), la forma mas directa serıa un calculo del tipo expuesto en la ec. 3.19:

M ′ = MM−1D = M∆MRMDM

−1D = M∆MR =

(1 0T

P∆ m′

)(3.22)

donde se ha determinado de forma directa el vector diatenuacion D, a partir de la primera fila de lamatriz M , seguido de la matriz del diatenuador MD y, por ultimo, del vector polarizancia P∆ de lamatriz de despolarizacion M∆, que queda definido de forma inequıvoca por la primera columna de lamatriz M ′. Quedando reducido el problema a un problema de Descomposicion Polar en el espacio dematrices 3× 3, siendo la matriz problema m′ = m∆mR.

Si la submatriz m∆ tiene como valores propios d1 ≥ d2 ≥ d3 ≥ 0, entonces la submatriz dedespolarizacion 3× 3 puede obtenerse de acuerdo con [98]:

m∆ = ±(m′m′T + (d1d2 + d2d3 + d3d1)I3×3

)−1 ((d1 + d2 + d3)m′m′T + d1d2d3I3×3

)(3.23)

con signo + (−) si |m′| > 0 (< 0). Tras determinar la submatriz de despolarizacion, m∆, es inmediatocomprobar que:

mR = m−1∆ m′ = m−1

∆ m∆mR (3.24)

Un calculo equivalente puede ser llevado a cabo segun el otro protocolo de actuacion, denominadodescomposicion en valores singulares [91]:

m′ = AD(d1, d2, d3)B (3.25)

47


con A y B matrices 3× 3 ortogonales, y D matriz 3× 3 diagonal. De modo que:m∆ = ±ADATmR = ±AB (3.26)

donde se aplicara el mismo convenio de signos que en la ec. 3.23. Se puede apreciar claramente quem∆ es una matriz simetrica semidefinida positiva, como ya se comento con anterioridad.

No obstante, al igual que en la seccion 3.1.4, la aplicacion de esta metodologıa de trabajo implicael desconocimiento de todos los parametros acimutales y angulares hasta la obtencion final de todaslas matrices de la descomposicion. Si, por otra parte, lo que se busca es identificar los parametroscaracterısticos de transmitancia, despolarizacion y angulares, partiendo de unos intervalos de validezde los mismos, la solucion de las 16 ecuaciones acopladas de la siguiente relacion:

M = M∆(di, ai, zi)MR(ϕ, δ, ρ)MD(α, β, p1, p2) (3.27)

dara lugar a la obtencion, mediante metodos de minimizacion de errores, de los 16 parametros in-dependientes con estricto sentido fısico que actuan como incognitas del sistema de ecuaciones. Estemetodo, aplicado a medidas dinamicas de difusion, en las que se pretende determinar la dependenciacon el angulo de scattering (θ) de cada uno de estos parametros, permite calcularlos sin necesidad deconocer previamente la matriz de la cual forma parte. Dado que se ha partido del PD generalizado(ec. 3.21), queda demostrado que cualquier matriz de Mueller que cumpla la ec. 3.27 es fısicamenterealizable y, por tanto, que todos los parametros mantienen su significado, dentro de los margenes deerror de los ajustes necesarios para la obtencion de los mismos y de la indeterminacion propia de lasmagnitudes angulares. Esta indeterminacion puede dar lugar a varias soluciones posibles, dependiendodel rango de definicion de cada una de las magnitudes: Por ejemplo, MR(0, δ, π/2) = MR(0,−δ, 0).Es, sin embargo, un punto a favor de este PD, pues para el analisis de las medidas de difusion setorna fundamental la continuidad maxima de los parametros independientes con objeto de valorarsu comportamiento en todo el plano de scattering. Haciendo uso de este tipo de transformacionesangulares se puede mantener, dentro del rango de trabajo de cada una de las variables angulares, unarelativa continuidad de las mismas, que se torna en indeterminacion unicamente en aquellos puntosdonde aparecen singularidades, es decir, donde MD resulta ser una matriz singular.

Esta forma de aplicacion del PD sera la utilizada a lo largo de esta memoria. Resulta trivial com-probar que, sustituyendo los parametros obtenidos por este procedimiento en las distintas matrices(M∆, MR y MD) se obtienen los mismos resultados que aplicando la descomposicion en valores singu-lares (aplicacion de las ecs. 3.12, 3.13, 3.14 y 3.16). Es amplio el estudio que diversos autores vienenrealizando recientemente acerca del PD y de la interpretacion de distintos sistemas en base al mismo([129, 133, 136, 132, 35]).

3.1.6. Otros Tipos de PD en Sistemas Despolarizantes

En la actualidad existe una tercera variante de aplicacion del PD en sistemas despolarizantesmediante la descomposicion de la matriz de Mueller del medio en un producto en serie de matrices.La formulacion de este tipo de Descomposicion simetrica es la siguiente [137]:

M = MD2MR2M∆MR1MD1 (3.28)

donde unicamente el despolarizador serıa responsable de la transmitancia total del sistema (m00), man-teniendo ası el total de 16 parametros independientes del PD por medio del uso de un despolarizadorparcial (puro o diagonal) del tipo:

M∆ =

d0 0 0 00 d1 0 00 0 d2 00 0 0 d3

(3.29)

Este metodo de descomposicion facilita el calculo de las matrices diatenuacion. Haciendo uso de laprimera fila de la matriz de Mueller del sistema se obtiene la primera de las matrices de diatenuacion:

MM−1D1 = MD2MR2M∆MR1 (3.30)

48


mientras que utilizando la primera columna de la matriz resultante se obtendrıa la segunda de lasmatrices de diatenuacion, de forma que:

M ′ = M−1D2MM−1

D1 = MR2M∆MR1 (3.31)

a partir de la cual, por medio de una descomposicion en valores singulares (ec. 3.25), se obtendrıantodas las variables del sistema.

Las diferencias de computacion entre este procedimiento, el directo y el inverso no son, en cualquiercaso, sustanciales. Ademas, como en todo momento se esta trabajando con matrices que poseen unestricto sentido fısico, la interpretacion de las mismas no carece de significado, en ninguno de loscasos. Dependiendo de la aplicacion que se pretende dar al PD se puede elegir cualquiera de los tiposde descomposicion. En particular, tal y como se expone en la referencia [137], la aplicacion del PDsimetrico permite averiguar, no solo los valores principales de despolarizacion del sistema, sino cuales la localizacion del proceso de despolarizacion en el sistema analizado, i.e. la secuencia del sistemaoptico equivalente. Para ello, si los elementos MD2 y MR2 (ec. 3.28) de la descomposicion simetricatienen valores cercanos a la identidad, significarıa que la despolarizacion es el ultimo proceso queafecta al sistema. Por otro lado, si tanto MD2 y MR2 como MD1 y MR1 varıan considerablemente conrespecto a la matriz identidad, la despolarizacion ocurre en el proceso central. Finalmente, si MD1 yMR1 son cercanos a la identidad, entonces la despolarizacion es el proceso inicial que afecta al sistema.

Descomposicion Polar en Paralelo

Mientras que en las descomposiciones en serie analizadas hasta el momento la contribucion es-pecıfica de la despolarizacion esta incluıda en la matriz del mismo nombre, existe una rama de PDque comienza a adquirir protagonismo [138, 139], denominada PD en paralelo. A partir de los estudiosde Cloude, y en base a la definicion de despolarizacion como superposicion incoherente de estados, sepuede ver que una suma incoherente de matrices de sistemas puros puede dar lugar a un sistema des-polarizante. Una vez situados en la perspectiva del PD en paralelo, es necesario hacer hincapie en quecualquier PD en paralelo es fısicamente realizable si y solo si se puede expresar como una combinacionlineal convexa [91]. En todas las descomposiciones en paralelo, el numero de componentes puras de lacombinacion lineal es igual al rango de la matriz de Coherencia T .

La primera forma de verlo serıa utilizando la suma de los estados propios pesada con los valorespropios, es decir, una suma de hasta cuatro terminos (dependiendo del rango de la matriz T ) generadosa partir de los vectores propios de T pesados con sus valores propios (0 ≤ λ3 ≤ λ2 ≤ λ1 ≤ λ0) [117]:

T =3∑i=0

λiTr(T )

T (i), donde T (i) = Tr(T )(ui × u+i ) (3.32)

Este tipo de PD en paralelo es la llamado descomposicion espectral. Desde el punto de vistapuramente matematico, cada valor propio tiene una interpretacion en terminos de probabilidad, locual permite analizar magnitudes como la entropıa y la pureza del sistema a partir de dichos valores[91].

Un segundo criterio serıa la denominada descomposicion trivial, resumida en la ecuacion:

T =λ0 − λ1

Tr(T )A+ 2

λ1 − λ2

Tr(T )B(1) + 3

λ2 − λ3

Tr(T )B(2) + 4

λ4

Tr(T )B(4) (3.33)

donde se han definido las matrices involucradas, a partir de las matriz U cuyas columnas son losautovectores de T y de la matriz diagonal D cuyos valores de la diagonal se muestran entre parentesis,como:

A = Tr(T )(UD(1, 0, 0, 0)U+)

B(1) = 12Tr(T )(UD(1, 1, 0, 0)U+)

B(2) = 13Tr(T )(UD(1, 1, 1, 0)U+)

B(3) = 14Tr(T )(UD(1, 1, 1, 1)U+)

(3.34)

49

3.2. APLICABILIDAD CAPITULO 3. DESCOMPOSICION POLAR

La descomposicion trivial es especialmente util cuando se pretende discriminar entre un estadopuro de polarizacion y uno completamente aleatorio, en cuyo caso unicamente serıan necesarios losdos primeros terminos de la ec. 3.33.

T =3∑i=0

liTr(T )

A(i), donde

3∑i=0

liTr(T ) = 1,

A(i) = A(i)+,

rango(A(i)) = 1, y

Tr(A(i)) = Tr(T )

(3.35)

Para finalizar este breve analisis de las descomposiciones en paralelo, es necesario comentar bre-vemente la descomposicion arbitraria que abarca diversos trabajos, desde sus primeras aplicaciones[140, 23] hasta la actualidad [141, 138]. La expresion matematica de la descomposicion arbitraria secorresponde con la ec. 3.35. Otra formulacion equivalente es la siguiente:

T =3∑i=0

liTr(T )

[Tr(T )(vi × v+i )] (3.36)

donde |vi| = 1 son vectores linealmente independientes que constituyen una base generalizada or-togonal [91]. Como se puede ver, la descomposicion espectral es solamente un caso particular de ladescomposicion arbitraria.

El uso de un tipo u otro de descomposicion, en la actualidad, esta unicamente determinado por eltipo de aplicacion al que vaya dirigido. No obstante, la informacion polarimetrica tangible y elaboradaque aporta la descomposicion en serie para sistemas totalmente desconocidos hace que sea, a menudo,la forma elegida para caracterizar las propiedades de dichos sistemas.

3.2. Aplicabilidad y Resultados Numericos

Pese a que el presente capıtulo es eminentemente teorico, considero necesario incluir un test deaplicacion del PD, como paso previo a su uso en sistemas experimentales y como forma de familiariza-cion con la metodologıa de trabajo. Para ello se ha aplicado con exito el PD en diversas simulacionesde geometrıas sencillas, como veremos a continuacion. Algunos de los resultados de aplicacion de esteprocedimiento estan a la espera de ser publicados, y otros ya han visto la luz a lo largo de ultimos dosanos [142, 143, 144].

3.2.1. Esfera Aislada

Un sistema muy sencillo es el formado por una esfera aislada. Su radio se ha hecho variar entre r =0,01λ y r = 0,60λ, para tener un rango suficiente de resultados que abarquen la escala submicrometricay nanometrica. La esfera se ha iluminado por una onda plana de λ = 633nm (fig. 3.1(a)). Para cadatamano se han supuesto dos materiales: Dielectrico (SiO2 con ındice de refraccion, n = 1,5 para unalongitud de onda del haz incidente λ = 633nm), y metalico (Ag, n = 0,135 + 3,988i para λ = 633nm).En la fig. 3.1(b) se muestra una simulacion, realizada en el entorno COMSOL, para una esfera dePlata de tamano r = 0,1λ.

Las matrices de scattering obtenidas por medio del DDA (seccion 2.2.1, pg. 22) fueron procesadaspor un algoritmo para el calculo de los parametros del PD. Una vez calculado el grado de pureza delas matrices, P (M) en la ec. 3.8, se concluyo que todas ellas eran puras. Este resultado era de esperar,ya que se trata de un sistema que no incluye ningun mecanismo de despolarizacion. Ademas, y debidoa las simetrıas de un sistema difusor tan sencillo, el PD se simplifica notablemente. Ası, las distintasmatrices de Mueller pueden ser descompuestas segun la ec. 3.20. Segun esto, la forma analıtica de lamatriz de retardo, aplicando la ecuacion 3.2, es:

50

CAPITULO 3. DESCOMPOSICION POLAR 3.2. APLICABILIDAD

(a) Esquema geometrico. (b) Simulacion del modulodel campo.

Figura 3.1: Difusion por una esfera aislada: (a) Esquema geometrico y (b) Simulacion del campo.

MR(ϕ, δ, ψ) =

mR00 = 1;mR0j = mRj0 = 0; j ∈ 1, 3 ;mR11 = cos(2ψ ·

(cos2(2ϕ) + cos(δ) · sin2(2ϕ)

)+

+12 · sin(2ψ · sin(4ϕ) · (cos(δ)− 1) ;

mR12 = sin(2ψ ·(cos2(2ϕ) + cos(δ) · sin2(2ϕ)

)−

−12 · cos(2ψ · sin(4ϕ) · (cos(δ)− 1) ;

mR13 = − sin(2ϕ) · sin(δ);mR21 = − sin(2ψ ·

(sin2(2ϕ) + cos(δ) · cos2(2ϕ)

)−

−12 · cos(2ψ · sin(4ϕ) · (cos(δ)− 1) ;

mR22 = cos(2ψ ·(sin2(2ϕ) + cos(δ) · cos2(2ϕ)

)−

−12 · sin(2ψ · sin(4ϕ) · (cos(δ)− 1) ;

mR2,3 = − cos(2ϕ) · sin(δ);mR31 = cos(2ψ · sin(2ϕ) · sin(δ)+

+ sin(2ψ · cos(2ϕ) · sin(δ);mR32 = sin(2ψ · sin(2ϕ) · sin(δ)−

− cos(2ψ · cos(2ϕ) · sin(δ);mR33 = cos(δ);

(3.37)

mientras que, debido a la simplicidad del sistema, la matriz de diatenuacion queda reducida a:

MD(α, t) =

mD00 = 1;mD3j = mDj3 = 0, j ∈ 0, 3 ;mD01 = mD10 = 2 · cos(2α) ·

(t− 1

2

);

mD02 = mD20 = 2 · sin(2α) ·(t− 1

2

);

mD11 = cos2(2α) + 2 · sin2(2α) ·√t · (1− t);

mD12 = mD21 = −2 · cos(2α) · sin(2α) ·(√

t · (1− t)− 12

);

mD22 = sin2(2α) + 2 · cos2(2α) ·√t · (1− t);

mD33 = 2 ·√t · (1− t);

con t = p2 (3.38)

pues β = 0, y t = t1 = 1 − t2. Donde α es el angulo acimutal entre el plano de scattering y el ejede referencia del diatenuador y ti = p2

i es la transmitancia del estado propio i. En este caso t secorresponde con la transmitancia que el diatenuador presenta ante una onda P.

Debido a las propiedades de simetrıa del sistema y, tomando el origen de acimuts en la direccioncontenida en el plano de difusion, tanto α como ϕ son nulos. Ademas, ψ = 0 pues el eje rapido del

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retardador es lineal, tal y como se desprende del PD. Por todo esto, el sistema se puede descomponeren un sistema equivalente compuesto por un diatenuador lineal alineado con el plano de scattering ycon el eje rapido de un retardador lineal.

La matriz de Mueller de una partıcula esferica viene descrita por cuatro parametros (m00, m01,m22 and m23) [5]. Sin embargo, solo tres son independientes. Algunas magnitudes como el grado depolarizacion circular 2.92 y, en sistemas multiples, la despolarizacion circular, han sido introducidospara especificar las conexiones existentes entre los distintos parametros [145, 114, 146]. En este caso, sise examinan con detalle las propiedades polarimetricas del sistema y se aplica el PD, se puede evaluarla evolucion del mismo considerando simplemente tres parametros independientes: La transmitanciatotal media para luz incidente despolarizada (m00), la transmitancia de uno de los estados propios deldiatenuador (t) y el desfase introducido por el retardador (δ). Veremos como t esta ligado a PL y a lapolarizancia de este sistema.

En la fig. 3.2 se muestra la evolucion angular de los parametros polarimetricos para la esferaaislada, tomando ocho valores diferentes de radio. Comenzamos por el caso de la esfera metalica: Lasfigs. 3.2(a) y 3.2(e) se corresponden con el grado de polarizacion lineal (PL = −m10/m00) en funciondel angulo de scattering (θ) en el hemisferio de retrodifusion (backscattering, [900-1800]). Las figs.3.2(b) y 3.2(f), por su parte, representan la transmitancia del diatenuador (t), obtenida mediante elPD. Como se puede observar, las curvas presentes en (a) y (e) pueden ser obtenidas a partir de susanalogas en (b) y (f), mediante la ecuacion PL = 1 − 2t. Pese a que este no es un resultado general,pues solo se verifica en sistemas puros, logicamente tambien se cumple en este sistema. Cuando laluz emergente de la esfera esta linealmente polarizada (|PL| = 1), la transmitancia a traves de unode los ejes del diatenuador es maxima, es decir, t = 0 o bien t = 1. Por contra, cuando PL es cero,la transmitancia es la misma para ambos ejes (t = 0,5), es decir, la luz difundida esta polarizadacircularmente (dado que el sistema es puro y no introduce efectos incoherentes).

Las figs. 3.2(c) y 3.2(g) muestran la polarizancia. Debido a que el sistema es puro y presenta simetrıaesferica, esas curvas tambien representan la diatenuacion, resultante de intercambiar la direccion deincidencia de la luz y la de difusion. De nuevo, se puede relacionar la polarizancia con la transmitancia,ya que |P| = |PL|. Como era de esperar, las figuras (c) y (g) tienden a cero cuando el diatenuadorno presenta preferencia ante ninguno de los ejes (t = 0,5). Tal es el caso de θ = 1800, donde ningunapolarizacion lineal puede distinguirse por razones de simetrıa.

Finalmente, en las figs. 3.2(d) y 3.2(h) se representa el retardo introducido por el retardador linealequivalente. Tanto t como δ permiten, en este caso, observar la transicion entre la region nanoscopicay la submicroscopica. El desfase que presenta la matriz de retardo incrementa su oscilacion con eltamano de partıcula, de la forma que se esperarıa para una partıcula esferica aislada segun la teorıade Mie (seccion 2.2.1). En la actualidad, las funciones de scattering son denominadas, con frecuencia,funciones de fase [147], nombre que a la vista de los resultados adquiere su pleno significado.

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Figura 3.2: Esfera de Ag aislada (n = 0,135 + 3,988i): (a)(e) PL, (b)(f) t, (c)(g) Polarizancia y (d)(h)∆ vs. θ (Izquierda: Radios desde r = 0,01λ hasta r = 0,20λ / Derecha: Radios desde r = 0,25λ ar = 0,60λ).

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En la fig. 3.3 se han representado el mismo conjunto de parametros para una esfera dielectrica.En el caso del desfase δ, generalmente definido en el intervalo [00,3600], se ha habilitado que el mismopueda adquirir valores superiores, para permitir la continuidad de las curvas y mejorar la visualizacion.De nuevo, se puede observar que las relaciones PL = 1− 2t y |P| = |PL| tambien se verifican para elcaso de una esfera dielectrica. Para la coleccion de tamanos grandes, en general, la esfera dielectricamuestra mayor desfase que la metalica. Este hecho podrıa relacionarse con la fuerte penetracion delcampo en la partıcula dielectrica. Por otro lado, al igual que en el caso metalico, las oscilacionesaumentan con el tamano de la partıcula.

Otro comportamiento interesante de los graficos de la esfera dielectrica aparece en determinadosangulos de scattering, que no coinciden con los angulos especıficos de difusion directa, retrodifusion odifusion a 900, para los cuales aparecen valores especiales de transmitancia (0; 0,5; 1). Una vez predi-chas, ya sea por su presencia o ausencia, estas propiedades polarimetricas particulares se comportancomo elementos identificativos del sistema.

Llegado a este punto, puedo afirmar que la aplicacion del PD a un sistema de scattering simple,como es una esfera dielectrica o metalica aislada de dimension inferior a la longitud de onda del hazincidente, se ha realizado con exito. Obteniendo, en virtud de las magnitudes derivadas del PD, laspropiedades de difusion y polarimetricas del sistema. Los resultados, acordes a la simetrıa del sistema,reflejan la evolucion angular de unos pocos parametros independientes, deshaciendo por completo lasligaduras a las que estan sujetos los elementos de la matriz de Mueller del sistema. El parametro tmuestra la transmitancia de uno de los ejes del polarizador lineal equivalente, es decir, la transmitanciade uno de los estados propios de la matriz de diatenuacion, e informa a cerca del grado de polarizacionlineal (PL) de la luz que emerge y de la polarizancia |P| del sistema. Ademas, la fase introducida porel sistema en las componentes de la luz incidente se muestra, una vez se ha aplicado el PD, como eldesfase (δ) del retardador equivalente.

Logicamente el proposito de este analisis no es arrojar nuevos resultados acerca del problema descattering por una partıcula esferica pequena. Se pretende mostrar como el PD produce resultadoslistos para ser interpretados fısicamente, algo que se hara particularmente importante cuando se tratede sistemas mucho mas complejos y situaciones experimentales. Es decir, los 7 parametros resultantesde la aplicacion del PD en sistemas puros son faciles de manejar, y representan magnitudes de ele-mentos virtuales simples que ayudan a mejorar la compresion de los procesos involucrados en sistemascomplejos no despolarizantes.

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Figura 3.3: Esfera de SiO2 aislada (n = 1,5): (a)(e) PL, (b)(f) t, (c)(g) Polarizancia y (d)(h) ∆ vs. θ(Izquierda: Radios desde r = 0,01λ hasta r = 0,20λ / Derecha: Radios desde r = 0,25λ a r = 0,60λ).

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3.2.2. Par de Esferas Metalicas

El siguiente sistema de difusion que hemos sometido a analisis mediante el PD consiste en unpar de esferas metalicas de Plata (n = 0,135 + 3,988i para λ = 633nm) de radio r = 0,1λ y cuyadistancia entre superficies esta comprendida entre d = 0,1λ y d = 0,8λ. Para realizar los calculosde la matriz de Mueller por medio del DDA, se han considerado tres geometrıas diferentes (figuras3.4(a), (b) y (c)), sobre las que se hace incidir una onda plana monocromatica de λ = 633nm. Aligual que en la seccion 3.2.1, las matrices de difusion han sido analizadas por medio del PD (ec. 3.20),tras haber comprobado que el sistema era puro con un alto grado de aproximacion (ec. 3.8). Tambienen este caso los sistemas analizados pueden ser representados unicamente mediante tres parametrosindependientes: La transmitancia total media para luz incidente despolarizada (m00), la transmitanciade uno de los estados propios del diatenuador (t) y el desfase introducido por el retardador (δ). Enla fig. 3.2.2 se muestran algunas simulaciones en la region de campo cercano para distintas posicionesrelativas del par de esferas realizadas en el entorno de simulacion COMSOL.

Figura 3.4: Geometrıas experimentales de la difusion por un par de esferas: (a) Geometrıa X, (b)Geometrıa Y, (c) Geometrıa Z y (d) Geometrıa X (modelo de interferencia).

Una vez eliminada la posibilidad de que se produzcan efectos incoherentes (sistemas puros), seha seguido el analisis de tipo interferencial propuesto en la referencia [85], con objeto de predecir laposicion de los distintos mınimos interferenciales de los sistemas. El modelo consta de dos difusorespuntuales independientes (fig. 3.4(d)), de modo que se pueden evaluar las posiciones angulares paralas que t presenta mınimos. En estos puntos aparecen fuertes desfases y cambios en el grado depolarizacion lineal (de nuevo PL = 1− 2t). Las posiciones interferenciales se presentan en la ec. 3.39,y son consecuencia de los retardos en la fase introducidos por las diferencias de camino optico (Λ yΩ).

Ω−∆ = (2n− 1)π =(

2πdλ

)(1− cos θ) para la Geometrıa X

∆ = (2n− 1)π =(

2πdλ

)(sin θ) para la Geometrıa Z

(3.39)

donde θ es el angulo de scattering, n es el orden de los mınimos y d es la distancia entre los difusores.Como muestra la fig. 3.5, pequenas separaciones entre las esferas suavizan la visibilidad de los

mınimos y cambian la posicion de los mismos, tanto en la Geometrıa X como en la Geometrıa Z, debidoa la fuerte interaccion [85]. No obstante, cuando aumenta la separacion entre esferas, la interacciondisminuye, mejorando la prediccion en la posicion de los mınimos por medio del modelo interferencial.Por otro lado, como era de esperar, la Geometrıa Y no introduce ninguna interferencia en la luzdifundida en el plano de scattering, mostrando unicamente una pequena desviacion con respecto ala difusion por una partıcula aislada del mismo tamano, que se traduce en un ligero aumento de latransmitancia total.

Para finalizar, solo queda hacer hincapie en la capacidad del PD para describir plenamente elcomportamiento optico del sistema. La posibilidad de aplicarlo a otras geometrıas, sin importar sucomplejidad, hace que los 16 elementos de la matriz de Mueller puedan ser reducidos en un numeroigual o inferior, dependiendo de las ligaduras, de parametros independientes.

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Figura 3.5: Evolucion de las magnitudes polarimetricas en la difusion por un par de esferas: (a) PL yt frente a θ, (b) m11 y δ frente a θ

(a) Geometrıa X, d = 0,1λ (b) Geometrıa X, d = 0,8λ

(c) Geometrıa Z, d = 0,1λ (d) Geometrıa Z, d = 0,8λ

Figura 3.6: Simulaciones de la difusion por un par de partıculas en campo cercano.

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3.2.3. Superposicion Incoherente de Estados

Dado que en los dos apartados anteriores el PD es aplicado a sistemas puros, para tener un muestreocompleto de posibles situaciones experimentales sobre las que aplicarlo es necesario incluir sistemasdespolarizantes. El DDA trabaja con vectores campo electrico y matrices de Jones, con lo cual no nospermite obtener matrices de Mueller despolarizantes. Sin embargo, la suma incoherente de distintosestados de polarizacion emergentes de matrices de Mueller puras, da lugar a vectores de Stokes quepueden tener un grado de polarizacion distinto de 1. Como se vio en la seccion 3.1.6:

M =n∑i=0

piM(i) (3.40)

donde M representa a una matriz de Mueller cuyo grado de pureza es P (M) ≤ 1, M (i) son distintasmatrices de Mueller con P (M (i)) = 1 y pi serıan los distintos pesos que se le aplicarıan a cada unade las matrices puras. Si al vector de Stokes del haz incidente, sinc, lo hacemos pasar por el medioteorico de matriz de Mueller M , el grado de polarizacion del vector de Stokes del haz emergente, sout,sera P ≤ 1:

sout = Msinc = (n∑i=0

piM(i))sinc (3.41)

Siguiendo este razonamiento, se ha realizado un experimento teorico sencillo para obtener matricesde Mueller despolarizantes. El experimento consiste en simular que en un intervalo de tiempo dado,nuestro polarımetro realiza una medida sobre la luz difundida por una suspension muy diluıda dedımeros (como los de la seccion 3.2.2). La medida se realiza de forma que estos dımeros no puedaninteraccionar entre ellos (no “se ven”). Pero, bien por el efecto de la ventana de deteccion (incoherenciaespacial) o bien por la cinetica de los dımeros en suspension (incoherencia temporal), en el intervalode tiempo que dura la medida el polarımetro detecta la luz difundida por las tres configuracionesgeometricas de los dımeros respecto al plano de incidencia: La Geometrıa X, la Y y la Z. Ademas, sesupone que esta deteccion se realiza en la misma proporcion para las tres configuraciones. El vectorde Stokes de la luz difundida sera el siguiente (en funcion del angulo de Scattering θ):

sout(θ) = M(θ)sinc =13M (X)(θ)sinc +

13M (Y )(θ)sinc +

13M (Z)(θ)sinc (3.42)

de esta forma, la matriz de Scattering del sistema teorico sera:

M(θ) =13M (X)(θ) +

13M (Y )(θ) +

13M (Z)(θ) (3.43)

(a) r = 0,1λ; d = 0,1λ (b) r = 0,2λ; d = 0,1λ (c) r = 0,4λ; d = 0,1λ

Figura 3.7: Pureza de la matriz de Mueller y Capacidad de Despolarizacion resultante del PD, enfuncion del angulo de scattering (θ), en sistemas de dos partıculas (Ag) por suma incoherente deestados.

Podrıamos hacer muchos mas experimentos de este tipo, cambiando los pesos de cada configura-cion, anadiendo o suprimiendo geometrıas... Incluso se podrıa estudiar el nivel de despolarizacion en

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funcion de la aleatoriedad de las contribuciones. No obstante, para conseguir matrices de Mueller des-polarizantes, con este experimento sera suficiente. Si descomponemos la matriz de Mueller resultantede acuerdo a la ec. 3.21, obtendremos los parametros resultantes del PD:

M(θ) = M∆(di(θ), ai(θ), zi(θ))MR(ϕ(θ), δ(θ), ρ(θ))MD(α(θ), β(θ), t1(θ), t2(θ)) (3.44)

En general, una vez que la matriz ya ha sido normalizada al valorm00(θ), se cumple t1(θ) = 1−t2(θ).Ademas, en este caso particular, aplicando el PD se obtiene

ai(θ) = zi(θ) = ϕ(θ) = ρ(θ) = α(θ) = β(θ) = 0

En la fig. 3.7 se expone la evolucion de los valores de la pureza y la capacidad de despolarizacion (∆,ec. 3.16) con el angulo de difusion para las matrices obtenidas al realizar el experimento teorico anterior.Los dımeros estan formados por pares de esferas metalicas de igual tamano (Ag, n = 0,135 + 3,988ipara λ = 633nm). Los tamanos de las esferas metalicas utilizados son r = 0,1λ, r = 0,2λ y r = 0,4λ.La separacion entre paredes de las esferas que componen el dımero, igual para todos los tamanos, esd = 0,1λ. Se puede apreciar la aparicion de despolarizacion al realizar la suma incoherente de estadosen los tres ejemplos, de forma particular para cada tamano.

(a) Transmitancias (b) ϕ, δ y ρ (c) Despolarizacion

Figura 3.8: Parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ), en un sistema de dos partıculas(Ag, r = 0,1λ; d = 0,1λ) por suma incoherente de estados.



A continuacion se exponen, en las figs. 3.8, 3.9 y 3.10 los resultados relativos a la evolucion de losparametros de las matrices de diatenuacion (figs. 3.8(a), 3.9(a) y 3.10(a) relativas a las transmitan-cias del diatenuador), retardo (figs. 3.8(b), 3.9(b) y 3.10(b), en las que el unico parametro que varıaes el desfase δ) y despolarizacion (figs. 3.8(c), 3.9(c) y 3.10(c), en las que se representan los valoresprincipales de despolarizacion). Es un hecho curioso, sobre el que se volvera a hablar en el capıtulo deresultados, que el valor d1 no presente variacion alguna, mientras que d2 y d3 sean los que contribuyanprincipalmente a la despolarizacion. Esto se traduce en que la despolarizacion presente en este expe-rimento teorico, debida en la superposicion incoherente de estados para dımeros metalicos de tamanoinferior a la longitud de onda, λ, afecta selectivamente a la luz incidente. La componente polarizada del

59




haz incidente solo se verıa afectada por la despolarizacion si presenta polarizacion elıptica o lineal conazimut distinto de 00 o 900 (fuera de los ejes propios del diatenuador). Si, por el contrario, se incidierasobre este medio con Onda P u Onda S, el hecho de que retardador y diatenuador presenten valoresacimutales nulos hacen que el haz incidente no varıe su estado de polarizacion en su paso por la partepura en la que se ha descompuesto el sistema y, por tanto, no se vera afectado por la despolarizacion(recordemos que el parametro d1 no contribuye a la despolarizacion en este experimento). Es decir, laincidencia con un haz cuyo estado de polarizacion sea P o S, sobre este sistema con esta longitud deonda, asegura que la luz difundida conserva las propiedades polarimetricas del haz incidente (polari-zacion P o S ) variando unicamente la intensidad detectada de acuerdo a la transmitancia total delsistema (m00 · t2 o m00 · t1, respectivamente).

60

Capıtulo 4

Dispositivo Experimental

Gran parte del tiempo empleado en la realizacion de esta tesis doctoral ha estado dedicado al mon-taje y puesta a punto de los dispositivos polarimetricos. Lo que empezo como un simple scatterometro(del cual no se conocıa la linealidad del detector, la curva de calentamiento del laser o, incluso, elfactor de extincion de los polarımetros) se ha convertido en un polarımetro cuya precision esta biencaracterizada, tal como se expondra a lo largo del presente capıtulo.

Uno por uno se han estudiado y probado todos los componentes del montaje experimental, suposicion en el mismo y su forma de trabajo. Se trata de reducir al maximo los errores y ganarprecision, repetitividad y reproducibilidad en la medida. El montaje ha sido desarrollado de forma quelas medidas pudieran ser realizadas bajo el control de un ordenador. Dicho ordenador fue programadodesde el comienzo para realizar las medidas con caracter semi-automatico en el entorno de pseudo-programacion de laboratorio VEE.

Una vez controlados todos los aspectos del dispositivo de laboratorio, se realizaron distintos testsobre sistemas polarimetricos sencillos: Medidas directas en vacıo, medidas directas a traves de mediosopticos conocidos, medidas de reflexion en interfases dielectricas o metalicas, medidas de reflexiontotal en prismas o medidas de la difusion generada por una superficie Lambertiana. Tales pruebasconfirmaron la fiabilidad y el rango de trabajo no solo de los dispositivos, sino tambien de los algoritmosde tratamiento de datos.

El otro gran escollo experimental, una vez librado el problema de la puesta en marcha del dispositivopolarimetrico, es la fabricacion de muestras fiables en el rango micrometrico, que permitan extraerinformacion, por medio del metodo de Descomposicion Polar (PD), de su composicion, forma, tamanoo propiedades opticas, llegado el caso, haciendo viable el estudio del problema inverso mediante eluso de los parametros derivados del PD. Los procedimientos de fabricacion, la manipulacion y lascaracterısticas fısicas que presentan las muestras, seran objeto de estudio en este capıtulo.

4.1. Analisis de Componentes

Es necesario indicar que el polarımetro disenado para la realizacion de medidas experimentales tie-ne, como ya se adelanto en la seccion 2.3.3, una doble modalidad de funcionamiento, como polarımetrode Compensador Dual Rotatorio (DRCP) o como polarımetro de Stokes (SP), sin necesidad de anadiro quitar ninguno de los componentes. Segun este planteamiento, el montaje polarimetrico se puederesumir en los componentes de la fig. 4.1, que se detallan a continuacion.

4.1.1. Laser y Polarizadores

En la fig. 4.1 aparece un generador de estados de polarizacion (PSG) compuesto por un polarizadory un retardador, y un analizador de estados de polarizacion (PSA) compuesto por un retardador yun polarizador-analizador. Ambos polarizadores son polarizadores dicroicos de la casa Melles Griot,que presentan una Densidad Optica (OD) superior a 4 cuando se cruzan sus ejes de polarizacion enun rango de longitudes de onda entre 380 y 780 nm. Se encuentran colocados en sendas monturasrotatorias que permiten giros de 3600 con una precision de 0,50. Se ha utilizado, por su potencia y

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4.1. ANALISIS DE COMPONENTES CAPITULO 4. DISPOSITIVO EXPERIMENTAL

versatilidad, un laser He:Ne de la casa Coherent, que emite con una longitud de onda de 632,8 nmy una potencia de, aproximadamente, 30 mW. La luz emergente del laser es linealmente polarizada.Para regular manualmente la potencia del laser, dado que su emision es linealmente polarizada y queexiste un polarizador de entrada en el PSG, ha sido utilizada una lamina de cuarto de onda (λ/4)de orden cero para una longitud de onda de 632,8 nm. El montaje fue alineado de forma que lasery polarizador de entrada (P) presentan estados de polarizacion cruzados, es decir, se encuentran ensituacion de extincion. Introduciendo la lamina de cuarto de onda se puede controlar la intensidadtransmitida a la entrada del PSG por medio de la elipticidad del estado de polarizacion generado enla luz linealmente polarizada que atraviesa la misma, y que depende de la orientacion relativa quepresentan el eje de polarizacion de la luz incidente y los ejes propios de la lamina retardadora. Se hacomprobado, mediante calibrados, posicionando la lamina de cuarto de onda en distintas orientaciones,que esta forma de controlar la potencia no influye en las medidas, siempre y cuando se trabaje dentrodel rango util del detector (D), es decir, que no se sature el detector o que la relacion senal-ruidopermita una medida fiable.

Figura 4.1: Dispositivo Experimental.

Es conocido que los laseres necesitan un tiempo de calentamiento para optimizar su emision, quees caracterıstico de cada laser, tras el cual la intensidad emitida es bastante estable. Para conocer laforma de emision, y las propiedades del laser He:Ne con el que se iba a trabajar, se realizaron variasmedidas con objeto de controlar, entre otras cosas, la anchura, dispersion, fluctuaciones y curva decalentamiento del mismo. En la fig. 4.2 se muestran las caracterısticas de emision en intensidad dellaser He:Ne utilizado. En la fig. 4.2(a) se puede apreciar claramente como, una vez transcurridos 30minutos tras el encendido del laser, la intensidad de emision es aproximadamente constante. Por otrolado, la fig. 4.2(b) revela que las fluctuaciones en la intensidad de la emision del laser para tres ciclosde 10 minutos son de ±1 % cuando el laser ya se ha calentado. En ambas figuras las unidades del ejede ordenadas son arbitrarias, ya que el detector utilizado para la medida (Foto-receptor de Silicio dela marca NewFocus) se ha situado tras una OD 3 (no calibrada) para evitar que fuera danado por ellaser.

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CAPITULO 4. DISPOSITIVO EXPERIMENTAL 4.1. ANALISIS DE COMPONENTES

(a) Curva de calentamiento. (b) Fluctuaciones de intensidad.

Figura 4.2: Caracterısticas de emision en intensidad del laser He:Ne.

Para aumentar las posibilidades de trabajo del dispositivo experimental, en el mismo montaje yusando un periscopio, se anadio un nuevo laser que puede ser utilizado desplazando el original deHe:Ne y alineando el sistema. Dicho laser, de la factorıa Melles Griot, es un laser Ar:Kr multiban-da sintonizable, con refrigeracion por aire, que emite un haz linealmente polarizado. Las potenciasmaximas de emision para las distintas bandas del espectro se reflejan en la tabla 4.1. Sin embargo, laintensidad de emision puede ser controlada manualmente, y la estabilidad de la misma esta garanti-zada por medio de un mecanismo de realimentacion (Batch) que presenta la tarjeta controladora dellaser. No obstante, mientras no se indique lo contrario, los comentarios que se realicen seran referidosal laser He:Ne original.

λ (nm) 476 483 488 496 514 520 568 647 676Potencia Maxima (mW) 4 10 20 4 10 20 20 20 6

Tabla 4.1: Bandas de emision del laser Ar:Kr.

4.1.2. Eleccion de Compensadores

La eleccion de laminas λ/4 para su uso como compensadores fue realizada conociendo los procedi-mientos para minimizar errores usados en las referencias [148] y [149]. En dichas referencias se afirmaque el retardo optimo en los compensadores para conseguir minimizar los errores debe ser de 1270.No obstante, dado que los componentes del montaje no son electro-opticos, se estimo oportuno el usode laminas retardadoras λ/4 de orden cero, cuya precision en el retardo para esta longitud de ondaestarıa garantizada, y su dependencia con la longitud de onda no responderıa a las complicadas leyesde los desfasadores de orden multiple. A pesar de que un retardo de 900 aumenta en dos ordenes demagnitud el error, estos compensadores [96] y sus desfases caracterısticos en torno a π/2 [150], hansido utilizados en estas referencias polarimetricas con exito. Por otro lado, como se ha visto en laseccion 2.3.3, el calculo de los parametros de la matriz de Mueller a partir de un SP resulta bastantesencillo para desfases en torno a 900 en los retardadores.

No obstante, el uso de una pareja de laminas λ/4 optimas para el PSG y el PSA ha requeridode algunas pruebas. Entre cuatro laminas λ/4 de orden cero a 632,8 nm, dos de ellas de procedenciadesconocida (Laminas 1 y 2), y otras dos fabricadas por Edmund Optics (Laminas 3 y 4), se realizo unamedida de elipticidades para concretar cuales de ellas eran susceptibles de ser utilizadas a modo decompensadores gemelos para el PSG y el PSA. En la fig. 4.3 se muestran los resultados obtenidos parauna medida de elipticidad. Dicha medida se ha realizado situando, entre un polarizador y un analizador,una lamina, cuyo eje rapido forma 450 con el eje del polarizador. De esta forma se consigue, idealmente,un haz emergente de la lamina que esta circularmente polarizado. Si se cumple esto, la elipticidad (ε)deberıa ser igual a 1, y la intensidad emergente del analizador sera la misma independientemente dela orientacion del analizador. No obstante, las laminas son reales y, por tanto, presentan variacionrespecto al comportamiento ideal. La fig. 4.3(a) muestra los resultados obtenidos al girar el analizador3600 a partir de una orientacion de 900 tomando como origen el eje del polarizador de entrada. La

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(a) Caracterizacion de las laminas: Detector 1 (b) Caracterizacion de las laminas 3 y 4: Detector 2

Figura 4.3: Medidas de elipticidad de las laminas retardadoras realizadas con dos detectores distintos.

elipticidad descarta completamente la Lamina 2, ya que presenta una variacion considerable, en tornoa un ±10 %. Las Laminas 3 y 4, por su parte, presentan ciclos muy parecidos, es decir, presentan unaorientacion semejante en sus ejes rapidos. La Lamina 1, pese a mejorar la elipticidad de la Lamina3, no se asemeja en su comportamiento a la Lamina 4 tanto como la Lamina 3. Tanto los maximoscomo los mınimos de la Lamina 3 se aproximan mas a los valores de la Lamina 4. En base a esto sedecidio utilizar la Lamina 1 como regulador de la intensidad de entrada en el sistema polarimetrico(situacion previa al PSG), mientras que se colocaron la Lamina 3 en el PSG y la Lamina 4 en el PSA.

La posterior eleccion de un detector mas indicado para el montaje experimental (que se abordara enel proximo epıgrafe), obligo a repetir las medidas de elipticidad realizadas para las laminas 1 y 2, debidoa los pobres resultados obtenidos con el Detector 1. Como se aprecia tanto en la fig. 4.3(b) como enla tabla 4.2, los resultados obtenidos para el Detector 2 mejoran considerablemente los anteriores, altiempo que corroboran la semejanza entre los ciclos de la Lamina 3 y la Lamina 4, manteniendo laforma de las curvas y la diferencia de elipticidades.

L 1 L 2 L 3 L 4 L 3 (Det. 2) L 4 (Det. 2)Elipticidades 0,95 0,89 0,94 0,95 0,98 0,97

Tabla 4.2: Elipticidades de las laminas retardadoras.

4.1.3. Otros Elementos

Existen, ademas de los componentes puramente polarimetricos, una serie de elementos que resultanmuy importantes en la precision experimental. Tales elementos buscan la versatilidad del dispositivo(pudiendo realizar medidas en distintas configuraciones), mejoran la resolucion angular, permiten laseleccion del blanco sobre la muestra o posibilitan la automatizacion de las medidas.

Detectores

Para la realizacion de las medidas se penso en dos tipos de detectores. El primero de los detectoresutilizado (Detector 1) fue un foto-receptor de Silicio (modelo 1801 del fabricante NewFocus), cuyasenal era monitorizada por medio de un Lock-In Amplifier (modelo 7225 DSP de la marca SignalRecovery Ametek) sincronizado con un modulador o Chopper (modelo 197 de la marca Signal RecoveryAmetek). La deteccion sıncrona permite evitar efectos incoherentes y mejorar la relacion senal-ruido.Este tipo de detector es semejante al utilizado, por ejemplo, en la referencia [60]. El segundo de ellos(Detector 2), consta de un cabezal foto-receptor de Silicio (modelo 918-SL de la marca Newport), conmonitorizacion de la temperatura, conectado a un Potenciometro (1930-C de la marca Newport).

El cabezal foto-receptor del Detector 1, cuyo area de deteccion activa tiene un diametro de 0,4mm, es valido para uso en medidas sobre longitudes de onda comprendidas entre 320 y 1000 nm. Sinembargo, presenta saturacion en la deteccion para una luz cuya potencia supere los 110 µW a unalongitud de onda de 800 nm. Para probar la linealidad del detector y su proceso de saturacion frente a

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(a) Saturacion para OD inferior a 2. (b) Linea de tendencia para OD superior a 2,5.

Figura 4.4: Medidas de linealidad en el Detector 1 para λ = 633 nm. OD = 0 corresponde a unapotencia incidente de 5 mW.

la intensidad luminosa, fueron realizadas varias medidas modificando la potencia que incidıa sobre elpor medio de la adicion de diversas OD. En la fig. 4.4(a) se aprecia claramente el proceso de saturacionque tiene lugar al incidir sobre el detector con una potencia cada vez mayor. Por otra parte, en la fig.4.4(b) se puede apreciar la excelente linealidad que el mismo detector presenta para unas intensidadesluminosas entre 10 y 0,1 µW, que se corresponden con unas OD entre 2,8 y 4,0, aproximadamente.

El Detector 2, por su parte, presenta una excelente curva de calibrado del cabezal foto-receptory selecciona la lectura en ventanas de ∆λ = 1 nm, estando indicado para medidas en un intervalode longitudes de onda entre 400 y 1100 nm. La respuesta del mismo esta certificada para un rangode potencias que oscila entre los 3 pW (con una precision de 0,1 pW y un fondo de escala de 0,01pW) y los 2 W. Las medidas de potencias superiores a 1 mW deben ser realizadas utilizando la OD3 incorporada en el cabezal a tal efecto, cuya respuesta esta calibrada en el controlador para cadalongitud de onda.

Detector 1 Detector 21,000 0,042 0,042 −0,0050,071 0,878 0,000 −0,0050,009 0,000 0,880 −0,0170,002 −0,007 0,014 1,000

1,000 −0,008 −0,008 0,0030,015 0,989 0,000 0,0010,000 0,000 0,989 −0,016−0,004 0,003 −0,004 1,000

Tabla 4.3: Matrices de calibrado para los dos detectores en identica configuracion experimental. Ideal-mente deben reproducir la matriz identidad, algo a lo que se aproxima mas el Detector 2.

Pese a que el Detector 1 presentaba un comportamiento bueno en su zona lineal, el escaso rangodinamico de intensidades sobre el que se podıan realizar medidas con el mismo limitaba su uso,introduciendo, ademas, errores de medida debidos a mala relacion senal-ruido presente en los mınimosde deteccion. Un razonamiento sencillo demuestra que, si se utiliza un laser que emite en el orden delos mW y que es limitado con una OD 3, la potencia mınima emergente del sistema, si se extinguela senal con un polarizador que presenta una OD superior a 4 para estados de polarizacion cruzados,sera del orden de los 0,1 nW, en incidencia directa y sin ningun elemento optico absorbente o difusorintermedio. Esto limita enormemente las posibilidades del dispositivo en cuestion, pues las lecturas deldetector en experimentos de difusion podrıan ser confundidas con el ruido de fondo. Para corroborarel razonamiento, fue realizada una comparacion experimental tras la cual el Detector 2 resulto elegido,ya que su rango dinamico permitıa ampliar las capacidades del dispositivo experimental. En dichacomparativa se hicieron sendas calibraciones del DRCP (el proceso de calibracion para el DRCPse describira detalladamente en el apartado 4.2.1) en ausencia de sistema difusor (vease tabla 4.3),

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utilizando un montaje primitivo que constaba unicamente de un PSG y un PSA entre el laser y eldetector, bajo las mismas circunstancias para ambos detectores. Los resultados confirmaron, sin lugara duda, que el detector que disminuıa el error y la incertidumbre en la medida era el Detector 2 (enadelante, el Detector).

Diafragmas y Lentes

Una primera lente de focal larga es necesaria antes del PSG para colimar el haz, compensando, enla medida de lo posible, su divergencia, la cual es caracterıstica del laser. Dado que no se tenıan datosdel fabricante, pues el laser ya habıa sido descatalogado, se realizaron sendas medidas del perfil delhaz laser. En la fig. 4.5(a) se muestran los perfiles del haz a, aproximadamente, 1 m de la ventana desalida del laser (unos centımetros antes de la posicion donde se situa la muestra). Ambos perfiles hansido ajustados a un haz gausiano, como se aprecia en la fig. 4.5(b). Las medidas fueron realizadas conun array CCD (2048 detectores colocados en lınea, con unas dimensiones de 14× 200 µm) conectadoa un ordenador portatil mediante el que se monitorizaba la medida con el programa de control yadquisicion de datos Caliens v4. 4. Los resultados de las medidas, obtenidos situando entre el PSG yel array CCD una OD 6 (una OD 3 contenida en la montura del array y una OD 3 anadida) paraevitar danar el sensor o saturar la senal, mostraron unas anchuras de haz (2ω0) de 1,166 y 0,692 mm,dependiendo de si la medida se realizaba sin lente o con ella. La lente utilizada en la medida fue undoblete acromatico que se detallara a continuacion.

Se decidio utilizar como lente de entrada un doblete acromatico de focal f1 = 1000 mm, en adelantedenominado Lente 1, con el que se realizaron las medidas del perfil del haz laser. Esta lente era idealpara evitar aberracion cromatica, perdidas de intensidad selectivas y variabilidad en la anchura yconcentracion de haz si se decidıa utilizar en alguna de las medidas el laser Ar:Kr o una fuentepolicromatica (aunque el tamano teorico del spot dependa de la longitud de onda, el uso del dobletegarantiza un comportamiento homogeneo de la lente a lo largo de un rango espectral). La Lente 1presenta un recubrimiento anti-reflejante para un rango espectral de 400 a 700, con una focal de1000 mm y un desplazamiento focal en funcion de la longitud de onda inferior al 0,05 %, segun lasestimaciones de la marca fabricante (Thorlabs).

A la salida del PSG y antes de la muestra se situa un diafragma, que reduce los reflejos y spotssecundarios, tıpicos de un proceso de alineacion correcto y que introducen errores en las medidasexperimentales. Conocido el ancho estandar del haz se escogio un diafragma con un diametro de 5 mm(Diafragma 1).

(a) Resultado de la medida experimental. (b) Ajuste Gausiano.

Figura 4.5: Perfil del haz laser (He:Ne) en la posicion de la muestra.

Para mejorar la salida del PSA, preservar una cierta homogeneidad en la iluminacion sobre eldetector (independientemente de la configuracion polarimetrica elegida) y recoger la maxima energıaposible manteniendo un mınimo de resolucion angular del dispositivo, se anadieron un diagrama ajus-table (Diafragma 2) y un segundo doblete acromatico (Lente 2) de focal corta (50 mm), que actuaexpandiendo el haz (ver fig. 4.1). Las distancias relativas entre estos dos elementos, el detector y la

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muestra fueron fijadas de forma que se consiguiera una resolucion angular igual o inferior a los 0,50

de arco, y permitiendo que el ancho del haz, una vez expandido por la Lente 2, ocupara la practicatotalidad del area activa del detector.

En la tabla 4.4 se presentan las distintas distancias entre elementos opticos, ası como sus diametros,de acuerdo con la nomenclatura de la fig. 4.1. Las distancias d2, d3 y d4 son fijas, ya que todos loselementos se han distribuido, alineado y nivelado en una misma montura optica. De acuerdo a laconfiguracion mostrada en la fig. 4.1 y la tabla 4.4, las posiciones y diametros efectivos del Diafragma 2,la Lente 2 y el Detector, preservan una resolucion angular del dispositivo superior a 0,250 para medidasen transmision directa. Esta misma configuracion, como ya se dijo, garantiza una resolucion de 0,500

en cualquier tipo de medida de reflexion o difusion, con la salvedad de que si fuera necesario, con solodisminuir la distancia d5 se conseguirıa aumentar la energıa recibida en la deteccion (medidas de muybaja iluminacion) con una perdida de resolucion angular que, en todo caso, podrıa ser cuantificada.

d1 d2 d3 d4 d5

158,7 155,5 42,0 83,4 112,3φ1 φ2 φ3 φ4 φ5

16,0 34,0 5,4 20,0 11,3

Tabla 4.4: Distancias entre elementos opticos y diametro de los mismos (mm).

Resolucion Angular y Eficiencia Luminosa

Puesto que vamos a estudiar la dependencia angular de la matriz de Mueller, es importante conocerla resolucion angular, es decir, la magnitud del angulo en torno a un valor medio dado, cuyo angulosolido va a ser integrado en cada medida. Como se dijo con anterioridad, el ancho transversal delhaz en la posicion de la muestra es 2ω0 ' 0,7 mm. El ancho real en una muestra consistente en unasuperficie plana resulta ser dependiente del angulo de incidencia, y sera:

2ωm '2ω0

cos θi(4.1)

Si el spot iluminado va a ser observado con un sistema detector, es importante conocer la dimensiontransversal que subtiende este spot visto desde el detector (para el detector, este es el tamano del objetodifusor):

2ωsca ' 2ω0cos θscacos θi

(4.2)

La distancia entre la muestra y el Diafragma 2 es aproximadamente 4 veces la distancia existenteentre el diafragma y la Lente 2. De esta forma, dada la relacion de distancias y el arco de angulo

subtendido por el Diafragma 2 ( φ3/2d1 + d2 + d3

' 26′), el ancho de haz que llega a la Lente 2 es de unos7 mm (φ3± 20 %). Dado que la Lente 2 tiene una focal de 50 mm, la apertura del haz a la salida de lamisma es de 80, lo que implica un diametro de haz de unos 7 u 8 mm, a una distancia d5 ∼ 112 mmde la lente. Como se muestra en la tabla 4.4, el diametro del Detector es mayor que esta cantidad, esdecir, recoge toda la energıa que pasa por el Diafragma 2 en iluminacion difusa. Esta configuraciongeometrica tiene varias propiedades:

1. Se preserva la iluminacion de cierta extension del detector en medidas difusas (φutil ' 8 mm) oespeculares (φutil ' 2 mm), lo que es bueno para su funcionamiento.

2. Se mantiene una buena resolucion angular del dispositivo (∼ 0,50). No obstante, la resolucion sepuede reducir si la energıa que llega al detector es demasiado baja.

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Motores y Posicionadores

El DRCP requiere de un movimiento preciso y controlado en ambos compensadores, producidopor sendos rotores de velocidad sincronizada. Si se pretende controlar el angulo de incidencia sobrela muestra y la orientacion del PSA, son necesarios otros dos rotores, en este caso de eje vertical.Estos grados de libertad aumentan las posibilidades del polarımetro y lo hacen mas versatil. Por otrolado, si se pretende ajustar la ubicacion del plano de scattering, es necesario el uso, por lo menos, deuna plataforma con control de la inclinacion (tilt) para la muestra. Ademas, para controlar de formaprecisa el punto de incidencia del haz de luz sobre la muestra es necesario el uso de posicionadoresque permitan el movimiento en los ejes X, Y y Z (X e Y en el plano de la plataforma tilt y Z haciaarriba, fig. 4.1). Estos ejes permiten, como mınimo, que el punto de iluminacion este sobre los ejes derotacion, tanto de la muestra como del sistema PSA. Para muestras planas en difusion o reflexion, esnecesario anadir un soporte para la muestra, que tambien cuente con un tilt de control de inclinacion,de forma que los ejes de rotacion de la muestra y el PSA esten contenidos en el plano de la muestra.A continuacion se detallaran las especificaciones de todos estos motores y posicionadores, con objetode mejorar la comprension acerca de la funcionalidad de los dispositivos elegidos.

Rotores para las Laminas: Se trata de dos dispositivos de rotacion paso a paso, cuya precision an-gular es de 3600/(1600 pasos) = 0,2250paso−1. Ambos estan controlados por un driver conectadoal ordenador de control mediante una interfaz RS-232 y permiten el giro en ambos sentidos. Eltiempo que los rotores tardan en realizar un giro de 3600 es inferior a los 15 s, a partir de estacantidad se pueden extrapolar las duraciones de los ciclos de medida automaticos. Se encuentransituados con su eje de giro en posicion horizontal, sobre posicionadores y elevadores manuales,que permiten una alineacion precisa de las laminas compensadoras incorporadas en su montura.

Rotor ITL: Es un rotor paso a paso (ITL09), de la casa MicroControle, controlado mediante undriver (o controlador) que permite trabajar de forma manual o remota, vıa interfaz GPIB,pudiendo ası realizar el giro manualmente o de forma automatica, con el ordenador de control.Las caracterısticas de este rotor permiten un momento de inercia maximo adaptado a nuestrasnecesidades, realizando su movimiento mediante la implementacion de una rampa de aceleraciony deceleracion adecuada al momento de inercia que presenta el brazo movil sobre el que sesituan los componentes del PSA. La precision angular del rotor ITL es de 0,0010, y la cargamaxima que puede soportar es muy superior a la que presenta el brazo movil anclado al mismo,que ha sido disenado para la colocacion del PSA. Puede realizar giros de ±2700, controlando elangulo de scattering (θsca). Para evitar cabeceo del brazo movil, se ha equilibrado el peso delPSA contrapesando el lado opuesto del brazo. A continuacion se presentan los calculos sobre elmomento de inercia y rampa de aceleracion realizados:

La configuracion irregular del brazo movil y los soportes que sobre el se situan hacen que seplantee el problema del calculo del momento de inercia (I) del mismo como si se tratara de unaelipse, de semieje mayor b, que gira sobre su semieje menor (c):

I ≈ m

5(b2 + c2) ≈ m

5(0,25 + 0,0225) ≈ m

5(0,28) (4.3)

haciendo una sobrestimacion de los valores. La masa del brazo mas la de los elementos del PSAy los contrapesos esta entre los 10 kg y los 15 kg, con lo cual el momento de inercia sera:

I ∈

> 2(0,28) = 0,56 kgm2

y< 3(0,28) = 0,84 kgm2

(4.4)

Ambos valores son inferiores a los especificados por el fabricante (1 kgm2). A continuacion secalculo una rampa de velocidades lo suficientemente progresiva que no supusiera peligro para laintegridad del rotor. Se estimo oportuna una velocidad mınima de 0,0500s−1 y una maxima de0,2500s−1, con un periodo de aceleracion de 10 s. De forma que el tiempo en alcanzar la velocidadmaxima es de 2 s, y la distancia recorrida para ello es de 0,30. Del mismo modo, el tiempo que el

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CAPITULO 4. DISPOSITIVO EXPERIMENTAL 4.2. PUESTA EN MARCHA Y CALIBRADO

rotor tarda en detenerse y la distancia necesaria, una vez alcanzada la velocidad maxima, son 2 sy 0,30, respectivamente. Como es logico, cualquier distancia angular Θ que se pretenda recorrerde forma automatica, superior a 0,60, debera llevar asociado un tiempo de espera, cuya duracionviene dada por los 4 s correspondientes a aceleracion y deceleracion, y el tiempo que utiliza elrotor en realizar un desplazamiento angular de Θ′ = Θ − 0,60 a una velocidad de 0,2500s−1.Asimismo, para distancias inferiores a 0,60 sera necesario calcular los tiempos utilizados en losperiodos de aceleracion y deceleracion, si se precisa realizar un movimiento automatico, paraevitar cruces de instrucciones y optimizar los tiempos de medida.

El rotor ITL esta situado en posicion horizontal sobre el banco de trabajo, con su eje de girocentrado y alineado con el haz laser y el PSG, situado a una distancia de 1 m del laser. El brazomovil tiene un radio de 55 cm.

Rotor NW: Motor de giro y driver de la casa Newport, de operacion manual o remota, vıa inter-faz GPIB. Puede realizar giros de ±3600 con una precision de (0,0001)0. Su velocidad de giroesta indicada para soportar poca carga, aunque suficiente como para situar la montura de losNanoposicionadores XY Z, un tilt y una muestra plana sobre el. Se encuentra anclado sobre unaplataforma tilt (fig. 4.1) que permite su posicionamiento en horizontal y paralelo al haz laser pormedio de la variacion de los angulos libres ξ1 y ξ2. Una vez esta alineado, su eje de giro coincidecon el del rotor ITL. Controla el angulo de incidencia sobre la muestra (θi).

Nanoposicionadores XY Z: Se trata de una montura de la casa Newfocus, que permite el movimien-to en tres direcciones ortogonales X, Y y Z. En ella se situan tres picomotores de desplazamientolineal (uno por direccion), controlados por una unidad iPico (interfaz para picomotores) de lamisma casa, que permite su manejo remoto mediante un Joystick o con el ordenador. A pesar deque la precision de estos motores ronda los 30 nm, con una amplitud de desplazamiento maximade 13 mm, la utilidad que se les dara, al menos por el momento, sera la de situar la muestramanualmente por medio del Joystick en el centro de giro del rotor (ajuste fino en Y , fig. 4.1) ymover el punto de impacto del haz laser en las muestras planas que ası lo requieran (ajuste enX y Z). Si bien podrıan ser utilizados para reproducir medidas en una misma posicion o a lolargo de varias posiciones perfectamente determinadas, en caso de implementar su control pormedio del ordenador.

Los Nanoposicionadores solo son utilizados en medidas de muestras planas por reflexion o scat-tering, siendo desmontados para medidas de transmision, reflexion por prismas o difusion envolumen (muestras coloidales).

Soporte para muestras planas: Es un soporte plano que se ancla en la plataforma vertical de losNanoposicionadores (figs. 4.1 y 4.6(b)). Consta de un tilt que varıa los angulos ϕ1 y ϕ2, conla posibilidad de girar sobre sı mismo, de forma que tambien se puede controlar manualmen-te el angulo ϕ3. Estos tres angulos se corresponden con rotaciones sobre los ejes X, Z e Y ,respectivamente.

En las imagenes de las figs. 4.6 y 4.7 se muestra la distribucion de los elementos ‘in-situ’ coninstantaneas tomadas en el laboratorio. En la fig. 4.6(a) se muestra el dispositivo sin Diafragma 1y sin Nanoposicionadores, con un prisma en la posicion de la muestra. La fig. 4.6(b) ilustra la zonadonde se ubica la muestra, en la que se pueden apreciar los distintos elementos descritos en la fig. 4.1.Por ultimo, en la fig. 4.7 se pueden apreciar ambas partes del montaje experimental: La entrada, enla que se situan el laser y el PSG, y la salida, en la que estan colocados el PSA y el Detector.

4.2. Puesta en Marcha y Calibrado

Teniendo en cuenta la base teorica expuesta en la seccion 2.3.3, a continuacion profundizaremosen el funcionamiento de los dos disenos de polarımetro (DRCP y SP): Sus caracterısticas, sus angulosde referencia, los protocolos de calibrado y trabajo de ambos polarımetros, y una serie de medidas ytests que corroboran su funcionalidad, precision y eficiencia.

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4.2. PUESTA EN MARCHA Y CALIBRADO CAPITULO 4. DISPOSITIVO EXPERIMENTAL

(a) Fotografıa del Polarımetro. (b) Detalles del Montaje.

Figura 4.6: Fotografıas del dispositivo polarimetrico.

Para el tratamiento de los elementos del PSA y el PSG se ha recurrido a un desarrollo matricial delos mismos que generara, en ultima instancia, los ciclos de Fourier (en caso del DRCP) o los estados depolarizacion independientes (SP) necesarios para la obtencion de la matriz de Mueller de la muestra.Las matrices de Mueller de los elementos del polarımetro, independientemente de la configuracionpolarimetrica utilizada, son (de acuerdo con la tabla 2.1 se usara la nomenclatura cx = cos(x) ysx = sin(x)):

Polarizador: Polarizador lineal con acimut α1. Su matriz generica es:

P1(α1) =12

1 c2α1 s2α1 0c2α1 c2

2α1s2α1c2α1 0

s2α1 s2α1c2α1 s22α1

00 0 0 0

(4.5)

Lamina 1: Retardador lineal, con acimut β1 y retardo δ1. Si denominamos K1 = k21k11

a la relacionde transmitancias de ambos estados ortonormales (igual a 1 en el caso ideal), a1 = 1 + K1,b1 = 1 −K1, rs1 = 2

√K1 sin(δ1) y rc1 = 2

√K1 cos(δ1), podemos escribir su matriz de Mueller

como [96]:

L1(K1, β1, δ1) =12

a1 b1cβ1 b1sβ1 0b1cβ1 Ξ1 Ξ3 −rs1sβ1

b1sβ1 Ξ4 Ξ2 rs1cβ1

0 rs1sβ1 −rs1cβ1 rc1

(4.6)

donde:

Ξ1 =12

(rc1(1− c2β1) + a1(1 + c2β1))

Ξ2 =12

(rc1(1 + c2β1) + a1(1− c2β1))

Ξ3 =12s2β1(a1 − rc1)

Ξ4 =12s2β1(a1 − rc1)

70


Figura 4.7: Imagenes del PSG, de la zona donde se situa la muestra y del PSA.

Muestra: Cuya matriz de Mueller caracterıstica es M = mij3i,j=0.

M =

m00 m10 m20 m30

m01 m11 m21 m31

m02 m12 m22 m32

m03 m13 m23 m33

(4.7)

Lamina 2: Retardador lineal, con acimut β2 y retardo δ2. Si denominamos, al igual que en elcaso de la Lamina 1, K2 = k22

k12a la relacion de transmitancias entre estados ortonormales,

a2 = 1 +K2, b2 = 1−K2, rs2 = 2√K2 sin(δ2) y rc2 = 2

√K2 cos(δ2), su matriz de Mueller es:

L2(K2, β2, δ2) =1

2k12

a2 b2cβ2 b2sβ2 0b2cβ2 Φ1 Φ3 −rs2sβ2

b2sβ2 Φ4 Φ2 rs2cβ2

0 rs2sβ2 −rs2cβ2 rc2

(4.8)

donde:

Φ1 =12

(rc2(1− c2β2) + a2(1 + c2β2))

Φ2 =12

(rc2(1 + c2β2) + a2(1− c2β2))

Φ3 =12s2β2(a2 − rc2)

Φ4 =12s2β2(a2 − rc2)

Analizador: Polarizador lineal con acimut α2. Su matriz generica es (con cx = cos(x) y sx =sin(x)):

P2(α2) =12

1 c2α2 s2α2 0c2α2 c2

2α2s2α2c2α2 0

s2α2 s2α2c2α2 s22α2

00 0 0 0

(4.9)

71


Vector de Stokes incidente: (previo paso por el PSG) Pese a no ser un elemento polarimetricocomo tal, es importante caracterizar polarimetricamente el haz incidente, antes de comenzar eldesarrollo de los calculos. Dado que la entrada del PSG esta gobernada por el Polarizador, elestado de polarizacion del haz incidente solo determinara la intensidad que traspase el Polari-zador. En el apartado 4.1.2, se explico la colocacion de una lamina de cuarto de onda previa alPSG. De este modo podemos considerar el haz incidente como un haz de luz despolarizada, sinperdida de generalidad, cuyo vector de Stokes es:

sin =

1000

(4.10)

Vector de Stokes emergente: De igual forma, el vector de Stokes del haz emergente del polarımetrose correspondera con un haz linealmente polarizado (atraviesa el Analizador) cuyo elemento deinteres es la intensidad (parametro s0), que varıa segun el comportamiento del PSG, la muestray el PSA:

sout(α1,K1, β1, δ1,mij ,K2, β2, δ2, α2) =

Is1

s2

s3

(4.11)

4.2.1. Polarımetro de Compensador Dual Rotatorio (DRCP)

Analizado su fundamento teorico en la seccion 2.3.3, resta introducir las caracterısticas particularesdel DRCP. En primer lugar el analisis de Fourier debe desarrollarse de acuerdo a la relacion develocidades entre compensadores, R (ec. 2.114). En el presente trabajo se ha optado por una relacionde velocidades R = 5 : 2, de acuerdo a lo propuesto en la referencia [96]. De esta forma se obtienenlos siguientes acimuts para ambas laminas retardadoras:

β1 = ωtβ2 = Rωt+ ϕ2

(4.12)

Como se presenta en la referencia [148], la relacion elegida es una de las mas adecuadas que sepuede implementar para minimizar errores. Ademas, esta relacion de velocidades disminuye en casiun 50 % el tiempo de adquisicion de datos necesario para una misma medida experimental respecto dela relacion 5 : 1. Son variadas las relaciones de velocidades que se pueden encontrar en la bibliografıa(5 : 1 en los artıculos originales de Azzam [151] o en algunas otras fuentes mas actuales [152, 153], 3 : 2a modo de prueba en alguna referencia [96] y 5 : 3 en [149, 154, 155]). Sin embargo, los antecedentesmostrados en la referencia [148] son suficientes como para considerar la relacion de velocidades 5 : 2la combinacion optima.

Resolucion matricial de los ciclos de Fourier

Buscando la versatilidad del dispositivo experimental, con ayuda de entornos de calculo simbolico(Matlab, MathCAD y Maple) se revisaron las ecuaciones fundamentales del calculo de los elementosde la matriz de Mueller del medio, expuestas en la referencia [96], y se reformulo todo el planteamientoteorico. De este modo, se realizo un estudio completo de todos los elementos implicados en el analisisdesde el inicio. Finalmente, se genero un nuevo algoritmo de calculo, cuya validez se ha probado enmultiples medidas y sistemas patron. Para ello hemos supuesto que ambas laminas presentaban, enun principio, distintos desfases y transmitancias. El vector de Stokes del haz luminoso que emerge dela muestra una vez el haz inicial despolarizado (ec. 4.10) ha pasado por el PSG (ecs. 4.5 y 4.6) sera

sPSGM =

sPSGM0

sPSGM1

sPSGM2

sPSGM3

= M(mij)L1(k1, β1, δ1)P1(α1)sin (4.13)

72


En el apendice A (pg. 155) se presenta un desarrollo detallado del algoritmo de calculo, a cuyasecuaciones se hara referencia en el transcurso del presente capıtulo. La ec. 4.10 desarrollada da lugara la ecuacion A.1. Por otra parte, la matriz de Mueller del PSA es:

A =

A1

A2

A3

A4

= L2(k2, β2, δ2)P2(α2) (4.14)

donde se han utilizado las ecs. 4.8 y 4.9, y se ha seguido la nomenclatura de la ec. 2.111.De los elementos obtenidos tras realizar el producto de A y sPSGM , que da lugar al vector de Stokes

del haz emergente que llega al detector, unicamente la intensidad (I en la ec. 4.11) es un observableque se puede medir de forma directa en el laboratorio, como ya se adelanto en la seccion 2.3.3. Por lotanto, para el calculo de la intensidad solo son necesarios los elementos de la primera fila (A1) de lamatriz del PSA, cuya expresion analıtica se muestra en la ec. A.2.

De este modo, la ecuacion resultante para la intensidad detectada se puede expresar, en terminosparecidos a los de la ec. 2.114, como:

I =116

14∑i=0

18

(Ai sin(iωt) +Bi cos(iωt)) (4.15)

cuyo desglose es mostrado en las ecs. A.3 a A.6 del apendice A.Las amplitudes de los distintos armonicos (Ai y Bi) se relacionan directamente con los parametros

(desfases, acimuts y transmitancias) del PSA, del PSG, y con los valores de la matriz de Mueller delsistema (mij). Las ecs. A.7, A.8 y A.9 (pg. 160) detallan esta relacion y dan cuenta del significado delos distintos parametros.

Numero de medidas por ciclo

En un principio cabrıa esperar que, cuanto mas se discretice la medida de un ciclo de Fourier, mejorprecision y resultados se han de obtener. No obstante, tanto los errores experimentales debidos al girode las laminas, como el tiempo necesario para realizar la medida hacen imprescindible un estudiopormenorizado del numero de medidas optimo para caracterizar un ciclo de Fourier completo.

Si n es el numero de posiciones angulares necesarias para completar un ciclo de Fourier, el incre-mento de posicion angular vendra dado por:

∆ωt =2πn

(4.16)

de forma que la posicion angular varıa de acuerdo a:

(ωt)k = (ωt)k−1 +∆ωt, para k = 1, 2, . . . , n, con (ωt)0 = 0 (4.17)

donde a cada posicion angular (ωt)k le corresponde una intensidad de deteccion Ik segun la ec. 4.15.Existen un total de 30 amplitudes de Fourier que actuan como incognitas del sistema, con lo cual

es necesario un mınimo de n = 30 posiciones angulares para determinar todas y cada una de lasamplitudes de Fourier (25 si se fijan las amplitudes B0, A11, B11, A13 y B13 como contribucionesnulas).

Una vez impuesta la condicion de utilizar una relacion de velocidades R = 5 : 2, es necesariodiscernir el numero optimo de incrementos angulares de las laminas retardadoras. Tal y como semuestra en la referencia [153], aquellos metodos de medida basados en transformadas de Fourierpresentan un error mucho menor que aquellos basados en la inversion de estados de polarizacion(tecnica del SP) con un total de 4× 4 o, incluso, 8× 8 medidas de estados de polarizacion cruzados,invirtiendo un tiempo semejante en orden de magnitud. En esa misma referencia se establece que elmetodo mas robusto y estable para realizar estas medidas es el basado en la transformada de Fourier,siendo aceptable cualquier numero de incrementos a partir de 36. A continuacion se establecera la

73


cantidad optima de incrementos para este dispositivo experimental en concreto. Por otra parte, enla referencia [156] se concluye que, cualquier matriz experimental para la que se realicen un numerosuperior a 9 × 9 medidas de estados de polarizacion cruzados, presenta un ruido en sus elementosinferior al de las fluctuaciones de intensidad de la fuente luminosa utilizada.

Dadas las caracterısticas de los rotores paso a paso que controlan el giro de las laminas (pg.68), el numero maximo de pasos que puede realizar cada uno de ellos para completar un giro es de3600/0,2250paso−1 = 1600 pasos. Las posibles combinaciones de pasos para dichos rotores con razon5 : 2 son: 5 : 2 con un total de 800 posiciones angulares (n en la ec. 4.16) o medidas de intensidad,10 : 4 con 400 medidas, 15 : 6 con 300 medidas, 20 : 8 con 200 medidas, 30 : 12 con 150 medidas,40 : 16 con 100 medidas y combinaciones que aportan un numero de medidas inferior, que no son deinteres para nuestro estudio por el aumento de error de medida que llevan asociado.

(a) Parametros de la diagonal. (b) Parametros fuera de la diagonal.

Figura 4.8: Valores de la matriz de Mueller obtenidos en dos medidas para distintas velocidades depaso de la Lamina 1.

Para evaluar cual de las posibles relaciones entre motores podrıa ser la mas interesante en estecaso, se realizaron dos medidas en vacıo para cada una de ellas, en identicas condiciones de labora-torio representadas en la fig. 4.8. La fig. 4.8(a) muestra los resultados obtenidos para los parametrosdiagonales de la matriz de Mueller de vacıo (idealmente matriz identidad), mientras que la fig. 4.8(b)muestra los valores de los parametros fuera de la diagonal (idealmente nulos). Se aprecia como, conindependencia de los valores obtenidos, la relacion de pasos 20 : 8 es la que mayor repetitividad pre-senta. Por otro lado, observando los valores de la diagonal (fig. 4.8(a)), la relacion de pasos 20 : 8es la que presenta valores mas cercanos a 1. Las relaciones de pasos 40 : 16 y 20 : 8 son las quepresentan menor dispersion en sus valores mii. En la fig. 4.8(b) se aprecia como la variabilidad en lamedida es semejante para la mayor parte de relaciones de pasos, excepto para la relaciones 40 : 16y 15 : 6, siendo la primera ligeramente superior a la media y la segunda ligeramente inferior. Segunestos resultados, la combinacion de pasos de motor con relacion de velocidades 5 : 2 mas adecuada es20 : 8, que finalmente fue implementada en el dispositivo.

Ası pues, la sustitucion de las posiciones angulares de la ec. 4.17 en la ec. 4.15 dara lugar, eneste caso, a un total de 200 valores experimentales de intensidad, que generaran 200 ecuaciones apartir de las que se podran estimar las amplitudes de Fourier (Ai y Bi) minimizando los errores. Losincrementos angulares correspondientes a la relacion de pasos 20 : 8 en los motores paso a paso son4,50 y 1,80 para la Lamina 2 y la Lamina 1, respectivamente.

Generacion de Ciclos Teoricos

La generacion de ciclos de Fourier teoricos permite, entre otras cosas, testear el funcionamiento delos algoritmos de calculo de las magnitudes de calibracion (k11, k12, k21, k22, δ1, δ2, α1, α2 y ϕ2). Parala generacion de un ciclo de Fourier teorico se puede partir tanto de un formalismo de Mueller comode un formalismo de Jones. Por simplicidad se ha utilizado un formalismo de Jones (apartado 2.1).Suponiendo que Ein es el campo electrico incidente y J es la matriz de Jones del medio, el campo

74


emergente sera:Eout = A(α2)L(k12, k22, ϕ2, δ2)JL(k11, k21, ϕ1, δ1)P (0)Ein (4.18)

Si se definen los angulos acimutales de ambas laminas como:ϕ1(i) = i

2πn

+ φ1

ϕ2(i) = iR2πn

+ φ1

(4.19)

donde R = 5 : 2, n es el numero de valores de intensidad que se desean medir en el ciclo, i va desde 1hasta n, φ1 es el acimut inicial de la Lamina 1 y φ2 es el de la Lamina 2. Una vez hayan sido fijadosel resto de los parametros y se haya introducido la matriz de Jones del medio se obtendran un totalde n vectores de Jones del campo emergente. De esta forma, las n intensidades del ciclo de Fouriervienen dadas por:

Ik = E+out,kEout,k, con k = 1, . . . , n (4.20)

Figura 4.9: Ciclos de Fourier teoricos para medias en vacıo, segun las dos configuraciones de la tabla4.5.

En la fig. 4.9 se presentan dos ciclos de intensidad, correspondientes a una matriz de Jones identidad(vacıo) y a los parametros de calculo de la tabla 4.5. Se puede apreciar como pequenas variaciones enlos parametros de calculo dan lugar a apreciables cambios en los valores de intensidad. Esto, aplicadoen orden inverso, viene a corroborar lo que se daba por sabido segun distintas referencias: La gransensibilidad de esta metodologıa experimental. Si lo que se pretende es simular un ciclo experimentala partir de una matriz de Mueller o de Jones conocida, la forma de operar serıa la misma, con la unicacondicion de sustituir la matriz identidad por la experimental.

δ1 δ2 ϕ1 ϕ2 α2 k11 k21 k12 k22

C1 900 900 00 00 22,50 1 1 1 1C2 90,50 90,10 0 20 250 0,9997 1 0,9997 1

Tabla 4.5: Configuraciones para el calculo de los ciclos de Fourier teoricos de la fig. 4.9.

75


Calibrado DRCP

Partiendo de las ecs. 4.15, A.7 y A.8, es relativamente sencillo apreciar que, dada una matriz deMueller conocida (mij)3

i,j=0, mediante una medida de un ciclo de Fourier completo, que denominare-mos a partir de ahora calibrado, se pueden obtener los valores de los parametros caracterısticos delpolarımetro: k11, k12, k21, k22, δ1, δ2, α1, α2 y ϕ2. Sin embargo, algunos valores de los angulos inicialesα1, α2 y ϕ2 han de ser evitados para evitar singularidades durante el calibrado [96]. Se ha procuradomantener el protocolo de trabajo lo mas claro posible, y los pasos seguidos para realizar el alineadodel sistema previo al calibrado han sido siempre los siguientes:

1. Colocacion del Polarizador de entrada en un angulo arbitrario, que permanece fijo.

2. Giro del Analizador hasta conseguir la extincion en el haz que emerge del Analizador (ambospolarizadores presentan ahora estados ortonormales de polarizacion: Polarizadores cruzados).

3. Colocacion de la Lamina 2, y giro hasta volver a una situacion de extincion a la salida delAnalizador. De esta forma se asegura que Lamina 2 tenga sus lineas neutras alineadas con losejes del Polarizador y del Analizador.

4. Colocacion de la Lamina 1 (manteniendo la Lamina 2 colocada), y giro hasta que presenteextincion el haz que emerge del Analizador, asegurando ası que ambas laminas tengan sus lineasneutras alineadas.

5. Para finalizar, el Analizador es girado hasta que presenta un acimut de 22,50 con respecto alPolarizador. Este giro se hace de acuerdo a la escala graduada existente en la montura del mismo,cuya precision es 0,250.

Aunque a priori la situacion de los ejes de las laminas es desconocida (no se sabe cual de ellos esta ali-neado con el Polarizador y cual lo esta con el Analizador). Una vez realizados varios procesos decalibracion se puede corregir esto, comparando con el grafico de un ciclo de Fourier teorico (fig. 4.9) yajustando la posicion de las laminas para que reproduzcan la grafica. En ese punto los ejes rapidos deambas laminas estaran alineados con el eje del Polarizador. No obstante, la direccion del eje principalsera desconocida de cualquier modo, dado que, desde un punto de vista teorico, los acimuts 00 y 1800

con respecto al Polarizador son identicos.Puesto que los alineamientos descritos se hacen manualmente, los acimuts se mantendran como

parametros variables en el calibrado, a excepcion de la posicion de referencia del Polarizador (al igualque en la generacion de ciclos teoricos). Sin embargo, en el desarrollo previo de las amplitudes deFourier el elemento fijo ha sido la Lamina 1, para facilitar el calculo simbolico. Ambas situacionesson equivalentes, dado que solo difieren en una rotacion del sistema de coordenadas y, por tanto, sepuede suponer desde un punto de vista puramente practico que el elemento fijo a partir del cual sehan alineado el resto de componentes ha sido la Lamina 2.

(a) Captura de pantalla del ordenador decontrol

(b) Comparativa teorico/experimental

Figura 4.10: Calibrado del DRCP: Captura de pantalla y comparativa con un ciclo experimental.

76


El proceso de calibrado continua con la realizacion de una medida sobre un sistema conocido. Lamedida se lleva a cabo mediante la deteccion sıncrona de la intensidad de haz emergente del PSApara cada configuracion polarimetrica generada por el PSG y el PSA, es decir, para los 200 pasosque deben realizar los rotores paso a paso que dominan el movimiento de las laminas. Para evitarintroducir errores al usar sistemas experimentales sencillos conocidos (tambien validos para realizaruna calibracion, pero de los cuales se desconoce la precision con la que puede ser dada la matriz deMueller en la bibliografıa) se estimo oportuno realizar los calibrados en vacıo, es decir, sin ningun tipode sistema entre el PSG y el PSA. Obrando de este modo, las unicas fluctuaciones y errores en lamedida pueden ser los ocasionados por un alineamiento deficiente, la imperfeccion nada despreciablede los componentes polarimetricos [157] y el ruido introducido por las partıculas suspendidas en el airey los componentes situados entre el PSA y el detector (Lente y OD 3 del Detector). En la fig. 4.10(a)se presenta una captura de pantalla del programa de control del polarımetro durante un calibrado,mientras que en la fig. 4.10(b) se muestra la comparacion entre un ciclo teorico (C1 de la fig. 4.9) yun ciclo de calibrado experimental. La matriz de Mueller del sistema al realizar este tipo de calibrado,como ya se ha adelantado, es la matriz identidad mij = I4×4.

Dado que idealmente ambas laminas retardadoras deberıan ser iguales, y sus transmitancias de-berıan ser kij = 1 (con i, j = 1, 2), se podrıa realizar una primera aproximacion en el calculo, supo-niendo que ambas laminas presentan transmitancias iguales. En base a esto, se puede suponer queK1 = K2. En la referencia [96], ademas de esta aproximacion, se supone que ambas laminas presen-tan tambien el mismo desfase entre estados propios. Esta posibilidad, aunque fue considerada en unprincipio, no se ha implementado pues se supone que la transmitancia es practicamente la unidad,mientras que los desfases introducidos por ambas laminas, aun valorados por el proveedor en torno a900, pueden sufrir ligeras modificaciones. El hecho de considerar desfases distintos en ambas laminasno complica demasiado la resolucion de los ciclos de Fourier, y ayuda a tener una magnitud mas pararealizar el ajuste de calibrado y disminuir los errores del mismo. Sin embargo, considerar diferentestransmitancias da lugar a un sistema de ecuaciones mucho mas difıcil de resolver, con la consecuenteperdida de tiempo en diseno del algoritmo de resolucion y computacion (si suponemos que ambaslaminas tienen distinta transmitancia, la ec. 4.23, por ejemplo, no tendrıa una solucion unica, siendonecesaria la resolucion de un sistema de ecuaciones en variables acopladas mas complicado). Manteneralgunos parametros de ajuste libres permite una mayor precision en el calibrado y las medidas deldispositivo, pero es necesario llegar a un compromiso entre el tiempo de resolucion de los sistemas deecuaciones y el numero de parametros libres. Ası pues, las ecuaciones con las que finalmente se tra-bajo en el calibrado son las contenidas en el apendice A. Si denominamos C10 = B10/A10, C6 = B6/A6

y C4 = B4/A4, a partir de la ec. A.11 es inmediato obtener el siguiente sistema de ecuaciones:arctan(C10) = (2α1 + 2α2 − 4ϕ2)arctan(−C6) = (2α1 − 2α2 + 4ϕ2)arctan(C4) = (2α1 + 2α2)

(4.21)

cuya solucion son los parametros acimutales de calibrado del sistema:α1 = arctan(C10)/4− arctan(C6)/4α2 = arctan(C4)/2− arctan(C10)/4 + arctan(C6)/4ϕ2 = arctan(C4)/4− arctan(C10)/4

(4.22)

Para obtener el valor de los tres parametros de calibrado restantes (K, δ1 y δ2) basta con utilizartres de las ecuaciones en las que aparecen. Estos parametros estan englobados en las ecuaciones de lasamplitudes de Fourier A0, A4, A6, A10, B4, B6 y B10. Tenemos, de nuevo, informacion redundante delsistema. Sin embargo, dado que ya se habıan utilizado los cocientes de amplitudes para determinar losparametros acimutales, se estimo oportuna la posibilidad de hacer un ajuste para minimizar errorespor metodos computacionales utilizando las cuatro ecuaciones que se exponen a continuacion:

A0 = 8a2 + 2a2 cos(2α1 − 2α2) + 2arc2 cos(2α1 − 2α2) + . . .. . .+ 2arc1 cos(2α1 − 2α2) + 2rc1rc2 cos(2α1 − 2α2)

A4 = 2 cos(2α1 + 2α2)(a+ rc2)(a− rc1)A6 = 2 cos(2α1 − 2α2 + 4ϕ2)(a− rc1)(a− rc2)A10 = 2 cos(2α1 + 2α2 − 4ϕ2)(a+ rc1)(a− rc2)

(4.23)

77


definiendo los valores de los desfases δ1 y δ2 entre 00 y 1800, y el cociente de transmitancias K entre0,0 y 1,1. A pesar de que realmente K ∈ [0, 1], permitir valores fuera de este rango es una condicion deajuste que ayuda a que pequenos defectos en la alineacion, en el propio sistema o en el planteamientoteorico de los dispositivos polarimetricos (realizado desde un punto de vista ideal) sean absorbidos poreste parametro, ası como por el resto de los parametros de calibrado.

Para mejorar, en la medida de lo posible, los resultados del calibrado, se ha tomado como protocoloel realizar no una unica medida, sino un total de 5 ciclos de calibrado, a partir de los cuales se obtienen5 sets de parametros de calibrado, con los cuales se realiza una estadıstica calculando la media y ladesviacion estandar de los mismos. Esta forma de actuar asegura el procedimiento, ya que la aparicionde valores elevados en la desviacion estandar puede ser sıntoma de fallos puntuales en el dispositivo, enel proceso de adquisicion de datos o, como suele ser habitual, falta de linealidad debido a un procesode calentamiento insuficiente en el laser. Es por esto que, una vez realizado un calibrado con garantıas,se procuran mantener todos y cada uno de los dispositivos en funcionamiento el mayor tiempo posible,para evitar los contratiempos de la puesta en marcha. Los parametros de calibrado (α1, α2, ϕ2, K, δ1

y δ2) son utiles a partir del momento en el que quedan determinados, para cualquier medida que serealice sin modificar las condiciones del polarımetro y las posiciones de los elementos del PSG y delPSA. Durante el desarrollo de esta tesis se ha tenido la precaucion de realizar un alineado y calibraciondel polarımetro cada vez que tenıa lugar algun factor que podıa influir en la medida (fluctuaciones dellaser, cortes de luz, contacto fısico involuntario con los componentes, saturacion de la comunicacionentre el ordenador y los dispositivos,. . . ).

Medida DRCP

El proceso de medida del DRCP es muy parecido al de calibracion, con la salvedad de que se realizacon una muestra problema entre el PSG y el PSA. Realmente la diferencia reside en el tratamiento delos datos, y no en la adquisicion de los mismos, que se realiza mediante un proceso sıncrono identico alde calibrado. La duracion de un ciclo de Fourier, que consta de 200 datos tanto para calibrado comopara medida, es de aproximadamente 10 minutos, dada la configuracion actual del polarımetro. Laposicion de los rotores de control de las laminas, de la muestra y del brazo movil sobre el que se situael PSA es regida en todo momento por el programa de control. Las alineaciones de las plataformastilt y de los nanoposicionadores se realizan manualmente y mediante el Joystick, respectivamente, unavez es colocada la muestra en su localizacion definitiva para realizar la medida.

El programa de control, desarrollado expresamente para la automatizacion del polarımetro en elentorno de trabajo VEE (HP-Agilent), presenta una serie de opciones cuyo objeto es aumentar lasposibilidades de trabajo del polarımetro evitando, en la medida de lo posible, requerir la presencia deloperario para la realizacion de medidas “en continuo”, es decir, sin necesidad de retirar o manipularla muestra o los elementos del montaje. En la fig. 4.11 se presentan una serie de capturas de pantalladel programa de control del polarımetro. En la primera de ellas (4.11(a)) se muestra el dialogo inicial,en el que se puede elegir entre la realizacion de medidas estaticas (sin mover el rotor ITL que sustentael PSA), calibrados o medidas continuas de scattering en tres configuraciones de deteccion diferentes:

1. Barrido A: Con el Detector inicialmente en 00 y haciendo un barrido para angulos de scatteringcomprendidos entre 1600 y −1600.

2. Barrido B: Con el Detector en 00 y haciendo un barrido para angulos de scattering compren-didos entre 1600 y 00.

3. Barrido C: Con el detector en 1800 (posicion relativa de 00 para esta configuracion) y haciendoun barrido para angulos de scattering comprendidos entre 900 y −900 relativos al centro de lamedida (escaneo en la region de backscattering , o backscan). En esta configuracion, los soportesdel brazo que sustenta al PSA impiden la medida para los angulos comprendidos entre 200 y−200, por lo que, en las futuras representaciones de patrones de scattering realizadas con estemetodo, la region sombreada por el PSA sera omitida en la escala angular.

Pese a que la posicion inicial del detector puede asociarse a una posicion fija determinada (se entiendeque el Detector esta alineado con el laser en posicion 00), en cualquiera de los casos el movimiento del

78


(a) Opciones de inicio (b) Medidas de difusion: Opciones de barrido

(c) Seleccion de longitud de onda (Potenciometro) (d) Aviso de posicionamiento del Detector

Figura 4.11: Capturas de pantalla del programa de control del polarımetro.

rotor ITL es relativo, con lo cual los angulos de inicio del Detector pueden ser variados a gusto deloperario, manteniendo los lımites angulares de trabajo para evitar el error de giro del rotor ITL. Porejemplo, se podrıa realizar un Barrido B indicando que el origen es la posicion absoluta 450, de formaque el Detector operarıa, realmente, entre 2050 y 450. Si se ha elegido una medida continua, la siguienteventana (fig. 4.11(b) para backscan) solicita al operario los lımites angulares de trabajo del rotor ITL(con objeto de evitar danos por reflexiones especulares en el detector, medidas erroneas debidas a laconfiguracion experimental o de ahorrar tiempo en la medida de una region de interes), ası como elpaso angular del rotor ITL (resolucion angular) en la medida y el numero de medidas a realizar enuna misma posicion del detector (por si se requiere de una estadıstica). En caso de medidas estaticaso calibrado, la unica opcion posible es la del numero de medidas a realizar. Tras estos dialogos, elprograma solicita el nombre del archivo donde guardara los datos, ası como el tiempo de espera antesde comenzar el proceso de medida y la posicion inicial del rotor ITL (si, por ejemplo, el operarioacaba de realizar un calibrado y desea medir en backscan , el programa se encargara de mover el rotorde forma automatica desde los 00 hasta el angulo inicial, evitando la molesta espera). Por ultimo,antes de comenzar el proceso de medida en si, se solicita el ajuste de la longitud de onda para ladeteccion (fig. 4.11(c)). Despues de estos pasos previos, el programa inicia la medida informando delos movimientos de posicionado del PSA y el Detector que realiza el rotor ITL en cada momento (fig.4.11(d)), de forma que el operario pueda pausar el programa en esos instantes en los que no perjudicala adquisicion de datos. La medida puede ser retomada con toda normalidad en el punto donde sehabıa pausado, siempre y cuando no se hayan manipulado el polarımetro o la muestra durante elperiodo de pausa.

Los datos de intensidad leıdos por el detector son almacenados, junto con su posicion angularabsoluta y el numero de medida, en el fichero de datos cuyo nombre se indico al inicio de la experiencia,al que se le anade al final del nombre un codigo numerico que se corresponde con el instante de iniciode la medida, para evitar la perdida de informacion por sobrescritura del fichero. Estos ficheros dedatos, al igual que los de calibrado, son procesados con un algoritmo de calculo simbolico para obtener

79


Figura 4.12: Captura de pantalla en el transcurso de una medida del DRCP.

finalmente las matrices de Mueller del sistema, que son almacenadas en un nuevo fichero de datosen el que constara tambien la posicion angular y el numero de medida para la que se obtuvo cadamatriz. En la fig. 4.12 se muestra una captura de pantalla del ordenador de control en el transcurso deuna medida de scattering. Se pueden apreciar dos mitades (superior e inferior) con graficos y lecturasdiferenciadas, que se corresponden con la deteccion para angulos a izquierda o derecha de la posicioncentral designada en los dialogos iniciales.

4.2.2. Polarımetro SP

Al igual que ocurre con el DRCP, el Polarımetro de Stokes (SP) permite realizar calibrados conobjeto de minimizar los errores del dispositivo. Partiendo de lo expuesto en la seccion 2.3.3, se puededesarrollar el protocolo de medida y calibracion del SP, sin necesidad de modificar los componentes delsistema. El grado de dificultad de las operaciones y algoritmos en el SP disminuye considerablementecon respecto al DRCP, al tiempo que se incrementa el error experimental.

A partir de la ec. 2.110 se pueden obtener un conjunto de 16 valores de intensidad independientes, sise eligen convenientemente las configuraciones polarimetricas adecuadas para la medida. En este casose han elegido cuatro polarizaciones de entrada, que conforman una base de estados de polarizacionen el espacio de vectores de Stokes, y se han utilizado las mismas configuraciones a la salida. Es decir,si el laser y el detector intercambiaran su posicion, el PSA y el PSG intercambiarıan sus funciones, sinque medie modificacion alguna. Cruzando estas configuraciones polarimetricas entre sı (cada una delas de entrada con las cuatro de salida) se obtienen 16 valores de intensidad a la salida. Esta eleccionda lugar a un sistema compatible determinado, en el que las incognitas, tras el pertinente calibrado delas variables de entrada, seran los elementos de la matriz de Mueller del sistema. Las polarizacioneselegidas son:

Luz circularmente polarizada, giro de la Lamina 1: ϕ1 = −450.

Luz linealmente polarizada (polarizada en el plano de giro de los rotores dentro de la configura-cion experimental utilizada); giro de la Lamina 1: ϕ1 = 00.

Luz elıptica; giro de la Lamina 1: ϕ1 = 300.

Luz elıptica; giro de la Lamina 1: ϕ1 = 600.

Calibrado SP

En este caso, las variables internas susceptibles de ser ajustadas en el calibrado, segun la exposicionde la seccion 2.3.3, son el acimut del Analizador (α), los acimuts de ambas laminas retardadoras (β1 yβ2), y el desfase de las mismas (δ, consideradas identicas y con la transmitancia de sus estados propiosideal). Se supone que el origen de acimuts esta definido por el estado de polarizacion del Polarizador

80


de entrada (fijo, polarizacion horizontal respecto al plano de giro de los rotores). La alineacion decomponentes se realiza del mismo modo que en el DRCP, con la unica salvedad de situar el Analizadoren posicion 00 al finalizar el proceso. De este modo, recurriendo a un desarrollo matricial del PSG, lamuestra ((mij)3

i,j=0) y el PSA, el vector de Stokes del haz que llega al detector es:

sout = 116

1 c2α s2α 0c2α c2

2α c2αs2α 0s2α c2αs2α s2

2α 00 0 0 0

1 0 0 00 c2

2γ2+ (2s2

2γ2cδ) c2γ2s2γ2(1− 2cδ) −(2s2γ2sδ)

0 c2γ2s2γ2(1− 2cδ) s22γ2

+ (2c22γ2cδ) (2c2γ2sδ)

0 2s2γ2sδ (−2)c2γ2sδ 2cδ

·

·

0BBBBB@m00 m01 m02 m03

m10 m11 m12 m13

m20 m21 m22 m23

m30 m31 m32 m33

1CCCCCA

0BBBBB@1 0 0 00 c2

2γ1+ (2s2

2γ1cδ) c2γ1s2γ1(1− 2cδ) −(2s2γ1sδ)

0 c2γ1s2γ1(1− 2cδ) s22γ1

+ (2c22γ1cδ) (2c2γ1sδ)

0 2s2γ1sδ (−2)c2γ1sδ 2cδ

1CCCCCA

0BBBBB@1

−1

0

0

1CCCCCA(4.24)

donde se ha utilizado cx = cosx, sx = sinx, γ1 = β1 + ϕ1 y γ2 = β2 + ϕ2.

El proceso de calibrado, al igual que sucedıa en el caso del DRCP, se realizara en vacıo, por lo quela matriz de Mueller del sistema sera sustituida por la matriz identidad mij = I4×4, de forma que laintensidad detectada en funcion de los parametros de calibrado y los giros introducidos en las laminassera:

I =116[−c2α

((c2

2γ1 + 2cδs22γ1)(c2

2γ2 + 2cδs22γ2)− . . .

. . . −4s2γ1s2γ2s2δ + c2γ1c2γ2s2γ1s2γ2(2cδ − 1)2

)+ . . .

. . .+ s2α

(−4c2γ2s2γ1s

2δ + c2γ1s2γ1(2cδ − 1)(2cδc2

2γ2 + s22γ2)+ . . .

. . . +c2γ2s2γ2(2cδ − 1)(c22γ1 + 2cδs2

2γ1))

+ 1] (4.25)

De este modo, al realizar una medida de calibrado en vacıo, se obtendran un total de 16 ecuacionesy 4 incognitas (ya que los giros introducidos en las laminas, ϕ1 y ϕ2 son parametros de controlperfectamente determinados y para cada par de valores se obtendra una intensidad de deteccion, hastaun total de 16 intensidades). Los valores de esas incognitas que minimizan los errores de ajuste delsistema son los parametros de calibrado del sistema. El protocolo de calibrado del SP es el mismo queel seguido en el DRCP: Se toman 5 lecturas completas y sobre los parametros de calibrado obtenidospara cada lectura se realiza una estadıstica, para conocer la dispersion y, de paso, evitar algun valordefectuoso que pueda aparecer.

El programa de control del polarımetro es similar al del caso dinamico, salvo en lo que respectaa la realizacion del ciclo de medidas, que se ha modificado para que lean un total de 16 datos co-rrespondientes a las 16 configuraciones polarimetricas. El tiempo necesario para hacer una medidade calibrado es de aproximadamente 5 minutos, la mitad del utilizado por el DRCP (para realizar 16medidas frente a las 200 del DRCP). Esta reduccion en el tiempo de adquisicion de datos no compensa,como se podra ver en la seccion 4.3, la perdida de precision del dispositivo.

Medida SP

Una vez obtenidos los 4 parametros de calibrado (α, β1, β2 y δ), si se realiza un set de medidassobre un sistema problema, la sustitucion de los mismos y de los giros introducidos en las laminasdara lugar a un total de 16 ecuaciones cuyas 16 incognitas son los elementos mij de la matriz deMueller de dicho sistema. De acuerdo con la ec. 4.24, la intensidad en funcion de los parametros de

81

4.3. MEDIDAS EN SISTEMAS SENCILLOS CAPITULO 4. DISPOSITIVO EXPERIMENTAL

calibrado, los giros de las laminas y los elementos mij sera:

I =116[m00 −m01(c2

2γ1 + 2cδs22γ1)− c2α

−(c2

2γ2 + 2cδs22γ2)

(m10 −m11(c2

2γ1 + 2cδs22γ1)− . . .

. . . −2m13s2γ1sδ +m12c2γ1s2γ1(2cδ − 1)) + 2s2γ2sδ(m30 −m31(c2

2γ1 + 2cδs22γ1)− 2m33s2γ1sδ+ . . .

. . . +m32c2γ1s2γ1(2cδ − 1)) + c2γ2s2γ2(2cδ − 1)(m20 −m21(c22γ1 + 2cδs2

2γ1)− 2m23s2γ1sδ + . . .

. . . +m22c2γ1s2γ1(2cδ − 1))+ s2α

(2cδc2

2γ2 + s22γ2)(m20 −m21(c2

2γ1 + 2cδs22γ1)− 2m23s2γ1sδ+ . . .

. . .+m22c2γ1s2γ1(2cδ − 1)) + 2c2γ2sδ(m30 −m31(c2

2γ1 + 2cδs22γ1)− 2m33s2γ1sδ+ . . .

. . . +m32c2γ1s2γ1(2cδ − 1))− c2γ2s2γ2(2cδ − 1)(m10 −m11(c22γ1 + 2cδs2

2γ1)− 2m13s2γ1sδ + . . .

. . . +m12c2γ1s2γ1(2cδ − 1)) − 2m03s2γ1sδ +m02c2γ1s2γ1(2cδ − 1)](4.26)

En la fig. 4.13 se muestra una captura de pantalla del polarımetro SP en una medida estatica.Al igual que ocurrıa en el DRCP las opciones de colocacion para la medida y los dialogos de iniciopermiten el trabajo del dispositivo en todas las configuraciones expuestas en la seccion 4.2.1, de formaque el programa de control automatiza la medida de igual forma que lo hacıa para el DRCP. Asimismo,el tratamiento de los datos se ha realizado de acuerdo al algoritmo expuesto en este punto, por mediode un entorno de calculo numerico.

Figura 4.13: Captura de pantalla en el transcurso de una medida del SP.

4.3. Medidas en Sistemas Sencillos

Los calibrados que se han visto en las secciones 4.2.1 y 4.2.2, sirven para controlar los parametrosbajo los que se ejecutan las medidas y minimizar el error de las mismas. Lo mejor es recurrir adiversos sistemas conocidos si lo que queremos es evaluar el comportamiento del polarımetro, susmargenes de error y la reproducibilidad de las medidas. Existen, ademas, una serie de sistemas,como los recubrimientos metalicos y los prismas de reflexion total, de creciente interes experimentalen medidas con ondas evanescentes, generacion de SPs (Surface plasmons) [70] y Elipsometrıa desuperficies [38]. Entre los sistemas elegidos se incluiran polarizadores y laminas retardadoras, interfasesdielectricas o metalicas (segun lo expuesto en la seccion 2.1.3), o un difusor superficial tıpico como esuna superficie lambertiana. De esta forma comprobaremos el funcionamiento del polarımetro en tresconfiguraciones basicas: Reflexion, transmision y scattering superficial. Estos tres tipos de patronesserviran para evaluar el funcionamiento de ambas configuraciones polarimetricas (SP y DRCP) en lasdistintas situaciones que se desglosaran a continuacion.

4.3.1. Transmision

Para valorar el funcionamiento de ambos polarımetros en transmision se han utilizado un polariza-dor, una lamina λ/4 y una lamina λ/2, ademas de una serie de medidas en vacıo realizadas aparte delproceso de calibrado. La lamina λ/4 utilizada en la medida es una lamina de orden cero para 633 nm,la misma que se deshecho en la fase de seleccion de componentes para el dispositivo (entonces llamadaLamina 2). Por su parte, la lamina λ/2 es una lamina de orden uno para 532 nm fabricada por Melles

82

CAPITULO 4. DISPOSITIVO EXPERIMENTAL 4.3. MEDIDAS EN SISTEMAS SENCILLOS

Griot. En la tabla 4.6 se exponen las matrices de Mueller experimentales que se han medido con elSP y el DRCP para cada configuracion indicada, con sus correspondientes ajustes teoricos y el errorrelativo de cada uno de ellos. Todas las matrices de la tabla se muestran normalizadas al valor m00 ycon tres cifras decimales de precision, entendiendo que es el orden de magnitud de los errores tıpicosde calibrado en el DRCP, y que todo valor por debajo de ese lımite es ruido de medida, despreciablea todos los efectos.

Se han intentado reproducir varias situaciones con distintos angulos acimutales (referidos al Po-larizador) de los componentes polarimetricos. No obstante, como se puede apreciar en la tabla 4.6,existen desviaciones del comportamiento ideal debidas a errores en el posicionamiento angular de loselementos, menos sofisticado que el de los componentes internos del Polarımetro, ası como a la im-perfeccion de los mismos. En la tabla 4.7 se muestran tres matrices de vacıo obtenidas en medidas noconsecutivas. Se puede comprobar la reproducibilidad las medidas y del procedimiento. Ademas, lafluctuacion del resultado se encuentra fuera de las primeras cifras significativas.

@@

@DRCP SP Parametros DRCP/SP Teorıa ∆E DRCP/SP

Vacıo

1,000 0,001 −0,002 0,0010,009 1,005 0,004 0,0040,002 −0,001 1,004 −0,004−0,003 0,001 0,009 1,000

1,000 −0,001 −0,005 0,0020,013 1,008 0,014 −0,003−0,002 0,102 1,012 0,0010,001 0,005 −0,009 1,009

t1 = t2 = 0,5δ = −0,3/0,4ψ = 0,1/− 1,1

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1· 10−3/1· 10−1

Polarizador (00)

1,000 −0,999 −0,065 −0,009−0,998 0,997 0,064 0,012−0,064 0,065 0,001 0,000−0,004 0,005 0,001 −0,002

1,000 −1,001 −0,199 0,004−1,005 0,992 0,198 −0,004−0,144 0,143 0,028 0,0000,007 −0,007 −0,001 0,000

α = 1,9/7,7β = 7,7/− 0,1t1 = 0/0t2 = 1/1

1 −1 0 0−1 1 0 00 0 0 00 0 0 0

1· 10−3/1· 10−2

Polarizador (450)

1,000 0,078 −1,010 −0,0210,059 −0,001 −0,057 0,002−1,002 −0,079 1,010 −0,003−0,002 0,002 0,010 0,000

1,000 −0,004 −1,002 −0,002−0,007 0,000 0,005 0,001−1,007 0,003 0,995 0,0030,002 −0,001 −0,006 0,001

α = 47,2/44,9β = 1,18/− 0,12t1 = 0/0t2 = 1/1

1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0

1· 10−2/1· 10−2

Lamina λ/4 (00)

1,000 −0,003 0,007 0,0100,015 0,995 0,051 −0,049−0,001 0,051 0,007 0,9990,000 0,056 −0,984 0,013

1,000 0,005 0,002 −0,0090,018 1,013 0,015 0,0150,000 −0,005 −0,004 1,0190,003 −0,008 −1,002 −0,013

ϕ = 1,4/− 0,3δ = 89,5/90,5ψ = 0,1/0,3t1 = t2 = 0,5

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 −1 0

5· 10−3/1,3· 10−2

Lamina λ/2 (00)

1,000 0,001 0,008 0,0020,017 0,998 0,043 −0,0150,002 0,044 −0,864 0,5110,004 0,012 −0,507 −0,855

1,000 −0,005 0,009 −0,0060,017 1,005 −0,047 0,0210,003 −0,064 −0,867 0,5130,003 −0,025 −0,497 −0,873

ϕ = 0,7/− 0,7δ = 149,4/149,9ψ = −0,1/− 0,2t1 = t2 = 0,5

1 0 0 00 1 0 00 0 −0,866 0,50 0 −0,5 −0,866

9· 10−3/1,9· 10−2

Lamina λ/2 (450)

1,000 0,004 0,004 0,001−0,012 −0,853 −0,115 −0,5020,005 −0,107 0,983 −0,0300,004 0,501 0,016 −0,860

-

α/β = 22,9/18,9ϕ = 46,8δ = 149,7ψ = −0,3t1 = t2 = 0,5

1 0 0 00 −0,866 0 −0,50 0 1 00 0,5 0 −0,866

9· 10−3

Tabla 4.6: Medidas de sistemas opticos en transmision

Medida 1 Medida 2 Medida 31,000 0,001 −0,001 0,0000,009 1,003 0,001 0,0070,001 0,000 1,002 −0,004−0,003 0,001 0,008 1,000

1,000 0,001 −0,002 0,0010,009 1,005 0,005 0,0040,002 −0,001 1,004 −0,004−0,003 0,001 0,009 1,000

1,000 −0,001 −0,001 −0,0010,010 1,005 0,002 0,0090,000 0,001 1,003 −0,003−0,002 −0,001 0,006 1,000

Tabla 4.7: Medidas en vacıo no consecutivas del DRCP.

4.3.2. Reflexion

El siguiente paso para el testeo del dispositivo trata de probar su capacidad de trabajo en medidasde reflexion sobre superficies planas pulidas. En estas superficies los ejes transversales en los quees descrita la polarizacion son reorientados, algo que puede ser fuente de errores sistematicos si nose tiene en cuenta. A efectos de comparacion, se han simulado las matrices de reflexion para losdistintos sistemas utilizando las relaciones de Fresnel (seccion 2.1.3). Las matrices de mueller de ambascomponentes se pueden calcular haciendo uso de las matrices de Pauli y de las matrices de Jones delsistema (ver ecuacion 2.98), que para la reflexion y transmision en la interfase entre dos medios son:

JR =(rS 00 rP

), JT =

(tS 00 tP

)(4.27)

83


Los sistemas que se han medido son tres: Un prisma de reflexion total procedente de unos prismati-cos sin caracterizar (Prisma 1), un prisma reflexion total (Vidrio BK7) de Melles Griot con recubri-miento antireflejante en una de las caras (Prisma 2), y una lamina plana (slide) de microscopio conuna capa de sputtering de Oro de unos 100 nm. El Prisma 2 tiene un ındice n = 1,5151 segun elcatalogo Schott [158], y para el slide recubierto de Oro se ha supuesto un ındice n = 0,2 + 3,1i a633 nm [56]. En primer lugar se muestra, en la fig. 4.14, una comparativa entre los resultados de losdos polarımetros y la prediccion teorica para la evolucion, en funcion del angulo de incidencia, de losparametros de la matriz de Mueller para la reflexion en la interfase aire-dielectrico del Prisma 2. Seha mantenido el valor del parametro m00, y se han normalizado a este el resto de los parametros. Lasgraficas muestran la gran coincidencia en los resultados de los valores normalizados, sobre todo en elcaso del SP. Los resultados obtenidos para el DRCP en el parametro m00 se ajustan perfectamente alos valores teoricos, mientras que existen una serie de pequenas desviaciones en los parametros de lacaja superior derecha e inferior izquierda de la matriz experimental (idealmente nulos), que convergenhacia el valor teorico a medida que aumenta el angulo de incidencia. En el caso del SP no se presentam00 ya que el algoritmo utilizado construye un factor de escala arbitrario en cada una de las medidas,normalizando las intensidades recibidas. El resultado, por tanto, no es comparable.

Figura 4.14: Medidas SP y DRCP y simulacion de la reflexion en una interfase de Vidrio BK7: Evo-lucion de la matriz de Mueller en funcion del angulo de incidencia (θ).

84


Figura 4.15: Medidas DRCP y simulacion de la reflexion en una interfase de Vidrio BaK1: Evolucionde la matriz de Mueller en funcion del angulo de incidencia (θ).

85


Figura 4.16: Medidas SP y simulacion de la reflexion en una interfase de Oro: Evolucion de la matrizde Mueller en funcion del angulo de incidencia (θ).

En el caso del Prisma 1, se ha deducido su composicion en base al analisis de las medidas experi-mentales, que muestran que muy probablemente se trata de un Vidrio BaK1 de ındice de refraccionn = 1,5704 segun el catalogo Schott [158]. En la fig. 4.15 se muestran los resultados obtenidos medianteel DRCP para el Prisma 1, junto con la simulacion de la reflexion en la interfase de Vidrio BaK1. Seaprecia un buen acuerdo entre teorıa y medidas experimentales.

Tras el estudio de la interfase de Vidrio y aire se procedio a analizar la interfase aire-metal, paralo cual se utilizo el slide con recubrimiento de Oro. Los resultados obtenidos para una medida con elSP (fig. 4.16) muestran la buena descripcion experimental que se obtiene del proceso, cuya variacioncon respecto a los valores teoricos es mınima. En este caso, el SP sı presenta ligeras desviaciones conrespecto a la teorıa en los parametros de Mueller nulos. Un posible origen de esta discrepancia puedeser el hecho de que el calculo se hace para un metal masivo (bulk), mientras que el espesor (∼ 100nm) es caracterıstico de una capa, presentando una absorcion limitada y una pequena transmitancia(cercana al 1 %).

86


Figura 4.17: Reflexion total en un prisma: Geometrıa del problema.

Figura 4.18: Medidas DRCP y simulacion de la reflexion total en vidro BK7: Evolucion de la matrizde Mueller en funcion del angulo de incidencia (θ).

87


Figura 4.19: Medidas DRCP y simulacion de la reflexion total en Vidro BaK1: Evolucion de la matrizde Mueller en funcion del angulo de incidencia (θ).

Para finalizar los resultados relativos a la reflexion en interfases, se ha analizado el problemade la reflexion total en prismas dielectricos. Los procesos involucrados en este comportamiento sonsensiblemente mas complicados que en el caso de la reflexion en la interfase Aire-Vidrio, ya quees necesario estudiar en conjunto el comportamiento de tres fenomenos, la transmision en la primerainterfase del prisma (Aire-Vidrio), la reflexion en la segunda interfase (Vidrio-Aire) y la transmision enla tercera interfase (Vidrio-Aire). En las figs. 4.18 y 4.19 se exponen los resultados obtenidos medianteel DRCP para los prismas de Vidrio BK7 y BaK1, respectivamente, junto con sus respectivos calculosteoricos. De acuerdo con la geometrıa experimental esquematizada en la fig. 4.17, la abscisa de estasfiguras indica el angulo de incidencia sobre la primera interfase.

En ambos sets de figuras para la reflexion total se aprecia una muy buena correspondencia entreresultados experimentales y teoricos. Las desviaciones del comportamiento ideal pueden estar relacio-nadas con el recubrimiento (coating) antireflejante de la tercera cara del prisma y con el alineamiento,ya que el eje de giro del prisma esta centrado en la segunda cara (2), con lo cual el punto de incidenciaen la primera cara (1) y el punto en el que el haz emerge del prisma (3) varıan para cada angulo deincidencia, y es necesario un alineamiento del PSA para cada angulo de deteccion.

88


(a) Angulo de scattering comprendido entre 600 y 900.

(b) Angulo de scattering comprendido entre −450 y −200.

Figura 4.20: Difusion por una superficie de spectralon medida con DRCP: Evolucion de la matrizde Mueller en funcion del angulo de scattering (θ). Situacion (a): 600 ≤ θ ≤ 900. Situacion (b):−450 ≤ θ ≤ −200.

89


4.3.3. Difusion

La configuracion de difusion exige grandes variaciones angulares en el sistema de deteccion, altiempo que un buen control del angulo de incidencia. Esta es una prueba representativa de todos losexperimentos de scattering superficial o en volumen. Se eligio, al contrario que en los casos anteriores,un par de medios muy despolarizantes. El primero es una placa de Spectralon certificado. El Spectralones uno de los recubrimientos mas utilizados para las esferas integradoras, en concreto, este fragmento esel patron de calibrado de la esfera integradora de un Espectrofotometro Perkin-Elmer. Las medidas hansido realizadas en la region de retrodifusion con incidencia normal sobre la superficie de las muestras,y los angulos de scattering varıan desde −900 hasta +900, siendo 00 la direccion de retrodifusion. Losvalores obtenidos en la matriz de Mueller son muy parecidos a los esperados para un despolarizadortotal (tabla 2.1, pg. 38). En las figs. 4.3.2 y 4.3.2 se muestra la evolucion de los parametros de Muellerpara dos medidas no contınuas realizadas con el DRCP. A la vista de los resultados, podemos considerareste difusor como tıpicamente lambertiano, pues el parametro m00 tiene una evolucion proporcionalal cos(θ).

A continuacion, se utilizo un fragmento de escayola, cuya capacidad de despolarizacion esta ligadaa la aleatoriedad con la que se haya lijado o suavizado su superficie. En este caso se ha utilizado un foliode papel convencional y se ha realizado un movimiento circular para pulir la misma. Los resultadosse muestran en la fig. 4.21. La medida presentada esta realizada para un angulo de incidencia de00 y angulos de difusion comprendidos entre −450 y 450, y se incluyen los resultados del DRCP yel SP para su comparacion. Se puede apreciar como el comportamiento de los parametros dista, enocasiones, del de un despolarizador ideal. Es posible que la forma de pulir la superficie del materialde lugar a un determinado patron (a pesar de buscar la aleatoriedad) debido al error humano, el cualtenga como consecuencia un valor distinto de 0 en los valores principales de despolarizacion d1, d2 yd3 (responsables de los parametros m11, m22 y m33, cuyo valor dista ligeramente de ser nulos). En estecaso, basandonos en el parametro m00, podemos afirmar que el comportamiento de este fragmento deescayola difiere del que puede presentar un difusor lambertiano.

Figura 4.21: Difusion por una superficie de escayola medida con DRCP y SP: Evolucion de la matrizde Mueller en funcion del angulo de scattering (θ).

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CAPITULO 4. DISPOSITIVO EXPERIMENTAL 4.4. ELABORACION DE MUESTRAS

4.4. Elaboracion de Muestras

Durante el desarrollo de la tesis se han utilizado distintas muestras sobre las que se han realizadolas medidas polarimetricas. Las primeras medidas, realizadas con el scatterometro primitivo y con elSP, fueron realizadas sobre algunas deposiciones de partıculas y fibras sobre substrato, siguiendo elejemplo de las referencias [159] y [160]. Para hacer los test al dispositivo experimental se utilizaroncomponentes opticos polarizantes estandar (como laminas retardadoras y polarizadores), muestrasdespolarizantes, prismas y espejos. Tambien se han realizado muestras en volumen, como disolucionesde partıculas metalicas o dielectricas, e incluso soluciones de α-glucosa. Finalmente, la necesidad demuestras bien caracterizadas, y de variabilidad sobre una geometrıa bien definida, nos ha llevado adisenar y encargar obleas fotolitografiadas de Silicio, capaces, a priori, de poner de manifiesto distintosefectos de interes para esta Tesis.

4.4.1. Procedimiento Manual

Las muestras fabricadas manualmente responden a dos tipos bien diferenciados: Deposiciones departıculas o fibras, metalicas o dielectricas, sobre sustrato plano y suspensiones en volumen, bien seade partıculas metalicas o dielectricas, o de α-glucosa. Teniendo en cuenta que, para la fabricacion delas muestras planas, es necesario realizar las correspondientes suspensiones en volumen, comenzaremosla exposicion del procedimiento de fabricacion por estas ultimas.

Protocolo de limpieza para el material de laboratorio utilizado: Con objeto de evitar impregnarde grasa los elementos durante la manipulacion, se utilizaron guantes de Latex de nueva generacion,exentos de polvo y, por tanto, especialmente indicados para no contaminar las muestras. Para lalimpieza de las cubetas se utilizo un chorro de agua ultrapura, seguido de un bano de agua ultrapuray acetona (1 : 1 en volumen), tras el cual se volvio a limpiar con un chorro de agua la cubetaque se seco con un chorro de aire filtrado, con una presion de 5 bares. Los portamuestras para lafabricacion de muestras planas se lavaron por un procedimiento mucho mas agresivo, al igual quelos tubos de ensayo donde se almacenan las muestras, ya que los primeros estan contaminados consustancias protectoras para su almacenaje y los segundos pueden presentar trazas de las muestras quehan albergado previamente. Para su limpieza es necesario sumergirlos durante un periodo no inferiora 24 horas en un bano de ataque conformado por una disolucion al 18 % de acido clorhıdrico (HClsuministrado por Sigma-Aldrich en una concentracion del 36 % en agua). Tras esto son enjuagadoscon agua para eliminar el acido y sumergidos en un nuevo bano de jabon capturador (24 horas), quefacilita la liberacion y decantacion de todas aquellas impurezas que todavıa puedan presentar tantoportamuestras como tubos de ensayo. Por ultimo, se elimina el exceso de jabon con agua y se les aplicaun chorro final con una solucion de acetona y agua (1 : 1 en volumen), tras la que son secados pormedio de aire filtrado comprimido.

Muestras en Volumen

Para la elaboracion de muestras en volumen fueron utilizadas cubetas de laboratorio de la marcaHellma, con una capacidad de 3,5 ml y 10 mm de lado. Dichas cubetas estan fabricadas en un Vidriocrown tipo UK5 [158] que posibilita una transmision superior al 80 % de la luz recibida en incidencianormal, siempre y cuando la longitud de onda este comprendida entre los 320 nm y los 2500 nm. Lassuspensiones son realizadas a partir de muestras estandar comerciales y coloides suministrados por losfabricantes, controlando los volumenes de partıculas utilizados mediante el uso de una micropipeta(fabricada por Brand GmbH ) que permite una precision de 1 µl, y los de agua ultrapura medianteuna pipeta con precision de 1 ml. La mezcla se realiza en tubos de ensayo limpios, que se mantienenligeramente inclinados en un agitador de vaiven orbital, para evitar la decantacion hasta el momento desu uso. Las muestras elaboradas no son conservadas por periodos superiores a 24 horas, para prevenirla formacion de agregados.

Existe la posibilidad de introducir sustancias quirales en las muestras en volumen, como la α-glucosa, con objeto de realizar medidas en medios turbios que presenten actividad optica. Para ello seutiliza una disolucion de agua ultrapura y glucosa, a la que se le pueden anadir partıculas dielectricas

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4.4. ELABORACION DE MUESTRAS CAPITULO 4. DISPOSITIVO EXPERIMENTAL

para introducir turbidez. Las cantidades exactas de glucosa utilizadas se han medido por medio deuna balanza analogica de precision modelo Atlas. La glucosa anhidra utilizada es suministrada por lacasa Sigma-Aldrich, con un 96 % de pureza.

Figura 4.22: Difusion de una disolucion de partıculas de Poliestireno de 3 µm (0,001 % solido) enα-glucosa 1M.

Deposiciones en Superficie

Tras la limpieza de los portamuestras suministrados por Corning segun el protocolo que se hacomentado al inicio de esta seccion, el metodo para fabricar las muestras varıa segun el tipo dedeposito:

Fibras: La deposicion de fibras es ligeramente mas complicada que la de partıculas. Las fibrasde Vidrio con las que se ha trabajado son muestras de diametro 1 µm en su seccion central. Esnecesario colocar la fibra anclada a dos apoyos a nivel, entre los cuales se situara el portamuestrasnivelado. Con mucho cuidado (para evitar su rotura) es necesario tensarla suavemente paraalinearla sobre el portamuestras. Se eleva el portamuestras hasta que su altura se aproxime losuficiente a la fibra, y se depositan dos gotas de esmalte (una a cada lado) sobre la fibra, para quequede sujeta al mismo. Tras el secado del esmalte (unos minutos) se vierte una gota de etanolsobre la parte central de la fibra, de forma que la tension superficial de la gota en el proceso deevaporacion adhiera la fibra al substrato. El esquema del dispositivo utilizado para realizar estaoperacion es el de la fig. 4.23(a), mientras que en la fig. 4.23(b) se presenta una fotografıa deuna fibra sobre substrato realizada con el microscopio optico.

(a) Montaje para la deposicion de fibras. (b) Fibra depositada sobre substrato (Mi-croscopio Optico, ×100).

Figura 4.23: Deposicion de fibras sobre substrato: Dispositivo de deposicion y muestra fabricada.

Partıculas:En primer lugar se elabora una suspension de las caracterısticas deseadas, tanto enconcentracion como tamano y composicion de las partıculas. Tras esto se depositan una serie degotas (aproximadamente 0,03 ml de disolucion por cada gota depositada con el cuentagotas) sobre

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la superficie del portamuestras de laboratorio de forma homogenea. De esta forma se controla“grosso-modo ” la densidad de poblacion de partıculas, que en caso necesario se compruebaposteriormente sobre imagenes de microscopıa (ver fig. 4.24). Una vez depositadas las gotas desuspension en el portamuestras, se situa en un agitador de vaiven orbital horizontal, para mejorarla homogeneidad de la muestra, cubriendo en la medida de lo posible la muestra, para evitar suensuciamiento. Tras esto solo cabe esperar a la evaporacion del lıquido (agua ultrapura) paraobtener una muestra plana de partıculas.

Figura 4.24: Fotografıa de una muestra de partıculas de Poliestireno de 1,1 µm (MicroscopioOptico, ×100).

Metalizado de las Muestras en Superficie

La necesidad de trabajar con muestras y substratos metalicos hizo que se recurriera a la tecnicadel sputtering, que suele ser usada habitualmente para el recubrimiento de muestras dielectricas enmicroscopıa electronica. La maquina utilizada para realizar el proceso es un Metalizador SCD-040 de lacasa Balzers Union. Para la realizacion del sputtering es necesario introducir la muestra en una camarade vacıo. Dentro de la camara existe una placa (electrodo) del material con el que se quiere recubrirla muestra (en nuestro caso Oro), sobre la que se hacen incidir iones acelerados, que forman partedel plasma gaseoso generado mediante la aplicacion de un fuerte campo electrico (generalmente unplasma de Argon). Los iones acelerados arrancan partıculas neutras de la placa (que pueden ser atomosindividuales, conjuntos de atomos o moleculas) que no se encuentran en equilibrio termodinamico, ytienden a depositarse sobre las superficies que se encuentran en la camara de vacıo. La muestra situadaen la camara sera recubierta por dichas partıculas, generando una fina capa controlada por medio deltiempo de exposicion y la distancia de operacion. El detalle inferior derecho de la fig. 4.6(b), dondese muestran diferentes detalles del montaje experimental, se puede apreciar una oblea recubierta conOro mediante sputtering sobre la que esta incidiendo el laser.

Pese a que las muestras metalizadas no son susceptibles de ser lavadas con banos y chorros de agua,pues esto danarıa el metalizado, se ha tomado la precaucion de limpiarlas con aire puro comprimidoa 3,5 bares de presion, para eliminar cualquier resto de polvo o suciedad que pudiera presentar lasuperficie. Tampoco puede esperarse indefinidamente para su uso, ya que una capa tan delgada sufreprocesos de degradacion.

4.4.2. Muestras Fotolitograficas

La necesidad de unas muestras para la medida experimental cuya geometrıa y propiedades estu-vieran bien definidas hizo que se encargara la fabricacion de una serie de patrones de Silicio parala medida en el laboratorio. El proceso de fabricacion, llevado a cabo por Tekniker, consta de lossiguientes pasos:

1. Diseno de la mascara para la aplicacion fotolitografica: De acuerdo a las especificacionesque los fabricantes nos dieron (capacidad de realizar relieves en direccion Z -vertical- de hasta2 µm y de resolver detalles de 1 µm en las direcciones laterales, X e Y ) se abordo el diseno,en formato CAD, de una mascara que servirıa como patron (negativo) para la fabricacion de

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obleas de Silicio. Se estudiaron las distintas geometrıas que se podrıan construir en la misma,y su distribucion espacial para permitir un correcto uso en el laboratorio, que no diera lugar aconfusion entre muestras. El esquema final de la mascara resultante positivado, es decir, lo quese apreciara al contemplar la oblea de Silicio, se muestra en la fig. 4.25.

Figura 4.25: Esquema positivado de la mascara fotolitografica.

Las geometrıas principales utilizadas estan compuestas por unas estructuras crecidas sobre unsubstrato, denominadas a lo largo de esta memoria ribs y grooves. Las ribs son elevaciones linealesde seccion rectangular (ver fig. 4.26), mientras que las grooves son sus respectivos negativos, i.e.hendiduras lineales de seccion rectangular. Con el diseno elegido se pretendio dar lugar a un setde elementos (situados sobre un substrato de dimensiones 9 × 9 mm en el que se presentan 1o 2 estructuras longitudinales) que pusieran de manifiesto efectos de interaccion y permitieran, asu vez, relacionarlos con los tamanos y distancias entre las estructuras. Para evitar confusionesy permitir tanto la localizacion como la fabricacion de cada uno de los elementos se utilizo elsistema de coordenadas alfanumerico de la fig. 4.25, en el cual todos los elementos de la mitadsuperior (cuadrantes 1 y 2) se corresponden con ribs y todos los de la mitad inferior con grooves(cuadrantes 3 y 4). Se eligieron dos alturas diferentes para las geometrıas, 1 µm y 2 µm, porlas restricciones propias del proceso de fabricacion, y diferentes combinaciones de anchos ydistancias entre ribs (resp. grooves). Las anchuras elegidas fueron 1, 2, 3 y 4 µm, mientrasque las separaciones (distancia entre centros) van de 2 µm a 8 µm. Ademas de estos elementos,se disenaron otros (elementos 6B-F y 7B-F, fig. 4.27) formados por una pequena red de grooves,cuyo tamano es el mismo pero varıa su separacion, para estudiar otros efectos, en un principioajenos a esta memoria.

Figura 4.26: Imagen de dos ribs obtenida por microscopıa electronica de barrido (SEM, ×6000).

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2. Fabricacion de la mascara para la aplicacion fotolitografica: Partiendo de los disenosen CAD realizados, los operarios de Tekniker transformaron el CAD a GDSII, y enviaron losdisenos al fabricante de la fotomascara (Photronics) para que la fabricaran en Vidrio cromado.La resolucion que consigue el fabricante en su tecnica de fabricacion es de 180 nm. La mascarapuede ser utilizada para la generacion de un numero indeterminado de obleas de Silicio sinningun problema.

Figura 4.27: Imagen del elemento 6B-F de una oblea de Silicio (Microscopio Optico, ×100).

3. Fotolitografiado de la oblea: Consiste en transferir los motivos dibujados en la mascara a laoblea de Silicio. Para ello se recubre la oblea con una resina fotosensible, se coloca la mascarasobre ella y se insola con luz UV. A continuacion, se revela la oblea obteniendo 2 zonas biendiferenciadas, segun hayan sido o no tapadas por la mascara:

Zonas expuestas a la radiacion UV : Tras el proceso de revelado el Silicio queda a la vista.

Zonas solapadas a la radiacion UV : Siguen protegidas por la resina, que cumplira la funcionde proteger el Silicio.

4. Ataque del Silicio en equipo RIE (Reactive Ion Etching): Se ataca el Silicio en el equipoDRIE hasta la altura especificada. En este caso se realizaron ataques en las distintas obleas de1 µm y 2 µm. Para ello se emplean los gases SF6 y C4F8 de forma simultanea. La tasa de ataqueronda los 900 nm/min en la zona central de la oblea. La altura de las geometrıas es el unicoparametro comun para todos los elementos dentro de una misma oblea de Silicio, pues dependedirectamente de la exposicion al RIE a la que se someta la muestra. De acuerdo con esto, enadelante me referire a la altura de las geometrıas como altura de las obleas, o simplemente altura,aunque no sea una acepcion precisa. Este es uno de los principales problemas de este tipo demuestras, pues el ataque para las alturas de 2 µm causa muchos problemas en la resolucion delas geometrıas (ribs o grooves), ya que no es del todo uniforme, en contra de lo que aseguraba elfabricante (ver figs. 4.28(a), 4.28(b) y 4.28(c) con los defectos de tres elementos elegidos al azar).El ataque para las alturas de 1 µm es algo mejor, pero sigue presentando ligeras imperfeccionesy una manifiesta falta de uniformidad, como se muestra en la fig. 4.28(d), en la que aparecenzonas sombreadas dentro de una misma groove debidas a defectos de enfoque en el microscopiooptico utilizado, causados a su vez por la variacion en la profundidad del perfil de la groove.

5. Corte de la oblea: Corte de las obleas en 4 cuadrantes con una cortadora de Silicio, parafacilitar su manipulacion y evitar la contaminacion de las muestras sin usar, tal y como serepresenta en la fig. 4.25.

6. Metalizado de las muestras: Algunas de las muestras que ya se habıan analizado fueronrecubiertas con una capa de unos 50 nm de Oro, con objeto de estudiar las propiedades de lasmismas geometrıas en para composiciones distintas, por un lado un dielectrico (Silicio) y porotro un metal (Oro).

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(a) Elemento 2F. Oblea de silicio de 2 µm (b) Elemento 4F. Oblea de Silicio de 2 µm

(c) Elemento 4D. Oblea de Silicio de 2 µm (d) Elemento 11F. Oblea de Silicio de 1 µm

Figura 4.28: Imagenes de imperfecciones en diferentes elementos de dos obleas de Silicio dealturas 1 µm y 2 µm (Microscopio Optico, ×100).

Pese al aparente orden existente en esta exposicion, los defectos en las muestras debidos al procesode fabricacion no fueron conocidos hasta que se analizaron las medidas experimentales. Tras observarla aparicion de asimetrıas angulares en los valores experimentales y verificar que no se trataba de unproblema de adquisicion o tratamiento de datos, se opto por analizar las obleas (hasta ese momentoguardadas, a excepcion del cuadrante con el que se realizaban las medidas, para evitar su contami-nacion). Para ello se examinaron todos los elementos susceptibles de ser medidos en el laboratoriomediante dos microscopios opticos, ambos equipados con sensores CCD para la captura de imagenesen tiempo real. El primero de ellos (utilizado, por ejemplo, para las figs. 4.28(a), 4.28(b) y 4.28(c),es un microscopio Nikon modelo Eclipse ME600 con un rango de 5 a 100 aumentos, sobre el que seencuentra instalada una camara CCD modelo U-eye. El segundo (usado en el caso 4.28(d)) se trata deun microscopio optico de la casa Olympus modelo BX51 con camara incorporada y rango de trabajosimilar al anterior, pero con una mayor resolucion en el sensor CCD. Tras este analisis se pudieronapreciar una serie de imperfecciones en las muestras que se acentuaba con la profundidad del ataquequımico. Existe una clara asimetrıa en el ataque, que se pone de manifiesto en las figs. 4.28(a), 4.28(b)y 4.28(c), y que consiste en la aparicion de un borde mas oscuro en la zona izquierda de la geometrıa,y un borde mas claro en la derecha. Es decir, los bordes izquierdos de las ribs presentan un halo algomas ancho y oscuro que los derechos. Suponemos que esto se mantendra, aunque a menor escala, enlas geometrıas de 1 µm de altura, poniendo de manifiesto una preferencia del ataque por uno de loslados de los elementos. En los elementos con dos geometrıas (fig. 4.28(c)) la resolucion del gap inter-medio es bastante deficiente, y frecuentemente aparecen una especie de surcos que comunican ambasgeometrıas. Asimismo, en la fig. 4.29 se aprecia claramente una asimetrıa radial en la muestra, debidaa la falta de uniformidad caracterıstica de la aplicacion RIE. Por otro lado, como ya se comento ante-riormente, el ataque en un mismo elemento no es del todo uniforme, y se presentan variaciones tanto

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Figura 4.29: Perfilometrıa del ataque en una oblea medida con un perfilometro de contacto.

en el ancho (fig. 4.28(a)) como en la profundidad (diferente luminosidad a lo largo de la geometrıa enla fig. 4.28(d)). Todo esto, unido al fondo de despolarizacion introducida por el sustrato, la rugosidaddebida al sputtering de Oro en las muestras metalizadas [159] y la complejidad manifiesta del modelogeometrico de las ribs o las grooves, a la que se hara mencion en el proximo capıtulo, ha hecho queunas muestras supuestamente fabricadas bajo unas condiciones ideales y con un error de dimensionesınfimo (siempre a juicio del fabricante) se hayan convertido en un sistema complejo y pobremente ca-racterizado, planteando mas dificultades de las que pretendıa resolver. Como resultado, se pondra demanifiesto la precision y capacidad del metodo polarimetrico y del PD utilizados, sin los cuales no sehubiera podido llegar a las conclusiones acerca de las peculiaridades de la geometrıa elegida.

Figura 4.30: Defecto de fabricacion en el elemento 5C, correspondiente a una oblea de Silicio 2 µm dealtura (Microscopio Optico, ×100).

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Todos los defectos de las muestras juegan un papel muy importante en las propiedades de scatteringde las mismas, pues cada uno de ellos introduce alguna modificacion en los patrones de difusion de losdistintos elementos de la matriz de Mueller. El area de actuacion del laser (ligeramente inferior a 1mm2) genera una especie de media estadıstica de todos estos efectos, como si se estuviera promediandouna medida en varias geometrıas distintas, pero que a la vez interactuan entre sı. Es decir, los defectosen la uniformidad del ataque hacen que las ribs (o grooves) presenten distinta anchura y altura dentrodel area de impacto del laser, a la vez que aparece una asimetrıa en el perfil de la oblea y actuan losdiversos surcos que ligan unas ribs con otras, como si una rib de tamano superior estuviera siendoanalizada en determinadas secciones del area de trabajo del laser. Lo que al final se obtendra sera,como es logico, un cumulo de todos estos efectos (a los que hay que sumar el sputtering en las muestrasrecubiertas de Oro) que complicara el analisis de los sistemas en el transcurso del proximo capıtulo.Por ultimo, a modo de curiosidad, comentaremos uno de los variados casos de defectos irresolubles alrealizar las medidas. En la fig. 4.30 se observa claramente un notable defecto de fabricacion, que pudoser apreciado justo antes de comenzar una medida. La fig. 4.31 muestra sendas imagenes SEM de dosribs de altura h = 2 µm, fig. 4.31(a), y dos grooves de h = 1 µm, fig. 4.31(b).

Para evitar contaminacion en las obleas de Silicio antes de la medida o antes de realizar el meta-lizado de las mismas, se llevo a cabo un procedimiento de limpieza aconsejado por el fabricante. Talprocedimiento consta de cuatro pasos, tras los cuales la muestra es almacenada en compartimentosPetri con tapa:

1. Se limpia la muestra con un chorro de agua ultrapura, para eliminar el grueso de la contamina-cion.

2. Se sumerge durante un periodo de 24 horas en un bano de limpieza, compuesto por agua, acetonay etanol, con proporciones 4 : 3 : 3 en volumen.

3. Se eliminan los restos del bano con un chorro de agua ultrapura.

4. Se sopla la muestra por medio de aire filtrado comprimido con una presion de 5 bares.

Todo contacto con la muestra, al igual que en el procedimiento de fabricacion manual, se ha realizadousando guantes de Latex exentos de polvo, para evitar la contaminacion de la misma, en la medidade lo posible.

(a) Dos ribs de altura h = 2 µm (b) Dos grooves de altura h = 1 µm

Figura 4.31: Imagenes de pares de estructuras obtenida por microscopıa electronica (SEM, ×3000).

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Capıtulo 5

Resultados Experimentales en SistemasEstructurados

En este capıtulo pondremos a prueba, sobre sistemas reales, los dos elementos de la metodologıaque hemos propuesto:

a) Un dispositivo experimental de alta versatilidad y precision, capaz de hacer estimaciones demagnitudes polarimetricas (Polarımetro de Compensador Dual Rotatorio, o DRCP).

b) Una potente herramienta matematica que simplifica enormemente el analisis e interpretacion delos resultados (el metodo de Descomposicion Polar, o PD).

Se expondran los resultados obtenidos en el transcurso de esta investigacion sobre las obleas fo-tolitografiadas que contienen, como se explico en el capıtulo 4, estructuras de perfil cuadrado, ribs ogrooves. La nomenclatura utilizada durante la exposicion de resultados es la siguiente: h× w − d µmpara hacer referencia a una geometrıa (bien sea rib o groove) cuya altura es h, su ancho es w y ladistancia entre centros de los elementos es d (micras). La ausencia de la magnitud d implica que lageometrıa es monocomponente. La incidencia del haz laser sobre la muestra se realiza con un angulode 0,50, para evitar los molestos reflejos y la contaminacion que introducen en la senal que recibe eldetector, pero a efectos practicos se considerara incidencia normal.

En primer lugar, en el apartado 5.1, se analizaran los resultados correspondientes a las ribs de altura2 µm, todas ellas medidas con el polarımetro de Stokes (SP). De igual modo se expondran los resultadosrelativos a las medidas de geometrıas tipo rib, de altura 1 µm, realizadas con el polarımetro DRCP. Lacomparacion de los resultados obtenidos mediante ambos polarımetros en el capıtulo anterior justificala decision de no repetir con otro metodo las medidas sobre muestras de altura 2 µm. A continuacion,en la seccion 5.2, se estudiaran las muestras tipo groove, comparando los resultados obtenidos medianteel DRCP con las geometrıas de caracterısticas semejantes tipo rib. Con objeto de facilitar, en la medidade lo posible, el analisis de los resultados, he decidido representar la evolucion de los parametros mij

mediante graficas de puntos para las medidas realizadas con el SP, mientras que la misma evolucionpara las medidas del DRCP se representara con graficas de lınea. La evolucion de los parametrosresultantes del PD se expone mediante graficas de puntos en ambos casos, y siempre acompanan a lasde los parametros mij . Resulta muy interesante el estudio realizado sobre la asimetrıa manifiesta dela oblea en el apartado 5.3. Dicha asimetrıa se traduce en una variacion en los patrones de scatteringde los distintos parametros analizados a ambos lados de la region de backscattering.

Los resultados de las medidas y la aplicacion del PD han dado lugar a un gran numero de graficos,en los que se podra apreciar la evolucion de los distintos parametros en funcion del angulo de scat-tering. Estos graficos son imprescindibles en el analisis de los resultados. No obstante, su extensioncompromete la fluidez de la exposicion, por lo que he preferido mantener tan solo una muestra deellos dentro de este capıtulo. El resto de medidas realizadas seran presentadas de forma grafica en elapendice B, siguiendo el mismo orden que se utilizara en este capıtulo.

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CAPITULO 5. RESULTADOS EXPERIMENTALES

(a) di vs. angulo de scatt. (Θ) (b) ai vs. Θ (c) zi vs. Θ

Figura 5.1: Parametros de despolarizacion para una rib 1× 3 de Si.


Figura 5.2: Parametros de despolarizacion para una rib 1× 4 de Si.


Figura 5.3: Parametros de despolarizacion para una groove 1× 3 de Si.


Figura 5.4: Parametros de despolarizacion para una groove 1× 4 de Si.

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CAPITULO 5. RESULTADOS EXPERIMENTALES

Las simetrıas existentes en los sistemas difusores, como ya se comento brevemente en las secciones2.3.3 y 3.2.1, dan lugar a la reduccion de grados de libertad en sus matrices de Mueller. En parti-cular, si el sistema es macroscopicamente isotropo, presenta simetrıa especular con respecto al planode scattering [5, 39], y no presenta ningun tipo de variacion de su posicion en el tiempo (sistemasestaticos), su matriz de Mueller queda reducida a una matriz por cajas con 4 elementos independien-tes (m00 = m11, m01 = m10, m22 = m33 y m32 = −m23), siendo el resto de elementos nulos (ec. 5.1)[5]. Cualquier variacion del sistema con respecto a este comportamiento puede ser debida a impreci-siones en el alineamiento o a faltas de simetrıa (debidas a defectos de la geometrıa del sistema o a surugosidad superficial [20]).

M =

m00 m01

m01 m0002×2

02×2m22 m23

−m23 m22

(5.1)

Aunque en el apartado 5.3 se realizara un estudio completo de la simetrıa de la oblea, convieneadelantar que existe, en correspondencia con la teorıa, una simetrıa por cajas en los parametros de lamatriz de Mueller de acuerdo a lo expuesto en el parrafo anterior, aunque haya variaciones debidas alos defectos de construccion de las estructuras. Tambien adelanto aquı que existe otro tipo de simetrıa,inherente al sistema, en los patrones de los elementos a ambos lados de la direccion de backscattering.Esta simetrıa angular tambien se observa en los resultados, y se incluye en el apartado 5.3, relativo ala simetrıa.

En adelante, los resultados obtenidos por medio del PD en estructuras tipo rib y groove mos-traran como las propiedades de las matrices de Mueller de estos sistemas vienen determinadas por latransmitancia total del sistema (m00), las transmitancias de los estados propios del diatenuador, quecumplen la relacion t = t1 = 1− t2, el desfase entre estados propios del retardador δ, y los parametrosprincipales de despolarizacion di. Como es logico, y ya se adelanto en la seccion 3.2.1, si la matriz deMueller es como la representada en la ec. 5.1, el parametro t1 evolucionara de acuerdo al elemento m01

de la matriz (asociado al grado de polarizacion lineal, PL), mientras que el retardo δ estara ligado a loselementos m22 y m23. No obstante, las matrices analizadas no son puras, debido tanto a la integracionde estados de polarizacion causada por la ventana de observacion como a la falta de contraste en losmınimos de intensidad, con lo cual es necesario extraer la informacion de la despolarizacion del sistema(di y, en menor medida, ai y zi), para poder analizar de forma realista el comportamiento del resto deparametros independientes del sistema.

Al aplicar el PD en los distintos sistemas de ribs o grooves analizados, se ha podido comprobarcomo, por norma general, aparecen efectos de despolarizacion. No obstante, de todos los parametrosinvolucrados en la matriz M∆, los parametros principales de despolarizacion (d1, d2 y d3) son los queaparentan contener la informacion mas importante acerca del comportamiento del sistema. En lasfigs. 5.1 y 5.2, para el caso de ribs, y 5.3 y 5.4, para el de grooves, se muestran los parametros dedespolarizacion para cuatro sistemas monocomponente de Silicio (h = 1 µm; w = 3 y 4 µm). Todoparece indicar que, a pesar de que los parametros de polarizancia (zi) no siempre son despreciables, elgrueso de la informacion sobre la despolarizacion esta en los parametros principales de despolarizacion,incluso en aquellas muestras en las que zi ' 0 en todos los angulos de difusion. Es por esto que, enadelante, el analisis de los resultados se llevara a cabo utilizando los parametros di de la matriz M∆.

En el caso de las medidas realizadas con el DRCP, es suficiente el estudio de los cuadrantes 10 y30, que contienen tres ejemplos para observar la variacion con el ancho, y otros cinco para analizar lavariacion con la distancia entre componentes, todos ellos por duplicado (rib o groove). De este modo,los cuadrantes 20 y 40 ofrecen una casuıstica algo redundante con la anterior. Por otro lado, en elcaso del polarımetro SP no se realizaron medidas sobre grooves, centrando el estudio en la variacionde los parametros para las muestras de los cuadrantes 10 y 20 de la oblea, que abarcan todas lascombinaciones posibles de ribs con h = 2 µm.

Una parte de los resultados aquı dispuestos son de gran actualidad, en el sentido de que la tecnicaes similar a otras utilizadas en experimentos recientes [132, 134, 135]. Se trata de experimentos enmedios densos y sustancias quirales, que son de gran interes en biologıa y medicina ya que puedenservir para analizar “in-vivo” tejidos infartados o tumorales [35].

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5.1. ESTRUCTURAS TIPO “RIB” CAPITULO 5. RESULTADOS EXPERIMENTALES

Por otro lado, la caracterizacion polarimetrica de componentes opticos esta siendo, cada vez mas, unobjetivo tecnologico de la polarimetrıa actual [161, 162]. La eficiencia de los dispositivos de laboratorioesta ligada a la calidad de los componentes con los que se construyen [156], como ya se pudo demostraren la seccion 4.1. Los fabricantes y distribuidores deben exigirse cada vez mas precision, homogeneidady control en los procesos de elaboracion de los componentes. Las medidas y pruebas realizadas enel capıtulo 4 seran complementadas con una serie de resultados en este capıtulo (seccion 5.8), quedemostraran como el DRCP unido al PD es una herramienta ideal para la caracterizacion de elementosopticos y polarimetricos.

5.1. Estructuras tipo “Rib”

Estas estructuras (recordamos su geometrıa en la fig. 5.5) estaban ubicadas en los cuadrantes 1y 2 (mitad superior de la oblea, fig. 4.25, pg. 94). En el caso del polarımetro SP se midieron todaslas geometrıas fotolitografiadas, mientras que en el caso del DRCP unicamente se midieron, dentro delas geometrıas del primer cuadrante, aquellas estructuras con una rib y con dos ribs de w = 3 µm.Con esto, se han medido muestras monocomponente de distintos tamanos, y pares del mismo tamanosituados a varias distancias.

Figura 5.5: Perfil de dos ribs: Magnitudes de la Muestra (h× w − d).

5.1.1. Ribs de Silicio: Variacion con el Tamano

El problema inverso para el scattering de partıculas esfericas o cilındricas sobre sustratos (paralas cuales el principal parametro es el radio de su seccion transversal, R) ha sido estudiado y resueltocon exito [76]. Sin embargo, para elementos lineales de seccion rectangular existen dos parametrosprincipales, altura h y anchura w, que deben ser controlados. El hecho de que para una geometrıaesferica ambos parametros (h y w) esten ligados y su variacion se resuma en los cambios que sufra R,hace que su resolucion sea mas sencilla. En nuestro caso se hace necesario analizar no solo las medidasexperimentales, sino tambien el comportamiento teorico del patron de difusion en incidencia normal,cuando se varıa alguna de las dos dimensiones. Por medio de simulaciones realizadas con el Teoremade Extincion (seccion 2.2.2, pg. 23) y el FDTD (pg. 25), se han obtenido numericamente los valoresdel parametro m00 (transmitancia total del sistema). Este calculo ha sido realizado para un conjuntode sistemas de una rib de Au, en los cuales se ha variado h y w suavemente en torno a un valor central.Los resultados, fig. 5.6, muestran fuertes cambios en la distribucion angular de m00 para pequenasvariaciones en h, con desplazamientos o incluso desaparicion de algunos mınimos. Para variaciones delmismo orden en w, los cambios existen pero son mucho menos acusados.

Estos cambios en los patrones de difusion son indicadores del alto grado de dependencia con eltamano de la geometrıa, incluso para el caso teorico de un perfil rectangular perfecto. Este perfilteorico no es el que se espera para las muestras experimentales, debido al proceso de fabricacion y ala metalizacion por sputtering. Mas aun, para poder reproducir con cierta verosimilitud los resultadosexperimentales, los calculos teoricos deben ser redimensionados. Esto constituirıa, en sı mismo, unprocedimiento de ajuste para simular la geometrıa del objeto y, por tanto, para el analisis del problema

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CAPITULO 5. RESULTADOS EXPERIMENTALES 5.1. ESTRUCTURAS TIPO “RIB”

Figura 5.6: Patrones de difusion del parametro m00 calculados mediante ET para una rib de Au: a)variacion con la altura h, b) variacion con la anchura w.

inverso. Sin embargo, la dificultad de estas simulaciones reside en el hecho de que el perfil de la muestrareal puede ser causante de pequenas desviaciones en la posicion de los maximos. Este perfil, de acuerdoa lo expuesto en la seccion 4.4.2 (pg. 93), puede llegar a presentar una pendiente mayor de 0,05 µm/mm(para un ancho de haz aproximado de 1 mm en la muestra). Ademas, como se aprecia en la fig. 4.26(pg. 94), el suavizado que presentan las aristas de ribs y grooves, y los defectos de fabricacion en lamuestra, contribuyen a diferenciar el comportamiento experimental y el teorico.

Seguidamente se expondra la dependencia angular de los elementos de la matriz de Mueller paraaquellas geometrıas con una rib (h = 2 µm y w ∈ [1, 4] µm), medidas con el SP, acompanadosde los principales elementos resultantes de la aplicacion del PD (aquellos que presentan variacionessignificativas).

Figura 5.7 (w = 1 µm): El parametrom00 presenta una evolucion que no es exactamente la esperadaen un sistema difusor de seccion cuadrada (vease fig. 4.28(a), pg. 96). Los parametros mij muestraninformacion poco concluyente, salvo la asimetrıa de la muestra respecto del plano de scattering (quese aprecia claramente en los parametros de las cajas superior derecha e inferior izquierda de la fig.5.7(a)). Los defectos de fabricacion parecen ser mas severos para las muestras mas alejadas del centrode la oblea, como es el caso. No obstante, la aplicacion del PD ayuda a la interpretacion de este tipode resultados. Como se ira apreciando en el transcurso de este capıtulo, las pendientes abruptas enel parametro δ (desfase entre estados propios del retardador), se corresponden con valores maximosde diatenuacion, es decir, maximos de transmitancia en uno de los estados propios, ti, y mınimosen el otro, tj con j 6= i. Esta observacion puede apreciarse en todas las figuras que se expondranen los resultados relativos a las obleas fotolitografiadas ya que, cuando el sistema se comporta comoun polarizador ideal, la fase entre componentes es indeterminada (descomposicion polar de matricessingulares, pg. 46). Un estudio conjunto de los valores de t1 y δ apunta la situacion de dos mınimos detransmitancia para una de las componentes en torno a 700 y a 450. La transmitancia t1 presenta losdos mınimos en el lado izquierdo (θ < 0) y, pese a que en el derecho (θ > 0) no estan bien definidos,δ mantiene una estructura semejante en ambos lados, indicador inequıvoco de la presencia de losmınimos. El hecho de que estos valores esten exentos de despolarizacion, hace que su comportamientose pueda interpretar sin dudar de su evolucion. La asimetrıa en di, al igual que la presente en t1,tambien revela una fuerte asimetrıa respecto del propio eje de la rib.

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(a) Matriz de Mueller

(b) Transmitancia

(c) Desfase

(d) Param. Desp.

Figura 5.7: Difusion (medida con el SP) por una rib de Si (2 × 1 µm): Evolucion de la matriz deMueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ).


(b) Transmitancia

(c) Desfase

(d) Param. Desp.


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La mayor anchura de las estructuras tipo rib de las figs. 5.9 y 5.8 (w = 3 y 4 µm, respectivamente)mejora de forma notable la visibilidad de maximos y mınimos del patron de scattering, debido a lamayor seccion eficaz del difusor, mejor relacion de forma del elemento y menor peso relativo de losdefectos. En estas muestras monocomponente, los maximos y mınimos responden a una estructuradifraccional de anchura w [163, 159, 164], en la que no aparecen fenomenos de interaccion multiple.En el analisis del PD se puede apreciar la aparicion de trazas de despolarizacion asociadas a losmınimos del patron de scattering del elemento m00. La disminucion de la cantidad de luz que recibeel detector debida a estos mınimos provoca dos fenomenos relevantes: La aparicion de despolarizacion(debido al fondo despolarizante del sustrato) y la presencia de un maximo en la transmitancia de unode los estados propios del diatenuador (complementado con un mınimo en el otro), que conlleva unaumento en el grado de polarizacion lineal. Un mınimo pronunciado en el patron de scattering de laintensidad de una de las componentes ortogonales (onda S o P), acompanado de un valor mayor, queno necesariamente debe ser maximo, en la otra (respectivamente, onda P o S) da lugar a este aumentoen el grado de polarizacion lineal.

Resulta util pensar que, al observar la difusion del substrato en estos mınimos angulares, lo querealmente se esta observando es el efecto del speckle producido por el sustrato, con mas importancia re-lativa cuanto mas baja sea la intensidad difundida por la rib para un angulo de scattering determinado.El speckle mantiene un alto grado de polarizacion (luz totalmente polarizada en cada “grano”), peroal aumentar la ventana de observacion comenzamos a integrar estados de polarizacion, este procesoincoherente introduce la despolarizacion. Si la ventana de observacion fuera puntual, la resolucion nospermitirıa ver uno a uno los puntos de speckle, los cuales conservan en todo momento, para sistemasno dinamicos, la polarizacion. La perdida de contraste a medida que nos alejamos de la direccion deretrodifusion y la integracion en la observacion introducen despolarizacion, que disminuye a medidaque la deteccion se acerca a la normal [165]. De modo que, en general, la despolarizacion que apareceen los mınimos de intensidad tiende a ser mayor a medida que el angulo de scattering en el que sesituan estos mınimos se acerca a la rasante. En las figs. 5.9(d) y 5.8(d) se aprecia claramente estasituacion, que se ira haciendo patente segun vayan mostrando el resto de resultados relativos a lasobleas fotolitografiadas.

Como ya se comento anteriormente, otro aspecto importante es la asimetrıa que manifiestan losparametros mij a ambos lados de la normal, y que logicamente se traslada a los parametros resultantesdel PD. Esta asimetrıa se puede apreciar mejor en los pares de estructuras y cuanto mas ancha es lageometrıa, y sobre ella se llevara a cabo un estudio detallado mas adelante (seccion 5.3).

A continuacion se muestra (fig. 5.10) el resultado obtenido para una rib de Si (h = 1 µm y w = 3µm) mediante el DRCP. Los resultados obtenidos al realizar las medidas con el DRCP son semejantes,desde un punto de vista cualitativo, a los obtenidos vıa SP, salvo por la precision de la medida DRCP,sustancialmente mejor. La razon de incluir aquı este resultado es facilitar la comparacion de la rib(h = 2 µm y w = 3 µm) con su homologa de menor altura (h = 1 µm y w = 3 µm). Los resultadosrelativos a las ribs de Si con h = 1 µm y w = 1 y 4 µm, se encuentran en las figs. B.1 y B.2 del apendiceB, pg. 106. Es interesante recordar aquı que los defectos de fabricacion en las obleas de altura h = 1µm son significativamente menores que en las obleas de h = 2 µm.

Comparando los resultados obtenidos para ribs con alturas de 1 (medidas con el DRCP) y 2 µm(medidas con el SP), podemos observar como, en las muestras de h = 2 µm, el contraste entre mınimosy maximos de los distintos elementos de la matriz de Mueller es sensiblemente menor que en el caso delas muestras con h = 1 µm. Esto coincide plenamente con lo expuesto en el parrafo anterior. Ademas,esta mala resolucion en la visibilidad y el contraste de las muestras de h = 2 µm se traduce en unabaja sensibilidad de los parametros t1 y δ, cuyo perfil se suaviza a pesar de que la contribucion de ladespolarizacion es comparable o inferior al del caso con h = 1 µm.

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(b) Transmitancia

(c) Desfase

(d) Param. Desp.



(b) Transmitancia

(c) Desfase

(d) Param. Desp.

Figura 5.10: Difusion (medida con el DRCP) por una rib de Si (1× 3 µm): Evolucion de la matriz deMueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ).

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5.1.2. Ribs de Silicio: Variacion con la Distancia

En este apartado se muestran algunos de los resultados obtenidos para geometrıas tipo rib de doscomponentes (d ∈ [4, 8] µm), acompanados de los resultados de la aplicacion del PD. Al igual queen el caso monocomponente, los parametros que muestran variacion son m00, t1, δ y los parametrosprincipales de despolarizacion di. Logicamente, los efectos de interferencia y la interaccion entre ribsse ponen de manifiesto aumentando el numero de lobulos en el patron de difusion. Para tener unavision general de este comportamiento se han seleccionado las figs. 5.11 y 5.12, correspondientes condos pares de ribs de Si medidos con el DRCP, de tamano 1× 3 µm y d = 4 y 7 µm, respectivamente.

En el apendice B se muestran los graficos que hacen referencia a medidas realizadas con el SPsobre pares de ribs de Si de 2 × 3 µm (figs. B.3, B.4, B.5, B.6 y B.7). En ese mismo apendice, losgraficos B.8, B.9 y B.10, presentan el analisis sobre medidas del DRCP, en distintos pares de ribs deSi de 1× 3 µm.

Tanto en este apartado como en el anterior y, en general, en aquellos en los que trate las muestrasfotolitografiadas, resulta interesante analizar el comportamiento del desfase, δ. Si bien esta ligado alos parametros m22 y m23, su evolucion es mucho mas clara que la de dichos parametros, basicamentedebido a la extraccion de la despolarizacion remanente. La figura descrita por el desfase, es carac-terıstica del tipo de estructura, y mas adelante veremos que resulta de gran interes para discriminarentre estructuras rib o groove.

Las figs. 5.11 y 5.12 no presentan demasiados cambios con respecto a las precedentes. No obstante,se pueden realizar una serie de observaciones:

Se aprecia una mayor lobulacion en la transmitancia total del sistema, m00, con respecto a lafigura de la geometrıa monocomponente (5.10).

Ese aumento de la lobulacion se traduce en la aparicion de maximos y mınimos mas abruptosen el parametro t1.

Es importante apreciar que, pese a la mayor lobulacion en m00 de la fig. 5.12, la transmitanciat1 no presenta un mayor numero de maximos y mınimos, con respecto a la fig. 5.11.

El desfase δ mantiene su estructura en la region proxima a retrodifusion, mientras que a partirde ±500 varıa sensiblemente su comportamiento, posiblemente debido a efectos de sombreado[76].

Los parametros principales de despolarizacion di presentan un comportamiento similar en todoslos casos.

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(b) Transmitancia

(c) Desfase

(d) Param. Desp.

Figura 5.11: Difusion (medida con el DRCP) por dos ribs de Si (1× 3− 4 µm): Evolucion de la matrizde Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ).


(b) Transmitancia

(c) Desfase

(d) Param. Desp.

Figura 5.12: Difusion (medida con el DRCP) por dos ribs de Si (1× 3− 7 µm): Evolucion de la matrizde Mueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ).

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5.1.3. Ribs de Oro: Variacion con el Tamano

A continuacion, se muestran resultados similares a los del apartado 5.1.1, pero para muestrasmetalizadas mediante un sputtering de Au de unos 50 nm de espesor sobre la oblea de Si. Convienellamar la atencion sobre el comportamiento de los parametros de despolarizacion en las muestrasmetalizadas, que merecera un analisis particular en un apartado mas adelante.

Las figs. 5.13, 5.15 y 5.14 hacen referencia a los resultados obtenidos al medir con el SP la difusionde ribs de Au de altura constante, con dimensiones 2× 1, 2× 3 y 2× 4 µm, mientras que la fig. 5.16se corresponde con el analisis de una medida con el DRCP sobre una rib de Au de 1 × 3 µm. Losresultados relativos a las ribs de Au con h = 1 µm y w = 1 y 4 µm, se encuentran en las figs. B.11 yB.12, del apendice B, pg. 171.

Si comparamos la fig. 5.7, del apartado anterior, con la 5.13, podemos apreciar como el parametrom00 aparece claramente mas lobulado en el caso metalico. Asimismo, m11 es mucho mas constante y lamatriz, en general, presenta asimetrıas angulares menos notables. En cuanto a los parametros del PD,en la fig. 5.13 se aprecian mınimos muy claros en los parametros di (angulos de fuerte despolarizacion)y un cambio en δ para |θ| > 700.

De igual modo, comparando las figs. 5.9 y 5.8 con las homologas 5.15 y 5.14, se pueden apreciarligeras diferencias en la lobulacion de m00, mientras que la transmitancia, t1, mantiene un comporta-miento semejante. Se observa como aumenta la despolarizacion en las muestras metalicas, con valoresmenores en los parametros di. Los desfases, δ, presentan un suavizado en las discontinuidades para lasmuestras de Au, y diferencias evidentes en la zona rasante. Finalmente, la observacion de las figs. 5.10y 5.16 no introduce nueva informacion, corroborando las diferencias existentes en la despolarizacionpara muestras metalicas 5.16(d) y dielectricas 5.10(d).

Al igual que en el apartado anterior, podemos cotejar las figs. 5.15 y 5.16, comparando ribs homolo-gas de distinta altura (h = 2 y h = 1 µm, respectivamente). Se aprecia un ligero aumento en lalobulacion de m00 para la muestra con h = 2 µm que se traduce en la aparicion de nuevos maximosen t1. Tambien aumentan los cambios de pendiente en el patron de δ para esta muestra que, por otrolado, ve considerablemente suavizados los saltos abruptos presentes en la de menor tamano (h = 1µm). Por ultimo, conviene indicar que la despolarizacion (parametros di) es ligeramente mayor en elcaso de h = 1 µm.

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(b) Transmitancia

(c) Desfase

(d) Param. Desp.

Figura 5.13: Difusion (medida con el SP) por una rib de Au (2 × 1 µm): Evolucion de la matriz deMueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ).


(b) Transmitancia

(c) Desfase

(d) Param. Desp.

Figura 5.14: Difusion (medida con el SP) por una rib de Au (2 × 4 µm): Evolucion de la matriz deMueller y los parametros PD en funcion del angulo de scattering (θ).

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Polarimetría de sistemas difusores con microestructuras