PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN LỚP 10 · PDF fileTrong chương trình môn Toán lớp 10, ... có nêu phương pháp giải quyết và một số bài tập cơ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TÂY NINH

TRƯỜNG THPT NGUYỄN VĂN TRỖI

---------------------------------------

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN LỚP 10

Theo chuaån kieán thöùc kó naêng-Ban cô baûn

TÂY NINH THÁNG 3 NĂM 2011

www.VNMATH.com

1

Lôøi noùi ñaàu

Trong chương trình môn Toán lớp 10, khi giảng dạy chúng tôi nhận thấy rằng học sinh chưa tiếp cận tốt vấn ñề, nhất là kĩ năng giải toán. ðiều ñó dẫn ñến học sinh chưa có hứng thú trong học toán, ñặc biệt nó sẽ ảnh hưởng rất lớn cho những năm học tiếp theo. Nhằm giúp các em lấy lại căn bản và nâng cao chất lượng học tập môn Toán theo chương trình cải cách của Bộ giáo dục và ñào tạo, chúng tôi biên soạn bộ tài liệu : “ Phân loại và phương pháp giải toán lớp 10 ”.

Bộ tài liệu gồm hai phần : Hình học và ðại số. Nội dung tài liệu bám sát theo cấu trúc của sách giáo khoa Toán 10 (chương trình chuẩn) và dựa trên chương trình Chuẩn kiến thức, kĩ năng của Bộ giáo dục và ñào tạo vừa ban hành.

Mỗi bài học trong bộ tài liệu này ñược trình bày như sau :

A. Kiến thức cần nhớ.

B. Phương pháp giải toán.

C. Bài tập ñề nghị.

Phần kiến thức cần nhớ chúng tôi tóm tắt lại nội dung chính của bài học trên nền Chuẩn kiến thức, kĩ năng. Phần phương pháp giải toán gồm nhiều vấn ñề, trong mỗi vấn ñề có nêu phương pháp giải quyết và một số bài tập cơ bản có hướng dẫn giải chi tiết. Phần bài tập ñề nghị giúp các em tự ôn lại kiến thức trong mỗi bài học.

Chúng tôi hy vọng bộ tài liệu này sẽ giúp các em vững bước và tự tin hơn trên con ñường học vấn của mình. Chúc các em học tập tiến bộ và thành công !.

Mặc dù rất cố gắng trong quá trình biên soạn nhưng khó tránh khỏi sai sót. Rất mong nhận ñược ý kiến ñóng góp của các thầy cô và các em học sinh ñể tài liệu ñược bổ sung, ñiều chỉnh ngày một hoàn thiện hơn.

Tây Ninh, tháng 3 năm 2011

Tổ Toán, trường THPT Nguyễn Văn Trỗi

www.VNMATH.com

2

PHẦN 1

ðẠI SỐ

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

2 4 5y x x= − −1y x= − −

www.VNMATH.com

3

CHƯƠNG I MỆNH ðỀ - TẬP HỢP

§1. MỆNH ðỀ

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. MỆNH ðỀ-MỆNH ðỀ CHỨA BIẾN

1.1. Mệnh ñề

Mỗi mệnh ñề (lôgíc) phải ñúng hoặc sai. Mỗi mệnh ñề không thể vừa ñúng vừa sai.

Kí hiệu mệnh ñề bởi các chữ cái in hoa : P, Q, A, B…

1.2. Mệnh ñề chứa biến: “ n chia hết cho 4” là mệnh ñề chứa biến.

Chú ý : Với mỗi giá trị của biến x thuộc tập hợp nào ñó, mệnh ñề chứa biến ( )P x trở

thành một mệnh ñề.

2. PHỦ ðỊNH CỦA MỘT MỆNH ðỀ

Cho mệnh ñề P . Mệnh ñề phủ ñịnh của mệnh ñề P là mệnh ñề P ,

ta có: P ñúng khi P sai và P sai khi P ñúng.

3. MỆNH ðỀ KÉO THEO

Mệnh ñề “Nếu P thì Q ” ñược gọi là mệnh ñề kéo theo. Kí hiệu: ⇒P Q .

Mệnh ñề ⇒P Q chỉ sai khi P ñúng và Q sai

(trong các trường hợp khác ⇒P Q ñều ñúng)

Các ñịnh lí toán học là những mệnh ñúng và có dạng ⇒P Q . Khi ñó ta nói:

P là giả thiết, Q là kết luận của ñịnh lí, hoặc

P là ñiều kiện ñủ ñể có Q , hoặc

Q là ñiều kiện cần ñể có P .

4. MỆNH ðỀ ðẢO-HAI MỆNH ðỀ TƯƠNG ðƯƠNG

Mệnh ñề ⇒Q P ñược gọi là mệnh ñề ñảo của mệnh ñề ⇒P Q .

Nếu cả hai mệnh ñề ⇒P Q và ⇒Q P ñều ñúng thì ta nói P và Q tương ñương.

Kí hiệu: P Q⇔ . ðọc là: P tương ñương Q , hoặc

P là ñiều kiện cần và ñủ ñể có Q , hoặc

P khi và chỉ khi Q .

www.VNMATH.com

4

5. KÍ HIỆU ∀VÀ ∃

Kí hiệu ∀ ñọc là với mọi. Kí hiệu ∃ ñọc là tồn tại ít nhất một (hay có ít nhất một).

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn ñề 1. Cách xác ñịnh mệnh ñề

Phương pháp : Cần nắm vững khái niệm mệnh ñề ,mệnh ñề chứa biến từ ñó rút ra kết luận.

Bài tập 1. Xét xem các câu sau , câu nào là mệnh ñề, câu nào là mệnh ñề chứa biến và câu nào không là mệnh ñề ?

a/ 2x-3>7 b/ 5-9=3 c/ ∀x, x2 =25 d/ Hôm nay trời mưa quá!.

Giải a/ Là mệnh ñề chứa biến.Với mỗi giá trị của x ta ñược một mệnh ñề.

b/ Là mệnh ñề.ðó là mệnh ñề sai.

c/ Là mệnh ñề chứa biến.Với mỗi giá trị của x ta ñược một mệnh ñề.

d/ Không là mệnh ñề.Vì không khẳng ñịnh ñược tính ñúng hoặc sai.

Bài tập 2. Với mỗi câu sau , hãy tìm giá trị thực của x ñể ñược mệnh ñề ñúng, mệnh ñề sai ?

a/ 5x2-14x+9=0 b/ 5x-1>x+11 c/ | x+3|= 5 d/ x2+4=0.

Giải

a/ Giải phương trình : 5x2 - 14x + 9 = 0 .Ta ñược nghiệm x = 1 v x = 9/5.

• Với x = 1 v x = 9/5 thì ñược mệnh ñề ñúng.

• Với ≠ 1x và ≠ 9 / 5x thì ñược mệnh ñề sai.

b/Giải bất phương trình .Ta ñược x > 3

• Với x > 3 thì ñược mệnh ñề ñúng.

• Với ≤ 3x thì ñược mệnh ñề sai.

c/ Giải phương trình + = =

+ = ⇔ ⇔ + = − = −

3 5 23 5

3 5 8

x xx

x x

• Với x=2 hoặc x = - 8 thì ñược mệnh ñề ñúng.

• Với ≠ 2x và ≠ −8x thì ñược mệnh ñề sai.

d/ Phương trình x2 + 4 = 0 vô nghiệm. Vậy với mọi giá trị của x ñều ñược mệnh ñề sai. Không có mệnh ñề ñúng.

Vấn ñề 2. Phát biểu thành lời của một mệnh ñề. Dùng kí hiệu ,∀ ∃ viết mệnh ñề phủ

ñịnh của nó.

Phương pháp:

1. ∀ ∈" ; coù tính chaát T" x P x có mệnh ñề phủ ñịnh là ∃ ∈" ; khoâng coù tính chaát P"x P x .

2. ∃ ∈" ; coù tính chaát T"x P x có mệnh ñề phủ ñịnh là ∀ ∈" ; khoâng coù tính chaát P"x P x .

www.VNMATH.com

5

Bài tập. Phát biểu thành lời của một mệnh ñề. Viết mệnh ñề phủ ñịnh của nó.

a/ ∀ ∈ 2: =-5x R x b/∀ ∈ ≥2: +4x 0x R x c/∃ ∈ 2: =3x Z x d/∃ ∈x x 2: 5ℤ ⋮

Giải

a/ “ Với mọi số thực ñều có bình phương bằng -5”

Mệnh ñề phủ ñịnh là: ∃ ∈ ≠2: -5x R x

b/ “Với mọi số thực x ta có x2+4x ñều lớn hơn hoặc bằng 0”

Mệnh ñề phủ ñịnh là: ∃ ∈ 2: +4x<0x R x

c/ “Tồn tại một số nguyên mà có bình phương bằng 3”

Mệnh ñề phủ ñịnh là: ∀ ∈ ≠2: 3x Z x

d/ “Tồn tại một số nguyên mà có bình phương chia hết cho 5”

Mệnh ñề phủ ñịnh là: ∀ ∈ 2: khoâng chia heát cho 5x Z x .

Vấn ñề 3. Lập mệnh ñề ñảo của ñịnh lý – ñịnh lý ñảo

Phương pháp :

Dùng kiến thức, các ñịnh nghĩa , ñịnh lý ñã học ñể nhận xét ñánh giá rồi kết luận.

Bài tập. Trong các trường hợp sau ñây, hãy phát biểu mệnh ñề ñảo của ñịnh lý và xét xem nó có phải là ñịnh lý ñảo của ñịnh lý ấy hay không?

a/Trong tam giác vuông thì ñường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nữa cạnh ấy.

b/Một số tự nhiên tận cùng bằng 0 thì chia hết cho 5.

Giải

a/ Mệnh ñề ñảo : “Một tam giác có ñường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh ấy thì tam giác ñó bằng tam giác vuông”

ðể biết mệnh ñề trên có phải là ñịnh lý ñảo hay không thì ta phải chứng minh mệnh ñề.

Do AM = MB, AM = MC nên tam giác MAB, MAC cân tại M suy ra : góc B = A1; góc C = A2

Mà tổng các góc B, A1, A2, C bằng 1800 nên góc

A1 + A2=900, suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Vậy mệnh ñề trên là ñịnh lý ñảo.

b/Mệnh ñề ñảo là : “Một số tự nhiên chia hết cho 5 thì tận cùng bằng 0”

Mệnh ñề này sai vì 15 chia hết cho 5 mà tận cùng không bằng 0.

Vậy mệnh ñề không là ñịnh lý ñảo.

Chú ý : Không phải ñịnh lý nào cũng có ñịnh lý ñảo của nó.

21

B

A

C

M

www.VNMATH.com

6

Vấn ñề 4. ðiều kiện cần, ñiều kiện ñủ, ñiều kiện cần và ñủ

Phương pháp :

1/Dạng: ⇒P Q . Khi ñó :

P là ñiều kiện ñủ ñể có Q , hoặc

Q là ñiều kiện cần ñể có P .

2/ Dạng: ⇔P Q : P là ñiều kiện cần và ñủ ñể có Q , hoặc P khi và chỉ khi Q .

Bài tập 1. Phát biểu các ñịnh lý sau ,sử dụng khái niệm “ðiều kiên cần”, “ðiều kiện ñủ”:

a/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có ít nhất một cạnh bằng nhau.

b/Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.

c/ Nếu a=b thì a2=b2.

Giải

a/+ ðể hai tam giác bằng nhau, ñiều kiện cần là chúng có ít nhất một cạnh bằng nhau.

+ ðể hai tam giác có ít nhất một cạnh bằng nhau, ñiều kiện ñủ là hai tam giác bằng nhau.

b/+ ðể một số tự nhiên chia hết cho 6, ñiều kiện cần là nó chia hết cho 3.

+ ðể một số tự nhiên chia hết cho 3, ñiều kiện ñủ là nó chia hết cho 6.

c/ + ðể a=b ,ñiều kiện cần là a2=b2.

+ ðể a2=b2, ñiều kiện ñủ là a=b

Bài tập 2. Cho hai tam giác ABC và ABC′ ′ ′ . Với hai mệnh ñề :

P : " Tam giác ABC và tam giác ABC′ ′ ′ bằng nhau".

Q : " Tam giác ABC và tam giác ABC′ ′ ′ có diện tích bằng nhau"

a) Xét tính ñúng sai của mệnh ñề ⇒P Q .

b) Xét tính ñúng sai của mệnh ñề ⇒Q P .

c) Xét tính ñúng sai của mệnh ñề ⇔P Q .

Giải

a/ Ta có mệnh ñề ⇒P Q : “Nếu tam giác ABC và tam giác ABC′ ′ ′ bằng nhau thì tam giác ABC và tam giác ABC′ ′ ′ có diện tích bằng nhau” , mệnh ñề này hiển nhiên ñúng.

b/Ta có mệnh ñề ⇒Q P : “Nếu tam giác ABC và tam giác ABC′ ′ ′ có diện tích bằng nhau thì

tam giác ABC và tam giác ABC′ ′ ′ bằng nhau” là mệnh ñề sai.

c/ Do ⇒P Q ñúng nhưng ⇒Q P sai nên ⇔P Q là mệnh ñề sai.

www.VNMATH.com

7

C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ

Bài 1. Trong các câu sau ñây thì câu nào là mệnh ñề? Nếu là mệnh ñề thì nó ñúng hay sai?

a) “10 là số nguyên tố”

b) "123 là một số chia hết cho 3".

c) " Ngày mai trời sẽ nắng"

d) " Hãy ñi ra ngoài!"

Bài 2. Nêu mệnh ñề phủ ñịnh của các mệnh ñề sau và cho biết tính ñúng sai của mỗi mệnh ñề phủ ñịnh ñó ?

a) "Số 11 là số nguyên tố"

b) Số 111 chia hết cho 3"

Bài 3. Xét hai mệnh ñề: P : "π là số vô tỉ" và Q : "π không phải là số nguyên"

a) Hãy phát biểu mệnh ñề ⇒P Q .

b) Phát biểu mệnh ñề ñảo của mệnh ñề trên.

c) Xem xét tính ñúng, sai của các mệnh ñề trên.

Bài 4. Xét hai mệnh ñề:

P : " 24 là số chia hết cho 2 và 3".

Q : " 24 là số chia hết cho 6".

a) Xét tính ñúng sai của mệnh ñề ⇒P Q .

b) Xét tính ñúng sai của mệnh ñề ⇒Q P .

c) Mệnh ñề ⇔P Q ñúng hay sai ?

www.VNMATH.com

8

§2. TẬP HỢP

A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. KHÁI NIỆM TẬP HỢP

1.1. Tập hợp và phần tử

Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học. Thông thường mỗi tập hợp gồm các phần tử

cùng có chung một hay một vài tính chất. Tập hợp thường ñược kí hiệu bởi các chữ cái

in hoa: , , ,...A B C phần tử của tập hợp ñược kí hiệu là các chữ cái thường: , , ...a b c

a là phần tử của tập hợp A, viết là ∈a A. b không là phần tử của tập hợp B ,

viết là ∉b B .

1.2. Cách xác ñịnh tập hợp

Có 2 cách: a) Liệt kê các phần tử của nó.

b) Chỉ rõ tính chất ñặc trưng cho các phần tử của tập hợp ñó.

Người ta thường minh họa tập hợp bằng

một hình phẳng ñược bao quanh bởi một ñường kín

ñược gọi là biểu ñồ Ven.

1.3. Tập hợp rỗng

Tập hợp rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào. Kí hiệu: ∅ .

2. TẬP HỢP CON

Nếu mọi phần tử của tập hợp Añều là phần tử của tập hợp B thì

ta nói Alà tập hợp con của B .

Kí hiệu: ⊂A B (ñọc là A chứa trong B ) hay ⊃B A (ñọc là B chứa A).

Tính chất: a) ⊂A A với mọi tập hợp A.

b) ⊂A B và ⊂B C thì ⊂A C

c) ∅ ⊂ A với mọi tập hợp A.

3. HAI TẬP HỢP BẰNG NHAU

Khi ⊂A B và ⊂B Ata nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là A B= .

B

www.VNMATH.com

9

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn ñề 1. Viết tập hợp dưới dạng liệt kê phần tử.

Phương pháp: Kỹ năng giải phương trình, bất phương trình,...tính toán, suy luận.

Bài tập 1. Viết các tập hợp sau dưới dạng liệt kê phần tử

a/ {= ∈ </ 5}A x N x b/ {= ∈ − < ≤/ 2 4}B x Z x

c/ {= = ∈ </ 3 ; vaø -1<k 6}C x x k k Z d/ = = ∈ ≥

1 1/ vôùi k N vaø }

2 8kD x x x

e/ {= ∈ − − + =2/( 2)(3 5 2) 0}E x R x x x f/ F={x∈ /N x là số chính phương bé hơn 100}.

Giải

a/ {= 0;1;2;3;4}A

c/ {= 0;3;6;9;12;15}C

e/

=

2;1;2}3

E

b/ {= −1;0;1;2;3;4}B

d/

=

1 1 1; ; ;1}8 4 2

D

f/ F={0 ;1 ;4 ;9 ;16 ;25 ;36 ;49 ;64 ;81}.

Bài tập 2. Tập hợp nào sau ñây là tập rỗng.

a/ {= ∈ + =2/ 4 5}A x R x b/ {= ∈ + =/ 3 9 6}B n N n .

Giải

a/Giải phương trình x2+4=5 ñược nghiệm x= -1 ; 1 nên A={-1 ;1}.

b/ ∈ ∈

∈ ⇔ ⇔ + = = − 3 9 6 1

n N n Nn B

n n vậy =∅B

Vấn ñề 2. Xác ñịnh tập con của tập hợp.

Phương pháp: Dùng ñịnh nghĩa về tập hợp con, tính toán, suy luận.

Bài tập 1.

a/ Viết tập hợp con gồm hai phần tử của A={1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6}.

b/ Viết tập hợp con gồm ba phần tử và luôn có số 0 của B={0 ;1 ;2 ;3 ;4 }.

Giải

a/ Tập con gồm hai phần tử của A là :

{1 ;2},{1 ;3},{1 ;4},{1 ;5},{1 ;6},{2 ;3},{2 ;4},{2 ;5},{2 ;6},{3 ;4},{3 ;5},{3 ;6},{4 ;5},{4 ;6},{5 ;6}.

b/ Tập con gồm ba phần tử luôn chứa số 0 của B là :

{0 ;1 ;2},{0 ;1 ;3},{0 ;1 ;4},{0 ;2 ;3},{0 ;2 ;4},{0 ;3 ;4}.

www.VNMATH.com

10

Bài tập 2. Tìm tất cả tập hợp X thỏa mãn {1 ;2 ;3}⊂ X⊂ {1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6}

Giải

Các tập hợp thỏa mãn ñề toán là :

• X={1 ;2 ;3}

• Ghép thêm vào X một phần tử còn lại của {4 ;5 ;6} ta ñược

{1 ;2 ;3 ;4},{1 ;2 ;3 ;5},{1 ;2 ;3 ;6}

• Ghép thêm vào X hai phần tử còn lại của {4 ;5 ;6} ta ñược

{1 ;2 ;3 ;4 ;5},{1 ;2 ;3 ;4 ;6},{1 ;2 ;3 ;5 ;6}

• Ghép thêm vào X ba phần tử còn lại của {4 ;5 ;6} ta ñược

{1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6}


Bài 1.Viết tập hợp sau theo cách liệt kê các phần tử :

a) { }= ∈ − + − =2( 2 1)( 3) 0A x R x x x .

b) { }= ∈ ≤ 30; laø boäi cuûa 3 hoaëc cuûa 5B x N x x .

c) { }= ∈ ≤ ≤/ 2 15, vaø 15 khoâng coù öôùc chung khaùc 1C m Z m m .

d) {= = + ∈ ≤2/ 2 3 vôùi k N vaø 30}D x x k x .

e) {= ∈ − − + =2/ (3 2)(3 5 2) 0}E x N x x x x .

Bài 2.Tìm tất cả các tập con của X={a ;b ;c ;d ;e ;f}.

Bài 3. Tìm tất cả tập hợp X thỏa mãn {1 ;2 ;a ;b}⊂ X⊂ {1 ;2 ;a ;b ;c ;d ;e}.

www.VNMATH.com

11

§3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP


1. GIAO CỦA HAI TẬP HỢP

Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A

vừa thuộc Bñược gọi là giao của A và B .

Kí hiệu: ∩A B .

Ta có: { }∩ = ∈ ∈vaø A B x x A x B .

2. HỢP CỦA HAI TẬP HỢP

Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A

hoặc thuộc Bñược gọi là hợp của A và B .

Kí hiệu: ∪A B .

Ta có: { }∪ = ∈ ∈hoaëc A B x x A x B .

3. HIỆU VÀ PHẦN BÙ CỦA HAI TẬP HỢP

Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A nhưng

không thuộc Bñược gọi là hiệu của A và B .

Kí hiệu: = \C A B . Ta có: { }= ∈ ∉\ vaø A B x x A x B

*Chú ý: Khi B A⊂ thì \A B là phần bù của B trong A.

Kí hiệu là: AC B .


Vấn ñề. Xác ñịnh tập hợp.

Phương pháp: Dùng ñịnh nghĩa giao của hai tập hợp, hợp của hai tập hợp, hiệu, bù của

hai tập hợp.

Bài tập 1. Cho hai tập hợp A={0 ;1 ;2 ;5 ;7 ;8 ;9} B={1 ;2 ;6 ;8 ;10}.

Tìm ∪ ∩; ; \ ; \A B A B A B B A.

Giải

A B

A B∩

A B

A B∪

A B

\A B

B

A

AC B

www.VNMATH.com

12

Ta có :

∪ =

∩ =

=

=

{0;1;2;5;6;7;8;9;10}

{1;2;8}

\ {0;5;7;9}

\ {6;10}

A B

A B

A B

B A

Bài tập 2. Cho A là tập hợp bất kỳ. Hãy xác ñịnh các tập hợp sau :

a/ ∪A A b/ ∩A A c/ \A A

d/ ∪∅A e/ ∩∅A f/ ∅\A

g/ ∅ \ A h/ AC A k/ ∅AC .

Giải

a/ ∪ =A A A

d/ ∪∅ =A A

g/ ∅ =∅\ A

b/ ∩A A

e/ ∩∅ =∅A

h/ = ∅AC A

c/ =∅\A A

f/ ∅ =\A A

k/ ∅ =AC A .

Bài tập 3. Cho tập hợp A. Có thể nói gì về tập B nếu :

∩ = ∩ = ∪ =

∪ = =∅ =

a A B A b A B B c A B A

d A B B e A B g A B A

/ / /

/ / \ / \ .

Giải

⊂ ⊂ ⊂

⊂ ⊂ ∩ =∅

/ / /

/ / /

a B A b A B c B A

d A B e A B g A B

Bài tập 4. Mỗi học sinh lớp 10C1 ñều chơi bóng ñá hoặc bóng chuyền. Biết rằng có 30 bạn chơi bóng ñá, 20 bạn chơi bóng chuyền và 10 bạn chơi cả hai môn thể thao này. Hỏi lớp 10C1 có bao nhiêu học sinh ?

Giải

Gọi A là tập hợp số học sinh lớp 10C1 chơi bóng ñá.

Gọi B là tập hợp số học sinh lớp 10C1 chơi bóng chuyền.

Vì mỗi bạn ñều chơi bóng ñá hoặc bóng chuyền,

nên ∪A B là tập các học sinh của lớp.

Số phần tử của ∪A B là 30 + 20 – 10 = 40

Vậy lớp 10C1 có tất cả 40 học sinh.

10 A

B

www.VNMATH.com

13

C.BÀI TẬP ðỀ NGHỊ

Bài 1. Dùng biểu ñồ Ven biểu diễn giao, hợp, hiệu của hai tập hợp A và B bất kì.

Bài 2. Cho { }= 1;2;4;6;7;9A và { }= 2;3;4;5;7;8B . C={2 ;5 ;4 ;5 ;8 ;9 ;10}

Tìm ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩( ) ; ( ) ; ( \ ) ; \ ( )A B C A B C A B C B A C .

Bài 3. Liệt kê các phần tử của tập hợp A các ươc số tự nhiên của 18 và của tập hợp B các ước số tự nhiên của 30. Xác ñịnh :

∩ ∪/ / / \ / \ .a A B b A B c A B d B A .

www.VNMATH.com

14

§4. CÁC TẬP HỢP SỐ


1. CÁC TẬP HỢP SỐ ðÃ HỌC

1 ) Tập hợp số tự nhiên : { }=ℕ 0;1;2;3...

2) Tập hợp số nguyên : { }= − − −ℤ ... 3; 2; 1;0;1;2;3...

3) Tập hợp số hữu tỉ :

= ∈ ∈

ℚ *,mm Z n N

n

4) Tập hợp các số thực : ℝ

2 .CÁC TẬP CON THƯỜNG DÙNG CỦA R.

Khoảng : { }= ∈ < <( ; )a b x R a x b

{ }+∞ = ∈ <( ; )a x R a x

{ }−∞ = ∈ <( ; )b x R x b

ðoạn : { }= ∈ ≤ ≤[ ; ]a b x R a x b

Nữa khoảng : { }= ∈ ≤ <[ ; )a b x R a x b

{ }= ∈ < ≤( ; ]a b x R a x b

{ }+∞ = ∈ ≤[ ; )a x R a x

{ }∞ = ∈ ≤(- ; ]b x R x b


Vấn ñề .Thực hiện các phép toán về tập hợp. Xác ñịnh tập hợp.

Phương pháp: Kỹ năng biểu diễn tập hợp số thực trên trục số.

Bài tập 1. Cho các tập hợp A=[-3 ;1] ; B=[-2 ;2] ; ∞C=[-2;+ ) .

a/ Trong các tập trên , tập nào là tập hợp con của tập hợp nào ?

Tìm phần bù của chúng.

b/ Tìm : ∩ ∪ ∪A B A B A C A B B C; ; ; \ \

www.VNMATH.com

15

Giải

a/ Tập B là tập con của tập hợp C. Phần bù của B trong C là ∞CC B=(2;+ ) .

b/ ∩ = − ∪ = − ∪ = − +∞ = − − =∅A B A B A C A B B C[ 2;1] ; [ 3;2] ; [ 3; ) ; \ [ 3; 2) \

Bài tập 2. Cho các tập hợp :

= ∈ − ≤ ≤{ / 5 4}A x R x ;

= ∈ ≤ <{ / 7 14}B x R x ;

= ∈ >{ / 2}C x R x ;

= ∈ ≤{ / 4}D x R x .

a/ Dùng ký hiệu ñoạn, khoảng ,nửa khoảng ñể viết lại các tập hợp trên.

b/ Biểu diễn các tập hợp A, B, C, D trên trục số.

c/ Xác ñịnh ∩A B , ∪A B , ∪A C , A B\ , B C\ , ∩A D .

Giải

a/ A=[-5 ;4], B=[7 ;14), = +∞(2; )C , = −∞( ;4]D .

b/� A=[-5 ;4] :

� B=[7 ;14) :

� = +∞(2; )C :

� = −∞( ;4]D :

c/ )∩ =∅ ∪ = − ∪ ∪ = − +∞A B A B A C, [ 5;4] [7;14], 5;

A\B= − = ∪ +∞ ∩ = −B C A D[ 5;4] \ (2;7) (14; ) [ 5;4].

Bài tập 3. Cho a, b, c, d là các số thực với a < b < c < d. Xác ñịnh các tập hợp sau :

∩ ∩a a b c d b a c b d

c a d b c d b d a c

/ ( ; ) ( ; ) / ( ; ] [ ; )

/ ( ; ) \ ( ; ) / ( ; ) \ ( ; ).

Giải

∩ =∅ ∩ =

= ∪ =

a a b c d b a c b d b c

c a d b c a b c d d b d a c c d

/ ( ; ) ( ; ) / ( ; ] [ ; ) [ ; ]

/ ( ; ) \ ( ; ) ( ; ] [ ; ) / ( ; ) \ ( ; ) [ ; ).

[ ]

-5 4

14 7 [ )

2 (

4 ]

www.VNMATH.com

16


Bài 1. Cho các tập hợp: = − = − = − +∞[ 3;1]; [ 2;2]; [ 2; )A B C .

a) Trong các tập hợp trên tập hợp nào là tập con của tập nào? Tìm phần bù của chúng?

b) Tìm ; ; ; \ ; \A B A B A C A B B C∩ ∪ ∪ .

Bài 2. Cho các tập hợp :

= ∈ + >{ / 2 3 0}A x R x

= ∈ − <{ / 8 2 0}B x R x

= ∈ + ≥{ / 2 0}C x R x .

a/ Dùng ký hiệu ñoạn,khoảng ,nữa khoảng ñể viết lại các tập hợp trên.

b/ Biểu diễn các tập hợp A,B,C,D trên trục số.

c/ Xác ñịnh : ∩ ∪ ∪; ; ; \ \A B A B A C A B B C

Bài 3. Sắp xếp các tập hợp số sau ñây *; ; ; ;ℕ ℤ ℕ ℝ ℚ theo thứ tự tập hợp trước là tập con của tập hợp sau.

www.VNMATH.com

17

§5. SỐ GẦN ðÚNG - SAI SỐ


Cho a là số gần ñúng của số ñúng a .

1. ∆ = −a a a ñược gọi là sai số tuyệt ñối của số ñúng a .

2. Nếu ∆ ≤a d thì d ñược gọi là ñộ chính xác của số gần ñúng a và quy ước viết gọn là

= ±a a d .

3. Cách quy tròn số gần ñúng căn cứ vào ñộ chính xác cho trước :

Cho số gần ñúng a với dộ chính xác d (tức là = ±a a d ). Khi ñược yêu cầu quy tròn số a mà không nói rõ là quy tròn ñến hàng nào thì ta quy tròn a ñến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một ñơn vị của hàng ñó.


Vấn ñề 1. Tìm sai số tuyệt ñối của một số gần ñúng.

Phương pháp :

Cho a là số gần ñúng của số ñúng a .

∆ = −a a a ñược gọi là sai số tuyệt ñối của số ñúng a .

Bài tập 1. Cho ba giá trị gần ñúng của 8/17 là 0,4 ; 0,47; 0,471. Hãy tính sai số tuyệt ñối của các số này.

Giải

Ta có: − = <8 1.2

0.4 0.0817 17

; − = <8 0.01

0.47 0.00117 17

; − = <8 0.007

0.471 0.000517 17

Vậy : Sai số tuyệt ñối của số gần ñúng 0.4 là 0.08.

Sai số tuyệt ñối của số gần ñúng 0.47 là 0.001

Sai số tuyệt ñối của số gần ñúng 0.471 là 0.0005.

Bài tập 2. Cho ba giá trị gần ñúng của 23/7 là 3,28 và 3,286 . Hãy tính sai số tuyệt ñối của các số này.

Giải

Ta có : − <23

3.28 0,0067

; − <23

3.286 0,00037

.

Vậy : Sai số tuyệt ñối của số gần ñúng 3.28 là 0.006.

Sai số tuyệt ñối của số gần ñúng 3.286 là 0.0003.

www.VNMATH.com

18

Vấn ñề 2 . Cách viết chuẩn số gần ñúng.

Phương pháp :

� Nếu ∆ ≤a d thì d ñược gọi là ñộ chính xác của số gần ñúng a và quy ước viết gọn là

= ±a a d .

� Nếu ñộ chính xác của số gần ñúng a ñến hàng nào thì ta quy tròn a ñến hàng kề trước nó.

Bài tập 1. Cho số = ±27975421 150a . Hãy viết số quy tròn của số 27 975 421.

Giải

Vì ñộ chính xác ñến hàng trăm nên ta qui tròn số 27 975 421 ñến hàng nghìn.

Vây số quy tròn là : 27 975 000.

Bài tập 2. Biết số gần ñúng a=257,4593 có sai số tuyệt ñối không vượt quá 0,01.

Viết số quy tròn cùa a.

Giải

Vì sai số tuyệt ñối không vượt quá 1

100 nên số quy tròn của a là 257,5.


Bài 1. Cho biết =3 1.7320508... .Viết số gần ñúng 3 theo quy tắc làm tròn ñến hai,ba,bốn chữ số thập phân có ước lượng sai số tuyệt ñối trong mỗi trường hợp.

Bài 2. Dùng máy tính cầm tay tìm giá trị gần ñúng a của 3 13 (kết quả làm tròn ñến hàng phần nghìn). Ước lượng sai số tuyệt ñối của a.

Bài 3. ðộ cao của một ngọn núi là = ±1856,7 0,1h m m .Hãy viết số quy tròn của số 1856,7.

Bài 4.Thực hiện các phép tính trên máy tính cầm tay.

a/ 315.(0.13) làm tròn kết quả ñến 4 chữ số thập phân.

b/ 3 5 : 7 làm tròn kết quả ñến 6 chữ số thập phân.

Bài 5. Cho số =13,6481a

a) Viết số quy tròn của a ñến số hàng phần trăm.

b) Viết số quy tròn của a ñến số hàng phần chục.

www.VNMATH.com

19

CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

§1. HÀM SỐ


1. Một hàm số có thể cho bằng: Bảng, Biểu ñồ, Công thức, ðồ thị.

Khi cho hàm số bằng công thức mà không nói rõ tập xác ñịnh của nó thì ta qui ước tập xác ñịnh D của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.

2. Hàm số y = f(x) gọi là ñồng biến (hay tăng) trên khoảng ( )a;b nếu

( )1 2 1 2 1 2x , x a;b : x x f (x ) f (x )∀ ∈ < ⇒ < .

3. Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng ( )a;b nếu

( )1 2 1 2 1 2x , x a;b : x x f (x ) f (x )∀ ∈ < ⇒ > .

4. Xét chiều biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng dồng biến và các khoảng nghịch

biến của nó. Kết quả ñược tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên.

5. Hàm số y = f(x) với tập xác ñịnh D gọi là hàm số chẵn nếu

x D∀ ∈ thì x D− ∈ và f ( x) f (x)− =

ðồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục ñối xứng.

6. Hàm số y = f(x) với tập xác ñịnh D gọi là hàm số lẻ nếu

x D∀ ∈ thì x D− ∈ và f ( x) f (x)− = −

ðồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa ñộ làm tâm ñối xứng.


Vấn ñề 1. Tìm tập xác ñịnh của hàm số

Phương pháp :

Tìm tập xác ñịnh của hàm số y = f(x) là tìm tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.

Bài tập. Tìm tập xác ñịnh của các hàm số

a) 2x 1

y3x 2

−=

+ b)

2

1 2xy

2x 5x 2

−=

− +

c) y 4x 2 5 x= − + − d) x

y 2x 4x 1

= + +−

www.VNMATH.com

20

Giải

a) Hàm số xác ñịnh khi 2

3x 2 0 x3

+ ≠ ⇔ ≠ −

Vậy tập xác ñịnh 2

D \3

= −

ℝ

b) Hàm số xác ñịnh khi 2

x 22x 5x 2 0 1

x2

≠

− + ≠ ⇔ ≠


D \ 2;2

=

ℝ

c) Hàm số xác ñịnh khi 1

4x 2 0 x2

5 x 0x 5

− ≥ ≥ ⇔

− ≥ ≤


D ;52

=

d) Hàm số xác ñịnh khi x 1 0 x 1

2x 4 0 x 2

− ≠ ≠ ⇔

+ > > −

Vậy tập xác ñịnh ( ) { }D 2; \ 1= − +∞

Vấn ñề 2. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.

Phương pháp : Hàm số y = f(x) :

+ Chẵn trên D nếu x D x D

f ( x) f (x)

∀ ∈ ⇒ − ∈

− =

+ Lẻ trên D nếu x D x D

f ( x) f (x)

∀ ∈ ⇒ − ∈

− =

Bài tập. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) 4 2f (x) x 3x 1= − + b) 3f (x) 2x x= − +

c) f (x) x 2 x 2= + − − d) ( )2f (x) x 1= −

www.VNMATH.com

21

Giải

a) 4 2f (x) x 3x 1= − +

Tập xác ñịnh : D = ℝ

x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈

4 2

4 2

f ( x) ( x) 3( x) 1

x 3x 1

f (x)

− = − − − +

= − +

=

Vậy hàm số là hàm số chẵn.

b) 3f (x) 2x x= − +


x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈

( )

3

3

3

f ( x) 2( x) ( x)

2x x

2x x

f (x)

− = − − + −

= −

= − − +

= −

Vậy hàm số là hàm số lẻ.

c) f (x) x 2 x 2= + − −


x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈

( ) ( )

( )

f ( x) x 2 x 2

x 2 x 2

x 2 x 2

x 2 x 2

f (x)

− = − + − − −

= − − − − +

= − − +

= − + − −

= −

Vậy hàm số là hàm số lẻ.

d) ( )2f (x) x 1= −


Lấy x = 1 D∈

( )

( )

2

2

f ( 1) 1 1 4

f (1) 1 1 0

f ( 1) f (1)

− = − − =

= − =

⇒ − ≠ ±

Vậy hàm số không chẵn không lẻ.

Vấn ñề 3. Tìm ñiều kiện ñể một ñiểm thuộc ñồ thị hàm số

Phương pháp : ðiểm ( )0 0M x ; y thuộc ñồ thị hàm số y = f(x) khi và chỉ khi 0 0y f (x )=

Bài tập. Những ñiểm sau ñây, ñiểm nào thuộc ñồ thị hàm số y = x 1+ ?

( ) ( ) ( ) ( )A 1;0 , B 4;2 ,C 0;0 , D 5; 2− − −

Giải

+ ðiểm A ( 1;0)− thuộc ñồ thị hàm số y = x 1+ vì 0 = 1 1− +

+ ðiểm B (4;2) không thuộc ñồ thị hàm số y = x 1+ vì 2 4 1≠ +

+ ðiểm C (0;0) không thuộc ñồ thị hàm số y = x 1+ vì 0 0 1≠ +

+ ðiểm D ( )5; 2− − không thuộc ñồ thị hàm số y = x 1+ vì 0x 5= − không thuộc tập xác

ñịnh của hàm số.

www.VNMATH.com

22


Bài tập 1. Tìm tập xác ñịnh của các hàm số sau:

a) 2

3

+−

=x

xy b) = + + −2 7y x x

c) 2

2

4 3

+=

− +

xy

x x d)

2

12

4= + +

−y x

x

e) y x 3= + + x4

1

− f)

x 1y

(x 3) 2x 1

+=

− −

Bài tập 2. Xác ñịnh tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) 3y 4x 3x= + b) 4 2y x 3x 1= − −

c) y 2x 1 2x 1= − + + d) ( )2y 1 2x= −

e) 2y 2x x 2= + + f) 2

1y

x 3= −

+

www.VNMATH.com

23

§2. HÀM SỐ y = ax + b


1. Hàm số bậc nhất y = ax + b, ( a 0≠ )

Tập xác ñịnh D = ℝ ;

Bảng biến thiên

a > 0 : a < 0 :

ðồ thị là một ñường thẳng không song song và không trùng với các trục tọa ñộ.

ðể vẽ ñường thẳng y = ax + b ta chỉ cần xác ñiịnh hai ñiểm khác nhau của nó.

2. Hàm số hằng y = b


Hàm số hằng là hàm số chẵn;

ðồ thị là một ñường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại ñiểm

có tọa ñộ (0;b).

3. Hàm số y = x


Hàm số hằng là hàm số chẵn;

Hàm số ñồng biến trên khoảng ( )0;+∞ và nghịch biến trên khoảng ( );0−∞ .


Vấn ñề 1. Vẽ ñồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b ( )a 0≠

Phương pháp : Xác ñịnh hai ñiểm khác nhau trên ñồ thị.

x −∞ +∞

y

+∞

−∞

x −∞ +∞

y

+∞

−∞

www.VNMATH.com

24

Bài tập 1. Vẽ ñồ thị của các hàm số

a) y 3x 4= + b) 1

y 3 x2

= − c) y 4= .

Giải

a) y 3x 4= +

x 0 y 4

x 1 y 1

= ⇒ =

= − ⇒ =

b) 1

y 3 x2

= −

x 0 y 3

x 2 y 2

= ⇒ =

= ⇒ =

ðồ thị:

-4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

y 3x 4= +

ðồ thị :

-4 -2 2 4 6

-2

2

4

x

y

1y 3 x

2= −

www.VNMATH.com

25

c) y 4=

ðồ thị:

-6 -4 -2 2 4 6

-2

2

4

6

x

y

y 4=

Vấn ñề 2 . Viết phương trình của ñường thẳng y = ax + b

Phương pháp :

� ðường thẳng ñi qua hai ñiểm

Thay tọa ñộ hai ñiểm ñó vào phương trình y = ax + b giải hệ phương trình tìm a, b và

thay vào phương trình y = ax + b .

� ðường thẳng qua một ñiểm và song song với ñường thẳng y = a’x + b’

Tương tự qua hai ñiểm ta lập ñược một phương trình.

Do ñường thẳng y = ax + b song song với ñường thẳng y = a’x + b’ nên ta có 'a a= , 'b b≠

� ðường thẳng qua một ñiểm và vuông góc với ñường thẳng y = a’x + b’

Tương tự qua hai ñiểm ta lập ñược một phương trình.

Do ñường thẳng y = ax + b vuông góc với ñường thẳng y = a’x + b’ nên ta có a.a’ = 1− .

Bài tập 2. Viết phương trình ñường thẳng (d): y = ax + b biết:

a) ðường thẳng (d) qua hai ñiểm A (2;3) và B ( 1; 3)− −

b) ðường thẳng (d) qua M (1; 1)− và song song ñường thẳng d’: y 3x 4= − −

www.VNMATH.com

26

c) ðường thẳng (d) qua N (2;1) và vuông góc ñường thẳng d’: 1

y x 32

= +

Giải

a) Do ñường thẳng (d) qua hai ñiểm A (2;3) và B ( 1; 3)− − nên ta có hệ phương trình:

3 a.2 b 2a b 3 a 2

3 a.( 1) b a b 3 b 1

= + + = = ⇔ ⇔

− = − + − + = − = −

Vậy d: y 2x 1= −

b) Do ñường thẳng (d) qua M (1; 1)− nên ta có phương trình: 1 a.1 b a b 1− = + ⇔ + = − (1)

Do ñường thẳng (d) song song ñường thẳng d’: y 3x 4= − − nên ta có a 3= − .

Thay vào (1) ta ñược b = 2.

Vậy d : y 3x 2= − +

c) Do ñường thẳng (d) qua N (2;1) nên ta có phương trình: 1 a.2 b 2a b 1= + ⇔ + = (1)

Do ñường thẳng (d) vuông góc ñường thẳng d’: 1

y x 32

= + nên ta có 1

a. 1 a 22= − ⇔ = − .

Thay vào (1) ta ñược b = 5.

Vậy d: y 2x 5= − +

Vấn ñề 3. Vẽ ñồ thị hàm số cho bằng nhiều biểu thức

Phương pháp : Ta vẽ ñồ thị trên từng khoảng, ñoạn hay nửa khoảng ñược chia.

Bài tập 3. Vẽ ñồ thị hàm số

a) 3x, x 0

yx 1, x 0

vôùi

vôùi

≥=

− < b) y x 2 1= − +

Giải

www.VNMATH.com

27

a) 3x, x 0

yx 1, x 0

vôùi

vôùi

≥=

− <

Xét trên [ )0;+∞ :

x 0 y 0

x 1 y 3

= ⇒ =

= ⇒ =

Xét trên ( );0−∞ :

x 1 y 2

x 2 y 3

= − ⇒ = −

= − ⇒ = −

b) y x 2 1= − +

x 2 1, x 2 0

x 2 1, x 2 0

− + − ≥=

− + + − <

vôùi

vôùi

x 1, x 2

x 3, x 2

− ≥=

− + <

vôùi

vôùi

Xét trên [ )2;+∞ :

x 2 y 1

x 3 y 2

= ⇒ =

= ⇒ =

Xét trên ( );2−∞ :

x 1 y 2

x 0 y 3

= ⇒ =

= ⇒ =

ðồ thị :

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

3y x=

1y x= −

ðồ thị :

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

3y x= − + 1y x= −

www.VNMATH.com

28

C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ.

Bài tập 1. Vẽ ñồ thị hàm số:

a) 2= +y x b) 12

= +x

y

c) 2 1= − +y x d) y 3= −

Bài tập 2. Xác ñịnh a, b ñể ñồ thị hàm số y = ax + b

a) ði qua hai ñiểm A(0;1) và ( )B 2; 3−

b) ði qua C ( )4; 3− và song song ñường thẳng 2

y x 13

= − +

c) ði qua E(4;2) và vuông góc ñường thẳng y = −2

1x + 5

Bài tập 3. Vẽ ñồ thị hàm số sau:

a) x 2, x 1

y2x 2, x 1

vôùi

vôùi

− + ≥=

+ < b) y 2x 3 1= − + −

www.VNMATH.com

29

§3. HÀM SỐ BẬC HAI


1. Hàm số bậc hai ( )2y bx c, a 0ax= + + ≠ có tập xác ñịnh D = ℝ .

2. ðồ thị hàm số bậc hai 2y bx cax= + + là một ñường parabol có ñỉnh là ñiểm

Ib

;2a 4a

∆ − −

, có trục ñối xứng là ñường thẳng b

x2a

= − .

Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a > 0, xuống dưới nếu a < 0.

3. ðể vẽ ñường parabol 2y bx cax= + + , ( a 0≠ ) ta thực hiện các bước sau:

Xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh I b

;2a 4a

∆ − −

;

Vẽ trục ñối xứng d là ñường thẳng b

x2a

= −

Xác ñịnh giao ñiểm của parabol với các trục tọa ñộ (nếu có). Xác ñịnh thêm một số ñiểm

thuộc ñồ thị. Chẳng hạn, ñiểm ñối xứng với giao ñiểm của ñồ thị với trục tung qua trục

ñối xứng của parabol.

Dựa vào kết quả trên, vẽ parabol.

4. Bảng biến thiên :

a > 0 : a < 0 :

x −∞ b

2a− +∞

y

+∞ +∞

4a

∆−

x −∞ b

2a− +∞

y

4a

∆−

−∞ −∞

www.VNMATH.com

30

Vấn ñề 1. Lập bảng biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số bậc hai ( )≠2y = ax + bx+ c, a 0

Phương pháp:

+ Tìm tập xác ñịnh: D = ℝ

+ Xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh Ib

;2a 4a

∆ − −

+ Xác ñịnh trục ñối xứng b

x2a

= −

+ Xác ñịnh giao ñiểm của ñồ thị với các trục tọa ñộ (nếu có)

+ Tìm ñiểm ñối xứng với giao ñiểm của ñồ thị với trục tung qua trục ñối xứng của parabol.

+ Từ các dữ liệu tìm ñược, lập bảng biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số.

Bài tập 1. Lập bảng biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số :

a) 2y 3x 4x 1= − + b) 2y 3x 2x 1= − + − c) 2y 4x 4x 1= − + .

Giải

a) 2y 3x 4x 1= − +

Tập xác ñịnh: D = ℝ

Tọa ñộ ñỉnh: I2 1

;3 3

−

Trục ñối xứng: 2

x3

=

Giao ñiểm của ñồ thị với trục Oy là A(0;1).

Giao ñiểm của ñồ thị với trục Ox

là B(1;0), C1

;03

.

⇒A’4

;13

ñối xứng A qua trục ñối xứng

ðồ thị:

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

2

3x =

23 4 1y x x= − +

www.VNMATH.com

31

Bảng biến thiên :

x −∞

2

3 +∞

y

+∞ +∞

1

3−

b) 2y 3x 2x 1= − + −


Tọa ñộ ñỉnh: I1 2

;3 3

−


x3

=


Giao ñiểm của ñồ thị với trục Ox là không có.

⇒A’2

; 13

−

ñối xứng A qua trục ñối xứng.

ðồ thị:

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

x

y

2y 3x 2x 1= − + −

1

3x =

Bảng biến thiên:

x −∞

2

3 +∞

y

2

3−

−∞ −∞

www.VNMATH.com

32

c) 2y 4x 4x 1= − +


Tọa ñộ ñỉnh: I1

;02


x2

=


Giao ñiểm của ñồ thị với trục Ox là

B1

;02

⇒A’ ( )1;1 ñối xứng A qua trục ñối xứng.

ðồ thị:

-4 -2 2 4

2

4

6

x

y

24 4 1y x x= − +

1

2x =

Bảng biến thiên:

x −∞

1

2 +∞

y

+∞ +∞

0

www.VNMATH.com

33

Vấn ñề 2. Xác ñịnh hàm số bậc hai.

Phương pháp :

� Biết ñồ thị qua một ñiểm.Thay tọa ñộ ñiểm vào phương trình hàm số ta ñược một phương trình.

� Biết ñồ thị có trục ñối xứng 0x x= . Suy ra 0

bx

2a− = .

� Biết ñỉnh ( )0 0I x ; y .Suy ra 0

0

bx

2a

y4a

− =

∆− =

� Biết hoành ñộ ñỉnh là 0x . Suy ra 0

bx

2a− =

� Biết tung ñộ ñỉnh là 0y . Suy ra 0y4a

∆− =

� Từ các giả thiết ñề bài cho, ta thành lập hệ phương trình.

Bài tập 2. Xác ñịnh hàm số bậc hai 2y 2x bx c= + + , biết rằng ñồ thị của nó:

a) Có trục ñối xứng là ñường thẳng x = 1 và cắt trục tung tại ñiểm (0;4).

b) Có ñỉnh là ( )I 1; 2− − .

c) ði qua hai ñiểm ( ) ( )A 0; 1 ,B 4;0− .

d) Có hoành ñộ ñỉnh là 2 và ñi qua ñiểm ( )M 1; 2− .

Giải

a) Do ñồ thị có trục ñối xứng là ñường thẳng x = 1 nên ta có: b

1 b 2a 42a

− = − ⇔ = − = −

Do ñồ thị cắt trục tung tai ñiểm (0;4) nên ta có: 4 2.0 b.0 c c 4= + + ⇔ =

Vậy hàm số cần tìm là : 2y 2x 4x 4= − +

b) Do ñồ thị có ñỉnh là ( )I 1; 2− − nên ta có: 2

b b 2a1b 42a

4ac b c 022 4a4a

=− = − = ⇔ ⇔ −∆ == − = −

Vậy hàm số cần tìm là : 2y 2x 4x= + .

www.VNMATH.com

34

c) Do ñồ thị ñi qua hai ñiểm ( ) ( )A 0; 1 ,B 4;0− nên ta có hệ phương trình:

c 11 2.0 b.0 c c 1

310 2.16 4.b c 32 4b c 0 b

4

= −− = + + = − ⇔ ⇔

= + + + + = = −

Vậy hàm số cần tìm là : 2 31y 2x x 1

4= − − .

d) Do ñồ thị có hoành ñộ ñỉnh là 2 nên ta có b

2 b 82a

− = ⇔ = −

Do ñồ thị ñi qua ñiểm ( )M 1; 2− nên ta có: 2 2.1 b.1 c 2 2 8 c c 4− = + + ⇔ − = − + ⇔ =

Vậy hàm số cần tìm là : 2y 2x 8x 4= − + .


Bài tập 1. Lập bảng biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số:

a) 2y 2x 4x 6= + − b) 2y 3x 6x 4= − − +

c) 21y x 2x 1

2= + + d) 2y 2x 2= − −

Bài tập 2. Xác ñịnh hàm số bậc hai 2y 4x cax= − + , biết rằng ñồ thị của nó

a) ði qua hai ñiểm ( )A 1; 2− và ( )B 2;3 .

b) Có ñỉnh là ( )I 2; 1− − .

c) Có hoành ñộ ñỉnh là 3− và ñi qua ñiểm P( 2;1)− .

d) Có trục ñối xứng là ñường thẳng x = 2 và cắt trục hoành tại ñiểm M(3;0).

Bài tập 3. Xác ñịnh parabol 2y bx 1ax= + + biết parabol ñó:

a) Qua ( )A 1;2 và ( )B 2;3 .

b) Có ñỉnh là ( )I 1;0 .

c) Qua M(1;6) và có trục ñối xứng có phương trình là x 2= − .

d) Qua N(1;4) và có tung ñộ ñỉnh là 0.

www.VNMATH.com

35

CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH

§1. ðẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH 1. Phương trình một ẩn:

Phương trình ẩn x là một mệnh ñề chứa biến dạng ( ) ( )f x g x= , trong ñó ( )f x và ( )g x là các biểu thức của x . 2. ðiều kiện xác ñịnh của phương trình

ðiều kiện xác ñịnh của phương trình (gọi tắt là ñiều kiện của phương trình) là những ñiều kiện của ẩn x ñể các biểu thức của phương trình ñiều có nghĩa. 3. Nghiệm của phương trình-giải phương trình

Nếu 0 0

( ) ( )f x g x= thì 0x ñược gọi là nghiệm của phương trình ( ) ( )f x g x=

Giải phương trình là tìm tập hợp tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm). 4. Phương trình nhiều ẩn

Ngoài các phương trình một ẩn còn có các phương trình nhiều ẩn. Nghiệm của phương hai ẩn ,x y là cặp số thực

0 0( ; )x y thỏa mãn phương trình ñó, còn nghiệm của một phương trình ba ẩn

, ,x y z là một bộ ba số thực 0 0 0

( ; ; )x y z thỏa mãn phương ñó.

II. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ðƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ 1. Phương trình tương ñương:

Hai phương trình ( ) ( ) (1)f x g x= và 1 1( ) ( ) (2)f x g x= ñược gọi là tương ñương nếu chúng có

cùng tập nghiệm (có thể là tập rỗng). Kí hiệu: (1) (2)⇔ . 2. Phép biến ñổi tương ñương:

Nếu thực hiện các biến ñổi sau ñây trên một phương trình mà không làm thay ñổi ñiều kiện xác ñịnh của nó thì ta ñược một phương trình tương ñương.

a) Cộng hay trừ hai vế của phương trình với một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác không.

b) Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với một số khác 0 hoặc với cùng biểu thức luôn có giá trị khác 0. 3. Phương trình hệ quả

Nếu mỗi nghiệm của phương trình (1) cũng là nghiệm của phương trình (2) thì ta nói phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1). Kí hiệu: (1) (2)⇒ .

Chẳng hạn, với số nguyên dương n tùy ý ta có: ( ) ( ) ( ) ( )n n

f x g x f x g x = ⇒ =

Phương trình hệ quả có thể có nghiệm ngoại lai, nghiệm ñó không phải là nghiệm của phương trình ban ñầu. ðể loại nghiệm ngoại lai ta phải thử lại nghiệm tìm ñược vào phương trình ban ñầu. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Tìm ñiều kiện của ẩn ñể phương trình có nghĩa Phương pháp : Tìm ñiều kiện của ẩn x ñể các biểu thức của phương trình ñiều có nghĩa.

www.VNMATH.com

36

Bài tập 1. Tìm ñiều kiện của các phương trình sau:

a) 2

34

1

xx

x= −

− b)

22

3

xx

x

+= −

−

Giải

a) ðiều kiện của phương trình là: 2 11 0

44 0

xx

xx

≠ ±− ≠⇔

≤− ≥ .

b) � ðiều kiện của phương trình là: 3 0 3

2 0 2

x xx

x x

− > >⇔ ⇔ ∈∅

− ≥ ≤ .

� Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn ñiều kiện của phương trình. Chú ý: Khi không có giá trị nào của x thỏa mãn ñiều kiện của phương trình thì phương trình ñã cho vô nghiệm. Bài tập 2. Chứng tỏ các phương trình sau vô nghiệm

a) 2 1

43

xx

x

−= −

− +; b) 5 3 5x x x− + = + − .

Giải

a) � ðiều kiện của phương trình là: 3 0 3

4 0 4

x xx

x x

− + > <⇔ ⇔ ∈∅

− ≥ ≥ . Do ñó: không có giá trị nào

của x thỏa mãn ñiều kiện của phương trình. � Vậy phương trình ñã cho vô nghiệm.

b) � ðiều kiện của phương trình là: 5 0 5

55 0 5

x xx

x x

− ≥ ≥⇔ ⇔ =

− ≥ ≤ . Giá trị này không thỏa mãn

phương trình. � Vậy phương trình ñã cho vô nghiệm. Vấn ñề 2. Biến ñổi tương ñương, biến ñổi hệ quả phương trình; Xác ñịnh quan hệ tương ñương, hệ quả của các phương trình. Phương pháp : 1) Nếu thực hiện các biến ñổi sau ñây trên một phương trình mà không làm thay ñổi ñiều kiện xác ñịnh của nó thì ta ñược một phương trình tương ñương.

a) Cộng hay trừ hai vế của phương trình với một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

b) Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với một số khác 0 hoặc với cùng biểu thức luôn có giá trị khác 0. 2) Nếu mỗi nghiệm của phương trình ( ) ( ) (1)f x g x= cũng là nghiệm của phương trình

1 1( ) ( ) (2)f x g x= thì ta nói phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1). Kí hiệu:

(1) (2)⇒ . Phương trình hệ quả có thể có nghiệm ngoại lai, nghiệm ñó không phải là nghiệm của

phương trình ban ñầu. ðể loại nghiệm ngoại lai ta phải thử lại nghiệm tìm ñược vào phương trình ban ñầu.

www.VNMATH.com

37

ðể phép bình phương trở thành phép biến ñổi tương ñương ta phải thêm ñiều kiện hai vế cùng dấu và thỏa mãn ñiều kiện của phương trình. Bài tập 1. Giải các phương trình sau:

a) 2 4 2x x x+ + = + + ; b) 4 2 4x x x− − = + − Giải

a) ðiều kiện của phương trình là: 2 0 2x x+ ≥ ⇔ ≥ − . Ta có:

2 4 2

4 2 2

4

x x x

x x x

x

+ + = + +

⇔ = + + − +

⇒ =

Giá trị 4x = thỏa mãn ñiều kiện 2x ≥ − và là nghiệm ñúng của phương trình. Vậy nghiệm của phương trình ñã cho là: 4x = . b) ðiều kiện của phương trình là: 4 0 4x x− ≥ ⇔ ≥ . Ta có:

4 2 4x x x− − = + −

2 4 4

2

x x x

x

⇔ − = + − − −

⇒ = −

Giá trị 2x = − không thỏa mãn ñiều kiện 4x ≥ . Vậy phương trình ñã cho vô nghiệm. Bài tập 2. Giải các phương trình sau:

a) 2 1 2

3 3

x x

x x

+ +=

− −; b)

22 8

1 1

x

x x=

+ +

Giải a) ðiều kiện của phương trình là 3x > . Với ñiều kiện ñó, ta có

+ + + += ⇔ − = −

− − − −⇒ + = +

⇒ =

2 1 2 2 1 2. 3 . 3

3 3 3 3

2 1 2

1

x x x xx x

x x x xx x

x

Giá trị 2x = không thỏa mãn ñiều kiện 3x > nên bị loại. Vậy phương trình ñã cho vô nghiệm. b) ðiều kiện của phương trình là 1x > − . Với ñiều kiện ñó, ta có

2 2

2

2 8 2 8. 1 . 1

1 1 1 1

2 8

2

2

x xx x

x x x x

x

x

x

= ⇔ + = ++ + + +

⇒ =

= −⇒

=

Giá trị 2x = − không thỏa mãn ñiều kiện 1x > − nên bị loại. Giá trị 2x = thỏa mãn ñiều kiện 1x > − và nghiệm ñúng phương trình.

Vậy phương trình ñã cho có nghiệm là 2x = .

www.VNMATH.com

38

C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Nêu ñiều kiện xác ñịnh của các phương trình sau:

a) 2 3 1x x x+ = + ; b) 1 1 1x x x− + = − + ;

c) 1

2 21

xx

x

−= +

+.

Bài 2. Giải các phương trình

a) 1 2 1

21 1

x x

x x

+ −+ =

− −; b) 2 2

1

xx

x+ − =

−;

c) ( )22 3 4 0x x x− − − = ; d) 1 8x x− = − ;

e) 2 2 54 3 4

2

xx x x− + + = − + :

Bài 3. Trong các cặp phương trình sau, hãy chỉ ra các cặp phương trình tương ñương: a) 2 3 4x x− = và 2 3 4 0x x− − = ; b) 6 12 0x − = và 2x = ; c) 2 2( 2) 3( 2)x x x+ = + và 3x = ; d) 1 3x − = và 2( 1) 0x − = ;

e) 2 4x − = và 2( 2) 16x + = .

www.VNMATH.com

39

§2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BẬC HAI

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Giải và biện luận phương trình 0ax b+ = (1)

Hệ số 0ax b+ = (1)

0a ≠ Phương trình (1) có nghiệm duy nhất b

xa

= −

0a = 0b ≠ Phương trình (1) vô nghiệm

0b = Phương trình (1) nghiệm ñúng với x∀ ∈ℝ

Khi 0a ≠ phương trình (1) ñược gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. 2. Giải và biện luận phương trình 2 0 ( 0)ax bx c a+ + = ≠ (2)

Biệt thức

2 4b ac∆ = −

Kết luận

0∆ > Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt

1,2 2

bx

a− ± ∆

=

0∆ = Phương trình (2) có nghiệm kép 2

bx

a= −

0∆ < Phương trình (2) vô nghiệm

3. ðịnh lí Vi-et

Nếu phương trình (2) có hai nghiệm 1 2,x x thì

1 2

bx x

a+ = − ,

1 2.

cx x

a= .

Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u v S+ = và tích .u v P= thì u và v là các nghiệm của phương trình 2 0x Sx P− + = (ñiều kiện: 2 4 0S P− ≥ ). 4. Phương trình trùng phương

Có dạng 4 2 0ax bx c+ + = ( 0)a ≠ .

Cách giải: ñặt 2t x= ( 0t ≥ ) và ñưa về phương trình bậc hai 2 0at bt c+ + = . 5. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt ñối

Có thể khử dấu giá trị tuyệt ñối trong phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt ñối nhờ sử dụng ñịnh nghĩa:

2 neáu a 0

neáu 0

aa a

a a

≥= =

− <

ðặc biệt, ta có:

* 2 2

( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x= ⇔ = hoặc ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

f x g xf x g x

f x g x

== ⇔

= −.

www.VNMATH.com

40

* ( ) 0 (hay ( ) 0)

( ) ( )( ) ( )

f x g xf x g x

f x g x

> >= ⇔

=; *

2

( ) 0( ) ( )

( ) ( )

g xf x g x

f x g x

>= ⇔

=.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Giải và biện luận phương trình 0ax b+ = . Phương pháp :

* 0a ≠ : Phương trình có nghiệm duy nhất b

xa

= − .

* 0a = : Phương trình trở thành ax b= − + 0b ≠ : Phương trình vô nghiệm + 0b = : Phương trình có vô số nghiệm x∈ℝ

Bài tập. Giải và biện luận phương trình ( 1)( 3) 3 0m m x m− − + − = (1)

Giải ( 1)( 3) 3 0 ( 1)( 3) 3m m x m m m x m− − + − = ⇔ − − = − (1 )′

*1 0 1

( 1)( 3) 03 0 3

m mm m

m m

− ≠ ≠− − ≠ ⇔ ⇔

− ≠ ≠ : phương trình (1 )′ có nghiệm duy nhất:

3 1

( 1)( 3) 1

mx

m m m

−= =

− − −

* =

− − = ⇔ =

1( 1)( 3) 0

3

mm m

m

+ Với 1m = : Phương trình (1 )′ trở thành 0 2x = − (phương trình vô nghiệm) + Với 3m = : Phương trình (1 )′ trở thành 0 0x = (phương trình có vô số nghiệm x∈ℝ ).

Vậy * Với 1m ≠ và 3m ≠ : Phương trình (1) có nghiệm duy nhất 1

1x

m=

−.

* Với 1m = : Phương trình (1) vô ngiệm. * Với 3m = : Phương trình (1) có vô số nghiệm x∈ℝ . Vấn ñề 2. Giải phương trình có ẩn ở mẫu số ñơn giản Phương pháp : Bước 1: ðặt ñiều kiện của phương trình (Chú ý ñiều kiện ñể mẫu số khác 0). Bước 2: Quy ñồng, khử mẫu và tìm nghiệm của phương trình. Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm ñược với ñiều kiện. Nếu nghiệm ñó thỏa mãn ñiều kiện thì nó là nghiệm của phương trình, ngược lại nó không phải là nghiệm.

Bài tập. Giải phương trình sau: 24 3

2 31 1

xx

x x

++ + =

− −

Giải

a) ðiều kiện của phương trình: 1x ≠ . Với ñiều kiện ñó, ta có: +

+ + = ⇔ + − + = +− −

224 3

2 3 (2 3)( 1) 4 31 1

xx x x x

x x

www.VNMATH.com

41

=⇔ + − = ⇔ = −

2 1(loaïi)2 0

2 (nhaän)

xx x

x

Vậy nghiệm của phương trình là: 2x = − .

Vấn ñề 3. Giải phương trình trùng phương 4 2 0ax bx c+ + = ( 0)a ≠ . Phương pháp :

ðặt 2t x= ( 0t ≥ ) và ñưa về phương trình bậc hai 2 0at bt c+ + = .

Bài tập. Giải phương trình 4 25 4 0x x− + = Giải

ðặt 2 , 0t x t= > . Khi ñó phương trình ñã cho trở thành:

2 1(nhaän)5 4 0

4 (nhaän)

tt t

t

=− + = ⇔

=

Với 1t = , ta ñược: 2 1 1x x= ⇔ = ± . Với 4 2t x= ⇔ = ± . Vậy phương trình ñã cho có 4 nghiệm: 1; 2x x= ± = ± .

Vấn ñề 4. Giải phương trình dạng: ; ; ;A B A B A B A B= = = = .

Phương pháp : Sử dụng các công thức

2

0

; ;

00 (hay 0); .

BA B

A B A B A BA B

A B

BA BA B A B

A B A B

≥ =

= ⇔ = ⇔ == − = −

≥ ≥ ≥ = ⇔ = ⇔

= =

.

Bài tập. Giải các phương trình sau:

a) 3 2 1x x− = + ; b) 2 1 5 2x x− = − − ;

c) 2 3 3x x− = − ; c) 2 2 1x x x+ − = − + .

Giải

www.VNMATH.com

42

2 1 0

a) 3 2 1 3 2 1

3 2 1

1

2

4

3 2

1

2

4

2

3

2

3

x

x x x x

x x

x

x

x

x

x

x

x

+ ≥

− = + ⇔ − = + − = − −

≥ −

⇔ − = =

≥ −

⇔ = − =

⇔ =

Vậy nghiệm của phương trình là: 2

3x =

2

2

2

3 0c) 2 3 3

2 3 ( 3)

3

2 3 6 9

3

8 12 0

3

2 (loaïi)

6 (nhaän)

6

xx x

x x

x

x x x

x

x x

x

x

x

x

− ≥− = − ⇔ − = −

≥⇔

− = − + ≥⇔

− + = ≥

⇔ = =

⇔ =Vậy nghiệm của phương trình là: 6x =

2 1 5 2b) 2 1 5 2

2 1 5 2

7 1

3 3

1

71

x xx x

x x

x

x

x

x

− = − −− = − − ⇔

− = + = −

⇔ − =

= −⇔

= −

Vậy nghiệm của phương trình là:

1

7x = − ; 1x = − .

2

2

2

1 0d) 2 1

2 1

1

2 3 0

1

1(nhaän)

3 (nhaän)

1

3

xx x x

x x x

x

x x

x

x

x

x

x

− + ≥+ − = − + ⇔

+ − = − + ≤

⇔ + − =

≤

⇔ = = −

=⇔ = −

Vậy nghiệm của phương trình là: 1; 3x x= = −

www.VNMATH.com

43

Vấn ñề 5. Vận dụng ñịnh lí Vi-et vào việc nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Phương pháp : a) Cho phương trình: 2 0 ( 0)ax bx c a+ + = ≠ .

+ Nếu 0a b c+ + = thì phương trình có một nghiệm 11x = , nghiệm còn lại

2

cx

a= .

+ Nếu 0a b c− + = thì phương trình có một nghiệm 1

1x = − , nghiệm còn lại 2

cx

a= −

b) Nếu hai số u và v có tổng u v S+ = và tích .u v P= thì u và v là các nghiệm của phương trình 2 0x Sx P− + = (ñiều kiện: 2 4 0S P− ≥ ). Bài tập 1. Nhẩm nghiệm các phương trình sau:

a) 2 6 5 0x x− + = ; b) 23 6 9 0x x− − = . Giải

a) Vì 1 ( 6) 5 0+ − + = nên phương trình có một nghiệm 11x = , nghiệm kia

2

55

1x = = .

b) Vì 3 ( 6) 9 0− − − = nên phương trình có một nghiệm 1

1x = − , nghiệm kia 2

93

3x

−= − = .

Bài tập 2. Tìm hai số có tồng bằng 18 và tích bằng 45. Giải

Hai số cần tìm là nghiệm nghiệm của phương trình: 2 318 45 0

15

xx x

x

=− + = ⇔

=.

Vậy hai số cần tìm là: 3 và 15. Vấn ñề 6. Giải các bài toán thực tế ñưa về giải phương trình bậc nhất, bậc hai bằng cách lập phương trình. Phương pháp : Bước 1: ðặt ẩn số và xác ñịnh ñiều kiện của ẩn. Bước 2: Từ yêu cầu ñề bài xây dựng phương trình. Tìm nghiệm của phương trình ñó. Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm ñược với ñiều kiện và kết luận. Bài tập. Có hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau. Nếu lấy 30 quả ở rổ thứ nhất ñưa sang rổ thứ hai

thì số quả quýt ở rổ thứ hai bằng 1

3 của bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất. Hỏi số quả

quýt ở mỗi rổ lúc ban ñầu là bao nhiêu? Giải

Gọi x là số quả quýt ở mỗi rổ lúc ban ñầu. ðiều kiện: x :nguyên dương và 30x > .

Theo ñề bài ta có phương trình: ( )2130 30

3x x+ = −

2 45 (loaïi)63 810 0

18 (nhaän)

xx x

x

=− + = ⇔

=

Vậy số quả quýt ở mỗi rổ lúc ban ñầu là 45 quả.

www.VNMATH.com

44

C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Giải và biện luận phương trình sau: ( 2) 3 1m x x− = + Bài 2. Tìm hai số có tổng bằng 15 và tích bằng -34. Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) 2

2 12;

11

x

xx− =

+− b) 2 2 2( 2 ) (3 2) 0;x x x+ − + = c) 4 28 9 0x x− − =

Bài 4. Giải các phương trình sau:

a/ 2 1 3+ = −x x b/ |x2 − 2x| = |x2 − 5x + 6|

c/ |x + 3| = 2x + 1 d/ |3x2 − x − 2 | = x − 2 Bài 5. Giải các phương trình sau:

a/ 23 9 1− +x x = x − 2 b/ x − 2 5−x = 4

c/ 2 7 4− + =x x d/ 1 13+ − =x x Bài 6. Một người dùng 300000ñ ñầu tư cho sản xuất thủ công. Mỗi sản phẩm người ñó ñược lãi 1500 ñồng. Sau một tuần, tính cả vốn lẫn lãi người ñó có 1050 nghìn ñồng. Hỏi trong tuần ñó, người ấy sản xuất ñược bao nhiêu sản phẩm? Bài 7. Một công ty vận tải dự ñịnh ñiều ñộng một số ô tô cùng loại ñể chuyển 22,4 tấn hàng. Nếu mỗi ô tô chở thêm 1 tạ so với dự ñịnh thì số ô tô giảm ñi 4 chiếc. Hỏi số ô tô công ty dự ñịnh ñiều ñộng ñể chở hết số hàng trên là bao nhiêu?

www.VNMATH.com

45

§3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng + =ax by c , trong ñó , ,a b c là các số thực ñã cho và ,a b không ñồng thời bằng 0; ,x y là ẩn số.

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ,x y có dạng 1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

+ =

+ =, trong ñó cả hai phương

trình ñều là phương trình bậc nhất hai ẩn. * Có hai cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn quen thuộc a) Phương pháp thế: Từ một phương trình nào ñó của hệ, biểu thị một ẩn qua ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại ñể ñược phương trình bậc nhất một ẩn. b) Phương pháp cộng: Biến ñổi hệ số của một ẩn nào ñó trong hai phương trình là hai số ñối nhau rồi cộng từng vế hai phương trình lại ñể ñược phương trình bậc nhất một ẩn. II. HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN 1. Phương trình bậc nhất ba ẩn

Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng + + =ax by cz d , trong ñó , , ,a b c d là các số thực ñã cho và , ,a b c không ñồng thời bằng 0; , ,x y z là ẩn số. 2. Hệ ba phương trình bậc nhất hai ẩn

a) Dạng tam giác của hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn là:

1 1 1 1

2 2 2

3 3

(1)

a x b y c z d

b y c z d

c z d

+ + =

+ = =

hoặc 1 1

2 2 2

3 3 3 3

(2)

a x d

a x b y d

a x b y c z d

=

+ = + + =

Cách giải: Từ phương trình cuối của hệ (1) tính ñược z , thế giá trị z vừa tìm ñược vào phương trình

thứ hai ñể tính ñược y rồi thế cả ,y z tìm ñược vào phương trình ñầu tính ñược x . Từ phương trình ñầu của hệ (2) tính ñược x , thế giá trị x vừa tìm ñược vào phương trình

thứ hai ñể tính ñược y rồi thế cả ,x y tìm ñược vào phương trình thứ ba tính ñược z .

b) Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn , ,x y z có dạng 1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d

a x b y c z d

a x b y c z d

+ + =

+ + = + + =

, trong ñó cả ba

phương trình ñều là phương trình bậc nhất ba ẩn. Cách giải: (theo phương pháp Gau-xơ): Khử dần ẩn số ñể ñưa về hệ phương trình dạng tam giác.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Giải và biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn Phương pháp :

+ Cho phương trình 2 2( 0)ax by c a b+ = + > ;

+ Giả sử 0b ≠ , cho 0

x x= ta có: 00

c axy

b

−= ;

www.VNMATH.com

46

+ Tập nghiệm của phương trình là 00;c ax

xb

−

.

Bài tập. Giải phương trình 2 3 5x y+ =

Giải

Ta có: 5 2

2 3 53

xx y y

−+ = ⇔ = . Cho

0x x= ta ñược: 0

0

5 2

3

xy

−=

Vậy nghiệm của phương trình là: 00

5 2;

3

xx

−

Vấn ñề 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn ñơn giản Phương pháp : Theo phương pháp Gau-xơ Khử dần ẩn số ñể ñưa về hệ phương trình dạng tam giác. Bài tập. Giải các hệ phương trình sau:

a) 6 9

4 14;

x y

x y

− = −

+ = b)

3 2 8

2 2 6

3 6 .

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ + = + + =

Giải

6 9 6 9a)

4 14 25 50

6 9

2

3

2

x y x y

x y y

x y

y

x

y

− = − − = −⇔

+ = = − = −

⇔ =

=⇔

=

Vậy nghiệm của hệ phương là 3

2

x

y

=

=

3 2 8 3 2 8

b) 2 2 6 4 3 10

3 6 . 8 5 18

3 2 8 1

4 3 10 1

2 2

x y z x y z

x y z y z

x y z y z

x y z x

y z y

z z

+ + = + + =

+ + = ⇔ − − = − + + = − − = − + + = = ⇔ − − = − ⇔ = = =

Vậy nghiệm của hệ phương là

1

1

2

x

y

z

=

= =

Vấn ñề 3. Giải một số bài toán có nội dung thực tế bằng cách ñưa về việc lập và giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn. Phương pháp : Bước 1: ðặt ẩn số và xác ñịnh ñiều kiện của ẩn. Bước 2: Từ yêu cầu ñề bài xây dựng hệ phương trình. Tìm nghiệm của hệ phương trình ñó. Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm ñược với ñiều kiện và kết luận. Bài tập 1. Hai bạn Vân và Lan ñến cửa hàng mua trái cây. Bạn Vân mua 10 quả quýt, 7 quả cam với giá tiền là 17 800 ñồng. Bạn Lan mua 12 quả quýt, 6 quả cam với giá tiền là 18 000 ñồng. Hỏi giá tiền mỗi quả quýt và cam là bao nhiêu?

www.VNMATH.com

47

Giải Gọi x là giá tiền mỗi quả quýt. y là giá tiền mỗi quả cam. ðiều kiện: , 0x y > . Theo ñề bài ta có hệ phương trình:

10 7 17 800 800

12 6 18 000 1400

x y x

x y y

+ = =⇔

+ = =

Vậy giá mỗi quả quýt là 800 ñồng và giá mỗi quả cam là 1 400 ñồng, Bài tập 2. Một cửa hàng bán áo sơ mi, quần âu nam và váy nữ. Ngày thứ nhất bán ñược 12 áo, 21 quần và 18 váy, doanh thu là 5 349 000 ñồng. Ngày thứ hai bán ñược 16 áo, 24 quần và 12 váy, doanh thu là 5 600 000 ñồng. Ngày thứ ba bán ñược 24 áo, 15 quần và 12 váy, doanh thu là 5 349 000 ñồng. Hỏi giá bán mỗi áo, mỗi quần, mỗi váy là bao nhiêu?

Giải Gọi x là giá bán mỗi áo. y là giá giá bán mỗi cái quần. z là giá bán mỗi váy. ðiều kiện: , , 0x y z > . Theo ñề bài ta có hệ phương trình:

+ + = =

+ + = ⇔ = + + = =

12 21 18 5 349 000 98 000

16 24 12 5 600 000 125 000

24 15 12 5 259 000 86 000

x y z x

x y z y

x y z z

Vậy giá bán mỗi áo là 98 000 ñồng, giá bán mỗi quần là 125 000 ñồng và giá bán mỗi váy là 86 000 ñồng C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Giải phương trình 3 7x y+ = .

Bài 2. Giải hệ phương trình 3 2 6

9 4 6

x y

x y

− =

+ = −.

Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:

a) 3 4 5 8

6 9

21

x y z

y z

z

+ − =

+ = =

; b) 2

3 1

2 3 1

x y z

x y z

x y x

+ + =

+ + = + + = −

Bài 4. Một ñoàn xe gồm 13 xe tắc xi tải chở 36 tấn xi măng cho một công trình xây dựng. ðoàn xe chỉ gồm có hai loại: xe chở 3 tấn và xe chở 2,5 tấn. Tính số xe mỗi loại. Bài 5. Ba máy trong một giờ sản xuất ñược 95 sản phẩm. Số sản phẩm máy III làm trong 2 giờ nhiều hơn số sản phẩm máy I và máy II làm trong 1giờ là 10 sản phẩm. Số sản phẩm máy I làm trong 8 giờ ñúng bằng số sản phẩm máy II làm trong 7 giờ. Hỏi trong một giờ, mỗi máy sản xuất ñược bao nhiêu sản phẩm.

www.VNMATH.com

48

CHƯƠNG IV BẤT ðẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH

§1. BẤT ðẲNG THỨC


I. KHÁI NIỆM BẤT ðẲNG THỨC

Các mệnh ñề dạng: " "," "," "," "a b a b a b a b> < ≥ ≤ ñược gọi là những bất ñẳng thức.

II. TÍNH CHẤT CỦA BẤT ðẲNG THỨC

1. a b> và b c a c> ⇒ > .

2. .a b a c b c> ⇔ + > +

3. �Nếu 0c > thì ;a b ac bc> ⇔ >

�Nếu 0c < thì .a b ac bc> ⇔ <

4. a b> và c d a c b d> ⇒ + > + .

5. 0a b> ≥ và 0c d ac bd> ≥ ⇒ > .

6. Với 0ab > ta có : 1 1

.a ba b

> ⇔ <

7. Với * 2 2, 0, : .n na b n a b a b≥ ∈ > ⇔ >ℕ

8. Với ,a b và * 2 1 2 1: .n nn a b a b+ +∈ > ⇔ >ℕ

9. 0 .a b a b> ≥ ⇔ >

10. 3 3 .a b a b> ⇔ >

III. BẤT ðẲNG THỨC CÔ-SI

1) Bất ñẳng thức Cô-si cho hai số không âm

Cho 0a ≥ và 0,b ≥ ta có : 2 .a b ab+ ≥ ðẳng thức xảy ra .a b⇔ =

2) Bất ñẳng thức Cô-si cho ba số không âm

Cho 0, 0a b≥ ≥ và 0,c ≥ ta có : 33 .a b c abc+ + ≥ ðẳng thức xảy ra .a b c⇔ = =

IV. BẤT ðẲNG THỨC CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI

1. 0; ; .x x x x x≥ ≥ ≥ −

2. Với 0a > , ta có:

www.VNMATH.com

49

� .x a a x a≤ ⇔ − ≤ ≤

� x a x a≥ ⇔ ≥ hoặc x a≤ − .


Vấn ñề 1. Chứng minh bất ñẳng thức bằng cách dùng tính chất của bất ñẳng thức hoặc dùng phép biến ñổi tương ñương

Phương pháp :

�Biến ñổi bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với một bất ñẳng thức ñã biết. �Sử dụng một bất ñẳng thức ñã biết, biến ñổi ñể dẫn ñến bất ñẳng thức cần chứng minh. �Một số bất ñẳng thức thường dùng:

+ A2 0≥ + A B2 2 0+ ≥ + AB. 0≥ với A, B ≥ 0. + A B AB2 2 2+ ≥ �Một số hằng ñẳng thức thường dùng:

( )2 2 2 2a b a b ab± = + ± ; ( )2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab bc ca+ + = + + + + +

Bài tập 1. Cho ,a b∈ℝ . Chứng minh các bất ñẳng thức sau:

a) 2 2 2a b ab+ ≥ b) ( )24a b ab+ ≥

c) ( ) ( )22 22 a b a b+ ≥ + d) ( ) ( )24 4 2 22 a b a b+ ≥ +

Giải

a) ( ) ( )22 2 2 22 1 2 0 0a b ab a b ab a b+ ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ − ≥ (luôn ñúng)

Vậy bất ñẳng thức (1) ñược chứng minh.

b) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 24 2 2 4 2 0 0a b ab a b ab ab a b ab a b+ ≥ ⇔ + + ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ − ≥ (luôn ñúng)


c) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 22 3 2 2 2 2 0a b a b a b a b ab a b ab+ ≥ + ⇔ + ≥ + + ⇔ + − ≥

( )20a b⇔ − ≥ (luôn ñúng)


d) ( ) ( ) ( ) ( )2 24 4 2 2 4 4 4 4 2 2 2 22 4 2 2 2 0a b a b a b a b a b a b+ ≥ + ⇔ + ≥ + + ⇔ − ≥ (luôn ñúng)


www.VNMATH.com

50

Bài tập 2. Cho , ,a b c∈ℝ . Chứng minh các bất ñẳng thức sau:

a) a b c ab bc ca2 2 2+ + ≥ + + b) a b ab a b2 2 1+ + ≥ + +

c) a b c a b c2 2 2 3 2( )+ + + ≥ + + d) a b c ab bc ca2 2 2 2( )+ + ≥ + −

Giải

a) ( )+ + ≥ + + ⇔ + + ≥ + +2 2 2 2 2 21 2 2 2 2 2 2a b c ab bc ca a b c ab bc ca

( ) ( ) ( )⇔ + − + + − + + − ≥2 2 2 2 2 22 2 2 0a b ab b c bc c a ca

( ) ( ) ( )⇔ − + − + − ≥2 2 2

0a b b c c a (luôn ñúng)


b) ( )+ + ≥ + +2 2 1 2a b ab a b ( ) ( )⇔ + + ≥ + +2 22 1 2a b ab a b

( ) ( ) ( )⇔ + − + + − + + − ≥2 2 2 22 1 2 1 2 0a b ab b b a a

( ) ( ) ( )⇔ − + − + − ≥2 2 2

1 1 0a b b a (luôn ñúng)


c) ( )+ + + ≥ + +2 2 2 3 2( ) 3a b c a b c ( ) ( ) ( )⇔ + − + + − + + − ≥2 2 21 2 1 2 1 2 0a a b b c c

( ) ( ) ( )⇔ − + − + − ≥2 2 2

1 1 1 0a b c (luôn ñúng)


d) ( )+ + ≥ + −2 2 2 2( ) 4a b c ab bc ca ⇔ + + − − + ≥2 2 2 2 2 2 0a b c ab bc ca

( )⇔ − + ≥2

0a b c (luôn ñúng)


Bài tập 3. Cho a, b, c, d ∈ R. Chứng minh rằng a b ab2 2 2+ ≥ (1). Áp dụng chứng minh các bất ñẳng thức sau:

a) a b c d abcd4 4 4 4 4+ + + ≥ b) a b c abc2 2 2( 1)( 1)( 1) 8+ + + ≥

Giải

www.VNMATH.com

51

a) Ta có: ( )4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 4 4 2 2 2 22 ; 2 2a b a b c d c d a b c d a b c d+ ≥ + ≥ ⇒ + + + ≥ + .

Mặc khác: 2 2 2 2 4 4 4 42 2.2 4a b c d abcd a b c d abcd abcd+ ≥ ⇒ + + + ≥ = (ñpcm)

b) Ta có: + ≥ + ≥ + ≥2 2 21 2 ; 1 2 ; 1 2a a b b c c .

Nhân vế theo vế của 3 bất ñẳng thức ta suy ra ñiều phải chứng minh.

Vấn ñề 2. Chứng minh bất ñẳng thức bằng cách dùng bất ñẳng thức Cô-si

Phương pháp :

� Bất ñẳng thức Cô-si cho hai số không âm

Cho 0a ≥ và 0,b ≥ ta có : 2 .a b ab+ ≥ ðẳng thức xảy ra .a b⇔ =

�Bất ñẳng thức Cô-si cho ba số không âm

Cho 0, 0a b≥ ≥ và 0,c ≥ ta có : 33 .a b c abc+ + ≥ ðẳng thức xảy ra .a b c⇔ = =

Bài tập 1. Cho , 0.a b > Chứng minh:

a) 2.a b

b a+ ≥ ðẳng thức xảy ra khi nào ?

b) ( ) 1 14.a b

a b + + ≥

ðẳng thức xảy ra khi nào ?

c) ( ) ( )1 4 .a b ab ab+ + ≥ ðẳng thức xảy ra khi nào ?

d) bc ca ab

a b ca b c+ + ≥ + + . ðẳng thức xảy ra khi nào ?

Giải

a) Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si cho hai số dương ,a b

b a, ta có :

2 . 2a b a b a b

b a b a b a+ ≥ ⇔ + ≥ (ñpcm). ðẳng thức xảy ra .

a ba b

b a⇔ = ⇔ =

b) Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si cho hai cặp số dương a, b và 1 1

,a b

ta có :

� ( )2 1a b ab+ ≥

www.VNMATH.com

52

� ( )1 1 12 2

a b ab+ ≥

Nhân (1), (2) vế theo vế ta ñược : ( ) 1 1 12 .2a b ab

a b ab + + ≥

( ) 1 14a b

a b ⇔ + + ≥

(ñpcm).

ðẳng thức xảy ra 1 1

a ba b

a b

=

⇔ ⇔ ==

c) Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si cho hai số cặp số dương a, b và 1,ab ta có :

� ( )2 1a b ab+ ≥

� ( )1 2 2ab ab+ ≥

Nhân (1), (2) vế theo vế ta ñược :

( ) ( ) ( ) ( )1 2 .2 1 4a b ab ab ab a b ab ab+ + ≥ ⇔ + + ≥ (ñpcm)

ðẳng thức xảy ra 11

a ba b

ab

=⇔ ⇔ = =

=.

d) Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si ta có :

� + ≥ = =22 . 2 2bc ca bc ca

c ca b a b

(1)

� + ≥ = =22 . 2 2ca ab ca ba

a ab c b c

(2)

� + ≥ = =22 . 2 2ab bc ab bc

b bc a c a

(3)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta ñược :

( ) + + ≥ + + ⇔ + + ≥ + +

2 2bc ca ab bc ca ab

a b c a b ca b c a b c

(ñpcm)

www.VNMATH.com

53

ðẳng thức xảy ra 2 2 2

bc ca

a bca ab

a b c a b cb cab bc

c a

=

⇔ = ⇔ = = ⇔ = =

=

.

Bài tập 2. Cho Cho , 0.a b > Chứng minh: ( )2

2 1 18.a b

a b + + + ≥

ðẳng thức xảy ra khi nào ?

Giải

Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si, ta có :

( )22 4a b ab a b ab+ ≥ ⇒ + ≥ (1)

21 1 1 1 1 4

2a b ab a b ab

+ ≥ ⇒ + ≥

(2)

Cộng (1), (2) vế theo vế ta ñược :

( )2

2 1 1 44a b ab

a b ab + + + ≥ +

(3)

Tiếp tục áp dụng bất ñẳng thức Cô-si cho hai số 4ab và 4

ab, ta có :

4 44 2 4 . 8ab ab

ab ab+ ≥ = (4)

Từ (3) và (4) ( )2

2 1 18.a b

a b ⇒ + + + ≥

ðẳng thức xảy ra 1a b⇔ = = .

Vấn ñề 3. Tìm giá trị lớn nhất(GTLN) và giá trị nhỏ nhất(GTNN) của hàm số

Phương pháp :

� Số M ñược gọi là GTLN của f(x) trên D nếu:

( ):x D f x M∀ ∈ ≤ và ( )0 0:x D f x M∃ ∈ = .

� Số m ñược gọi là GTNN của f(x) trên D nếu:

www.VNMATH.com

54

( ):x D f x m∀ ∈ ≥ và ( )0 0:x D f x m∃ ∈ =

�+ Nếu x, y > 0 có S = x + y không ñổi thì P = xy lớn nhất ⇔ x = y. + Nếu x, y > 0 có P = x y không ñổi thì S = x + y nhỏ nhất ⇔ x = y.

�+ x, y > 0, ta có : 2

2

x yxy

+ ≤

+ x, y, z > 0, ta có : 3

3

x y zxyz

+ + ≤

Bài tập 1. Cho 2x > . Tìm GTNN của biểu thức ( ) 3.

2f x x

x= +

−

Giải

� ( ) 3 32 2

2 2f x x x

x x= + = − + +

− −

� Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si cho hai số dương 3

2,2

xx

−−

, ta có :

( ) ( )3 3 32 2 2 2 2 2 3 2

2 2 2f x x x x

x x x= + = − + + ≥ − + = +

− − −

ðẳng thức xảy ra ( )2 2 332 2 3 2 3

2 2 3

xx x x

x x

= +⇔ − = ⇔ − = ⇔ ⇔ = +

− = − (do x > 2)

Vậy ( ) 3

2f x x

x= +

− ñạt GTNN bằng 2 3 2+ khi 2 3x = + .

Bài tập 2. Cho 0x > . Tìm GTNN của biểu thức 2 3 9x x

yx

+ += .

Giải

�

2 3 9 93

x xy x

x x

+ += = + +

� Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si cho hai số dương 9

,xx

, ta có :

2 3 9 9 93 2 . 3 9

x xy x x

x x x

+ += = + + ≥ + = .

www.VNMATH.com

55

ðẳng thức xảy ra 2 399 3

3

xx x x

xx

=⇔ = ⇔ = ⇔ ⇔ = = −

(do x > 0)

Vậy 2 3 9x x

yx

+ += ñạt GTNN bằng 9 khi 3x = .

Bài tập 3. Cho y = x(6 – x) , với 0 ≤ x ≤ 6 . Tìm GTLN của y.

Giải

�Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 ≤ x ≤ 6), ta có :

( )2

66 9.

2

x xy x x

+ − = − ≤ =

ðẳng thức xảy ra ⇔ x = 6 – x ⇔ x = 3

Vậy y ñạt GTLN bằng 9 khi x = 3.

Bài tập 4. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , − 12

≤ x ≤ 52

. Tìm GTLN của y.

Giải

� y = 3(2x + 1)(5 – 2x).

�Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x , − ≤ ≤

1 5x

2 2, ta có :

y = 3(2x + 1)(5 – 2x) 2

2 1 5 23 27

2

x x+ + − ≤ =

ðẳng thức xảy ra 2 1 5 2 4 4 1x x x x⇔ + = − ⇔ = ⇔ =

Vậy y ñạt GTLN bằng 27 khi x = 1.

Bài tập 5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 6 .y x x= + + −

Giải

� y xác ñịnh khi 3 0

3 66 0

xx

x

+ ≥⇔ − ≤ ≤

− ≥ nên TXð [ ]3;6D = −

� Ta có ( ) ( )2 9 2 3 6y x x= + + −

� Ta có : 2 9 3.y y≥ ⇒ ≥ ðẳng thức xảy ra 3x⇔ = − hoặc 6x = .

Vậy y ñạt GTNN bằng 3 khi 3x = − hoặc 6x =

www.VNMATH.com

56

� ( ) ( ) ( ) ( )2 9 2 3 6 9 3 6 18 3 2y x x x x y= + + − ≤ + + + − = ⇒ ≤

ðẳng thức xảy ra 3

3 62

x x x⇔ + = − ⇔ =

Vậy y ñạt GTLN bằng 3 2 khi 3

2x = .


Baøi 1.Baøi 1.Baøi 1.Baøi 1. Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh các bất ñẳng thức sau:

a) a b a b

33 3

2 2

+ +≥

; với a, b ≥ 0 b) a b a b ab4 4 3 3+ ≥ +

c) a a4 3 4+ ≥ d) a b c abc3 3 3 3+ + ≥ , với a, b, c > 0.

Baøi 2.Baøi 2.Baøi 2.Baøi 2. Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh các bất ñẳng thức sau:

a) a b b c c a abc( )( )( ) 8+ + + ≥ b) a b c a b c abc2 2 2( )( ) 9+ + + + ≥

c) ( )a b c abc3

3(1 )(1 )(1 ) 1+ + + ≥ + d) a b b c c a abc2 2 2 2 2 2(1 ) (1 ) (1 ) 6+ + + + + ≥

Baøi 3.Baøi 3.Baøi 3.Baøi 3. Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh :

a) ( ) 1 1 19a b c

a b c + + + + ≥

b) 3

2

a b c

b c c a a b+ + ≥

+ + +.

Baøi 4.Baøi 4.Baøi 4.Baøi 4. Áp dụng BðT Cô–si ñể tìm GTNN của các biểu thức sau:

a) x

y xx

18; 0

2= + > . b)

xy x

x

2; 1

2 1= + >

−.

c) x

y xx

3 1; 1

2 1= + > −

+. d)

xy x

x

5 1;

3 2 1 2= + >

−

Baøi 5.Baøi 5.Baøi 5.Baøi 5. Áp dụng BðT Cô–si ñể tìm GTLN của các biểu thức sau: a) y x x x( 3)(5 ); 3 5= + − − ≤ ≤ b) = − ≤ ≤(9 ); 0 9y x x x

c) y x x x5

( 3)(5 2 ); 32

= + − − ≤ ≤ d) y x x x5

(2 5)(5 ); 52

= + − − ≤ ≤

Baøi 6.Baøi 6.Baøi 6.Baøi 6. Cho +=

3

2

x 1y

x , x > 0 . ðịnh x ñể y ñạt GTNN.

Baøi 7.Baøi 7.Baøi 7.Baøi 7. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số

a) 1 3y x x= − + − b) 2 4 8y x x= − + −

c) 7 2 3 4y x x= − + + d) 3 2 1 2 8 3y x x= + + −

www.VNMATH.com

57

§2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN


I. Khái niệm bất phương trình một ẩn

Bất phương trình ẩn x là mệnh ñề chứa biến có dạng

( ) ( )f x g x< hoặc ( ) ( )f x g x≤ (*)

trong ñó f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Người ta cũng gọi f(x) và g(x) tương ứng là vế trái và vế phải của bất phương trình (*). Số thực x0 sao cho ( ) ( )0 0f x g x< hoặc

( ) ( )0 0f x g x≤ là mệnh ñề ñúng ñược gọi là nghiệm của bất phương trình (*).

Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.

Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm nghiệm chung của chúng.

II. ðiều kiện của bất phương trình

ðiều kiện của một bất phương trình là ñiều kiện của ẩn số x ñể các vế của bất phương trình có nghĩa.

III. Hai bất phương trình tương ñương

Hai bất phương trình (hệ bất phương trình) ñược gọi là tương ñương ñương với nhau khi chúng có cùng tập nghiệm.

IV. Các phép biến ñổi bất phương trình

Kí hiệu D là tập các số thực thỏa mãn ñiều kiện xác ñịnh của bất phương trình

( ) ( )P x Q x< .

1) Phép cộng : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P x Q x P x f x Q x f x< ⇔ + < + .

2) Phép nhân :

�Nếu ( ), 0x D f x∀ ∈ > thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). . .P x Q x P x f x Q x f x< ⇔ <

�Nếu ( ), 0x D f x∀ ∈ < thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). . .P x Q x P x f x Q x f x< ⇔ >

3) Phép bình phương :

Nếu ( ), 0x D P x∀ ∈ ≥ và ( ) 0Q x ≥ thì ( ) ( ) ( ) ( )2 2 .P x Q x P x Q x< ⇔ <

www.VNMATH.com

58


Vấn ñề 1. Tìm ñiều kiện xác ñịnh của một bất phương trình

Phương pháp :

Cần chú ý các ñiều kiện sau :

� A có nghĩa 0A⇔ ≥ ;

�A

B có nghĩa 0B⇔ ≠ ;

�A

B có nghĩa 0B⇔ > .

Bài tập 1. Tìm ñiều kiện xác ñịnh của bất phương trình sau :

a) 2 4 3 1x x− ≥ − + b) 2 1 1

11

x

x x

+< −

−

Giải

a) ðiều kiện : 2 4 0 2

2 3.3 0 3

x xx

x x

− ≥ ≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤

− ≥ ≤

b) ðiều kiện : 1 0 1

0 0

x x

x x

− ≠ ≠ ⇔

> > .

Bài tập 2. Tìm ñiều kiện xác ñịnh của bất phương trình sau :

a) 2

22 6 1

15x x

x+ − ≥ −

− b)

2 11

3 3 2 6

x

x x

−> −

− −

Giải

a) ðiều kiện : 2

6 0 66.

525 0

x xx

xx

− ≥ ≥⇔ ⇔ ≥

≠ ±− ≠

b) ðiều kiện :

2 0 2

3 3 0 1 3.

2 6 0 3

x x

x x x

x x

− ≥ ≥

− ≠ ⇔ ≠ ⇔ > − > >

www.VNMATH.com

59

Vấn ñề 2. Xét sự tương ñương hai bất phương trình

Phương pháp :

Ta so sánh hai tập nghiệm của hai bất phương trình và dựa vào ñịnh nghĩa ñể xét sự tương ñương của chúng.

Bài tập 1. Hai bất phương trình sau có tương ñương không ? Vì sao ?

a) (x + 7)(2x + 1) > (x + 7)2 (1) và 2x + 1 > x + 7 (2).

b) 2

3 5

1

x

x

−+

> 7 (3) và 3x - 5 > 7(x2 + 1) (4).

Giải a) Bất phương trình (1) và (2) là không tương ñương vì x = -8 là một nghiệm của (1) nhưng x = -8 không là nghiệm của bất phương trình (2). b) Hai bất phương trình (3) và (4) là tương ñương vì từ bất phương trình (3) ta nhân hai vế với biểu thức x2 + 1 > 0 ta ñược bất phương trình (4). Bài tập 2. Hai bất phương trình sau có tương ñương không ? Vì sao ?

a) ( )2 0 5x − ≤ và ( )2 0 6x − ≤ .

b) ( )2 1 0 7x x+ + < và ( )2 1 0 8x x− + < .

Giải a) ( ) { }15 2 0 2 2x x S⇔ − = ⇔ = ⇒ =

( ) ( ]2 16 2 ;2x S S⇔ ≤ ⇒ = −∞ ≠ . Vậy (5) và (6) không tương ñương với nhau.

b) ( ) ( )2

1 37 0 7

2 4x ⇔ + + < ⇒

vô nghiệm 1 .S⇒ =∅

( ) ( )2

1 38 0 8

2 4x ⇔ − + < ⇒

vô nghiệm 2 1.S S⇒ =∅ =

Vậy (7) và (8) tương ñương nhau. Vấn ñề 3. Giải bất phương trình, hệ bất phương trình

Phương pháp :

� ðặt ñiều kiện cho bất phương trình, hệ bất phương trình;

�Biến ñổi bất phương trình, hệ bất phương trình ñã cho về bất phương trình, hệ bất phương trình ñơn giản hơn;

�Giải bất phương trình, hệ bất phương trình ñó;

�So sánh với ñiều kiện và kết luận tập nghiệm.

www.VNMATH.com

60

Lưu ý : Có thể dựa vào ñiều kiện của bất phương trình ñể nhận xét về sự vô nghiệm, vô số nghiệm của bất phương trình.

Bài tập 1. Giải các bất phương trình sau:

a) ( )1 1 1x x− ≥ − b) ( )−≤

− −

2 42

4 4

x

x x

Giải

a) ðK : 1 0 1

11 0 1

x xx

x x

− ≥ ≥ ⇔ ⇔ =

− ≥ ≤ .

Thay x = 1 vào ( )1 ta ñược 1 1 1 1− ≥ − ( ñúng) nên x = 1 là nghiệm của (1).

b) ðK : x > 4.

( )2 2 4 6.x x⇒ − ≤ ⇔ ≤ Kết hợp với ñiều kiện x > 4 ta ñược 4 6x< ≤ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (2) là ( ]4;6S = .

Bài tập 2. Giải các hệ bất phương trình sau:

a)

xx

x x

15 88 5

23

2(2 3) 54

−− >

− > −

b)

−< +

+ ≥ −

xx

xx

4 53

73 8

2 54

Giải

a)

− >− > − > − >⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈∅ − > − < − < − − > −

xxx x x x x

x x x xx x

15 828 5

16 10 15 8 22 213 16 24 20 3 4 21

2(2 3) 5 44

Vậy hệ bất phương trình ñã cho vô nghiệm ( S =∅ ).

b)

−< + > − − < + > −⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − < ≤ + + ≥ − ≤ ≥ − ≤

xx xx x x x

x x x xx x

4 5 263 26 284 5 7 21 3 267 3

3 8 3 8 8 20 5 28 28 3 52 54 5

.

Vậy hệ bất phương trình ñã cho có tập nghiệm 26 28

; .3 5

S = −

www.VNMATH.com

61


Bài 1. Tìm ñiều kiện xác ñịnh của các bất phương trình sau :

a) x x≤ − b) 4 1 4x x x+ − < + −

c) ( )2 2

3 11

1 2

x

x x

+≥ +

− − d) 2 2x x x− + < +

e) 3

16 21

xx

x

−≥ −

+ f)

( )( )1 1 3

3 41 6

x

x xx x

++ ≤

− +− −.

Bài 2. Các cặp bất phương trình sau có tương ñương không ? Vì sao ?

a) 3 7

1 2 3x x>

− + và ( ) ( )3 2 3 7 1x x+ > −

b) 3 3

73 3

xx x

+ < +− −

và 7x <

c) 2 2 7 0x x− + ≤ và 2 1 0x + <

d) 1x x− ≥ và ( ) ( )1 1 1x x x x+ − ≥ +

Bài 3. Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm :

a) 6 3 4x x− + − ≥ − b) ( ) ( )4 23 10 1 16x x x x− − − > + −

c) 2

2

41 4

1x

x+ + <

+ d) 42 31 1 2 1x x x x+ + − + < + .

Bài 4. Giải các bất phương trình :

a) 1 3 1x x− < + − b) ( )10 4

44

x x

x

− −>

−

c) ( ) ( ) ( )25 3 10 25 0x x x x+ − − + > d) 2x x+ ≤ .

Bài 5. Giải các hệ bất phương trình sau :

a)

x x

xx

2 3 3 1

4 55

3 82 3

− +<

+ < −

b)

x x x

x x x

3 1 3( 2) 5 31

4 8 24 1 1 4 5

318 12 9

− − −− − >

− − − − > −

Bài 6. Tìm các nghiệm nguyên của các hệ bất phương trình sau :

a) x x

xx

56 4 7

78 3

2 252

+ > +

+ < +

b) x x

xx

115 2 2

33 14

2( 4)2

− > +

− − <

.

www.VNMATH.com

62

§3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT


I. Nhị thức bậc nhất

Nhị thức bậc nhất ñối với x là biểu thức có dạng ( )f x ax b= + , trong ñó a, b là hai số thực ñã

cho, với 0a ≠ .

II. Dấu của nhị thức bậc nhất

Cho nhị thức bậc nhất ( ) ( )0f x ax b a= + ≠

� ( )f x cùng dấu với hệ số a ;b

xa

⇔ ∈ − +∞

.

� ( )f x trái dấu với hệ số a ;b

xa

⇔ ∈ −∞ −

.

Bảng xét dấu:


Vấn ñề 1. Xét dấu biểu thức

Phương pháp :

� Biến ñổi biểu thức f(x) về tích, thương các nhị thức

� Tìm các nghiệm của các nhị thức có trong biểu thức f(x)

� Lập bảng xét dấu các nhị thức và suy ra dấu của biểu thức f(x).

Bài tập 1. Xét dấu các nhị thức :

a) ( ) 3 5f x x= − b) ( ) 5 6f x x= − − c) ( ) ( )2 1 2f x m x m= + −

Giải

x −∞ b

a− +∞

ax + b 0a > - 0 +

0a < + 0 -

www.VNMATH.com

63

a) �Ta có : 5

3 5 03

x x− = ⇔ = .

�Bảng xét dấu :

x −∞ 5

3 +∞

f(x) - 0 +

�Vậy : ( ) 50 ;

3f x x

> ⇔ ∈ +∞

; ( ) 50 ;

3f x x

< ⇔ ∈ −∞

b) Ta có : 6

5 6 05

x x− − = ⇔ = − .

Bảng xét dấu :

x −∞ 6

5− +∞

f(x) + 0 -

Vậy : ( ) 60 ;

5f x x

> ⇔ ∈ −∞ −

;

( ) 60 ;

5f x x

< ⇔ ∈ − +∞

.

c) Ta có : ( )22

21 2 0

1

mm x m x

m+ − = ⇔ =

+

Hệ số 2 1 0, .a m m= + > ∀ ∈ℝ

Bảng xét dấu :

x −∞

2

2

1

m

m + +∞

f(x) - 0 +

Vậy : ( ) 2

20 ;

1

mf x x

m

< ⇔ ∈ −∞ +

;

www.VNMATH.com

64

( ) 2

20 ;

1

mf x x

m

> ⇔ ∈ +∞ +

.

Bài tập 2. Xét dấu các biểu thức sau :

a) ( ) ( )( )1 3 4f x x x= − − + b) ( ) ( )21 9 2

3 4f x x

x = − − −

.

Giải

a) Ta có : 1 0 1x x− − = ⇔ = − ; 3

3 4 04

x x−

+ = ⇔ = .

Bảng xét dấu :

x −∞ -1

3

4− +∞

- x -1 + 0 - | -

3x + 4 - | - 0 +

f(x) - 0 + 0 -

Vậy : ( ) 30 1;

4f x x

> ⇔ ∈ − −

;

( ) ( ) 30 ; 1 ;

4f x x

< ⇔ ∈ −∞ − ∪ − +∞

.

b) ( ) ( ) ( ) ( )3 6 9 221 9 2

3 4 3 4

x xf x x

x x

− − = − − = − −

Ta có : 3 6 0 2;x x− = ⇔ =

9

9 2 0 ;2

x x− = ⇔ =

4

3 4 0 .3

x x− = ⇔ =

www.VNMATH.com

65

Bảng xét dấu :

x −∞

4

3 2

9

2 +∞

3x - 6 - | - 0 + | +

9 – 2x + | + | + 0 -

3x - 4 - 0 + | + | +

f(x) + || - 0 + 0 -

Vậy : ( ) 4 90 ; 2;

3 2f x x

> ⇔ ∈ −∞ ∪

;

( ) 4 90 ;2 ;

3 2f x x

< ⇔ ∈ ∪ +∞

.

Vấn ñề 2. Giải bất phương trình

Phương pháp :

� Chuyển hết các số hạng sang cùng một vế và ñưa chúng về tích, thương các nhị thức, gọi vế ñó là vế trái (VT) của bất phương trình.

� Lập bảng xét dấu vế trái của bất phương trình.

� Dựa vào bảng xét dấu kết luận tập nghiệm của bất phương trình.

Bài tập 1. Giải các bất phương trình sau :

a) x x x( 1)( 1)(3 6) 0+ − − > (1) b) − − ≤(2 7)(4 5 ) 0x x (2)

Giải

a) � Ta có : + = ⇔ = −1 0 1;x x

− = ⇔ =1 0 1;x x

− = ⇔ =3 6 0 2x x .

www.VNMATH.com

66

� Bảng xét dấu :

� Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( ) ( )1;1 2;S = − ∪ +∞ .

b) Ta có : − = ⇔ =7

2 7 0 ;2

x x

− = ⇔ =4

4 5 05

x x . .

Bảng xét dấu :

x −∞

4

5

7

2 +∞

−4 5x + 0 - | -

−2 7x - | - 0 +

VT(2) - 0 + 0 -

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 4 7

; ;5 2

S = −∞ ∪ +∞

.


a) x

x

2 51

2

−≥ −

− b)

2 3

1 2 1x x≤

− +

Giải

a) − − −

≥ − ⇔ + ≥ ⇔ ≥− − −

2 5 2 5 31 1 0 0

2 2 2

x x x

x x x (3)

Ta có : − = ⇔ =3 0 3;x x

− = ⇔ =2 0 2.x x

x −∞ -1 1 2 +∞

x + 1 - 0 + | + | +

x - 1 - | - 0 + | +

3x - 6 - | - | - 0 +

VT(1) - 0 + 0 - 0 +

www.VNMATH.com

67

Bảng xét dấu :

x −∞ 2 3 +∞

−3x - | - 0 +

−2 x + 0 - 0 -

VT(3) - || + 0 -

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( ]2;3S = .

b) ( )( )

2 3 2 3 7 10 0

1 2 1 1 2 1 1 2 1

x

x x x x x x

−≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤

− + − + − + (4)

Ta có : − = ⇔ =1

7 1 0 ;7

x x

− = ⇔ =1 0 1x x ;

1

2 1 02

x x+ = ⇔ = − .

Bảng xét dấu :

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( )1 1; 1;

2 7S

= − ∪ +∞ .

Vấn ñề 3. Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt ñối

Phương pháp :

1) Với a > 0, ta có :

� ( ) ( )f x a a f x a≤ ⇔ − ≤ ≤

� ( ) ( )f x a f x a≥ ⇔ ≥ hoặc ( )f x a≤ − .

x −∞ 1

2−

1

7 1 +∞

7 1x − - | - 0 + | +

1 x− + | + | + 0 -

2 1x + - 0 + | + | +

VT(4) + || - 0 + || -

www.VNMATH.com

68

2) Áp dụng công thức :

� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x g x f x g x≤ ⇔ − ≤ ≤

� ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x≥ ⇔ ≥ hoặc ( ) ( )f x g x≤ − .


a) 2x 8 7− ≤ b) x3 2 7− >

Giải

a)

≤ − ≤− ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤ − ≥ − ≥

151 152 8 7 22x 8 7

2 8 7 1 2 22

xx xx

x

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là 1 15

;2 2

S =

.

b) > − > − > ⇔ ⇔ − < − < −

33 2 73 2 7 53 2 7

3

xxxx x

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là ( )5; 3;

3S

= −∞ − ∪ +∞

.


a) x x2 1+ ≤ b) x x2 1− > +

Giải

a) ≤ − + ≤+ ≤ ⇔ ⇔ + ≥ − ≥ −

12 12 1 12 1

3

xx xx xx x x

(vô lí)

Vậy bất phương trình vô nghiệm.

b) − > + − >− > + ⇔ ⇔ ⇔ < − < − − <

12 1 2 12 12 1 2 1 2

x xx x xx x x

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là 1

;2

S = −∞

.

www.VNMATH.com

69

Chú ý : Ta có thể giải các bất phương trình trên bằng cách sử dụng ñịnh nghĩa ñể khử dấu giá trị

tuyệt ñối , , 0

, 0

A AA

A A

≥=

− <.


Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau :

a) ( ) ( )( ) ( )2 1 4 3 3f x x x x= − + − − b) ( ) 1 4

2 5 8 3f x

x x= +

− −

Bài 2. Giải các bất phương trình sau: a) + − >(2 1)( 1) 0x x b) − − − ≥( 2 7)(4 5 ) 0x x

c) x x

x

(2 5)( 2)0

4 3

− +>

− + d)

x x

2 5

1 2 1≤

− −.

Bài 3. Giải các bất phương trình sau:

a) 1 1 1

1 2 2x x x+ >

− − − b)

4 3 3 47

2 3

x x

x x

− −≥ −

− + c)

3 2

2

2 40

12

x x x

x x

− +≤

− −.

Bài 4. Giải các bất phương trình sau:

a) x5 12 3− < b) x3 15 3+ ≥

c) + ≤ −2 1 4x x d) +

− ≤1

2 52

xx .

www.VNMATH.com

70

§4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN


I. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. ðịnh nghĩa :

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax by c+ < hoặc ax by c+ ≤ hoặc ax by c+ > hoặc ax by c+ ≥ (*), trong ñó a, b, c là các số thực ñã cho và a, b không ñồng thời bằng 0 còn x, y là các ẩn số.

Trong mặt phẳng tọa ñộ 0xy, tập hợp các ñiểm có tọa ñộ là nghiệm của bất phương trình (*) ñược gọi là miền nghiệm của nó.

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải tìm miền nghiệm chung của chúng.

2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax by c+ ≤ (1), trong ñó a, b là hai số không ñồng thời bằng 0 :

Bước 1 : Trên mặt phẳng tọa ñộ 0xy, vẽ ñường thẳng :ax by c∆ + = .

Bước 2 : Lấy một ñiểm ( )0 0 0;M x y ∉∆ (ta thường lấy gốc tọa ñộ 0).

Bước 3 : Tính 0 0ax by+ và so sánh với c.

Bước 4 : Kết luận :

� Nếu 0 0ax by c+ < thì nửa mặt phẳng bờ là ∆ chứa ñiểm 0M là miền

nghiệm của ax by c+ ≤

� Nếu 0 0ax by c+ > thì nửa mặt phẳng bờ là ∆ không chứa ñiểm 0M là

miền nghiệm của ax by c+ ≤

Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ' ' '

ax by c

a x b y c

+ ≤

+ <.

� Vẽ các ñường thẳng : ax by c∆ + = và ' : ' ' 'a x b y c∆ + = .

� Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình và tìm giao của chúng.

II. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F ax by= +

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dạng F ax by= + , trong ñó (x; y) nghiệm ñúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ñã cho.

www.VNMATH.com

71

Vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình ñã cho, ñó thường là một miền ña giác. Tính giá trị của F ứng với (x;y) là tọa ñộ các ñỉnh của miền ña giác này rồi so sánh các kết quả. Từ ñó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức.


Vấn ñề 1. Xác ñịnh miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp :

� Xem phần kiến thức cần nhớ

� Chú ý : Miền nghiệm của bất phương trình ax by c+ < là miền nghiệm của bất phương trình ax by c+ ≤ bỏ ñi bờ : ax by c∆ + = .

Bài tập 1. Xác ñịnh miền nghiệm của bất phương trình 2 2x y− ≤ .

Giải

� Vẽ ñường thẳng : 2 2x y∆ − = .

� Lấy ñiểm ( )0;0O ∉∆ . Ta có : 2.0 0 2− < .

� Vậy miền nghiệm của bất phương trình

là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa ñộ 0 (kể cả bờ : 2 2x y∆ − = ). ðó là miền không bị gạch

chéo.

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

x

y

O

: 2 2x y∆ − =

Bài tập 2. Xác ñịnh miền nghiệm của bất phương trình 4x y x+ > − .

Giải

Ta có : 4 2 4x y x x y+ > − ⇔ + >

� Vẽ ñường thẳng : 2 4x y∆ + = .

� Lấy ñiểm ( )0;0O ∉∆ . Ta có : 2.0 0 4+ < .

� Vậy miền nghiệm của bất phương trình

là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa ñộ 0 (không kể bờ : 2 4x y∆ + = ). ðó là miền không bị gạch chéo.

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y

0

: 2 4x y∆ + =

www.VNMATH.com

72

Vấn ñề 2. Xác ñịnh miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp :

� Xác ñịnh miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ và gạch bỏ phần còn lại.

� Sau khi ñã xác ñịnh hết tất cả các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ thì miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ.

Bài tập. Xác ñịnh miền nghiệm của hệ bất phương trình

3

3 3

3 3

x y

x y

x y

+ ≤

− ≥ − − ≤

.

Giải

� Vẽ các ñường thẳng :

1 : 3d x y+ = ;

2 : 3 3d x y− = − ;

3 : 3 3d x y− = .

� Ta có :

( )1 2 0;3d d A∩ = ;

( )1 3 3;0d d B∩ = ;

2 33 3

;2 2

d d C ∩ = − −

.

� Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch chéo (kể cả bờ tức các cạnh của tam giác ABC).

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

O

1 : 3d x y+ =2 : 3 3d x y− = −

3 : 3 3d x y− =

A

B

C

Vấn ñề 3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F ax by= + , với (x;y) nghiệm ñúng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước

Phương pháp :

� Tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình, thường là một ña giác.

� Tính giá trị của F ứng với (x;y) là tọa ñộ các ñỉnh của ña giác.

� Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của F lần lượt là số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các giá trị tìm ñược.

www.VNMATH.com

73

Bài tập. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 25 40 5F x y= − + với (x;y) là nghiệm của

hệ bất phương trình

3

3 3

3 3

x y

x y

x y

+ ≤

− ≥ − − ≤

.

Giải

� Miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch chéo (kể cả các cạnh của tam giác ABC)

� Tại ( )0;3A , 25.0 40.3 5 115F = − + = − ;

Tại ( )3;0 , 25.3 40.0 5 80B F = − + = ;

Tại 3 3

;2 2

C − −

3 3 55

25 40 52 2 2

F = − − − + =

.

� Vậy GTLN của F là 80 ñạt ñược khi

x = 3, y = 0.

GTNN của F là -115 ñạt ñược khi

x = 0, y = 3.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

O

1 : 3d x y+ =2 : 3 3d x y− = −

3 : 3 3d x y− =

A

B

C


Bài 1. Tìm miền nghiệm của các bất phương trình : a) 2 5 2 8x y+ ≥ − b) 8 4 6x y x− < −

Bài 2. Tìm miền nghiệm của các hệ bất phương trình :

a) 3 0

2 3 1 0

y

x y

− <

− + > b)

2 2

3 9

x y

x y

− ≤

+ ≥ c)

2 1 0

3 5 0

x

x

− ≤− + <

d)

3 6

4

0

0

x y

x y

x

y

+ ≤ + ≤

≥ ≥

Bài 3. a) Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình :

( )2 0

1 0

2 1 0

x y

H x y

x y

+ + ≤

− − ≤ − + ≥

b) Tìm x, y thỏa (H) sao cho 2 3 4F x y= + − ñạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

www.VNMATH.com

74

§5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI


1. Dấu của tam thức bậc hai

Cho ( ) ( )2 20 , 4f x ax bx c a b ac= + + ≠ ∆ = − .

� Nếu 0∆ < thì ( )f x cùng dấu với hệ số a, x∀ ∈ℝ .

� Nếu 0∆ = thì ( )f x cùng dấu với hệ số a, \b

xa

∀ ∈ −

ℝ .

� Nếu 0∆ > thì ( ) 0f x = có hai nghiệm x1, x2 (quy ước x1 < x2). Khi ñó ( )f x cùng dấu với hệ

số a khi x < x1 hoặc x > x2 , trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2 . Bảng xét dấu : 2. Một số ñiều kiện tương ñương Nếu 2ax bx c+ + là một tam thức bậc hai ( 0a ≠ ) thì :

1) 20ax bx c+ + = có nghiệm 2

4 0b ac⇔ ∆ = − ≥ ;

2) 20ax bx c+ + = có hai nghiệm trái dấu 0ac⇔ < ;

3) 20ax bx c+ + = có hai nghiệm dương

0

0

0

c

a

b

a

∆ ≥⇔ >− >

4) 20ax bx c+ + = có hai nghiệm âm

0

0

0

c

a

b

a

∆ ≥⇔ >− <

5) 20

0,0.

aax bx c x

>+ + > ∀ ∈ ⇔ ∆ <

ℝ

6) 20

0,0.

aax bx c x

>+ + ≥ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤

ℝ

7) 20

0,0.

aax bx c x

<+ + < ∀ ∈ ⇔ ∆ <

ℝ

x −∞ 1x 2x +∞

( )f x cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a

www.VNMATH.com

75

8) 20

0,0.

aax bx c x

<+ + ≤ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤

ℝ


Vấn ñề 1. Xét dấu biểu thức

Phương pháp :

Áp dụng ñịnh lí về dấu của tam thức bậc hai.

� Biến ñổi biểu thức f(x) về tích, thương các nhị thức, tam thức bậc hai.

� Tìm các nghiệm của các nhị thức, tam thức có trong biểu thức f(x).

� Lập bảng xét dấu các nhị thức, tam thức và suy ra dấu của biểu thức f(x).

Bài tập 1. Xét dấu các tam thức bậc hai :

a) ( ) 2 1f x x x= + + b) ( ) 2 4 4f x x x= − + c) ( ) 24 5f x x x= + − .

Giải

a) Ta có : 21 4.1.1 3 0∆ = − = − < mà a = 1 > 0 ( ) 0,f x x⇒ > ∀ ∈ℝ .

b) Ta có : ( )24 4.1.4 0 f x∆ = − = ⇒ có nghiệm kép x = 2 mà a = 1 > 0

( ) { }0, \ 2f x x⇒ > ∀ ∈ℝ .

c) Ta có : 21

4 5 0 5

4

xx x

x

=+ − = ⇔ = −

.

Bảng xét dấu :

x −∞ 5

4− 1 +∞

( )f x + 0 - 0 +

Vậy : ( ) ( )50 ; 1;

4f x x

> ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞

; ( ) 50 ;1

4f x x

< ⇔ ∈ −

.

www.VNMATH.com

76

Bài tập 2. Xét dấu các biểu thức sau :

a) ( ) ( )( )2 29 14 5 4f x x x x x= − + − + − b) ( )( )( )2

2

7 2

2 3

x x xf x

x x

− + −=

− +.

Giải

a) Ta có : 2 29 14 0

7

xx x

x

=− + = ⇔ =

;

2 15 4 0

4

xx x

x

=− + − = ⇔ =

.

Bảng xét dấu :

x −∞ 1 2 4 7 +∞

2 9 14x x− + + | + 0 - | - 0 +

2 5 4x x− + − - 0 + | + 0 - | -

( )f x - 0 + 0 - 0 + 0 -

Vậy : ( ) ( ) ( )0 1;2 4;7f x x> ⇔ ∈ ∪ ;

( ) ( ) ( ) ( )0 ;1 2;4 7;f x x< ⇔ ∈ −∞ ∪ ∪ +∞ .

b) Ta có : 7 0 7x x− = ⇔ = ;

2 12 0

2

xx x

x

=+ − = ⇔ = −

;

22 3 0x x− + = (vô nghiệm).

Bảng xét dấu :

x −∞ -2 1 7 +∞

7x − - | - | - 0 +

2 2x x+ − + 0 - 0 + | +

22 3x x− + + | + | + | +

( )f x - 0 + 0 - 0 +

Vậy : ( ) ( ) ( )0 2;1 7;f x x> ⇔ ∈ − ∪ +∞ ;

www.VNMATH.com

77

( ) ( ) ( )0 ; 2 1;7f x x< ⇔ ∈ −∞ − ∪ .

Vấn ñề 2. Giải bất phương trình

Phương pháp :

� Chuyển hết các số hạng sang cùng một vế và ñưa chúng về tích, thương các nhị thức, tam thức bậc hai, gọi vế ñó là vế trái (VT) của bất phương trình.

� Lập bảng xét dấu vế trái của bất phương trình.

� Dựa vào bảng xét dấu kết luận tập nghiệm của bất phương trình.

Bài tập 1. Giải các bất phương trình : a) − x2 + 6x − 9 > 0 (1) b) −12x2 + 3x +1 < 0 (2).

Giải

a) Ta có : − x2 + 6x − 9 = 0 3x⇔ = (nghiệm kép)

Bảng xét dấu :

x −∞ 3 +∞

VT(1) - 0 -

Vậy bất phương trình ñã cho vô nghiệm.

b) Ta có : −12x2 + 15x - 3 = 0 1

1

4

x

x

=⇔ =

Bảng xét dấu :

x −∞ 1

4 1 +∞

VT(2) - 0 + 0 -

Vậy bất phương trình ñã cho có tập nghiệm ( )1; 1;4

S = −∞ ∪ +∞

.

Bài tập 2. Giải các bất phương trình :

a) (2x − 8)(x2 − 4x + 3) ≥ 0 (3) b) 2

2

6 7 31

3 2 5

x x

x x

− −≤

− −

Giải a) Ta có : 2 8 0 4x x− = ⇔ = ;

www.VNMATH.com

78

2 14 3 0

3

xx x

x

=− + = ⇔ =

.

Bảng xét dấu :

x −∞ 1 3 4 +∞

2 8x − - | - | - 0 +

2 4 3x x− + + 0 - 0 + | +

VT(3) - 0 + 0 - 0 +

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [ ] [ )1;3 4;S = ∪ +∞ .

b) 2 2 2

2 2 2

6 7 3 6 7 3 3 5 21 1 0 0

3 2 5 3 2 5 3 2 5

x x x x x x

x x x x x x

− − − − − +≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤

− − − − − − (4).

Ta có : 2

13 5 2 0 2

3

xx x

x

=− + = ⇔ =

;

2

13 2 5 0 5

3

xx x

x

= −− − = ⇔ =

.

Bảng xét dấu :

x −∞ -1

2

3 1

5

3 +∞

23 5 2x x− + + | + 0 - 0 + | +

23 2 5x x− − + 0 - | - | - 0 +

VT(4) + || - 0 + 0 - || +

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 2 5

1; 1;3 3

S = − ∪

.

Bài tập 3. Giải hệ bất phương trình : ( )

( )

23 10 3 0 1

20 2

5

x x

x

x

− + ≥ −

≥−

.

Giải

www.VNMATH.com

79

� Giải (1) :

Ta có : 2 23

13 10 3 0 3 10 3 01

33

xx x x x x

x

=− + = ⇔ ⇒ − + ≥ ⇔ ≤ =

hoặc 3x ≥

⇒ tập nghiệm của bất phương trình (1) là [ )11

; 3;3

S = −∞ ∪ +∞

.

� Giải (2) : 2

0 2 55

xx

x

−≥ ⇔ ≤ <

−

⇒ tập nghiệm của bất phương trình (2) là [ )2 2;5S = .

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là [ )1 2 3;5S S S= ∩ = .

Trong thực hành ta thường giải hệ trên bằng phép biến ñổi tương ñương như sau :

2

11

33 10 3 0 3 2 5 3 52 3 3 50 35 2 52 5

xxx x xx xx x x

xx xx

≤ ≤ − + ≥ ∈∅ ≤ < ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ < − ≥ ≤ < ≥ ≥− ≤ < ≤ <

.

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là [ )3;5S = .

Vấn ñề 3. ðịnh m ñể (((( )))) 2f x ax bx c= + += + += + += + + có dấu không ñổi

Phương pháp :

� Áp dụng hệ quả của dấu tam thức (phần 2) với chú ý rằng khi a chứa tham số, ta phải xét trường hợp a = 0.

Bài tập 1. Tìm các giá trị của tham số m ñể phương trình sau vô nghiệm

( ) ( ) ( )22 2 2 3 5 6 0 1m x m x m− + − + − = .

Giải

� Trường hợp 2 0 2m m− = ⇔ = :

( )1 2 4 0 2x x⇔ + = ⇔ = − , phương trình (1) có nghiệm.

� Trường hợp 2 0 2m m− ≠ ⇔ ≠ :

(1) vô nghiệm ( ) ( )( )2 2

2 22

' 0 2 3 2 5 6 0 4 3 0

m mm

m m m m m

≠ ≠≠ ⇔ ⇔ ⇔

∆ < − − − − < − + − <

www.VNMATH.com

80

21

13

3

mm

mm

m

≠<

⇔ ⇔< > >

.

Vậy phương trình vô nghiệm 1

3

m

m

<⇔ >

.

Bài tập 2. Cho bất phương trình ( ) ( )21 2 1 3 3 0m x m x m+ − − + − ≥ (2).

Tìm các giá trị của tham số m ñể bất phương trình (2) vô nghiệm . Giải

� Trường hợp 1 0 1m m+ = ⇔ = − :

(2) 3

4 6 02

x x⇔ − ≥ ⇔ ≥ , bất phương trình (2) có nghiệm.

� Trường hợp 1m ≠ − :

(2) vô nghiệm ( ) ( )( )2 2

1 11 0

' 0 1 1 3 3 0 2 2 4 0

m mm

m m m m m

< − < −+ < ⇔ ⇔ ⇔

∆ < − − + − < − − + <

1

22

1

m

mm

m

< −

⇔ ⇔ < −< − >

.

Vậy bất phương trình vô nghiệm 2m⇔ < − .

Bài tập 3. Cho bất phương trình ( ) ( )21 2 1 1 0m m x m x− + − + ≥ (3).

Tìm các giá trị của tham số m ñể bất phương trình (3) nghiệm ñúng x∀ ∈ℝ . Giải

� Trường hợp ( )1 0 0m m m− = ⇔ = hoặc 1m = :

� Với 0m = , (3) 1

2 1 02

x x⇔ − + ≥ ⇔ ≤ , (3) không nghiệm ñúng x∀ ∈ℝ .

� Với 1m = , (3) 1 0⇔ ≥ , x∀ ∈ℝ , (3) nghiệm ñúng x∀ ∈ℝ .

� Trường hợp ( )1 0 0m m m− ≠ ⇔ ≠ và 1m ≠ :

(3) nghiệm ñúng x∀ ∈ℝ( )

( ) ( )

2

2

1 00 0' 0 1 01 1 0

m ma m m

mm m m

− > > − > ⇔ ⇔ ⇔

∆ ≤ − + ≤− − − ≤

www.VNMATH.com

81

0

11

1

m

mm

m

<⇔ ⇔ >> ≥

.

Vậy 1m ≥ , bất phương trình nghiệm ñúng x∀ ∈ℝ .


Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau :

a) 22 5 2x x+ + b) 24 3 1x x− − c) 23 5 1x x− + +

d) ( ) 2(3 10 3)(4 5)f x x x x= − + − e) ( ) 2

10 1

25

xf x

x

−= −

+

Bài 2. Giải bất phương trình :

a) x x22 3 7 0− + − ≥ b) x x23 4 4 0− + ≥ c) x x2 6 0− − ≤

d) x x

x x

2

2

3 40

3 5

− − +>

+ + e)

x x

x x

2

2

4 3 10

5 7

+ −>

+ + f)

x x

x x

2

2

5 3 80

7 6

+ −<

− +.

Bài 3. Giải hệ bất phương trình :

a) − ≥

− − <

2

29 0

4 3 0

x

x x b)

+ + ≥

− − <

2

24 3 0

2 10 0

x x

x x c)

2

2

2 74 1

1

x x

x

− −− ≤ ≤

+.

Bài 4. Tìm m ñể các phương trình sau có nghiệm

a) m x mx m2( 5) 4 2 0− − + − = b) m x m x m2( 2) 2(2 3) 5 6 0− + − + − = .

Bài 5. Tìm m ñể các phương trình sau vô nghiệm

a) m x m x m2(3 ) 2( 3) 2 0− − + + + = b) m x mx m2(1 ) 2 2 0+ − + = .

Bài 6. Tìm m ñể các bất phương trình sau vô nghiệm

a) m x m x2( 2) 2( 1) 4 0+ − − + < b) − + + − ≥2( 3) ( 2) 4 0m x m x .

Bài 7. Tìm m ñể các bất phương trình sau nghiệm ñúng với mọi x

a) + − − + ≥22 ( 2) 4 0x m x m b) mx m x m2 ( 1) 1 0+ − + − < .

www.VNMATH.com

82

CHƯƠNG V THỐNG KÊ

§1. BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤT


1. Tần số

Tần số của giá trị xi là số lần lập lại của giá trị xi trong cuộc ñiều tra. Tần số của giá trị xi ñược kí hiệu là ni .

2. Tần suất

Tần suất của giá trị xi là tỷ số giữa tần số của giá trị xi với tổng số n các phần tử ñiều tra. Tần suất của giá trị xi kí hiệu là fi.

Như vậy: ii

nf

n= .

3. Bảng phân bố tần số và tần suất

Từ số liệu ban ñầu ta lọc ra các giá trị xi và tần số ni tương ứng của chúng, rồi sắp xếp thành một bảng phân bố tần số - tần suất và ñược trình bày như sau:

Bảng 1

Giá trị của xi Tần số ni Tần suất fi (%) x1 n1 f1

x2 n2 f2

x3 n3 f3

x4 n4 f4

….. ….. ….. xm nm fm

Tổng n Tổng 100%

4. Bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp

Khi mẫu ñiều tra có kích thước lớn (nhiều phần tử) người ta thường nhóm các giá trị ñó thành từng lớp và lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp ñược trình bày như sau:

Bảng 2

Giá trị của xi Tần số ni Tần suất fi (%) [x1; x2) n1 f1

[x2; x3) n2 f2

[x3; x4) n3 f3

[x4; x5) n4 f4

….. ….. ….. [xm-1;xm] nm fm

Tổng n Tổng 100%

www.VNMATH.com

83


Vấn ñề 1. Lập bảng phân bố tần số và tần suất.

Phương pháp :

� Xác ñịnh các giá trị xi ;

� ðếm số lần xuất hiện các giá trị xi ( tần số ni ) ;

� Tính : ii

nf

n= .

Bài tập . Chiều cao của một nhóm 30 học sinh( ñơn vị : m ) lớp 10 ñược liệt kê ở bảng sau :

Hãy lập bảng phân bố tần số - tần suất.

1.45 1.58 1.51 1.52 1.52 1.67

1.50 1.60 1.65 1.55 1.55 1.64

1.47 1.70 1.73 1.59 1.62 1.56

1.48 1.48 1.58 1.55 1.49 1.52

1.52 1.50 1.60 1.50 1.63 1.71

www.VNMATH.com

84

Giải

Bảng phân bố tần số - tần suất:

Chiều cao Tần số Tần suất 1.45 1 3.33 1.47 1 3.33 1.48 2 6.67 1.49 1 3.33 1.50 3 10.0 1.52 4 13.33 1.55 3 10.0 1.56 1 3.33 1.58 2 6.67 1.59 1 3.33 1.60 2 6.67 1.61 1 3.33 1.62 1 3.33 1.63 1 3.33 1.64 1 3.33 1.65 1 3.33 1.67 1 3.33 1.70 1 3.33 1.71 1 3.33 1.73 1 3.33

n=50

Vấn ñề 2. Lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp.

Phương pháp:

� Xác ñịnh các lớp ghép theo yêu cầu của ñề bài; � ðếm số phần tử của mỗi lớp ghép ( tần số của lớp );

� Tính tần suất của mỗi lớp: ii

nf

n= .

Bài tập 1. Chiều cao của một nhóm 30 học ( ñơn vị: m ) lớp 10 ñược liệt kê ở bảng sau :

1.45 1.58 1.51 1.52 1.52 1.67

1.50 1.60 1.65 1.55 1.55 1.64

1.47 1.70 1.73 1.59 1.62 1.56

1.48 1.48 1.58 1.55 1.49 1.52

1.52 1.50 1.60 1.50 1.63 1.71

www.VNMATH.com

85

Hãy lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp với các lớp là: [1.45 ; 1.55) ;

[ 1.55 ; 1.65) ; [ 1.65 ; 1. 75].

Giải

Tần số của lớp 1 : [1.45 ; 1.55 ) là n1 = 12 ; tần suất 11

1240

30

nf

n= = = %.

Tần số của lớp 2 : [1.55 ; 1.65 ) là n2 = 13 ; tần suất 22

1343.33

30

nf

n= = ≈ %.

Tần số của lớp 3 : [1.65 ; 1.75 ] là n3 = 5 ; tần suất 33

516.67

30

nf

n= = ≈ %.

Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp :

Lớp chiều cao (m) Tần số Tần suất (%) [ 1.45 ; 1.55) 12 40.00 [ 1.55 ; 1.65) 13 43.33 [ 1.65 ; 1.75] 5 16.67

Cộng 30 100 %


Bài tập 1. Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau:

thời gian hoàn thành một sản phẩm ở một nhóm công nhân (ñơn vị: phút)

42 42 42 42 44 44 44 44 44 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45

45 45 45 54 54 54 50 50 50 50 48 48 48 48 48 48 48 48 48 48 48 50 50 50 50

a) Hãy lập bảng phân bố tần số, tần suất;

b) Trong 50 công nhân ñược khảo sát, những công nhân có thời gian hòan thành một sản phẩm từ 45 phút ñến 50 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?

Bài tập 2. Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau:

thời gian (phút) ñi từ nhà ñến trường của bạn A trong 35 ngày.

21 22 24 19 23 26 25 22 19 23 20 23 27 26 22 20 24 21 24 28 25 21 20 23 22 23 29 26 23 21 26 21 24 28 25

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp, với các lớp:

[19 , 21) ; [21 , 23) ; [ 23 , 25) ; [25 , 27) ; [27 , 29).

b) Trong 35 ngày ñược khảo sát, những ngày bạn A có thời gian ñi ñến trường từ 21 phút ñến dưới 25 phút chiếm bao nhiêu phần trăm ?

www.VNMATH.com

86

§2. BIỂU ðỒ


1. Biểu ñồ tần suất hình cột

Cách vẽ biểu ñồ hình cột:

• Vẽ hai ñường thẳng vuông góc. Trên ñường thẳng nằm ngang ( dùng làm trục số) ta ñánh dấu các khoảng xác ñịnh lớp.

• Tại mỗi khoảng ta dựng lên một hình cột chữ nhật, với ñáy là khoảng ñó, còn chiều cao bằng tần suất của lớp mà khoảng ñó xác ñịnh.

2. ðường gấp khúc tần suất

Cách vẽ ñường gấp khúc tần suất :

Ta vẽ hai ñường thẳng vuông góc ( như vẽ biểu ñồ hình cột). Trên mặt phẳng tọa ñộ xác ñịnh các ñiểm ( ci ; fi ) , i = 1, 2,….,n sau ñó vẽ các ñoạn thẳng nối các ñiểm ( ci ; fi ) với các ñiểm ( ci+1; fi+1 ), i = 1,2,…, n ta thu ñược một ñường gấp khúc. ðường gấp khúc này gọi là ñường gấp khúc tần suất.

3. Biểu ñồ hình quạt

Cách vẽ biểu ñồ hình quạt :

Vẽ hình tròn, chia hình tròn thành những hình quạt. mỗi lớp tương ứng với một hình quạt mà diện tích của nó tỉ lệ với tần suất của lớp ñó.


Vấn ñề 1. Vẽ biểu ñồ tần suất hình cột.

Phương pháp:

� Vẽ hai ñường thẳng vuông góc. Trên ñường thẳng nằm ngang ( dùng làm trục số) ta ñánh dấu các khoảng xác ñịnh lớp. � Tại mỗi khoảng ta dựng lên một hình cột chữ nhật, với ñáy là khoảng ñó, còn chiều cao bằng tần suất của lớp mà khoảng ñó xác ñịnh.

Bài tập 1. Thống kê ñiểm toán cuả 40 học sinh cuả một lớp người ta thu ñược mẫu số liệu ban ñầu như sau :

5 6 6 5 7 1 2 4 6 9 4 5 7 5 6 8 10 5 5 7 2 1 3 3 6 4 6 5 5 9 8 7 2 1 8 6 4 4 6 5

www.VNMATH.com

87

a) Hãy lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp như sau:

[1;2] ; [3;4] ; [5;6] ; [7;8] ; [9;10].

b) Vẽ biểu ñồ hình cột tần số.

Giải

ðiểm toán Tần số Tần suất % [1;2] 6 15 [3;4] 7 17,5 [5;6] 17 42,5 [7;8] 7 17,5

[9;10] 3 7,5

67

17

7

3

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Biểu ñồ tần số

[1;2]

[3;4]

[5;6]

[7;8]

[9;10]

tần số

ñiểm

Bài tập 2. Doanh thu của 20 công ty sản xuất ô tô trong năm vừa qua ñược cho như sau:

( ñơn vị triệu ñô la)

8 32 54 12 50 80 90 64 54 52

20 43 70 56 20 12 7 14 22 35

a) Hãy lập bảng phân bồ tần số -tần suất ghép lớp với các lớp như sau:

[0 ; 20) ; [20 ; 40) ; [40;60) ; [60 ; 80) ; [80 ; 100)

b) Vẽ biểu ñồ tần số hình cột

www.VNMATH.com

88

Giải

a) Bảng phân bồ tần số -tần suất ghép lớp :

b) Biểu ñồ tần số hình cột :

Vấn ñề 2. Vẽ biểu ñồ ñường gấp khúc tần số , tần suất ghép lớp.

Phương pháp:

� Ta vẽ hai ñường thẳng vuông góc ( như vẽ biểu ñồ hình cột). Trên mặt phẳng tọa ñộ xác ñịnh các ñiểm ( ci ; fi ) , i = 1, 2,….,n sau ñó vẽ các ñoạn thẳng nối các ñiểm ( ci ; fi ) với các ñiểm ( ci+1; fi+1 ), i = 1,2,…, n ta thu ñược một ñường gấp khúc.

Bài tập. Thống kê ñiểm toán cuả 40 học sinh cuả một lớp người ta thu ñược mẫu số liệu ban ñầu như sau:

5 6 6 5 7 1 2 4 6 9 4 5 7 5 6 8 10 5 5 7 2 1 3 3 6 4 6 5 5 9 8 7 2 1 8 6 4 4 6 5

a/ Hãy lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp như sau:

[1;2] ; [3;4] ; [5;6] ; [7;8] ; [9;10]

b/ Vẽ biểu ñồ ñường gấp khúc tần suất.

Giải

Lớp doanh thu Tần số Tần suất (%) [0 ; 20) 5 25

[20 ; 40) 5 25 [40 ; 60) 6 30 [60 ; 80) 2 10

[80 ; 100) 2 10

5 5

6

2 2

Biểu ñồ tần số

[0 ; 20)

[20 ; 40)

[40;60)

[60 ; 80)

[80 ; 100)

triệu ñô la

tần số

6

5

2

0

www.VNMATH.com

89

a/ Bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp :

ðiểm toán Tần số Tần suất % [1;2] 6 15 [3;4] 7 17,5 [5;6] 17 42,5 [7;8] 7 17,5

[9;10] 3 7,5

b/ Vẽ biểu ñồ ñường gấp khúc tần suất :

1517.5

42.5

17.5

7.5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

[1;2] [3;4] [5;6] [7;8] [9;10]

tần suất

ñiểm

Biểu ñồ ñường gấp khúc tần suất

Vấn ñề 3. Vẽ biểu ñồ hình hình quạt.

Phương pháp:

� Vẽ hình tròn; � Chia hình tròn thành các hình quạt; � Mỗi lớp ñược vẽ tương ứng với một hình quạt mà diện tích của nó tỉ lệ với tần suất của của lớp ñó.

Bài tập 1. Vẽ biểu ñồ hình quạt thống kê chiều cao của 36 học sinh(ñơn vị : cm) nam của một trường trung học phổ thông ñược cho bởi bảng phân bố tần số - tần suất sau:

Nhóm Lớp Tần số Tần suất 1 [160; 162] 6 16,7 2 [163; 165 ] 12 33,3 3 [166; 168 ] 10 27,8 4 [169; 171 ] 5 13.9 5 [172; 174 ] 3 8,3 n=36 100%

www.VNMATH.com

90

Giải

16.7 %

33.3 %27.8 %

13.9 %

8.3 %

Biểu ñồ tần suất hình quạt

1 2 3 4 5


Bài 1. Cơ cấu các loại ñất Việt Nam năm 2000 cho bởi bảng sau:

Loại ñất ðất nông nghiệp

ðất lâm nghiệp ðất chuyên dùng

và thổ cư ðất chưa sử dụng

Tỉ lệ % 28,4 35,2 6,0 30,4

Vẽ biểu ñồ cơ cấu các loại ñất Việt nam năm 2000?

Bài 2. Sau mét th¸ng gieo trång mét gièng hoa, ng−êi ta thu ®−îc sè liÖu sau vÒ chiÒu cao (®¬n vÞ lµ milimÐt) cña c¸c c©y hoa ®−îc trång:

Nhãm ChiÒu cao Sè c©y ®¹t ®−îc 1 Tõ 100 ®Õn 199 20 2 Tõ 200 ®Õn 299 75 3 Tõ 300 ®Õn 399 70 4 Tõ 400 ®Õn 499 25 5 Tõ 500 ®Õn 599 10

a) LËp b¶ng ph©n bè tÇn suÊt ghÐp líp cña mÉu sè liÖu trªn.

b) VÏ biÓu ®å tÇn suÊt h×nh cét .

c) Haõy tính soá trung bình coäng , phöông sai , ñoä leäch chuaån cuûa caùc soá lieäu thoáng keâ

www.VNMATH.com

91

Bài 3. Chieàu cao cuûa 40 vaän ñoäng vieân boùng chuyeàn.

Lôùp chieàu cao

( cm ) Taàn soá

[ 168 ; 172 )

[ 172 ; 176 )

[ 176 ; 180 )

[ 180 ; 184 )

[ 184 ; 188 )

[ 188 ; 192 ]

4

4

6

14

8

4

Coäng 40

a) Haõy laäp baûng phaân boá taàn suaát gheùp lôùp ?

b) Neâu nhaän xeùt veà chieàu cao cuûa 40 vaän ñoäng vieân boùng chuyeàn keå treân ?

c) Tính soá trung bình coäng , phöông sai , ñoä leäch chuaån ?

d) Haõy veõ bieåu ñoà taàn suaát hình coät ñeå moâ taû baûng phaân boá taàn suaát gheùp lôùp ñaõ laäp ôû caâu 1.

www.VNMATH.com

92

§3. SỐ TRUNG BÌNH CỘNG – SỐ TRUNG VỊ - MỐT


1. Số trung bình cộng

Trường hợp bảng phân bố tần số tần suất

( )1 1 2 2 1 1 2 2

1..... ....k k k kx n x n x n x f x f x f x

n= + + + = + + + ( 1)

Trong ñó ni, fi lần lượt là tần số , tần suất của giá trị xi, n là các số liệu thống kê

( n = n1 + n2 + …+ nk )

Trường hợp bảng phân bố ghép lớp

( )1 1 2 2 1 1 2 2

1..... ....k k k kx n c n c n c f c f c f c

n= + + + = + + + ( 2 )

Trong ñó ci, ni, fi lần lượt là giá trị ñại diện, tần số, tần suất của lớp thứ i , n là số các số liệu thống kê ( n = n1 + n2 + …+ nk ).

2. Mốt

Mốt của một bảng phân bố tần số là giá trị có tần số lớn nhất và ñược kí hiệu là M0 .

3. Số trung vị.

Sắp thứ tự các số liệu thống kê thành một dãy không giảm. Số ñứng giữa của dãy sắp thứ tự này là số trung vị , kí hiệu là Me.

Giả sử mẫu có N số liệu

� Nếu N là một số lẻ thì số liệu ñứng thứ 1

2

N + là số trung vị.

� Nếu N là số chẵn , ta lấy số trung bình cộng của hai số liệu ñứng thứ 2

N và

2

N+1 làm số

trung vị.


Vấn ñề 1. Tính số trung bình

Phương pháp : Xác ñịnh xem là bảng phân bố rời rạc hay ghép lớp. Nếu là bảng rời rạc thì dùng công thức (1), nếu là bảng ghép lớp thì dùng công thức (2).

www.VNMATH.com

93

Bài tập 1. ðiểm thi học kì II môn toán của một tổ học sinh lớp 10A ( quy ước rằng ñiểm kiểm tra học kì có thể làm tròn ñến 0,5 ñiểm) ñược liệt kê như sau :

2 ; 5; 7,5 ; 8 ; 5 ; 7 ; 6,5 ; 9 ; 4,5 ; 10.

Tính ñiểm trung bình của 10 học sinh ñó ( chỉ lấy ñến một chữ số thập phân sau khi ñã làm tròn)

Giải

ðiểm trung bình của 10 học sinh là:

( )1 64,52 2.5 7,5 8 7 6,5 9 4,5 10 6,5

10 10= + + + + + + + + = =x .

Bài tập 2. Thu nhập gia ñình/ năm của hai nhóm dân cư ở hai xã của một huyện ñược cho trong bảng sau: ( thu nhập tính theo ñơn vị triệu ñồng).

Thu nhập / năm Số gia ñình

Lớp Nhóm 1 Nhóm 2

[ 12,5; 13,0 )

[ 13,0; 13,5 )

[ 13,5; 14,0 )

[ 14,0 ; 14,5 )

[ 14,5 ; 15,0 ]

4

40

73

0

3

2

20

42

10

16

a/ Tìm số trung bình của thu nhập gia ñình / năm của nhóm 1.

b/ Tìm số trung bình của thu nhập gia ñình / năm của nhóm 2.

Hỏi nhóm nào có thu nhập cao hơn.

Giải

a/ Số trung bình của thu nhập gia ñình / năm của nhóm 1

( )1 1 1 2 2

1..... k kx n c n c n c

n= + + +

( )14.12,75 40.13, 25 73.13,75 0.14.25 3.14.75

120= + + + + =13,575.

www.VNMATH.com

94

b/ Số trung bình thu nhập gia ñình trên năm của nhóm 2

( )2 1 1 2 2

1..... k kx n c n c n c

n= + + + = 13,85.

Do ñó nhóm 2 có thu nhập cao hơn.

Vấn ñề 2. Tính Mốt

Phương pháp:

� Lập bảng phân bố tần số của dấu hiệu. � Xác ñịnh giá trị có tần số lớn nhất là mốt.

Bài tập 1. ðiểm ñiểu tra vế chất lượng sản phẩm mới ( thang ñiểm 100) như sau:

80 65 51 48 45 61 30 35 84 83 60 58 75 72 68 39 41 54 61 72

75 72 61 50 65

Tìm mốt của bảng số liệu trên.

Giải

Lập lại bảng phân bố tần số:

ðiểm 30 35 39 41 45 48 50 51 54 58 60 61 65 68 72 75 80 83 87

Tần số 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 3 2 1 1 1

Bảng trên có 2 số có tần số lớn nhất là 61 và 72

Vậy phân bố trên có hai mốt là M0 = 61, M0 = 72.

Bài tập 2. Số lượng giày bán ra của một cửa hàng các tháng trong năm 2010 ñược cho bởi bảng sau ( số lượng tính theo ñôi).

Tháng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Số lượng 430 560 450 550 760 430 525 410 635 450 800 950

Tính mốt của bảng số liệu trên.

www.VNMATH.com

95

Giải

Sắp xếp lại bảng số liệu trên như sau :

Số lượng 410 430 450 525 550 560 635 760 800 950

Tần số 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1

Suy ra mốt là 2 số : 430 và 450.

Vấn ñề 3. Tính số trung vị

Phương pháp :

Xác ñịnh số liệu phân bố n là chẳn hay lẻ

� Nếu n lẻ thì số trung vị là số ñứng thứ 1

2

n +;

� Nếu n chẳn thì số trung vị là số trung bình cộng của hai số liên tiếp ñứng thứ 2

n và 1

2

n+ .

Bài tập 1. ðo chiều cao của 36 học sinh của một trường, ta có mẫu số liệu sau, sắp xếp theo thứ tự tăng ( ñơn vị cm)

160 161 161 162 162 162 163 163 163 164 164 164 164 165 165 165 165 165 166 166 166 166 167 167 168 168 168 168 169 169 170 171 171 172 172 174

Tìm số trung vị của mẫu số liệu này.

Giải

Vì n = 36 là số chẵn nên số trung vị là trung bình cộng của hai số liệu ñứng thứ 18 và 19

Do vậy số trung vị là : 165 166

165,52eM+

= =

Bài tập 2. ðiểm ñiểu tra vế chất lượng sản phẩm mới ( thang ñiểm 100) như sau:

80 65 51 48 45 61 30 35 84 83 60 58 75 72 68 39 41 54 61 72 75 72 61 50 65

Tính số trung vị của dãy số liệu trên.

Giải

Sắp xếp lại số liệu trên theo thứ tự tăng dần của ñiểm số

ðiểm 30 35 39 41 45 48 50 51 54 58 60 61 65 68 72 75 80 83 87

Tần số 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 3 2 1 1 1

www.VNMATH.com

96

Vì n = 25 là số lẻ nên số trung vị là số ñứng ở vị trí thứ 13

Dó ñó số trung vị là : 61eM =


Bài tập 1. Số lượng giày bán ra ( tính theo ñôi) của một cửa hàng ở các tháng trong năm 2009 ñược cho bởi bảng sau:

Tháng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Số lượng

430 560 450 550 760 430 525 410 635 450 800 950

Tính số trung bình, số trung vị và mốt.

ðáp số

Số trung bình :579,17

Số trung vị : 537,5

Mốt là : 430 và 450.

Bài tập 2. ðiều tra một số người bằng cách cho ñiểm sản phẩm mới ( thang ñiểm 100), kết quả như sau:

80 65 51 48 45 61 41 84 72 60 58 75 72 68 39 35 61 75 72 61 50 65 30 54 83

Tìm số trung bình, số trung vị, mốt.

ðáp số

Số trung bình 60,2

Số trung vị: 61. Mốt 61 và 72.

www.VNMATH.com

97

§4. PHƯƠNG SAI VÀ ðỘ LỆCH CHUẨN


1. Phương sai dùng ñể ño mức ñộ biến ñộng, chênh lệch giữa các giá trị của dấu hiệu. kí hiệu sx

2 .

� Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất :

( ) ( ) ( )2 2 22

1 1 2 2

1...x k ks n x x n x x n x x

n = − + − + + −

( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 2 2 ... k kf x x f x x f x x= − + − + + −

� Trường hợp bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp:

( ) ( ) ( )2 2 22

1 1 2 2

1... = − + − + + − x k ks n c x n c x n c x

n( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 2 2 ...= − + − + + −k kf c x f c x f c x .

Trong ñó ni, fi , ci lần lượt là tần số , tần suất ,giá trị ñại diện của lớp thứ i ; n là số các số liệu

thống kê ; x là số trung bình cộng của các số liệu thống kê ñã cho.

Chú ý : Có thể tính phương sai theo công thức ( )22 2xs x x= −

Với � ( )2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2

1... ...k k k kx n x n x n x f x f x f x

n= + + + = + + +

( ñối với bảng phân bố tần số tần suất ).

� ( )2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2

1... ...k k k kx n c n c n c f c f c f c

n= + + + = + + +

( ñối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp).

2. Căn bậc hai của phương sai ñược gọi là ñộ lệch chuẩn, kí hiệu là sx : 2

x xs s= .


Vấn ñề 1. Tính phương sai và ñộ lệch chuẩn ñối với bảng phân bố tần số, tần suất.

Phương pháp

� Lập bảng phân bố tần số tần suất ;

� Áp dụng công thức ( ) ( ) ( )2 2 22

1 1 2 2


n = − + − + + −

.

www.VNMATH.com

98

Bài tập 1. Người ta tiến hành phỏng vấn một số người về chất lượng của một loại sản phẩm mới. người ñiều tra yêu cầu cho ñiểm sản phẩm (thang ñiểm 100), kết quả như sau:

80 65 51 48 45 61 30 35 84 83 60 58 75 72 68 39 41 54 61 72 75 72 61 50 65 .

Tìm phương sai và ñộ lệch chuẩn. Nhận xét gì về các kết quả nhận ñược.

Giải

Ta lập bảng phân bố tần số như sau:

ðiểm 30 35 39 41 45 48 50 51 54 58 60 61 65 68 72 75 80 83 84

Tần số 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 3 2 1 1 1

Ta có : ( )1 1 2 2

1..... 60, 2= + + + =k kx n x n x n x

n.

Phương sai :

( ) ( ) ( )2 2 22

1 1 2 2


n = − + − + + −

= 216,8.

ðộ lệch chuẩn :

2x xs s= = 216,8 =14,724.

Nhận xét : mức ñộ chênh lệch ñiểm giữa các giá trị là khá lớn.

Bài tập 2. Sản lượng lúa ( ñơn vị tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích ñược trình bày trong bảng tần số sau ñây:

Sản lượng 20 21 22 23 24

Tần số 5 8 11 10 6

a/ Tìm sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng;

b/ Tìm phương sai và ñộ lệch chuẩn.

Giải

a/ Sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là:

( )15.20 8.21 11.22 10.23 6.24 22,1

5 8 11 10 6= + + + + =

+ + + +x (tạ ).

Phương sai: S2x = 1,54 . ðộ lệch chuẩn: Sx = 1,24 ( tạ).

www.VNMATH.com

99

Vấn ñề 2. Tính phương sai và ñộ lệch chuẩn ñối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp.

Phương pháp :

� Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp, xác ñịnh giá trị ñại diện; � Áp dụng công thức :

( ) ( ) ( )2 2 22

1 1 2 2

1... = − + − + + − x k ks n c x n c x n c x

n( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 2 2 ...= − + − + + −k kf c x f c x f c x .

Bài tập 1. Bảng phân bố sau ñây cho biết chiều cao ( tính bằng cm ) của 500 học sinh trong một trường THCS.

Chiều cao [150 ; 154) [154; 158) [158; 162) [162; 166) [166; 170]

Tần số 25 50 200 175 50

Tính :

a/ Số trung bình x .

b/ Tính phương sai và ñộ lệch tiêu chuẩn.

Giải

Lớp chiều cao Giá trị ñại diện Tần số

[ 150; 154)

[ 154 ; 158)

[ 158 ; 162 )

[ 162 ; 166 )

[ 166 ; 170 ]

152

156

160

164

168

25

50

200

175

50

a/ Số trung bình: ( )1152.25 156.50 160.200 164.175 168.50 161,4

500x = + + + + = .

b/ Phương sai : s2x = 14,48 .

ðộ lệch chuẩn : sx = 14, 48 = 3,85.

www.VNMATH.com

100

Bài tập 2. Trên hai con ñường A và B, trạm kiểm soát ñã ghi lại tần số của 30 chiếc ô tô trên mỗi con ñường như sau :

Con ñường A :

60 65 70 68 62 75 80 83 82 69 73 75 85 72 67

88 90 85 72 63 75 76 85 84 70 61 60 65 73 76

Con ñường B :

76 64 58 82 72 70 68 75 63 67 74 70 79

80 73 75 71 68 72 73 79 80 63 62 71 70

74 69 60 63

a)Tìm số trung bình , số trung vị, phương sai, ñộ lệch chuẩn của tốc ñộ trên mỗi con ñường A, B .

b)Theo em thì xe chạy trên con ñường nào thì an toàn hơn.

Giải

2

73,55

73

77,14

8,78

A

e

A

A

x

M

S

S

=

=

=

=

2

70,81

71

37,73

6,11

B

e

B

B

x

M

S

S

=

=

=

=

Chạy trên ñường B an toàn hơn.


Bài 1. Chiều cao của 50 học sinh lớp 5 ( tính bằng cm ) ñược ghi lại như sau :

102 102 113 138 111 109 98 114 101

103 127 118 111 130 124 115 122 126

107 134 108 118 122 99 109 106 109

104 122 133 124 108 102 130 107 114

147 104 141 103 108 118 113 138 112

a) Lập bảng phân bố ghép lớp [ 98 ;103); [103 ;108); [108 ; 113 );[113 ; 118 );[118 ;123 ); [123 ; 128 ); [128 ;133 ); [133 ; 138 ); [138 ;143 ); [143 ;148].

b) Tính số trung bình cộng.

www.VNMATH.com

101

c) Tính phương sai và ñộ lệch chuẩn.

Bài 2. Soá tieát töï hoïc taïi nhaø trong 1 tuaàn (tieát/tuaàn) cuûa 20 hoïc sinh lôùp 10 tröôøng THPT Nguyễn Văn Trỗi ñöôïc ghi nhaän nhö sau :

9 15 11 12 16 12 10 14 14 15 16 13 16 8 9 11 10 12 18 18.

a) Laäp baûng phaân bố taàn soá , tần suất cho daõy soá lieäu treân.

b) Veõ bieåu ñoà ñöôøng gaáp khuùc theo taàn soá bieåu dieãn baûng phaân bố treân.

c) Tính soá trung bình coäng vaø phöông sai và ñộ lệch chuẩn cuûa giaù trò naøy.

www.VNMATH.com

102

CHƯƠNG VI GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

§1. GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Quan hệ giữa ñộ và rañian

0

0 1801 ; 1

180rad rad

ππ

= =

.

2. ðộ dài của cung tròn ðộ dài của cung tròn có số ño a rad và bán kính bằng R = αl R 3. Số ño của cung lượng giác Số ño của cung lượng giác có ñiểm ñầu là A ñiểm cuối là B

2 ,sñ AB k kπ= α + ∈ℤ↷

. Trong ñó α là số ño của một cung lượng giác tùy ý có ñiểm ñầu A ,ñiểm cuối B, mỗi giá trị của k ứng với một cung. Nếu viết số ño bằng ñộ thì ta có:

0 0360 ,sñ AB a k k= + ∈ℤ↷

4. Biểu diễn cung lượng giác trên ñường tròn lượng giác ðể biểu diễn cung lượng giác có số ño α trên ñường tròn lượng giác ta chọn ñiểm A (1;0) làm ñiểm ñầu của cung. Ta xác ñịnh ñiểm cuối M của cung trên ñường tròn lượng giác sao cho

cung �AM có sñAM = α↷

. 5. Góc lượng giác

Mỗi cung lượng giác CD↷

ứng với một góc lượng giác (OC, OD) và ngược lại. Số ño của cung lượng giác và số ño của góc lượng giác tương ứng trùng nhau. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. ðổi ñơn vị góc từ ñộ sang rañian và ngược lại. Phương pháp:

1) ðổi ñơn vị góc từ ñộ sang rañian : Nhân góc cần ñổi với 180

π

2) ðổi ñơn vị góc từ rañian sang ñộ : Nhân góc cần ñổi với 180

π

Bài tập 1. ðổi các góc sau sang rañian a) 135 0 b) 045 30′ .

Giải

a) 0 3135 135.

180 4

π π= = .

www.VNMATH.com

103

b) 0 0 0 0 9145 30 45 0.5 45,5 45.5.

180 360

π π′ = + = = =

Bài tập 2. ðổi các cung sau sang ñộ, phút, giây. π

a b5

) )12 4

.

Giải

a) 0

0180. 15

12 12

π ππ

= = .

b) 0

05 5 180. 71 37 11

4 4 π= ≈ ′ ′′

Vấn ñề 2. Tính ñộ dài cung tròn. Phương pháp : Sử dụng công thức tính ñộ dài cung tròn: = αl R . Chú ý: Nếu số ño của cung là ñộ ta phải ñổi sang rañian sau ñó tính ñộ dài cung. Bài tập. Một ñường tròn có bán kính 10 cm. Tìm ñộ dài của các cung trên ñường tròn có số ño

a) 18

π b) 045 .

Giải

) . 10. 1.7618

a l R cmπ

= α = ≈ .

b) Ta có : 0454

π=

10. 7.854

l cmπ

= ≈ .

C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. ðổi các góc sau sang rañian a) -230 0 b) 0135 30′ c) 012 15′ d) 0137 . Bài 2. Một ñường tròn có bán kính 15 cm. Tìm ñộ dài của các cung trên ñường tròn có số ño

a) 3

4

π b) 0135 c) 0720 d) 1,5;

www.VNMATH.com

104

§2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG


1. Trên ñường tròn lượng giác gốc A, cho cung AM↷

có sñ AM = α↷

. Tung ñộ của M là sinα ,

hoành ñộ của M là osc α . α

α =α

sintan

cos (nếu cos 0α ≠ ),

αα =

αcos

cotsin

(nếu sin 0α ≠ ).

2. − ≤ α ≤ − ≤ α ≤1 sin 1; 1 cos 1 với mọi α .

3. tanα xác ñịnh khi và chỉ khi ,2

k kπ

πα ≠ + ∈ℤ .

4. cotα xác ñịnh khi ,k kπα ≠ ∈ℤ . 5. Dấu của các giá trị lượng giác 6. Giá trị lượng giác các cung ñặc biệt

Góc phần tư

Giá trị lượng giác

I II III IV

sinα + + - - αcos + - - +

tanα + - + - cotα + - + -

α 0 6

π

4

π

3

π

2

π

αsin 0 1

2 2

2

3

2 1

αcos 1 3

2

2

2

1

2 0

tanα 0 1

3 1 3 ||

cotα || 3 1 1

3 0

Kí hiệu: || là không xác ñịnh.

www.VNMATH.com

105

7. Hằng ñẳng thức lượng giác

α + α =

+ α =α

+ α =α

α α =

c

2 2

2

2

2

2

sin cos 1

11 tan

os1

1 cotsin

tan .cot 1.

8. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan ñặc biệt a. Cung ñối nhau : α và −α

−α = − α

−α = α

−α = − α

−α = − α

c

sin( ) sin

cos( ) os

tan( ) tan

cot( ) cot .

c. Cung hơn kém π : α và πα +

sin( ) sin

os( + ) os

tan( + ) tan

cot( ) cot

c c

ππππ

α + = − α

α = − α

α = α

α + = α

d. Cung phụ : α và 2

π−α

π

π

π

π

−α = α

−α = α

−α = α

−α = α

csin os2

cos sin2

tan cot2

cot tan .2

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Xác ñịnh dấu của các giá trị lượng giác của một cung Phương pháp: Tìm vị trí ñiểm cuối của cung xem nằm ở phần tư nào, sau ñó dựa vào bảng dấu của các giá trị lượng giác ñể xác ñịnh.

Bài tập. Cho 02

π< α < . Xác ñịnh dấu của các giá trị lượng giác :

a) sin2

π α +

b) tan 3

2

π −α

.

www.VNMATH.com

106

Giải

)a Ta có 02

π< α < , do ñó

2 2

π ππ< α + <

Vậy sin 02

π α + >

.

b) Ta có 02

π< α < , do ñó 0

2

π− < −α < nên

3 3

2 2

π ππ < −α <

Vậy tan 3

2

π −α

> 0.

Vấn ñề 2. Tính các giá trị lượng giác của một góc. Phương pháp : Vận dụng hằng ñẳng thức lượng giác ñể tính toán các giá trị lượng giác. Bài tập 1. Tính các giá trị lượng giác của góc α biết

a) 1

sin3

α = − và 3

2

ππ < α < .

b) α2

cos =3

và 3

22

ππ< α < .

Giải

a) Ta có

α = − α = − − =

2

2 2 1 8cos 1 sin 1

3 9

⇒ α ± = ±8 2 2

cos =9 3

Do 3

2

ππ < α < nên α<cos 0

Vậy α −2 2

cos =3

.

1sin 23tanos 42 2

3

c

−αα = = =

α−

1 1cot 2 2

tan 2

4

α = = =α

.

b) Ta có 2

2 2 2 5sin 1 os 1

3 9c α = − α = − =

5 5

sin =9 3

⇒ α ± = ±

Do 3

22

ππ< α < nên sin 0α<

www.VNMATH.com

107

Vậy 5

sin =3

α − .

5sin 53tan

2os 23

c

−αα = = = −

α

1 1 2 5cot

tan 55

2

−α = = =

α−

.

Bài tập 2. Tính các giá trị lượng giác của góc α biết :

a) 13

tan8

α = và 02

π< α < .

b) 19

cot7

α = − và 2

ππ< α < .

Giải

a) Ta có + α = ⇒ α = = =α + α

+

2 2

2 2 2

1 1 1 641 tan cos

233cos 1 tan 131

8

⇒ α ±8

cos =233

Vì 02

π< α < nên os >0c α

Vậy cos8

233α =

sinα = α α8 13

cos .tan = .8233

13

233=

cot1 8

tan 13α = =

α

b) Ta có 2 222 2

1 1 1 491 cot sin

sin 1 cot 410191

7

+ α = ⇒ α = = =α + α + −

7sin

410⇒ α = ±

Vì 2

ππ< α < nên sin 0α >

Vậy 7

sin410

α =

19os =sin .cot =

410c α α α −

1 7tan

cot 19α = = −

α.

www.VNMATH.com

108

Vấn ñề 3. Chứng minh ñẳng thức, rút gọn các biểu thức ñơn giản Phương pháp : Vận dụng các hằng ñẳng thức lượng giác cơ bản giữa các giá trị lượng giác ñể chứng minh, rút gọn các hệ thức ñơn giản. Bài tập1. Chứng minh các ñẳng thức sau: a) 2 2 2 2sin tan sin .tanx x x x− = . b) 4 4 2sin os 1 2 cosx c x x− = − .

Giải

22 2 2 2

2 2

2 2 2 2

sin 1) tan sin sin sin 1

os os

sin (1 tan 1) tan .sin

xa VT x x x x

c x c x

x x x x VP

= − = − = −

= + − = =

b) 4 4 2sin os 1 2 cosx c x x− = −

4 4 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

sin os (sin ) ( os )

(sin os )(sin os )

1 os os 1 2 cos

VT x c x x c x

x c x x c x

c x c x x VP

= − = −

= + −

= − − = − =

Bài tập 2. Rút gọn các biểu thức sau :

= − −

= − + −

A

B x x x

2 2

2 2 2

(t anx+cotx) (t anx cotx)

(1 sin ) cot 1 cot .

Giải

� = + − − = + − + + + −A x x x x x x x x x x x x2 2(tan cot ) (tan cot ) (tan cot tan cot )(tan cot tan cot ) = =x x4 tan .cot 4 .

� = − + − = − + −B x x x x x x x2 2 2 2 2 2 2(1 sin ) cot 1 cot cot cot .sin 1 cot

= − + = − =c x

x c x xx

22 2 2

2

os.sin 1 1 os sin .

sin


Bài 1. Cho 2

ππ< α < . Xác ñịnh dấu của các giá trị lượng giác :

a) 3

sin2

π −α

b) tan 3

2

π −α

c) os +2

cπ α

d) cot

2

π α −

.

Bài 2. Cho 3

2

ππ < α < . Xác ñịnh dấu của các giá trị lượng giác :

a) sin2

π α −

b) tan 3

2

π −α

c) os +2

cπ α

d) ( )cot πα + .

Bài 3. Tính các giá trị lượng giác của góc α biết :

a) 2

sin3

α = − và 3

2

ππ < α < .

www.VNMATH.com

109

b) 4

os =5

c α và 3

22

ππ< α < .

c) tan 3α = và 02

π< α < .

b) cot 4α = − và 2

ππ< α < .

Bài 4. Chứng minh các ñẳng thức sau :

α + α= − α α

α + αα − α α −

=+ α α α +

α + α − α − α = α α

a

b

c

3 3

2 2

4 4 6 6 2 2

sin cos) 1 sin cos .sin cos

sin cos tan 1) .1 2sin cos tan 1

) sin cos sin cos sin cos .

Bài 5. Rút gọn các biểu thức :

α − α=

α − α= + α α + + α α

α + α −=

α − α α= −α + −α +α + +α α

A

B

C

D c

2 2

2 2

2 3 3

2

2 0 2 0 2 0 0 0

sin tan.

cos cot

(1 cot )sin (1 tan )cos .

(sin cos ) 1.

cot sin cos

sin (180 ) tan (180 ) tan (270 ) sin(90 ) os( -360 ).

www.VNMATH.com

110

§3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Công thức cộng

+ = +

− = −

+ = −

− = +

++ =

−−

− =+

sin( ) sin cos cos sin

sin( ) sin cos cos sin

cos( ) cos cos sin sin

cos( ) cos cos sin sin

tan tantan( )

1 tan tantan tan

tan( )1 tan tan

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

a ba b

a ba b

a ba b

2. Công thức nhân ñôi

=

= − = − = −

=−

a a a

a a a a a

aa

a

2 2 2 2

2

sin 2 2sin cos

cos2 cos sin 2 cos 1 1 2sin

2 tantan2

1 tan

3. Công thức hạ bậc

+=

−=

−=

+

aa

aa

aa

a

2

2

2

1 cos2cos

21 cos2

sin2

1 cos2tan

1 cos2

4. Công thức biến ñổi tích thành tổng

= − − +

= − + +

= − + +

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

1sin .sin cos( ) cos( )

21

sin .cos sin( ) sin( )21

cos .cos cos( ) cos( )2

5. Công thức biến ñổi tổng thành tích

+ −+ =

+ −− =

sin sin 2sin cos2 2

sin sin 2 cos sin2 2

u v u vu v

u v u vu v

+ −+ =

+ −− = −

cos cos 2 cos cos2 2

cos cos 2sin sin .2 2

u v u vu v

u v u vu v

www.VNMATH.com

111

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Tính các giá trị lượng giác. Phương pháp : Sử dụng công thức lượng giác ñưa giá trị lượng giác cần tính về các giá trị lượng giác ñã biết.

Bài tập 1. Tính 0 0cos105 , tan15 .

Giải

* Ta có = + = −0 0 0 0 0 0 0cos105 cos(45 60 ) cos45 cos60 sin 45 sin 60

2 1 2 3 6 2. .

2 2 2 2 4

− += − =

* Ta có 0 0 0tan15 tan(45 30 )= −

0 0

0 0

tan 45 tan30

1 tan 45 tan30

−=

+= 2 3−

Vấn ñề 2. Rút gọn biểu thức lượng giác, chứng minh ñẳng thức lượng giác. Phương pháp : Sử dụng công thức lượng giác ñể rút gọn, chứng minh. Bài tập 1. Rút gọn các biểu thức sau :

+=

+ += − +

a aA

a aB x x x x

sin 2 sin;

1 cos2 cossin 5 2sin (cos4 cos2 ).

Giải

+=

+ ++ +

= = =++ − +

= − +

= − −

= − − − − =

a aA

a aa a a a a

aa aa a

B x x x x

x x x x x

x x x x x x

2

sin 2 sin•

1 cos2 cos2sin cos sin sin (2 cos 1)

tan .cos (2 cos 1)1 2 cos 1 cos

• sin 5 2sin (cos4 cos2 )

sin 5 2sin cos4 2sin cos2

sin 5 (sin 5 sin3 ) (sin3 sin ) sin .

Bài tập 2. Chứng minh các ñẳng thức sau :

+ = −

− =

a x c x x

b x x

4 4 2

4 4

1) sin os 1 sin 2 .

2

) cos sin cos2x .

Giải

= + = + −

= − = − =

aVT x x x x x x

x x x VP

4 4 2 2 2 2 2

2

) sin cos (sin cos ) 2sin cos

11 2(sin cos ) 1 sin 2 .

2

www.VNMATH.com

112

= − = −

= + − =

b VT x x x x

x x x x x

4 4 2 2 2 2

2 2 2 2

) cos sin (cos ) (sin )

(cos sin )(cos sin ) cos2 .


Bài 1. Tính 0 0os75 , sin( 105 )c − , 0cot15 , sin12

π

Bài 2. Rút gọn các biểu thức : α

=α − α

Atan 2

tan 4 tan2 ;

π= + α − − α < α <B 1 sin 1 sin , 0

2

− α + α=

+ α + αc

Cc

3 4 cos os4

3 4 cos os4 ;

α + α + α=

α α αD

c

sin sin3 sin 5

os +cos3 +cos5.

Bài 3. Chứng minh :

π π

π π

− + =

= −

= −

−=

−

− =

− + =

a x x x x

b x x x

c x x x

x xd x

xx

e x x x x

f x x x x

3

3

3

2

3 3

1) cos cos cos cos3 ;

3 3 4

) sin3 3sin 4sin ;

) cos3 4 cos 3cos ;

3 tan tan) tan3 ;

1 3tansin 4

) cos sin sin cos ;4

) tan tan tan tan3 .3 3

www.VNMATH.com

113

PHẦN 2

HÌNH HỌC

O

y

x a

bI

M(x ; y)

R

www.VNMATH.com

114

CHÖÔNG I CHÖÔNG I CHÖÔNG I CHÖÔNG I VECTÔVECTÔVECTÔVECTÔ

§1. CAÙC ÑÒNH NGHÓA§1. CAÙC ÑÒNH NGHÓA§1. CAÙC ÑÒNH NGHÓA§1. CAÙC ÑÒNH NGHÓA

A. KIA. KIA. KIA. KIẾN THN THN THN THỨC CC CC CC CẦN NHN NHN NHN NHỚ

1. Ñeå xaùc ñònh moät vectô caàn bieát moät trong hai ñieàu kieän sau:

- Ñieåm ñaàu vaø ñieåm cuoái cuûa vectô.

- Ñoä daøi vaø höôùng.

2. Hai vectô a� vaø b� ñöôïc goïi laø cuøng phöông neáu giaù cuûa chuùng song song hoaëc truøng nhau.

Neáu hai vectô a� vaø b� cuøng phöông thì chuùng coù theå cuøng höôùng hoaëc ngöôïc höôùng.

3. Ñộ daøi cuûa moät vectô laø khoaûng caùch giöõa ñieåm ñaàu vaø ñieåm cuoái cuûa vectô ñoù.

4. a�= b� khi vaø chæ khi a b=

� � vaø a�, b� cuøng höôùng.

5. Vôùi moãi ñieåm A ta goïi AA��

laø vectô – khoâng. Vectô – khoâng ñöôïc kí hieäu laø 0� vaø quy öôùc

raèng 0 0=�

vectô 0� cuøng phöông vaø cuøng höôùng vôùi moïi vectô.

B. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI TOAÙNB. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI TOAÙNB. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI TOAÙNB. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI TOAÙN

Daïng 1:Daïng 1:Daïng 1:Daïng 1: Xaùc ñònh moät vectô, söï cuøng phöông vaø höôùng cuûa hai vectôXaùc ñònh moät vectô, söï cuøng phöông vaø höôùng cuûa hai vectôXaùc ñònh moät vectô, söï cuøng phöông vaø höôùng cuûa hai vectôXaùc ñònh moät vectô, söï cuøng phöông vaø höôùng cuûa hai vectô.

Phöông phaùp:Phöông phaùp:Phöông phaùp:Phöông phaùp:

- Ñeå xaùc ñònh vec tô 0a ≠� �

ta caàn bieát a� vaø höôùng cuûa

�a hoaëc bieát ñieåm ñaàu vaø ñieåm

cuoái cuûa �a . Chaúng haïn,vôùi hai ñieåm phaân bieät A vaø B ta coù hai vec tô khaùc vec tô

�0 laø

�� AB vaø BA

- Vec tô �a laø vec tô – khoâng khi vaø chæ khi a

�= 0 hoaëc =

� ��a AA vôùi A laø ñieåm baát kì.

Daïng 2:Daïng 2:Daïng 2:Daïng 2: Chöùng minh hai vectô baèng nhauChöùng minh hai vectô baèng nhauChöùng minh hai vectô baèng nhauChöùng minh hai vectô baèng nhau

Phöông phaùp:Phöông phaùp:Phöông phaùp:Phöông phaùp: Ñeå chöùng minh hai vectô baèng nhau ta coù theå duøng moät trong ba caùch sau:

* = ⇒ =

a ba b

a vaø b cuøng höôùng

� ��

� � .

* Töù giaùc ABCD laø hình bình haønh = =�� AB DC vaø BC AD .

* Neáu = = =a b b c a c, thì� � � � � �

www.VNMATH.com

115

Baøi 1. Baøi 1. Baøi 1. Baøi 1. Cho hai vectô vaø cuøng phöông. Keát luaän gì veà ba ñieåm A, B, C�� AB AC ?

GiaûiGiaûiGiaûiGiaûi

AB ACHai vec tô vaø cuøng phöông vaø coù ñieåm A chung neân chuùng cuøng naèm treân moät ñöôøng thaúng . Vaäy A, B, C thaúng haøng.

��

Baøi 2. Baøi 2. Baøi 2. Baøi 2. Cho tam giaùc ABC caân taïi A. Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC vaø N laø trung ñieåm AC .

a). Ta coù ñuùng hay sai?

b). Caùc vectô naøo cuøng höôùng vôùi ? Caùc vectô naøo ngöôïc höôùng vôùi ?). Caùc vectô naøo baèng nhau?

=��

�� AB AC

AB BCc


a). Hai vectô AB,AC khoâng cuøng phöông neân khoâng baèng nhau��

.

�� b). Ta coù MN noái trung ñieåm hai caïnh BC vaø AC neân MN song song AB.

Vaäy cuøng höôùng vôùi .NM AB

Ba ñieåm B, C, M thaúng haøng neân caùc vectô ngöôïc höôùng vôùi laø: , ,�� BC CB CM MB .

= = = =�� c).Ta coù caùc caëp vec tô sau ñaây baèng nhau vì cuøng höôùng vaø coù ñoä daøi baèng nhau.

, , , .BM MC CM MB AN NC CN NA

Baøi 3.Baøi 3.Baøi 3.Baøi 3.Cho hình bình haønh ABCD. Laáy ñieåm M treân ñoaïn AB vaø ñieåm N treân ñoaïn CD

= =AN MC MD BNsao cho AM=CN.Chöùng minh raèng vaø ��

....


⇒ =

⇒ =

AN MC

MD BN

Ta coù: AM=CN ( gt) AM CN ( vì AB CD)

Do ñoù AMCN laø hình bình haønh

Töông töï BMDN laø hình bình haønh

� ��

��

C. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒC. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒC. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒC. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ

Baøi 1. Baøi 1. Baøi 1. Baøi 1. Cho tam giaùc ñeàu ABC. Caùc ñaúng thöùc sau ñaây ñuùng hay sai?

= = = =AB AC AB BC AB BC CAa). b). c). ��

Baøi 2. Baøi 2. Baøi 2. Baøi 2. Cho tam giaùc ABC. Goïi I, J, K laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, BC, CA. Tìm treân

www.VNMATH.com

116

hình veõ caùc vectô laàn löôït baèng caùc vectô: , vaø �� IK BJ IJ ....

Baøi 3. Baøi 3. Baøi 3. Baøi 3. Cho hình bình haønh ABCD. Goïi M , N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD.

= =��

AN vaø CM laàn löôït caét BD taïi E vaø F. CMR: .DE EF FB

Baøi 4. Baøi 4. Baøi 4. Baøi 4. Cho hình bình haønh ABCD. Goïi E laø ñieåm ñoái xöùng cuûa C qua D ....

= =AE EF FBCMR: .��

§2. TOÅNG VAØ HIEÄU CUÛA HAI VEC TÔ§2. TOÅNG VAØ HIEÄU CUÛA HAI VEC TÔ§2. TOÅNG VAØ HIEÄU CUÛA HAI VEC TÔ§2. TOÅNG VAØ HIEÄU CUÛA HAI VEC TÔ

A. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙA. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙA. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙA. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ

• Ñònh nghóa: Cho AB a=��

; BC b=��

. Khi ñoù AC a b= +��

• Tính chaát : * Giao hoaùn : a b+� �

= b a+� �

* Keát hôïp (a b+� �

) +c� = (a b+� �

+c�)

* Tính chaát vectô –khoâng a�+0�=a�

�� Quy taéc 3 ñieåm : Cho A, B ,C tuøy yù, ta coù : AB��

+BC��

= AC��

�� Quy taéc hình bình haønh . Neáu ABCD laø hình bình haønh thì AB��

+ AD��

= .AC��


Daïng 1:Daïng 1:Daïng 1:Daïng 1: Tìm toång cuûa hai vectô vaø toång cuûa nhieàu vectô.Tìm toång cuûa hai vectô vaø toång cuûa nhieàu vectô.Tìm toång cuûa hai vectô vaø toång cuûa nhieàu vectô.Tìm toång cuûa hai vectô vaø toång cuûa nhieàu vectô.

Phöông phaùp:Phöông phaùp:Phöông phaùp:Phöông phaùp: Duøng ñònh nghóa toång cuûa hai vectô, quy taéc ba ñieåm, quy taéc hình bình haønh vaø caùc tính chaát cuûa toång caùc vectô.

Daïng 2Daïng 2Daïng 2Daïng 2:::: Tìm vectô ñoái vaø hieäu cuûa hai vectôTìm vectô ñoái vaø hieäu cuûa hai vectôTìm vectô ñoái vaø hieäu cuûa hai vectôTìm vectô ñoái vaø hieäu cuûa hai vectô


+ Veõ , AB a AC b a b CA= = ⇒ − =��

+ Vaän duïng quy taéc OB OA AB− =��

vôùi ba ñieåm O, A, B baát kì.

www.VNMATH.com

117

Daïng 3Daïng 3Daïng 3Daïng 3:::: Tính ñoä daøi cuûa Tính ñoä daøi cuûa Tính ñoä daøi cuûa Tính ñoä daøi cuûa ,a b a b+ −� � � �

Phöông phaùp: Phöông phaùp: Phöông phaùp: Phöông phaùp: Ñaàu tieân tính ,a b AB a b CD+ = − =� � ��

. Sau ñoù tính ñoä daøi caùc ñoaïn thaúng AB vaø CD baèng caùch gaén noù vaøo caùc ña giaùc maø ta coù theå tính ñöôïc ñoä daøi caùc caïnh cuûa noù hoaëc baèng phöông phaùp tính tröïc tieáp khaùc.

Daïng 4Daïng 4Daïng 4Daïng 4:::: Chöùng minh ñaúng thöùc vectôChöùng minh ñaúng thöùc vectôChöùng minh ñaúng thöùc vectôChöùng minh ñaúng thöùc vectô.

Phöông phaùp:Phöông phaùp:Phöông phaùp:Phöông phaùp: Moãi veá cuûa moät ñaúng thöùc vectô goàm caùc vectô ñöôïc noái vôùi nhau bôûi caùc pheùp toaùn vectơ.

+ Duøng quy taéc tìm toång, hieäu cuûa hai vectô, tìm vectô ñoái ñeå bieán ñoåi veá naøy thaønh veá kia cuûa ñaúng thöùc hoaëc bieán ñoåi caû hai veá cuûa ñaúng thöùc ñeå ñöôïc hai veá baèng nhau.

+ Bieán ñoåi ñaúng thöùc vectô caàn chöùng minh ñoù töông ñöông vôùi moät ñaúng thöùc vectô ñöôïc coâng nhaän laø ñuùng.

Baøi 1. Baøi 1. Baøi 1. Baøi 1. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A bieát AB=2a, AC=a. Tính ñoä daøi cuûa caùc vectô:

+ −AB AC AB AC vaø ��

....


0

+ =AB AC AD

Veõ hình bình haønh ABDC.

Theo qui taéc hình bình haønh ta coù: vôùi AD laø ñöôøng cheùo cuûa hbh ABCDMaø A= 90 neân ABCD laø hình chöõ nhaät. Do ñoù AD=BCAÙp duïng ñònh lyù Pit

��

2 2 2 2 2 24 5

5

5

= + = + =

+ = = = =

− =

− = = =

AB AC a a a

AB AC AD AD BC a

AB AC CB

AB AC CB BC a

ago trong tam giaùc vuoâng ABC ta coù:BC

Vaäy:

Theo qui taéc hieäu vec tô ta coù:

Vaäy .

��

��

��

Baøi 2. Baøi 2. Baøi 2. Baøi 2. Cho saùu ñieåm A, B, C, D, E, F tuøy yù. Chöùng minh raèng:

+ + = + +AC BD EF AF BC ED .��


www.VNMATH.com

118

= +

= +

= +

+ + = + + + +

AC AF FC

BD BC CD

EF ED DF

AC BD EF AF BC ED FC CD D

Theo quy taéc ba ñieåm ta coù:

Coäng theo veá 3 ñaúng thöùc treân ta ñöôïc:

. ( vì

��

��

��

�� 0=F )

��

Baøi 3. Baøi 3. Baøi 3. Baøi 3. Cho hình bình haønh ABCD taâm O. CMR : : : :

0− = − − + =BD BA OC OB BC BD BAa). b). ��

.


( )− = − =

=

− = −

BD BA AD OC OC BC

AD BC

BD BA OC OB

a). Theo quy taéc hieäu hai vec tô ta coù:

vaø

Maø vì ABCD laø hình bình haønh

Neân: .

��

��

��

0

− = = −

⇒ − + =

��

�� b). Ta coù: maø BC BD DC DC BA

BC BD BA


Baøi 1.Baøi 1.Baøi 1.Baøi 1. + = +AC BD AD BCChöùng minh raèng vôùi boán ñieåm baát kyø A, B, C, D ta luoân coù .��

Baøi 2. Baøi 2. Baøi 2. Baøi 2. Cho boán ñieåm A, B, C, D. Tìm caùc vec tô toång sau ñaây:

+ + + + +DC AB BD AB CD BC DAa). b). ��

Baøi 3. Baøi 3. Baøi 3. Baøi 3. + = +AB CD AD CBCho boán ñieåm A, B, C, D. CMR: ��

vaø AB CD AC BD− = −��

.

Baøi 4.Baøi 4.Baøi 4.Baøi 4. + + = + +AD BE CF AE BF CDCho 6 ñieåm A, B, C, D, E, F. Chöùng minh raèng: ��

.

Baøi 5.Baøi 5.Baøi 5.Baøi 5. +AB ACCho tam giaùc ñeàu ABC coù caïnh baèng a. Tính ñoä daøi cuûa vec tô toång ��

.

Baøi 6. Baøi 6. Baøi 6. Baøi 6. + = +MA MC MB MDCho hình bình haønh ABCD, M laø moät ñieåm tuøy yù. CMR: ��

.

www.VNMATH.com

119

§3. TÍCH CUÛA VECTÔ VÔÙI §3. TÍCH CUÛA VECTÔ VÔÙI §3. TÍCH CUÛA VECTÔ VÔÙI §3. TÍCH CUÛA VECTÔ VÔÙI MOÄT SOÁMOÄT SOÁMOÄT SOÁMOÄT SOÁ

A. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙA. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙA. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙA. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ

•••• Cho k∈R , ka laø 1 vectô ñöôïc xaùc ñònh:

* Neáu k ≥ 0 thì k a cuøng höôùng vôùi a ; k < 0 thì ka ngöôïc höôùng vôùi a

* Ñoä daøi vectô ka baèng k .a

• Tính chaát :

a) k(ma ) = (km) a

b) (k + m) a = ka + ma

c) k(a + b ) = ka + kb

d) k a = 0� ⇔ k = 0 hoaëc a = 0

�.

• b� cuøng phöông a

�(a� ≠0�) khi vaø chæ khi coù soá k thoûa b

� =ka�.

• Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå A , B , C thaúng haøng laø coù soá k sao cho AB��

=k AC��

.

• Cho b� khoâng cuøng phöông a

�, ∀ x� ta coù x

�= ma� + nb� ( m, n duy nhaát ).

• Neáu I laø trung ñieåm cuûa AB vaø M laø ñieåm tuøy yù ta coù : 2MA MB MI+ =��

.

• G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC ⇔ 0GA GB GC+ + =��

.

B. B. B. B. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI TOAÙNPHÖÔNG PHAÙP GIAÛI TOAÙNPHÖÔNG PHAÙP GIAÛI TOAÙNPHÖÔNG PHAÙP GIAÛI TOAÙN

Daïng 1:Daïng 1:Daïng 1:Daïng 1: Xaùc ñònh vectô Xaùc ñònh vectô Xaùc ñònh vectô Xaùc ñònh vectô ka�....

Phöông phaùp:Phöông phaùp:Phöông phaùp:Phöông phaùp: Döïa vaøo ñònh nghóa vectô ka�

* ka k a=� �

.

- Neáu k > 0, ka vaø a cuøng höôùng� �

.

- Neáu k < 0, ka vaø a ngöôïc höôùng� �

.

www.VNMATH.com

120

* = ∀ ∈k k0 0,� �

ℝ 0. 0,a a= ∀� � �

* ( )1. ; 1a a a a= − = −� � � �

* Cho ñieåm A vaø cho a�. Coù duy nhaát ñieåm M sao cho AM a=

�� .

* 1 1,AB AC B C AB AB A A= ⇔ ≡ = ⇔ ≡��

.

Daïng 2:Daïng 2:Daïng 2:Daïng 2: PhaânPhaânPhaânPhaân tích (tích (tích (tích (bieåu thò) moät vec tô theo hai vec tô khoâng cuøng phöôngbieåu thò) moät vec tô theo hai vec tô khoâng cuøng phöôngbieåu thò) moät vec tô theo hai vec tô khoâng cuøng phöôngbieåu thò) moät vec tô theo hai vec tô khoâng cuøng phöông.

Phöông phaùp Phöông phaùp Phöông phaùp Phöông phaùp :::: Duøng qui taéc 3 ñieåm ñeá bieán ñoåi một vectơ thaønh toång hay hieäu hai vectơ khaùc = +AC AB BC

�� ; = −AC OC OA��

.

Daïng 3:Daïng 3:Daïng 3:Daïng 3: Chöùng minh ñaúng thöùc vectôChöùng minh ñaúng thöùc vectôChöùng minh ñaúng thöùc vectôChöùng minh ñaúng thöùc vectô. ( Xem phaàn tröôùc). ( Xem phaàn tröôùc). ( Xem phaàn tröôùc). ( Xem phaàn tröôùc)

Baøi 1. Baøi 1. Baøi 1. Baøi 1. Cho tam giaùc ABC. Treân caùc ñoaïn AB, BC vaø CA laàn löôït laáy caùc ñieåm M, N, P

1 1 1

3 3 3AB BC CAsao cho: AM= , BN = , CP= .

0+ + =AN BP CMCMR:��

....

1 1

3 3

1 1

3 3

1 1

3 3

= + = +

= + = +

= + = +

⇒ +

AN AB BN AB BC BC

BP BC CP BC CA CA

CM CA AM CA AB AB

AN BP

do BN=

Ta coù: do CP=

do AM=

��

��

��

��

( ) ( )4 40 0

3 3+ = + + = =CM AB BC CA ñpcm .

��

Baøi 2. Baøi 2. Baøi 2. Baøi 2. 2

3=BD BCCho tam giaùc ABC. Goïi D laø ñieåm sao cho vaø I laø trung ñieåm cuûa AD.

��

2

5=AM ACGoïi M laø ñieåm thoûa maõn .

��

BI BA BC

BM BA BC

a). Tính theo vaø ;

b). Tính theo vaø .

��

��


www.VNMATH.com

121

( )1 1 2 1 1

2 2 3 2 3

= + = + = +

��

a). Do I laø trung ñieåm cuûa AD neân ta coù:

BI BA BD BA BC BA BC

( )2 2

5 53 2

5 5

= ⇔ − = −

⇒ = +

��

��

b). Ta coù: AM AC BM BA BC BA

BM BA BC

C.C.C.C. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒBAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒBAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒBAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ Baøi 1. Baøi 1. Baøi 1. Baøi 1. Cho hình bình haønh ABCD taâm O, goïi G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC.

3+ =a AB AC AG). CMR: .��

4+ + =b AB AC AD AO). CMR: .��

4+ + + =c MA MB MC MD MO). Cho M laø ñieåm tuøy yù, chöùng minh : .��

Baøi 2. Baøi 2. Baøi 2. Baøi 2. Cho töù giaùc ABCD. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AC vaø BD ....

2+ =AB CD MNCMR: ��

....

Baøi 3. Baøi 3. Baøi 3. Baøi 3. Goïi G vaø G' laàn löôït laø troïng taâm cuûa hai tam giaùc ABC vaø A'B'C'.

Goïi G vaø G' laàn löôït laø troïng taâm cuûa hai tam giaùc ABC vaø A'B'C'.

3+ + =AA BB CC GGCMR: ' ' ' '.��

Baøi 4. Baøi 4. Baøi 4. Baøi 4. AB GB GCCho tam giaùc ABC troïng taâm G. Tính theo vaø .��

Baøi 5. Baøi 5. Baøi 5. Baøi 5. Cho tam giaùc ABC troïng taâm G. Goïi I laø trung ñieåm cuûa AG.

6 0+ + =AB AC GI CMR: ��

....

Baøi 6. Baøi 6. Baøi 6. Baøi 6. Cho 4 ñieåm A, B, C, D. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD.

2+ = + =AD BC AC BD MNCMR: ��

....

Baøi 7Baøi 7Baøi 7Baøi 7. 2=MB MCCho tam giaùc ABC, M laø moät ñieåm thoûa maõn .��

1 2

3 3= +AM AB ACCMR: .

��

www.VNMATH.com

122

§4. TRUÏC TOÏA ÑOÄ VAØ HEÄ TRUÏC TOÏA ÑOÄ §4. TRUÏC TOÏA ÑOÄ VAØ HEÄ TRUÏC TOÏA ÑOÄ §4. TRUÏC TOÏA ÑOÄ VAØ HEÄ TRUÏC TOÏA ÑOÄ §4. TRUÏC TOÏA ÑOÄ VAØ HEÄ TRUÏC TOÏA ÑOÄ

A.A.A.A. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔKIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔKIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔKIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙÙÙÙ

• Truïc laø ñöôøng thaúng treân ñoù xaùc ñònh ñieåm O vaø 1 vectô i� coù ñoä daøi baèng 1.

Kyù hieäu truïc (O; i�) hoaëc x’Ox

• A,B naèm treân truïc (O; i�) thì AB = AB i

�. Khi ñoù AB goïi laø ñoä daøi ñaïi soá cuûa AB

• Heä truïc toïa ñoä vuoâng goùc goàm 2 truïc Ox ⊥ Oy. Kyù hieäu Oxy hoaëc (O; i�; j�)

• Ñoái vôùi heä truïc (O; i�; j�), neáu a

�=x i� +y j� thì (x;y) laø toaï ñoä cuûa a

�.

Kyù hieäu a� = (x;y)

• Cho a� = (x;y) ;b

� = (x’;y’) ta coù

a� ± b� = (x ± x’;y ± y’)

ka�=(kx ; ky) ; ∀ k ∈ R

b� cuøng phöông a

�(a� ≠0�) khi vaø chæ khi coù soá k thoûa x’=kx vaø y’= ky

• Cho M(xM ; yM) vaø N(xN ; yN) ta coù :

+ P laø trung ñieåm MN thì xp = 2

M Nx x+ vaø yP =

2M Ny y+

+ MN��

= (xM – xN ; yM – yN)

+ Neáu G laø troïng taâm tam giaùc ABC thì xG = 3

A B Cx x x+ + vaø yG =

3

+ +A B Cy y y


Daïng 1:Daïng 1:Daïng 1:Daïng 1: Xaùc ñònh toïa ñoä cXaùc ñònh toïa ñoä cXaùc ñònh toïa ñoä cXaùc ñònh toïa ñoä của vectô vaø cuûa ñieåm treân maët phaúng toïa ñoä Oxy.a vectô vaø cuûa ñieåm treân maët phaúng toïa ñoä Oxy.a vectô vaø cuûa ñieåm treân maët phaúng toïa ñoä Oxy.a vectô vaø cuûa ñieåm treân maët phaúng toïa ñoä Oxy.

Phöông phaùpPhöông phaùpPhöông phaùpPhöông phaùp:::: Caên cöù vaøo ñònh nghóa toïa ñoä cuûa vectô vaø toïa ñoä cuûa moät ñieåm treân maët phaúng toïa ñoä Oxy.

� ( )1 2 1 2, . .a a a a a i a j= ⇔ = +

� � � � ( ), . .A x y OA x i y j⇔ = +

��

www.VNMATH.com

123

� ( );B A B AAB x x y y= − −��

.

Daïng 2:Daïng 2:Daïng 2:Daïng 2: Tìm toïa ñoä cuûa caùc vec tô Tìm toïa ñoä cuûa caùc vec tô Tìm toïa ñoä cuûa caùc vec tô Tìm toïa ñoä cuûa caùc vec tô ; ; .u v u v k u+ −� � � � �


Tính theo caùc coâng thöùc toïa ñoä cuûa ; ; .u v u v k u+ −� � � � �

( )1 1 1 2 2 2, mama nb pc ma nb pc nb pc+ + = + + + +

� � �

Daïng 3:Daïng 3:Daïng 3:Daïng 3: Chöùng minh ba ñieåm thaúng haøng, hai Chöùng minh ba ñieåm thaúng haøng, hai Chöùng minh ba ñieåm thaúng haøng, hai Chöùng minh ba ñieåm thaúng haøng, hai ñöôøng thaúng song song baèng toïa ñoäñöôøng thaúng song song baèng toïa ñoäñöôøng thaúng song song baèng toïa ñoäñöôøng thaúng song song baèng toïa ñoä.

Phöông phaùp:Phöông phaùp:Phöông phaùp:Phöông phaùp: Söû duïng caùc ñieàu kieän caàn vaø ñuû sau:

+ Ba ñieåm phaân bieät A, B, C thaúng haøng AB kAC⇔ =��

.

( )

( )

+ ≠ ⇔ = ⇔ − =

⇔ = ≠

a b b coù soá k ñeå a k b a b a b

a bb

a b

1 2 2 1

1 12 2

2 2

, cuøng phöông 0 . 0

vôùi a , 0

� � � � � �

Daïng 4:Daïng 4:Daïng 4:Daïng 4: Tính toïa ñoä trung ñieåm cuûa mTính toïa ñoä trung ñieåm cuûa mTính toïa ñoä trung ñieåm cuûa mTính toïa ñoä trung ñieåm cuûa moät ñoaïn thaúng, toïa ñoä troïng taâm cuûa tam giaùc.oät ñoaïn thaúng, toïa ñoä troïng taâm cuûa tam giaùc.oät ñoaïn thaúng, toïa ñoä troïng taâm cuûa tam giaùc.oät ñoaïn thaúng, toïa ñoä troïng taâm cuûa tam giaùc. Phöông Phöông Phöông Phöông phaùp:phaùp:phaùp:phaùp: Söû duïng caùc coâng thöùc sau:

+ P laø trung ñieåm MN thì xp = 2

M Nx x+ vaø yP =

2M Ny y+

+ G laø troïng taâm tam giaùc ABC thì xG = 3

A B Cx x x+ + vaø yG =

3

+ +A B Cy y y.

Baøi 1. Baøi 1. Baøi 1. Baøi 1. ( ) ( )1 2 3 4 5 1 2= − = = − = + −a b c u a b cCho ( , ), , , , .Tìm toïa ñoä vec tô � � � � � � �

.


Ta coù : ( ) ( )2 2 1 3 5 2 2 4 1 0= + − = + − − + − − =u a b c . ; .( ) ( ) ; 1� � � �

.

Baøi 2. Baøi 2. Baøi 2. Baøi 2. ( )1 1 2 1 4 1Cho ( ; ), ; . Haõy phaân tích vectô ( ; ) theo vaø = − = = −� � � � �a b c a b .


2

2 4 22

1 1

= + = + − +

+ = =⇔ = +

− + = − =

c ka hb k h k hk h k

c a bk h h

Giaû söû ( ; )

Tacoù: . Vaäy .

� � �

� � ��

www.VNMATH.com

124

Baøi 3. Baøi 3. Baøi 3. Baøi 3. Cho A(2, 0), B(0, 4), C(1, 3). Tìm toïa ñoä trung ñieåm I cuûa ñoaïn thaúng AB vaø toïa ñoä troïng taâm cuûa tam giaùc ABC.


2 01

2 1 20 4

22

2 0 11

73 130 4 3 7

3 3

+= =

⇒+ = =

+ +

= = ∆ ⇒

+ + = =

Goïi ( , ) laø trung ñieåm AB, ta coù : ( , ).

xGoïi ( , ) laø troïng taâm ABC, ta coù: , .

G

G G

G

xI x y I

y

G x y Gy

Baøi 4.Baøi 4.Baøi 4.Baøi 4. Moãi caëp vectô sau, caëp naøo cuøng phöông ?

1 1 2 1 3

2 1 0 2010 0

3 1 2 3 6

= = −

= =

= = − −

a b

a b

a b

). ( , ) vaø ( , );

). ( , ) vaø ( ; );

). ( , ) vaø ( ; ).

� �

� �

� �


1 21

1 3≠ ⇒

−a b). ta coù : , khoâng cuøng phöông.� �

2 2010). , cuøng phöôngb b a b= ⇒� � � �

.

1 23

3 6). , khoâng cuøng phöônga b≠ ⇒− −

� �.


Baøi 1. Baøi 1. Baøi 1. Baøi 1. Cho tam giaùc ABC vôùi A( -5 ; 6) ; B (-4 ; -1) vaø C(4 ; 3). Tìm D ñeå ABCD laø hình bình haønh.

Baøi 2. Baøi 2. Baøi 2. Baøi 2. Cho tam giaùc ABC coù A(1 ; 2) ; B( 5 ; 2) vaø C(1 ; -3). Tìm toïa taâm I cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC.

Baøi 3. Baøi 3. Baøi 3. Baøi 3. Cho a�=(1 ; 2) vaø b

�= (3 ; 4). Tìm toïa ñoä cuûa vectô m

��= 2a�+3b�.

Baøi 4. Baøi 4. Baøi 4. Baøi 4. Cho a�=3 i� -4 j� vaø b�= i� - j�. Tìm :

www.VNMATH.com

125

a) a� b) b

� c) a

� - b� d) 3a b+

� �

Baøi 5 . Baøi 5 . Baøi 5 . Baøi 5 . Cho tam giaùc ABC . Caùc ñieåm M(1; 0) , N(2; 2) , p(-1;3) laàn löôït laø trung ñieåm caùc caïnh BC, CA, AB. Tìm toïa ñoä caùc ñænh cuûa tam giaùc .

Baøi 6 . Baøi 6 . Baøi 6 . Baøi 6 . Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1). Tìm m ñeå 3 ñieåm A, B, C thaúng haøng.

Baøi 7.Baøi 7.Baøi 7.Baøi 7. Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a . Choïn heä truïc toïa ñoä (O; i ; j ), trong ñoù O laø trung

ñieåm BC, i cuøng höôùng vôùi OC , j cuøng höôùng OA .

a) Tính toïa ñoä cuûa caùc ñænh cuûa tam giaùc ABC. b) Tìm toïa ñoä trung ñieåm E cuûa AC. c) Tìm toïa ñoä taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC.

Baøi 8. Baøi 8. Baøi 8. Baøi 8. Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0). Tìm toïa ñoä ñieåm D neáu bieát:

a) AD��

– 2BD��

+ 3CD��

= 0�.

b) AD��

– 2AB��

= 2BD��

+ BC��

. c) ABCD hình bình haønh. d) ABCD hình thang coù hai ñaùy laø BC, AD vôùi BC = 2AD.

Baøi 9 . Baøi 9 . Baøi 9 . Baøi 9 . Cho hai ñieåm I(1; -3), J(-2; 4) chia ñoïan AB thaønh ba ñoïan baèng nhau AI = IJ = JB

a) Tìm toïa ñoä cuûa A, B. b) Tìm toïa ñoä cuûa ñieåm I’ ñoái xöùng vôùi I qua B. c) Tìm toïa ñoä cuûa C, D bieát ABCD hình bình haønh taâm K(5, -6).

Baøi 10. Baøi 10. Baøi 10. Baøi 10. Cho a�=(2; 1) ; b

�=( 3 ; 4) vaø c

�=(7; 2).

a) Tìm toïa ñoä cuûa vectô u�= 2 a� - 3 b� + c�;

b) Tìm toïa ñoä cuûa vectô x� thoûa x

� + a� = b� - c�;

c) Tìm caùc soá m ; n thoûa c� = m a

�+ n b� .

www.VNMATH.com

126

CHƯƠNG II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

§1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 00 ðẾN 1800


I.GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC

1. Trong mặt phẳng Oxy, với mỗi góc ( )0 00 180α α≤ ≤

ta xác ñịnh ñiểm M trên nửa ñường tròn ñơn vị

sao cho : �xOM α= , giả sử ñiểm M có toạ ñộ ( )0 0;M x y .

Khi ñó :

( ) ( )

0 0

0 00 0

0 0

sin ; os ;

tan 0 ; cot 0

y c x

y xx y

x y

α α

α α

= =

= ≠ = ≠

Và các giá trị sin ; cos ; tan ; cotα α α α ñược gọi là các giá trị lượng giác của góc α . Lưu ý: 1) Nếu α là góc tù thì os 0, tan 0,cot 0c α α α< < < .

2) tanα xác ñịnh khi 090α ≠ và cotα xác ñịnh khi 00α ≠ và 0180α ≠ 2. Tính chất

�� Góc phụ nhau :

0

0

0

0

sin(90 ) coscos(90 ) sintan(90 ) cotcot(90 ) tan

α αα αα αα α

− =

− =− =

− =

0

0

0

0

sin(180 ) sincos(180 ) costan(180 ) tancot(180 ) cot

α αα αα αα α

− =

− = −− = −

− = −

3. Giá trị lượng giác của các góc ñặc biệt

y0 M(x0;y0)

y

x O α

x0

00 300 450 600 900 1800

sinαααα 0 12

22

32

1 0

cosαααα 1 32

22

12

0 –1

tanαααα 0 33

1 3 || 0

cotαααα || 3 1 33

0 ||

www.VNMATH.com

127

II. GÓC GIỮA HAI VECTƠ

Cho hai vectơ ;a b� �

ñều khác vectơ 0�

, từ một ñiểm O bất kỳ ta vẽ ;OA a OB b= =��

. Khi ñó góc �0 00 180AOB≤ ≤ gọi là góc giữa hai vectơ ;a b

� �. Kí hiệu: ( ;a b

� �).

Lưu ý: ( ;a b� �

)=( ;b a� �

)

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Tính giá trị lượng giác của một số góc ñặc biệt, cho biết một giá trị lượng giác của một góc, rồi tìm các giá trị lượng giác còn lại có góc ñó. Phương pháp : Dựa vào bảng giá trị lượng giác ñặc biệt, và các công thức liên quan

Các hệ thức cơ bản :

sintan (cos 0)coscoscot (sin 0)sin

tan .cot 1 (sin .cos 0)

αα α

αα

α αα

α α α α

= ≠

= ≠

= ≠

α α

α αα

α αα

+ =

+ = ≠

+ = ≠

2 2

22

22

sin cos 111 tan (cos 0)

cos11 cot (sin 0).

sin

Chú ý: 0 sin 1; 1 cos 1α α≤ ≤ − ≤ ≤ .

Bài tập 1. Tính 0 0 03sin135 os60 4sin150A c= + + . Giải

0 0 03sin 45 os60 4sin 30

2 1 1 3 2 53 4

2 2 2 2

A c= + +

+= + + ⋅ =

Bài tập 2. Cho góc tù x, biết 1

s inx5

= . Hãy tính các giá trị lượng giác của góc x.

Giải

Ta có : 2 2cos sin 1x x+ =

Suy ra : 2 1 2 6cos 1 sin 1

25 5x x= − − = − − = − (Do x là góc tù nên cosx < 0)

+ s inx 1 6

tancos 122 6

xx

= = − = − ;

+ cosx

cot 2 6sin

xx

= = −

Bài tập 3. Cho góc x nhọn, với 1

cos3

x = . Tính các giá trị lượng giác của góc x.

Giải

Ta có: 2 2cos sin 1x x+ =

www.VNMATH.com

128

Suy ra: 2 1 2 2sin 1 cos 1

9 3x x= − = − =

+ s inx 1

tan 2 2cos 2 2

xx

= = = ;

+ cosx 2

cotsin 4

xx

= =

Vấn ñề 2. Tính góc giữa hai vectơ, ñộ dài của vectơ Phương pháp : ðể tính góc giữa hai vectơ ta ñưa về tính góc giữa hai vectơ có cùng ñiểm ñầu. Bài tập. Cho tam giác ABC ñều cạnh a, ñường cao AH. Tính góc giữa các cặp vectơ sau:

( ) ( ) ( )) , ; ) , ; ) ,a AB BC b AC CB c AH BC��

.

Giải

Ta vẽ 'BA AB=��

, khi ñó : ( ) ( ) � 0, ', ' 120AB BC BA BC CBA= = =��

(Vì góc � 060ABC = , A, B, B’ thẳng hàng)

Tương tự: ta vẽ 'CC AC=��

, khi ñó: ( ) ( ) � 0, ', ' 120= = =�� AC CB CC CB BCC

( ) 0, 90⇒ =�� AH BC .


Baøi 1.Baøi 1.Baøi 1.Baøi 1. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) a b c0 0 0sin 0 cos0 sin 90+ + b) a b c0 0 0cos90 sin 90 sin180+ + .

c) a a a2 2 0 0 2 0 24 sin 45 3( tan 45 ) (2 cos45 )− + d) 2 0 2 0 2 0 2 0cos 12 cos 78 cos 1 cos 89+ + + .

Baøi 2.Baøi 2.Baøi 2.Baøi 2. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn lại:

a) 1sin4

β = , β nhọn. b) 1cos3

α = − c) xtan 2 2=

Baøi 3.Baøi 3.Baøi 3.Baøi 3. Cho tam giác ñều ABC có trọng tâm G . Tính góc giữa :

a) AB��

và AC��

b) AB��

và BC��

c) AG��

và BC��

d) GB��

và GC��

e) GA��

và AC��

.

Baøi 4.Baøi 4.Baøi 4.Baøi 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Xác ñịnh góc giữa các cặp vectơ sau:

a) ( ),AB AC��

b) ( ),AC CB��

c) ( ),AB BC��

.

Baøi 5.Baøi 5.Baøi 5.Baøi 5. Cho tam giác ABC ñều cạnh bằng a. Xác ñịnh góc giữa các cặp vectơ sau:

a) ( ),AB AC��

b) ( ),AC CB��

c) ( ),AB BC��

.

C’ A’

A

C H

B

www.VNMATH.com

129

§2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.ðịnh nghĩa tích vô hướng

( ). os ;a b a b c a b=� � � � � �

; với 0; 0a b≠ ≠� � � �

Lưu ý: 1) Nếu 0a =� �

hoặc 0b =� �

thì . 0a b =� �

.

2) Với 0; 0a b≠ ≠� � � �

, ta có: . 0a b a b= ⇔ ⊥� � � �

. 2. Biểu thức toạ ñộ của tích vô hướng

Cho hai vectơ ( ) ( )1 2 1 2; ; ;a a a b b b= =� �

, khi ñó: 1 1 2 2.a b a b a b= +� �

3. Ứng dụng của tích vô hướng

a) ðộ dài của vectơ ( )1 2;a a a=�

ñược tính như sau: 2 21 2a a a= +

�

b) Góc giữa hai vectơ ( ) ( )1 2 1 2; ; ;a a a b b b= =� �


, khi ñó:

( ) 1 1 2 2

2 2 2 21 2 1 2

.os ;

a b a ba bc a b

a b a a b b

+= =

+ +

� ��

� �

c) Khoảng cách giữa hai ñiểm ( ) ( ); ; ;A A B BA x y B x y ñược tính theo công thức:

( ) ( )2 2

B A B AAB AB x x y y= = − + −��

.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Tính tích vô hướng của hai vectơ Phương pháp :

� Dùng ñịnh nghĩa : ( ). os ;a b a b c a b=� � � � � �

.

Bài tập. Cho tam giác ñều ABC cạnh a, trọng tâm G.

Tính các tích vô hướng: . ; .AB CA GA GB��

theo a;

Tính : ( ) ( )sin , ; cot , .GA GB AB BC��

Giải

Áp dụng công thức tích vô hướng: ( ). os ;a b a b c a b=� � � � � �

Ta có :

� ( )2

2 2 0. os ; ' os1202

aAB CA a c AB AC a c= = = −��

.

� �. osGAGB GA GB c AGB=��

.

� Gọi ñường cao xuất phát từ ñỉnh A, B, C là , ,A B Ch h h ,

khi ñó: 3

2A B C

ah h h= = =

Do G là trọng tâm tam giác ñều ABC cạnh a nên:

B’

'C

a G

A

B C G

www.VNMATH.com

130

2 3

3 3A

aGA GB h= = =

22

03. cos120

3 6

⇒ = = −

�� a aGAGB

Ta có: ( ) � 0, 120GA GB AGB= =��

; ( ) ( ) � 0, ', ' 120AB BC BB BC B BC= = =��

( ) 0 3sin , sin120 ;

2GA GB⇒ = =��

( ) 0 3cot , cot120 .

3= = −

�� AB BC

Vấn ñề 2. Tính ñộ dài vectơ, khoảng cách giữa hai ñiểm, góc giữa hai vectơ Phương pháp : Sử dụng các công thức sau :

� Cho hai vectơ ( ) ( )1 2 1 2; ; ;= =� �a a a b b b , khi ñó: 1 1 2 2.a b a b a b= +

� �.

� ðộ dài của vectơ ( )1 2;a a a=�

ñược tính như sau: 2 21 2a a a= +

�.

� Góc giữa hai vectơ ( ) ( )1 2 1 2; ; ;a a a b b b= =� �


, khi ñó:

( ) 1 1 2 2

2 2 2 21 2 1 2

.cos ;

+= =

+ +

� ��

� �a b a ba b

a ba b a a b b

� Khoảng cách giữa hai ñiểm ( ) ( ); ; ;A A B BA x y B x y ñược tính theo công thức:

( ) ( )2 2

B A B AAB AB x x y y= = − + −��

.

Bài tập 1. Cho tam giác ABC có ( ) ( ) ( )10;5 , 3;2 , 6; 5A B C − .

Tính chu vi tam giác ABC. Tam giác ABC là tam giác gì ?

Giải

Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai ñiểm :

� Ta có: ( ) ( )2 27 3 58AB = − + − = ;

( ) ( )2 24 10 116AC = − + − = ; ( )223 7 58BC = + − =

chu vi tam giác ABC: 58 58 116+ + Ta có:

( )7;3=��BA ; ( )3; 7= −

��BC

� Áp dụng công thức tính góc giữa hai vectơ :

( ) . 7.3 3.( 7)cos ; 0

58. 58.

+ −= =

��

�� BA BC

BA BCBA BC

.

Suy ra � 090ABC = . Mà AB = BC Vậy tam giác ABC vuông cân tại B.

www.VNMATH.com

131

Bài tập 2. Trên mặt phẳng tọa ñộ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ a�

và b�

trong các trường hợp sau :

a) ( ) ( )3 4 4 3; , ;a b= = −� �

b/ ( ) ( )3 2 5 1; , ;a b= = −� �

c) ( ) ( )2 2 3 3 3; , ;a b= − − =� �

Giải

a) ( ) ( )

( )( ) 0

22 2 2

3.4 3 .4.cos ; 0 , 90 .

2 3 . 6 4

a ba b a b

a b

+ −= = = ⇒ =

+ − +

� ��

� �

b) ( ) ( )( )

( ) 0

22 2 2

3.5 2. 1. 13 13 2cos ; , 45 .

213. 26 13 23 2 . 5 1

+ −= = = = = ⇒ =

+ + −

� ��

� �a b

a b a ba b

c) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 2

2.3 2 3 . 3. 12 12 3 3cos ;

216. 12 8 3 2 32 2 3 . 3 3

− + − − − − −= = = = = =

− + − +

� ��

� �a b

a ba b

( ) 0, 150 .⇒ =� �a b


Baøi 1.Baøi 1.Baøi 1.Baøi 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vô hướng:

a) AB AC.��

b) AC CB.��

c) ABBC.��

Baøi 2.Baøi 2.Baøi 2.Baøi 2. Cho tam giác ABC ñều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:

a) AB AC.��

b) AC CB.��

c) ABBC.��

Baøi 3.Baøi 3.Baøi 3.Baøi 3. Cho tam giác ABC với A ( 3; -1) ; B(-4;2) ; C(4; 3). Tìm D ñể ABDC là hình bình hành.

Baøi 4.Baøi 4.Baøi 4.Baøi 4. Cho AB��

=(2x - 5 ; 2) ; AC��

=(3 – x; -2). ðịnh x ñể A , B , C thẳng hàng. Baøi 5.Baøi 5.Baøi 5.Baøi 5. Cho tam giác ABC có A (-2 ; 2) , B(6 ; 6) , C(2 ; -2).

a) Chứng minh rằng A ; B ; C không thẳng hàng; b) Tìm tọa ñộ ñiểm D ñể ABCD là hình bình hành ; c) Tìm ñiểm M ∈ trục x’Ox ñể tam giác ABM vuông tại B; d) Tam giác ABC là tam giác gì ? e) Tìm tọa ñộ trực tâm H của tam giác ABC.

Baøi 6.Baøi 6.Baøi 6.Baøi 6. Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8.

a) Tính AB AC.��

, rồi suy ra giá trị của góc A.

b) Tính CACB.��

.

c) Gọi D là ñiểm trên CA sao cho CD = 3. Tính CDCB.��

.

Baøi 7.Baøi 7.Baøi 7.Baøi 7. Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0). a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC.

b) Tìm toạ ñộ ñiểm M biết CM AB AC2 3= −��

.

c) Tìm tâm và bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Baøi 8.Baøi 8.Baøi 8.Baøi 8. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).

a) Tính AB AC.��

. Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

www.VNMATH.com

132

b) Tìm tâm và bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

c) Tìm toạ ñộ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.

e) Tìm toạ ñộ ñiểm M trên Oy ñể B, M, A thẳng hàng.

§3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. ðịnh lý côsin � Trong tam giác ABC bất kì với ; ;BC a CA b AB c= = = ta có:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos ;

2 cos ;

2 cos ;

a b c bc A

b a c ac B

c a b ab C

= + −

= + −

= + −

� Từ ñó ta có công thức tính góc của tam giác ABC bất kỳ, khi biết ñộ dài các cạnh:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

cos ;2

cos ;2

cos ;2

b c aA

bc

a c bB

ac

a b cC

ab

+ −=

+ −=

+ −=

� Tính ñộ dài trung tuyến của tam giác bất kỳ Cho tam giác ABC các cạnh ; ;BC a CA b AB c= = = . Gọi , ,a b cm m m là ñộ dài các ñường trung

tuyến lần lượt từ các ñỉnh A, B và C, ta có:

( )

( )

2 2 22

2 2 2

2

2 2 2

2

2( );

4

2;

4

2;

4

a

b

c

b c am

a c bm

a b cm

+ −=

+ −=

+ −=

2. ðịnh lý sin Trong tam giác ABC bất kì với ; ;BC a CA b AB c= = = và R là bán kính ñường tròn ngoại tiếp,

ta có: 2sin sin sin

a b cR

A B C= = =

3. Công thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC bất kì với ; ; , ; ;= = = a b cBC a CA b AB c h h h lần lượt là ñộ dài ñường cao xuất

phát từ các ñỉnh A, B, C. Gọi R và r lần lượt là bán kính ñường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác

và 2

a b cp

+ += là nửa chu vi của tam giác. Diện tích S của tam giác ABC ñược tính như sau:

1 1 1

2 2 2a b cS ah bh ch= = = ;

www.VNMATH.com

133

1 1 1sin sin sin ;

2 2 2

; ;4

S ab C bc A ac B

abcS S pr

R

= = =

= =

( )( )( )S p p a p b p c= − − − (công thức Hê-rông)

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Tìm các yếu tố của một tam giác khi biết một vài yếu tố. Phương pháp : Áp dụng các ñịnh lí sin, côsin, công thức trung tuyến.

Bài tập 1. Cho tam giác ABC biết � 0120A = , cạnh 8 ; 5 .b cm c cm= = Tính cạnh a, và các góc � �,B C của tam giác ñó.

Giải

Áp dụng ñịnh lý côsin ta có: 2 2 2 2 2 02 cos 8 5 2.8.5cos120 129a b c bc A= + − = + − =

129a⇒ = Áp dụng hệ quả của ñịnh lý Cosin, ta có:

( )

�

22 2

2 2 2

0

129 5 8 3 129cos

2 432.5 129

37 35'20 ''

a c bB

ac

B

+ −+ −= = =

⇒ ≈

Tương tự : � 022 24 '39 ''C ≈ Cách khác:

Ta có: � � � 0180A B C+ + = � � �( )0 0180 22 24 '39 ''C A B⇒ = − + =

Bài tập 2. Cho tam giác ABC có 6, 2, 3 1a b c= = = + . Tính các góc A, B, bán kính R của

ñường tròn ngoại tiếp, trung tuyến am của tam giác ABC.

Giải

Áp dụng hệ quả ñịnh lý cosin, ta có:

( ) ( )( )

�

2 222 2 2

0

2 3 1 6 1cos

2 22.2 3 1

60

b c aA

bc

A

+ + −+ −= = =

+

⇒ =

Áp dụng ñịnh lý sin, ta có: sin sin

a b

A B=

0sin 2sin 60 2sin

26

b AB

a⇒ = = =

� 045B⇒ =

Mặt khác: 2sin

aR

A=

www.VNMATH.com

134

0

62

2sin 2sin 60

aR

A⇒ = = =

( ) ( )2 22

2 2 22

2 2 3 1 62( ) 5 2 3

4 4 2a

b c am

+ + − + − + = = =

Bài tập 3. (Bài toán thực tiễn) Hai ñiểm A, B cách nhau bởi một hồ nước. Người ta lấy một ñịa ñiểm C và ño ñược góc BAC bằng 750, góc BCA bằng 600, ñoạn AC dài 60 mét. Hãy tính khoảng cách từ A ñến B.

Giải

Áp dụng ñịnh lý sin, ta có: � �sin sin

AC AB

ABC BCA=

Mặt khác: � � �( ) ( )0 0 0 0 0180 180 75 60 45ABC BCA BAC= − + = − + =

�

�

0

0

sin 60sin 6030 6

sin 45sin

AC BCAAB

ABC⇒ = = = (m)

Vấn ñề 2. Diện tích tam giác Phương pháp : Áp dụng các công thức tính diện tích tam giác (mục 3)

Bài tập 1. Tam giác ABC có � 058 25 35, ,a b C= = = . a) Tính diện tích tam giác ABC. b) Tính ñường cao xuất phát từ ñỉnh A. c) Tính bán kính ñường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC.

Giải

a) Ta có : 01 1sin 58.25.sin 35 415,84

2 2= = =S ab C (ñvdt).

b) Ta có : 1 2 2.415,84

14,32 58

= ⇒ = = =a a

SS ah h

a

c) Áp dụng ñịnh lí côsin , ta có : 2 2 2 2 cos= + −c a b ab C 2 2 058 25 2.58.25.cos35 1613, 46

40,17

= + − =

⇒ =c

� Áp dụng ñịnh lí sin, ta có :

0

40,172 35,02

sin 2sin 2.sin 35= ⇒ = = =

c cR R

C C.

� 58 25 40,17

61,5852 2

+ + + += = =

a b cp

Ta có : 415 84

6 7561 585

,. ,,

SS p r rp

= ⇒ = = = .

Bài tập 2. Tam giác ABC có 45 35 20, ,a b c= = = . a) Tính diện tích tam giác ABC. b) Tính bán kính ñường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC.

Giải

B

750

600 C

A

60 m ? m

www.VNMATH.com

135

a) 45 35 20

502 2

+ + + += = =

a b cp .

Áp dụng công thức Hê-rông ta có :

( ) ( )( ) ( )( )( )50 50 45 50 35 50 20= − − − = − − −S p p a p b p c =335,4 (ñvdt).

b) Ta có :

� 335 4

6 7150

,. ,SS p r rp

= ⇒ = = = .

� 45.35.20

23,54 4 4.335, 4

= ⇒ = = =abc abc

S RR S

.

Bài tập 3. Cho ∆ ABC có a = 7, b = 8, c = 5. Tính : Â, S, ha, R, r, ma.

Giải

• a2 = b2 + c2 - 2bc cosA ⇔ 49 = 64 + 25 - 2.8.5 cos A

⇔ cos A = 1

2 ⇒ Â = 600 .

• S = 1

2. b.c.sinA =

1

2. 8.5. 310=

23

(ñvdt).

• S = 1

2.a.ha ⇔ ha =

7320=

aS2

.

• S = R

abc4

⇔ R = 337=

4Sabc

• S = p.r ⇔ r =

( )10 3

31

7 8 52

Sp= =

+ +.

• 2am =

( )2 22 129

4 4

b c+=

2- a

⇒ ma = 2129

.


Baøi 1.Baøi 1.Baøi 1.Baøi 1. Giải tam giác ABC, biết:

a) � �c A B0 014; 60 ; 40= = = b) � �b A C0 04,5; 30 ; 75= = =

Baøi 2.Baøi 2.Baøi 2.Baøi 2. Giải tam giác ABC, biết:

a) �a b C 06,3; 6,3; 54= = = b) �b c A 032; 45; 87= = = .

Baøi 3.Baøi 3.Baøi 3.Baøi 3. Giải tam giác ABC, biết: a) a b c14; 18; 20= = = b) a b c6; 7,3; 4,8= = = .

Baøi 4.Baøi 4.Baøi 4.Baøi 4. Cho tam giác ABC a) a=5 ; b = 6 ; c = 7. Tính S, ha, hb , hc ,R, r.

www.VNMATH.com

136

b) a= 2 3 ; b= 2 2 ; c= 6 - 2 . Tính 3 góc của tam giác ABC.

c) b=8; c=5; góc A = 600. Tính S , R , r , ha , ma

d) a=21; b= 17;c =10.Tính S, R , r , ha , ma

e) A = 600; hc = 3 ; R = 5 . Tính 3 cạnh a , b, c.

f) A=1200; B =450 ; R =2. Tính 3 cạnh a , b, c.

g) a = 4 , b = 3 , c = 2. Tính SABC, suy ra SAIC ( I trung ñiểm AB)

h) c = 3 , b = 4 ; S = 3 3 . Tính a

Baøi 5.Baøi 5.Baøi 5.Baøi 5. Gọi G là trọng tâm tam giác . Chứng minh rằng : GA2 + GB2 + GC2 = 1/3 (a2+ b2+ c2) . Baøi 6.Baøi 6.Baøi 6.Baøi 6. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có: a) a b C c B.cos .cos= + b) A B C C Bsin sin cos sin cos= +

c) ah R B C2 sin sin= d) a b cm m m a b c2 2 2 2 2 23 ( )4

+ + = + +

e) ( )ABCS AB AC AB AC

22 21 . .2∆ = −

�� f) 4ma

2= b2 + c2 + 2bc.cosA.

g) S =2R2sinA.sinB.sinC h) S=Rr(sinA + sinB + sinC)

i) ha = 2RsinBsinC.

www.VNMATH.com

137

CHƯƠNG 4 PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ TRONG MẶT PHẲNG

§1. PHƯƠNG TRÌNH ðƯỜNG THẲNG


1. Vectơ chỉ phương của ñường thẳng

Vectơ u�

ñược gọi là vectơ chỉ phương của ñường thẳng ∆ nếu 0u ≠� �

và giá của vectơ u�

song song hoặc trùng với ñường thẳng ∆ .

� Chú ý : Một ñường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

2. Phương trình tham số của ñường thẳng

Phương trình tham số của ñường thẳng

∆ ñi qua ( )0 0 0;M x y

và có vectơ chỉ phương ( )1 2;u u u=�

là ( )0 1 2 21 2

0 2, 0

= ++ ≠

= +

x x u tu u

y y u t

3. Phương trình ñường thẳng có hệ số góc k

Phương trình ñường thẳng ñi qua ( )0 0 0;M x y và có hệ số góc k là :

( )0 0y y k x x− = − .

4. Vectơ pháp tuyến của ñường thẳng

Vectơ n�

ñược gọi là vectơ pháp tuyến của ñường thẳng ∆ nếu 0n ≠� �

và n�

vuông góc với vectơ chỉ phương của ñường thẳng ∆ .

� Chú ý : Một ñường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.

5. Mối quan hệ giữa vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến và hệ số góc

� Nếu ∆ có vectơ chỉ phương ( )1 2;u u u=�

với 1 0u ≠ thì hệ số góc của ∆ là 2

1

uk

u= .

� Nếu∆ có hệ số góc là k thì ∆ có một vectơ chỉ phương là ( )1;u k=�

.

� ∆ có ( ) ( ); ;u a b n b a= ⇔ = −� �

6. Phương trình tổng quát của ñường thẳng

x O

u�

y

0M

www.VNMATH.com

138

� Phương trình tổng quát của ñường thẳng ∆ ñi qua ( )0 0 0;M x y và có vectơ pháp tuyến

( );n a b=�

là ( ) ( ) ( )2 20 0 0, 0a x x b y y a b− + − = + ≠ .

� Phương trình 0ax by c+ + = với 2 2 0a b+ ≠ gọi là phương trình tổng quát của ñường thẳng

nhận ( );n a b=�

làm vectơ pháp tuyến.

7. Phương trình theo ñoạn chắn

ðường thẳng ∆ cắt Ox và Oy lần lượt tại

( );0A a và ( )0;B b có phương trình theo

ñoạn chắn là ( )1 0, 0x y

a ba b+ = ≠ ≠ .

8. Vị trí tương ñối của hai ñường thẳng

Cho hai ñường thẳng : 1 1 1 1

2 2 2 2

: 0;

: 0.

a x b y c

a x b y c

∆ + + =

∆ + + =

a) ðể xét vị trí tương ñối của hai ñường thẳng 1∆ và 2∆ ta xét số nghiệm của hệ phương trình

( )1 1 1

2 2 2

0

0

a x b y cI

a x b y c

+ + =

+ + =

� Hệ (I) có một nghiệm : 1∆ cắt 2∆ .

� Hệ (I) vô nghiệm : 1 2/ /∆ ∆ .

� Hệ (I) có vô số nghiệm : 1 2∆ ≡ ∆ .

b) Nếu 2 2 2 0a b c ≠ thì :

� 1 11

2 2

a b

a b≠ ⇔ ∆ cắt 2∆ ;

� 1 1 11 2

2 2 2

/ /a b c

a b c= ≠ ⇔ ∆ ∆ ;

� 1 1 11 2

2 2 2

a b c

a b c= = ⇔ ∆ ≡ ∆ .

c) 1 21 2 1 2 1 2. 0 0n n a a b b∆ ∆∆ ⊥ ∆ ⇔ = ⇔ + =� �

.

9. Góc giữa hai ñường thẳng

Cho hai ñường thẳng

y

x O

B

A

www.VNMATH.com

139

1 1 1 1: 0a x b y c∆ + + = có ( )1 1 1;n a b=��

và 2 2 2 2: 0a x b y c∆ + + = có ( )2 2 2;n a b=��

.

Góc giữa chúng ñược tính theo công thức �( ) ( ) 1 2 1 21 2 1 2 2 2 2 2

1 1 2 2

cos ; cos ;.

a a b bn n

a b a b

+∆ ∆ = =

+ +

�� .

10. Khoảng cách từ một ñiểm ñến một ñường thẳng

Khoảng cách từ một ñiểm ( )0 0 0;M x y ñến một ñường thẳng ∆ có phương trình

0ax by c+ + = ñược tính theo công thức : ( ) 0 00 2 2;

ax by cd M

a b

+ +∆ =

+


Vấn ñề 1. Viết phương trình tham số, phương trình tổng quát của ñường thẳng

Phương pháp :

� ðể lập phương trình tham số của ñường thẳng ∆ ta cần xác ñịnh

một ñiểmM x y0 0 0( ; )∈ ∆ và một VTCP u u u1 2( ; )=�

của ∆.

Phương trình tham số của ∆ : x x tuy y tu

0 1

0 2

= + = +

.

� ðể lập phương trình tổng quát của ñường thẳng ∆ ta cần xác ñịnh một ñiểm

M x y0 0 0( ; )∈ ∆ và một VTPT n a b( ; )=�

của ∆.

Phương trình tổng quát của ∆ : a x x b y y0 0( ) ( ) 0− + − = .

� Nếu ∆ cắt trục Ox , trục Oy lần lượt tại A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0) thì ∆ : x ya b

1+ = .

� Nếu ∆ ñi qua ñiểm M x y0 0 0( ; ) và có hệ số góc k thì ∆ : y y k x x0 0( )− = − .

Bài tập 1. Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của ñường thẳng :

a) ∆ ñi qua ( )4; 2A − và có vectơ chỉ phương ( )1;3u =�

.

b) ∆ ñi qua ( )1; 2B − và có vectơ pháp tuyến ( )5; 3n = −�

.

www.VNMATH.com

140

c) ∆ ñi qua ( )0;3C và có hệ số góc 1k = .

d) ∆ ñi qua ( ) ( )1;4 , 2;8D E − .

e) ∆ ñi qua ( ) ( )3;0 , 0; 2G H − .

Giải

a) � ∆ ñi qua ( )4; 2A − và có vectơ chỉ phương ( )1;3u =�

. Vậy phương trình tham số của ñường

thẳng ∆ là ( )4

2 3

x tt

y t

= +∈

= − +ℝ .

� ∆ ñi qua ( )4; 2A − và có vectơ chỉ phương ( )1;3u =�

nên có vectơ pháp tuyến là ( )3; 1n = −�

.

Vậy phương trình tổng quát của ñường thẳng ∆ là ( ) ( )3 4 1 2 0x y− − + =

3 14 0x y⇔ − − =

b) � ∆ ñi qua ( )1; 2B − và có vectơ pháp tuyến ( )5; 3n = −�

. Vậy phương trình tổng quát của

ñường thẳng ∆ là ( ) ( )5 1 3 2 0 5 3 11 0x y x y− − + = ⇔ − − = .

� ∆ ñi qua ( )1; 2B − và có vectơ pháp tuyến ( ) ( )5; 3 3;5n u= − ⇒ =� �

là vectơ chỉ phương của

∆ . Vậy phương trình tham số của ñường thẳng ∆ là ( )1 3

2 5

x tt

y t

= +∈

= − +ℝ .

c) � ∆ ñi qua ( )0;3C và có hệ số góc 1k = nên có phương trình tổng quát là

( )3 1 0 3 0y x x y− = − ⇔ − + = .

� ∆ ñi qua ( )0;3C và có hệ số góc ( )1 1;1k u= ⇒ =�

là vectơ chỉ phương của ñường thẳng ∆

nên ∆ có phương trình tham số là ( )3

x tt

y t

=∈

= +ℝ .

d) � ∆ ñi qua ( ) ( ) ( )1;4 , 2;8 3;4D E u DE− ⇒ = = −� ��

là VTCP của ñường thẳng ∆ . Vậy phương

trình tham số của ∆ là ( )1 3

4 4

x tt

y t

= −∈

= +ℝ .

� ∆ ñi qua ( )1;4D và có VTCP ( ) ( )3;4 4;3u n= − ⇒ =� �

là VTPT của ∆ . Vậy phương trình

tổng quát của ∆ là ( ) ( )4 1 3 4 0 4 3 16 0x y x y− + − = ⇔ + − = .

e) � ∆ ñi qua ( ) ( )3;0 , 0; 2G H − nên phương trình có dạng 1 2 3 6 03 2

x yx y+ = ⇔ − + + =

−.

� ∆ ñi qua ( ) ( ) ( )3;0 , 0; 2 3; 2G H u GH− ⇒ = = − −� ��

là VTCP. Vậy phương trình tham số của

www.VNMATH.com

141

∆ là ( )3 3

2

x tt

y t

= −∈

= −ℝ .

Bài tập 2. Lập phương trình tổng quát của ñường thẳng :

a) ∆ ñi qua ( )1;2M và song song với ñường thẳng 1 : 2 1 0d x y− + = .

b) ∆ ñi qua ( )1; 2N − và vuông góc với ñường thẳng 2 :8 11 15 0d x y− + = .

Giải

� Chú ý :

1) Nếu : 0d ax by c∆ ⊥ + + = ⇒ ∆ có dạng : ' 0bx ay c− + = .

2) Nếu / / : 0d ax by c∆ + + = ⇒ ∆ có dạng : ( )' 0 'ax by c c c+ + = ≠ .

a) ∆ song song với ñường thẳng 1 : 2 1 0d x y− + = nên ∆ có dạng : 2 0x y c− + = .

Vì ∆ ñi qua ( )1;2M nên 2.1 2 0 0c c− + = ⇒ = . Vậy phương trình tổng quát của ∆ là

2 0x y− = .

b) ∆ vuông góc với ñường thẳng 2 :8 11 15 0d x y− + = nên ∆ có dạng : 11 8 0x y c− − + = .

Vì ∆ ñi qua ( )1; 2N − nên ( )11.1 8 2 0 5c c− − − + = ⇒ = − . Vậy phương trình tổng quát của ∆ là

11 8 5 0 11 8 5 0x y x y− − − = ⇔ + + = .

Bài tập 3. Lập phương trình tổng quát của ñường thẳng :

a) ∆ ñi qua ( )3;5M − và song song với ñường thẳng 12 3

:1 2

x td

y t

= +

= − .

b) ∆ ñi qua ( )1; 2N − và vuông góc với ñường thẳng 24 2

:11 7

x td

y t

= −

= +.

Giải

a) Vì 1/ /d∆ nên VTCP của d1 là VTCP của ( ) ( )1

3; 2 2;3du u n∆∆⇒ = = − ⇒ =��

là VTPT của ∆ .

Vậy phương trình tổng quát của ∆ là ( ) ( )2 3 3 5 0 2 3 9 0x y x y+ + − = ⇔ + − = .

b) Vì 2d∆ ⊥ nên VTCP của d2 là VTPT của ( )2

2;7dn u∆∆⇒ = = −��

. Vậy phương trình tổng

quát của ∆ là ( ) ( )2 1 7 2 0 2 7 16 0x y x y− − + + = ⇔ − + + = .

www.VNMATH.com

142

Bài tập 4. Lập phương trình ñường trung trực của ñoạn thẳng AB biết ( ) ( )1;3 , 3; 7A B − .

Giải

Gọi I là trung ñiểm của AB ( )2; 2I⇒ − .

Gọi d là ñường trung trực của AB d⇒ ñi qua I và d AB⊥ .

� d AB d⊥ ⇒ có VTPT là ( )2; 10n AB= = −� ��

.

� Vậy phương trình tổng quát của ñường thẳng d là :

( ) ( )2 2 10 2 0x y− − + =

2 10 24 0x y⇔ − − =

5 12 0x y⇔ − − = .

(d)

IA B

Vấn ñề 2. Chuyển ñổi giữa phương trình tổng quát, phương trình tham số của ñường thẳng

Phương pháp :

1) ∆ có phương trình tổng quát 0ax by c+ + = , ta lập phương trình tham số của ∆ như sau :

� Cách 1 : : 0ax by c∆ + + = ( ) ( ); ;n a b u b a∆ ∆⇒ = ⇒ = −��

. Ta tìm ñiểm ( )0 0 0;M x y ∈∆ , từ ñó

lập ñược phương trình tham số của ∆ .

� Cách 2 : : 0ax by c∆ + + = . Ta cho x t= ( nếu 0a ≠ ), suy ra y theo t . Trong trường hợp

0a = thì PTTS của ∆ là x t

cy

b

=

= −

( )t∈ℝ

2) ∆ có phương trình tham số x x tuy y tu

0 1

0 2

= + = +

, ta lập phương trình tổng quát của ∆ như sau :

� Cách 1 : ∆ ñi qua M x y0 0 0( ; ) và có VTCP = ⇒ = −1 2 2 1( ; ) ( ; )u u u VTPT n u u��

.

� Cách 2 : Khử t ta ñược PTTQ.

Bài tập 1. Lập phương trình tham số của ñường thẳng ∆ có PTTQ : 2 5 3 0x y+ − = .

Giải

� Cách 1 :

: 2 5 3 0x y∆ + − = ( ) ( )2;5 5; 2n u∆ ∆⇒ = ⇒ = −��

. Ta có : ( )0 1;1M − ∈∆ .

www.VNMATH.com

143

Vậy phương trình tham số của ∆ là ( )1 5

1 2

x tt

y t

= − +∈

= −ℝ .

� Cách 2 :

: 2 5 3 0x y∆ + − = , cho 3 2

5

tx t y

−= ⇒ = .

Vậy phương trình tham số của ∆ là ( )3 2

5 5

x tt

y t

=

∈= −

ℝ .

Bài tập 2. Lập phương trình tổng quát của ñường thẳng ∆ có PTTS : 2

1 3

x t

y t

= − +

= − +.

Giải

� Cách 1 :

∆ ñi qua − −( 2; 1)M và có VTCP = ⇒ = −(1;3) (3; 1)u VTPT n��

.

Vậy phương trình tổng quát của ñường thẳng ∆ là ( ) ( )3 2 1 1 0 3 5 0x y x y+ − + = ⇔ − + = .

� Cách 2 : Khử t ta ñược PTTQ của ∆

2 3 6 33 5 3 5 0

1 3 1 3

x t x tx y x y

y t y t

= − + − = − ⇔ ⇔ − + = ⇔ − + − =

= − + = − + .

Vấn ñề 3. Tìm hình chiếu của ñiểm M trên ñường thẳng ∆ .

Tìm ñiểm ñối xứng của ñiểm M qua ∆ .

Phương pháp :

Bài tập. Cho ñường thẳng : 2 4 0x y∆ + − = và ñiểm ( )1; 5M − .

a) Tìm hình chiếu H của M lên ∆ .

b) Tìm ñiểm ñối xứng M’ của M qua ∆ .

� Bước 1: Viết phương trình ñường thẳng d qua M và d ⊥ ∆ .

� Bước 2: Gọi H là hình chiếu của M trên ∆ .

Khi ñó, H d= ∩∆ .

� Bước 3: M’ là ñiểm ñối xứng của ñiểm M qua ∆

H⇔ là trung ñiểm của MM’.

d

M

M'

www.VNMATH.com

144

Giải

a) � Lập phương trình ñường thẳng d qua M và vuông góc với ∆ :

ðường thẳng : 2 4 0d x y d⊥ ∆ + − = ⇒ có dạng : 2 0x y c− + = .

Vì d qua ( )1; 5M − nên ( )2.1 5 0 7 : 2 7 0c c x y− − + = ⇒ = − ⇒ ∆ − − = .

� Gọi hình chiếu H của M lên ∆ , khi ñó H d= ∩∆

⇒ tọa ñộ H là nghiệm của hệ : 2 7 0

2 4 0

x y

x y

− − =

+ − =.

18

51

5

x

y

=⇔

=

. Vậy 18 1

;5 5

H

.

b) M’ là ñiểm ñối xứng của M qua H∆ ⇔ là trung ñiểm của MM’.

( )

''

''

18 312 2. 1

5 521 27

2 2. 55 52

M MM H MH

M MM H MH

x xx x xx

y yy y yy

+ = − = − == ⇔ ⇔

+ = − = − − ==

.

Vậy 31 27

' ;5 5

M

.

Vấn ñề 4. Vị trí tương ñối của hai ñường thẳng

Phương pháp :

Cho hai ñường thẳng :

1 1 1 1

2 2 2 2

: 0;

: 0.

a x b y c

a x b y c

∆ + + =

∆ + + =

Toạ ñộ giao ñiểm của ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình:a x b y ca x b y c1 1 1

2 2 2

00

+ + = + + =

(I)

� ∆1 cắt ∆2 ⇔ hệ (I) có một nghiệm ⇔ a ba b1 1

2 2≠ (nếu ≠2 2 2 0a b c ).

� ∆1 // ∆2 ⇔ hệ (I) vô nghiệm ⇔ a b ca b c1 1 1

2 2 2= ≠ (nếu ≠2 2 2 0a b c ).

� ∆1 ≡ ∆2 ⇔ hệ (I) có vô số nghiệm ⇔ a b ca b c1 1 1

2 2 2= = (nếu ≠2 2 2 0a b c ).

www.VNMATH.com

145

Bài tập 1. Xét vị trí tương ñối của các cặp ñường thẳng sau, nếu chúng cắt nhau thì tìm toạ ñộ giao ñiểm của chúng :

a) ∆ ∆+ − = + + =1 2: 2 1 0, : 4 2 5 0x y x y .

b) ∆ ∆− + = + + =1 2: 2 5 0, : 2 4 10 0x y x y .

c) ∆ ∆+ + = − − =1 2: 2 0, : 2 5 0x y x y .

d)∆ ∆− + = − + − =1 2: 3 4 6 0, : 12 16 24 0x y x y .

Giải

a) Ta có : 1 22 1 1

/ /4 2 5

−= ≠ ⇒ ∆ ∆ .

b) Ta có : 11 2

2 4

−≠ ⇒ ∆ cắt 2∆ tại M.

Tọa ñộ M là nghiệm của hệ : ( ) − + = = −⇔ ⇒ − + + = = 2 5 0 5 5;0

2 4 10 0 0x y x Mx y y

.

c) Ta có : 1 21 1

2 1N≠ ⇒ ∆ ∩∆ =

−

⇒ tọa ñộ N là nghiệm của hệ : ( ) + + = =⇔ ⇒ − − − = = − 2 0 1 1; 3

2 5 0 3x y x Nx y y

.

d) Ta có : 1 23 4 6

12 16 24

−= = ⇒ ∆ ≡ ∆

− −.

Bài tập 2. Xét vị trí tương ñối của các cặp ñường thẳng sau, nếu chúng cắt nhau thì tìm toạ ñộ giao ñiểm của chúng :

a) 1 25 4 2

: , :3 2 7 3

x t x t

y t y t

= + = + ∆ ∆

= − − = − + .

b) 1 24 2

: 4 5 6 0 , :7 3

x tx y

y t

= +∆ − − + = ∆

= − +.

c) 2 16 5

:8 10 12 0, :6 4

x tx y

y t

= − +∆ + − = ∆

= −.

d) 1 25

: , : 5 01

x tx y

y

= +∆ ∆ + − =

= −.

www.VNMATH.com

146

Giải

� Chú ý : Nếu có ñường thẳng nào ở dạng tham số ta ñưa chúng về dạng tổng quát rồi xét vị trí tương ñối.

a) � Ta có 15 2 10 2

: 2 7 03 2 3 2

x t x tx y

y t y t

= + = + ∆ ⇔ ⇔ + − =

= − − = − − .

24 2 3 12 6

: 3 2 26 07 3 2 14 6

x t x tx y

y t y t

= + = + ∆ ⇔ ⇔ − − =

= − + − = − .

� Vì 1 22 1

3 2A≠ ⇒ ∆ ∩∆ =

−

⇒ tọa ñộ A là nghiệm của hệ :

402 7 0 40 317 ;3 2 26 0 31 7 7

7

xx y

Ax y

y

=+ − = ⇒ ⇒ − − − = = −

.

b) � Ta có : 1 2: 6 4 21 0 , : 3 2 26 0x y x y∆ − + + = ∆ − − = (theo câu a)

� Vì 1 26 4 21

/ /3 2 26

−= ≠ ⇒ ∆ ∆−

c) � Ta có 2 :8 10 12 0x y∆ + − = .

16 5 4 24 20

: 4 5 6 06 4 5 30 20

x t x tx y

y t y t

= − + = − + ∆ ⇔ ⇔ + − =

= − = − .

� Vì 1 24 5 12

8 10 6

−= = ⇒ ∆ ≡ ∆

−.

d) � Ta có 15

: 1 01

x ty

y

= +∆ ⇔ + =

= −

2 : 5 0x y∆ + − =

� Vì 1 20 1

1 1B≠ ⇒ ∆ ∩∆ = .

⇒ tọa ñộ B là nghiệm của hệ : ( )1 0 6

6; 15 0 1

y xB

x y y

+ = = ⇔ ⇒ −

+ − = = − .

www.VNMATH.com

147

Vấn ñề 5. Góc giữa hai ñường thẳng

Phương pháp :

Cho hai ñường thẳng

1 1 1 1: 0a x b y c∆ + + = có VTPT ( )1 1 1;n a b=��

và 2 2 2 2: 0a x b y c∆ + + = có VTPT ( )2 2 2;n a b=��

.

� �( ) ( ) 1 2 1 21 2 1 2 2 2 2 2

1 1 2 2

cos ; cos ;.

a a b bn n

a b a b

+∆ ∆ = =

+ +

��

� Chú ý: 1) ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ a a b b1 2 1 2 0+ =

2) Cho ∆1 : y k x m1 1= + , ∆2: y k x m2 2= + thì :

� ∆1 // ∆2 ⇔ k1 = k2 � ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1. k2 = –1.

Bài tập 1. Tính góc giữa hai ñường thẳng

a) 1 : 2 4 0x y∆ + + = và 2 : 3 6 0x y∆ − + = .

b) 1 : 4 2 3 0x y∆ − − = và 2 : 3 1 0x y∆ − + = .

c) 1 : 3 2 0x y∆ + + = và 2 : 3 2 3 0x y∆ − + = .

d) 1 : 2 0x y∆ + + = và 1 : 1 0x y∆ + − = .

e) 11

:7 2

x t

y t

= +∆

= + và 2 :

3 3

x t

y t

=∆

= −.

Giải

a) Ta có : �( ) ( ) ( )

( )1 2 1 2 22 2 2

1.1 2. 3 5 5 1cos ; cos ;

5 10 5 5 2 21 2 . 1 3n n

+ −∆ ∆ = = = = =

+ + −

�� .

Vậy �( ) 01 2; 45∆ ∆ = .

b) Ta có : �( ) ( ) ( )

( ) ( )1 2 2 22 2

4.1 2 . 3 10 1cos ;

20 10 24 2 . 1 3

+ − −∆ ∆ = = =

+ − + −.

Vậy �( ) 01 2; 45∆ ∆ = .

www.VNMATH.com

148

c) Ta có : ( ) �( ) 01 2 1 21. 3 1 3 0 , 90+ − = ⇒ ∆ ⊥ ∆ ⇒ ∆ ∆ = .

d) Ta có : �( ) �( ) 01 2 1 22 2 2 2

1.1 1.1 2cos ; 1 ; 0

21 1 . 1 1

+∆ ∆ = = = ⇒ ∆ ∆ =

+ +.

e) Ta có : 11 2 2 2

: 2 5 07 2 7 2

x t x tx y

y t y t

= + − = − − ∆ ⇔ ⇔ − + − =

= + = +

23 3

: 3 3 03 3 3 3

x t x tx y

y t y t

= = ∆ ⇔ ⇔ + − =

= − = − .

�( )( )

�( ) 01 2 1 22 2 2 2

2.3 1.1 5 1cos ; ; 45 .

5 10 22 1 . 3 1

− +⇒ ∆ ∆ = = = ⇒ ∆ ∆ =

− + +

Bài tập 2. Cho hai ñường thẳng 1 : 2 5 0mx y m∆ + − = và 2 : 3 2 1 0x my m∆ + − − = .

ðịnh m ñể góc tạo bởi 1∆ và 2∆ bằng 045 .

Giải

�( ) �( )01 2 1 2 2 2 2 2

.3 2.2 2 1; 45 cos ;

2 2 22 3

m m

m m

+∆ ∆ = ⇔ ∆ ∆ = ⇔ = =

+ +

( )( )2 2 4 2 2 4 22 5 4 9 13 36 50 37 36 0m m m m m m m m⇔ = + + ⇔ + + = ⇔ − + =

2

2

1 1

636

m m

mm

= = ±⇔ ⇔ = ± =

Vậy 1

6

m

m

= ± = ±

thì �( ) 01 2; 45∆ ∆ = .

Bài tập 3. Cho hai ñường thẳng : 2 0x y∆ + − = .

Lập phương trình ñường thẳng d ñi qua ( )1;0M và tạo với ∆ một góc 060 .

Giải

� Vì d ñi qua ( )1;0M nên d có dạng : ( ) ( )1 0 0 0a x b y ax by a− + − = ⇔ + − = .

� d tạo với ∆ một góc 060 nên �( )2 2 2 2

1. 1.1 1cos ,

2 21 1

a bd

a b

+∆ = ⇔ =

+ +.

( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 22 2 4 2 2 2a b a b a b a b a b ab a b⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ + + = +

www.VNMATH.com

149

2 2 4 0a b ab⇔ + + = ( )*

Chia hai vế của ( )* cho 2b ta ñược 2

4 1 0a a

b b + + =

2 3

2 3

a

ba

b

= − +⇔

= − −

� Trường hợp 1 : ( )11 2 3 : 2 3 2 3 0b a d x y= ⇒ = − + ⇒ − + + + − = .

� Trường hợp 2 : ( )21 2 3 : 2 3 2 3 0b a d x y= ⇒ = − − ⇒ − − + + + = .

Vậy có hai ñường thẳng cần tìm là :

( )1 : 2 3 2 3 0d x y− + + + − = ;

( )2 : 2 3 2 3 0d x y− − + + + = .

Vấn ñề 6. Khoảng cách từ ñiểm ñến ñường thẳng

Phương pháp :

1) Khoảng cách từ một ñiểm ñến một ñường thẳng

Cho ñường thẳng ∆: ax by c 0+ + = và ñiểm M x y0 0 0( ; ) là ax by c

d Ma b

0 00 2 2

( , )∆+ +

=+

2) Vị trí tương ñối của hai ñiểm ñối với một ñường thẳng

Cho ñường thẳng ∆: ax by c 0+ + = và hai ñiểm M M N NM x y N x y( ; ), ( ; )∉ ∆.

� Hai ñiểm M, N nằm cùng phía ñối với ∆ ⇔ M M N Nax by c ax by c( )( ) 0+ + + + > .

� Hai ñiểm M, N nằm khác phía ñối với ∆ ⇔ M M N Nax by c ax by c( )( ) 0+ + + + < .

3) Phương trình các ñường phân giác của các góc tạo bởi hai ñường thẳng

Cho hai ñường thẳng ∆1: a x b y c1 1 1 0+ + = và ∆2: a x b y c2 2 2 0+ + = cắt nhau.

Phương trình các ñường phân giác của các góc tạo bởi hai ñường thẳng ∆1 và ∆2 là

a x b y c a x b y c

a b a b1 1 1 2 2 2

2 2 2 21 1 2 2

+ + + += ±

+ +

www.VNMATH.com

150

Bài tập 1. Tính khoảng cách từ các ñiểm ñến các ñường thẳng tương ứng sau ñây :

a) ( )1; 1M − và : 3 4 1 0x y∆ + − =

b) ( )2; 1N − và : 2 5 5 0x y∆ + + = .

c) −(2; 3)P và ∆ = = +

2:2 3

x ty t

.

Giải

a) ( )

∆+ − −

= =+2 2

3.1 4. 1 1 2( , )53 4

d M .

b) ( )

( )∆

+ − += =

+22

2.2 5 1 5 4( , )3

2 5

d N .

c) � Cách 1 :

= =⇔ ⇔ − + = = + − = − − 2 3 6: 3 2 4 02 3 2 4 6

x t x td x yy t y t.

( )∆

− − +⇒ = =

+2 2

3.2 2 3 4 16( , )133 2

d P

� Cách 2 :

Lấy ( )2 ;2 3H t t+ ∈∆ .

Ta có : ( ) ( )2 2 2 2 22 292 2 3 5 13 22 29 13

13 13PH t t t t t t = − + + = + + = + +

2 2 22 11 11 121 29 11 256 11 256

13 2. 13 1313 13 169 13 13 169 13 13

t t t t = + + − + = + + == + +

Mặc khác : 2 2

11 256 256 11 256 1613 13

13 13 13 13 13 13t t + + ≥ ⇒ + + ≥

(*)

∆⇒ =16( , )13

d P .

Chú ý : Cách này dùng ñể tìm tọa ñộ hình chiếu của ñiểm lên ñường thẳng khi ñường thẳng có phương trình tham số.

www.VNMATH.com

151

Trong bài toán trên, ñẳng thức ở (*) xảy ra 11

13t⇔ = − . Vậy tọa ñộ hình chiếu của ñiểm P lên

ñường thẳng ∆ là 22 7

;13 13

H − −

.

Bài tập 2. Tìm bán kính của ñường tròn (C) có tâm ( )1; 3I − và tiếp xúc với ñường thẳng

: 3 4 5 0x y∆ − − = .

Giải

∆ tiếp xúc với (C) ( ),d I R⇔ ∆ = , với R là bán kính của ñường tròn (C)

( )

( )22

3.1 4 3 5 102

53 4R

− − −⇒ = = =

+ −.

Bài tập 3. Viết phương trình ñường thẳng ñi qua A(2; 5) và cách B(5; 1) một khoảng bằng 3

Giải

� ðường thẳng ∆ ñi qua A(1; 1) có dạng : ( ) ( ) ( )2 22 5 0 0a x b y a b− + − = + ≠

: 2 5 0ax by a b⇒∆ + − − = .

� Ta có : ∆+ − − =

= ⇔ = ⇔ − = ++

2 2

2 2

.5 .1 2 5 0( , ) 3 3 3 4 3a b a bd B a b a ba b

( ) ( )⇔ − = + ⇔ − + = +2 2 2 2 2 2 23 4 9 9 24 16 9 9a b a b a ab b a b

( )⇔ − = ⇔ − =27 24 0 7 24 0b ab b b a (*).

� Chọn 10, 1 : 2 0b a x= = ⇒ ∆ − = .

� Chọn 224 7 : 7 24 2.7 5.24 0 7 24 134 0b a x y x y= ⇒ = ⇒ ∆ + − − = ⇔ + − = .

Vậy có hai ñường thẳng cần tìm là :

1 : 2 0x∆ − = ; 2 : 7 24 134 0x y∆ + − = .

Bài tập 4. Cho ñường thẳng : 2 5 8 0x y∆ − + = . Chứng tỏ rằng ( )1;1A và ( )2;1B − nằm khác

phía ñối với ∆ .

Giải

Ta có : 2 5 8 2.1 5.1 8 5A Ax y− + = − + = và ( )2 5 8 2. 2 5.1 8 1B Bx y− + = − − + = −

( )( )2 5 8 2 5 8 0A A B Bx y x y⇒ − + − + <

www.VNMATH.com

152

A⇒ và B nằm về khác phía ñối với ∆ .

Bài tập 5. Cho hai ñường thẳng 1 : 4 3 1 0x y∆ − − = và 2 :12 5 3 0x y∆ − + = .

a) Chứng tỏ 1∆ và 2∆ cắt nhau.

b) Lập phương trình hai ñường phân giác của các góc tạo bởi 1∆ và 2∆ .

Giải

a) Vì 14 3

12 5

−≠ ⇒ ∆−

cắt 2∆ .

b) Phương trình hai ñường phân giác của các góc tạo bởi 1∆ và 2∆ là :

( ) ( )2 22 2

4 3 1 12 5 3 4 3 1 12 5 3

5 134 3 12 5

x y x y x y x y− − − + − − − += ± ⇔ = ±

+ − + −

( ) ( )( ) ( )

13 4 3 1 5 12 5 3

13 4 3 1 5 12 5 3

x y x y

x y x y

− − = − +⇔

− − = − − +

8 14 28 0 4 7 14 0

112 64 2 0 56 32 1 0

x y x y

x x x y

+ + = + + = ⇔ ⇔ − + = − + =

.


Bài 1. Lập phương trình tham số của ñường thẳng ∆ biết rằng :

a) ∆ ñi qua A(2;3) và có VTCP ( 5;2)u = −�

.

b) ∆ ñi qua B(4;5) và có VTPT (3; 2)n = −�

.

c) ∆ ñi qua C(9;5) và có hệ số góc 3k = − .

d) ∆ ñi qua D(-1;2) và tạo với trục hoành góc 045 .

Bài 2. Lập phương trình tổng quát của ñường thẳng ∆ biết rằng:

a) ∆ ñi qua A(1;2) và có VTPT (4;1)n =�

.

b) ∆ ñi qua B(1;0) và có VTCP ( 2;5)u = −�

.

c) ∆ ñi qua C(2;1) và có hệ số góc k = 1.

d) ∆ ñi qua D(5;2) và tạo với trục hoành góc 045 .

Bài 3. Lập phương trình ñường thẳng ∆ trong các trường hợp sau :

a) ∆ ñi qua M(8;2) và song song với ñường thẳng 11

:1 2

x t

y t

= − +∆

= +.

www.VNMATH.com

153

b) ∆ ñi qua N(5;-3) và vuông góc với ñường thẳng 032:2 =+−∆ yx .

Bài 4. Cho ñường thẳng 0132: =+−∆ yx . a) Tìm VTPT và VTCP của ñường thẳng ∆ .

b) Lập phương trình tham số của ñường thẳng ∆ .

Bài 5. Cho tam giác ABC có A(2;1), B(4;3), C(6;7). a) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.

b) Lập phương trình ñường cao AA’.

c) Tìm toạ ñộ trực tâm H của tam giác ABC.

d) Lập phương trình 3 ñường trung trực của tam giác. Từ ñó tìm toạ ñộ tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác.

Bài 6. Xét vị trí tương ñối của các cặp ñường thẳng sau :

a)

+=

−−=

ty

txd

42

51: và

−=

+−=

ty

txd

42

56:'

b)

+=

−=

ty

txd

22

41: và 01042:' =−+ yxd

c) 02: =−+ yxd và 032:' =−+ yxd

Bài 7. Tìm góc giữa các cặp ñường thẳng sau: a) 042: =−+ yxd và 013:' =++− yxd

b)

+=

+=

ty

txd

21

55: và 0152:' =+− yxd

c)

+=

−=

ty

txd

23

2: và

−=

+−=

ty

txd

23

53:'

Bài 8. Tính khoảng cách từ ñiểm I(1;2) ñến ñường thẳng ∆ : x - 3y + 2 = 0 bằng hai cách. Bài 9. Cho tam giác ABC có A(5;3), B(-1;2), C(-4;5). a) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.

b) Lập phương trình các ñường cao của tam giác. Từ ñó tìm toạ ñộ trực tâm H của tam giác.

c) Tìm toạ ñộ ñiểm I là tâm ñường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

d) Lập phương trình các ñường phân giác trong của tam giác ABC.

e) Tìm toạ ñộ trọng tâm G của tam giác ABC. Hãy chứng minh I, G, H thẳng hàng.

Bài 10. Viết phương trình ñường thẳng ∆ trong các trường hợp sau : a) ∆ ñi qua ñiểm M(-2;-4) và cắt các trục toạ ñộ lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân.

b) ∆ ñi qua ñiểm N(5;-3) và cắt các trục toạ ñộ tại A và B sao cho N là trung ñiểm của AB.

www.VNMATH.com

154

c) ∆ ñi qua M(1;2) và ∆ tạo với ñường thẳng d: 2x-3y+1=0 góc 060 .

Bài 11. Cho ñường thẳng d có phương trình tham số là

−−=

+=

ty

tx

21

2.

a) Viết phương trình ñường thẳng ∆ ñi qua M(-2;1) và vuông góc với ñường thẳng d.

b) Tìm giao ñiểm của ñường thẳng ∆ với ñường thẳng d.

c)Tìm ñiểm M’ ñối xứng với ñiểm M qua d.

Bài 12. Viết phương trình ñường thẳng ñi qua M(2;5) và cách ñều hai ñiểm A(-1;2) và B(5;4).

Bài 13. Tìm phương trình của tập hợp các ñiểm cách ñều hai ñường thẳng: 0335:1 =−+∆ yx và 0735:2 =++∆ yx .

Bài 14. Cho ∆ABC có A(1;3). Các ñường trung tuyến qua B và C lần lượt là 1 0y − = và 2 1 0x y− + = . Hãy xác ñịnh toạ ñộ B và C.

Bài 15. Cho ∆ABC có phương trình ñường thẳng AB : 5x - 3y + 2 = 0. Các ñường cao qua A và B lần lượt có phương trình: 4x - 3y + 2 = 0 và 7x + 2y – 22 = 0. Lập phương trình ñường thẳng AC và BC.

Bài 16. Cho ∆ABC có A(1;2). ðường cao BE: 2x + y + 1 = 0 và ñường phân giác trong CD: x + y + 2 = 0. Lập phương trình 3 cạnh tam giác ABC. Bài 17. Cho ∆ABC có A(1;1). ðường phân giác trong BD : 2x – y + 3 = 0 và trung tuyến CM : x + y + 1 = 0. Lập phương trình 3 cạnh tam giác ABC. Bài 18. Lập phương trình 4 cạnh của hình vuông ABCD biết AB, BC, CD, DA lần lượt qua M(1;2), N(3;0), P(5;1), Q(-2;7). Bài 19. Cho A(1;2), B(3;7) và d: x + y + 1 = 0. a) Chứng minh A,B nằm cùng phía với d.

b) Tìm ñiểm M thuộc ñường thẳng d sao cho MA + MB ñạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 20. Cho 2 ñường thẳng d1 : 2x – y – 1 = 0 và d2 : 3x + 2y – 5 = 0. Lập phương trình ñường thẳng d3 ñối xứng với ñường thẳng d1 qua ñường thẳng d2.

www.VNMATH.com

155

§2. PHƯƠNG TRÌNH ðƯỜNG TRÒN


1. Phương trình ñường tròn

� Phương trình ñường tròn tâm

( );I a b và bán kính R là : ( ) ( )2 2 2x a y b R− + − = .

� Nếu 2 2 0a b c+ − > thì phương trình 2 2 2 2 0x y ax by c+ − − + =

là phương trình của ñường tròn với tâm ( );I a b

và bán kính 2 2R a b c= + − .

2. Phương trình tiếp tuyến của ñường tròn

Tiếp tuyến tại ñiểm ( )0 0 0;M x y của ñường tròn tâm ( );I a b có phương trình là :

( )( ) ( ) ( )0 0 0 0 0x a x x y b y y− − + − − = .


Vấn ñề 1. Lập phương trình ñường tròn

1) Cách 1 : Dùng tâm và bán kính

� Tìm tâm ( );I a b và bán kính R của ñường tròn (C).

� Phương trình ñường tròn (C) có dạng : ( ) ( )2 2 2x a y b R− + − = .

2) Cách 2 : Dùng phương trình tổng quát

� Phương trình ñường tròn (C) có dạng : 2 2 2 2 0x y ax by c+ − − + = , với 2 2 0a b c+ − > .

� Lập hệ phương trình với các ẩn số là a, b, c.

� Tìm a, b, c suy ra phương trình ñường tròn (C).

Bài tập 1. Viết phương trình ñường tròn có tâm I(1; − 2) và

a) ñi qua ñiểm A(3; 5).

b) tiếp xúc với ñường thẳng có phương trình ∆ : x + y – 1 = 0.

y

x

b

aO

M y (x;y)

I R

www.VNMATH.com

156

Giải

a) (C) có tâm (1; − 2) và ñi qua A(3; 5) nên có bán kính

( ) ( )( )223 1 5 2 4 49 53R IA= = − + − − = + = .

Vậy phương trình của ñường tròn (C) là : ( ) ( )2 21 2 53x y− + + = .

b) C) có tâm (1; − 2) và tiếp xúc với ñường thẳng ∆ : x + y – 1 = 0

( )1 2 1 2

, 22 2

− −⇒ = ∆ = = =R d I .

Vậy phương trình của ñường tròn (C) là : ( ) ( )2 21 2 2x y− + + = .

Bài tập 2. Viết phương trình ñường tròn (C) trong các trường hợp sau :

a) (C) có ñường kính AB biết A(3; 5) và B(- 1; 3).

b) (C) có ñi qua ba ñiểm A(1;-2), B(2;5) và C(4;-3).

c) (C) ñi qua hai ñiểm (2;3),A −( 1;1)B và có tâm nằm trên ñường thẳng ∆ − − =: 3 11 0x y

Giải

a) � Tâm I của (C) là trung ñiểm của AB

Ta có :

( )

( )

3 11

2 2 1;45 3

42 2

A BI

A BI

x xx

Iy y

x

+ − += = =

⇒+ + = = =

.

� (C) có bán kính ( ) ( )2 23 1 5 4 4 1 5R IA= = − + − = + = .

Vậy phương trình của ñường tròn (C) là : ( ) ( )2 21 4 5x y− + − = .

b) � Phương trình ñường tròn (C) có dạng : 2 2 2 2 0x y ax by c+ − − + = với 2 2 0a b c+ − > .

� (C) có ñi qua ba ñiểm A(1;-2), B(2;5) và C(4;-3) nên ta có hệ :

( ) ( )

( ) ( )

22

2 2

22

41

111 2 2 2 2 0 2 4 513

2 5 2 .2 2 .5 0 4 10 2911

8 6 254 3 2 .4 2 . 3 0 25

11

aa b c a b c

a b c a b c b

a b ca b cc

= + − − − − + = − + + = −

+ − − + = ⇒ − − + = − ⇔ = − + + = −+ − − − − + = = −

www.VNMATH.com

157

� Vậy phương trình của ñường tròn (C) là : 2 2 82 26 250

11 11 11x y x y+ − − − = .

c) � Phương trình ñường tròn (C) có dạng : 2 2 2 2 0x y ax by c+ − − + = với 2 2 0a b c+ − > .

� (C) có tâm nằm trên ñường thẳng ∆ − − = ⇒ − − =: 3 11 0 3 11 0x y a b ; (1)

(C) ñi qua hai ñiểm ⇔ + − − + = ⇔ − − + = −(2;3) 4 9 4 6 0 4 6 13A a b c a b c ; (2)

(C) ñi qua hai ñiểm − ⇔ + + − + = ⇔ − + = −( 1;1) 1 1 2 2 0 2 2 2B a b c a b c ; (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ :

=

− = − − + = − ⇔ = − − + = − = −

723 11 54 6 1322 2 2 14

aa b

a b c ba b c c

.

� Vậy phương trình của ñường tròn (C) là : 2 2 7 5 14 0x y x y+ − + − = .

Bài tập 3. Viết phương trình ñường tròn (C) ñi qua hai ñiểm (1;0),A (3;0)B và tiếp xúc với ∆ − + =: 1 0x y .

Giải

Gọi ( );I a b là tâm của ñường tròn (C).

� (C) ñi qua (1;0)A và (3;0)B nên 2 2IA IB IA IB= ⇔ =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 0 3 0 1 3 2a b a b a a a⇔ − + − = − + − ⇔ − = − ⇔ = ( )2;I b⇒

� (C) tiếp xúc với ( )∆ ∆− +

⇔ = ⇔ + =+

2

2 2

2 1, 1

1 1

bIA d I b

( ) ( ) =⇔ + = − ⇔ + − = ⇔ = −

22 2 12 1 3 6 7 07

bb b b b b.

Vậy có hai ñường tròn cần tìm là :

� Tâm ( ) ( ) ( ) ( )2 22 212;1 1 1 1 2 : 2 1 2I R IA b C x y⇒ = = + = + = ⇒ − + + = .

� Tâm ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 212; 7 1 7 50 : 2 7 50I R IA C x y− ⇒ = = + − = ⇒ − + + = .

www.VNMATH.com

158

Vấn ñề 2. Nhận dạng phương trình bậc hai là phương trình ñường tròn. Xác ñịnh tọa ñộ tâm và bán kính của ñường tròn.

Phương pháp :

1) Cách 1 : ðưa phương trình về dạng : ( ) ( )2 2 2x a y b R− + − = . Khi ñó phương trình ñã cho là

phương trình ñường tròn có tâm ( );I a b và bán kính R .

2) Cách 2 : ðưa phương trình về dạng : 2 2 2 2 0x y ax by c+ − − + = .

Tìm a, b, c và tính giá trị 2 2a b c+ − .

� Nếu 2 2 0a b c+ − > thì phương trình trên là phương trình ñường tròn có tâm ( );I a b và bán

kính 2 2R a b c= + − .

� Nếu 2 2 0a b c+ − ≤ thì phương trình trên không là phương trình ñường tròn.

Bài tập 1. Xét xem các phương trình sau có là phương trình của ñường tròn không ? Nếu có hãy tìm tâm và bán kính :

a) 2 2 4 8 29 0x y x y+ + − − = .

b) + − + + =2 2 6 4 14 0x y x y .

c) + − − + =2 24 4 8 16 19 0x y x y .

Giải

a) Cách 1 :

Phương trình (C) có dạng : 2 2 2 2 0x y ax by c+ − − + = .

Ta có : 2 2

2 4 2

2 8 4 4 16 29 49 0

29 29

a a

b b a b c

c c

− = = − − = − ⇔ = ⇒ + − = + + = > = − = −

.

Vậy (C) là ñường tròn có tâm ( )2;4I − và bán kính 49 7R = = .

Cách 2 :

( ) ( )2 2 2 24 8 29 0 4 4 8 16 4 16 29 0x y x y x x y y+ + − − = ⇔ + + + − + − − − =

( ) ( )2 22 4 49x y⇔ + + − = .

www.VNMATH.com

159

Vậy (C) là ñường tròn có tâm ( )2;4I − và bán kính 49 7R = = .

b) Phương trình (C) có dạng : 2 2 2 2 0x y ax by c+ − − + = .

Ta có : 2 2

2 6 3

2 4 2 9 4 14 1 0

14 14

a a

b b a b c

c c

− = − = − = ⇔ = − ⇒ + − = + − = − < = =

.

Vậy phương trình (C) không là phương trình của ñường tròn.

c) + − − + = ⇔ + − − + =2 2 2 2 194 4 8 16 19 0 2 4 04

x y x y x y x y .

Ta có : 2 2

2 2 119 1

2 4 2 1 4 04 4

19 19

4 4

a a

b b a b c

c c

− = − = − = − ⇔ = ⇒ + − = + − = > = =

.

Vậy (C) là ñường tròn có tâm ( )1;2I và bán kính 1 1

4 2R = = .

Bài tập 2. Cho (Cm) : 2 2 4 2 2 3 0x y mx my m+ + − + + = .

ðịnh m ñể (Cm) là ñường tròn. Khi ñó, hãy tìm tọa ñộ tâm và tính bán kính của ñường tròn (Cm) theo m.

Giải

� Ta có :

2 4 2

2 2

2 3 2 3

a m a m

b m b m

c m c m

− = = − = − ⇔ = = + = +

( )2 2 2 2 24 2 3 5 2 3a b c m m m m m⇒ + − = + − + = − −

�(Cm) là ñường tròn 2 2 2 30 5 2 3 0

5a b c m m m⇔ + − > ⇔ − − > ⇔ < − hoặc 1m > .

Khi ñó, (Cm) có tâm ( )2 ;I m m và bán kính 25 2 3R m m= − −

www.VNMATH.com

160

Vấn ñề 3. Lập phương trình tiếp tuyến của ñường tròn

Phương pháp :

Cho ñường tròn (C) có tâm ( );I a b và bán kính R .

1) Loại 1. Lập phương trình tiếp tuyến ∆ tại ñiểm ( )∈0 0 0( ; )M x y C .

∆ có dạng : ( )( ) ( ) ( )0 0 0 0 0x a x x y b y y− − + − − = .

2) Loại 2. Lập phương trình tiếp tuyến ∆ có phương cho trước. Dùng ñiều kiện tiếp xúc ñể xác ñịnh∆ . ∆ tiếp xúc với (C) ( ),d I R⇔ ∆ = .

� Dạng 1 : Tiếp tuyến song song với ñường thẳng : 0d ax by c+ + = .

– Tiếp tuyến ( )/ / : ' 0 'd ax by c c c∆ ⇒ ∆ + + = ≠ .

– ∆ tiếp xúc với (C) ( ), 'd I R c⇔ ∆ = ⇒ .

– Thay c’ vào phương trình ∆ suy ra tiếp tuyến cần tìm. � Dạng 2 : Tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng : 0d ax by c+ + = . – Tiếp tuyến : ' 0d bx ay c∆ ⊥ ⇒ ∆ − + = .

– ∆ tiếp xúc với (C) ( ), 'd I R c⇔ ∆ = ⇒ .

– Thay c’ vào phương trình ∆ suy ra tiếp tuyến cần tìm. 3) Loại 3. Lập phương trình tiếp tuyến ∆ ñi qua ( ) ( );A AA x y C∉ .

– ∆ ñi qua ( ) ( ) ( ); : 0A A A AA x y a x x b y y⇒∆ − + − = .

– ∆ tiếp xúc với (C) ( ),d I R⇔ ∆ = . Chọn một giá trị b a⇒ .

– Thay ,a b vào phương trình ∆ suy ra tiếp tuyến cần tìm.

Bài tập 1. Cho ñường tròn (C) có phương trình 2 2 4 8 5 0x y x y+ − + − = .

a) Xác ñịnh tâm và bán kính của (C).

b) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại ñiểm ( )1;0M − .

c) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) song song với ñường thẳng 1 : 4 3 5 0d x y− + = .

d) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với ñường thẳng 2 :12 5 3 0d x y− + = .

Giải

a) Phương trình (C) có dạng : 2 2 2 2 0x y ax by c+ − − + = .

Ta có : 2 2

2 4 2

2 8 4 4 16 5 25

5 5

a a

b b a b c

c c

− = − = − = ⇔ = − ⇒ + − = + + = = − = −

.

Vậy ñường tròn (C) có tâm ( )2; 4I − và bán kính 25 5R = = .

www.VNMATH.com

161

b) Phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại ñiểm ( )1;0M − có dạng :

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

0 0 0 0 0

1 2 1 0 4 0 0

3 4 3 0

x a x x y b y y

x y

x y

− − + − − =

⇔ − − + + + − =

⇔ − + − =

c) Tiếp tuyến 1/ / : 4 3 5 0d x y∆ − + = ⇒ Phương trình ∆ có dạng : ( )4 3 0 5x y c c− + = ≠ .

∆ tiếp xúc với (C) ( ),d I R⇔ ∆ =

( )

( )22

4.2 3 4 20 25 55 20 25

20 25 454 3

c c cc

c c

− − + + = = ⇔ = ⇔ + = ⇔ + = − = − + −

( loại c = 5)

Vậy tiếp tuyến ∆ cần tìm là : 4 3 45 0x y− − = .

d) Tiếp tuyến 2 :12 5 3 0d x y∆ ⊥ − + = ⇒ Phương trình ∆ có dạng : 5 12 0x y c+ + = .


( )2 2

5.2 12. 4 38 65 1035 38 65

38 65 275 12

c c cc

c c

+ − + − = = ⇔ = ⇔ − = ⇔ − = − = − +

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là :

1

2

: 5 12 103 0

: 5 12 27 0.

x y

x y

∆ + + =

∆ + − =

Bài tập 2. Cho ñường tròn (C) có phương trình ( ) ( )2 21 2 5x y+ + − = .

Lập phương trình tiếp tuyến của ñường tròn (C) ñi qua ( )4;7A .

Giải

(C) có tâm ( )1;2I − và bán kính 5R = .

Tiếp tuyến ∆ ñi qua ( )4;7A có dạng : ( ) ( ) ( )2 24 7 0 0a x b y a b− + − = + ≠

: 4 7 0ax by a b⇒∆ + − − = .


( ) 2 2 2 2

2 2

. 1 .2 4 75 5 5 5 5 5

a b a ba b a b a b a b

a b

− + − −⇔ = ⇔ − − = + ⇔ + = +

+

www.VNMATH.com

162

2 2 2 2 2 2 2 25 5 5 10 4 10 4 0a b a b a b ab a b a ab b⇔ + = + ⇔ + + = + ⇔ + + =

2 22 5 2 0a ab b⇔ + + = (*)

Chia hai vế của (*) cho 2b ta ñược 2

1

22 5 2 0

2

aa a b

ab b

b

= − + + = ⇔ = −

� Chọn 11 2 : 2 10 0a b x y= ⇒ = − ⇒ ∆ − + = .

� Chọn 22 1 : 2 1 0a b x y= ⇒ = − ⇒ ∆ − − = .

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là :

1

2

: 2 10 0

: 2 1 0.

x y

x y

∆ − + =

∆ − − =


Bài 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình ñường tròn. Tìm tâm và bán kính của ñường tròn ñó :

a) x y x y2 2 2 2 2 0+ − − − = ; b) + − + − =2 2 6 4 1 0x y x y ;

c) + + + + =2 22 2 4 8 18 0x y x y ; d) + − + =2 2 6 7 0x y x .

Bài 2. Tìm m ñể các phương trình sau là phương trình ñường tròn :

a) + + − + − =2 2 4 2 2 4 0x y mx my m ;

b) x y m x my m2 2 22( 1) 2 3 2 0+ − + + + − = ;

c) x y m x my m m2 2 22( 3) 4 5 4 0+ − − + − + + = ;

d) x y mx m y m m m m2 2 2 4 4 22 2( 1) 2 2 4 1 0+ − − − + − − − + = .

Bài 3. Lập phương trình ñường tròn trong mỗi trường hợp sau: a) ðường tròn tâm A bán kính AB và ñường tròn ñường kính AB biết A(−1 ; 1) , B(5 ; 3) b) ðường tròn tâm I(−4 ; 2) và tiếp xúc với ñường thẳng 3x + 4y – 16 = 0 c) ðường tròn tiếp xúc với ñường thẳng 3x – 4y – 31 = 0 tại ñiểm A(1 ; −7) và có bán kính

bằng 5. d) ðường tròn tiếp xúc với hai trục tọa ñộ và ñi qua ( )4;8M − .

Bài 4. Lập phương trình ñường tròn ñi qua 3 ñiểm A , B , C trong mỗi trường hợp sau: a) A(1 ; 3) , B(5 ; 6) , C(7 ; 0) ; b) A(0 ; 1) , B(1 ; −1) , C(2 ; 0).

Tìm tâm và bán kính của các ñường tròn ñã cho.

www.VNMATH.com

163

Bài 5. Lập phương trình tiếp tuyến với (C) : 2 2 2 8 1 0x y x y+ − + + = biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng 5x + 12y – 6 = 0. Bài 6. Lập phương trình tiếp tuyến với (C): 2 2 6 2 0x y x y+ − + = và vuông góc với ñường thẳng 3 6 0x y− + = .

Bài 7. Lập phương trình tiếp tuyến với (C): 2 2 8 12 5 0x y x y+ − + − = biết tiếp tuyến ñi qua

ñiểm ( )1;1M − .

§3. PHƯƠNG TRÌNH ðƯỜNG ELIP


1. ðịnh nghĩa ñường elip

2. Phương trình chính tắc của elip

Phương trình chính tắc của elip (E) là : ( )2 2

2 2 22 2

1x y

a b ca b

+ = = + .

3. Các yếu tố của elip

� Hai tiêu ñiểm : ( ) ( )1 2;0 , ;0F c F c− .

� Bốn ñỉnh : ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2;0 , ;0 , 0; , 0;A a A a B b B b− − .

� ðộ dài trục lớn : 1 2 2A A a= .

� ðộ dài trục bé : 1 2 2B B b= .

� Tiêu cự : 1 2 2F F c= .

4. Hình dạng của elip

� (E) có hai trục ñối xứng là Ox, Oy và có tâm ñối xứng là gốc tọa ñộ.

� Mọi ñiểm của elip (E) ñều nằm trong hình chữ nhật có kích thước 2a và 2b giới hạn bởi các ñường thẳng x a= ± , y b= ± . Hình chữ nhật ñó ñược gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip (E).

Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho hai ñiểm ( )1 ;0F c− ,

( )2 ;0F c và ñộ dài không ñổi 2a ( )0a c> > .

Elip là tập hợp các ñiểm M sao cho 1 2 2F M F M a+ = .

Ta có thể viết : ( ) { }1 2| 2E M F M F M a= + = .

x

y

O F1 F2

M(x;y)

A1

B1

A2

B2

www.VNMATH.com

164


Vấn ñề 1. Xác ñịnh các yếu tố của một elip

Phương pháp :

� ðưa phương trình elip về dạng chính tắc.

� Tìm a, b, c.

� Kết luận theo yêu cầu của bài toán.

Cần nhớ các yếu tố của elip :

( )2 2

2 2 22 2

1x y

a b ca b

+ = = +

� Hai tiêu ñiểm : ( ) ( )1 2;0 , ;0F c F c− .

� Bốn ñỉnh : ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2;0 , ;0 , 0; , 0;A a A a B b B b− − .

� ðộ dài trục lớn : 1 2 2A A a= .

� ðộ dài trục bé : 1 2 2B B b= .

� Tiêu cự : 1 2 2F F c= .

� Phương trình các ñường thẳng chứa hình chữ nhật cơ sở là ,x a y b= ± = ± .

Bài tập 1. Cho elip (E) : 2 2

116 9

x y+ = .Tìm toạ ñộ các tiêu ñiểm , tọa ñộ các ñỉnh, ñộ dài trục

lớn, ñộ dài trục bé của elip. Vẽ elip (E).

Giải

Phương trình elip (E) có dạng : 2 2

2 21

x y

a b+ =

Do ñó 2

2

16 4

39

a a

bb

= =⇒

==.

Ta có : 2 2 2 24 3 7c a b= − = − = .

Vậy elip (E) có :

� Hai tiêu ñiểm : ( ) ( )1 27;0 , 7;0F F− .

� Bốn ñỉnh : ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 24;0 , 4;0 , 0; 3 , 0;3A A B B− − .

b

-b

A1

B1

A2

B2

x

y

� � O F1 F2

-c c -a a

www.VNMATH.com

165

� ðộ dài trục lớn : 1 2 2 2.4 8A A a= = = .

� ðộ dài trục bé : 1 2 2 2.3 6B B b= = = .

� Tiêu cự : 1 2 2 2 7F F c= = .

� Hình vẽ của elip (E) ở hình bên.

Bài tập 2. Cho elip (E) : 2 29 25 225x y+ = .Tìm toạ ñộ các tiêu ñiểm , tọa ñộ các ñỉnh, ñộ dài trục lớn, ñộ dài trục bé của elip (E).

Giải

Ta có :

2 2 2 22 2 9 25

9 25 225 1 1225 225 25 9

x y x yx y+ = ⇔ + = ⇔ + = .

Phương trình elip (E) có dạng : 2 2

2 21

x y

a b+ = .

Do ñó 2

2

25 5

39

a a

bb

= =⇒

==.

2 2 2 25 3 16 4c a b= − = − = = .

Vậy elip (E) có :

� Hai tiêu ñiểm : ( ) ( )1 24;0 , 4;0F F− .

� Bốn ñỉnh : ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 25;0 , 5;0 , 0; 3 , 0;3A A B B− − .

� ðộ dài trục lớn : 1 2 2 2.5 10A A a= = = .

� ðộ dài trục bé : 1 2 2 2.3 6B B b= = = .

� Tiêu cự : 1 2 2 8F F c= = .

Vấn ñề 2. Lập phương trình chính tắc của elip

Phương pháp :

Từ các yếu tố ñã biết của elip xác ñịnh a, b. Nếu ñề bài cho c thì tìm a, b theo công thức

2 2 2a b c= + suy ra phương trình (E) : 2 2

2 21

x y

a b+ = .

7 O

7−

F1 F2

A1

B1

B2

A2

y

x

www.VNMATH.com

166

Bài tập. Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau :

a) ðộ dài trục lớn bằng 12, trục nhỏ bằng 8.

b) ðộ dài trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 8

c) ðộ dài trục lớn bằng 8, ñộ dài trục nhỏ bằng tiêu cự.

d) Tiêu cự bằng 8 và ñi qua ñiểm ( )M 15; 1− .

e) ðộ dài trục nhỏ bằng 6 và ñi qua ñiểm ( )M 2 5;2− .

f) Một tiêu ñiểm là F1( 2;0)− và ñộ dài trục lớn bằng 10.

g) Một tiêu ñiểm là ( )F1 3;0− và ñi qua ñiểm M 31;2

.

h) ði qua hai ñiểm ( ) ( )M N4; 3 , 2 2;3− .

Giải

Phương trình chính tắc của elip (E) có dạng : 2 2

2 21

x y

a b+ = (a > b > 0).

a) Theo giả thiết ñộ dài trục lớn bằng 12, trục nhỏ bằng 8

2 12 6

2 8 4

a a

b b

= = ⇒ ⇔

= = . Vậy (E) :

2 2

136 16

x y+ = .

b) ðộ dài trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 8

2 10 5

2 8 4

a a

c c

= = ⇒ ⇔

= =

Mà 2 2 2 2 25 4 9 3b a c b= − = − = ⇒ = . Vậy (E) : 2 2

125 9

x y+ = .

c) ðộ dài trục lớn bằng 8, ñộ dài trục nhỏ bằng tiêu cự

Ta có : 2 8 4a a= ⇒ = ; 2 2b c b c= ⇒ = .

Mà 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 42 8 8

2 2

ab a c a b b a b b= − = − ⇒ = ⇒ = = = ⇒ = .

Vậy (E) : 2 2

116 8

x y+ = .

d) Tiêu cự bằng 8 và ñi qua ñiểm ( )M 15; 1− .

www.VNMATH.com

167

� Ta có : 2 8 4c c= ⇒ =

� (E) ñi qua ( )M 15; 1− ( )2 2

15 11 *

a b⇒ + = .

Mặc khác 2 2 2 2 2 24 16a b c b b= + = + = + (**)

( ) ( )2 2 2 2 4 22 2

15 1* 1 16 15 16 16 4

16b b b b b b

b b⇒ + = ⇔ + = + + ⇔ = ⇔ =

+.

Với 2 4b = thay vào (**) ta ñược 2 2 16 4 16 20a b= + = + = .

Vậy (E) : 2 2

120 4

x y+ = .

e) ðộ dài trục nhỏ bằng 6 và ñi qua ñiểm ( )M 2 5;2− .

� Ta có : 2 6 3b b= ⇒ =

� (E) ñi qua ( )M 2 5;2− ( )

( )2

2

2 2 2 2

2 5 2 20 41 1 *

a b a b

−⇒ + = ⇔ + = .

Thay 3b = vào (*) ta ñược 22 2

20 4 20 4 5 9.201 1 36

9 9 9 5a

a a+ = ⇔ = − = ⇔ = = .

Vậy (E) : 2 2

136 9

x y+ = .

f) Một tiêu ñiểm là F1( 2;0)− và ñộ dài trục lớn bằng 10.

Ta có : 2c = ; 2 10 5a a= ⇒ =

Mà 2 2 2 25 4 21b a c= − = − = .

Vậy (E) : 2 2

125 21

x y+ = .

g) Một tiêu ñiểm là ( )F1 3;0− và ñi qua ñiểm M 31;2

.

� Ta có : 3c = .

� (E) ñi qua M 31;2

( )

2

2

2 2 2 2

321 1 3

1 1 *4a b a b

⇒ + = ⇔ + = .

Mà 2 2 2 2 3a b c b= + = + (**). Thay vào (*) ta ñược :

www.VNMATH.com

168

( ) ( )( )

2

2 2 2 2 4 22 2 2

11 3

1 3 4 4 3 3 4 5 9 0 93 4

4

bb b b b b b

b b b

=+ = ⇔ + = + + ⇔ + − = ⇔ + = −

loaïi

(**) 2 2 23 1 3 4a b⇒ = + = + =

Vậy (E) : 2 2

14 1

x y+ = .

h) ði qua hai ñiểm ( ) ( )M N4; 3 , 2 2;3− .

� (E) ñi qua ( )−4; 3M 2 2

16 31

a b⇒ + = (1)

� (E) ñi qua ( )2 2;3N 2 2

8 91

a b⇒ + = (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ 22 2 2

2

2 2 2

16 3 1 11

2020

8 9 1 1 15115

aa b a

ba b b

+ = = = ⇔ ⇔

= + = =

. Vậy (E) : 2 2

120 15

x y+ = .


Bài 1. Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau a) ðỉnh ( );A2 13 0 (E) ñi qua ñiểm M(5 ; -2).

b) ðộ dài trục lớn bằng 10 và (E) ñi qua ñiểm B(0 ; 3).

c) Elip ñi qua ñiểm 15

(1; )2

M và có tiêu cự là 4 3 .

d) Elip ñi qua 2 ñiểm : 8 2

( ; 1)3

M − và 3 3

(2; )2

N − .

Bài 2. Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết : a) Hình chữ nhật cơ sở có ñỉnh ( );P − −3 2 .

b) (E) có ñỉnh B(0 ; 2), tiêu cự bằng 4 5 . Bài 3. Xác ñịnh tọa ñộ các ñỉnh, các tiêu ñiểm, tính ñộ dài các trục và tìm tâm sai của elip có phương trình sau :

a) 2 24 9 36x y+ = b) 2 24 1 0x y+ − =

c) x y+ − =2 29 16 144 0 d) x y= −2 29 12 .

Bài 4. Cho elip (E) có phương trình chính tắc: 2 2

125 9

x y+ = có hai tiêu ñiểm F1 , F2

a) Tìm tọa ñộ các giao ñiểm của (E) với ñường thẳng 3x + 5y = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của elip tại các giao ñiểm ñó.

b) Tìm ñiểm M trên (E) sao cho F1M = 3F2M.

www.VNMATH.com

169

MỤC LỤC

LỜI NÓI ðẦU ..................................................................................................................................1

PHẦN 1 ðẠI SỐ.............................................................................................................................2

Chương I. Mệnh ñề - tập hợp ....................................................................................................3

§1. Mệnh ñề .....................................................................................................................3

§2. Tập hợp ......................................................................................................................8

§3. Các phép toán tập hợp .............................................................................................11

§4. Các tập hợp số .........................................................................................................14

§5. Số gần ñúng – sai số ................................................................................................17

Chương II. Hàm số bậc nhất và bậc hai .................................................................................19

§1. Hàm số .....................................................................................................................19

§2. Hàm số y ax b= + ...................................................................................................23

§3. Hàm số bậc hai ........................................................................................................29

Chương III. Phương trình và hệ phương trình ......................................................................35

§1. ðại cương về phương trình ......................................................................................35

§2. Phương trình quy về phương trình bậc nhất và bậc hai ...........................................39

§3. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn ...............................................45

Chương IV. Bất ñẳng thức. Bất phương trình .......................................................................48

§1. Bất ñẳng thức ...........................................................................................................48

§2. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ......................................57

§3. Dấu của nhị thức bậc nhất .......................................................................................62

§4. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn ............................................................................70

§5. Dấu của tam thức bậc hai ........................................................................................74

Chương V. Thống kê .................................................................................................................82

§1. Bảng phân bố tần số và tần suất ..............................................................................82

§2. Biểu ñồ ....................................................................................................................86

§3. Số trung bình cộng - số trung vị - mốt ....................................................................92

§4. Phương sai và ñộ lệch chuẩn ...................................................................................97

Chương VI. Góc và cung lượng giác. Công thức lượng giác ..............................................102

§1. Góc và cung lượng giác .........................................................................................102

§2. Giá trị lượng giác của một cung ............................................................................104

www.VNMATH.com

170

§3. Công thức lượng giác ............................................................................................110

PHẦN 2 HÌNH HỌC .................................................................................................................113

Chương I. Vectơ ......................................................................................................................114

§1. Các ñịnh nghĩa .......................................................................................................114

§2. Tổng và hiệu của hai vectơ ....................................................................................116

§3. Tích của vectơ với một số .....................................................................................119

§4. Trục tọa ñộ và hệ trục tọa ñộ .................................................................................122

Chương II. Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng ........................................................126

§1. Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 00 ñến 1800 ...........................................126

§2. Tích vô hướng của hai vectơ .................................................................................129

§3. Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác .....................................................132

Chương III. Phương pháp tọa ñộ trong mặt phẳng ............................................................137

§1. Phương trình ñường thẳng .....................................................................................137

§2. Phương trình ñường tròn .......................................................................................155

§3. Phương trình ñường elip ........................................................................................163

www.VNMATH.com

Documents

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN LỚP 10 · PDF fileTrong chương trình môn Toán lớp 10, ... có nêu phương pháp giải quyết và một số bài tập cơ