Petr Myška Seminář z aktuárských věd, 26.11.2004

Vliv způsobu účtování finančních investic a technických rezerv na řízení aktiv a pasiv v životním

pojištění

Petr Myška

Seminář z aktuárských věd, 26.11.2004

26.11.2004 Petr Myška 2

Obsah

Úrokové opce

Pojistné závazky a jejich účetní zachycení

Aktiva pojišťovny

ALM a investiční strategie

Účetní zajištění pomocí úrokových opcí

26.11.2004 Petr Myška 3

Úrokové opceSlouží k ochraně proti nevýhodným pohybům úrokových měrCap – úroková call opce – při dané realizační sazbě X, nominálu Nom a době mezi datem splatnosti a datem realizace s strana v dlouhé pozici obdrží

payoffcap = Nom*max(is - X;0)*sFloor – úroková put opce – strana v dlouhé pozici obdrží

payofffloor = Nom*max(X - is;0)*s

26.11.2004 Petr Myška 4

Úrokové opcePřípad, kdy je tržní cena známa a je rovna fair hodnotě

Cena stanovena Black-Scholesovým modelem:

t……………….současné datum

T1……………..doba do realizace opce

T2……………..doba do splatnosti opce

Za nejlepší odhad budoucí sazby v čase T1 se považuje současná forwardová sazba

112 TT-T f12 T-Ti

26.11.2004 Petr Myška 5

Úrokové opce

112

1

1

2

1 dd ,2X

fln

d

112

TT

TTTT

12

12t

1221t

1)(f)(X

)1(

1NomF

1)(X)(f

)1(

1NomC

1122

2

1122

2

TTdNdN

i

TTdNdN

i

TTTTT

TTTTT

26.11.2004 Petr Myška 6

Vnitřní hodnota úrokové opceDiskontovaná kladná část potenciálního zisku, který by plynul z uplatnění opce k datu realizace za předpokladu, že současný odhad podkladové sazby (forward) bude roven této sazbě:

12t

12t

1)f X,0max(

)1(

1NomIVF

1)Xf,0max(

)1(

1NomIVC

1122

2

1122

2

TTi

TTi

TTTTT

TTTTT

26.11.2004 Petr Myška 7

Časová hodnota úrokové opcePro každou opci platí:

tržní hodnota = vnitřní hodnota + časová hodnota

Ct = IVCt + časová hodnotat

Ft = IVFt + časová hodnotat

Časová hodnota je maximální v bodě, kde je příslušný forward roven realizační sazbě

26.11.2004 Petr Myška 8

Průběh opční prémie a vnitřní hodnoty capu

050

100150200250300350400450

-4,00

%

-2,50

%

-1,00

%0,5

0%2,0

0%3,5

0%5,0

0%6,5

0%8,0

0%

Paralelní posun křivky

Opční prémie

Vnitřníhodnota opce

26.11.2004 Petr Myška 9

Průběh opční prémie a vnitřní hodnoty flooru

0

50

100

150

200

250

300


Opční prémie

Vnitřníhodnota opce

26.11.2004 Petr Myška 10

Pojistné závazky

Výplata pojistné částky spolu s již připsanými podíly na výnosech

Výplata odbytného spolu s již připsanými podíly na výnosech

Přijímání pojistného od pojistníků

Náklady plynoucí z daných pojistek

Hodnota podílů na výnosech, které budou připsány v budoucnu

26.11.2004 Petr Myška 11

Technické rezervy IÚčetní zachycení pojistných závazkůDle zákona č. 563 se pro technické rezervy zavádí ocenění reálnou hodnotou – není však stanoven postup výpočtu => reálná hodnota stanovena podle zvláštních předpisů (zákon č. 363)Pro pojišťovny v ČR v současné době směrodatné 2 hodnoty:

1. Tradiční rezerva V2. Fair hodnota M

26.11.2004 Petr Myška 12

Tradiční rezervaRezerva stanovená tradičními pojistně-matematickými metodamiZákon č. 363/1999 Sb., při jejím výpočtu se používá stejných statistických dat a téže úrokové míry, jichž bylo použito při výpočtu sazeb pojistného => nezávisí na aktuálních úrokových sazbách

Vt = E[ Lt | T > t ],

Lt je ztráta zohledňující pouze výplatu pojistného plnění a přijatá pojistná

26.11.2004 Petr Myška 13

Fair hodnotaZohledňuje aktuální úrokové sazby, všechny budoucí toky plynoucí z dané pojistky a rizikové marže (ochrana před technickým rizikem)V plném rozsahu není realizována nikde na světěČeský Test postačitelnosti počítá minimální hodnotu pojistných závazků M (určité přiblížení o fair hodnotu) metodou diskontovaných bud. toků:

=> Minimální hodnota pojistných závazků je nepřímo úměrná výši tržních úrokových sazeb

},...,{

43211

1)1(

)1(

)1(

)1(

)1(

)1(

)1(

)1( M

ntttt

t

ttt

t

ttt

t

ttt

t

tt

i

EBc

i

ECc

i

ELc

i

EXc

26.11.2004 Petr Myška 14

Technické rezervy II

v současné době:

účetní hodnota rezervy = max(M,V)

26.11.2004 Petr Myška 15

Podíly na výnosech

Tradiční rezerva - zahrnují se pouze již připsané podíly na výnosech

Fair hodnota závazků - musí být zohledněny i podíly na výnosech, které budou připsány v budoucnu – reprezentace?

Čím vyšší jsou tržní úrokové sazby, tím vyšší je tlak klientů na připisování p.n.v. => Vhodné reprezentovat budoucí p.n.v. v pasivech (a zajišťovat v aktivech) úrokovými call opcemi

26.11.2004 Petr Myška 16

Podíly na výnosech

Možný způsob stanovení budoucích p.n.v.:

90% max(i1y - t.ú.m. – 1,5%,0)

=> je výplatní funkcí úrokové call opce

26.11.2004 Petr Myška 17

Produkt

Smíšené životní pojištění na 20 let

vstupní věk 30 - 39 let

pojistky uzavírány rovnoměrně posledních 20 let => figurují 3 různé technické úrokové míry

stornosrážka 25 %

podíly na výnosech 90% (i1Y - t.ú.m. - 1,5% )+

26.11.2004 Petr Myška 18

Průběh min. hodnoty pojistných závazků a tradiční rezervy

3 000

3 500

4 000

4 500

5 000

5 500

6 000

6 500

7 000

-2,00

%

-1,00

%0,0

0%1,0

0%2,0

0%3,0

0%4,0

0%5,0

0%6,0

0%


Tradičnírezerva V

M s bud.p.n.v.

M s jižpřipsanýmip.n.v.Účetníhodnotarezervy

26.11.2004 Petr Myška 19

Stanovení durace

Hodnota budoucích toků závisí na současných úrokových sazbách => duraci nelze stanovit pomocí známého vzorce s časově váženými toky

tt

tt

i

iCi

itC

)1(

)()1(

)(

D

tt

t

tt

i

iCi

iCi

iitC

)1(

)()1(

)()1()(

D

26.11.2004 Petr Myška 20

Stanovení durace

Analyticky složité =>

=> Duraci je nejschůdnější stanovit z dat získaných simulacemi – durace Dj pro j-tý posun výnosové křivky:

)1(2

1

M

MMD

j

1j1jj ji

26.11.2004 Petr Myška 21

Průběh min. hodnoty pojistných závazků a tradiční rezervy

3 000

3 500

4 000

4 500

5 000

5 500

6 000

6 500

7 000

-2,00

%

-1,00

%0,0

0%1,0

0%2,0

0%3,0

0%4,0

0%5,0

0%6,0

0%


4

5

6

7

8

9

10

11

12 Tradičnírezerva V

M s bud.p.n.v.

M s jižpřipsanýmip.n.v.Durace sp.n.v.

Durace bezp.n.v.

26.11.2004 Petr Myška 22

Aktiva

Mají zajistit schopnost pojistitele dostát svým závazkům

1. Dluhopisy

2. Akcie

3. Deriváty

26.11.2004 Petr Myška 23

Dluhopisy

1. Dluhopis s fixním kupónem (fixní dluhopis) – vysoká durace

2. Dluhopis s plovoucím kupónem (floater) – durace rovna době do výplaty nejbližšího kupónu

=> Jiný charakter závislosti tržní hodnoty dluhopisu na úrokových sazbách

26.11.2004 Petr Myška 24

Průběh ceny dluhopisů

Průběh ceny dluhopisu

50

60

70

80

90

100

110

120

-2,00

%

-1,00

%0,0

0%1,0

0%2,0

0%3,0

0%4,0

0%5,0

0%6,0

0%7,0

0%8,0

0%


Cen

a

Cena floateru

Cena fixníhodluhopisu

26.11.2004 Petr Myška 25

DluhopisyStanovení účetní hodnoty:

1. Fair hodnota: na úrokových sazbách závisí nepřímou úměrou

2. Amortizovaná cena (pouze pro fixní a HTM dluhopisy): zcela nezávislá na aktuálních tržních úrokových sazbách (pouze na výnosu do splatnosti i)

},...,{ 1)1(

100

)1(FV

n

n

nttt

tYt

nt

tY

t

i

C

i

C

j

jtj

t iCAi )1()1(AC 0t

26.11.2004 Petr Myška 26

Účtování finančních investic a technických rezerv

Účtování aktiv Účtování pasiv

1 Tržní ceny Zákon č. 363 + Test

postačitelnosti

2 Dluhopisy HTM

amortizované ceny, ostatní aktiva tržní ceny

Zákon č. 363 + Test postačitelnosti

3 Tržní ceny Fair hodnota

26.11.2004 Petr Myška 27

Způsob účtování 1

- nekonzistentní způsob účtování- stoupnou-li úrokové sazby, nastane účetní ztráta,

ačkoliv má pojišťovna ošetřenu platební schopnost z dané pojistky

26.11.2004 Petr Myška 28


+ konzistentní způsob+ rovnoměrné rozložení zisku- v určitých případech nedokáže indikovat úrokové

riziko- riziko účetní ztráty v případě neočekávaných

storen- poklesnou-li úrokové sazby, je vykázána

nežádoucí účetní ztráta

26.11.2004 Petr Myška 29


+ konzistentní způsob+ spolehlivě indikuje úrokové riziko- obtížně stanovitelné

26.11.2004 Petr Myška 30

Řízení aktiv a pasivALM zkoumá sladění aktiv a pasiv (ekonomickou hodnotu) zejména s ohledem na citlivost na úrokové sazbyJsou-li aktiva a pasiva a oceňována jinak než ekonomickou hodnotou => pro ALM oddělení vznikají omezení, případně druhý (paralelní) úkolMetody řízení aktiv a pasiv:

1. Cash-flow matching2. Cílování durace

26.11.2004 Petr Myška 31

Cash-flow matching

Investice do aktiv, která mají stejné budoucí toky jako mají pasiva

Nutné znát přesně budoucí toky

Aktiva a pasiva jsou sladěna pro libovolné posuny výnosové křivky

26.11.2004 Petr Myška 32

Cash-flow matching

Posun křivky Aktiva Závazky Účetní P/L

-200 b.p. 6 149 435 419 5 655 823 150 493 612 2690 b.p. 5 017 031 583 5 017 031 583 0

+300 b.p. 3 799 426 144 5 017 031 583 -1 217 605 439

-200 b.p. 5 017 059 497 5 655 823 150 -638 763 6530 b.p. 5 017 031 583 5 017 031 583 0

+300 b.p. 5 016 989 719 5 017 031 583 -41 864

-200 b.p. 5 639 993 268 5 655 823 150 -15 829 8820 b.p. 4 507 617 346 4 507 617 346 0

+300 b.p. 3 290 053 771 3 276 065 493 13 988 278

cash - flow matching

1

2

3

Způ

sob

účto

vání Způsob

investování

26.11.2004 Petr Myška 33

Cash-flow matching

2 0002 5003 0003 5004 0004 5005 0005 5006 0006 500

-2,00

%

-1,00

%0,0

0%1,0

0%2,0

0%3,0

0%4,0

0%5,0

0%6,0

0%

Fair h.závazkůPasiva proúčt. 1 a 2Fair h. aktiv 1

AmortizovanécenyFair h. aktiv 3

26.11.2004 Petr Myška 34

Cílování durace

Investice do aktiv, která mají stejnou duraci jako pasiva

Dokonalá imunizace pouze při paralelních posuvech křivky (bere v úvahu pouze první derivaci ceny)

26.11.2004 Petr Myška 35

Durace aktiv = Durace pasiv


-200 b.p. 6 114 931 429 5 655 823 150 459 108 2790 b.p. 5 017 031 583 5 017 031 583 0

+300 b.p. 3 784 933 058 5 017 031 583 -1 232 098 526

-200 b.p. 5 017 059 497 5 655 823 150 -638 763 6530 b.p. 5 017 031 583 5 017 031 583 0

+300 b.p. 5 016 989 719 5 017 031 583 -41 864

-200 b.p. 5 605 489 278 5 655 823 150 -50 333 8720 b.p. 4 507 617 346 4 507 617 346 0

+300 b.p. 3 275 560 684 3 276 065 493 -504 808

cílování durace

1

2

3

Způ

sob

účto

vání Způsob

investování

26.11.2004 Petr Myška 36

Durace aktiv >> Durace pasiv


-200 b.p. 6 525 835 998 5 655 823 150 870 012 8480 b.p. 5 017 031 583 5 017 031 583 0

+300 b.p. 3 462 454 691 5 017 031 583 -1 554 576 893

-200 b.p. 5 017 059 497 5 655 823 150 -638 763 6530 b.p. 5 017 031 583 5 017 031 583 0

+300 b.p. 5 016 989 719 5 017 031 583 -41 864

-200 b.p. 6 016 393 847 5 655 823 150 360 570 6970 b.p. 4 507 617 346 4 507 617 346 0

+300 b.p. 2 953 082 317 3 276 065 493 -322 983 175

3

D aktiv >> D pasiv

1

2

Způ

sob

účto

vání Způsob

investování

26.11.2004 Petr Myška 37

Cílování durace

2 0002 5003 0003 5004 0004 5005 0005 5006 0006 500

-2,00

%

-1,00

%0,0

0%1,0

0%2,0

0%3,0

0%4,0

0%5,0

0%6,0

0%

F.h. pasivD aktiv << D pasivD aktiv = D pasivD aktiv >> D pasivAmortizované ceny

26.11.2004 Petr Myška 38

Silně neparalelní posun křivky

sazby / 2 5 990 087 838 5 967 135 631 -22 952 207

původní 4 507 617 346 4 507 617 346 0

sazby * 2 2 933 680 600 2 953 099 653 19 419 053

sazby * 3 1 977 090 498 2 003 920 958 26 830 460

sazby / 2 5 990 087 838 5 931 056 665 -59 031 173

původní 4 507 617 346 4 507 617 346 0

sazby * 2 2 933 680 600 2 871 479 955 -62 200 645

sazby * 3 1 977 090 498 1 814 203 450 -162 887 048

ekonomické P / L

CF matching

Cílování durace

Investiční strategie

výnosová křivka

min. hodnota závazků

tržní cena aktiv

26.11.2004 Petr Myška 39

Investice s minimální durací

1. Investice na peněžním trhu

2. Investice do dluhopisů s plovoucím kupónem

Ekonomické i účetní zajištění při zvýšení úrokových sazeb

Při jakémkoliv snížení sazeb ekonomické problémy

Účetní problémy při určitém snížení sazeb (závisí na dnešní poloze na výnosové křivce)

26.11.2004 Petr Myška 40

Investice s minimální durací


-200 b.p. 5 025 393 360 5 655 823 150 -630 429 7900 b.p. 5 017 031 583 5 017 031 583 0

+300 b.p. 5 004 540 964 5 017 031 583 -12 490 620

-200 b.p. 5 025 393 360 5 655 823 150 -630 429 7900 b.p. 5 017 031 583 5 017 031 583 0

+300 b.p. 5 004 540 964 5 017 031 583 -12 490 620

-200 b.p. 4 515 130 092 5 655 823 150 -1 140 693 0570 b.p. 4 507 617 346 4 507 617 346 0

+300 b.p. 4 496 394 986 3 276 065 493 1 220 329 493

Minimální durace

1

2

3

Způ

sob

účto

vání Způsob

investování

26.11.2004 Petr Myška 41

Investiční strategie

1. Ekonomicky pojatá investiční strategie

2. Účetně pojatá investiční strategie => při způsobech účtování 1 a 2 vždy hrozí i při zcela ekonomické investiční strategii při určitém posunu křivky účetní ztráta

Eliminace potenciální účetní ztráty => nákup určitých úrokových opcí (byť za cenu snížení či úplné eliminace budoucího zisku)

26.11.2004 Petr Myška 42

Zajištění účetních výsledků pomocí úrokových opcí

Je aplikovatelné, nejsou-li pasiva účtována fair hodnotou:

1. Při účtování aktiv amortizovanými cenami hrozí účetní ztráta při určitém snížení úrokových sazeb

2. Při investování na dlouho a účtování aktiv tržními cenami hrozí účetní ztráta při určitém zvýšení úrokových sazeb

3. Při investování na krátko a účtování aktiv tržními cenami hrozí účetní ztráta při určitém snížení úrokových sazeb

26.11.2004 Petr Myška 43

Řešení

Pro případ 2 konstrukce capů s vnitřní hodnotou IVC = (V-M)+

Pro případ 1 a 3 konstrukce floorů s vnitřní hodnotou IVF = (M-V)+

26.11.2004 Petr Myška 44

Konstrukce floorů

Označme toky plynoucí z pojištění (bez budoucích podílů na výnosech a pro zjednodušení pouze na konci roku):

CF0, CF1,...,CFn

Zjistíme hodnoty výnosové křivky Si1, Si2,..., Sin, pro které je

spotové sazby Si1, Si2,..., Sin=> forwardové sazby Sf

S) bod(CF )i(1

CF - M V 0

1 k

k

n

kkS

26.11.2004 Petr Myška 45

.........MCF S

0 1CF 2CF 1-nCF

nCF

1S1-n f 1-n

S1f

nS i

2S2-n f

Grafické znázornění

26.11.2004 Petr Myška 46

Konstrukce floorůSM (1+ Sin)n + CF0 (1+ Sin)n + CF1 (1+ )n-1 + ... +

+ CFn-1 (1+ ) = - CFn

sazby i1, i2,..., in => forwardy f

(SM+CF0) (1+in)n + (SM+CF0) ((1+ Sin)n - (1+in)n ) +

+ CF1(1+n-1f1)n-1 + CF1 ((1+ )n-1 - (1+n-1f1)n-1) + +...+ CFn-1 (1+1fn-1) + CF1 ((1+ ) - (1+1fn-1)) = = - CFn

11n fS

1n1f S

1n1 f S

11n fS

26.11.2004 Petr Myška 47

Předchozí rovnici podělíme výrazem :

SM + CF0 + (SM + CF0) + +

+ CF1 + +

+ CFn-1 = - CFn

Konstrukce floorů

nn )i(1

1

nn

nn

nn

)i(1

)i(1-)i(1

S

nn

1-n11

1-n11

)i(1

)f(1-)f(1

n

Sn

)i(1

CF

1

1

1-n1-n

1-n

)i(1

CF

nn

1-n11-n1

)i(1

)f(1-)f(1

S

26.11.2004 Petr Myška 48

Konstrukce floorů

SM + SM + CF0 +

+ CF1 +...+ CFn-1

=

nn

nn

nn

)i(1

)i(1-)i(1

S

nn

nn

nn

)i(1

)i(1-)i(1

S

nn

1-n11

1-n11

)i(1

)f(1-)f(1

n

Sn

nn

1-n11-n1

)i(1

)f(1-)f(1

S

0

1

11-n

1-n

1-nn

n

n CF)i(1

CF...

)i(1

CF

)i(1

CF

MPlatí SM = V

26.11.2004 Petr Myška 49

Vnitřní hodnota floorů

M – V = SM +

+

Předpoklad paralelního posunu křivky:

IVF = (M-V)+ = SM

+

nn

nn

nn

)i(1

)i(1-)i(1

S

nn

t-ntt-n

t-ntt-n

1

0t )i(1

)f(1-)f(1CF

Sn

t

nn

t-ntt-n

t-ntt-n

1-n

0t )i(1

)f(1-)f(1CF

S

t

n

n

nn

nn

)i(1

)i(1-)i(1 S

26.11.2004 Petr Myška 50

nS

n i i

in the

money

MCF S0 1CF 2CF 1-nCF

nCF

1S1-n f

1-nS1f

nS i

2S2-n f

1S1-n11-n f f

in the

money

1-nS11-n1 f f

in the

money


26.11.2004 Petr Myška 51


Převedení na floory (podkl. sazba max. 1 rok):

1t1t

t1tS1

2t2t

1t11tS1

tS1n

n

1-n11-nS11-t-n

tS1-t-n

1t1t

t1tS1

nn

1-n11t11-nS11t

S1

tS1

nn

1-n11t1t11-n11t1tS11-n1

nn

1t1tS11-n

S11t

S1t

S1

nn

t-nttn

t-nttn

)i(1

ff

)i(1

ff)f1(...

)i(1

ff)f1(

)i(1

ff

)i(1

)f1(...)f1( -) f+ 1 )...( f+ 1 () f+ 1 (

)i(1

)f1)...(f1)(f1()f1)...(f1)(f1()f1(

)i(1

)...f1)(f1()f1)...(f1)(f1(

)i(1

)f(1-)f(1 S

26.11.2004 Petr Myška 52


Označíme IVFt vnitřní hodnotu flooru s realizací za t let a maturitou za t+1 let:

1t1t

t1tS1

t )i(1

ff IVF

1-n1-t-n

tS1-t-n1tt

S1t

nn

t-nttn

t-nttn

IVF)f1(...IVF)f1(IVF

)i(1

)f(1-)f(1

S

26.11.2004 Petr Myška 53

tCF

t1t1 f f S

IVFt >0 IVFt+1 >0

1tS11t1 f f

1-nS11-n1 f f

IVFn-1 >0

tt1 )CFf(1 S

tS1f

t2

t2 CF)f(1 S

1tS1f

.........


t1-t-n

t1-t-n CF)f(1 S

1-nS1f

tt-n

tt-n CF)f(1 S

1-n1-t-n

tS1-t-n1tt

S1t IVF)f1(...IVF)f1(IVF

26.11.2004 Petr Myška 54

Vnitřní hodnota floorůNyní odvodíme nominály příslušné k flooru s realizací

za 0 let: (SM + CF0)

za 1 rok: (SM + CF0) (1 + Si1) + CF1 …

za n-1 let: (SM +CF0)(1 +Sin-1)n-1 + CF1 (1+ )n-2

+…+ CFn-2(1 + )+ CFn-1

1S2-n f

2-nS1 f

26.11.2004 Petr Myška 55

MCF S0 1CF 2CF 1-nCF

nCF1S

1 i i

IVF0 >0 IVF1 >0

1S111 f f 1-n

S11-n1 f f

IVFn-1 >0

1S i 1

S1f 1-n

S1f

.........


26.11.2004 Petr Myška 56

Capy a opční prémieZcela obdobně odvodíme vnitřní hodnoty pro capy:

Nominály a doby do realizace budou stejné jako u floorůOpční prémie: vnitřní hodnoty nahradíme opčními prémiemi stanovenými dle B-S vzorce

=> Floory, Capy

1t1t

tS1t1

t )i(1

ff IVC

26.11.2004 Petr Myška 57

Problém časové hodnotyPro fair hodnotu opce platí:Fair hodnota = vnitřní hodnota + časová hodnota Pasiva: pouze vnitřní hodnota IVF (resp. IVC)Aktiva: fair hodnota => nutné zohlednit časovou hodnotu v pasivechPozn.: časová hodn. Floorů = časová hodn. Capů => pasiva jsou navýšena vždy o stejnou částku

26.11.2004 Petr Myška 58

Zohlednění časové hodnoty

Č asová h od n o taje zoh led n ěn a

v rezervá ch

Č asová h od n o taje zaú č tová n a jako

čá s t vlas tn íh o jm ěn í

Ř ešen í

26.11.2004 Petr Myška 59

Investiční strategie s úr. opcemi

Investice s minimální durací => Floory

Investice s dlouhou durací (CF matching, cílování durace): 1.) účtování způsobem 1: Capy

2.) účtování způsobem 2: Floory

Podíly na výnosech: Nezajišťuji capy odpovídajícími capům pro p.n.v. v pasivech, ale účetními Capy

26.11.2004 Petr Myška 60

Minimální durace + Floory


-200 b.p. 5 798 431 787 5 801 533 449 -3 101 6620 b.p. 5 204 167 824 5 204 167 824 0

+300 b.p. 5 041 111 919 5 053 602 539 -12 490 620

-200 b.p. 5 798 431 787 5 801 533 449 -3 101 6620 b.p. 5 204 167 824 5 204 167 824 0

+300 b.p. 5 041 111 919 5 053 602 539 -12 490 620

2

Způ

sob

účto

vání Způsob

investování Minimální durace + opce

1

26.11.2004 Petr Myška 61

Minimální durace + Floory

4 900

5 100

5 300

5 500

5 700

5 900


Aktiva

Pasiva s č.h.opcí

Pasiva bezč.h. opcí

26.11.2004 Petr Myška 62

Otázky?

Documents

Petr Myška Seminář z aktuárských věd, 26.11.2004