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Pirâmide – 2016
Nível Fácil
1. (Unisc 2016) Em uma pirâmide regular, a base é um quadrado de lado q. Sabendo que as
faces laterais dessa pirâmide são triângulos equiláteros, pode-se afirmar que o seu volume é
a) 3q 2
b) 3q 2
6
c) q 2
2
d) 3q 3
6
e) 3q 3
3
2. (Uepa 2015) Leia o texto para responder à questão. A arte é uma forma de expressão da racionalidade humana. O origami é uma técnica japonesa baseada em juntar módulos individuais de papel dobrando para criar prismas e cubos, conforme ilustra a figura abaixo.
Todas as pirâmides ilustradas na composição artística acima são tetraedros regulares de base
triangular de aresta L 1dm ligados uns aos outros, por meio de suas arestas e mantendo
suas bases sobre um mesmo plano. Nestas condições, a área total, em 2dm , de um desses
tetraedros regulares é:
a) 2
2 b)
3
2 c) 3 d) 2 2 e) 2 3
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3. (Uel 2015) Na molécula do Metano 4(CH ), o átomo de carbono ocupa o centro de um
tetraedro regular em cujos vértices estão os átomos de hidrogênio.
Considerando que as arestas do tetraedro regular medem 6 cm e que a altura mede
1h 6,
3 assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o volume desse tetraedro.
a) 33 3 cm
b) 318 2 cm
c) 318 3 cm
d) 336 2 cm
e) 354 2 cm
4. (Ufjf-pism 2 2015) Um monumento será construído no formato de uma pirâmide de base hexagonal regular.
Sabendo que a altura h do monumento é 4 m, a aresta lateral a mede 7 m, a aresta da base
mede 4 6 m e desconsiderando possíveis perdas, determine:
a) a área ocupada pela base do monumento em metros quadrados. b) a área mínima de espelhos necessária para cobrir completamente as laterais do
monumento. c) o volume desse monumento. 5. (Uece 2015) A medida da aresta de um tetraedro regular com altura igual a 5 metros é
a) 5 2,5m.
b) 5 1,5m.
c) 2 1,5m.
d) 3 2,5m.
6. (Esc. Naval 2015) Em um polígono regular, cujos vértices A,B e C são consecutivos, a
diagonal AC forma com o lado BC um ângulo de 30 . Se o lado do polígono mede
unidades de comprimento, o volume da pirâmide, cuja base é esse polígono e cuja altura vale o triplo da medida do lado, é igual a
a) 33 3
2 b)
23 3
2 c)
3 3
2 d)
3 3
4 e)
33 3
3
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TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Utilize as informações a seguir para a(s) quest(ões) abaixo. Uma artista plástica está criando uma nova obra, que será um quadro com alto relevo de formas geométricas. Para iniciar o projeto, ela desenhou o quadrado base da obra, mostrada abaixo.
Esse quadrado tem 40 cm de lado e o ponto P foi posicionado 8 cm para a direita e 8 cm
para baixo do ponto A. Traçando a diagonal do quadrado e tomando o ponto P como vértice, ela construiu o triângulo em preto e, usando a simetria em relação à diagonal, ela construiu o
triângulo em branco, com vértice no ponto Q.
Em seguida, reproduzindo esse quadrado base 16 vezes, ela construiu o quadro em relevo
mostrado abaixo, elevando 2 tetraedros sobre cada quadrado base, cada um com altura de
6 cm em relação ao plano do quadrado base, conforme ilustra a figura a seguir.
7. (Insper 2015) Para garantir o efeito visual que desejava, a artista plástica fez as faces dos tetraedros de material transparente e encheu com um líquido contendo material reflexivo. O volume de líquido necessário para encher todo o quadro é de, aproximadamente, a) 45 litros. b) 47 litros. c) 49 litros. d) 51 litros. e) 53 litros. 8. (Mackenzie 2014) Se um tetraedro regular tem arestas de comprimento 6 m, então
podemos afirmar que
a) a altura é igual a 3 3 m.
b) a altura é igual a 3 6 m.
c) a altura é igual a 4,5 m.
d) o volume é igual a 327 3m .
2
e) o volume é igual a 318 2m .
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9. (Uepa 2014) As pirâmides comunicam, ainda hoje, os valores culturais de uma das
civilizações mais intrigantes da humanidade. Foram construídas para a preservação do corpo do faraó. De acordo com a lenda de Heródoto, as grandes pirâmides foram construídas de tal modo que a área da face era igual ao quadrado da altura da pirâmide.
Texto Adaptado: “Contador”, Paulo Roberto Martins. A Matemática na arte e na vida – 2ª Ed. rev. – São Paulo: Editora Livraria da Física, 2011.
Considere a pirâmide de base quadrada, cujo lado mede 2a, a altura H e altura da face h,
construída segundo a lenda de Heródoto. Se S expressa a área da face da pirâmide, então é
correto afirmar que:
a) S a h a h . b) S h a h a . c) 2
S a h . d) 2
S h a . e) 2 2S a h .
Nível Médio
10. (Ufrgs 2016) Considere ABCDEFGH um paralelepípedo reto-retângulo conforme
representado na figura abaixo.
Se as arestas do paralelepípedo medem 3, 6 e 10, o volume do sólido ACDH é
a) 10. b) 20. c) 30. d) 60. e) 90. 11. (Ufjf-pism 2 2016) Na figura abaixo, ABCD é um tetraedro regular de lado e N é um
ponto sobre a aresta AC tal que 2AN NC.
a) Calcule DN. b) Calcule a área do triângulo
BDN.
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12. (Ufpr 2016) Temos, abaixo, a planificação de uma pirâmide de base quadrada, cujas faces
laterais são triângulos equiláteros. Qual é o volume dessa pirâmide?
a) 3163 cm .
3 b) 316 3 cm . c) 332 cm . d) 332
2 cm .3
e) 364cm .
3
13. (Ufsm 2015) Desde a descoberta do primeiro plástico sintético da história, esse material vem sendo aperfeiçoado e aplicado na indústria. Isso se deve ao fato de o plástico ser leve, ter alta resistência e flexibilidade. Uma peça plástica usada na fabricação de um brinquedo tem a
forma de uma pirâmide regular quadrangular em que o apótema mede 10mm e a aresta da
base mede 12mm. A peça possui para encaixe, em seu interior, uma parte oca de volume igual
a 378mm . O volume, em 3mm , dessa peça é igual a
a) 1152. b) 1074. c) 402. d) 384. e) 306. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Utilize o fragmento e as imagens abaixo como auxílio para responder à(s) quest(ões) a seguir. Existem variados tipos de blocos de concreto para o uso de contenção às ondas marinhas, em especial o Tetrápode – bloco criado na década de 1950 e utilizado no molhe leste da Barra Cassino (Rio Grande – RS). Constituído em concreto maciço, o bloco é disposto de um eixo central, no qual são tangentes quatro cones alongados (patas) e arredondados, distribuídos
igualmente a 120 no espaço. Essas “patas” facilitam a conexão entre os blocos, tornando a
estrutura mais estável. O centro de gravidade do Tetrápode encontra-se na união das quatro “patas”, o que dificulta o balanço e o rolamento da carcaça.
Imagens e Fragmento extraído de “Tipos de blocos de concreto para estrutura hidráulica de proteção às ondas marinhas e análise visual dos Tetrápodes da Barra de Rio Grande”
(Adaptado). Disponível em: http://www.semengo.furg.br/2008/45.pdf Acesso: 10 abr. 2015.
14. (Ifsul 2015) Unindo-se as pontas dos eixos das 4 “patas”, forma-se um sólido geométrico
chamado a) Pirâmide Quadrangular Regular. b) Cilindro Equilátero. c) Tetraedro Regular. d) Tronco de Pirâmide.
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15. (Uece 2014) Sejam X, Y e Z três pontos fixos distintos e não colineares, e P um ponto do
espaço, vértice de uma pirâmide cuja base é o triângulo XYZ e cuja medida do seu volume é 3 m
3. O conjunto de todos os pontos P que cumprem esta condição é formado por
a) duas retas paralelas. b) um plano. c) dois planos. d) exatamente dois pontos. 16. (Unifesp 2014) A figura indica uma pirâmide regular quadrangular reta cujas faces laterais são triângulos equiláteros. A aresta da base dessa pirâmide mede 12 cm.
Duas formigas, F1 e F2, partiram do ponto médio da aresta VA para o ponto médio da aresta
VC, sempre caminhando por faces, arestas, ou cruzando arestas. Dentre todos os caminhos
possíveis ligando os dois pontos, a formiga F1 escolheu o mais curto deles. Já a formiga F2 escolheu o caminho mais curto dentre todos que passam pela base ABCD da pirâmide. Calcule: a) a distância percorrida pela formiga F1.
b) a distância percorrida pela formiga F2.
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17. (Uerj 2014) Um quadrado ABCD de centro O está situado sobre um plano á. Esse plano
contém o segmento OV, perpendicular a BC, conforme ilustra a imagem:
Admita a rotação de centro O do segmento OV em um plano perpendicular ao plano a, como se observa nas imagens:
Considere as seguintes informações: - o lado do quadrado ABCD e o segmento OV medem 1 metro;
- a rotação do segmento OV é de x radianos, sendo 0 x2
π ;
- x corresponde ao ângulo formado pelo segmento OV e o plano α ;
- o volume da pirâmide ABCDV, em metros cúbicos, é igual a y. O gráfico que melhor representa o volume y da pirâmide, em m
3, em função do ângulo x, em
radianos, é:
a) b)
c) d)
18. (Uepb 2014) O volume de um tetraedro regular de aresta 2 cm é igual a:
a) 32cm
3
b) 32cm
3
c) 32 cm
d) 31cm
3
e) 33cm
3
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Gabarito: Resposta da questão 1:
[B] Desde que as faces laterais são triângulos equiláteros de lado q, segue que o apótema da
pirâmide mede q 3
.2
Em consequência, sendo a medida do apótema da base igual a q
,2
pelo
Teorema de Pitágoras, segue que a altura da pirâmide mede q 2
.2
Portanto, a resposta é
321 q 2 q 2
q .3 2 6
Resposta da questão 2: [C] A área total de cada tetraedro é igual a
2 2 2L 3 1 3 3 dm .
Resposta da questão 3: [B]
O volume do tetraedro regular de aresta 6cm é dado por 3 3
32 6 218 2 cm .
12 12
Resposta da questão 4:
a) A área da base é dada por 2
23 (4 6) 3144 3 m .
2
Observação: Os dados são inconsistentes. De fato, considerando o triângulo retângulo
formado pela altura do monumento, uma aresta lateral e o respectivo raio r do círculo circunscrito à base, pelo Teorema de Pitágoras, vem
2 2 2r 4 7 r 33.
Ora, segue que r . Contradição.
b) O apótema m do monumento é dado por
2
2 2 24 6p 7 p 49 24 p 5 m.
2
Desse modo, a área lateral do monumento é igual a
24 6 56 60 6 m .
2
Observação: Pelo mesmo motivo da observação em (a), é possível obter outro resultado para a área lateral.
c) O volume do monumento é 31144 3 4 192 3 m .
3
Observação: Pelo mesmo motivo da observação em (a), é possível obter outro resultado para o volume.
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Resposta da questão 5:
[B]
Sabendo que a altura de um tetraedro regular de aresta é dada por 6
h ,3
temos
6 155
3 6
5 6
2
65
4
5 1,5 m.
Resposta da questão 6:
[A]
Desde que BCA 30 e AB BC, temos CAB 30 . Em consequência, vem ABC 120 e,
portanto, a base da pirâmide é um hexágono regular de lado . Desse modo, sendo h 3 a
altura da pirâmide, seu volume é igual a
2 31 3 3 3 33 .
3 2 2
Resposta da questão 7:
[D] A área da base de cada tetraedro corresponde à metade da área do quadrado base, isto é,
2 2140 800cm .
2 Portanto, como são 2 16 32 tetraedros, segue o volume de líquido
necessário para encher todo o quadro é
3132 800 6 51.200cm 51L.
3
Resposta da questão 8: [E]
A altura do tetraedro regular é igual a 6 6
2 6 m,3
e seu volume é 3
36 218 2 m .
12
Resposta da questão 9:
[B]
De acordo com a lenda de Heródoto, segue que 2S H .
Por outro lado, pelo Teorema de Pitágoras, vem
2 2 2 2 2h H a h S a
S (h a)(h a).
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Resposta da questão 10:
[C]
O volume V da pirâmide será dado por:
b1
V A h,3
onde bA é a área da base da pirâmide e h é a altura.
Logo:
21 3 10V 6 30cm
3 2
Resposta da questão 11:
a) Seja M o ponto médio de AC. Desde que 2 AN NC e ADC é um triângulo equilátero
de lado , temos 3
DM2
e
MN AM AN
2 3
.6
Portanto, do triângulo retângulo DMN, pelo Teorema de Pitágoras, vem
2 2
2 2 2 2
22
3DN DM MN DN
2 6
28DN
36
7DN .
3
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b) É fácil ver que o triângulo BDN é isósceles. Se P é o ponto médio de BD, então, pelo
Teorema de Pitágoras, segue que
2 22 2 2 2
22
7BN BP NP NP
3 2
19NP
36
19NP .
6
Em consequência, a resposta é
2
1(BDN) BD NP
2
1 19
2 6
19.
12
Resposta da questão 12: [D] Observe a figura a seguir:
L 3 4 3
h h h 2 32 2
Observe a figura abaixo:
2 22 2 2 2h H r 2 3 H 2 H 2 2 cm
Portanto,
2 23
pir. pir.L H (4) 2 2 32
V V 2 cm3 3 3
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Resposta da questão 13:
[E]
Cálculo da altura da Pirâmide: mm8h106h 222
Volume da peça como diferença do volume da pirâmide e o volume da parte oca.
peça pirâmide
2peça
3peça
V V 78
1V 12 8 78
3
V 306mm
Resposta da questão 14: [C]
Os triângulos OWX, OXY, OYZ, OZW, OZX e OWY são congruentes entre si pelo caso LAL. Portanto, a pirâmide formada é um tetraedro regular. Resposta da questão 15: [C]
Para que o volume permaneça 3m3, as
distâncias dos pontos P ao plano(XYZ) deverão ser iguais, pois representam as alturas das pirâmides. Portanto, qualquer ponto P deverá pertencer a um dois planos paralelos e equidistantes do plano (XYZ).
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Resposta da questão 16:
a)
12 3h 6 3
2
AC 2h 12 3
Logo,
12 3MN 6 3cm .
2
b)
AHcos60 AH 3cm
6
MHcos60 MH 3 3
6
ME NE 12 3 3 3 9 3 3
Logo,
(9 + 2 2 2MN (9 3 3) (9 3 3)
Portanto,
MN (9 3 3) 2
MN (3 3) 3 2 m
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Resposta da questão 17:
[A]
Seja h a altura da pirâmide logo, h 1 sen(x) e volume da pirâmide será dado por:
21 sen(x)V(x) 1 sen(x)
3 3
Logo, o gráfico que representa a variação do volume será dado pela
Função sen(x)
y V(x) , para 0 x .3 2
Resposta da questão 18:
[D]
Fórmula para o volume de um tetraedro regular de aresta a: 3a 2
V12
Considerando a 2 cm, temos:
33a 2 2 2 4 1V .
12 12 12 3