Embed Size (px)
Citation preview
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚFakulta strojního inženýrství
Ústav mechaniky těles
Jaromír Slavík
POČÍTAČOVÉ METODY MECHANIKY
Brno 2001
2
O b s a h
1. Úvod 41.1 Technické dílo a jeho modely 41.2 Dynamické modely 51.2.1 Klasifikace systémů 61.2.2 Lineární a nelineární systémy 71.2.3 Stacionární a nestacionární systémy 81.2.4 Autonomní systémy 81.2.5 Deterministické a stochastické systémy 81.2.6 Identifikace systémů 82. Analytická dynamika diskrétních soustav 102.1 Princip virtuálních prací u pohybu bodu 102.2 Síly v kinematických dvojicích 112.2.1 Zobecněné souřadnice 122.3 Hamiltonův princip u konzervativních soustav 122.3.1 Lagrangeovy rovnice 2. druhu 142.4 Klasifikace zobecněných sil 142.4.1 Vnitřní síly 142.4.1.1 Pružné síly 152.4.1.2 Dissipativní síly 152.4.2 Vnější síly 172.4.2.1 Konzervativní síly 172.4.2.2 Nekonzervativní síly 173. Vynucené kmitání lineárních soustav s 1 stupněm volnosti 183.1 Silové buzení 183.1.1 Budící síla je harmonickou funkcí času 183.1.2 Buzení nevyváženou rotující hmotou 213.1.3 Odezva soustavy na budící sílu obecně časově závislou 253.1.4 Odezva soustavy na periodickou budící sílu 253.2 Kinematické buzení 274. Kmitání lineárních soustav s více stupni volnosti 314.1 Sestavení pohybových rovnic 324.2 Volné netlumené kmitání 334.2.1 Ortogonalita vlastních vektorů 344.2.2 Hlavní souřadnice 354.2.3 Výpočet vlastních vektorů Jacobiho metodou 364.2.4 Symetrizace matice – Choleského rozklad 414.2.5 Householderova metoda tridiagonalizace matice 424.2.6 Rayleigho kvocient 444.2.7 Redukce počtu stupňů volnosti 454.2.7.1 Redukce přetvořením mechanického modelu 454.2.7.2 Lanczosova metoda redukce 484.3 Volné tlumené kmitání soustavy 504.3.1 Proporcionální tlumení 514.4 Vynucené kmitání mechanických soustav 514.4.1 Buzení harmonickou silou 524.4.2 Budící síla je obecnou funkcí času 535. Kmitání lineárních kontinuí 55
3
5.1 Podélné kmitání prutů 555.1.1 Vynucené kmitání prutů 585.1.1.1 Kmitání prutu buzeného harmonickou silou 585.1.1.2 Volný prut kinematicky buzený 595.2 Torzní kmitání hřídelů kruhového průřezu 595.3 Příčné kmitání nosníků 605.3.1 Volné příčné kmitání prismatického nosníku 625.3.2 Kmitání nosníku buzeného osamělým zatížením 675.3.3 Metoda přenosových matic 685.3.4 Vliv rotační setrvačnosti a smykové deformace 725.4 Kmitání membrán 735.4.1 Obdélníková membrána 735.4.2 Kruhová membrána 755.5 Příčné kmitání desek 785.5.1 Kmitání obdélníkové desky 805.5.2 Kmitání kruhové desky 846. Přibližné metody výpočtu vlastních frekvencí 876.1 Ryleghova metoda 876.2 Ritzova metoda 917. Metody přímé integrace pohybových rovnic 947.1 Metoda centrálních diferencí 947.2 Dvoukroková metoda 967.3 Metoda Runge-Kutta 967.3.1 Metoda Runge-Kutta 2. řádu 987.3.2 Metoda Runge-Kutta 4. řádu 987.4 Newmarkova metoda 998. Ladění mechanických soustav 1018.1 Metoda postupných lineárních aproximací 1028.1.1 Dynamická citlivost a určení prvků matice ladění 1048.1.2 Ladící proces 106
Literatura 108
4
1. ÚVOD
Mechanika se postupně vyvíjela po dobu více jak 2000 let. Její vývoj postupoval velmi
pomalu od filozofických náhledů v dobách, kdy neexistovala experimentální zařízení a
matematický aparát byl velni jednoduchý. Snadněji se zkoumaly jevy statické a proto se
statika, která navíc byla spjata s nejstarší potřebou lidstva - stavitelstvím, byla zpracována
nejdříve. Daleko složitější byl vývoj kinematiky a dynamiky, u nichž pozorování jevů za
pohybu a abstrakce od vedlejších vlivů byla daleko obtížnější než u statiky. Z toho důvodu
docházelo při prvních úvahách i k zásadním omylům. S rozvojem měřící techniky a
matematiky se rozvíjela i mechanika. Dlouhá cesta začínající u Aristotela a možná ještě v
dávnější době ve vyvinutých kulturách dálného východu, byla dovršena Izákem Newtonem,
který položil základ novodobé klasické mechaniky. Zákony a axiomy jím formulované se dále
rozvíjely spolu s matematickým aparátem. Naše doba je ve znamení nebývalého rozvoje
numerické matematiky a výpočetní techniky, které umožňují řešit rozsáhlé mechanické
soustavy mnoha tisíci stupňů volnosti a dovolují řešit matematické vztahy, které nejsou
doposud řešitelné v uzavřeném tvaru. Propojením moderních výpočtových metod s klasickou
mechanikou vzniká tak zvaná počítačová mechanika, která sestavuje algoritmy řešení
mechanických soustav tak, aby byly připraveny pro další počítačové zpracování . Samozřejmě
existuje řada profesionálních software (sw) jako je např. ANSYS, NASTRAN, ADAMS,
pracujících na základě metody konečných prvků ((MKP) především pro řešení napjatostních
poměrů, ale i pro dynamické odezvy nebo stanovení teplotních polí. Sw SYSNOISE,
REYNODS, VIOLINE jsou určeny pro řešení akustických jevů. Vedle těchto programů
existují podpůrné programy matematické, označované někdy souhrnně MATCAD, mezi něž
patří MAPLE, MATLAB, MATEMATICA atd. Naším úkolem však bude probrat teoretické
základy mechaniky tuhých a poddajných těles a prostředí, na jejichž základě jsou
různé profesionální sw založeny.
Dříve než přistoupíme k vlastní problematice, bude vhodné uvést některé základní pojmy,
které jsou důležité pro další úvahy a dynamická řešení mechanických soustav.
1.1 Technické dílo a jeho modelyZákladním úkolem pro zjišťování vlastností reálného díla je tvorba jeho modelu. Nebudeme
se zde věnovat kategorizaci modelu a jeho tvorby, tedy modelováním v plné šíři, protože to je
probráno v [8 ]. V zásadě lze říci, že model si musí zachovat všechny podstatné vlastnosti pro
5
vyžadované řešení. Jinak bude sestaven model pro řešení termomechanických vlastností díla,
jinak pro stanovení mechanických vlastností. V zásadě rozeznáváme:
- model fyzický je hmotný útvar, na němž se zjišťují jeho vlastnosti
měřením a porovnáváním.
- model geometrický má stejný tvar a stejnou strukturu jako reálný objekt.
- model podobnostní je vytvořen na základě teorie podobnosti.
- model analogový je fyzický model, u kterého zkoumané vlastnosti mají jinou fyzikální
podstatu než reálné dílo, avšak jejich matematická formulace je stejná.
- model abstraktní je tvořen abstrakními útvary (pojmy, veličinami, informacemi) a jeho
chování se řeší myšlenkovými a logicko- matematickými formulacemi. Tyto modely je
možno dělit na:
- model teoretický je tvořen existujícími teoriemi. Řešení jeho vlastností je aplikací těchto
teorií a využívá logických a logicko-matematických operací
- model výpočtový je formulován v matematickém tvaru
- model počítačový je formulován a řešen v prostředí počítače
V dalším se zaměříme na dynamické modely, které popisují a řeší dynamické
vlastnosti modelu.
1.2 Dynamické systémy
Ze zkušeností, které jsme získali při analýze jednoduchých modelů, můžeme vyjít i při
formulování pojmu abstraktní dynamický systém, který patří mezi základní pojmy nejen
mechaniky, ale i teorie regulace, kybernetiky, mechatroniky i jiných technických disciplin.
Aby bylo možno využít teorie mechanických systémů i v těchto disciplinách, je vhodné
definovat pojem abstraktivního mechanického systému ve smyslu Kalmánovy definice
orientovaného dynamického systému, t.j. matematického modelu s jasně definovanými vstupy
a výstupy a se známými počátečními podmínkani. Je zřejmé, že každý fyzikální model může
být abstraktně orientovaný model, avšak ne každý abstraktní model má fyzikální realizaci.
6
1.2.1 KLASIFIKACE SYSMŮ
Klasifikace systémů je bezprostředně spjata s vlastnostmi operátorové rovnice a jejího
matematického modelu, který vyjadřuje vzájemnou závislost mezi buzením
fT(t) = [ ]f t f t f tn1 2( ) ( )... ( ) a výstupním vektorem, to jest odezvou systému
uT(t) = [ ( ) ( )... ( )]u t u t u tn1 2 jak ukazuje obr. 1.1. Jsou-li parametry systému „S“ obsaženy
v operátoru H, lze ke každé realizaci f(t) přiřadit odezvu pomocí
následující rovnice
u(t) = H(t).f(t) (1.2.1)
Operátor H reprezentuje u dynamických systémů t.zv. matici přenosových funkcí. Existuje-li
operátor L = H-1 , lze rov.(1.2.1) přepsat na tvar:
L.u = f(t) (1.2.2)
Operátor L představuje pohybové rovnice systému a doplňující podmínky, nezbytné pro
jednoznačné určení odezvy u(t) při daném buzení f(t). Pro řešené systémy představuje L
soustavu diferenciálních rovnic.
f1 systém “S“ u1 h(t) - impulsní odezva systému
f2 h(t), H(t) u2 H(t) - přenosová funkce
fn un
Obr. 1.
7
1.2.2 LINEÁRNÍ A NELINEÁRNÍ SYSTÉMY
Systémy považujeme za lineární, platí-li princip superpozice, t.j. když mezi libovolnými
budícími vektory f1 , f2 a odezvou u1, u2 platí závislost
( )H f f Hf Hfα α α α1 1 2 2 1 1 2 2+ = + (1.2.3)
respektive
L u u Lu Lu( )α α α α1 1 2 2 1 1 1 2+ = + , (1.2.4)kde α1, α2 jsou libovolné konstanty. Pokud rov.(1.2.3) a (1.2.4) nejsou splněny jsou tytosystémy nelineární.
8
1.2.3 STACIONÁRNÍ A NESTACIONÁRNÍ SYSTÉMY
Pokud se vlastnosti systému v daném časovém úseku nemění, nazýváme systém stacionární
v tomto časovém úseku. Pokud je časový úsek definován v intervalu (-∞,+∞) je systém
stacionární, což znamená, že při analýze jeho vlastnost nezávisí na volbě počátku. Děje
probíhající ve stacionárních systémech lze popsat diferenciálními rovnicemi s konstantními
koeficienty. Procesy probíhající v nestacionárních systémech musí být popsány
diferenciálními rovnicemi s proměnnými koeficienty.
1.2.4 AUTONOMNÍ A NEAUTONOMNÍ SYSTÉMY
Pro autonomní systémy je charakteristické, že vektor f(t)=0, to znamená, že dynamické děje
mohou v těchto systémech probíhat jen na úkor vnitřních zdrojů energie. Pro f 0( )t ≠ jsou
systémy neautonomní.
1.2.5 DETERMINISTICKÉ A STOCHASTICKÉ SYSTÉMY
Systém nazýváme deterministický, je-li jeho chování v budoucnosti jednoznačně určeno
počátečními podmínkami v čase t0 a budoucími hodnotami vstupních signálů v čase t ≥ t0.
Stochastické systémy mají odezvy pro každé t ≥ t0 náhodné.
1,2,6 IDENTIFIKACE SYSTÉMŮProblematika identifikace se v průběhu posledních let rozdělila zhruba do tří, vzájemně se
doplňujících tématických oblastí:
- rozhodování o charakteru systémů (resp.jejich modelů) a procesů, které v nich
probíhají
- odhady parametrů výpočtových modelů
- na vzájemné porovnání chování se reálných objektů a jejich modelů
Rozhodování o charakteru systému je schematicky znázorněno v obr.1.2.
Další kroky identifikace ukazuje obr. 1.3.
9
Analyzovaný děj
Deterministický Stochastický
Periodický Neperiodický Stacionární Nestacion.
Harmonický Kvaziperiodický Ergodický Klasifi- kace d. Komplexní Přechodový periodický Neergodický
Obr, 1.2
Naměřený budící Analýza budícího proces procesu
Idealizace buzení Statistickézpracování
Idealizace mecha- Experimentální nického systému Matematický model odhadpřenos.funk. systému
Odezva systému Naměřená odezva systému
Porovnání výpočtu Analýza odezvy . a experimentu
Obr. 1.3
10
2. ANALYTICKÁ DYNAMIKA DISKRÉTNÍCH SOUSTAV
Velká část metod počítačové mechaniky využívá variačních metod, které
vycházejí z energie a práce mechanických soustav, což jsou veličiny skalární,
které se lépe hodí pro výpočetní řešení i obecný pohled na mechanické
problémy než přístupy vektorové. Představují tak velmi účinnou metodu ze
dvou základních důvodů:
- podstatně zjednodušují analytické sestavení pohybových rovnic pro složité
mechanické soustavy, především u složených pohybů, u kterých je
vyjádření zrychlení složitější
- umožňují použít aproximačních numerických metod pro řešení diskrétních i
spojitých mechanických soustav.
2.1 Princip virtuálních prací u pohybu hmotného bodu
Předpokládejme bod hmotnosti m, který se pohybuje v silovém poli, kde na něj
pùsobí síla X, se složkami Xi. Při použití d´Alembertova principu lze psát
rovnováhu púsobících a setrvačných sil ve tvaru
mu Xi i
..− = 0 pro i = 1, 2, 3 (2.1.1)
kde ui vyjadřuje přemístění bodu.
ui(t) δui u*
i(t)
Obr. 2.1
Představme si, že bod se pohybuje včasovém intervalu (t1, t2) po dráze u*
i(t)odlišné od skutečné dráhy ui(t). Pak lzedefinovat virtuální přemístění :
δui = u*i - ui (2.1.2)
Virtuální přemístění δui může být libovolnépro t1≤ t ≤ t2 a pouze předpokládáme, že napočátku intervalu (t1) a na konci intervalu
11
procházejí tímtéž bodem. Proto musí platit:
δui(t1) = δui(t2) = 0 (2.1.3)
Z definice dané rov.(2.1.2) vidíme, že variační operátor δ souvisí s operátoremčasové derivace:
( )ddt
u ddt
u u u u ui i i i i iδ δ= − = − =⋅ ⋅ ⋅( )* * (2.1.4)
Jestliže vynásobíme rov.(2.1.1) virtuálním přemístěním a provedeme součet všech
složek obdržíme:
( )mu X ui ii
⋅⋅
=
− =∑ δ 01
3
(2.1.5)
což dává známý princip virtuálních prací :
Virtuální práce vnějších a setrvačných sil je při virtuálním přemístění δui
nulová.
Princip virtuálních prací lze rozšířit i na soustavu hmotných bodů. Předpokládejme soustavuN hmotných bodů o hmotnostech mk, jejichž pohyb lze vyjádřit rovnicí:
m u X pro i
k Nk ik ik
⋅⋅ − = ==
0 12 312, ,, ,...,
(2.1.6)
kde Xik jsou složky známých vnějších sil a neznámých reakcí v kinematických dvojicích.Předpokládáme, že každý bod k má virtuální přemístění δuik , pro které platí:
1 2
1,2,3( ) ( ) 0 1, 2,..
ik ik ik
ik ik
u u u pro iu t u t k N
δδ δ
∗= − == = =
a které splňuje kinematické vazby soustavy. Vazebné síly existují vždy ve dvojicích, kteréjsou vzájemně v rovnováze, takže po jejich součtu v celé soustavě dají nulovou hodnotu. Vtomto případě lze princip virtuálních prací vyjádřit rovnicí:
∑∑= =
⋅⋅ =−N
k iikikikk uXum
1
3
10)( δ (2.1.7)
2.2 Síly v kinematických dvojicích
U soustavy volných bodù je stav soustavy zcela popsán 3N složkami přemístìní uik,. Když
vyjdeme z uspořádání daného hodnotou xik, lze okamžitou polohu určit z rovnice:
ξ ik ik ikt x u x t( ) ( , )= + (2.2.1)U většiny mechanických soustav je pohyb bodů omezen vazbami, které ovlivňují pohyb aurčují závislost pohybů vůči sobě. Vazby rozdělujeme na:
12
a) Holonomní vazby, které jsou definovány implicitním vztahem f tik( , )ξ = 0 , (2.2.2)Každá holonomní vazba snižuje počet stupňů volnosti o jeden. Nejsou-li tyto vazbyzávislé na čase, nazýváme je vazby skleronomni. Jsou-li funkcí času , nazývají serheonomní.
b) Neholonomní vazby jsou takové, které nelze vyjádřit rovnicí (2.2.2). Velmi často mají tvar f tik ik( , , )ξ ξ⋅ = 0 (2.2.3)
Takovéto rovnice nejsou obecně integrovatelné.
2.2.1 ZOBECNĚNÉ SOUŘADNICE
Existuje-li v soustavě o N bodech s holonomních vazeb, bude počet stupňů volnosti
soustavy redukován na 3N-s. Soustava je určena n = 3N - s parametry, nebo
zavedenými zobecněnými souřadnicemi (q1, q2,......,qn,t), pomocí nichž lze stanovit
polohu
),,....,,(),( 21 tqqqUtxu nikik = (2.2.4)
Jsou-li v soustavě pouze holonomní vazby, budou zobecněné souřadnice vzájemně
nezávislé a každou z nich lze nezávisle měnit, aniž by to ovlivnilo velikost ostatních
zobecněných souřadnic. Virtuální přemístění δuik se dá při existenci pouze
holonomních vazeb vyjádřit vztahem:
∑=
=n
ss
s
ikik q
qU
u1
δ∂∂
δ (2.2.5)
Princip virtuálních prací, daný rov.(2.1.7) bude mít při použití rov.(2.2.5) tvar
( ) 01 1
3
1=
−∑ ∑∑
= = =
⋅⋅s
n
s
N
k i s
ikikikk q
qU
Xum δ∂∂
(2.2.6)
Jestliže zavedeme pojem zobecněná síla tak, aby bylo možno jednoduše vyjádřit virtuálnípráci při virtuální změně zobecněné souřadnice vztahem
∑=
=n
sss qQA
1
δδ (2.2.7)
můžeme porovnáním rov.(2.2.6) a rov.(2.2.7) vyjádřit zobecněnou sílu jako
∑∑= =
=N
k i s
ikiks q
UXQ
1
3
1 ∂∂
. (2.2.8)
2.3 Hamiltonův princip u konzervativních soustav
Hamiltonúv princip je vlastně integrálem principu virtuálních prací v časovém intervalu
21, tt . Vyjadřujeme ho ve tvaru
13
( )∫ ∑∑ =
−
= =
⋅⋅2
1
01
3
1
t
t
N
k iikikkik dtuumX δ , (2.3.1)
kde δuik je virtuální přemístění, splňující vazební a okrajové podmínky. Předevšímpředpokládejme, že působící síly Xik jsou funkcí potenciálu V=-Ep, takže virtuální práce se dávyjádřit jako
3
1 1 1
N n
ik ik s s pk i s
X u Q q Eδ δ δ= = =
= = −∑∑ ∑Potom lze vyjádřit zobecněnou sílu rovnicí
ps
s
EQ
q∂∂
= − (2.3.2)
Výraz ikikk uum δ⋅⋅ lze vyjádřit vztahem
( ) ( ) ( )⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ −=−= ikikkikikkikikkikikkikikk uumuumdtduumuum
dtduum δδδδδ .
Pro kinetickou energii platí
E m u uk k ikik
N
ik= ⋅
==
⋅∑∑12 1
3
1
, (2.3.3)
takže rov.(2.3.1) lze zapsat ve tvaru
( )−
+ −⋅
==∑∑ ∫m u u E Ek ik ikik
N
t
t
k Pt
t
δ δ1
33
11
2
1
2
dt . (2.3.4)
Použitím okrajových podmínek, daných rov.(2.1.3), lze prvý člen rov.(2.3.4) vyloučit.Rychlosti uik
⋅⋅ lze vyjádřit pomocí zobecněných souřadnic a rychlostí:
uU
tUq
qikik ik
ss
s
n⋅ ⋅
=
= +∑∂∂
∂∂1
(2.3.5)
Možno tedy říci, že jak potenciální, tak kinetická energie je funkcí zobecněných souřadnic: E E q q t E E q q tk k P P= =⋅ ⋅( , , ) ( , , ) (2.3.6)Použitím rov.(2.1.3) a rov.(2.2.5) lze určit okrajové podmínky: δ δq t q ts s( ) ( )1 2
0= = (2.3.7)Na základě těchto vztahů lze vyjádřit Hamiltonův princip:
Skutečná trajektorie mechanické soustavy je taková, že integrál ( )E E dtk pt
t
−∫1
2
je stacionární s
ohledem na virtuální posunutí libovolné mezi časy t1 a t2 a rovný nule pro okrajové podmínkyt1 a t2 řešeného intervalu.
Tato věta, vyjádřena matematicky má tvar:
δ ∫ −2
1
)(t
tpk dtEE = 0
, (2.3.8) 0)()(
21 == tqtq ss δδ
což vlastně říká, že změna mechanické energie v časovém intervalu 21, tt je nulová.
14
2.3.1 LAGRANGEOVY ROVNICE 2. DRUHU
užitím rov.(2..6) lze psát:
δ∂∂
δ ∂∂
δE Eq
q Eq
qkk
ss
k
ss
s
n
= +
⋅
⋅
=∑
1
a dosazením do rov.(2.3.8) obdržíme obecnější vztah:
∂∂
δ ∂∂
δEq
Q q Eq
q dtk
ss s
k
ss
s
n
t
t+
+
=⋅
⋅
=∑∫ 0
11
2 .
Druhý výraz lze integrovat po částech:
∫ ∫ =
−
= ⋅⋅⋅
2
1
2
1
2
1
0t
t s
t
ts
k
t
ts
s
k
s
k dtqqE
dtdq
qEdt
qE δ
∂∂δ
∂∂
∂∂
.
Když budeme aplikovat okrajové podmínky obdržíme pro Hamiltonův princip upravenou
rovnici
∫ ∑=
⋅ =
++
−2
1 10
t
t
n
sss
s
k
s
k dtqQqE
qE
dtd δ
∂∂
∂∂
(2.3.9)
Variace δqs může být libovolná v celém intervalu, takže obdržíme pohybovou rovnici ve tvaru
odvozeném Lagrangem
1,2,....,k ks
s s
E Ed Q pro s ndt q q
∂ ∂∂ ∂⋅
− = =
(2.3.10)
Obdrželi jsme tak zvanou Lagrangeovu rovnici 2. druhu.
2.4 Klasifikace zobecněných sil
Síly je možno dělit na vnitřní a vnější síly. V obou případech mohou být tyto síly
konzervativní, jestliže jejich virtuální práce je regenerovatelná.
2.4.1 VNITŘNÍ SĹY
Vazebné sílyVazebné síly vznikají při tuhém spojení mezi dvěma body a to tak, že soustava sil je v
rovnováze
Xi1 + Xi2 = 0Virtuální práce je dána
15
( ) ( )[ ]δ δ δ δ δA X u X u X u ui i i i i i iii
= + = − ===∑∑ 1 1 2 2 1 1 2
1
3
1
3
0
Odtud je vidět, že vazebné síly není nutno zahrnovat do zobecněných sil, působících namechanickou soustavu. To je jedna z důležitých výhod použití Lagrangeových rovnic.
2.4.1.1 Pružné síly
Pružné těleso lze definovat tak, že přivedená práce se akumuluje do využitelné formy. To
vede na variaci vnitřní energie:
∑∑= =
−==3
1 1
intint
i
N
kik
ik
AuuEE δδ
∂∂δ
kde A je virtuální práce vnitřních sil. Vnitřní energii lze vyjádřit jako funkci zobecněných
posunutí
Eint = Eint(q,t)
a dále δ δ δA Q q Es ss
n
= = −=∑ int
1
a s
s qEQ∂∂ int−= (2.4.1)
2.4.1.2 Disipativní síly
Disipativní síly mohou být charakterizovány tak, že jsou rovnoběžné s vektorem rychlosti,
jsou opačného smyslu a úměrné jejímu modulu. Disipativní síla, působící na hmotný bod
může být definována výrazem
k
kkkkk v
vvfCX!!
)(−=
nebo jako funkce složek
X C f vvvik k k k
ik
k
= − ( ) (2.4.2)
kde Ck je konstanta
fk(vk) je funkce, vyjadřující závislost na rychlosti
vk je absolutní rychlost bodu k
16
∑∑=
⋅
=
===3
1
23
1
2
iik
iikkk uvvv !
Virtuální práce disipativních sil je
3 3
1 1 1 1 1 1
n N N nik
s s ik ik ik ss i k i k s s
uQ q X u X qq
∂δ δ δ∂= = = = = =
= =∑ ∑∑ ∑∑∑
a dosazením za Xk
∑∑− =
−=3
1 1)(
i
N
k s
ik
k
ikkkks q
uvv
vfCQ∂∂
(2.4.3)
Při tom platí
∑=
⋅+==n
rr
r
ikikikik q
qu
tu
dtdu
v1
δ∂∂
∂∂
a s
ik
s
ik
qu
qv
∂∂
∂∂
=⋅ ( 2.4.4)
takže lze psát
∑
∑∑ ∑ ∑
=⋅
= = = =⋅⋅
−=
=
−=−=
N
k s
kkkk
i
N
k
N
k iik
skkk
s
ik
k
ikkkks
qv
vfC
vq
vfCqv
vv
vfCQ
1
3
1 1 1
3
1
2
)(
21)()(
∂∂
∂∂
∂∂
(2.4.5)
Zaveďme disipativní funkci
∑ ∫=
=N
k
v
kk
k
dvvfCD1 0
)( , (2.4.6)
takže obdržíme
⋅−=s
s qDQ
∂∂ . (2.4.7)
Disipovaný výkon lze vyjádřit rovnicí
∑ ∑= =
⋅⋅⋅ −==
n
s
n
s ssss q
DqqQP1 1 ∂
∂
Jestliže předpokládáme, že disipativní funkce D je homogenní, řádu h zobecněné rychlosti,obdržíme z rov.(2.3.2)
hDEEdtd
PK −=+ )( (2.4.8)
h je řád disipativní funkce, takže řád disipativní síly Qs je (h - 1) a vyjadřuje různé fyzikálnípřípady:
h = 1 suché třeníh = 2 viskózní (lineární) tlumeníh = 3 aerodynamické tlumení
17
2.4.2 VNĚJŠÍ SÍLY
2.4.2.1 Konzervativní sílyJsou-li síly konzervativní je jejich virtuální práce na uzavřené dráze nulová:
δ δA Q qs s= =∫ 0
jinými slovy:
Velikost vykonané práce nezávisí na dráze, ale pouze na počáteční a konečnépoloze.V tomto případě platí:
QEqs
P
s
= −∂∂
(2.4.9)
2.4.2.2 Nekonzervativní sílyJsou-li vnější síly nekonzervativní, získáme odpovídající zobecněné síly použitím rovnice provirtuální práci:
δ δ δA Q q X u Xs ik ik iks
n
k
N
ik
N
is
n
= = =======∑∑∑∑∑∑
111
3
11
3
1
∂∂
δuq
qik
ss
odkud vychází
Q Xuqs ik
ik
sk
N
i
===
∑∑ ∂∂11
3
. (2.4.10)
Jestliže na soustavu působí nekonzervativní síly lze výkon vyjádřit v obecnějším tvaru:
( )ddt
E E hD Q qK P s ss
n
+ = − + ⋅
=∑
1
(2.4.11)
V obecném případě nekonzervativní soustavy s rheonomními vazbami budou Lagrangeovyrovnice 2. druhu mít tvar:
0)( =+−−+
− ⋅⋅ tQ
qD
qE
qE
qE
dtd
sss
P
s
K
s
K
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
(2.4.12)
18
3. VYNUCENÉ KMITÁNÍ LINEÁRNÍCH SOUSTAV S 1 STUPNĚM VOLNOSTI
V této kapitole si probereme vynucené kmitání lineárních mechanických soustav s 1
stupněm volnosti, které je důležité pro pochopení řešení a chování diskrétních soustav a
soustav se spojitě rozloženými parametry. Buzení mechanických soustav je možno
rozdělit na dva základní druhy:
1. Silové buzení2. Kinematické buzeníOba druhy si v následujících kapitolách probereme.Dynamický model, který budeme analyzovat je znázorněn na obr. 3.1. Polohu tělesa q ohmotnosti m určujeme vzhledem ke stabilní rovnovážné poloze
3.1 Silové buzení q q! q!!
k Q(t)
m b
Obr. 3.1soustavy. V tomtéž smyslu uvažujeme rychlost a zrychlení tělesa. Působící sílu, závislou načase sílu označujeme Q(t), tuhost pružiny k a součinitel lineárního tlumení písmenem b.Pohybová rovnice bude mít tvar )(tQkqqbqm =++ !!! (3.1.1)
Při zavedení součinitele doznívání mb
2=δ
Vlastní úhlové frekvence netlumených kmitů mk=Ω0 lze rov,(3.1.1) přepsat na tvar
m
tQqqq )(2 20 =Ω++ !!! δ (3.1.2)
Další řešení závisí na budící síle Q(t).
3.1.1 BUDÍCÍ SÍLA JE HARMONICKOU FUNKCÍ ČASU
U celé řady technických aplikací lze uvažovat buď přesně nebo přibližně, že budící síla jeharmonickou funkcí času a lze ji vyjádřit v komplexním tvaru
)(000
~)(~FF titiiti eQeeQeQtQ ϕωωϕω +=== (3.1.3)
S využitím vlastností komplexních čísel a jejich derivací lze rov.(3.1.1) vyjádřit ve tvaru
Qqikmib ~~ =
++ !
ωω
Výraz v závorce označujeme jako komplexní mechanickou impedanci, kterou lze definovatjako poměr komplexní síly ku komplexní rychlosti:
−+==
ωω kmib
qQZ !~
~~ (3.1.4)
19
Dosadíme-li do rov.(3.1.4) za 20Ω= mk obdržíme pro mechanickou impedanci výraz
Ω−
ΩΩ+=
ωω 0
00
~ imbZ (3.1.5)
Komplexní mechanickou impedanci lze také vyjádřit jako ZiZeZ ϕ=~
kde Z je modul komplexní mechanické impedance, který lze vyjádřit po úpravě tvarem2
0
2
20
2
21
Ω
+
Ω
−= ωωω rbkZ (3.1.6)
a ϕZ je fázový úhel mechanické impedance, vyjádřený jako
b
marctgZ
Ω−
ΩΩ
=ω
ω
ϕ
0
00
(3.1.7)
Skutečnou rychlost lze vyjádřit jako imaginární část komplexní rychlosti z rov.(3.1.4), tedy
)sin(~Im 0ZFt
ZQqq ϕϕω −+== !! (3.1.8)
Komplexní výchylku obdržíme integrací komplexní rychlosti, což u komplexního číslaznamená dělit komplexní rychlost operátorem iω .Tak obdržíme partikulární řešenírov.(3.1.1):
( )[ ] ( )QiHtiZi
QZi
Qiqq ZFp
~~exp~~~~ 0 ωϕϕω
ωωω=−+===
!(3.1.9)
kde ( )ωiH~ je tak zvaná komplexní přenosová funkce mechanické soustavy. Skutečnávýchylka je dána imaginární částí komplexního řešení
( )
−−+=−+−==
2sincos~Im 00 πϕϕω
ωϕϕω
ω ZFZFpp tZ
Qt
ZQ
V dalším budeme značit úhel ϕπϕ =− 2/Z . Tento úhel se také nazývá fázové zpoždění.Dosazením za Z z rov.(3.1.6) bude po úpravě výchylka vyjádřena rovnicí
)sin(0 ϕϕω −+= Fp tsq (3.1.10)kde s0 je amplituda vynucených kmitů:
( ) ( )222
00
21 ηη rbk
Qs
+−= (3.1.11)
kde jsme zavedli součinitel naladění 0Ω
= ωη a poměrný útlum 00 2 Ω
=Ω
=mbbr
δ .
Poněvadž výraz stqk
Q=0 je statická deformace pružiny,zatížené amplitudou budící síly, lze
definovat tak zvaný součinitel zesílení nebo také součinitel frekvenčního přenosu λ:
( ) ( )222
0
21
1
ηηλ
rst bq
s
+−== (3.1.12)
Průběh součinitele zesílení v závislosti na součiniteli naladění pro různé hodnotypoměrného útlumu ukazuje obr. 3.2. Jak je z tohoto obrázku patrno roste při ω = Ω0 (η=1)amplituda výchylky netlumené soustavy teoreticky nade všechny meze.U tlumené soustavy
20
obdržíme součinitel naladění jako extrém součinitele zesílení. Provedeme 00 =
stqs
ddη
odkud dostaneme polohu maxima součinitele naladění při 121 2 <−= rm bη . Dosazenímtéto hodnoty do rov. (3.1.12) obdržíme maximální hodnotu součinitele zesílení:
2max
121
rr bb −=λ (3.1.13)
Pro velmi malá tlumení, kdy je 1<<rb lze brát rb2
!max ≈λ . To znamená, že výchylky při
tlumeném vynuceném pohybu nerostou nade všechny meze.Další důležitou hodnotou je fázový úhel výchylky, o němž jsme řekli, že ho budeme značit ϕ.Lze psát
Z
Z fgtgtg
ϕπϕϕ 12
−=
−=
Dosazením do této rovnice z rov.(3.1.7) obdržíme po úpravě:
212ηηϕ
−= rbarctg (3.1.14)
Obr, 3.2Amplitudová charakteristika harmonicky buzené soustavy
21
Tím jsme si ukázali řešení partikulární části pohybové rovnice. Používá se při ustáleném stavukmitání soustavy, kdy se homogenní část řešení prakticky utlumí. Jestliže však je nutno řešit i
přechodový stav kmitání, je nutno uvažovat jak homogenní tak partikulární řešení: )sin()sin( 00 ZF
i tstCeq ϕϕωϕδ −+++Ω= − (3.1.14)kde je Ω úhlová frekvence tlumených kmitů nebuzené soustavy, tedy dle [u4ebnice] 22
0 δ−Ω=Ω (3.1.15)
Průběh fázového úhlu výchylky v závislosti na činiteli naladění η pro různé poměrné útlumyjsou tak zvané fázové charakteristiky a jsou znázorněny na obr. 3.3. Vidíme jak z rov.(3.1.14)tak z obr. 3.3, že při rezonanci (η = 1), je úhel 2/πϕ = . To znamená, že při rezonanci sevýchylka opožďuje vůči budící síle o 90o jak u tlumeného tak netlumeného kmitání.
Obr. 3.3Fázová charakteristika
3.1.2 BUZENÍ NEVYVÁŽENOU ROTUJÍCÍ HMOTOU
Velmi často jsou vibrace způsobeny nevyváženou rotující hmotou. Takový případ nastává při
rotaci nevyváženého rotoru o hmotnosti m1 se vzdáleností e od osy otáčení (obr. 3.4). Celé
22
zařízení o hmotnosti m je odpruženo ve svislém směru soustavou pružin s výslednou
konstantou k a tlumeno lineárním tlumením se součinitelem b. Svislá složka odstředivé síly je
temF ωω sin21=
Obr. 3.4
takže pohybová rovnice bude
temmqqq ωωδ sin2 212
0 =Ω++ !!!
Porovnáním s rov.(3.1.2) vidíme, že jsou shodné s tím, že síla jetemtQ ωω sin)( 2
1=což znamená, že jde o harmonické buzení s amplitudou
210 ωemQ =
Proto i řešení tohoto pohybu je shodné s řešením kmitavého pohybu buzeného harmonickousilou. Pouze do výsledků musíme dosadit novou hodnotu Q0. Amplituda ustálenýchvynucených kmitů tedy bude
( ) 222
21
0
)2(1 ηη
η
rbm
ems+−
= (3.1.16)
Rovněž pro tento případ lze zavést součinitel frekvenčního přenosu, který bude dá vztahem
( ) ( )222
2
1
0
21 ηη
ηλrb
mem
s
+−== (3.1.17)
Amplitudové charakteristiky, odpovídající rov.(3.1.17) jsou na obr. 3.5. Fázovácharakteristika zůstává stejná jak bylo dáno rov.(3.1.14) a obr. 3.3.
m1eω2
m1 e
m
23
Obr. 3.5Amplitudová charakteristika soustavy buzené rotující hmotou
24
START
M ,K,B
T0,X0,V0
D = B/2/M
OM0 = √(K/M)
OM = √(OM0^2-D^2)
A = (V0+D*V0)/OM
N,TV
DT = TV/N
I = 1
F(I)
< I=I+1 I:N+1
≥ S = 0
I = 2
T = I*DT
T1 = TV- T
1Tab.3.1 Numerické řešení Duhamelova integrálu
1
S=S+F(I)*EXP(-D*T1)*SIN(OM*T1)
< I=I+2 I:N ≥
S1 = 0
I = 3
T = I*DT
T1 = TV-T
S1=S1+F(I)*EXP(-D*T1)*SIN(OM*T1)
< I-I+2 I:N-1
T1 = TV-DT
F1=F(1)*EXP(-D*T1)*SINOM*T1)
P=(F1+4*S+2*S1)*DT/3
OMT=OM*TV
Q-((X0*COS(OMT)+A*SIN(OMT)*EXP( D*TV)+P/(OM*M)
Q,TV
STOP
25
3.1.3 ODEZVA SOUSTAVY NA BUDÍCÍ SÍLU OBCNĚ ČASOVĚ ZÁVISLOU
Často se setkáváme s případy, kdy budící síla je obecnou funkcí času. V takovém případěnelze použít vztahy z předchozí kapitoly a nutno postupovat jiným způsobem. Partikulárnířešení rov.(3.1.1) se řeší jako odezvu na řadu jednotkových impulsů [učebnice], čímžobdržíme pro partikulární řešení odezvu
∫ −ΩΩ
= −−t
tp dtetQ
mq
0
)( )(sin)(1 τττδ (3.1.18)
Tento integrál se nazývá Duhamelův integrál nebo také konvoluční integrál, poněvadž splňujepodmínky konvoluce. Řešení tohoto integrálu lze provést pouze pro některé jednoduchéfunkce Q(t), např. jeli Q(t) konstantní, nebo lineární funkcí času.Použití Duhamelova integrálu má však tu výhodu, že je možno jej vyřešit numericky a to iv případě, že průběh síly je zadán graficky nebo tabelárně. V tab.3.1 je ukázán algoritmusřešení pro PC, je-li budící síla zadána tabelárně. Pro numerickou integraci je použitajednoduchá Simpsonova metoda.Tab.3.1 Algoritmus numerického řešení Duhamelova integrálu
3.1.4 ODEZVA SOUSTAVY NA PERIODICKOU BUDÍCÍ SÍLU
V mnoha případech bývá budící sila periodickou funkcí času. To znamená, že její hodnota sepo určité periodě TF opakuje: )()()( FF nTtFTtFtF +=+= pro a = 1, 2, ….Vtakovém případě lze tuto sílu rozvinout do Fourierovy řady:
( )∑∞
=
+=0
21 sincos)(i
ii tiFtiFtF ωω (3.1.19)
kde je FT
πω 2=
Určení koeficientů Fourierovy řady je známé z matematiky:
∫
∫
∫
=
=
=
F
F
F
T
Fi
T
Fi
T
F
dttitFT
F
dttitFT
F
dttFT
F
02
01
010
)sin()(2
)cos()(2
)(1
ω
ω (3.1.20)
Rov.(3.1.2) bude mít po dosazení rov.(3.4.1) a rov.(3.4.2) tvar:
( )∑=
+=Ω++n
iii tiFtiF
mqqq
021
20 )sin()cos(12 ωωδ!!! (3.1.21)
V praktických aplikacích nebereme nekonečný počet členů Fourierovy řady, ale omezíme sepouze na n členů. Pravou stranu rov.(3.1.21) lze upravit zavedením
FiiiFiii FFFF ϕϕ cossin 21 == pro i = 1, 2, ….Kde je
26
i
iFiěiii F
FarctgFFF
2
1221 =+= ϕ pro i = 1, 2, … (3.1.22)
Tím přejde rov.(3.1.21) na tvar
∑=
++=Ω++n
iFii tiF
mmFqqq
1
1020 )sin(12 ϕωδ!!! (3.1.23)
U lineárních soustav platí zákon superpozice a proto můžeme řešení rov.(3.1.23) provést prokaždý člen pravé strany odděleně a pak je sečíst.Obecné řešení můžeme psát jako součet řešení homogenní rovnice a partikulárních řešení.
∑++/=n
pih qqqq1
0 (3.1.24)
Přitom je
20
10100 Ω
=mF
kF
q (3.1.25)
)sin( 0ϕδ +Ω= − t
h Ceq (3.1.26) )sin(0 iFiipi tisq ϕϕω −+= (3.1.27)kde je
( ) 222
0
)2(1 ηη ibik
Fs
r
ii
+−= (3.1.28)
2)(12
ηηϕ
iibarctg r
i −= (3.1.29)
V předchozích rovnicích jsme označili
0Ω
= ωη
Z rov.(3.1.28) plyne, že jednotlivé harmonické složky jsou mechanickou soustavou různězesilovány podle velikosti Fi a jejího řádu i. Dále je vidět, že pro každou harmonickou složkudochází k rezonanci při jiné budící frekvenci. Jednotlivé harmonické složky budouv rezonanci, bude-li splněna podmínka iη=1, resp. iω = Ω0. V technických aplikacích mívajívyšší složky Fi klesající hodnoty a proto lze zpravidla vyšší složky kmitání zanedbat.Často bývá průběh periodicky proměnné budící síly znám jen z experimentálního měření jakořada diskrétních hodnot, získaných po konstantních časových intervalech, nebo jako grafickéznázornění. Koeficienty Fourierovy řady lze získat numericky z naměřených hodnot.Předpokládejme, že měřená síla má periodu TF a že jsou zjištěny její hodnoty v N + 1 bodech,
to znamená, že jednotlivá měření jsou od sebe vzdálena o NTt F=∆ . Čas od počátku je dán
hodnotou tj = j∆t. Hodnota Nj
NTj
Tt F
Fj
ππω 22 == . Měřenou funkci v jednotlivých intervalech
označíme jj YtY =)( . Koeficienty Fourierovy řady jsou určeny vztahy
27
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
N
Ojj
i
N
jji
N
jj
NijYN
F
NijY
NF
YN
F
π
π
2sin
2
2cos2
1
2
01
010
pro i = 1, 2, …., l
Řešení odezvy mechanické soustavy na periodickou budící sílu, zadanou diskrétnímihodnotami, je dosti pracné. Při použití počítače však toto řešení nečiní potíže. Algoritmusnumerického řešení je v tab.3.2.
3.1.5 Kinematické buzení
Doposud jsme hledali odezvu mechanické soustavy na časově proměnnou budící sílu,působící na hmotu soustavy. Nyní probereme případ, v technické praxi dosti častý, kdykmitání soustavy je vybuzeno pohybem závěsu pružiny, to znamená pohybem rámu. Modeltohoto případu je shodný s obr. 3.1, pouze levý konec pružiny a tlumiče se pohybujez počáteční polohy s výchylkou Zq a rychlostí Zq! .Pohybová rovnice tělesa hmotnosti m je [ ] [ ] qmtqqtqqb ZZ !!!! =−−−− )()(Úpravou této rovnice dostaneme )()()( tftkqtqbkqqbqm ZZ =+=++ !!!! (3.2.1)Je patrno, že jde o kmitavý pohyb, vynucený funkcí )(tf . Diferenciální rov.(3.2.1) je tvaremshodná s rov.(3.1.1). Další postup závisí na tom,jaký pohyb vykonává rám soustavy. Zapředpokladu, že rám soustavy se pohybuje harmonicky s výchylkou danou thqZ ωsin= budebudící funkce dána rovnicí tkhtbhtf ωωω sincos)( +=
Dosazením tohoto vztahu do rov.(3.2.1) a zavedením mk=Ω0 a
mb
2=δ přejde rov.(3.2.1)
na tvar2 20 02 2 cos sinq q q h t h tδ δ ω ω ω+ +Ω = +Ω!! ! (3.2.2)
Tato rovnice se dá ještě upravit zavedením
020 0
2 sin
cosz
z
h ph p
δ ω ϕϕ
=
Ω =kde platí vzájemné vztahy
2 2
0 0 1 (2 )(2 )
r
z r
p h barctg b
ηϕ η
= Ω +=
Tak přejde rov.(3.2.2) na tvar 2
0 02 sin( )zq q q p tδ ω ϕ+ +Ω = +!! ! (3.2.3)
Jak patrno odpovídá pravá strana rov.(3.2.3) imaginární části budící funkce, dané rov.(3.1.3).Proto bude i partikulární řešení stejné, tedy
28
)sin(0 ϕϕω −+= Zp tsq
kde s0 určíme z rov.(3.1.11) kam dosadíme místo Q0/m výraz pro p0. Po úpravě bude
222
2
0)2()1(
)2(1
ηη
η
r
r
b
bhs
+−
+= (3.2.4)
Definujeme-li součinitel dynamického přenosu jako hs /0=λ bude jeho hodnota
222
20
)2()(
)2(1
ηη
ηλ
r
r
b
bhs
−−+
+== (3.2.5)
Závislost dynamického součinitele přenosu je na obr. 3.6. Z diagramu je patrno,že do hodnoty 2 je odezva tlumené soustavy menší než soustavy netlumené. Nad toutohodnotou je odezva tlumené soustavy větší než soustavy netlumené. Fáze je dána vztahem
3
2 2
21 (2 )
r
r
barctgb
ηϕη η
=− +
(3.2.6)
Průběh fázové charakteristiky je na obr.3.7.
Obr. 3.6Amplitudová charakteristika kinematicky buzené soustavy
29
START
M, K, B
B/2/M → D
SQRT(K/M) → OM0
D/OM0 → BR
TF, A, L
1 → J
Y( J )
F0 +Y(J) → F0
≤ J+1→J J:N+1
1 → I 3
1 0.→ S
0.→ S1
1 → J 2
2.*PI*I*(J-1)/A → G
S+Y(J)*cos(G) → S
S1+Y(J)*sin(G) → S1
1
4
≤ 5 I+1→I I:L
1
≤ 2 J+1→J J:N+1 >
2*S/A → F1(I)
2*S1/A → F2(I)
≤ 3 I+1→I I:L >
2*PI/TF → OMF
OMF/OM0 → ETA
1 → I
I*ETA → C
2*BR*I*ETA → C1
F(I)/(K*√((1-C**2)**2+C1**2)) → S(I)
arctg(C1/(1-C**2)) → FI(I)
≤ I+1 → I I:L
1 → J 6
(J-1)*TF/A → T
1 → I 5
X+S(I)*sin(I*OMF*T-FI(I))→X
4
30
4
≤ 5 I+1→I I:L
>
T, X
≤ 6 J+1→J J:N+1
>
STOP
Tab. 3.2Vývojový diagram odezvy na periodickou budící sílu
Obr. 3.7Fázové charakteristiky kinematicky buzené soustavy
31
1 1 1, ,q q q! !! 2 2 2, ,q q q! !! 1 1 1, ,n n nq q q− − −! !! , ,n n nq q q! !!
k1 m1 k2 m2 k3 kn-1 mn-1 kn mn kn+1
b1 b2 b3 bn-1 bn bn+1
Obr. 4.1
4. KMITÁNÍ LINEÁRNÍCH SOUSTAV S VÍCE STUPNI VOLNOSTI
Přesně vzato jsou všechny mechanické soustavy spojité, to znamená, že jejich hmotnost ipoddajnost jsou rozloženy v celé soustavě spojitě. Ani v té nejjednodušší soustavě - hmotnýbod na pružině, není hmotnost soustředěna pouze v bodě, ale v konečném objemu, takže jdeo reálné těleso, složené z nekonečného počtu bodů. Z toho důvodu má i nekonečný početstupňů volnosti. Pokud jsou jejich vlastní frekvence mimo rozsah našeho zájmu (jsoupodstatně vyšší) modelujeme toto těleso hmotným bodem. Podobně pružina v jakékolivpodobě, realizující v této soustavě poddajnost, má spojitě rozloženou hmotnost a přísluší jírovněž nekonečný počet vlastních kmitů, jejichž frekvence jsou zpravidla značně vyšší, nežty o které se zajímáme. Vytváříme proto model, který vystihuje zkoumané vlastnostimechanické soustavy, nemusí však zahrnovat pro naše zkoumání nepodstatné vlastnosti( např. vysoké vlastní frekvence). Jednodušší, model umožňuje i snadnější matematickézpracování a dává přitom i dostatečně přesné řešení.Požadujeme-li určení i vyšších vlastních frekvencí, musíme vytvořit model s větším počtemstupňů volnosti, to znamená s větším počtem kmitajících bodů. Dostáváme tak modely sesoustředěnými parametry, které nazýváme diskrétní mechanické modely. Lze-li jejich pohybpopsat soustavou lineárních diferenciálních rovnic s konstantními parametry mluvíme olineárních diskrétních modelech.
32
4.1 Sestavení pohybových rovnic a jejich řešeníPohybovou rovnici diskrétního modelu můžeme sestavit různým způsobem.U jednoduchých modelů jaký je na obr. 4.1 můžeme pohybovou rovnici získatuvolněním jednotlivých hmot a napsáním jejich pohybových rovnic:
1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 1 2 3 2 3 3 2 1 2 3 2 3 3 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )n n n n n n n n n n n n n
m q b b q b q k k q k q Q tm q b q b b q b q k q k k q k q Q t
m q b q b b q k q k k q Q t− + − +
+ + − + + − =− + + − − + + − =
⋅⋅
− + + − + + =
!! ! !!! ! ! !
!! ! !
(4.1.1)
Obdrželi jsme n simultánních diferenciálních rovnic druhého řádu s konstantnímikoeficienty, které definují pohyb dané mechanické soustavy. S narůstajícím počtemstupňů volnosti mechanické soustavy se stává řešení velmi pracné. Proto s výhodoupoužíváme maticový zápis pohybových rovnic a maticový počet při jejich řešení.Rov.(4.1.1) lze maticově zapsat následovně: Q(t)KqqBqM =++ !!!! (4.1.2)kde značí
q,qq, !!! vektor výchylky, rychlosti a zrychlení, vyjádřený n rozměrnou sloupcovoumatici [ ]n
T qqq ,....., 21=q , Q(t) je časově závislý vektor budících sil[ ]n
T QQQt ,....,,)( 21=QM je matice hmotnosti., B je matice tlumení a K je matice tuhosti. Všechny tyto maticejsou u konzervativních soustav čtvercové a symetrické řádu n. Pro model na obr.4.1mají tvar:
=
nm
mm
000....000000
2
1
M ,
+−
−+−−+
=
+1
3322
221
00....000
nnn bbb
bbbbbbb
B ,
+−
−+−−+
=
+1
3322
221
00....000
nnn kkk
kkkkkkk
K
Pohybové rovnice lze také sestavit pomocí Lagrangeových rovnic 2.druhu, které mají
33
tvar
)(tQqE
qE
qE
qE
dtd
jj
D
j
P
j
k
j
k =∂∂+
∂∂+
∂∂
−
∂∂
!! pro j = 1,2,….,n
Kinetickou energii můžeme vyjádřit jako
qMqT !!21=kE
Podobně bude platit pro potenciální energii EP a disipativní funkci ED:
KqqT
21=PE a qBqT !!
21=DE
Poněvadž matice M, K a B jsou pozitivně definitní budou jejich derivace dány
EK !M=∂
∂ atd. Dosazením do Lagrangeovy rovnice dostaneme rovnici shodnou
s rov.(4.1.2).Řešení pohybových rovnic závisí na druhu buzení.
4.2 Volné netlumené kmitáníVýsledky získané řešením volného, netlumeného kmitání, kdy Q(t) = 0 jsou důležité
i pro další případy, proto si řešení pohybové rovnice tohoto kmitání probereme
podrobněji. Vycházíme tedy z rovnice
0KqqM =+!! (4.2.1)Předpokládáme, že soustava bude kmitat harmonicky, to znamená, že řešenípředpokládáme ve tvaru tie Ω= uq (4.2.2)kde u je vektor amplitud harmonických kmitů [ ]n
T uuu ,...,, 21=u a Ω je úhlováfrekvence. Dosazením rov.(4.2.2) do rov.(4.2.1) dostaneme po úpravě ( ) 0uMK =Ω− 2 (4.2.3)Rov.(4.2.3) představuje soustavu homogenních rovnic pro neznámé amplitudy uj.Protože je soustava rovnic (4.2.3) homogenní, musí být determinant soustavy pronetriviální řešení nulový: 0det 2
0 =Ω− MK (4.2.4)Tento determinant se nazývá frekvenční determinant. Jeho rozvinutím obdržímefrekvenční rovnici n tého stupně pro 2
0Ω :0...... 0
201
)1(201
20 =+Ω++Ω+Ω −
− aaaa nn
nn
Poněvadž jsou matice M a K pozitivně definitní, jsou kořeny této rovnice reálné kladnéhodnoty, které zpravidla uspořádáváme vzestupně n00201 .......0 Ω≤≤Ω≤Ω≤Poněvadž soustava rovnic.(4.2.3) je homogenní, dostali bychom po dosazení určitévlastní úhlové frekvence nekonečné množství řešení pro ur. Z toho důvodu lze určitpouze vzájemné poměry prvků vlastního vektoru ur, např.
=
11
2
1
1 ,.......,,r
rn
r
r
r
rTr u
uuu
uuv
Takovým způsobem lze vytvořit n různých posloupností, které ke každé vlastní úhlovéfrekvenci definují vlastní tvar kmitání. Proto se těmto vektorům říká vlastní vektory
34
nebo modální vektory. Z n různých posloupností volíme obyčejně takovou, abymaximální hodnota prvku vlastního vektoru byla rovna jedné. Říkáme, že příslušnývlastní vektor normujeme. U normování žádáme, aby platilo: 1=r
Tr vv ( Euklidova norma ),
nebo 1=r
Tr Mvv ( Normujeme podle matice hmotnosti ),
nebo 1=r
Tr Kvv ( Normujeme podle matice tuhosti ).
Kmitá-li soustava r-tým tvarem, jsou jednotlivé výchylky dány rovnicemi ti
rrre 0Ω= vq (4.2.5)
nebo v reálném oboru )sin( 0 rrr t ϕ+Ω= vq (4.2.6)Z rov.(4.2.5) a (4.2.6) je vidět, že se tvar kmitu během pohybu nemění, poněvadžamplitudy pohybu všech hmot jsou konstantní. Obecné řešení rov.(4.2.1) je dánolineární kombinací jednotlivých vlastních kmitů
∑=
Ω=n
r
tirr
ÉReC1
~~ vq (4.2.7)
kde rC~ jsou komplexní integrační konstanty. V reálném oboru má rov.(4.2.7) tvar
01
sin( )n
r r rr
C t ϕ=
= Ω +∑ rq v (4.2.8)
nebo
∑=
Ω+Ω=n
rOrrrrr tBtA
10 )sincos(vq (4.2.9)
Integrační konstanty Cr, ϕr resp. Ar, Br pro r = 1,2,…,n se určí z počátečních podmínek.Vlastní vektory jednotlivých tvarů kmitů lze sestavit do tak zvané modální matice
==
nnnn
n
n
n
vvv
vvvvvv
............
..
..
],....,,[
21
22221
11211
21 vvvV (4.2.10)
Vlastní úhlové frekvence lze sestavit do spektrální matice
Ω
ΩΩ
=
20
202
201
20
....0..........0..00..0
n
Ω (4.2.11)
4.2.1 ORTOGONALITA VLASTNÍCH VEKTORŮPředpokládejme, že vyšetřovaná mechanická soustava má vlastní úhlové frekvence Ω0r
35
a Ω0s. Rov.(4.2.3) lze psát ve tvaru
( )( ) 0vMK
0vMK=Ω−
=Ω−
ss
rr20
20 (4.2.12)
Vynásobme zleva prvou z těchto rovnic vektorem Tsv a druhou vektorem T
rv :
0vMKv0vMKv
=Ω−
=Ω−
sOsTr
rrTs
)(
)(2
20
Druhou z těchto rovnic transponujme ( ) 0vMKv =Ω− rs
Ts
20
Nyní tuto rovnici odečteme od první z předchozí dvojice rovnic, takže obdržíme poúpravě ( ) 02
020 =Ω−Ω r
Tssr Mvv
Poněvadž jsme již dříve předpokládali, že sr 00 Ω≠Ω , musí platit 0=r
Ts Mvv (4.2.13a)
a podobně pro sr ≠ 0=r
Ts Kvv (4.2.13b)
Podmínky ortogonality fyzikálně značí, že při kmitání soustavy určitou vlastní frekvencívyskytuje se v soustavě pouze jí příslušející vlastní tvar kmitu.Z rov.(4.2.13) plyne věta
Vlastní vektory příslušné různým vlastním úhlovým frekvencím jsou ortogonálnívzhledem k matici hmotnosti i matici tuhosti.
S požitím modálních matic lze psát
[ ][ ] yr
Tr
T
yrTr
T
KKvvKVV
MMvvMVV
==
== (4.2.14)
Prvky diagonální matice yK se nazývají hlavní tuhosti kyr. Podobně prvky diagonálnímatice My se nazývají hlavní hmotnosti myr. Poněvadž je matice hmotnost positivnědefinitní jsou všechny hlavní hmotnosti kladné.
4.2.2 HLAVNÍ SOUŘADNICE
Modální matici V lze použít k vytvoření tak zvaných hlavních nebo také normálníchsouřadnic, které lze definovat modální transformací qVy 1−= nebo Vyq = (4.2.15)Řešení lineární soustavy s použitím modální transformace se nazývá modální analýza.Její použití je velmi výhodné, poněvadž odstraňuje vzájemné vazby mezi pohybovýmirovnicemi mechanické soustavy. Uvažujme netlumenou mechanickou soustavupopsanou pohybovými rovnicemi )(tQKqqM =+!! (a)Dosazení za q výraz z rov.(4.2.15) do rov.(a) dostaneme )(tQKVyyMV =+!! (4.2.16)
36
Vynásobením této rovnice zleva transponovanou modální maticí VT a označením podlerov.(4.2.14) dostaneme )(tyyy QyKyM =+!! (4.2.17)kde jsme označili )()( tt T
y QVQ = (4.2.18)Poněvadž matice My a Ky jsou matice diagonální představuje rov.(4.2.17) n vzájemněnezávislých rovnic )(tQykym yrryrryr =+!! pro r = 1, 2, …, n (4.2.19)Jestliže byly vlastní vektory normovány podle matice hmotnosti, kdy platí
EMVVM == Ty , přejde rov.(4.2.17) na tvar
)(tyy QyKy =+!! (4.2.20)
V této rovnici je vlastně 20ΩK =y
4.2.3 VÝPOČET VLASTNÍCH VEKTORŮ JACOBIHO METODOU
Na výpočet vlastních frekvencí a vlastních vektorů lze aplikovat metodu v matematice
známou jako vlastní problém.
Rov.(4.2.3) můžeme upravit na tvar ( )1 2
0r r− − Ω =M K E v 0
Označíme-li AKM =−1 a rr λ=Ω20 lze předchozí rovnici napsat jako
r r rλ=Av v (4.2.21)Obdrželi jsme tak matematickou formulaci vlastního problému. Je-li matice Asymetrická lze vlastní problém řešit Jacobiho metodou, kterou si v dalším popíšeme.Podstatou této metody je přeměnit čtvercovou matici A na matici diagonálnís hodnotami λr na hlavní diagonále. V matematice se dokazuje, že lze na diagonalizacimatice A použít podobnostní transformaci DAQQ =T
Úkolem nyní je nalézt podobnostní matici Q. Tuto matici získáme v sestrojenínásledující posloupnosti ortogonálních matic pro níž platí
QSSS =∞→ kk
........lim 21
Zaveďme označení k
TTk
Tkk SSASSSST ....... 2111−= kde je vlastně AT =0 .
Prvky matice Tk označíme )(kijt a prvky matic Sk označíme )(k
ijs .Definujme
( )∑∑= =
=n
i
n
j
kijk tv
1 1
2)( pro všechny případy, kdy i ≠ j a k = 0,1,2,…
∑∑= =
=n
j
n
i
kijk tw
1 1
2)( )( pro k = 0,1,2,….
Přitom během jednotlivých transformačních kroků žádáme nulování mimodiagonálníchprvků, při zachování hodnosti matice, tedy:
37
kkkk wwavv =< ++ 11 přičemž 0lim =∞→ kk
v
V takovém případě bude platit DT =
∞→ kklim
Každým iteračním krokem se snažíme vynulovat určitý mimodiagonální prvek krokupředchozího např. )1( −k
pqt tak, aby platilo 0)( =kpqt . To lze provést transformační maticí
Sk, kterou si lze představit jako matici směrových kosinů při rotační transformaci.Chceme-li vynulovat prvek řádku p a sloupce q bude transformační matice Sk mít tvar
−
=
100000cos0sin
0010000sin0cos00000010000001
kk
kkk
ϑϑ
ϑϑS
Nyní musíme provést potřebnou transformaci kk
Tkk STST 1−=
Provedení naznačených operací obdržíme prvky matice Tk:
kk
qjkk
pjk
qjk
jq
kk
qjkk
pjk
pjk
jp
tttt
tttt
ϑϑ
ϑϑ
cossin
sincos)1()1()()(
)1()1()()(
−−
−−
+==
−== pro qjapj ≠≠ (4.2.22)
kk
qikk
pik
qik
iq
kk
qikk
pik
pik
ip
tttt
tttt
ϑϑ
ϑϑ
cossin
sincos)1()1()()(
)1()1()()(
−−
−−
+==
−== pro qiapi ≠≠ (4.2.23)
( ) 02cos2sin21
cossin2cossin
cossin2sincos
)1()1()1()()(
)1(2)1(2)1()(
)1(2)1(2)1()(
=+−==
++=
−+=
−−−
−−−
−−−
kk
pqkk
qqk
ppk
qpk
pq
kkk
pqkk
qqkk
ppk
kkk
pqkk
qqkk
ppk
pp
ttttt
tttt
tttt
ϑϑ
ϑϑϑϑ
ϑϑϑϑ
(4.2.24)
)1()( −= kij
kij tt pro qjapi ≠≠
Poněvadž nulujeme prvek )(kpqt musí být třetí z rovnic (4.2.24) rovna nule. Z této
podmínky určíme
)1()1(
)1(
)1()1(
)1( 2212
2 −−
−
−−
−
−=⇒
−−= k
ppk
kpq
kkqq
kpp
kpq
k ttt
arctgtt
ttg ϑϑ (4.2.25)
Takto postupujeme dalšími kroky. Poněvadž vynulování všech mimodiagonálníchprvků by teoreticky vyžadovalo nekonečný počet iterací, ukončujeme proces zpravidlatehdy jakmile norma nediagonálních prvků kv dosáhne určité předepsané minimálníhodnoty.Vlastní vektory matice A určíme již snadněji, poněvadž jsou tvořeny sloupciortogonální matice Sk. Jestliže označíme Rk=S1 S2…..Sk = Rk-1Sk, to znamená, žemůžeme použít prvky z předcházejícího kroku a určit prvky vlastního vektoru:
qpjprorr
rrr
rrr
kij
kij
kk
iqkk
ipk
iq
kk
iqkk
ipk
ip
,
cossin
sincos
)1()(
)1()1()(
)1()1()(
≠=
+=
−=
−
−−
−−
ϑϑ
ϑϑ
(4.2.26)
38
Na počátku iterace je R0 = E.Algoritmus řešení je znázorněn v tab. 4.1.
39
Tab. 4.1 Algoritmus řešení vlastního problému metodou Jacobi.
START
N
I=1
J=1
A(I,J)
A(J,I)=A(I,J)
< J=J+1 J:N
≥
R(I,I)=1
< I=I+1 I:N ≥
Q1=0.
I = 1
J = I + 1
Q1=Q1+A(I,J)^2
< J=J+1 J:N
≥ < I=I+1 I:N-1
true19 Q1.EQ.0
false1
1
Q1=2*√(Q1/(N*(N-1)))
Q2=Q1*10-9
15
P1=0
P = 1 14
Q=P+1 13
ne 10 ABS(A(P,Q)).GT or EQ.Q1
ano
P1 = 1
X9=(A(P,P)-A(Q,Q))/2
ano X9.EQ.0
Y8=-A(P,Q)/X9
X8=0.5*ATN(Y8)
X8=PI/4
S=SIN(X8)
S2=S*S
C2=1-S2
SC=S*C
I = 1 12
2
40
2
ne 11 I.EQ.P or I.EQ.Q
ano
X9=A(I,P)*C-A(I,Q)*S
A(I,Q)=A(I,P)*s+A(I,Q)*C
A(I,P) = X9
A(I,P)=A(P,I)
A(I,Q)=A(Q,I)
X9=R(I,P)*C-R(I,Q)*S
R(I,Q)=R(I,P)*S+R(I,Q)*C
R(I,P) = X9
< 12 I-I+1 I:N
3 ≥
X9=2*A(P,Q)*SC
Y9=A(P,P)*C2+A(Q,Q)*S2-X9
A(Q,Q)=A(P,P)*S2+A(Q,Q)*C2+X9
A(P,P) = Y9
3
3
A(P,Q)=A(Q,P)
10 < 13 Q=Q+1 Q:N
< 14 P=P+1 P:N-1
ano 15 P1.EQ.0
ano Q1=Q1/N Q1.GT.Q2 ne
I=1 18
J=I+1
17
16 A(I,I).LT.A(J,J)
X9=A(I,I)
A(I,I)=A(J,J)
A(J,J)=X9
K = 1 20
X9=R(K,I)
4
41
4
R(K,I)=R(K,J)
R(K,J)=X9
<
20 K=K+1 K:N
16 ≥
<
17 J=J+1 J:N
≥
19 I=I+1 I:N
5
5
I = 1
A(I,I), √(A(I,I))
J = 1
R(J,I)
< J=J+1 J:N
≥ < I=I+1 I:N ≥
STOP
4.2.4 SYMETRIZACE MATICE – CHOLESKÉHO ROZKLAD
Matice A, jejíž vlastní problém řešíme je u volného kmitání dána KMA 1−= . Ačkoliv
jak matice M-1 i K jsou symetrické, tak jejich součin dává matici nesymetrickou.
Abychom mohli pro řešení problému použít Jacobiho metodu je nutno matici A
symetrizovat. K tomu použijeme Choleského rozklad matice M:
LLM T= (4.2.27)Pokud je matice M diagonální pak bude platit
[ ]
==== −−
ii m
diagamdiag 1T1T LLLL (4.2.28)
Pro vlastní problém platí vztah
42
vKvM 1 λ=− (4.2.29)Dosadíme-li do této rovnice za M rov.(4.2.27) zavedeme
yLv 1−= (4.2.30)obdržíme
yLyKLLL 111T −−−− = λvynásobením této rovnice maticí L obdržíme
yyKLL 11 λ=−− (4.2.31)Poněvadž výraz 11 −− KLL je symetrický,lze pro vlastní problém použít Jacobihometodu. Poněvadž byla provedena podobnostní transformace, budou vlastní číslarov.(4.2.31) stejná jako v rov.(4.2.29). Abychom dostali správné vektory v nutnoprovést transformaci podle rov.(4.2.30).
4.2.5HOUSEHOLDEROVA METODA TRIDIAGONALIZACE MATICEJacobiho metoda diagonalizuje čtvercovou symetrickou matici vynulováváním
jednotlivých mimodiagonálních prvků. Jeli matice velká a plná je tento iterační proces
časově velmi náročný. Proto je vhodné před vlastním jacobiho procesem převést matici
na třídiagonální tak zvanou Householderovou metodou, která vynulovává postupně celý
řádek a sloupec s výjimkou třídiagonálních prvků. Při tomto postupu zůstávají dříve
vynulované prvky nulové. Metoda používá ortogonální matice a předpokládá, že platí
1=vvT (4.2.32)Pak je matice
TvvEP 2−= (4.2.33)ortogonální a symetrická. Zavedeme podobnostní transformaci
kkTkk PAPA 1−= pro k = 2,3,…,n-1 (4.2.34) Předpokládáme, že matice
Ak-1 má všechny prvky v prvních k-2 řádcích a sloupcích nulové, s výjimkoutřídiagonálních prvků. Vektor vk zvolíme tak, že jeho (k–1) prvků je nulových. Úkolemje určit prvky vk,k až vk,n tak, aby platila rov.(4.2.32) a aby se (n-k) netřídiagonálníchprvků v (k-1) řádku a sloupci matice Ak rovnalo nule. To se provede tak, že položíme
2,1 jk
n
kjaS −
=∑= (4.2.35)
a
( )[ ]Sav kkkk /121
,12, −±= (4.2.36)
nkjSvav kkjkjk ,.....,1)2/( ,,1, +=±= − (4.2.37)Znaménko v rov.(4.2.36) a rov.(4.2.37) volíme tak, aby řešení bylo co nejpřesnější.Poněvadž se v rov.(4.2.37) vyskytuje vk,k ve jmenovateli, je potřeba, aby bylo conejvětší. Proto v rov.(4.2.36) volíme takové znaménko, jaké má ak-1,k a totéž znaménkopoužijeme v rov,(4.2.37). Aby řešení bylo co nejefektivnější volíme následující postup:Z rov.(4.2.34) počítáme nejprve
)2(11Tkkkkk vvEAPA −= −− (4.2.38)
zavedeme označení kkk vAw 1−= , takže lze psátTkkkkk vwAPA 211 −= −− (4.2.39)
43
Pak určíme z rov.(4.2.34)Tkk
Tkkkkk
Tkk vqqvAPAPA 2211 −−== −− (4.2.40)
kde jsme zavedli
kkTkkk vwvwq −=
Algoritmus Householderovy metody ukazuje následující diagram.
START
I = 1
J = 1
A(I,J)
< J=J+1 J:N
≥
I=I+1 I:N
K = 2
4 S = 0
I=K-1
S=A(I,K)^2+S
5 I=I+1 I:N
ano
6 K=K+1 S.EQ.0
S=√(S)
1
1
Z=(1+SGN(A(K+1,K))*A(K+1,K)/S)/2
I = 1
V(I)=0
< I=I+1 I:K
V(K+1)=√(Z)
I=K+2
V(I)=SGN(A(K,I))/(2*V(K)*S)
< I=I+1 I:N ≥
I = 1 7
J = 1 6 ano ne D=1 I.EQ.J D=0
P(I,J)=D-2*V(I)*V(J)
2
44
2
PT(J,I)=P(I,J)
< 6 J=J+1 J:N
< 7 I=I+1 I:N
B=PTMULTP
3
3
A=BMULTP
< 4 K=K+1 K:N-2
A
STOP
4.2.6 RAYLEIGHO KVOCIENTMnohdy se stává, že při návrhu nám postačí odhad pouze jedné, zpravidla nejnižší
vlastní frekvence. Nyní si ukážeme, jak lze takový odhad provést. Vyjdeme
z rov.(4.2.23), kterou lze psát ve tvaru
vrr MvKv 2Ω=Vynásobením této rovnice zleva transponovaným vektorem T
rv obdržíme na oboustranách rovnice skaláry. Můžeme tedy určit 2
rr Ω=λ :
r
Tr Mvv
vv rTr
rK=λ (4.2.41)
Když dosadíme za r=1 získáme nejnižší úhlovou frekvenci 01Ω , při dosazení za r = nobdržíme n tou vlastní úhlovou frekvenci. Jak vidět z rov.(4.2.41) je úhlová frekvencefunkcí vlastního vektoru vr. To by znamenalo, že k určení vlastní úhlové frekvencebychom potřebovali znát vlastní vektor, příslušný požadovanému tvaru kmitu. Jestližeodhadneme vlastní vektor rv , odhadneme tím i vlastní úhlovou frekvenci. Rov.(4.2.41)lze s použitím odhadnutého vektoru rv psát jako
r
Tr
rTr
r vMvvKv
=λ (4.2.42)
Tato rovnice udává tak zvaný Rayleighův kvocient, který má tyto vlastnosti:1. Je-li odhadnutý vektor rv roven vlastnímu vektoru, pak Rayleighův kvocient je
roven čtverci vlastní úhlové frekvenci.2. Je-li odhadnut vektor s určitou přesností, pak přesnost Rayleighova kvocientu je ořád vyšší.
3. Nabývá-li vlastní vektor postupně všech svých hodnot, Rayleighův kvocient je vždyuvnitř intervalu daného nejnižší a nejvyšší vlastní úhlovou frekvencí.
Jestliže zlomek v rov.(4.2.41) rozšíříme 1/2 potom čitatel vyjadřuje potenciální energiiuvažovaného tvaru kmitu a jmenovatel vyjadřuje jednotkovou kinetickou energii
*krE tohoto tvaru kmitu. Rov.(4.2.41) lze také psát jako
*Pr
Krr E
E=λ
4.2.7 REDUKCE POČTU STUPŇŮ VOLNOSTIJestliže má soustava velký počet stupňů volnosti, o jejíž vyšší frekvence nemámezájem, provádíme redukci soustavy na potřebný nižší počet stupňů volnosti. Přitom jedodržována podmínka, aby hodnoty vlastních frekvencí redukované soustavy bylyrovny frekvencím soustavy skutečné. V dalším si ukážeme dvě často používaní metodyredukce.
4.2.7.1 Redukce přetvořením mechanického modelu
Tato metoda je založena na postupném přetváření modelu mechanické soustavy. Každásoustava se dá rozdělit na řadu izolovaných částí dvojího druhu, jak ukazuje obr. 4.2.Pro zjednodušení kreslení budeme uvažovat torsní soustavy.
I I1 I2
!1 !2 !1 !2
M1 k1 k2 M2 M1 k M2
a) b) Obr. 4.2
45
Při řešení volného kmitání přenáší pružná část soustavy kroutící moment Mi. Protomůžeme předpokládat, že určitá část celé soustavy je zatížena vnějším harmonickýmmomentem v místech 1 a 2. Můžeme napsat řešení pohybu:Pro soustavu a)
..1 1 2 2
1 1 1
2 2 2
( ) ( ) 0( )( )
I k kk Mk M
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕϕ ϕ
+ − + − =− =− =
Vyjádříme harmonické složky: ,, 0ti
iiti
m eMMe ωωϕϕ == a z druhé rovnice určíme
1
011 k
Mmm −= ϕϕ
Tím předchozí rovnice dostanou tvar:
46
01))((
0)(
0)()(
2211
011
221
22112
21
22112
=−−−−+
=−−−+
=−+−+−
mm
mmm
mmmmm
kmkk
MIkk
kkIkkkkI
ϕϕϕω
ϕϕϕωϕϕϕϕϕω
Vyloučením ϕm a úpravou obdržíme:
)()1(
0
2
2121
21011
2
22
12
011
2122
2
1
0112
ωϕωϕ
ϕωϕωϕ
kkI
kkkkM
kI
IMk
kkkk
IMk
mm
mmm
−+−−=
=−+
−−+
Zavedením vlastní úhlové frekvence soustavy a):
Ikk
a21
0+=Ω
lze vyjádřit:
011
2
12
02
0120
2
211
2
22
)1(
)1)(11()1(
Mk
IIM
Mkkk
I
m
amm
ωϕω
ωϕωϕ
−+=
Ω−+−−=
(4.2.43)
Pro soustavu b) lze psát pohybové rovnice:
21222
12111
)()(
MkIMkI
=−+=−+
ϕϕϕϕϕϕ
!!!!
Vyjádříme-li tiii
timii eMMe ωωϕϕ 0; == dostaneme:
012112
1 )( MkI mmm =−+− ϕϕϕω
021222
2 )( MkI mmm =−+− ϕϕϕωz této rovnice můžeme vyjádřit
( ) 0122
120
22
2102
01121
2
11
11
MkIIIM
Mkk
I
mb
mm
−+
Ω
−+=
−
−=
ωϕωω
ϕωϕ (4.2.44)
kde jsme zavedli vlastní úhlovou frekvenci soustavy b)
kIIII
b21
210
+=Ω
Podstata této metody redukce je ve vzájemné záměně obou parciálních soustav. Při tom
se zanedbává 20
2
Ωω jako malé vůči 1.
Náhrada soustavy a) soustavou b)V tomto případě platí
21
111kkk
+=′
respektive 21
21
kkkkk
+=′ (4.2.45)
a porovnáním členů u ϕm1 a M01 u rov.(4.2.43) a rov.(4.2.44) dostaneme po úpravě
47
Ikk
kIaIkk
kI21
22
21
11 +
=′+
=′ (4.2.46)
Náhrada soustavy b) soustavou a)V tomto případě bude
21 III +=′′ (4.2.47)a porovnáním rov.(4.2.43) a rov.(4.2.44) bude:
kI
IIkakI
IIk1
212
2
211
+=′′+=′′ (4.2.48)
Aplikací rov.(4.2.45) a rov.(4.2.46) přejdou rov.(4.2.44) na tvar
012
112
0
22
02
0121
12
22
)1()1(
)11()1(
MkIIM
Mkkk
I
ma
mm
ωϕωω
ϕωϕ
−+Ω
−=
+−−=(4.2.49)
Když dosadíme do rov.(4.2.47) a rov.(4.2.48) obdržíme
0122
12
2102
0120
2
121
2
)1()(
)1(1)1(
MkIIIM
Mkk
I
m
bmm
ωϕω
ωϕωϕ
−++=
Ω−−−=
(4.2.50)
Porovnáním rov.(4.49) a rov.(4.2.43) je vidět, že se liší pouze členy )1( 20
2
aΩ− ω a při
rovnání rov.(4.2.50) s rov.(4.2.44) se liší členy b0
221(Ω
− ω ). Jestliže jsme položili
předpoklad, že 00 20
2
20
2 →→ΩΩ ba
a ωω pak jsou tyto rovnice shodné a záměnu lze provést.
Záměny jsou dostatečně přesné když 5,2≤Ωω . Způsob redukce ukazuje obr. 4.3.
Samozřejmě, že lze obě metody vzájemně kombinovat. Postup práce je následující:1. Nalezneme úsek hřídele s nejnižší vlastní úhlovou frekvencí:
a) I
kka
210
+=Ω b) kII
IIb
21
20
1+
=Ω
2. Provedeme redukci soustavy, to znamená náhradu subsystému
a→b 21
22
21
11
21
21 ,,kk
kIIkk
kIkk
kkk+
=′+
=′+
=′
b→a kI
IIkkI
IIkIII1
212
2
21121 ,,
+=′′+
=′′+=′′
Celý postup se opakuje, až dosáhneme potřebný stupeň redukce. V praxi není potřebaurčovat vlastní úhlovou frekvenci obou subsystémů, ale lze postupovat od minimálníchhodnot hmotností, případně momentů setrvačnosti, nebo maximálních tuhostí pružnýchčlenů.Tato metoda má výhodu v názornosti a v tom, že víme jaké úpravy jsme provedli.Nehodí se však pro soustavy s vysokým počtem stupňů volnosti.Postupnou redukci soustavy ukazuje obr.4.3.
4.2.7.2Pro souredukceLanczoUvažuj
kde mametodase shodZvolmeLanczo
Dosaze
a vynás
Postup redukce soustavy
b → a a → b
48
LANCZOSOVA METODA REDUKCEstavy s velkým počtem stupňů volnosti je výhodné zvolit některou z metod, která probíhá podle pevného algoritmu. Jednou z takových metod je
sova metoda, kterou si v této kapitole popíšeme.me upravenou rovnici volného kmitání
MvKv λ= (4.2.51)tice K a M jsou positivně definitní, symetrické matice řádu n. Lanczosova redukuje soustavu tak, že zvolený počet m vypočtených vlastních čísel 2ωλ =uje s m vlastními čísly původní soustavy. m < a a zaveďme redukční matici [ ]irR = řádu (n,m), kde ri jsou tak zvanésovy vektory (n,1). Dále zavedeme y (m,1) tak, aby platilo
Ryv = (4.2.52)ním rov.(4.2.52) do rov.(4.2.51) dostaneme
MRyKRy λ=obením zleva RT bude
( ) ( )yMRRyKRR TT λ= (4.2.53)
Obr. 4.3
49
Tím je úloha redukována na řád m. Redukční matici [ ]mrrrR ,....,, 21= určíme pomocíLanczosova mechanismu tak, aby matice MRRT byla diagonální a jednotková amatice KRRT byla třídiagonální a symetrická. Potom lze rov.(4.2.53) psát ve tvaru yKRyR λ=T (4.2.54)Tím se podařilo převést původní obecný vlastní problém na vlastní problém symetrickématice, která je nejen redukována na nižší řád m, ale je i třídiagonalizována.Algoritmus řešení Lanczosovy metody, vylepšené Ojalvem je následující:1. Vytvoří se součin KM 1−
2. Provede se odhad 1r vektoru 1r . Přitom se prokázalo, že nejlepších výsledků bylodosaženo, když se použil generátor náhodných čísel v )1,0(∈ .
3. Provede se smyčka výpočtů vektorů mrrr ,....,, 21 v krocích 1 až m takto:4. i
Tii rMr=2β
5. i
ii
rrβ
= (tím je provedena normalizace)
6. iTii Krr=α
7. Pro i = m se pokračuje od bodu 138. Pro i = 1: 111
12 )( rrKMr α−= −
pro i > 1 (tedy pro i=2,3,….,m-1) 11
1 )( −−
+ −−= iiiiii rrrKMr βα9. Provede se ortogonalizační smyčka v krocích s = 0 až s. V ortogonalizační smyčce
se provede korekce vektoru ri+1, aby byl ortogonální s vektory r1, r2,…., ris = 0
10. jis
iT
ji
i
j
si
si −++−+
=+
++ ∑−= 111
11
11 )( rrMrrr
11. Jestliže při výpočtu bylo v sumaciε⟩+−+
si
Tji 11 rMr pak dáme s = s+ 1 a přejdeme zpět na bod 10
(ε vyjadřuje požadovanou přesnost, např. 10-9)12. Po úspěšném průběhu ortogonalizační smyčky ( ε≤+−+
si
Tji 11 rMr ) použijeme pro další
výpočet 111+
++ = sii rr a pokračujeme od bodu 4.
13. Všechny vektory r1, r2,…., rm jsou určeny, zároveň jsou určeny všechny potřebnéprvky ii βα , pro i = 1,2, ….,m, které použijeme k vytvoření matice
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
=
−−
mm
mmm
T
αββαβ
βαββα
11
322
1
000
KRR
14. Vlastní čísla a vlastní vektory lze určit standardní metodou (Jacobi).15. Určí se vlastní vektor původní matice
Ryv =Je zajímavé, že vlastní vektor v je řádu (n,1), to znamená, že obdržíme plný počet tvarůkmitů. Výhodou této metody je, že probíhá automaticky, bez určování míst redukce.
50
Nevýhodou je, že ztratíme fyzikální představu nového mechanického modelu, cožmůže vadit při optimalizaci parametrů soustavy.
4.3 Volné tlumené kmitání soustavPohybovou rovnici volného tlumeného kmitání získáme z rov.(), ve které položímeQ(t) = 0:
0KqqBqM =++ !!! (4.3.1)Matice tlumení B je čtvercová matice řádu n. Při jejím sestavování vznikají potíže,protože u řešených konstrukcí neznáme ani schéma připojení lineárních tlumičů anihodnoty jejich součinitelů tlumení. Proto se snažíme tuto nejistotu obejít nějakýmhypotetickým tlumením, jehož vyjádření je dostatečně jednoduché a navíc dává ijednoduché vyjádření podmínek ortogonality. Těmto předpokladům odpovídá tak zvanéproporcionální tlumení.
4.3.1 PROPORCIONÁLNÍ TLUMENÍProporcionální tlumení je vztaženo k maticím hmotnosti a tuhosti a je vyjádřenovztahem
KMB βα += (4.3.2) V této rovnici představuje člen αM konstrukční tlumení, které je funkcí hmotnostíkmitající soustavy, člen βK nahrazuje materiálové tlumení, které je, podobně jakotuhost pružných prvků soustavy, funkcí vnitřních materiálových vlastností.Je vidět, že u proporcionálního tlumení platí pro podmínku ortogonality vlastníchvektorů jednoduchý výraz:
srprosTr ≠= 0Bvv (4.3.3)
Pro řešení pohybové rov.(4.3.1) využijeme vlastních vektorů netlumené soustavy (α = β = 0).Řešení rov.(4.3.1) budeme předpokládat ve tvaru
∑=r
rvq tr
reC λ (4.3.4)
V tom případě přejde rov.(4.3.1) na tvar 0vKvBvM =++ ∑∑∑ r
r
trr
tr
rrr
r
trr
rrr eCeCeC λλλ λλ2
Vynásobíme-li tuto rovnici Tsv a využijeme podmínek ortogonality dostaneme
( ) nrproeC tr
Trrr
Trrr
Trr
r ,...2,102 ==++ λλλ KvvBvvMvv (4.3.5)Poněvadž tato rovnice musí platit nezávisle na čase, musí být pro netriviální řešenívýraz v závorce roven nule. Označíme-li
rTryrr
Tryr km KvvMvv == ;
a vyjádříme-li matici tlumení rov.(4.3.2), obdržíme n nezávislých rovnic:),...,2,1(0)(2 nrkkmm yrryryrryr ==+++ λβαλ (4.3.6)
Z rov.(4.3.6) lze určit kořeny λr:rrr iΩ±−= δλ 2,1)( (4.3.7)
kde jsme označili
yr
yryrr m
km2
βαδ
+= (4.3.8)
51
yr
yrr
rrr
mk
=Ω
−Ω=Ω
0
220 δ
(4.3.9)
Jak patrno z rov.(4.3.7) náleží ke každému vlastnímu vektoru vr dvě vlastní hodnoty λr.Obecné řešení dané rov.(4.3.4) bude proto dáno rovnicí:
∑ += rt
rt
rrr eCeC vq )( 21
21λλ (4.3.10)
Pokud bude r0Ω > δr budou kořeny λr komplexně sdružené a výsledný pohyb budeperiodický, vyjádřený rovnicemi:
( )∑ Ω+Ω= −
rrrrr
t tBtAe rrvq sincosδ (4.3.11)
nebo ∑ +Ω= −
rrr
tr teC r
rvq )sin( ϕδ (4.3.12)
Hodnoty C1r, C2r, nebo Ar, Br, či Cr,ϕr jsou integrační konstanty, které se určíz počátečních podmínek (t = 0, q = qo, 0qq !! = ).Pro určení součinitelů α a β použijeme rov.(4.3.8), kterou upravíme na tvar:
Ω+
Ω= r
rrb βα
021
Součinitelé α a β se určí ze dvou měření poměrného útlumu při dvou vlastníchúhlových frekvencích Ωr, které jsou dostatečně od sebe vzdáleny. Poněvadž však vyššívlastní tvary kmitů lze vybudit jen velmi obtížně, pomůžeme si hypotetickou úvahou.Z měření víme, že extrém poměrného útlumu je při nejnižším tvaru kmitu. Provedemeproto derivaci poslední rovnice,kterou položíme rovnu nule:
021
20
=
+
Ω−=
Ωβα
rr
r
ddb
Tím jsme obdrželi dvě rovnice z nichž lze určit oba koeficienty proporcionálníhotlumení:
r
r
rr
bb
0
0
Ω=
Ω=
β
α(4.3.13)
V tomto případě nám stačí pouze jedno měření poměrného útlumu a to při nejnižšívlastní úhlové frekvenci.
4.4 Vynucené kmitání mechanických soustavVelmi často se setkáváme v praxi s vynuceným kmitáním mechanických soustav, kdyuvažujeme úplnou rov.(4.1.2)
)(tQKqqBqM =++ !!! (4.4.1)Obdrželi jsme soustavu diferenciálních rovnic druhého řádu s pravou stranou. Jejichřešení se skládá z řešení homogenního a partikulárního:
ph qqq +=Homogenní řešení je dáno rov.(4.3.11). Partikulární řešení závisí na vektoru budícíchsil.
52
4.4.1 BUZENÍ HARMONICKOU SILOUV této kapitole budeme předpokládat harmonickou budící sílu
tiet ω0)( QQ =
S ohledem na harmonický charakter pravé strany rov.(4.4.1) budeme uvažovatpartikulární řešení ve tvaru
tip e ωsq ~= (4.4.2)
kde s~ je komplexní vektor amplitud. Dosazením rov.(4.4.2) do rov.(4.4.1) obdržíme poúpravě
( ) 02 ~ QsBMK =+− ωω i
Z této rovnice můžeme určit komplexní vektor amplitud odezvy( ) 0
12~ QBMKs −+−= ωω i (4.4.3)Z rov.(4.4.3) lze získat komplexní vektor amplitud odezvy. Nutno si pouze uvědomit, žemusíme provést inverzi komplexní matice ( )BMK ωω i+− 2 . Tuto inversi lze provéstpodle vztahu
( ))()(12
ωωωω
∆=+− − GBMK i (4.4.4)
kde značí
)det()()()(
2
2
BMKBMKG
ωωωωωω
iiadj
+−=∆
+−=
Toto řešení vyžaduje práci s komplexními čísly. Pokud bychom chtěli pracovat pouzes reálnými čísly, je nutno použít následující postup:Označme reálnou část
AMK =− 2ωa imaginární část
DB =ωInverzí dynamické matice tuhosti obdržíme opět reálnou a imaginární část:
( ) ( )NLDA ii +=+ −1
vynásobením levé strany této rovnice maticí dynamické tuhosti )( DA i+ obdržímejednotkovou matici
))(( NLDAE ii ++=Provedením naznačeného násobení bude
)( DLANiDNALE ++−=Reálné a imaginární části obou stran rovnice musí být rovny
0DLANEDNAL
=+=−
Tuto soustavu lze zapsat maticově jako
=
−0E
NL
ADDA
odkud lze již určit členy inverzní matice dynamické tuhosti, ovšem za cenu toho, žemusíme invertovat matici řádu 2n.
−=
−
0E
ADDA
NL 1
Rov.(4.4.3) lze psát ve tvarupiei ϕ
00)(~ sQNLs =+=
53
kde reálné hodnoty amplitud odezvy jsou dány vztahem ( ) ( )22
0~Im~Re rrr sss += pro r = 1, 2, …, n (4.4.5)
a jim odpovídající fáze r
rpr s
sarctg ~Re
~Im=ϕ pro r = 1, 2, …, n (4.4.6)
Odezvu soustavy buzené harmonickou silou lze vyjádřit rovnicí)]sin()sin([ pr
rrr
tr tteC r ϕωϕδ +++Ω= ∑ −
rr svq (4.4.7)
V této rovnici je nutno určit integrační konstanty Cr a ϕr z počátečních podmínek.Ze stejných důvodů jako u volného, tlumeného pohybu se i zde uvažuje proporcionálnítlumení.
4.4.2 BUDÍCÍ SÍLA JE OBECNOU FUNKCÍ ČASU
Velmi často se v praxi vyskytuje případ, kdy budící síla je obecnou funkcí času.Partikulární řešení rov.(4.4.1) budeme předpokládat ve tvaru
)(tdrr
p ∑= rvq (4.4.8)
kde vr je vlastní vektor volného, netlumeného kmitání a dr(t) je prozatím neznámáfunkce času. Dosazením rov.(4.4.8) do rov.(4.4.1) obdržíme
)()()()( ttdtdtdr r
rrr
r QvKvBvM rrr =++ ∑ ∑∑ !!!
Vynásobením této rovnice zleva Tsv a využitím podmínek ortogonality (tlumení
uvažujeme proporcionální) bude:nrprottdtdtd T
rrrTrrr
Trrr
Tr ,...,2,1)()()()( ==++ QvKvvBvvMvv !!!
Celou rovnici podělíme hlavní hmotností rTryrm Mvv= a označíme
rTr
rTrr
Tr
rTr
rTr
r MvvKvvMvv
MvvBvv βαδ +==2 (4.4.9)
rTr
rTr
r MvvKvv=Ω2
0 (4.4.10)
Tak obdržíme n nezávislých rovnic:
nrprottdtdtdr
Tr
rrrrr ,...,2,1)()()(2)( 20 ==Ω++
MvvQvT
r!!! δ (4.4.11)
Tato rovnice odpovídá svým tvarem rov.(3.1.2), jejíž partikulární řešení jsme provedliDuhamelovým integrálem. V případě rov.(4.4.11) bude
( )
0
( ) ( ) sin ( )r
tt
r rr yr
d t e t dm
δ ττ τ τ− −= Ω −Ω ∫
Trv Q
Dosazením za dr(t) do rov.(4.4.8) dostaneme
∑ ∫ −ΩΩ
= −− τττ τδ dte rt
rTrr
Trr r )(sin)( )(Q
Mvvvvqp (4.4.12)
kde značí22
0 rrr δ−Ω=Ω
54
Uvedené řešení je odvozeno pro obecný tvar proporcionálního tlumení. Platí i propřípady, kdy α " 0 nebo β " 0, i pro případy netlumených soustav, kdy α = β = 0. Tentozpůsob řešení je obzvláště výhodný, je-li matice dynamické tuhosti singulární a nelzeprovést její inverzi. Rov.(4.4.12) lze použít pro libovolný průběh budící síly, tedy i proharmonický průběh. V takovém případě je vhodné dosadit do rov.(4.4.11) za
tiet ω0)( QQ = a řešení je shodné s rov.(3.1.27), které bude mít tvar
)sin(0 prrr tsd ϕω −=a jejím dosazením do rov.(4.4.8) bude
∑ −=r
rr ts )sin(0 ϕωrp vq (4.4.13)
kde je
rTr
Tr
rr
rsMvvQv 0
22220
0)2()(
1ωδω +−Ω
= (4.4.14)
220
2ω
ωδϕ−Ω
=r
rr arctg (4.4.15)
Řešení kmitání soustav s více stupni volnosti je bez výpočetní techniky velmi pracné.Při použití moderní výpočetní techniky lze řešit i složité mechanické soustavy s mnohastupni volnosti velmi rychle a pohodlně, poněvadž lze použít standardních procedur propráci s maticemi, numerickou integraci, řešení vlastního problému symetrických inesymetrických matic apod.
55
Xx
5. KMITÁNÍ LINEÁRNĆH KONTINUÍKaždý stroj a strojní konstrukce je objektem se spojitě nebo alespoň po částech spojitěrozloženou hmotou. V předchozí kapitole se takovýto objekt popisoval diskrétním modelem.Takový model vyhovuje především tam, kde se reálný objekt diskrétnímu modelu přibližuje.Je však řada konstrukčních prvků, které této aproximaci nevyhovují, poněvadž jejichkonstrukce neobsahuje soustředěné hmoty. Jsou to především struny, lana, pruty, nosníky,membrány, desky, skořepiny a další prvky.Stroj nebo konstrukce je zpravidla složena z různých konstrukčních prvků, z nichž každý másvé vlastní frekvence. Porušení kteréhokoliv z těchto členů může znamenat porušení funkcecelého stroje.. Proto je znalost kmitání základních jednoduchých prvků velmi důležitá. Jsou točasto prvky, se kterými pracujeme v metodě konečných prvků.V některé literatuře se kontinua dělí na jednorozměrná, dvojrozměrná a třírozměrná podlevzájemné velikosti jednotlivých rozměrů. Všechna reálná tělesa jsou však třírozměrná a protobudeme dělení provádět podle konkrétního reálného objektu a druhu kmitání. Při tomto pojetíbudeme mluvit o kmitání strun, prutů, hřídelů, nosníků, membrán, desek, skořepin atd.
5.1 Podélné kmitání prutůJednoduchým prvkem v technické praxi je prut. Prutem nazýváme prvek, jehož délkovýrozměr řádově převládá nad příčnými rozměry a který je schopen přenášet pouze osovázatížení. Následující odvození jsou provedena na základě těchto předpokladů:1. Prut je osově souměrný2. Řezy kolmé na osu prutu zůstávají rovinné a kolmé na osu prutu i po deformaci3. Příčné deformace se zanedbávajíZ prutu vyjmeme prvek délky dx (obr. 5.1), znázorníme jeho pohyb ve směru osy x, anapíšeme pro něj pohybové rovnice:
2
2 ),(t
txuAdxNdxxNN
∂∂=−
∂∂+ ρ (5.1.1)
Síla v prutu je úměrná poměrné deformaci
Ax
txuEAEAN∂
∂=== ),(εσ
kde E je modul pružnosti v tahu, ρ je hustota materiálu prutu, A je příčný průřez prutu.Dosazením do rov.(5.1.1) za N obdržíme po úpravě
x
x dx
u uu dxx
∂+∂
N dxxNN
∂∂+
Obr. 5.1
2
22
2
2 ),(),(x
txuct
txu∂
∂=∂
∂ (5.1.2)
kde jsme zavedli
ρEc = (5.1.3)
což představuje fázovou rychlost podélného vlnění v prutu, jinými slovy rychlost šíření zvukuprutem.Abychom převedli parciální diferenciální rovnici (5.1.2) na obyčejnou diferenciálnírovnici budeme předpokládat, že posuv u(x,t) se bude rovnat z části, která je funkcí pouzepolohy a z části, která je pouze funkcí času: )()(),( tTxUtxu =Dosazením této rovnice do rov.(5.1.2) dostaneme
Tdx
UdcUdt
Td2
22
2
2
=
Provedeme separaci proměnných202
22
2
2 11 Ω−==dx
UdU
cdt
TdT
Odtud obdržíme dvě rovnice
00 2
20
2
2202
2
=Ω+=Ω+ Ucdx
UdaTdt
Td
Jsou to rovnice harmonických funkcítDtDtT 0201 sincos)( Ω+Ω= (5.1.4)
pxCpxCxU sincos)( 21 += (5.1.5)kde jsme označili
ρρ EprespEc
p =ΩΩ=Ω= 000 . (5.1.6)
Další řešení závisí na okrajových a počátečních podmínkách, z nichž určíme integračníkonstanty C1,C2, D1 a D2. Postup si ukažme na následujících případech:Prut na obou stranách vetknutý (Obr. 5.2)
Okrajové podmínky v místechvetknutí jsou:X=0, X=l U(0) = 0, odkudvyjde C1 = 0 U(l) = 0 Odkud C2 sin pl = 0Za předpokladu netriviálníhořešení )0( 2 ≠C musí být
∞== ,....,2,1npronpl πZ této podmínky obdržímevlastní úhlové frekvence, kdyždosadíme do rov.(5.1.6)
nΩ0
Deformace prutu bu
X
l
Obr. 5.2
56
ρπ El
n= (5.1.7)
de dána vztahem
∑∞
=
Ω+Ω=1
00 )sincos(),(n
nn tBtAtxu
Prut na jednom konci vetknutý, na druhém volnýPro tento případ znázorněný naobr.5.3 bude pro vetknutý konecplatit okrajová podmínkax = 0 U(0) = 0Z této podmínky vyplývá C1=0Na volném konci je poměrnádeformace nulová, což vyjádřenomatematicky bude
2( ) cos 0dU l C p pl= =
V
D
PV
P
p
V
PT
Z
X
X L
x
x l
Obr. 5-3Obr. 5.4Obr.5.3
dx tomto případě bude pro netriviální řešení )0( 2 ≠C platit podmínka
,....2
)12(,...,23,
2πππ −= npl
osazením do rov.(5.1.6) obdržíme vlastní úhlovou frekvenci
0(2 1)
2nn E
lπ
ρ−Ω = (5.1.8)
rut na obou stranách volný tomto případě musí být na obou stranách prutu poměrná deformace nulová.
ro x = 0 bude 00)0(2 == Codkud
dxdU
ro x = l bude 1( ) sin 0dU l C p pl
dx= − = , takže pro netriviální řešení bude platit
πnpl = pro n = 1,2,…,∞lastní úhlová frekvence bude
ρπ El
nn =Ω0 (5.1.9)
rut na jedné straně vetknutý, na druhé zatížený osamělou hmotnostíento případ je znázorněn na obr. 5.4. Okrajová podmínka v místě vetknutí bude
x = 0 ⇒ U(0) = 0 ⇒ C1 = 0Rovnice pohybu bude mít tvar
)sincos(sin),( 02012 tDtDpxCtxu Ω+Ω=Pro sílu od osamělé hmotnosti obecně platí
x
txuEAt
txumN∂
∂−=∂
∂=− ),(),(2
2
Po dosazení s využitím rovnice pohybu bude v místěuchycení osamělé hmotnosti platit plmplEAp cossin 2
0Ω=Z této rovnice vychází
plmmtgpl =
Ω=
20
této
x
l
x
m
Obr. 5.4
rovnice můžeme u
57
mEAp p
rčit
,....2
3,....,5,4,3,456,1 ππππ npl =
Vlastní úhlová frekvence se dá určit dosazením do rov.(5.1.6)pro m/mp = 1 bude
ρ
π Eln
n 23
0 =Ω (5.1.10)
5.1.1 VYNUCENÉ KMITÁNÍ PRUTŮU prutů se můžeme setkávat s vynuceným kmitáním vybuzeným buď silou nebo
kinematicky.Oba případy si nyní probereme
5.1.1.1 Kmitání prutu buzeného harmonickou silou
Uvažujme prut na jedné straně vetknutý a na druhé straně zatížený harmonickou silou, jakukazuje obr. 5.5. Okrajové podmínky v místě vetknutí budoux = 0 U(0) = 0 odkud vychází C1 = 0Rovnice pohybu bude mít tvar
tpxCtxu ωsinsin),( 2=
N
a
Z
R
do
F0sinωt
X, u x
l uz = u0sinωt
Obr. 5.6 Obr. 5.7Obr. ObrObr. 5.5 Obr. 5.6
a volném konci
x =
po dosazeníEA
této rovnice urč
C2
ovnice pohybu o
xu(
sazením za p=ω
58
bude platit
tFx
txuEAl ωsin),(, 0=∂
∂
02 cos FplpC =íme integrační konstantu
plEApFcos
0=
becného řezu, daného souřadnicí x bude
tpxplEAp
Ft ωsinsincos
), 0=
/c dostaneme
mít nyní tvar
59
txcl
ccEA
Ftxu ωωωω sinsin
cos),( 0= (5.1.11)
K resonanci bude docházet bude-li jmenovatel rov.(5.1.11) nulový, to znamená bude-li
,...2
)12(,...,2
3,2
πππω −= nlc
Na volném konci budou výchylky dány rovnicí
tlc
tg
cEA
Ftlu ωω
ω sin),( 0= (5.1.12)
5.1.1.2 Volný prut kinematicky buzený
Uvažujme prut s oběma volnými konci (obr.5.6), jehož levý konec je buzen harmonickoufunkcí tuuz ωsin0= . Řešení předpokládáme ve tvaru
( ) tpxCpxCtxu ωsinsincos),( 21 +=Na levém konci je okrajová podmínkax = 0 0101 sinsin uCtutC =⇒= ωωNa pravém konci prutu je napětí a tedy i poměrná deformace nulová
0cossin),(20 =+=
∂∂
=
plpCplpux
txulx
Z této rovnice vycházítgpluC 02 =
Rovnice pohybu prutu bude mít tvar( ) tpxtgplupxutxu ωsinsincos),( 00 += (5.1.13)
kterou lze upravit na tvar
tul
c
lxl
ctxu ωω
ω
sincos
1cos),( 0
−
= (5.1.14)
Rezonance nastane bude-li
2)12(,...,
23,
2πππω −= nl
c
5.2 Torzní kmitání hřídelů kruhového průřezuHřídel kruhového průřezu je častým prvkem ve strojírenství. Při řešení jeho torzního kmitání
předpokládáme lineární teorii pružnosti,kterou můžeme vyjádřit podmínkou, žerovinné řezy kolmé na osu hřídele zůstávajípři zkrutu rovinnými a radiální přímkyzůstanou přímkami.Uvažujme prizmatickýhřídel kruhového průřezu, z něhož vyjmemeprvek délky dx (obr. 5.7) a napíšeme pro nějpohybovou rovnici rotačního pohybu:
M M+dM
x dx
Ob 5 7
M
x dx
Obr. 5.7
M+dM
60
2
2 ),(t
txJx
Mp ∂
∂=∂
∂ ϕρ
Pro kroutící moment platí známý vztah z pružnosti
x
GJM p ∂∂= ϕ
kde G je modul pružnosti ve smyku a Jp je polární kvadratický moment průřezu hřídeletakže jeho dosazením do pohybové rovnice dostaneme
2
2
2
22 ),(),(
ttx
xtxct ∂
∂=∂
∂ ϕϕ (5.2.1)
kde jsme opět zavedli rychlost šíření smykového vlnění v hřídeli
ρGct = (5.2.2)
Parciální diferenciální rovnici (5.2.1) převedeme na obyčejnou diferenciální rovnicizavedením
)()(),( ϕϕ Txtx Φ=Dosazením tohoto vztahu do rov.(5.1.1) obdržíme
2
2
2
22 )()(1)(
)( dttTd
tTdxxd
xct =Φ
Φ(5.2.3)
Přiřadíme-li každé straně této rovnice hodnotu (-Ω2), obdržíme dvě diferenciální rovniceharmonické funkce pro T a Φ, čímž řešení rov.(5.1.1) bude
)sincos)(sincos(),( 2121 ttpxpxtx ΩΨ+ΩΨΦ+Φ=ϕ (5.2.4)kde bylo označeno
Gcp
t
ρΩ=Ω= (5.2.5)
Stanovení integračních konstant Φ1, Φ2, Ψ1 a Ψ2 se provede na základě konkrétníchokrajových a počátečních podmínek.
5.3 Příčné kmitání přímých nosníků
Nosníky jsou takové prvky konstrukcí, které mohou přenášet kromě tahového a tlakovéhozatížení i zatížení příčné. Při odvozování pohybových rovnic se předpokládá, že
61
• nosník je přímý• příčné deformace nosníku jsou malé• kmitání se děje v rovině dané osou nosníku a některou z hlavních os setrvačnosti• Roviny kolmé na podélnou osu nezatíženého nosníku zůstávají rovinnými i při kmitání• zanedbávají se malé posuvyprvků nosníku ve směru podélnéosy nosníkuPro odvození pohybových rovnicbudeme používat znázornění na
obr. 5. 8. Vytknutý prvek koná obecný rovinný pohyb. Nutno sestavit pohybovou rovnicitranslačního pohybu středu hmotnosti prvku, která bude mít tvar
dxt
txwAdxtxqQdxxQQ 2
2 ),(),(∂
∂=+−∂∂+ ρ
odkud úpravou dostaneme rovnici
2
2 ),(),(t
txwAtxqxQ
∂∂=+
∂∂ ρ (5.3.1)
Nyní je ještě nutno napsat pohybovou rovnici rotačního pohybu, která bude mít po úpravě tvar
2
2zMQ Ix t
ϕ∂ ∂− =∂ ∂
(5.3.2)
V těchto rovnicích značí ρ hustotu materiálu nosníku, A plochu příčného řezu nosníku,Q posouvající sílu, M ohybový moment, w(x,t) průhyb nosníku, Iz moment setrvačnostiprvku k ose z, procházející středem hmotnosti prvku, q(x,t) časově a polohově závislé spojitévnější zatížení nosníku, vztažené na jednotku délky.Pro natočení prvku nosníku resp. směrnici průhybové čáry platí vztah:
γψ +=∂
∂x
txw ),( (5.3.3)
kde ψ je natočení průřezu nosníku způsobené ohybovým momentem, dané známým vztahemz pružnosti a pevnosti
Mx
EJ z −=∂
∂ψ (5.3.4)
kde Jz je kvadratický moment plochy průřezu nosníku k ose z, procházející středem hmotnostiprvku, E je modul pružnosti v tahu, γ je zkos průřezu způsobený smykem, který je dán rovnicí
QAGκγ = (5.3.5)
kde κ je součinitel smykové deformace, vyjadřující nestejnoměrné rozdělené smykovéhonapětí po průřezu, G je modul pružnosti ve smyku. Z rov.(.2.3) obdržíme
γψ −∂∂=
xw
osa nedeformovaného nosníku x
q(x,t)
w M Q M+dMy, w Q+dQ
Obr. 5.8
62
odkud po derivaci podle x obdržíme
xxw
x ∂∂−
∂∂=
∂∂ γψ
2
2
Ohybový moment daný rov.(5.3.4) bude pak vyjádřen vztahem
xEJ
xwEJM
∂∂−
∂∂−= γ
2
2
Z rov.(5.3.2) určíme
2
2
3
3
2
2
2
3
2
2
3
3
2
2
xEJ
xwEJ
tI
txwI
xEJ
xwEJ
tIQ zzzzzzz ∂
∂+∂∂−
∂∂−
∂∂∂=
∂∂+
∂∂−
∂∂= γγγψ
Dosazením této rovnice do rov.(5.3.1) a využitím rovnice
2
2
twA
AGxQ
AGx ∂∂=
∂∂=
∂∂ ρκκγ
obdržíme pohybovou rovnici ve tvaru
),(22
4
4
4
22
4
4
4
2
2
txqtx
wG
EJtw
GI
txwI
xwEJ
twA
smykuvliv
zz
tisetrvačetrrotačotvliv
z =∂∂
∂−∂∂+
∂∂∂−
∂∂+
∂∂
!!!! "!!!! #$!"!#$
κρκρρ (5.3.6)
Třetí výraz na levé straně rov.(5.3.6) vyjadřuje vliv rotační setrvačnosti. Poněvadž osovýmoment setrvačnosti prvku Iz=(1/12)Aρdx3 je velmi malý a vzhledem k ostatním členůmrovnice zanedbatelný, zpravidla se neuvažuje. Poslední dva členy obsahující κ jsou u běžnýchnosníků rovněž velmi malé a proto se zanedbávají. Tím přejde rov.(5.3.6) na tvar
),(),(),(4
4
2
2
txqx
txwEJt
txwA =∂
∂+∂
∂ρ (5.3.7)
Pro zkrácení zápisu se dále nebude uvádět u momentů setrvačnosti a kvadratických momentůprůřezů index z.
5.3.1 VOLNÉ PŘÍČNÉ KMITÁNÍ PRISMATICKÉHO NOSNÍKUProbereme nejprve případ volného kmitání nosníku kdy je vnější zatíženíq(x,t) = 0.Abychom převedli rov.(5.3.7) na obyčejnou diferenciální rovnici vyjádříme průhyb nosníkujako součin dvou veličin
)().(),( tTxWtxw = (5.3.8)kde je W(x) funkcí pouze polohy a T(t) funkcí pouze času. Označme
AJcE
AJ
o2
4
1 ==ρη
kde ρEco = je rychlost šíření ohybové vlny nosníkem. Rov.(5.3.7) přejde po separaci
proměnných na tvar
4
4
42
2 )()(
1)()(1
dxxWd
xWdttTd
tT η= (5.3.9)
Poněvadž obě strany rovnice jsou si rovny, lze předpokládat, že každá strana rovnice se rovná(-Ω2), takže platí
0)()( 22
2
=Ω+ tTdt
tTd
což je diferenciální rovnice pro harmonický pohyb, jejíž řešení jetAtAtT Ω+Ω= sincos)( 21 (5.3.10)
63
Další rovnice bude
0)()( 244
4
=Ω− xWdx
xWd η
Označme
4 2244 Ω=Ω=Ω=EJ
Apnebop ρηη (5.3.11)
Tím lze přepsat předchozí diferenciální rovnici na tvar
0)()( 44
4
=− xWpdx
xWd (5.3.12)
Řešení této rovnice se předpokládá ve tvaruxBexW λ=)(
Dosazením předpokládaného řešení do rov.(5.3.12) obdržíme po úpravě charakteristickourovnici
044 =− pλKořeny této rovnice jsou
ipippp −==−== 4321 ;;; λλλλPoužitím těchto kořenů pro předpokládané řešení obdržíme po úpravě
pxBpxBpxBpxBxW cossincoshsinh)( 4321 +++= (5.3.13)Dosazením rov.(5.3.13) a rov.(5.3.10) do rov.(5.3.8) dostaneme
)sincos)(cossincoshsinh(),( 214321 tAtApxBpxBpxBpxBtxw Ω+Ω+++= (5.3.14)Obecné řešení bude dáno součtem všech tvarů kmitů:
)sincos()cossinsinhcosh(),( 211
4321 tAtAxpBxpBxpBxpBtxw iiiii
iiiiiiii Ω+Ω+++= ∑∞
=
(5.3.15)
Konstanty B1, B2, B3, B4 , určující tvar kmitu nosníku získáme z okrajových podmínek, kterélze aplikovat na rov.(5.3.13). Konstanty A1, A2 se určí z počátečních podmínek. Prozjednodušení postupu se velmi často používají výhodnější Rayleighovy funkce, u nás víceznámé pod názvem Krylovovy funkce. Tyto funkce jsou vytvořeny tak, aby hodnota jednéz nich byla při nulovém argumentu rovna 1 a ostatní byly rovny 0. Tvar těchto funkcí je dánnásledujícími vztahy:
)sin(sinh21)(
)cos(cosh21)(
)sin(sinh21)(
)cos(cosh21)(
pxpxpxV
pxpxpxU
pxpxpxT
pxpxpxS
−=
−=
+=
+=
(5.3.16)
Další vlastností těchto funkcí je, že jejich derivace lze vyjádřit cyklickou záměnou zapředchozí funkci v uvedeném pořadí:
64
)()();()();()()()();()();()(
)()();()();()()()();()();()(
32
32
32
32
pxSppxVpxTppxVpxpUpxVpxVppxUpxSppxUpxpTpxU
pxUppxTpxVppxTpxpSpxTpxTppxSpxUppxSpxpVpxS
=′′′=′′=′=′′′=′′=′
=′′′=′′=′=′′′=′′=′
(5.3.17)
Z rov.(5.3.16) vidíme, že pro x = 0 je S(0) = 1 a T(0) = U(0) = V(0) = 0. Tyto vlastnosti jsouvýhodné, především při aplikaci počátečních parametrů. S použitím Rayleighových funkcípřejde rov.(5.3.13) na tvar
)()()()()( 4321 pxVBpxUBpxTBpxSBxW +++= (5.3.18)Vztahy pro průhyby obsahují hyperbolické funkce, které při větších hodnotách jejichargumentů dosahují velmi vysokých hodnot. Proto se velmi často zavádí místo veličiny xbezrozměrná veličina lx /=ξ . Je-li l celková délka nosníku je )1,0(∈ξ . Zavedeme-li ξzmění se některé předchozí vztahy
lddW
dxd
ddW
dxxdW 1)()()(
ξξξ
ξξ ==
Podobně bude
44
4
4
4 1)()(ld
xWddx
xWdξ
=
Rov.(5.3.12) přejde na
0)()( 444
4
=− ξξ
ξ WlpdWd
Pro další řešení zavedeme2Ω==
EJAlpl ρλ (5.3.19)
a pro pozdější použití vyjádříme
AEJ
l ρλ
2
2
=Ω (5.3.20)
Tím přejde předchozí diferenciální rovnice na tvar4
44
( ) ( ) 0d W Wd
ξ λ ξξ
− =
což je rovnice tvarem shodná s rov.(5.3.12), takže její řešení bude)()()()()( 4321 λξλξλξλξξ VBUBTBSBW +++= (5.3.21)
Kromě této rovnice pro průhyb budeme používat rovnici pro směrnici průhybové čáry
[ ]1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )dW BV B S B T B U
d lξ λ λξ λξ λξ λξ
ξ= + + + (5.3.22)
rovnici pro ohybový moment
[ ])()()()()()()( 43212
2
λξλξλξλξλξξξ TBSBVBUB
lEJ
TMM +++−== (5.3.23)
a rovnici pro posouvající sílu
[ ])()()()()()()( 43213
3
λξλξλξλξλξξξ SBVBUBTB
lEJ
TQQ +++−== (5.3.24)
Jako ukázku proberme řešení jednostranně vetknutého nosníku (obr. 5.9). V dokonalémvetknutí jsou průhyb a natočení nosníku nulové, tedy pro x = ξ = 0 je W(0) = 0 a W´(0)=0.
Z rov.(5.3.21) obdržíme B1 = 0 a z rov.(5.3.22) bude B2 = 0.z rov.(5.3.23) a rov.(5.3.24)dostaneme:
0)()(0)()(
43
43
=+=+
λλλλ
SBVBTBSB
Obdrželi jsme soustavu dvouhomogenních rovnic pro neznámékonstanty B3 a B4. Pro netriviální
ř
D
N Pn
P
PrT
1
M
X
X L w
Obr 5 9
x l
Obr. 5.9
ešen
osa
um λ1omoěkte
ro n
růbůznéato
Lze
AT
65
í musí být determinant soustavy roven nule:
0)()()()()()()( 2 =−= λλλ
λλλλ
VTSSVTS
zením za S(λ), T(λ) a V(λ) z rov.(5.3.16) vyjde po úpravě:0coshcos1 =+ λλ
erickým řešením této rovnice1) obdržíme kořeny λ:πλπλπλπ )(;5003,2;4942,1;5968,0 2
132 −==== nn
cí těchto konstant určíme z rov.(5.3.20) vlastní úhlové frekvence nosníku. Dosazenímré z hodnot λn lze vypočítat tvar kmitu
nn
nn
n
n
TS
BB
λλλλ
λλ
sinsinhcoscosh
)()(
3
4
++−=−=
tý tvar kmitu platí rovnice
)(sinsinhcoscosh)()( ξλ
λλλλξλξ n
nn
nnnn VUW
++−=
Obr. 5.10Tvary kmitů vetknutého nosníku
ěh tvarů kmitů pro λ1, λ2, a λ3 je ukázán na obr. 5.10. Jak patrno z obrázku existují pro tvary kmitů místa, v nichž je průhyb nosníku v každém časovém okamžiku nulový.místa nazýváme uzlové body a jejich počet je n – 1, kde n je číslo tvaru kmitu. Pro druhý
použít např.metodu polovičního kroku, metodu sečen, metodu Newtonovu, nebo matematický sw MAPLE,LAB apod.
66
tvar kmitu vzniká 1 uzlový bod, pro třetí tvar kmitu 2 uzlové body atd. Jejich přesnou polohuje nutno určit z podmínky nulové deformace. Podobným způsobem bychom získali vlastní
úhlové frekvence a jim odpovídající tvary kmitů pro jiné typy uložení. Některé z nich ukazujetab.5.1.
Tab. 5.1 Řešení základních typů nosníkůTyp nosníkuOkrajové podmínky
Frekvenční rovnice Kořeny frekvenční rovnice
W(0) = 0 W(l) =0 M(0) = 0 M(l) =0
0sinhsin =− λλ πλ nn =
W(0) = 0 M(l) = 0 W´(0) = 0 Q(l) = 0
0coshcos1 =−+ λλ πλ
πλπλ)(
4942,1;5968,0
21
21
−===
nn
W(0) = 0 W(l) = 0 W´(0) = 0 W´(l) =0
01coshcos =−λλ πλ )( 21+= nn
W(0) = 0 W(l) = 0 W´(0) = 0 M(l) = 0
0=− λλ tghtg πλ )( 41+= nn
M(0) = 0 M(0) = 0 Q(0) = 0 Q(0) = 0
01coshcos =−λλ πλ )( 21+= nn
A
EJl
n
ρλ
2
2
0 =Ω
5.3.1 KMITÁNÍ NOSNÍKU BUZENÉHO OSAMĚLÝM ZATÍŽENÍM
Uvažujme nejprve buzení osamělou silou F v místě x1. Abychom mohli použít odvozenoupohybovou rovnici (5.3.7), mysleme si sílu F v místě x1 spojitě rozloženu na délce ∆(obr.5.11). Jestliže budeme uvažovat sílu jako harmonickou funkci času, tvaru tFF ωsin1= ,můžeme pohybovou rovnici (5.3.7) zapsat ve tvaru
Aρ ∂
kde
TotoParcna p
a tím
Zave
bude
Obdkoefřeše
kde
x1 1/∆∆ 1/∆
x1 ∆1/∆ ∆
x1 1/∆ ∆ 1/∆
x1 ∆ ∆ 1/∆
Obr.5.11 Obr. 5.12
42
67
tFxx
txwEJt
txw ωδ sin)(),(),(1142 =
∂∂+
∂ (5.3.25)
jsme zavedli Diracovu delta funkci δ1(x), která nabývá hodnot
∆+><=
∆+≤≤∆
=
111
111
0)(
1)(
xxaxxprox
xxxprox
δ
δ
vyjádření má tu výhodu, že rov.(5.3.25) platí v celém rozsahu řešeného nosníku.iální diferenciální rovnici převedeme na obyčejnou diferenciální rovnici, když s ohledemravou stranu rovnice použijeme řešení
txWtxw ωsin)(),( = rov.(5.3.25) přejde na tvar
EJxFxW
EJA
dxxWd )()()( 11
2
4
4 δρω =−
deme-li stejně jako dříve
4 2ωρEJ
Ap =
mít předchozí rovnice tvar
EJxFxWp
dxxWd )()()( 114
4
4 δ=− (5.3.26)
rželi jsme obyčejnou diferenciální rovnici 4. řádu s pravou stranou s konstantnímiicienty. Její řešení bude složeno ze známého řešení homogenní rovnice a partikulárníhoní:
)()()()()()( 4321 xpxVBpxUBpxTBpxSBxW Φ++++= (5.3.27)partikulární řešení určíme aplikací Duhamelova integrálu
68
[ ]∫ −=Φx
xdxxpVxEJp
Fx0
131 )()()( δ
Výpočet Φ(x) má smysl pouze v úseku ∆+≤≤ 11 xxx , poněvadž všude jinde je δ1(x) nulové.V takovém případě bude
[ ] [ ]∫∆+
−=−∆
=Φ1
1
)()(1)( 131
31
x
x
xxpVEJp
FxdxxpVEJp
Fx
V případě, že by na nosník působil vnější moment, lze jej vyjádřit dvojicí sil a každou z těchtosil jako výslednici rovnoměrného zatížení ∆ → 0 (obr. 5.13). V tomto případě bude Diracovadelta funkce δ2(x) nabývat hodnot:
∆+><=
∆+≤≤∆+∆
−=
∆+≤≤∆
=
20)(
21)(
1)(
112
1122
1122
xxaxxprox
xxxprox
xxxprox
δ
δ
δ
Partikulární řešení bude mít tvar
[ ])()( 121 xxpU
EJpMx −=Φ
Rov.(5.3.27) bude mít nyní tvar
[ ] [ ])()()()()()()( 121
131
4321 xxpUEJp
MxxpVEJp
FpxVBpxUBpxTBpxSBxW −+−++++=
(5.3.28)Poslední dva členy pravé strany vstupují do řešení průhybu až za místem působení vnějšíhozatížení (x1). Jestliže by na nosníku byla umístěna bodová hmota, pak by se za síludosazovala setrvačná síla její hmotnosti
)( 12
1 xWmF Ω= (5.3.29)Zavedením bezrozměrného parametru ξ=x/l, který vyjadřuje polohu řezu ve směru osy xv bezrozměrném tvaru, přejde rov.(5.3.28) na tvar
[ ] [ ]3 2
1 11 2 3 4 1 13 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Fl M lW B S B T B B V U
EJ EJξ λξ λξ λξ λξ λ ξ ξ λ ξ ξ
λ λ= + + + + − + −
(5.3.30)kde pl=λ v souladu s rov.(5.3.19).
5.3.3 METODA PŘENOSOVÝCH MATICTato metoda je založena na skutečnosti, že všechny potřebné parametry nosníku lze určit nazákladě znalosti parametrů na okraji nosníku, v němž je x = 0 resp. ξ = 0. Této metodě seběžně říká metoda počátečních parametrů i když slovo „počáteční“ vztahujeme k časovémupočátku. Z rov.(5.3.21) až rov.(5.3.24) lze určit integrační konstanty pomocí hodnot v místěξ=0:
2 3
1 2 3 42 3(0) (0)(0); (0); ;l l M l QB W B W B B
EJ EJλ λ λ′= = = − = −
Pomocí těchto integračních konstant lze určit potřebné parametry v poli nosníku:
69
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ])()(
)()0()()0()()0()()0()(
)()(
)()0()()0()()0()()0()(
)()(
)()0()()0()()0()()0()(
)()(
)()0()()0()()0()()0()(
1111
2
2
3
3
1111
2
2
11
12
21
2
2
12
21
13
31
3
3
2
2
ξξλλξξλ
λξλξλλξλλξλξ
ξξλξξλλ
λξλ
λξλξλλξλξ
ξξλλ
ξξλλ
λξλ
λξλ
λξλξλξ
ξξλλ
ξξλλ
λξλ
λξλ
λξλ
λξξ
−+−+
+−−′+=−
−+−+
+−−′+=−
−+−+
+−−′+=′
−+−+
+−−′
+=
VMl
SF
SQVMl
UWlEJTW
lEJQ
SMTlF
TlQSMVWlEJUW
lEJM
TEJ
lMUEJlF
UEJ
lQTEJ
lMSWVWl
W
UEJlMVlF
VEJ
lQUEJ
lMTlWSWW
(5.3.31)Poslední dva členy v těchto rovnicích jsou nulové pro 1ξξ ≤ . Uvedené rovnice lze zapsat imaticově. Zavedeme stavový vektor na počátku i úseku
[ ]TiQMWW −−′= ,,,is
a stavový vektor na konci i-tého úseku, který je současně stavovým vektorem na počátku i+1úseku
[ ]1 1, , , T
i iW W M Q+ +
′= − −sDále zavedeme přenosovou matici v i úseku Pi. Pomocí ní lze vyjádřit stavový vektor napočátku i+1 úseku:
iii sPs =+1 (5.3.32)Poněvadž je vždy koncový bod jednoho úseku počátečním bodem následujícího úseku, platípro konec úseku n+1:
0021 ..... sPPPPs 1n −−+ = nnn (5.3.33)nebo
0,01 sPs nn =+ (5.3.34)kde celková přenosová matice je dána součinem přenosových matic jednotlivých úseků:
∏=
−− ==0
021,0 ...ni
nnnn iPPPPPP (5.3.35)
Poněvadž stavové vektory jsou rozměru 4, bude přenosová matice rozměru 4x4. Násobenímpřenosových matic vznikne vždy matice týchž rozměrů. To je výhoda metody přenosovýchmatic, poněvadž rozměry použitých matic jsou malé a metoda je použitelná pro všechna PC.Další výhodou je, že pomocí metody přenosových matic lze snadno sestavit výpočtový modelsoustavy nosníků, různě podepřených i staticky neurčitých, s proměnnou tuhostí apod.Nevýhodou je, že při násobení dlouhého řetězce přenosových matic může dojít k numerickénestabilitě, která se však dá vhodným algoritmem eliminovat.První a poslední bod celé soustavy má známé okrajové podmínky. Soustava se rozděluje naúseky tak, aby v nich byly konstantní geometrické, hmotnostní, tuhostní a silové hodnoty..Určitý úsek si můžeme myslet libovolně krátký, teoreticky až nulové délky a tím zavést úsek
s osamělou silou, osamělým momentem, bodovou hmotností, styčníkem atd. Z toho důvodunení nutno v rovnicích uvažovat výrazy pro vnější síly a momenty. Ukažme si tvarpřenosových matic pro některé případy:Prismatický nosník délky l (obr.5.13)
=
)()()()(
)()()()(
)()()()(
)()()()(
2
2
3
3
2
2
2
2
3
3
2
21
λλλλλλλ
λλ
λλλλλ
λλ
λλ
λλλ
λλ
λλ
λλ λ
SVl
EJUl
EJTl
TlSEJVl
EJUl
UEJlT
EJlSV
l
VEJlU
EJlTS
iP (5.3.36)
TuTunabu
TuPřmo
PrV
i i+1
i i+1
l m
Obr. 5.13 Obr. 5.14
i i+1 i i+1 m
70
há osamělá hmota (obr.5.14).há osamělá hmota změní posouvající sílu o hodnotu Wmam 2Ω−= . Dtočení) a ohybový moment budou v místě i+1 stejné jako v místě i. Přende:
Ω
=
100010000100001
2m
iP
há osamělá hmota, jejíž moment setrvačnosti má konečnou hodnotuípad je obdobný tomu na obr.5.14, pouze v místě i+1 se kromě posoument o hodnotu IW ′Ω− 2 . Přenosová matice bude mít tvar
ΩΩ
=
10001000100001
2
2
mIiP
užná podpora o tuhosti k (obr..15)úseku se změní pouze posouvající síla o hodnotu kW. Přenosová matice
eo
(
v
(
b
formace (průhyb,sová matice proto
5.3.37)
ající síly změní i
5.3.38)
ude
i i+1
l l l3 l4l1 l2 l3l4
1 0 0 00 1 0 00 0 1 0
0 0 1
i
k
= −
P
Pružný kloub o tuhosti κ.V takovém případě se v úseku změníohybový moment o hodnotu Wκ ′− apřenosová matice bude
1 0 0 00 1 0 00 1 00 0 0 1
i κ
=
P
Ukažme si nyní jak by se řešil vetknutýnosník proměnného průřezu (obr.5.16), který múže býtmodelem lopatky axiální parní nebo spalovací turbíny.Nosník si rozdělíme na prismatické části, majícíkonstantní průřez. Délky li těchto částí mohou býtrozdílné. Přenosová matice každého úseku bude dánarov.(5.3.36), v níž se bude měnit délka úseku li, hodnotaλi, kvadratický moment průřezu Ji, a průřez Ai.
Výslednou přenz rov.(5.3.35). Bua na volném konc
WW
kde pij jsou prvmatic jednotlivýc
Získaná soustavasoustavy roven npouze nulové prv
l4
Obr 5 1
i i + 1
k
i+1
k
i i+1
Obr. 5.15
osovdemi M 4 1
4 1
00
+
+
′
ky vh ús
4
000
W +
+
rovule.ky, l
Ob
oe=
=
ýek1
W+
++
n Oze
r.
71
Materiálové charakteristiky E a ρ budou v uvažovaném případě stejné..
u matici mezi místem vetknutí a volným koncem stanovíme-li aplikovat okrajové podmínky v místě vetknutí W(0) = 0, W´(O) = 0, 0 a Q = 0 lze obecně psát:
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34 0
41 42 43 44 0
00
p p p pp p p pp p p p Mp p p p Q
− −
sledné přenosové matice, která vznikne pronásobením přenosovýchů. Uvedený zápis představuje soustavu 4 rovnic, které budou mít tvar
13 0 14 0
4 1 23 0 24 0
33 0 34 0
43 0 44 0
0 0 00 0
0 0 00 0 0
p M p Qp M p Qp M p Qp M p Q
+
+ + + =′ + + + =
+ + + =+ + + =
ic je homogenní, takže pro netriviální řešení musí být determinantbdržíme tak frekvenční determinant. Poněvadž 3. sloupec obsahuje jej vypustit a determinant bude mít tvar
5.16
72
13 14
23 24
33 34
43 44
1 00 1
00 00 0
p pp pp pp p
=
Vyhodnocením determinantu obdržíme jednoduchou rovnici 33 44 34 43 0p p p p− =
Jejím řešením obdržíme vlastní úhlové frekvence Ωi a jejich dosazením do rovnic prodeformaci obdržíme i jim odpovídající tvary kmitů.
5.3.3.1 Vliv rotační setrvačnosti a smykové deformace
Všechna řešení příčného kmitání nosníků, která jsme v této kapitole probírali vycházelaz parciální diferenciální pohybové rovnice (5.3.7), která vznikla z rov.(5.3.6), jež vzniklaz rov.(5.3.6) zanedbáním vlivu rotační setrvačnosti a smykové deformace. Otázkou vlivurotační setrvačnosti na řešení kmitání nosníku se zabýval Rayleigh [14] a vlivem rotačnísetrvačnosti a smykové deformace Timošenko [17] . Odchylky mezi
Obr. 5.17Korekční křivky vlivů smykových sil a rotační setrvačnosti
uvedenou zjednodušenou teorií a přesnějším řešením ukazuje obr.5.17, v němž je znázorněnpoměr vlastní úhlové frekvence, vypočtený z úplné pohybové rovnice ku vlastní úhlovéfrekvence, vycházející ze zjednodušené rovnice ( / )zjedΩ Ω v závislosti na poměru délkynosníku ku poloměru kvadratického průřezu (l/j). Z obr.5.17 je patrno, že k větším odchylkámdochází u krátkých, vysokých nosníků. U nosníků, jejichž délka je větší jak 15h je vznikláchyba zanedbatelná.
N wNx
∂∂
2( )N dxx x
+∂ ∂
wx
∂∂
5.4 Kmitání membrán
Membránami nazýváme plošné konstrukce, jejichž tloušťka je vůči ostatním rozměrům velmimalá a u nichž předpokládáme, že nemohou přenášet ohybové momenty.Předpokládejme, že membrána je předepjata ve všech směrech poměrným tahem (síla najednotku délky) N. Poměrná hmotnost membrány, tj. hmotnost na jednotku plochy je q. Naobr.5.18 je znázorněn řez vybraným prvkem membrányv rovině xz. Podobný řez by bylo možno nakreslit v rovině yz. Pohybové rovnice budou míttvar
2 2
2 2w w w wN dx dy dy dxx x y y
∂ ∂ ∂ ∂+ + − ∂ ∂ ∂ ∂
22
2( ,( , , ) w xN w x y t qt
∂∇ −∂
Předpokládejme harmonické kmitání ve tv( , , ) ( , ) sinw x y t W x y= Ω
a dosazením do rov.(5.4.2) dostaneme2 2( , ) ( ,q W x y N W xΩ + ∇
Řešení této rovnice závisí na okrajových p
5.4.1 OBDÉLNÍKOVÁ MEMBRÁNAPředpokládejme, že membrána je tvořena oy=b. Na obvodě membrány budou výchylk (0, ) 0; ( ,0) 0; ( , ) 0; ( ,w y w x w l y w x= = =Řešení zvolíme takové, které těmto podmí
, ( , ) sin sini ji xw x y C
lπ=
Druhé derivace rov.(5.4.4) podle x a y bud2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
sin sin
sin sin
w i i xx l lw j i x
y b l
π π
π π
∂ = −∂∂ = −∂
Po dosazení do rov.(5.4.3) dostaneme
dx
Obr. 5.18
x
22w w wN dy x qdxdy ∂ ∂ ∂− + =
y
z w
x y t∂ ∂ ∂
Odkud dostaneme po úpravěrovnici
2 2 2
2 2 2w w wN q
x y t ∂ ∂ ∂+ = ∂ ∂ ∂
oužitím Laplaceova operátoru 2.
2
2w wx x
∂ ∂+∂ ∂
2
2w w dx∂ ∂+
2w w∂ ∂ P
x x∂ ∂
73
řádu
2 2
22 2x y
∂ ∂∇ = +∂ ∂
lze rov.(5.4.1) přepsat na tvar, ) 0y t = (5.4.2)
arut
) 0y = (5.4.3)odmínkách.
sami x,y a přímkami s nimi rovnoběžnými x=l ay nulové (obr.5.19)) 0b =
nkám vyhovuje:j ybπ pro i,j = 1,2,…,∞ (5.4.4)
ou2 2
2
2 2
2
j y i wb lj y j wb b
π π
π π
= −
= −
2 2 2 22, 2 2 0i j
i jq N wl bπ π
Ω − + =
odkud obdržíme2 2
2 2, 2 2
, 1, 2,...,
i jN i jq l b
pro i j
π Ω = +
= ∞
Obecný integrál rov.(5.4.1) je dán
n
w
Pv
Tp
U
ře
k
w
x0
b
l
součtem všech partikulárních řešení,daných rov.(5.4.4)
(5.4.5)ebo
( ), , ,1 0
( , , ) sin sin sini j i j i ji j
i x j yx y t C tl b
π π ϕ∞ ∞
= =
= Ω +∑∑ (5.4.6)
ro kmitání membrán jsou charakteristické uzlové čáry. Jsou to místa, kde je výchylka každém čase nulová. Z.rov.(5.4.5) resp. rov.(5.4.6) vidíme, že to bude tehdy, jestliže platí
2 1, ,....,
2 1, ,....,
l l ix li i ib b jy bj j j
−=
−=
yto uzlové čáry rozdělují membránu na i.j stejných částí. V každé z nich se hodnotyříčných deformací opakují. Ukázky uzlových čar jsou na obr. 5.20.
zlov
šení
de ϕ
Obr. 5.19
( ), , , ,1 1
( , , ) sin sin cos sini j i j i j i ji j
i x j yx y t A t B tl b
π π∞ ∞
= == Ω + Ω∑∑
i = 1, j = 1 i = 2, j = 1 i = 1, j = 2 i= 3, j = 2
i=1, j=1 i=2, j=1 i=1, j=2 i=3, j=2
Obr. 5.20
74
é čáry nemusí být vždy pouze přímky. Předpokládejme pro jednoduchost v dalším
čtvercovou membránu, tedy b = l a uvažujme tvar kmitání i = 1, j = 2 Pak lze psát
2 2( , ) sin sin sin sin sin( ) 0ij ijw x t A x y B x y tl l l lπ π π π ϕ = + Ω + =
i,j a λi,j = Bi,j/Ai,j jsou konstanty.
V dalším zavedeme BDA
= , vyjádříme 2sin 2sin cosx x xl l lπ π π= a tutéž náhradu
provedeme pro 2sin ylπ . Po úpravě lze psát:
Uzlové čáry musí vyhovovat podmínce ( , ) 0w x t = nezávisle na čase, takže lze po úpravě
psát:
sin sin cos cos 0x y x D yl l l l
π π π π + = Tato podmínka je splněna buď pro
sin 0, . sin 0
cos cos 0
x resp yl l
nebo
x yl l
π π
π πλ
= =
+ =
První rovnice odpovídá předchozímu řešení. Výsledek druhé rovnice závisí na hodnotě D. Je-li D = -1 bude rovnice splněna a tím rovnice uzlové čáry vztahem x = y (obr.5.21a). Pro D = 1je rovnice uzlové čáry rovna y = - x (obr.5.21b). Pro D = -2 bude tvar uzlové čáry dán rovnicí
cos 2cosx yl l
π π=
Tv
5.4Nyza
Pr
Po
y y y
x xx x x x a) b) c)
Obr. 5.21
75
ar uzlové čáry ukazuje obr.5.21c.
.2 KRUHOVÁ MEMBRÁNAní uvažujme kmitání kruhové membrány poloměru R. V tomto případě je výhodné
vedení polárních souřadniccossin
x ry r
ϑϑ
==
o polární souřadnice má Laplaceův operátor tvar2 2
22 2 21 1
r r r r ϑ∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
hybová rovnice (5.4.2) bude mít nyní tvar
2 2 2
2 2 2 21 1 ( , , )( , , ) 0w r tN w r t q
r r r r tϑϑ
ϑ ∂ ∂ ∂ ∂+ + − = ∂ ∂ ∂ ∂
(5.4.7)
76
Když podělíme celou rovnici hodnotou q a označíme
Nq
ν =
lze psát2 2 2
22 2 2 2
( , , ) 1 1 ( , , )w r t w r tt r r r r
ϑ ν ϑϑ
∂ ∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂ ∂ Abychom převedli tuto parciální diferenciální rovnici na obyčejnou diferenciální rovnici, takzavedeme
( , , ) ( ) ( ) ( )w r t r r t tϑ ϑ ϑ=a tím dostaneme
2 2 2 2 2
2 2 2 21 1d t d r dr dt dt r dr r dr r d
ν ν ϑϑ ϑ
= + +
(5.4.8)
Poněvadž pravá strana této rovnice je na t nezávislá, musí být i levá strana rovnice na tnezávislá. Položíme-li tedy obě strany rovnice rovny -Ω0
2, lze psát2
202 0d t t
dt+ Ω =
což je známá diferenciální rovnice harmonického pohybu, jejíž řešení je0 0cos sint C t D t= Ω + Ω
V rov.(5.4.8) musí být konstantní druhý člen pravé strany, který označíme2
22
1 d nd
ϑϑ ϑ
= −
odkud obdržíme řešenícos sinA n B nϑ ϑ ϑ= +
kde A, B jsou integrační konstanty. Dosazením tohoto výrazu do rov.(5.4.8) dostaneme2 2 2 2
20 2 2
1d r dr nr dr r dr r
ν ν −Ω = + −
nebo úpravou
222 2 20
2 2 0d r drr r r n rdr dr ν
Ω+ + − =
případně zavedením
0kν
Ω=
lze rovnici upravit na tvar
( )2
2 2 2 22 0d r drr r k r n r
dr dr+ + − =
Tato rovnice je známá jako Besselova rovnice a její řešení má tvar( ) ( )n nr EJ kr FY kr= +
kde E, F jsou konstanty a Jn(kr) a Yn(kr) jsou Besselovy funkce prvního a druhého druhu.Příčná deformace kruhové membrány bude dána rovnicí ( )( )( )0 0cos sin cos sin ( ) ( )n nw A n B n C t D t EJ kr FY krϑ ϑ= + Ω + Ω + (5.4.9)Poněvadž Besselova funkce (0)nY = ∞ , musí být F = 0 a rov.(5.4.9) přejde na tvar
( )( )0 0cos sin cos sin ( )nw A n B n C t D t EJ krϑ ϑ= + Ω + Ω (5.4.10)
77
V případě, že je kmitání symetrické vzhledem ke středu membrány a tedy nezávislé na úhluϑ, musí být n = 0 a rov.(5.4.10) nabude tvaru
( )0 0cos sin ( )nw C t D t J kr= Ω + ΩPro Besselovu funkci platí
( ) ( )
( )( )
( )( )
2 41 1 12 2 2( ) 1
! 1 1 1.2. 1 2
n
n
x x xJ x
n n n n
= − + − ⋅⋅⋅
+ + + a tedy
2 412
0 2
3 51 12 2
1 2
( )1( ) 12 2( ) ( )1( )
2 2 2 3
xJ x x
x xJ x x
= − + + ⋅⋅⋅
= − + − ⋅⋅⋅
Tab.5.2. Vlastní úhlové frekvence a uzlové čáry u kruhových membránΩ0m Uzlové čáry2, 405 N
R q
n = 0 m = 1 Kružnice na
obvodě membrány
3,832 NR q
n = 1 m = 1
5,136 NR q
n = 2 m = 1
6,380 NR q
n = 3 m = 1
7,016 NR q
n = 1 m = 2
x
y
z w Qy My
Qx My h
Mx xyMxy xM dx∂
∂+
xMx xM dx∂
∂+
xQx xQ dx∂
∂+
yQy yQ dy∂
∂+
Myxyx yM dy∂
∂+
yMy yM dy∂
∂+
Jestliže na počátku byla membrána v klidu, musí být konstanta D = 0 a řešení přejde na tvar
( ) ( )0 01
cosm mm
w C t J kr∞
== Ω∑ (5.4.11)
Kmitání bude tedy periodické s periodou 0
2
m
T π=Ω
, kde je
( )0 01
m mN J k R
R qΩ = (5.4.12)
Uzlové čáry získáme opět z podmínky, že w = 0. Hodnoty některých vlastních úhlovýchfrekvencí a uzlových čar ukazuje tab.5.2.
5.5 Příčné kmitání desekDesky jsou rovinné útvary, které mohou přenášet ohybové momenty a posouvající síly. Přisestavování pohybových rovnic budou uvažovány následující předpoklady:1. Rovinné řezy, kolmé k nedeformované střední rovině, zůstanou rovinné a kolmé na
deformovanou střední rovinu.2. Normálná napětí ve střední rovině jsou nulová.
Uvažujme prvek desky, rozměposouvající síly, i momenty jsdesky je popsána rovnicí:
Obr 5 22
78
rů dx a dy o tloušťce h, zatížený dle obr. 5.22. Všechnyou vztaženy na jednotku délky. Rovnice příčného pohybu prvku
79
2
2
( , , )yx QQ w x y tdxdy dxdy hdxdyx y t
ρ∂∂ ∂+ =
∂ ∂ ∂z níž po úpravě dostaneme:
2
2
( , , )yx QQ w x y thx y t
ρ∂∂ ∂+ =
∂ ∂ ∂ (5.5.1)
Pohybová rovnice rotačního pohybu kolem osy x bude2
32
1 ( )12
y xy xy
x
M Mdxdy dxdy Q dxdy h dx dy
y tϕρ
∂ ∂ ∂− − =∂ ∂ ∂
Poněvadž člen na pravé straně této rovnice je o dva řády menší než členy na levé straněrovnice, lze jej v dalším řešení zanedbat. Tím nabude rovnice tvar
0y xyy
M MQ
y x∂ ∂
− − =∂ ∂
(5.5.2)
Obdobně bychom obdrželi pohybovou rovnici rotace kolem osy y
0yxxx
MMQ
x y
∂∂− − =
∂ ∂ (5.5.3)
Pro vnitřní síly a momenty desky platí [10],[16]
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
( , , )1
x
y
x y y x
w x y t w x y tM Dx y
w x y t w x y tM Dy x
w x y tM M Dx y
µ
µ
µ
∂ ∂= − + ∂ ∂ ∂ ∂= − + ∂ ∂
∂= − = −∂ ∂
(5.5.4)
3 3
3 2( , , ) ( , , )(2 )x
w x y t w x y tQx x y
µ ∂ ∂= − + − ∂ ∂ ∂ 3 3
3 2( , , ) ( , , )(2 )y
w x y t w x y tQ Dy x y
µ ∂ ∂= − + − ∂ ∂ ∂ kde je zavedena tak zvaná ohybová tuhost desky
3
212(1 )EhD
µ=
− (5.5.5)
a µ je Poissonovo číslo. Po dosazení rov.(5.5.4) do rov.(5.5.1), (5.5.2), (5.5.3)dostaneme po úpravě
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2( , , ) ( , , ) ( , , )w x y t w x y t h w x y t
x y x y D tρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(5.5.6)
Nebo s použitím Laplaceova operátoru:2
2 2 42
( , , )( , , ) ( , , ) h w x y tw x y t w x y tD t
ρ ∂∇ ∇ = ∇ = −∂
(5.5.7)
Další řešení závisí na tvaru desky a na okrajových podmínkách. V dalším si proberemeněkteré typické případy.
5.5.1 KMITÁNÍ OBDÉLNÍKOVÉ DESKYŘešení obdélníkové desky v uzavřeném tvaru je možné jen pro některé případy uložení.Řešení je možné vždy, když dvě protilehlé hrany desky jsou kloubově uloženy. Ostatní hranymohou být bud volné, nebo libovolně uloženy. Ukažme si řešení některých případů.Obdélníková deska prostě uložená na všech hranách.Uložení desky je schematicky znázorněno na obr.5.23. Průhyb desky budeme předpokládatsložen z členu, závislého na souřadnicích x, y a z výrazu závislého na čase.
( , , ) ( , ) i tw x y t W x y e Ω=Tvar kmitu musí splňovat rov.(5.5.7), čímž dostaneme
4 2( , ) ( , )hW x y W x yDρ∇ = Ω (5.5.8)
kde Laplaceúv operátor čtvrtého řádu má tvar4 4 4
44 2 2 4
( , ) ( , ) ( , )( , ) 2W x y W x y W x yW x yx x y y
∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂ ∂
Okrajové podmínky jsou:
pro x = 0 a x = l je W = 0; 2 2
2 2 0xW WM Dx y
µ ∂ ∂= − + = ∂ ∂
pro y = 0 a y = b je W = 0; 2 2
2 2 0yW WM Dy x
µ ∂ ∂= − + = ∂ ∂
Pro W(x,podmínky
x
b
l
y
Obr. 5.23
x
b
l
y
80
y) zvolíme takovou funkci, která splňuje jednak rov.(5.5.8), jednak okrajové:
( , ) sin sin 1, 2,..., 1, 2,...,m nW x y C x y pro m a nl bπ π = = ∞ = ∞
(5.5.9)
Dosazením rov.(5.5.9) do rov.(5.5.8) obdržíme po úpravě vlastní úhlovou frekvenci desky:
2 2
2, 2 2m n
m n Dl b h
πρ
Ω = +
(5.5.10)
Průhyb desky bude dán lineární kombinací jednotlivých řešení:
( ), , , ,1 1
( , , ) cos sin sin sinm n m n m n m nm n
m nw x y t A t B t x yl bπ π∞ ∞
= == Ω + Ω∑∑ (5.5.11)
nebo
( ), , ,1 1
( , , ) sin( ) sin sinm n m n m nm n
m nw x y t C t x yl b
π πϕ∞ ∞
= == Ω +∑∑ (5.5.12)
Uzlové čáry, to znamená místa s nulovým průhybem určíme z podmínky w = 0. To bude
splněno pro
2 ( 1) 2 ( 1), ,..., , ,...,l l m l b b n bx am m m n n n
− −=
V tomto případě jsou uzlové čáry přímky rozdělující desku na m.n stejných částí (stejně jako
u obdélníkových membrán.
Obdélníková deska na dvou protilehlých stranách kloubově uložená a na zbývajících stranách
vetknutá.
Tento případ uložení obdélníkové desky ukazuje schematicky obr.5.24.
Pr
x
b
l
y
x
b
ly
Obr. 5.24
81
o partikulární řešení tohoto případu budeme uvažovat vztah
82
,( , ) ( )sinm nmW x y C X x ybπ= (5.5.13)
Dosazením rov.(5.5.13) do rov.(5.5.7) dostaneme4 2 2 2
4 2 2
4 42
,4
2
0m n
d X m d Xdx b dx
m h Xb D
π
π ρ
− +
+ − Ω =
(5.5.14)
Vznikla obyčejná diferenciální rovnice 4. řádu s konstantními koeficienty, jejíž řešenípředpokládáme ve tvaru xX Aeλ= . Dosazením tohoto vztahu do
rov.(5.5.14) obdržíme charakteristickou rovnici2 2 4 4
4 2 2,2 42 0m n
m m hb b D
π π ρλ λ
− + − Ω =
z níž určíme kořeny
2 2
21,2 ,2 m n
m hb D
π ρλ = ± Ω
Pro jednoduchost označíme:
2 2
, 2
2 2
, 2
m n
m n
h mrD b
h msD b
ρ π
ρ π
= Ω +
= Ω −
S použitím těchto vztahů lze psát kořeny charakteristické rovnice ve tvaru
1 2 3 4; ; ;r r is isλ λ λ λ= = − = = −takže řešení rov.(5.5.14) bude dáno vztahem
1 2 3 4cosh sinh cos sinX A rx A rx A sx A sx= + + + (5.5.15)Okrajové podmínky pro uvažovanou desku jsou:
0 : 0; 0dXx a x l Xdx
= = = = a jejich použitím dostaneme 1 3 2 40 0A A a A r A s+ = + = .
Tím přejde rov,(5.5.15) na tvar:
( )1 2( ) cosh cos sinh sinrX x A rx sx A rx sxs
= − + − Pro x = l bude platit, když pro zjednodušení zápisu zavedeme označení R = rl a S = sl
( )
( )
1 2
1 2
cosh cos sinh sin 0
sinh sin cosh cos 0
RA R S A R SS
SA R S A R SR
− + − = + + − =
(5.5.16)
Obdrželi jsme dvě homogenní rovnice pra A1 a A2. Pro netriviální řešení musí být determinanttěchto rovnic roven nule a z této podmínky obdržíme
( )2 2
2 1 cosh cos sinh sin 0R SR S R SRS−− + =
Z této rovnice určíme vlastní úhlové frekvence desky
2 2 2 2
, 22 2m nr s D R S D
h l hρ ρ+ +Ω = = (5.5.17)
Obdélníková deska na třech stranách kloubově uchycená a na čtvrté straně vetknutá(obr.5.25)Deformace bude dána podobnějako v předchozím případěrov.(5.5.13) a rov.(5.5.15)Okrajové podmínky budou:Pro x = 0
2
2( )( ) 0 0d X xX x a
dx= =
odkud vyjdou integračníkonstanty A1=A3 = 0, takžerov.(5.5.15) přejde na tvar
2 4( ) sinh sinX x A rx A sx= +V místě vetknutí, tedy pro x=l
bude platit ( )( ) 0; 0dX lX ldx
= =
Tím obdržíme dvě rovnice2 4sinh sin 0A R A S+ =
Op
a z
Ob
str
Po
Pro
x
b
l
y
Obr.5.2
x
b
l
y
Obr. 5.25
ět použijeme podmínkysinh cosS R
této rovnice můžeme u2 2
2mm
bπΩ =
délníková deska na dvo
anách volná (Obr.5.26)
2
32
2
42
rA
s
rrAs s
µ
µ
−=
+
+=
−
užitím těchto vztahů bu(1( )X x A=
x = l lze psát (při použ
83
2 4cosh cos 0SA R A SR
+ =
netriviálního řešení a z determinantu soustavy rovnic vyjdecosh sin 0S R R S− =
rčit vlastní úhlovou frekvenciDhρ
u stranách kloubově uchycena a na zbývajících
2 2
2
1 12 2
2
2 2
2
2 22 2
2
(2 )
(2 )
mb A A
mb
mb A A
mb
π
απ
πµβ
πµ
=
−=
−
de pro deformaci desky platit rovnice) ( )2cosh cos sinh sinrx sx A rx sxα β+ + +
ití R = rl a S = sl)
84
2 2 2 22 2
1 2 2
2 2 2 22 2
2 2 2
cosh cos
sinh sin 0
m mA r R s Sb b
m mA r R s Sb b
π πµ α µ
π πµ β µ
− − + +
+ − − + = 2 2 2 2
2 21 2 2
2 2 2 22 2
2 2 2
(2 ) sinh (2 ) sin
(2 ) cosh (2 ) cos 0
m mA r r R s s Sb b
m mA r r R s s Sb b
π πµ α µ
π πµ β µ
− − + + − +
+ − − − + − =
Z frekvenčního determinantu těchto rovnic určíme s a r a z nich vlastní úhlové frekvence.
5.5.2 KMITÁNÍ KRUHOVÝCH DESEKUvažujeme kruhovou desku poloměru R a tloušťky h. S ohledem na tvar desky je výhodnépoužít při řešení polárních souřadnic. Rov.(5.5.7) tak přejde na tvar
22 2
2 2 21 1 ( , ) ( , )hw r w r
r r r r Dρϑ ϑ
ϑ ∂ ∂ ∂ Ω+ + = ∂ ∂ ∂
(5.5.18)
Jestliže celou rovnici odmocníme, dostaneme
2 2
2 2 21 1 ( , ) ( , )hw r w r
r r r r Dρϑ ϑ
ϑ ∂ ∂ ∂+ + = ±Ω ∂ ∂ ∂
(5.5.19)
Rov.(5.5.18) bude splněna, bude-li splněna některá z rov.(5.5.19), které jsou podobnérovnicím pro kruhovou membránu. Rovnici vlastního tvaru kmitu lze vyjádřit vztahem
, , , , , ,( , ) sin( )m n m n m m n m n m m n m nr rw r A J B J i mR R
ϑ λ λ ϑ ϕ = + + (5.5.20)
kde značí
2
4hRD
ρλ Ω= (5.5.21)
Z rov.(5.5.20) určíme pro dané okrajové podmínky vlastní úhlovou frekvenci Ωm,n a tím i λm,n.
Pro desku na obvodě vetknutou to bude ( , ); ( , ) 0; 0w Rr R w Rr
ϑϑ ∂= = =∂
a z rov.(5.5.20)
dostaneme, , , ,
, ,, ,
( ) ( ) 0( ) ( )
0
m n m m n m n m m n
m m n m m nm n m n
A J B J iJ J i
A Br r
λ λλ λ
+ =∂ ∂
+ =∂ ∂
(5.5.22)
Rov.(5.5.22) umožňuje určit poměr amplitud ,
,
m n
m n
AB
. Pro případ, kdy m = n = 0 vychází
0,0 3, 2λ = a z rov. (5.5.21) lze určit vlastní úhlovou frekvenci2 2
2 23, 2D D
R h R hλ
ρ ρΩ = =
Řešení průhybu budeme opětpředpokládat ve tvaru danémrov.(5.5.13). Pro okrajovépodmínky desky, kde je x = 0 ax = l platí
(0, ) ( , ) 0(0, ) ( , ) 0x x
x x
M y M l yQ y Q l y
= == =
Z rovnic (5.5.4) dostaneme
,m ndDCd
−
3
,m ndDCd
−
Poněvadž musí být tyto rov závorkách
2
2
3
3 (2
d X mdx bd Xdx
µ−
− −
Použitím rov.(5.5.15) přejd
A
4A =
Použitím těchto vztahů bu
(1( )X x A=Pro x = l lze psát (při použ
Obr.Obr.5Obr.
x
b
l
y
x
b
l
y
.25.26
85
2 2 2
2 2(2 ) sin 0X m mX yx b b
π πµ
− − =
2 2
3 2(2 ) sin 0X dX m m yx dx b b
π πµ
− − =
vnice rovny nule pro libovolné y, musí být nulové výrazy
2 2
2
2 2
2
0
) 0
X
m dXb dx
π
πµ
=
=
ou tyto rovnice po úpravě na tvar2 2
22
3 1 12 22
2
mrb A A
msb
πµα
πµ
−= =
+
2 22
2
2 22 22
2
(2 )
(2 )
mrr b A Ams s
b
πµβ
πµ
+ −=
− −
de po deformaci desky platit rovnice
) ( )2cosh cos sinh sinrx sx A rx sxα β+ + +ití R = rl a S = sl)
86
2 2 2 22 2
1 2 2
2 2 2 22 2
2 2 2
cosh cos
sinh sin 0
m mA r R s Sb b
m mA r R s Sb b
π πµ α µ
π πµ β µ
− − + +
+ − − + = 2 2 2 2
2 21 2 2
2 2 2 22 2
2 2 2
(2 ) sinh (2 ) sin
(2 ) cosh (2 ) cos 0
m mA r r R s s Sb b
m mA r r R s s Sb b
π πµ α µ
π πµ β µ
− − + + − +
+ − − − + − =
Z frekvenčního determinantu těchto rovnic určíme s a r a z nich vlastní úhlové frekvence.
5.5.2 KMITÁNÍ KRUHOVÝCH DESEK
Uvažujeme kruhovou desku poloměru R a tloušťky h. S ohledem na tvar desky je výhodnépoužít při řešení polárních souřadnic. Rov.(5.5.7) tak přejde na tvar
22 2
2 2 21 1 ( , ) ( , )hw r w r
r r r r Dρϑ ϑ
ϑ ∂ ∂ ∂ Ω+ + = ∂ ∂ ∂
(5.5.18)
Jestliže celou rovnici odmocníme, dostaneme
2 2
2 2 21 1 ( , ) ( , )hw r w r
r r r r Dρϑ ϑ
ϑ ∂ ∂ ∂+ + = ±Ω ∂ ∂ ∂
(5.5.19)
Rov.(5.5.18) bude splněna, bude-li splněna některá z rov.(5.5.19), které jsou podobnérovnicím pro kruhovou membránu. Rovnici vlastního tvaru kmitu lze vyjádřit vztahem
, , , , , ,( , ) sin( )m n m n m m n m n m m n m nr rw r A J B J i mR R
ϑ λ λ ϑ ϕ = + + (5.5.20)
kde značí
2
4hRD
ρλ Ω= (5.5.21)
Z rov.(5.5.20) určíme pro dané okrajové podmínky vlastní úhlovou frekvenci Ωm,n a tím i λm,n.
Pro desku na obvodě vetknutou to bude ( , ); ( , ) 0; 0w Rr R w Rr
ϑϑ ∂= = =∂
a z rov.(5.5.20)
dostaneme, , , ,
, ,, ,
( ) ( ) 0( ) ( )
0
m n m m n m n m m n
m m n m m nm n m n
A J B J iJ J i
A Br r
λ λλ λ
+ =∂ ∂
+ =∂ ∂
(5.5.22)
Rov.(5.5.22) umožňuje určit poměr amplitud ,
,
m n
m n
AB
. Pro případ, kdy m = n = 0 vychází
0,0 3, 2λ = a z rov. (5.5.21) lze určit vlastní úhlovou frekvenci2 2
2 23, 2D D
R h R hλ
ρ ρΩ = =
8787
6.PŘIBLIŽNÉ METODY VÝPOČTU VLASTNÍCH FREKVENCÍJak jsme viděli, je řešení lineárních kontinuí poměrně složité a přesný výpočet je možný jen
pro tvarově jednoduchá tělesa. U těles složitějšího tvaru je přímé řešení zpravidla velmi
složité a ,mnohdy je řešení v uzavřeném tvaru nemožné. V takových případech se používají
různé přibližné metody, které umožňují stanovit jednu nebo několik nejnižších frekvencí. To
ve velké většině případů technické praxi postačuje. Postupem doby se vyvinula celá řada
různých metod, z nichž si zde dvě uvedeme.
6.1 Rayleighova metoda
Již v kap.4. byl popsán Rayleighův kvocient, který je obecně dán poměrem maximální
potenciální energie ku maximální jednotkové kinetické energii (při jednotkové vlastní úhlové
frekvenci):
2 max
max
P
K
EE
λ ∗= Ω = (6.1.1)
Při této metodě lze zahrnout do výpočtu vlastních úhlových frekvencí také vlivy bodových
hmotností, umístěných na lineárních kontinuích a pružných uloženích. V dalším budou
uvedeny vztahy pro jednotlivé druhy kontinuí, která byla probrána v kap.5. Označení je
použito stejné, jak bylo v předchozí kapitole definováno. Všechny amplitudy (U, V, W, Φ) je
možno při Rayleighově metodě odhadnout.
Podélně kmitající prut:
´2
0
1 ( ) ( )2
l
PE E A x U x dx= ∫ (6.1.2)
2 2
10
1 1( ) ( ) ( )2 2
l n
K j jj
E A x U x dx m U xρ∗
== + ∑∫ (6.1.3)
Torzně kmitající hřídel kruhového průřezu
´2
0
1 ( ) ( )2
l
P pE G J x x dx= Φ∫ (6.1.4)
2 2
10
1 1( ) ( ) ( )2 2
l n
K p j jj
E J x x dx I xρ∗
== Φ + Φ∑∫ (6.1.5)
8888
Příčně kmitající nosník
2 2
10
1 1( ) ( ) ( )2 2
l n
P j jj
E E J x W x dx k W x=
′′= + ∑∫ (6.1.6)
2 2
10
1 1( ) ( ) ( )2 2
l n
K j jj
E A x W x dx m W xρ∗
== + ∑∫ (6.1.7)
kde kj je konstanta tuhosti pružné podpory v místě xj
Příčně kmitající obdélníková membrána
221 ( , ) ( , )
2PA
W x y W x yE N dxdyx y
∂ ∂ = + ∂ ∂ ∫∫ (6.1.8)
2 2
1
1 1( , ) ( , )2 2
n
K j j jjA
E q W x y dxdy m W x y∗
=
= + ∑∫∫ (6.1.9)
Příčně kmitající kruhová membrána
2 2
21 ( , ) 1 ( , )2P
A
W r W rE N rd drr r
ϑ ϑ ϑϑ
∂ ∂ = + ∂ ∂ ∫∫ (6.1.10)
2 2
1
1 1( , ) ( , )2 2
n
K j j jjA
E q W r rd dr m W rϑ ϑ ϑ∗
=
= + ∑∫∫ (6.1.11)
Příčně kmitající obdélníková deska2 22 2 4 2
2 2 2 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , )2(1 )2P
A
D W x y W x y W x y W x yE dxdyx y x y x y
µ ∂ ∂ ∂ ∂ = + − − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∫∫ (6.1.12)
2 2
1
1 1( , ) ( , )2 2
n
K j j jjA
E h W x y dxdy m W x yρ=
= + ∑∫∫ (6.1.13)
Příčně kmitající kruhová deska
1
0
2 22 3
2 2 31 ( ) 1 ( ) 1 ( )22
r
Pr
d W r dW r d W rE D rdrdr r dr r dr
µ = + +
∫ (6.1.14)
1
0
21 ( )2
r
Kr
E h W r rdrρ∗ = ∫ (6.1.15)
Uvedené výrazy platí pro osově souměrnou desku.
Rayleighův kvocient dává přesnou hodnotu pro přesný tvar kmitu. My však dosazujeme do
výrazů pro potenciální a kinetickou energii odhadnutý tvar kmitu, který však musí splňovat
okrajové podmínky uložení, kdežto silové podmínky nemusí být splněny. Velmi dobrých
výsledků se dosáhne, když se použije deformačních tvarů při statickém zatížení. Ze všech
8989
x
bo bx
l
H h
Obr. 6.1
předchozích rovnic je vidět, že dávají možnost řešení lineárních kontinuí s proměnným
průřezem.
Ukažme si nyní tento způsob na příkladu vetknutého nosníku konstantní tloušťky h (Obr.6.1)
a proměnné šířky b(x), která se mění od hodnoty bo ve vetknutí až po nulovou hodnotu na
volném konci..
Příčný průřez nosníku je dán výrazem
( ) 1oxA x b hl
= −
a kvadratický moment tohoto průřezu bude
31( ) 112 o
xJ x b hl
= −
Tvar průhybu nosníku uvažujme parabolický, který splňuje podmínku nulové deformace ve
vetknutí:
2( )W x ax=
Potenciální energii určíme z rov.(6.1.6):
3 3 2
0
1 1 14 (1 )2 12 12
l
P o oxE E b h a dx Eb h a ll
= − =∫
Kinetickou energii určíme z rov.(6.1.7)
2 4 2 5
0
1 14 (1 )2 60
l
k o oxE b h a x b ha ll
ρ ρ∗ = − =∫
Dosazením do rov.(6.1.1) určíme vlastní úhlovou frekvenci :
3 2 21
2 0122 5 41
60
5P
K o
Eb h a lE EhE b ha l lρ ρ∗Ω = = =
odkud dostaneme
22, 236 h El ρ
Ω =
Jako další příklad uvažujme obdélníkovou desku konstantní tloušťky h, která je na všech
Stranách vetknutá.
Především musíme zvolit takovou funkci
pro tvar deformace, která splňuje
okrajové podmínky, to znamená, že
v místě vetknutí je průhyb a natočení
nulové.Takovou funkcí je např.:2 3 4
1 2( )X x x a x a x= + +
Konstanty a1 a a2 určíme tak, aby byla
splněna i okrajová podmínka pro x=l:2 3 4( ) 0X l l a l a l= + + =
Z
Po
St
Pr
Tv
b
l
b
l
Obr. 6.2
9090
1 2
2 31 2
( ) 2 3 4 0dX l l a l a ldx
= + + =
těchto rovnic určíme potřebné konstanty:
12al
= − a 2 21al
=
užitím těchto hodnot obdržíme vztah pro průběh deformace ve směru osy x:
2 32
2 1( ) 4X x x x xl l
= − +
ejný tvar bude mít i deformace ve směru osy y:
2 3 42
2 1( )Y y y y yb b
= − +
ůhyb desky v obecném místě bude:
2 3 4 2 3 42 2
2 1 2 1( , )W x y x x x y y yl l b b
= − + − +
ar deformované desky ukazuje obr. 6.3.
9191
Obr. 6.3
Potenciální energii určíme z rov.(6.1.12):24 4
2 2 2 2 2 22 2 2 2
0 0
1 12 12 2 2 12 122 22
l b
Py xE D x x y y x x y y dxdy
l l b b l l b b = − + − + + − + − +
∫ ∫
Po provedení integrace obdržíme:
( )4 2 2 47 4 711025P
DE b l b l= + +
Jednotkovou kinetickou energii určíme z rov.(6.1.13):2 24 4 5 5
2 3 2 32 20 0
1 2 22 793800
l b
Kx y hb lE h x x y y dxdy
l l b bρρ∗
= − + − + =
∫ ∫
Po dosazení do rov.(6.1.1) dostaneme:
4 2 2 4
24
(7 4 7 )72( )
D b l b lbl hρ+ +Ω = respektive 4 2 2 4
2 26 2(7 4 7 ) Db l b l
l b hρΩ = + +
6.2 Ritzova metodaRitzova metoda, která se používá i v metodě konečných prvků je založena na skutečnosti, že
Rayleighův kvocient leží v intervalu přesných hodnot vlastních úhlových frekvencí. To tedy
znamená, že vlastní tvar deformace minimalizuje Rayleighův kvocient. Proto se podle Ritze
aproximuje vlastní tvar lineární kombinací nezávislých funkcí, které splňují okrajové
podmínky. Pro dvourozměrné kontinuum to bude:
1 1 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )n nW x y a f x y a f x y a f x y= + + +! (6.2.1)
To znamená, že Rayleighův kvocient bude funkcí nezávislých koeficientů:
1 2( , , , )Pn
K
E a a aE
λ λ∗= = !
Minima těchto hodnot jsou dána n podmínkami
9292
( )2 1, 2, ,PP K
i i K i
E E E pro i na a E aλ ∗
∗
∂ ∂ ∂= = − Ω = ∂ ∂ ∂ ! (6.2.2)
Tímto postupem se získá n homogenních rovnic. Pro netriviální řešení této soustavy musí být
determinant soustavy roven nule. Poněvadž je tento determinant n stupně obdržíme n hodnot
1 2 n< < <! ! !! nebo 2 2 21 2 n< < <! ! !! . Tak jako většinu analytických metod lze Ritzovu
metodu použít všude tam, kde platí zákon zachování mechanické energie. Výhoda je v tom, že
není potřeba sestavovat pohybové rovnice, ale stačí pouze geometrické okrajové podmínky.
Postup řešení si ukážeme na určení prvních dvou vlastních úhlových frekvencí prismatického,
oboustranně vetknutého nosníku. Funkci, která splňuje geometrické okrajové podmínky
navrhneme ve tvaru:
2 2 3 31 2( ) ( ) ( )W x a x l x a x l x" # $ #
Tato funkce slpňuje podmínku (0) ( ) (0) ( ) 0W W l W W l% %" " " " . Potenciální energii
stanovíme z rov,(6.1.6):
22 2 3 2 2 31 1 1 2 2 2
0
2 ( ) 8 ( ) 2 6 ( ) 18 ( ) 6 ( )2
l
PEJE a l x a x l x a x a x l x a x l x a x l x dx& '" # # # $ $ # # # $ #( )* +,
a po integraci obdržíme:
2 5 7 2 91 1 2 2
1 4 12 22 5 35 35PE EJ a l a a l a l- ./0" $ $ /0 //01 2
Podobně obdržíme z rov.(6.1.7) kinetickou energii
2 9 11 2 1322 2 3 3 1 1 2 2
1 20
( ) ( )2 2 690 1386 12012
l
KA A a l a a l a lE a x l x a x l x dx" " - ./0& ' /" # $ # " $ $0( ) /* + 0 /01 2,
Dosazením výrazů pro potenciální a kinetickou energii do rov.(6.2.2) a derivováním podle a1a a2 dostaneme dvě rovnice:
4 2 6
5 2 21 2
4 6 05 690 35 2772EJ A l EJl A ll a a" "& '- . - ./ /0 0( )/ /# ! $ # ! "0 0/ /( )0 0/ /0 01 2 1 2( )* +
7 4 2 2 6 21 2
6 1 2 1 035 2772 35 12012
l EJ A l a EJl A l a" "& '- . - ./ /0 0( )# ! $ # ! "/ /0 0/ // /0 0( )1 2 1 2* +
Pro netriviální řešení těchto rovnic musí být determinant soustavy nulový, Z této podmínky
obdržíme po rozvinutí determinantu kvadratickou rovnici pro Ω2:
2 2 8 4 4 2 2 283952 8154432 05
A l EJA l E J" "! # ! $ "
a jejím řešením obdržíme:
9393
1 222,374 EJ
l A"! " a 2 2
127,632 EJl A"
! "
Přesným řešením bychom dostali
1 222, 20 EJ
l A"! " a 3 2
120,90 EJl A"
! "
Jak vidět, vypočetli jsme Ritzovou metodou vlastně 1. 3. Vlastní úhlovou frekvenci a to
s chybami asi 0,78% a 5,57%, což je pro technické využití dostatečná přesnost. Daleko větší
nepřesnost je dosahována při určování posouvajících sil a ohybových momentů, poněvadž
zvolená bázová funkce splňuje pouze geometrické a nikoli silové okrajové podmínky. Tu
vznikají chyby 100% i více. Poněvadž je přesné řešení u většiny případů neznámé, je nejistota
řešení dynamických silových účinků příliš velká. Při zachování všech výhod variační metody
lze nedostatek Ritzovy metody částečně eliminovat použitím MKP.
7. METODY PŘÍMÉ INTEGRACE DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
Ne vždy lze diferenciální pohybové rovnice řešit v uzavřeném tvaru. V takovém případě se
používají metody přímé integrace diferenciálních rovnic, které rozdělujeme do dvou skupin.
1. Explicitní metody, u nichž jsou odezvy soustav vyjádřeny pomocí dříve určených hodnot
přemístění, rychlostí a zrychlení. Z těchto metod si v dalším uvedeme metodu centrálních
diferencí, dvoukrokovou metodu a metodu Runge-Kutta.
2. implicitní metody, u nichž jsou diferenciální rovnice kombinovány s rovnicemi pohybu a
přemístění je určeno přímo. Z nich si probereme metodu Newmarkovu.
7.1 Metoda centrálních diferencí
ři této metodě pracujeme místo s derivacemi
konečnými diferencemi
0
limt
dx ydt t! "
!#!
dná-li se o spojitou křivku s malou změnou
ěrnice je řešení dosti přesné i při větších
sových intervalech.
važujme nyní křivku, která prochází třemi body:
1 1 1 1, ), ( , ), ( , )i i i i i iy t y t y t$ $ % % , jak naznačeno na
br.7.1. Pro rychlost v čase ti lze psát:
y y y ydy y' $ $!
Po
R
kt
T
y
yi-1 yi yi+1
∆t ∆t
y
yi-1 yi yi+1
∆t ∆t
ti-1 ti ti+1 t Obr. 7.1
P
s
Je
sm
ča
U
(
o
&
o
u
94
1
1 1 1 1
1 1 2i i i i
t t i idt t t t t% $ % $
# % $
() # #() (()* + ! $ !! (7.1.1)
dobně můžeme psát pro zrychlení v čase ti:
1 1
21 12 2
2 2
2i i
i
i i i it tt ti i i
t t
dy dy y y y ydt dt y y yd y t t
dt t t t
% $! !% $% $
#
& ' & '( () )$ $ $( () )( () ) $* + * +& ' $ %! !() ( # # #) () () ! ! !* +(7.1.2)
v.(7.1.1) a (7.1.2) dosadíme do pohybové rovnice
% % # tMq Bq Kq Q"" "
erá tak přejde na tvar
2
22
t t t t t t t t tt tt t
%! $! %! $!$ % $% % #
! !q q q q qM B Kq Q (7.1.3)
to rovnici lze upravit na tvar
95
2 2 21
21 1 2 1
2 t t t t t ttt t t t%! $!!& ' & ' & '( ( () ) )% # $ $ $ $( ( () ) )( ( (( ( () ) )* + * + * +! ! ! !
BM B q Q K M q M q (7.1.4)
Nebo označíme-li
2 2 21 1 2 1 1
2 2t t tt t t t t $!
& ' & '( () )# % # $ $ $ $( () )( (( () )* + * +! ! ! ! !tA M B Q Q K M q M B q (7.1.5)
Můžeme vypočítat
1t t t
$%! #q A Q (7.1.6)
Tak můžeme určit výchylku v čase t t%! a pomocí ní i rychlost a zrychlení a to pomocí
výchylek v čase t a t t$! . V dalším kroku položíme , ,t t t t ttt t t %!$!# %! # #q q q q a
určujeme další výchylky a zrychlení.
Určitou nevýhodou této metody je to, že na počátku řešení neznáme dvě předchozí výchylky a
musíme celý proces zahájit startovacím algoritmem. Rov.(7.1.1) a (7.1.2) pro rychlost a
zrychlení upravíme na tvar
0 0 0
20 0 0
2
2t t
t t
t
t%! $!
%! $!
! # $
! # % %
q q q
q q q q
"
""
V těchto rovnicích známe pouze q0 a q.0 , které jsou dány počátečními podmínkami. q0-∆t lze
z obou rovnic vyloučit, čímž po úpravě dostaneme:
20 0 0 0
12t t t%! # % ! % !q q q q" ""
Zrychlení q..0 určíme z pohybové rovnice
10 0 0 0
$# $ $q M Q Bq Kq"" "
Dosazením do předchozí rovnice můžeme vypočítat
2
10 0 0 0 0 0 2t
tt $%!
!# % ! % $ $q q q M Q Bq Kq" " (7.1.7)
Další výpočet pokračuje původním algoritmem.
Chyba při této metodě je řádu ∆t2. Pro stabilitu numerického řešení je však zapotřebí, aby
časový interval byl zvolen menší než Tmin/30, čili
max
0, 2t! ,-
(7.1.8)
To znamená, že časový krok je velmi malý, u tuhých soustav mnohdy řádově až 10-10s, takže
výpočet odezvy v určitém čase vyžaduje velké množství kroků a výpočet trvá dlouho.
Algoritmus této metody je však přehledný a metoda sama je podkladem řady jiných metod.
96
7.2 Dvoukroková iterace
Pohybovou rovnici převedeme do přírůstkového tvaru
t t! #! $ ! $ !M q Q K q B q"" " (7.2.1)
V prvním iteračním cyklu určíme přírůstky rychlosti a přemístění z následujících vztahů:
V prvním časovém kroku
t t tt $!! #!q q" "" (7.2.2)
V ostatních časových krocích
2
( )2
t t t t t
t t t t
t t t t
t
t
$! $!
$!
$!
! # ! $!# %!!! # %
q q qq q q
q q q
" "" "" " "
" "(7.2.3)
Přírůstek zrychlení určíme dosazením rov.(7.2.2) a (7.2.3) do rov.(7.2.1):
1( )t t t t
t t t t
$
$!
! # ! $ ! $ !# %!q M Q K q B q
q q q"" """ "" ""
(7.2.4)
V druhém iteračním cyklu se přírůstky rychlosti a přemístění upřesní pomocí vztahů:
. /
. /
2
2
t t t t
t t t t
t t t t
t
t
$!
$!
$! %
!! # %
# %!!! #
q q q
q q q
q q q
" "" ""
" " "
" "
(7.2.5)
Výrazy dané rov.(7.2.5) se dosadí do rov.(7.2.4) a určí se upřesněná hodnota přírůstku
zrychlení a hodnota zrychlení.
7.3 Metoda Runge-KuttaMetody Runge-Kutta patří mezi jednokrokové metody a mohou být libovolného řádu. Při
řešení budeme pracovat se stavovými veličinami, jimiž jsou přemístění a rychlost, které
můžeme znázornit stavovým vektorem
0 12 3# 2 34 5
qx
q"
Pohybovou rovnici soustavy přepíšeme na tvar
1 1 1 ( )t$ $ $# $ $q M Kq M Bq M Q"" "
K této rovnici připojíme triviální rovnici identity
97
#q q" "
Obě rovnice lze zapsat ve tvaru
1 1 1 ( )t$ $ $
0 1 0 1 0 1 0 12 3 2 3 2 3 2 3# # %2 3 2 3 2 3 2 3$ $4 5 4 5 4 5 4 5
q 0 E q 0x
q M K M B q M Q"
""" "
(7.3.1)
Tuto rovnici lze zapsat také následujícím způsobem
( )t6# %x Dx Q"
nebo ještě schematičtěji
( ( ), )t t#x f x" (7.3.2)
Pro jednoduchost psaní budeme uvažovat mechanickou soustavu s jedním stupněm volnosti.
Získané výsledky lze převést do maticové formy a tím aplikovat na soustavy s více stupni
volnosti. V metodě Runge-Kutta se přiblížení k xt+∆t získá aplikací Taylorovy řady, zpravidla
s počtem členů až do určitého řádu (∆t)N. Tak obdržíme výchylku v čase (t+∆t). Přitom
předpokládáme, že funkce x. je v časovém úseku jednoznačná a spojitá. Bude pak platit
2 3( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2! 3!t tt tx t t x x t tx t x t x t%!! !%! # # %! % % %" "" """ # (7.3.3)
Zavedeme zjednodušený zápis rov. (7.3.2) ( ( ), )x f x t t f# #" . Derivací získáme
( ) t xf f dxx t f fft x dt7 7# % # %7 7
""
podobně další derivací obdržíme
2( ) 2 ( )tt tx xx x t xx t f ff f f f f ff# % % % %"""
Dosazením těchto vztahů do rov.(7.3.3) obdržíme:2 3
2( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 ( )2 6t x tt tx tx x t xt tx t t x t tf f ff f ff f f f f ff! ! 0 1%! # %! % % % % % %2 34 5 +… (7.3.4)
Ze stavby rovnice je vidět, že pro zdárné řešení musí existovat v řešeném bodě i vyšší
parciální derivace. Nejjednodušší z metod Runge-Kutta je metoda 1. řádu, známá také jako
Eulerova metoda, která uvažuje pouze prvé dva členy Taylorovy řady, tedy pro první řád ∆t:
( ) ( ) ( ( ), )x t t x t tf x t t%! # %! (7.3.5)
Výsledky metody 1.řádu vykazují dostatečnou přesnost pouze pro několik málo kroků s dosti
malým časovým krokem ∆t. Pak tato metoda zpravidla diverguje od přesného řešení. Proto se
výhradně používají metody Runge-Kutta vyšších řádů.
Podstatou metody Runge –Kutta je to, že je vyvinuta tak, aby nebylo nutno provádět
v každém kroku vyšší derivace funkce f.
Řešení je také možno provést s použitím integrálu:
98
( ) ( ) ( ( ), )t t
t
x t t x t f x d! ! !%!
%! # % 8 (7.3.6)
Použitím teorému střední hodnoty na integrál lze rov.(7.3.6) převést na tvar
( ) ( ) ( ( ), )x t t x t tf x t t t t" "%! # %! % ! % ! (7.3.7)
pro α v intervalu 0<α<1. Úkolem tak zůstává explicitní vyjádření vyšších derivací
v rov.(7.3.4).
7.3.1 Metoda Runge-Kutta 2. ŘáduV tomto případě je α voleno tak, aby výsledek rov.(7.3.7) souhlasil přesně s Taylorovým
rozvojem až po člen, obsahující (∆t)2. Položíme-li
( ) ( )x t t x t t" #% ! # % ! %#
bude rov.(7.3.4) mít tvar2 2( ) ( ) ( ) ( )t xx t t x t tf t f t f" #%! # %! % ! % ! (7.3.8)
Když srovnáme rov.(7.3.8) s rov.(7.3.4) až po členy s (∆t)2 dostaneme hodnoty 12
" ## #
Proto pro metodu R-K 2.řádu bude platit
( ) ( ) ( ) ( ( ),2 2t tx t t x t tf x t f x t t
& '! ! ()%! # %! % % () (()* +(7.3.9)
Pro algoritmizaci numerického řešení je výhodné zavést následující schéma
V čase to je známo x(to)=xo a my zavedeme
. /1 0 0
2 0 1 0
10 0 2
. ( , ). ,
( )2
k t f x tk t f x k t t
kx t t x k
#!#! % %!
%! # % %
(7.3.10)
7.3.2 Metoda Runge – Kutta 4. Řádu
Poněvadž i metoda R-K 2.řádu nedává úplně správné výsledky, používají se v praxi metody
vyšších řádů. Ukažme si nyní postup řešení metodou 4. řádu.
Předpokládejme, že je známo x(ti) = xi v čase ti. Nejprve určíme
99
. /
. /
1
12
23
4 3
. ,
. ,2 2
. ,2 2
. ,
i i
i i
i i
i i
k t f x t
k tk t f x t
k tk t f x t
k t f x k t t
#!& '! ()#! % % () (()* +& '! ()#! % % () (()* +
#! % %!
(7.3.11)
Pomocí těchto koeficientů určíme
. /1 2 3 41( ) ( ) 2 26i ix t t x t k k k k%! # % % % % (7.3.12)
Metody R-K nejsou tak citlivé na velikost časového kroku, jako metoda centrálních diferencí
a metoda dvoukroková. Metoda R-K 4. řádu je pro technické případy dostatečně přesná. Její
přesnost je úměrná (∆t)5. Další výhodou těchto metod je, že nepotřebují zvláštní startovací
algoritmus, poněvadž další hodnoty se počítají ze stavu stávajícího. Proto se metoda R-K
někdy používá jako startovací procedura jiných metod. V takovém případě postačí metoda R-
K 2. řádu, poněvadž s ní budeme počítat pouze 1 krok. Pro zvlášť vysoké požadavky na
přesnost se používají metody vyšších řádů (5., 7.). Pokud řešíme soustavy o více stupních
volnosti používáme v rov.(7.3.9) až (7.3.12) místo proměnných sloupcové matice (vektory).
7.4 Newmarkova metoda
Newmarkova metoda je vylepšením metody centrálních diferencí. Ke zpřesnění řešení
používá tato metoda koeficienty α a β. Rovnice pro rychlost a dráhu v čase t+∆t mají tvar:
9 :2
(1 )
12
t t t t t t
t t t t t t t
q q q q t
q q q t q q t
" "
# #
%! %!
%! %!
# % $ % !0 1& '()2 3# % ! % $ % !() (()2 3* +4 5
" " "" ""
" "" ""(7.4.1)
α a β jsou parametry, které jsou stanoveny tak, aby integrace byla přesná a řešení numericky
stabilní. Těmito parametry je možno zvolit průběh zrychlení v uvažovaném intervalu ∆t. Je-li12 0a" ## # zrychlení je konstantní a rovno tq""
1 12 8a" ## # zrychlení je od počátku doprostřed intervalu konstantní a rovno tq"" a
uprostřed intervalu se změní na t tq %!"" a je konstantní až do konce intervalu.
1 12 6a" ## # zrychlení se mění v intervalu lineárně od tq"" do t tq %!""
100
1 12 4a" ## # zrychlení je konstantní a rovno střední hodnotě zrychlení na počátku a konci
intervalu, tedy ( tq"" + t tq %!"" )/2
Z rov.(7.4.1) lze určit zrychlení a rychlost v čase t+∆t, které v maticovém zápisu budou mít
tvar:
21 1 1( ) 1
2t t t t t t tt t# # #%! %!
& '()# $ $ $ $ () (())! ! * +q q q q q"" " "" (7.4.2)
( ) 1 12t t t t t t tt
t" " "# # #%! %!
& ' & '( () )# $ $ $ $! $( () )( (( () )) )! * + * +q q q q q" " "" (7.4.3)
Dosazením rov.(7.4.2) a (7.4.3) do pohybové rovnice mechanické soustavy dostaneme
2
2
1 1 1 12 2
1 11
t t t t
t
tt t
t t t
" "# # # #
" "# # # #
%! %!
0 1& ' & ' & '( ( () ) )2 3% % # % $ %! $ %( ( () ) )( ( (2 3( ( () ) )) ) )! !* + * + * +4 50 1& ' 0 1()2 3 2 3% % $ % %() (2 3()) 2 3! ! !* + 4 54 5
t
t
M B K q Q M B q
M B q M B q
""
"(7.4.4)
Označme
2
1t t
"# #
# % %! !
M M B K (7.4.5)
2
1 1 12 2
1 11
t t t t t
t t t
"# #
" "# # # #
%! %!
0 1& ' & '( () )2 3# % $ %! $ %( () )( (2 3( () )) )* + * +4 50 1& ' 0 1()2 3 2 3% % $ % %() (2 3()) 2 3! ! !* + 4 54 5
t
t
Q Q M B q
M B q M B q
""
"(7.4.6)
S použitím rov.(7.4.5) a (7.4.6) lze určit z rov.(7.4.4)1
t t t t$
%! %!#q M Q (7.4.7)
Z rov.(7.4.1) určíme také rychlost a výchylku v čase t+∆t. Důležitou vlastností této metody je,
že nepotřebuje speciální startovací algoritmus. U lineárních mechanických soustav je tato
metoda nepodmíněně stabilní pro 21 12 4 ( 0,5) .a" # "; ; % Maximální chyba vzniká pro
1 12 4a" ## # . Časový krok nutno volit v souladu s rov.(7.1.8).
101
8. LADĚNÍ MECHANICKÝCH SOUSTAVLaděním mechanických soustav je nazýván postup, jímž měníme jejich hmotnost a tuhost tak,
aby se dosáhlo požadovaných hodnot vlastních frekvencí a jim odpovídajících vlastních
vektorů.
Pro jednoduchost budeme uvažovat volnou netlumenou mechanickou soustavu, která je
popsána hmotnostními, tuhostními a geometrickými parametry. Tyto prvky tvoří vektor
ladících parametrů:
1 2, ,p
T
sp p p! "# $ %& 'p !
Vlastní čísla 2i i! #( a vlastní vektory, normované přes matici hmotnosti vyjádříme vektorem
laděných parametrů (vektorem naladění):
2 2 21 2 1 2, , , , , , ,
TT T Tn n
! "# ( ( ($ %& 'l v v v! ! (8.1.1)
Zpravidla nepožadujeme měnit při ladění všechny prvky vektoru naladění, ale pouze některé
z nich. V takovém případě definujeme vektor výběru: ) *ij#j rozměru p<sk . Vektor výběru
určuje ty prvky vektoru I, kterým předepisujeme určité hodnoty. Tím vznikne redukovaný
vektor naladění ) *1 2, , , Tr r r rkl l l#l ! . Často se požaduje u řešené soustavy pouze dodržení
hodnot vlastních frekvencí. V takovém případě mluvíme o spektrálním ladění. Jestliže
chceme dodržet určité hodnoty vlastních vektrorů pak se takový proces nazývá modální
ladění. Vektor požadovaných hodnot laděných veličin označme +l , který je rozměru k.
Dosažení tohoto vektoru provedeme změnami pouze vybraných prvků vektoru ladících
parametrů. Vznikne tak redukovaný vektor ladících parametrů pr, definovaný vektorem
výběru ladících parametrů
[ ]1 2, , , si i i=i !
jehož počet prvků bude s. V dalším budeme většinou bližší označení „redukovaný“
vynechávat a to jak u vektorů ladicích parametrů tak u vektoru naladění a tedy budeme
vynechávat i index r. Požadované laděné veličiny závisí na laděných parametrech, takže lze
psát ( )#l l p . Ladění parametrů lze matematicky formulovat jako nalezení vektoru +p pro
který platí:
( )+ +#l p l (8.1.2)
Ladící parametry, nezahrnuté do redukovaného vektoru ladících parametrů pr se při ladění
nemění. Laděné veličiny, které mají zůstat zachovány je naproti tomu nutno zahrnout do
102
redukovaného vektoru naladění rl . Na hodnotách laděných veličin nezahrnutých do vektoru
naladění nám nezáleží.
8.1 Metoda postupných lineárních aproximacíJestliže vektor laděných veličin l(p) je v okolí výchozího bodu p0 definovatelný, lze každou
funkci li(p) rozvinout v okolí bodu p0 do Taylorovy řady:
1 1 1 1 2 2
1 1 21 1 2
1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3
2(0) (0) (0)0 0
01 1 1
3(0) (0) (0)0
1 1
( ) ( )1( ) ( ) ( ) ( )( )2
( )1 ( )( )( )3!
p p
p p p
s ssi i
i i i i i i i ii i ii i i
s s s
i i i i i ii i i i i i
l ll l p p p p p pp p p
l p p p p p pp p p
# # #
# #
, ,# - . - . . -, , ,
, . . . -, , ,
/ //
///
p pp p
p !
(8.1.3)
V dalším budeme brát pouze prvé dva členy řady, to znamená, že budeme uvažovat lineární
náhradu funkce li(p). Zaveďme vektor gradientu funkce li(p0):
0 00
1
( ) ( )( ) , ,T
ii
s
lgrad lp pp pp
! ", ,$ %# $ %, ,& '! (8.1.4)
Rov.(8.1.3) lze psát s použitím rov./8.1.4) ve tvaru
0 0 0( ) ( ) ( )( )Ti i il l grad l- .p p p p p" pro i = 1,2 ,…,k (8.1.5)
Dále zavedeme Jacobiho matici zobrazení , kterou nazýváme také matice ladění:
1 0
00
0
( )( )( )
( )
T
i
jTk
grad ll
pgrad l
! "$ % ! ",$ % $ %# #$ % $ %,$ %$ % & '$ %& '
ppL p
p# pro i = 1,2,…,k j = 1,2,…,s
pak lze rov.(8.1.5) přepsat pro všechna i = 1,2,…,k na tvar
0 0 0( ) ( ) ( )- .l p l p L p p" (8.1.6)
Matice ladění je obecně obdélníková matice rozměru (k,s). Její prvek v i. řádku a j. sloupci
vyjadřuje míru změny i laděné veličiny na j změně ladícího parametru. Proto ji také lze nazvat
matice citlivosti. V případě, že matice ladění je regulární a pro její hodnost platí
0( ) min( , )h k s#L p
existuje pro případ k s0 levá inverzní matice
1 2 1
0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )L T TL p L p L p L p.
#
a pro k s3 pravá inverzní matice:
103
( ) 1
0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )P T T −=L p L p L p L p
Pomocí těchto matic lze z rov.(8.1.6) určit vektor p:
1 20 0 0( ) ( ) ( )p p L p l p l p-- ." (8.1.7)
-L označuje buď pravou nebo levou inverzní matici.
Poznámka:
Matice 1( )P T T .#A A AA se nazývá zprava inverzní regulární matice A typu (r,s)
pro r ≤ s. Matice (AAT) je řádu r a existuje pro ni inverzní matice. Matice AP je typu
(r,sp) a platí pro ni AAP = E. Jestliže k nedourčené soustavě rovnic #Ax b
s regulární maticí A píšeme P#x A b pak tento vektor je řešením soustavy. Poněvadž
v případě r >sp má rovnice nekonečně mnoho řešení, vybírá se vektorem PA b pouze
jedno z nich.. Toto řešení má ze všech ostatních řešení minimální euklidovskou normu
minP #A b x
Kde označujeme $ euklidovskou normu.
Jestliže nyní chceme řešit rov.(8.1.2), dostaneme s ohledem na rov.(8.1.6) a (8.1.7) vztah
0 0 0( ) ( )- +- .p p L p l l p" (8.1.8)
Tento vztah je zatížen chybou, poněvadž
1. lineární náhrada rov.(8.1.6) je u nelineárních případů přibližná
2. pro případ k > s je řešení dané rov.(8.1.7) pouze nejlepším přiblížením.
Abychom zmenšili chybu tohoto řešení bereme rov.(8.1.8) jako iterační. Při tom použijeme
obdobný vztah
1 21 ( ) ( )l l l lp p L p l l p- +- # - . pro l = 1,2,….. (8.1.9)
Z počáteční hodnoty p0 určíme první člen posloupnosti pl a postupně další členy. Pokud
posloupnost pl konverguje označíme limitu +p za řešení rov.(8.1.2). Základním požadavkem
pro řešení rov.(8.1.2) je dosažení co nejlepších požadovaných hodnot laděných veličin. Ladící
proces rov.(8.1.9) ukončujeme, když je splněna rovnice2
11
( )1k
i ii
j
g "+#
! "$ %. 3$ %& '
/i
l pl
(8.1.10)
1" je zvolené, malé, kladné číslo, určující dovolenou chybu hodnot laděných veličin.
104
gi jsou kladné váhové koeficienty, umožňující upřednostnit některou souřadnici laděných
veličin. Rov.(8.1.10) pracuje s relativními chybami. Čtverce hodnot jsou zaváděny proto, že
nám nezáleží na tom, zda jsou odchylky kladné nebo záporné. Při přesném řešení by měla být
levá strana rov.(8.1.10) nulová, v ostatních případech je kladná.
V některých případech neexistuje přesné řešení rov.(8.1.2). Pro velmi malá ε1 nemusí být
splněna nerovnice (8.1.10) nikdy a přesto postup podle rov.(8.1.9) může konvergovat. Proto
se zavádí druhé kriterium zastavení výpočtu2( 1)
2( )1
1p ls
jl
j j
pp
"-
#
! "$ %. 3$ %$ %& '/ (8.1.11)
kde je opět zvolena malá relativní chyba ε2 ladících parametrů. Pokud by již nedocházelo ke
změně ladících parametrů, byla by levá strana rov.(8.1.11) nulová.
Pokud by proces daný rov.(8.1.9) konvergoval, je nutno zastavit výpočet po pevně
stanoveném počtu ko proběhlých iterací.
8.1.1 DYNAMICKÁ CITLIVOST A URČENÍ PRVKŮ MATICE LADĚNÍDynamická citlivost lineárních mechanických soustav je definována jako změna vlastních
čísel nebo vlastních vektorů na jednotkovou změnu konstrukčních tedy ladících parametrů.
Dynamickou citlivost používáme pro volbu prvků matice ladění, ale i k opravě parametrů
matematického modelu při identifikaci matematického modelu na základě experimentálně
zjištěných vlastních hodnot a při parametrické optimalizaci
8.1.1.1 Dynamická citlivost konzervativních soustavPro odvození dynamické citlivosti a tedy i prvků matice ladění, dané rov.(8.1.5) je nutno
odvodit parciální derivace i
jp!,,
a ki
j
vp,,
. Zde značí 2i i! #( a vki je k prvek i vlastního vektoru
k, pj je j. ladící prvek. Jak bylo dříve odvozeno platí pro volnou netlumenou soustavu rovnice
( )i i!. #K M v 0 (8.1.12)
kterou lze přepsat na tvar
i i i!#Kv Mv (8.1.13)
Když vynásobíme tuto rovnici zleva vektorem Tiv a je-li provedena normalizace vektoru přes
matici hmotnosti 1Ti i #v Mv bude předchozí rovnice mít jednoduchý tvar:
Ti i i!#v Kv (8.1.14)
105
Derivací rov.(8.1.13) podle pi dostaneme:
i i ii i i i i
j j j j jp p p p p! ! !, , ,, ,- # - -
, , , , ,v vK Mv K Mv v M
Vynásobením této rovnice zleva vektorem Tiv a využitím uvedené normalizace lze získat:
1 2T Ti ii i i i i
j j j jp p p pvK Mv v v K M! ! !
4 5, ,, , 67 67# . - .67 667, , , ,78 9 (8.1.15)
Transpozicí rov.(8.1.12) dostaneme
( )T Ti iv K M 0!. #
Aplikací této rovnice na rov.(8.1.15) dostaneme
Tii i i
j j jp p p! !
4 5, , , 67 67# . 67 667, , ,78 9K Mv v pro i = 1,2,…,n a j = 1,2,…,s (8.1.16)
Rov.(8.1.16) vyjadřuje citlivost vlastního čísla λ i na změnu ladícího prvku pj. Pro další řešení
vyjádříme k
jp,,
v jako lineární kombinaci vlastních vektorů:
( )
1
njk
ki iij
ap #
, #, /v v (8.1.17)
Dosazením rov.(8.1.17) do rov.(8.1.15) obdržíme po úpravě rovnici, která platí pro
mimodiagonální prvky:
( )
1
( ) 0n
T j Ti k k ki i k l
lj j
ap p! !
#
4 5, , 67 67 . - . #67 667, ,78 9/K Mv v v K M v (8.1.18)
S ohledem na rov.(8.1.14) a normalizované vlastní vektory lze psát:T Ti l il i l i il# ! ## #v Mv v Kv (8.1.19)
kde δil je Kroneckerův součinitel, pro který platí
10
il
il
pro i lpro i l
### ## :
S použitím rov.(8.1.19) lze přepsat rov.( 8.1.18) na tvar:
( ) ( ) 0T ji k k ki i k
j j
ap p! ! !
4 5, , 67 67 . - . #67 667, ,78 9K Mv v
odkud lze vyjádřit
( ) 1j Tki i k k
k i j j
ap p!
! !
4 5, , 67 67# . 67 667. , ,78 9K Mv v (8.1.20)
106
Pokud jsou vlastní čísla λ stejná říkáme jim násobná vlastní čísla a při řešení se postupuje
následovně:
Zderivujeme rovnici pro normalizaci vlastních vektorů podle pj:
0T
T Ti ii i i i
j j jp p p, ,,- - #, , ,
v vMMv v v v M
Každý sčítanec tohoto výrazu je skalár. Prvý sčítanec vznikne transpozicí posledního, takže
lze psát:
2 T Tii i i
j jp p, ,#., ,
v Mv M v v
Dosadíme-li do této rovnice výraz odpovídající rov.(8.1.17), získáme po úpravě
12
Tii i i
j
ap,#.,
Mv v (8.1.21)
Když dosadíme koeficienty dané rov.(8.1.20) a (8.1.21) do rov.(8.1.17) dostaneme vztah pro
citlivost vlastních vektorů:
1ˇ
1 12
nT Tki i k i k k k
ij k i j j jí k
p p p pv K M Mv v v v v v!
! !#:
! "4 5, , , ,67$ %67# . .6$ %7 667, . , , ,78 9$ %& '/ (8.1.22)
8.1.2 LADÍCÍ PROCESVýchozím stavem je navržený mechanický model se zadaným hmotnostním, tuhostním a
geometrickým uspořádáním, z něhož vyplyne matice hmotnosti M a tuhosti K. Dále musí být
známo, které prvky úplného vektoru laděných veličin se budou měnit a na jaké hodnot. Ladící
proces můžeme popsat následujícím algoritmem:
1. Provede se analýza navrženého mechanického modelu, to znamená určí se vlastní čísla2
i i! #( a k nim přiřazené vlastní vektory vi, které se znormují přes matici hmotnosti.
2. Podle požadavku ladících změn určíme vektor laděných veličin 1
s
j jjj
#! "# & ' . Tím bude také
určen vektor naladění l.
3. Provedeme analýzu citlivosti původně navrženého mechanického modelu. Stanovíme tím
číselné výchozí hodnoty matice ladění L. Tato matice je dána plnou sloupcovou maticí
rozměru s a zahrnujeme do ní všechny konstrukční parametry, které se mohou měnit.
107
4. Určí se vektor výběru ladících parametrů ) * 1
si i
j ##j . Tím definujeme vektor ladících
parametrů1) p. Výběr ladících parametrů provádíme na základě analýzy citlivosti. Protože
míru citlivosti určují absolutní hodnoty prvků matice ladění a jednotlivé ladící parametry
odpovídají sloupcům této matice, je mírou citlivosti ladícího parametru velikost součtu
absolutních hodnot sloupce matice ijl! "# & 'L pro i = 1,2,…,k; j = 1,2,…,s. Čím větší
hodnota tohoto součtu 1
k
j iji
c l#
4 567 # 67 67 678 9/ , tím vyšší citlivost.
5. Zvolíme relativní chyby ε1 laděných veličin a ε2 ladících parametrů, maximální počet k0
iterací, případně váhové koeficienty gi laděných veličin. Při použití jednoduché aritmetiky
nemá cenu volit relativní chyby menší než 10-8. Pro případ s ≥ k je výhodné volit ε1 > ε2 a
to asi o dva řády. Číslo k0 není nutno volit větší než 10.
6. Rozhodneme o případném zavedení přípustné oblasti a o možnosti zkracování kroku
;p . Zavedení přípustného kroku je nutné z důvodů fyzikálních vlastností modelu. Např.
ladící parametry nemohou být záporné. Podle toho určíme dolní a horné závoru. Může-li
horní závora růst do nekonečna, volíme ji o několik řádů výš než je počáteční hodnota
ladícího parametru.
7. Provede se vlastní ladění podle rov. (8.1.9).
8. Překontrolujeme výsledky ladícího procesu a způsob jeho sestavení. V případě jeho
divergence zvolíme jiný postup (zmenšení kroku) a ladící proces opakujeme.
9. Provedeme kontrolní výpočet vlastních frekvencí a vlastních vektorů mechanické
soustavy s novými parametry a výsledky srovnáme se stanovenými požadavky.
1 Počet ladících parametrů volíme pokud možno roven počtu požadavků k. V takovém případě je 1+ .#L L ařešení soustavy dané rov.(8.1.6) je přesné.
108
LITERATURA:[1] Brebta, R., Půst, L., Turek, F.:Mechanické kmitání. Technický průvodce 71. Sobotales
Praha 1994
[2] Brousil, J., Slavík., J., Zeman, V.: Dynamika. SNTL, Praha 1989
[3] Dupal, J,: Výpočtové metody mechaniky. Skriptum ZČU Plzeň 1998
[4] Gonda, J.: Dynamika pre inžinierov, SAV Bratislava 1972
[5] Hlaváč, Z.: Dynamická syntéza a optimalizace, Skriptum ZČU Plzeň 1995
[6] Juliš, K., Brepta, R. a kol.: Mechanika II. díl. Technický průvodce 66. SNTL Praha 1987
[7] Koloušek, V.: Stavebné konstrukcie namáhané dynamickými účinkami. SVTL Bratislava
1967
[8] Ondráček, E., Janíček, P.: Výpočtové modely v technické praxi. SNTL Praha 1990
[9] Ralston, A.: Základy numerické matematiky. Academia Praha 1973
[10] Rayleigh, J., W.: Theory of Sound. London 1897
[11] Slavík, J., Stejskal, V., Zeman, V.: Základy dynamiky strojů. ČVUT Praha 1997
[12] Timoshenko, S.: Theory of Plates and Shells. McGraw-Hill, New York 1994
