phương pháp mô ph ng monte carlo và ng d ng vào toán tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Hoàng Thị Hồng Minh

PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG

MONTE CARLO VÀ ỨNG DỤNG

VÀO TOÁN TÀI CHÍNH

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán họcMã số: 60 46 15

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN THỊNH

Hà Nội - 2012

Mục lục

Lời nói đầu 1

Lời cảm ơn 2

1 Cơ sở lý thuyết 41.1 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Luật mạnh số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo "thô" . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Một vài ứng dụng của phương pháp mô phỏng Monte Carlo . . . . 5

1.2 Các cách cải tiến phương pháp Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 Biến ngẫu nhiên xung khắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Biến điều khiển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3 Mẫu phân tầng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.4 Giảm phương sai bằng cách lấy mẫu có điều kiện . . . . . . . . . . 141.2.5 Mẫu chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Các quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.1 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo cho các quá trình ngẫu nhiên . 251.3.2 Chuyển động Brown và cầu Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3.3 Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.4 Mô phỏng nghiệm của các phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . 381.4.1 Phương pháp số cho phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . 391.4.2 Các sơ đồ số cho xấp xỉ Taylor mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2 Ứng dụng của phương pháp Monte Carlo vào các mô hình tài chính 442.1 Một số mô hình tài chính.

Mô hình Black - Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.1.1 Một khung giá cổ phiếu kiểu mô hình Black - Scholes . . . . . . . 462.1.2 Xác định các tham số µ và σ của chuyển động Brown hình học S(t) 49

i

MỤC LỤC

2.2 Định nghĩa quyền chọn bằng lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2.1 Kiến thức cơ bản về quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2.2 Giới thiệu sơ lược về định giá quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3 Định giá quyền chọn và phương pháp Monte - Carlo trong việc xây dựng môhình Black - Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.4 Những hạn chế của mô hình Black - Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Kết luận 64

Phụ lục 65

Tài liệu tham khảo 76

ii

Lời nói đầu

Ngày nay, mô phỏng số chiếm một vị trí quan trọng trong nghiên cứu khoa học, bao gồmcả mặt lý thuyết và thực nghiệm. Với sự phát triển nhanh và ngày càng phức tạp của cácngành khoa học nói chung và toán tài chính nói riêng, các phương pháp lý thuyết gặp nhiềukhó khăn, bởi lẽ ở đó thường sử dụng tới các phép tính gần đúng. Mô phỏng số có thể kiểmchứng những phép tính gần đúng từ lý thuyết, từ đó góp phần hạn chế sai số. Các kết quảđịnh lượng để mô phỏng số còn được sử dụng để so sánh với các kết quả nghiên cứu thựcnghiệm. Ngoài ra, mô phỏng còn được xem như là bước "số hóa thực nghiệm", nó được tiếnhành trước bước thực nghiệm để thu được kết quả tốt hơn, tiết kiệm được chi phí cho các lầnthực nghiệm. Một trong những phương pháp mô phỏng phổ biến được ứng dụng trong toántài chính là phương pháp Monte Carlo với sự giúp đỡ của máy tính.

Tên gọi "phương pháp Monte Carlo" xuất hiện trong từ điển toán học vào những năm1949-1950, nhưng thật ra nó ra đời trong những năm 1943-1944 gần như cùng thời với máytính điện tử đầu tiên ở Mỹ, và được giới thiệu vào nước ta từ những năm 1963-1964, nhưngthực sự được áp dụng phổ biến từ sau những năm 1975-1977.

Phương pháp Monte Carlo là phương pháp thường được dùng để mô phỏng các hiện tượngxác suất, những hiện tượng không thay đổi đặc tính theo thời gian, nó cũng được sử dụng đểtính toán các biểu thức không theo xác suất bằng cách sử dụng phương pháp theo xác suất.

Phương pháp mô phỏng Monte Carlo được ứng dụng phổ biến trong các ngành côngnghiệp tài chính và bảo hiểm. Nó là công cụ cần thiết cho các kỹ sư và chuyên gia tính toántài chính khi phải tính toán các loại giá cả hay tính toán rủi ro phức tạp. Do đó, tác giả đãchọn cách tiếp cận kết hợp trình bày lý thuyết phương pháp mô phỏng Monte Carlo, các cáchcải tiến và ứng dụng của nó trong việc mô phỏng nghiệm của các quá trình vi phân ngẫunhiên, cũng như các ứng dụng để định giá quyền chọn trong lĩnh vực toán tài chính.

Bố cục luận văn gồm 2 chương:

Chương 1: Cơ sở lý thuyếtTrong chương này, tác giả giới thiệu về phương pháp mô phỏng Monte Carlo, các định

lí cơ bản, và trình bày các phương pháp khác nhau để tăng tốc độ tính toán mà được gọi

1

MỤC LỤC

chung là phương pháp giảm phương sai. Tiếp theo, tác giả trình bày các kiến thức cơ bảnvề quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục và mô phỏng Monte Carlo cho chuyển độngBrown. Ngoài ra, tác giả còn mô phỏng nghiệm của các phương trình vi phân ngẫu nhiênbằng phương pháp xấp xỉ Milstein và xấp xỉ Euler-Maruyama.

Chương 2: Ứng dụng của phương pháp Monte Carlo vào các mô hình toán tài chínhTrong chương này, tác giả chủ yếu đề cập đến mô hình Black Scholes, một khung giá

cổ phiếu kiểu mô hình Black - Scholes. Tác giả cũng trình bày cách xác định các hệ số thịtrường chứng khoán (µ: tỉ lệ trung bình của giá cổ phiếu luân chuyển; σ : độ biến động giácủa cổ phiếu).

Tác giả đã trình bày hai loại định giá quyền chọn, quyền chọn bán và quyền chọn mua,bằng lý thuyết. Tác giả cũng đã thu thập một bộ dữ liệu thật về giá cổ phiếu và dùng nhiềuphương pháp khác nhau để tính toán sau đó so sánh các kết quả chạy máy này với các kết quảdo lý thuyết chứng minh được.

Do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếusót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý từ quý thầy cô và bạn đọc.

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

2

Lời cảm ơn

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và chỉ bảo tận tìnhcủa TS. Nguyễn Thịnh. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắcmắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đếnngười thầy của mình.

Qua đây, tác giả xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoahọc Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóacao học 2010 - 2012, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trìnhgiáo dục đào tạo của Nhà trường.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô phản biện đã đọc và đóng góp nhiều ý kiếnquý báu cho bản luận văn của tác giả.

Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điềukiện, động viên cổ vũ tác giả để tác giả có thể hoàn thành luận văn của mình.

Hà nội, tháng 12 năm 2012

Người làm luận văn

Hoàng Thị Hồng Minh

3

Chương 1

Cơ sở lý thuyết

1.1 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo

Phương pháp mô phỏng Monte Carlo hay còn gọi là phương pháp thử thống kê được địnhnghĩa như là phương pháp tính, bằng cách biểu diễn nghiệm các bài toán dưới dạng các thamsố của một đám đông lý thuyết và sử dụng dãy số ngẫu nhiên để xây dựng mẫu đám đông màtừ đó ta thu được ước lượng thống kê của các tham số. Nói cách khác, phương pháp MonteCarlo cung cấp những lời giải gần đúng cho các bài toán bằng cách thực hiện các thí nghiệmlấy mẫu thống kê sử dụng số ngẫu nhiên.

Ý tưởng chính của phương pháp Monte Carlo là xấp xỉ một kỳ vọng E(X) bởi trung bìnhcộng các kết quả của nhiều lần thí nghiệm độc lập, trong đó các biến ngẫu nhiên X có cùngphân phối.

Cơ sở lý thuyết của phương pháp này là một trong những kết quả quan trọng của lý thuyếtxác suất, đó là Luật mạnh số lớn.

1.1.1 Luật mạnh số lớn

Định lí 1.1.1. Giả sử (Xn)n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên giá trị thực, độc lập cùng

phân phối và được xác định trên một không gian xác suất (Ω,z,P).Đặt :

µ = E(X1)

Khi đó, với mọi ω ∈Ω:1n

n

∑i=1

Xi(ω)n→∞−−−→ µ,P−h.c.c

(Xem chứng minh trong [9])

4

Chương 1. Cơ sở lý thuyết

1.1.2 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo "thô"

Giả sử X là một biến ngẫu nhiên giá trị thực với E(X)< ∞.

Thuật toán 1.1.2. (Phương pháp Monte Carlo "thô")

Xấp xỉ E(X) bởi trung bình số học 1n ∑

ni=1 Xi(ω) , với mọi n ∈N. Ở đây, Xi(ω) là kết quả

của n phép thử độc lập, có cùng phân phối xác suất với X.

Định lí 1.1.3. (Ước lượng không chệch của phương pháp Monte Carlo)

Giả sử (Xn)n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên giá trị thực, độc lập cùng phân phối với

X, được xác định trên một không gian xác suất (Ω,z,P).Khi đó ước lượng Monte Carlo:

Xn :=1n

n

∑i=1

Xi,n ∈ N

là một ước lượng không chệch với µ = E(X), hay một cách tương đương ta có:

E(Xn) = µ


Định lí 1.1.4. (Định lí giới hạn trung tâm)

Giả sử (Xn)n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên giá trị thực, độc lập cùng phân phối với

X, được xác định trên một không gian xác suất (Ω,z,P).Giả sử rằng các biến ngẫu nhiên có phương sai hữu hạn σ2 = Var(X).

Khi đó:

∑ni=1 Xi−n.µ√

n.σD−→ N (0;1); khi n→ ∞


1.1.3 Một vài ứng dụng của phương pháp mô phỏng Monte Carlo

Ví dụ 1. Một thí nghiệm để tính giá trị xấp xỉ của π là giao của một phần của đường

tròn đơn vị (C ) có tâm là gốc tọa độ với hình vuông đơn vị dương [0,1]2.

Thí nghiệm được thực hiện bằng cách lấy ngẫu nhiên các điểm P1,P2, ...,Pn của hìnhvuông đơn vị và giả sử rằng:

Xi = 1Pi∈C

5


Khi đó : Pi ∈ int(C ) hoặc Pi ∈ bound(C )

Do đó, ta ngầm giả sử rằng điểm được chọn có phân bố đều trên [0,1]2. Khi đó ta có:

P(Pi ∈ C ) =π

4

Suy ra , xác suất của C bằng diện tích của phần giao đó.Do hàm chỉ tiêu 1Pi thỏa mãn :

E(1Pi) = P(Pi ∈ C ) =π

4

Vì vậy chúng ta có thể ước lượng π bằng cách tính trung bình cộng của các Pi tương ứng đểthu được ước lượng Monte Carlo:

π(ω) =4n.

n

∑i=1

1Pi∈C (ω)

Tốc độ hội tụ của phương pháp được minh họa bởi bảng kết quả sau:

n 100 10.000 100.000

π 2.84 3.1268 3.14144Bảng 1.1 (Ước lượng Monte Carlo "thô" của π)

Nhận xét rằng, tốc độ hội tụ của phương pháp Monte Carlo khá chậm, tuy nhiên cần phảichú ý rằng sai số tương đối của ước lượng này dưới 0.5 %. So sánh với điều này ta thấy, ướclượng với n = 100.000 cho ta kết quả tương đối chính xác.

Độ tin cậy [πlow, πup] của ước lượng Monte Carlo được tính :

n 100 10.000 100.000

πlow 2.477 3.0938 3.13105

πup 3.203 3.1598 3.15183Bảng 1.2 (Ước lượng Monte Carlo cho khoảng tin cậy 95% của π)

Ví dụ 2. (Ước lượng xác suất của một biến cố)

Ước lượng xác suất của một biến cố là một trong những ứng dụng quan trọng củaphương pháp Monte Carlo.

Giả sử A là một biến cố nào đó. Ước lượng P(A)?Xét :

1A(ω) =

1 nếu ω ∈ A

0 nếu ω /∈ A

6


Suy ra E(1A) = P(A) và khi đó ước lượng Monte Carlo cho P(A) là tần suất tương đối củasố lần xuất hiện của A trong n lần thí nghiệm độc lập. Một cách hình thức, giả sử Ai là sốlần xuất hiện A trong thí nghiệm thứ i, khi đó ta định nghĩa ước lượng Monte Carlo cho P(A)như sau:

r fn(A) =1n.

n

∑i=1

1Ai

Khi đó ta cũng có:

Var(1A) = P(A).(1−P(A)), σn = r fn(A).(1− r fn(A))

và khoảng tin cậy xấp xỉ 95% cho P(A) là:

[r fn(A)−1.96√

n.σn,r fn(A)+

1.96√n.σn]

Ví dụ 3. (Tích phân Monte Carlo)

Một ứng dụng rất đơn giản nhưng hiệu quả của Monte Carlo là tính gần đúng các giátrị của các tích phân tất định có dạng: ∫

[0,1]d

g(x)dx

(g(x) là hàm bị chặn, nhận giá trị thực.)Hàm mật độ f (x) của phân bố đều d chiều trên [0,1]d :

f (x) = 1[0,1]d(x); x ∈ Rd

Khi đó, với X ∼U ([0,1]d):

I =∫

[0,1]d

g(x)dx =∫

f (x)g(x)dx = E(g(X))

Giả sử X1, ...,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, có phân bố đều trên [0,1]d , khi đó, ướclượng Monte Carlo là:

In(ω) =1n.

n

∑i=1

g(Xi(ω))

Cụ thể, ta áp dụng mô phỏng Monte Carlo để tính tích phân I =1∫0

cos(x2).sin(x4)dx.

Tích phân này không tính được theo một công thức thông thường.Trước hết, ta có nhận xét:• Với một biến ngẫu nhiên X , với một hàm mật độ f (x) và ϕ là một hàm Borel thì biếnngẫu nhiên Y = ϕ(X) có kỳ vọng là:

E(Y ) =∞∫−∞

f (x).ϕ(x)dx.

7


• Mặt khác, với một biến ngẫu nhiên V phân phối đều trên [0,1], ta biết rằng hàm mật độcủa nó là:

fV (x) =

1 nếu x ∈ [0,1]

0 nếu x /∈ [0,1]

• Do đó, đối với một tích phân1∫0

ϕ(x)dx ta có thể viết nó dưới dạng:

1∫0

1.ϕ(x)dx =∞∫−∞

fV (x).ϕ(x)dx = E[ϕ(V )]

Vì vậy, bài toán tính tích phân trên trở thành bài toán tính kỳ vọng E[ϕ(V )], trong đó V làbiến ngẫu nhiên phân phối đều trên[0,1] mà ta luôn có thể mô phỏng trên máy tính.

Đối với tích phân I =1∫0

cos(x2).sin(x4)dx = E[cos(V 2).sin(V 4)], ta có thuật toán để tính I

như sau:(1). Chọn một số nguyên dương n khá lớn;(2). Mô phỏng V,U ∼U [0,1];V,U độc lập;(3). Đặt Ti = cos(V 2

i ).sin(U4i ), với i = 1,2,3, ...,n;

(4). Ước lượng I bởi θn =1n .∑

nk=1 Tk;

(5). I ' θn.Dùng hàm ’quald’ với các hệ số mặc định của hàm ta được kết quả xấp xỉ sau:0.139567Sau đây là một số ước lượng của tích phân I ứng với các giá trị lớn n :

n I ' θn θn− 3σn√n θn− 3σn√

n

103 0.145294 0.130071 0.160518

104 0.138850 0.134105 0.143595

105 0.139484 0.137974 0.140993

1.2 Các cách cải tiến phương pháp Monte Carlo

Nhược điểm chính của phương pháp mô phỏng Monte Carlo là tốc độ hội tụ của nó.Trong xác suất, điều này chỉ được khắc phục khi độ lệch chuẩn giảm thì số lần mô phỏng sẽgiảm. Do đó, nếu có thể thay đổi tốc độ hội tụ của phương sai thì có thể tăng tốc độ tính toánđiện tử, theo nghĩa rằng đạt được độ chính xác, đòi hỏi số ít lần chạy mô phỏng. Mọi sự cảitiến của phương pháp Monte Carlo "thô" được gọi là phương pháp giảm phương sai . Trongmục này tôi xin giới thiệu một số phương pháp giảm phương sai phổ biến.

8


1.2.1 Biến ngẫu nhiên xung khắc

Phương pháp sử dụng các biến ngẫu nhiên xung khắc là phương pháp giảm phương saidễ dàng nhất. Nguyên lý cơ bản là giảm phương sai bằng cách lấy đối xứng. Giả sử chúngta muốn tính E( f (X)) với X là một biến ngẫu nhiên có phân bố đều trên [0,1]. Khi đó ướclượng Monte Carlo "thô" sẽ là:

f (X) =1n.

n

∑i=1

f (Xi)

với Xi là các thành phần độc lập của X . Ta sử dụng các số 1−X1, ...,1−Xn và định nghĩa ướclượng Monte Carlo xung khắc:

fanti(X) =12.(

1n

n

∑i=1

f (Xi)+1n

n

∑i=1

f (1−Xi)) (1.1)

Chú ý rằng khi cả X và 1−X có cùng phân bố, thì cả hai tổng ở vế phải của đẳng thức(1.1) đều là ước lượng không chệch của E( f (X)). Do đó ước lượng xung khắc cũng là khôngchệch. Đặt σ2 = Var( f (X)). Khi đó phương sai của ước lượng xung khắc được cho bởi:

Var( fanti(X)) =σ2

2n+

12n

Cov( f (X), f (1−X))

Mệnh đề 1.2.1. (Bất đẳng thức Chebyschev.)

Giả sử X là một biến ngẫu nhiên giá trị thực. Giả sử f ,g là các hàm không giảm với

Cov( f (X),g(X)) hữu hạn. Khi đó ta có:

E( f (X)g(X))≥ E( f (X))E(g(X))

Bằng việc chọn g(x) = − f (1− x), ta có mệnh đề sau được suy ra trực tiếp từ mệnh đềtrên:

Mệnh đề 1.2.2. (Giảm phương sai trong trường hợp phân bố đều).

Giả sử f là hàm không giảm hoặc không tăng, giả sử X có phân bố đều trên [0,1] với

Cov( f (X), f (1−X)) hữu hạn. Khi đó ta có:

Cov( f (X), f (1−X))≤ 0

Mệnh đề 1.2.3. (Giảm phương sai trong trường hợp phân bố chuẩn)

Giả sử f là hàm không giảm hoặc không tăng, giả sử X có phân bố chuẩn N (µ,σ2) với

Cov( f (X), f (2µ−X)) hữu hạn. Khi đó ta có:

Cov( f (X), f (2µ−X))≤ 0

9


1.2.2 Biến điều khiển

Nguyên lý của biến điều khiển dựa trên ý tưởng: nếu muốn tính E(X), thì phải cố gắngtính toán càng nhiều để độ chính xác càng tốt. Chính xác hơn, nếu biết một biến ngẫu nhiênY gần tới X theo một nghĩa nào đó và có thể tính toán E(Y ) một cách chính xác, khi đó biếnngẫu nhiên này có thể được chọn như là biến điều khiển, một cách tương đương ta có:

E(X) = E(X−Y )+E(Y )

từ đó dẫn đến ước lượng biến điều khiển Monte Carlo sau:

XY =1n

n

∑i=1

(Xi−Yi)+E(Y )

với Xi,Yi là các thành phần độc lập của X ,Y . Từ biểu thức liên hệ:

Var(XY ) =1n.Var(X−Y ) =

1n(Var(X)+Var(Y )−2Cov(X ,Y ))

ta thu được sự giảm phương sai của trong ước lượng biến kiểm soát Monte Carlo so với ướclượng Monte Carlo "thô" như sau:Do

Var(X)≥ Var(X−Y )

nên độ chênh lệch về phương sai của hai phương pháp ước lượng là:

2Cov(X ,Y )−Var(Y )

Những ứng dụng mở rộng của phương pháp biến điều khiển.1. Tối ưu hóa biến điều khiển:Nếu ta tìm thấy biến ngẫu nhiên Y thỏa mãn yêu cầu thì aY cũng được sử dụng như một

biến điều khiển với a > 0. Do tính chất tuyến tính của kỳ vọng, ước lượng biến điều khiểnmới cũng không chệch. Vì vậy việc sử dụng biến điểu khiển Y đạt được thông qua số nhâna∗ nhỏ nhất:

g(a) = Var(X−aY ) = Var(X)+a2.Var(Y )−2aCov(X ,Y )

= σ2 +a2.σ2

Y −2a.σX ,Y

(1.2)

Từ đó, ta có:a∗ =

σX ,Y

σ2Y

và:

2a∗Cov(X ,Y )− (a∗)2.Var(Y ) =σ2

XY

σ2Y

10


kết hợp với:σXY = ρX ,Y .σX .σY

Ta có sự giảm phương sai tối đa như sau:

2a∗Cov(X ,Y )− (a∗)2.Var(Y )Var(X)

= ρ2X ,Y

2. Điều khiển bộiTheo cách xây dựng ước lượng biến điều khiển, ta có thể lấy thêm một biến điều khiển

khác, gọi là Z, như sau:

XY,Z = XY =1n

n

∑i=1

Zi +E(Z)

Đây là ước lượng không chệnh với µ = E(X). Hơn nữa, nó còn dẫn đến sự giảm phương sainếu:

Var(Z)< 2Cov(XY ,Z)

Trong trường hợp Zi và Yi không tương quan, thì ta có:

Var(Z)< 2Cov(X ,Z)

Vậy một trong những ứng dụng của điều khiển bội là dùng trong trường hợp nhiều chiều:

X = f (Y1, ...,Yd)

đó là phương pháp điều khiển biến trong trường hợp không có điều kiện.3. Biến điều khiển và chuỗi xấp xỉKhông dễ dàng để tìm được một biến điều khiển tốt. Giả sử có ước lượng :

µ = E( f (X))

và có khai triển xấp xỉ Taylor đến bậc k như sau:

fk(x) =n

∑i=1

f ( j)(x0)

j!(x− x0)

j

Vấn đề đặt ra là, liệu có thể xác định được giá trị x0 như trên để có thể giảm phương saimột cách nhiều nhất khi sử dụng fk(X) như là hàm biến thiên đồng thời. Tất nhiên điều nàyphụ thuộc nhiều vào việc tính toán tất cả các giá trị của X cho đến bậc k và đặc biệt là tínhtất cả các phương sai: Cov(X j, f (X)) .

11


Ví dụ 4.

Xét một tích phân đơn giản1∫0

x2 dx;.

Ta có thể thay thế biến điều khiển X của f (X) = X2 bởi biến điều khiển:

f1(X) = f ′(12)(X− 1

2)+ f (

12) = X− 1

4

Vì vậy, ước lượng tuyến tính tốt nhất mà ta đạt được trong trường hợp này là xấp xỉ Taylorcấp 1 tại giá trị x0 =

12 .

(Xem hình 1.1)

Hình 1.1:

4. Biến điều khiển trung bình không điều kiệnPhương pháp sử dụng biến ngẫu nhiên điều khiển không điều kiện là xấp xỉ kỳ vọng của

các hàm nhiều chiều:E(g(X)) = E(g(X (1), ...,X (d)))

với d đơn biến điều khiển.

YUM j(X) = g(µ1, ...,µi−1,X (i),µi+1, ...,µd), j = 1, ...,d

với µ j = E(X ( j)), được gọi là biến ngẫu nhiên điều khiển trung bình không điều kiện.Ta có ước lượng của biến ngẫu nhiên điều khiển trung bình không điều kiện:

XUMCn =

1n

n

∑i=1

(g(Xi)−

d

∑j=1

YUM j(X)

)+

d

∑j=1

E(YUM j(X))

12


Ví dụ 5.

Ta xem xét một ví dụ đơn giản như sau:Giả sử có biến ngẫu nhiên X = (X (1),X (2),X (3)) có phân bố chuẩn nhiều chiều

X ∼N

1

1

1

,

1 0.8 0.8

0.8 1 0.64

0.8 0.64 1

Ta muốn ước lượng:E(g(X)) = E(X (1).X (2).X (3))

Suy ra, biến điều khiển đơn giản là các thành phần X (i). Khi đó ước lượng của biến ngẫunhiên trung bình không điều kiện được cho như sau:

XUMCn =

1n

n

∑i=1

(X (1)i .X (2)

i .X (3)i −X (1)

i −X (2)i −X (3)

i )+3

Chẳng hạn, với n = 10.000, một mô phỏng cho ta những kết quả cho trong bảng 1.3 dướiđây.

Phương pháp Trung bình Cận dưới Cận trên

CMC 3.240 3.120 3.361

UMCV 3.201 3.096 3.306

Bảng 1.3 E(X (1).X (2).X (3)) ước lượng Monte Carlo "thô" (CMC) và phương pháp biến ngẫu

nhiên điều khiển trung bình không điều kiện (UMCV), n = 10.000

1.2.3 Mẫu phân tầng

Trong phương pháp phân tầng lấy mẫu, phương sai của biến ngẫu nhiên X được chiathành d phần khác nhau được xác định bởi các giá trị y1, ...,yd của một biến ngẫu nhiên thứhai là Y . Khi đó, nếu:• phân bố xác suất của Y đã biết hoặc dễ dàng tính toán được, và• X |Y có thể dễ dàng mô phỏngthì:

µ = E(X) =d

∑i=1

E(X |Y = yi).P(Y = yi)

Nếu tất cả các xác suất pi = P(Y = yi) đều đã biết thì ta chỉ cần mô phỏng d kỳ vọng khácnhau với phương pháp Monte Carlo "thô" phù hợp. Để chứng minh rằng điều này dẫn đến sự

13


giảm phương sai, với i = 1, ...,d ta định nghĩa:

X i,ni =1ni

ni

∑j=1

X (i)j , µi = E(X |Y = yi), σ

2i = Var(X |Y = yi)

Tất cả các biến ngẫu nhiên X (i)j có cùng phân bố xác suất với X |Y = yi. Khi đó ta có ước

lượng Monte Carlo phân tầng của µ là:

X strart,n =d

∑i=1

pi.X i,ni

với n = n1 + ...+nd .Nhận xét thấy rằng ước lượng Monte Carlo phân tầng là ước lượng không chệch của µ . Thậmchí, ta có thể thấy rằng ước lượng phân tầng có phương sai nhỏ hơn so với ước lượng MonteCarlo "thô", thật vậy :(chú ý rằng các X i,ni, i = 1, ...,d độc lập (có điều kiện))

Var(X strart,n

)= Var

(d

∑i=1

pi.X i,ni

)=

d

∑i=1

p2i .

σ2i

ni=

d

∑i=1

pi

nipiσ

2i

Và từ:

E(Var(X |Y )) =d

∑i=1

Var(X |Y = yi).P(Y = yi) =d

∑i=1

piσ2i ,

σ2 = Var(X) = E(Var(X |Y ))+Var(E(X |Y ))≥ E(Var(X |Y ))

Nếu E(X |Y ) khác hằng số h.c.c, ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.2.4. (Giảm phương sai với các trọng số được lựa chọn tốt)

(a) Với các kí hiệu n1, ...,nd tồn tại ở trên thì phương sai của ước lượng Monte Carlo phân

tầng nhỏ hơn so với ước lượng Monte Carlo "thô" của µ .

(b) Giả sử rằng tất cả các giá trị của npi đều là số nguyên. Khi đó, với sự lựa chọn tỉ lệ

phân tầng ni = npi , phương sai của ước lượng Monte Carlo phân tầng nhỏ hơn thực sự so với

phương sai của ước lượng Monte Carlo "thô" nếu E(X |Y ) không là hằng số hầu chắc chắn.

(c) Việc giảm phương sai lớn nhất là khi chọn:

n∗i = n.piσi

∑dj=1 p jσ j

(không giảm tổng quát, ta giả sử rằng tất cả σ j là các số dương).

1.2.4 Giảm phương sai bằng cách lấy mẫu có điều kiện

Giả sử rằng:• E(X |Y ) có thể được tính toán một cách chính xác bằng công thức tích phân đã cho.

14


• Phân bố của Y được ước lượng bằng phương pháp Monte Carlo (thô).Bằng việc biến đổi:

µ = E(X) = E(E(X |Y )) (1.3)

ta có một ước lượng Monte Carlo của µ bằng cách lấy mẫu E(X |Y ). Ước lượng Monte Carlocó điều kiện được tính như sau:• Lấy mẫu Y n lần để được các giá trị Y1, ...,Yn,• Tính E(X |Yi)

• Đặt:

Xcond,n =1n

n

∑i=1

E(X |Yi)

Nhận xét thấy rằng Xcond,n là ước lượng không chệch. Ta có:

σ2 = Var(X) = E(Var(X |Y ))+Var(E(X |Y ))≥

≥ Var(E(X |Y )) =: σ2cond

Khi đó ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.2.5. Với các kết quả và kí hiệu trên, phương sai của ước lượng Monte Carlo có

điều kiện không vượt quá phương sai của ước lượng Monte Carlo thô. Nếu X |Y khác hằng

số hầu chắc chắn thì bằng việc sử dụng ước lượng Monte Carlo có điều kiện sẽ giảm được

phương sai (lượng phương sai giảm được là σ2−σ2cond).

1.2.5 Mẫu chính

Mẫu chính được xây dựng dựa trên một sự biến đổi trực tiếp của hàm mật độ của X (hoặcbiến đổi hàm xác suất, trong trường hợp X là một biến ngẫu nhiên rời rạc). Ý tưởng chính củaphương pháp lấy mẫu chính là để tìm một phân phối cho các biến ngẫu nhiên cơ bản bằngcách xác định một mẫu có xác suất cao với những giá trị rất quan trọng để tính toán kỳ vọng,E(g(X)).

Để thấy sự thay đổi của phương pháp, ta quay lại xem xét tích phân Monte Carlo trong vídụ 3. Với f (x) là hàm mật độ của phân bố đều trên U [0,1]d ta có:∫

[0,1]d

g(x)dx =∫

g(x) f (x)dx = E(g(X))

từ đây ta có thể tính tích phân xác định thông qua sử dụng N biến ngẫu nhiên độc lập X1, ...,XN

có phân phối đều trên U [0,1]d để có ước lượng Monte Carlo thô:

IN(ω) =1N

N

∑i=1

g(Xi(ω))

15


Cụ thể ta xét trường hợp: d = 1,g(x) = x.(1− x) là một hàm không âm, đối xứng trênđoạn [0,1], g(1) = g(0) = 0, max

[0,1]g(x) = g(1

2) =14 . Bây giờ thay vì dùng phân phối đều trên

đoạn [0,1], thì ta sử dụng phân phối tam giác cho biến ngẫu nhiên X , tức là nó có mật độ xácsuất :

f (x) =

0, nếu x≤ 0 hoặc x≥ 1

4x, nếu 0 < x < 12

4−4x, nếu 12 ≤ x < 1

(1.4)

(Xem hình 1.2 và hình 1.3)

Hình 1.2:

Khi đó giá trị của tích phân sẽ không thay đổi nếu ta lấy mẫu theo hàm mật độ f , ta có:

1∫0

x.(1− x)dx =1∫

0

x.(1− x)f (x)

f (x)dx

Điều này có nghĩa rằng khi chúng ta sử dụng phân phối mới, chúng ta có mẫu X(1−X)

f (X)để có

được ước lượng Monte Carlo mới:

Iimp =1N

N

∑i=1

Xi(1−Xi)

f (Xi)

Chú ý rằng, Xi có phân phối theo mật độ f (.) .Một so sánh đơn giản của việc sử dụng ước lượng Monte Carlo giữa xấp xỉ đều và xấp xỉ

tam giác với N = 1.000 cho thấy sự vượt trội của phương pháp mới. Kết quả thu được là:

16


Hình 1.3:

Phương

pháp

Kết quả Khoảng tin cậy 95% Phương sai

CMC 0.163 [0.158, 0.167] Var(Icrude) =1

180N

IMC 0.168 [0.166, 0.170] Var(Iimp) =1

1152N = 164.18N

(CMC: Phương pháp ước lượng Monte Carlo thô; IMC: Phương pháp ước lượng Monte Carlo

bằng lấy mẫu chính.); kết quả chính xác bằng 16

Nhận xét thấy rằng, việc sử dụng phương pháp lấy mẫu chính cho ta kết quả chính xáchơn. Mặt khác, với phương pháp mới này, phương sai cũng nhỏ hơn so với phương pháp cũ(Var(Icrude) ≥ Var(Iimp)). Như vậy, phương sai của ước lượng Monte Carlo bằng việc sửdụng phương pháp lấy mẫu chính đã được giảm ít hơn 1/6 so với phương sai của ước lượngMonte Carlo thô.

Bây giờ ta sẽ áp dụng phương pháp lấy mẫu chính để tính kỳ vọng trong trường hợp tổngquát:

E(g(X)) =∫

g(x) f (x)dx

Trong đó, biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong Rd có hàm mật độ là f (x), và giả sử rằng kỳvọng của hàm g : Rd → R tồn tại.Mọi hàm mật độ f (x) trên Rd thỏa mãn:

f (x)> 0, (∀x : f (x)> 0) (1.5)

17


và độ đo xác suất của nó là P . Ta có:

E(g(X)) =∫

g(x) f (x)dx =∫

g(x)f (x)f (x)

f (x)dx

= E(

g(X)f (X)

f (X)

)= E(g(X))

(1.6)

Ở đây E(.) là kỳ vọng tương ứng với P.Hàm có trọng số f (X)

f (X)được gọi là hàm tỷ số hợp lý của sự thay đổi từ độ đo xác suất P sang

P.Ước lượng mẫu chính của µ = E(g(X)) được định nghĩa như sau:

Iimp, f ,N(g(X)) =1N

N

∑i=1

g(Xi) =1N

N

∑i=1

g(Xi)f (Xi)

f (Xi)

Trong đó các Xi là độc lập và có phân phối theo hàm mật độ f của mẫu chính.Nhận xét rằng, ước lượng của mẫu chính là ước lượng không chệch và ước lượng vững.Phương sai của nó được cho bởi:

σ2imp, f ,N = Var(Iimp, f ,N(g(X)))

=1NVar(g(X)) =

1N

(E(g(X)2)−µ

2)=

1N

∫ g(x)2 f (x)f (x)

f (x)dx−µ2

(1.7)

Khoảng tin cậy xấp xỉ 95% cho E(g(X)):[Iimp, f ,N(g(X))−1.96

σimp, f ,N√N

, Iimp, f ,N(g(X))+1.96σimp, f ,N√

N

]trong đó σimp, f ,N là độ lệch tiêu chuẩn mẫu của ước lượng mẫu chính.Nếu g(x)≥ 0, ∀x ∈ Rd , ta chọn:

f (x) = c. f (x).g(x) =f (x).g(x)∫f (y).g(y)dy

thì f là hàm mật độ trên Rd và ta có g(X) = 1c , tức là:

Var(

Iimp, f ,N(g(X)))= 0

Tuy nhiên nhược điểm của phương pháp là tìm hằng số c bằng phương pháp Monte Carlo, ởđó: µ = 1

c .

18


Mệnh đề 1.2.6. (Giảm phương sai bằng phương pháp lấy mẫu chính)

Giả sử g(.) là một hàm không âm. Khi đó tồn tại hàm mật độ của mẫu chính f sao cho ta có:

Var(

Iimp, f ,N(g(X)))< Var

(I(g(X)N)

)với I(g(X)N là ước lượng Monte Carlo của E(g(X)). Hơn nữa, mọi hàm f thỏa mãn tính chất

(1.5) ta có:

Var(I(g(X))N

)− Var

(Iimp, f ,N(g(X))

)=

=1N

∫ g(x)2(

1− f (x)f (x)

)f (x)dx

Một số phương pháp phổ biến để có được hàm mật độ của mẫu chính

1. Dịch chuyển hàm mật độ và nguyên lý cực đại .Ý tưởng của phương pháp này là thay thế f (x) bởi :

f (x) = f (x− c)

với c là hằng số thỏa mãn:

g(x) =f (x)

f (x− c)g(x)

Khi đó thực hiện nguyên lý cực đại, tức là chọn c sao cho f (x) và g(x) f (x) đạt cực đại tạicùng một giá trị xmax. (Chú ý rằng xmax không phải là duy nhất, nên không phải việc chọngiá trị c lúc nào cũng rõ ràng). Trong trường hợp đặc biệt của một hàm mật độ chuẩn nhiềuchiều:

f (x) = φν ,∑ (x) =1

2d/2|det(∑)|.exp

(−1

2(x−ν)′∑

−1(x−ν)

)Nhận xét rằng f (x) đạt giá trị lớn nhất tại ν , do đó ta chọn:

c = ν∗−ν

với:ν∗ = arg maxxg(x) f (x)

Ví dụ 6. (Tính toán chi phí cho các sự kiện tiêu cực có phân phối chuẩn)

Giả sử ta có X ∼ N(0,1) và chúng ta phải đối mặt với chi phí của g(X) nếu quan sátcác giá trị của X lớn hơn 10. Ví dụ, như là một vụ phá sản của Mỹ hay là một tai nạn nghiêmtrọng ở nhà máy điện hạt nhân.Nếu bây giờ ta sử dụng ước lượng Monte Carlo thô, thì ngay cả đối với một số lượng N lớn,cũng không quan sát một giá trị đơn lẻ Xi > 10 , và do đó ước lượng chi phí trung bình

19


E(g(X)) bằng 0.Nếu lấy:

g(x) :=C.x.1[10,∞)(x)

với C là hằng số rất lớn, khi đó ta có:

10 = argmaxx

C.x.1[10,∞)(x).

1√2π

.exp(−x2

2

)Do đó, ta lấy:

f (x) = ϕ0,1(x−10) =1√2π

exp(−(x−10)2

2

)khi đó có được ước lượng mẫu chính:


N

∑i=1

C.Xi.1Xi≥10 exp(50−10Xi)

(xem hình 1.4) với Xi ∼N (10,1) , các Xi độc lập.Với N = 10.000 và C = 109, dẫn đến ước lượng: 7528.10−14 với khoảng tin cậy xấp xỉ 95%là:

[7029.10−14,8031.10−14]

So sánh với giá trị chính xác:

C.exp(−50).1√2.π

= 7695.10−14

2. Thay đổi dáng điệu của hàm mật độ bởi tỷ lệÝ tưởng là thay thế f (x) bởi

f (x) =1c

f(x

c

)với c > 0 ta có:

g(x) = cf (x)f(x

c

)g(x)

(Nhận xét rằng, nếu chọn một giá trị lớn của c 1 thì phương sai của phân phối ứng với hàmmật độ f bằng phương sai tương ứng với hàm mật độ f ban đầu nhân với c2).

Ví dụ 7. (Với các giả thiết như trong ví dụ 6)

Chọn tham số c sao cho xác suất có nghĩa trong khoảng [10,∞) khi mô phỏng các sốngẫu nhiên theo hàm mật độ chuyển đổi f . Đối với biến ngẫu nhiên Xσ có phân bố chuẩnN (0,σ2), ta có:

P(Xσ ≥ σ) = 1−Φ(1) = 0.159

20


ta có thể chọn σ = 10. Nghĩa là 1/6 các số ngẫu nhiên Xi được tạo ra thuộc khoảng [10,∞)

và do đó có thể có được ước lượng mẫu chính khác 0.(xem hình 1.5)

Tuy nhiên, bằng việc chọn σ = 10, ta tăng độ lệch chuẩn của phân bố mẫu lên gấp 10 lần.Khi đó ta có được ước lượng 8259.10−14 với khoảng tin cậy xấp xỉ 95% là [5956.10−14,1056.10−13].Trong khi đó giá trị chính xác là 7659.10−14 thuộc khoảng tin cậy trên, do đó ước lượng nàykhá là không ổn định.3. Lấy mẫu có điều kiện bị hạn chế bởi miền giá trịThay điều kiện (1.5) bởi điều kiện sau:

f (x)> 0, ∀x thỏa mãn g(x) f (x) 6= 0 (1.8)

Khi đó xét trên một khoảng [a,b] (ở đây có thể a =−∞,b =+∞), ta có:

fX |X∈[a,b](x) =f (x)

P(X ∈ [a,b])

Nếu ta chọn mật độ có điều kiện là mật độ của mẫu chính thì sẽ có một hàm tỷ số hợp lý:

f (x)f (x)

= P(X ∈ [a,b])

Điều này cũng giúp ta tính ước lượng của mẫu chính dễ dàng hơn, ta cũng có:


N

∑i=1

g(Xi) =1NP(X ∈ [a,b])

N

∑i=1

g(Xi)

trong đó Xi là mẫu được lấy từ mật độ có điều kiện.Nếu khoảng mà ta lấy điều kiện có một xác suất rất nhỏ thì việc tính toán xác suất này sẽ làmột vấn đề khó khăn. Để tránh điều này ta sử dụng phương pháp dịch chuyển có điều kiện:đầu tiên, bằng sự dịch chuyển thích hợp ta biến đổi mật độ (hoặc một phần) vào miền xácđịnh (mà ta quan tâm); sau đó sử dụng mật độ đã được chuyển dịch thay cho mật độ ban đầuvới điều kiện trong miền xác định đó. Khi đó ta lại có một ước lượng của mẫu chính:

Iimp, fcond ,N(g(X)) =1NP(X ∈ [a,b])

N

∑i=1

g(Xi)f (Xi)

fcond(Xi)

với fcond(x) là mật độ thu được bằng cách dịch chuyển có điều kiện mật độ f (x).

21


Ví dụ 8.

Với các giả thiết cho trong ví dụ 6, một điều kiện thuần để dẫn đến ước lượng của mẫuchính:

Iimp, f ,N(g(X)) =1NP(X ∈ [10,∞))

N

∑i=1

C.Xi

Tuy nhiên, xác suất xảy ra ước lượng là rất bé và rất khó để phân biệt với 0. Đối với cácphương pháp tiếp cận kết hợp, đầu tiên ta thực hiện một sự thay đổi theo nguyên tắc tối đadẫn đến một phân bố chuẩn N(10,1). Suy ra ước lượng của mẫu chính kết hợp:

Iimp, fcond ,N(g(X)) =1N

N

∑i=1

C.Xi.1Xi≥10.12

exp(50−10Xi)

trong đó Xi là mẫu được lấy từ phân bố có điều kiện.

Kết quả của việc thực hiện kết hợp các phương pháp là kết quả chính xác nhất được minhhọa trong bảng so sánh dưới đây, trong đó giá trị đúng là 7695.10−14:

Phương pháp Ước lượng Cận dưới Cận trên

Monte Carlo thô 0 0 0

Dịch chuyển trung bình 7528.10−14 7029.10−14 8030.10−14

Định tỷ lệ 8259.10−14 5956.10−14 1056.10−13

Kết hợp điều kiện 7621.10−14 7380.10−14 8611.10−13

Bảng 1.4 (Các phương pháp mẫu chính khác nhau với khoảng tin cậy 95% )

Hình 1.4: Mật độ ban đầu f(x) và mật độ dịch chuyển mẫu chính f (x)

22


Hình 1.5: Mật độ ban đầu f(x) và mật độ tỷ lệ mẫu chính f (x)

Hình 1.6: Mật độ dịch chuyển f (x) và mật độ dịch chuyển có điều kiện fcond(x)

1.3 Các quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục

Quá trình ngẫu nhiên là mô hình toán học của rất nhiều bài toán thực tế xuất hiện trongkhoa học và công nghệ. Nó mô tả sự tiến hóa theo thời gian của một hệ thống chịu sự tácđộng của các nhân tố ngẫu nhiên. Tuy nhiên ở đây chúng ta sẽ xem xét các hiện tượng nhưgiá cổ phiếu, lãi suất và quá trình bảo hiểm, nhưng người ta cũng có thể xem xét các hiệntượng thiên nhiên như thời tiết hoặc các vấn đề về kỹ thuật như dòng chảy của các hạt tươngtác thông qua một số bộ lọc. Quá trình ngẫu nhiên cũng có thể được xem như một hàm ngẫunhiên nào đó và sự mô tả các hàm ngẫu nhiên này thường được thông qua các phương trìnhvi phân ngẫu nhiên.

Định nghĩa 1.3.1. Cho (Ω,z,P) là một không gian xác suất với không gian mẫu Ω, σ -

trường F , và độ đo xác suất P. Giả sử I là một tập chỉ số.

(a) Họ Ftt∈I của σ -trường con của F với Fs ⊂ Ft nếu s < t;s, t ∈ I, được gọi là một lọc.

23


(b) Một họ (Xt ,Ft)t∈I , gồm một lọc Ftt∈I và một họ Xtt∈I các biến ngẫu nhiên nhận

giá trị trong Rn, sao cho Xt là Ft - đo được, được gọi là một quá trình ngẫu nhiên tương ứng

với lọc Ftt∈I .

(c) Với mỗi ω ∈Ω cố định, tập:

X .(ω) := Xtt∈I = X(t,ω)t∈I

được gọi là một quỹ đạo mẫu.

Định nghĩa 1.3.2. Nếu những quỹ đạo mẫu của một quá trình ngẫu nhiên X .(ω) là liên tục

(liên tục phải, liên tục trái) thì ta gọi là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục (liên

tục phải, liên tục trái).

Định nghĩa 1.3.3. (a) Một quá trình ngẫu nhiên (Xt ,Ft)t∈I được gọi là có gia số độc lập

nếu với mọi r ≤ u≤ s≤ t,(r,u,s, t ∈ I) ta có:

Xt−Xs độc lập với Xu−Xr

(b) Một quá trình ngẫu nhiên (Xt ,Ft)t∈I được gọi là có gia số "dừng" nếu với mọi

s≤ t,(s, t ∈ I) ta có:

Xt−Xs ∼ Xt−s

Nhận xét.Hai tính chất trên sẽ giúp việc phân tích và đặc biệt là mô phỏng quá trình ngẫu nhiên

đơn giản hơn.• Nếu quá trình ngẫu nhiên X có các gia số độc lập thì nó sẽ cho dự báo kết quả trong tươnglai, tại thời điểm t là Xt .• Nếu quá trình ngẫu nhiên X có gia số dừng thì các tính chất phân phối của quá trìnhkhông thay đổi theo thời gian. Điều này không có nghĩa là các Xt có cùng phân bố, mà phânbố của gia số Xt−Xs chỉ phụ thuộc vào sự chênh lệch về thời gian t− s.

Do đó ta sẽ nghiên cứu hai lớp cơ bản của quá trình ngẫu nhiên khái quát hai thuộc tínhnày:• Thuộc tính thứ nhất (với gia số độc lập): là lớp các quá trình Markov mà ở đó phân bốcủa các giá trị tương lai của quá trình này chỉ phụ thuộc vào quá khứ thông qua giá trị hiệntại của nó.• Thuộc tính thứ hai là của mac-tin-gan, khái quát về ý tưởng của một trò chơi công bằng.

Định nghĩa 1.3.4. Một quá trình ngẫu nhiên (Xt ,Ft)t∈I nhận giá trị trên Rd , xác định trên

một không gian xác suất (Ω,z,P) được gọi mà một quá trình Markov với phân bố ban đầu

ν nếu ta có:

P(X0 ∈ A) = ν(A), ∀A ∈ B(Rd)

24


P(Xt ∈ A|Fs) = P(Xt ∈ A|Xs), ∀A ∈ B(Rd); t ≥ s

Đặc biệt là, phân bố của các giá trị tương lai của X chỉ phụ thuộc vào quá khứ thông qua

giá trị hiện tại Xt .

Định nghĩa 1.3.5. Một quá trình ngẫu nhiên (Xt ,Ft)t∈I nhận giá trị thực với E|Xt | < ∞,

∀t ∈ I được gọi là:

(a) một mac-tin-gan trên nếu:

E(Xt |Fs)≤ Xs, ∀s, t ∈ I : s≥ t P−a.s

(b) một mac-tin-gan dưới nếu:

E(Xt |Fs)≥ Xs, ∀s, t ∈ I : s≥ t P−a.s

(c) một mac-tin-gan nếu:

E(Xt |Fs) = Xs, ∀s, t ∈ I : s≥ t P−a.s

1.3.1 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo cho các quá trình ngẫu

nhiên

Khi một quá trình ngẫu nhiên chỉ là một họ các biến ngẫu nhiên, mô phỏng nó có vẻ làmột nhiệm vụ dễ dàng. Tuy nhiên, có một số sự việc và khía cạnh phải được xem xét trước:• Các phần tử Xt ; t ∈ I của một quá trình ngẫu nhiên thường không độc lập.• Tập chỉ số I có thể không đếm được, có nghĩa là một mô phỏng hoàn toàn chi tiết củamột quá trình tương ứng là không thể.• Mục đích của bạn là gì khi mô phỏng quá trình ngẫu nhiên?· · ·Giả sử X = Xtt∈I là một quá trình ngẫu nhiên và g(X) = g(Xt(ω), t ∈ I) là một hàm.Giả sử rằng:

µ = E(g(X)) = E(g(Xt , t ∈ I))

xác định và hữu hạn. Nếu ta có thể mô phỏng một cách độc lập các bản sao:

Xi(ω) = Xt,i(ω), t ∈ I

của quá trình ngẫu nhiên X , thì g(X) chỉ là một biến ngẫu nhiên giá trị thực và ta có thể xácđịnh được.Để trình bày hầu hết các mô phỏng quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên (với thời gian liên tục),chúng ta xem xét một thuật toán sau:

25


Thuật toán 1.3.6. (Mô phỏng quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục với các quỹ đạo liên

tục)

Giả sử 0 = t0 < t1 < ... < tn = T là một phân hoạch của [0,T ].Gọi Pk là phân phối có điều kiện của Xtk bởi Xtk−1 .

Khi đó ta thu được quỹ đạo X .(ω) thông qua các bước sau:

1. Đặt X0(ω) = 0.

2. Cho k = 1 tới n ta có:

(a) Mô phỏng một số ngẫu nhiên Yk với Yk ∼ Pk.

(b) Đặt Xtk(ω) = Xtk−1(ω)+Yk(ω).

(c) Đặt

Xt(ω) = Xtk−1(ω)+t− tk−1

tk− tk−1Yk(ω), t ∈ (tk−1, tk)

1.3.2 Chuyển động Brown và cầu Brown

Quá trình ngẫu nhiên là nền tảng cơ sở quan trọng nhất để xây dựng các mô hình tài chínhvà các ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học là quá trình chuyển độngBrown.

Định nghĩa 1.3.7. (a) Quá trình ngẫu nhiên giá trị thực Wt , t ≥ 0 với các quỹ đạo liên tục

và thỏa mãn các tính chất:

(i) W0 = 0, P−h.c.c.

(ii) Wt−Ws ∼ N(0, t− s) với 0≤ s < t.

(iii) Wt−Ws độc lập với Wu−Wr với 0≤ r ≤ u≤ s < t

được gọi là một chuyển động Brown một chiều.

(b) Một chuyển động Brown n - chiều là một quá trình nhận giá trị trên Rn :

W (t) = (W1(t), ...,Wn(t))

với các Wi là các chuyển động Brown một chiều, độc lập.

1.3.2.1 Các tính chất của chuyển động Brown

Định lí 1.3.8. (a) Tất cả các quỹ đạo của chuyển động Brown Wtt∈[0,∞) là các hàm theo t

khả vi P−h.k.n.

(b) Đặt:

Zn(ω) :=2n

∑i=1|Wi/2n(ω)−W(i−1)/2n(ω)|, n ∈ N,ω ∈Ω

khi đó ta có:

Zn(ω)n→∞−−−→ ∞, P−h.c.c

26


Định lí 1.3.9. (a) Một chuyển động Brown một chiều là một mac-tin-gan.

(b) Một chuyển động Brown với độ lệch µ và độ biến động σ , với µ,σ ∈ R:

Xt := µt +σWt , t > 0

là:

(i) một mac-tin-gan nếu và chỉ nếu µ = 0(ii) một mac-tin-gan - trên nếu và chỉ nếu µ ≤ 0(iii) một mac-tin-gan - dưới nếu và chỉ nếu µ ≥ 0

Thuật toán 1.3.10. (Mô phỏng quỹ đạo của chuyển động Brown)

Giả sử 0 = t0 < t1 < ... < tn = T là một phân hoạch của [0,T ]. Khi đó ta sẽ có một quỹ

đạo W.(ω) của một chuyển động Brown một chiều thông qua thuật toán sau:

1. Đặt W0(ω) = 0.

2. Cho k = 1 tới n :

(a) Mô phỏng biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc Zk

(b) Đặt Wtk(ω) =Wtk−1(ω)+√

tk− tk−1Zk

(c) ∀t ∈ (tk−1, tk), đặt:

Wt(ω) =Wtk−1(ω)+t− tk−1

tk− tk−1(Wtk(ω)−Wtk−1(ω))

Hình 1.7: Mô phỏng các quỹ đạo mẫu của một cầu Brown từ 0 tới 1

27


1.3.2.2 Hội tụ yếu và định lí Donsker

Định nghĩa 1.3.11. Giả sử (S,B(S)) là một không gian metric với metric ρ và σ−trường

Borel B(S) của S. Gọi P,Pn, n ∈ N là các độ đo xác suất trên (S,B(S)).

Khi đó, ta nói dãy Pn hội tụ yếu tới P nếu với mỗi hàm f liên tục, bị chặn, nhận giá trị thực

trên S, ta có: ∫S

f dPnn→∞−−−→

∫S

f dP

Định nghĩa 1.3.12. Giả sử Xn = Xn(t)t∈[0,1] là một dãy của quá trình ngẫu nhiên thời gian

liên tục. Ta nói rằng dãy Xn hội tụ yếu ( hay hội tụ theo phân phối ) tới quá trình liên tục X

nếu:

E( f (Xn))n→∞−−−→ E( f (X)), ∀ f ∈C(C[0,1],R)

Như vậy ta có:

E( f (Xn)) =∫

f dPn, E( f (X)) =∫

f dP

hội tụ yếu của quá trình ngẫu nhiên có nghĩa là hội tụ yếu của các phân phối xác suất cơ bảnPn→ P.

Định lí 1.3.13. Giả sử P,Pn, n ∈ N là các độ đo xác suất trên không gian metric (S,B(S))

với metric ρ .

Hơn nữa, gọi h : S→ S′ là một ánh xạ đo vào không gian metric S′ với metric ρ ′ và σ−trường Borel B(S′).

Giả sử Dh - tập các điểm gián đoạn của h là một tập không, tức là:

P(Dh) = 0

Khi đó sự hội tụ theo phân phối được bảo toàn qua ánh xạ h:

Pnn→∞−−−→ P theo phân phối⇒ Pn.h−1 n→∞−−−→ P.h−1theo phân phối

Nhận xét.Các ánh xạ liên tục bảo toàn sự hội tụ theo phân phối.(Rk,B(Rk)) cũng là một không gian xác suất.Giả sử Xn,X là các quá trình ngẫu nhiên liên tục, giá trị thực.Cố định k thời điểm: 0≤ t1 < ... < tk ≤ 1, theo định lí 1.3.13 ta có:

Xnn→∞−−−→ X theo phân phối

khi đó (Xn(t1), ...,Xn(tk))n→∞−−−→ (X(t1), ...,X(tk)) theo phân phối

Định lí 1.3.14. (Donsker) Giả sử ξnn∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng

phân phối, với E(ξi) = 0, 0 < Var(ξi) = σ2 < ∞. Đặt:

S0 = 0, Sn =n

∑i=1

ξn

28


Ta xây dựng một dãy Xn của quá trình ngẫu nhiên bởi:

Xn(t,ω) =1

σ√

nS[nt](ω)+(nt− [nt])

1σ√

nξ[nt]+1(ω), ∀t ∈ [0,1],n ∈ N

Khi đó dãy Xn hội tụ yếu tới chuyển động Brown một chiều Wtt in[0,1] , tức là ta có:

Xnn→∞−−−→W, theo phân phối.

Định lí 1.3.15. Giả sử Wtt≥0 là một chuyển động Brown một chiều. Khi đó ta có:

limsupt→∞

Wt(ω)√2t log(log(t))

= 1, P−h.c.c

liminft→∞

Wt(ω)√2t log(log(t))

=−1, P−h.c.c

Hệ quả 1.3.16. Giả sử Xt = µ.t +σWt , t ≥ 0 là một chuyển động Brown với độ lệch µ và độ

biến động σ . Khi đó ta có:

limt→∞

Xt

t= µ P−h.c.c

1.3.2.3 Cầu Brown

Định nghĩa 1.3.17. Giả sử Wtt∈[0,1] là một chuyển động Brown một chiều , gọi a,b là hai

số thực. Khi đó, quá trình:

Ba,bt = a

T − tT

+btT+(

Wt−tT

WT

), t ∈ [0,T ]

được gọi là một cầu Brown từ a tới b.

Mệnh đề 1.3.18. Một cầu Brown từ a tới b thỏa mãn tính chất:

Ba,bt ∼N

(a+

tT(b−a), t− t2

T

)Mệnh đề 1.3.19. (Công thức phân phối chuẩn có điều kiện)

Giả sử Z = (Z(1), . . . ,Z(d)) là một vecto ngẫu nhiên d - chiều, với Z ∼N (µ,∑). Phân hoạch

Z thành d1 thành phần đầu tiên là X và d−d1 thành phần tiếp theo là Y . Khi đó, với: X

Y

∼N

µX

µY

,

∑X ∑XY

∑Y X ∑Y

và giả sử rằng ∑

−1Y tồn tại, ta có phân phối chuẩn có điều kiện d1 - chiều của X |Y = y :

X |Y = y∼N(µX +∑XY ∑

−1Y (y−µY ),∑X−∑XY ∑

−1Y ∑Y X

)29


Chú ý rằng ta có: Wt

WT

∼N

0

0

,

t t

t T

khi đó một hệ quả trực tiếp của mệnh đề là:

Wt |WT = b∼N

(b

tT, t− t2

T

)khi đó theo mệnh đề (1.3.19) ta thu được một cầu Brown từ 0 đến b, đó cũng chính là chuyểnđộng Brown có điều kiện tới b tại thời điểm T .Tương tự một chuyển động Brown bắt đầu từ a : W a

0 = a, ta có: W at ∼N (a, t) và do đó:

W at |W a

T = b∼N

(a+(b−a)

tT, t− t2

T

)Từ đây suy ra một cầu Brown từ a tới b là một chuyển động Brown có điều kiện từ a đến b

tại thời điểm T .

Thuật toán 1.3.20. (Mô phỏng một cầu Brown)

1. Mô phỏng một quỹ đạo của một chuyển động Brown Wt(ω) trên [0,T ].2. Đặt Ba,b

t = aT−tT +b t

T +(Wt− t

T WT), ∀t ∈ [0,T ]

Mệnh đề 1.3.21. Giả sử W là một chuyển động Brown một - chiều, a,b ∈ R, 0 < s < t < u.

Khi đó phân phối có điều kiện của Wt bởi (Wu,Ws) được cho như sau:

Wt |(Wu = b,Ws = a)∼N

((u− t)a+(t− s)b

u− s,(u− t)(t− s)

u− s

)

1.3.3 Công thức Itô

1.3.3.1 Tích phân Itô

Định nghĩa 1.3.22. Giả sử (Wt ,Ft)|t ∈ [0,T ] là một chuyển động Brown một chiều trên

không gian xác suất (Ω,F,P).(a) Một quá trình ngẫu nhiên Xtt∈[0,T ] được gọi là một quá trình đơn giản nếu tồn tại các

số thực 0 = t0 < t1 < .. . < tp = T, p ∈ N và các biến ngẫu nhiên bị chặn Φi : Ω→ R, i =

0,1, . . . , p, với:

Φ0 là F0−đo được, Φi là Fti−1−đo được, i = 1, . . . , p,

sao cho với mỗi ω ∈Ω : Xt(ω) thỏa mãn:

Xt(ω) = X(t,ω) = Φ0(ω).10(t)+p

∑i=1

Φi(ω).1(ti−1,ti](t)

30


Hình 1.8: Mô phỏng các quỹ đạo mẫu của một cầu Brown từ 0 tới 1 (n = 100)

(b) Với một quá trình đơn giản Xtt∈[0,T ] và t ∈ (tk, tk+1], tích phân ngẫu nhiên hay tích phân

Itô I.(X) được định nghĩa như sau:

It(X) :=t∫

0

Xs dWs := ∑1≤i≤k

Φi(Wti−Wti−1)+Φk+1(Wt−Wtk)

hoặc tổng quát ∀t ∈ [0,1]:

It(X) :=t∫

0

Xs dWs := ∑1≤i≤p

Φi(Wti∧t−Wti−1∧t)

Định lí 1.3.23. (Những tính chất cơ bản của tích phân ngẫu nhiên)

Giả sử X là một quá trình đơn giản. Khi đó ta có:

(a) (It(X),Ft)t∈[0,T ] là một mac-tin-gan liên tục, cụ thể ta có:

E(It(X)) = 0, ∀t ∈ [0,T ]

(b) Phương sai của tích phân Itô được xác định như sau:

E

t∫0

Xs dWs

2

= E

t∫0

X2s dWs

∀t ∈ [0,T ]

Định nghĩa 1.3.24. Giả sử (Xt ,Gt)t∈[0,∞) là một quá trình ngẫu nhiên. Nó được gọi là đo

được lũy tiến nếu ∀t ≥ 0 ánh xạ:

[0, t]×Ω→ Rn, (s,ω) 7→ Xs(ω)

31


Hình 1.9: Hàm bậc thang, chuyển động Brown và tích phân Itô tương ứng

là B([0, t])⊗Gt−B(Rn) - đo được.

Định nghĩa 1.3.25. Một quá trình ngẫu nhiên (Xt ,Ft)t≥0 được gọi là mac-tin-gan địa

phương nếu tồn tại một dãy các thời điểm dừng τn,n ∈ N thỏa mãn:

τn(ω)n→∞−−−→ ∞, ∀ω ∈Ω, P−h.k.n

sao cho quá trình dừng(

X (n)t ,Ft

)t≥0

xác định bởi:

X (n)(ω) = Xt∧τn(ω)(ω)

là các mac-tin-gan. Mỗi một dãy thời điểm dừng được gọi là một dãy địa phương.

Định nghĩa 1.3.26. Giả sử (Wt ,Ft)t∈[0,∞) là một chuyển động Brown m - chiều, m ∈ N .

(a) Một quá trình ngẫu nhiên (Xt ,Ft)t∈[0,∞) :

X(t) = X(0)+t∫

0

K(s)ds+m

∑j=1

t∫0

H j(s)dWj(s)

với X(0) F0− đo được, K(t)t∈[0,∞) và H(t)t∈[0,∞) là các quá trình đo được lũy tiến, với:

t∫0

|K(s)|ds < ∞,

t∫0

H2i (s)ds < ∞ P−h.c.c

với mọi t ≥ 0, i = 1, . . . ,m được gọi là một quá trình Itô giá trị thực.

(b) Một quá trình Itô n - chiều X =(

X (1), . . . ,X (n))

là một vecto với các thành phần là các

quá trình Itô giá trị thực.

32


Định nghĩa 1.3.27. Giả sử X và Y là hai quá trình Itô giá trị thực có dạng:

X(t) = X(0)+t∫

0

K(s)ds+t∫

0

H(s)dW (s),

Y (t) = Y (0)+t∫

0

L(s)ds+t∫

0

M(s)dW (s).

Khi đó, một hiệp phương sai bậc hai của X và Y được định nghĩa như sau:

< X ,Y >t :=m

∑i=1

t∫0

Hi(s).Mi(s)ds

Trường hợp đặc biệt, < X >t :=< X ,X >t được gọi là biến phân bậc hai của X

1.3.3.2 Công thức Itô

Định lí 1.3.28. (Công thức Itô một chiều)

Giả sử W là một chuyển động Brown một - chiều, X là một quá trình Itô giá trị thực có dạng:

Xt = X0 +

t∫0

Ks ds+t∫

0

Hs dWs

Giả sử f : R→ R là một hàm khả vi liên tục đến cấp 2. Khi đó, với mọi t ≥ 0 ta có:

f (Xt) = f (X0)+

t∫0

f ′(Xs)dXs +12.

t∫0

f ′′(Xs)d < X >s

= f (X0)+

t∫0

( f ′(Xs).Ks +12. f ′′(Xs).H2

s )ds

+

t∫0

f ′(Xs).Hs dWs P−h.c.c

(Nói riêng, f (Xt) cũng là một quá trình Itô và tất cả các tích phân trên được xác định)

Định lí 1.3.29. (Công thức Itô nhiều chiều)

Giả sử X(t) = (X1(t), . . . ,Xn(t)) là một quá trình Itô n - chiều với :

Xi(t) = Xi(0)+t∫

0

Ki(s)ds+m

∑j=1

t∫0

Hi j(s)dWj(s) i = 1, . . . ,n,

33


và W (t) là một chuyện động Brown m - chiều.

Hơn nữa giả sử, f : [0,∞)×Rn→R là một C1,2− hàm số (tức là: f là hàm liên tục; biến thứ

nhất khả vi liên tục; n biến thành phần phía sau là khả vi liên tục tới cấp 2). Khi đó ta có:

f (t,X1(t), . . . ,Xn(t)) = f (0,X1(0), . . . ,Xn(0))+

+

t∫0

ft(s,X1(s), . . . ,Xn(s))ds+n

∑i=1

t∫0

fxi(s,X1(s), . . . ,Xn(s))dXi(s)

+12

n

∑i, j=1

t∫0

fxix j(s,X1(s), . . . ,Xn(s))d < Xi,X j >s

1.3.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên

1.3.4.1 Các kết quả cơ bản của phương trình vi phân ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.3.30. Một nghiệm (mạnh) X(t) của phương trình vi phân ngẫu nhiên :

dX(t) = b(t,X(t))dt +σ(t,X(t))dW (t), X(0) = x (1.9)

(với b : [0,∞)×Rd→Rd, σ : [0,∞)×Rd→Rd,m là các hàm số cho trước) là một quá trình

liên tục d− chiều (X(t),Ft)t≥0 trên không gian xác suất (Ω,F,P) thỏa mãn :

X(0) = x

Xi(t) = xi +

t∫0

bi(s,X(s))ds+m

∑j=1

t∫0

σi j(s,X(s))dWj(s),

t∫0

(|bi(s,X(s))|+

m

∑j=1

σ2i j(s,X(s))

)ds < ∞

P−h.c.c, ∀t ≥ 0, i ∈ 1, . . . ,d .

Nhận xét.Hai ví dụ đơn giản của phương trình vi phân ngẫu nhiên ứng dụng trong tài chính là:

• Phương trình tuyến tính thuần nhất một chiều:

dX(t) = bX(t)dt +σX(t)dW (t), X(0) = x

với b,σ ∈ R và W (.) là một chuyển động Brown một chiều.• Phương trình tuyến tính một chiều với tiếng ồn:

dX(t) = (a+bX(t))dt +σdW (t), X(0) = x

với a,b,σ ∈ R và W (.) là một chuyển động Brown một chiều.

34


Định lí 1.3.31. (Tính tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên )

Giả sử b(t,x), σ(t,x) là các hệ số của phương trình vi phân ngẫu nhiên (1.9) là các hàm

liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz:

||b(t,x)−b(t,y)||+ ||σ(t,x)−σ(t,y)|| ≤ K||x− y|| (1.10)

và

||b(t,x)||2 + ||σ(t,x)||2 ≤ K2 (1+ ||x||2) (1.11)

∀t ≥ 0,x,y ∈ Rd và hằng số K > 0, trong đó ||.|| là chuẩn Euclide.

Khi đó tồn tại nghiệm mạnh , liên tục (X(t),Ft)t≥0 của phương trình (1.9) với:

E(||X(t)||2

)≤C.

(1+ ||x||2

).eC.T , ∀t ∈ [0,T ]

với C = C(K,T ) và T > 0. Hơn nữa, X(.) là duy nhất, tức là: nếu Y (.) là một nghiệm khác

của (1.9) thì ta có:

P(X(t) = Y (t), ∀t ≥ 0) = 1

1.3.4.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính

Định lí 1.3.32. (Biến phân của hàm số)

Giả sử (W (t),Ft)t∈[0,∞) là một chuyển động Brown m - chiều. Giả sử x ∈ R và A,a,S j,σ j

là các quá trình nhận giá trị thực, đo được lũy tiến với:t∫

0

(|A(s)|+ |a(s)|)ds < ∞,

t∫0

(S2j(s)+σ

2j (s))ds < ∞, ∀t ≥ 0

P−h.c.c, j = 1, . . . ,m.

Khi đó phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính một chiều tổng quát là:

dX(t) = (A(t)X(t)+a(t))dt +m

∑j=1

(S j(t)X(t)+σ j(t))dWj(t), X(0) = x

có nghiệm duy nhất là quá trình (X(t),Ft)t∈[0,∞):

X(t) = Z(t).

x+t∫

0

1Z(u)

(a(u)−

m

∑j=1

S j(u)σ j(u)

)du+

m

∑j=1

t∫0

σ j(u)Z(u)

dWj(u)

trong đó :

Z(t) = exp

t∫0

(A(u)− 1

2||S(u)||2

)du+

t∫0

S(u)dW (u)

là nghiệm duy nhất của phương trình thuần nhất :

dZ(t) = Z(t)(A(t)dt +S(t)′dW (t)), Z(0) = 1

35


Định lí 1.3.33. (Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tình thuần nhất đa chiều)

Giả sử (W (t),Ft)t∈[0,∞) là một chuyển động Brown m - chiều.

Giả sử x ∈ Rn,A,S j là các ma trận cỡ n×n thỏa mãn:

AS j = S jA và S jSk = SkS j, j,k = 1, . . . ,m

Khi đó phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính thuần nhất:

dZ(t) = AZ(t)dt +m

∑j=1

S jZ(t)dWj(t), Z(0) = Z0

với các quá trình hệ số không đổi ( hệ số hằng) có nghiệm duy nhất sau:

Z(t) = Z0 exp

((A− 1

2

m

∑j=1

(S j)2

)t +

m

∑j=1

S jWj(t)

)

= Z0

∞

∑k=0

((A− 1

2 ∑mj=1 (S

j)2)

t +∑mj=1 S jWj(t)

)k

k!

(1.12)

Định lí 1.3.34. (Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính đa chiều)

Giả sử (W (t),Ft)t∈[0,∞) là một chuyển động Brown m - chiều.

Giả sử x ∈Rn,A,S j là các ma trận giá trị đo được lũy tiến cỡ n×n , và a,σ j là các quá trình

nhận giá trị trên Rn với:t∫

0

(|Aik(s)|+ |ai(s)|)ds < ∞,

t∫0

(S j2ik (s)+σ

j2i (s))ds < ∞

∀t ≥ 0 P−h.c.c; i,k = 1, . . . ,n; j = 1, . . . ,m.

Khi đó phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính tổng quát n - chiều :

dX(t) = (A(t)X(t)+a(t))dt +m

∑j=1

(S j(t)X(t)+σ j(t)

)dWj(t) (1.13)

X(0) = x (1.14)

có nghiệm duy nhất (X(t),Ft)t∈[0,∞) :

X(t) = Z(t).

x+t∫

0

Z(u)−1

(a(u)−

m

∑j=1

S j(u)σ j(u)

)du

+Z(t).

m

∑j=1

t∫0

Z(u)−1σ j(u)dWj(u)

(1.15)

với Z(t) là nghiệm duy nhất của phương trình thuần nhất:

dZ(t) = A(t)Z(t)dt +m

∑j=1

S j(t)Z(t)dW (t), Z(0) = I

36


1.3.4.3 Định lí biểu diễn Feynman - Kac

Định nghĩa 1.3.35. Giả sử X(t) là nghiệm duy nhất của phương trình (1.9) với điều kiện

(1.10) và (1.11). Với f : Rd → R, f ∈C2(Rd), toán tử At , được xác định bởi :

(At f )(x) :=12

d

∑i=1

d

∑k=1

aik(t,x)∂ 2 f

∂xi∂xk(x)+

d

∑i=1

bi(t,x)∂ f∂xi

(x)

với

aik(t,x) =m

∑j=1

σi j(t,x)σk j(t,x)

được gọi là toán tử đặc trưng tương ứng với X(t).

Nhận xét. 1. Với X(t) =W (t), giải phương trình dX(t) = dW (t), X(0) = 0. Khi đó:

12

∆ =12

d

∑i=1

∂ 2

∂x2i

là toán tử đặc trưng của chuyển động Brown d− chiều.2. X(t) = x.e(b− 1

2 σ2)t+σW (t) là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính

dX(t) = X(t)(bdt +σdW (t)), X(0) = x

và do đó ta có toán tử đặc trưng At được cho bởi:

(At f )(x) =12

σ2x2 f ′′(x)+bx f ′(x).

Định nghĩa 1.3.36. Giả sử T > 0 cố định. Khi đó bài toán Cauchy tương ứng với toán tử At

là một hàm số v(t,x) : [0,T ]×Rd → R thỏa mãn:

−vt + kv = Atv+g trên [0,T )×Rd (1.16)

v(T,x) = f (x) với x ∈ Rd (1.17)

với các hàm số cho trước:

f : Rd → R, g : [0,T ]×Rd → R, k : [0,T ]×Rd → [0,∞)

Định lí 1.3.37. (Định lí biểu diễn Feynman - Kac)

Giả sử các hàm số f ,g,k liên tục và với các hằng số L,λ ta có:

| f (x)| ≤ L(

1+ ||x||2λ

), L > 0, λ ≥ 1 hoặc f (x)≥ 0, (1.18)

37


|g(t,x)| ≤ L(

1+ ||x||2λ

), L > 0, λ ≥ 1 hoặc g(t,x)≥ 0, (1.19)

Giả sử v(t,x) : [0,T ]×Rd → R là một nghiệm liên tục của bài toán Cauchy (1.16) với v ∈C1,2([0,T ]×R). Kí hiệu At trong phương trình (1.16) là toán tử đặc trưng của nghiệm duy

nhất X(t) của phương trình vi phân ngẫu nhiên (1.9), với các hệ số liên tục b,σ thỏa mãn

điều kiện (1.10), bi(t,x), σi j(t,x) : [0,∞)×Rd → R i = 1, . . . ,d; j = 1, . . . ,m.

Nếu v(t,x) thỏa mãn điều kiện:

max0≤t≤T

|v(t,x)| ≤M(1+ ||x||2µ

), với M > 0,µ ≥ 1 (1.20)

thì ta có biểu diễn sau:

v(t,x) = Et,x

f (X(T )).exp

− T∫t

k(θ ,X(θ))dθ

+

+

T∫t

g(s,X(s)).exp

− s∫t

k(θ ,X(θ))dθ

ds

(1.21)

Chú ý rằng, v(t,x) là nghiệm duy nhất của phương trình (1.16) thỏa mãn điều kiện (1.20)

1.4 Mô phỏng nghiệm của các phương trình vi phân ngẫu

nhiên

Mệnh đề 1.4.1. Giả sử rằng phương trình vi phân ngẫu nhiên giá trị thực :

dX(t) = a(t,X(t))dt +σ(t,X(t))dW (t)

có nghiệm X(t) = f (t,W (t)) với f là một hàm liên tục, giá trị thực. Giả sử Yn với:

Yn(t) = f (t,W (t)) nếu t =iTn∀i = 0,1, . . . ,n

là xấp xỉ của X và được mở rộng với mọi t ∈ [0,T ] bằng phép nội suy tuyến tính.

Khi đó, với mỗi hàm đo được, bị chặn g : C[0,T ]→ R ta có:

E(g(Yn))n→∞−−−→ E(g(X))

38


1.4.1 Phương pháp số cho phương trình vi phân ngẫu nhiên

1.4.1.1 Phép rời rạc hóa thời gian

Ta rời rạc hóa khoảng thời gian [0,T ] bằng cách tạo một phân hoạch:

0 = t0 < t1 < · · ·< tn < · · ·< tN = T

Khi đó, ta sẽ gọi:• ∆n = tn+1− tn là số gia thời gian thứ n (n = 0, . . . , N-1),• δ = max

x∆n là bước thời gian lớn nhất.

Đặc biệt, nếu chọn tn = n∆ (n = 0, . . . ,N) thì ta được một phép rời rạc hóa cách đều chokhoảng thời gian [0,T ] với bước thời gian là ∆ = T

N , chú ý rằng trong phép rời rạc hóa cáchđều như thế này N thường được chọn đủ lớn để ∆ ∈ (0,1).Giả sử quá trình ngẫu nhiên Xn, t ∈ [0,T ] có xấp xỉ Y δ (t) tương ứng với phép rời rạc hóakhoảng thời gian [0,T ] mà bước thời gian lớn nhất là δ . Khi đó ta có các khái niệm hội tụmạnh, hội tụ yếu như sau:

1.4.1.2 Hội tụ mạnh

i) Ta nói Y δ (t) hội tụ mạnh về X(t) tại thời điểm T nếu

limδ→0

E(|X(T )−Y δ (T )|

)= 0

lúc này ta cũng gọi Y δ (t) là xấp xỉ mạnh của X(t).ii) Y δ (t) được gọi là xấp xỉ mạnh bậc γ > 0 của X(t) tại thời điểm T nếu tồn tại hằng sốdương c < ∞ không phụ thuộc vào δ đồng thời tồn tại δ0 ∈ R+ sao cho:

E(|X(T )−Y δ (T )|

)≤ c.δ γ , với mỗi δ ∈ [0,δ0]

1.4.1.3 Hội tụ yếu

i) Ta nói Y δ (t) hội tụ yếu về X(t) tại thời điểm T khi δ ↓ 0 đối với lớp C các hàm tiêu chuẩng nếu

limδ↓0

∣∣∣E(g(X(T )))−E(

g(Y δ (T )))∣∣∣= 0, ∀g ∈C

khi đó ta cũng gọi Y δ (t) là xấp xỉ yếu của X(t).ii) Y δ (t) được gọi là xấp xỉ yếu bậc β > 0 của X(t) tại thời điểm T khi δ ↓ 0 nếu với mỗihàm g khả vi liên tục l lần và thỏa mãn điều kiện:

∃Kg,∃rg ∈ 1,2,3, . . . :∣∣∂ j

x g(x)∣∣≤ Kg

(1+ |x|2rg

),∀x ∈ Dg,∀ j ∈ 0,1, . . . , l

39


thì đều tồn tại hằng số dương c < ∞ không phụ thuộc vào δ đồng thời tồn tại δ0 ∈ R+ saocho:

E(g(X(T )))−E(g(Y δ (T )))| ≤ c.δ β , ∀δ ∈ [0,δ0] ∀g ∈C

1.4.1.4 Tổng quan về các sơ đồ số

Giả sử có quá trình Wiener m− chiều Wt =

W 1t , . . . ,W

mt , t ≥ 0

, các sơ đồ số được trình

bày sau đây cho phép tìm xấp xỉ Taylor cho quá trình Itô d− chiều Xt , t ∈ [0,T ] thỏa mãnphương trình vi phân ngẫu nhiên Itô tổng quát có dạng:

dXt = a(t,Xt)dt +m

∑j=1

b j(t,Xt)dW jt (1.22)

hay tương đương:

Xt = X0 +

t∫0

a(s,Xs)ds+m

∑j=1

t∫0

b j(s,Xs)dW js (1.23)

trong đó

Xt =

X1

t...

Xdt

;X0 =

X1

0...

Xd0

;a =

a1

...

ad

;b =[b1 · · · bm

]=

b11 · · · b1m

... . . . ...

bd1 · · · bdm

tức là thành phần thứ k của quá trình Itô Xt trên thỏa mãn:

Xkt = Xk

0 +

t∫0

ak(s,Xs)ds+m

∑j=1

t∫0

bk j(s,Xs)dW js

Tất cả các sơ đồ số sẽ được trình bày có những khái niệm và ký hiệu chung như sau:• Đặt các toán tử:

L0 =∂

∂ t+

d

∑k=1

ak ∂

∂xk +12

d

∑k=1

d

∑l=1

d

∑j=1

bk jbl j ∂ 2

∂xk∂xl

L j =d

∑k=1

bk ∂

∂xk ( j = 1, . . . ,m)

• Xét phân hoạch cách đều: 0 = t0 < t1 < · · ·< tn < · · ·< tN = T có bước thời gian là:

∆ = tn+1− tn =TN, ∀n ∈ 0, . . . ,N−1

• Gọi xấp xỉ Taylor của quá trình Itô Xt , t ∈ [0,T ] là quá trình ngẫu nhiên liên tụcY (t), t ∈ [0,T ] có:

Y (tn) = Yn;Y0 = X0

40


• Dùng ký hiệu cho tích phân Itô lặp trên khoảng thời gian [tn, tn+1] như sau:

I( j1,..., jl) =

tn+1∫tn

. . .

s2∫tn

dW j1s1. . .dW jl

sl

trong đó j1, . . . , jl ∈ 0,1, . . . ,m; l = 1,2, . . . ;n = 0,1, . . . với qui ước rằng:

W 0t = t,∀t ≥ 0

1.4.2 Các sơ đồ số cho xấp xỉ Taylor mạnh

1.4.2.1 Sơ đồ Euler - Maruyama

Trường hợp 1: Số chiều của quá trình Wiener và quá trình Itô là m = d = 1 thì sơ đồ Euler- Maruyama (cũng được gọi là sơ đồ Euler) cho (1.22) có dạng:

Yn+1 = Yn +a(tn,Yn)∆+b(tn,Yn)∆W (1.24)

với Y0 = X0; ∆ = tn+1− tn = TN ; ∆W =Wtn+1−Wtn ∼ N(0,∆) là số gia của quá trình dừng

Wiener Wt trên [tn, tn+1].Trường hợp 2: Với m = 1 và d ∈ 1,2, . . ., thành phần thứ k của sơ đồ Euler - Maruyamacho (1.22) có dạng:

Y kn+1 = Y k

n +ak(tn,Yn)∆+bk(tn,Yn)∆W (k = 1, . . . ,d)

Trường hợp 3 (tổng quát): Với m ∈ 1,2, . . . và d ∈ 1,2, . . ., thành phần thứ k của sơ đồEuler - Maruyama cho (1.22) có dạng:

Y kn+1 = Y k

n +ak(tn,Yn)∆+m

∑j=1

bk j(tn,Yn)∆W j (k = 1, . . . ,d)

với ∆W j = W jtn+1−W j

tn ∼ N(0;∆) ( j ∈ 1, . . . ,m) là số gia của thành phần thứ j của quátrình Wiener m−chiều Wt trên [tn, tn+1], các số gia ∆W j1 và ∆W j2 ( j1 6= j2) độc lập với nhau.

Ví dụ 9.

Cho Wt ; t ≥ 0 là quá trình Wiener 1 - chiều và Xt , t ∈ [0,T ] là quá trình Itô 1 - chiềuthỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính:

dXt = 2Xtdt +XtdWt

Phương trình này có nghiệm đúng là:

Xt = X0e32 t+Wt

41


Tương ứng với phân hoạch cách đều có bước thời gian ∆ của [0,T ], sơ đồ Euler - Maruyamacho Xt xấp xỉ như sau: Yn+1 = Yn +2Yn∆+Yn∆W

Y0 = X0

(1.25)

Cho T = 1,X0 = 1 ta có một quỹ đạo mô phỏng của nghiệm đúng (với bước thời gian dt =

2−8) và một quỹ đạo mô phỏng của xấp xỉ Euler - Maruyama (với bước thời gian ∆ = Dt =

16dt = 2−4).

Hình 1.10: Nghiệm số của SDE tính bởi Euler - Maruyama

1.4.2.2 Sơ đồ Milstein

Trường hợp 1: Số chiều của quá trình Wiener và quá trình Itô là m = d = 1, ta thêm vào sơđồ Euler - Maruyama (1.24) số hạng

bb′I(1,1) =12

bb′[(∆W )2−∆

]thì thu được sơ đồ Milstein cho (1.22) :

Yn+1 = Yn +a(tn,Yn)∆+b(tn,Yn)∆W +12

b(tn,Yn)b′(tn,Yn)[(∆W )2−∆

]Thực hiện tương tự trong các trường hợp nhiều chiều ta nhận được:Trường hợp 2: Với m = 1 và d ∈ 1,2, . . ., thành phần thứ k của sơ đồ Milstein cho (1.22)có dạng:

Y kn+1 = Y k

n +ak(tn,Yn)∆+bk(tn,Yn)∆W

+12

(d

∑l=1

bl ∂bk

∂xl

)[(∆W )2−∆

](k = 1, . . . ,d)

42


Trường hợp 3 (tổng quát): Với m ∈ 1,2, . . . và d ∈ 1,2, . . ., thành phần thứ k của sơđồ Milstein cho (1.22) có dạng:

Y kn+1 = Y k

n +ak(tn,Yn)∆m

∑j=1

bk j(tn,Yn)∆W j

+m

∑j1=1

m

∑j2=1

L j1bk j2(tn,Yn)I( j1, j2) (k = 1, . . . ,d)

Ví dụ 10. (Làm lại ví dụ 9 bằng sơ đồ Milstein)

Vẫn xét phương trình:dXt = 2Xtdt +XtdWt

Phương trình này có nghiệm đúng là:

Xt = X0e32 t+Wt

Tương ứng với phân hoạch cách đều có bước thời gian ∆ của [0,T ], sơ đồ Milstein cho Xt xấpxỉ như sau: Yn+1 = Yn +2Yn∆+Yn∆W + 1

2Yn[(∆W )2−∆

]Y0 = X0

(1.26)

Cho T = 1,X0 = 1 ta có một quỹ đạo mô phỏng của nghiệm đúng (với bước thời gian dt =

2−8) và một quỹ đạo mô phỏng của xấp xỉ Milstein (với bước thời gian ∆=Dt = 16dt = 2−4).

Hình 1.11: Nghiệm số của SDE tính bởi Milstein

43

Chương 2

Ứng dụng của phương pháp Monte Carlo

vào các mô hình tài chính

Toán tài chính chủ yếu liên quan tới các vấn đề:Mô hình của sự tiến hóa của các quá trình tài chính như giá cổ phiếu, lãi suất, lạm phát, tỷgiá hối đoái, hoặc là giá cả hàng hóa.Giá cả dẫn đến những khái niệm cơ bản như giá cổ phiếu, lãi suất, hoặc là hàng hóa.Tối ưu hóa danh mục đầu tư, tức là tìm kiếm các chiến lược đầu tư tối ưu.Đo lường và quản lý rủi ro.

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu những vấn đề cơ bản chính của mô hình giá cổphiếu, lựa chọn giá, và mô hình lãi suất, cùng với các ứng dụng của phương pháp MonteCarlo.

44

Chương 2. Ứng dụng của phương pháp Monte Carlo vào các mô hình tài chính

2.1 Một số mô hình tài chính.

Mô hình Black - Scholes

Một mô hình được định dạng là một cấu trúc tạo ra để mô tả các quan hệ giữa các biến sốhoặc các yếu tố. Việc vận dụng các mô hình trong hoạt động tài chính là hết sức quan trọng,vì trong thực tế kinh doanh của thị trường tài chính, có nhiều điều kiện lẩn khuất bên dướicác quyết định cực kỳ phức tạp. Những người ra quyết định tài chính thường áp dụng các môhình tài chính đã có hoặc tự xây dựng một mô hình mới có liên quan loại hình quyết định màhọ phải xác lập. Những mô hình mà dựa vào đó để đưa ra những quyết định gọi là mô hìnhchuẩn tắc.

Mục tiêu của một mô hình là nhằm tái tạo hay mô phỏng lại một diễn biến tài chính ởcuộc đời thực. Khi xây dựng mô hình như vậy, các nhà nghiên cứu gạt bỏ các điều kiện thựctế không tác động, hoặc tác động không đáng kể. Họ chủ yếu tập trung vào các yếu tố liênquan trực tiếp đến bản chất tình huống định mô phỏng. Và, mục tiêu cuối cùng là khả năngdự báo thị trường.

Có hai loại mô hình chính : lý thuyết và thực nghiệm, kèm theo đó là các phép toán sửdụng khi xây dựng mô hình. Các mô hình mang tính lý thuyết được xây dựng nhằm mô phỏngvà giải thích các hiện tượng. Mô hình thực nghiệm được xác định để đánh giá mối quan hệgiữa các yếu tố trong điều kiện thực tế. Các nhà nghiên cứu tài chính có thể đưa ra và vậndụng một mô hình thực nghiệm nhằm kiểm định lý thuyết.

Trong lĩnh vực tài chính, các mô hình toán thường có điều kiện thuận lợi để phát triển,thao tác và điều chỉnh. Hơn nữa các mô hình toán thường dễ chuyển đổi sang các phươngtrình hoặc sang các bảng tính của máy tính. Có một số mô hình toán tài chính như: mô hìnhBlack - Scholes , mô hình Cox - Ross - Rubinstein, mô hình Vasicek, mô hình Ho - Lee ,môhình Health - Jarrow - Merton, . . .

Và trong phần này, tác giả đề cập đến mô hình nổi tiếng và phổ biến nhất là mô hình địnhgiá quyền chọn Black Scholes. Mô hình định giá quyền chọn Black Scholes phát triển năm1973 đã giúp đẩy mạnh các giao dịch quyền chọn vốn lộn xộn trước đó. Mô hình có thể lậptrình trên các bảng tính hoặc trên các máy tính tài chính. Mô hình xuất phát từ quan niệm"phòng ngừa hoàn toàn rủi ro" là kiểu phòng ngừa bằng cách mua một cổ phiếu và tiến hànhbán ngay quyền chọn mua cổ phiếu đó và kết quả là không có rủi ro.

Chúng tôi tập trung vào các mô hình giá cổ phiếu thời gian liên tục với những quỹ đạo liêntục, tức là giá cổ phiếu được xem như là một hàm theo thời gian không có bước nhảy. Khiquan sát sự phát triển của giá cổ phiếu hay chỉ số của giá cổ phiếu qua thời gian, chúng taphát hiện ra được những đặc tính đáng chú ý nhất là: Giá cổ phiếu không thay đổi một cáchbằng phẳng qua thời gian, những sự biến động ngẫu nhiên rõ ràng thống trị một xu hướng,sự phát triển của giá cổ phiếu ...

45


2.1.1 Một khung giá cổ phiếu kiểu mô hình Black - Scholes

Giả sử rằng biến động giá của n cổ phiếu khác nhau là một phương trình vi phân ngẫunhiên n - chiều cho trước:

dSi(t) = µi(t)Si(t)dt +n

∑j=1

σi, j(t)Si(t)dWj(t), Si(0) = si (2.1)

∀i = 1, . . . ,n với (W (t),Ft , t ∈ [0,T ]) là một chuyển động Brown n - chiều.Trong đó, các hệ số thị trường µ (trung bình độ dịch chuyển) và σ (độ biến động) là các quátrình Ft− bị chặn, đo được lũy tiến.Ta cũng giả sử rằng σ là ma trận đơn vị xác định dương:

x′σ(t,ω)σ(t,ω)′x≥ c.x′x, ∀(t,ω) ∈ [0,T ]×Ω

với c là hằng số dương nào đó. Theo phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính, phươngtrình giá cổ phiếu có nghiệm duy nhất Si(t) cho như sau:

Si(t) = si exp

t∫0

(µi(s)−

12

n

∑j=1

σ2i, j(s)

)ds+

n

∑j=1

t∫0

σi, j(s)dWj(s)

(2.2)

Thêm vào đó là những rủi ro trong đầu tư cổ phiếu, có thể là không rủi ro trong đầu tư tráiphiếu ( hoặc tốt hơn là một tài khoản ngân hàng ), sự phát triển đó qua thời gian được điềuchỉnh bởi phương trình:

dB(t) = r(t)B(t)dt, B(0) = 1 (2.3)

Phương trình này có một nghiệm duy nhất là:

B(t) = exp

t∫0

r(s)ds

(2.4)

Ở đây quá trình lãi suất r(t) được giả sử rằng bị chặn và đo được lũy tiến tương ứng với lọcFt .

Với mô hình giá cổ phiếu đầu tiên này, chúng ta sẽ giới thiệu những nhà đầu tư vào thịtrường của mình bằng cách chỉ rõ những hoạt động và diễn biến của họ. Những hoạt động cóthể xảy ra của nhà đầu tư là:

1. Tái cân bằng các cổ phần, tức là có thể bán cổ phiếu và đầu tư tiền vào mua các cổphiếu khác. Hành động này được mô phỏng bởi quá trình danh mục đầu tư hoặc theo chiếnlược kinh doanh.

2. Việc tiêu thụ phần tài sản của nhà đầu tư được thiết lập thông qua quá trình tiêu thụ.

46


Định nghĩa 2.1.1. Giả sử (B(t),Ft)t∈[0,T ] là một chuyển động Brown n - chiều. Giả sử

rằng ta có một thị trường nơi mà cổ phiếu và trái phiếu được giao dịch với diễn biến giá cả

được cho bởi các phương trình (2.1) và (2.3).

(a) Một chiến lược kinh doanh ϕ là một quá trình đo được lũy tiến nhận giá trị trên Rn+1 :

ϕ(t) := (ϕ0(t),ϕ1(t), . . . ,ϕn(t))′

sao cho các tích phân sau được xác định và hữu hạn:

T∫0

ϕ0(t)dB(t),T∫

0

ϕi(t)dSi(t), i = 1, . . . ,n

Giá trị x := ϕ0(0)+∑ni=1 ϕi(0)si được gọi là giá trị ban đầu của ϕ hay là tài sản ban đầu

của nhà đầu tư.

(b) Giả sử ϕ là một chiến lược kinh doanh với giá trị ban đầu x > 0. Quá trình :

X(t) := ϕ0(t)B(t)+n

∑i=1

ϕi(0)(t)Si(t)

được gọi là quá trình tổng sở hữu tương ứng với ϕ , với tài sản ban đầu x.

(c) Một quá trình đo được lũy tiến không âm c(t) với:

T∫0

c(t)dt < ∞ P−h.c.c

được gọi là một quá trình tiêu thụ.

(d) Một cặp (ϕ,c) gồm một chiến lược kinh doanh ϕ và một quá trình tiêu thụ c, được gọi là

tự tài trợ nếu quá trình tổng sở hữu tương ứng X(t),

t ∈ [0,T ] thỏa mãn:

X(t) = x+t∫

0

ϕ0(s)dB(s)+n

∑i=1

t∫0

ϕi(s)Si(s)dSi(s)−t∫

0

c(s)ds P−h.c.c

(e) Giả sử (ϕ,c) là một cặp tự tài trợ bao gồm một chiến lược kinh doanh và một quá trình

tiêu thụ, với một quá trình tổng sở hữu tương ứng X(t) > 0 P− h.c.c, ∀t ∈ [0,T ]. Khi đó

một quá trình nhận giá trị trên Rn :

π(t) := (π1(t), . . . ,πn(t))′ , t ∈ [0,T ]

với πi(t) =ϕi(s)(t)Si(t)

X(t) , được gọi là một quá trình danh mục đầu tư tự tài trợ tương ứng với

(ϕ,c)

47


Nhận xét. 1. Quá trình danh mục đầu tư biểu thị các phần phân đoạn của tổng tài sản đầu tưvào các cổ phiếu khác nhau. Do đó các phần của tài sản đầu tư vào trái phiếu được cho bởi:(

1−π(t)′1)=

ϕ0(t).B(t)X(t)

; 1 := (1, . . . ,1)′ ∈ Rn

2. Các yêu cầu đặc biệt thỏa mãn các giả thiết của các hệ số thị trường là với P−h.c.c ta có:

T∫0

|ϕ0(t)| dt < ∞

n

∑j=1

T∫0

(ϕi(t).Si(t))2 dt < ∞, với i = 1, . . . ,n.

Định nghĩa 2.1.2. Một cặp tự tài trợ (ϕ,c) hay (π,c) bao gồm một chiến lược kinh doanh ϕ

hoặc một quá trình danh mục đầu tư π và một quá trình tiêu thụ gọi là chấp nhận được đối

với tổng sở hữu ban đầu x > 0, nếu quá trình tổng sở hữu tương ứng thỏa mãn:

X(t)≥ 0 P−h.c.c ∀t ∈ [0,T ]

Tập các cặp chấp nhận được (π,c) với tài sản ban đầu x được ký hiệu là A (x)

2.1.1.1 Mô hình Black - Scholes

Trong mô hình Black - Scholes, các hệ số thị trường µi,σi j được giả sử là các hằng số, điềunày dẫn đến giá trái phiếu và cổ phiếu có dạng:

B(t) = exp(rt), (2.5)

Si(t) = si exp

((µi

12

n

∑j=1

σ2i, j

)+

n

∑j=1

σi, jWj(t)

)(2.6)

Khi đó, ta có thể xác định:

E(Si(t)) = si.exp(µit) (2.7)

Var(Si(t)) = s2i .exp(2µit)

(exp

(n

∑j=1

σ2i jt

)−1

)(2.8)

Cov(ln(Si(t)), ln(S j(t))) =n

∑k=1

σikσ jkt (2.9)

48


Như vậy rõ ràng là giá cổ phiếu là một hàm theo thời gian và chuyển động Brown: f (t,W (t)).Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên với một cổ phiếu:

dS1(t) = µS1(t)dt +σS1(t)dB(t) (2.10)

dt và dB(t) là các hàm bậc nhất của S1(t) (giá của một cổ phiếu tại thời điểm t), µ và σ làcác hằng số.Lời giải của phương trình (2.10) là một quá trình ngẫu nhiên S1(t) = S1(t,ω) có dạng :

S1(t) = S1(0).exp(

σBt +

(µ− σ2

2

)t)

(2.11)

Quá trình S1(t) này được gọi là một chuyển động Brown hình học, S1(0) là giá cổ phiếu đượcquan sát tại thời điểm t = 0.

2.1.2 Xác định các tham số µ và σ của chuyển động Brown hình học

S(t)

Nhận xét rằng, nếu ta có thể ước lượng các tham số µ và σ thì sẽ ước lượng được giá S1(0)của cổ phiếu tại thời điểm t.Giả sử xét giá cổ phiếu S1(t) trong một khoảng thời gian quan sát [0,T ] .Nếu 0 = t0 < t1 < .. . < tn = T là một phân hoạch của [0, T] với n khoảng đều như nhau cóđộ dài ∆t = ti− ti−1, ∀i = 0, . . . ,n, thì giả sử là đã biết giá chứng khoán tại thời điểm cuốiti+1 của mỗi khoảng nhỏ [ti; ti+1]. Vậy ta có n+1 quan sát S1,S2, . . . ,Sn+1.Bước 1. Tạo ra một dãy số liệu:

Zi = ln(Si+1)− ln(Si) (2.12)

Z1,Z2, . . . ,Zn là một dãy số. Theo công thức của chuyển động Brown hình học (2.11) ta cóbiểu thức:

Zi = σ (Bti+1−Bti)+

(µ− σ2

2

)∆t (2.13)

Bước 2. Tìm trung bình và phương sai của dãy số liệu Z1,Z2, . . . ,Zn theo công thức thống kê:• Trung bình mẫu: Z = 1

n ∑ni=1 Zi,

• Phương sai mẫu: S2 = 1n−1 ∑

ni=1(Zi− Z

)2

Đó là những ước lượng cho trung bình và phương sai lý thuyết của biến ngẫu nhiên Z màthể hiện là (Z1,Z2, . . . ,Zn). Nếu chỉ căn cứ vào biểu thức (2.13) thì ta tính ra trung bình vàphương sai của Z sẽ là:• Trung bình:

(µ− σ2

2

)∆t

49


• Phương sai: σ2∆t

Bước 3. Giải các phương trình sau đây đối với µ và σ :

Z =

(µ− σ2

2

)∆t

S2 = σ2∆t

Ta sẽ được:

µ =Z + S2

2∆t

và σ =S√∆

Ví dụ 11.

Giá cổ phiếu KSS (Tổng Công Ty Cổ Phần Khoáng Sản NaRi Hamico) lúc đóng cửatrong khoảng thời gian từ ngày 29/02/2012 đến ngày 17/05/2012 được thống kê lại gồm 40số liệu như sau (tính theo đơn vị một nghìn Việt Nam đồng (1000 vnđ)):

7,8 8,1 8,2 8,1 7,8 8,1 8,4 8,2 8,5 8,99,3 9,4 9,5 9,1 8,8 8,4 8,3 8,7 8,5 8,9

8,9 8,6 9.0 9.4 9.8 10,2 11,2 11,7 12,2 12,813,4 12,7 13,3 12,7 12,1 11,9 12,4 11,8 11,3 10,8

Bằng các công thức trên, ta tính được:

Z = 0,0083442

S = 0,04

Trong bước 3, ta ước lượng µ và σ theo tỉ lệ xích hàng năm:

∆t =1

365

Vậy các ước lượng của tham số µ và σ của giá cổ phiếu sẽ là:

µ =Z + S2

2∆t

= 3,34 và σ =S√∆= 0,76

Khi đó theo công thức (2.11), giá một cổ phiếu vào bất kỳ một ngày t nào đó sẽ được ướclượng bởi:

S1(t) = S1(0).e0,76Bt+3,0512t

50


2.1.2.1 Tính đầy đủ của thị trường

Trong mục này ta chỉ xét trên thị trường tuyến tính với định lí về các thị trường đầy đủ. Ta cócác kí hiệu:

γ(t) := exp

− t∫0

r(s)ds

, θ(t) := σ−1(t)(b(t)− r(t).1)

Z(t) := exp

− t∫0

θ(s)′ dW (s)− 12

t∫0

||θ(s)||2

H(t) := γ(t).Z(t)

θ(t) có thể được hiểu như là một loại phí bảo hiểm rủi ro tương đối trong đầu tư chứng khoán.Quá trình H(t) dương, liên tục và đo được lũy tiến, sẽ đóng một vai trò quan trọng trong việckết nối với quyền chọn giá. Hơn nữa nó là nghiệm duy nhất của phương trình:

dH(t) =−H(t)(r(t)dt +θ(t)′dW (t)), H(0) = 1

Định lí 2.1.3. (Tính đầy đủ của thị trường)

Xét một mô hình thị trường tuyến tính.

(a) Giả sử (π,c) ∈A (x) . Khi đó quá trình tổng sở hữu X(t) tương ứng thỏa mãn:

E

H(t)X(t)+t∫

0

H(s)c(s)ds

≤ x ∀t ∈ [0,T ] (2.14)

(b) Giả sử B ≥ 0 là một biến ngẫu nhiên FT - đo được, và c(t),∀t ∈ [0,T ] là một quá trình

tiêu thụ thỏa mãn :

x := E

H(T )B+

T∫0

H(s)c(s)ds

< ∞ (2.15)

Khi đó tồn tại một quá trình đầu tư π(t), t ∈ [0,T ], với (π,c) ∈A (x) và quá trình tổng sở

hữu X(t) tương ứng thỏa mãn:

X(T ) = B P−h.c.c (2.16)

51


2.2 Định nghĩa quyền chọn bằng lý thuyết

2.2.1 Kiến thức cơ bản về quyền chọn

Định giá quyền chọn thực sự là một mảng sáng, hấp dẫn trong lĩnh vực tài chính vớithời gian liên tục. Nó bao gồm những kết quả quan trọng nhất của toán tài chính, như côngthức Black - Scholes. Tầm quan trọng của công thức này cho các ứng dụng lý thuyết và thựctế được nhấn mạnh bởi giải thưởng Nobel kinh tế được trao cho Robert Merton và MyronScholes năm 1997 để tôn vinh những đóng góp của họ về định giá quyền chọn.

Quyền chọn là gì? Quyền chọn là một hợp đồng cho phép người mua được phép lựa chọnlà thực hiện hay không thực hiện việc mua hay bán một số lượng xác định các đơn vị tài sảncơ sở, trong một khoảng thời gian xác định với một mức giá được xác định trước. Các hànghóa cơ sở của hợp đồng quyền chọn có thể là cổ phiếu, trái phiếu, ngoại tệ, hợp đồng tươnglai, nhóm chứng khoán hay hợp đồng chứng khoán . . . Một hợp đồng quyền chọn phải baogồm các điểm cơ bản sau:1. Loại quyền chọn.2. Tên hàng hóa cơ sở.3. Khối lượng giao dịch.4. Ngày hết hạn.5. Giá thực hiện.

Giao dịch quyền chọn? Là giao dịch giữa bên mua quyền và bên bán quyền, trong đó bênmua quyền có quyền nhưng không có nghĩa vụ mua hoặc bán một lượng ngoại tệ xác định ởmột mức tỷ giá xác định trong một khoảng thời gian thỏa thuận trước. Nếu bên mua quyềnlựa chọn thực hiện quyền của mình, bên bán quyền có nghĩa vụ bán hoặc mua lượng ngoại tệquy định trong hợp đồng quyền chọn theo tỷ giá đã thỏa thuận trước. Giao dịch quyền chọnchỉ liên quan đến hai ngoại tệ. Có hai loại quyền chọn:• Quyền chọn mua: Người mua hợp đồng có quyền mua hay không một hàng hóa xác địnhvới mức giá định trước tại một thời điểm xác định trong hợp đồng.• Quyền chọn bán: Người mua hợp đồng có quyền bán hay không một hàng hóa xác địnhvới mức giá định trước tại một thời điểm xác định trong hợp đồng.

2.2.1.1 Quyền chọn mua

Người ta có thể mua "một cơ hội mua một cổ phần chứng khoán trong tương lai với mộtgiá đảm bảo trước". Cái quyền cho phép có thể mua (mà không bắt buộc phải mua) như vậytrong tương lai được gọi là Quyền Chọn Mua.Các điều kiện của hợp đồng này là:

52


• Đến ngày đáo hạn , người mua hợp đồng có thể trả cho người bán hợp đồng số tiền bằnggiá thực thi của hợp đồng.• Nếu người bán hợp đồng nhận số tiền giá thực thi do người mua trả, thì người bán phảigiao một cổ phần chứng khoán cho người mua vào ngày đáo hạn.Gần như lúc nào cũng vậy, hợp đồng quyền chọn mua sẽ được xếp đặt sao cho người bán phảitrả cho người mua khoản chệnh lệch giữa giá cổ phiếu và giá thực thi.Gọi ST là giá của cổ phiếu tại thời điểm t = T trong tương lai và K là giá thực thi vào ngàyđáo hạn. Khi đó số tiền mà người mua hợp đồng quyền chọn phải trả là:

Số tiền chi trả = maxST −K,0= (ST −K)+

2.2.1.2 Quyền chọn bán

Người ta có thể mua một cơ hội được phép bán một cổ phần chứng khoán trong tương laivới một giá đảm bảo, ngay cả khi mà người ta không sở hữu bất kỳ một cổ phiếu nào cả. Đólà nội dung của các hợp đồng Quyền Chọn Bán hay gọi tắt là Quyền Chọn Bán.Các điều kiện của quyền chọn bán:• Đến ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng này có thể đưa cho người viết một cổ phần chứngkhoán, hoặc tương đương, một số tiền theo giá thị trường lúc ấy của một cổ phần chứngkhoán.• Nếu người viết hợp đồng nhận cổ phần chứng khoán hoặc số tiền tương đương do ngườigiữ hợp đồng giao cho, thì anh ta phải trả chi phí thực thi cho người giữ hợp đồng vào ngàyđáo hạn của hợp đồng.Thông thường thì với hợp đồng quyền chọn bán này, thì hoặc là hợp đồng không được thựcthi, hoặc là người viết hợp đồng sẽ trả cho người giữ hợp đồng một khoản chênh lệch giữagiá thực thi và giá chứng khoán vào ngày đáo hạn.Gọi ST là giá chứng khoán lúc đáo hạn và K là giá thực thi, khi đó ta có thể nói rằng thuhoạch của người giữ quyền bán này là:

Thu hoạch quyền bán = maxK−ST ;0= (K−ST )+

2.2.2 Giới thiệu sơ lược về định giá quyền chọn

2.2.2.1 Lịch sử vắn tắt của định giá quyền chọn

Lý thuyết hiện đại của định giá quyền chọn bắt đầu với các luận án Theorie de laSp′eculation của L. F. Bachelier. Do đó, với mô hình giá cổ phiếu là một chuyển động Brownvới độ biến động, Bachelier muốn có lý thuyết giá cho quyền chọn cho các cổ phiếu để sosánh chúng với giá thực tế trên thị trường. Ông đề nghị sử dụng giá trị kỳ vọng của các tài

53


khoản được chọn giá thanh toán để định giá quyền chọn.Bước đột phá quyết định hình thức định giá quyền chọn hiện đại có được là công thức

Black - Scholes của Fischer Black và Myron Scholes (1973).

2.2.2.2 Định giá quyền chọn thông qua các nguyên tắc đáp ứng để bảo hộ

Định giá quyền chọn trong một chu kỳ của mô hình nhị thứcXét một thị trường bao gồm các trái phiếu và cổ phiếu với các ngày giao dịch là 0 và T . Quátrình giá trái phiếu được cho bởi:

B(0) = 1;B(T ) = exp(rT )

Còn giá cổ phiếu bắt đầu với tài sản cơ sở S(0) và có thể đạt được hai giá trị d.S(0) hoặcu.S(0) với d < u.Giả sử xác suất để S(T ) = uS(0) bằng p; p ∈ (0,1). Ở đây ta cần có điều kiện:

d < exp(rT )< u

để giảm nguy cơ rủi ro không cần thiết cho đầu tư vốn ban đầu, được gọi là các cơ hội kinhdoanh có độ chênh lệch thị giá .

Ví dụ 12.

Ta xem xét một quyền chọn mua trong mô hình nhị thức với giá thực thi K = 100 và ngàyđáo hạn T = 1. Chọn u = 1.2 ; d = 0.95 và r = 0. Khi đó kết quả thu được như sau:

S(0) Xác suất S1(T ) (S1(T )−K)+

100 p 120 20

100 1− p 95 0Khi đó giá quyền chọn mua là:

C = E((S1(T )−K)+

)= 20.p+0.(1− p) = 20.p

Theo dự kiến, mức giá được đề xuất này phụ thuộc rất nhiều vào khả năng thành công p.Nguyên nhân chính của vấn đề này là cán cân thanh toán cuối cùng của quyền chọn có thểđạt được bằng cách làm theo một chiến lược kinh doanh tự tài trợ phù hợp của cổ phiếu vàtrái phiếu. Nguyên tắc tổng hợp xây dựng các quyền chọn này được gọi là nguyên tắc đápứng để bảo hộ giá.Ta phải xác định chiến lược kinh doanh (ϕ0(0),ϕ1(0)) để có:

X(T ) = ϕ0(0)B(T )+ϕ1(0)S(T ) = (S(T )−K)+ (2.17)

54


Sau đó ta định nghĩa giá quyền chọn C của quyền chọn mua với vốn ban đầu tại t = 0 để muachiến lược đáp ứng để bảo hộ giá (ϕ0(0),ϕ1(0)) :

C = ϕ0(0)B(0)+ϕ1(0)S(0)

Đây là giá cả hợp lý cho quyền chọn.Thật vậy, giả sử giá quyền chọn C nhỏ hơn C. Khi đó ta mua quyền chọn với giá C và bán(ϕ0(0),ϕ1(0)) với giá C, tức là giữ lại (−ϕ0(0),−ϕ1(0)).Như vậy, với t = 0, chúng ta thu được lợi nhuận là C−C mà không cần phải sử dụng vốn banđầu.Nếu C > C thì bán quyền chọn bán và giữ vị trí (ϕ0(0),ϕ1(0)) với giá C. Một lần nữa ta giảmđược rủi ro mà không cần đầu tư vốn ban đầu. Do đó, trong cả hai trường hợp đều tồn tại cơhội kinh doanh chênh lệch thị giá.Trở lại ví dụ này, ta đi tìm C bằng cách xác định ϕ0(0) và ϕ1(0) từ hệ phương trình:

ϕ0(0).1+ϕ1(0).120 = 20

ϕ0(0).1+ϕ1(0).95 = 0

Suy ra nghiệm duy nhất là: (ϕ0(0),ϕ1(0)) =(−76, 4

5

)Khi đó giá quyền chọn là : C =−76.1+ 4

5 .100 = 4

Định giá quyền chọn trong mô hình thị trường khuếch tán tuyến tính

Định nghĩa 2.2.1. Một cặp (ϕ,c) tự tài trợ và chấp nhận được, bao gồm một chiến lược kinh

doanh ϕ và một quá trình tiêu thụ c, được gọi là một cơ hội kinh doanh chênh lệch thị giá

nếu quá trình tổng sở hữu tương ứng thỏa mãn:

X(0) = 0; X(T )≥ 0 P−h.c.c

P(X(T )> 0)> 0 hoặc P

T∫0

c(t)dt > 0

> 0

Định nghĩa 2.2.2. Một quyền chọn phái sinh (quyền phụ thuộc) (kiểu Châu Âu) (g,B) bao

gồm một quá trình tỷ lệ trả cổ tức g(t) Ftt - đo được lũy tiến, t ∈ [0,T ],g(t)≥ 0 và một sự

thanh toán đầu cuối B≥ 0 Ft - đo được tại thời điểm t = T với:

E

T∫0

g(t)dt +B

µ< ∞ với mỗi µ > 1

55


Định nghĩa 2.2.3. (a) (π,c) ∈A (x) được gọi là một chiến lược đáp ứng để bảo hộ của một

quyền chọn phái sinh (g,B) nếu ta có:

g(t) = c(t) P−h.c.c ∀t ∈ [0,T ], X(T ) = B P−h.c.c

trong đó X(t) là quá trình tổng sở hữu tương ứng với (π,c).

(b) Tập các chiến lược đáp ứng để bảo hộ của giá x được định nghĩa:

D(x) := D (x;(g,B)) := (π,c) ∈A (x)|(π,c)

−chiến lược đáp ứng để bảo hộ của (g,B)

(c) Mức giá công bằng (có thể chấp nhận được) pg,B của quyền chọn phái sinh (g,B) được

định nghĩa là:

pg,B := infp|D(p) 6= /0

Sự tồn tại của một chiến lược đáp ứng để bảo hộ được đảm bảo bởi định lí về thị trườngđầy đủ. Theo phần (b) của định lí cũng cho thấy một biểu thức của mức giá công bằng:

x = B

H(t)B+

T∫0

H(t)g(t)dt

Định lí 2.2.4. (Mức giá công bằng của một chiến lược đáp ứng để bảo hộ)

Mức giá công bằng của một quyền chọn phái sinh (g,B) được cho bởi:

pg,B = E

H(T )B+

T∫0

H(t)g(t)dt

< ∞ (2.18)

và tồn tại duy nhất một chiến lược đáp ứng để bảo hộ giá (π, c) ∈D(pg,B). Khi đó quá trình

tổng sở hữu X(t) (cũng được gọi là quá trình định giá của (g,B) ) được cho bởi:

X(t) =1

H(t)E

H(T )B+

T∫t

H(s)g(s)ds|Ft

(2.19)

56


Công thức Black - Scholes

Định lí 2.2.5. (Công thức Black - Scholes)

Xét mô hình thị trường Black - Scholes cho một cổ phiếu với r(t)≡ r là lãi suất không rủi ro,

S1(t) là giá của một cổ phiếu tại thời điểm t; σ(t)≡ σ > 0 (là độ biến động của thị trường)

∀t ∈ [0,T ],T > 0,r,σ ∈ R. Khi đó ta có:

(a) Mức giá C(t) tại thời điểm t của một quyền chọn mua (kiểu Châu Âu) với giá thực thi

K > 0 và thời điểm đáo hạn T được cho bởi:

C(t) = S1(t)Φ(d1(t))−Ke−r(T−t)Φ(d2(t)), (2.20)

d1(t) =ln(

S1(t)K

)+(r+ 1

2σ2)(T − t)

σ√

T − t(2.21)

d2(t) = d1(t)−σ√

T − t (2.22)

Trong đó Φ là hàm phân phối của một phân bố chuẩn tắc Φ(x) = 1√2π

x∫−∞

e−u2/2 du.

(b) Mức giá P(t) tại thời điểm t của một quyền chọn bán (kiểu Châu Âu) với giá ấn định

K > 0 và thời điểm đáo hạn T được cho bởi:

P(t) = Ke−r(T−t)Φ(−d2(t))−S1(t)Φ(−d1(t)) (2.23)

trong đó d1(t) và d2(t) được xác định trong công thức (2.21) và (2.22)

Ví dụ 13. (Tiếp theo ví dụ 11)

Giả sử ta cần định giá một Quyền chọn mua (kiểu Châu Âu) (chỉ được thực thi vào lúcđáo hạn) cổ phiếu KSS trong tháng 4/2012.Giá thực thi K = 10800VNĐGiá cổ phiếu tại thời điểm t = 0 là S1(0) = 7800VNĐKhoảng thời gian đến khi đáo hạn (kỳ hạn) T = 40/365Lãi suất không rủi ra r = 0,0334Độ biến động σ = 0,76• Tính d1(0) =?

d1(0) =ln( 7800

10800

)+(

0,0334+ (0,76)2

2

). 40

365

0,76.√

40365

=−1,15

57


• Tính d2(0) =?

d2(0) = d1(0)−σ√

T =−1,15−0,76.

√40

365=−1,4

• Tính Φ(d1(0)) =?Φ(d1(0)) = Φ(−1,17) = 0,1251

• Tính Φ(d2(0)) =?Φ(d2(0)) = Φ(−1,42) = 0,0808

• Tính giá quyền chọn mua theo công thức Black Scholes :

C = 7800.0,1251−10800.e−0,0334. 40365 .0,0808 = 109,140083

Như vậy bên mua quyền phải trả cho bên bán quyền mức phí là 109,140083VNĐ cho mộtcổ phiếu.

2.2.2.3 Các cổ tức trong mô hình Black - Scholes

Mục đích cơ bản của bất kỳ công việc kinh doanh nào là tạo ra lợi nhuận cho các chủ sởhữu của nó và cổ tức là cách thức quan trọng nhất để việc kinh doanh thực hiện được nhiệmvụ này. Khi công việc kinh doanh của công ty tạo ra lợi nhuận, một phần lợi nhuận được táiđầu tư vào việc kinh doanh và lập quỹ dự phòng, phần lợi nhuận còn lại được chi trả cho cáccổ đông được gọi là cổ tức. Trong thị trường thực tế, cổ tức là một tính năng hấp dẫn nhà đầutư chứng khoán.

Một xấp xỉ phổ biến được sử dụng bởi các nhà nghiên cứu là có một dòng cổ tức liên tục,tức là có một dòng thanh toán liên tục được cho bởi δS1(t)dt . Điều này dẫn đến một phươngtrình giá cổ phiếu trong thị trường trung hòa các rủi ro:

dS1(t) = S1(t)((r−δ )dt +σdW (t))

Khi đó dòng cổ tức được trả cho các nhà nắm giữ cố phiếu chứ không phải các chủ sở hữuquyền chọn, ta có công thức Black - Scholes sửa đổi với các cổ tức liên tục bằng cách thayS1(t) bởi e−δ tS1(t) :

C(t) = e−δ tS1(t)Φ(d1(t))−Ke−r(T−t)Φ(d2(t))

d1(t) =ln(

S1(t)K

)+((r−δ )+ 1

2σ2)(T − t)

σ√

T − t,

d2(t) = d1(t)−σ√

T − t

58


2.3 Định giá quyền chọn và phương pháp Monte - Carlo

trong việc xây dựng mô hình Black - Scholes

Mặc dù mô hình Black - Scholes không thể giải thích được tất cả các đặc điểm của giá thịtrường thực tế, nhưng nó vẫn được sử dụng như một tiêu chuẩn trong các ứng dụng thực tế.Hơn nữa, nó thường được sử dụng để định hướng giá cho những lựa chọn rất phức tạp, nhiềuchiều. Do đó, chúng tôi giới thiệu phương pháp Monte - Carlo trong việc xây dựng Black -Scholes. Quỹ đạo độc lập của các quyền chọn châu Âu

Giả sử rằng ta có một quyền chọn kỳ hạn thanh toán có dạng:

B = f (S(T )) = g(W (T )) (2.24)

với S(T ) = (S1(T ), . . . ,Sn(T )). Để có được g phải lưu ý rằng dạng của giá cổ phiếu trong môhình Black - Scholes chỉ ra rằng S(T ) = h(W (T )) với:

hi(x) = si.exp

((r− 1

2

n

∑j=1

σ2i j

)T +

n

∑j=1

σi jx j

)

Thuật toán 2.3.1. (Định giá Monte - Carlo cho quỹ đạo độc lập của các quyền chọn châu

Âu)

Giả sử f (S(T )) = g(W (T )) là hình thức thanh toán cuối cùng của quyền chọn.

1. Đặt pB,N = 0.

2. Cho i = 1 tới N:

(a) Mô phỏng Z(i) ∼N (0, I)(b) Tính toán B(i) = g

(√T Z(i)

).

(c) Đặt pB,N = pB,N +B(i).

3. Đặt pB,N = 1N e−rT pB,N .

Ví dụ 14. (Tiếp theo ví dụ 12)

Xét giao dịch chứng khoán (giả sử ta chỉ xét một cổ phiếu) với các dữ liệu sau:S1(0) = 7800 : giá cổ phiếu tại thời điểm t = 0;K = 10800 : giá thực thi quyền chọn;T = 40/365: thời gian cho đến lúc đáo hạn;σ = 0,76: độ biến động giá của cổ phiếu;r = 0,0334 : lãi suất không rủi ro.Xét giá quyền chọn mua C(t) của cổ phiếu trên.Ta có giá của một cổ phiếu tại thời điểm t ∈ [0,T ] là:

S1(t) = S1(0)eσBt+(r− 12 σ2)t

59


Bây giờ ta tính giá quyền chọn mua (kiểu Châu Âu) theo các cách sau:• Theo công thức Black - Scholes (BS), giá quyền chọn mua C(T ) tại thời điểm đáo hạn Ttương ứng với giá cổ phiếu S1(0) là :

C(T ) = S1(0)Φ(d1(0))−Ke−rTΦ(d2(0)),

trong đó:

d1(0) =ln(

S1(0)K

)+(r+ 1

2σ2)T

σ√

T

d2(0) = d1(0)−σ√

T

• Tính giá quyền chọn mua theo công thức sau (Monte Carlo thô):

C(T ) = E(e−rT (S1(T )−K)+

)• Sử dụng phương pháp biến xung khắc.Thay thế

S1(T ) = S1(0).eσBT+(r− 12 σ2)T

bởi :S2(T ) =

12

[S1(T )+S1(0)e−σBT+(r− 1

2 σ2)T]

Sau đó tính lại giá quyền chọn theo công thức:

C(T ) = E(e−rT (S2(T )−K)+

)• Sử dụng phương pháp biến điều khiển:

Giá cổ phiếu tại thời điểm t = T: S1(T ) = S1(0)eσBT+(r− 12 σ2)T

Khi đó:E(S1(T )) = S1(0).erT

; Chọn Y = S1(T ) là biến điều khiển thay cho X = BT , và đặt Φ =C là giá quyền chọn mua,khi đó ước lượng quyền chọn mua với biến điều khiển là:

1n

n

∑i=1

(Φi−

σX ,Y

σ2Y

.[Si(T )−S1(0).erT ]

)• Với phân hoạch cách đều có bước thời gian ∆ của [0,T ], sơ đồ Euler - Maruyama choS1(t) xấp xỉ như sau: Xn+1 = X(n)+µXn∆+σXn∆W

X0 = S1(0)

60


• Tương ứng với phân hoạch cách đều có bước thời gian ∆ của [0,T ], sơ đồ Milsteincho S1(t) xấp xỉ như sau:Xn+1 = Xn +µXn∆+σXn∆W + 1

2σ2Xn[(∆W )2−∆

]X0 = S1(0)

Ta có bảng so sánh giá quyền chọn mua giữa các cách như sau với N là số lần chạy mô phỏng:

N 100 1000 10.000 100.000 1.000.000

BS 109,140083 109,140083 109,140083 109,140083 109,140083

MC thô 176,112485 113,424036 112,328918 109,986739 109,819432

Đ.Khiển 152,005891 112,633492 105,146414 109,030462 109,101387

X.khắc 100,538768 113,920034 109,667655 109,342090 109,130872

Euler 140,828034 118,732510 116,072852 109,551844 109,265161

Milstein 139,395874 118,280122 116,482965 109,274821 109,168719

Bảng 2.1 ( BS: Tính theo công thức Black - Scholes;MC thô: Ước lượng theo phươngpháp Monte Carlo thô; Đ.Khiển: Ước lượng theo phương pháp biến điều khiển; X.Khắc: Ướclượng theo phương pháp biến xung khắc; Milstein: Xấp xỉ Milstein; Euler: Xấp xỉ Euler)

Hình 2.1:

61


2.4 Những hạn chế của mô hình Black - Scholes

Cho đến nay ta đã chỉ ra được những phương pháp và nguyên lý chính của định giá quyềnchọn trong mô hình Black - Scholes. Mô hình Black - Scholes rất nổi tiếng và được ứng dụngrất rộng rãi trong các thị trường tài chính. Tuy nhiên, mô hình Black - Scholes là sự đơn giảnhóa các biến đổi thực sự của chứng khoán và các quyền chọn giá, được xây dựng dựa trênmột số yếu tố không có thật ở hiện tại. Do đó, mô hình này có một số những hạn chế sau đây:• Theo mô hình Black - Scholes, độ biến động σ của giá cổ phiếu là hằng số bất biến

theo thời gian, nhưng trong thực tế, độ biến động của giá cổ phiếu trong thời gian ngắn cóthể ổn định nhưng không thể ổn định trong thời gian dài được;• Công thức Black - Scholes chỉ ra rằng, giá cổ phiếu biến đổi ngẫu nhiên, tức là tại bất

kỳ thời điểm nào trong khoảng thời gian quan sát, giá cổ phiếu cơ bản có thể tăng hoặc giảmcùng với một xác suất. Điều này thường không đúng trong thực tế, vì thực tế giá cổ phiếuđược xác định bởi nhiều yếu tố kinh tế khác (ví dụ như: sự phát triển của nền kinh tế quốcdân, tình hình kinh tế khu vực và thế giới; lạm phát; tình hình biến động của lãi suất; chínhsách thuế của Nhà nước đối với thu nhập từ chứng khoán; tâm lý nhà đầu tư; · · · )• Trong công thức Black - Scholes, lãi suất không rủi ro r là hằng số. Trong thực tế, lãi

suất này cũng không ổn định, nó tăng, giảm theo sự biến động của kinh tế thị trường và sựđiều hành của nhà nước;• Theo mô hình Black - Scholes thì cổ phiếu cơ bản không trả cổ tức. Trong thực tế,

hầu hết các công ty chi trả cổ tức cho cổ đông;• Trong mô hình Black - Scholes giả định rằng, không có lệ phí (hoa hồng) và các chi

phí giao dịch cho việc mua và bán các quyền chọn; ngoài ra mô hình còn giả sử rằng cổ phiếukhông chịu tác động của rào cản thương mại. Và điều này không hoàn toàn phù hợp với thựctế;• Quyền chọn kiểu Châu Âu chỉ được thực hiện vào này đáo hạn, trong khi đó, quyền

chọn kiểu Mỹ có thể được thực hiện vào một ngày bất kỳ trong khoảng thời gian từ lúc bắtđầu ký hợp đồng cho đến ngày đáo hạn. Do đó, quyền chọn kiểu Mỹ có giá trị hơn vì tínhlinh hoạt lớn hơn.

Hơn nữa, để chứng minh mô hình Black - Scholes không thỏa mãn tất cả các mô hìnhkinh tế thực tế ta sử dụng khái niệm biến động bề mặt .Biến động bề mặt và công thức Black - Scholes

Trong công thức Black - Scholes, một quyền chọn mua một cổ phiếu riêng lẻ:

C(t) = S1(t).Φ(d1(t))−K.e−r(T−t).Φ(d2(t)) (2.25)

với di(t), i = 1,2 được xác định như trong phương trình (2.21) và (2.22); biến động σ là thamsố duy nhất không quan sát được. Ta có thể ước lượng từ giá thị trường của một quyền chọn

62


mua hay từ các thông tin thực tế thông qua công thức:

Var(

ln(

S(t +∆t)S(t)

))= σ

2∆t

Nếu giả sử rằng tất cả các tham số K,r,T cố định cho trước, trong công thức Black -Scholes, với các giá trị dương của σ , thì σ tăng thực sự, do đó tồn tại một giá trị duy nhấtσ∗ sao cho công thức Black - Scholes cung cấp các mức giá lý thuyết bằng với mức giá thịtrường trong các quyền chọn bán cụ thể.Ta gọi σ∗ là biến động ngụ ý của giá quyền chọn bán .

Để đánh giá việc định giá quyền chọn được giải thích bằng mô hình Black - Scholes,người ta xem xét đến các đường biến động ngụ ý hay tại các bề mặt biến động ngụ ý . Đốivới một đường biến động ngụ ý, ta xem xét các quyền chọn mua (hoặc bán) với thời gian đáohạn T cố định và giá thực hiện K thay đổi hoặc là giá thực hiện cố định K và thay đổi thờigian đáo hạn. Khi đó, quan sát giá thị trường và sử dụng công thức Black - Scholes để tínhcác biến động ngụ ý cho các quyền chọn mua với thời gian đáo hạn T cố định được cho bởi:

pmarketcall (Ki;T ) =C(0;σ

∗(Ki),Ki,T ) (2.26)

Vế trái của phương trình là giá thị trường của một quyền chọn mua với giá thực hiện Ki .Vếphải của phương trình là giá được tính theo công thức Black - Scholes với giá thực hiện Ki,thời gian đáo hạn T . Từ phương trình (2.28) ta có hàm số:

f (K) = σ∗(K) (2.27)

được gọi là đường biến động với thời gian đáo hạn T cố định.Trong các trường hợp mà ta xét, các đường hay các bề mặt biến động không được tạo ra

từ mô hình Black - Scholes. Để giải quyết các vấn đề này, người ta giới thiệu các mô hìnhphức tạp hơn. Hai trong các mô hình này là mô hình biến động địa phương và mô hình biếnđộng ngẫu nhiên. Mục đích của các mô hình này là tạo ra các quyền chọn giá mà các đườngcong biến động hoặc các bề mặt biến động được tạo ra bắt trước sự tồn tại của các giá thựctế.

63

Kết luận

Luận văn "Phương pháp mô phỏng Monte Carlo và ứng dụng vào toán tài chính" tậptrung nghiên cứu vấn đề sau:

1.Trình bày một cách hệ thống cách mô phỏng Monte Carlo và các cách cải tiến phươngpháp mô phỏng Monte Carlo.

2. Trình bày lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục và áp dụng phươngpháp số để mô phỏng nghiệm của các phương trình vi phân ngẫu nhiên.

3. Trình bày mô hình Black Scholes trong định giá quyền chọn bằng lý thuyết và ứngdụng mô phỏng Monte Carlo để ước lượng giá cổ phiếu và định giá quyền chọn. Tác giả đãthu thập một bộ dữ liệu thật và dùng nhiều phương pháp khác nhau để tính toán, sau đó sosánh các kết quả chạy máy này với kết quả do lý thuyết chứng minh được.

Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng do vấn đề được đề cập trong luận văn là tương đối phức tạpvà do thời gian có hạn, vì vậy luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả luận vănmong muốn nhận được sự góp ý kiến của thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn đượchoàn chỉnh hơn.

64

Phụ lục

CÁC CODE MATLAB SỬ DỤNG TRONG BÀI1. Tính số pi:"clear all;iter=input(’Hay nhap so lan lap: iter= ’); n=iter;x=rand(1,n);y=rand(1,n);z = x2 + y2; m=0;for i=1:nif z(i)<=1m=m+1;endendmpi = 4*m/n"2. Tính tích phân trang 8I=tp(n);n=1000; V=randn(1,n);U=randn(1,n);x=0;for i=1:nT (i) = cos(V (i)2)∗ sin(U(i)4);x=x+T(i);endI = x/n;3. Ví dụ 4 trang 12clf;xx=[0:0.01:1];yy = xx2;zz=xx-0.25;plot(xx,yy,’r’,xx,zz,’-’,’linewidth’,2);legend(’g(x)=x2’,’approx order 1’);4. Ví dụ 5 trang 13clear;n=input(’Nhap so lan mo phong:= ’);mu=[1 1 1];sigma=[1 0.8 0.8; 0.8 1 0.64; 0.8 0.64 1];

65


R=chol(sigma);z=repmat(mu,n,1)+randn(n,3)*R;X=[];CMC=[];for i=1:nX=[X z(i,1)*z(i,2)*z(i,3)-z(i,1)-z(i,2)-z(i,3)];CMC=[CMC z(i,1)*z(i,2)*z(i,3)];endY=mean(X)+3;S = 1/(n−1)∗ sum((X +3−Y )2);epsilon=1.96*sqrt(S)/sqrt(n);fprintf(’Gia tri cua uoc luong la: fprintf(’Khoang tin cay voi do tin cay 95 la:( Y=mean(CMC);S = 1/(n−1)∗ sum((CMC−Y )2);epsilon=1.96*sqrt(S)/sqrt(n);fprintf(’Gia tri cua uoc luong dung Crude Monte-Carlo la:fprintf(’Khoang tin cay voi do tin cay 95 la:n’,Y-epsilon,Y+epsilon);5. Hình 1.2 và 1.3 trang 16, 17xx=[0:0.001:1] ;yy=zeros(size(xx));for i=1:length(xx)yy(i)=feval(@fun38,xx(i));endfigure(1);axis([0 1 0 0.3]);set(gca,’XTick’,0:0.25:1);set(gca,’XTickLabel’,’0’,’0.25’,’0.5’,’0.75’,’1’);set(gca,’YTick’,0:0.05:0.3);set(gca,’YTickLabel’,’0’,’0.05’,’0.1’,’0.15’,’0.2’,’0.25’,’0.3’);plot(xx,yy,’b’,’LineWidth’,2);title(’Fig 3.8:Integrand x(1-x)’);hold off;for i=1:length(xx)yy(i)=feval(@ftilde,xx(i));endfigure(2);plot(xx,yy,’r’); title(’Fig 3.9:Sampling density f*(x)’);6. Bảng kết quả trang 17clear;format long;N=input(’Nhap so lan mo phong:=’);X=rand(1,N);I=[];CMC=[];

66


for i=1:NXi=feval(@invF,X(i));temp=Xi*(1-Xi)/feval(@ftilde,Xi);I=[I temp];temp=X(i)*(1-X(i));CMC=[CMC temp];endint=mean(I);S = 1/(N−1)∗ sum((I− int)2);epsilon=1.96*sqrt(S)/sqrt(N);fprintf(’Gia tri voifprintf(’Khoang tin cay voi do tin cay 95 phan tram la:(Y=mean(CMC);S = 1/(N−1)∗ sum((CMC−Y )2);epsilon=1.96*sqrt(S)/sqrt(N);fprintf(’Gia tri cua uoc luong dung Crude Monte-Carlo la:fprintf(’Khoang tin cay voi do tin cay 95 la:(7. Ví dụ 6 trang 19format longe;N=input(’Nhap so lan mo phong:’);C=1e+9;X=10+1.*randn(1,N);Y=rand(1,N);I=[];CMC=[];for i=1:Nif X(i)>=10temp=C*X(i)*exp(50-10*X(i));else temp=0;endI=[I temp];if Y(i)>=10temp=C*Y(i);else temp=0;endCMC=[CMC temp];endint=mean(I);

67


S = 1/(N−1)∗ sum((I− int)2);epsilon=1.96*sqrt(S)/sqrt(N);fprintf(’Gia tri voifprintf(’Khoang tin cay voi do tin cay 95 phan tram la: int-epsilon,int+epsilon);Y=mean(CMC);S = 1/(N−1)∗ sum((CMC−Y )2);epsilon=1.96*sqrt(S)/sqrt(N);fprintf(’Gia tri cua uoc luong dung Crude Monte-Carlo la:fprintf(’Khoang tin cay voi do tin cay 95 la:Y-epsilon,Y+epsilon);8. Ví dụ 7 trang 20format longe;N=input(’Nhap so lan mo phong:’);X=10.*randn(1,N);Y=rand(1,N);I=[];C=1e+9;CMC=[];for i=1:Nif X(i)>=10temp =C ∗X(i)∗10∗ exp(−0.5∗ (X(i))2 +0.005∗ (X(i))2);else temp=0;endI=[I temp];if Y(i)>=10temp=C*Y(i);else temp=0;endCMC=[CMC temp];endint=mean(I);S = 1/(N−1)∗ sum((I− int)2);epsilon=1.96*sqrt(S)/sqrt(N);fprintf(’Gia tri voifprintf(’Khoang tin cay voi do tin cay 95 phan tram la:(Y=mean(CMC);S = 1/(N−1)∗ sum((CMC−Y )2);epsilon=1.96*sqrt(S)/sqrt(N);fprintf(’Gia tri cua uoc luong dung Crude Monte-Carlo la:fprintf(’Khoang tin cay voi do tin cay 95 la:(9. Ví dụ 8 trang 22

68


format longe;N=input(’Nhap so lan mo phong:’);X=10+randn(1,N);Y=[];Z=rand(1,N);u=rand(1,N);I=[];C=1e+9;CMC=[];for i=1:Ni f u(i)<= f eval(@ f cond,X(i))/(2∗ f eval(@norm101,X(i)−10))Y=[Y X(i)];endif Z(i)>=10temp=C*Z(i);else temp=0;endCMC=[CMC temp];endfor i=1:length(Y)if Y(i)>=10temp=C*Y(i)*0.5*exp(50-10*Y(i));elsetemp=0;endI=[I temp];endint=mean(I);S = 1/(N−1)∗ sum((I− int)2);epsilon=1.96*sqrt(S)/sqrt(N);fprintf(’Gia tri voifprintf(’Khoang tin cay voi do tin cay 95 phan tram la:(K=mean(CMC);S = 1/(N−1)∗ sum((CMC−K)2);epsilon=1.96*sqrt(S)/sqrt(N);fprintf(’Gia tri cua uoc luong dung Crude Monte-Carlo la:fprintf(’Khoang tin cay voi do tin cay 95 la:(10. Hình 1.4, 1.5 trang 22, 23xx=-5:0.01:15;yy=zeros(size(xx));for i=1:length(xx)

69


yy(i) = f eval(@norm101,xx(i));endfigure(1);axis([-5 15 0 0.5]);xlabel(’x’);ylabel(’y’);plot(xx,yy,’r’);hold on;plot(zeros(size(xx)),[0:0.5/(length(xx)-1):0.5],’b’);legend(’original’,’shifted’)hold on;for i=1:length(xx)yy(i) = f eval(@norm101,xx(i)−10);endplot(xx,yy,’b’);title(’Fig 3.10’);

figure(2);yy=zeros(size(xx));for i=1:length(xx)yy(i) = f eval(@norm101,xx(i));endplot(xx,yy,’r’);hold on;for i=1:length(xx)yy(i) = 1/10∗ f eval(@norm101,xx(i)/10);endplot(zeros(size(xx)), [0 : 0.5/(length(xx)−1) : 0.5],′ b′);hold on;plot(xx,yy,’b’);legend(’original’,’scaled importance’)title(’Fig 3.11’);11. Hình 1.6 trang 23xx=5:0.001:15;yy=zeros(size(xx));xlabel(’x’);ylabel(’y’);

70


plot(zeros(size(xx)), [0 : 0.9/(length(xx)−1) : 0.9],′ b′);axis([5 15 0 0.9]);hold on;for i=1:length(xx)yy(i) = f eval(@norm101,xx(i)−10);endplot(xx,yy,’r’);hold on;for i=1:length(xx)yy(i) = f eval(@ f cond,xx(i));endplot(xx,yy,’b’);legend(’conditional shifted’,’shifted density’);12. Brownrandn(’state’,100);m=100; n=1000;t=linspace(0,1,n+1)’;h=diff(t(1:2));dw=sqrt(h)*randn(n,m);w=cumsum([zeros(1,m);dw]);plot(t,w)13. Hình 1.10 trang 42T=1; n = 28; X0=1; dt=T/n;dW=sqrt(dt)*randn(1,n);W=cumsum(dW);lambda=2;mu=1;f=@(x) lambda*x;g=@(x) mu*x;R=4; delta=R*dt; steps=n/R;X=zeros(steps,1);Xold=X0;for i=1:stepsX(i) = Xold +delta∗ f (Xold)+g(Xold)∗ sum(dW ((R∗ (i−1)+1) : R∗ i));Xold = X(i);endX = [X0;X ];Solution = X0∗ exp((lambda−0.5∗mu2)∗ (dt : dt : T )+mu∗W );plot(0:delta:T,X,’-*g’,0:dt:T,[X0 Solution],’-r’)

71


title(’Nghiem so cua SDE tinh boi Euler-Maruyama’)xlabel(’t’),ylabel(’X(t)’,’Rotation’,0)legend(’Xap xi boi E-M’,’Nghiem dung’,’Location’,’NW’)14. Hình 1.11 trang 43 T=1; n = 28; X0=1; dt=T/n;dW=sqrt(dt)*randn(1,n);lambda=2;mu=1;W=cumsum(dW);f = @(X)2∗X ;g = @(X) X;gprime = @(X) 1; R=2; delta=R*dt; steps=n/R;Mil=zeros(steps,1); Milold=X0;for i=1:stepsMil(i) = Milold +delta∗ f (Milold)+g(Milold)∗ sum(dW ((R∗ (i−1)+1) : R∗ i))...

+0.5∗g(Milold)∗gprime(Milold)∗ ((sum(dW ((R∗ (i−1)+1) : R∗ i)))2−delta);Milold=Mil(i);endMil=[X0;Mil];Solution = X0∗ exp((lambda−0.5∗mu2)∗ (dt : dt : T )+mu∗W );plot(0:delta:T,Mil,’-*r’,0:dt:T,[X0 Solution],’-b’);legend(’Xx boi Milstein’,’Nghiem dung’);xlabel(’t’),ylabel(’X(t)’,’Rotation’,0)15. Bảng kết quả 2.1 trang 62clear; T=40/365; K=10800;r=0.05;format long;S10=7800;mu=3.34;sigma=0.76;f=@(x) mu*x;g=@(x) sigma*x;gprime=@(x) sigma;iter=input(’Hay nhap so lan lap: iter= ’);formula=[];n = 28;dt=T/n;Euler=[];Milstein=[];expec=[];Control=[];for k=1:iterdW = sqrt(dt)∗ randn(1,n);W=cumsum(dW);W=[0 W];R=4; delta=R*dt; steps=n/R;S11t = S10∗ exp(sigma∗W (1 : R : n+1)+(mu−0.5∗ sigma2)∗T );

72


C=zeros(1,1);if S11t(1)-K >=0expec=[expec exp(-r*T)*(S11t-K)];else expec=[expec 0];endS11 = 0.5∗ (S10∗exp(sigma∗W (1 : R : n+1)+(mu−0.5∗ sigma2)∗T )+S10∗exp((mu−0.5∗ sigma2)∗T )∗ (1+ sigma∗ (−W (1 : R : n+1))));S11t=S11;if S11t(1)-K >=0expec=[expec exp(-r*T)*(S11t-K)];else expec=[expec 0];endControl=[Control expec];for i=1:1d1 = (log(S10(i)/K)+(r+0.5∗ sigma2)∗T )/(sigma∗ sqrt(T ));d2 = d1− sigma∗ sqrt(T );C(i) = S10(i)∗ f eval(@phi,d1)−K ∗ exp(−r ∗T )∗ f eval(@phi,d2);endformula=[formula C(1)];Y=zeros(steps,1);Y0=7800; Yold=Y0;for i=1:stepsY(i) = Yold + delta *f(Yold) + g(Yold)*sum(dW((R*(i-1)+1):R*i));Yold=Y(i);endY=[Y0;Y];S11t=Y;if S11t(1)-K >=0expec=[expec exp(-r*T)*(S11t-K)];else expec=[expec 0];endEuler=[Euler expec];X=zeros(steps,1);X0=7800;Xold=X0;for i=1:stepsX(i) = Xold +delta∗ f (Xold)+g(Xold)∗ sum(dW ((R∗ (i−1)+1) : R∗ i))...

+0.5∗g(Xold)∗gprime(Xold)∗ ((sum(dW ((R∗ (i−1)+1) : R∗ i)))2−delta);

73


Xold = X(i);endX=[X0;X];S11t=X;if S11t(1)-K >=0expec=[expec exp(-r*T)*(S11t-K)];else expec=[expec 0];endMilstein=[Milstein expec];end16. Hình 2.1 trang 62T=40/365; K=10800;r=0.05;format long;n = 28; dt=T/n; S10=7800;dW=sqrt(dt)*randn(1,n);W=cumsum(dW); mu=3.34;sigma=0.76;W=[0 W];f=@(x) mu*x; g=@(x) sigma*x; gprime=@(x) sigma; R=4; delta=R*dt;tt=0:delta:T; steps=n/R;S11t = S10∗exp(sigma∗W (1 : R : n+1)+(mu−(0.5∗sigma2)/2)∗tt); C=zeros(1,length(S11t));for i=1:length(S11t)d1 = (log(S11t(i)/K)+(r+0.5∗ sigma2)∗ (T − tt(i)))/(sigma∗ sqrt(T − tt(i)));d2 = d1− sigma∗ sqrt(T − tt(i));C(i) = S11t(i)∗ f eval(@phi,d1)−K ∗ exp(−r ∗ (T − tt(i)))∗ f eval(@phi,d2);endplot(tt,C,’-*r’);hold on;X=zeros(steps,1);X0=7800; Xold=X0;for i=1:stepsX(i) = Xold +delta∗ f (Xold)+g(Xold)∗ sum(dW ((R∗ (i−1)+1) : R∗ i));Xold=X(i);endX=[X0;X];S11t=X;C=zeros(1,length(S11t));for i=1:length(S11t)d1 = (log(S11t(i)/K)+(r+0.5∗ sigma2)∗ (T − tt(i)))/(sigma∗ sqrt(T − tt(i)));d2 = d1− sigma∗ sqrt(T − tt(i));C(i) = S11t(i)∗ f eval(@phi,d1)−K ∗ exp(−r ∗ (T − tt(i)))∗ f eval(@phi,d2);end

74


plot(tt,C,’-*g’);X=zeros(steps,1);Xold=X0;for i=1:stepsX(i) = Xold +delta∗ f (Xold)+g(Xold)∗ sum(dW ((R∗ (i−1)+1) : R∗ i))...

+0.5∗g(Xold)∗gprime(Xold)∗ ((sum(dW ((R∗ (i−1)+1) : R∗ i)))2−delta);Xold=X(i);endX=[X0;X];S11t=X;C=zeros(1,length(S11t));for i=1:length(S11t)d1 = (log(S11t(i)/K)+(r+0.5∗ sigma2)∗ (T − tt(i)))/(sigma∗ sqrt(T − tt(i)));d2 = d1− sigma∗ sqrt(T − tt(i));C(i) = S11t(i)∗ f eval(@phi,d1)−K ∗ exp(−r ∗ (T − tt(i)))∗ f eval(@phi,d2);endplot(tt,C,’-*b’);

75

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Văn Hữu (chủ biên), Đào Hữu Hồ, Hoàng Hữu Như(2004), Thống kê toán học,Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội.

[2] Nguyễn Quý Hỷ(2002), Phương pháp mô phỏng số Monte Carlo, Nhà xuất bản ĐạiHọc Quốc Gia Hà Nội.

[3] Trần Hùng Thao(2003), Nhập môn toán học tài chính, Nhà xuất bản Khoa Học và KỹThuật.

[4] Đặng Hùng Thắng(2005), Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên, Nhà xuất bảnĐại Học Quốc Gia Hà Nội .

[5] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Việt Yên(2000), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất bản Giáo Dục.

[6] Nguyễn Duy Tiến (chủ biên), Đặng Hùng Thắng(2001), Các mô hình xác suất và ứng

dụng. Phần II: Quá trình dừng và ứng dụng, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội.

[7] D. Applebaum(2004), L′evyProcessandStochasticCalculus, Cambridge University

Press. Cambridge. UK .

[8] P. Billingsley(1968), Convergence of Probability Measures, Wiley. NewYork. USA.

[9] W. Feller(1968), An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Wiley.NewYork. USA. pp 243-245.

[10] R. Korn, E. Korn và G. Kroisandt(2010), Monte Carlo methods and models in Finance

and Insurance, CRC Press, Taylor & Francis Group. New York. USA .

[11] R. Korn và E. Korn(2001), Option Pricing and Portfolio Optimization, Graduate Stud-ies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence,Rhode Island. USA.

[12] P. J..ackel(2003), Monte Carlo methods in Finance, Wiley. Chichester. UK.

[13] R. Y. Rubinstein(1981), Simulation and the Monte Carlo Method, Wiley. NewYork.USA.

76

Documents

phương pháp mô ph ng monte carlo và ng d ng vào toán tài chính