PI GRECO DAY – 15 MARZO 2010 – ITIS EINAUDI

Progetto creato da

Alberto Zanatta, Alex Cavallin, Garbin Filippo, Pellizzer Desy sotto la supervisione dei professori Sorbaioli Francesco e

Reginato Michele, con la collaborazione della classe 3B Abacus

È OVUNQUEÈ OVUNQUE

Sono stati scritti Sono stati scritti LIBRILIBRI, girati , girati FILMFILM, ,

organizzate organizzate CONFERENZECONFERENZE......

Addirittura a Pi Greco è stato dedicato un Addirittura a Pi Greco è stato dedicato un

giorno dell’annogiorno dell’anno......

MA PERCHÈ?MA PERCHÈ?Andiamo a scoprirlo insieme.Andiamo a scoprirlo insieme.

3. 1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989380952572010654858632788659361533818279682303019520353018529689957736225994138912497217752834791315155748572424541506959508295331168617278558890750983817546374649393192550604009277016711390098488240128583616035637076601047101819429555961989467678374494482553797747268471040475346462080466842590694912933136770289891521047521620569660240580381501935112533824300355876402474964732639141992726042699227967823547816360093417216412199245863150302861829745557067498385054945885869269956909272107975093029553211653449872027559602364806654991198818347977535663698074265425278625518184175746728909777727938000816470600161452491921732172147723501414419735685481613611573525521334757418494684385233239073941433345477624168625189835694855620992192221842725502542568876717904946016534668049886272327917860857843838279679766814541009538837863609506800642251252051173929848960841284886269456042419652850222106611863067442786220391949450471237137869609563643719172874677646575739624138908658326459958133904780275900994657640789512694683983525957098258226205224894077267194782684826014769909026401363944374553050682034962524517493996514314298091906592509372216964615157098583874105978859597729754989301617539284681382686838689427741559918559252459539594310499725246808459872736446958486538367362226260991246080512438843904512441365497627807977156914359977001296160894416948685558484063534220722258284886481584560285060168427394522674676788952521385225499546667278239864565961163548862305774564980355936345681743241125150760694794510965960940252288797108931456691368672287489405601015033086179286809208747609178249385890097149096759852613655497818931297848216829989487226588048575640142704775551323796414515237462343645428584447952658678210511413547357395231134271661021359695362314429524849371871101457654035902799344037420073105785390621983874478084784896833214457138687519435064302184531910484810053706146806749192781911979399520614196634287544406437451237181921799983910159195618146751426912397489409071864942319615679452080951465502252316038819301420937621378559566389377870830390697920773467221825625996615014215030680384477345492026054146659252014974428507325186660021324340881907104863317346496514539057962685610055081066587969981635747363840525714591028970641401109712062804390397595156771577004203378699360072305587631763594218731251471205329281918261861258673215791984148488291644706095752706957220917567116...

Un po’ di ... Giusto per iniziare...

La storia di

è conosciuto fin dall'antico Egitto, nel 3000 a.C. 2

84 3,16049...

9

Nel 200 a.C. Archimede si avvicinò a con un

errore minore allo 0,03%...10 13 371 7

= 4*(1 - 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9…

0 12

)1(4k

k

k=

È uguale a

James gregory

Da sistemare.

1593: Variorum de rebus mathematicis responsorum liber

VIII: si raggiungono le 10 cifre decimali dopo la virgola.

Ludolph Von Ceulen ( † 1610)

3,141592 6272 < π < 3,141592 8320

Willebrord Willebrord

SnellSnell (1580- (1580-

1626)1626)

3,14159265 33 < π < 3,14159265 38

Christiaan Huygens

Christiaan Huygens (1629-1695)(1629-1695)

1947 – Ferguson: 808 cifre

1948 - Smith e Wrench: 1000

cifre

1949 – ENIAC: 2037 cifre

1954 – NORC: 3089 cifre51,5 miliardi nel 1997

1 milione nel 19731 miliardo nel 1989

2002:121,2411 10 cifre

Se fino al 1700 si credeva che fosse un numero finito, nel 1761

dimostra che è un numero IRRAZIONALE

Joseph LiouvilleNei primi anni del 1800

Dimostra l'esistenza dei numeri trascendenti

Charles Hermite nel 1873

trova e, primo esemplare dei numeri trascendenti

non può avere soluzioni algebriche.

L’equazione

Ma Euler ha dimostrato che

per cui π non può essere ALGEBRICO.

1 0ixe

1 0ie

Questo risultato mette fine al problema della quadratura del cerchio.

Era impossibile trovare il quadratoequivalente ad un cerchio dato

tramite le regole classiche.

CURIOSITÀCURIOSITÀ

Qualche coincidenza:dobbiamo meravigliarci?

Che in π possa trovarsi tutto, cosa che non è matematicamente stabilita, non significa che tutto ciò che si trova in π sia banale.Ecco alcune stranezze osservate dagli appassionati; ci guarderemo bene dal prenderle sul serio.

• Lo “0” fa la sua comparsa per la prima volta soltanto nella 32a posizione dopo la virgola, dopo che tutte le altre cifre si sono presentate già almeno una volta nei primi 13 decimali. Perché questo ritardo dello “0”?

• Le cifre decimali di π a partire dalla 762a cifra sono “999999”. Non sarebbe sorprendente se ci fosse una sequenza di sei “9” consecutivi nel primo milione di decimali di π, ma non è eccezionale che ciò si verifichi prima del millesimo decimale?

• Sommando le prime 144 cifre decimali di π si ottiene 666. Dobbiamo concludere che π è diabolico?

• Sommando i primi 20 decimali di π dopo la virgola, si ottiene 100.

• Fra i primi 1.000 interi ottenuti prendendo i decimali di π nell'ordine 3, 31, 314, 3141, 31415, …, solo quattro sono i numeri primi.

• Il gruppo di tre decimali che termina nella posizione 315 è 315, e quello che termina nella posizione 360 è 360.

• Se, nell'alfabeto scritto in cerchio, si colorano le lettere che hanno un asse di simmetria verticale(...HIJKLMNOPQRSTUVWXYZABCDEFGH...), le lettere non colorate formano gruppi di 3, 1, 4, 1 e 6 lettere.

Questa constatazione sorprendente fu l'origine di un pesce d'aprile che venne fatto a persone molto serie. Nell'aprile del 1995, in un articolo di una pagina, la rivista Pour la science si è divertita a “riportare” la scoperta di un'equipe di ricercatori norvegesi: questi biologi avevano identificato in un cromosoma di un pesce chiamato dipneusta una sequenza di geni corrispondente al numero π scritto in base 4.La scoperta, affermava l'articolo, era dovuta alle straordinarie capacità di memorizzazione di uno studente che aveva riconosciuto π nella successione di lettere A, C, G, T della sequenza del DNA. Si precisava che le ricerche proseguivano su altri animali, e in particolare sulla piovra, il piccione e il picchio verde.

S’incontra π in matematica e in

fisica,ma non in biologia.

Spesso, i pesci d'aprile pongono domande serie. Cosa c'è d’inverosimile e di ridicolo nel credere che π possa essere contenuto nel gene di un pesce? Perché troviamo normale incontrare π in campi della matematica che non hanno nulla a che fare con il cerchio, un po' dappertutto in fisica (in una formula riguardante il movimento del pendolo, per esempio), e non in biologia?

Si possono proporre moltissime spiegazioni: s’intuisce che effettivamente le cose del mondo vivente non hanno la rigidità matematica delle cose fisiche, e perciò π non può essere codificato nel gene del pesce, né in quello di alcun animale. Questa spiegazione, come le ultime altre, appare insoddisfacente. Forse un giorno si comprenderà meglio la natura di questi problemi. A meno che non si finisca per trovare davvero π in un gene! Infatti, se l'articolo pesce d'aprile non avesse parlato con insistenza del porto peschereccio di Hammerfest e non avesse contenuto parecchi indizi sospetti come il nome degli autori (K. Arp, R. Abbit), nessuno avrebbe potuto scorgervi con certezza uno scherzo.

Il messaggio nascosto in π di Carl Sagan

Il futuro ci permetterà forse di capire perché è impossibile che π costituisca un messaggio contenuto in un gene. Si potrà anche scoprire che π contiene a sua volta un messaggio? Nel suo romanzo intitolato Contact, pubblicato una decina di anni fa, Carl Sagan – famoso collaboratore della NASA recentemente scomparso – immagina, esplorando le cifre di π, di trovarci un messaggio. Eccone un brano, in cui la conclusione sta nella scoperta:

<<Se all’interno del numero trascendente si nasconde qualcosa, questo qualcosa non può essere stato introdotto che all’origine, nella geometria dell’universo.[…] L’anomalia apparve chiaramente nello scrivere π in base 11, in cui esso si presenta come una successione di zero e di uno.[…] Il programma dispose le cifre secondo una matrice. La prima riga era costituita da una sequenza ininterrotta di zeri da sinistra a destra. La seconda era costituita da un solo uno, esattamente nel mezzo, circondato da zeri da ogni lato. Dopo qualche riga, si vide tracciata, senza alcun dubbio, la curva di un arco composto da numeri uno. La figura geometrica elementare carica di promesse si costruì rapidamente, riga dopo riga. Arrivò infine l’ultima riga, unicamente composta da zeri eccetto che nel suo centro, dove si trovava un solo uno. La riga successiva era costituita solo da zeri, che formavano semplicemente una cornice. Nascosto nei motivi alternati, profondamente sepolto all’interno del numero trascendente, c’era un cerchio perfetto, la cui forma emergeva grazie alle sue unità in un campo di nullità, l’universo aveva una cornice intenzionale, ecco quel che diceva il cerchio. […] Molto al di sopra degli esseri umani, degli dei e dei demoni, […] esiste un’intelligenza che ha preceduto l’universo>>.

Sagan, che dà l’impressione di credere che π sia soprattutto una costante fisica (poiché egli parla di geometria dell’Universo) e sembra confondere la base 11 con la base 2, introduce un’idea divertente.Tuttavia, il messaggio contenuto in π che egli considera la prova di “un’intelligenza che ha preceduto l’Universo” è assai semplice: se l’intelligenza che ha preceduto l’Universo non ha che questo da comunicarci, ciò è deludente. Numerosi matematici sono persuasi che, anche senza miracoli, ciò che si può trovare in π è molto più profondo e interessante del “messaggio intravisto dal romanziere scientifico. D’altronde, se π è normale,in qualche parte delle sue cifre si trova realmente il cerchio che immagina Sagan. Poiché numerosi matematici ritengono che π sia normale, il fatto che serve da conclusione al romanzo non merita davvero lo stupore, posto che questa figura non arrivi presto, cosa che Sagan non precisa nel suo libro.

Studiando i decimali appena ottenuti, i calcolatori di π hanno regolarmente notato certe stranezze di cui riportiamo la lista, senza dubbio non esaustiva.

Rarità di “0” proprio all’inizio della successione. Il primo “0” appare solamente in posizione 32, e ci sono soltanto due “0” nei primi 50 decimali di π. Tuttavia nei primi 100 se ne trovano già 8 e nei primi 200 ce ne sono ben 19. Più lontano ancora, si trovano 999440 “0” nei primi 10 milioni di decimali, poi 599963005 “0” nei primi 6 miliardi di decimali di π; la proporzione di “0” resta leggermente al di sotto dell’atteso , d’un modo sempre più insensibile e finalmente non significativo.

Rarità di “7”. Nei primi 500 decimali se ne trovano 36, che sembrano davvero pochi; nei primi 1000 decimali ci sono 95 “7” ne mancano dunque solo 5; nei primi 10 milioni di decimali si trovano 1000207 “7” e nei primi 6 miliardi, 600009044 “7”. La mancanza iniziale diventa un leggero soprannumero che si troverebbe perfettamente banale se si trattasse di cifre scelte a caso.

Presenza di successioni ripetute straordinarie. La presenza della sequenza 999999 tra le posizioni 762 e 767 è inattesa. Nei primi 2 miliardi si trovano anche una sequenza di otto “8” consecutivi, una sequenza di nove “7” consecutivi, e anche una sequenza di dieci “6” consecutivi, come pure la successione “123456789”. Tuttavia sono fenomeni isolati la cui probabilità non è trascurabile in una successione casuale.

Non c’è dunque nulla da ricercare: i tests più sistematici non rivelano niente di rimarchevole nella frequenza delle successioni ripetute.I fratelli Chudnovsky hanno fatto notare che la media degli n primi decimali, che ci si aspetta di trovare vicina a 4,5 poiché è la media di 10 cifre

è dapprima leggermente superiore a questo valore nel primo miliardo poi leggermente inferiore nel secondo; tuttavia essi esitano a considerare questo fenomeno come significativo. Essi spiegano anche che “l’osservazione di π - talvolta realizzata associando alle cifre di π grafici tridimensionali in forma di superficie – dà la “sensazione di qualche cosa di sistematico, di cui noi non sappiamo se esso ha una vera origine in π o se risulta solamente da un lavoro che fa il cervello per organizzare strutture disordinate”; i paesaggi ottenuti dai Chudnovsky sembrano loro diversi da ciò che produrrebbe il semplice caso, senza poterne trarre constatazioni certe: “Ci sono meno picchi e meno valli di quelli che ci si aspetterebbe di trovare se π fosse veramente aleatorio”.

5,41 0

9876543210

La loro conclusione è che, malgrado questa sensazione vaga, e poiché nulla di chiaro è stato provato fino a oggi, bisogna andare a vedere più lontano.I fratelli Chudnovsky sperano che le regolarità, della cui esistenza sembrano persuasi, non si presenteranno troppo lontano, e in ogni caso non al di là di ciò che le nostre macchine future potranno calcolare. Essi infatti valutano, prendendo per base la grandezza dell’Universo visibile, che non si potranno superare le cifre di π (ciò che ci lascia ancora del margine, perché siamo a 2 X ): “Se π non mostra alcun comportamento sistematico prima della posizione sarebbe veramente un disastro, ma ciò nonostante non bisognerebbe rinunciarvi; ci deve pur essere un mezzo per superare l’ostacolo”. Questo mezzo è senza alcun dubbio da ricercarsi nei nuovi risultati di matematica pura e la nuova formula di calcolo di π di P. Borwein, D. Bailey e S. Plouffe ne è forse il segno annunciatore.

1010

7710

A causa dei limiti legati alla fisica del nostro mondo (dimensione degli elettroni, dimensione dell’Universo, velocità della luce, ecc.) taluni valutano che non potranno mai essere calcolate più di 1077 cifre decimali di π, e ciò anche se l’Umanità si consacrasse a questa sfida per secoli utilizzando tutto lo spazio, tutta la materia e tutta l’energia disponibile.

Questa immagine risulta dalla codifica delle prime 262144 cifre

binarie di π, disposte da sinistra a destra e

dall’alto verso il basso in 512 linee e 512 punti. Ogni “0” dà un punto

nero e ogni “1” un punto bianco. Essa è

stata realizzata da Elias Broöms.

LA STAMPA - Se i «cerchi» nel grano che compaiono ogni estate nei campi inglesi li fanno davvero gli alieni, ora sappiamo che conoscono il «pi greco», quel 3,14 che rappresenta il numero più misterioso della matematica e definisce il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio. Il disegno ritrovato all’inizio di giugno in una coltivazione di orzo a Barbury Castle sembrava uno dei tanti che in questa stagione affollano i campi inglesi e, come al solito, era stato subito fotografato dall’alto da Lucy Pringle, l’instancabile ricercatrice che da più di dieci anni sorvola la campagna alla ricerca di «crop circles». L’immagine della formazione, larga più di 45 metri e ritrovata in una collina dello Wiltshire, è rimasta online nel sito di Lucy

(www.lucypringle.co.uk) insieme alle altre apparse in questo mese, e non sembrava nemmeno una delle più belle: una linea a spirale convergente verso il centro, interrotta ogni tanto da inspiegabili scanalature, anch’esse convergenti al centro. C'è voluto un astrofisico in pensione, Mike Reed, per notare che quel disegno all’apparenza banale nascondeva qualcosa di molto più complesso. Bastava completarlo, tracciando i raggi del cerchio in corrispondenza delle scanalature, per evidenziare il messaggio nascosto: il numero 3,141592654, vale a dire esattamente le prime nove cifre del «pi greco», seguite da un 4 invece che da un 3. Il professor Reed ha intuito che il piccolissimo cerchio, che compariva nelle foto a destra del centro della formazione, rappresentava la virgola del «pi greco» ed il resto - per uno studioso a proprio agio con la matematica - è stato abbastanza facile. Tutti ricordiamo che a scuola il «pi greco» ci consentiva di calcolare l'area di un cerchio, ma di tutti i numeri sembra davvero quello venuto da un altro mondo. 

E' considerato irrazionale, non può essere scritto come quoziente di due interi; è trascendente e non algebrico e quindi è impossibile esprimerlo usando un numero finito di interi. E' un po' complicato da spiegare, ma il «pi greco» ci dice in sostanza perché non è possibile quadrare il cerchio, realizzare cioè con riga e compasso un quadrato della stessa area di un determinato cerchio. Lo Wiltshire è una regione della Gran Bretagna ossessionata dai cerchi fin dall’epoca del suo monumento più famoso e rappresentativo, Stonehenge.Qui, nel 1991, comparve in un altro campo di grano il disegno del frattale di Mandelbrot, nel 1996 il «Julia Set» e nel 1997 i cerchi di Koch, tutte figure molto note ai fisici e ai matematici per la loro estasiante, ripetitiva complessità. 

Poco lontano, a Milk Hill, venne trovata nel 2001 la madre di tutti i «crop circles», una formazione a spirale con 400 cerchi di varie dimensioni che si estendeva per 90 mila metri quadrati e che è rimasta imbattuta per l’armonia e la bellezza che esprimeva. Tutte queste figure sono state catalogate con pazienza da Lucy Pringle, che negli ultimi anni ha messo insieme (e a disposizione di tutti) il più straordinario e per certi versi inquietante database di un fenomeno che gli scienziati fanno sempre più fatica ad attribuire - per tranquillizzarci - a quattro burloni che di notte tagliano il grano con una falciatrice. Certamente i burloni esistono, e lo hanno anche confessato. Ma le indagini effettuate da numerosi ricercatori sono arrivate alla conclusione che non sono loro gli autori dei disegni più complessi.

E molte cose restano inspiegabili quando si osservano le formazioni sul terreno, da vicino. Il grano o l’orzo non sono tagliati, ma piegati a spirale, come se fossero stati abbattuti da un vortice. Gli steli presentano strane malformazioni, l’aria sul campo è spesso ionizzata e a terra si ritrovano microsfere di ferro. Intorno ai «cerchi» non c’è traccia del calpestio di qualcuno che si sia avvicinato per realizzarli e in ogni caso sarebbe davvero impossibile disegnare da terra forme così complicate, al buio e in una sola notte. Le formazioni più belle compaiono ogni estate, a giugno e a luglio, nei luoghi più misteriosi dell’Inghilterra: Avebury, Silbury Hill, Stonehenge, quelli delle civiltà preistoriche che hanno lasciato grandi cavalli disegnati sulle alture, innalzato colline per i loro morti e trasportato - non si sa come - megaliti per centinaia di chilometri per realizzare circoli di pietra di cui ancora oggi non capiamo lo scopo. Il mistero continua, e la nuova stagione dei «cerchi» nel grano è appena all'inizio.

Il problema di MalfattiIl problema di MalfattiDato un triangolo, come bisogna disporre al suo interno tre cerchi che non si sovrappongono se si vuole che la loro area totale sia la maggiore possibile?

Malfatti formulò nel 1803 un’ipotesi che fu data per risolta per più di 100 anni e questa dice che si devono scegliere dei cerchi in modo che ciascuno tocchi due lati del triangolo ed entrambi i cerchi rimanenti.

Successivamente nel 1930 qualcuno si è accorto che nel caso particolare in un triangolo equilatero, la “soluzione” di Malfatti è sbagliata nella sua cofigurazione:

Ma si può migliorare di un po’ il risultato con un cerchio grande e due piccoli:

L’area totale dei cerchi è

729,0)31(

32

Ma in questo casol’equazione è la seguente

739,0327

11

Calcolato pi greco fino a 2,7 trilioni di decimaliCalcolo al pc di informatico francese batte supercomputer

BIBLIOGRAFIA

Da completare