PID e Lugar das Ra´ızes - Programa de Pós-Graduação ...palhares/aula10_csl.pdf · PID e Lugar das Ra´ızes 1. Controlador PID 2. Minorsky (1922),“Directional stability of

PID e Lugar das Raızes

1. Controlador PID

2. Minorsky (1922), “Directional stability of automatically steered bodies”,

Journal of the American Society of Naval Engineers, Vol. 34, pp. 284 –

Pilotagem de navios

3. Exemplo de projeto PID utilizando o LR

c©Reinaldo M. Palharespag.1 Controle de Sistemas Lineares – Aula 10

Controlador PID

B O controlador PID e largamente utilizado na industria. Embora tenha uma

estrutura de tres termos relativamente simples:

u(t) = KP e(t) + KD e(t) + KI

∫

e(t)dt

⇓ L

Gc(s) =U(s)

E(s)= KP + KD s +

KI

s

e muito robusto e pode ser usado tambem onde nao se conhece muito

precisamente o modelo da planta

Metodo de Ziegler-Nichols – Leia na pagina do curso o artigo: Revisitando o

Metodo de Ziegler-Nichols para Sintonia de PID...

Outros metodos ad hoc – simulacao interativa por computador ...


Controlador PID

B O processo de selecao do ganho PID e chamado de sintonia

Controlador Proporcional – Considerando KD = KI = 0, o PID e um

controlador proporcional que pode ser visto como um controle de“volume”

• Aumentando-o ajuda a reduzir os efeitos dos disturbios e a sensibilidade a

variacao de parametros na planta

• Porem nao rejeita completamente disturbios, e erros em estado estacionario

geralmente irao persistir

• Tambem aumentando muito o ganho pode levar o sistema em malha fechada

a instabilidade e amplificacao de ruıdos de medidas presentes no sistema

• Um ponto positivo e a sua simplicidade ...


Controlador PID

Controlador Integral – Considerando KD = KP = 0, o PID e um

controlador integral

• As vantagens geradas pelo controlador integral incluem reducao ou eliminacao

de erros de seguimento em estado estacionario

• Isto e fruto do fato que usando o controlador integral aumenta-se o tipo do

sistema de um... De modo que uma planta tipo 1 com um controlador integral

pode seguir uma entrada rampa com ess = 0

• Pode-se associar um controlador integral e proporcional e obter um

controlador PI

Gc(s) = Kp +KI

s


Controlador PID

Controlador Derivativo – Considerando KP = KI = 0, o PID e um

controlador derivativo que permite aumentar o amortecimento e“melhorar”a

estabilidade do sistema

• Normalmente o controlador derivativo e usado em conjunto com o

proporcional e/ou integral. O controlador PD e

Gc(s) = Kp + KDs

• O termo derivativo e implementado na forma KDs/(τds + 1), com

τd << τ processo, gerando um polo que possa ser desprezado

B Um projeto PID completo envolve um compromisso entre os tres parametros

a serem sintonizados


Controlador PID

Veja que o PID pode ser reescrito na forma

Gc(s) = KP + KD s +KI

s

=KD s2 + KP s + KI

s

= KD

s2 + KP

KD

s + KI

KD

s

= KD

(s + z1) (s + z2)

s

B K = KD; z1 + z2 = KP

KD

e z1z2 = KI

KD

...


Controlador PID e LR – Exemplo

Navegacao Autonoma em Rodovias Inteligentes – Controle de Velocidade

– Este exemplo e adaptado do DP7.12 (Dorf e Bishop)

B Objetivo de controle

Manter a velocidade prescrita entre dois veıculos,

e manobrar o veıculo ativo conforme comandado

B Variavel a ser controlada

Velocidade relativa entre os veıculos, denotado por y(t)



B Especificacoes de projeto

E1. Erro em regime nulo para uma entra degrau

E2. Erro em regime para uma entrada rampa < 25% da magnitude da entrada

E3. Mp < 5% para uma entrada degrau

E4. ta < 1.5s para uma entrada degrau (criterio de 2%)



B Considere realimentacao unitaria. Controlador ?

B Planta: sistema automotivo

G(s) =1

(s + 2)(s + 8)

O que fazer com as especificacoes ?

E1 – Tipo do sistema G(s) ? Tipo 0. Logo o controlador deve“crescer”o tipo

do sistema para ao menos 1, a fim de que ess = 0 para entrada degrau e

ess < ∞ para entrada rampa



E2 – Para satisfaze-la, analise a constante de velocidade

Kv = lims→0

sGc(s)G(s) ≥1

0.25= 4

(

ess =1

Kv

⇒ Kv =1

0.25

)

E3 – A especificacao de sobre-elevacao implica

Mp ≤ 5% ⇒ ζ ≥ 0.69

E4 – Da especificacao de tempo de acomodacao

ta ≈4

ζωn

≤ 1.5 ⇒ ζωn ≥ 2.66



B Regiao desejada para alocar os polos em malha fechada ?

−20 −18 −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

10

7.5

5

2.5

0.54

0.09

15

0.84

20

0.3

10

12.5

0.42

15

0.68

17.5

20

0.54 0.20.68 0.42

0.95

5

0.84

2.5

7.5

0.09

12.5

0.217.5

0.3

0.95

Real Axis

Root Locus Editor (C)

Imag

Axi

s



B Polos da planta ?

−10 −8 −6 −4 −2 0 2−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

2

10

8

6

0.220.72

0.22

0.44

4

0.962

0.44

0.96

0.1

0.86

10

0.58

4

0.86

6

0.10.72 0.32

8

0.58

0.32

Real Axis


Imag

Axi

s



Controlador ? Gc = K ? Infelizmente nao satisfaz as especificacoes E1 e E2,

ja que o sistema em malha fechada deve ser do tipo 1 para obter ess = 0 para

entrada degrau e ess < 0.25 para entrada rampa

Alternativa ? O controlador deve ter ao menos um polo na origem... Considere

um controlador PI

Gc(s) = KP +KI

s=

KP s + KI

s= KP

s + KI

KP

s

B Onde alocar o zero z = − KI

KP

?

B Para quais valores de Kp e KI o sistema e estavel? FT em malha fechada

T (s) =Kps + KI

s3 + 10s2 + (16 + KP )s + KI



B Arranjo de Routh associado

s3 1 16 + KP

s2 10 KI

s1 c3

s0 KI

⇒

{

c3 =10(KP + 16) − KI

10> 0

KI > 0

KP >KI

10− 16



B Da especificacao E2 obtem-se

Kv = lims→0

sGc(s)G(s)

= lims→0

sKP

(

s + KI

KP

)

s

1

(s + 2)(s + 8)

=KI

16> 4

Portanto KI > 64



B Naturalmente como no LR havera 3 polos (s = 0, − 2, − 8) e 1 zero

(s = −KI/KP ), dois ramos seguirao para os zeros em infinito ao longo de duas

assıntotas em φ = 900 e −900 e centradas em

α =

∑

pi −∑

zi

np − nz

=−2 − 8 −

(

− KI

KP

)

3 − 1= −5 +

1

2

KI

KP

B Da restricao de tempo de acomodacao, ζωn < −2.66, entao

−5 +1

2

KI

KP

< −2.66

ou

KI

KP

<14

3= 4.66



B Entao, como primeira tentativa, pode-se selecionar Kp e KI tais que

KI > 64

KP >KI

10− 16

KI

KP

<14

3= 4.66

B Suponha que se escolha KI

KP

= 2.5



Entao a EC e dada por 1 + KP

(s + 2.5)

s(s + 2)(s + 8)= 0

−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

Real Axis


Imag

Axi

s

Kp = 26



B Do LR obtem-se Kp = 26 ⇒ KI = 65. A resposta ao degrau e

mostrada abaixo com Mp = 8% e ta = 1.43s

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2



B Pode-se interativamente refinar o projeto, no entanto, mesmo com os polos

em malha fechada localizados sobre a regiao desejada, a resposta temporal nao

atingira as especificacoes ja que o zero do controlador influenciara a resposta.

Veja que o sistema em malha fechada e de 3a. ordem e nao tem o desempenho de

um de 2a. ordem

B Pode-se considerar mover o zero para z = −2 (escolhendo KI/KP = 2)

tal que o polo em −2 seja cancelado, resultando assim em um sistema realmente

de 2a. ordem – onde todas as especificacoes devem ser atendidas

B A estrategia anterior e relativamente facil, no entanto, deve-se ter em mente

que e valida apenas para o modelo matematico, ie, se o modelo nao representar

de forma fidedigna a planta, naturalmente nao havera o efeito desejado


Exercıcios

1. Considere o exemplo anterior. Projete um controlador que garanta as

especificacoes E1, E3 e E4 quando o sistema apresenta retardo no tempo, na

atuacao do controlador no processo, como descrito na figura abaixo. Suponha que

o retardo no tempo seja T = 0.25s. Alem disso considere que o retardo no

tempo possa ser aproximado por uma FT de 2a. ordem utilizando a funcao pade

(Note que a proximacao de Pade introduzira dois zeros instaveis)

1(s+2)(s+4)

Gc e−sT

R(s) Y (s)+

−


Exercıcios

2. O que acontece com o desempenho do sistema de controle de velocidade

projetado no exemplo se os parametros da planta mudam? A FT e dada por

G(s) =1

(s + a)(s + b)

Os valores nominais dos parametros sao a = 2 e b = 8. Considere o PI

Gc(s) = KP +KI

s= 33 +

66

s

Verifique que o controlador PI acima satisfaz todas as 4 especificacoes, E1-E4,

apresentadas no exemplo com a = 2 e b = 8. Com o controlador PI dado acima,

de quanto podem ser variados os parametros a e b tal que o sistema em malha

fechada continue estavel e garanta as especificacoes de projeto E3-E4? Ha outros

valores de KP e KI no PI tais que o sistema em malha fechada e mais robusto a

mudancas de parametros na planta? (Por robustez entende-se que o sistema

continua estavel e garante todas as especificacoes de desempenho para uma faixa

maior de a e b)


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