Peubah Dan Fungsi Kompleks

7/26/2019 Peubah Dan Fungsi Kompleks

1/6

1/6

Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com

Peubah dan Fungsi Kompleks

Bilangan Nyata dan Bilangan Khayal

Kita tinjau sebuah persamaan 012 =+s . Akar-akar persamaan ini adalah

112 =s

Akar ini adalah suatu bilangan yang kita sebut bilangan khayal atau bilangan imajiner,

yang hanya dapat kita angankan. Bilangan ini berbeda dari apa yang kita sebut bilangan

nyata, seperti 1, 2, 4 dan seterusnya; akar kwadratdari bilangan nyatapositifadalah juga

merupakan bilangan nyata, misalnya 416;24;11 === . Sebutlah akar kwadrat

bilangan nyata negatifdi atas sebagai 1=j . Dengan menggunakan pengertian 1=j

sebagai satuan, maka kita dapat mengatakan bilangan imajiner yang lain seperti ...4,2,1 jjj

dan seterusnya.

Definisi Bilangan Kompleks

Suatu bilangan kmpleks s merupakan kmbinasi antara bilangan nyata dan bilangan

imajiner, dan dide!inisikan sebagai

+= js "1#

di mana dan keduanya adalah bilangan nyata. Dalam bahasa matematika kita katakana

bah$a dan keduanya merupakan elemen dari suatu set bilangan nyata, , dan kitatuliskan dengan menggunakan simbl dan .

%epresentasi bilangan kmpleks seperti "1# di atas disebut representasi sudut siku, dan

kita sebut sebagai bagian nyata dari sdan ditulis %e"s# & , adalah bagian imajiner dari s

dituliskan 'm"s# & . Catatan: singkatan %e dari real "nyata# dan 'm dari imaginer "khayal,

imajiner#.

Operasi Aljabar Bilangan Kompleks

Penjumlahan dan Pengurangan. (enjumlahan bilangan kmpleks adalah sebagai

berikut.

)()()()( 2121221121 +++=+++=+ jjjss

)()()()( 2121221121 +=++= jjjss

Perkalian. (erkalian dua bilangan kmpleks adalah sebagai berikut.

)()())(())(( 21212121221121 ++=++= jjjss

)ika 121 jss == maka 111))((2

21 === jjjss

Pembagian. (embagian satu bilangan kmpleks leh bilangan kmpleks yang lain

adalah sebagai berikut.


2/6

2/6 Sudaryatno Sudirham, Peubah dan Fungsi Kompleks


22

22

21212121

22

22

22

11

2

1 )()(

+

++=

+

+=

j

j

j

j

j

s

s

CONTOH-1. : )ika 43dan32 21 jsjs +=+= maka

176)98()126()43)(32())((

11)43()32(75)43()32(

21

21

21

jjjjss

jjjssjjjss

+=++=++=

=++=+=+++=+

25

1

25

18

43

)98()126(

43

43

43

3222

2

1 jj

j

j

j

j

s

s+=

+

+++=

+

+=

Representasi Grafis Bilangan Kompleks

Suatu bilangan kmpleks dapat kita pandang sebagai pasangan berurut dari dua

bilangan riil.

+= js "penulisan bentuk sudut siku#

",# "pasangan berurut dari dua bilangan riil# "2#

Dengan pandangan ini kita dapat menggambarkannya dalam sistem krdinat

*artesian seperti pada +b.1.a. Bidang dengan sumbu krdinat %e "sumbu riil# dan 'm

"sumbu imajiner# ini disebut bidang kmpleks atau bidang s. Suatu kumpulan bilangan

kmpleks akan terletak di bidang kmpleks ini.

(asangan berurut ",# dapat pula diassiasikan dengan sebuah ektr seperti terlihat

pada +b.1.b.; dengan kata lain ektr tersebut merepresentasikan bilangan kmpleks. )adisuatu bilangan kmpleks

+= js dapat kita nyatakan sebagai += sincos js

dengan adalah panjang etr dan adalah sudut antara etr dengan sumbu

nyata.

+b.1. %epresentasi gra!is bilangan kmpleks.

Representasi Bilangan Kompleks Bentuk udut iku dan Bentuk Polar

Pernyataan Bilangan Kompleks. Ada dua ara untuk pernyataan ektr dari suatu

bilangan kmpleks yaitu bentuk sudut siku dan bentuk plar. Bentuk sudut siku adalah

seperti yang kita pakai untuk menyatakan de!inisi bilangan kmpleks, yaitu += js .

Bentuk plar diturunkan dari bentuk sudut siku melalui relasi gemetri sederhana

Re

*(,)

a) Pasangan berurut bilangan

(,) dalam koordinat Cartesian

Re

b). Representasi bilangan

kompleks secara vektor

j


3/6


4/6



Gb.2. Konjugat bilangan kompleks.

%elasi-relasi antara suatu bilangan kmpleks dengan knjugatnya adalah sebagai berikut5

*atau||*))(( 2 ss|s|sss == ;

[ ] [ ] ( ) ( )*

**

1

1

2

121212121 ;*;*****

s

s

s

sssssssss =

=+=+

Fungsi Kompleks

8ungsi kmpleks F"s# memetakan suatu set bilangan kmpleks ke dalam satu set

bilangan kmpleks. Satu set bilangan kmpleks yang dipetakan itu merupakan peubah

bebas sedangkan hasil pemetaan yaitu F"s# adalah peubah tak bebas "lihat pembahasan

tentang !ungsi#. 9ntuk memperjelas pernyataan ini kita akan lihat suatu nth.

CONTOH-6::injaulah suatu kumpulan bilangan kmpleks

)5/(1

= jes

)ika berariasi seara kntinyu, sementara 5/= adalah knstan, maka

kumpulan bilangan kmpleks ini jika digambatkan di bidang kmples akan terlihat

sebagai garis lurus yang membentuk sudut 5/= dengan sumbu nyata seperti

terlihat pada +b..a.

isalkan suatu bilangan kmpleks )5/(2 2 = jes , dan tinjau suatu !ungsi kmpleks

21)( sssF = .

)5/2()5/()5/(21 2)(

=== jjj eeesssF dengan & 2

Karena berariasi seara kntinu maka juga akan berariasi seara

kntinyu. )ika !ungsi kmpleks )(sF digambarkan di bidang kmpleks, maka )(sF

akan terlihat sebagai kumpulan bilangan kmpleks yang lain, yang merupakan peta

dari kumpulan s1, seperti terlihat pada +b..b.

a# b#

+b.. Kumpulan bilangan kmpleks s1dan F"s#.

PoledanZero

8ungsi kmpleks pada nth- di atas mudah untuk digambarkan karena sudut !asa

!ungsi, , bernilai knstan. (ada umumnya !ungsi kmpleks tidaklah demikian; sudut

maupun berariasi, sehingga kumpulan !ungsi kmpleks akan mengisi seluruh dmain di

bidang kmpleks. Dalam praktik tidak pula kita memerlukan gambaran !ungsi di seluruh

Re

Im

Re

Im


5/6

5/6


dmain, melainkan pada titik-titik tertentu yang memberikan nilai kritis pada !ungsi

kmpleks. ilai-nilai kritis tersebut adalahpole dan zero.

Pole. Suatu !ungsi kmpleks F"s# dikatakan mempunyaipoledi s &p1 jika

= )(lim1sps F "#

)adi polemerupakan peubah bebas kmpleks yang apabila mendekatinya maka nilai

!ungsi akan mendekati tak hingga. 'tulah sebabnyapole disebut nilai kritis.

Zero. Suatu !ungsi kmpleks F"s# dikatakan mempunyai zerodi s & z1 jika

0)(lim1

=

szsF "


6/6



)ika F"s# adalah !ungsi rasinal dengan ke!isien nyata, kita dapat menyatakan

pembilang danpenyebutdalam !aktr-!aktr linier.

)())((

)())(()(

21

21

n

m

pspsps

zszszsKs

=

L

L

F "7#

)ika ke!isien F"s# nyata maka akar-akar kmpleks dari pembilangdan penyebutakan

berupa pasangan knjugat. "Kita ingat bah$a perkalian dua bilangan kmpleks knjugat

akan berupa bilangan nyata#. (ernyataan !ungsi rasinal dalam bentuk seperti "7# ini

memperlihatkan dengan jelas pole dan zero-nya. (ada umumnya kita menghadapi !ungsi

yang proper, sehingga jumlah zero lebih keil dari jumlah pole. Dalam keadaan demikian

sering dinganggap bah$a !ungsi demikian mempunyai "nm# zerodi tak hingga.

CONTOH-8 : isalkan kita mempunyai !ungsi rasinal)4)(2(

)2)(1()(

++

++=

ss

sssF .

8ungsi ini dapat ditulis sebagai )4(

)1(

)4)(2(

)2)(1(

)(1 +

+

=++

++

= s

s

ss

ss

sF

.

F1"s# merupakan bentuk tereduksi dari F"s#. Pembilang dan penyebutdari !ungsi F"s#

mempunyai !aktr yang sama yaitu "s 6 2# dan !aktr yang sama ini dapat dieliminir.

(embilang dan penyebut dari !ungsi tereduksi F1"s# mempunyai pula !aktr sama, yaitu

1. )adi !aktr yang sama antara plinm B"s# danA"s# pada F1"s# adalah 1; dua plinm

yang demikian ini disebut coprime. Dalam menangani !ungsi rasinal kita bekerja pada

bentuk yang tereduksi; kita menganggap bah$a pembilang dan penyebut adalah

coprime.

Diagram Pole-Zero. 8ungsi rasinal dapat direpresentasikan seara gra!is dengan

hanya menggambarkan psisi-psisi nilai kritis poledan zerodalam bidang kmpleks. Pole

diberi tanda ?@ sedangkan er diberi tanda ?@. asilnya kita sebut diagrampole-zero. Kita

lihat nth berikut.

CONTOH-9 : :injau !ungsi)12)(12)(1(

)1(5)(

jsjss

ss

++++

=F .

(erhatikan bah$a ke!isien tidak mempengaruhi psisipoledan zero.

!eroada di s & 1 ;

Poleada di s & 1, "2j1#, "26j1#.

1 2Re

Im

1

1

2

Documents

Peubah Dan Fungsi Kompleks