PM_26 (1)

O Mtodo do Referencial Mvel

Publicaes Matemticas

O Mtodo do Referencial Mvel

Manfredo do Carmo IMPA

impa

Copyright 2012 by Manfredo do Carmo

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

Capa: Noni Geiger / Srgio R. Vaz

Publicaes Matemticas

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IMPA - [email protected] - http://www.impa.br - ISBN: 978-85-244- 0281-4

Este ainda e para a Claudia

Prefacio da 1a edicao

Estas notas constituem parte de um curso dado no IMPA no perodoMarco-Junho de 1976 e foram preparadas especialmente para a TerceiraEscola Latino-Americana de Matematica.

O objetivo das notas e apresentar o metodo do referencial movel emGeometria Diferencial a partir de um mnimo de prerequisitos. A leituradas notas pressupoe apenas um curso de geometria diferencial de curvas esuperfcies, nocoes de variedades diferenciaveis e uma certa familiaridadecom formas diferenciais em variedades.

A fim de evitar apelos a conhecimentos de Grupos de Lie, restringimo-nos a` estrutura riemaniana, que corresponde ao grupo ortogonal. De resto,o grupo ortogonal possui aparentemente aquela medida de complexidadeque torna o estudo da sua geometria uma tarefa nao trivial porem tratavel.

No primeiro captulo estabelecemos os fatos fundamentais do metodo doreferencial movel. Adotamos o ponto de vista de partir do Rn e ir constru-indo progressivamente as situacoes mais gerais. Entre as aplicacoes feitasneste captulo, encontram-se um teorema de E. Cartan sobre a determinacaolocal da metrica pela curvatura, o calculo da curvatura do fibrado tangenteunitario da esfera S2, e um teorema de E. Hopf sobre funcoes subharmonicasem variedades riemanianas compactas. O captulo pode ser consideradocomo uma breve introducao a` Geometria Riemaniana pelo metodo do refe-rencial movel.

No segundo captulo apresentamos algumas aplicacoes a problemas deimersoes em espacos de curvatura constante. Demonstramos o lema deChern e Lashof para espacos de curvatura constante (ao que saibamos, estaforma do lema nao se encontra publicada), o teorema de Sacksteder parao caso compacto (K 0), o teorema de unicidade de Cohn-Vossen (K 0), alguns resultados recentes sobre reducao de codimensao, o teorema deunicidade de Allendoerfer e, finalmente, o teorema de Chern e Lashof sobrea curvatura total.

O leitor (ou leitora) podera se restringir ao uso particular de imersoesem espacos euclideanos, em cujo caso as Secoes 6 e 11 do Captulo I poderaoser omitidas.

Durante a preparacao destas notas utilizamos livremente as fontes exis-tentes, tanto escritas como orais. E impossvel dar credito a todas masgostaramos de destacar varios cursos feitos em Berkeley com S.S. Chern,com quem aprendemos a ver o metodo do referencial movel.

Desejamos agradecer aos alunos e colegas que participaram das dis-cussoes sobre este curso durante as exposicoes orais, e a Wilson Goes pelaesmerada digitacao. Agradecimentos especiais sao devidos a Antonio Car-los Asperti e Renato Tribuzy que leram criticamente todo o manuscrito,corrigiram varios erros e apresentaram inumeras sugestoes.

Rio, 27 de Maio de 1976

Manfredo Perdigao do Carmo

Prefacio da 2a edicao

Para esta edicao, corrig alguns erros matematicos e tipograficos, queme foram bondosamente apontados por colegas e alunos, aos quais agradecopenhoradamente. Alem disto, atualizei, o tanto quanto me foi possvel, aBibliografia, e introduz algumas referencias adicionais que se reportam aproblemas tratados no texto. No mais, o texto permanece o mesmo.

Desejo agradecer a Wilson Goes, que datilografou a 1a edicao e digitoua atual. Agradecimentos sao tambem devidos a Rogerio Dias Trindade pelaeditoracao desta edicao.

Rio, junho de 2008

Manfredo Perdigao do Carmo

Indice

Captulo 1: O Metodo do Referencial Movel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Equacoes de estrutura do Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.2 O lema de Cartan e a unicidade das formas de conexao . . . . . . . . 51.3 Aplicacoes a`s superfcies em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 O Teorema de Gauss-Bonnet para superfcies compactas . . . . . . . 131.5 Subvariedades de um espaco euclideano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 Variedades riemanianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7 Tensores em variedades riemanianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.8 Equacoes de estrutura em referenciais geodesicos;

determinacao local da metrica pela curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.9 Imersoes riemanianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.10 Globalizacao do metodo do referencial movel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.11 Um modelo para o espaco hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Captulo 2: Imersoes em um espaco de curvatura

constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.1 Hipersuperfcies em um espaco de curvatura constante.O lema de Chern e Lashof. Convexidade e curvatura . . . . . . . . . . 76

2.2 Unicidade de hipersuperfcies. O Teorema deCohn-Vossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.3 Posto e numero tipo de uma imersao. Reducao decodimensao. As formas de ordem superior deuma imersao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.4 O Teorema de Allendoerfer. Curvatura total de umaimersao. O Teorema de Chern e Lashof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127

Referencias adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Captulo 1

O Metodo do Referencial

Movel

1.1 Equacoes de estrutura do Rn

Uma variedade riemaniana e uma variedade diferenciavel M e uma escolha,para cada ponto p M , de um produto interno positivo definido , p noespaco tangente Tp(M) de M em p, que varia diferenciavelmente com p noseguinte sentido: SeX e Y sao campos diferenciaveis de vetores emM , entaoa funcao p 7 X,Y p , p M , e diferenciavel em M . Diferenciavel sempresignificara de classe C. O produto interno , e usualmente chamadouma metrica riemaniana em M .

A nocao natural de equivalencia entre variedades riemanianas e a nocaode isometria. Um difeomorfismo f : M M entre duas variedades rie-manianas M de M e uma isometria se para todo p M e todo parX,Y Tp(M), tem-se

X,Y p = dfp(X), dfp(Y )f(p) .

A importancia da nocao de variedade riemaniana e que nela podemosdefinir as nocoes metricas usuais (angulo, comprimentos, areas, etc.) dageometria euclideana. Em verdade, a geometria euclideana e o estudo dasnocoes metricas na mais simples de todas as variedades riemanianas, a saber,o Rn munido da estrutura diferenciavel usual e do seguinte produto interno:Se u = (u1, . . . , un) e v = (v1, . . . , vn) sao vetores do R

n, define-se

u, vp = u1v1 + + unvn , para todo p Rn.

Observe-se que estamos identificando os espacos tangentes do Rn com oespaco vetorial Rn.

1

2 Equacoes de estrutura do Rn Secao 1.1

Mesmo sendo a variedade riemaniana mais simples, o Rn e, em um certosentido, a variedade riemaniana universal. Isto ficara mais claro a` medidaque formos desenvolvendo o metodo do referencial movel que pretendemosutilizar nestas notas.

Iniciaremos, portanto, estabelecendo as chamadas equacoes de estruturado Rn.

Seja U Rn um aberto do Rn e sejam e1, . . . , en n campos diferenciaveisde vetores em U de tal modo que, para todo p U , se tenha ei, ejp = ij ,onde ij = 0 se i 6= j e ij = 1 se i = j, i, j = 1, . . . , n. Um tal conjunto decampos de vetores e chamado um referencial ortonormal movel em U . Deagora por diante omitiremos os adjetivos ortonormal e movel.

A partir do referencial {ei} podemos definir formas diferenciais linearespela condicao i(ej) = ij ; em outras palavras, em cada ponto p U , a base{(i)p} e a base dual da base {(ei)p}. O conjunto das formas diferenciais{i} e chamado o coreferencial associado ao referencial {ei}.

Cada campo ei pode ser pensado como uma aplicacao diferenciavelei : U Rn Rn. A diferencial (dei)p : Rn Rn, em p U , e umaaplicacao linear. Portanto, para todo v Rn, podemos escrever

(dei)p(v) =j

(ij)p(v)ej .

E imediato verificar que as expressoes (ij)p(v), acima definidas, dependem

linearmente de v. Portanto (ij)p e uma forma linear em Rn. Como ei

e um campo diferenciavel, ij e uma forma diferencial linear. Com estessignficados em mente, escreveremos

dei =j

ij ej , (1)

como definicao das formas ij , que sao chamadas formas de conexao do Rn

no referencial {ei}.Derivando a expressao ei, ej = ij , obteremos

0 = dei, ej+ ei, dej = ij + ji ,

isto e, as formas de conexao ij = ji sao antisimetricas nos ndices i, j.O ponto fundamental no metodo do referencial movel e que as formas

i , ij satisfazem as chamadas equacoes de estrutura de Elie Cartan.

Cap. 1 O Metodo do Referencial Movel 3

Teorema 1 (equacoes de estrutura do Rn). Seja {ei} um referencialortonormal movel em um aberto U Rn. Sejam {i} o coreferencial asso-ciado a {ei}, e ij as formas de conexao de U no referencial {ei}. Entao:

di =k

k ki , (2)

dij =k

ik kj , k = 1, . . . , n. (3)

Demonstracao: Seja ai = (1, 0, . . . , 0), a2 = (0, 1, 0, . . . , o), . . . ,an = (0, 0, . . . , 0, 1) a base canonica do R

n e seja xi : U R a funcaoque faz corresponder a cada ponto p = (x1, . . . , xn) U e sua i-esima co-ordenada. Entao dxi e uma forma diferencial em U , e como dxi(aj) = ij ,conclumos que {dxi} e o coreferencial associado ao referencial {ai}.

O referencial dado se exprime em termos dos ai por

ei =j

ij aj , (4)

onde os ij sao funcoes diferenciaveis em U e, para cada p U , a matriz(ij(p)) e uma matriz ortogonal. Como i(ej) = ij , temos

i =j

ij dxj . (5)

Diferenciando (4), obteremos

dei =k

dik ak =k

dikj

jk ej .

Como dei =j

ij ej , conclumos que

ij =k

dik jk , (6)

ou seja j

ijjs =jk

dikjk js = d is , s = 1, . . . , n. (7)

Finalmente, diferenciando exteriormente (5) e usando (7), obteremos

di =j

dij dxj =jk

ikkj dxj =k

k ki ,

que e a primeira equacao de estrutura (2).

4 Equacoes de estrutura do Rn Secao 1.1

Diferenciando (6) e usando (7), obteremos

dij = k

dik djk = k

{( n`=1

i``k) (

s

jssk)}

= s

is js =k

ik kj ,

que e a segunda equacao de estrutura (3).

A ideia basica do metodo do referencial movel pode ser descrita damaneira seguinte.

Seja x : M Rn+q uma imersao de uma variedade diferenciavel dedimensao n em um espaco euclideano Rn+q (dizer que x e uma imersaoe dizer que x e diferenciavel e que a diferencial dxp : Tp(M) Rn+q einjetiva para todo ponto p M). E uma consequencia do teorema dafuncao inversa que, para todo p M , existe uma vizinhanca U M de ptal que a restricao x|U de x a U e injetiva. Seja V Rn+q uma vizinhancade x(p) em Rn+q de tal modo que V x(U). Admitamos V suficientementepequeno para que exista um referencial movel

{e1, . . . , en, en+1, . . . , en+q

}em V com a propriedade que, quando restritos a x(U), os vetores e1, . . . , ensejam tangentes a x(U) e os vetores en+1, . . . , en+q sejam normais a x(U).Um tal referencial e dito um referencial adaptado a x.

A existencia de um referencial adaptado pode ser provada da seguintemaneira. Se V e suficientemente pequeno, existe um difeomorfismo g : V V tal que gx(U) e um aberto de uma subvariedade linear de dimensao n deRn+q. A existencia de um referencial f1, . . . , fn, fn+1, . . . , fn+q adaptado ag x(U) em g(V ) e imediata. A imagem inversa dg1(f1), . . . , dg1(fn+q)de um tal referencial pode nao ser ortonormal. Usaremos entao o processode ortonormalizacao de Gram-Schmidt em cada ponto de V . Observandoque os vetores obtidos por um tal processo variam diferenciavelmente comos vetores dados, obteremos em V um referencial ortonormal adaptado ax(U).

Em V estao definidas as formas i do coreferencial de {ei} e as formas deconexao ij que satisfazem as equacoes de estrutura (2) e (3). A aplicacaox : U M V Rn+q induz formas diferenciais x(i), x(ij) em U .Como x comuta com a derivacao exterior e com o produto exterior, taisformas em U satisfazem as equacoes de estrutura (2) e (3). Acontece quetoda a geometria metrica local da imersao x esta contida nestas equacoesde estrutura, o que reflete o carater universal do Rn.

A justificativa da afirmacao acima nao pode ser dada agora mas espera-mos torna-la clara antes de terminar este captulo.


1.2 O lema de Cartan e a unicidade das formas de conexao

Antes de darmos aplicacoes do metodo do referencial movel, precisamos dealguns lemas preliminares.

Inciaremos com um fato puramente algebrico. Recordemos que se 1, 2sao formas lineares em um espaco vetorial V de dimensao n, entao o produtoexterior 12 de 1 com 2 e a forma bilinear alternada 12 : V V R dada por

(1 2)(v1, v2) = 1(v1)2(v2) 1(v2)2(v1), v1, v2 V.Alem disto, se 1, . . . , n e uma base para o espaco das formas lineares V

,entao i j , i < j, i, j = 1, . . . , n, formam uma base para o espaco 2V das formas bilineares alternadas de V V .Lema (Cartan). Seja V um espaco vetorial de dimensao n. Sejam1, . . . , r : V R, r n, formas lineares de V linearmente independentes.Suponhamos que existam formas lineares 1, . . . , r : V R satisfazendo aseguinte condicao:

ri=1

i i = 0. Entao

i =j

aijj , i, j = 1, . . . , r, aij = aji .

Demonstracao: Completemos as formas 1, . . . , r , em uma base1, . . . , r, r+1, . . . , n de V

e escrevamos

i =j

aijj +`

bi`` , ` = r + 1, . . . , n.

Basta agora observar que a condicaoi

i i = 0 implica em que

0 =i

i i =i

i j

aijj +`

i `

bi``

=i

6 Aplicacoes a`s superfcies em R3 Secao 1.3

Entao um tal conjunto e unico.

Demonstracao: Suponhamos que exista um outro conjunto de formas ijcom

ij = ji , dj =k

k kj .

Entaok

k (kj kj) = 0, e pelo lema de Cartan,

kj kj =i

Bjki i , Bjki = B

jik .

Observe que

kj kj =i

Bjki i = (jk jk) = i

Bkji i

e, como os i sao linearmente independentes, Bjki = Bkji . Usando as

simetrias obtidas, conclumos que

Bkji = Bjki = Bjik = Bijk = Bikj = Bkij = Bkji = 0,

ou seja, que kj = kj .

1.3 Aplicacoes a`s superfcies em R3

Vamos aplicar o metodo do referencial movel a um caso particular razoavel-mente bem conhecido, a saber, a teoria das superfcies em R3.

Seja S uma variedade diferenciavel de dimensao 2 e x : S R3 umaimersao. Para cada ponto p S fica entao definido um produto interno , p em Pp(S) pela regra: se v1, v2 Tp(S),

v1, v2p = dxp(v1), dxp(v2),

onde no segundo membro aparece o produto interno usual do R3. E imediatoverificar que , p e diferenciavel e define, portanto, uma metrica riemanianaem S, chamada a metrica induzida pela imersao x.

Vamos estudar a geometria local de S em torno de um ponto p S.Seja U S uma vizinhanca de p em S tal que a restricao x|U seja injetiva.Seja V uma vizinhanca de x(p) em R3 tal que V x(U). Tomando V e Usuficientemente pequenos, podemos escolher em V um referencial ortonor-mal movel e1, e2, e3, adaptado a x, isto e, de modo que, quando restritos ax(U), e1, e2 sejam tangentes a x(U) (e3 sera entao normal a x(U)).


Em V estao definidas as formas i do coreferencial de {ei}, i = 1, 2, 3 eas formas de conexao 12 = 21 , 32 = 23 , 13 = 31 . Tais formassatisfazem em V as equacoes de estrutura:

d1 = 2 21 + 3 31 ,d2 = 1 12 + 3 32 ,d3 = 1 13 + 2 23 ,d12 = 13 32 ,d13 = 12 23 ,d23 = 21 13 .

A imersao x : U S V R3 induz em U formas x(i), x(ij), i, j =1, 2, 3. Como x comuta com d e , tais formas satisfazem as mesmasequacoes acima. Observe-se que x(3) = 0, pois para todo q U e todov Tq(S), teremos dx(v) = a1e1 + a2e2 , e portanto

(x3)(v) = 3(dx(v)) = 3(a1e1 + a2e2) = 0.

Para nao sobrecarregar a notacao, e como so vamos, em geral, tratar deformas em U , convencionaremos escrever

xi = i , xij = ij .

Esta convencao equivale a pensar em U como um subconjunto de R3 pelainclusao x (observe que x|U e injetiva) e pensar nas formas i, ij comorestritas a U V R3. Tais formas satisfazem portanto as equacoes acima,com a relacao adicional 3 = 0.

Passemos agora ao estudo da geometria local de S. Como 3 = 0, temosque

d3 = 1 13 + 2 23 = 0e, pelo lema de Cartan,

13 = h11 1 + h12 2 ,

23 = h21 1 + h22 2 ,

onde hij = hji , i, j = 1, 2, sao funcoes diferenciaveis em U . Para interpretargeometricamente estas funcoes, observemos que, por um lado,

13(e1) = h11 1(e1) + h12 2(e1) = h11 ,

13(e2) = h12 ,

23(e1) = h21 ,

23(e2) = h22 ,


e, por outro lado, como dei =j

ij ej ,

de3(v) = 31(v)e1 + 32(v)e2 ,

para todo q U e todo v Tq(S). Portanto, escrevendo v = a1e1 + a2e2 ,obteremos

de3 =

(a1a2

)=

(h11 h12h21 h22

)(a1a2

),

isto e, (hij) e a matriz da diferencial da aplicacao e3 : U R3 na base{e1, e2}. Como |e3| = 1, esta ultima aplicacao toma valores na esferaunitaria S2 R3. Fixemos orientacoes em U e R3 e escolhamos o refe-rencial {e1, e2, e3} de tal modo que, para todo q U , (e1)q (e2)q seja umabase de Tq(S) na orientacao escolhida e (e1)q, (e2)q, (e3)q seja uma base

positiva de R3; um tal referencial e dito compatvel com as orientacoes deU e R3. Neste caso, a aplicacao e3 : U S2 R3 esta completamentedefinida e e chamada a aplicacao normal de Gauss em U . Portanto (hij)e a matriz da diferencial da aplicacao normal de Gauss na base {e1, e2}.

Observe que quando S e orientada e possvel definir a aplicacao normalde Gauss globalmente em S.

Como hij e uma matriz simetrica, conclumos imediatamente que a dife-rencial da aplicacao normal de Gauss e uma aplicacao linear auto-adjunta.Por um resultado de Algebra Linear, uma tal aplicacao linear pode serdiagonalizada, com valores proprios 1, 2 reais, e vetores proprios or-togonais.

E usual definir a curvatura Gaussiana K de S em p por

K = det(de3)p = 12 = h11 h22 h212 ,onde as funcoes envolvidas estao calculadas em p. Decorre da definicao deK que

d12 = 13 32 = (h111 + h122) (h211 + h222) == (h11h22 h212)1 2 = K1 2 .

A expressao d12 = K1 2 permite demonstrar um dos teoremasmais importantes da teoria das superfcies, descoberto por Gauss.

Teorema (Gauss). K depende apenas da metrica induzida de S, isto e, sex, x : S R3 sao duas imersoes de S tais que as metricas induzidas em Spor x e x coincidem, entao K(p) = K (p), p S, onde K e K indicam ascurvaturas Gaussianas de x e x, respectivamente.Demonstracao: Considere um referencial {e1, e2} em um aberto U M ,ortonormal na metrica induzida. Entao, {dx(e1), dx(e2)} pode ser esten-dido a um referencial adaptado a V x(U). Analogamente, {dx(e1),


dx(e2)} pode ser estendido a um referencial adaptado em V x(U). Indi-caremos por as entidades referentes a` imersao x. Como as metricas in-duzidas por x e x coincidem, 1 = 1 e 2 =

2 . Pelo Lema 2, 12 =

12 .

Decorre da que

d12 = d12 = K 1 2 = K 1 2

donde K = K .

O Teorema de Gauss significa que a curvatura Gaussiana, embora tenhasido definida usando o espaco ambiente R3, so depende de medidas feitassobre a superfcie. Isto levou Gauss em 1827 a imaginar a existencia degeometrias independentes do espaco ambiente. Por falta de conceitos ade-quados (particularmente da nocao de variedade diferenciavel), ele nao de-senvolveu estas ideias que foram retomadas por Riemann em 1852, dandoincio ao que hoje chamamos de Geometria Riemaniana.

Exemplo 1. Considere a imersao x : U R2 R3, onde U e dado porU = {(s, v) R2; < x


ou seja,

K = h

h,

que e a expressao procurada.

Em geral, entidades geometricas em S que podem ser calculadas a partirde 1, 2 e 12 dependem apenas da metrica induzida de S no sentidoacima mencionado, e devem poder ser definidas sem fazer mencao algumaa` imersao x. Voltaremos a este assunto na Secao 1.9.

Pelo que vimos anteriormente, dada uma imersao x : S R3 ficamdefinidas duas formas quadraticas em cada Tp(S), p S, da maneiraseguinte.

A primeira forma quadratica Ip e simplesmente a forma quadratica as-sociada a` forma bilinear , p isto e,

Ip(v) = v, v, v Tp(S).

Em um referencial local adaptado e1, e2, e3, a primeira forma quadraticase escreve

Ip(v) = (11 + 22)(v) = (21 +

22)(v), (1)

onde 11 , por exemplo, e o produto simetrico (e nao exterior) de 1 com1 , isto e, 11(v) = 1(v)1(v). Para verificar (1), escrevamos v = v1e1+v2e2 . Entao

Ip(v) = 1(v)1(v) + 2(v)2(v) = v21 + v

22 = v, v.

Portanto a primeira forma quadratica, isto e, a metrica induzida de S, seescreve

I = 21 + 22 ,

onde, como usualmente, deixamos cair a indicacao do ponto p.

A segunda forma quadratica IIp e definida em um referencial local adap-tado e1, e2, e3 por

IIp(v) = (131 + 232)(v) =ij

hij ij(v), i, j = 1, 2,

onde, de novo, os produtos de formas diferenciais sao produtos simetricos.Para que a definicao faca sentido, e necessario que II nao dependa do refe-rencial escolhido. Este e o caso quando S e orientada, pois, conforme vimos,(hij) e entao a matriz da diferencial da aplicacao normal de Gauss em umreferencial compatvel com a orientacao. Em verdade,

IIp(v) = de3(v), vp , v Tp(S).


Uma outra interpretacao geometrica de II, que sera generalizada pos-teriormente, e a seguinte. Seja U S uma vizinhanca de p e seja e1, e2,e3 um referencial em U adaptado a x e compatvel com a orientacao de S.Entao, para todo q U e todo v Tq(S), temos

dxq(v), (e3)q = 0,

ou seja,

dx, e3 = 0. (2)A equacao (2) significa que se : (, ) U e uma curva em S

parametrizada digamos, pelo comprimento de arco s, com (0) = p e(0) = v, entao, escrevendo

x (s) = x(s), e3 (s) = e3(s),

teremos

dxds, e3(s)

= 0, donde

d2x

ds2, e3(s)

s=0

= dx

ds,de3ds

s=0

= dx(v), de3(v)

= dx, de3(v) = 1e1 + 2e2, 3e1 + 32e2(v)

= , 13 + 223(v) = IIp(v)

Portanto,

IIp(v) =

d2x

ds2, e3(s)

s=0

= kn, e3 = kn, e3,

onde k e curvatura de e n e o seu vetor normal principal em p.Esta ultima expressao e chamada a curvatura normal de em p. Decorre

da que o valor da segunda forma quadratica em um vetor v Tp(S) e ovalor da curvatura normal de qualquer curva que e tangente a v em p (oque implica que tais curvas tem todas a mesma curvatura normal).

Um fato interessante e que as formas quadraticas I e II determinam aimersao x : S R3 a menos de um movimento rgido de R3. Voltaremos aeste assunto posteriormente, quando demonstraremos este resultado de umamaneira mais geral. No momento, queremos apenas chamar a atencao parao fato que isto significa que a geometria local da imersao x esta inteiramentecontida nas formas quadraticas I e II e, portanto, nas equacoes de estruturaque lhes deram origem.


A geometria da primeira forma quadratica, isto e, o estudo das entidadesgeometricas que so dependem da metrica induzida de S e chamada a ge-ometria intrnseca de S. Alem da curvatura Gaussiana, um outro conceitoque pode ser definido intrinsecamente e o de derivada covariante de camposde vetores, que passaremos a introduzir.

SejaX um campo diferenciavel de vetores tangentes a S e seja v Tp(S),p S. Seja : (, ) S uma curva parametrizada com (0) = p,(0) = v. Restrito a` curva , o campo X((t)) = X(t) e uma funcaovetorial X : (, ) R3. Define-se a derivada covariante vX de X em vno ponto p por

(vX)(p) = projecao ortogonal sobre Tp(S) de(dX

dt

)t=0

.

Em outras palavras, (xX)(p) e a parte da derivada usual(dXdt

)t=0

que evista de Tp(S).

Para mostrar que a derivada covariante so depende da metrica induzidade S, consideremos um referencial local adaptado e1, e2, e3, definido em umavizinhanca de p. Escrevamos X = x1e1 + x2e2 e calculemos

(dXdt

)t=0

, ondeX = X(t) e a restricao de X a uma curva : (, ) S com (0) = pe (0) = v. Por simplicidade, deixaremos cair a indicacao de t = 0 nasexpressoes abaixo:(

dX

dt

)t=0

=dx1dt

ei +dx2dt

e2 + x1de1dt

+ x2de2dt

=dx1dt

e1 +dx2dt

e2 + x1(12(v)e2 + 13(v)e3)

+ x2(21(v)e1 + 23(v)e3) =

(dx1dt

+ x221(v)

)e1

+

(dx2dt

+ x112(v)

)e2 +B e3 ,

onde o termo B nao nos interessa. Decorre da que

(vX)(p) =(dx1dt

+ x221(v)

)e1 +

(dx2dt

+ x112(v)

)e2 ,

o que mostra que vX depende apenas da metrica induzida.Observe-se que ve1, e2 = 12(v) e, portanto, a derivada covariante

permite reobter a forma de conexao 12 . Neste sentido, a nocao de derivadacovariante e equivalente a` nocao de conexao, e a geometria da primeira formaquadratica deve poder ser desenvolvida a partir de qualquer um destes doisconceitos.


1.4 O Teorema de Gauss-Bonnet para superfcies compactas

As consideracoes do paragrafo anterior sao estritamente locais. Entretanto,um dos aspectos mais interessantes do metodo do referencial movel e queele permite a demonstracao de teoremas globais de difcil acesso por outrosmetodos. Ilustraremos esta situacao com a demonstracao do teorema deGauss-Bonnet para superfcies compactas do R3.

Seja S R3 uma superfcie compacta e orientada do R3. Seja p S eV R3 uma vizinhanca de p em R3 tal que em V exista um referencial e1,e2, e3 adaptado a S e compatvel com as orientacoes de S e R

3. Sejam i,ij as restricoes a V S das formas do coreferencial associado a {ei} e dasformas de conexao, respectivamente.

Primeiro, observamos que a forma 1 2 nao depende do referencialescolhido (dentro da classe dos referenciais compatveis com a orientacao deS), e e, portanto, definida globalmente em S. Com efeito, a forma 1 2aplicada a um par de vetores u = u1e1 + u2e2 , v = v1e1 + v2e2 de Tp(S),linearmente independentes e na orientacao de Tp(S), fornece

1 2(u, v) = 1(u)2(v) 2(u)1(v) = u1v2 u2v1 ,que e a area de paralelogramo formado por u e v. Por esta razao 12 = e chamado o elemento de area de S.

Como S e compacta, podemos considerar a integralS

K 1 2 =S

K ,

que e chamada a integral de K estendida a S. O teorema de Gauss-Bonnetafirma que este numero depende apenas da topologia de S.

Para mostrar isto, levamos em conta a expressao

d12 = K 1 2e procuramos integrar d12 em S. Como 12 nao e globalmnete definidaem S, vamos primeiro estudar como muda esta forma por uma mudanca dereferencial.

Sejam entao e1, e2, e3 e e1, e2, e3 = e3 referenciais compatveis com aorientacao de S e relacionados por

e1 = cos e1 + sen e2 ,

e2 = sen e1 + cos e2 ,(1)

De (1) decorre que

1 = cos 1 + sen 2 ,

2 = sen 1 + cos 2 ,

14 O Teorema de Gauss-Bonnet para superfcies compactas Secao 1.4

donde, usando as equacoes de estrutura,

d1 = sen d 1 + cos d 2 + cos d1 + sen d2= d 2 + cos (2 21) + sen (1 12)= d 2 + 2 21 = 2 (21 d). (2)

Analogamente

d2 = 1 (12 + d). (3)Portanto, as formas

12 = 12 + d, 21 = 21 d = 12

sao antisimetricas e satisfazem as equacoes (2) e (3). Pela unicidade doLema 2 da Secao 1.2, elas sao as formas de conexao de S no referencial e1,e2, e3 .

Passemos agora a` demonstracao do Teorema de Gauss-Bonnet. Seja vum campo diferenciavel de vetores tangentes a S com um numero finito depontos singulares p1, . . . , pk (isto e, v(pi) = 0, i = 1, . . . , k). Para cadapi , seja Bi S uma vizinhanca de pi de tal modo que Bi nao contenhaoutro ponto singular alem de pi e que Bi seja uma curva fechada regularorientada positivamente. Em S

i

{pi} podemos escrever e1 = v|v| ComoS e orientavel, podemos escolher em S

i

{pi} um referencial adaptado e1,e2, e3 compatvel com a orientacao de S. Entao, pelo teorema de Stokes,

SBi K 1 2 = SBi d12 =

i

Bi

12 . (4)

Quando Bi se aproxima de pi , a integral do primeiro membro tendepara a integral de K estendida a S (observe que 1 2 nao dependedo referencial). Nas mesmas condicoes, entretanto, a integral do segundomembro depende do referencial e1, e2, e3, que nao esta definido em pi .Portanto, para calcular este limite, introduziremos, em uma vizinhanca Ui Bi , um referencial adaptado e1, e2, e3 = e3, compatvel com a orientacao deS e dado por (1). Em Ui {pi}, 12 = 12 + d e portanto, pelo teoremade Stokes,

Bi

12 =

Bi

12 +

Bi

d =

Bi

d12 +

Bi

d

= Bi

K1 2 +Bi

d,


pois e1, e2, e3 esta definido em Bi . Decorre da que

limBipi

Bi

12 = limBipi

Bi

d. (5)

Observe agora queBi

d e a integral em uma curva fechada da variacao

do angulo que faz o campo v = |v| e1 com o vetor e1 . Como ambos, v ee1 , voltam a` sua posicao inicial, esta integral e um multiplo inteiro Ii de2pi, isto e,

Bi

d = 2pi Ii .

O numero inteiro Ii e chamado o ndice do campo v no ponto singular pie mede, intuitivamente o numero de voltas que o campo v da ao longode Bi . E possvel definir o ndice de maneira mais rigorosa e provar, aomesmo tempo, que ele nao depende da escolha da curva Bi , da escolha doreferencial {ei} e da maneira como S esta mergulhada em R3 (para detalhesv. M. do Carmo [dC1]). Portanto

limBipi

Bi

d = 2pi Ii . (6)

Juntando (4), (5) e (6), obteremos o seguinte resultado

Teorema. Seja S R3 uma superfcie compacta em R3 e seja K a suacurvatura Gaussiana. Seja v um campo diferenciavel de vetores tangentesa S com um numero finito de pontos singulares p1 . . . , pk . Entao a integralde K estendida a S e igual a 2pi vezes a soma dos ndices de v nos pontospi , i = 1, . . . , k, isto e,

S

K = 2pi Ii . (7)

Como o primeiro membro de (7) nao depende do campo v e o segundomembro nao depende da metrica induzida, conclumos que ambos os mem-bros dependem apenas da variedade S e permanecera o mesmo para todasque lhe sejam difeomorfas.

Observacao: Na demonstracao do teorema de Gauss-Bonnet utilizamoso fato que toda superfcie compacta e orientada do R3 admite um campodiferenciavel de vetores tangentes com um numero finito de pontos singu-lares. Isto e um fato geral que e valido em qualquer variedade diferenciavelcompacta (V. Lima [Li1], pg. 144). Para o caso de S R3, poderamosobter uma demonstracao mais direta utilizando, por exemplo o Teorema deSard para a aplicacao normal de Gauss de S; uma outra demonstracao podeser encontrada em M. do Carmo [dC4], pg. 174.

16 Subvariedades de um espaco euclideano Secao 1.5

1.5 Subvariedades de um espaco euclideano

Voltemos a`s nossas consideracoes do fim da Secao 1.1. Seja x : Mn Rn+quma imersao de uma variedade de dimensao n em Rn+q. (De agora emdiante, usaremos um ndice superior quando quisermos indicar a dimensaode uma variedade). Seja p M e U uma vizinhanca de p em M na qual arestricao x|U seja injetiva. Seja V uma vizinhanca de x(p) em Rn+q de talmodo que x(U) V e que em V esteja definido um referencial adaptadoe1, . . . , en, en+1, . . . , en+q . Pensaremos em x como uma inclusao de U emV Rn+q e usaremos a mesma notacao para uma entidade em V ou a suarestricao a U . De agora por diante, esta convencao sera usada sem maiorescomentarios.

Usaremos os seguintes tipos de ndices:

1 A,B,C, n+ q,1 i, j, k, n,

n+ 1 , , , n+ q.Dado o referencial {eA} em V , definimos o coreferencial {A} e as formas

de conexao AB em V por

dx = AeA , (1)

deA = ABeB . (2)

As formas A e AB satisfazem as equacoes de estrutura

dA = A BA , (3)dAB = AC CB . (4)

As restricoes das formas A, AB e U V satisfazem ainda as equacoes(3) e (4), com a relacao adicional = 0, para todo . Esta ultima relacaoprovem do fato que os vetores e sao normais a U , e portanto, para todoq U e todo v = viei Tq(M), tem-se

(v) = ( viei) = 0.

No que se segue so usaremos formas restritas a U . Como = 0, temosque

0 = d = B B = +i i = i i .Pelo lema de Cartan,

i =j

hij j , hij = h

ji .


A forma quadratica

II =i

ii =ij

hij ij

e chamada a segunda forma quadratica de x na direcao e .Para cada p M , o espaco gerado pelos vetores de Rn+q que sao normais

a dxp(Tp(M)) e chamado o espaco normal da imersao x em p e indicadopor Np(M). Um campo diferenciavel de vetores normais e uma aplicacaodiferenciavel : M Rn+q com (p) Np(M), p M . Dado um campodiferenciavel unitario de vetores normais : U M Rn+q, em umavizinhanca U suficientemente pequena de p, podemos escolher um referen-cial adaptado {eA} em U de tal modo que en+1 = . A segunda formaquadratica IIn+1 e chamada a segunda forma quadratica de x na direcao e indicada por II .

O significado geometrico de II e obtido generalizando uma situacaosemelhante que encontramos no caso de superfcies em R3. Para isto, sejav TpM , |v| = 1, e consideremos uma curva : (, ) U parametrizadapelo comprimento de arco s, com (0) = p, (0) = v. Entao, comodds, = 0,

d2

ds2,

=

d

ds,d

ds

= dx(v), d(v) = dx, d(v)

=

i

iei,j

n+1,j ej +

n+1, e

=

i

i n+1,i =

i i,n+1 = II(v). (5)

Portanto, II(v) e a componente do vetor normal de segundo o vetorunitario . Decorre da que II e independente da escolha do referencial.

Como a toda forma quadratica em um espaco vetorial esta associadauma aplicacao linear auto-adjunta, temos que, para todo p M e todovetor unitario normal Np(M), existe uma transformacao linear auto-adjunta A : Tp(M) Tp(M), tal que

II(v) = A(v)v,

para todo v Tp(M). Por (5), e claro que

A(v), v = d(v), dx(v),

e que a matriz de A em um referencial adaptado com en+1 = e dada por( hn+1ij ).


Vamos agora escrever as equacoes de estrutura (3) e (4), tendo o cuidadode separar as partes tangenciais (ndices i, j, . . . ) das partes normais (ndices, , . . . ). Obteremos as equacoes:

di =j

j ji , (6)

dij =k

ik kj +

i j , (7)

di =j

ij j +

i , (8)

d =j

j j +

. (9)

Observe que as equacoes (7) sao semelhantes a`s equacoes de estrutura deum espaco euclideano, com um termo de correcao dado por

i j = ij , ij = ji .

Para esclarecer o significado das 2-formas ij , notemos que a imersaox : Mn Rn+q determina uma metrica riemaniana , em M dada por:

v1, v2p = dxp(v1), dxp(v2), p M, v1, v2 Tp(M),

onde o produto interno do segundo membro e o produto interno usual doRn+q. A metrica riemaniana , em M e chamada a metrica induzida porx. A metrica induzida e a parte tangente {ei} do referencial determinam asformas i , donde as formas di . Pelo Lema 2 da Secao 1.2, as formas ijficam entao inteiramente determinadas pela imersao, e o mesmo se verificapara as formas

ij = dij k

ik kj .

Portanto, a matriz anti-simetrica de 2-formas (ij) depende apenas dametrica induzida (e da escolha do referencial).

Isto sugere que a matriz (ij) e uma especie de medida de quanto ametrica induzida deixa de ser euclidiana. (ij) e chamada a matriz dasformas de curvatura no referencial {ei}.

Observe que se Mn = Rn, ij = 0. Alem disto, se x : M2 R3, temos

que12 = d12 0 = K 1 2 ,

o que mostra que (ij) generaliza a nocao de curvatura Gaussiana de umasuperfcie.


Para associar um significado geometrico a` matriz das formas de cur-vatura, precisamos verificar como elas variam com uma mudanca da partetangente do referencial {ei} (a parte normal {e} do referencial nao afeta asformas ij). Para isto sera conveniente usar a seguinte notacao matricial.

As matrizes das formas ij e ij serao indicadas por W e , respecti-vamente, e o vetor coluna das formas i , por . As equacoes de estrutura(6) e (7) se escrevem entao

d = W ,dW = W W +.

Uma mudanca na parte tangente {ei} do referencial sera dada por ei =uij ej , onde (uij) = U e uma matriz de funcoes diferenciaveis em M ;alem disso, U e ortogonal, isto e, UU = identidade, onde U indica amatriz transposta de U .

Lema 1. Por uma mudanca do referencial tangente {ei} dada por ei =j

uij ej , a matriz das formas de conexao W muda por

W = dU U + U W U, (10)

e a matriz das formas de curvatura muda por

= U U, (11)

onde uma barra indica a entidade correspondente no referencial {ei}.Demonstracao: De ei =

j

uij ej decorre que i =j

uij j , isto e,

= U , e entao = U . Portanto,

d = dU + U d = dU (U) + U(W ) = (dUU + UWU) .

Decorre da, pelo lema de unicidade, que

W = dU U + U W U,

o que demonstra (10). Para demonstrar (11), observemos que dU U =U(dU) e passemos a calcular W W e dW . Obteremos

W W = (dU U + U W U) (dU U + U W U)= dU UU (dU) U W UU (dU)+ dU UU W U + U W U U W U

= dU (dU) + dU W U U W (dU) + U W W U,


e

dW = dU (dU) + dU W U U W (dU) + UdW U.

Portanto,

= W W + dW = U W W U + U dW U= U(dW W W )U = U U,

o que demonstra (11).

Decorre do lema que, fixado p M , quando mudamos o referencialtangente {ei}, a matriz de formas

((ij)p

)muda como a matriz de uma

transformacao linear em Tp(M). Portanto, fixados dois vetores X,Y Tp(M), a matriz numerica

{(ij)p(X,Y )

}representa uma transformacao

linear em Tp(M), que indicaremos por(RXY

)p: Tp(M) Tp(M),

e que nao depende do referencial tangente. RXY e chamado o operador decurvatura da metrica induzida.

Passemos agora a analisar as equacoes (9). Escrevevendo (9) na forma

d =

+ ,

onde

=i

i i = ,

vemos que elas possuem uma certa analogia formal com as equacoes deestrutura de um espaco euclideano com um termo de correcao . Porum raciocnio inteiramente analogo ao do Lema 1, verificaremos que a matrizde formas () = W

e a matriz de formas () = se transformam,por uma mudanca da parte normal {e} do referencial, de modo semelhantea`s formas W e , respectivamente. Por esta razao, chamaremos asformas da conexao normal e as formas da curvatura normal.

E claro que, fixados p M e dois vetores X,Y Tp(M), a matriz{()p(X,Y )

}determina uma transformacao linear

(RXY

)p: (Np(M)

Np(M). RXY e chamado o operador de curvatura normal da imersao x.

Para o caso x : M2 R4, podemos definir, por analogia com a curvaturaGaussiana, uma funcao KN chamada curvatura normal da imersao x por

d34 = KN 1 2 .


Como no caso de superfcies, as formas ij possuem a seguinte inter-pretacao geometrica. Seja X um campo diferenciavel de vetores tangentesem M , seja Y Tp(M), e seja : (, )M uma curva diferenciavel com(0) = p e (0) = Y . Definamos(YX)p = proj. sobre Tp(M) de (dXdt

)t=0

,

onde t e o parametro da curva . Em outras palavras, (YX)p e a parte daderivada usual

(dXdt

)t=0

que e vista de Tp(M). Vamos mostrar que YXso depende da metrica induzida em M por X.

Para isto, escolhamos um referencial adaptado {eA} em uma vizinhancaU M e escrevamos X = xiei , onde xi sao funcoes diferenciaveis em U .Como

dX

dt=i

dxidt

ei +i

xideidt

=j

dxjdt

ej +i

xij

ij

(

t

)ej +

i

xi

i

(

t

)e ,

temos que

(YX)P =j

{dxjdt

+i

ij

(

t

)xi

}ej

=j

{dxj(Y ) +

i

ij(Y )xi}ej

o que mostra que YX so depende dos ij e portanto da metrica induzida.(YX)p e chamada a derivada covariante do campo X segundo o vetorY no ponto p. Se X = ei , obteremos

Y ei, ej = ij(Y ),o que fornece uma interpretacao geometrica das formas de conexao ij emtermos da derivacao covariante.

Uma interpretacao analoga pode ser dada a`s formas de conexao normal : Seja um campo diferenciavel de vetores normais emM e y Tp(M).A derivada covariante normal (y )p de em relacao a y no ponto p e aprojecao sobre o complemento ortogonalNp(M) de Tp(M) da derivada usual(ddt

)t=0

. Como anteriormente, t e o parametro de uma curva diferenciavel : (, )M , com (0) = p, (0) = y.

De uma maneira inteiramente analoga a` anterior, verifica-se que(y )p =

{d(y) +

(y)}e , =

e ,


isto e, y depende apenas das formas . A interpretacao geometricadas formas e obtida observando que, se = e , temos

y e, e = (y).Finalmente, deve ser observado que as equacoes de definicao

ij =

i j , =i

i i ,

relacionam as formas de curvatura da metrica induzida e as formas da cur-vatura normal com as segundas formas quadraticas de imersao da seguintemaneira:

ij =

{`

hi` ` k

hjk k}

=k


e portanto x e uma imersao. Como x(u+2npi, v+2mpi) = x(u, v), para n,m inteiros, a imagem x(R2) e um toro S1 S1 R4.

Para estudar a geometria deste toro, escolhamos um referencial ortonor-mal e adaptado:

e1 = ( senu, cosu, 0, 0),e2 = (0, 0, sen v, cos v),e3 =

12(cosu, senu, cos v, sen v),

e4 =12( cosu, senu, cos v, sen v).

Como dx = iei , conclumos que

1 = dx, e1 = du, 2 = dv, 3 = 0, 4 = 0.Para o calculo das ij , calcularemos primeiro

de1 = ( cosu du, senu du, 0, 0),de2 = (0, 0, cos v dv, sen v dv),de3 =

12( senu du, cosu du, sen v dv, cos v dv),

donde

12 = de1, e2 = 0,13 = de1, e3 = du

2,

14 = de1, e4 = du2,

23 = de2, e3 = dv2,

24 = de2, e4 = dv2,

34 = de3, e4 = 0.De 12 = 0, conclumos que a curvatura Gaussiana da metrica induzida

e zero. De 34 = 0, conclumos que a curvatura normal KN da imersaotambem e zero.

Para o calculo das segundas formas quadraticas nas direcoes e3 e e4 ,faremos

13 = h211 1 + h

312 2 ,

23 = h321 1 + h

322 2 ,

24 Variedades riemanianas Secao 1.6

donde h311 =12, h312 = h

321 = 0, h

322 =

12, isto e,

A2 =

1/2 00 1/2

.Analogamente,

A4 =

1/2 00 1/2

.Observe que e3 =

12x descreve uma esfera unitaria, pois |x| = 2.

Portanto x(S1 S1) esta contida na esfera S32de raio

2 de R4 e o

referencial e1, e2, e4 e tangente a esta esfera, com e3 normal a x(S1 S1).

Como imersao, x : S1 S1 S32em S3

2, x descreve o chamado toro

de Clifford. Observe que e natural considerar A4 como a segunda formaquadratica desta imersao (uma definicao rigorosa sera dada na Secao 1.9) eque o traco de A4 e zero. Como veremos na Secao 1.9, isto significa que otoro de Clifford e uma superfcie mnima da esfera S3.

1.6 Variedades riemanianas

As equacoes de estrutura relativas a uma metrica induzida por uma imersao,a saber,

di =j

j ji , (1)

nos sugerem a possibilidade de desenvoler o metodo do referencial movelpara uma variedade riemaniana Mn. Seja p M um ponto de M e sejaU M uma vizinhanca de p em M , onde seja possvel definir camposdiferenciaveis de vetores e1, . . . , en tais que ei, ej = ij . O conjunto {ei},i = 1, . . . , n, sera chamado um referencial (ortonormal, movel) em U . Se-jam i formas diferenciais em U definidas por i(ek) = ij (o coreferencialassociado a {ei}). Ja vimos no Lema 2 da Secao 1.2 que se existirem formasdiferenciais ij = ji satisfazendo (1), elas estarao inteiramente determi-nadas. Que tais formas existem a partir da metrica riemaniana de M e oconteudo do lema seguinte.

Lema 1 (Levi-Civitta). Escolhido um referencial {ei} em um aberto U Mde uma variedade riemanianaM existe em U um (unico) conjunto de formasdiferenciais ij que sao anti-simetricas, ij = ji , e satisfazem (1).Demonstracao: Facamos dj(ek, ei) = A

jki , isto e,

dj =k


Queremos determinar funcoes C ikj = Cijk tais que as formas diferenciais

kj =i

Cikj i (2)

satisfacam (1). Se tais funcoes existirem, teremos

dj =k


matriz linha e y = (y1, . . . , yn) sera uma matriz coluna; assim Y = ey. See e um outro referencial, facamos e = eU ; assim y = Uy. Com uma talnotacao, a equacao (3) se escreve

XY = e(dy(X) +W (X)y).Como X nao ira interferir nos calculos, vamos abandona-lo nas expressoesabaixo. Inicialmente, observemos que

dy = dUy + Udy,

e que, da equacao (10) do paragrafo anterior, vem

W y = U(dU)y + UWUy = dUUy + UW Uy = dUy + UW y.

Portanto

e(dy +W y) = e(dUy + Udy dUy + UW y)= eUdy + eUW

y = e(dy + E

y),

o que mostra que (3) nao depende da escolha do referencial {ei}.XY e chamada a derivada covariante de Y em relacao a X. Que ela e

uma derivacao de boa qualidade e garantido pelos quatro primeiros itensda seguinte proposicao.

Proposicao 2. Sejam X, Y , Z campos diferenciaveis de vetores em M , f ,g funcoes diferenciaveis em M e a, b numeros reais. Entao:

1) fX+gZY = f XY + gZY ,2) X(aY + bZ) = aXY + bXZ,3) X(fY ) = f XY +X(f)Y ,4) XY,Z+ Y,XZ = X(Y,Z),5) Se p M , (XY )(p) so depende do valor de X no ponto p e dos

valores de Y ao longo de uma curva parametrizada :(,)M , com(0) = p, (0) = X(p).

Demonstracao: Verificacao direta a partir da definicao (3). Os detalhespodem ser deixados como exerccios.

Uma observacao importante e que a derivacao covariante permite inter-pretar geometricamente as formas de conexao. Com efeito, de (3) decorreque, para todo campo X,

X ei, ej = ij(X).


Portanto ij(ek) = ek ei, ej.Convem estender a nocao de derivada covariante para campos de vetores

definidos ao longo de uma curva parametrizada : (a, b) M da maneiraseguinte. Um campo diferenciavel de vetores ao longo de e uma corre-spondencia que a cada t (a, b) associa um vetor Y (t) T(t)(M) de talmodo que escolhendo um referencial {ei} em torno de (t), as funcoes yi(t)dadas por Y (t) = yi(t)ei sejam diferenciaveis; e claro que esta condicaonao depende do referencial escolhido. Pelo item (5) da Proposicao 2, aexpressao

DY

dt=j

{dyjdt

+i

ij

(

t

)yi

}ej =

d(t

)Y (t)esta bem definida, e e chamada a derivada covariante de Y ao longo de .

Um campo Y ao longo de e paralelo se DYdt 0. Uma curva e uma

geodesica se o seu campo de vetores tangentes (que e um campo ao longode ) e paralelo, isto e, se D

dtddt 0.

A condicao para que o campo Y (t) = yi(t)ei seja paralelo, isto e,

dyidt

+j

ji

(

t

)yj = 0, i = 1, . . . , n,

e evidentemente um sistema de equacoes diferenciais lineares em yi(t). De-corre da que dado Y0 T(t0)(M) existe um e um unico campo paraleloY (t) ao longo de com Y (t0) = Y0 . O campo Y (t) assim obtido e chamadoo transporte paralelo de Y0 em .

Se uma curva parametrizada : (a, b)M e uma geodesica, entao, peloitem (4) da Proposicao 1,

d

dt(t), (t) = 2 D

(t)dt

, (t) = 0

isto e, o vetor tangente (t) tem comprimento constante. Observe, entre-tanto, que pode ter auto-interseccoes.

Os seguintes fatos sobre geodesicas serao apresentados sem demons-tracoes. As demonstracoes dependem dos teoremas de existencia, unicidadee dependencia das condicoes iniciais das equacoes diferenciais ordinarias epodem ser encontradas em M. do Carmo [dC ].

Para todo ponto p M e todo vetor v Tp(M) existe uma unicageodesica (t; p, v) definida em um intervalo (, ) e satisfazendo a`s con-dicoes: (0; p, v) = p, (0; p, v) = v; uma tal geodesica e homogenea nosentido seguinte: se (t; p, v) esta definida em t (, ), a geodesica


(t; p, v

)esta definida em t (

,

)e

(t

; p, v

)= (t; p, v), R.

Alem disso, fixado p M , o ponto (1; p, v) esta definido para todo vpertencente a uma bola aberta B(0) Tp(M), centrada na origem deTp(M), e varia diferenciavelmente com v.

Os fatos acima permitem definir uma aplicacao diferenciavel

expp : B(0) Tp(M)M

chamada a aplicacao exponencial em p, dada por

expp(v) = (1; p, v).

Observe que expp(0) = p e que a diferencial de expp na origem e dada por

(d expp)0(v) =d

dt(1; p, tv)

t=0

=d

dt(t; p, v)

t=0

= (0, p, v) = v.

Pelo teorema da funcao inversa, expp e um difeomorfismo em uma vizi-nhanca V da origem de Tp(M). A imagem expp(V ) = U e chamada umavizinhanca normal de p M . As geodesicas de U que passam por p saochamadas geodesicas radiais da vizinhanca normal U . Note que todo q Ue ligado a p em U por uma unica geodesica radial.

Dada uma curva : (a, b) M parametrizada pelo comprimento dearco, o campo D

dsdds

ao longo de mede o quanto deixa de ser geodesica.

O valor de Dds

dds

e chamado o vetor curvatura geodesica de em M .

Passemos agora a` introducao da curvatura em uma variedade riemani-ana. Motivados pela Secao anterior, definiremos

ij = dij k

ik kj . (5)

As formas ij sao chamadas as formas de curvatura de M no referencial{ei}. O significado geometrico de tais formas e inteiramente analogo ao dasformas ij da Secao anterior, isto e, para cada p M e cada par de vetoresX,Y Tp(M), a matriz

{(ij)p(X,Y )

}e a matriz de uma aplicacao linear(

RXY)p: Tp(M) Tp(M).

RXY e chamado o operador de curvatura de M . Como ij = ji , eij e uma forma bilinear alternada, temos as seguintes identidades para o


operador de curvatura: Se X, Y , Z e T sao campos diferenciaveis de vetoresem M , entao

RXY Z, T = RY XZ, T , (6)RXY Z, T = RXY T,Z. (7)

Derivando exteriormente as equacoes (1), obteremos

0 =k

dk kj k

k dkj

=ki

i ik kj i

i dij

=i

i (

k

ik kj dij)=

i

i ij

ou seja i

i ij = 0. (8)

A equacao (8) e chamada a primeira identidade de Bianchi. Em termosdo operador curvatura, ela se traduz da maneira seguinte. Se X, Y e Z saocampos diferenciaveis de vetores em M , entao, para todo j = 1, . . . , n,

0 =i

i ij(X,Y, Z)

=i

{i(X)ij(Y,Z) i(Y )ij(X,Z) + i(Z)ij(X,Y )

}= RY ZX RXZY +RXY Z.ej,

dondeRXY Z +RY ZX +RZXY = 0. (8)

De (8) e (7) decorre a seguinte identidade

RXY Z, T = RZTX,Y (9)

que pode ser demonstrada da maneira seguinte: a partir de (8), obtemos

RXY Z, T + RY ZX,T + RZXY, T = 0,RY ZT,X+ RZTY,X+ RTY Z,X = 0,RZTX,Y + RTXZ, Y + RXZT, Y = 0,RTXY,Z+ RXY T,Z+ RY TX,Z = 0.


Somando as equacoes acima, conclumos que

2RZXY, T + 2RTY Z,X = 0,donde, usando (7),

RZXT, Y = RTY Z,X,que e equivalente a` expressao (9).

Derivando exteriormene a equacao (5), obteremos

0 =k

dik kj k

ik dkj + dij

=k

(s

is sk +ik) kj

k

ik (

m

km mj +kj)+ dij

= dij +k

ik kj k

ik kj , (10)

que e chamada a segunda identidade de Bianchi.

Como as formas ij sao formas de grau dois, elas podem ser escritas

ij = 12

k`

Rijk` k ` = k


e A =

cos sen sen cos

ou A = sen cos

cos sen

dependendo da orientacao de e1, e2 relativamente a e1, e2 . Pelo Lema 1 daSecao 1.5,

ij =k`

uik k` uj` ,

donde

12 =k`

u1k u2`k` = (cos2 12 sen2 21

)= 12

onde o sinal depende da orientacao. Portanto

12(e1, e2) = 12(e1, e2) = 12(e1, e2),

qualquer que seja a orientacao adotada, o que prova o afirmado. O numero

Kp(P ) = (12)p(e1, e2) = (Re1e2)p(e1), e2

e chamado a curvatura seccional de M em p segundo P .

Para obter a expressao da curvatura seccional em termos do operadorde curvatura, tomemos dois vetores linearmente independentes X,Y P Tp(M), e um referencial ortonormal {ei} tal que e1, e2 gerem P . EntaoX = x1e1 + x2e2 , Y = y1e1 + y2e2 , e, por linearidade e pelas relacoesde simetria (6) e (7),

RXYX,Y = Rx1e1+x2e2,y1e1+y2e2 x1e1 + x2e2, y1e1 + y2e2= (x1y2 x2y1)Re1e2x1e1 + x2e2, y1e1 + y2e2= (x1y2 x2y1)2 Re1e2 e1, e2 = (A(X,Y ))2K(P ),

onde A(X,Y ) e a area do paralelogramo formado por X e Y . Portanto

K(P ) =RXYX,Y (A(X,Y ))2

(11)

Diz-se que uma variedade riemaniana M e isotropica em p M setodas as curvaturas seccionais em p tem o mesmo valor, isto e, se Kp(P )nao depende de P Tp(M).Proposicao 3. Seja M uma variedade riemaniana, p um ponto de M e{ei} um referencial em uma vizinhanca de p. Entao M e isotropica em pse e so se

ij = Kp i j . (12)


Demonstracao: Sejam X = xiei e Y = yiei dois vetores linearmenteindependentes de Tp(M). Por linearidade,

(RXY )X,Y =i,j,k,`

Rijk` xiyjxky` .

Por outro lado,

(A(X,Y ))2 = |X|2 |Y |2 X,Y 2

=

(ik

ik xixk

)j`

j` yjy`

ij

ij xiyj

(k`

k` xky`

)

=i,j,k,`

(ik j` ij k`)xi xk yj y` .

Suponhamos agora que M seja isotropica em p, isto e, para todo X,Y Tp(M),

RXY X,Y = Kp(A(X,Y ))2,ou seja,

i,j,k,`

xiyjxky` = Kp

i,j,k,`

(ikj` ijk`)xiyjxky`

,para todo X, Y .

Afirmamos que isto implica que (note a mudanca de ndices no ladodireito da igualdade)

Rijk` = Kp(ikj` kji`).

Para provar nossa afirmacao, escolha:

X = (0, . . . , 0,i

1, 0, . . . ,k

1, 0, 0, . . . ),

Y = (0, . . . , 0,j

1, 0, . . . ,`

1, 0, 0, . . . ).

Entao,

1 = xixkyjy` = xkxiyjy` = xixky`yj = xkxiy`yj ,

e todos outros produtos sao nulos. Segue-se que

Rijk` = Kp(ikj` ijk`).


Da expressao acima, obtem-se

2(Rijk` +Rkji`) = Kp[ikj` ijk`] + [kiej k`ij ]+ [kij` i`kj ] + [kij` kji`],

dondeRijk` +Rkji` = Kp[2ikj` ijk` kji`] (i)

De (i), conclumos

Rkij` +Rjik` = Kp[2kji` kij` jik`]. (ii)Finalmente, escrevemos a igualdade de Bianchi,

Rijk` +Rkij` Rkji` = 0. (iii)

Se agora tomarmos a soma (i) + (iii) (ii), obteremosRijk` = Kp(ikj` kji`),

como havamos afirmado.Portanto,

ij = 12

k`

Rijk` k `

= k`

Kp(ikj` ijk`)k ` = Kp i j .

Revertendo os passos do argumento, provaremos a recproca.

Diz-se que uma variedade riemaniana M tem curvatura constante seKp(P ) nao depende de p e de P . O resultado seguinte e surpreendente emostra que se dimM 3, a isotropia deM em todos os seus pontos implicana constancia da curvatura de M .

Teorema (Schur). Seja Mn uma variedade riemaniana conexa, n 3.Suponha que M e isotropica para todo p M . Entao M tem curvaturaconstante.

Demonstracao: Diferenciando a relacao (12), obteremos

dij = dKp i j Kp di j +Kp i dj .Por outro lado, a segunda identidade de Bianchi (10) e as equacoes deestrutura fornecem

dij = k

ik kj +k

ik kj

=k

Kp i k kj k

Kp ik k j

= Kp i dj Kp di j .


Segue-se da que, para todo i, j,

dKp i j = 0,

e, portanto, dKp = 0 em M . Como M e conexa, Kp nao depende de p.

Voltaremos a`s variedades de curvatura constante na Secao 1.8. No mo-mento queremos apenas apresentar dois exemplos de variedades riemanianasde curvatura constante que junto com o Rn desempenham um papel funda-mental na Geometria Diferencial.

Exemplo 1. A esfera unitaria Sn Rn+1 centrada na origem. Escolhendoum referencial adaptado e1, . . . , en, en+1 em R

n+1 {0}, teremos

dij =k

ik kj + i,n+1 n+1,j , i, j, k = 1, . . . , n,

dondeij = i,n+1 n+1,j .

Como podemos pensar em x = en+1 como o vetor posicao da esfera Sn em

Rn+1, teremosdx = iei = den+1 = n+1,i ei ,

donde i = n+1,i . Decorre da que ij = i j , isto e, Sn temcurvatura constante 1.

Exemplo 2 (O espaco hiperbolico). Seja Hn = {x Rn; |x|2 < 4} a bolaaberta em Rn de raio 2. Vamos definir em Hn uma metrica riemanianadada por

xi,

xj

x

=ij(

1 |x|24)2 , x = (x1, . . . , xn) Hn.

Munido desta metrica riemaniana, Hn e chamado o espaco hiperbolico dedimensao n. Vamos mostrar que Hn tem curvatura constante igual a 1.

Facamos u = 1 |x|24 e escolhamos o referencial ei = u xi E ime-diato verificar que ei, ej = ij . O coreferencial associado e dado pori =

1udxi . Portanto,

di = 1u2

du dxi = 1u2

j

u

xjdxj dxi

= j

j uxj

i = j

j (u

xji u

xij

).


Facamos

ij =u

xji u

xij = ji .

Pelo Lema 2 da Secao 1.2, ij sao as formas de conexao de Hn no refe-

rencial {ei}. Resta-nos mostrar que ij = i j para concluir que Hntem curvatura constante 1.

Como u = 1 x2i4 , temos que uxj = 12 xj . Entao

ij = 12(xji xij).

Portanto,k

ik kj =k

1

4

{xki xik

} {xjk xkj}=

1

4

k

{xkxj i k xkxk i j + xixk k j

}e

dij =u

2(i j j i)

14

{xjk (xki xik) + xik (xjk xkj)

}.

Decorre da que

ij = dij ik kj = ui j + |x|2

4i j = i j ,

conforme queramos.

Daremos mais um exemplo que, embora nao tao fundamental como osexemplos anteriores, apresenta aspectos instrutivos. Os calculos abaixoforam feitos por Antonio Carlos Asperti e Renato Tribuzy.

Exemplo 3 (A metrica do fibrado tangente). Seja Mn Rn+k=N umavariedade riemaniana com a metrica induzida. Seja TM RN RN ofibrado tangente de M , isto e,

TM = {(p, v) RN RN ; p M, v Tp(M)}.TM possui uma metrica riemaniana natural que passaremos a definir.

Seja (p, v) TM e sejam V , W dois vetores tangentes a TM no ponto(p, v). Sejam (t) = (x(t), v(t)) e (t) = (y(t), (t)) duas curvas em TMcom

(0) = (x(0), v(0)) = (p, v), (0) = (y(0), (0)) = (p, v)

(0) = (x(0), v(0)) = V, (0) = (y(0), (0)) = W.


Definiremos

V,W (p,v) = x(0), y(0)+ (v(0)T , ((0))T ,

onde , no segundo membro indica a metrica de M e ( )T indica a compo-nente tangente a M do vetor ( ) RN . Observe que (v(0))T = (

tv)t=0

e que, portanto, a metrica de TM pode ser definida de uma maneira intrn-seca.

E conveniente, a`s vezes, considerar o fibrado tangente unitario T1M quee definido por

T1M = {(p, v) TM ; |v| = 1} TM.E claro que a metrica acima definida de TM induz em T1M uma metricariemaniana que chamaremos a metrica natural de T1M . O interesse naintroducao de T1M provem do fato de que, quando M e compacto, T1Mtambem o e.

A metrica natural do fibrado tangente unitario possui varias propriedadesinteressantes. Aqui nos contentaremos em provar que se M = S2 com ametrica de curvatura constante igual a 1, entao a metrica natural de T1S

2

tem metrica de curvatura constante igual a 1/4.No que se segue, indicaremos por pi : T1M M a aplicacao pi(p, v) = p.

Seja p S2 e sejam (r, ) , < r < +, 0 < < 2pi, coordenadaspolares em Tp(S

2)L, onde L e a semi-reta de origem 0 que corresponde a = 0. Como expp : Tp(S

2) S2 e um difeomorfismo em uma vizinhanca Vda origem de Tp(S

2), podemos introduzir as coordenadas (r, ) em expp(V V L) = U S2. E facil verificar que os campos vetoriais e1 = d expp

(r

),

e2 =1

sen r d expp(

), definidos em U , sao ortonormais. Portanto, uma

parametrizacao de pi1(U) T1(M) e dada por

(r, , ) (expp(r, ), cos e1 + sen e2), 0 < < 2pi.

Vamos indicar por r, , os campos coordenados de T1S2 na para-

metrizacao acima. Se mostrarmos que(a) r, r = 1,(b) , = 1,(c) , = 1,(d) r, = 0,(e) r, = 0,(f) , = cos r,

poderemos tomar

1 = r, 2 = , 3 =1

sen r cos r

sen r, (*)


como um referencial ortonormal em U . Para provar as relacoes (a)-(f),procederemos da maneira seguinte. Sera conveniente simplificar a notacaoe fazer d expp

(r

)=

r, d expp

(

)=

(a) Por definicao de metrica natural,

r, r =

r,

r

+

D

r(cos e1 + sen e2),

D

r(cos e1 + sen e2)

.

Como r expp(r, ) e uma geodesica radial em S2, Dr e1 = Dr r = 0.Alem disto, e2 e paralelo ao longo das geodesicas radiais, donde

Dre2 = 0.

Decorre da quer, r = 1 + 0 = 1.

(b) Por definicao,

, =

,

+

D

(cos e1 + sen e2),

D

(cos e1 + sen e2)

.

Mas , = sen2 r, donde,

r

,

=

1

2

d

dr

,

= sen r cos r.

Portanto,D

e1, e2

=

D

r,

1

sen r

=

D

r

,

1

sen r

= cos r

e D

e1, e1

=

1

2

d

d(e1, e1) = 0,

isto e,D

e1 = cos r e2 .

Alem disto,d

e2, e1

=

e2,

D

r

= 1

sen r

,D

r

= cos r

e D

e2, e2

=

1

2

d

de2, e2 = 0,


isto e,D

de2 = cos r e1 .

Decorre da que

, = sen2 r + sen2 cos2 r + cos2 cos2 r = 1.(c) Por definicao,

(, ) =

D

(cos e1 + sen e2),

D

(cos e1 + sen e2)

= sen e1 + cos e2, sen e1 + cos e2= sen2 + cos2 = 1.

(d)

r, =

r,

+

D

r(cos e1 + sen e2),

D

(cos e1 + sen e2)

= 0 +

cos

D

re1 + sen

D

re2, cos

D

e1 + sen

D

e2

= 0

(e)

(, ) =

cos

D

re1 + sen

D

re2, sen e1 + cos e2

= 0.

(f)

(, ) =

cos

D

e1 + sen

D

e2, sen e1 + cos e2

= cos cos r e2 sen cos r e1, sen e1 + cos e2= cos2 cos r + sen2 cos r = cos r,

o que conclue a demonstracao das afirmacoes (a)-(f).

Consideremos em U o referencial dado por (*). O coreferencial associadoe dado por

1 = dr, 2 = d + cos r d, 3 = sen r d,


onde, por exemplo, dr e a diferencial da funcao coordenada:

(expp(f, ), cos e1 + sen e2) r.Utilizando as equacoes de estrutura, obteremos

0 = d1 = 2 21 + 3 31 ,

1 3 = d2 = 1 12 + 3 32 ,

cos r

sen r1 3 = d3 = 1 13 + 2 23 .

Para calcular as formas de conexao 12, 13, 23, procederemos damaneira seguinte. Da primeira equacao acima e do lema de Cartan, temosque

21 = A11 2 +A12 3 ,

31 = A12 2 +A22 3 .

Fazendo 32 = B1 1 + B2 2 + B3 3 e introduzindo estas expressoes nasduas ultimas equacoes, conclumos que

A11 = B2 = B3 = 0, A12 =1

2, A22 = cos r

sen r,

donde

21 =1

23, 31 =

1

22 cos r

sen r3, 32 =

1

22 .

Finalmente, usando as expressoes das formas de curvatura, obteremos

12 = d12 13 32 = cos r dr d + 142 1

cos rsen r

3 1 = 141 2 ,

13 = d13 12 23 = 141 3 ,

23 = d23 21 13 = 142 3 .

Pela Proposicao 3 da Secao 1.6, conclumos que T1S2 tem curvatura cons-

tante igual a 14 , como havamos afirmado.

Para concluir esta secao, mencionaremos que, se M e orientada, a n-forma diferencial 1 n = nao depende da escolha do referencial

40 Tensores em variedades riemanianas Secao 1.7

{ei}, contanto que tomemos sempre referenciais na orientacao de M . Comefeito, o valor de nos vetores vi = aijej , i, j = 1, . . . , n e dado por

(1 2 2)(

j

a1jej , . . . ,j

anjej)

= det(aij)1 n(e1, . . . , en) = det(aij)

que e igual ao volume orientado do paraleleppedo formado pelos vetores vi .A forma e portanto globalmente definida e e chamada a forma volume deM . Por exemplo, a forma volume da esfera Sn no referencial do Exemplo 1e dada por

= 1 2 n = n+1,1 n+1,n .

1.7 Tensores em variedades riemanianas

Seja Mn uma variedade riemaniana. Um tensor de ordem r em M e umacorrespondencia F que a cada ponto p M associa uma forma r-linear

Fp : Tp(M) Tp(M) r fatores

R.

Um tensor F e diferenciavel em p M se escolhido um referencial {ei},i = 1, . . . , n, em uma vizinhanca U de p, as funcoes Fi1i2,...,ir dadas por

Fq(ei1 , ei2 , . . . , eir ) = Fi1i2,...,ir (q),

i1, i2, . . . , ir = 1, . . . , n, q U

sao diferenciaveis em p. E claro que esta condicao nao depende da escolhado referencial {ei}. F e diferenciavel em M se e diferenciavel para todop M . De agora por diante, so consideraremos tensores diferenciaveis eomitiremos o adjetivo diferenciavel por conveniencia. As funcoes fi1,i2,...,irsao chamadas as componentes do tensor F no referencial {ei}.Exemplo 1. O tensor curvatura R em M que faz corresponder a cadap M e a cada conjunto de quatro vetores X, Y , Z, T de Tp(M) e valor

Rp(X,Y, Z, T ) = RZT X,Y .

R e um tensor de ordem quatro e suas componentes em um referencial {ei}sao dadas por

Rp(ei, ej , ek, e`) = Rijk` .


Exemplo 2. O tensor metrico G que faz corresponder a cada ponto p Me a cada par de vetores X,Y Tp(M), o produto interno de X e Y nametrica riemaniana de M , isto e,

Gp(X,Y ) = X,Y p .

Exemplo 3. Toda k-forma diferencial em M e automaticamente umtensor de ordem k em M .

Observacao 1: Para os que sao familiares com a nocao de tensor, deveser mencionado que a definicao acima e conveniente para os propositos daGeometria Riemaniana. E possvel definir a nocao de tensor em uma va-riedade diferenciavel sem estrutura riemaniana mas, entao, e necessario dis-tinguir os tensores covariantes (que definimos acima) dos contravariantes(que poderamos definir utilizando o dual de Tp(M)). No nosso caso, istoe desnecessario, pois a metrica riemaniana faz corresponder a cada campodiferenciavel de vetores X uma forma diferencial dada por

p(Y ) = X,Y p , para todo p M e todo Y Tp(M).

Observacao 2: Segundo a definicao adotada, um campo diferenciavel devetores X e um tensor de ordem 1 que faz corresponder a todo p M etodo Y Tp(M) o valor X,Y p .

Frequentemente sera conveniente deixar de indicar o ponto p nos calculosabaixo. Por exemplo, se X1, . . . , Xr sao campos diferenciaveis de vetoresem M , F (X1, . . . , Xr) indica a funcao diferenciavel que a cada p M fazcorresponder o valor Fp((X1)p, . . . , (Xr)p). Assim, tem sentido falar na

diferencial d(F (X1, . . . , Xp)), etc.Em uma variedade riemaniana, e possvel estender a nocao de diferencial

covariante a tensores de ordem r. Seja F um tensor de ordem r em umavariedade riemaniana Mn. Seja p M e {ei} um referencial ortonormal emuma vizinhanca U de p. A diferencial covariante F e um tensor de ordemr + 1 definido da seguinte maneira. As componentes

Fi1i2,...,ir;j = F (ei1 , ei2 , . . . , eir , ej),i1, i2, . . . , ir, j = 1, . . . , n,

de F no referencial {ei} sao dadas porj

Fi1i2,...,ir;jj = dFi1,...,ir +j

Fji1,i3,...,ir ji1

+j

Fi1ji3r ji2 + +j

Fi1i2...ir1j jir , (1)


onde Fi1i2...ir indica as componentes de F no referencial {ei}.Para mostrar que a definicao faz sentido e necessario verificar que ela nao

depende da escolha do referencial {ei}. Isto pode ser feito ou por um calculodireto ou por meio de uma interpretacao geometrica de F . Usaremos asegunda alternativa.

Observe inicialmente que, por exemplo,j

Fi1i2ji4...ir ji3(ei) =j

F (ei1 , ei2 , ej , . . . , eir )eiej , ei3.

Como F e linear e eiej , ei3 = ej ,eiei3, teremosj

Fi1i2ji4,...,ir ji3(ei) =j

F (ei1 , ei2 , j

eiei3 , ejej , . . . , eir )

= F (ei1 , ei2 ,eiei3 , ei4 , . . . , eir ).

Portanto

Fi1i2,...,ir;i =j

Fi1i2,...,ir;j j(ei)

= (dF (ei1 , ei2 , . . . , eir ))(ei) F (eiei1 , ei2 , . . . , eir )

F (ei1 , ei2 , . . . ,eieir )= F (ei1 , ei2 , . . . , eir , ei).

Sejam agora

X1 =i1

x1i1 ei1 , X2 =i2

x2i2 ei2 , . . . , Xr =ir

xrir eir , Y =i

yiei

r+1 campos diferenciaveis em U . Usando a linearidade, a regra de derivacaodo produto e a expressao anterior, obteremos

F (X1, . . . , Xr, Y ) = d(F (X1, . . . , Xr))(Y ) F (YX1, X2, . . . , Xr) F (X1, X2, . . . ,YXr)

o que mostra que a definicao de F nao depende do referencial.A nocao de derivada covariante se obtem a partir da nocao de diferen-

cial covariante da maneira usual. Mais explicitamente, define-se a derivadacovariante de um tensor F em relacao a um campo diferenciavel de vetoresX como sendo o tensor XF de mesma ordem que F dado por

XF (X1, . . . , Xr) = F (X1, X2, . . . , Xr, X).


Exemplo 1. Vamos mostrar que G = 0, onde G e o tensor metrico deM . Com efeito, dados campos diferenciaveis de vetores X1, X2, Y , teremos

G(X1, X2, Y ) = (dG(X1, X2))(Y )G(YX1, X2)G(X1,YX2)= dX1, X2(Y ) {YX1, X2+ X1,YX2} = 0,

o que exprime simplesmente que a derivada covariante satisfaz a regra doproduto (V. (4) da Prop. 2 da Secao 1.6).

No caso de uma imersao x : Mn Rn+q de uma variedade riemaniana,e conveniente estender a nocao de tensor da maneira seguinte. Um tensorde ordem (r, `), ` 6= 0, de uma imersao x e uma correspondencia F que acada ponto p M associa uma forma (r + `)-linear

Fp : Tp(M) Tp(M) r fatores

Np(M) Np(M) ` fatores

R.

A definicao de diferenciabilidade de um tal tensor e feita da maneira usual.A diferencial covariante F de F (X,Y, . . . , Z, , , . . . , ) e o (r+ `+1)-

tensor dado por

F (X,Y, . . . , Z, , . . . , ;T )= dF (X,Y, . . . , Z, . . . , , , . . . , )(T ) F (TX,Y, . . . , Z, , , ) F (X,TY, . . . , Z, , , ) F (X,Y, . . . , Z,T , , ) F (X,Y, . . . , Z, , ,T ).

Naturalmente, a derivada em T de F e dada por

TF (X,Y, . . . , Z, , , . . . , ) = F (X,Y, . . . , Z, , , . . . , ;T ).A derivacao covariante de tensores permite estender a`s variedades rie-

manianas certos operadores diferenciais (laplaciano, divergencia, etc) de usofrequente no Rn. Passaremos a uma exposicao de alguns destes operadores.

Seja f : M R uma funcao diferenciavel em uma variedade riemanianaM . O gradiente de f e o campo vetorial grad f em M definido por

grad f,Xp = dfp(X),para todo p M e todo X Tp(M). Em outras palavras, grad f e o dualna metrica riemaniana da forma df .

Considerando um referencial {ei} em um aberto U M , podemos es-crever, em U , df =

i

fii . A funcao fi e chamada a derivada de f na

direcao ei . E imediato que, em U ,

grad f =i

fiei .


A diferencial covariante de df e dada por

(df) =i,j

fi;j ij ,

onde, por (1), j

fi;j j = dfi +j

fj ji .

A forma bilinear (df) e chamada o hessiano de f na metrica de M . Otraco desta forma bilinear, isto e, a funcao em M dada por

i

fi;i = f

e chamada o laplaciano de f . Note que no caso M = Rn (ij = 0), hessianoe laplaciano concidem com os conceitos conhecidos do Rn. As funcoes emM para as quais f = 0 sao chamadas harmonicas.

Dado um campo diferenciavel de vetores X emM , a metrica riemanianafaz corresponder a X uma 1-forma diferencial X dada por

X(Y ) = X,Y p ,para todo p M e todo Y Tp(M). Dado um referencial local {ei}, eimediato verificar que se X = xiei entao

X =

xii .

A diferencial covariante X de X e uma forma bilinearX =

xi;j ij ,

onde, por (1), j

xi;j j = dxi +j

xjji . (2)

O traco de X , isto e, a funcao em M dada pori

xi;i = divX

e chamada a divergencia de X. Observe que

f = div grad f.

As expressoes seguintes sao obtidas sem dificuldade a partir das definicoes,e serao deixadas como exerccios.

div(fX) = f divX +X(f), (3)


(fg) = fg + gf + 2 grad f, grad g. (4)A importancia destes operadores reside no fato que eles permitem de-

monstrar teoremas globais em variedades riemanianas. Dentro em poucomostraremos que se e a forma volume de uma variedade riemaniana ori-entavel, entao

divX = d, (5)

onde e uma (n 1)-forma definida em M . Admitindo provisoriamenteeste fato, podemos demonstrar o seguinte teorema de uso frequente.

Teorema (E. Hopf). Seja M uma variedade riemaniana orientavel, com-pacta e conexa. Seja f uma funcao diferenciavel em M com f 0. Entaof = const.

Demonstracao: Seja X = grad f . Usando (5) e o teorema de Stokes,obteremos

M

f =

M

divX =

M

d =

M

= 0.

Como f 0, teremos que f = 0. Utilizando de novo o teorema deStokes para f2/2, teremos, por um lado,

M

(f2/2) =

M

div Y =

M

d =M

= 0,

onde Y = grad(f2/2). Por outro lado, usando (4),M

(f2/2) =

M

ff +

M

| grad f |2 .

Como f 0, conclumos que grad f 0, o que implica que df 0. ComoM e conexa, f e constante em M .

Resta-nos provar (5). Para isto, convem introduzir a nocao de produtointerior iX de um campo diferenciavel de vetores X com uma k-formadiferencial . Esta nocao nao necessita da presenca de uma metrica riema-niana. Por definicao, iX e uma forma de grau k 1 tal que(

iX)p(v1, . . . , vk1) = ()p(v1, . . . , vk1, Xp),

para todo p M e todo v1, . . . , vk1 Tp(M).Afirmamos que d na igualdade (5) e dada por (1)n d(iX), isto e, que

(1)n divX = d(iX), (6)

onde n e a dimensao da variedade M .

46 Equacoes de estrutura em referenciais geodesicos... Secao 1.8

Para provar (6), basta verifica-la em um referencial particular. Escolha-mos um referencial local {ei} tal que X = xnen . Entao

iX(e1, . . . , en1) = (e1, . . . , en1, xnen) = xn ,

e iX(ei1 , . . . , ein1) = 0 se i1, . . . , in1 e qualquer combinacao de n 1elementos de 1, 2, . . . , n, distinta de 1, . . . , n1. Portanto, neste referencial,

iX = 1 n1 xn .

Decorre da, usando as equacoes de estrutura e (2), que

d(iX) = d1 2 n1xn+ (1)1 d2 n1xn+ + (1)n 1 n1 dxn

=(

j

j j1) 2 n1xn

+ (1)1 (

j

j j2) n1xn

+ + (1)n 1 n1 (

j

xn;j j xn nn)

= (1)n(xnn1) 2 n+ (1)n(xnn2) 1 3 n+ + (1)n xn;n 1 n

= (1)n{x1;1 + x2;2 + + xn;n} = (1)n divX,

pois, de (2),

xn ni =k

xi;k k .

Portanto (6) esta demonstrado.

1.8 Equacoes de estrutura em referenciais geodesicos;

determinacao local da metrica pela curvatura

Uma pergunta natural e se o conhecimento do tensor curvatura deter-mina localmente a metrica riemaniana de uma variedade. Em um certosentido, que pretendemos explicitar neste paragrafo, a resposta e afirma-tiva. Uma afirmacao equivalente foi feita pela primeira vez por Riemannem sua famosa dissertacao de 1850, ([Ri], pg. 289). Ao que saibamos, aprimeira demonstracao do resultado local foi dada por Elie Cartan ([Ca 1],


pg. 238) e e essencialmente a demonstracao que apresentamos aqui. Aversao global do teorema, que nao apresentaremos, foi feita por Ambroseem 1956 ([Amb]). Uma apresentacao do resultado de Ambrose pode serencontrada em Cheeger, Ebin [ChEb].

Precisamos de um lema preliminar, util em muitas outras situacoes, quee uma forma particular das equacoes de estrutura.

Seja Mn uma variedade riemaniana e p um ponto de M . Seja U umavizinhanca normal de p, isto e, U = expp(V ), onde V e uma vizinhanca daorigem em Tp(M) na qual expp e um difeomorfismo. Considere o referencial{ei}, i = 1, . . . , n, em U obtido transportando paralelamente uma baseortonormal (e1)p, . . . , (en)p de Tp(M) ao longo das geodesicas em U quesaem de p. Um tal referencial e chamado um referencial geodesico em p emuma vizinhanca normal U de p.

Sejam i, ij as formas do coreferencial e as formas de conexao de Mem {ei}, respectivamente. Considere o espaco R Rn e seja W R Rno aberto dado por

W =

{(t, a1, . . . , an) RRn; t

i

ai{ei}p V}.

Seja F : W U dada por

F (t, a1, . . . , an) = expp(ti

aiei).

Entao F i , F ij sao formas em RRn e podemos escreverF i = fi dt+ i , F ij = ij ,

onde i nao contem dt.

Lema (equacoes de estrutura em um referencial geodesico). Com a notacaoacima, ij nao contem dt e

fi(t, a1, . . . , an) = ai .

Alem disso, as seguintes equacoes sao verificadas:

it

= dai +j

ajji , i(t, ak, da`)t=0

= 0, (1)

ijt

= k`

Rijk` ak` , ij(t, ak, da`)t=0

= 0, (2)

onde a forma it

, por exemplo, e definida por di = dt it + termos semdt.


Demonstracao: Facamos

ij = Fij = ij dt+ ij ,

onde ij nao contem dt. Fixado a = (a1, . . . , an) Rn, a curva (t) =F (t, a) e uma geodesica partindo de p com vetor tangente (t) = aiei . Eclaro que i = fi dt e ij = ij dt. Portanto,

fi = i

(

t

)= i

(d

(

t

))= i(

(t)) = ai ,

ij = ij

(

t

)= ij

(d

(

t

))= ij(

(t)) = (t) ei, ej = 0,

pois o referencial {ei} e paralelo ao longo de . A primeira afirmacao dolema esta portanto provada.

Para provar a validade das equacoes indicadas, apliquemos as equacoesde estrutura a`s formas F i , F ij . Por um lado,

dF i = F di = F (j ji) =j

(fj dt+ j) ji

= j

aj ji dt+j

j ji

e por outro,

dF i = d(aidt+ i) = dai dt+ dt it

+ termos sem dt.

Portanto,

it dt = (dai +

j

ajji) dt+ termos sem dt,

o que fornece a equacao em (1) (a condicao inicial (1) sera verificada dentroem pouco).

Analogamente,

d(F ij) = F dij = F (

s

is sj 12

k`

Rijk` k `)

+s

is sj 12

k`

Rijk`(fkdt+ k) (f` dt+ `)

=(12

k`

Rijk` ak` +1

2

k`

Rij`k a`k) dt = termos sem dt

=k`

Rijk`ak` dt+ termos sem dt,


e

dF ij = dij = dt ijt

+ termos sem dt.

Portanto,ijt

= k`

Rijk` ak ` ,

o que prova a equacao em (2).

Para verificar as condicoes iniciais, observe que se g e uma funcao dife-renciavel arbitraria em uma vizinhanca de p, entao, em (0, a1, . . . , an) W ,

0 =(g F )ai

= dg dF(

ai

)=

(dF

(

ai

))g,

onde a primeira igualdade vem do fato que F (0, a1, . . . , an) = p. Portanto,em t = 0,

j

(

ai

)= j

(dF

(

ai

))= 0,

ij

(

ai

)= ij

(dF

(

ai

))= 0,

o que prova as condicoes iniciais em (1) e em (2).

Para enunciar o teorema de Cartan, precisamos de alguma notacao. Se-jam M e M duas variedades riemanianas e sejam p M e p M . No quese segue, indicaremos por uma linha as entidades correspondentes em M .Seja V uma vizinhanca da origem de Tp(M) onde expp e um difeomorfismo,fixemos uma isometria linear i : Tp(M) Tp(M ), e seja

f : expp V = U expp V = U

a aplicacao dada por

f(q) = expp i exp1p (q), q U.Para todo q U , seja Ppq = Tp(M) Tq(M) o transporte paralelo de p aq ao longo da geodesica radial dada por expp tv, v = exp

1p (q), 0 t 1.

Seja q : Tq(M) Tf(q)(M ) a aplicacao

q(X) = Ppf(q) i P1pq (X), X Tq(M).

Diremos que preserva curvatura se, para todo q U e todo X,Y, Z, T Tq(M), tivermos

RXY Z, T q = Rq(X)q(Y ) q(Z), q(T )f(q) .


Teorema (Cartan). Com a notacao acima, se preserva curvatura, entaof : U U e uma isometria.Demonstracao: Escolha uma base ortonormal {(ei)p} em Tp(M) e facai(ei)p = (e

i)p . Construa um referencial geodesico {ei} em U transportando

paralelamente {(ei)p} ao longo das geodesicas radiais de U e efetue umaconstrucao semelhante em U a partir de (ei)p . Pela construcao dos refe-renciais, dizer que preserva curvatura e equivalente a que

(Rijk`)q = (Rijk`)f(q)

, q U.

Pelo lema, as formas {i, ij} e {i, ij} sao solucoes de um mesmo sistema((1)+(2)), com as mesmas condicoes iniciais. Portanto i =

i , ij =

ij .

Observe que i, ij , i,

ij sao formas induzidas em RRn pelas aplicacoes

F e F definidas como no lema. Como F = f F , teremos queij = f

ij , i = fi ,

dondei

2i = f

i

2i , isto e, f e uma isometria.

Corolario 1. Duas variedades riemanianas M e M de mesma curvaturaconstante K sao localmente isometricas.

Corolario 2. Seja Mn uma variedade riemaniana de curvatura constante.Sejam p e q dois pontos de M , a1, . . . , an uma base ortonormal de Tp(M)e b1, . . . , bn uma base ortonormal de Tq(M). Entao existe uma isometria fde uma vizinhanca normal Up de p em uma vizinhanca normal Uq de q talque f(p) = q e dfp(ai) = bi , i = 1, . . . , n.

Observacao 1: Uma variedade riemaniana M e completa se para todop M , a aplicacao expp e definida em todo o Tp(M). Uma variedadediferenciavel M e simplesmente conexa se toda curva fechada em M podeser continuamente deformada em um ponto. E possvel provar que se asvariedades M e M do Corolario 1 sao completas, simplesmente conexas etem a mesma curvatura constanteK, entao elas sao globalmente isometricas.(V. M. do Carmo [dC 2] pg. 177).

Relacionado com o problema que acabamos de tratar existe o problemade saber se um difeomorfismo f : M M que preserva curvaturas nosentido que

RX,Y Z, T p = Rdfp(X),dfp(Y ) dfp(Z), dfp(T )f(p) ,

para todo p M e todo X,Y, Z, T Tp(M), e uma isometria. Em dimensaodois, isto seria uma especie de recproca do teorema de Gauss e e falso,mesmo no caso compacto, como mostra o exemplo da figura a seguir:


dilatao = f

isomtricas isomtricas

f e um difeomorfismo que preserva curvatura mas nao e uma isometria.Para n 4 (n = dimM = dimM ), o problema admite, com algumas

hipoteses adicionais, uma solucao afirmativa. Por exemplo, se M e C

e o conjunto dos pontos nao-isotropicos de M e denso em M , entao umdifeomorfismo de M em M que preserva curvaturas no sentido acima euma isometria (V. Kulkarni, [Ku 1], [Ku 2]). Para n = 3, o problema foitratado por Yau [Ya].

1.9 Imersoes riemanianas

Seja Mn uma variedade riemaniana e seja x : Mn Mn+q uma imersaode M em uma variedade riemaniana M . Diremos que x e uma imersaoisometrica (ou riemaniana) se

v1, v2p = dx(v1), dx(v2)x(p) ,

para todo ponto p M e todo par v1, v2 Tp(M). Em outras palavras, fe isometrica se a metrica induzida coincide com a metrica original.

Dado um ponto p M , escolheremos uma vizinhanca U M de p detal modo que x restrita a U seja injetiva. Seja V M uma vizinhanca dep em M tal que V x(U) e que em V seja possvel definir um referencialortonormal {eA}, A = 1, . . . , n + q, adaptado a x, isto e, restritos a x(U)os vetores e1, . . . , en sao tangentes a x(U). Faremos a convencao usual deidentificar U M com x(U) M , e utilizaremos os seguintes domniospara os ndices:

1 A,B,C, n+ q, 1 i, j, k, n, n+ 1 , , , n+ q.

O espaco tangente Tp(M) de M em p se decompoe em uma soma diretaTp(M) = Tp(M) Np(M), onde identificamos dxp(M)) Tp(M) e deno-tamos por Np(M) o complemento ortogonal de Tp(M) em Tp(M). Np(M)sera chamado o espaco normal da imersao x em p. Um campo normal euma correspondencia que a cada p M associa um vetor (p) Np(M) detal modo que para todo referencial adaptado em uma vizinhanca V M

52 Imersoes riemanianas Secao 1.9

de p em V , as funcoes dadas por = e sejam diferenciaveis em p.E claro que uma tal condicao nao depende da escolha do referencial.

Em V temos as formas A, AB que satisfazem as equacoes de estrutura:

dA =B

B BA ,

dAB =C

AC CB +AB , AB = 12

RABCD C D .

As restricoes destas formas em U V satisfazem as mesmas equacoes deestrutura e, como o referencial e adaptado, = 0. Decorre da que

0 = d = i i ,e pelo lema de Cartan,

i =j

hij j , hij = h

ji .

A forma quadratica II =ij

hij ij e a segunda forma quadratica de x

na direcao e .Seja um

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