Upload
tranque
View
225
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Podstawy teorii sygnałów,
systemów i informacji
dr inż. Tomasz Marciniak
PodstawPodstawPodstawPodstawPodstawPodstawPodstawPodstawPodstawPodstawPodst
awPodPodstawPodstawPodstawPodstawPodstawPodstawPodstawPodstawPods yTeoriiyTeoriiyTeoriiyTeoriiyTeoriiyTeoriiyTeoriiyTeoriiyTeo SygnaloSygnaloSygnaloSygnaloSygnaloSygnaloSygnaloSygnaloSygn wSystemwSystemwSystemwSystemwSysemwSysemwSysemwSysemwSysemww owiInfoowiInfoowiInfoowiInfoowiIfoowiIfoowiIfoowiIfoowiIfooo rmacjiPrmacjiPrmajiPrmajiiPrmajiPrmajPrmajPrmajPPrmajPPrmajj odstawyodstawyodtawyodtawyoodtawoodtaoodtaoodtaooddtaooddtaa TeoriiSTeoriiSToriiSTTriiSTTTriiTTTriTTTriTTTriTTTriiTTTriii ygnalowygnalowgnaloowgnloowgnnlowgnnlownnlowwnlowwnlowwwnloo SystemoSystemoystemmoystemoyssteoyssteossteoossteossteeosstt wiInforwiInforwiInforwiIforwiiIfrwiiIfriiIfrriiIfriiIffriiII macjiPomacjiPomacjPomacjPomaacjPmaacjPmacjPmmacjPmacjPmmacjj dstawyTdstawyTdstayTdstayTdsstaydsstaydstayddstaydstayddstaa eoriiSyeoriiSyeoriSyeoriSyeooriSeooriSeoriSeeoriSeoriSeeorii gnalowSgnalowSgnalowSgnaowSgnnaoSgnnaoSnnaoSSnnaoSnnaooSnnaa ystemowystemowstemoowstemowsttemwsttemwttemwwttemwttemmwttee iInformiInformInforrmInorrmInnormInnormnnormmnnrmmnnrrmmnnrr acjiPodacjiPodajiPodajiPodajjiPoajjiPajjiPajjiPajjiPPajjiPPP stawyTestawyTestwyTestwyTeestwyTestwyestwyestwyesttwyesttwyy oriiSygoriiSygoriSygoriSyygoriSygoriSgoriSgoriSgooriSgooriSS nalowSynalowSynalowSynalowSynaloSynaloSynaloSynaloSynaloSynn stemowistemowistemowistemowistemwistemwistemwistemwistemwiss InformaInformaInformaInformaInformaInformaInformaInformaInfo cjiPodscjiPodscjiPodscjiPodscjiPodscjiPodscjiPodscjiPodscjiP
tawyTeotawyTeotawyTeotawyTeotawyTeotawyTeotawyTeotawyTeotawyodscjiPodscjiPodscjiPodscjiPodscji
tawyTeotawyTeotawyTeotawyTeotawyTeotawyTeotawyTeotawyTeotawyTeotawyTeotawyTeotaw
Poznań 2008
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 2
Wersja „draft” skryptu: niedziela, 26 października 2008 © dr inż. Tomasz Marciniak Politechnika Poznańska Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów ul. Piotrowo 3a pokój 434 (BM) tel. (61) 6652836 e-mail: [email protected] http://cygnus.et.put.poznan.pl/~tmarcin
Spis treści: Wprowadzenie............................................................................................................................ 4 1. Sygnały analogowe. Przekształcenie Fouriera i Laplace’a .................................................... 5 2. Operacja splotu. Grafy przepływu sygnału. ......................................................................... 13 3. Sygnały dyskretne. Przekształcenie Z.................................................................................. 21 4. Opis układu cyfrowego. Rozwiązywanie równań różnicowych .......................................... 28 5. Próbkowanie i kwantyzacja.................................................................................................. 35 6. Splot dyskretny..................................................................................................................... 42 7. Dyskretne przekształcenie Fouriera (DFT) .......................................................................... 48 8. Projektowanie filtrów FIR.................................................................................................... 58 9. Aproksymacja Butterwortha i Czebyszewa ......................................................................... 63 10. Projektowanie filtrów IIR. Przekształcenie impulsowo-inwariantne i biliniowe .............. 74 11. Kodowanie bezstratne ........................................................................................................ 78 12. Kodowanie stratne.............................................................................................................. 86 13. Szyfrowanie danych ........................................................................................................... 87 Dodatek A: Macierze ............................................................................................................... 88 Dodatek A: Systemy liczbowe ................................................................................................. 91 Dodatek C: Skala decybelowa.................................................................................................. 95
Literatura: 1. T. Zieliński "Cyfrowe przetwarzanie sygnałów – Od teorii do zastosowań”, WKŁ,
2005. 2. Steven W. Smith, The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing
Second Edition, California Technical Publishing, 1999. 3. R.G. Lyons "Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów", WKŁ, 1999. 4. Dag Stranneby „Cyfrowe przetwarzanie sygnałów – metody, algorytmy,
zastosowania”, Wydawnictwo BTC, Warszawa, 2004. 5. Dąbrowski (red.) "Przetwarzanie sygnałów przy użyciu procesorów sygnałowych",
Wyd. Politechniki Poznańskiej, 1997. 6. A.V. Oppenheim, R.W. Schafer "Cyfrowe przetwarzanie sygnałów", WKŁ, 1979. 7. W. Borodziewicz, K. Jaszczak "Cyfrowe przetwarzanie sygnałów", WNT, 1987. 8. J. Szabatin "Podstawy teorii sygnałów", WKŁ, 1990.
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 4
Wprowadzenie W podręczniku zaprezentowano w formie zadań wybrane zagadnienia dotyczące przetwarzania sygnałów, ze szczególnym zwróceniem uwagi na sygnały cyfrowe. Prawidłowe zrozumienie podstawowych zasad działania algorytmów filtracji cyfrowej ma kluczowe znaczenie podczas zapoznawania się i implementacji metod przetwarzania sygnałów multimedialnych czy telekomunikacyjnych. Informacje teoretyczne zostały podane w skrypcie w ograniczonym zakresie, zakładając, że Czytelnik skorzysta z licznych książek wymienionych w spisie literatury. Teoria sygnałów umożliwia za pomocą specyficznych funkcji matematycznych dokonać opisu sygnałów, dzięki czemu możliwa jest:
• analiza sygnałów – wydobycie informacji zawartej w sygnałach np. rozpoznawanie mowy
• przetwarzanie sygnałów – transformowanie sygnału z jednej postaci do drugiej np. z postaci czasowej do postaci w dziedzinie częstotliwości.
Podczas wyżej wymienionych operacji wyróżniamy następujące rodzaje sygnałów: • ciągłe lub dyskretne, • deterministyczne lub losowe, • rzeczywiste lub zespolone, • jedno, dwu lub wielowymiarowe, • różnych argumentów (np. czasu lub położenia)
Do przykładowych zadań systemu cyfrowego przetwarzania sygnałów, wykorzystującego wydajne układy mikroprocesorowe (w tym procesory sygnałowe DSP) można zaliczyć:
• konwersję analogowo-cyfrową i cyfrowo-analogową, • filtrację usuwającą niepożądane składniki, • analizę czasowo-częstotliwościową, • kodowanie
- kompresję bezstratną i stratną, - szyfrowanie danych, - kodowanie nadmiarowe (przy zabezpieczaniu przed błędami transmisji).
Skrypt jest przeznaczony dla studentów kierunków automatyka (w tym AiZ), elektronika, informatyka i telekomunikacja. UWAGA: Skrypt jest aktualizowany i poprawiany. Jeżeli znalazłeś błędy, to napisz koniecznie do autora [email protected] .
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 5
1. Sygnały analogowe. Przekształcenie Fouriera i Laplace’a
Funkcje podstawowe • Skok jednostkowy (step function)
• Impuls Diraca
( )⎩⎨⎧
=≠
=0.00
tnieokrt
tδ
Funkcja ta jest całkowalna, (co jest niezgodne z teorią klasyczną) ( )∫∞
∞−
=1dttδ
• Funkcja okna
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Π⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
TtA
TtAtf rect
Transformata Fouriera
( ) ( )∫∞
∞−
−⋅= dtetfF tjωω
Odwrotna transformata Fouriera
( ) ( )∫∞
∞−
⋅= ωω ω deFtf tj
π21
( )⎩⎨⎧
<>
=0001
tt
tu 1u(t)
t
( )tδ
t
t
( )tf
2
T−
2
T
A
0
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 6
Zadanie: Wyznacz transformatę Fouriera dla funkcji okna i naszkicuj wykres transformaty. Rozwiązanie:
( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⋅=
−
−+
−
−
−
−∫
22sin
22
sin2
221
22
222
2
2
2
TSaTAT
T
ATTA
j
eeAee
jAe
jAdteAF
TjTj
TjTj
T
T
tj
T
T
tj
ωωω
ωω
ωωωω
ωω
ωωωω
Przy obliczeniach wykorzystano: • Całkowanie przez podstawienie:
ω
ωω
jdudt
dtjdutju
−=
−=−=
• Wzory
( )xjee jxjx
sin2
=− −
oraz ( ) ( )x
xxSa sin=
Szkic sygnału
ω
( )ωF
T
π2−
T
π2 T
π4−
T
π4
AT
Zadanie: Wyznacz transformatę Fouriera dla impulsu Diraca i naszkicuj wykres transformaty. Rozwiązanie:
( ) ( ) 10 ==⋅= ⋅−−∞
∞−∫ ωωδω jtj edtetF
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 7
ω
( )ωF 1
Zadanie: Określ transformatę Fouriera dla funkcji pokazanej na rysunku
f(t) A
2
T−
2
T
t
Rozwiązanie:
( )
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∈+−
−∈+
>∨−<
=
2,02
0,2
222
0
TtdlaAtTA
TtdlaAtTA
TtTtdla
tf
( )
∫∫∫
∫∫
∫∫
=+−=⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
=⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
=⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
−
−
−
−
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
0
2
cos2cos4cos22
22
22
TTT
T
tj
T
tj
T
tj
T
tj
tdtAtdttTAtdtAt
TA
dteAtTAdteA
TAt
dteAtTAdteAt
TAF
ωωω
ω
ωω
ωω
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 8
( ) ( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅−=
=+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−= ∫⋅
424sin2
4
44
sin42
cos14
12
cos42
sin242sin
42sin
24
sin14
222
222
22
2
0
2
0
2
0
sin2sin
TSaATTT
TATT
ATT
A
TT
ATAT
AT
TA
TT
TA
dttA tAttTTT
ωωω
ωω
ωω
ωω
ωωωω
ω
ωω
ω
ωωω
ωωω
ω
Wykorzystano:
• całkowanie przez części ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
tvdtdutdvtu
duvvudvu
dxxuxvxvxudxxvxu
ωω
ωsin1
cos==
==
⋅−⋅=⋅
′⋅−⋅=′⋅
∫∫∫∫
• wzory
2sin2cos1 2 αα =−
Przekształcenie Laplace’a Funkcja może być reprezentowana jako suma funkcji ekspotencjalnych tωje− . Pulsacje tych eksponentów są ograniczone do osi jω na płaszczyźnie zespolonej. To ograniczenie jest niepożądane w niektórych przypadkach. Aby to wyeliminować stosujemy sumę eksponentów exp [-st], gdzie s = σ + jω. Definicja przekształcenia Laplace’a:
( ) ( ) ( )∫∞
−⋅==ℑ0
dtetfsFtf st
Zastosowanie x (t) y (t) f(t) f(t)*e -σt
t t
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 9
y(t) Zadanie: Wyznacz transformatę Laplace’a dla funkcji :
( )⎩⎨⎧
≥⋅
<=
⋅− 0,0,0
teAt
tf tα
Rozwiązanie:
( ) ( )∫∫∞
⋅+−∞
⋅−⋅−
+=⋅=⋅⋅=
00 ααα
sAdteAdteeAsF tstst
Zadanie: Wyznacz transformatę Laplace’a dla funkcji:
( )⎩⎨⎧
≥⋅<
=0,
0,0ttA
ttf .
Rozwiązanie:
( ) ∫ ∫∫∫∞ ∞
⋅−⋅−∞⋅−
⋅−⋅−
∞⋅−
∞⋅− =⋅=
−⋅
−−⋅⋅
=−
==
===⋅⋅=⋅⋅=
0 0000
dtesAdt
seA
setA
sevedv
dtdutudtetAdtetAsF ts
tststs
tststs
20 s
As
esA ts
=−
⋅=∞⋅−
Zadanie: Oblicz transformatę Laplace’a dla funkcji :
( )⎩⎨⎧
≥⋅<
=0,sin
0,0ttA
ttf
ω
Rozwiązanie:
( ) ( ) +−
⋅=⋅−⋅=⋅⋅=⋅⋅= ⋅−∞
−⋅−∞
⋅−∞
∫∫∫ ωωω ωω
jsjAdteee
jAdtetAdtetAsF tstjtjtsts 1
22sinsin
000
( )( ) ( ) ( ) 22222
22
12 ω
ωω
ωωω
ωωω +
⋅=
+⋅⋅
=−⋅+⋅
+−+⋅=
+⋅−
sA
sjjA
jsjsjjsjsA
jsjA
Równanie Różniczkowe
Rozwiązanie Równania Różniczkowego
Równania Algebraiczne
Rozwiązanie Równań Algebraicznych
x(t)
X(s)
Y(s)
y(t)
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 10
Odwrotne przekształcenie Laplace’a
( )[ ] ( ) ( )∫∞+
∞−
⋅− ⋅⋅==ℑj
j
ts dsesFj
tfsFσ
σπ211 , 0>t
Całkujemy wzdłuż linii Res = σ, gdzie σ jest wybrane zgodnie z zależnością:
( ) dtetf t∫∞
⋅−⋅0
σ
jω σ + j∞
σ
Obszar zbieżności
σ - j∞
Oczywiście kryterium z tego wzoru jest bardzo skomplikowane. Jeżeli możemy uzyskać :
( ) ( ) ( ) ( )sFsFsFsF n+++= ...21 ,
wówczas korzystamy z tablic. Najczęściej transformata Laplace’a ma postać :
( ) ( )( )sAsBsF = ,
czyli ilorazu wielomianów (uwaga: zakładamy, że stopień ( )sA jest większy od ( )sB ). Można wtedy zapisać ( )sF jako:
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )n
n
pspspszszszsk
sAsBsF
+⋅⋅+⋅++⋅⋅+⋅+
==......
21
21 .
F(s) można wtedy rozbić na ułamki proste:
( ) ( )( ) n
n
psa
psa
psa
sAsBsF
+++
++
+== ...
2
2
1
1 ,
przy czym ka są stałymi nazywanymi residuami dla biegunów kp :
kps −= ,
zatem,
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 11
( )( ) ( )
k
kk
psps
sAsBa
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅=
Jeżeli mamy już ka to wiadomo, że :
tpk
k
k keaps
a ⋅−− ⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
1α ,
a zatem,
( ) tpn
tptp neaeaeatf ⋅−⋅−⋅− ⋅++⋅+⋅= ...2121
Zadanie: Znajdź odwrotną transformatę Laplace’a dla:
( ) ( ) ( )213
+⋅++
=ss
ssF .
Rozwiązanie:
( ) ( ) ( ) 21
12
21213 21
+−
++
=+
++
=+⋅+
+=
sssa
sa
ssssF
( ) ( ) ( ) 2121
3
11 =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅
+⋅++
=−=s
sss
sa
( ) ( ) ( ) 1221
3
22 −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅
+⋅++
=−=s
sss
sa
( ) tt ees
Ls
Ltf ⋅−−−− −⋅=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+−
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+= 211 2
21
12 , 0≥t
Zadanie: Znajdź odwrotną transformatę Laplace’a dla :
( ) ( ) ( )21795 23
+⋅++++
=ss
ssssG ,
wiedząc, że ( )[ ] 1=tL δ , ( ) stdtdL =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ δ .
Rozwiązanie:
Rozpoczynamy od dzielenia wielomianów, ponieważ stopień wielomianu licznika jest
większy od stopnia mianownika.
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 12
( ) ( )
3462
77223
23:7952
2
2
23
223
+−−−
++−−−
++++++
sss
sssss
ssssss
( ) ( ) ( )2132
+⋅++
++=ss
sssG
( ) ( ) ( ) tt eettdtdtg ⋅−− −⋅+⋅+= 222 δδ
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 13
2. Operacja splotu. Grafy przepływu sygnału.
Operacja splotu Operacja splotu:
h(t)
t t
δ(t)
wej wyj
( )th – odpowiedź układu na pobudzenie impulsem jednostkowym
( ) ( ) ( ) ( ) ( )g t f t h t f h t dτ τ τ∞
−∞
= ∗ = −∫
Splot pozwala obliczyć odpowiedź układu na pobudzenie, jeśli znamy ( )th . Zadanie: Naszkicuj graficznie splot funkcji v(t) i h(t).
h(t)
t
1 v(t)
t
1
-1 1 3
Rozwiązanie: Odwracamy sygnał drugi względem osi pionowej, następnie przesuwamy względem nieruchomego sygnału v(t).
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 14
Zakres t Opis operacji splotu Obliczenia splotu
( )1,−∞−∈t nie ma części wspólnej ( ) 0=tg [ )1,1−∈t splot jest powiększającym się
polem trójkąta ( ) ( ) ( ) ( )
61
31
61
61
61
31
31
231
31
d31d
31d
311d
311
d311d
2
22
1
2
1
1111
1 1
++=
=+−+=−=
=−=−=
=−=−=
−−
−−−−
− −
∫∫∫∫
∫ ∫
tt
tttt
tt
tthtvtg
tt
tttt
t t
ττ
ττττττ
ττττ
Zatem
( ) 061
31
611 =+−=−g
( )610 =g
( )32
61
31
611 =++=g
[ )2,1∈t splot jest powiększającym się polem trapezu (boki trapezu w pkt. -1 i 1)
( ) ( ) ( ) ( )
tttt
tt
tthtvtg
32
61
61
31
31
231
31
d31d
31d
311d
311
d311d
1
1
21
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=+−+=−=
=−=−=
=−=−=
−−
−−−−
− −
∫∫∫∫
∫ ∫
ττ
ττττττ
ττττ
( )321 =g
[ )4,2∈t splot jest malejącym polem trapezu (boki w t-3 i +1) ( ) ( ) ( ) ( )
68
61
9612
61
61
61
31
31
231
31
d31d
31d
311d
311
d311d
2
22
1
3
21
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
++−=
=+−+−+−=
=−=
=−=−=
=−=−=
−−
−−−−
− −
∫∫∫∫
∫ ∫
tt
ttttt
t
tt
tthtvtg
tt
tttt
t t
ττ
ττττττ
ττττ
( )342 =g
[ )+∞∈ ,4t nie ma części wspólnej, splot zerowy
( ) 0=tg
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 15
WYKRES Zadanie: Wyznacz graficznie i analitycznie splot funkcji f(t) i h(t).
2
t t
f(t) h(t)
1
1 0.5
Rozwiązanie:
( )0,∞−∈t ( ) 0=tg
[ )5.0,0∈t ( ) ∫ ==⋅=t
t ttg0
022d21 ττ
[ )1,5.0∈t ( ) ∫−
−=+−==⋅=
t
t
t
ttttg
5.05.0
11222d21 ττ
[ )5.1,1∈t ( ) ∫−
−−=+−==⋅=
1
5.0
1
5.0231222d21
tt
tttg ττ
[ )+∞∈ ,5.1t ( ) 0=tg
1
t
( )tg
0 5.0 1 5.1
Grafy przepływu sygnału Reguły redukcji grafów:
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 16
x2 x1 x2 x1
b
a a+b
≡
b a a• b ≡
c
b
a
≡b• c
a• c
b
c
a
a• c
a• b
≡
1a
q−
q a
≡
Zadanie: Podaj transmitancję pomiędzy A i C.
A C
B D
2
4 2
3
4
Rozwiązanie:
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 17
A
D
C
4
8 12
2
A
D
C
12
12
2
A
C
24
24
T= 2423
−
Zadanie: Podaj transmitancję pomiędzy A i F.
4 2
F E
D
C
B
A
3 3
2
1
5
Rozwiązanie:
T=92
Zadanie: Podaj transmitancję pomiędzy A i D.
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 18
4 2 3
10 5 D
C
B A
Rozwiązanie:
Rozpoczynamy od redukcji wierzchołka C
T= -18
Zadanie:
4 2
3
2
1
5
F E
D
C
BA
3
2
Rozwiązanie:
Rozpoczynamy od redukcji wierzchołka B
T=176
Zadanie:
-G3
H1 V0
-G4
-G2
-G1
HH
HV1
Rozwiązanie:
1
2 2 3 3 4 4 1(1 )(1 )(1 )(1 )HT
H G H G H G G=
+ + + +
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 19
Metoda Masona: i i
iH
H∆
=∆
∑ YH
X=
Reguła ma zastosowanie, gdy X jest węzłem źródłowym. Hi – transmitancja ścieżki wiodącej od wejścia do wyjścia
i∆ – podwyznacznik grafu ∆ – wyznacznik grafu
∑ ∑ ∑ +−+−=∆k lk mlk
mlklkk PPPPPP, ,,
...1
kP – transmitancja pętli
,k l
k lP P∑ – suma po wszystkich parach pętli rozłącznych (nie mają wspólnego
wierzchołka) Zadanie:
A C
B D
2
4 2
3
4
Rozwiązanie:
1 1 2 2 1 22 4 2 4 2 2 4 2 1 4 2 1 241 3 4 2 1 24 1 24 23
i ii
HH HH
∆∆ + ∆ ⋅ ⋅ ⋅ ∆ + ⋅ ⋅ ∆ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −
= = = = =∆ − ⋅ ⋅ − −
∑
Zadanie:
n
l
a b c d e h g f
i jk
m
ł
X1 X2
Ścieżki H1=abcde ∆1=1-mł H2=alłjde ∆2=1-g H3=abiłjde ∆3=1
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 20
Pętle Pary pętli rozłącznych Trójki pętli rozłącznych P1=bcdf P1P6 P2P3P6 P2=g P2P3 P3=h P2P4 P4=jk P2P5 P5=jnd P2P6 P6=mł P2P7 P7=lłjdf P3P6 P8=biłjdf
∆=1-(P1+ P2+ P3+ P4+ P5+ P6+ P7+ P8)+(P1P6+ P2P3+ P2P4+ P2P5+ P2P6+ P2P7+ P3P6)- P2P3P6
∆∆+∆+∆
= 332211 HHHH
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 21
3. Sygnały dyskretne. Przekształcenie Z
Elementarne sygnały dyskretne • impuls jednostkowy (unit impulse )
[ ]⎪⎩
⎪⎨⎧ =
=poza
nn
0
01δ
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
• przyczynowy skok jednostkowy (unit step)
[ ]⎪⎩
⎪⎨⎧
≥
<=
01
00
n
nnu
• ujemny nieprzyczynowy skok jednostkowy
[ ]⎪⎩
⎪⎨⎧
≥
<−=
00
01
n
nnu
• sygnał sinusoidalny
[ ] [ ]oo nnx Θ+⋅= ωsin
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 22
Zadanie: Naszkicuj sygnał ( ) ( ) ( )5−−= nununy , przy czym u jest przyczynowym skokiem jednostkowym. Rozwiązanie:
Przekształcenie Z Przekształcenie Z jest zdefiniowane wzorem
( ) ( )∑∞
−∞=
−⋅=n
nznxzX
Najczęściej posługujemy się prawostronnym przekształceniem Z
( ) ( )∑∞
=
−⋅=0n
nznxzX
czyli ograniczamy się do klasy sygnałów przyczynowych tj. takich, które przyjmują wartości równe 0 dla ujemnych indeksów n .
Właściwości przekształcenia Z:
• liniowość [ ] [ ] ( ) ( )zbVzaXnbnax +⇔+ υ
• opóźnienie sygnału o jedną próbkę "mnoży" jego transformatę przez 1−z tzn.
( ) ( )zXznx 11 −⇔−
• opóźnienie o m próbek
( ) ( )zXzmnx m−⇔−
• przesunięcie w lewo ( )[ ] ( ) ( )01 zxzzkx −Χ=+Ζ przy czym ( ) ( )[ ]kxz Ζ=Χ
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )10112 22 zxxzzzzxkxzkx −−Χ=−+Ζ=+Ζ
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1...210 21 −−−−−−Χ=+Ζ −− mzxxzxzxzzzmkx mmmm
Zadanie: Sprawdź właściwość ( )[ ] ( ) ( )01 zxzzkx −Χ=+Ζ
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 23
Rozwiązanie:
Korzystając z prawostronnego przekształcenia Z ( ) ( )∑∞
=
−⋅=Χ0k
kzkxz otrzymujemy
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00111 0
1
0zxzzXxzkxzzkxzkxkx
k k
kk
k
k −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⋅⋅=⋅=⋅+=+Ζ ∑ ∑∑
∞
=
∞
=
−+−∞
=
−
Zadanie: Oblicz transformatę (przekształcenie) Z sygnału
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]3221312 −+−+−+++= nnnnnnx δδδδδ Rozwiązanie Wiedząc, że [ ] 1⇔nδ otrzymujemy
( ) 321 231 −−− ++++−= zzzzzzX
Zadanie: Oblicz transformatę Z przyczynowego skoku jednostkowego. Rozwiązanie:
Wiadomo, że suma szeregu geometrycznego a
an
n
−=∑
∞
= 11
0, przy czym 1<a .
Zatem
[ ] [ ] ( ) 10
1
0 11
−
∞
−∞=
∞
=
−∞
=
−−
−===⋅= ∑ ∑∑ z
zzznuzUn n
n
n
nn
Aby suma była zbieżna 11 <−z , czyli 1>z
Obszar zbieżności (region of convergence) jest na zewnątrz okręgu jednostkowego.
1
( )zIm
( )zRe
Zadanie: Oblicz transformatę Z i wyznacz obszar zbieżności dla sygnału
[ ] [ ]nunxn
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
51
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 24
przy czym [ ]nu to przyczynowy skok jednostkowy . Rozwiązanie:
( ) [ ]∑ ∑∞
−∞=
∞
= −
−−
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⋅⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
n n
nn
n
zzznuzX
0 1
1
511
151
51
Obszar zbieżności:
51
151 1
>
<−
z
z
51
( )zIm
( )zRe
Zadanie: Oblicz transformatę Z i wyznacz obszar zbieżności ( ) ( )15 −−−= nuny n , przy czym u – przyczynowy skok jednostkowy.
-3 -2
-1 1 2 3
u[-n-1]
n
Szkic sygnału
( ) ( )5
51
55
55151
1 1 −=
−−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=⋅−=⋅−=⋅−−⋅−= ∑ ∑ ∑ ∑
∞
−∞=
−
−∞=
∞
=
∞
=
−−−
zz
z
zzzzznuzY
n n n
n
n
nnnnnn
Obszar zbieżności: 5
15 1
<
<−
z
z
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 25
5
( )zIm
( )zRe
Zadanie: Wiedząc, że ( ) ( ) ( ) ( )zYzXnynx ⋅⇔∗ wyznacz obszar zbieżności sygnałów x i y z poprzednich zadań.
Imm
51 Re
5
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 26
Odwrotne przekształcenie Z Zadanie: Oblicz odwrotną transformatę Z
( )2
1
411
21−
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
+=
z
zzH
Rozwiązanie: Podaną transmitancję rozkładamy na ułamki proste
( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
+=
−−−−
−
−
−
1
2
1
1
11
1
2
1
211
211
211
211
21
411
21
z
C
z
C
zz
z
z
zzH
przy czym: ( ) ( )11lim −
→−⋅= zzHC izi
i
αα
( )
( )23
211
21211lim
25
211
21211lim
21
1
11
212
21
1
11
211
−=−
+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=
=+
+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅=
−=
−
−−
−→
=
−
−−
→
z
z
z
z
z
zzzHC
z
zzzHC
zatem
( )11
211
23
211
25
−− +−
−=
zzzH
zaś transformata odwrotna
[ ] [ ] [ ]nununhnn
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
21
23
21
25
Zadanie: Oblicz odpowiedź impulsową układu o transmitancji:
( ) 1
321
5,012,05,021
−
−−−
++++
=z
zzzzH
Rozwiązanie: Rozpoczynamy od dzielenia wielomianów
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 27
6,2 6,38,1
1 8,1
0,20,1- 12 0,1
4,00,2z-15,0:125,02,0
6,32,04,0
1
1
12
12
23-
1123
12
−
−−
+=
+
++=
−
++++
++
−
−
−−
−
−
−−−−
−−
zz
zzzz
zzzzz
zz
--
( ) 121
5,016,24,02,06,3 −
−−
+−
+++=z
zzzH
Transformata odwrotna jest określona wzorem:
[ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ]nunnnnh n5,06,224,012,06,3 −−−+−+= δδδ
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 28
4. Opis układu cyfrowego. Rozwiązywanie równań różnicowych
Opis układu System może być opisany za pomocą równania różnicowego, czyli liniowej zależności pomiędzy ciągiem wejściowym a ciągiem wyjściowym.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )MkxakxakxaNkybkybkybky MN −++−+=−++−+−+ KK 121 1021
( ) ( ) ( )∑∑==
−−−=N
nn
M
mm nkybmkxaky
10
Przekształcenie Z równania różnicowego
( ) ( ) ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑∑
=
−
=
−N
n
nn
M
m
mm zbzYzazXzY
10
Transmitancja
( ) ( )( ) ∑
∑
=
−
=
−
+== N
n
nn
M
m
mm
zb
za
zXzYzH
1
0
1
Przykład: ( ) ( ) ( ) ( )11 101 −+=−− kxkxkyky ααβ ( ) ( ) ( ) ( )11 110 −+−+= kykxkxky βαα
( )ky ( )kx Σ
1−z
1β1α
0α
( )1−kx ( )1−ky
1−z
Operacja opóźnienia:
Struktury filtrów cyfrowych Zadanie: Podaj transmitancję filtru opisanego równaniem różnicowym. Narysuj 1 i 2 formę bezpośrednią niekanoniczną tego filtru, a następnie 2 formy bezpośrednie kanoniczne.
[ ] [ ] [ ] [ ]121 31
21 −++−= nxnxnyny
Dla każdego rysunku, korzystając z reguły Masona, wyznacz transmitancję układu.
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 29
Rozwiązanie:
• Forma 1 bezpośrednia niekanoniczna, (niekanoniczna – nieminimalna, bezpośrednio z r.r.)
+[ ]ny[ ]nx
-1z -1z21
31
2
• Forma 2 bezpośrednia niekanoniczna (zamiana bloków)
+[ ]nx
+[ ]ny
-1z -1z21
2
31
• Forma 2 bezpośrednia kanoniczna (1 linia opóźniająca)
[ ]nx
+ +[ ]ny
-1z21
2
31
• Odwrócona forma 2 bezpośrednia kanoniczna (odwrócenie kierunku wszystkich
gałęzi)
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 30
[ ]nx 3
1
+
-1z
2 21
[ ]ny
+
Transmitancja dla każdej struktury wynosi: ( )1
1
211
231
−
−
−
+=
z
zzH
Zadanie: Narysuj układ opisany następującym równaniem różnicowym
( ) ( ) ( ) ( ) ( )43212 −−−+−+−= nxnxnxnxny Zadanie: Wyznacz równanie różnicowe układu o następującej transmitancji
( ) 1
321
5.012.05.021
−
−−−
++++
=z
zzzzH
Korzystając z równania różnicowego, wyznacz wartości pierwszych dwudziestu próbek odpowiedzi na pobudzenie impulsem jednostkowym. Jak zmieni się odpowiedź, jeżeli sygnałem pobudzającym będzie przyczynowy skok jednostkowy? Rozwiązanie: Równanie różnicowe
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12.032.025.012 −−−+−+−+= nynxnxnxnxny
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
n
y
Odpowiedź na pobudzenie impulsem jednostkowym MATLAB x=[1,zeros(1,19)]; B=[1,2,0.5,0.2]; A=[1,0.5]; y=filter(B,A,x); stem(0:length(x)-1,y)
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 31
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.5
1
1.5
2
2.5
3
n
y
Odpowiedź na pobudzenie przyczynowym skokiem jednostkowym MATLAB x=[ones(1,20)]; B=[1,2,0.5,0.2]; A=[1,0.5]; y=filter(B,A,x); stem(0:length(x)-1,y)
Zadanie: Narysuj układ mający odpowiedź ( )ky na pobudzenie impulsem jednostkowym
-1 0 1 2 3
... k
z-1
1 1 y(k) δ(k)
Rozwiązywanie równań różnicowych Zadanie: Załóżmy, że mamy liniowy przyczynowy układ opisany równaniem:
( ) ( ) ( )nxnayny =−− 1 Znajdź odpowiedź impulsową układu:
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
≠
===
00
01
n
nnnx δ
Rozwiązanie: Zakładamy, że układ jest przyczynowy, czyli ( ) 00 <= ndlany
( ) ( ) ( )nxnayny +−= 1 ( ) ( ) 100 == xy
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 32
( ) ay =1 ( ) ( ) ( ) 2212 axayy =+= ( ) ( ) ( ) 3323 axayy =+=
Zatem ( ) nany =
Zadanie: Dane jest rekursywne równanie różnicowe:
( ) ( ) ( )nxnyny =−+ 121 ( ) 01 =−y
Oblicz odpowiedź impulsową układu i narysuj go. Czy układ jest stabilny? Rozwiązanie:
( ) 021
≥⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= nnh
n
( )32
231
211
1...41
211 ==
+=−+−=∑ nh Układ jest stabilny.
( )ny( )nx Σ
0.5
1−z
Zadanie: Rozwiąż równanie różnicowe:
( ) ( ) ( )110 −+= kykxky αβ
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
<
===
00
,...2,1,01
k
kkukx
Rozwiązanie: k=0 00 0)0( ββ =+=y k=1 ( ) ( ) 01010010 11)1( βαβαββαβ +=+=+= xy k=2 ( ) ( ) 0
2110110 11)2( βααβααβ ++=++=y
k=3 ( ) ( ) 031
2110
21110 11)3( βαααβαααβ +++=+++=y
Zatem
( ) 01211 ...1)( βααα kky ++++= ,...2,1,0=k
Suma skończonego ciągu geometrycznego
1
11
1211 1
1...1α
αααα
−−
=+++++k
k 11 ≠α
Ostatecznie
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 33
( ) 01
11
11
βα
α−
−=
+k
ky
Rozwiązywanie równań różnicowych z zastosowaniem przekształcenia Z Zadanie:
Rozwiąż równanie różnicowe z użyciem przekształcenia Z i wiedząc, że [ ]az
za k
−=Ζ
( ) ( ) ( ) 02132 =++++ kxkxkx ( ) ( ) 1100 == xx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 020331022 =+−+−− zXzxzzXzxxzzXz
( ) ( )( ) 2121232 +−
+=
++=
++=Χ
zz
zz
zzz
zzzz
( )[ ]1
1+
=−Ζz
zk ( )[ ]2
2+
=−Ζz
zk
( ) ( ) ( )kkkx 21 −−−= k=0,1,2..... Zadanie:
Znajdź odpowiedź x(k) systemu opisanego równaniem
( ) ( ) ( ) ( )kukxkxkx =++−+ 2132
przy czym ( )( )( ) 00
1000
≠==
≤=
kkuu
kkx
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zUzXzxzzXzxxzzXz =++−−− 20331022
( ) ( ) ( )zUzzz =Χ+− 232 ( ) ( )∑∞
=
− =⋅=0
1k
kzkuzU
Zatem ( )2
11
123
12 −
+−
−=
+−=Χ
zzzzz
Wiedząc, że ( )[ ] ( ) ( )01 Χ−Χ=+Ζ zzzkx
( )[ ] ( )21
1−
+−
−=Χ=+Ζz
zz
zzzkx
[ ]1
1−
=Ζz
za [ ]2
2−
=Ζz
zk
( ) kkx 211 +−=+ k=0,1,2..... lub
( ) 121 −+−= kkx k=1,2,3..... Zadanie:
Rozwiąż równanie różnicowe z zastosowaniem przekształcenia Z
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 34
( ) ( ) ( )110 −+= kykxky αβ ( ) ( )⎩⎨⎧
<≥
==0001
kk
kukx
Rozwiązanie:
( ) ( )zYzz
zzY 110 1
−+−
= αβ
( ) ( )10
11 1
1−
−
−=−
zzYzzY βα
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+−
=−
⋅−
= −−−− 11
21
101
110 111
11
1z
cz
czz
zYα
βα
β
Residua:
111
11 1
11
1αα −
=−
==
−zz
c
111
11
1
11
112
1−
=−
=−
=−
=− α
αααzz
c
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−⋅
−+
−⋅
−=
−− 111
11
10 1
111
11
1zz
zYαα
αα
β
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⋅−
−−
⋅−
=11
1
10 111
1αα
αα
βz
zz
zzY
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−
= kky 11
1
10 11
1 αα
αα
β
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−
=+
1
11
10 11
1α
αα
βk
ky
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
=+
1
11
0 11
αα
βk
ky
Zadanie:
Wyznacz wartość próbki ( )100y układu opisanego za pomocą równania różnicowego ( ) ( ) ( )18.02 −+= kykuky
Sygnał ( )ku jest przyczynowym skokiem jednostkowym. Zakładamy zerowe warunki początkowe.
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 35
5. Próbkowanie i kwantyzacja Proces próbkowania
Twierdzenie o próbkowaniu
Szybkość próbkowania s
s Tf 1
= musi być co najmniej dwa razy większa od maksymalnej
częstotliwości gf w widmie sygnału ciągłego, aby ten sygnał można było odtworzyć z sygnału spróbkowanego. Układ konwersji analogowo-cyfrowej A/C
s’(t) s(t) s(nT)=x(n) x (n)
FDP
PRÓBKOWANIE KWANTYZACJA
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 36
Twierdzenie o próbkowaniu (uściślone) Niech ( )tx będzie sygnałem dolnopasmowym o transformacie Fouriera ( )ωjX , przy czym
gX ωωω >= dla0)j( Wówczas
)(
)(sin)()(
sg
sg
n nTtnTt
nTsxtx−
−= ∑
∞
−∞= ωω
superpozycja funkcji:x
xsin
przy czym
s
sgs Tωπ
ωω2oraz2 ==
Dowód twierdzenia o próbkowaniu Widmo sygnału ciągłego można odtworzyć za pomocą filtru idealnego
⎩⎨⎧
>≤
=g
gs
dladlaT
Gωωωω
ω0
)j( filtr dolnoprzepustowy
wówczas )j()(*)j( j ωω ω GeXX sT ⋅=
∑∞
−∞=
−⋅=n
nTs
seGnTxX ωωω j)j()(*)j(
Stosując odwrotne przekształcenie Fouriera
∫ ∑∞
∞−
∞
−∞=
−⋅=n
tnTs deeGnTxtx s ωω ωω jj)j()(*
π21)(
44 344 21
)(sin)(
π2j2)(
2
)(
)(j)(j
)(*21)(
sgsg
snTtgsnTtg
s
s
g
g
s
nTtnTt
eenTtT
nTtjs
ns deTnTxtx
−⋅−
=
=−
⋅−
=
−
−∞
−∞=
−−−
∫∑ ⋅=
ωϖ
ω
ω
ω
ωω
ωπ
)(
)(sin)()(
sg
sg
ns nTt
nTtnTxtx
−
−⋅= ∑
∞
−∞= ωω
CND
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 37
Zadanie: Dla sygnału analogowego ( ) ( )ttxa π125sin= określ, które z podanych poniżej okresów próbkowania są prawidłowe:
Ts0=1 ms, Ts1=4 ms, Ts2=8 ms, Ts3=12 ms, Ts4=16 ms, Ts5=24 ms.
Dla każdego okresu próbkowania wyznacz częstotliwość sygnałów cyfrowych. Rozwiązanie: Szkicujemy sygnał ( ) ( ) ( )ss fnnTnx /π125sinπ125sin == zakładając =sT 1ms.
Ze wzoru ( ) ( )ttxa π125sin= wynika, że częstotliwość sygnału (a zarazem najwyższa składowa częstotliwościowa) to 62,5 Hz.
sT [ms]
sf [Hz]
Podstawienie sfnt /= do
( )t⋅⋅⋅ π5,622sin
Zastosowanie wzorów
redukcyjnych
Sygnał odtworzony
sftn ⋅=
OK?
1 1000 ( )n⋅⋅π125,0sin ( )n⋅⋅π125,0sin ( )t⋅⋅π125sin TAK 4 250 ( )n⋅⋅π5,0sin ( )n⋅⋅π5,0sin ( )t⋅⋅π125sin TAK 8 125 ( )n⋅πsin ( )n⋅πsin ( )t⋅⋅π125sin TAK
12 83,3 ( )n⋅π5,1sin ( )n⋅− π5,0sin ( )t⋅− π66,41sin NIE 16 62,5 ( )n⋅π2sin ( )n0sin ( )stf0sin NIE 24 41,67 ( )n⋅π3sin ( )n⋅πsin ( )t⋅π66,41sin NIE
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 38
Zadanie: Na wejście układu podano sygnał
( ) ( ) ( ) ( )ttttx π3600sin4π1200sin2π800sin5 ++=
( )nx
A/C
C/A ( )tx Analogowy Filtr
Dolnoprzepustowy o częst. odcięcia
f2/8
( )ty( )tx'
Wyznacz sygnał ( )ty wiedząc, że okresy próbkowania przetworników wynoszą T1=500 µs a T2=1 ms. Rozwiązanie
( ) ( ) ( ) ( )ttttx π3600sin4π1200sin2π800sin5 ++= Próbkowanie Hz2000500 11 =⇒= fsT µ
1/ fnt = ( ) ( ) ( ) ( )nnnnx π8.1sin4π6.0sin20.4πsin5 ++=
Po zastosowaniu wzorów redukcyjnych: ( ) ( ) ( ) ( )nnnnx π2.0sin4π6.0sin20.4πsin5 −+=
Konwersja C/A 2ftn ⋅=
Hz10001000 22 =⇒= fmsT ( ) ( ) ( ) ( )ttttx π200sin4π600sin2π400sin5' −+=
Za filtrem Filtr „przepuści” sygnały, które mają częstotliwość mniejszą od 8/2f czyli mniej niż 125 Hz.
( ) ( )tty π200sin4−=
Zadanie Na wejście układu pokazanego na rysunku podano następujący sygnał:
( ) ( ) ( ) ( )ttttx π1600sin3π400sin4π300sin5 ++= Wyznacz sygnał y(n) na wyjściu układu.
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 39
Analogowy Filtr Dolnoprzepustowy
f
Cyfrowy Filtr Dolnoprzepustowy
PrzetwornikA/C
y(n) x(t) x(n)
fs=1000Hz fc=1000Hz
Ampl
1
0
Ampl.
Faza
1
π
π/3 π/2
π/2
Zadanie: Na układ konwersji szybkości próbkowania podano kolejno 5 próbek o rozdzielczości 5-bitowej: 31, 15, 15, 31, 20 (reprezentacje dziesiętne).
( )ny
3( )nx Filtr
2 wej. wyj.
Filtr układu jest opisany równaniem różnicowym:
( ) ( ) ( ) ( )( )225.015.025.02 −⋅+−⋅+⋅⋅= nxnxnxny Zakładając zerowe warunki początkowe, wyznacz 3 pierwsze próbki wyjściowe i podaj ich wartości w kodzie Gray’a.
Rozwiązanie: Nr próbki
wyjściowej Wartość próbki wyjściowej Wartość próbki w kodzie
Gray’a 1 2 3
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 40
Kwantyzacja A
Xmax ∆
10Ts Ts 2Ts t
Xmin
Zakres dynamiczny
Xmax – wartość maksymalna zakresu dynamicznego Xmin – wartość minimalna zakresu dynamicznego Reguły kwantyzacji:
• Należy „wyskalować” sygnał, bo gdy przekracza Xmax, Xmin to mamy błąd związany nadmiarem,
• Sygnał powinien pokrywać cały zakres poziomów kwantowania.
Sygnał skwantowany )()()(ˆ nenxnx +=
Jeżeli Xmin ≤ x(n) ≤ Xmax to 21)( ≤ne
Zakres dynamiczny: Xmax - Xmin. Liczba poziomów kwantyzacji: N
Krok kwantyzacji: 1
minmax
−−
=∆N
XX
Błąd kwantyzacji )(ˆ)()( txtxte −=
0,5∆
b) Kolejne poziomy kwantyzacji
eq(t)
0.5∆
-τ τ
-0.5∆
a) Sygnał ∆ -τ τ
Wartość błędu kwantyzacji jest wartością z przedziału –0,5∆ do 0,5∆
Bezwzględny błąd kwantowania
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2008 41
τττ
≤≤−⋅∆
= ttte dla2
)(
Stosunek sygnału do szumu (SNR):
,q
x
PP
SNR =
gdzie: Px – moc użyteczna, Pq – moc kwantyzacji
dttedttePq ⋅=⋅= ∫∫−
)(1)(21
0
22ττ
τ ττ
12343421 23
3
2
0
3
3
22
0
2 ∆=⋅
∆=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∆=⋅⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆
= ∫τ
ττττ
ττ tdttPq
Jeżeli kwantyzator ma b+1 bitów dokładności i zakres wynosi 2A wtedy:
b
A22
=∆ → bb
b
q
AA
A
P 2
2
2
2
2
23
2124
1222
=⋅
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= ⋅
Moc sygnału:
( )2
cos1 2
0
20
AdttAT
PT
x =⋅⋅Ω⋅= ∫
dttdt
dttdtdtt
∫∫
∫∫∫
⋅Ω+=
=⋅Ω+=Ω
+=
0
0
2
0
2
2cos21
21
2cos21
21)(cos
22cos1cos αα
b
b
q
x
A
A
PP
SNR ⋅
⋅
⋅=== 2
2
2
2
223
23
2
2log2023log102
23log10log10 1010
21010 ⋅+=⋅== ⋅ bSNRSNR b
dB
bSNRdB ,026 1,76 += Zadanie: Wyznacz błąd kwantyzacji 16 bitowego przetwornika.
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 42
6. Splot dyskretny
Splot dyskretny Splotem dyskretnym dwóch sygnałów nazywamy wyrażenie:
( ) ( ) ( ) ( )∑∞
−∞=
−⋅=m
mnymxnynx *
Podobnie jak splot ciągły, splot dyskretny ma bardzo duże znaczenie w teorii sygnałów. Przy pomocy splotu możemy obliczyć odpowiedź systemu liniowego na dowolne wymuszenie. Jest ona zawsze splotem tego wymuszenia i odpowiedzi impulsowej układu. Splot jest operacją przemienną. Zadanie Oblicz splot sygnałów ( )nx i ( )ny :
( )⎩⎨⎧ ≤≤−
=poza
nnx
0331
( )⎩⎨⎧ ≤≤−
=poza
nny
0223
( ] [ ] [ ] 0*6, =⇒−∞−∈ nynxn
[ ] [ ] ( ) 18333331*1,53
2
+=++=⋅=⇒−−∈ ∑+
−=
nnnynxnn
m
[ ] [ ] 155331*1,02
2
=⋅=⋅=⇒∈ ∑−=m
nynxn
[ ] [ ] ( ) nnnynxnnm
3183631*5,22
3
−=−=⋅=⇒∈ ∑−=
[ ) [ ] [ ] 0*,6 =⇒+∞∈ nynxn
y (n) x (n)
n n
-3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
3
1
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 43
Zadanie Wyznacz graficznie i analitycznie splot sygnałów x (n) i y (n):
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
>≤≤−
−<=
30332
30
nn
nnx ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>≤≤−
−<=
30324
20
nn
nny
1° ( ] [ ] [ ] 0*6, =⇒−∞−∈ nynxn
20 [ ] [ ] ( ) nnnynxnn
m
84833842*0,53
2
+=++⋅=⋅=⇒−∈ ∑+
−=
30 [ ] [ ] 48246*1 =⋅⋅=⇒= nynxn
40 [ ] [ ] ( ) nnnynxnnm
8568742*6,23
3
−=⋅−=⋅=⇒∈ ∑−=
( ) 123457
65432
n
n
−↓↓↓↓↓
50 [ ) [ ] [ ] 0*,7 =⇒∞∈ nynxn
6
3
9
12
15
x (n) * y (n)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y (n) x (n)
n n
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3
2
4
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 44
Zadanie Wyznacz splot dwóch sygnałów:
( )⎩⎨⎧ ≤≤−
=poza
nnv
0551
( )⎪⎩
⎪⎨⎧ ≤≤=
poza
nnnh0
150151
Rozwiązanie: ( ] [ ] [ ] 0*5, =⇒−∞−∈ nhnvn
>⇒−∈ 5,5(n[ ] [ ] ( )
( ) ( )30
301162
56151
151
1511*
2
555
++=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +⋅
+−−+=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⋅=−⋅= ∑∑∑
−=−=−=
nnnnnn
mnmnnhnvn
m
n
m
n
m
) [ ] [ ] ( ) nnmnnhnvnm 15
1111151
1511*10,5
5
5
=⋅=−⋅=⇒∈ ∑−=
[ ] [ ] ( ) ( )( )30
2012
1021151
1511*20,10
25
15
++−=
+−⋅=−⋅=⇒∈ ∑
−=
nnnnmnnhnvnnm
210
2102
2515 +
=+−
=+−
−nnnnn
[ ) [ ] [ ] 0*,20 =⇒+∞∈ nhnvn
48
16
8
24
32
40
x (n) * y (n)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 45
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 46
Zastosowanie przekształcenia Z do wyznaczania splotu 1. Wyznaczamy transformaty Z sygnałów wejściowych 2. Obliczamy iloczyn transformat 3. Wiedząc, że ( ) ( ) ( ) ( )zXzXnxnx Z
2121 * ⋅⎯→← obliczamy transformatę odwrotną i uzyskujemy splot
Zadanie Wyznacz splot sygnałów:
( )
( )⎩⎨⎧ ≤≤
=
−=
chwilachinnychwn
nx
nx
0501
1,2,1
2
1
Rozwiązanie: Transformaty Z sygnałów ( )nx1 i ( )nx2 wynoszą odpowiednio
( )( ) 54321
2
211
1
21−−−−−
−−
+++++=
+−=
zzzzzzX
zzzX
Iloczyn transformat
( ) ( ) ( ) 76121 1 −−− +−−=⋅= zzzzXzXnX
Transformata odwrotna z iloczynu jest splotem
( ) 1,1,0,0,0,0,1,1 −−=nx Zadanie Korzystając z transformaty Z wyznacz i naszkicuj splot sygnałów ( )nx i ( )ny .
n 0 1 2 3 4 5
n
x1(n)
-1 0 1 2 3 4
1
-2
x1(n)
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 47
( )
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
>==−=−=<
=
303122110100
nnnnnn
nx ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
>≤≤
<=
60605,0
00
nn
nny
Rozwiązanie:
( ) ( ) ( ) ( )zYzXnynx Z ⋅⎯→←*
( )( ) ( )654321
321
15,021
−−−−−−
−−−
++++++=
+−−=
zzzzzzzYzzzzX
( ) ( ) ( ) ( )
(
)( )98765432
9876543
8765432
7654321
654321
654321321
22015,0
2222222
15,015,021
−−−−−−−−
−−−−−−−
−−−−−−−
−−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−−−−
+−−−−−−−+=
+++++++
−−−−−−−
−−−−−−−
++++++=
=++++++⋅⋅+−−=⋅
zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz
zzzzzzzzzzzzz
zzzzzzzzzzYzX
( ) ( ) 5,0;5,0;1;5,0;5,0;5,0;5,0;1;0;5,0* −−−−−−−=nynx
n
x(n)
-1 0 1 2 3 4
1
-2
0,5
0 1 2 3 4 5 6n
y(n)
0,5
-0,5
-1
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x(n)*y(n)
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 48
7. Dyskretne przekształcenie Fouriera (DFT)
Bezpośrednia metoda obliczeń jednowymiarowej DFT Transformata Fouriera jest operacją zamiany postaci czasowej sygnału na postać częstotliwościową. W systemach z czasem dyskretnym wykorzystuje się dyskretną transformację Fouriera (DFT - discrete Fourier transformation), która jest odpowiednikiem transformaty Fouriera dla systemów ciągłych. Obliczanie DFT odbywa się według następującej zależności:
( ) ( )∑−
=
=1
0
N
n
knNWnxkX (7.1)
przy czym k N= −0 1 1, ,..., oraz W eN
jN=
−2π
Sygnał wejściowy DFT
( )0x ( )1x ( )1−Nx → ( )0X ( )1X ( )1−NX
N N
Dyskretne przekształcenie Fouriera jest przekształceniem Z obliczanym dla N punktów (rys.7.1) oddalonych od siebie o ten sam kąt na okręgu jednostkowym płaszczyzny Z.
012π/Ν
zz
Re
Im
Rys.7.1. Rozmieszczenie próbek na płaszczyźnie Z dla DFT
Ponieważ x(n) może być ciągiem zespolonym, więc równanie (7.1) przyjmie postać
( ) ( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ]( )∑−
=
+−=1
0ImImReRe
N
n
knN
knN WnxWnxkX ( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ]( )kn
Nkn
N WnxWnxj ReImImRe + (7.2)
Przyjmuje się, że złożoność obliczeniowa N-punktowego DFT wynosi N2. Dokładne liczby operacji mnożenia i dodawania zestawiono w tabeli 1. Tabela 1: Złożoność obliczeniowa obliczeń DFT Operacje zespolone Operacje rzeczywiste Liczba mnożeń N2 4N2 Liczba dodawań N(N-1) N(4N-2)
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 49
Zadanie: Wyznacz 4 punktową DFT dla próbek wejściowych ( ) ( ) ( ) ( ) 43,32,21,10 ==== xxxx . Rozwiązanie:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kkk
n
knkN WxWxWxWxWnxkX 3
42
414
3
0
04 3210 ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅= ∑
=
1e0
4π2j0
4 ==⋅−
W
j2πsinj
2πcosee 2
πj1
4π2
j14 −=−===
−⋅−W
1ee jπ24π2j2
4 −=== −⋅−W
j2π3sinj
23πcosee 2
3πj34π2j3
4 +=−===−−
W
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kkk xxjxxkX j31210 ⋅+−⋅+−⋅+= Zatem próbki DFT mają wartości:
( ) 1043210 =+++=X ( ) jjjX 2243211 +−=+−−= ( ) 243212 −=−+−=X ( ) jjjX 2243213 −−=−−+=
Dwuwymiarowa dyskretna transformata Fouriera (2D DFT)
( )nmf , ( )qpF , N N M M
( ) ( )
( )∑∑
∑∑∑∑−
=
−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
−
=
−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−
=
−−
=
−
=
===
1
0
1
0
π2
1
0
1
0
π221
0
π21
0
π2
e,
e,e,),(
M
m
N
n
Nqn
Mpmj
M
m
N
n
qnN
pmM
jM
m
qnN
jN
n
pmM
j
nmf
nmfenmfqpFπ
Zadanie: Wyznacz dwuwymiarową DFT dla macierzy
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
4321
)1,1()0,1()1,0()0,0(
,ffff
nmf
Rozwiązanie:
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 50
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
????
)1,1()0,1()1,0()0,0(
,FFFF
qpF
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1014131211
e1,1e0,1e1,0e0,00,0 210
2102
200
2102
210
2002
200
2002
==⋅+⋅+⋅+⋅=
=+++=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
+⋅
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
+⋅
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
+⋅
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
+⋅
− ππππ jjjjffffF
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
24321
)1(43)1(214321
4321
e1,1e0,1e1,0e0,01,0
212
212
211
2102
201
2102
211
2002
201
2002
−==−+−=
=−⋅++−⋅+==+++=
=+++=
=+++=
−−
−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
+⋅
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
+⋅
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
+⋅
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
+⋅
−
ππ
ππ
ππππ
jj
jj
jjjj
eeee
ffffF
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4433
)1(4)1(321e1,1e0,1e1,0e0,00,1 2
102112
200
2112
210
2012
200
2012
−==−−=
=−⋅+−⋅++==+++=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
+⋅
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
+⋅
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
+⋅
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
+⋅
− ππππ jjjjffffF
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
04321
e4)1(3)1(21e1,1e0,1e1,0e0,01,1
2
211
2112
201
2112
211
2012
201
2012
==+−−=
=+−⋅+−⋅+=
=+++=−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
+⋅
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
+⋅
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
+⋅
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
+⋅
−
π
ππππ
j
jjjjffffF
1π2sinπ2cosj2π =−=− je Ostatecznie
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
04210
,qpF
Zadanie: Wyznacz dwuwymiarową DFT dla macierzy
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
4321
)1,1()0,1()1,0()0,0(
,ffff
nmf
korzystając ze wzoru na jednowymiarową DFT.
FFT z podziałem czasowym Efektywniejszą metodą obliczania DFT jest algorytm szybkiej transformacji Fouriera (FFT - fast Fourier transformation). Złożoność obliczeniowa N-punktowego FFT jest proporcjonalna do liczby [N*log(N)]. Typowo algorytmy FFT stosuje się w przypadku N powyżej wartości 32. Algorytm FFT z podziałem czasowym bazuje na dekompozycji N-punktowego DFT na
1πsinπcosjπ −=−=− je
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 51
dwa niezależne N/2-punktowe DFT1. Pierwszy z nich zawiera jedynie próbki parzyste sygnału wejściowego, drugi natomiast próbki nieparzyste [Opp79]:
( ) ( ) ( )∑ ∑+=parzyste enieparzyst
xn n
nkN
nkN WnWnxkX )
Dokonując podstawienia n=2r dla n parzystych i n=2r+1 dla n nieparzystych otrzymujemy
( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑−
=
−
=
+++=1
2
0
12
0
122 122
N
r
N
r
krN
rkN WrxWrxkX
( )( ) ( )( )∑∑−
=
−
=
++=1
2
0
21
2
0
2 122
N
r
rkN
kN
N
r
rkN WrxWWrx
Wiedząc, że
W e e WN
jN
jN
N2 2 2 2
2
2
= = =− −
π π/
równanie można zapisać w postaci
( ) ( ) ( )∑∑−
=
−
=
++=1
2
0 2
12
0 2
122
N
r
rkN
kN
N
r
rkN WrxWWrxkX
A zatem ( ) ( ) ( )kHWkGkX k
N+= przy czym ( )kG - N/2-punktowa DFT parzystych punktów ciągu ( )nx , ( )kH - N/2-punktowa DFT nieparzystych punktów ciągu ( )nx , )/π2(je N
NW −= . Zadanie: Naszkicuj graf FFTwyznaczania dwupunktowej DFT. Korzystając z naszkicowanego grafu wyznacz dwuwymiarową DFT dla macierzy
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
4321
)1,1()0,1()1,0()0,0(
,ffff
nmf .
Rozwiązanie:
x(0)
x(1)
X(0)
X(1)W2
1
W20
Rys. Graf wyznaczania 2-pkt. dyskretnej transformaty Fouriera
+ rozwiązanie dla zadanej macierzy Zadanie: Sprawdź czy dla 4=N zachodzą zależności:
1 Próbki wejściowe (dziedzina czasu) uporządkowane są w tym typie algorytmu FFT zgodnie z tzw. rewersją bitów. Owo specyficzne uporządkowanie ciągu wejściowego ma odzwierciedlenie w nazwie algorytmu „FFT z podziałem czasowym”.
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 52
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )31
203120
HHHH
GGGG
==
==
( ) ( )∑−
=
⋅⋅=1
2
0 2
2
N
r
krNWrxkG
Rozwiązanie:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )31
122223
122221
20
222222
220
12
0
12
0
31
2
0
32
12
0
3
24
12
0
12
0
12
0
12
12
0
1
24
12
0
12
0
12
0
12
0
21
2
0
22
22
22
24
12
0
12
0
0
2
GG
rxerxWrxWrxG
rxerxWrxWrxG
GG
rxerxerxWrxWrxG
rxWrxG
N
r
N
r
rj
N
r
r
N
r
r
N
r
N
r
rj
N
r
r
N
r
r
N
r
N
r
N
r
N
r
rj
N
r
rjrr
N
r
N
r
rN
=
−⋅=⋅=⋅=⋅=
−⋅=⋅=⋅=⋅=
=
=⋅=⋅=⋅=⋅=
=⋅=
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑ ∑ ∑∑
∑∑
−
=
−
=
⋅−
−
=
⋅
−
=
⋅
−
=
−
=
⋅−
−
=
⋅
−
=
⋅
−
=
−
=
−
=
−
=
⋅−
−
=
⋅⋅−⋅⋅
−
=
−
=
⋅
π
π
ππ
Podobnie sprawdzamy wartości ( )kH . Zadanie:
1. Naszkicuj graf FFT z podziałem czasowym dla N=4. 2. Wyznacz dokładne wartości współczynników k
NW wykorzystywanych przez graf. 3. Podaj jakimi równaniami są opisane poszczególne próbki DFT 4. Oblicz wartości 2D DFT dla macierzy
( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
0000111100001111
,nmf
Rozwiązanie:
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 53
x(0)
x(2)
x(1)
x(3)
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)W2
1
W20
W21
W20
W41
W40
W42
W43
Rys. Graf wyznaczania 4-pkt. dyskretnej transformaty Fouriera
x(1)
x(5)
x(3)
x(7)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
x(0)
x(4)
x(2)
x(6)
X(2)
X(0)
X(1)
X(3)
W80
W80
W80
W80
W80
W80
W80
W80W4
3
W42
W41
W40
W43
W42
W41
W40W2
0
W21
W20
W20
W20
W21
W21
W21
Rys. Graf wyznaczania 8-pkt. dyskretnej transformaty Fouriera (uwaga na błędy w grafie )
FFT z podziałem częstotliwościowym Równanie (7.1) transformaty DFT można także zapisać następująco:
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 54
( ) ( ) ( )∑∑−
=
−
=
+=1
2
12
0
N
Nn
nkN
N
n
nkN WnxWnxkX
( ) ( ) nkN
N
n
N
n
NkN
nkN WNnxWWnxkX ∑ ∑
−
=
−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
12
0
12
0
2/
2
Otrzymano niestety dwa wyrażenia, które nie są N/2 punktowymi transformatami Fouriera,
ponieważ występują czynniki WNnk , a nie WN
nk
2
. Wiedząc, że ( )kkN
NW 12 −= , możemy więc
zapisać
( ) ( ) ( ) nkN
N
n
k WNnxnxkX ∑−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+=
12
0 21 .
Dla parzystych wskaźników k otrzymujemy
( ) ( ) rnN
N
nWNnxnxrX 2
12
0 22 ∑
−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
natomiast dla nieparzystych wskaźników k
( ) ( ) rnN
nN
N
nWWNnxnxrX 2
12
0 212 ∑
−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=+
Pamiętając, że W WNrn
Nrn2
2
= ,
( ) ( ) knN
N
n
WNnxnxkX2
12
0 2∑−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++= dla k parzystego
( ) ( ) knN
nN
N
n
WWNnxnxkX2
12
0 2∑−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−= dla k nieparzystego.
Zatem obliczanie FFT z podziałem częstotliwości polega wyznaczeniu ciągu ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
2Nnxnx
oraz ciągu ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
2Nnxnx przemnożonego przez współczynnik n
NW , a następnie obliczeniu
N/2 punktowych transformat obu ciągów. Zadanie:
1. Naszkicuj graf FFT z podziałem częstotliwościowym dla 4=N , 2. Wyznacz dokładne wartości współczynników n
NW wykorzystywanych przez graf, 3. Podaj równania opisujące poszczególne próbki DFT, 4. Oblicz wartości 2D DFT dla macierzy.
( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
2222111122221111
, nmf
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 55
Zadanie: Naszkicuj graf obliczeń FFT z podziałem częstotliwościowym dla N=8.
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
X(2)
X(0)
X(1)
X(3)
W80
W80
W80
W81
-1
x(1)
x(5)
x(3)
x(7)
x(0)
x(4)
x(2)
x(6)
W20
-1
-1
-1
W80
W82
W83
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
W20
W20
W20
W40
4W 1
W40
4W 1
Rys. Graf wyznaczania 8-pkt. dyskretnej transformaty Fouriera (uwaga na błędy w grafie )
Algorytm Goertzela Algorytm Goertzela zakłada, że do analizy częstotliwościowej sygnału potrzebny jest niewielki podzbiór próbek transformaty DFT. Procedura obliczeniowa algorytmu Goertzela polega na szeregowym przetwarzaniu danych wejściowych [Opp79]. Pojedyncza próbka
( )kX przekształcenia DFT z równania (8.1) jest określona wzorem
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1)1210 −−++++=
NkN
kN
kN
kN WNxWWxWxxkX K . (*)
Utwórzmy układ cyfrowy (filtr IIR), który będzie działał zgodnie z równaniem różnicowym
( ) ( ) ( )1−+= − nyWnxny kk
Nk .
Po przetworzeniu całego bloku próbek wejściowych sygnał wyjściowy będzie wówczas określony wzorem
( ) ( ) ( )( )101)1( −−++−=− NkNk WxNxNy K . (**)
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 56
Porównując (*) z (**) zauważamy, że aby otrzymać próbkę widma ( )kX należy ostatnią próbkę ( )1−Nyk sekwencji wyjściowej przemnożyć przez współczynnik ( )1−Nk
NW , który można zapisać jako
( ) kN
kN
kNN
NkN WWWW −−− ==1 ,
ponieważ 1ee π2jπ2j
=== −− kkNNkN
NW . Transmitancja układu (rys. 6) realizującego obliczenia próbki ( )kX jest określona wzorem
( ) 11 −−
−
−=
zWW
zH kN
kN
k .
kN2πj
e
( )kX
T
+
X
kN2πj
e
X( )nx
Rys. Układ zespolonego algorytmu Goertzela
Przy założeniu, że ciąg wejściowy ( )nx jest rzeczywisty do wyznaczenia ( )kX jest konieczne wykonanie N4 mnożeń rzeczywistych i ( )13 −N sumowań liczb rzeczywistych. Tak więc obliczenia realizowane zgodnie z układem na rys. 6 są mniej efektywne od metody bezpośredniej wynikającej z równania (7.1). Zaletą jego jest jednak to, że nie wymaga on wyznaczania ani pamiętania współczynników WN
kn- , gdyż są one obliczane rekursywnie. W celu zmniejszenia liczby operacji arytmetycznych, można zmodyfikować omawiany
algorytm przekształcając transmitancję (8.18) w następujący sposób
=)(zH k( )
21
1
π2cos21
1−−
−−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−
zzkN
zWW kN
kN
21
1
π2cos21 −−
−−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−=
zzkN
zW kN .
Transmitancji określonej wzorem (8.19) odpowiada filtr IIR pokazany na rys. 7. W tym przypadku dla każdego indeksu k należy wykonać N+1 mnożeń liczb rzeczywistych oraz 2N-1 sumowań liczb rzeczywistych. Jak można zauważyć, liczba mnożeń jest teraz ok. dwukrotnie mniejsza od liczby wymaganej przy obliczeniach bezpośrednich. Jedynymi wartościami, które muszą być obliczone i zapamiętane dla każdej wyznaczanej próbki widma
( )kX są współczynniki ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Nkπ2cos oraz
kNk
NWπ2j
e=− . W algorytmach detekcji sygnałów (np.
detekcji telefonicznych sygnałów DTMF) mnożenia przez współczynnik zespolony w ogóle nie trzeba wykonywać, jeżeli analizy sygnału dokonuje się na podstawie jego energii. W celu
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 57
redukcji błędu położenia badanej składowej widma, współczynniki ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Nkπ2cos można
wyznaczać jako ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
s
k
ff
π2cos , gdzie fk – częstotliwość badanej składowej, fs- szybkość
próbkowania.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Nk2π2cos
( )kX
T
+
X
kN2πj
e
X( )nx
1- T
X
1-X
+
Rys. Układ algorytmu Goertzela
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2006 58
8. Projektowanie filtrów FIR
Projektowanie FIR metodą okien Kroki projektowania:
1. Wybór typu filtru:
- dolnoprzepustowy,
- górnoprzepustowy,
- pasmowoprzepustowy,
- pasmowozaporowy,
2. Analityczne wyznaczenie wzoru na dyskretną odpowiedź impulsową
( ) ( ) Ω= Ω
−
Ω∫ deeHnh njjd
π
ππ21
3. Obliczenie wartości próbek odpowiedzi impulsowej ( )nhd dla zakresu
21
21 −
≤≤−
−NnN (zakładamy, że N jest nieparzyste),
4. Wymnożenie próbek odpowiedzi impulsowej przez przez próbki wybranej funkcji okna w
celu eliminacji zjawiska Gibbsa („tracimy” na stromości zbocza, ale „zyskujemy” na
tłumieniu w paśmie zaporowym)
( ) ( ) ( )nwnhnh Ndw ⋅=
5. Przesunięcie w prawo otrzymanego wyniku, aby filtr był przyczynowy.
Odpowiedzi impulsowe Odpowiedź impulsowa idealnego filtru dolnoprzepustowego:
Ω
( )ΩjeH
cω
1
0cω−
[ ] ( )nnee
ne
neh c
njnjnjn
d
ccc
c
c
cπ
sinj2π
1j1
π21d1
π21 j ωωωω
ω
ω
ω
=−
==Ω⋅=−
−
Ω
−
Ω∫
( )( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠=
0
0sin
n
nnn
nhc
c
d
πωπω
Odpowiedź impulsowa idealnego filtru górnoprzepustowego:
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2006 59
( )( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
≠−=
01
0sin
n
nnn
nhc
c
d
πωπω
Odpowiedź impulsowa idealnego filtru pasmowo-przepustowego:
( )( ) ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
≠−
=0
0sinsin
12
12
n
nn
nn
nhd
πωω
πωω
Odpowiedź impulsowa idealnego filtru pasmowo-zaporowego:
( )( ) ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
−
≠−
=01
0sinsin
12
21
n
nn
nn
nhd
πωω
πωω
Typy okien Okno Hamminga:
( )⎪⎩
⎪⎨⎧ −
≤≤−
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+=
poza02
12
11
π2cos46.054.0 NnNN
nnwN
Okno Hanninga:
( )⎪⎩
⎪⎨⎧ −
≤≤−
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+=
poza02
12
11
2cos121 NnN
Nn
nwN
π
Okno Blackmana:
( )⎪⎩
⎪⎨⎧ −
≤≤−
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−+=
poza02
12
11
4cos08.01
2cos5.042.0 NnNN
nN
nnwN
ππ
Zadanie: Korzystając z metody okien zaprojektuj dolnoprzepustowy filtr FIR o długości 5=N (rząd = 4), przyjmując, że π2.0=cω . Narysuj schemat filtru. Rozwiązanie: Stosujemy wzór na odpowiedź impulsową filtru dolnoprzepustowego
( )( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠=
0
0sin
n
nnn
nhc
c
d
πωπω
Wartości próbek dla okna prostokątnego: ( ) =− 2h 0.1514 ( ) =−1h 0.1871 ( ) =0h 0.2000 ( ) =1h 0.1871 ( ) =2h 0.1514
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2006 60
Transmitancja filtru (okno prost.): ( ) 4321 1514.01871.02.01871.01514.0 −−−− ++++= zzzzzH Wartości próbek dla okna Hamminga
( ) =− 2h 0.0121 ( ) =−1h 0.1010 ( ) =0h 0.2000 ( ) =1h 0.1010 ( ) =2h 0.0121
Transmitancja filtru (okno Hamminga): ( ) 4321 0121.01010.02.01010.00121.0 −−−− ++++= zzzzzH
Schemat układu Zadanie: Wyznacz odpowiedź impulsową idealnego filtru górnoprzepustowego. Następnie zaprojektuj górnoprzepustowy filtr FIR o długości 5=N , przyjmując, że π1.0=cω . Narysuj schemat filtru.
Projektowanie filtrów FIR metodą próbkowania w dziedzinie częstotliwości Każdą funkcje okresową można przedstawić jako szereg Fouriera. Stąd możemy zapisać, iż:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ωω
ωω
ω
ω
ωω
deeHkTh
gdzie
zkThzH
ekTheH
TjkTj
s
k
k
Tjk
k
Tj
s
s
∫
∑
∑
−
∞
−∞=
−
∞
−∞=
=
=
=
2/
2/
1
( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑−
=
−+−+=2/)1(
1
' 0N
k
kk zkThzkThhzH
)()( '2/)1( zHzzH N −−= - przesunięcie, aby filtr był przyczynowy Zadanie: Stosując metodę okna Hamminga wyznacz transmitancję filtru odpowiadającego charakterystyce pokazanej na rysunku.
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2006 61
Rozwiązanie: Korzystając z wzorów zamieszczonych powyżej możemy zapisać:
∫−
=×===T
Tc
Tjk kTk
kT
Tk
kk
deTkTh2/
2/
)sin(1)241sin(1
2sin1
2)(
π
π
ω ωπ
ππ
ππ
ωπ
dla 0≠k
Gdzie cω jest pulsacją odcięcia filtru. Jeżeli przyjmiemy T=1 wówczas otrzymamy:
( )
( )
( )
02sin41)4(
31
23sin
31)3(
0sin212
1111
21
22
220
2
2
==
−==
==
==
===−
ππ
ππ
π
ππ
ππ
ππ
ωπ
π
π
Th
Th
Th
Th
TTTTh
T
T
0,31,0,1,
21)(
ππ−=kTh
Okno Hamminga jest określone wzorem:
12cos46,054,0)(
−+=
Nkkwhmπ
W naszym zadaniu 9=N i otrzymujemy:
081,0cos46,054,0)4(
215,04
3cos46,054,0)3(
541,02
cos46,054,0)2(
865,04
cos46,054,0)1(
10cos46,054,0)0(
=+=
=+=
=+=
=+=
=+=
π
π
π
π
hm
hm
hm
hm
hm
w
w
w
w
w
Połowa próbek odpowiedzi impulsowej:
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2006 62
0,3215,0,0,865,0,
21)()()(
ππ−== kwkhkh hmw
Transmitancja ( )zH ' jest określona wzorem: 3311
3215,0
3215,0865,0865,0
21)(' zzzzzH
ππππ−−++= −−
3113
3215,0865,0
21865,0
3215,0)(' −− −+++−= zzzzzH
ππππ
Aby znaleźć ostateczną postać korzystamy ze wzoru:
6432
3
3215,0865,0
21865,0
3215,0)(
)(')(
−−−−
−
−+++−=
=
zzzzzH
zHzzH
ππππ
RYSUNEK UKŁADU
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 63
9. Aproksymacja Butterwortha i Czebyszewa
Aproksymacja Butterwortha Charakterystyka amplitudowa filtru Butterwortha rzędu n
( )nn jH
211ω
ω+
=
Korzystając z faktu, że: ( ) ( )
ωω
jsnn sHjH=
=
można zapisać:
( ) ( )( ) ( )nnnn
sj
jsHsH
2
2
2 11
1
1−+
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=−⋅ω
zatem bieguny ( ) 01 2 =−+
ns
( ) 12 −=−ns
( ) ( )π122 11 −=−=⋅− kjnn es nk 2,,2,1 K=
( ) ( )π1221 −=⋅− kjnn es ( ) njkjn ees ππ122 −=
Zatem k -ty biegun ( ) nnkj
k es 2/12 π−+= ( ) nkjnnj
k ees 2/122/ ππ −= ( ) nkj
k jes 2/12 π−= ( )[ ] ( )[ ]nkjnksk 2/12cos2/12sin ππ −+−−=
Transmitancja:
( ) ( )( ) ( )nsssssssH
−⋅⋅−−=
K21
1
Projektowanie filtru: 1. Wyznaczenie rzędu filtru n na podstawie warunków tłumienności (wartość n
zaokrąglamy „w górę” do wartości całkowitej), 2. Wybór odpowiedniej charakterystyki znormalizowanej ( )sH n ,
3. Dokonanie denormalizacji częstotliwościowej ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
cn
sHsHω
.
Projektowanie filtru o zadanej falistości Rząd filtru:
kk
n d
10
10
loglog
≥
110
110
10
10
−
−=
s
p
dk α
α
- parametr dyskryminacji
k=s
p
ωω
- parametr selektywności
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 64
Zadanie: Wykreśl kilka charakterystyk amplitudowych dla różnych rzędów n. Jaką wartość przybiera charakterystykę dla 1=ω ?
| Hn(jω)|= 2
1 =0,707| Hn(jω)|max
Rozwiązanie: Matlab w=[0:0.01:4]; H1=(sqrt(1+w.^2)).^(-1); H2=(sqrt(1+w.^3)).^(-1); H3=(sqrt(1+w.^4)).^(-1); H4=(sqrt(1+w.^5)).^(-1); plot(w,H1,w,H2,w,H3,w,H4); grid on; legend('n=2','n=3','n=4','n=5');
Zadanie: Naszkicuj położenie biegunów oraz podaj transmitancje dolnoprzepustowych filtrów Butterwortha rzędów: 1, 2, 3 i 4.
Matlab % n jest rzędem filtru n=2 for k=1:n s(k)=exp(j*(2*k+n-1)*pi/(2*n)) % otrzymujemy bieguny end poly(s) % mianownik transmitancji
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 65
n=1 s1=-1
H(s)= 1
1+s
n=2 s1,2=
21
− ± j2
1
H(s)= 12
12 ++ ss
n=3 s1,3= 2
1− ± j
23
s2= -1
H(s)= 122
123 +++ sss
n=4
s1,4=-0,3827±j0,9239
s2,3=-0,9239±j0,3827 H(s)=
16131,24142,36131,21
234 ++++ ssss
Zadanie: Korzystając ze wzoru na znormalizowaną charakterystykę amplitudową filtru Butterwortha znajdź transmitancję filtru, który posiada tłumienie α≥10 dB dla pulsacji cω2 , przy czym ωc=2500. Wykreśl charakterystyki filtru zgodnie z warunkiem zadania.
Rozwiązanie:
|Hn(j2)|2= n2211
+ dla filtru znormalizowanego
-10log10|Hn(j2)|2=10log10(1+22n)≥10
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 66
1+22n≥10
22n≥9
n=2ln2
9ln
Przyjmujemy 2=n zatem
( )sH n = 14142,1
12 ++ ss
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
cn
sHsHω
=1106569,5106,1
1427 +⋅+⋅ −− ss
Wykres Matlab w=[0:20:6000]; b=[0 0 0 1] a=[1.6e-7 5.6569e-4 1] freqs(b,a,w) Zadanie: Znajdź transmitancję dolnoprzepustowego filtru Butterwortha, który dla podwójnej pulsacji odcięcia ma tłumienie min 20 dB. Odcięcie 3kHz.
|Hn(j2)|2= n2211
+
-10log10|Hn(j2)|2=10log10(1+22n)≥20
1+22n≥102
n=3.3
n=4 ( )sH n = 432 6131,24142,36131,211
ssss ++++
54.1884930002 =⋅⋅= πωc
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
cn
sHsHω
= 418313294 109213,7109017,310609,9103869,111
ssss −−−− ⋅+⋅+⋅+⋅+
Projektowanie filtrów o zadanej falistości Zadanie: Wyznacz n i H(s) dla filtru Butterwortha przy następujących warunkach.
α≤0,1dB dla f≤5MHz
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 67
α≥60dB dla f≥12MHz Korzystając z MATLABa Wykreśl charakterystyki filtru. Zaobserwować zafalowania. Rozwiązanie:
k1=110
110
1060
101,0
−
− =0,1562 10-3 k=123 =0,25
n≥6,33
( )14940.40978.105920.145920.140978.104940.4
1234567 +++++++
=sssssss
sH
Przeskalowanie: α(ω)-10log(1+ω2n)
ω2n= 110 101,0
−
ω= 764,011014 01,0 =−
s← 61032 ⋅πs s← s 4,0533 10-8
H(s)=
....106591,6106991,2100940,1104343,4107973,11
323430537645752 +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ −−−−− sssss
1100533,4106429,1.... 8215 +⋅+⋅+ −− ss
H(s)= +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ −−−−− 322429536644752 107169,9109385,3101047,1109911,110797,1
1sssss
1108215,1106589,1 7214 +⋅+⋅+ −− ss
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 68
Aproksymacja Czebyszewa Charakterystyka amplitudowa dolnoprzepustowego filtru Czebyszewa
( )( )
,...3,2,11
122
=+
= nT
jHn
nωε
ω
Wielomiany Czebyszewa
( )( )
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
>⋅
≤⋅=
−
−
1coshcosh
1coscos1
1
ωω
ωωω
dlan
dlanTn
Wzór rekurencyjny: ( ) ( ) ( ) ,...3,2,12 11 =−= −+ nTTT nnn ωωωω
Zafalowania ( )
110
][1log10
10
210
−=
+=
p
dBp
α
ε
εα
Transmitancja
012
21
1 ...)(
asasasasksH n
nn +++++
= −−
stała k jest dobierana w celu osiągnięcia odpowiedniego poziomu DC
Położenie biegunów
( ) ( ) ωε
jsbo
jsT
sHsH
n
nn =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
=−⋅ ,1
122
εε112 −
±=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛jsTzatem
jsT nn
εj
jsn ±=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅ −1coscos
βα jjs
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−1cos
εβαβα
ε
jnnjnn ±=⋅+⋅
±
44 344 2144 344 2110
sinhsincoshcos
( ) nkn
k 2,...,3,2,12
12 =⋅−=πα
Ponieważ 1sin ±=αn
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛±= −
εβ 1sinh1 1
n
Bieguny
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 69
( )
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ⋅−+
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ⋅−−=
−
−
επ
επ
1sinh1cosh2
12cos
1sinh1sinh2
12sin
1
1
nnkj
nnksk
kkk js ωσ += Zadanie Wyznacz i wykreśl funkcje wielomianowe Czebyszewa dla 51 ≤≤ n . Jakie własności posiadają wielomiany Czebyszewa?
a) ( ) egonieparzystndlaTn 00 =
( ) parzystegondlaTn 10 =
b) ( ) 1010 ≤≤≤≤ ωω dlaTn
( ) 11 ≥> ωω dlaTn
Wykresy
( ) ωω =1T
( ) 12 22 −= ωωT
( ) ωωω 34 33 −=T
( ) 188 244 +−= ωωωT
( ) ωωωω 52016 35
5 +−=T
MATLAB w=[-1:0.01:1]; for i=1:5; subplot(5,1,i); t=cos(i*acos(w)); plot(w,t); grid on end;
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 70
Zadanie: Wykreśl charakterystyki amplitudowe i tłumieniowe dla dolnoprzepustowego filtru Czebyszewa rzędu n = 3,4 i 5. W jakim zakresie zmienia się charakterystyka amplitudowa w paśmie przepustowym? ε = 1.
Wykres charakterystyk dla dolnoprzepustowego filtru Czebyszewa rzędu: a) trzeciego, b) czwartego, c) piątego MATLAB w=[0:0.01:3]; t=4*w.^3-3*w; A=(sqrt(1+t.^2)).^(-1); plot(w,A);
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 71
Zadanie: Wykreśl położenie biegunów filtru Czebyszewa dla n=4 i ε=0,458. Poprawność obliczeń sprawdź korzystając z funkcji CHEB1AP. Jak położone są bieguny?
(1) - ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
ε1sinh1cosh 1
n,
(2) - ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
ε1sinh1sinh 1
n
Zadanie: Wyznacz transmitancję dolnoprzepustowego filtru Czebyszewa posiadającego tłumienie minimum 20 dB przy podwójnej pulsacji odcięcia. Częstotliwość odcięcia wynosi 3 kHz. Zafalowania w paśmie przepustowym 1 dB. Wykorzystuj CHEB1ap wykreśl charakterystykę filtru.
5088,0110 10
=−=
εε
α p
( ))(1
122
2
ωεω
nn T
jH+
=
( ) ( )( )[ ] 12coshcoshloglog
20log10log10log101
1010
210
210
210
≥⋅+
≥+=−−n
TjH nn
ε
ωεω
( )[ ]43421
2935.1
101
10 log12coshcoshlog ε−≥⋅ −n
( )
8,2317,1670,3
670,32cosh65,192coshcosh
1
1
=≥
≥⋅
≥⋅−
−
n
nn
( )4913,02384,19883,0
4913,023 +++
=sss
sH n
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 72
4913,0105699,6107815,2104931,14913,0)(
30002
529313 +⋅+⋅+⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⋅=
−−− ssssHsH
cn
c
ω
πω
( ) 2
3 ωjH w funkcji ω
Projektowanie filtrów Czebyszewa o zadanych falistościach w paśmie przepustowym i zaporowym
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
≥
s
d
kar
kar
n1cosh
1cosh
110
110
10
10
−
−=
s
p
dk α
α
s
psk
ωω
=
Zadanie: Znajdź transmitancję dolnoprzepustowego filtru Czebyszewa spełniającego następujące warunki.
MHzfdladBMHzfdladB
126031,0
≥≥≤≤
αα
Wykorzystaj CHEB1ORD i CHEBY1. Wykreśl charakterystykę amplitudową i tłumieniową filtra. Rozwiązanie:
59462,406344,248071,9
4cosh2212,6552cosh
===ar
arn
( ) ωωωω 52016 355 +−=T
MATLAB
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 73
( )
);'',,1.0,(1],[108850.1
5;'',60,1.0,6^10122,610^3pi2CHEB1ORDWn][N,
7
sWnNchebyABWnN
spi
=⋅=
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 74
10. Projektowanie filtrów IIR. Przekształcenie impulsowo-inwariantne i biliniowe
Zadanie: Oblicz transformatę Z sygnału ( ) ( )ωnnh sin= . Traktując otrzymany wynik jako transmitancję filtru, narysuj jego schemat w postaci niekanonicznej i kanonicznej. Ostateczny wynik powinien mieć postać:
( ) 21
1
21 −−
−
+−⋅
=zBz
zAzH
Wyznacz 10 pierwszych punktów odpowiedzi układu na pobudzenie impulsem jednostkowym. Zakładamy zerowe warunki początkowe oraz 1=sygf kHz oraz 4=probf kHz. Rozwiązanie: Wiedząc, że
az
zaZeexeex nxxxx
−=
+=
−=
−−
;2
cos;j2
sinjjjj
korzystamy z zależności
( ) ( ) ωω
ωω
ω jnj
jnjn
ezzeZ
jeennh
−=
2−
==−
oraz sin
Otrzymujemy więc
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( )( )
( )
1cos2sin
1cos2sin
122
2222
22
12
1
22
22
+−=
=+−
=+−−
−=
−−+−−
=
=−⋅−
−−−=
−−
−=
−−
−
−
−
−
−
−
−
−
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
zzz
zzz
zezezjeez
ezezjzezzez
jezjezjezzjezz
jezz
jezzzH
jj
jj
jj
jj
jj
jj
jj
Schemat układu w postaci niekanonicznej
x(n)
-1zωsin
+
y(n)
ωcos2
1-
x
x
x
-1z
-1z
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 75
1−z we
+
+
1−zwy ωcos2 ωsin
1-x
x x
1−z
Równanie różnicowe dla układu jest następujące:
( ) ( ) ( ) ( )21cos21sin −−−+−= nynynxny ωω Znormalizowana pulsacja jest określona wzorem
prob
syg
ff
πω 2=
Dla warunków podanych w zadaniu
241 ππω =2=
W tym przypadku równanie różnicowe jest określone wzorem
( ) ( ) ( ) ( )21011 −−−+−= nynynxny Zatem
( ) ( ) ( )21 −−−= nynxny Pierwsze 10 pkt. odpowiedzi układu:
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ( )nx 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( )ny 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1
Przekształcenie biliniowe Transformacja biliniowa wynika z reguły całkowania numerycznego metodą trapezów i jest zdefiniowana wzorem:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
=112
zz
Ts
Transformacja ta przekształca lewą półpłaszczyznę zmiennej s w okrąg jednostkowy na płaszczyźnie z. Podstawiając z e j d= ω w podanym wyżej wzorze otrzymujemy zależność pomiędzy pulsacją ω filtru analogowego a pulsacją ωd filtru cyfrowego:
ω ω=
22T
dtan
Zadanie: Wyznacz równanie różnicowe cyfrowego regulatora PID (proportional-integral-derivative), którego prototyp analogowy opisany jest wzorem
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 76
( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++= ∫ dt
deKdtteKteKtu dip ,
gdzie e(t) jest sygnałem błędu, Kp, Ki, Kd – współczynnikami PID, a u(t) – kontrolnym sygnałem wyjściowym. Narysuj schemat układu. Rozwiązanie Transmitancję cyfrowego regulatora PID można przedstawić w postaci cyfrowej (korzystając z transformacji biliniowej) jako
( )( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
+−+
+=−
−
−
−
1
1
1
1
112
11
21
zz
TK
zzT
KKzEzU
sd
sip ,
przy czym sT jest okresem próbkowania. Powyższy wzór można zapisać w postaci
( )( ) 2
23
121
1 −
−−
−++
=z
zKzKKzEzU
,
gdzie współczynniki 1K , 2K i 3K wyznacza się na podstawie pK , dK , iK oraz sT . Równanie różnicowe jest określone wzorem
( ) ( ) ( ) ( ) ( )212 321 −+−++−= neKneKneKnunu . Schemat układu Zadanie: Wyznacz transmitancję, narysuj schemat blokowy cyfrowego filtru Butterworth'a o następujących parametrach:
- tłumienie 3 dB dla pulsacji odcięcia ω πdrad
s= 0 4. ,
- okres próbkowania T s= 50µ , - tłumienie 15 dB dla pulsacji 2ωd . Korzystając z MATLABa wykreśl charakterystyki częstotliwościowe zaprojektowanego filtru. W celu zaprojektowania filtru wyznacz ekwiwalentne pulsacje analogowe ω dla podanych parametrów. Następnie korzystając z zależności:
15
1
1log10 2
3
15
≥
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
− n
dB
dB
ωω
wyznacz rząd n filtru analogowego oraz dobierz znormalizowaną transmitancję ( )sH n . Następnie dokonaj denormalizacji, czyli wyznacz:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
dBn
sHsH3
ω.
Transmitancję filtru cyfrowego oblicz dokonując podstawienia: ( ) ( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
==
112
zz
Ts
sHzH
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 77
Rozwiązanie w skrypcie [4]
Przekształcenie impulsowo-inwariantne Zakładając, że znana jest transmitancja filtru analogowego
( ) ( )∑= +
=m
i i
i
ssA
sH1
można wyznaczyć za pomocą odwrotnej transformacji Laplace'a jego odpowiedź impulsową
( ) ∑=
−=m
i
tsi
ieAth1
Odpowiedź h(t) możemy spróbkować i otrzymany sygnał h(kT) potraktować jako odpowiedź impulsową projektowanego filtru cyfrowego, którego transmitancja wyraża się wzorem:
( ) ( )∑∞
=
−=0k
kzkThzH
= =−
=
∞−
= =
− −
=
∞
∑ ∑ ∑ ∑z A e A z ek
ki
s kT
i
m
ii
mk s kT
k
i i
0 1 1 0
=− − −
=∑ A
e zi
s Ti
m
i1 11
Zadanie: Zakładając, że pulsacja próbkowania jest 15-krotnie większa od pulsacji odcięcia, przy zastosowaniu transformacji impulsowo-inwariantnej wyznacz transmitancję filtru cyfrowego ekwiwalentnego do analogowego filtru dolnoprzepustowego Butterworth'a trzeciego rzędu, którego znormalizowana transmitancja jest określona wzorem:
( ) 322211
ssssH
+++=
W tym celu rozłóż podaną wyżej transmitancję na ułamki proste, wyznacz odpowiedź impulsową h(t) i spróbkuj ją z okresem T, wynikającym z warunku pulsacji próbkowania. Następnie oblicz transformatę Z spróbkowanej odpowiedzi impulsowej h(kT). Narysuj schemat filtru cyfrowego i za pomocą funkcji FREQZ wykreśl jego charakterystykę amplitudową i fazową. Rozwiązanie w skrypcie [5] Zadanie: Znormalizowana transmitancja filtru Czebyszewa trzeciego rzędu jest określona wzorem:
( ) 329883.02384.14913.04913.0
ssssH n +++
=
Narysuj schemat odpowiadającemu mu filtru cyfrowego i za pomocą funkcji FREQZ wykreśl jego charakterystykę amplitudową i fazową.
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 78
11. Kodowanie bezstratne
Znaczenie kompresji Obrazy bez kompresji 1 strona faksu A4 300dpi
(25 cm x 118 pkt/cm) x (17 cm x 118 pkt/cm) = 2950 x 2006 pkt.= 5917700 bitów = 5.6 Mb
XVGA
1024 pkt. x 768 pkt. x 24 bity = 18874368 bitów = 18 Mb
Współczynnik kompresji (compression ratio)
K=wielkość oryginalnych danych/wielkość danych po kompresji
Rodzaj kompresji: Rodzaj usuwanej informacji
bezstratna nadmiarowa (takie, które możemy odtworzyć z innych przesłanych danych)
prawie bezstratna niestotne dla ludzkich zmysłów
stratna jak najmniej istotne
Informacja i entropia Miarą informacji jaką zawiera wiadomość, jest logarytm o podstawie dwa z odwrotności prawdopodobieństwa tej informacji
( ) ii pxI 2log−= - entropia indywidualna (autoinformacja)
ix - zdarzenie
ip - prawdopodobieństwo zdarzenia Jeżeli sygnał zawiera dwie równie prawdopodobne wiadomości, czyli 2
1=ip wtedy ilość
informacji zawarta w jednej wiadomości wynosi
( ) 12log2 ==ixI bit
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 79
W systemach z modulacją PCM (pulse code modulation) sygnał zawiera L niezależnych poziomów. Jeżeli założymy, że prawdopodobieństwo występowania tych poziomów jest
równe, czyli Ni Lp
211
== wówczas mówimy, że jeden poziom ze zbioru L zawiera
informację równą ( ) NxI N
i == 2log2 bitów Im mniej prawdopodobne jest dane zdarzenie, tym więcej zawiera informacji. Entropia – średnia ilość informacji zawarta w jednej wiadomości
( ) ∑=
−=n
iii ppsH
12log
przy czym w zbiorze n niezależnych zdarzeń nxxs ,,1 K= każdemu z nich odpowiada prawdopodobieństwo npp ,,1 K . Średnia długość słowa kodowego (średnia ilość bitów przypadających na jeden symbol źródłowy)
∑=
⋅=N
iii lpL
1
Efektywność kodowania
LLmin=η
( )L
sH=η
Kodowanie Huffmana Algorytm:
1. Symbole źródła zostają spisane w porządku malejącego prawdopodobieństwa. Dwu symbolom o najmniejszych prawdopodobieństwach zostają przypisane symbole 0 i 1.
2. Te dwa symbole źródła zostają uznane za nowy symbol złożony źródła o prawdopodobieństwie równym sumie prawdopodobieństw symboli pierwotnych. Prawdopodobieństwo nowego symbolu zostaje umieszczone na liście zgodnie ze swoją wartością.
3. Omawiany proces jest powtarzany, aż uzyska się końcową listę statystyk źródła (symboli), zawierającą tylko dwa elementy, którym przyporządkowuje się symbol 0 oraz 1.
Kodowanie arytmetyczne W metodzie arytmetycznej 1 znak może opisywać ułamkową część bitu. Kompresja:
1. Utwórz statystykę i podziel przedział )1,0[ na podprzedziały
2. Ustaw granice 0dolna =GR i 1górna =GR
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 80
3. Wczytaj znak s z wejścia 4. Dokonaj korekt granic
( ) ( )sSTGRGRGRGR dól⋅−+= dolnagórnadolnadolna ( ) ( )sSTGRGRGRGR góra⋅−+= dolnagórnadolnagórna
5. Powtarzaj kroki 3 i 4 dla kolejnych symboli 6. Zapisz liczbę kodową LK
Dekompresja: 1. Wczytaj statystykę z podziałem na podprzedziały 2. Wczytaj liczbę kodową 3. Zdekoduj symbol wybierając odpowiedni podprzedział 4. Zmodyfikuj liczbę kodową
( )( ) ( )sSTsST
sSTLKLKdólgóra
dól
−−
=
5. Powtarzaj kroki 3 i 4 dopóki liczba kodowa jest różna od zera Zadanie Zakodować i zdekodować słowo MATKA korzystając z kodowania arytmetycznego. Rozwiązanie Statystyka źródła: Symbol s Prawdopodobieństwo
wystąpienia ( )sSTdól ; ( )sSTgóra
A 4,0
52
= )4,0;0<
K 2,0
51
= )6,0;4,0<
M 2,0
51
= )8,0;6,0<
T 2,0
51
= )1;8,0<
Proces kodowania: dolnaGR
górnaGR ( )dolnagórna GRGR −
0 1 1 M 0,6 0,8 0,2 A 0,6 0,68 0,08 T 0,664 0,68 0,016 K 0,6704 0,6736 0,0032 A 0,6704 0,67168 0,00128 Zakodowana liczba to dowolna liczba należąca do przedziału <0,6704 ; 0,67168) np. 0,6704 Proces dekodowania: LICZBA KODOWA: 0,6704
( ) ( )sSTGRGRGRGR dól⋅−+= dolnagórnadolnadolna ( ) ( )sSTGRGRGRGR góra⋅−+= dolnagórnadolnagórna
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 81
LK s ( )( ) ( )sSTsST
sSTLKLKdólgóra
dól
−−
=
0,6704 M (0,6704 – 0,6) : 0,2 0,352 A (0,352 – 0) : 0,4 0,88 T (0,88 – 0,8) : 0,2 0,4 K (0,4 – 0,4) : 0,2 0 A Zadanie: Zakodować i zdekodować słowo ADAM korzystając z kodowania arytmetycznego. Rozwiązanie Statystyka Symbol s Prawdopod.
wystąpienia ( )sSTdól ( )sSTgóra
A 0,5 0 0,5D 0,25 0,5 0,75M 0,25 0,75 1Kodowanie dolnaGR
górnaGR ( )dolnagórna GRGR −
0 1 1A 0 0,5 0,5D 0,25 0,375 0,125A 0,25 0,3125 0,0625M 0,296875 0,3125 0,015625 Dekodowanie: LICZBA KODOWA 0,296875 LK s ( )
( ) ( )sSTsSTsSTLKLK
dólgóra
dól
−−
=
0,296875 A 0,59375 0,59375 D 0,375 0,375 A 0,75 0,75 M 0
Kodowanie słownikowe Metoda LZ77 (algorytm ze słownikiem przesuwnym) – słownikiem jest zbiór danych poprzedzających bezpośrednio w strumieniu wejściowym kodowany symbol lub sekwencję symboli. Kodowanie
1. Inicjalizacja bufora słownikowego. 2. Poszukiwanie najdłuższego łańcucha danych buforze kodowania, który ma swój
dokładny odpowiednik w buforze słownikowym.
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 82
3. Utworzenie sekwencji kodowej slp ,, , gdzie p - pozycja początkowa znalezionego łańcucha w buforze słownikowym, l - długość łańcucha, s - znak występujący bezpośrednio po wyznaczonym łańcuchu.
4. Przesunięcie okna wzdłuż strumienia wejściowego o długość zakodowanej sekwencji ( 1+l ).
5. Powtarzanie od algorytmu od pkt. 2 do momentu zakodowania ostatniego symbolu wejściowego.
Zadanie Dla sekwencji YAAABAAADAAABAAADOOOO wyznacz
• entropię, • kod Huffmana, • kod LZ77 (długość bufora słownikowego = długość bufora kodowania = 4), • kod LZSS (długość bufora słownikowego = długość bufora kodowania = 4),
Która z metod kodowania jest najefektywniejsza dla podanej sekwencji? Rozwiązanie:
211
212
212
214
2112
===== YDBOA ppppp
Bez operacji kodowania potrzebujemy na każdą literę trzy bity, a więc aby przesłać podaną sekwencję potrzebujemy 63321 =⋅ bity. ENTROPIA:
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
1.7724=+++=
=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅−⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−= ∑∑
2092.06462.04557.04613.0
2log211log
211
2log212log
2122
2log214log
214
2log2112log
2112
2loglog
log
10
10
10
10
10
10
10
10
10
102
E
ppppE i
iii
KOD HUFFMANA:
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 83
Kody dla poszczególnych liter: A – 1 O – 00 B – 010 D – 0111 Y – 0110 Średnia długość kodu Huffmana:
0952.242114
2123
2122
2141
2112
1=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅= ∑
=
N
iii lpL
Z zastosowaniem wyznaczonego kodu Huffmana potrzebujemy 44 bitów w celu transmisji podanej w zadaniu sekwencji. Efektywność kodowania Huffmana:
( ) %59.848459.00952.27724.1
→===L
sHη
Kodowanie LZ77:
SŁOWNIK BUFOR SEKWENCJA 0 1 2 3 YYYY YAAA 3,1,A YYYA AABA 3,2,B AAAB AAAD 0,3,D AAAD AAAB 0,3,B AAAB AAAD 0,3,D AAAD OOOO 3,0,O AADO OOO 3,3,EOF
Dekodowanie:
A
O
B
D
Y
1
1
1
1
0
0
0 0
12
4
2
2
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 84
BUFOR SEKWENCJA WYJŚCIE YYYY 3,1,A YA YYYA 3,2,B AAB AAAB 0,3,D AAAD AAAD 0,3,B AAAB AAAB 0,3,D AAAD AAAD 3,0,O O AADO 3,3,EOF OOO
Liczba bitów potrzebnych do przesłania informacji:
bity 92 bitów 8 bity 84712bitów12822
=+=⋅=++
LZSS: Kodowanie:
SŁOWNIK BUFOR SEKWENCJA 0 1 2 3 YYYY YAAA 1,Y YYYY AAAB 1,A YYYA AABA 0,3,2 YAAA BAAA 1,B AAAB AAAD 0,0,3 BAAA DAAA 1,D AAAD AAAB 0,0,3 DAAA BAAA 1,B AAAB AAAD 0,0,3 BAAA DOOO 1,D AAAD OOOO 1,O AADO OOO 0,3,3
Dekodowanie
BUFOR SEKEWNCJA WYJŚCIE YYYY 0,3,1 Y YYYY 1,A A YYYA 0,3,2 AA YAAA 1,B B AAAB 0,0,3 AAA BAAA 1,D D AAAD 0,0,3 AAA DAAA 1,B B AAAB 0,0,3 AAA BAAA 1,D D
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 85
AAAD 1,O O AADO 0,3,3 OOO
Liczba bitów potrzebnych do przesłania informacji: Żeby przesłać sekwencje dwuelementowe potrzeba 9 bitów, trzyelementowe – 5 bitów. Stąd:
bity92=+=+=⋅=⋅
884543054963056
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 86
12. Kodowanie stratne Jednowymiarowa dyskretna transformata kosinusowa (1D DCT) jest zdefiniowana wzorem
( )( )
( ) ( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=+
==
∑
∑−
=
−
=
1,,12
12πcos2
01
1
0
1
0
NkNnknx
N
knxNkX N
n
N
n
K
Dwuwymiarowa dyskretna transformata Fouriera (2D DFT) jest określona wzorem
∑∑∑∑∑∑−
=
−
=
+−−
=
−
=
+−−
=
−−
=
−===
1
0
1
0
)(π21
0
1
0
)π2π2(1
0
π21
0
π2
),(),(),(),(M
m
N
n
Nqn
MpmjM
m
N
n
qnN
pmM
jM
m
qnN
jN
n
pmM
j
DFT enmxenmxeenmxqpX
Obliczeń 2D DFT można dokonać za pomocą 1D DFT obliczając wpierw DFT kolumn, a następnie dla tak obliczonej macierzy wyznaczając DFT wierszy. Dwuwymiarowa transformata kosinusowa (2D DCT) jest określona wzorem
( ) ( )∑∑−
=
−
=
++=
1
0
1
0 212πcos
212πcos),(),(
M
m
N
nqpDCT N
qnM
pmnmxqpX αα przy czym
⎩⎨⎧
−≤≤=
=11/2
0/1MpM
pMpα
⎩⎨⎧
−≤≤=
=11/2
0/1NqN
qNqα
Na rysunku poniżej pokazano schemat blokowy kodera JPEG
FDCT koderentropowy
tablicekwantyzatora
kwantyzator
blok 8x8
obrazskompresowany
obrazwejściowy
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 87
13. Szyfrowanie danych Zadanie Dokonaj deszyfracji wyrazu zakodowanego sekwencją XWMIPNUSK, którą otrzymano w wyniku zastosowania szyfru podstawieniowego z iloczynem:
( ) ( )26mod9 ⋅⋅= mmf przy czym literom przyporządkowano wartości m zgodnie z tabelą:
A – 0 D – 3 G – 6 J – 9 M – 12 P – 15 S – 18 V – 21 Y – 24 B – 1 E – 4 H – 7 K – 10 N – 13 Q – 16 T – 19 W – 22 Z – 25 C – 2 F – 5 I – 8 L – 11 O – 14 R – 17 U – 20 X – 23
Rozwiązanie:
( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) E426mod310
C226mod318I826mod320N1326mod313T1926mod315
Y2426mod38K1026mod312O1426mod322R1726mod323
3zatem
26931922691
922619181911819
892261
)mod(
1
1
−=⋅⋅=−=⋅⋅=−=⋅⋅=−=⋅⋅=−=⋅⋅=
−=⋅⋅=−=⋅⋅=−=⋅⋅=−=⋅⋅=
=
−⋅=⋅+−=
⋅−⋅−=⋅−=+⋅=
+⋅==⋅−⋅
⋅⋅=−
KfSfUfNfPfIfMfWfXf
k
ntkknkmmf
-
Zakodowana nazwa to ROKYTNICE.
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 88
Dodatek A: Macierze
Macierze • Macierz
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nmnn
m
m
aaa
aaaaaa
...:::
...
...
21
22221
11211
A
• Wektor Kolumnowy Wierszowy
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
nx
xx
:2
1
[ ]nxxx ...21
• Macierz diagonalna
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nna
aa
...00::::000...0
22
11
A
• Macierz jednostkowa
)1,...,1,1(
1...00:::0...100...01
diag=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=I
• Macierz transponowana
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nmnn
m
m
aaa
aaaaaa
...:::
...
...
21
22221
11211
A
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nmmm
n
n
aaa
aaaaaa
...:::
...
...
21
22212
12111
A'
• Dodawanie i odejmowanie macierzy
)( ijij ba +=+ BA )( ijij ba −=− BA Przykład:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
654321
A i ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
141325
B
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=+
795646
BA ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−
513004
BA
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 89
• Mnożenie macierzy przez skalar
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nmnn
m
m
kakaka
kakakakakaka
k
...:::
...
...
21
22221
11211
OA
• Mnożenie macierzy przez macierz
)()(1
kj
m
kikij bac ∑
=
=== CAB ),...,2,1;,...,2,1( pjni ==
BAAB ≠ Przykład 1: Korzystamy ze schematu Falka
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
441201
A i ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
001512
B
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
153101025512
AB i ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
012119
BA
Przykład 2:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
4221
A i ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2221
B
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
121065
AB i ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
126105
BA
• Potęgowanie macierzy
kA • Wyznacznik
( )
nnnn
n
n
ij
aaa
aaaaaa
a
............
...
...
detdet
21
22221
11211
==A
• Minorem ijM nazywamy wyznacznik stopnia 1−n macierzy powstałej przez
skreślenie i -tego wiersza i j -tej kolumny.
• Dopełnienie algebraiczne
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 90
ijji
ij MA +−= )1( • Macierz dołączona
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nnnn
n
n
AAA
AAAAAA
adj
...:::
...
...
21
22212
12111
A
• Macierz odwrotna
IAAAA 11 == −−
AA
det1 adjA
=−
Przykład:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−=
301213
021A 17det =A
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
721237463
Aadj
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−==−
17/717/217/117/217/317/717/417/617/3
|det1
AAA adj
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 91
Dodatek A: Systemy liczbowe
System dwójkowy Cyfry: 0 i 1 Przykłady: 8d = 1000b
45d = 1 0 1 1 0 1b ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 25 24 23 22 21 20 81d = 1010001b
45 1 8 0 ← LSB 22 0 4 0 11 1 2 0 5 1 1 1 ←MSB 2 0 0 1 1 0
System szesnastkowy (HEX)
Cyfry: 0÷9, A, B, C, D, E, F Przykład 10101001d = A9 h
169d = A 9 ↑ ↑ 161 160
Reprezentacja liczb ujemnych 1. Znak-moduł
Bit znaku na pierwszej pozycji:
• jeżeli 0 to liczba dodatnia
• jeżeli 1 to liczba ujemna
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 92
Przykład: 0011b = 3d 1011b = -3d
2. Przesunięcie dwójkowe Odejmujemy 2b-1 od wartości dwójkowej bez znaku. Przykład: Dla liczb 4-bitowych b=4, 2b-1 = 24-1 = 8 Dla liczby 1110b → 14d (liczba bez znaku) 14d - 8d = 6d Zatem 1110b → 6d reprezentacja z przesunięciem dwójkowym Reprezentacje liczb dodatnich i ujemnych (zakres 4 bitowy)
Liczba dziesiętna Reprezentacja Znak-moduł
Przesunięcie dwójkowe
Uzupełnienie do dwóch (U2)
7 0111 1111 0111 6 0110 1110 0110 5 0101 1101 0101 4 0100 1100 0100 3 0011 1011 0011 2 0010 1010 0010 1 0001 1001 0001 0 0000 1000 0000 -1 1001 0111 1111 -2 1010 0110 1110 -3 1011 0101 1101 -4 1100 0100 1100 -5 1101 0011 1011 -6 1110 0010 1010 -7 1111 0001 1001 -8 - 0000 1000
3. Uzupełnienie do dwóch U2
Aby otrzymać liczbę ujemną: Negujemy i dodajemy wartość 1 (lub sposób inżynierski: pierwszą jedynkę od prawej strony zostawimy, a pozostałe bity negujemy).
+3d → 0011 Negacja → 1100
+ 1 1101 ← -3d
Dodawanie binarne liczb w U2
+15 → 1111 -3 → 1101
10100 ↓ ↓
+12 +20 (błąd)
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 93
Wniosek: Przy dodawaniu binarnym liczb ujemnych należy pamiętać o rozszerzeniu znakowym liczby
+15 → 00001111 -3 → 11111101
00001100 ↓ +12 (OK!)
Kody Gray’a W reprezentacji za pomocą kodów Gray’a (kodu refleksyjnego) dwa kolejne słowa kodowe różnią się tylko jednym bitem. Zamiana z naturalnego kodu binarnego na kod Grey’a:
liczba binarna
liczba binarna przesunięta o 1 bit
w prawo
XOR kod Gray’a
Zamiana z kodu Gray’a na binarny kod naturalny: Pierwszy bit kodu naturalnego jest identyczny jak kod Gray’a. Dla kolejnych cyfr wykonujemy operację XOR dla cyfry kodu Gray’a oraz poprzedniej cyfry kodu naturalnego.
kod Gray’a
x
binarna liczba naturalna
……..………. x ……..……….
XOR
cyfra kodu poprzednia cyfra
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 94
Liczba Kod Gray’a Liczba Kod Gray’a Liczba Kod Gray’a 0 0 20 11110 40 111100 1 1 21 11111 41 111101 2 11 22 11101 42 111111 3 10 23 11100 43 111110 4 110 24 10100 44 111010 5 111 25 10101 45 111011 6 101 26 10111 46 111001 7 100 27 10110 47 111000 8 1100 28 10010 48 101000 9 1101 29 10011 49 101001
10 1111 30 10001 50 101011 11 1110 31 10000 51 101010 12 1010 32 110000 52 101110 13 1011 33 110001 53 101111 14 1001 34 110011 54 101101 15 1000 35 110010 55 101100 16 11000 36 110110 56 100100 17 11001 37 110111 57 100101 18 11011 38 110101 58 100111 19 11010 39 110100 59 100110
Ułamkowe liczby dwójkowe
3.3125d = 1 1. 0 1 0 1b ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4
Zamiana z DEC na BIN 3.3125* 2n = 3.3125* 24 = 53
53 1 26 0 13 1 6 0 →11.0101 3 1. 1 1
Reprezentacje i zakresy ułamków Q0, Q8 i Q15 uzupełnić
Mnożenie liczb Q0 oraz Q15 Uzupełnić
Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji
© Tomasz Marciniak, 2007 95
Reprezentacje zmiennoprzecinkowe
n =m * 2e
b bitów
be bitów bm bitów
zakres dynamiczny precyzja liczby Typowo: be = b/4 bm = ¾ b Dla reprezentacji 32 bitowej:
be = 8 bitów bm = 24 bity
Dodatek C: Skala decybelowa
2
110log10
PPPoziom =dB
2
110dB log20
VVPoziom = bo
RVP
2
=
Przykład
dB301.312log10 10dB ≈==Poziom
Miara dBm
dBmmW1
log10 110dB
PPoziom =
mantysa
wykładnik