SVEUCILIŠTE U ZAGREBUFAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RA CUNARSTVA

DIPLOMSKI RAD br. 975

Podvodna navigacija korištenjem

jednostrukog mjerenja udaljenostiFilip Mandic

Zagreb, srpanj 2014.

Umjesto ove stranice umetnite izvornik Vašeg rada.

Da bi ste uklonili ovu stranicu obrišite naredbu\izvornik.

iii

SADRŽAJ

1. Uvod 1

2. Matematicki model 2

2.1. Kinematicki model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2. Dinamicki model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1. Pojednostavljeni raspregnuti model plovila . . . . . .. . . . 5

2.3. Regulatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.1. Regulatori brzine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.2. Pracenje putanje korištenjem virtualnoga cilja . . . . . . . . . 7

2.4. Prošireni Kalmanov filtar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4.1. Jednadžbe proširenoga Kalmanovog filtra . . . . . . . . . .. 7

2.4.2. Modeliranje morskih struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4.3. Konacan nelinearni diskretni model sustava . . . . . . . . . . 9

3. Podvodna navigacija korištenjem jednostrukoga mjerenja udaljenosti 11

3.1. Podvodna akusticka oprema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2. Navigacijski filtar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2.1. Koracna navigacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2.2. Navigacija jednostrukim mjerenjima udaljenosti uzstacionarni

predajnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2.3. Navigacija jednostrukim mjerenjima udaljenosti uzmobilni pre-

dajnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3. Osmotrivost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3.1. Osmotrivost nelinearnih sustava prema Hermanu i Kreneru . . 19

3.4. Analiza lokalne slabe osmotrivosti za navigaciju jednostrukim mjere-

njima udaljenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4.1. Analiza lokalne slabe osmotrivosti za sustav s poznatim strujama 21

iv

3.4.2. Analiza lokalne slabe osmotrivosti za sustav s nepoznatim stru-

jama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4. Planiranje putanje za povecanje osmotrivosti sustava navigacije korište-

njem jednostrukih mjerenja udaljenosti 23

4.1. Planiranje putanje maksimizacijom determinante Fisherove informa-

cijske matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1.1. Formulacija optimizacijskoga problema . . . . . . . . . .. . 24

4.2. Planiranje putanje rješavanjem dinamickoga programa . . . . . . . . 26

4.2.1. Formulacija optimizacijskoga problema . . . . . . . . . .. . 26

5. Simulacijski rezultati 32

5.1. Navigacija jednostrukim mjerenjima udaljenosti uz stacionarni predajnik 32

5.1.1. Usporedba navigacije korištenjem jednostrukih mjerenja uda-

ljenosti i koracne navigacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2. Navigacija korištenjem jednostrukih mjerenja udaljenosti uz mobilni

predajnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2.1. Vozilo s konstantnim kursom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2.2. Vozilo s kvadratnom trajektorijom . . . . . . . . . . . . . . .44

5.2.3. Vozilo s kružnom trajektorijom . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2.4. Usporedba estimacije položaja vozila bez mjerenja apsolutnih

brzina u fiksnom koordinatnom sustavu . . . . . . . . . . . . 50

5.2.5. Utjecaj brzine kretanja predajnika po kružnoj putanji na osmo-

trivost vozila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2.6. Utjecaj promjera kružne putanje predajnika na osmotrivost plo-

vila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6. Zaklju cak 56

Literatura 58

v

1. Uvod

Ljudi od davnina teže istraživanju razlicitih prostora koji ih okružuju. Od kopnenih po-

vršina, mora i morskih dubina do neba i svemirskih prostranstva. Istraživanje svakog

od tih podrucja predstavljalo je, i dan danas predstavlja znatne izazove. Posebno se to

odnosi na istraživanje morskih dubina. Naime, iako smo okruženi morima i oceanima,

koji cine više od70 posto zemljine površine, uz dostupnu tehnologiju još uvijek vrlo

malo znamo o najvecim morskim dubinama i tajnama koje skrivaju. Razlozi tomu su

višestruki, od velikih hidrostatskih tlakova prisutnih navelikim dubinama, sigurnosti

ljudski posada pod morem pa sve do problema koji se javljaju pri navigaciji u dubi-

nama. U posljednje vrijeme sve je veci interes istraživaca za korištenjem autonomnih

podvodnih vozila (engl.Autonomous Underwater Vehicle ) koja bi samostalno mogla

pokriti velika podmorska prostranstva i omoguciti nove spoznaje.

Veliku prepreku uspješnom istraživanju podmorja predstavlja upravo navigacija

pod morem. Na kopnu su dostupni razni oblici lokalizacije vozila i tu se ponajprije

misli na globalni pozicijski sustav, odnosno GPS. Korištenje GPS signala pod vodom,

i opcenito komunikaciju pod vodom onemogucavaju fizikalna svojstva vode, naime,

pod vodom se elektromagnetski signali jako brzo prigušuju inije moguce uspostaviti

takav oblik komunikacije. Alternativna tehnika komunikacije, i ona koja se najviše ko-

risti kod podvodnih vozila, jest korištenje akustickih uredaja za komunikaciju. Osim

za komunikaciju takvi uredaji se koriste i za lokalizaciju vozila. Medutim, postojeca

rješenja koja se temelje na akustickoj navigaciji su neprakticna icesto preskupa.

Navedeni problemi u lokalizaciji jesu jedan od glavnih razloga zašto veliki interes

pobuduje istraživanje navigacije korištenjem jednostrukih mjerenja udaljenosti koje

predstavlja jeftiniju alternativu danas dostupnim tehnikama podvodne navigacije.

1

2. Matematicki model

Za potrebe sinteze algoritama upravljanja, navigacijskihfiltera, te simulacije sustava

nužan je matematicki model. Pri modeliranju vozila taj se model proucava kroz dva

razlicita dijela: kinematicki model koji sadržava iskljucivo geometrijske aspekte giba-

nja, te dinamicki model koji sadrži sile i momente koji uzrokuju gibanje sustava.

Prije definiranja modela plovila potrebno je definirati dva koordinatna sustava, po-

micni koordinatni sustav fiksiran uz samo plovilo{B}, te koordinatni sustav fiksiran

uz Zemlju{E}. Kordinatni sustav{E} smatra se nepokretnim i naziva se i inercijal-

nim koordinatnim sustavom. Koordinatni sustav vezan uz vozilo obicno je povezan

sa centrom mase vozila koje se modelira. Matematicki model sadrži linearne i kutne

brzine plovila, pozicije i orjentacije, te sile koje djeluju na vozilo. Navedene fizikalne

velicine, imenovane prema SNAME konvenciji, prikazane su u tablici 2.1 [6].

Slika 2.1: Koordinatni sustavi, preuzeto od Miškovic [8]

Napredovanje, zanošenje i dizanje su translacijska gibanja u odgovarajucim smje-

rovima u koordinatnom sustavu vezanom za vozilo, dok valjanje, poniranje i zaošijanje

predstavalju rotacijska gibanja oko odgovarajucih osi, takoder u koordinatnom sustavu

vezanom za vozilo. Navedena gibanja i odgovarajuci koordinatni sustavi prikazani su

slikom 2.1.

Iduci korak je definirati vektore koji sadrže položaje, rotacije, te translacijske i

2

Tablica 2.1: Oznake korištene za modeliranje plovila

Opis gibanja Sile, momenti linearne, kutne

brzine

položaji, kutovi

napredovanje (engl.surge) X u x

zanošenje (engl.sway) Y v y

poniranje (engl.heave) Z w z

valjanje (engl.roll) K p φ

posrtanje (engl.pitch) M q θ

zaošijanje (engl.yaw) N r ψ

rotacijske brzine sustava:

η =[

ηT1 ηT2]T, η1 = [x y z]T , η2 = [φ θ ψ]T (2.1)

ν =[

νT1 νT2]T, ν1 = [u v w]T , ν2 = [p q r]T (2.2)

gdjeη predstavlja vektor položaja u globalnom koordinatnom sustavu,ν vektor brzina

u koordinatnom sustavu vozila.

Vektor sila i momenataτ koji djeluju na vozilo i posljedica su djelovanja aktuatora

definiran je kao:

τ =[

τT1 τT2]

, τ1 = [X Y Z] , τ2 = [K M N ]T . (2.3)

Kod vodenih plovila za globalni koordinatni sustav se uzimaNED (engl.North-

East-Down) koordinatni sustav u kojemu su odgovarajuce osi usmjerene prema sje-

veru, istoku, te treca os prema pravilu vektorskoga produkta usmjrena prema središtu

Zemlje.

2.1. Kinematicki model

Kinematicki model daje vezu izmedu brzinaν u koordinatnom sustavu tijela{B} i

prve derivacije pozicija i kutevaη u nepokretnom koordinatnom sustavu vezanom za

Zemlju{E}.

Kako bi se dobile odgovarajuce rotacijske matrice koja daju vezu izmedu dva de-

finirana koordinatna sustava potrebno je na odgovarajuci nacin množiti rotacijske ma-

3

trice oko jedne osi koje su definirane sljedecim rotacijskim matricama:

Rx,φ =

1 0 0

0 cosφ sinφ

0 − sin φ cos φ

Ry,θ =

cos θ 0 − sin θ

0 1 0

sin θ 0 cos θ

Rz,ψ =

cosψ sinψ 0

− sinψ cosψ 0

0 0 1

(2.4)

Veza izmedu translacijskih brzina u globalnom koordinatnom sustavui koordinatnom

sustavu vozila dana je izrazom:

η1 = J1 (η2) ν1, (2.5)

dok je veza izmedu brzina rotacije u koordinatnom sustavu tijela i brzina rotacije u

globalnom koordinatnom sustavu dana sa:

η2 = J2 (η2) ν2. (2.6)

Matrice, prikazane u izrazu (2.4), predstavljaju redom rotaciju oko x, y i z osi. Mno-

ženjem navedenih matrica prema izrazu:

J1 (η2) = RTz,ψR

Ty,θR

Tx,φ, (2.7)

dobiva se matrica transformacija linearnih brzina:

J1 (η2) =

cosψ cos θ − sinψ cosφ+ cosψ sin θ sinφ sinψ sinφ+ cosψ cosφ sin θ

sinψ cos θ cosψ cosφ+ sinφ sin θ sinψ − cosψ sinφ+ sin θ sinψ cosφ

− sin θ cos θ sinφ cos θ cosφ

.

(2.8)

Matrica transformacija kutnih brzina izmedu pokretnoga i nepokretnoga koordinatnoga

sustava, dobiva se prema izrazu:

ν2 =

φ

0

0

+Rx,φ

0

θ

0

+Rx,φRy,θ

0

0

ψ

= J−12 (η2) η2, (2.9)

i glasi:

J2 (η2) =

1 sinφ tan θ cosφ tan θ

0 cosφ − sin φ

0 sinφ/ cos θ cosφ/ cos θ

. (2.10)

4

2.2. Dinamicki model

Dinamicki model vozila daje vezu izmedu sila i momentata koje djeluju na vozilo

τ i brzina ν koje vozilo ostvaruje. Dinamicki model plovila je izrazito nelinearan i

spregnut izmedu razlicitih stupnjeva slobode.

Mν +C (ν) ν +D (ν) ν + g (η) = τ (2.11)

Jednadžba (2.11) predstavlja nelinearnu dinamicku jednadžbu gibanja tijela sa šest

stupnjeva slobode gdje suM inercijalna matrica,C (ν) matrica Coriolisovih i centri-

petalnihclanova,D (ν) matrica prigušenja,g (η) vektor sila i momenata uzrokovanih

gravitacijskim djelovanjem, teτ vektor upravljackih sila i momenata. Upravljacke sile

i momenti vozila generiraju se razlicitim aktuatorima koji se nalaze na vozilu kao što su

propeleri, korimila i slicno. Izvod spregnutog matematickog modela sa šest stupnjeva

slobode moguce je naci u Fossen [6].

2.2.1. Pojednostavljeni raspregnuti model plovila

Kompletni spregnuti matematicki model koristi se primjerice u simulatorima gdje je

potrebno postici što vecu tocnost, i obuhvatiti sve dinamike odnosno efekte koji se

mogu javiti u sustavu. Za potrebe sinteze sustava upravljanja takvi modeli su suviše

kompleksni i neprakticni i stoga se pristupa pojedostavljivanju modela. Prvo pojed-

nostavljenje je limitiranje sustava sa šest stupnjeva slobode na na tri stupnja slobode

u horizontalnoj ravnini. Drugo pojednostavljenje odnosi se na plovila koja se krecu

malim brzinama što omogucuje zanemarenje utjecaja Coriolisove i centripetalne sile.

Efekti sprega koji se javljaju u modelu opisanom (2.11) posljedica su postojanja

sprežnihclanova u matrici dodane mase, postojanju Coriolisovih i centripetalnih sila,

te razlike izmedu centra mase plovila i središta koordinatnoga sustava tijela. Kao što

je navedeno pri malim brzinama utjecaj inercijalnih sila jezanemariv, a nepoklapanje

središta koordinatnoga sustava vozila i centra mase je zanemarivo za plovila malih

dimenzija.

Primjenom navedenih pojednostavljenja, kao u primjerice Miškovic [8], slijedi ras-

pregnuti model vozila u horizontalnoj ravnini sa tri stupnja stupnja slobode:

u = −β (u)αu

u+1

αuX (2.12)

v = −β (v)αv

v +1

αvY (2.13)

r = −β (r)αr

r +1

αrN, (2.14)

5

gdjeα· predstavlja dinamiku vozila u pojedinom stupnju slobode, aβ (·) predstavlja

otpor prilikom gibanja koji može biti konstantan ili linearan. U nastavku je korišten

linearan model opisan kao:

β (u) = βuu (u) |u| . (2.15)

Plovnost

U slucaju plovila koja mogu uranjati po vertikalnoj z-osi, potrebno je definirati icetvrti

stupanj slobode. Za razliku od horizontalne ravnine gdje nema utjecaja sile teže u z-

osi djeluje sila teža opisanaclanomW odnosno sila koja djeluje na plovilo kroz centar

mase tijela prema dolje, te plovnostB (engl.buoyancy) koja je posljedica sile uzgona

koja se javlja kod tijela koja se nalaze u fluidu i djeluje u suprotnom smjeru od sile

teže. Stoga dinamicki model u smjeru dizanja glasi:

w = −β (w)αw

w +1

αw(Z +W − B) (2.16)

2.3. Regulatori

U nastavku su navedeni regulatori korišteni za upravljanjevoziliom za potrebe analize

osmotrivosti sustava.

2.3.1. Regulatori brzine

Za upravljanje plovilima može se koristiti kaskadna struktura upravljanja gdje se u

najnižoj razini koriste regulatori brzine koji proracunavaju iznos upravljackih sila i

momenata kako bi se ostvarila željena brzina plovila. Za potrebe simulacija koristi se

PI regulator oblika:

τ = KP (ν∗ − ν) +KI

∫

(ν∗ − ν) dt+ τF (2.17)

gdje suν∗ = [u∗ v∗ r∗]T željene linearne i kutne brzine plovila. Znak ~oznacava

estimiranu vrijednost plovila zato što su brzine plovilacesto estimirane buduci da

ih je vrlo teško pouzdano mjeriti.Clan τF predstavlja dodatno predupravljanje koje

se dodaje upravljackome signalu kako bi se popravilo vladanje zatvorenoga kruga

upravljanja. Predupravljacka velicina koja se dodaje upravljackom signalu je oblika

τF = D (ν∗) ν∗, odnosno njome se kompenzira utjecaj hidrodinamickoga prigušenja

na dinamiku platforme.

6

2.3.2. Pracenje putanje korištenjem virtualnoga cilja

Za potrebe testiranja ponašanja navigacije korištenjem jednostrukoga mjerenja udalje-

nosti koristi se regulator s pracenjem putanje korištenjem virtualnoga cilja (engl.Vir-

tual target controller) kako bi se moglo promatrati kako pojedine trajektorije utjecu

na osmotrivost sustava i samim time na kvalitetu navigacije. Izvod algoritma pracenja

virtualnoga cija dan je u Bibuli et al. [2].

2.4. Prošireni Kalmanov filtar

Kalmanov filtar je rekurzivni stohasticki estimator koji se koristi kada želimo odrediti,

odnosno estimirati neku fizikalnu velicinu iz niza zašumljenih mjerenja. Kalmanovim

filtrom osim estimacije zašumljenih signala moguce je estimirati i varijable stanja koje

nisu mjerljive korištenjem modela procesa. On je optimalniestimator u slucaju da

estimiramo stanja linearnoga procesa i da dobivena mjerenja imaju šum opisan Ga-

ussovom normalnom razdiobom s ocekivanjem nula.

Sustavcija stanja želimo estimirati, u ovom slucaju navigacijski sustav, jest ne-

linearan, stoga nije moguce primijeniti klasicni Kalmanov filtar vec se primjenjuje

njegova modifikacija, prošireni Kalmanov filtar. Kod proširenoga Kalmanovoga filtra

nelinearni sustav se linearizira oko zadnjeg estimiranog stanja buduci da su situacije u

kojima možemo unaprijed odrediti nazivnu trajektoriju sustava su vrlo rijetke i stoga

se u takvim situacijama umjesto linearizacije modela sustava oko poznatoga nazivnoga

stanja sustava, provodi linearizacija oko trenutacnih estimiranih vrijednosti stanja sus-

tava. Kalmanov filtar estimira stanje na osnovi lineariziranoga modela, a zatim se li-

nearizirani model u sljedecem koraku izracunava oko estimirane vrijednosti dobivene

u prethodnom koraku estimacije.

2.4.1. Jednadžbe proširenoga Kalmanovog filtra

Sustavcije stanje želimo estimirati opisan je jednadžbama:

xk = fk−1 (xk−1,uk−1,wk−1) (2.18)

yk = hk (xk,vk) , (2.19)

pri cemu jexk diskretna jednadžba stanja,yk diskretna jednadžba mjerenja.wk i

vk su procesni i mjerni diskretni bijeli šum definirani normalnom razdiobom kao

wk ∼ (0,Qk), odnosnovk ∼ (0,Rk). Jednadžbe Kalmanovoga filtra mogu se po-

7

djeliti na jednadžbe predikcije kod kojih se na temelju modela sustava i prošloga sta-

nja sustava predivda stanje sustava u iducem koraku, te na jednadžbe korekcije kojima

se na temelju dobivenih mjerenja korigiraju predvidanja dobivena jednadžbama pre-

dikcije uzimajuci u obzir i mjerni šum prisutan u mjerenjima. Jednadžbe predikcije

glase:

x−k = f

(

x+k−1,uk−1

)

(2.20)

P−k = AP+

kAT + LQLT , (2.21)

pri cemu jex−k vektor predvidenih vrijednosti stanja u trenutkuk, aP−

k matrica kova-

rijance stanja koja daje informaciju o sigurnosti procjeneestimirane velicine.

Jednadžbe korekcije su:

Kk = P−kH

Tk

(

HkP−kH

Tk +MkRkM

Tk

)−1, (2.22)

x+k = x−

k +Kk

[

yk − hk(

x−k , 0

)]

, (2.23)

P+k = (I−KkHk)P

−k , (2.24)

pri cemu vrijedi:

A =∂f

∂x, L =

∂f

∂w, H =

∂h

∂x, M =

∂h

∂w. (2.25)

MatriceA, L, H, M dobivene su razvojem jednadžbi stanja i mjerenja u Taylorov

red oko radne tocke, odnosno njihovom linearizacijom.

Prošireni Kalmanov filtar se vrlocesto koristi u prakticnoj primjeni buduci da su

sustavi kojima želimo estimirati stanja vecinom nelinearni. No, za razliku od klasic-

noga Kalmanovoga filtra koji se primjenjuje na nelinearne sustave on nije optimalni

estimator buduci da se unosi aproksimacijska pogreška prilikom linearizacije oko esti-

mirane vrijednosti sustava. Takoder, ako je pocetno stanje filtra loše odabrano ili ako

je proces pogrešno modeliran, tada filter može vrlo lako divergirati zbog linearizacije.

Usprkos svemu tome prošireni Kalmanov filtar daje zadovoljavajuce performanse

i predstavlja standard u navigacijskim sustavima i GPS1 pozicioniranju.

2.4.2. Modeliranje morskih struja

U stvarnosti na proces, odnosno vozilo, djeluju i razliciti poremecaji koje je potrebno

uzeti u obzir. Kod plovila su to poremecaji poput morskih struja, valova i vjetrova. U

1(engl.Global Positioning System)

8

nastavkuce biti korišten model kojime se estimiraju i morske struje koje djeluju na

plovilo:

vx = 0 (2.26)

vy = 0 (2.27)

Morske struje su modelirane kao konstantne brzine u globalnom koordinatnom sustavu

koje daju doprinos kretanju vozila.

2.4.3. Konacan nelinearni diskretni model sustava

Za potrebe predikcije modela koristi se diskretni model dobiven diskretizacijom jed-

nadžbi (2.12) - (2.14), (2.16), te (2.26) - (2.27) koristeci aproksimativni diskretizacijski

postupak, koji vrijedi za dovoljno malo vrijeme uzorkovanja, opisan izrazima:

eAT ≈ I+AT, za maliT (2.28)(

eAT − I)

A−1B ≈ BT, za maliT. (2.29)

U nastavkuce biti korišten sljedeci nelinearni diskretni model plovila za potrebe esti-

miranja stanja sustava:

uk+1 = uk −βuuαu

|uk|ukT +1

αuXT + ξuT (2.30)

vk+1 = vk −βvvαv

|vk| vkT +1

αvY T + ξvT (2.31)

wk+1 = wk −βwwαw

|wk|wkT +1

αwZT +

1

αwvzkT + ξwT (2.32)

rk+1 = rk −βrrαr

|rk| rkT +1

αrNT + ξrT (2.33)

xk+1 = xk + cosψkukT − sinψkvkT + vxT (2.34)

yk+1 = yk + sinψkukT + cosψkvkT + vyT (2.35)

zk+1 = zk + wkT + vzT (2.36)

ψk+1 = ψk + rkT (2.37)

vxk+1 = vxk + ξvxT (2.38)

vyk+1 = vyk + ξvyT (2.39)

vzk+1 = vzk + ξvzT (2.40)

9

Varijablom stanjavz se modelira utjecaj gravitacijskoga djelovanja i plovnosti u z-osi.

Nesigurnosti u modelu definirane su Gaussovim bijelim šumom:

ξu ∼ N (0, σu) (2.41)

ξv ∼ N (0, σv) (2.42)

ξw ∼ N (0, σw) (2.43)

ξr ∼ N (0, σr) (2.44)

ξvx ∼ N (0, σvx) (2.45)

ξvy ∼ N (0, σvy) (2.46)

ξvz ∼ N (0, σvz) (2.47)

10

3. Podvodna navigacija korištenjem

jednostrukoga mjerenja udaljenosti

Površinska plovila za navigaciju koriste mjerenja dostupna od senzora poput GPS-a,

senzora baziranih na Dopplerovom efektu poput DVL-a1 za mjerenje brzina, inerci-

jalnih senzora koji mjere ubrzanja plovila. Medutim, u podmorju, zbog vrlo slabe

propagacije elektromagnetskih signala, GPS mjerenja nisudostupna što predstavlja

znatan problem prilikom podvodne navigacije. Stoga se autonomna podvodna vozila

oslanjaju na koracnu navigaciju, korištenjem mjerenja dobivenih od senzorabrzine i

inercijalnih senzora, zbog koje imaju neogranicnu lokalizacijsku pogrešku koja raste

s vremenom, brzinom ovisnom o kvaliteti senzora i navigacijskoga algoritma. Mnoga

autonomna podvodna vozila zbog toga povremeno izranjaju napovršinu kako bi dobili

GPS mjerenje i time odredili vlastitu poziciju. Alternativa je postavljanje podvodnih

LBL2 predajnika. To su sustavi gdje se u podmorje spušta veci broj predajnika i po-

tom se iz mjerenja udaljenosti vozila u odnosu na njih i poznavanja njihovoga tocnoga

položaja može tirangulacijom odrediti i položaj vozila. Medutim, njihovo postavlja-

nje predstavlja znacajan napor. Još jedna alternativa jest i korištenje USBL-a3 uredaja

koji osim mjerenja udaljenosti, daje i mjerenja kuta izmedu vozila i predajnika. Njegov

nedostatak javlja se u vrlo visokoj cijeni.

Sve ranije navedeno otvara vrata korištenju navigacije korištenjem jednostrukih

mjerenja udaljenosti buduci da je to jeftinije rješenje koje je vrlo prakticno za korište-

nje u stvarnim uvjetima. Mjerenja udaljenosti se dobivaju mjerenjem vremena koje je

potrebno akustickom signalu da dode od prijemnika do predajnika, te poznate brzine

propagacije zvuka pod vodom. Korištenje navigacije jednostrukim mjerenjim udalj-

nosti može se razmatrati kroz nekoliko razlicitih scenarija. Primjerice može se koristiti

prilikom potraga za izgubljenim predmetom koji emitira akusticki signal ili prilikom

1(engl.Doppler Velocity Log)2(engl.Long baseline)3(engl.Ultra short baseline)

11

povratka ronilice na pocetnu poziciju misije [5], ili za navigaciju do sigurne tocke u

slucaju kvara pojedinih senzora. Može se korititi za odredivanje tocne pozicije vozila

pri izvršavanju podvodnih misija gdje je potrebno dobro georeferencirati podrucje što

je jedna od važnijih primjena.

Prije nego se upustimo u detaljniju analizu problema navigacije korištenjem jed-

nostrukih mjerenja udaljenosti, u nastavku je dan kratki osvrt na svojstva propagacije

akusticnoga signala kroz vodu, te komunikacijskoj i navigacijskoj opremi koja se naj-

cešce koristi pri podvodnoj navigaciji.

3.1. Podvodna akusticka oprema

Podvodna akusticka komunikacija je tehnika slanja i primanja poruka pod vodom. Pos-

toje razlicite tehnike kojima je moguce ostvariti takvu komunikaciju, ali najcešce se

koriste hidrofoni. Podvodna komunikacija je problematicna zbogcimbenika poput

refleksija i propagacije signala razlicitim putevima, vremenski varijacijama komuni-

kacijskoga kanala, malenoj propusnosti komunikacijskogakanala i jakog prigušenja

osobiti na vecim udaljenostima. Zbog niže frekvencije akustickih signala podvodna

komunikacija ima znatno manju propusnost od zemaljske elektromagnetske komuni-

kacije. Ujedno brzina propagacije zvuka u vosi iznosi približno1500m/s.

Akusti cka komunikacija

Akusticki modemi u podvodnim sustavima danas su ucestala pojava. Opcenito po-

dvodni komunikacijski sustavi sastoje se od dva akusticka modema koji medusobno

izmjenjuju podatke, a uz to iz vremena slanja i primanja signala moguce je odrediti

medusobnu udaljenost dva modema odnosno objekta. Bitno je napomenuti kako s po-

rastom udaljenosti raste i varijanca mjerenja udaljenosti, buduci da zvuk putuje kroz

razlicite slojeve i podrucja pod vodom gdje se brzina zvuka mijenja, a pogreška se

akumulira [10].

USBL

Pri spominjaju navigacije korištenjem mjerenja udaljenosti bitno je spomenuti i USBL,

jednu od metoda podvodnog akusticnoga pozicioniranja.

Kompletni USBL sustav sastoji se od predajnika, koji se obicno montira ispod

broda, te od prijemnika smještenoga na dnu mora ili na podvodnom vozilu. Racunalo

izracunava položaj iz mjerenja udaljenosti i smjera koje mjeri predajnik. Princip rada

12

je da predajnik šalje akusticki signal u obliku chirp signala, odnosno sinusoidalnoga

signala s promjenjivom frekvencijom, koji detektira podvodni prijemnik, koji potom

odgovara s vlastitim akusticnim pulsom. Taj povratni puls detektira predajnik na po-

vršini mora. USBL sustav mjeri vrijeme prijenosa od pocetnog akusticnoga signala do

primitka povratnoga akusticnoga signala i iz veze brzine propagacije zvuka kroz vodu

i vremena odreduje udaljenost.

Kako bi se odredio tocan položaj osim udaljenosti, potrebno je da USBL proracuna

i kut izmedu predajnika i prijemnika. Kuteve mjeri prijemnik koji sadrži polje predaj-

nika. Glava primopredajnika obicno sadrži tri ili više predajnika koji su medusobno

udaljeni10 cm ili manje. Pomocu faznoga kašnjenja koje se javlja u polju predajnika

izracunava se kut u odnosu na podvodni prijamnik.

Bitno je spomenuti USBL u kontekstu navigacije korištenjemjednostrukih mjere-

nja udaljenosti buduci da oni omogucavaju vrlo jednostavno pozicioniranje podvodnih

sustava buduci da daju i mjerenje udaljenosti i položaja. No cijena USBL uredaja vi-

šestruko nadmašuje cijenu akustickih modema, a i dimenzijama su znatno veci, što

cini navigaciju jednostrukim mjerenjima udaljenosti korištenjem akustickih modema

privlacnima za korištenje.

DVL

DVL je uredaj koji šalje akusticne signale prema morskome dnu i koristi Dopplerov

efekt kako bi izmjerio brzinu vozila u odnosu na morsko dno. Njime se mogu odrediti

i morske struje koje djeluju na plovilo, kao i udaljenost izmedu vozila i morskoga dna.

3.2. Navigacijski filtar

U poglavlju 2.4 dan je matematicki opis proširenoga Kalmanovog filtra, za koji je

receno da je prakticki standard za navigaciju vozila, odnosno estimaciju njihovoga po-

ložaja. Takoder, dan je matematicki model kojim je moguce simulirati vladanje vozila

u okruženju s prisutnim konstantnim poremecajima za potrebe estimacije položaja.

U nastavku su prikazane specificnosti razlicitih izvedbi navigacijskoga filtra za slucaj

navigacije korištenjem jednostrukih mjerenja udaljenosti, no prije toga je dano objaš-

njenje koracne navigacije koje ukazuje zašto postoji potreba za povratnov velicinom

koja daje informaciju o položaju vozila.

13

3.2.1. Koracna navigacija

Koracna navigacija (engl.dead reckoning) je postupak proracuna trenutne pozicije vo-

zila, tako što se koristi poznata pocetna pozicija plovila i potom se trenutna pozicija

odreduje simuliranjem kinematickoga modela uz estimirane brzine. Kako bi koracna

navigacija bila uspješna potrebno je tocno poznavanje modela plovila i dobivena, od-

nosno estimirana, mjerenja trebaju biti tocna. U stvarnosti uvijek je prisutna greška

prilikom estimacije brzine vozila zbog netocnosti modela, ali i zbog toga što dobivena

mjerenja sadrže šum koji nije moguce opisati iskljucivo normalnom razdiobom, pojave

netipicnih vrijednosti, odnosno outliera, a i uvijek je moguca prisutnost pojedinih ne-

modeliranih konstantnih poremecaja. Može se reci da je to navigacija u otvorenoj petlji

buduci da ne postoji povratna veza po položaju kao što je to kod primjerice korištenja

GPS mjerenja ili USBL-a.

3.2.2. Navigacija jednostrukim mjerenjima udaljenosti uz staci-

onarni predajnik

Slucaj stacionarnoga predajnika se javlja kad imamo neki predajnik u vodi ili na povr-

šini vode za koji znamo tocan položaj i želimo mjerenjima udaljenosti odrediti položaj

vozila koje se giba u podrucju oko predajnika.

U nastavku se uvodi jedna pretpostavka, naime, bez gubitka opcenitosti može se

pretpostaviti da je predajnik smješten u ishodištu globalnoga koordinatnoga sustava.

Promatramo kinematicki model sustava:

x (t) = v (t) + vc (t) (3.1)

vc (t) = 0 (3.2)

d = ‖x (t)− b‖ (3.3)

gdjed predstavlja udaljenost izmedu predajnika i vozila,b položaj predjnika. Ako je

b ∈ R2 \ {0} možemo definirati transformaciju(x, vc) := (x− b,vc). Tada vrijedi

(

˙x, ˙vc)

:= (x, vc) i y = ‖x‖. Za uvedeni vektor stanja(

˙x, ˙vc)

predajnik je smješten

u ishodištu. To znaci da s matematickoga stajališta isto je nalazi li se predajnik u

ishodištu globalnoga koordinatnoga sustava ili u bilo kojoj drugoj tocki sve dok je

predajnik nepomican.

Vektor stanja navigacijskoga filtra, defniran je modelom opisanim jednadžbama

(2.30) - (2.40) i glasi

x =[

u v w r x y z ψ vx vy vz

]

(3.4)

14

Vektor mjerenja navigacijskoga filtra u slucaju stacionarnoga predajnika glasi:

y =[

um vm zm ψm dm

]T

, (3.5)

gdje je matematicki model mjerenja dan izrazima:

umk = uk + cosψkvxk + sinψkvyk + νu (3.6)

vmk = vk − sinψkvxk + cosψkvyk + νv (3.7)

ψmk = ψk + νψ (3.8)

zmk = zk + νz (3.9)

dmk =√

xk2 + yk2 + zk2 + νd (3.10)

Izrazi (3.6) i (3.7) predstavljaju nelinearni model mjeranja apsolutne brzine plovila u

fiksnom koordinatnom sustavu. Takva mjerenja moguce je dobiti korištenjem DVL-a.

Izrazi (3.8) i (3.9) predstavljaju mjerenja zaošijanja i mjerenja dubine. To su direktno

mjerljive velicine pomocu kompasa odnosno tlacnoga senzora. Sa stajališta navigacije

jednostrukim mjerenjima udaljenosti najzanimljiviji je izraz (3.10). On predstavlja

mjerenje udaljenosti, tj. euklidsku normu izmedu trenutnog položaja vozila i ishodišta

gdje je smješten predajnik. Na sve mjerenja djeluje i mjernišumν opisan Gaussovom

normalnom razdiobom s ocekivanjem nula.

Matrica mjerenjaH, definirana u izrazu (2.25), za navedeni vektor mjerenja i vek-

tor stanja jest:

H =

1 0 0 0 0 0 0 − sinψvx + cosψvy cosψ sinψ 0

0 1 0 0 0 0 0 − cosψvx − sinψvy − sinψ cosψ 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0x√

x2+y2+z2

y√x2+y2+z2

z√x2+y2+z2

0 0 0 0

(3.11)

Buduci da mjerenja udaljenosti ne dolaze u svakom trenutku uzorkovanja, potrebno je

defnirati i matricuH za navedeni slucaj. Kada mjerenja nisu dostupna vozilo koristi

koracnu navigaciju, a matrica H glasi:

H =

1 0 0 0 0 0 0 − sinψvx + cosψvy cosψ sinψ 0

0 1 0 0 0 0 0 − cosψvx − sinψvy − sinψ cosψ 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(3.12)

Morske struje su sporo promjenjive velicine i stoga se u modelu uzima da su kons-

tantne. Za vrjednosti matriceQ odabrana je mala vrijednost buduci da želimo održati

15

pretpostavku o konstantnosti struje, ali želimo ostaviti prostora za prilagodbu na pro-

mjene struje.

U matrici kovarijance stanjaP vrijednosti koje se odnose na brzinu strujevx i vy

postavljene su na velik iznos buduci da time kažemo navigacijskome filtru da su nam

navedene vrijednosti u pocetku sasvim nepoznate što omogucuje bržu konvergenciju

filtra prema tocnom estimatu brzina struje.

Postavljanje parametara filtra najveci je izazov korištenja Kalmanovog filtra. Velik

problem proširenoga Kalmanovoga filtra predstavlja i inicijalizacija, tj. postavljanje

pocetnih uvjeta. Odabir pocetnih uvjeta daleko od stvarnih vrijednosti može dovesti

do nestabilnosti i divergencije filtra.

3.2.3. Navigacija jednostrukim mjerenjima udaljenosti uzmobilni

predajnik

Slucaj u kojemu predajnik miruje zanimljiv je za primjene poputpronalaženja neke

pocetne tocke ronilice, lociranja objekata poput ‘crnih kutija‘ pri avionskim nesrecama.

No kao što je vec spomenuto nedostatak leži u tome što kako bi vozilo estimiralo

svoj položaj mora putovati dovoljno informativnom trajektorijom kako bi sustav bio

osmotriv i pritom ne može obavljati neke druge zadatake kojizahtjevaju trajektorije

koje nisu pogodne za estimaciju položaja. Stoga je zanimljiv pristup gdje je predajnik

takoder vozilo, površinsko ili podvodno, koje se može gibati. U tom slucaju vozilo koje

koristi navigaciju jednostrukim mjerenjima udaljenosti može odradivati svoj zadatak

bez obzira koliko je zadana trajektorija informativna, dokse predajnik giba kako bi

mjerenja udaljenosti u odnosu na vozilo bila dovoljno informativna, a samim time i

sustav navigacije osmotriv. Pri takvoj navigaciji bitno jeda predajnik dobro zna svoj

položaj. U slucaju površinskoga predajnika to je moguce korištenjem GPS mjerenja,

dok u slucaj podvodnoga predajnika korištenjam USBL-a ili ugradnjom vrlo preciznih

senzora za navigaciju u otvorenoj petlji.

Vektor stanja u slucaju navigacije mjerenjima udaljenosti u odnosu na mobilnipre-

dajnik je proširen i varijablama stanja vezanima uz sam mobilni predajnik. Takav navi-

gacijski filtar možemo nazvati centraliziranim zato što plovilo mora imati informacije

o svojim varijablama stanja kao i o varijablama stanja predajnika kako bi estimirao

svoj položaj.

Vektor stanja centraliziranoga Kalmanovoga filtra glasi:

x =[

u v w r x y z ψ vx vy vz uB vB rB xB yB ψB]

, (3.13)

16

odnosno, zapisano sažeto:

xCEKF =[

x xB

]T

(3.14)

xB =[

uB vB rB xB yB ψB]T

(3.15)

Predajnik je opisan iskljucivo kinematickim modelom. Pretpostavka koja se može

iscitati iz vektora stanja jest da je predajnik površinsko vozilo i ne može zaranjati bu-

duci da ne sadrži varijablu stanjazB . Takoder, predajnik je modeliran kao potpuno

aktuirano plovilo što znaci da se može gibati proizvoljno u svim smjerovima što omo-

gucava vecu flekibilnost algoritma pri primjeni na razlicita plovila. Medutim, to nije

potrebno za navigaciju jednostrukim mjerenjima udaljenosti buduci da je dovoljno da

plovilo ima brzinu napredovanja i zaošijanje da ostvari razli cite putanje, a i veci broj

varijabli stanja stavlja vece komunikacijske zahtjeve izmedu predajnika i vozila koje

estimira svoj položaj.

Vektor mjerenja u slucaju centraliziranoga Kalmanovoga filtra jest:

y =[

um vm zm ψm dm uBm vBM rBm xBm yBm ψBm

]T

, (3.16)

Vektor mjerenja (3.16) je proširen mjerenjima koja šalje stacionarni predajnik oznace-

nima ekponentomB. U modelu mjerenja promjenjen je i model mjerenja udaljenosti

koji sada predstavlja udaljenost izmedu mobilnoga oredajnika koji može imati pro-

izvoljan položaj i glasi:

dmk =

√

(xk − xBk )2+ (yk − yBk )

2+ (zk − zBk )

2+ νd (3.17)

Matrica mjerenjaH jest:

H =

1 0 0 0 0 0 0 − sinψvx + cosψvy cosψ sinψ 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 − cosψvx − sinψvy − sinψ cosψ 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 h1 h2 h3 0 0 0 0 0 0 0 0 h4 h5 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

,

(3.18)

17

pri cemu vrijedi:

h1 = (x− xB)/√

(x− xB)2 + (y − yB)2 + z2), (3.19)

h2 = (y − yB)/√

(x− xB)2 + (y − yB)2 + z2), (3.20)

h3 = z/√

(x− xB)2 + (y − yB)2 + z2), (3.21)

h4 = −(x− xB)/√

(x− xB)2 + (y − yB)2 + z2), (3.22)

h5 = −(y − yB)/√

(x− xB)2 + (y − yB)2 + z2). (3.23)

U trenucima kada mjerenja udaljenosti nisu dostupnaclanovi matriceh1 do h6

iznose nula, kao iclanovi vezani uz mjerenja dobivena od predajnika.

Kao što je ranije receno, akusticka komunikacija inherentno sadrži kašnjenje bu-

duci da postoji fizikalno ogranicenje brzine zvuka u vodi koje iznosi približno1500[m/s].

Za manje udaljenosti kašnjenje zbog propagacije signala semože zanemariti. Takoder,

propusnost akusticke komunikacije vrlo je niska i mjeri se u desecima bita po sekundi.

Stoga informacije o položaju i brzini predajnika, koje je potrebno poslati, nisu trenutne,

vec pokazuju prošlo stanje.

Navedeno kašnjenje može imati znacajan utjecaj prilikom korištenja centralizira-

noga navigacijskoga filtra koji sadrži mjerenja plovila, ali i mjerenja položaj i brzine

pomicnoga predajnika, buduci da zbog izrazito slabe propusnosti akusticke komunika-

cije potrebno je razmjerno puno vremena kako bi se te informacije prenijele do plovila,

a samim time one više nisu aktualne vec zakašnjele. U tom slucaju potrebno je primi-

jeniti neku od metoda estimacije koje uzimaju u obzir kašnjenje mjerenja. U nastavku

je takvo komunikacijsko kašnjenje zanemareno i smatrano dasu mjerenja dobivena

trenutacno bez kašnjenja.

3.3. Osmotrivost

U teoriji automatskog upravljanja osmotrivost (engl.observability) sustava je mjera

koja ukazuje koliko informacija možemo dobiti o varijablama stanja sustava poznava-

juci njegove izlaze. Ona je jedno od najvažnijih svojstava koje mora biti zadovoljeno

kako bi se moglo uspješno upravljati sustavom. Razmatramo linearni vremenski ne-

promjenjiv sustav zapisan u prostoru stanja:

x = Ax+Bu (3.24)

y = Cx. (3.25)

18

Navedeni sustav je osmotriv ako za bilo koje pocetno stanjex(0) = x0 postaji konacno

vrijemeT tako da je poznavanje izlaznoga signalay(t), t ∈ (0, T ) dovoljno kako bi se

mogao odreditix(0).

Je li sustav osmotriv može se utvrditi Kalmanovim testom osmotrivosti, odnosno

provjerom ranga matrice osmotrivosti koja glasi:

Olin =

C

− −CA

− −...

− −CAn−1

. (3.26)

Ako je matrica osmotrivosti 3.26 rangan, odnosno reda sustava, tada je linearni

sustav osmotriv.

3.3.1. Osmotrivost nelinearnih sustava prema Hermanu i Kreneru

Za razliku od linearnih sustava kod kojih je osmotrivost vrlo lako provjeriti testom

osmotrivosti 3.26, kod nelinearnih sustava postoji više razlicitih oblika osmotrivosti.

U nastavku su definirani oblici osmotrivosti prema Hermann iKrener [7].

Razmatra se nelinearni sustavΣ sljedecega oblika:

x = f (x,u) , x ∈ M (3.27)

y = h (x) . (3.28)

Kako bi se definirali razliciti oblici osmotrivosti uvodi se pojam neraspoznatljivosti

varijabli stanja (engl.indistinguishable states).

Definicija 1. Dva stanjax0, x1 ∈ M suneraspoznatljiva ako za svaki dozvoljen ulaz

u(t), t0 ≤ t ≤ t1 imaju identicne izlazne odzive:y (t;x0) ≡ y (t;x1) zat0 ≤ t ≤ t1.

NotacijaI(x0) predstavlja skup svih stanja koja su neraspoznatljiva odx0.

Nakon što je uveden pojam neraspoznatljivosti stanja, slijede definicije osmtrivosti:

Definicija 2. SustavΣ je osmotriv u x0 akoI (x0) = x0.

SustavΣ je osmotriv akoI (x0) = x0 za svakix ∈ M

19

Definicija 3. SustavΣ je lokalno osmotriv u x0, ako za svako otvoreno susjedno po-

drucjeN okox0 i za svako rješenje u potpunosti u podrucju N , IN (x0) = x0.

SustavΣ je lokalno osmotriv, akoIN (x0) = x0 za svakix ∈ M.

Bitno je istaknuti da je lokalna osmotrivost jace svojstvo od osmotrivosti.

Definicija 4. SustavΣ je slabo osmotriv (engl. weak observability) u x0 , ako postoji

susjedno podrucjeV okox0, gdjeI (x0) ∩ V = x0.

SustavΣ je slabo osmotriv, ako takvo susjedstvoV postoji za svakix ∈ M.

Definicija 5. SustavΣ je lokalno slabo osmotriv u x0 ako postoji susjedno podrucjeVokox0, gdjeIN (x0) ∩ V = x0, za sva rješenjax(t) u potpunosti u nekom susjedstvu

N odx0.

SustavΣ je lokalno slabo osmotriv ako takvo svojstvo vrijedi za svakix ∈ M.

Za linearne sustave navedeni koncepti osmotrivosti su medusobno ekvivalentni.

3.4. Analiza lokalne slabe osmotrivosti za navigaciju jed-

nostrukim mjerenjima udaljenosti

Lokalna slaba osmotrivost se može zakljuciti iz ranga matrice osmotrivosti koja je

dovoljan, ali ne i nužan uvjet osmotrivosti [7]. Uvjet osmotrivosti kaže da je sustav

lokalno slabo osmotriv u stanjux1 ako postoji ulazu takav da matricaO definirana

kao:

O =

∇L0fhj

∇L1fhj...

∇Lkfhj

, (3.29)

izracunata za stanjex1 je punog ranga za neki indeksk ∈ N. Lijeve derivacije skalar-

noga izlazahj definirane su kao:

L0fhj = hj (3.30)

L1fhj = ∇hj · f =

n∑

i=1

∂hj∂xi

· fi (3.31)

L2fhj = ∇

[

L1fhj

]

· f (3.32)

. . . (3.33)

Lnfhj = ∇[

Ln−1f hj

]

· f (3.34)

20

gdje∇ predstavlja operator gradijenta, aLαfhj predstavlja Lijevu derivaciju za pojedini

izlaz sustavahj .

3.4.1. Analiza lokalne slabe osmotrivosti za sustav s poznatim stru-

jama

Dan je kinematicki model sustava sa poznatim strujama, tj. apsolutnim brzinama giba-

nja u globalnom koordinatnom sustavu:

x = v (3.35a)

y =

[

h1

h2

]

=

[

12xTx

x3

]

(3.35b)

gdje jex = [x y z]T i v = [v1 v2 v3]. x3 predstavlja mjerenje dubine, dok je mjerenje

udaljenosti zapisano kao12xTx zbog lakšeg racuna. Matrica osmotrivosti navedenoga

sustava, kako je prikazano u Arrichiello et al. [1] glasi:

O =

∇L0fh1

∇L0fh2

∇L1fh1

∇L1fh2

=

x y z

0 0 1

v1 v2 v3

0 0 0

(3.36)

Iz matrice (3.36) jasno je vidljivo da je zadovoljen uvjet slabe osmotrivosti ukoliko su

brzine u horizontalnoj ravnini razlicite od nule, buduci da je tada matricaO punoga

ranga. Takoder bitno je uociti da osmotrivost sustava ne ovisi oz koordinati položaja,

odnosno o dubini buduci da je ona direktno mjerena velicina i u stvarnim situacijama

se mjeri razlicitim senzorima, kao što je ranije vec receno, stoga se u nastavku osmo-

trivost sustava može analizirati u horizontalnoj ravnini,a zakljucci se jednostavno daju

primjeniti i na trodimenzionalni slucaj.

3.4.2. Analiza lokalne slabe osmotrivosti za sustav s nepoznatim

strujama

Sada ponovimo analizu lokalne slabe osmotrivosti za sustavs nepoznatim strujama

opisan kinematickim modelom:

x = v + vc

vc = 0

y = h1 =1

2xTx

(3.37)

21

gdje suvc = [vcx vcy]T modelirane nepoznate konstantne struje. Izracunata matrica

osmotrivosti u navedenom slucaju glasi:

O =

x y 0 0

vx + vcx vy + vcy x y

0 0 2 (vx + vcx) 2 (vy + vcy)

0 0 0 0

(3.38)

Iz testa osmotrivosti ocito je da sustav koji se giba konstantnim brzinama u globalnom

koordinatnom sustavu nije osmotriv u slucaju nepoznatih struja, buduci da matrica

osmotrivosti nije punoga ranga.

Postavlja se pitanje može li se odabirom pogodne trajektorije ostvariti da sustav

zadovoljava test osmotrivosti? U sustavu (3.37) mijenja sekonstantni vektor ulaznih

brzinav tako da se sustav ne giba konstantnim brzinama, vec da brzina u x-osi bude

funkcija vrijednosti položaja y-osi:

v = [vx(y) vy] (3.39)

Matrica osmotrivosti za za slucaj promjenjive brzine u x-osi glasi:

O =

x y 0 0

x x∂vx(y)∂y

+ y x y

y ∂vx(y)∂y

2x∂vx(y)∂y

+ ∂2vx(y)∂y2

yx 2x x∂vx(y)∂y

+ 2y∂2vx(y)∂y2

y2 3∂2vx(y)∂y2

∂vx(y)∂y

y + x∂3vx(y)∂y3

y2 3∂vx(y)∂y

y 3∂vx(y)∂y

x+ 2x∂2vx(y)∂y2

y

(3.40)

Iz dobivene matrice osmotrivosti jasno je da kako bi sustav bio osmotriv vozilo ne

smije mirovati vec uvijek mora biti u pokretu, a funkcijska ovisnost brzinevx(y) mora

biti dva puta derivabilna kako bi sustav bio punoga ranga. Takvo svojstvo zadovoljava,

primjerice, funkcija oblikavx(y) = sin y, za koju je matrica osmotrivosti prikazana iz-

razom (3.41). Iz toga slijedi zakljucak da osmotrive trajektorije trebaju imati zakrivljen

karakter, te kontinuirane promjene brzine i akceleracije uodnosu na predajnik.

O =

x y 0 0

x x cos y + y x y

y cos y 2x cos y − sin (y)yx 2x x cos y + 2y

−sin(y)y2 3(− sin y) cos yx(cos y)y2 3 cos (y)y 3 cos yx+ 2x(− sin y)y

(3.41)

22

4. Planiranje putanje za povecanje

osmotrivosti sustava navigacije

korištenjem jednostrukih mjerenja

udaljenosti

Kod autonomnih podvodnih vozilacesto su unaprijed poznate trajektorije kojima že-

limo da se vozilo giba. Stoga je moguce unaprijed proracunati kojom putanjom se

treba kretati mobilni predajnik kako bi se u navigacijskom filtru postigla najveca mo-

guca informacija iz jednostrukih mjerenja udaljenosti, a time i osmotrivost sustava.

4.1. Planiranje putanje maksimizacijom determinante

Fisherove informacijske matrice

Jedan od postupaka planiranja putanje predajnika u svrhu odredivanja položaja plovila

predloženih u literaturi [9] jest i postupak odredivanja trajektorije maksimizacijom

determinante Fisherove informacijske matrice (engl.Fisher Information Matrix).

Razmatra se problem estimacije položaja stacionarnoga povodnoga objekta iz niza

jednostrukih mjerenja udaljenosti od mobilnoga predajnika ciji je položaj dobro poz-

nat. Optimalna trajektorija predajnika, odnosno ona trajektorija kojom se postižu naj-

bolja moguca mjerenja udaljenosti u svrhu estimacije položaja, može se odrediti po-

mocu odgovarajuci defnirane donje Cramer-Raove granice (engl.Cramer Rao lower

bound) ili Fisherove informacijske matrice. Fisherova informacijska matrica sadrži in-

formaciju o kvaliteti podataka koje pojedino mjerenje dajeo nepoznatom parametru

koji se estimira. Takoder, pod definiranim uvjetima Fisherova inforamcijska matrica

jest inverz Cramer Raove donje granice, pricemu Cramer-Raova donja granica oz-

nacava minimalnu varijancu pogreške bilo kojega estimatora bez biasa [11]. Drugim

23

rijecima, ona nam kaže koja je najbolja moguca procjena neke velicine koju možemo

postici estimatorom bez biasa. Stoga, minimizacijom donje Cramer Raove granice ili

maksimizacijom determinante Fisherove informacijske matrice može se odrediti tra-

jektorija predajnika kojace dati najbolja moguca mjerenja udaljenosti.

4.1.1. Formulacija optimizacijskoga problema

Fisherova informacijska matrica korištena u kontekstu estimacijskoga problema defini-

rana je kao ocekivana vrijednost logaritma derivacije funkcije vjerojatnosti. U Moreno-

Salinas [9] Fisherova informacijska matrica je definirana kao:

FIM =1

σ2

n∑

i=1

a2ix aiyaix aizaix

aixaiy a2iy aizaiy

aixaiz aiyaiz a2iz

(4.1)

pri cemuaij =∂‖qi−pi‖∂qi,j

, zai ∈ {1, . . . , n}, tej ∈ {x, y, z}. Tockaqi oznacava položaj

vozila, dok tockapi oznacava položaj mobilnoga predajnika. Na samom pocetku esti-

macije položaja predajnik se nalazi u tocki pk i potrebno je odrediti sljedecu tocku u

koju predajnik mora doci kako bi se maksimizriala determinanta Fisherove informacij-

ske matrice, odnosno povecala osmotrivost sustava. Nova tockapk+1 u kojoj se uzima

sljedece mjerenje iznosi:

pk+1 = pk +[

ξ cosαk+1 ξ sinαk+1 0]T

, (4.2)

gdje jeξ udaljenost koju predajnik prijede izmedu dva mjerenja udaljenosti, aα smjer

u kojem se predajnik giba u tom istom periodu. Izraz kojime seizracunava Fisherova

informacijska matrica u trenutkuk + 1 glasi:

FIMk+1 = FIM∗k + FIM ’

k+1, (4.3)

gdjeFIM∗k je informacijska matrica proracunata zan prethodnih mjerenja, dokFIM ’

k+1

predstavlja informacijsku matricu u iducem koraku, koja je funkcija kutaα. Iz nave-

denoga slijedi optimizacijski problem oblika:

α∗k+1 = arg max

αk+1

|FIMk+1| . (4.4)

24

−60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 120−40

−20

0

20

40

60

80

100

120

140

160Trajektorija

y [m]

x [m

]

predajniktrajektorija plovila

Slika 4.1: Trajektorija dobivena postupkom maksimizacije determinante FIM-a

Slika 4.1 prikazaju trajektoriju vozila dobivenu korištenjem postupka maksimizi-

ranja determinante Fisherove informacijske matrice. Vidljivo je da predajnik polako

konvergira prema optimalnoj trajektoriji. Takoder, vidljivo je da kad trajektorija pre-

dajnika postigne stacionarno stanje, dobivena trajektorija je elipsa, sa središtem iz-

maknutim iz ishodištacime se postiže stalna promjena mjerenja udaljenosti i kutau

odnosu na plovilociji se položaj estimira što je u skladu sa razmatranjima prikazanima

u poglavlju 3.3.

Slika 4.2 prikazuje iznos determinante Fisherove informacijske matrice za postu-

pak optimizacije s traženjem najboljega iduceg mjerenja.

25

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

1

2

3

4

5

6

7Vrijednost determinante FIM−a

t [s]

det(

FIM

)

Slika 4.2: Odziv determinante FIM-a

4.2. Planiranje putanje rješavanjem dinamickoga pro-

grama

Jedan od postupaka proracuna optimalne trajektorije mobilnoga predajnika predstav-

ljen je u Chitre [3]. Predloženi algoritam omogucava planiranje trajektorije jednoga

mobilnoga predajnika koji je u stanju opsluživati veci broj plovila koja žele estimirati

svoj položaj iz jednostrukih mjerenja udaljenosti. Za proracun optimalne upravljacke

velicine predajnika koristi se dinamicko programiranje.

Nakon što je proracunata optimalna putanja ona se može primjeniti na vozila koja

koriste razlicitim algoritmima estimacije položaja korištenjem jednostrukoga mjerenja

udaljenosti.

4.2.1. Formulacija optimizacijskoga problema

Pretpostavka je da predajnik dobro zna svoj položaj i emitira akusticni signal svakihτ

sekundi izcega zatim okolna vozila mjerenjem propagacije akusticnoga signala odre-

26

duju udaljenost do predajnika. Kao što je ranije pokaznao, dovoljno je problem formu-

lirati u dvodimenzionalnom podrucju buduci da su mjerenja dubine direktno mjerena

korištenjem razlicitih seznora na vozilu.

Udaljenost izmedu vozila i predajnika modelirana je kao slucajna varijabla nor-

malne razdiobe sa srednjom vrijednošcu∣

∣xjk − xBk

∣

∣ i varijancomσ:

Rjk = N

(∣

∣xjk − xBk

∣

∣ , σ2)

, (4.5)

gdjexjk oznacava položajj-og vozila, axBk položaj predajnika u trenutkuk. Greška

u estimaciji položaja svakoga vozila definirana je takoder kao slucajna varijabla s nor-

malnom razdiobom opisana sa tri parametra,θjk+1 smjerom minimalne pogreške,ǫjk+1

pogreškom u smjeru minimalne pogreške, te pogreškom u tangencijalnom smjeruǫjk+1:

θjk+1 = ∠(

xjk+1 − xBk+1

)

, (4.6)

ǫjk+1 = σ, (4.7)

(

ǫjk+1

)2=

(

ǫjkǫjk

)2

(

ǫjk cos γjk

)2+(

ǫjk sin γjk

)2 + ατ, (4.8)

pri cemu jeγjk = θjk+1−θjk, aα predstavlja konstantu koja je odredena tocnošcu es-

timata brzine svakoga pojedinoga vozila. Vozila koja imajubolju navigacijsku opremu

imaju bolji estimat brzine, te greška sporije raste s vremenom pa je i u tom slucaju

potrebno odabrati manju vrijednost za konstantuα.

Kinematicki model predajnika korišten u optimizacijskome problemudan je sa:

φBk+1 = φBk + δBk (4.9)

xBk+1 = xBk + τsB[

cosφBk+1 sinφBk+1

]T

, (4.10)

gdjesB predstavlja brzinu mobilnog predajnika.

Optimizacijski problem u k-tom koraku možemo zapisati kao:

minak

C (Sk, ak) (4.11)

s.t.∣

∣δBk∣

∣ ≤ ΦBmaxτ (4.12)

Dmin ≤∣

∣xjk+1 − xBk+1

∣

∣ ≤ Dmax ∀j (4.13)

gdje jeSk ={

xBk , φBk ,

(

ǫjk, ǫjk, ǫ

jk+1θ

jk

)

∀j}

stanje sustava u trenutkuk, aak upravljacka

velicina. Izrazi 4.12 i 4.13 predstavljaju nelinearna ogranicenja koja su nametnuta

sustavu. Prvo ogranicenje odnosi se na maksimalni kut promjene kursa koji predajnik

može ostvariti u jednom vremenskom korakuτ , te ogranicenje koje uvjetuje koliko

27

daleko se predajnik može udaljiti od ostalih plovila, te koliko im se smije približiti

kako ne bi došlo do sudara izmedu vozila i predajnika.

Za zadanu putanju plovila moguce je proracunati putanju predajnika minimizaci-

jom niza optimizacijskih problema defniranih kao:

{

δBk}

= arg min∑

j,k

[

(

ǫjk+1

)2+(

ǫjk+1

)2]

(4.14)

pri rješavanju optimizacijskoga problema koristi se dinamicki program koji pociva na

Bellmanovom nacelu optimalnosti koje kaže da optimalna upravljacka velicina ima

svojstvo da bez obzira koje je pocetno stanje sustava i pocetne odluke primjenjene

do odredenog stanja, preostale odluke moraju tvoriti optimalno rješenje s obzirom na

stanje koje je rezultiralo prvom odlukom. Slijedom toga vrijedi:

Vk (Sk) = minak’

T−1∑

k’=k

C (Sk’ , ak’ ) (4.15)

= mina∈A(Sk)

[

C (Sk, a) + minak’

T−1∑

k’=k+1

C (Sk’ , ak’ )

]

(4.16)

= mina∈A(Sk)

[C (Sk, a) + Vk+1 (Sk+1)] , (4.17)

gdjeVk (Sk) predstavlja trošak dobiven zadavanje optimalnih upravljacki velicina od

stanjaSk do kraja misije.

Optimalna upravljacka velicina u svakom koraku definirana je je kao:

ak = arg mina∈A(Sk)

[C (Sk, a) + Vk+1 (Sk+1)] . (4.18)

Za rješenje dinamickoga programa moguce je odabrati tzv.greedy strategiju. Ona

koristi trivijalnu aproksimaciju kriterijske funkcije u buducim koracima:

Vk(Sk) = 0 (4.19)

Kod greedy strategije se ne uzimaju u obzir buduce vrijednosti upravljacke velicine, i

vrijednost kriterijske funkcije ovisi iskljucivo o odabiru upravljacke velicine u k-tom

koraku.

Slika 4.3a prikazuje optimalnu trajektoriju za mirovanje vozila u slucaju primjene

greedy strategije, dok slika 4.3b prikazuje promjenu vrijednostikriterijske funkcije

kroz vrijeme. Odabrano ogranicenje maksimalnoga promjene kuta gibanja predajnika

iznosi0.1 [rad/s], dok ogranicenja udaljenosti iznose 100 metara za maksimalnu i 1

metar za minimalnu udaljenost.

28

−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100−100

−50

0

50

100

150Trajektorija

y [m]

x [m

]

predajniktrajektorija plovila

(a) Trajektorija dobivena postupkom rješavanja dinamickoga programagreedy strategijom

0 50 100 1502

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5Vrijednost kriterijske funkcije

t [s]

V

(b) Vrijednost optimizacijske funkcije zagreedy strategiju

Slika 4.3: Optimizacija korištenjemgreedy strategije29

Za rješenje problema moguce je odabrati ilook-ahead strategiju koja daje nešto

bolje rezultate, ali njena racunska složenost znatno raste povecanjem broja korakaL.

Kod nje se prilikom optimizacije u obzir uzima i sljedecihL tocaka trajektorije vozila i

proracunava se optimalan smjer kretanja predajnika zaL koraka pricemu se na sustav

primjenjuje samo kutαk za trenutni korak, a u sljedecem koraku se postupak ponavlja.

Aproksimacija kriterijske funkcije u tom slucaju jest:

Vk(Sk) = minak’

k+L−1∑

k’=k

C (Sk’ , ak’ ) , L ∈ Z+ (4.20)

Slika 4.4a prikazuje optimalnu trajektoriju za mirovanje vozila u slucaju primjenelook

ahead strategije, dok slika 4.4b prikazuje promjenu vrijednostikriterijske funkcije kroz

vrijeme.

Iz slika 4.3b i 4.4b vidljivo je da primjenomlook ahead strategije predajnik ko-

nvergira prema plovilu znatno brže nego u slucajugreedy strategije. To je ocekivano

buduci da kodlook ahead strategije optimizacijski problem ukljucujeL iducih položaja

koje vozilo treba posjetiti i buduci da posjeduje više informacija o buducem kretanju

predajnik može prije konvergirati prema vozilu.

Prednosti korištenja dinamickoga programa za planiranje trajektorije predajnika

leži u tome što je moguce ukljuciti razlicita ogranicenja u dinamicki program. Primje-

rice, moguce je ukljuciti i energiju koju je potrebno utrošiti za pojedinu trajektoriju pa

optimirati putanju i po tom kriteriju.

Nedostatak postupaka proracuna optimalne trajektorije predajnika leži u tome što je

unaprijed potrebno znati trajektoriju vozila, odnosno tocni položaj vozila u odredenom

trenutku misije što nije uvijek slucaj.

30

−80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100−40

−20

0

20

40

60

80

100

120

140Trajektorija

y [m]

x [m

]

predajniktrajektorija plovila

(a) Trajektorija dobivena postupkom rješavanja dinamickoga programalook ahead strategijom

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5010

12

14

16

18

20

22

24

26

28Vrijednost kriterijske funkcije

t [s]

V

(b) Vrijednost optimizacijske funkcije zalook ahead strategiju

Slika 4.4: Optimizacija korištenjemlook ahead strategije31

5. Simulacijski rezultati

Za potrebe simuliranja navigacije jednostrukim mjerenjima udaljenosti u program-

skom paketu MATLAB projektrani su odgovarajuci prošireni Kalmanovi filtri prika-

zani u poglavlju 3.2. Kvaliteta estimacije položaja korištenjem mjerenja udaljenosti

projektiranih Kalmanovih filtara testirana je u nekoliko razlicitih scenarija s obzirom

na kretanje vozilaciji se položaj estimira:

– vozilo se giba konstantnim kursom,

– vozilo se giba kvadratnom trajektorijom,

– vozilo se giba kružnom putanjom,

te s obzirom na predajnik koji može biti:

– stacionarni predajnik,

– mobilni predajnik sa kružnom trajektorijom,

– mobilni predajnik s unaprijed proracunatom optimalnom trajektorijom.

U simulacijama je pretpostavljeno da mjerenja udaljenostipristižu u navigacijski

filtar svakih10 sekundi.

5.1. Navigacija jednostrukim mjerenjima udaljenosti uz

stacionarni predajnik

Slika 5.1 prikazuje estimirani položaj plovila za slucaj kada se plovilo krece trajek-

torijom s konstantnim kursom. Iz odziva je vidljivo da se koordinata u smjeru x-osi

ispravno estimirala, dok u slucaju y-osi estimat se gotovo nije promijenio u odnosu na

pocetnu vrijednost inicijaliziranu u navigacijskom filtru. To potvrduje teoretska raz-

matranja dana u poglavlju 3.3 gdje je pokazano da za gibanje skonstantnim kursom uz

nepoznate morske struje nije moguce odrediti koordinatu položaja okomitu na smjer

gibanja vozila, odnosno sustav nije osmotriv.

32

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

50

100

150

200

250

300Trajektorije predajnika

y [m]

x [m

]

plovilostacionarni predajnikestimirana trajektroija

Slika 5.1: Estimirana trajektorija plovila za gibanje s konstantnim kursom

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Brzina struje vx

t [s]

v x [m/s

]

idealnostacionarni predajnik

Slika 5.2: Estimirana vrijednost morske struje

33

Iz estimata brzine morskih struja prikazanima slikom 5.2 vidljivo je da je morska

struja ispravno estimirana. To je posljedica korištenja DVL mjerenja koja mjere ap-

solutnu brzinu plovila u fiksnom koordinatnom sustavu. Korištenjem navedenih DVL

mjerenja, te poznavanjem modela vozila, odnosno simuliranjem postignutih brzina na

temelju dinamickoga modela sadržanoga u Kalmanovom filtru i poznatih upravljackih

sila i momenata, moguce je estimirati morske struje.

Slika 5.3 prikazuje estimiranu trajektoriju sustava za kružnu trajektoriju. Teoretska

razmatranja iz poglavlja 3.3, kao i teoretska razmatranja prikazana u Crasta et al. [4],

kažu da sustav zadovoljava test osmotrivosti ako se trajektorija plovila mijenja tako

da se postigne promjena kuta izmedu plovila i predajnika, te promjena udaljenosti

izmedu plovila i predajnika. Trajektorija plovila koja zadovoljava navedeno svojstvo

jest kružna trajektorija. Slika 5.3 potvrduje navedena razmatranja, buduci da jasno vidi

kako navigacijski filtar pri gibanju kružnom trajektorijomispravno estimira položaj

plovila.

0 10 20 30 40 50 600

10

20

30

40

50

60Trajektorije predajnika

y [m]

x [m

]

plovilostacionarni predajnikestimirana trajektroija

Slika 5.3: Estimirana trajektorija plovila za kružnu trajektoriju

Zanimljivo je promotriti i trag matrice, odnosno zbroj dijagonalnih elemenata ma-

trice kovarijance stanjaP prikazane slikom 5.4. Vec ranije je receno da se mjerenja

udaljenosti dobivaju svakih10 sekundi i to se jasno vidi iz traga matrice buduci da u

34

intervalima trag matrice raste jer nemamo mjerenja položaja i nesigurnost je sve veca,

dok se u trenutku kada mjerenja pristignu trag skokovito smanjuje.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 50020

30

40

50

60

70

80

90

t [s]

tr(P)

stacionarni predajnik

Slika 5.4: Trag matrice kovarijance stanja za slucaj kružne trajektorije

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

20

40

60y koordinata

t [s]

y [m

]

idealnostacionarni predajnik

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−15

−10

−5

0

5

yerr

t [s]

y err [m

]

stacionarni predajnik

Slika 5.5: y-koordinata pri gibanju kružnom trajektorijom

35

Takoder moguce je uociti i kako trag kovarijance raste kako se plovilo udaljava od

predajnika. Ako se pogleda slika 5.5 vidljivo je da, primjerice, u vremenu izmedu200

i 250 sekundi kada je vozilo najbliže predajniku i trag matrice kovarijance stanjaP jest

najmanji.

Slika 5.6 prikazuje estimiranu trajektriju plovila za slucaj kada se predajnik nalazi u

ishodištu, a plovilo vozi kružnu trajektoriju s središtem kružnice upravo u ishodištu. Pri

takvom gibanju mjerenja udaljenosti su konstantna i opet nisu dovoljno informativna

kako bi se odredio tocan položaj plovila na kružnici, odnosno nije moguce odrediti

tocan kut plovila u odnosnu na predajnik. Konvergencija estimata je vrlo spora i tek

kada se poklope estimirana vrijednost i tocan položaj dalje se postiže dobra estimacija

položaja što se može vidjeti u slici 5.7.

−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20Trajektorije predajnika

y [m]

x [m

]

plovilostacionarni predajnikestimirana trajektroija

Slika 5.6: Estimirana trajektorija plovila za kružnu trajektoriju sasredištem u predajniku

36

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−30

−20

−10

0

10

20

30y koordinata

t [s]

y [m

]

idealnostacionarni predajnik

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−10

0

10

20

30

40

yerr

t [s]

y err [m

]

stacionarni predajnik

Slika 5.7: Estimirana y koordinata za kružnu trajektoriju sa središtem u predajniku

5.1.1. Usporedba navigacije korištenjem jednostrukih mjerenja uda-

ljenosti i kora cne navigacije

Koracna navigacija opisana je u poglavlju 3.2.1. U nastavku su prikazani simulirani

odzivi u kojima se usporeduje kvaliteta navigacije vozila koje se oslanja iskljucivo na

senzore koji se nalaze instalirani na vozilu, u odnosu na vozilo koje dobiva jednostruka

mjerenja udaljenosti u odnosu na vanjski predajnik s poznatom lokacijom.

Slika 5.8 prikazuje estimiranu trajektoriju za slucaj kada su dostupna jednostruka

mjerenja udaljenosti i za slucaj u kojemu se položaj estimira korištenjem iskljucivo

mjerenja brzina, dobivenih primjerice DVL-om. Stacionarni predajnik je smješten u

ishodištu globalnoga koordinatnog sustava. U simulaciji su uvedene velike pogreške

mjerenja apsolutne brzine plovila, kako bi se jasnije vidiorast lokalizacijske pogre-

ške kod koracne navigacije, ali i pokazalo da uz netocna mjerenja brzine, pogreška

u estimaciji položaja kod navigacije korištenjem jednostrukoga mjerenja udaljenosti

je ogranicena. Iz odziva je jasno vidljivo da zbog netocnosti u modelu, mjerenjima i

zbog prisutnosti konstanih struja koje djeluju na vozilo bez dostupnih mjerenja uda-

ljenosti od stacionarnoga predajnika, greška estimata položaja s vremenom sve više

37

raste, odnosno neogranicena je u vremenu. Slika 5.10 pokazuje kako greška estimacije

koordinata položaja raste kroz vrijeme.

−30 −20 −10 0 10 20 30−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

y [m]

x [m

]Estimirana trajektorija

idealnostacionarni predajnikkoracna navigacija

Slika 5.8: Usporedba estimiranih trajektorija za koracnu navigaciju i navigaciju korištenjem

jednostrukih mjerenja udaljenosti

Izostanak mjerenja udaljenosti je jasno moguce uociti u odzivu traga matrice kova-

rijance stanjaP , prikazane slikom 5.9, gdje trag matrice u slucaju koracne navigacije

neograniceno raste, za razliku od traga matrice kovarijance stanja uslucaju korištenja

jednostrukih mjerenja gdje je trag ogranicen. Rast matriceP ukazuje na to da možemo

sve manje vjerovati estimiranim velicinama, buduci da ne dobivamo neka vanjska mje-

renja kojima bi se ogranicila moguca greška estimacije.

38

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 50020

40

60

80

100

120

140

160

t [s]

tr(P)

stacionarni predajnikkoracna navigacija

Slika 5.9: Usporedba traga matrice P u slucaju koracne navigacije i navigacije jednostrukim

mjerenjima udaljenosti

Iz ovdje navedenih razmatranja moguce je ustvrditi da u slucaju stacionarnoga pre-

dajnika trajektorije plovila moraju biti dovoljno informativne kako bi navigacijski filtar

bio u mogucnosti ispravno estimirati položaj. U situacijama kada plovilo, odnosno ro-

nilica, mora izvršavati razlicite zadatke to je veliki nedostatak buduci da ronilica mora

prekidati svoj trenutni zadatak u slucaju da se giba ravnim trajektroijama, te izvršti neki

dovoljno informativni manevar kako bi ustvrdila svoju poziciju, pri cemu gubi vrijeme

i energiju na lokalizaciju. Rješenje za navedeni problem leži u korištenju mobilnih pre-

dajnika koji se gibaju trajktorijama za koje su mjerenja udaljenosti koje dobiva vozilo

dovoljno informativna.

39

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−60

−40

−20

0

20

40x koordinata

t [s]

x [m

]

idealnostacionarni predajnikkoracna navigacija

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−5

0

5

10

15

20

25

xerr

t [s]

x err [m

]

stacionarni predajnikkoracna navigacija

(a) x-koordinata

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−30

−20

−10

0

10

20

30y koordinata

t [s]

y [m

]

idealnostacionarni predajnikkoracna navigacija

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−15

−10

−5

0

5

yerr

t [s]

y err [m

]

stacionarni predajnikkoracna navigacija

(b) y-koordinata

Slika 5.10: Usporedba estimata položaja koracne navigacije i navigacije jednstrukim mjere-

njima udaljenosti

40

5.2. Navigacija korištenjem jednostrukih mjerenja uda-

ljenosti uz mobilni predajnik

U nastavku su prikazani rezultati simulacija za slucaj mobilnoga predajnika. Uspore-

dene su kružna trajektorija predajnika, te optimalna trajektorija dobivena rješavanjem

dinamickoga programa korištenjemgreedy strategije opisanoga u poglavlju 4.2. Tako-

der, za usporedu prikazani su i rezultati estimacije položaja vozila za slucaj stacionar-

noga predajnika.

5.2.1. Vozilo s konstantnim kursom

−30 −20 −10 0 10 20 30 40−20

0

20

40

60

80

100

120

140

160Trajektorije predajnika

y [m]

x [m

]

idealnostacionarni predajniktrajektorija 1trajektorija 2

Slika 5.11: Trajektorije predajnika za slucaj konstantnoga kursa vozila

Slika 5.11 prikazuje trajektoriju vozilaciji se položaj estimira, trajektorije mobilnih

predajnika, te položaj stacionarnoga predajnika. Oznaka “idealno” oznacava stvarnu

41

trajektoriju sustava, “trajektorija1” oznacava predajnik s kružnom trajektorijom po-

lumjera20 m, dok “trajektorija 2” predstavlja optimalnu trajektoriju izracunatu rješa-

vanjem dinamickoga programa korištenjem “greedy” strategije. Vidljivoje da opti-

malna trajektorija prati kretanje vozila po pravcu spiralnom trajektorijomcije je sredi-

šte izmaknuto od pravca kretanja vozila kako bi se postiglacešca promjena mjerenja

udaljenosti i dobila kvalitetnija mjerenja. To ujedno pokazuje da je udaljenost vozila

od predajnika iznimno bitna za estimaciju položaja korištenjem jednostrukih mjerenja

udaljenosti.

Slika 5.12 prikazuje estimiranu trajektoriju vozila za navedene trajektorije predaj-

nika. Iz odziva je odmah vidljivo da stacionarni predajnik ne može estimirati koordi-

natu položaja okomitu na smjer gibanja što je vec ranije pokazano. Kružna trajektorija

i optimalna trajektorija predajnika ispravno estimiraju položaj vozila s greškom ma-

njom od1 metra. Ipak vidljivo je, posebno iz promjene estimata položaja u vremenu

prikazanom na slici 5.13 kako filtar prije konvergira za proracunatu optimalnu trajek-

toriju predajnika.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−20

0

20

40

60

80

100

120

140

y [m]

x [m

]

Estimirana trajektorija

idealnostacionarni predajniktrajektorija 1trajektorija 2

Slika 5.12: Estimirana trajektorija vozila za slucaj konstantnoga kursa

42

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−20

0

20

40

60

80

100

120

140x koordinata

t [s]

x [m]

idealnostacionarni predajniktrajektorija 1trajektorija 2

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−2

0

2

4

6

8

10

12

14

xerr

t [s]

x err [m

]

stacionarni predajniktrajektorija 1trajektorija 2

(a) Estimat x koordinate

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10y koordinata

t [s]

y [m]

idealnostacionarni predajniktrajektorija 1trajektorija 2

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

yerr

t [s]

y err [m

]

stacionarni predajniktrajektorija 1trajektorija 2

(b) Estimat y koordinate

Slika 5.13: Estimat koordinata položaja za slucaj konstantnoga kursa vozila

43

5.2.2. Vozilo s kvadratnom trajektorijom

Slika 5.14 prikazuje trajektorije predajnika za slucaj kvadratne trajektorije vozila. Kao

i u prethodnome slucaju imamo predajnik s kružnom trajektorijom polumjera20 me-

tara, te optimalnu trajektoriju proracunatu dinamickim programom. Za kvadratnu tra-

jektoriju stacionarni predajnik postiže nešto bolje rezultate buduci da dolazi do pro-

mjena kursa, i svakom promjenom transketa estimat položajase poboljšava što se jasno

vidi na slici 5.15. Medutim, na pojedinim transektima ostaje problem prisutan kod

konstantnoga kursa buduci da tangencijalnu komponentu položaja navigacijski filtar

na vozilu nije u stanju ispravno estimirati.

−30 −20 −10 0 10 20 30 40 50−20

−10

0

10

20

30

40

50Trajektorije predajnika

y [m]

x [m

]

idealnostacionarni predajniktrajektorija 1trajektorija 2

Slika 5.14: Trajektorija predajnika za slucaj kvadratne trajektorije vozila

44

−10 −5 0 5 10 15 20 25 30−5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

y [m]

x [m

]

Estimirana trajektorija

idealnostacionarni predajniktrajektorija 1trajektorija 2

Slika 5.15: Estimirana trajektorija vozila za slucaj kvadratne trajektorije

Na slici 5.16 možemo vidjeti estimat brzine zanošenja. Buduci da vozilo koristi

mjerenja brzine dobivena od DVL-a može se primjetiti da vozilo estimira svoju brzinu

podjednako dobro neovisno o trajektoriji predajnika. U slucaju stacionarnoga predaj-

nika, estimat brzine konvergira i nešto brže buduci da sustav ima manji broj varijabli

stanja koje je potrebno estimirati. Time se pokazuje opravdanost da je prilikom analize

osmotrivosti sustava u poglavlju 3.3 razmatran iskljucivo kinematicki model vozila.

45

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3Brzina zanosenja v

t [s]

v [m

/s]

idealnostacionarni predajniktrajektorija 1trajektorija 2

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

verr

[m/s]

t [s]

v err [m

/s]

stacionarni predajniktrajektorija 1trajektorija 2

Slika 5.16: Estimat brzine zanošenja za slucaj kvadratne trajektorije vozila

46

5.2.3. Vozilo s kružnom trajektorijom

Slika 5.17 prikazuje trajektorije predajnika za slucaj kružne trajektorije vozila. I da-

lje je vidljivo kako optimalna trajektorija predajnika prati kretanje vozila po kružnici

polumjera 20 metara i izvodi spiralu oko njega.

U slucaju kružne trajektorije plovila svi filtri konvergiraju i ispravno estimiraju

položaj plovila, što je u skladu s razmatranjima vezanima zaosmotrivost spomenutima

u poglavlju 3.3 i simulacijama za slucaj stacionarnoga predajnika.

−30 −20 −10 0 10 20 30 40−30

−20

−10

0

10

20

30

40Trajektorije predajnika

y [m]

x [m

]

idealnostacionarni predajniktrajektorija 1trajektorija 2

Slika 5.17: Trajektroije predajnika za slucaj kružne trajektorije vozila

47

−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

y [m]

x [m

]

Estimirana trajektorija

idealnostacionarni predajniktrajektorija 1trajektorija 2

Slika 5.18: Estimirana trajektroija vozila za slucaj kružne trajektorije

Buduci da je trajektorija vozila po kružnici sa središtem u stacionarnom predajniku

javlaj se problem konstantnih mjerenja udaljenosti izmedu vozila i predajnika, pa sta-

cionarni filtar sporije konvergira, što je vidljivo iz slike5.19. Medutim, u slucaju da

je središte trajektorije izmaknuto od položaja stacionarnoga predajnika kružne trajek-

torije predajnika, stacionarni predajnik bi konvergirao prema tocnoj trajektoriji nešto

brže nego u slucaju kružne trajektorije predajnika trajektorijama buduci da navigacijski

filtar stacionarnoga predajnika ima manje varijabli stanja, odnosno stupnjeva slobode,

u odnosu postupke s mobilnim predajnikom imaju više varijabli stanja, pa je za ovako

informativnu trajektoriju moguca vrlo brza konvergencija.

48

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−20

−10

0

10

20

30x koordinata

t [s]

x [m

]

idealnostacionarni predajniktrajektorija 1trajektorija 2

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−10

0

10

20

30

xerr

t [s]

x err [m

]

stacionarni predajniktrajektorija 1trajektorija 2

(a) Estimat x koordinate

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−30

−20

−10

0

10

20

30y koordinata

t [s]

y [m

]

idealnostacionarni predajniktrajektorija 1trajektorija 2

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−20

−10

0

10

20

yerr

t [s]

y err [m

]

stacionarni predajniktrajektorija 1trajektorija 2

(b) Estimat y koordinate

Slika 5.19: Estimat koordinata položaja za slucaj kružne trajektorije vozila

49

5.2.4. Usporedba estimacije položaja vozila bez mjerenja apsolut-

nih brzina u fiksnom koordinatnom sustavu

Kružna trajektorija i optimalna trajektorija predajnika imaju približno jednaku brzinu

konvergencije u slucaju korištenja apsolutnih mjerenja brzine, pricemu se postavlja

pitanje opravdanosti zahtjevnoga postupka proracunavanja optimalne putanje. Stoga se

analizira kvaliteta i brzina estimacije trajektorije u slucaju kada nisu dostupna mjerenja

brzine. Rezultat je prikazan na slici 5.20.

Iz estimirane trajektorije jasno je vidljivo kako korištenjem optimalne putanje pre-

dajnika se postiže najtocnija estimacija položaja vozila. Za stacionarni predajnik tra-

jektorija je gotovo u potpunosti netocno estimirana, dok za slucaj kružne putanje pre-

dajnika konvergencija je sporija i pogreška je znatno veca u odnosu na optimalnu

putanju. Isto vrijedi i za odzive brzina struje prikazanimana slici 5.21, te estimatu

x-koordinate na slici 5.22.

−30 −20 −10 0 10 20 30 40

−20

−10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

y [m]

x [m

]

Estimirana trajektorija

idealnostacionarni predajniktrajektorija 1trajektorija 2

Slika 5.20: Estimirana trajektorija vozila za slucaj navigacije bez mjerenja brzine

50

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Brzina struje vx

t [s]

v x [m/s

]

idealnostacionarni predajniktrajektorija 1trajektorija 2

Slika 5.21: Estimirana brzina struje za slucaj navigacije bez mjerenja brzine

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

−10

0

10

20

30

40

50

60

x koordinata

t [s]

x [m

]

idealnostacionarni predajniktrajektorija 1trajektorija 2

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

xerr

t [s]

x err [m

]

stacionarni predajniktrajektorija 1trajektorija 2

Slika 5.22: Estimirana x-koordinata položaj za slucaj navigacije bez mjerenja brzine

51

Iz prikazanih odziva pokazuje se opravdanost planiranja optimalnih trajektorija

mobilnih predajnika pri navigaciji jednostrukim mjerenjim udaljenosti posebice u slu-

caju nedostaku senzora brzine na vozilu ili loše kvalitete istoga.

5.2.5. Utjecaj brzine kretanja predajnika po kružnoj putan ji na

osmotrivost vozila

Do sada je razmatrano kakav utjecaj na osmotrivost imaju iskljucivo putanje kojima se

vozilo i predajnik krecu. Sljedeci rezultati pokazuju da i brzina kretanja po putanji ima

znatan utjecaj na osmotrivost i brzinu konvergencije navigacijskoga sustava. Na slici

5.23 prikazane su estimirane trajektorije vozila za slucaj gibanja po kružnoj trajektoriji

polumjera25 metara razlicitim brzinama, redom:1 [m/s], 0.1 [m/s], 16 [m/s].

−80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 10−40

−20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

y [m]

x [m

]

Estimirana trajektorija

idealnobrzina = 1[m/s]brzina = 0.1[m/s]brzina = 16[m/s]

Slika 5.23: Estimirana trajektorija za razlicite brzine gibanja predajnika

Brzina16 [m/s] je odabrana jer predstavlja poseban slucaj kada se javlja aliasing,

odnosno poduzorkovanje. Buduci da se mjerenja udaljenosti dobivaju svakih10 se-

kundi, a predajnik za deset sekundi ispiše cijelu kružnicu,pa mjerenja udaljenosti koje

vozilo dobiva u odnosu na predajnik su jednaka kao i da predajnik miruje. Buduci da

je promjer kružne putanje jedank u sva tri slucaja na brzinu kovergencije utjece isklju-

52

civo brzina kretanja predajnika po trajektroiji. Najboljirezultat je postignut za brzinu

kretanja od1[m/s]. U slucaju da predajnik ide vrlo sporo po kružnoj trajektoriji, pri-

mjerice0.1[m/s], tada promjena udaljenosti izmedu predajnika i vozila, te promjena

kuta gibanja vozila u odnosu na predajnik je vrlo malena, a time i konvergencija filtra

vrlo spora.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−80

−60

−40

−20

0

20y koordinata

t [s]

y [m

]

idealnobrzina = 1[m/s]brzina = 0.1[m/s]brzina = 16[m/s]

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−20

0

20

40

60

80

yerr

t [s]

y err [m

]

brzina = 1[m/s]brzina = 0.1[m/s]brzina = 16[m/s]

Slika 5.24: Estimirana koordinata y za razlicite brzine gibanja predajnika

5.2.6. Utjecaj promjera kružne putanje predajnika na osmotrivost

plovila

Slika 5.25 prikazuje trajektorije predajnika razlicitih polumjera:5 metara,50 metara i

200 metara. Brzina napredovanja predajnika po trajektoriji iznosi1 [m/s] za sva tri

polumjera trajektorije kako razlicita brzina ne bi unosila promjenu u rezultate estima-

cije.

Slika 5.26 prikazuje estimiranu trajektoriju vozila za slucaj kretanja po pravcu i tri

razlicita promjera trajektorije predajnika. Iz odziva je jasno vidljivo kako za promjer

od 50 metara su dobiveni najbolji rezultati. Veci promjer daje nešto lošije rezultate.

Razlog tome je što za vece kružnice promjena kuta izmedu kretanja predajnika i vo-

zila u jednom intervalu je znatno manja nego u slucaju manje trajektorije. Najmanja

53

trajektorija daje najlošiji estimat putanje. Razlog tome je višestruk. Prvo, što je polu-

mjer manji to je utjecaj mjernoga šuma izraženiji. Naime, u ekstremnom slucaju da je

polumjer kružne putanje približno jednak varijanci mjernoga šuma udaljenosti, tada bi

mjerenja bila u potpuno jednaka kao u slucaju da je predajnik stacionaran. Takoder za

manje kružne trajektorije lakše dolazi do pojave aliasinga, odnosno poduzorkovanja.

0 50 100 150 200 250 300 350 400−50

0

50

100

150

200Trajektorije predajnika

y [m]

x [m

]

idealnopolumjer = 5[m]polumjer = 50[m]polumjer = 2e+02[m]

Slika 5.25: Trajektorije predajnika

Iz razmatranja utjecaja brzine gibanja predajnika po kružnoj trajektoriji i utjecaja

promjera kružne trajektorije pokazuje se da je za što bolju estimaciju položaja potrebno

pronaci povoljan omjer izmedu polumjera trajektorije i brzine gibanja predajnika po

istoj, odnosno potrebno je izabrati odgovarajucu kutnu brzinu predajnika.

54

−30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10−20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

y [m]

x [m

]

Estimirana trajektorija

idealnopolumjer = 5[m]polumjer = 50[m]polumjer = 2e+02[m]

Slika 5.26: Estimirana trajektorija za razlicite polumjere gibanja predajnika

55

6. Zaklju cak

U ovom diplomskom radu predstavljeni su algoritmi navigacije korištenjem jednos-

trukih mjerenja udaljenosti koji se pokazuju kao jednostavnija alternativa trenutno ko-

rištenim tehnikama podvodne navigacije poput LBL-a, te USBL-a koje su ili znatno

skuplje, ili kompliciranije za brzu primjenu na terenu. Prikazna je navigacija jednos-

trukim mjerenjima udaljenosti u odnsou na stacionarni i moblini predajnik. Pokazalo

se da je sustav navigacije korištenjem jednostrukih mjerenja udaljenosti osmotriv samo

za odredene klase trajektorija. Takoder, prikazane su neke od metoda planiranja opti-

malne putanje predajnika kojima se postiže najveca osmotrivost sustava koji estimira

svoj položaj. Prednost proracuna optimalne putanje istice se posebice u slucaju kada

vozilo ne koristi apsolutna mjerenja brzine vec se estimat položaja i brzine dobiva

iskljucivo mjerenjima udaljenosti izmedu predajnika i vozila.

Važno je napomenuti da je u simulacijama uzeto da mjerenja udaljenosti pristižu

svakih10 sekundi što je prilicno konzervativan odabir, primarno odabran kako bi po-

jedini efekti sporijeg pristizanja mjerenja bili uocljiviji u odzivima. Sa današanjom

dostupnom tehnologijom, mjerenja udaljenosti moguce je uzorkovati u intervalima od

jedne sekunde, što bi kod pojedinih simulacija dalo i bolje rezultate. Medutim, u stvar-

nim uvjetimacesti su i gubici komunikacije, tako da katkada i nekoliko intervala nema

mjerenja udaljenosti, a bitno je i spomenuti kašnjenje mjerenja vektora stanja koja

dolaze od površinskog mobilnog predajnika do vozila u slucaju centraliziranoga Kal-

manovoga filtra koja su ovdje zanemarena.

Rezultati simulacija pokazuju opravdanost i mogucnost korištenja navigacije po-

mocu jednostrukih mjerenja udaljenosti buduci da pogreška pozicioniranja nije neo-

granicena u vremenu kao kod koracne navigacije. To sve dolazi pod cijenu potrebe

za informativnijim trajektorijama vozila, koje mogu biti ienergetski zahtjevnije ili

potrebe za korištenjem mobilnoga površinskoga predajnika. Primjena predstavljenih

algoritama u stvarnim situacijama predstavlja daljni izazov buduci da treba uzeti u ob-

zir i kašnjenje pristiglih informacija koje se javlja pri razmjeni podataka akustickom

vezom. Ujedno, iako optimalne trajektorije daju dobre rezultate, treba uzeti u obzir i

56

energetsku efiksnost predajnika pri planiranju optimalnihtrajektorija, te uz kvalitetu

mjerenja i navigacije misliti i na energetsku ucinkovitost proracunate putanje.

57

L ITERATURA

[1] Filippo Arrichiello, Gianluca Antonelli, Antonio Pedro Aguiar, i Antonio Pas-

coal. An observability metric for underwater vehicle localization using range

measurements.Sensors, 13(12):16191–16215, 2013.

[2] Marco Bibuli, Gabriele Bruzzone, Massimo Caccia, i Lionel Lapierre. Path-

following algorithms and experiments for an unmanned surface vehicle.J. Field

Robot., 26(8):669–688, Kolovoz 2009.

[3] Mandar Chitre. Path planning for cooperative underwater range-only navigation

using a single beacon. UAutonomous and Intelligent Systems (AIS), 2010 Inter-

national Conference on, stranica 1–6. IEEE, 2010.

[4] Naveena Crasta, Mohammadreza Bayat, A. Pedro Aguiar, i António M. Pascoal.

Observability analysis of 2d single beacon navigation in the presence of constant

currents for two classes of maneuvers.

[5] Bruno Ferreira, Anıbal Matos, i Nuno Cruz. Single beaconnavigation: Locali-

zation and control of the MARES AUV. UOCEANS 2010, stranica 1–9. IEEE,

2010.

[6] Thor I. Fossen.Guidance and control of ocean vehicles. Wiley, Chichester, 1994.

[7] R. Hermann i A. Krener. Nonlinear controllability and observability. Automatic

Control, IEEE Transactions on, 22(5):728–740, 1977.

[8] Nikola Miškovic. Use of Self-Oscillations in Guidance and Control of Marine

Vessels. Doktorska disertacija, University of Zagreb, Faculty of Electrical Engi-

neering and Computing, 2010.

[9] Pascoal A. Aranda J. Moreno-Salinas, D. Underwater target positioning with a

single acoustic sensor.9th IFAC Conference on Control Applications in Marine

Systems, Osaka, Japan, 2013.

58

[10] Edwin Olson, John Leonard, i Seth Teller. Robust range-only beacon localization.

U In Proceedings of Autonomous Underwater Vehicles, stranice 66–75, 2004.

[11] C. Radhakrishna Rao. Cramér-Rao bound.Scholarpedia, 3(8):6533, 2008.

59

Podvodna navigacija korištenjem jednostrukog mjerenja udaljenosti

Sažetak

Podvodna navigacija autonomnih predstavlja velik izazov zbog nemogucnosti pro-

pagiranja GPS signala pod vodu. Postojeca rješenja koja se temelje na akustickoj

navigaciji su neprakticna i cesto preskupa stoga se pristupa rješenjima koja koriste

jednostruka mjerenja udaljenosti od poznate tocke. U ovom radu prikazani su algo-

ritmi navigacije jednostrukim mjerenjima udaljenosti temeljeni na proširenom Kalma-

novom filtru. Prikazani su koncepti osmotrivosti nelinearnih sustava, te je ispitana

osmotrivost navigacijskoga sustava na razlicite tipove trajektorija. Takoder, ispitani su

postupci proracuna optimalnih putanja mobilnih predajnika u svrhu povecanja osmo-

trivosti sustava i kvalitetnije estimacije položaja.

Klju cne rijeci: podvodna navigacija, jednostruka mjerenja udaljenosti, optimalne pu-

tanje

Range-only underwater navigation

Abstract

Underwater autonomous navigation presents a great challenge due to the inabi-

lity of propagation of GPS signals under water. Existing solutions based on acoustic

navigation are often impractical and too expensive therefore solutions using a single

measurement distance from a known point are assessed. In this paper, the algorithms

for single range measurements navigation based on the extended Kalman filter are pre-

sented. Observability concepts for nonlinear systems are shown, and observability of

navigation system for different types of trajectories is investigated. Also, techniques

for calculating optimal path of mobile transmitters in order to increase the observability

and allow better estimation of position are examined.

Keywords: underwater navigation, single range measurements, optimal path