PERT - CPM

5/8/2018 PERT - CPM - slidepdf.com

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5.- Programación y control de proyectos PERT – CPM

PERT se desarrollo en la década de 1950 y se utilizo en forma amplia en la administración de proyectosmilitares de investigación y desarrollo. Su primera aplicación importante fue el proyecto de los misilesPolaris para la U. S. Navy. De hecho, PERT fue desarrollado específicamente por el departamento dedefensa de los Estados Unidos de Norteamérica para dar apoyo a la planeación, programación y control de

una gran cantidad de trabajos (actividades) asociados con el proyecto PERT (Técnica de evaluación yrevisión de programas) también se ha implantado y utilizado en la industria de la construcción y en lasempresas industriales para aplicaciones como la programación del mantenimiento de aviones, lainstalación de activos fijos, el diseño de plantas, la planeación y la administración de programas deinvestigación y desarrollo, y la planeación de utilidades a nivel de empresa. Una de las principalescaracterísticas de PERT, además de su capacidad para identificar los programas y planes que se requieren para las tareas (actividades), es que puede manejar las incertidumbres que existen en los pronósticos detiempos para determinar diversas tareas,

CPM, fue desarrollado en forma independiente de PERT, pero que esta estrechamente relacionado conéste, se refiere básicamente a los intercambios entre el costo de un proyecto y su fecha de terminación. Seaboca a la reducción del tiempo necesario para concluir una tarea o actividad, utilizando más trabajadoresy/o recursos, lo cual, en la mayoría de los casos significa mayores costos. Con CPM, se supone que el

tiempo necesario para concluir las diversas actividades del proyecto se conoce con certidumbre, al igualque la cantidad de recursos que se utilizan.

Por ello, CPM no se ocupa de tiempos inciertos de tareas o actividades como es el caso en PERT, sinoque se refiere a intercambios entre tiempos y costos.

5.1.- Construcción de la red de actividades: relaciones de precedencia, concurrencia y posterioridad.

La primera etapa del proceso de PERT/CPM consiste en identificar todas las tareas o actividadesasociadas con el proyecto y sus interrelaciones. Como ilustración de está etapa, considerar el ejemplo básico de un proyecto de ajuste general de un motor, como se muestra en la tabla 5.

Tabla 5. Lista de actividades y relaciones de precedencia para el proyecto de ajuste de un motor

Códigodeactividad

Descripciónde la actividad

Predecesore sinmediatos

A Quitar y desarmar el motor - B Limpiar y pintar la base A

C Rebobinar la armadura A

D Reemplazar los anillos A

E Ensamblar e instalar el motor en la base B, C, D

Para este ejemplo sólo se requieren cinco actividades; pero es evidente que el número de actividadesvariara según el tipo de proyecto. En cualquier caso, el punto clave es tener, en esta etapa de planeación,una lista precisa y exhaustiva de actividades (y las relaciones de precedencia entre ellas), puesto que todos

los cálculos futuros y los programas finales del proyecto dependen de esas actividades (y de susrelaciones).Además de las actividades de proyecto, la tabla 5 incluye una columna con el encabezado

“predecesores inmediatos” (que se refiere a la actividad inmediatamente anterior). Para una actividaddeterminada, deben terminarse todas las precedentes inmediatas antes de comenzar esa actividad. En elejemplo, las actividades B, C, y D no pueden comenzar sino hasta que la actividad A se haya terminado.El ejemplo indica también que la actividad E no puede comenzar hasta que las actividades B, C y D sehayan terminado. Esto también es bastante evidente; antes de que pueda volverse a armar el motor y antesde que pueda instalarse en su lugar, las actividades B, C y D deben haberse terminado.



Estructura de la red

Una vez que se ha elaborado una lista completa y precisa de actividades y de sus predecesoras, es posibleilustrar en forma grafica sus relaciones. La figura 5. Es un diagrama de red o, en términos mástradicionales, una red PERT/CPM.

Figura 5.- diagrama de red para el ajuste de un motor

Limpiar y pintar La base Ficticia

BA C E

Quitar Rebobinar Ensamblar e instalar y desarmar D la armadura el motor en la base el motor Reemplazar

los anillos Ficticia

Como puede apreciarse, la red consta de diversos círculos (numerados del 1 al 6) e interconectados por

flechas (identificadas como A, B, C, D y E). En terminología general de redes, los círculos numerados sedenominan nodos, y las flechas que los conectan se denominan ramas o arcos. En una red PERT/CPM,las flechas o ramas representan actividades y los círculos o nodos se denominan eventos. Las actividadesimplican tiempo, por lo general consumen recursos en forma de mano de obra, materiales o dinero. Loseventos no consumen ni tiempo ni recursos sino que, más bien, sirven como “puntos de referencia del proyecto” y representan los puntos lógicos de conexión para asociar las diversas actividades.

Una rápida comparación de la figura 5 con la tabla 5 confirma que la red en realidad ilustra lasrelaciones apropiadas de precedencia. La actividad A precede a las actividades B, C y D y la activad E no puede comenzar sino hasta que se hayan terminado estas mismas tres actividades.

Elaboración de la red

No existen procedimientos secretos para elaborar con éxito una red adecuada; sin embargo, existendiversas reglas que deben observarse, al igual que diversas “sugerencias” que pueden facilitar la tarea deelaborar la red:

1.- Antes de que pueda comenzar una actividad, todas las actividades precedentes deben haber terminado.

2.- Las flechas indican sólo precedencia lógica; ni su longitud ni su dirección tienen significado alguno.

3.- Cada flecha (actividad) debe comenzar y terminar en un nodo de evento.

4.- Ningún par de nodos de la red puede estar directamente conectado por más de una flecha

5.- Cuando se enumeran los nodos es aconsejable, y en particular en una red grande, utilizar múltiplos de 10 para que sea másfácil incorporar cualesquiera cambios o adiciones.

6.- Todas las flechas de la red deben estar dirigidas, más o menos, de izquierda a derecha.

7.- la clasificación de las actividades (es decir, el listado de las actividades del proyecto) no debe ser más detallado que lo serequiera para representar un plan de acción lógico y claramente definido.

Uno de los errores comunes que se cometen en la lógica de las redes es colocar las actividades en la redcon base en algún sentido del tiempo (es decir, considerando el momento en que es probable que ocurran).Considerar el ejemplo de una red secuencial que se muestra en la parte (a) de la figura 5.1

1 2

3

4

5 6



Examinar Elaborar Insertar los cheques Poner la colocar las Poner en

las facturas los cheques en los sobres dirección en estampillas el correolos sobres

(a) Diagrama secuencial de red para pagar facturas.

Es probable que se considerara que esta secuencia de tiempos y actividades ocurriera al pagar la factura.Aunque la red puede ilustrar la forma en que podrían ordenarse las actividades, equivocadamente señalaque “poner la dirección en los sobres” no puede comenzar sino hasta que “se elaboren los cheques” hayasido terminada. Esto, por supuesto, no es cierto

Insertar los chequesen los sobres

Elaborar ArtificialLos cheques poner la dirección poner en

en los sobres el correo

Examinar lasfacturas Artificial

Colocar lasestampillas

(b) Diagrama apropiado de red para pagar las facturas

Figura 5. 1 Diagramas de red relacionados con “pagar las facturas”

La parte (b) de la figura 5 - 1 ilustra la relación apropiada entre las actividades. Aquí no existe restricciónsobre la anotación de las direcciones en los sobres (o sobre la colocación de las estampillas). El diagramasimplemente dice que antes de que pueda ponerse la carta en el correo, el cheque debe estar en el sobre y

éste debe tener la dirección y las estampillas.A partir de este ejemplo, resulta muy evidente que las actividades no deben colocarse en serie a menos

que sea absolutamente necesario.

Actividades ficticias

Examinando la figura 5, así como también la 5 -1, se observa que dos actividades, que no han sidoidentificadas, se representaron mediante flechas punteadas. A éstas se les denomina actividades ficticias

y consumen cero tiempo y cero recursos. Se utilizan las actividades ficticias para mostrar relacionescorrectas entre actividades y/o para evitar tener que conectar en forma directa dos nodos a través de másde una flecha (lo cual violaría el requerimiento no. 4 de las redes). Si se omitieran las actividades ficticiasde la figura 5.1, la red resultante tendría la forma de la figura 5- 2

Limpiar y pintar la baseB

A C E

Quitar y Rebobinar la armadura Ensamblar e instalar desarmar el motor D el motor en la base

Reemplazar los anillos

1 2 3 4 5 6 7

1 2

3 4

5

6 7

1 2 3 4



Figura 5- 2 Diagrama de red para el ajuste de un motor (se omiten actividades ficticias)

Para ilustrar mejor la necesidad de las actividades artificiales, considerar un proyecto básico de“instalación de una maquina”. El proyecto consiste en instalar una máquina y dar capacitación al operador.La capacitación puede comenzar en cuanto se contrate al operador y se instale la máquina. La capacitaciónno depende de la inspección de la maquina; sin embargo, se requiere la inspección una vez que se ha

instalado la máquina.La tabla 5.1 lista las actividades y sus relaciones de precedencia.

Tabla 5. 1 Datos de las actividades para el proyectoDe instalación de una maquina

Códigode laactividad

Descripciónde la actividad

Predecesor inmediato

ABCD

Instalar la maquinaContratar al operador Capacitar al operador Inspeccionar la maquina

--

A, BA

Y la figura 5- 3 muestra una representación inapropiada de red para el proyecto y presenta; asimismo, eldiagrama correcto de red.

Figura 5 - 3 Uso de una actividad ficticia para ilustrar una relación apropiada de precedencia.

A C

A C

B D B D

(a) Red inapropiada, dependencia falsa (b) Diagrama apropiado de red para el proyecto de instalaciónde una máquina; se requiere una actividad ficticia

En este ejemplo, es imposible representar las relaciones apropiadas de precedencia entre las actividadessin utilizar una actividad ficticia. Tal como se ilustra en la parte (a) de la figura 5 - 3, si la red se dibujacomo se muestra aquí, las actividades de “instalar la máquina” y “contratar al operador” preceden a laactividad de “dar capacitación al operador”, pero se muestra que “inspeccionar la máquina” depende de laterminación de las mismas dos actividades; una relación inapropiada de precedencia. Puede corregirse el problema utilizando la actividad ficticia que se muestra en la parte (b).

Aunque es posible que no se requieran actividades ficticias para todas las redes de PERT/CPM, los proyectos grandes y complejos pueden necesitar varias de ellas. De hecho, en una red grande sería extrañoque no se utilizara alguna actividad ficticia.

Análisis de una red PERT/CPM

Este paso consiste en identificar un programa compatible de actividades que permita la terminación del proyecto en una cantidad mínima de tiempo. Eso significa que se debe identificar los tiempos inicial yfinal de cada actividad, las relaciones de tiempo entre las actividades y las actividades críticas que debenterminarse “de acuerdo al programa”.

Para comenzar el análisis, se requiere información respecto al tiempo necesario para terminar cada unade las actividades de la red. Dado el siguiente caso:

1

4

2

3

6

1

4

2

5

3

6



The Sharp Company fabrica una línea completa de productos para afeitar. Recientemente, un competidor presentó una nueva rasuradora con hoja doble, que en los últimos seis meses ha absorbido una partesignificativa de un mercado que la Sharp había tenido durante años. Los administradores de la Sharp handecidido que deben introducir un producto competidor, el vicepresidente de planeación y desarrollo, haidentificado las tareas que se necesitan para diseñar, desarrollar y comercializar el nuevo producto y el

tiempo esperado que se requiere para llevar a cabo cada una de ellas (ver tabla 5.2).

TABLA 5. 2 - Tareas del proyecto y tiempos esperados de terminación

Tarea

Tiempoesperado

paraterminar (semanas)

Diseñar el productoDiseñar el empaqueOrdenar y recibir los materiales para el productoOrdenar y recibir los materiales para empaque

Fabricar el productoFabricar el empaqueEmpacar el productoPrueba de mercado del productoPrueba de mercado del empaqueEntregar a los distribuidores

6233

431642

El vicepresidente le pidió a su gerente asesor revisar las tareas y entregarle un informe resumido queseñale. (1) El tiempo total que se requiere desde el principio del proyecto hasta que el producto nuevo seencuentre en las manos del distribuidor, (2) las fechas específicas de inicio y terminación para cada tarea y(3) las tareas críticas, es decir, las que deban terminarse a tiempo para que el proyecto se concluya en unafecha especifica.

El vicepresidente le señalo a su gerente asesor que, aunque los tiempos de terminación son valoresesperados (promedio) y son bastante realistas, para darse una idea de la variabilidad del proyecto completosería deseable tener alguna idea de los tiempos que se tendrían en los casos más desfavorables y másfavorables. El vicepresidente también señalo que las tareas no necesariamente estaban listadas en ordensecuencial, sino que se habían listado conforme se habían identificado.

Dado que el caso de la Sharp Company incluye información sobre el “tiempo esperado de terminación” para cada actividad. Debe señalarse, además, que este análisis será en esencia deterministico, puesto quese considerará que los “tiempos esperados” de las actividades son las duraciones reales.

Antes de comenzar el análisis de la Sharp Company, primero se debe elaborar la red, recordar que lastareas (actividades) no se encuentran ordenadas en forma lógica y que no se ha identificado las relaciones

de precedencia. Por tanto, el primer paso consiste en trabajar la tabla 5.2 para acomodar las tareas(actividades) en orden lógico y para identificar las relaciones de precedencia.

La tabla 5.3 es una versión ampliada de los datos de las actividades de la Sharp. En versiones posteriores del diagrama de red se utilizarán estos códigos de actividad en vez de sus descripciones.



Tabla 5.3 - Datos del proyecto para el caso de la Sharp Company

Códigodeactividad

Descripciónlas actividades

Predecesore sinmediatos

Tiempoesperado paraterminar (semanas)

ABCDEFGHIJ

Diseñar el productoDiseñar el empaqueOrdenar y recibir los materiales para el productoOrdenar y recibir los materiales para el empaqueFabricar el productoFabricar el empaquePrueba del mercado del productoPrueba del mercado del empaqueEmpacar el productoEntregar a los distribuidores

--ABCDEF

G, HI

6233436412

Una vez que se han identificado las relaciones de precedencia, la elaboración de la red es una tarea bastante simple. La figura 5- 4 es la red PERT/CPM para la Sharp.

[C] [E]Ordenar y recibir los materiales para

el producto Fabricar el Prod[A] [3] [4] [G] [I]

[J] [6] Empacar Entregar a los

[6] el producto distribuidores

[D] [H][B] Ordenar y recibir los [F] [1] [2]

Materiales para Fabricar el

[2] el empaque empaque [4][Código de

las actividades][3] [3]

Descripción dela

actividad.

CLAVE:

Duraciónesperada de

la actividad

Di j

Figura 5.4.- PERT/CPM para el caso de la Sharp Company

Observar que se ha colocado el código de la actividad y su descripción correspondiente encima de cadaflecha y directamente debajo de cada uno de los arcos, se ha anotado el tiempo esperado de la actividad.También se han enumerado los nodos (eventos) del 1 al 10.

Cálculos básicos de la programación

1

2

5

3

6

4

7

8 9

1

0



La fecha general de terminación del proyecto es de particular importancia si los administradores estáncompitiendo con otra empresa en el proyecto o si los administradores operan con base en incentivos por fechas de terminación. El programa de actividades es importante porque señala las actividades críticas del proyecto.

Si se suman todos los tiempos esperados de las actividades de la tabla 5.3, se tienen 34 semanas comoduración del proyecto. Sin embargo, de la figura 5.4 se sabe que esta no es la cantidad de tiempo que se

requeriría para terminar el proyecto; las actividades A y B pueden llevarse a cabo en forma simultánea yla actividad C puede ejecutarse en paralelo con la actividad D (dependiendo de cuándo se terminen laactividad A y B). En la figura 5- 4 puede no ser evidente la verdadera duración del proyecto, pero se debeestar en posibilidades de calcular el valor correcto.

Se calcula la duración del proyecto determinando la ruta crítica (también se le denomina caminocritico) para la red. Toda red tiene dos o más rutas, una o más de las cuales serán críticas. Se define unaruta o camino como la secuencia de actividades que se llevan a cabo al pasar del evento (nodo) inicial alevento (nodo) final de la red. (Para la red de la Sharp Company, el nodo 1 es el evento inicial y el nodo 10es el evento final). Las actividades A, C, E, G, I, y J forman una ruta que conecta los nodos 1, 2, 3, 4, 8, 9y 10 de la red, en tanto que las actividades B, D, F, H, I, y J, forman una segunda ruta que conecta losnodos 1, 5, 6, 7, 8, 9 y 10. Puesto que la terminación de un proyecto requiere que se terminen todas lasrutas de la red, la duración de la ruta más larga de la red (el tiempo que se requiere para terminarla) es la

ruta crítica. Para el ejemplo, la ruta A – C – E – G – I – J requiere 22 semanas, en tanto que la ruta B – D – F – H – I – J requiere sólo 15 semanas. Por ello, la ruta A – C – E – G – I – J es la ruta crítica. Si sedemora cualquier actividad sobre la ruta crítica, se demora el proyecto completo. Las actividades que seencuentran sobre la ruta crítica, se les llama, por lo tanto, actividades criticas. Para reducir el tiempo totaldel proyecto, 22 semanas en este caso, los administradores deben reducir la duración de una o más de lasactividades críticas.

Un procedimiento eficiente consiste en calcular límites de tiempo para cada actividad (tiempos próximos de iniciación, lejanos de iniciación, próximos de terminación y lejanos de terminación) y, a partir de estos datos, calcular la ruta crítica. Los límites de los tiempos próximos de iniciación y próximosde terminación pueden calcularse haciendo una revisión hacia delante de la red; los tiempos lejanos deiniciación y de terminación se determinan utilizando una revisión hacia atrás en la red.

Revisión hacia adelante: cálculo de los tiempos próximos de iniciación y próximos de terminación

Para comenzar con el análisis de la revisión hacia adelante, es necesario definir algunos términos eidentificar el procedimiento y la notación que se utilizaran. El tiempo próximo de iniciación de unaactividad es el tiempo más próximo posible en que una actividad puede comenzar. En los cálculos, seutilizara ES i j para designar el tiempo próximo de iniciación, en donde i y j representan los nodos inicial yfinal asociados con la actividad. Por ejemplo, en la figura 5.4, ES 12 denotaría el tiempo próximo deiniciación para la actividad “diseño del producto”, es decir, la actividad A, y ES 15 denotaría el tiempo próximo de iniciación de la actividad “diseño del empaque”, es decir, la actividad B. el tiempo próximo

de terminación para una actividad, el cual se denota mediante EF i j, es su tiempo próximo de iniciaciónmás el tiempo que se requiere para complementar la actividad . Para la actividad A de la figura 5.4 estetiempo sería EF 12 = ES 12 + D12, en donde D12 = 6, el tiempo esperado para la actividad. Si el tiempo

próximo de la iniciación de la actividad A es 0, es decir, ES 12 = 0, entonces EF 12 = 0 + 6 = 6.Los cálculos de ES ij y EF ij no se muestran en forma directa en el diagrama de la red; más bien, se

muestran los resultados de aplicar las relaciones. La clave que se utiliza en el diagrama es como sigue:

Código dela actividad

i j



ES ij , Dij , EF ij

Utilizando la actividad B de la figura 5.4 como ejemplo, la porción de la red tendría la siguienteapariencia:

[B]

0,g

2,

Tiempo próximo de iniciación 2

Tiempo esperado de la actividad

Tiempo próximo de terminación

El procedimiento normal para analizar una red consiste en comenzar en el nodo inicial y suponer, que setiene un tiempo inicial de cero. Todas las actividades comienzan tan pronto como es posible, es decir, tan pronto como se han terminado todas las actividades precedentes asociadas. Las actividades A y B notienen predecesoras, ES 12 = 0 y ES 15 = 0; por lo tanto, sus correspondientes tiempos de terminación son EF 12 = 0 + 6 = 6. Y EF 15 = 0 + 2 = 2.

Una vez que se ha calculado el tiempo próximo de terminación para la actividad A. puede calcularse eltiempo próximo de iniciación para la actividad C; la actividad C no puede comenzar sino hasta que laactividad A ha sido terminada. De la misma manera, una vez que se tiene el tiempo próximo determinación para la actividad B, puede procederse con el análisis de la actividad D. el tiempo más próximode iniciación de la actividad C, ES 23, es igual al tiempo más próximo de terminación de la actividad A, que

es E 12 = 6. El tiempo más próximo de terminación de la actividad C es su tiempo próximo de iniciaciónmás su tiempo de duración, o EF 23 = ES 23 + D23 = 6 +3 = 9. Los tiempos de iniciación y de terminación para la actividad D son:

ES 56 = EF 15 = 2; EF 56 = ES 56 + D56 = 2 + 3 = 5

Continuando este tipo de análisis hacia adelante, pueden calcularse los tiempos próximos de iniciación ydespués los tiempos próximos de terminación para cada una de las actividades. La figura 5-5 es undiagrama completo de red que ilustra los valores de los ES ij y los EF ij.

[C] [E]

[6, 3, 9] [9, 4, 13][A]

[0, 6, 6] [13, 6, 19] [G]

[I] [J][19, 1,

20] [20, 2, 22][B]

[0, 2, 2] [H] [8, 4, 12][D] [F]

código de

1

5

Código de la

1

2

5

3

6

4

7

8 91

0



la actividad

[2, 3, 5] [5, 3, 8]CLAVE:

[ESij, Dij, EF ij]Figura 5 - 5.- Tiempos más próximos de iniciación y de terminación para el caso de la Sharp Company.

El avance por la red y la elaboración de los cálculos son tareas simples para nodos que tienen una solaactividad precedente; lo cual fue el caso para cada una de las actividades que se examinaron antes. Sinembargo, en los casos en que existen varias actividades precediendo a otra, el tiempo más próximo deiniciación para esta actividad es igual al mayor valor de los tiempos próximos de terminación para todaslas actividades precedentes. Por ejemplo, la actividad I es precedida por las actividades G y H; por tanto,el tiempo más próximo de iniciación para la actividad I es 19, es decir, ES 89 = 19.

Examinando los cálculos de tiempos de la figura 5- 5, se observa que el tiempo más próximo determinación para la actividad final J es 22 semanas. Este valor es exactamente igual al que se calculocuando se examinaron las dos rutas de la red.

Revisión hacia atrás: calculo de los tiempos lejano de iniciación y lejano de terminación

Puede identificarse el tiempo total que se requiere para terminar un proyecto haciendo una revisión haciadelante de la red, pero no pueden responderse preguntas como: ¿cuánto puede demorarse cada actividad, sies posible? ¿Qué tan tarde puede comenzarse una actividad especifica sin prolongar la duración total del proyecto? Sin embargo, pueden responderse estas preguntas después de hacer una revisión hacia atrás enla red.

Antes de comenzar la revisión hacia atrás es necesario identificar y definir algunos términos, como elinicio más lejano y la terminación más lejana. El tiempo más lejano de iniciación para una actividad, LS ijes el tiempo más lejano o más tardado en el que una actividad puede comenzar sin demorar la fecha determinación del proyecto. El tiempo más lejano de terminación para una actividad; LF ij es el tiempo

más lejano de iniciación más el tiempo que dura la actividad D ij. En forma simbólica, estas relacionesson: LF ij = LS ij + Dij; sin embargo, para la revisión hacia atrás, la forma más útil es LS ij = LF ij – Dij.

Para comenzar los cálculos, se comienza con el evento final (el nodo 10) y se fija el tiempo más lejanode terminación para la última actividad como el tiempo total de duración calculado en la revisión haciaadelante, es decir, LF 9, 10 = 22. Puesto que se requieren dos días para terminar la actividad J, el tiempomás lejano de iniciación para la actividad J es igual al tiempo más lejano de terminación menos el tiempode duración. Es decir, LS 9, 10 = LF 9, 10 – D9, 10 = 22 – 2 = 20. Para la actividad I, el tiempo más lejano determinación es 20, es decir, LF 89 = 20, el tiempo más lejano de iniciación para la actividad I es 19, en tantoque su tiempo más lejano de iniciación es 19, es decir LS 8, 9 = 20 – 1 = 19. En el nodo 8, tanto la actividadG como la H ingresan a él; por tanto, el tiempo más lejano de terminación para cada uno de ellos es 19, eltiempo más lejano de iniciación para la actividad I, que es la única actividad que sale del nodo.

Continuando el análisis de revisión hacia atrás, pueden calcularse los tiempos más lejanos de

terminación y de iniciación para actividad de la red. La figura 5- 6 muestra los cálculos restantes.

[C] [E] [6, 3, 9] [9, 4, 13]

(6, 0, 9) (9, 0, 13)[A] [G]

[0, 0, 6] [13, 6, 19] [I] [J]

1

2 3 4

8 91

0



[19, 1, 20] [20, 2, 22] [B] [H] (19, 0, 20) (20, 0, 22)[0, 2, 2] [8, 4, 12]

[D] [F] [2, 3, 5] [5, 3, 8] Código de

(9, 7, 12) (12, 7, 15) la actividad

CLAVE: [ ES ij, Dij, EF ij]

(LS ij , F ij , LF ij)

FIGURA 5- 6 Tiempos más lejanos de iniciación y de terminación para el caso de la Sharp Company

Se muestran entre paréntesis los resultados LS ij y LF ij para las actividades respectivas, por debajo de losvalores encerrados entre corchetes [ ES ij, Dij , EF ij]. Además de los valores de los tiempos más lejanos deiniciación y de terminación, se muestra el tiempo de holgura o flotante (que se define más adelante) comoel valor que se encuentra en la posición central entre paréntesis.

Un factor que debe observarse con respecto al cálculo de los valores LF ij para una red es que si unnodo determinado tiene más de una actividad que sale de él, entonces el tiempo más lejano determinación para una actividad que entra al nodo es igual al menor valor de los tiempos más lejanos de

iniciación para todas las actividades que salen del nodo. Para el caso de la Sharp Company el único nodoque tiene más de una actividad saliendo de él es el nodo 1. Los tiempos más lejanos de iniciación para lasdos actividades que salen del nodo 1, A y B, son 0 y 7, respectivamente esto indica que el tiempo máslejano en el que puede comenzarse el proyecto general es el tiempo 0, lo cual en este caso significa que laactividad debe comenzar en ese punto del tiempo.

Tiempo flotante (de holgura). Después de que se han determinado los límites de tiempo para toda la red, puede determinarse el tiempo flotante, o tiempo de holgura como con frecuencia se le denomina, paraactividad. El tiempo flotante se define como la longitud de tiempo en la que puede demorarse unaactividad sin ocasionar que la duración del proyecto general exceda su tiempo programado determinación. La cantidad de tiempo flotante de una actividad se calcula tomando la diferencia entre sustiempos más lejano de iniciación y más próximo de terminación. En forma de ecuación, esto se expresa

como: F ij = LS ij – ES ij o F ij = LF ij – EF ij. Examinado la figura 5- 6 puede observarse que el tiempo flotante para la actividad B es de 7 semanas, es decir, F 15 = LF 15 – EF 15 = 9 – 2 = 7. Eso significa que esta actividad puede demorarse hasta 7 semanas. De la misma manera, la actividad D tiene un tiempo flotante de 7semanas, es decir, F 56 = LF 56 – EF 56 = 12 – 5 = 7; sin embargo, esto no significa que tanto A y B puedandemorarse 7 semanas cada una. Los cálculos del tiempo flotante para cualquier actividad suponen que lostiempos esperados de duración ocurren en otras actividades; es decir que las otras actividades ocurriránsegún se ha programado.

Examinando la actividad A de la figura 5- 6, se observa que su tiempo flotante es cero, es decir, F 12 = LF 12 – EF 12 = 6 – 6 = 0. Como se menciono antes, esta actividad es crítica, debe comenzar en el tiempo ceroy debe llevarse a cabo en las 6 semanas programadas para que el proyecto pueda terminarse en 22semanas. Examinando los tiempos flotantes de las actividades C, E, G, I, y J se observa que también soncero. Por ello la ruta crítica para la red es A – C – E – G – I – J, que es la misma ruta que se identifico

cuando se rastrearon las diferentes rutas a través de la red. En la figura 5 – 6 se sombreo la ruta crítica pararesaltar las actividades.

5 6 7



INCERTIDUMBRE EN UNA RED PERT/CPM

Estimación de los tiempos de las actividades

Al aplicar PERT/CPM a proyectos de construcción y mantenimiento, es posible contar con estimaciones

bastante precisas de los tiempos de actividades puesto que es probable que se disponga de datos históricosy dado que la tecnología que se utiliza es más o menos estable. Pero para los proyectos de tipo deinvestigación y desarrollo, en los que la tecnología cambia con rapidez y los productos no son comunes,es posible que sea difícil contar con estimaciones precisas de los tiempos de las actividades. Paracontemplar esta clase de incertidumbre, en el desarrollo del PERT se permitió a los usuarios utilizar tresestimaciones para los tiempos de cada una de las actividades: (1) el tiempo más probable (t m): el tiempoque se requiere para terminar la actividad bajo condiciones normales; (2) el tiempo pesimista (t p): eltiempo máximo que necesitaría para terminar la actividad si se encontraran demoras considerables en el proyecto; (3) el tiempo optimista (t o) el tiempo mínimo que se requiere para terminar la actividad si todoocurre en forma ideal. Utilizando estas tres estimaciones, puede calcularse un tiempo esperado para laduración de una actividad de acuerdo con la siguiente formula: 3

t o + 4 t m + t p

T e = ----------------------6

Para ilustrar el uso de la formula del tiempo esperado, suponga que la Sharp Company proporciono tresestimaciones de los tiempos que se requieren para terminar cada una de las actividades del proyecto de larasuradora en vez de los valores esperados que se utilizaron antes en los cálculos. Las estimacionesespecíficas se muestran en la tabla 5.4

Tabla 5.4. Tres estimaciones de tiempo (optimista, más probable y pesimista) para las actividades del caso de Sharp Company.

Códigode laactividad

Tiempooptimist a

(t o )

Tiempomás probabl e

(t m )

Tiempo pesimist a

(t p )

Tiempoesperad o

A 3.0 5.5 11.0 6

B 1.0 1.5 5.0 2

C 1.5 3.0 4.5 3

D 1.2 3.2 4.0 3

E 2.0 3.5 8.0 4

F 1.8 2.8 5.0 3

G 3.0 6.5 7.0 6

H 2.0 4.2 5.2 4

I 0.5 0.8 2.3 1

J 0.8 2.1 2.8 2



Utilizando la actividad F como ejemplo, estos datos indican que la actividad “fabricar el empaque” (véasela tabla 5.3 que contiene la descripción de las actividades) requerirá entre 1.8 semanas (estimaciónoptimista) y 5.0 semanas (estimación pesimista), siendo su estimación más probable que ocurriera si laactividad se repitiera varias veces es el tiempo esperado que en este caso es.

1.8 + 4(2.8) + 5.0T e = ------------------------- = 3.0

63 Las ponderaciones que se utilizan en estas fórmulas se basan en una aproximación de la distribución beta de probabilidad. Quienes desarrollaron

PERT eligieron esta distribución especifica porque es unimodal (tiene un solo valor más alto), tiene puntos finitos y no negativos y no esnecesariamente simétrica. Es probable que estas características se presenten en la distribución de los tiempos de actividad.

En la mayoría de las aplicaciones de PERT/CPM, las actividades no se repiten un número grande deveces; más bien, por lo general ocurren sólo una vez. Sin embargo, t e sigue siendo el mejor estimador único del tiempo que se requiere para una actividad.

La figura 5.7 es una representación grafica de la relación que existe entre las estimaciones de tiempooptimista (t o), más probable (t m), y esperado (t e) para una actividad; los datos que se muestran son para laactividad de “fabricar el empaque”.

Función de probabilidad de t

t m t e

t o t p

1 2 3 4 5 6

Tiempo de la actividad (semanas)

Figura 5.7. Distribución de probabilidad para los tiempos de actividad de “fabricar el empaque” para la Sharp Company

Variabilidad en los tiempos de las actividades

Si se aplica la formula t e a las tres estimaciones para cada actividad de la tabla 5.4, los t e resultantes soniguales a los valores de “tiempo esperado de terminación” que se muestran en los datos originales de laSharp Company (tabla 5.3). Se podría hacer la pregunta: “¿Qué se gana al hacer tres estimaciones? ¿Por qué no simplemente estimar los valores esperados y hacer los cálculos de PERT/CPM con base en éstos?”la respuesta a estas preguntas es que se necesita saber qué tan confiables son las estimaciones de lostiempos esperados y puede determinarse esto si se tienen las tres estimaciones. Si el tiempo requerido paraterminar una actividad es muy variable, es decir, si el intervalo de las estimaciones es muy grande,



entonces se tendrá menos confianza en el tiempo esperado que si el intervalo fuera menor. Por ejemplo, silas tres estimaciones para la actividad “fabricar el producto” fueran 2, 3 y 4 en vez de 1.8, 2.8 y 5.0 comose menciono antes, el tiempo promedio sería 3.0 días: habría más confianza en que estas cifrasmodificadas fueran más precisas puesto que tienen menor variabilidad. Un intervalo amplio de lasestimaciones representa una mayor incertidumbre y, por ello, menor confianza en el tiempo esperado quese calcula. También significa, que la probabilidad de terminar el proyecto hacia una fecha dada se reduce.

La ventaja de tener tres estimaciones de tiempos es que puede calcularse la dispersión de los tiemposde las actividades y puede utilizarse esta información para evaluar la incertidumbre de que el proyecto setermine de acuerdo con el programa. En PERT/CPM, al igual que en otros problemas estadísticoscomunes, se utiliza la varianza como medida para describir la dispersión o variación de las estimacionesde los tiempos de las actividades. Formula de la varianza es:

T p - t o 2

Varianza de los tiempos de actividad = σ 2 t -----------

6

Utilizando esta formula y aplicándola a los datos de la tabla 5.4 puede calcularse la dispersión para cadauna de las actividades del proyecto. Por ejemplo, la varianza para la actividad A es

11.0 – 3.0 2 8 2

σ2 t A = ----------------- = ----- = 1.786 6

De la misma manera, para la actividad B, la varianza es

2 2

5.0 – 1.0 4σ2

t B = ------------- = ---- = 0.44

6 6

Los cálculos completos para todas las actividades se resumen en la tabla 5.5

Tabla 5.5. Varianzas de las actividades para el caso de la Sharp Company

Código delaactividad

Varianza 2

σ t A 1.78

B o.44C 0.25

D 0.22

E 1.00

F 0.28

G 0.44

H 0.28

I 0.09

J 0.11



A partir de estos datos puede observarse que la actividad A tiene un mayor grado de incertidumbre que laJ, como se evidencia con una varianza de 1.78 en comparación con un valor de 0.11. Esto puedeverificarse examinando la tabla 5.4; aquí, el intervalo de la actividad A es de 3.0 a 11.0, en tanto que elintervalo de la actividad J es de 0.8 a 2.8. Por tanto, la varianza proporciona de hecho una medida decertidumbre en las estimaciones de las actividades.

Variabilidad en la fecha de terminación del proyecto

Al calcular la ruta critica se utilizaron los tiempos esperados de duración para los tiempos de lasactividades; lo que se obtuvo fue una duración esperada para el proyecto puesto que es probable que cadaactividad varié en una duración en vez de ser fija (como se menciono en la tabla 5.4). El tiempo determinación del proyecto será variable, y en particular si existen variaciones considerables en lasactividades de la ruta critica. Esto no necesariamente significa que se extienda o amplié el tiempo determinación del proyecto. Si las variaciones en los tiempos de las actividades de la ruta crítica dan comoresultado que uno o más de los tiempos sean mayores que lo esperado, entonces el tiempo de terminacióndel proyecto será mayor que el valor calculado. Se utiliza el término “probable” porque también es posibleque variaciones en las actividades sobre no críticas pudieran hacer que, si se demoran lo suficiente, dieran

como resultado una nueva ruta crítica que tuviera una duración mayor que la ruta que antes era critica.Puesto que la varianza de una actividad da una medida de la variación en la incertidumbre, puede

utilizarse para calcular la variación total en el tiempo esperado de terminación del proyecto, se toma lavarianzas (σ2), de las actividades que forman la ruta critica. Al igual que con una calcular la varianza del

tiempo de terminación del proyecto (σ2) simplemente se suman las varianzas (σ2). De las actividades de laruta critica. Al igual que con una sola actividad, conforme mayor sea la varianza compuesta (σ2), más

probable es que el tiempo real que se requiera para terminar el proyecto difiera del tiempo esperado determinación.

Para ilustrar este concepto, examinar el caso de la Sharp Company. Recordar la figura 5.6 que la rutacritica incluía las actividades A, C, E, G, I y J, con un tiempo esperado de terminación de 22 semanas. Por tanto, la varianza para el proyecto es:

σ2 = σ2 tA + σ2 tB + σ2tE + σ2tG + σ2tI + σ2tJ = 1.78 + 0.44 +0.25 + 0.22 +1.00 +0.28 +0.44 + 0.28 + 0.09 +0.11 = 4.89 semanas

De la estadística básica se sabe que la desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de la varianza; por tanto, la desviación estándar para la terminación del proyecto es:

σ = √ σ2 = √ 4.89 ≈ 2.21 semanas

El hecho de que la varianza sea 4.89 (y/o que la desviación estándar sea 2.2 semanas) con respecto altiempo esperado de terminación de 22 semanas nos señala algo en relación a la variabilidad si se supieraalgo acerca de la distribución de probabilidad que describe los tiempos posibles de duración del proyecto.

Recordar que quienes desarrollaron PERT utilizaron una distribución beta para describir las variaciones

en los tiempos de las actividades. En estadística, se sabe que los tiempos de terminación de in proyecto noestán descritos por una distribución beta, sino que siguen una distribución aproximadamente normal o enforma de campana. 4 la figura 5.8 es una representación grafica de lo que esto significa en el caso de laSharp Company.

Tiempo esperado de terminación



Clave: μ = 22 semanasσ = 2 semanas

x - μZ = -----------

σ

16 18 20 22 24 26 28 Escala x−3 - 2 - 1 0 1 2 3 Escala z

Figura 5.8. Variación de los tiempos de terminación del proyecto para el caso de la Sharp Company: distribución normal

4 Estos resultados se basan en el teorema del limite central, que señala que la suma de un numero grande de tiempos independientes de actividadesse distribuirá en forma aproximadamente normal, sin importar cual sea la distribución de los tiempos individuales de las actividades.

Puesto que la variación en el tiempo de duración del proyecto sigue una distribución normal, puedeutilizarse lo que se sabe acerca de esta distribución para hacer un planteamiento de probabilidades conrespecto a una fecha especifica de terminación del proyecto; dada una fecha objetivo especifica determinación del proyecto, puede calcularse la probabilidad de que el proyecto se termine en esa fecha o

antes. Como ejemplo, suponer que la Sharp Company, ha indicado que sería deseable terminar el proyectoantes de 6 meses (26 semanas), y le gustaría conocer la probabilidad de que esto ocurriera. Paradeterminar este valor de la probabilidad, primero se convierte el valor de 26 semanas a un valor de Z. sesabe que el valor de Z está expresado mediante la siguiente función:

x - μZ = ------------

σ

Por tanto, x = 26, μ = 22 (tiempo esperado de terminación), y σ = 2, el valor de Z es

26 – 22

Z = ------------- = 22

Utilizando Z = 2.0 y una tabla para la distribución normal, se encuentra que la probabilidad asociada (y por ello el porcentaje del área total que se encuentra bajo la curva y a la izquierda de x = 26) es 0.500 +0.4472 = 0.9972. La probabilidad de que el proyecto se termine en 26 semanas o menos es 0.9772; por tanto, la Sharp Company. Puede tener confianza en que el proyecto pueda terminarse hacia esa fecha.



Intercambios de tiempo y costo

Factores de tiempo y costo

Se ha concentrado la atención en los aspectos del tiempo PERT/CPM y en que debe tenerse cuidado desatisfacer una fecha programada de terminación. No se ha analizado el costo de los recursos asociados concumplir con una fecha específica de terminación, o de los costos que estarían relacionados con reducir eltiempo de terminación.

Muchas actividades de una red pueden reducirse, pero sólo aumentando los costos. Por ejemplo, en lared de la Sharp Company, es probable que pudieran reducirse los tiempos de la actividad C, “ordenar yrecibir los materiales para el producto”, y de la actividad D, “ordenar y recibir los materiales para elempaque” invirtiendo usd adicionales para acelerar los pedidos y/o estando dispuestos a pagar cantidadesextra por entregar más prontas de materiales. De la misma manera, los tiempos de las actividad defabricación E y F, y de los tiempos de las actividades de prueba, G y H, pueden reducirse utilizandoequipo y/o mano de obra adicionales, todo lo cual añade costos extra para la terminación del proyecto. Sinembargo, las actividades no pueden más allá de cierto punto, sin importar la cantidad de dinero adicionalque se invierta. Por ello, existe un límite mínimo sobre el tiempo total que se requiere para terminar un proyecto; más de este punto el costo simplemente se incrementa sin una reducción adicional en el tiempode terminación del proyecto.

La figura 5.9 es una representación grafica de la relación entre el tiempo y el costo en un proyectorepresentativo. Cada punto de esta curva de intercambio de tiempo y costo representa un programa factible para el proyecto.

Costo del proyecto

• Programa de tiempo mínimo

Programa de costo mínimo

CostoMínimo •



Figura 5.9. Curva de intercambio de tiempo y costo

Observar que existe un programa de tiempo mínimo. Así como también un programa de costo mínimo.Sólo este programa y los que están sobre la curva y entre los dos extremos son programas factibles.

Con el siguiente ejemplo se ilustra como realizar la construcción de una curva de tiempo y costo, asícomo también otros conceptos de intercambio entre tiempo y costos. Suponer que se tiene un proyectoformado por ocho actividades. Los datos asociados con la red, así como también las relaciones de precedencia para las actividades se muestran en la figura 5.10.

[E] [F] [7, 5, 12] [12, 3, 15]

(9, 2, 14) (14, 2, 17)

[A] [B] [C] [D] [0, 3, 3] [3,4, 7] [7, 6, 13] [13, 4,17]

(0, 0, 3) (3, 0, 7) (7, 0, 13) (13, 0, 17)

[G] [H] [3, 6, 9] [9, 3, 12] (4, 1, 10) (10, 1, 13)

Figura 5.10. Diagrama de red para el proyecto de ejemplo

Los cálculos de la ruta crítica (anotados en la red) muestran que las actividades A, B, C y D son críticas yque el tiempo esperado de terminación es 17 días (suponiendo que los tiempos de las actividades seexpresen en días).

Para elaborar una curva de intercambio de tiempo y costo, se comienza suponiendo que el “programade costo mínimo” que se muestra en la figura 5.9 es el programa de 17 días que se muestra en la figura5.10. Reducir el tiempo de terminación a menos de 17 días requiere que se reduzcan algunos de lostiempos de las actividades los cual, como se ha mencionado, requiere recursos adicionales. Esto nosignifica que deban reducirse los tiempos de todas las actividades en forma simultanea; más bien, debenreducirse en forma secuencial las actividades para que se logre la máxima reducción posible de tiempo por dólar invertido.

Reducción de los tiempos de las actividades (tiempos de “urgencia” ´crashing´, en ingles)

Para determinar qué actividades debe reducirse y en cuánto, es necesario saber: (1) el costo esperadoasociado con cada tiempo esperado de actividad; (2) el tiempo más breve posible para cada actividad, si seaplica el máximo de recursos, y (3) el costo esperado para la actividad y asociado con el tiempo más corto posible para ésa actividad. Se utiliza la siguiente notación para representar estos factores:

t n = tiempo normal (esperado) para la actividad

cn = costo asociado con el tiempo normal de la actividad

1 2 3

5

7

4

6



t c = tiempo reducido: el menor tiempo posible para terminar la actividad (reducción máxima)

cc = costo de reducción: el costo asociado con el menor tiempo posible para las actividades (reducción

máxima)

Las relaciones entre t n, cn, t c y cc se muestran en la figura 5.11

Costo de la actividad

cc Operación con la reducción

máxima posible

cn Operación normal

t c t n Tiempo de terminación de las actividades

Figura 5.11. Relación entre los tiempos y los costos normales y reducidos para las actividades

Los datos normales y de reducción de tiempos y costos asociados con el ejemplo de la red de ochoactividades se muestran en la tabla 5.6

actividad

Tiemponormal (t n)

Costonormal (cn)

Tiemponormal (t c)

Costo deUrgencia (cc)

A 3 $ 300 2 $ 360

B 4 $ 500 2 $ 900

C 6 $1000 3 $ 1600

D 4 $ 600 3 $ 650

E 5 $ 1200 2 $1500

F 3 $ 500 3 $ 500

G 6 $ 800 5 $ 1050

H 3 $ 900 2 $ 1200

Tabla 5.6. Datos normales y de reducción para el ejemplo del proyecto con ocho actividades

Para utilizar estos datos con el objeto de determinar qué actividades deben reducirse y en que medida,deben calcularse dos factores: (1) la reducción máxima de tiempo para cada actividad, que se expresa de lasiguiente manera:

t D = t n – t c



(2) el costo de reducción por unidad de tiempo que se expresa como sigue:

Costo emergencia - Costo normal cc - cn cc – cn S = ---------------------------------------- = ----------- = ----------

Tiempo normal – Tiempo emergencia t n – t c t D

Para ilustrar esto, la actividad C tiene un tiempo normal de 6 días con un costo asociado de $1000 y untiempo máximo de reducción de 3 días con un costo asociado de $1600.

Por tanto, el tiempo máximo de reducción para la actividad es t D = t n – t c = 6 – 3 = 3 días. El costodiario asociado para alcanzar esta reducción es

cc - cn 1600 - 1000 600S = ----------- = ---------------- = -------- = $200 por día

t n – t c 6 - 3 3Ejecutando las mismas operaciones para las demás actividades, pueden determinarse todas las reduccionesmáximas de tiempo y sus costos asociados por día. Estos datos se muestran en la tabla 5.7.

Tabla 5.7. Máxima reducción y costos de emergencia por unidad de tiempo para el proyecto de ejemplo

actividad

Tiemponormal (cn )

Costonormal (cn )

Tiempo deurgenciat c )

Costo deurgencia(cc)

Reducciónmáximadeurgencia(t D =t n –t c )

Costo de urgencia por unidad de tiempo

cc- cn

S = ----------t D

A 3 $ 300 2 $ 360 1 $ 60

B 4 $ 500 2 $ 900 2 $ 200

C 6 $ 1000 3 $ 1600 3 $ 200

D 4 $ 600 3 $ 650 1 $ 50

E 5 $ 1200 2 $ 1500 3 $ 100

F 3 $ 500 3 $ 500 0 $ 0

G 6 $ 800 5 $ 1050 1 $ 250H 3 $ 900

$ 58002 $ 1200

$ 77601 $ 300

Una vez que se han obtenido los datos de la tabla 5.7, es posible comenzar con el proceso de reducción. El procedimiento que se utiliza consiste en examinar las actividades de la ruta crítica (que se muestra en lafigura 5.10) y elegir la actividad que tenga el menor costo de reducción por unidad y tiempo. Se reduceesa actividad en una unidad de tiempo a la vez y después se revalúa la red para identificar la ruta crítica. Siaparecen rutas críticas paralelas, deben reducirse todas ellas en forma simultánea en etapas de reducciónsubsecuentes. Puede continuarse este proceso hasta que todas las actividades de cualquier ruta crítica se

hayan reducido en su totalidad.Comenzando con la figura 5.10 se observa que las actividades A, B, C y D se encuentran todas sobre la

ruta crítica. Dado que la actividad D tiene el menor costo de reducción por unidad de tiempo, $50, sereduce esta actividad en un día. La red que resulta se muestra en la figura 5.12.

[E] [F] [7, 5, 12] [12, 3, 15]

(8, 1, 13) (13, 1, 16)

5



[A] [B] [C] [D]

[0, 3, 3] [3,4, 7] [7, 6, 13] [13, ⁄ 4 3, 16] (0, 0, 3) (3, 0, 7) (7, 0, 13) (13, 0, 16)

Tiempo = 16 días [G] [H] Costo = 5800

[3, 6, 9] [9, 3, 12] + 50(4, 1, 10) (10, 1, 13) -----------

$5850

Figura 5.12. R ed después de reducir D en un día.

Las actividades A, B, C y D siguen siendo las actividades críticas en la figura 5.12, la actividad D se hareducido a su máximo posible (1 día). Puesto que la actividad A tiene el menor costo de reducción por unidad de tiempo y se encuentra sobre la ruta crítica, ahora se procede a reducir esta actividad. La figura5.13 es la nueva red después de reducir la actividad A en un día.

[E] [F] [6, 5, 11] [11, 3, 14]

(7, 1, 12) (12, 1, 15)

[A] [B] [C] [D] [0, ⁄ 32, 2] [2, 4, 6] [6, 6, 12] [12, 3, 15]

(0, 0, 2) (2, 0, 6) (6, 0, 12) (12, 0, 15)Tiempo = 15 días

[G] [H] Costo = 5850 [2, 6, 8] [8, 3, 11] + 60

(3, 1, 9) (9, 1, 12) -----------$5910

Figura 5.13. R ed después de reducir A en un día.

La ruta crítica sigue incluyendo las actividades A, B, C y D, pero las actividades A y D se han reducido asu máximo, por tanto, sólo las actividades B y C son elegibles para reducción. Ambas actividades tienen elmismo costo de reducción por unidad de tiempo; sin embargo, reducir la actividad B reduce la longitudde dos rutas. Por ello, debe reducirse enseguida la actividad B.

De la tabla 5.7 se observa que la máxima reducción para la actividad B es 2 días. Esto indica que eltiempo de la actividad podría reducirse en 2 días en vez de uno solo; pero sólo puede hacerse unareducción de un día. Si se redujeran 2 días en una sola etapa, podría pasarse por alto una ruta crítica

paralela, lo cual daría como resultado una red no válida. Por tanto, se reduce la actividad B en un solo día.La red resultante para esta etapa se muestra en la figura 5.14.

[E] [F] [5, 5, 10] [10, 3, 13]

(6, 1, 11) (11, 1, 14)

[A] [B] [C] [D]

1 2 3 7

4

6

1 2 3

5

7

4

6

1 2 3

5

76



[0, 2, 2] [2, ⁄ 43, 5] [5, 6, 11] [11, 3, 14] (0, 0, 2) (2, 0, 5) (5, 0, 11) (11, 0, 14)


[2, 6, 8] [8, 3, 11] + 200(2, 0, 8) (8, 0, 11) -----------

$6110

Figura 5.14. R ed después de reducir B en un día.

Al reducir B en un día, se crean dos rutas críticas: A – B – C – D y A – G – H – D. ambas actividades A yD, son comunes a las dos rutas; sin embargo, estas actividades se han reducido a su máximo. Por tanto, sedebe reducir en forma simultánea (en un día) una actividad en cada una de las rutas. Puesto que laactividad B todavía puede reducirse en un día antes de llegar a su reducción máxima, es posible utilizar elmismo razonamiento que se empleo en la etapa anterior para elegir esta actividad para la ruta crítica A – B – C –D. Dado que el costo de reducción por unidad de tiempo para la actividad G es menor que para laactividad H (observar la tabla 5.7), debe decidirse reducir la actividad G en la ruta crítica A – G – H – D.la red que resulta después de reducir estas actividades en forma simultanea se muestra en la figura 5.15.

[E] [F] [4, 5, 9] [9, 3, 12]

(5, 1, 10) (10, 1, 13)

[A] [B] [C] [D] [0, 2, 2] [2, ⁄32, 4] [4, 6, 10] [10, 3, 13]

(0, 0, 2) (2, 0, 4) (4, 0, 10) (10, 0, 13)Tiempo = 13 días

[G] [H] Costo = 6110

[2, ⁄ 65, 7] [7, 3, 10] + 200

(2, 0, 7) (7, 0, 10) + 250------------$6560

Figura 5.15. R ed después de reducir B y G en un día.

Observar que con cada nueva red el costo se incrementa. En la red inicial (figura 5.10), el costo para el programa de 17 días era $ 5800. El programa de 13 días que se muestra en la figura 5.15 da costos de$6560.

En la figura 5.15 son críticas las mismas dos rutas que lo eran en la figura 5.14, pero ahora lasactividades B y G se han reducido al máximo. Las únicas actividades restantes que son elegibles parareducción son las actividades C y H. reduciendo en forma simultánea estas actividades en un día cada unade ellas y volviendo a calcular las rutas críticas, se obtiene la red que se muestra en la figura 5.16.

[E] [F] [4, 5, 9] [9, 3, 12]

(4, 0, 9) (9, 0, 12)

[A] [B] [C] [D] [0, 2, 2] [2, 2, 4] [4, ⁄ 65, 9] [9, 3, 12]

(0, 0, 2) (2, 0, 4) (4, 0, 9) (9, 0, 12)

4

1 2 3

5

7

4

6

1 2 3

5

7

4

6




[2, 5, 7] [7, ⁄ 32, 9] + 200(2, 0, 7) (7, 0, 9) + 300

------------$7060

Figura 5.16. R ed reducida en su totalidad.

En este punto, todas las actividades de la red son críticas; por lo tanto, para hacer una mayor reducciónen el tiempo total del proyecto, debe hacerse una reducción simultanea en las tres rutas críticas A – B – C – D, A – G – H – D y A – B – E – F. pero todas las actividades de la ruta A – B – C – D se han reducido almáximo; por lo tanto, la red completa se ha reducido a su máximo.La tabla 5.8 es un resumen de los resultados del proceso de reducción para el proyecto.

No. del Programadel

proyecto

Tiempo determinacióndel proyecto

(días)

Costo stotale

s($)

Últimaactividad

reducida

Costos por díaque seahorra

($)

Actividade sde la

ruta crítica1 17 $

5800 Ninguna - A, B, C, D

2 16 $5850

[D] $ 50 A, B, C, D

3 15 $5910

[A] $ 60 A, B, C, D

4 14 $6110

[B] $ 200 A, B, C, DA, G, H, D

5 13 $6560

[B][G]

$ 200$ 250

A, B, C, DA,G, H, D

6 12 $

7060

[C]

[H]

$ 200

$ 300

A, B, C, D

A, B, E, F

Tabla 5.8. Resumen del proceso de reducción para el proyecto de ejemplo.

En estos datos, puede observarse que el tiempo mínimo en el que puede terminarse el proyecto es 12 días con uncosto de $ 7060. Esto significa que con $ 1260 por encima del costo básico de $5800, el tiempo de terminación del proyecto puede reducirse en 5 días (17 – 12 = 5)

Si se trazan en una grafica los datos de “tiempo de terminación del proyecto” y “costos totales” que aparecen enlas columnas respectivas de la tabla 5.8, el resultado sería la curva de intercambio de tiempo y costo para el proyecto,y esta curva se muestra en la figura 5.17

Figura 5.17. Curva de intercambio de tiempo y costo para el proyecto de ejemplo

7200

7000 6

6800

6600 5



6400

62004

60003

5800 2 1

5600

10 12 14 16 18 20 22 24Esta curva presenta un resumen completo de los programas posibles y señala cuál es el programa más eficiente, así

como también las sucesivas reducciones en el tiempo de terminación del proyecto. Esto no quiere decir que el proyecto deba terminarse en 12 días, que es el tiempo mínimo de terminación; más bien, los administradores debenelegir el programa que satisfaga requerimientos tanto de tiempo como de costo.

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