Poboljšanje-kakvoće

Dr.sc. Miroslav Jakovljevi

P O B O L J A N J E K A K V O E

(Prirunik za rjeavanje problema kakvoe)

Zagreb, 1999.

Miroslav Jakovljevi: "Poboljanje kakvoe" I

K A Z A L O

Strana U V O D................................................................................................................ 1 1. TEMELJNI POJMOVI O POBOLJANJU KAKVOE .............................. 3 1.1. ....PRINCIPI POBOLJANJA KAKVOE ...................................................... 3 1.2. UVJETI ZA POBOLJANJE KAKVOE.................................................... 3 1.2.1. .Odgovornost poslovodstva ........................................................................ 3 1.2.2. Vrijednosti, stavovi, ponaanja .................................................................. 4 1.2.3. Ciljevi poboljanja kakvoe........................................................................ 4 1.2.4. Komunikacije i timski rad ........................................................................... 4 1.2.5. Priznanja za kakvou................................................................................. 5 1.2.6. Izobrazba i uvjebavanje ........................................................................... 5 1.3. TROKOVI KAKVOE.............................................................................. 5 2. UPRAVLJANJE POBOLJANJEM KAKVOE ....................................... 6 2.1. ORGANIZIRANJE POBOLJANJA KAKVOE......................................... 6 2.1.1. Hijerarhijski vrh .......................................................................................... 6 2.1.2. Procesi na organizacijskoj horizontali ........................................................ 7 2.2. PLANIRANJE POBOLJANJA KAKVOE................................................ 7 2.3. MJERENJE POBOLJANJA KAKVOE................................................... 8 2.4. OCJENJIVANJE AKTIVNOSTI NA POBOLJANJU KAKVOE................ 9 3. METODOLOGIJA ZA POBOLJANJE KAKVOE................................ 10 3.1. UKLJUIVANJE CIJELOG PODUZEA ................................................. 10 3.2. INICIRANJE PROJEKATA NA POBOLJANJU KAKVOE .................... 10 3.3. ISTRAIVANJE MOGUIH UZROKA PROBLEMA KAKVOE................11 3.4. UTVRIVANJE UZRONO-POSLJEDINIH ODNOSA ..........................11 3.5. PODUZIMANJE PREVENTIVNIH I KOREKTIVNIH RADNJI ...................11 3.6. POTVRIVANJE POBOLJANJA KAKVOE..........................................11 3.7. ZADRAVANJE OSTVARENE RAZINE KAKVOE ................................ 12 3.8. NASTAVLJANJE POBOLJANJA KAKVOE ......................................... 12 4. OBRADA NE-NUMERIKIH PODATAKA .............................................. 13 4.1. OBRAZAC ZA PRIKUPLJANJE PODATAKA........................................... 13 4.2. ALATI ZA OBRADU NE-NUMERIKIH PODATAKA................................ 13 4.2.1. Dijagram srodnosti (Affinity dijagram) ...................................................... 14 4.2.2. Metoda usporeivanja (Benchmarking) ................................................... 14 4.2.3. Metoda prikupljanja ideja (Brainstorming)................................................ 15

Miroslav Jakovljevi: "Poboljanje kakvoe" II

4.2.4. .Dijagram uzroka i posljedica (Ishikawa dijagram).................................... 16 4.2.5. Dijagram tijeka (Flowchart dijagram) ....................................................... 17 4.2.6. Drvoliki dijagram (Tree dijagram)............................................................. 18 5. TEMELJNI POJMOVI IZ STATISTIKE .................................................... 19 5.1. SREDNJE VRIJEDNOSTI ....................................................................... 21 5.1.1. Aritmetika sredina .................................................................................. 21 5.1.2. Medijan .................................................................................................... 23 5.1.3. Mod ili najea vrijednost....................................................................... 26 5.2. MJERE DISPERZIJE............................................................................... 27 5.2.1. Raspon varijacije ..................................................................................... 28 5.2.2. Momenti razdiobe frekvencije .................................................................. 28 5.2.3. Varijanca, standardna devijacija i koeficijent varijacije............................. 29 5.2.4. Standardizirano obiljeje.......................................................................... 31 5.3. TEORIJSKE RAZDIOBE ......................................................................... 33 5.3.1. Vjerojatnosti............................................................................................. 33 5.3.2. Normalna (Gaussova) razdioba............................................................... 34 6. STATISTIKE TEHNIKE ZA OBRADU NUMERIKIH PODATAKA ...... 37 6.1. OCJENA SPOSOBNOSTI PROIZVODNOG PROCESA......................... 37 6.2. KONTROLNE KARTE ............................................................................. 42 6.2.1. K o n t r o l n a karta X R ........................................................................ 44 6.2.2. Parametri Cp i Cpk za ocjenu procesa ..................................................... 51

6.2.3. K o n t r o l n a karta RX~

........................................................................ 54 6.3. HISTOGRAM........................................................................................... 59 6.4. PARETO DIJAGRAM............................................................................... 61 6.5. DIJAGRAM RASIPANJA ......................................................................... 63 L I T E R A T U R A ............................................................................................ 64

U V O D

Miroslav Jakovljevi: "Poboljanje kakvoe" 1

U V O D

Od tri temeljne zadae svakog poduzea: kakvoa, cijena i rok isporuke proizvoda ili usluge, kakvoa ima svakako primarno znaenje, jer ista neposredno utjee i na preostale dvije zadae. Inae, kakvoa je sloen pojam, pod kojim se podrazumijeva kakvoa proizvoda i usluga, kakvoa procesa, kakvoa upravljanja, kakvoa ivljenja, ...

Vie je definicija kakvoe, koje nisu meusobno protuznane, ve su vie

izraz kuta promatranja:

Kakvoa proizvoda ili usluga je sukladnost sa zahtjevima kupca, sa zahtjevima prihvaene norme, zakonske regulative, principa zatite okolia, ...

Kakvoa proizvoda i usluge je njihova podobnost u uporabi.(J.M.Juran) Kakvoa je stupanj do kojega osobine proizvoda zadovoljavaju oekivanja

kupaca ili korisnika, tj. zadovoljavaju njihove efektivne potrebe i subjektivne elje. (J. van Ettinger, J.Sittig)

Aktivnosti na poboljanju kakvoe dovode do uinaka, koji se manifestiraju

u: veem zadovoljstvu kupaca, proirenju udjela na tritu, snienju cijene kotanja proizvoda i usluge, povienju ugleda tvrtke, poboljanju organizacije rada i dokumentacije, odnosno u razvoju tvrtke.

Mnoga poduzea, danas kod nas, poduzimaju radnje vezane za podruje osiguranja kakvoe proizvoda i usluga. To se najvie radi kroz koritenje normi niza ISO 9000, to je u skladu s opim kretanjima u svijetu. Primjena zahtjeva i smjernica iz spomenutih normi prua velike mogunosti za poetno sreivanje organizacije, sreivanje dokumentacije i discipline rada u procesima. Korist od toga moe biti tolika, da pitanje dobivanja certifikata moe biti potisnuto u drugi plan.

Izgraditi Sustav kakvoe znai transformirati postojee stanje kontroliranja kakvoe (QC - Quality Control) u sustav osiguranja kakvoe (QA - Quality Assurance system), koji dovodi do veeg zadovoljstva kupca, niih proizvodnih trokova i veeg profita poduzea.

Sustav osiguranja kakvoe proizvoda i usluga predstavlja suvremeni pristup

postizanju optimalne kakvoe, a pretpostavlja preventivno djelovanje, ukljuivanjem svih imbenika koji utjeu na kakvou. To znai da se prihvaa injenica, da je kakvoa proces, koji se iri kroz sve funkcije i sve zaposlene u poduzeu. Na taj je nain omogueno, da se u sustav normi ISO 9000 ugrauju sve radnje, koje vode prema stalnom poboljanju kakvoe (CQI - Continuous Quality Improvement), ime se rjeavaju nastali i sprjeavaju potencijalni problemi.

U V O D


Stalno poboljavanje kakvoe, koje se nastavlja i nakon dobivanja certifikata, vodi do tzv. potpunog upravljanja kakvoom (TQM - Total Quality Management).

Metode za rjeavanje problema (Problem Solving Methods), koje su

sredstvo u radu na poboljanju kakvoe, razvijale su se kroz dugi niz godina, pa se sada raspolae saznanjima o njihovoj uinkovitosti. Danas je openito prihvaeno, da potpuna primjena metoda Statistike kontrole procesa (SPC-Statistical Process Control) vodi do poboljanja kakvoe.

Godine 1985. tvrtka British Alcan formalno je zapoela s uvoenjem metoda

SPC u svojoj tvornici Lynemouth (Izvor:Light Metals 1989). Program je poeo izobrazbom generalnog i svih ostalih menedera; zatim se proirio na sve upravitelje pogona, ostale inenjere i tehniare iz svih dijelova tvornice. Forma izobrazbe je bila dvodnevni teaj s temama iz teorije normalne (Gaussove) razdiobe i tehnike rjeavanja problema. Krajem prosinca 1985. god. sve su spomenute razine zavrile izobrazbu. Tada je Tvornica anoda odreena za poetak primjene SPC metoda. Odabrani su parametri: visina sirovih anoda i temperatura preanja anoda, a formiran je i tim sa zadatkom smanjenja karta anodnih sklopova. Svi su djelatni izvritelji (operatori) iz Sirovih anoda tada proli izobrazbu o SPC metodama openito i posebno detaljno o metodi kontrole visine anode: Medijan-raspon kontrolna karta s donjim i gornjim kontrolnim granicama. Teaj je bio podijeljen u etiri teme po 4 sata, pa je trajao ukupno 16 sati. Primjenom steenog znanja smanjena je srednja vrijednost rasipanja visine anode od 18 na 13 mm. Ocijenili su, da je time izvrena uteda od 40.000 godinje. Slinom obukom (tijekom dodatna 2 sata) i primjenom nauenog na kontrolu temperature preanja anoda, uspjelo se sniziti srednju vrijednost temperature od 152 na 148 C, a raspon od 12 na 9 C. To je donijelo dodatnu utedu od 20.000 /god. I konano, primjenom Pareto dijagrama i brainstorming sastanaka, formirani tim je smanjio kart anodnih sklopova s 1,9 na 0,7 % i time utedio jo 60.000 /god. Dakle, na samom poetku primjene SPC-metoda, uteeno je 120.000 godinje.

* * * Prva etiri poglavlja ovog prirunika uglavnom preuzimaju sadraj iz

norme ISO 9004-4/1993, gdje su objanjeni osnovni pojmovi i principi poboljanja kakvoe, dane upute za upravljanje, te izloena metodologija za realizaciju poboljanja kakvoe. Nadalje, predloene su tehnike i alati, koji podravaju napore za rjeavanje problema kakvoe.

Poglavlje 5. obrauje temeljne pojmove iz statistike, to e posluiti kao

podsjetnik onima koji su tu materiju bilo gdje ili bilo kada prouavali, ali i kao obvezatno gradivo za one, koji se s time prvi put susreu. Oni pak, koji su sa statistikom esto u kontaktu, mogu to poglavlje preskoiti.

Od posebnog je znaaja poglavlje 6., koje tretira statistike tehnike za

obradu numerikih podataka. Tu se na konkretnim primjerima objanjava mogunost ocjene sposobnosti procesa, zatim primjena kontrolnih karti, te upotreba Pareto i drugih dijagrama.

Na kraju je dan popis literature, koja je koritena za izradu ovog prirunika.

1. TEMELJNI POJMOVI O POBOLJANJU KAKVOE


1. T E M E L J N I P O J M O V I O P O B O L J A N J U

K A K V O E 1.1. PRINCIPI POBOLJANJA KAKVOE Principi na kojima se zasnivaju aktivnosti na poboljanju kakvoe su: Kakvoa proizvoda, usluga i drugih IZLAZA (OUTPUTS) je odreena

zadovoljstvom kupca (internog ili eksternog) i proizlazi iz uinkovitosti i stupnja iskoritenja procesa, koji je stvaraju i podravaju.

Poboljanje kakvoe se postie poboljanjem procesa. Svaka aktivnost ili

faza rada u nekom poduzeu sadri jedan ili vie procesa. Poboljanje kakvoe je kontinuirana aktivnost, koja ima za cilj veu

uinkovitost i vee iskoritenje procesa. Napori za poboljanje kakvoe se vie usmjeravaju prema stalnom traenju

prigoda za poboljanje, nego da se ekaju prilike koje e otkriti problem. Postupak korigiranja IZLAZA reducira ili eliminira problem koji je nastao.

Meutim, preventivne i korektivne radnje zajedno, eliminiraju ili reduciraju uzroke problema, te time eliminiraju ili reduciraju neke budue pojave problema. Tako preventivne i korektivne radnje poboljavaju procese u poduzeu i kljune su za poboljanje kakvoe.

1.2. UVJETI ZA POBOLJANJE KAKVOE

1.2.1. Odgovornost poslovodstva

Odgovornost i vodstvo na stvaranju uvjeta za kontinuirano poboljanje kakvoe pripada najvioj razini poslovodstva. Menederi svojim vlastitim djelovanjem i stalnim osiguranjima potrebnih resursa (osobe, ureaji, tehnologija, metodologija), prednjae u stvaranju uvjeta za poboljanje kakvoe. Oni vode poboljanje kakvoe isticanjem svrhe i ciljeva, stalnim poboljanjem vlastitih radnih postupaka, podravanjem uvjeta za otvorenu komunikaciju, timski rad i potivanje individualnosti; takoer i omoguavajui i ohrabrujui svakoga u poduzeu da unaprijedi svoje radne postupke.



1.2.2. Vrijednosti, stavovi i ponaanja

Uvjeti za poboljanje kakvoe esto trae novi pristup vrijednostima,

stavovima i ponaanjima, koji tee zadovoljenju kupevih potreba i postavljanju ak i izazovnijih ciljeva. Vrijednosti, stavovi i ponaanja, koji su bitni za kontinuirano poboljanje kakvoe, ukljuuju:

usredotoenje panje na zadovoljenje potreba kako eksternog tako i internog

kupca; ukljuivanje u postupke poboljanja kakvoe cijelog snabdjevakog lanca, od

dobavljaa do kupca; demonstriranje obveza, prednjaenja i ukljuenosti poslovodstva na

poboljanju kakvoe; naglaavanje poboljanja kakvoe kao dio svaijeg posla, bilo kod timskog ili

individualnog rada; naslovljavanje problema kao procese poboljanja; kontinuirano poboljanje svih procesa; uspostavljanje otvorenog pristupa podacima i informacijama; isticanje timskog rada i potivanje individualnog; te donoenje odluka temeljem analize podataka.

1.2.3. Ciljevi poboljanja kakvoe

Ciljevi poboljanja kakvoe se utvruju za svaki dio tvrtke. Oni se vrsto povezuju sa svim poslovnim ciljevima i osiguravaju naglasak na poveanje kupevog zadovoljstva, te na uinkovitost i stupanj iskoritenja postupaka u radu. Ciljevi poboljanja kakvoe se definiraju tako, da se poboljanja mogu mjeriti. Ciljevi treba da su razumljivi, izazovni i suvisli. Svi koji rade na tim ciljevima, moraju biti suglasni sa strategijom ostvarivanja istih. Ciljeve poboljanja kakvoe treba redovito ocjenjivati i u njih ugraivati promjene kupevih oekivanja.

1.2.4. Komunikacije i timski rad

Otvorena komunikacija i timski rad uklanjaju organizacijske i osobne zapreke, koje se isprepliu s uinkovitou, iskoritenjem i kontinuiranim poboljanjem procesa rada. Otvorena komunikacija i timski rad treba da se proteu kroz cijeli dobavljaki lanac, ukljuivi dobavljae i kupce. Takav pristup trai povjerenje, koje je bitno, da bi svatko bio ukljuen u otkrivanje i praenje mogunosti za poboljanje kakvoe.



1.2.5. Priznanja za kakvou

Dodjela priznanja ohrabruje i potie radnje, koje imaju odraza na vrijednosti, stavove i ponaanja u vezi s kakvoom, a koji su navedeni u toki 1.2.2. ovog poglavlja.

Dodjela priznanja istie razvoj i rast pojedinaca i uvaava imbenike, koji

utjeu na karakteristike individualnog rada, kao to su uvjeti rada i organiziranost, te okoli. Nadalje, priznanja treba da naglase i vrijednosti timskog rada, jer grupna priznanja ohrabruju i potiu ostvarenje estih i neformalnih povratnih vrijednosti. Dodjela vrijednih nagrada treba da bude dio sustava izraavanja priznanja, koja e onemoguiti postojanje unutarnje destruktivne konkurencije.

1.2.6. Izobrazba i uvjebavanje

Stalna izobrazba i uvjebavanje su vani i potrebni svakome. Programi izobrazbe i uvjebavanja su znaajni za odravanje i razvoj uvjeta za poboljanje kakvoe. Svaki lan poduzea, ukljuujui i najvie razine poslovodstva, treba biti obrazovan i uvjeban za podruje osnova i prakse ostvarivanja kakvoe, te za primjenu odgovarajuih metoda, alata i tehnika za poboljanje kakvoe.

Svi programi za izobrazbu i uvjebavanje moraju biti usklaeni s

osnovnim principima i praksom kakvoe. Uinkovitost izobrazbe i uvjebavanja treba biti redovito provjeravana. Uvjebavanje koje nije povezano s primjenom je rijetko uinkovito.

1.3. TROKOVI KAKVOE

Prigode da se smanje trokovi kakvoe omoguavaju napore za poboljanje kakvoe. Treba nai vezu izmeu trokova kakvoe i procesa, koji su do tih trokova doveli. Pritom je vano barem procijeniti one trokove kakvoe koje je teko izmjeriti, kao to su gubitak kupeve dobre volje, te potpuni pad koritenja ljudskog potencijala. Poduzea mogu smanjiti trokove kakvoe koritenjem svake prigode za poboljanje kakvoe.

2. UPRAVLJANJE POBOLJANJEM KAKVOE


2. U P R A V L J A N J E P O B O L J A N J E M K A K V O E

Premda e primjena bilo koje od tehnika za poboljanje kakvoe dati izvjestan porast poboljanja, njihov puni potencijal e se moi iskoristiti samo ako se one primjenjuju i koordiniraju unutar strukturiranog sustava. To zahtjeva organiziranje, planiranje i mjerenje poboljanja kakvoe, kao i ocjenjivanje svih aktivnosti na poboljanju kakvoe.

2.1. ORGANIZIRANJE POBOLJANJA KAKVOE

Uinkoviti nain organiziranja poboljanja kakvoe uzima u obzir mogunosti poboljanja kakvoe, koje proistjeu kako iz vertikalne organizacijske hijerarhije, tako i iz horizontalnog prostiranja procesa, koji se odvijaju unutar organizacijskih granica. Pri organiziranju poboljanja kakvoe, moraju biti obuhvaeni naini i sredstva za:

ostvarenje politike, strategije i viih ciljeva poboljanja kakvoe; ostvarenje objedinjenog voenja, podrke i iroke koordinacije aktivnosti, koje

se provode u poduzeu za poboljanje kakvoe; utvrivanje potreba za poboljanje kakvoe kod svih funkcija, te osiguranje

resursa za njihovo praenje; praenje ciljeva poboljanja kakvoe pomou aktivnosti tima s direktnim

odgovornostima i ovlatenjima; poticanje svakog lana poduzea, da slijedi aktivnosti za poboljanje kakvoe,

koje se odnose na njegov rad, kao i za koordinaciju tih aktivnosti; te za ocjenjivanje i provjeravanje ostvarivanja napretka u aktivnosti na poboljanju

kakvoe.

2.1.1. Hijerarhijski vrh

Unutar organizacijskog vrha, odgovornosti za poboljanje kakvoe ukljuuju:

aktivnosti poslovodstva, kao to su definiranje zadaa poduzea, strateko

planiranje, pojanjavanje uloga i odgovornosti, stjecanje i raspodjela resursa, osiguranje izobrazbe i uvjebavanja, te davanje priznanja;



utvrivanje i planiranje stalnog poboljavanja rada proizvodnih procesa u poduzeu;

utvrivanje i planiranje stalnog poboljavanja rada administrativnih funkcija u

poduzeu; mjerenje smanjenja trokova kakvoe i traganje za tim smanjenjima; te razvijanje i odravanje uvjeta, koji ovlauju i ine odgovornima sve

zaposlenike u poduzeu za kontinuirano poboljanje kakvoe.

2.1.2. Procesi na organizacijskoj horizontali

Unutar svih procesa, koji se odvijaju u cijelom poduzeu, odgovornosti za poboljanje kakvoe ukljuuju:

definiranje i usuglaavanje o svrsi svakog procesa i njegovoj povezanosti sa

zadaama poduzea; utvrivanje i odravanje veza izmeu pogona, slubi i sektora; utvrivanje internih i eksternih kupaca proizvoda iz svakog procesa, te

utvrivanje njihovih potreba i oekivanja; prevoenje kupevih potreba i oekivanja u specifine kupeve zahtjeve; utvrivanje dobavljaa za proces i obavjetavanje istih o kupevim potrebama i

oekivanjima; te traenje mogunosti za poboljanje procesa, osiguranje resursa za

poboljanja, te nadziranje primjene ovih poboljanja.

2.2. PLANIRANJE POBOLJANJA KAKVOE

Ciljevi i planovi za poboljanje kakvoe su dio ukupnih poslovnih planova poduzea.

Poslovodstvo poduzea treba donijet ciljeve poboljanja kakvoe u najirem

smislu, koji e ukljuiti i reduciranje trokova kakvoe. Planovi trebaju biti izraeni u okviru poslovnog planskog ciklusa, kako bi se osiguralo strateko voenje i upravljanje za izvrenje postavljenih ciljeva poboljanja kakvoe i ostvarenje politike kakvoe. Ovi planovi treba da obrauju najvanije trokove kakvoe i da obuhvate sve funkcije i sve razine u poduzeu.



Izrada planova poboljanja kakvoe treba da ukljui svakog u poduzeu, zajedno s njihovim dobavljaima i kupcima. Ukljuivanje svakoga uvelike poveava izglede za poboljanja.

Planovi poboljanja kakvoe se esto ostvaruju kroz niz specifinih

aktivnosti i projekata za poboljanje kakvoe. Poslovodstvo mora brinuti za nadzor i kontrolu izvoenja takvih aktivnosti, kako bi se osiguralo njihovo povezivanje u ope ciljeve i poslovne planove poduzea.

Planovi za poboljanje kakvoe se preteno usredotouju na novoutvrene mogunosti za poboljanja i na podruja na kojima se ostvarivao nedostatan napredak. Podaci za proces planiranja dolaze od svih razina poduzea, od ocjenjivanja dobivenih rezultata, od kupaca i od dobavljaa.

2.3. MJERENJE POBOLJANJA KAKVOE

Poduzee treba razviti sustav mjerenja koji pristaje prirodi njegovih radnih operacija. Sustav objektivnih mjerenja treba biti uspostavljen za identificiranje i dijagnosticiranje mogunosti poboljanja i za mjerenja rezultata aktivnosti na poboljanju kakvoe. Dobro uspostavljen sustav ukljuuje pojedinana mjerenja, mjerenja na razini cijelog pogona/slube/sektora, mjerenja cijele funkcije, te mjerenja za ukupne razine poduzea.

Mjerenja treba da se izvode u odnosu na trokove kakvoe povezane sa

zadovoljstvom kupca, uinkovitostima procesa i s trokovima poduzea vezanim uz ire drutvene uinke:

a) Mjerenja trokova kakvoe, koji su u vezi s kupevim zadovoljstvom, mogu

se temeljiti na informacijama iz pregleda aktualnih i buduih kupaca, pregleda konkurentskih proizvoda i usluga, iz zapisa o svojstvima proizvoda ili usluga, promjena prihoda, rutinskih inspekcija vlastitih servisnih slubi, informacija iz slube prodaje, te na informacijama o kupevim pritubama i reklamacijama.

b) Mjerenja trokova kakvoe povezanim s uinkovitosti procesa mogu se

temeljiti na koritenju rada, kapitala i materijala; na proizvodnji, sortiranju, korigiranju ili odbacivanju nesukladnih proizvoda; na dotjerivanju procesa, zastojima u radu, trajanju proizvodnog ciklusa, svojstvima kod isporuke, nepotrebno opirnoj tehnikoj dokumentaciji, veliini zaliha, te na statistikim mjerenjima kapaciteta i stabilnosti procesa.

c) Mjerenja trokova kakvoe vezanih za ire drutvene uinke mogu se

temeljiti na nedovoljnom koritenju ljudskog potencijala (iz pregleda o zadovoljstvu zaposlenika), tetama uzrokovanim oneienjem okolia i odlaganjem otpada, te iscrpljenjem ionako skromnih resursa.



Pojava varijabilnosti je uobiajena kod svih mjerenja. Trendove koji se pritom iitavaju, treba statistiki obraditi.

Mjerenje i praenje trendova koji odvlae od temeljnih vrijednosti ranijih

performansi, je vano; posebice, kako bi se uspostavili zadani ciljevi i dobile njihove numerike vrijednosti. Mjerenje naglaava otkrivanje problema temeljem injenica.

O mjerenjima treba sainjavati izvjetaje, koji se dostavljaju i ocjenjuju kao

sastavni dio obraunavanja i kontrole rada u poduzeu od strane poslovodstva. Pojedinci i poduzea ukljueni u proces poboljanja kakvoe, trebaju biti informirani o njihovom napredovanju u rokovima, koji su znaajni i mjerljivi iz njihove perspektive.

2.4. OCJENJIVANJE AKTIVNOSTI NA POBOLJANJU KAKVOE

Poslovodstvo treba da redovno obavlja ocjenjivanja aktivnosti na poboljanju kakvoe, kako bi se osiguralo:

da organizacija poboljanja kakvoe funkcionira uinkovito; da su planovi za poboljanje kakvoe adekvatni i da se provode; da su mjerenja poboljanja kakvoe podesna i adekvatna, te da pokazuju

zadovoljavajui napredak; i da se rezultati ocjenjivanja ugrauju u sljedei planski ciklus.

Primjerene akcije treba poduzimati im se utvrde bilo kakva odstupanja od prednjih stavova.

3. METODOLOGIJA ZA POBOLJANJE KAKVOE


3. M E T O D O L O G I J A Z A P O B O L J A N J E K A K V O E

Koristi od poboljanja kakvoe stalno e se poveavati kada poduzee projekte i aktivnosti poboljanja kakvoe provodi disciplinirano, kroz niz usklaenih koraka, temeljenih na prikupljanju i analizi podataka.

3.1. UKLJUIVANJE CIJELOG PODUZEA

Kada je poduzee dobro motivirano i dobro upravljano za poboljanje kakvoe, u njemu e se stalno poduzimati brojne aktivnosti i projekti za poboljanje kakvoe, razliite sloenosti, koje e primjenjivati svi zaposleni i sve razine u poduzeu. Projekti i aktivnosti za poboljanje kakvoe moraju biti normalni dio svaijeg rada, bilo da je rije o raznim funkcijama ili o timu poslovodstva, ili pak da se radi o poslovima, koji e se izabrati i izvravati od pojedinaca ili timova.

Aktivnosti ili projekti za poboljanje kakvoe obino poinju s

prepoznavanjem prilika za poboljanje. To se prepoznavanje moe temeljiti na mjerenjima trokova kakvoe i/ili na mjerodavnim usporedbama s poduzeima, vodeim na odreenom podruju. Jednom definiran, projekt ili aktivnost na poboljanju kakvoe napreduje kroz niz koraka, a zavrava primjenom preventivnih ili korektivnih radnji, poduzetih u procesu sa ciljem postizanja i odranja nove, poboljane razine njegovih karakteristika. Nakon zavretka jednog projekta ili aktivnosti na poboljanju kakvoe, odabiru se i izvravaju novi projekti ili aktivnosti na poboljanju kakvoe.

3.2. INICIRANJE PROJEKATA NA POBOLJANJU KAKVOE

Svi zaposlenici u poduzeu su ukljueni na iniciranje projekata ili aktivnosti za poboljanje kakvoe. Potreba, svrha i znaaj projekata i aktivnosti za poboljanje kakvoe trebaju biti jasno definirani i pokazani. Definiranje mora ukljuiti odgovarajue prethodno iskustvo i povijest, povezano s trokovima kakvoe i aktualnim stanjem, te ako je mogue, sve to iskazati u specifinim numerikim izrazima. Pojedinac ili tim moraju biti odreeni za projekt ili aktivnost. Potrebno je utvrditi terminski plan i osigurati odgovarajue resurse. Treba osigurati periodino ocjenjivanje svrhe, terminskog plana, resursa i napretka.



3.3. ISTRAIVANJE MOGUIH UZROKA PROBLEMA KAKVOE

Svrha istraivanja moguih uzroka problema kakvoe je poveanje razumijevanja prirode procesa, koji e se poboljati prikupljanjem, provjerom i analizom podataka. Prikupljanje podataka mora se uvijek izvoditi u skladu s briljivo sainjenim planom. Vano je da se istraivanje moguih uzroka provodi s najveom objektivnou, bez prethodnih uvjerenja o uzrocima, ili o preventivnim ili korektivnim radnjama koje bi bile potrebne. Zakljuci i odluke se donose na temelju injenica.

3.4. UTVRIVANJE UZRONO-POSLJEDINIH ODNOSA

Podaci se analiziraju da bi se ostvario uvid u prirodu procesa kojeg treba poboljati, te da bi se formulirao mogui uzrono-posljedini odnos. To je bitno kako bi se odvojila sluajnost od uzrono-posljedinog odnosa. Odnos koji se pojavi s visokim stupnjem usklaenosti s podacima, treba da bude testiran i potvren na temelju novih podataka, koji e se prikupiti prema briljivo nainjenom planu.

3.5. PODUZIMANJE PREVENTIVNIH ILI KOREKTIVNIH RADNJI Nakon to je utvren uzrono-posljedini odnos, treba ponuditi i ocijeniti

razliite prijedloge za preventivne ili korektivne radnje usmjerene na uzroke. Prednosti i mane svakog prijedloga treba da budu ispitane od zaposlenika u poduzeu, koji e biti ukljueni u njihovu provedbu. Uspjenost provedbe zavisi od kooperativnosti svih ukljuenih.

Poboljanja kakvoe se postiu poduzimanjem preventivnih ili korektivnih

radnji u procesu, kako bi se dolo do prihvatljivijih IZLAZA i/ili reducirala uestalost pojave nezadovoljavajuih IZLAZA. Ostajui samo na korigiranju IZLAZA iz procesa, kao to su popravljanje, prerada ili sortiranje, trokovi kakvoe se obnavljaju.

3.6. POTVRIVANJE POBOLJANJA KAKVOE

Nakon to se provedu preventivne i korektivne radnje, treba prikupljati i analizirati odgovarajue podatke, kako bi se dokazalo da je postignuto poboljanje kakvoe. Podaci za potvrdu moraju biti prikupljeni po istim principima i postupcima, kako je to uinjeno s podacima, pomou kojih je istraivan i utvren uzrono-posljedini odnos. Potrebno je takoer izvriti istraivanja i sporednih efekata (nuspojava), eljenih ili nepoeljnih, koji se eventualno pojave.



Ako se, nakon poduzetih preventivnih i korektivnih radnji, neeljeni rezultati nastave da pojavljuju s otprilike istom uestalou kao i ranije, bit e neophodno redefinirati projekt ili aktivnosti za poboljanje kakvoe, zapoinjui ponovno sve iz poetka.

3.7. ZADRAVANJE OSTVARENE RAZINE KAKVOE

Nakon to je poboljanje kakvoe potvreno, potrebno je isto i zadrati. To obino pretpostavlja promjene specifikacija i/ili operativnih ili administrativnih procedura i prakse; pretpostavlja potrebnu izobrazbu i uvjebavanje, te osiguranje da e navedene promjene postati sastavni dio sadraja rada svakoga, na koga se iste odnose. Zatim je potrebno, da se poboljani proces kontrolira na vioj razini performansi.

3.8. NASTAVLJANJE POBOLJANJA KAKVOE

Ako je ostvareno eljeno poboljanje kakvoe, novi projekti ili aktivnosti za poboljanje kakvoe trebaju se izabrati i primijeniti. Budui da je dodatno poboljanje kakvoe uvijek mogue, ve izvreni projekt ili aktivnost za poboljanje kakvoe moe se ponoviti, ali na temelju novih ciljeva. Uputno je da se postave prioriteti, te da se odrede granina vremena za svaki projekt ili aktivnost za poboljanje kakvoe. Granina vremena ne bi smjela koiti niti ograniavati stvarne aktivnosti na poboljanju kakvoe.

Za kontinuirano poboljavanje kakvoe koristi se pristup rjeavanja

problema postupkom E.DEMINGA s tzv. PDCA-ciklusom, koji podrazumijeva Plan-Do-Check-Act, odnosno

Planiranje (definiranje problema,

upoznavanje problema, analiza uzroka)

Rad (provesti preventivne radnje,

provesti korektivne radnje) Provjera (provjera uinkovitosti preventivnih i korektivnih radnji Djelovanje (dokumentirati izvrene promjene,

planirati daljnje poboljanje)

4. OBRADA NE-NUMERIKIH PODATAKA


4. O B R A D A N E - N U M E R I K I H P O D A T A K A

Odluke temeljene na analizama stanja i podataka, imaju glavnu ulogu u projektima i aktivnostima za poboljanje kakvoe. Uspjenost tih projekata i aktivnosti se poveava primjenom alata i tehnika, razvijenih za te namjene.

4.1. OBRAZAC ZA PRIKUPLJANJE PODATAKA

Obrazac za prikupljanje podataka je prvi alat, koji susreemo kod svih tehnika, jer je neophodan za prikupljanje bilo numerikih bilo nenumerikih podataka, sa ciljem sistematiziranja istih kako bi se dobila jasna slika injenica.

Obrazac za prikupljanje podataka je tabela (predloak) u koju se upisuju podaci na usklaeni nain, koji olakava njihovu analizu. Postupak za izradu obrasca je sljedei:

a) Utvrditi specifinu namjenu prikupljanja podataka, tj. postaviti pitanja koja se nameu.

b) Identificirati traene podatke, da bi se ostvarila svrha, odnosno dobili

odgovori na postavljena pitanja.

c) Odrediti kako e se podaci analizirati, s kojom statistikom tehnikom, te tko e to izvesti.

d) Konstruirati obrazac za upis podataka. U njemu osigurati prostor i za upis

informacija o tome

tko je prikupio podatke, te gdje, kada i kako su podaci prikupljeni.

e) Obrazac prethodno testirati prikupljanjem i upisom nekih podataka.

f) Ocijeniti i eventualno revidirati obrazac.

4.2. ALATI ZA OBRADU NE-NUMERIKIH PODATAKA

Neke odluke za poboljanje kakvoe mogu biti temeljene na ne-numerikim podacima. Takvi podaci igraju vanu ulogu u marketingu, istraivanjima i razvoju, te kod donoenja poslovodstvenih odluka. Zato treba koristiti odgovarajue alate, da bi se ti ne-numeriki podaci transformirali u korisne informacije potrebne za donoenje odluka.



4.2.1. Dijagram srodnosti (Affinity diagram)

Dijagram srodnosti (Affinity diagram) slui, da bi se izvelo grupiranje velikog broja ideja, miljenja ili drugog prema posebnim naslovima, temama ili sl. temeljem prirodnog odnosa, koji postoji meu elementima za analizu. Ovaj je dijagram namijenjen, da stimulira kreativnost i potpunu ukljuenost kod problema. On najbolje funkcionira kad se izvodi u grupnom radu, uz najvie osam lanova, koji su inae navikli da rade zajedno. Dijagram srodnosti se esto koristi za sreivanje ideja nastalih primjenom BRAINSTORMING alata (o njemu kasnije).

Postupak za izradu dijagrama srodnosti je sljedei: a) Navesti iroko-obuhvatni naslov problema, koji e se prostudirati, jer bi

uskoznani naslov mogao prejudicirati odgovor. b) Zapisati to je mogue vie individualnih ideja, miljenja ili drugog o

navedenom naslovu; i to samo jedno po svakoj kartici.

c) Izmijeati kartice i tako izmijeane rasprostrijeti ih po irokom stolu.

d) Grupirati kartice na sljedei nain:

izabrati kartice, koje se ine da spadaju u neke grupe; ograniiti broj kartica po grupi na deset, ne formirajui grupe s po jednom

karticom; izraditi na posebnim karticama zaglavlja, koja po svom smislu obuhvaaju

znaenje svake grupe; staviti kartice sa zaglavljima na vrh svake grupe.

e) Prenijeti informacije s kartica na papir, organizirajui grupiranje.

4.2.2. Metoda usporeivanja (Benchmarking)

Metoda usporeivanja (Benchmarking) se upotrebljava, da bi se usporedio neki proces s onima koji su u svijetu poznati kao vodei, kako bi se time identificirale mogunosti za poboljanje kakvoe. Usporeuju se zapravo procesi i karakteristike proizvoda, te usluge. Usporeivanje omoguava identifikaciju ciljeva i utvrivanje prioriteta za pripremu planova, koji e dovesti do konkurentskih prednosti na tritu. Postupak za primjenu ove metode je sljedei:

a) Odrediti stavke koje e se usporeivati:

stavke trebaju biti kljune karakteristike procesa i njihovih IZLAZA; IZLAZI procesa koji se usporeuju moraju biti u izravnom odnosu s

kupevim potrebama.

b) Odrediti u odnosu na koga e se usporeivanje vriti:



tipino je odrediti izravno konkurentska poduzea i/ili poduzea koja ne

predstavljaju izravnu konkurenciju, ali su priznata kao vodea po stavkama, koje su predmet usporeivanja.

c) Prikupljanje podataka:

podaci o karakteristikama procesa i kupevim potrebama mogu se dobiti

izravnim kontaktom, putem raznih izvjea, intervjua, osobnih i poslovnih kontakata, te tehnikih asopisa.

d) Sreivanje i analiza podataka:

analiza se usmjerava prema utvrivanju najboljih praktinih ciljeva za

stavku, koja je predmet usporeivanja.

e) Izvoenje usporeivanja:

identificirati mogunosti za poboljanje kakvoe na temelju kupevih potreba i performansi, koje se ostvaruju kod konkurentskih i nekonkurentskih poduzea.

4.2.3. Metoda prikupljanja ideja (Brainstorming)

Metoda prikupljanja ideja (Brainstorming) se upotrebljava za identificiranje moguih rjeenja problema i potencijalnih prilika za poboljanje kakvoe. To je tehnika kojom se izvlae kreativna miljenja okupljenog tima, da bi se generirala (sainila) i pojasnila lista ideja, problema ili pojava. Procedura za izvoenje ove metode ukljuuje dvije faze:

a) Faza generiranja

Voditelj tima (5-7 lanova) objanjava upute i ciljeve sastanka za

prikupljanja ideja, a zatim lanovi tima generiraju niz ideja, kojih treba da bude to vie.

b) Faza razjanjavanja

Isti tim ocjenjuje generirane ideje na nain da se osigura da svaki lan tima razumije svaku ideju. Ovo se ocjenjivanje ideja obavlja 2-3 dana nakon zavrenog sastanka za generiranje ideja.

Smjernice za izvoenje metode generiranja i ocjenjivanja ideja

(Brainstorming) ukljuuju sljedee postupke:

izbor voditelja; jasno se izlae svrha sastanka; svaki lan tima dobiva u prvom krugu priliku da iznese jednu ideju; u ovoj fazi, ideje se ne kritiziraju, niti se o njima raspravlja;



ideje se zapisuju na mjesta kako bi ih mogao vidjeti svaki lan tima; ovaj se proces nastavlja drugim, treim, ... krugom, - sve dok ne presahnu

ideje, kojih treba da bude to vie; Sve generirane ideje se nakon 2-3 dana ocjenjuju i razjanjavaju.

4.2.4. Dijagram uzroka i posljedica (Ishikawa diagram)

Dijagram uzroka i posljedica, kojega jo zovu i Ishikawa- dijagram, Riblja kost-dijagram i 4M1E-metoda, se upotrebljava, da bi se: analizirao odnos izmeu uzroka i posljedica i da bi se olakalo istraivanje korijena uzroka.

Dijagram uzroka i posljedica je alat, koji se upotrebljava za promiljanje i izraavanje odnosa izmeu poznate posljedice (tj. varijacije u karakteristikama kakvoe) i njenih moguih uzroka. Mnogi potencijalni uzroci se grupiraju u kategorije razliitih razina tako da grafiki prikaz izgleda kao riblji skelet. Otuda i naziv Riblja kost-dijagram.

Na svaku posljedicu utjeu 4-5 glavnih uzroka, kao i vei broj manjih. U

veini sluajeva glavni uzroci su: stroj (Machine), ovjek (Man), materijal (Material), metode (Methods) i okolina (Environment). Na temelju prvih slova navedenih engleskih rijei, proizlazi i ranije spomenuta kratica 4M1E.

Za neke sluajeve glavne grupe uzroka mogu biti i: postupci, politike,

pogoni, proizvod, podaci, ...

Izrada ovog dijagrama pretpostavlja sljedeu proceduru:

a) Definirati posljedicu jasno i koncizno. b) Definirati mogue glavne uzroke.

c) Zapoeti konstrukciju dijagrama definiranjem posljedice i moguih glavnih

uzroka, te unoenjem istih u dijagram, kao glavnih grana, koje hrane deblo do POSLJEDICE (Sl.4.1.).

d) Razviti dijagram promiljajui i unosei u njega sve sljedee razine moguih

uzroka, kao ogranke definiranih glavnih uzroka (grana). Dobro razvijen dijagram nema manje od dvije razine, a najee ima tri ili vie razina. Razvijenost dijagrama pokazuje i stupanj poznavanja teme od strane tima koji ga razvija.

e) Odabrati i identificirati mali broj (3-5) uzroka najvie razine, za koje se ini

da imaju najvei utjecaj na posljedicu i da trae daljnju akciju, kao to su prikupljanje podataka, posebne kontrole itd.

Ishikawa dijagram se izrauje timskim radom, ali ga moe izraditi i

pojedinac, koji dobro poznaje proces i problem koji se obrauje.



glavni uzroci glavni uzroci 1. razina: 2. razina: 3. razina:

Sl.4.1. Primjer za konstruiranje Ishikawa dijagrama

4.2.5. Dijagram tijeka (Flowchart)

Dijagram tijeka (Flowchart) se koristi, da se

opie postojei proces, ili da se projektira novi proces.

Dijagram tijeka je slikoviti prikaz koraka u procesu, koji su korisni kod istraivanja prilika za poboljanja, jer omoguavaju detaljno razumijevanje stvarnog funkcioniranja procesa. Ispitivanjem kako se razliiti koraci u procesu odnose jedni na druge, mogue je esto otkriti potencijalne izvore problema. Dijagrami tijeka mogu se primijeniti na sve aspekte bilo kojeg procesa, od toka (bilance) materijala i energije, pa sve do faze prodaje proizvoda i njegovog eventualnog poslijeprodajnog servisa.

Dijagram tijeka se konstruira s lako prepoznatljivim simbolima, a ta

konstrukcija pretpostavlja sljedee procedure:

Identificirati poetak i kraj procesa. Sagledati kompletan proces, od poetka do kraja. Definirati korake u procesu (aktivnosti, odluke, ulaze, izlaze). Izraditi skicu dijagrama, da se predstavi proces. Ocijeniti skicu dijagrama s osobama ukljuenima u proces. Poboljati dijagram na temelju ovog ocjenjivanja. Provjeriti dijagram u odnosu na aktualni proces. Datirati dijagram radi budue reference i upotrebe.

STROJ OVJEK

MATERIJAL METODE RADA OKOLINA

POSLJEDICA



4.2.6. Drvoliki dijagram (Tree diagram)

Drvoliki dijagram (Tree diagram) se upotrebljava, da bi se pokazao odnos izmeu nekog predmeta (naslova) i njegovih sastavnih elemenata. Ideje generirane brainstorming-metodom i nacrtane ili razdijeljene prema affinity-dijagramu, mogu se prenijeti u drvoliki dijagram, kako bi se pokazale logike i sekvencijalne veze. Ovaj se alat koristi kod organiziranja, planiranja i rjeavanja problema. Njegova izrada ukljuuje sljedee procedure: Jasno i jednostavno izloiti predmet, kojeg treba studirati. Definirati vie kategorije (sklopove) predmeta (naslova) (npr. upotrebom kartica

sa zaglavljima kod affinity- dijagrama). Konstruirati dijagram naznaivi predmet u kuicu na lijevoj strani. Razgranati

vie kategorije (sklopove) bono u desno (Sl.4.2.). Za svaku viu kategoriju definirati sastavne elemente i sub-elemente. Bono u desno razgranati sastavne elemente i sub-elemente za svaku viu

kategoriju. Ocijeniti dijagram, da se osigura od propusta bilo u sekvencama, bilo u logici. PREDMET VIE ELEMENTI SUB-ELEMENTI (NASLOV) KATEGORIJE (SKLOPOVI) Poetak Pretvara za mjerenje napona serije Pretvara za mjerenje jakosti struje elija Voltmetar Komandni ormari Programabilni automat Generalna Grupa elija Tipkovnica konfiguracija Monitor Raunalo Cijela Upravljaki pult serija Monitor Printeri Automatika elija Regulacija meupolnog razmaka Automati Tretman nestabilnosti Obaranje anodnih efekata Regulacija tijekom lijevanja Funkcije Kontrola rada automata Centralno Bilance raunalo Statistika Izdanja Sl.4.2. Primjer drvolikog dijagrama za prikaz automatike elija

5. TEMELJNI POJMOVI IZ STATISTIKE


5. T E M E L J N I P O J M O V I I Z S T A T I S T I K E

Kad god je to mogue, nuno je sve odluke donositi na temelju numerikih podataka. A one odluke, koje se odnose na razlike, trendove i promjene u numerikim podacima, moraju biti donijete samo na temelju strogih statistikih interpretacija.

Statistika je znanost o metodama za istraivanje masovnih pojava s pomou numerikog izraavanja. Te masovne pojave su statistika masa, koja predstavlja skup manje ili vie istovrsnih, ali varijabilnih elemenata. Zato se statistika masa naziva jo i statistiki skup. Statistiki skup upoznajemo pomou statistike metode tako da promatramo obiljeja (svojstva) elemenata skupa, da grupiramo elemente, tj. da statistiki skup ralanimo, te tako dobivene dijelove skupa meusobno usporeujemo prema slinosti i razlikama. Na temelju takvog postupka, a primjenom odgovarajuih statistikih parametara, mogu se otkriti i utvrditi zakonitosti, te pravilnosti u sastavu i kretanju statistikog skupa.

Za svaki element statistikog skupa mogu se prikupljati podaci o jednom ili o vie njegovih obiljeja, ve prema tome, koja nas obiljeja zanimaju. Napomenimo, da se sva obiljeja mogu podijeliti na:

a) nominalna, koja oznauju svojstvo, atribut elementa izraen rijeima (vrsta proizvoda, spol, kvalifikacija,...),

b) redoslijedna (obiljeja ranga)

c) numerika, koja se izraavaju brojevima (povrina stana, broj

zaposlenih, visina osobnog dohotka,...) i

d) vremenska, koja izraavaju trenutak s kojim je element skupa povezan (kada je zasnovan radni odnos, kada se dogodila nezgoda,...).

U statistikoj analizi pojava sve uzroke varijacija dijelimo na dvije skupine:

na sluajne uzroke i na znaajne uzroke.

Sluajni uzroci su propratno svojstvo odreenog procesa; obino ih je mnogo i razliitog su i promjenljivog intenziteta djelovanja. Mogu se otkloniti jedino bitnim zahvatima u procesu.

Obiljeja koja variraju pod djelovanjem sluajnih uzroka tvore homogene skupove, za koje vrijede zakoni matematike statistike. Za njih se mogu izraunati granice sluajnih rasipanja odreenih parametara. Rasipanje podataka unutar tih granica, odnosno zbog djelovanja sluajnih uzroka, je prirodno rasipanje procesa. Za takve procese kaemo, da su statistiki stabilni. Ako su podaci osim toga i unutar postavljenih granica tolerancije ili zahtjeva, onda kaemo, da su to procesi pod kontrolom.



Znaajni uzroci se usmjereno pojavljuju kao sistematska pogreka, rjei su

i nisu svojstveni promatranom procesu. Svako odstupanje izvan granica prirodnog rasipanja procesa je indikacija pojave znaajnog uzroka, koji treba istraiti i nastojati otkloniti. To je bit statistikog praenja procesa, kojemu je osnovni cilj ustanoviti granice prirodnog rasipanja i pratiti pojavljivanje znaajnih uzroka u procesu.

Prema svojstvu obiljeja elemenata, statistike skupove dijelimo na:

- kontinuirane i - diskontinuirane.

Kontinuirani su oni skupovi, kod kojih promatrano obiljeje, odnosno

karakteristika kakvoe, moe poprimiti bilo koju vrijednost unutar nekog intervala. To je sluaj kada kakvou ocjenjujemo pomou nekog instrumenta s mjernom skalom. Tada kaemo da kakvou ocjenjujemo pomou mjerenih veliina.

Diskontinuirani su pak oni skupovi, kod kojih obiljeja njihovih elemenata, odnosno karakteristike kakvoe, poprimaju diskontinuiran niz vrijednosti. To je sluaj kada se kakvoa ocjenjuje principom dobar - lo, odnosno kada se ustanovljava broj loih komada u uzorku, ili broj defekata na proizvodu. Tada kaemo da kakvou ocjenjujemo pomou atributivnih ocjena.

S obzirom na navedenu podjelu kod ocjenjivanja kakvoe, sve se statistike metode dijele na dvije skupine:

- metode za ocjenu i praenje kakvoe pomou mjerenih veliina, te

- metode za ocjenu i praenje kakvoe pomou atributivnih ocjena.

Podaci dobiveni pomou mjerenih veliina najee u praksi pokazuju njihovo gomilanje oko neke srednje vrijednosti, te sve rjeu njihovu pojavu to smo dalje od te sredine. Empirike razdiobe uestalosti podataka esto pokazuju tendencije, koje upuuju na normalnu, Gaussovu razdiobu, pa ona u tim sluajevima predstavlja teorijsku osnovu statistikih metoda u praksi.

Empirike razdiobe pak, koje rezultiraju iz atributivne ocjene kakvoe, samo e pri odreenim okolnostima pokazati tendencije, koje upuuju na normalnu razdiobu. One uglavnom prema teorijskoj osnovi pripadaju hipergeometrijskoj, binomnoj ili Poissonovoj razdiobi.

injenica je, da rezultati praenja varijacija i kod mjerenih veliina i kod atributivnih ocjena, pokazuju tendencije nekih zakonitosti. Izuzetna prednost matematike statistike je ba u tome, to oblici razdiobi vrlo razliitih procesa i pojava slijede zakone relativno malog broja teorijskih razdiobi.



5.1. SREDNJE VRIJEDNOSTI

Ako su statistiki nizovi, koje smo podvrgli prouavanju, sastavljeni od malog broja elemenata, analiza nee biti teka. No, to je vei broj lanova niza, to je tee shvatiti koliinske odnose vrijednosti obiljeja tih lanova. Pri velikom broju lanova niza namee se potreba, da se umjesto velikog broja lanova jednog niza, uzme samo jedan jedini izraz, koji e karakterizirati varijacije obiljeja lanova niza. Neemo npr., usporeivati osobne dohotke dvaju ili vie poduzea pomou razdiobe svih zaposlenih, jer bi takva usporedba bila dosta zamorna, ve emo za svako poduzee izraunati prosjene vrijednosti osobnih dohodaka, pa e takva usporedba biti mnogo jednostavnija. Srednja ili prosjena vrijednost je izraz kojim se karakterizira niz razliitih brojeva. Sa srednjom vrijednosti zamjenjuju se individualne vrijednosti jednog obiljeja, koje varira. Srednja vrijednost moe se objektivno utvrditi na vie naina. Prema tome, postoji vie vrsta srednjih vrijednosti, od kojih svaka ima odreena svojstva i sasvim odreen sadraj.

5.1.1. Aritmetika sredina

U statistikoj analizi se aritmetika sredina najee izraunava za vrijednosti (X1 , X2 , ... , XN ) numerikog obiljeja, pa se u tom sluaju polazi od zbroja vrijednosti numerikog obiljeja, koji se zove total, i koji se raspodjeljuje na svaki element skupa:

NX .... X.... XXXX

X Ni4321+++++++

= (5.1.),

odnosno krae N

XX

Ni

1ii

=

== (5.2.).

U prednjim relacijama N oznaava broj razliitih vrijednosti obiljeja Xi , a X

aritmetiku sredinu, koja se uvijek izgovara, kao prosjena vrijednost neega (povrine stana, broja radnika u smjeni, napona na elijama itd.).

Aritmetika sredina se upotrebljava u praksi najvie zbog njezinih posebnih svojstava, koje nema ni jedna druga veliina. Ona je veliina, koja meu vrijednostima, iz kojih se izraunava, ima takav srednji poloaj, da se zbroj odstupanja pojedinih vrijednosti od te aritmetike sredine, prema gore i prema dolje, potpuno poklapa. To se izraava drugim rijeima, da je algebarski zbroj odstupanja vrijednosti od aritmetike sredine jednak nuli, tj.

= 0)XX( i (5.3.).

Nijedna druga veliina nema to svojstvo.

Drugo je svojstvo aritmetike sredine, da zbroj kvadrata odstupanja pojedinih vrijednosti od aritmetike sredine, daje najmanju moguu sumu. To se svojstvo openito oznauje kao:



= 2i )XX( minimumu. (5.4.)

Ako su poznate aritmetike sredine dijelova nekog statistikog skupa, onda se aritmetika sredina cijelog skupa moe izraunati najjednostavnije pomou tih aritmetikih sredina dijelova statistikog skupa:

N

NXX ii= (5.5.),

gdje su:

X = aritmetika sredina aritmetikih sredina, N1 , N2 , N3 , N4 , ..., Ni , ... = broj elemenata u svakom dijelu skupa

Primjer:

Prema podacima iz Tabele 5.1., izraunati po zaposlenom u poduzeu, prosjeni mjeseni broj dana provedenih na bolovanju.

Tabela 5.1. Broj dana bolovanja

Broj zaposlenika

Ukupan broj dana bolovanja

Relativne frekvencije

1x5

1x3

Xi fi fi . Xi Pi Pi . Xi Pi . Xi2 fi . Xi

2

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5

78 99 38 15

7

78 198 144

60 35

0,32911 0,41772 0,16034 0,06329 0,02954

0,32911 0,83544 0,48102 0,25316 0,14770

0,32911 1,67088 1,44306 1,01264 0,73850

78 396 342 240 175

Ukupno 237 485 1,00000 2,04643 5,19419 1231

U ovom primjeru statistiki skup ine zaposlenici poduzea (kolona 2), koji su grupirani prema diskontinuiranom numerikom obiljeju (Xi), tj. prema broju dana provedenim na bolovanju (kolona 1). U svaku grupu uvrteni su zaposlenici, koji imaju istu vrijednost (fi) tog obiljeja, odnosno dana na bolovanju. Polazna veliina za izraunavanje aritmetike sredine u ovom je primjeru ukupan broj dana na bolovanju. Svaku vrijednost obiljeja (Xi) treba pomnoiti odgovarajuim ponderom, tj. frekvencijom (fi), pa se dobije kolona 3. Zbroj tih produkata daje polaznu veliinu, odnosno total, koji se zatim podijeli ukupnim brojem zaposlenih,

pa se dobiva traena aritmetika sredina: =X 485/237 = 2,0464 dana bolovanja po svakom zaposlenom.



U koloni 4 navedene su relativne frekvencije (Pi), koje se dobiju tako da se ukupan broj zaposlenih od 237 "reducira" na brojku 1. To se radi tako da se svaki ponder, tj. svaka grupa zaposlenih (fi) podijeli sa sumom pondera, tj. s brojem 237 ukupno zaposlenih. Zato je suma vrijednosti u koloni 4 jednaka 1,00000. Sada je formula aritmetike sredine jednostavnija:

1P , XPX iii == (5.6.).

Suma kolone 5 takoer daje traenu ponderiranu aritmetiku sredinu. Ta se mogunost izraunavanja ponderiranu aritmetike sredine, uzimajui za pondere relativne frekvencije, mnogo primjenjuje u praksi. Naime, za takvo izraunavanje ponderirane aritmetike sredine, dovoljno je znati samo odnose vanosti pojedinih vrijednosti obiljeja. To omoguava da se ponderirana aritmetika sredina izrauna i kad nisu poznate tone vrijednosti frekvencija (pondera) iz kolone 2, ali ipak postoji mogunost, da se priblino procjene njihovi odnosi. Ponderirana aritmetika sredina uvijek se po brojanoj vrijednosti pribliava onoj vrijednosti numerikog obiljeja, koja ima najvei ponder, tj. ona koja ima najveu vanost. Promatranjem razdiobe moemo priblino ocijeniti kojoj e se vrijednosti pribliiti aritmetika sredina.

5.1.2. Medijan

Ako su elementi statistikog skupa poredani po veliini prema nekom redoslijednom i numerikom obiljeju, razumljivo je da se kao karakteristika obiljeja odabere ona njegova vrijednost, koja se nalazi u sredini tako poredanih vrijednosti.

Medijan je srednja vrijednost redoslijednog ili numerikog obiljeja, koja elemente osnovnog skupa dijeli u dva jednaka dijela tako da se u jednom dijelu nalaze elementi, koji imaju vrijednost obiljeja jednaku ili manju od medijana, a u drugom se dijelu nalaze elementi, koji imaju vrijednost obiljeja jednaku ili veu od medijana. Dakle, vrijednost medijana odreena je njegovim poloajem u nizu.

Ako je broj elemenata neparan, tj. ako je N = (2k+1), onda je (k+1) vrijednost medijana. Ako je pak broj elemenata paran, tj. N=2k, tada svi iznosi izmeu (k) i (k+1) odgovaraju definiciji medijana, ali se kao medijan uzima polusuma tih dviju vrijednosti.

U izraunavanju aritmetike sredine sudjeluje svaka jedinica sa svojom brojanom vrijednosti obiljeja. U odreivanju medijana svaka vrijednost sudjeluje samo na osnovi svojeg poloaja u nizu. Sve vrijednosti manje od medijana mogu postati po volji jo manje, a vee jo vee. Medijan se zbog tih promjena nee mijenjati. Iz toga se vidi, da je medijan mnogo manje osjetljiva srednja vrijednost, nego to je to aritmetika sredina. To ima prednosti, jer na vrijednost medijana ne utjeu ekstremno velike ni ekstremno male vrijednosti obiljeja.

Na analogan nain se odreuje medijan kad su elementi grupirani prema redosljednom obiljeju.



Primjer 1:

Tabela 5.2.

B R O J ZAPOSLENIH K U M U L A T I V N O KOLSKA SPREMA

RANG

Tvrtka 1

Tvrtka 2

Tvrtka 3

Tvrtka 1

Tvrtka 2

Tvrtka 3

1 2 3 4 5 6 7 8 Bez kole 4 raz. osn. kole Osmogodinja Srednja Via Visoka

1 2 3 4 5 6

14 26 81

361 29 51

20 356 116 18

5 9

68 264 186 366

40 61

14 40

121 482 511 562

20 376 492 510 515 524

68 332 518 884 924 985

UKUPNO - 562 524 985 - - -

U Tabeli 5.2. zaposleni su grupirani prema redosljednom obiljeju kolske spreme. U koloni 2 navedeni su brojevi kojima je odreen rang ili redoslijed grupa navedenih u koloni 1. Budui da su elementi grupirani u nizu prema redosljednom obiljeju uvijek poredani po veliini, to ih za odreivanje medijana ne treba prethodno svrstati po veliini, ve se moe upotrijebiti originalna razdioba. Medijan se na temelju grupiranih elemenata najjednostavnije utvruje s pomou kumulativnog izraza. U kolonama 6, 7 i 8 nalaze se kumulativni nizovi razdioba iz kolona 3, 4 i 5.

Najprije emo utvrditi medijan za poduzee 1 (Tvrtka 1), a zatim na isti nain i za poduzee 2 i poduzee 3. Ukupan broj za poduzee 1 je 562 zaposlenika. Od tog broja sada treba utvrditi polovicu: N/2 = 562/2 = 281. Iza toga treba utvrditi koji rang prema kolskoj spremi ima taj 281. po redu. Polazimo od vrha kumulativnog niza za poduzee 1. U prva tri ranga obuhvaen je 121 zaposlenik. Prvi u rangu 4 je 122. zaposlenik, a zadnji u tom rangu je 482. zaposlenik. Prema tome, na 281. koji je u polovici ukupnog niza ima "rang 4" kolske spreme i nalazi meu onih 361 s "rangom 4". Time je utvren medijan kolske spreme zaposlenih u poduzeu 1: M = 4. Analognim razmatranjem utvrdit emo za poduzea 2 i 3, da im medijani iznose redom M=2 i M=3.

Za srednju vrijednost redosljednog obiljeja ne moe se upotrijebiti aritmetika sredina, ve se mora uzeti medijan.

Primjer 2:

Na isti se nain utvruje medijan i za razdiobu numerikog obiljeja (vidi Tabelu 5.1.), kad je grupiranje izvreno prema diskontinuiranom numerikom obiljeju (broju dana na bolovanju). Na taj su nain grupirani zaposlenici u spomenutoj tabeli. Ukupno je bilo 237 zaposlenih, pa je prema tome srednji bio 119. zaposlenik. On spada u grupu od 99 zaposlenika s dva dana provedena na bolovanju, jer ako bi se raunao kumulativni niz, vidjelo bi se, da u tu grupu spadaju zaposlenici od 79. do 178. Prema tome, tu je medijan M=2 dana.



Zakljuujemo: polovica od svih uposlenih provelo je na bolovanju dva dana ili jedan dan, a druga je polovica provela na bolovanju dva ili vie dana.

Primjer 3:

U Tabeli 5.3. prikazan je statistiki skup elija elektrolize prema numerikom kontinuiranom obiljeju kiselosti kupke (%). Za grupiranje elemenata (elija) tog skupa formirano je 11 razreda, od kojih su prvi i zadnji otvoreni. Razredi nisu jednakih veliina, to je inae i najei sluaj. Zato se tijek rasporeda elemenata skupa prema tom obiljeju ne moe pratiti pomou originalnih frekvencija (f), pa ih se treba korigirati. Frekvencije se korigiraju tako, da se jedan od razreda oznai kao "jedinini", a sve veliine ostalih razreda podijele se veliinom "jedininog" razreda. Tako dobivenim brojem (kolona 3a) tada se dijeli svaka originalna frekvencija (kolona 2), pa je tako u razmatranoj tabeli dobivena kolona 4 (fkor), jer je kao "jedinini" razred odabran razred vrijednosti 0,5. Frekvencije se mogu korigirati i tako da se svaka frekvencija podijeli veliinom razreda kojem pripada.

Tabela 5.3.

Kiselost kupke

(%)

Broj elija

Veliina razreda

(%)

Korigirane frekvencije

(2/3a)

K U M U L A T I V N O

f i fkor manje od vie od 1 2 3 3a 4 5 6

0,0-0,5 0,5-1,0

1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-8

8-10 10-12

12-

4 3

10 8

41 61 88

116 110 55 13

0,5 0,5

1 1 1 1 1 2 2 2 3

1 1 2 2 2 2 2 4 4 4 6

4 3 5 4

20,5 30,5 44 29

27,5 13,75 2,167

4 7

17 25 66

127 215 331 441 496 509

509 505 502 492 484 443 382 294 178 68 13

UKUPNO 509 - - - - -

elija ima ukupno 509. Polovica od toga je N/2 = 254,5. Taj emo broj potraiti u kumulativnom nizu kolone 5 i nai da se nalazi u osmom razredu meu 116 elija, koje imaju kiselost kupke 6-8 %. Tako znamo, da je medijan vei od 6. Da bismo doznali koliko je vei od 6, treba izraunati koja je po redu 255. elija u medijalnom razredu meu onih 116 elija. Promatrajui kumulativni niz, vidimo da ima 215 elija s kiselou manjom ili jednakom 6 %. Moemo izraunati, da je 255-ta elija 40-ta u svom razredu (6-8 %) od 116 elija, jer je 254,5-215 = 39,5. Ako poemo od toga da su elementi u razredu jednakomjerno rasporeeni, to emo dio veliine razreda koji pripada tom dijelu frekvencije odrediti pomou razmjera:



116 : 39,5 = 2 : x iz kojeg slijedi: x = 79/116 = 0,681. Dobiveni rezultat kazuje da 255-ta elija ima kiselost 6+0,681 %, odnosno da je prema tome vrijednost medijana M = 6,681 %. To znai, da od svih elija, polovica ima kiselost manju od 6,68 %,a polovica ih je s kiselou iznad 6,68 %. U ovom sluaju je medijan sadrajniji od aritmetike sredine, koja iznosi 6,92 %. Razlika izmeu vrijednosti medijana i aritmetike sredine u ovom sluaju i nije velika, jer je razdioba elija u promatranom primjeru dosta simetrina. Inae, kada se radi o jako asimetrinim razdiobama, medijan je bolji reprezentant obiljeja nego aritmetika sredina, jer je manje osjetljiv na ekstremne vrijednosti obiljeja.

Ako s L1 oznaimo donju granicu medijalnog razreda, sa f1 zbroj svih frekvencija odozgo prema dolje, sve do medijalnog razreda, ne ukljuujui frekvenciju medijalnog razreda, sa fmed frekvenciju medijalnog razreda, a sa "i" veliinu medijalnog razreda, tada medijan moemo nai pomou formule:

if

f2N

LMmed

1

1

+=

(5.7.)

U ovom sluaju imamo: 681,62116

2155,2546M =+=

Analogno bi se mogao izraunati medijan i po formuli:

if

f2N

LMmed

2

2

=

(5.8.),

gdje L2 oznaava gornju granicu medijalnog razreda, f2 oznaava frekvencije u kumulativnom nizu odozdo prema gore (kolona 6), sve do medijalnog razreda, ne ukljuujui frekvencija tog razreda.

U ovom sluaju imamo: 681,62116

1785,2548M ==

5.1.3. Mod ili najea vrijednost

Mod je vrijednost redoslijednog ili numerikog obiljeja, koja se pojavljuje kod najveeg broja elemenata statistikog skupa. Mod se prema tome odreuje ili izraunava samo za elemente statistikog skupa, koji su grupirani u razdiobu frekvencije. Mod je ona vrijednost obiljeja oko koje se elementi statistikog skupa najgue gomilaju. U formalnom smislu mod dijeli razdiobu na lijevu stranu, koja raste, i desnu stranu, koja pada.



Postoje razliiti postupci za odreivanje moda. U postupku koji je

najjednostavniji, mod se odreuje pomou razreda, koji ima najveu frekvenciju (modalni razred) i dvaju susjednih razreda, po jednoga sa svake strane modalnog razreda. Ako se radi o razdiobi koja ima razrede razliitih veliina, treba najprije izvriti korekciju frekvencija, pa tek onda utvrditi razred s najveom korigiranom frekvencijom i taj uzeti kao modalni.

Na temelju izraunavanja slijedi definicija: Mod ili najea vrijednost je ona vrijednost obiljeja koja je s obzirom na svoje susjedne vrijednosti najea.

Ako su elementi statistikog skupa grupirani prema redosljednom obiljeju, mod se utvruje veoma jednostavno. Ako pogledamo razdiobe u kolonama 3, 4 i 5 iz Primjera 1 (Tabela 5.2.) u poglavlju 5.1.2., opazit emo da kod tvrtki 1 i 3 najveu frekvenciju ima rang 4, tj. srednja kola, a kod tvrtke 2 najveu frekvenciju ima rang 2, tj. 4 razreda osnovne kole. No, isto tako moemo ustanoviti, da trea razdioba ima jo jedan mod, dodue manje frekventan od prvog, ali s obzirom na susjedne vrijednosti ipak vie frekventan. To je rang 2, tj. nia osnovna kola. Takve distribucije s dva moda zovu se bimodalne.

Na isti se nain utvruje mod ako su elementi statistikog skupa grupirani prema diskontinuiranom numerikom obiljeju, a razredi su veliine "1". Meutim, ako su kod takvog skupa razredi vei od "1", ili ako su grupirani prema kontinuiranom obiljeju, onda se moe odrediti samo razred, koji ima najveu frekvenciju, pa vrijednost moda treba traiti u tom razredu.

U simetrinoj razdiobi mod ima istu vrijednost kao aritmetika sredina i medijan. Mod, kao srednja vrijednost, ima nedostataka u odnosu prema drugim srednjim vrijednostima. Moe se izraunati samo ako su elementi statistikog skupa grupirani. Budui da se razredi mogu formirati na razne naine, to i mod u istoj masi moe poprimiti razliite vrijednosti. Nadalje, postoji neizvjesnost kad je razdioba bimodalna.

5.2. MJERE DISPERZIJE

Srednja je vrijednost karakteristika svih vrijednosti numerikog obiljeja koje variraju od elementa do elementa u jednom statistikom skupu. Srednjom vrijednosti zamjenjuje se svaka individualna vrijednost obiljeja, pa prema tome, srednja vrijednost predstavlja svaku individualnu vrijednost obiljeja, kao i skup svih vrijednosti obiljeja. Srednja e vrijednost to uspjenije zamijeniti neku individualnu vrijednost obiljeja, ili je predstavljati, to se vie ta individualna vrijednost pribliava vrijednosti sredine, ili drugim rijeima, to manje ta individualna vrijednost odstupa od srednje vrijednosti.

Srednja vrijednost nije dovoljna karakteristika razdiobe frekvencija, jer dva ili vie nizova mogu imati istu srednju vrijednost, a da se ipak meusobno veoma razlikuju. Razdiobe frekvencija iste vrste mogu se razlikovati i po tome to



vrijednosti numerikog obiljeja njihovih elemenata pokazuju razliiti raspon i razliitu rasprenost. Tu rasprenost vrijednosti nazivamo disperzijom.

Sljedea tri niza:

Niz 1 Niz 2 Niz 3 3.500 3.600 3.750 4.000 4.500 5.000 5.750

100 500

1.000 4.000 6.500 8.000

10.000

100 3.900 3.950 4.000 4.050 4.100

10.000 meusobno su veoma razliita, premda imaju istu aritmetiku sredinu (4.300) i isti medijan (4.000). Vrijednosti drugog i treeg niza mnogo su vie rasprene nego lanovi prvog niza.

Osim srednje vrijednosti postoji potreba i za drugom karakteristikom razdiobe frekvencija, koja e izraavati stupanj varijabilnosti vrijednosti obiljeja. Ta karakteristika se zove mjera disperzije. Disperzija se moe mjeriti raznim mjerama.

5.2.1. Raspon varijacije

Grubu informaciju o veliini disperzije daje razlika izmeu najvee i

najmanje vrijednosti numerikog obiljeja. Ta se mjera varijacije zove raspon varijacije, a predstavljena je izrazom:

R = Xmax - Xmin (5.9.).

Raspon varijacije za prvi niz iznosi 5.750-3.500= 2.250, a za ostala dva niza: 10.000-100= 9.900. Na primjeru nizova 2 i 3 vidi se, da raspon varijacije moe biti jednak za razliite nizove. Nadalje, veliina raspona varijacije moe biti rezultat neke sluajne ekstremno velike ili male vrijednosti. Raspon varijacije svakako je interesantna informacija, ali nije uvijek dovoljna.

5.2.2. Momenti razdiobe frekvencija

Kao mjerilo disperzije mogu posluiti odstupanja vrijednosti obiljeja od njihove aritmetike sredine. Koliko ima elemenata toliko se moe izraunati i odstupanja, a to podrazumijeva veoma mnogo raunanja. Zbog toga se kao pokazatelj disperzije uzima aritmetika sredina odstupanja, koja se naziva moment oko sredine.

Moment oko sredine je aritmetika sredina odstupanja vrijednosti obiljeja od aritmetike sredine tog obiljeja podignutih na neku potenciju.



Ako su odstupanja podignuta na nultu potenciju, onda je to nulti moment

oko sredine; ako su odstupanja podignuta na prvu potenciju, onda je to prvi moment oko sredine; ako su podignuta na drugu potenciju, onda je to drugi moment oko sredine, itd. Te momente oko sredine oznaujemo malim grkim slovom (mi).

Nulti i prvi moment oko sredine ne mogu se upotrijebiti za bilo koju mjeru u statistikoj analizi, jer su im vrijednosti uvijek jednaki jedan, odnosno nula.

Drugi moment oko sredine glasi:

22

i2 N

)XX(=

= (5.10.).

U izrazu (5.10.) sva e odstupanja biti pozitivni brojevi. to e ta odstupanja

biti vea, to e i njihov zbroj biti vei, pa e i drugi moment oko sredine biti takoer vei, i obratno: to e ta odstupanja biti manja, to e i njihov zbroj u brojniku izraza (5.10.) biti manji, pa e i drugi moment oko sredine biti manji. Zato drugi moment moe biti mjera disperzije. To i jest priznata mjera disperzije u statistikoj analizi, a zove se varijanca, koja se oznaava malim grkim slovom sigma na kvadrat (2 ).

5.2.3. Varijanca, standardna devijacija i koeficijent varijacije

Varijancu smo ve spomenuli. Varijanca je aritmetika sredina kvadrata odstupanja vrijednosti numerikog obiljeja od njihove aritmetike sredine.

Kada su vrijednosti numerikog obiljeja dane individualno za svaki element statistikog skupa, onda se drugi moment oko sredine ili varijanca izraunava s pomou izraza (5.10.).

Varijanca je mjera disperzije dana u drugom stupnju. Zato, ako se iz varijance izvadi drugi korijen, dobiva se izraz koji se zove standardna devijacija:

N

)XX( 2i = (5.11.).

Standardna devijacija je drugi korijen varijance. Ona je izraena u istim

jedinicama mjere, u kojima je izraeno i obiljeje, odnosno aritmetika sredina. Prema tome, standardna devijacija je apsolutna mjera disperzije, pa je zato prikladna za usporeivanje veliina disperzije dviju razdioba s razliitim obiljejima. Za tu usporedbu, meutim, treba uzeti relativnu mjeru disperzije, kojom e se eliminirati razliitost obiljeja.

Relativna mjera disperzije koja se temelji na standardnoj devijaciji jest koeficijent varijacije, koji predstavlja postotak standardne devijacije od aritmetike sredine. Koeficijent varijacije se oznauje slovom V i iznosi:



100X

V = (5.12.).

Primjer:

Tijekom jedne godine u elektrolizi je iskopano 42 elije u cilju ugradnje

novih katoda. Broj iskopanih elija po mjesecima i njihov prosjeno ostvareni ivotni vijek (mjeseci), iznosili su:

mj. Vijek (mj) mj. Vijek (mj) mj. Vijek (mj) mj. Vijek (mj) 1 5 9

56,71 76,18 61,78

2 6

10

57,77 74,98 44,94

3 7 11

53,11 65,45 63,33

4 8

12

55,66 59,72 51,76

Treba izraunati prosjeni vijek trajanja svih katoda (tj. cijelog skupa)

iskopanih tijekom godine, te varijancu, standardnu devijaciju i koeficijent varijacije.

Najprije formiramo Tabelu 5.4. u kojoj u kolonu 1 unosimo rastue vrijednosti obiljeja (X ) ostvarenog prosjenog vijeka katoda, ustvari, mjesene aritmetike sredine dijelova skupa. Tabela 5.4.

Vijek katoda (mj)

Broj katoda

iX Ni Ni iX 2iX Ni

2iX ( )2ii XXN

1 2 3 4 5 6 44,94 51,76 53,11 55,66 56,71 57,77 59,72 61,78 63,33 65,45 74,98 76,18

2 2 4 5 4 4 3 3 4 4 3 4

89,88 103,52 212,44 278,30 226,84 231,08 179,16 185,34 253,32 261,80 224,94 304,72

2.019,60 2.679,10 2.820,67 3.098,04 3.216,02 3.337,37 3.566,48 3.816,77 4.010,69 4.283,70 5.622,00 5.803,39

4.039,2 5.358,2

11.282,6 15.490,1 12.864,1 13.349,4 10.699,4 11.450,3 16.042,7 17.134,8 16.866,0 23.213,5

499,67 161,50 233,25 129,35

65,16 35,43 3,16 3,21

26,70 88,50

607,80 952,81

UKUPNO (): 42 2.551,34 44.273,84 157.790,7 2.806,55 Zatim, u kolonu 2 upisujemo pripadajue brojeve elemenata (Ni) u dijelovima skupa (odgovarajui broj katoda). Potreban total za izraunavanje aritmetike

sredine )X( aritmetikih sredina, dobivamo iz kolone 3. To je ii XN = 2.551,34 ukupno ostvarenih mjeseci ivotnog vijeka svih elija tijekom godine dana. Podijelivi total sa =iN 42 dobivamo, prema izrazu (5.5.), aritmetiku sredinu ostvarenog vijeka svih iskljuenih katoda:



75,6042

34,551.2N

XNX

i

ii ==

= mjeseci

Da bismo mogli koristiti izraze (5.10.), (5.11.) i (5.12.) za proraun varijance,

standardne devijacije i koeficijenta varijacije, izradili smo kolonu 6, pa imamo:

varijancu: 82,6642

55,806.22 ==

standardnu devijaciju: 17,882,66 == mjeseci

i koeficijent varijacije: 46,1375,60

17,8V == %

Meutim, varijanca se moe i na drugi nain izraunati:

2

i

ii

i

2ii2

N

XN

N

XN

=

(5.13.),

pa imamo:

82,6642

34,551.242

7,790.1572

2 =

=

5.2.4. Standardizirano obiljeje

Koeficijent varijacije je relativna mjera disperzije itave razdiobe. Pri usporeivanju odstupanja pojedinih vrijednosti raznovrsnih razdioba frekvencija, kao mjera moe dobro posluiti standardna devijacija. To usporeivanje temelji se na injenici, da su gotovo sve, ili velika veina, vrijednosti jedne razdiobe frekvencija obuhvaene u rasponu X 3 .

Za podatke u Tabeli 5.4. izraunali smo, da je aritmetika sredina za sve iskljuene katode iznosila 60,75 mjeseci, a standardna devijacija 8,17 mjeseci. Tri standardne devijacije iznosit e 24,51 ; prema tome, "pojas od tri standardne devijacije oko aritmetike sredine" imat e granice: 60,75 24,51 i to kao donju granicu 36,24 mjeseca, a kao gornju 85,26 mjeseci. Unutar tih granica obuhvaene su sve katode. Ipak je u svakoj razdiobi odstupanje vrijednosti od aritmetike sredine koje se pribliava veliini 3 veoma veliko, a koje se pribliava vrijednosti = 0, veoma malo.

Standardizirano obiljeje predstavlja odstupanje vrijednosti numerikog obiljeja od aritmetike sredine, a izraava se u jedinicama standardnih devijacija:



( )

=XX

z ii (5.14.).

Aritmetika sredina razdiobe standardiziranog obiljeja uvijek je jednaka

nuli:

0z = Vidjeli smo iz izraza (5.3), da je prvo svojstvo aritmetike sredine to to za

nju vai da je 0)XX( i = , pa iz toga slijedi dokaz:

( ) ( )0

N

XX

N

XX

N

zz

ii

i =

=

==

Jednako je mogue dokazati i da je standardna devijacija razdiobe standardiziranog obiljeja jednaka jedan, tj. da je: z = 1

Dakle, moemo zakljuiti, da e sve razdiobe standardiziranog obiljeja imati na istom mjestu (ishoditu koordinatnog sustava) svoje aritmetike sredine i da e njihovi rasponi biti jednaki, jer su standardne devijacije svih razdioba standardiziranog obiljeja jednake jedan. Znai, da se raznorodne razdiobe mogu jednostavno usporeivati s pomou standardiziranog obiljeja.

S pomou originalnih frekvencija mogu se dvije razdiobe usporediti samo

pod uvjetom, da su obje razdiobe istovrsnih jedinica, da je grupiranje izvreno prema istom obiljeju i da su veliine statistikih skupova jednake. Ovaj zadnji uvjet u praksi je rijetko ispunjen, ali ako je ostalo ispunjeno, onda se dvije razdiobe mogu usporediti s pomou relativnih frekvencija, jer su one proporcionalne s originalnim frekvencijama. Zbroj relativnih frekvencija bilo koje razdiobe je jednak 1, pa e zbog toga povrine ispod krivulja relativnih frekvencija svih statistikih skupova biti jednake, to omoguava veoma dobru usporedbu razdioba frekvencija.

Distribucije kojih je na osnovi razliitih obiljeja izvreno grupiranje, mogu se usporeivati samo pomou standardiziranog obiljeja.

5.3. TEORIJSKE RAZDIOBE

Do sada smo spominjali razdiobe koje su formirane grupiranjem opaanja ili elemenata skupa prema nekom obiljeju. Takve razdiobe zovemo originalnim, empirijskim, opaenim razdiobama.



Nasuprot empirijskim razdiobama imamo razdiobe koje se mogu oekivati u skladu s naim iskustvom ili na temelju nekih teorijskih postavki. Takve se razdiobe zovu teorijske razdiobe. Te razdiobe pretpostavljamo u nekom statistikom modelu ili ih postavljamo kao hipotezu koju treba ispitati. Teorijske razdiobe zadane su analitiki. Za njih su unaprijed poznate karakteristike, kao to su sredina, mod, medijan itd.

5.3.1. Vjerojatnosti

Teorijska razdioba se pojavljuje i u funkciji razdiobe vjerojatnoa.

Razlikuju se dvije vrste vjerojatnosti:

- vjerojatnost a priori, te

- empirika ili statistika vjerojatnost ili vjerojatnost a posteriori

Ako se neki dogaaj A moe dogoditi na a naina od ukupno moguih, jednako vjerojatnih n naina, tada je vjerojatnost da se dogodi dogaaj A jednaka odnosu povoljnih ishoda i ukupno moguih, tj.:

na

)APr(p == (5.15.),

a vjerojatnost da se ne dogodi dogaaj A je odnos broja nepovoljnih ishoda i ukupno moguih, tj.:

p1na

1n

a-n A)nePr(q ==== (5.16.).

Da bi se dakle odredila a priori vjerojatnost ishoda nekog dogaaja, treba

unaprijed znati dva broja: broj n i broj a. Ako jo sa b oznaimo broj nepovoljnih ishoda, tada imamo:

n = a + b (5.17.), ili u relativnom izrazu (ako prednji izraz podijelimo s "n"):

qpnb

na

1 +=+= (5.18.).

Primjer:

Kolika je vjerojatnost ako bacimo kocku, da e se na gornjoj strani pojaviti 6 toaka? Moguih ishoda ima 6 (n=6), a povoljan je samo jedan (a=1), pa je prema tome:

61

)APr(p == ,



dok je vjerojatnost nepovoljnog ishoda: ==65

A)nePr(p

Vjerojatnost a priori izvedena je iz ope teorije, a ishodi su odreeni

poznavanjem uvjeta. Meutim, u statistikim istraivanjima najee nisu unaprijed poznati elementi za izraunavanje vjerojatnosti a priori. U tom sluaju, izlaz je da se eksperimentiranjem ili na drugi nain doe do potrebnog znanja za naknadno izraunavanje vjerojatnosti. Tako izraunata vjerojatnost je vjerojatnost a aposteriori, odnosno empirijska ili statistika vjerojatnost.

Empirijska vjerojatnost je granina vrijednost relativne frekvencije povoljnog ishoda dogaaja A ako broj pokuaja raste u beskonanost, tj.:

na

limpn

= (5.19.).

Osnova veze izmeu vjerojatnosti a priori i empirijske vjerojatnosti jest

zakon velikih brojeva, tj. empirijska vjerojatnost se pribliava vjerojatnosti a priori, ako je broj opaanja ili pokuaja dovoljno velik. Obje su vjerojatnosti zamjena za odreeni sud za koji ne postoje potpune i potrebne informacije.

5.3.2. Normalna (Gaussova) razdioba

Normalna ili Gaussova razdioba je najznaajnija kontinuirana razdioba, kojoj tee kontinuirana obiljeja mnogih pojava u praksi i ivotu openito, a takoer i u kontroli kakvoe. Ona se protee od - do + , ima oblik zvona, simetrina je i unimodalna. Mod, medijan i aritmetika sredina meusobno su jednaki; njena funkcija vjerojatnosti dana je izrazom:

2

2

2

)XX(

e2

1)X(f

= (5.20.),

gdje su:

- = standardna devijacija, te - X = aritmetika sredina - e = 2,71828...= baza prirodnih logaritama

U eksponentu konstante e prepoznajemo izraz (5.14.) za standardizirano

obiljeje = XXz , za koje smo ve ranije utvrdili da mu je aritmetika sredina

jednaka nuli, a standardna devijacija = 1, pa funkcija (5.20.) moe poprimiti i sljedei izraz:

2

z2

e2

1)z(f

= (5.21.).

To je izraz za standardiziranu normalnu razdiobu, gdje se na apscisi nalazi standardizirano obiljeje, izraeno u jedinicama standardnih devijacija . Posebno



su zanimljive vrijednosti povrine ispod krivulje za intervale, kao viekratnike standardne devijacije (Sl.5.1.):

- u intervalu X 1 = 68,27 % - " X 2 = 95,45 % - " X 3 = 99,73 % - " X 4 = 99,994 % .

Sl. 5.1. Funkcija vjerojatnosti Gaussove razdiobe: f(z)

Vrijednosti navedenih intervala mogu se iitati i iz Sl.5.2., gdje je dana krivulja kumulativnih vrijednosti ispod funkcije razdiobe (B-krivulja). U praksi se granice 3 uzimaju kao granice visoke vjerojatnosti za ocjenu neke pojave. Drugim rijeima, visoka je vjerojatnost, da e se gotovo svi podaci promatrane pojave nalaziti u podruju 3.

NORMALNA (GAUSSOVA) RAZDIOBA Standardizirana razdioba

0

0,1

0,2

0,3

0,4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Broj standardnih devijacija

vjer

oja

tnoa 68,27%

95,45%

99,73%



Sl. 5.2.: A - Normalna razdioba: f(z)

B - Povrina ispod krivulje razdiobe: dz)z(f

Mnoge statistike analize zasnivaju se na pretpostavci, da osnovni skup iz kojega se uzimaju uzorci slijedi zakon normalne razdiobe. Teorijsko opravdanje za uporabu normalne razdiobe osniva se na teoremu, po kojem e se aritmetike sredine uzoraka rasipavati po normalnoj razdiobi, ako je uzorak dovoljno velik, bez obzira na oblik razdiobe osnovnog skupa.

Razliiti uzroci varijacija u praksi, vie ili manje dominantni, dovode do odstupanja od teorijske normalne razdiobe, pa ona za praksu ostaje ideal, koji se kao i drugi ideali rijetko dostiu.

Metode statistike kontrole kakvoe su relativno manje osjetljive na odstupanja od normalnosti i stoga normalna razdioba moe posluiti, kao prihvatljiva aproksimacija za mnoge iskustvene razdiobe. Pri ocjeni i praenju kakvoe pomou statistikih metoda elimo dobiti procjenu stanja o seriji ili procesu, kako bismo poduzeli korektivne radnje. Te se odluke nee bitno mijenjati zbog manjeg odstupanja oblika iskustvenih razdioba u odnosu na teorijske razdiobe.

NORMALNA (GAUSSOVA) RAZDIOBAStandardizirana razdioba

B

A

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

z - Standardizirano obiljeje

vjer

oja

tnoa

6. STATISTIKE TEHNIKE ZA OBRADU NUMERIKIH PODATAKA


6. S T A T I S T I K E T E H N I K E Z A O B R A D U N U M E R I K I H P O D A T A K A

6.1. OCJENA SPOSOBNOSTI PROIZVODNOG PROCESA

Nakon prvog putanja u rad nekog proizvodnog procesa, obavlja se ovjera prvih proizvoda iz serije, kako bi se utvrdilo, da li se ostvaruje planirana kakvoa i da li uope postoje uvjeti za nastavak kvalitetn

Documents

Poboljšanje-kakvoće