FUNGSI DENSITAS

Pertemuan ke 9

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Setelah mempelajari pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan mampu:

1. Menjelaskan dan menghitung Distribusi Normal

2. Menjelaskan pendekatan ke distribusi normal

DISTRIBUSI NORMAL

distribusi normal variabel acaknya adalah kontinue, sehingga merupakan fungsi densitas.

Distribusi normal memiliki persamaan :

, dengan x : - < x < +

dimana : = 3,1416e = 2,7182 = parameter (merupakan rata-rata untuk distribusi) = parameter (merupakan standar deviasi untuk distribusi)

x

exf5,0

..2

1)(

sifat-sifatnya :• Luas daerah di bawah kurva f(x), di atas sb x sama

dengan 1• Grafik f(x) simetri terhadap x = x = +- • Mean E(x) = , dan Var(x) = 2• f(x) 0• P(x1 x x2) = •

x =

x

exf5,0

..2

1)(

2

1

)(x

x

dxxf

1)( b

a

dxxf

Variabel x berdistribusi normal dengan mean dan varian 2, ditulis X N (,2)

Khusus, jika = 0 dan 2 = 1, maka X N (0,1) dan dikatakan x mempunyai normal standar. Dalam hal ini dipakai notasi Z

Jadi Z N (0,1), dan fungsi densitas Z = 1 dan = 0

, dengan z : - < z < +0

luas bagian-bagian daerah di bawah kurva normal standar g(z) dapat dicari dengan menggunakan tabel normal (= tabel Z)

25,0.2

1)( Zezg

0 Z0

Luas A =

Nilai A didapat pada tabel normal (Tabel Z)

)0()( 0

0

0

ZZPdzzgZ

Jika X N (,2), maka dengan mendefinisikan : , diperoleh Z N (0,1)

jadi P(x1 < X < x2) =

= P(Z1 < Z < Z2)

x

Z

21 xxx

P

x1 x2

f(x)

Z1 0 Z2

Lihat tabel

SOAL – SOAL YANG DIPECAHKAN

1. P( 0 < Z < 2,15 ) = … ?

Tabel Normal Tabel Z

Maka P( 0 < Z < 2,15 ) = 0,4842

0 2,15 Z

0,4842

SOAL – SOAL YANG DIPECAHKAN

2. Nilai test masuk 9500 orang calon mahasiswa diketahui mean 52 dan standar deviasi 11. Dengan menganggap nilai-nilai tersebut bedistribusi normal :

a. Tentukan banyaknya calon mahasiswa yang mendapat nilai antara 45 dan 80. Tentukan juga yang mendapatkan nilai lebih dari 55

b. Jika 2200 calon mahasiswa yang mendapat nilai tertinggi akan diterima, tentukan nilai terendah dari calon mahasiswa yang diterima tersebut

PENDEKATAN KE DISTRIBUSI NORMAL

(Untuk Distribusi Binomial) Jika x berdistribusi binomial, jika n sangat besar, p dan q tak

terlalu kecil, maka distribusi x mendekati distribusi normal dengan mean E(x) = n . p dan Var(x) = n.p.q.

Untuk perhitungan dengan pendekatan normal, batas bawah dikurangi ½ dan batas atas ditambah ½

a – ½

P(a < x < b) P(a – ½ < x < b + ½)

ba

b + ½

x1 – ½

P(x1 < x < x2) P(x1 – ½ < x < x2 + ½)

Binomial Normal

x2x1

x2 + ½

SOAL – SOAL YANG DIPECAHKAN

Batako yang diproduksi oleh industri batako diketahui 12 % cacat. Jika setiap hari mesin tersebut menghasilkan 1000 buah batako, tentukan

a) Rata-rata jumlah batako yang rusak dalam satu hari

b) Probabilitas didapat hasil yang baik dalam satu hari tidak kurang dari 900 buah

c) Probabilitas didapat hasil yang cacat tidak kurang dari 95 dan tidak lebih dari 125 buah.