UNIVERSITÉ PARIS DIDEROT (Paris 7)

École doctorale « Savoirs scientifiques » [ED 400]

Doctorat « Épistémologie, Histoire des Sciences & Techniques »

Joël M E R K E RProfesseur des universités

Département de Mathématiques d’Orsay

Bâtiment 425, Faculté des Sciences, F-91405 Orsay Cedex

www.math.ens.fr/∼merker/index.htmljoel.merker@math.u-psud.fr

Philosophie générale des mathématiques :Volume I

Techniques et métaphysiques de l’Irréversible-synthétique

Problème de Riemann-Helmholtz-LieVolume II[

Théorie des groupes continus de transformationsVolume III

(d’après l’œuvre de Sophus Lie et Friedrich Engel)

Thèse dirigée par M. Jean-Jacques S Z C Z E C I N I A R ZSoutenue le 3 janvier 2012

JURY

M. DANIEL B E N N E Q U I N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UNIVERSITÉ PARIS 7M. JOCELYN B E N O I S T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UNIVERSITÉ PARIS 1M. PIERRE C A R T I E R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IHESM. PHILIPPE N A B O N N A N D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UNIVERSITÉ NANCY 2M. DANIEL P A R R O C H I A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UNIVERSITÉ LYON 3M. JEAN P E T I T O T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ÉCOLE POLYTECHNIQUEM. JEAN-JACQUES S Z C Z E C I N I A R Z . . . . . . . . . . . . . . . . .UNIVERSITÉ PARIS 7

à Werner SCHWEIZERà Gilles CHÂTELETà Jean-Pierre SÉRISà Claude MERKERà Jean MERKERà Françoise PANIGEONà l’É C O L E N O R M A L E S U P É R I E U R E

—————–Cela constitue précisément le travail infini de l’esprit que de s’arracher de son être-là immédiat, de son heureuse vie naturelle pour aller vers la nuit et la solitude dela conscience de soi, et, par ses propres forces, de reconstruire intellectuellementl’intuition et l’effectivité qu’elle a séparées de soi. La philosophie ne ressortit pas ausomnanbulisme, elle est plutôt la conscience la plus éveillée, et son éveil successifest précisément cette élévation de soi-même au-dessus des états d’unité immé-diate avec la nature — une activité de s’élever et un travail qui — parce qu’il seprésente comme différenciation constante de soi-même pour restaurer enfin l’unitégrâce à l’activité de la pensée — tombe dans le temps en son cours, et même dansun temps fort long.

J’ai dit au commencement que notre philosophie n’est pas autre chose que le ré-sultat du travail de tous les siècles ; il faut savoir, quand on est frappé d’un tempssi long, que cette longueur de temps a été utilisée pour acquérir ces concepts —non tant jadis que maintenant. Il faut savoir en général que l’état du monde, d’unpeuple, dépend du concept qu’il possède de lui-même ; le royaume de l’esprit n’estpas comme un champignon qui pousse en une nuit ; qu’il y ait eu besoin d’un tempssi long ne frappe que lorsqu’on ne connaît pas la nature et l’importance de la phi-losophie.

Pour ce qui concerne la lenteur de l’esprit du monde, il faut méditer qu’il n’a pas àse presser, qu’il a suffisamment de temps — mille ans sont pour toi comme un jour[cf. Psaume 90, 4] —, il a suffisamment de temps précisément parce qu’il est lui-même en dehors du temps, parce qu’il est éternel. L’esprit du monde ne se bornepas à avoir suffisamment de temps ; ce n’est pas seulement du temps qu’il faututiliser pour se procurer un concept, cela coûte également autre chose — le faitqu’il utilise pour ce travail de nombreuses espèces humaines et de nombreusesgénérations, qu’il fait une dépense énorme d’apparitions et de disparitions, celalui importe peu ; il est suffisamment riche pour une telle dépense, il réalise sonœuvre en grand, il possède assez de nations et d’individus à dépenser. C’est uneproposition bien triviale : la nature parvient à son but par le plus court chemin —certes, mais le chemin de l’esprit est la méditation, le détour ; du temps, de la peine,de la dépense — de semblables déterminations de la vie finie, il n’est pas questionici.

G.W.F. HEGEL, Leçons sur l’histoire de la philosophie, [208], p. 208.—————–

3

Volume IPhilosophie générale des mathématiques :

Techniques et métaphysiques de l’Irréversible-synthétique

Table des matières

Chapitre 1. L’Ouvert mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191. Le réel de l’Ouvert : Argument, synopsis, intentions . . . . . . . . . . . . . . 19

L’Obscur mathématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Penser en situation le non-pensé de l’ouverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

L’héritage français de philosophie des mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Diffusion, dissémination, diffraction d’un Ouvert objectivable . . . . . . . . . . . 21

L’Ouvert posé dans des univers axiomatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Potentialité et expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

L’Ouvert intersubjectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Thèse du réel de l’Ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Les obscurités du travail inachevé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Le Voir de l’Ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

L’ouverture désorientée totale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

La pensée disparaissante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Le métaphysique dans les mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2. Discussion intercalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Avertissement terminologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Interprétation inappropriée de mysticisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Appréhension dynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Conserver la trace du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3. Choisir un style de discours sur l’Ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Métaphores lumineuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Limites du discours didactique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Proximité de la parole poétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Arbres mathématiques, mathématiques luxuriantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Questions gromoviennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4. Thèses sur l’Ouvert et sur le principe de non-savoir . . . . . . . . . . . . . . 33

4

Axiome d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Principe de non-savoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Thèse générale de mobilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Suspension et volonté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Indices d’ouverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Comment l’Ouvert est-il ouvert ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Nouvelle thèse postulée sur l’Ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Le sujet idéalement réceptif à l’Ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5. Insuffisance de l’épistémologie du Concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Magnétisme de l’a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Cavaillès et le problème du fondement des mathématiques . . . . . . . . . . . . 38

Il n’y a pas d’auto-mouvement des mathématiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Subsumer les mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Retour sur les nécessités internes a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6. Figures allégoriques de l’Obscur, du non-voilement et de la vérité . 45Métaphores terrestres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Nécessité des allégories de la connaissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

L’allégorie de la caverne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Théorie de la vérité et du non-voilement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7. Indécision de la position d’hypothèses et construction du vrai . . . . . 47Grothendieck bâtisseur de maisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Schéma de l’indécision de la position d’hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Dynamique de l’éclaircissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Généralités sur l’herméneutique, en philosophie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

L’herméneutique indécise de la position d’hypothèses, en mathéma-tiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Approfondir les interstices d’un enchaînement d’hypothèses . . . . . . . . . . . 52

8. Bilan et résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Les mathématiques comme Recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Résumé théorique intercalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Chapitre 2. Exigence abstraite, satisfaction abstraite, Inconscient mathéma-tique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

1. Prologue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Quadrilogie fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Organisation rhétorique et théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2. Difficultés liminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59La spécialisation : obstacle à la pensée des mathématiques ? . . . . . . . . . . 59

Premier doute quant au transfert des catégories psychanalytiques dansles mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

La métaphysique silencieuse de la satisfaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3. Prospection préliminaire des attentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5

4. Attentes et dominations externes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Deux écueils dialectiques « duals » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Le concept contre la conscience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Ce qui se joue en nous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Le désert de la psychologie des sciences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Scepticisme de principe à l’égard de la psychologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Abondance de dominations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Illuminations subliminales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5. Formulation abrégée de ces attentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656. Un exemple : analyse de l’« inconscient » par Gauss et triomphe

structuraliste de l’a posteriori du concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

La construction du polygone régulier à dix-sept côtés à l’aide d’une règleet d’un compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

Un exemple d’ingéniosité arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Les structures : raisons cachées de la réussite de la méthode ? . . . . . . . . 68

Conclusion dogmatique provisoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Vers une thèse négative sur le génie ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Premières objections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7. Kant, les facultés et la théorie du génie dans la critique de la facultéde juger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

Deux facultés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Le génie selon Kant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Félix Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Remarque intercalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8. Thèses négatives sur le génie, refoulement de l’inconscient et privi-lège des méthodes structurales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

Thèses de philosophe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

L’étalon des mathématiques structurales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Obstructions à une psychanalyse mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Résumé et conclusion : la raison philosophique contre les mathémati-ques génétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

9. Critique forte du structuralisme triomphant à l’aide du paradoxede l’a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

Retour sur le premier écueil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Nécessité d’un renversement partiel et d’un relèvement . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Les profondeurs de ce qui cherche à se dire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

10. Redressement de l’argumentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Objection galoisienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Hasard et force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Permanence de l’infralinguistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Le primate du philosophe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6

Satisfactions, pulsions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

11. Pour une philosophie de la volonté mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . 7812. Introduction aux thèses principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Avertissement : candeur interrogative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

La sublimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

13. Présence de zones motrices infralinguistiques obscures . . . . . . . . . . . 79Thèse d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Scholie : rayonnement de l’infralinguitique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Pédagogie et métaphysique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Nécessité de se cloîtrer hors du langage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Scholie : le don de solitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

L’intuition de vérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

14. Multiplicité et hétérogénéité des influences sur la pensée . . . . . . . . . . 82Thèse 4 et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

15. Intentionnalité rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Dynamique de la réalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Intentionnalité rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

16. La satisfaction mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Thèse 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Dialectique lautmanienne des problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Effort de l’esprit et nécessité de réalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Contre l’opérativité logique constituante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

17. Conditions de possibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Thèse 8 ; exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Discipline de non-savoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

18. Éclaircir chaque question. Contempler des généalogies de pro-blèmes. Ne se satisfaire que de solutions complètes . . . . . . . . . . . . . . . .

86

19. Portée et limites de l’inconscient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Effusions d’incohérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Béance des questions simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Questions déterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

La méthode générale d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Motifs de la méthode axiomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

20. Conclusion : parabole de l’obscurité et de la confusion . . . . . . . . . . . . 89Mouvement abyssal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Prégnance des structures interrogatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Chapitre 3. Théorèmes d’existence, en mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921. Prologue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922. Paradoxe de la notion d’être . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923. L’essence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7

4. La critique par Leibniz de l’argument ontologique de Descartes . . . 945. La preuve ontologique cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966. Vers le dévoilement des synthèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987. Schémas de genèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008. Les théorèmes d’existence vus par Albert Lautman . . . . . . . . . . . . . . . 1029. Les schémas de genèse de Lautman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

10. La question pure d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10911. L’idée de déductibilité et les systèmes formels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11012. Bilan et conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Appendice I. 13. Diagrammes philosophiques et résultats mathématiques . . . . . . . 118

Chapitre 4. Conjectures mathématiques, preuves mathématiques . . . . . . . . . . . . . 137Prologue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Quel statut pour la proposition mathématique non démontrée ? . . . . . . . . 138

L’irréversible-synthétique en mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Insuffisances spéculatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Dérobade philosophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Liberté mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Conjectures expérimentales étrangères aux démonstrations rigoureuses 142

Inexactitudes et expressions inappropriées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Reprise sur le théorème des nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Conjecture de Collatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

La maxime capitale de l’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Libération par le contre-exemple ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Virtualités pérennes du principe de raison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Actifier la question . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Conjecture de Proth-Gilbreath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Retour sur Wittgenstein : deux universalités incomparables . . . . . . . . . . . . 154

Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Conjecture de Goldbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Calculs au front. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Digression sur la nature physique du calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Dialectique a priori de l’existentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Heuristique semi-rigoureuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Conjecture des nombres premiers jumeaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Conjecture de Polignac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Écarts entre nombres premiers consécutifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Fréquence des écarts entre nombres premiers consécutifs . . . . . . . . . . . . . 162

Métaphysique du « tout ce qui est possible se réalise » . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Raisonnement absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Maintien du fossé conceptuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Retour sur le théorème des nombres premiers ; doxas anachroniques . . 165

8

Permanence du provisoire et de la problématicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Démultiplication artificielle des énoncés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Arguments heuristiques en théorie analytique des nombres . . . . . . . . . . . . 169

Métaphysique des raisonnements heuristiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Épilogue critique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Penser le calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Directions ouvertes de philosophie des mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Chapitre 5. Écriture mathématique, écriture littéraire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1721. Syncrétisme de l’idée-forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Deux préjugés de la pensée face au langage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Inséparabilité de la Forme et du Contenu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

2. Micro-mécaniques du style . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Champs magnétiques perturbés de la microstylistique . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Acupuncture querelleuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Virtualités par maintien des indécisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Micro-corrections morphologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Exemple : démonstration de l’identité de Jacobi pour les algèbres asso-ciatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

176

Micro-commentaire de la démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Exemples de pratiques de soulignement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Insertion volontaire d’ingrédients intuitifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

3. Génétique du littéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Élongation temporelle ; alentissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Mécanique du naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Compréhension et appropriation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Mobilisations neuro-moléculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Génétique des textes littéraires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Hybridations, croisements, multiplicités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

4. Sur les illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Illustration, ou non-illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Impossible codification des illustrations en mathématiques ? . . . . . . . . . . . 184

Écrire l’ignorance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

5. Mathematics is amazingly compressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Alchimie cognitive de la compréhension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Orchestrer les actes de pensée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Comment écrire ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Le réflexe du pourquoi et du comment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Principes, préconisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Appendice II. Insights Towards the Speculative Thought of Formal Computations 1891. Prologue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1902. Ideals of polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

9

3. The basic principle of Gröbner bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1944. Speculative Intermezzo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965. Back to Gröbner bases : Dicskon’s lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996. Speculative Intermezzo bis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2047. Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2068. Buchberger Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

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Partie I : Courbure de Gauss, formes différentielles, relativitéChapitre 6. Courbure des surfaces dans l’espace : le Theorema Egregium de

Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .211

1. Présentation de la formula egregia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211Définition géométrique de la courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Paradoxe remarquable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Méthodologie expositionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

2. Courbes mathématiques dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Filaments et trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Identification du continu et coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Trois saisies analytiques des courbes dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Dialectique de l’ontologie imprécise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Caractère intrinsèque de la représentation paramétrée. . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Équivalence locale entre les trois représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

3. Préliminaire sur les surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Trois saisies analytiques des surfaces dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

4. Courbures des courbes planaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229Longueur d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Courbure des cercles et des droites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Chaîne de segments rectilignes et courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Courbure des cercles via l’application de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Définition de la courbure des courbes quelconques dans le plan . . . . . . . 234

Cercle osculateur à une courbe en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

5. Expression analytique de la courbure des courbes planaires . . . . . . . 237Vecteurs tangents et vecteurs normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

Expression de la courbure en représentation paramétrée . . . . . . . . . . . . . . 240

Expression de la courbure en représentation implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

Deuxième preuve directe systématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Évanouissement intrinsèque de la courbure des courbes . . . . . . . . . . . . . . . 246

6. Opposition dialectique imprévisible du dimensionnel . . . . . . . . . . . . . 247Anticipation du Theorema egregium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

7. Courbure des surfaces dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

10

Détermination du plan tangent à une surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

Vecteurs unitaires normaux à une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

Transfert sur la sphère auxiliaire et orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

Définition géométrique de la courbure de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

8. Deux expressions extrinsèques de la courbure des surfaces . . . . . . . . 256Courbure des surfaces graphées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Prémices d’élimination différentielle systématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

Courbure des surfaces en représentation implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

9. Genèse des Disquisitiones generales circa superficies curvas . . . . . . . . 266Cinq concepts novateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

Lien avec un mémoire d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Chronologie sommaire de la genèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

Débuts des Disquisitiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

Le Preisschrift de 1822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

Les Neue Untersuchungen de 1825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

10. Action du principe de raison suffisante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Triangles géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Déduction du caractère intrinsèque de la courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Insatisfaction gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

Raison suffisante leibnizienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

Racine métaphysique du principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

Mathématique du principe de raison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

Exemple paradigmatique : la formula egregia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

11. Caractérisation différentielle des surfaces de courbure nulle . . . . . . 286Équivalence à la métrique pythagoricienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

Numérateur de la formula egregia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

Factorisation par complexification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

Relations différentielles systématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

Complétion de la combinaison linéaire caractéristique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

12. Commentaire mathématique de la computatio egregia . . . . . . . . . . . . . 292Systématicité et complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

Composantes du vecteur normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

Transfert à la représentation paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

Élimination du dernier bastion d’extrinsèque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

Theorema egregium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

13. Leçons de métaphysique gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306Différer et mûrir, différer pour mûrir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

Maintenir en tension la recherche de vérités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

Calculer est une vérité de la chose mathématique en elle-même . . . . . . . 307

Voir émerger des entités autonomes organisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

Publier, ou ne pas publier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

11

Nihil actum reputans si quid superesset agendum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

Le levier symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

Die Gaussche Strenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

Science et conscience coprésente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

L’impératif catégorique de la morale kantienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

Impératifs catégoriques de la pensée mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

Chapitre 7. Formes différentielles : Darboux, Frobenius, Cartan . . . . . . . . . . . . . . 3121. Métaphysique élémentaire de la différence infinitésimale . . . . . . . . . . 312

Tangente à une courbe tracée dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

Dérivée approchée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

Élément différentiel infinitésimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

Accepter le langage infinitésimal classique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

Opérateur de différentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

Métaphysique de la différence infinitésimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

2. Calcul différentiel à plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320Passage à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

3. Histoire des formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322Distribution d’hyperplans noyaux d’une forme différentielle . . . . . . . . . . . . . 322

Différentier des formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

4. Géométrie du covariant bilinéaire de Darboux-Frobenius . . . . . . . . . 322Intégration des équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

La méthode de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

Qu’est-ce qu’une forme différentielles intégrable ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

Universalité et fécondité du partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

Théorème de Pfaff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

Brève métaphysique de l’invariance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

Les problèmes de classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

Théorème de Darboux-Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

Le covariant bilinéaire de Frobenius, d’après Darboux. . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

Opérateur de différentielle extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

Lien avec le covariant bilinéaire de Darboux-Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

Torsion d’une connexion affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

Réexpression dans la base définie par le repère mobile . . . . . . . . . . . . . . . . 337

Courbure d’une connexion affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

Chapitre 8. Sur les équations de la gravitation d’Einstein (d’après Élie Cartan) 3391. Résumé de géométrie riemannienne et équations de la gravitation . 339

Courbure de Gauss et variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

Coefficients de courbure riemannienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

Connexion de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

Tenseurs, calcul tensoriel, dérivées covariantes des tenseurs . . . . . . . . . . 350

Théorème de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

12

Composantes du tenseur de courbure et ses symétries . . . . . . . . . . . . . . . . 354

Identités de Bianchi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

Tenseur de Ricci et sa divergence covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

Covariance de la forme quadratique de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

Analyse fine de la covariance du tenseur de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

Formes différentielles quadratiques covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

Géométrie et physique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

Équations de la gravitation d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

Conditions auxquelles doit satisfaire le tenseur d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . 365

Théorème d’unicité d’Élie Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

2. Diagonalisation de la métrique pseudo-riemannienne . . . . . . . . . . . . . 368Diagonalisation de la pseudo-métrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

Équations matricielles fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

Base orthonormale mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

3. Équations de structure et courbure pseudo-riemannienne . . . . . . . . . 375Convention sur la notation des sommes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

Différentiation extérieure des formes θi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

Introduction des composantes de rotation (connexion associée) . . . . . . . . 378

Calcul des coefficients de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

Invariance des composantes de courbure par application isométrique . . 382

Dérivées covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

Calcul explicite des composantes de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

Commentaires et spéculations sur l’expression explicite du tenseur decourbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

385

Dénombrement des composantes de courbure indépendants . . . . . . . . . . 387

Caractérisation de la courbure nulle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

4. Méthode d’équivalence pour les surfaces gaussiennes . . . . . . . . . . . . . 388Étude du plan euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

Équations de structure dans le cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

Calcul de la courbure de Gauss κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

5. Méthode d’équivalence pour les variétés pseudo-riemanniennes . . . 393Problèmes d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

Diagonalisation de la métrique pseudo-riemannienne et variables de ro-tation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

395

Relèvement des isométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

6. Équations de structure avec variables de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . 400Différentiation extérieure des formes ωi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

Introduction des composantes de rotation ωij (connexion associée). . . . . 402

Formule explicite pour les dérivées covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

Introduction des coefficients de courbure Sijkl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

Première expression explicite (insuffisante) des coefficients de courbureSijkl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

407

13

Expression des Sijkl en fonction des Rijkl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

7. Identités de Bianchi et dérivées covariantes d’ordre quelconque . . . 413Différentiation des équations de structure sans les variables de rotation 413

Dérivées covariantes d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

Différentiation des équations de structure avec les variables de rotation 417

Dénombrement des coefficients de courbure indépendants . . . . . . . . . . . . 424

8. Invariants relatifs et invariants absolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425Composantes de Ricci et courbure scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

Invariants différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

Invariants différentiels absolus et relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

Différentiation covariante des invariants différentiels relatifs . . . . . . . . . . . . 428

Isométries de variétés pseudo-riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

Relativisation d’une forme différentielle covariante absolue . . . . . . . . . . . . . 432

Théorème d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

9. Forme quadratique de Riemann-Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434Représentations du groupe pseudo-orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

10. Paramétrisation des 2-plans dans C4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436Vecteurs et bivecteurs dans C4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436Bivecteurs généraux versus bivecteurs décomposables . . . . . . . . . . . . . . . . 437

Espace des 2-plans dans C4 et quadrique de Plücker . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438Quadrique de Minkowski complexifiée et transformations de Lorentzcomplexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

439

Géométrie de la quadrique de Minkowski complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

Coordonnées de Plücker des deux familles de génératrices . . . . . . . . . . . . 441

Transformation lorentzienne induite sur l’espace des 2-plans . . . . . . . . . . . 445

Homomorphisme de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

11. Décomposition du tenseur de courbure en composantes irréductible 451Action d’une transformation de Lorentz sur la forme de Riemann-Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

452

Action d’un changement de base sur une forme quadratique . . . . . . . . . . . 452

Soustraction de la trace modifiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

12. Théorème d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455Forme quadratique de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

Démonstration du théorème d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

—————–

Partie II : La mathématique universelle de LieChapitre 9. Substitutions, permutations, invariances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

1. Polynomialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461Mélanger algébriquement de manière arbitraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

Museler la protension à l’effectivité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

14

Résoudre impose des synthèses irréversibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

Privilégier l’Algèbre, sans le secours de l’Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

2. Permutations et substitutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464Donation subreptice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

Obligation platonicienne de spéculer maximalement sur tout point dedépart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

464

Libérer l’objet mathématique de toute dénomination. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

Dénommer est toutefois nécessaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

Caractère réflexif de la libération de toute dénomination. . . . . . . . . . . . . . . . 467

Classifier les permutations à automorphisme intérieur près . . . . . . . . . . . . 468

Métaphysique générale de la référentialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

3. Résultats élémentaires et fondamentaux sur le groupe Sn . . . . . . . . . 470Permutations circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

Décomposition en cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

4. Le problème fondamental de classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472Antériorité logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

Focalisation galoisienne et contextualité du réel problématique . . . . . . . . . 472

Lie, Klein, la géométrie et les substitutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

Idée fixe de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

Classification des groupes continus de transformations . . . . . . . . . . . . . . . . 475

5. Transformations par permutation de polynômes multivariés . . . . . . 476Action sur les racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

Microlectures formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

6. Métaphysique génétique de la structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . 479Invariance de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

Assertion fondamentale : les groupes naissent de l’Invariance. . . . . . . . . . 481

Progrès infinitésimaux de l’irréversible-synthétique symbolique . . . . . . . . . 482

Métaphysique des nécessités mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

Ontologie ‘groupique’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

7. Résolvantes de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489Racines d’un polynôme à une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

Soustraire 0 n’équivaut pas à additionner 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

Fonctions symétriques élémentaires des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

Premier Théorème de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492

Second Théorème de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

Troisième Théorème de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

8. Groupes, sous-groupes, classes à gauche ou à droite . . . . . . . . . . . . . . 495Fonctions symétriques et identités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

Invariance et transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

Classes à droite et à gauche modulo un sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496

9. Démonstration du second théorème de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 500

15

Chapitre 10. Meditationes Algebraicæ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503Trois objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

Polynômes invariants par permutation des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

Fonctions symétriques élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

Fonctions des racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

Théorème de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

Analyse a posteriori du théorème de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

Commentaire philosophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

Formules de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

Question d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

Commentaire spéculatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

Deux exemples très élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

Récurrences ouvertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512

Formules dites de Waring. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512

Commentaire mathématico-philosophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

Démonstration moderne des formules de Waring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

L’énoncé du théorème par Waring lui-même : perplexité ? . . . . . . . . . . . . . . 517

Lecture multiversale et appropriation intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

Remarques intercalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519

Unciae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

Circulation, généralisation, compréhension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

Chapitre 11. Commentaire du « premier mémoire » de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5221. Prologue historique succinct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5222. Rappels préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5233. Théorie des irrationnelles algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5264. Brisure maximale des symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5285. Élément primitif et singularisation d’une variable . . . . . . . . . . . . . . . . 5316. Apparition du groupe de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

Chapitre 12. Généralités spéculatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542Destin comparé des œuvres scientifiques et littéraires . . . . . . . . . . . . . . . . . 542

Le mirage de l’« absorption en totalisation » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543

Le drame de l’a posteriori du spéculatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543

Essences mathématiques spéculatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544

Accepter l’ouverture conceptuelle de l’espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545

Masses-pensées intuitives de la mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

Écarter les problèmes de fondement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548

Objectifs métaphysiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548

L’ouverture chez Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549

Chapitre 13. Équations de transformations et axiomes de groupes. . . . . . . . . . . . . . 551

16

Principe galoisien d’ambiguïté dans la donation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

Équations de transformation, groupe continu d’ambiguïté . . . . . . . . . . . . . . 553

Trois principes de pensée qui gouvernent la théorie de Lie . . . . . . . . . . . . . 555

Question préliminaire de dépendance paramétrique effective. . . . . . . . . . . 556

Le mouvement des continua et la mobilité fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557

Dépasser la monade subjectivo-centrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558

Abstraction des correspondances fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

Les symboles sont imprégnés d’ignorance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

Essentialisation des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561

Discontinuité axiomatique de l’engendrement synthétique . . . . . . . . . . . . . . 564

Analyse de l’essentialité des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566

Réduire le nombre des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567

Interlude : schémas universels du questionnement mathématique . . . . . . 568

Analyses de satisfaction mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

Caractérisation effective de l’inessentialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571

Redécouverte en géométrie de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574

Chapitre 14. Ontologie triple de X(f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576Système d’équations différentielles ordinaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576

Basculement ontologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

Formule exponentielle analytique pour l’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

Spéculation sur l’inéquivalence des équivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580

Retour sur le symbole X(f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581

Chapitre 15. Théorème de Clebsch-Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584Décision ontologique quant aux résolubilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584

Redressement d’une transformation infinitésimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587

Solutions mutuellement indépendantes d’une EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589

Intégrabilité des systèmes d’équations aux dérivées partielles. . . . . . . . . . 593

Théorème de Clebsch-Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596

Chapitre 16. Le progrès incessant de l’irréversible-synthétique chez Lie . . . . . . . . 598

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Partie III : Philosophie du calcul : ouverture, genèse, dynamiqueChapitre 17. Autour de la preuve d’Apéry de l’irrationalité de ζ(3) . . . . . . . . . . . . 614

Zêtas pairs et nombres de Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614

Accès élémentaire à l’ouverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615

Spéculation intermédiaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616

Assertions mathématiques énigmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618

Traces effacées : le labyrinthe de la reconstitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

Figure générique de la récurrence : contracter les expressions symbo-liques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

621

17

Reconstituer a posteriori des éléments de genèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624

Décider des actes de calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627

Créer la différence téléscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629

Critère d’irrationalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632

Élasticité de la nomination symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

Conséquences de la proposition principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636

Examen a posteriori des adéquations relatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642

Démonstration ultra-simple par Calabi de l’identité∑∞

n=11n2

= π2

6. . . . . 644

Interlude : spéculations sur l’identité∫∞−∞ e

−x2 dx =√π . . . . . . . . . . . . . . . 645

Identités algébriques entre factorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647

Chapitre 18. Génétique mathématique technique : un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . 652Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652

Origine du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652

Identité à démontrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657

Préliminaires à l’étude des petites valeurs κ = 2, 3, 4, 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 659

Les deux valeurs élémentaires κ = 2 et κ = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663

La valeur κ = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666

La valeur délicate κ = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668

Chapitre 19. Séries hypergéométriques multiples et polylogarithmes . . . . . . . . . . . 672De l’Un au Multiple : passage à plusieurs variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672

Polyzêtas à plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673

Causalité multiplicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674

Dominer l’induction : deux approches inéquivalentes du produit de mé-lange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

676

Carence synthétique du structuralisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680

Penser synthétiquementl’engendrement du mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681

Le cas des sommes avec coïncidences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687

Chapitre 20. Dynamique de l’égalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694Un calcul simple : (a− b)(a+ b) = a2 − b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694L’exponentiation des possibles, croix du tout structural . . . . . . . . . . . . . . . . . 698

Trois concepts dynamiques : Expansion, Annihilation, Harmonisation . . 700

L’annihilation créatrice d’intrinséquéité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704

Identité à soi de l’être égal à lui-même . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711

Répétition et différence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712

Culte du signe «= » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712

Renverser l’ordre des symboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712

L’algèbre immanente nous est inaccessible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713

Appendice III. « L’irréversible synthétique dans les calculs » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7141. Ubiquité du calcul : exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7152. Dialectique de l’anti-conceptuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740

18

3. Dynamique irréversible de l’égalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7434. Thèses de philosophie des mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748

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Bibliographie du Volume IBibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753

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Volume II

Problème de Riemann-Helmholtz-Lie

Titre complet et table des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773

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Volume III

Théorie des groupes continus de transformations(d’après l’œuvre de Sophus Lie et Friedrich Engel)

English Translation and Table of Contents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093

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L’Ouvert mathématique 19

Chapitre 1

L’Ouvert mathématique

Une philosophie offensive doit se situer résolument auxavant-postes de l’obscur, en ne considérant pas l’irra-

tionnel comme “diabolique” et réfractaire à l’ar-ticulation, mais comme ce par quoi des

dimensions neuves peuvent advenir.

Gilles CHÂTELET 1

1. Le réel de l’Ouvert : Argument, synopsis, intentions

L’Obscur mathématique. L’Obscur mathématique, ou l’Ouvert mathéma-tique, est le thème — allégorique, mystérieux, énigmatique — de ce pre-mier volet de philosophie générale des mathématiques.

Règne de la certitude et de la rationalité, comment les mathématiquespourraient-elles héberger l’Obscur ? Comment pourraient-elles entretenir enleur sein des zones d’ombre et d’irrationnalité, toutes contraires à leur ri-gueur ? Où donc se trouveraient ces régions vagues et troubles, visiblementimpropres à toute certitude démonstrative ?

Car hélas, l’Ouvert, partout, est très insaisissable, et en mathématiques, àcause de la complexification historiquement irréversible des contenus, l’Ou-vert demeure souvent invisible à toute vision qui ne se spécialise pas dansle tissu vivant et exigeant de la Recherche.

L’Ouvert, ainsi, malgré de légitimes réticences qui renvoient à de cé-lèbres controverses philosophiques, sera placé au commencement absolu dela philosophie des mathématiques, à la fois en tant qu’Il ne présuppose riende ce que sont les mathématiques, et en tant qu’Il se pose comme Figurede l’immédiateté non-médiée de toutes les questions que les mathématiquessoulèvent.

1. Les enjeux du mobile, Des Travaux, Seuil, Paris, 1993, p. 22. Voir aussi La philoso-phie aux avant-postes de l’obscur, Conférence au Forum Européen de la Science et de laTechnologie, Science, Philosophie et Histoire des Sciences en Europe, Grand Amphithéâtrede la Sorbonne, 10 décembre 1994.

20 1. Le réel de l’Ouvert : Argument, synopsis, intentions

Le commencement de la science absolue doit être lui-même commen-cement absolu, il ne peut rien présupposer. Il doit donc n’être médiatisé parrien et ne doit pas avoir de fondement ; il doit plutôt être lui-même le fonde-ment de toute science. Il doit être par conséquent purement et simplementun immédiat, ou plutôt l’immédiat lui-même. De même qu’il ne peut avoir dedétermination en regard d’autre-chose, de même ne peut-il en contenir nonplus en lui, aucun contenu, car semblable chose serait pareillement une diffé-renciation et un rapport l’un à l’autre de termes divers, partant une médiation.[207]

Penser en situation le non-pensé de l’ouverture. Aussi, en mathéma-tiques, seule une méditation philosophique en situation — sur l’Obscur, surl’Ouvert et sur l’Inconnu — pourra, grâce à la spécialisation démultipliéeet à la généralité métaphysique, fertiliser par semailles la contemplation etla compréhension des idéalités mathématiques. Les situations qui font mys-tère apparaîtront à travers des actes mathématiques variés, et ce, dans toutel’hétéronomie plurielle qui se rattache à ces actes, qu’elle soit d’ordre onto-logique, motivationnel, conceptuel, phénoménologique, cénesthésique, phi-losophique, historique, symbolique, technique, ou calculatoire.

Toute la question, en creux, sera aussi de comprendre comment ce quin’est pas principalement de l’ordre de la rationalité se blottit dans les frangesde la connaissance mathématique et y mobilise dynamiquement l’écume deses propres genèses.

L’héritage français de philosophie des mathématiques. Cette méditationen situation au contact de mathématiques spécialisées s’inscrira aussi dansune tradition française de philosophie des mathématiques qui s’est illustrée àtravers les travaux d’Alain Badiou, de Léon Brunschvicg, de Jean Cavaillès,de Gilles Châtelet, de Gilles Deleuze, de Jean-Toussaint Desanti, de Ferdi-nand Gonseth, de Gilles-Gaston Granger, d’Albert Lautman, de GiuseppeLongo, de Marco Panza, de Jean Petitot, de Jean-Michel Salanskis, de Jean-Jacques Szczeciniarz, de Jules Vuillemin et de Maximilien Winter. Toute-fois, on cherchera relativement peu à se situer comparativement d’un pointde vue théorique en rapport aux diverses idées développées par cette tradi-tion, puisque ce nouvel Essai de philosophie générale des mathématiques nesera pas l’ouvrage d’un philosophe-épistémologue concentré sur l’exégèsefine des doctrines, mais celui d’un mathématicien universitaire constammentmobilisé par la production mathématique spécialisée qui estime préférabled’apporter une pierre nouvelle à la philosophie des mathématiques, toujoursimparfaite et insatisfaisante à cause de l’envol préoccupant que prennent lesmathématiques par rapport aux capacités de l’analyse réflexive.

Alors, en bénéficiant principalement d’une expertise professionnelle utilepour présenter et pour commenter certains calculs explicites d’ampleur tels

L’Ouvert mathématique 21

que celui placé par Gauss au fondement de son Theorema egregium, l’ob-jectif sera — en contrepoint à l’épistémologie du Concept qui s’avère ac-tuellement dominante dans le domaine continental — de penser les germesde déploiement du sens, la surrection du vrai dans les mathématiques, etl’intemporelle présence obscure du Problématique qu’il faut s’appliquer àmaintenir coprésente dans la pratique. Ici donc, pour être plus précis, le butsera de penser l’Ouvert qui vit en co-présence dans tout acte et dans toutethéorie, c’est-à-dire de le penser et de le dire de manière concrète, effec-tive, descriptive, notamment à l’intérieur même des théories mathématiqueseffectives et au sein même des incarnations du Calcul.

Au demeurant, et par souci de neutraliser sa connotation dépréciative,L’Obscur sera régulièrement entendu comme synonyme de l’Ouvert, sonsens allégorique ne devant maintenant plus faire obstacle. Seul ce qu’il y ade poétique en chacun de nous saura exploiter cette gémellité sémantiquedécidée, avant que des analyses spéculatives neutres sur le plan métapho-rique ne prennent l’avantage dans notre discours.

Diffusion, dissémination, diffraction d’un Ouvert objectivable. À unpremier niveau — abstrait, infralinguistique, antéprédicatif — de l’Ouvert,des mystères rayonnent dans une histoire préliminaire, des problèmes ap-paraissent, se précisent, se reproduisent, s’amplifient, se résolvent, ous’abîment dans une indéfinitude avérée.

Le fait remarquable dont nous venons de parler et certains raisonnementsphilosophiques ont fait naître en nous la conviction que partagera certaine-ment tout mathématicien, mais que jusqu’ici personne n’a étayée d’aucunepreuve, la conviction, dis-je que tout problème mathématique déterminé doitêtre forcément susceptible d’une solution rigoureuse, que ce soit par une ré-ponse directe à la question posée, ou bien par la démonstration de l’impossi-bilité de la résolution, c’est-à-dire la nécessité de l’insuccès de toute tentativede résolution. [224]

Tel est le génie spectral du théâtre partagé de l’Obscur mathématique :kaléidoscope de questions offertes à l’impulsion conceptuelle,

avec, pour tout regard auscultant, la conviction hilbertienne partagée —jamais contredite par le destin d’un problème mathématique — que toutequestion mathématique s’attend à être résolue complètement, après — peut-être — d’imprévisibles approfondissements, parfois interminables, souventinacessibles à des non-spécialistes.

Il s’agit donc, pour ces mystères mathématiques, d’une circulation, d’unflux et d’un reflux dans une matière qui se donne les moyens de sa propreobjectivation. Le mouvement spontané du questionnement, auquel répondla difficile et douloureuse production non-automatique de réponses effec-tives, est toujours susceptible de provoquer l’éclatement métaphysique des

22 1. Le réel de l’Ouvert : Argument, synopsis, intentions

paradigmes, à cause, notamment, de l’analyse obsessionnelle — sur plu-sieurs générations de mathématiciens — d’une question très résistante, parexemple : cinquième postulat de la géométrie plane ; nombres imaginaires ;résolubilité par radicaux des équations algébriques ; quadrature du cercle ;transcendance de π ; cohérence de l’arithmétique.

Proposons-nous un problème déterminé non encore résolu : par exemple,posons-nous la question de l’irrationalité de la constante C d’Euler ou de Ma-scheroni, ou encore la question de savoir s’il existe une infinité de nombrespremiers de la forme 2n + 1. Quelque inabordables que semblent ces pro-blèmes, et quelque désarmés que nous soyons encore vis-à-vis d’eux aujour-d’hui, nous n’en avons pas moins la conviction intime que l’on doit pouvoir lesrésoudre au moyen d’un nombre fini de déductions logiques. [224]

En réflexivité, Hilbert soulevait ainsi en 1900, immédiatement après l’ex-pression de sa conviction intime — et avec quelques accents d’inspirationkantienne — la question métaphysique supérieure (ou méta-mathématique)de savoir d’où pourrait venir cette conviction en la capacité universelle derésolution autonome que possèderaient a priori les mathématiques.

Cet axiome de la possibilité de résoudre tout problème, est-ce une pro-priété caractéristique et distinctive de la pensée mathématique, ou serait-cepeut-être une loi générale du mode d’existence de notre entendement, à sa-voir que toutes les questions que se pose notre entendement soient suscep-tibles d’être résolues par lui ? [224]

Cependant, en accord direct avec la philosophie des mathématiques deRiemann qui exige de maintenir ouverte toute question difficile — qu’ellesoit mathématique ou métaphysique — sans chercher à prétendre la ré-soudre par pétition de raisonnements, ou bien à établir sans hésitation qu’ellene saurait être résolue en raison d’un système d’allégations critiques, il nepourra pas être question ici de traiter un problème d’une telle ampleur, etsans dirimer son caractère métaphysique, on admettra que son ouverture ou-bliée continue à se manifester, à rayonner, et à s’approfondir, en tant qu’ou-verture, dans le destin contemporain des mathématiques.

L’Ouvert posé dans des univers axiomatiques. À un deuxième niveau —de l’ordre du langage cette fois-ci —, l’Ouvert, ce sont aussi les structuresmathématiques et les systèmes d’axiomes qui sont à la base des théoriesformelles, non seulement comme réservoirs de formes symboliques et decontenus conceptuels, mais surtout comme seuils d’ouverture à des universmathématiques qui sont vastes en eux-mêmes. Ces univers pré-existent enquelque sorte par rapport à tout formalisme, parce que l’acte de poser un sys-tème formel est toujours motivé par la volonté d’embrasser une réalité dontles modalités de réalisation font toujours question dans leur a-postérioricité.

Exemples : axiomes de Peano pour l’arithmétique ; théorie des cardinauxen relation avec l’hypothèse du continu ; introduction abstraite des nombres

L’Ouvert mathématique 23

complexes comme clôture algébrique du corps des nombres réels ; métamor-phose de la notion d’espace enracinée dans l’inspiration physique ; constitu-tion d’une géométrie non commutative appliquée à la physique quantique ;ou encore : théorie grothendieckienne des topos, comme synthèse entre lagéométrie algébrique, la topologie et l’arithmétique.

En outre, plus la réalité est riche et complexe, plus il est important quese multiplient les yeux pour la regarder, ce qui doit revenir à disposer deplusieurs langages pour la cerner.

D’un côté, les moyens dont disposent les sociétés humaines pour mettrel’univers en mots sont très limités ; de l’autre, l’univers est infini. Il n’est pasnécessaire d’insister sur cette nature infinie de l’univers, même si l’on étendla notion aux galaxies. La limitation des moyens, quant à elle, tient d’abord àcelle du petit appareil, dit phonateur, qui va des lèvres au larynx, et avec le-quel on fabrique les sons des langues. Elle tient aussi au nombre restreint desprocédés que les langues ont à leur disposition pour construire des phrases.Elle tient, enfin, à la pauvreté des modes de combinaisons des unités dispo-nibles. Le développement de la composition et de la dérivation s’explique pré-cisément par cette implacable et cruelle aporie des langues, par cette contra-diction tenace entre l’infinité des choses de l’univers à dire et la finitude desmoyens humains pour les dire. [201], 111–112

L’Ouvert, aussi, commande de maintenir en permanence ouverte la ques-tion de l’adéquation de tout langage.

Mon attitude et celle d’autres mathématiciens consiste à dire qu’il existeune réalité mathématique qui précède l’élaboration des concepts. Je fais unedistinction essentielle entre l’objet d’étude, par exemple la suite des nombrespremiers, et les concepts que l’esprit humain élabore pour comprendre cettesuite. [117]

De plus, en tant que principe régulateur, l’Ouvert se situe aussi en amontde toute controverse philosophique — que ce soit entre ‘réalismes’ et ‘idéa-lismes’ ou entre ‘platonismes’ et ‘constructivismes’ — parce que l’Ouvertdemeure là entre les parties pour leur signaler la pér-existence de ques-tions irrésolues dans lesquelles chacune enracine ses options et ses tentationsde pensée. Et par l’effet d’une réflexivité spéculative remarquable, ce sontles mathématiques — notamment les mathématiques riemanniennes — quisont le plus à même d’enseigner que les questions se maintiennent en secomplexifiant tant qu’elles ne sont pas irréversiblement décidées.

Potentialité et expression. Ainsi, toute axiomatisation pose-t-elle des exis-tences, et ce, par un acte décidé qui vise à inscrire le Potentiel dans un mondeque structurent certaines virtualités prédéfinies de l’expression, mais ce Po-tentiel n’est en rien inscriptible a priori dans un système langagier contex-tuel. En effet, ce n’est qu’a posteriori que le potentiel actué peut être ressaisidans un système formel. Certaines potentialités sont, il est vrai, purement

24 1. Le réel de l’Ouvert : Argument, synopsis, intentions

syntaxiques, voire mécaniques, mais elles sont rares et souvent redevableselles aussi d’une métaphysique qui les dépasse. Mis à part en logique et enthéorie de la démonstration, les virtualités sont combinatoires 2, plutôt quepurement syntaxiques. La rumination des hypothèses est nécessaire, et nullangage ne parvient à circonscrire l’Obscur.

L’Ouvert intersubjectif. À un troisième niveau (intersubjectif, et corrélatifdu premier niveau), des esprits mathématiciens vivent l’Ouvert, connaissentl’évolution historique de l’Ouvert, et assistent à certaines clôturations lo-cales de l’Ouvert.

Exemple : pour la conjecture de Fermat, il y a un avant et un après toutedémonstration finale, l’après étant irréversiblement spécifique pour tous lesarithméticiens spécialistes du domaine.

Parce qu’ils fréquentent des questions ouvertes qui circulent ou quise déploient d’elles-mêmes, les esprits des chercheurs sont pareillementconscients qu’il y a des questions dont la réponse semble, à une périodedonnée, inaccessible pour des raisons techniques, ou pour des raisons plusprofondes.

Thèse du réel de l’Ouvert. On se rapproche ici d’une thèse principale quicommence enfin à se dessiner : afin de dépasser le constat conventionnel dela présence discrète de l’Ouvert, il est nécessaire de conférer un statut deréalité indéniable et tangible à ce qui demeure toujours disponible pour lequestionnement.

Une preuve en est que les mathématiciens vivent les questions ouvertessur lesquelles ils travaillent, et qu’ils se les transmettent, de maître à élève,de génération en génération. Les questions ouvertes ont donc une réalitévéritable, fût-elle incorporelle, non-écrite, refoulée.

Au-delà, une seconde thèse se dégage : le réel, en mathématiques, estprimordialement un réel d’ouverture, c’est-à-dire un réel de questions et deproblèmes ouverts, seul ‘réel’ qui dynamise tout esprit de recherche, de ma-nière trans-historique et sur un plan international. En affir