Upload
mas-cipul
View
1.968
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Kalkulus bab tentang Persamaan & Pertidaksamaan untuk mendownload versi *.doc, silahkan klik link berikut :http://bit.ly/dn728o
Citation preview
- 1 -
BAB I
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
Sistem persamaan ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan.
Dalam bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis yang
sebidang, di bidang ekonomi atau model regresi statistik sering ditemukan sistem
persamaan dengan banyaknya persamaan sama dengan banyaknya variabel dalam
hal memperoleh jawaban tunggal bagi peubah (variabel).
Dalam bab ini, akan dibahas persamaan dan pertidaksamaan linear,
kuadrat, dan nilai mutlak serta penerapannya.
TIK : Setelah mempelajari pokok bahasan ini, mahasiswa dapat menyelesaikan
persamaan dan pertidaksamaan yang diberikan.
1.1. Persamaan linear dan kuadrat
Jika ditinjau dari penampilan peubahnya, persamaan dapat dibedakan
menjadi persamaan linear dan persamaan tidak linear. Jika ditinjau dari banyak
peubahnya, persamaan linear terbagi atas persamaan dengan satu peubah, dua
peubah, atau lebih dari dua peubah.
Persamaan tidak linear terbagi atas persamaan polinomial dengan satu
peubah, dua peubah, atau lebih dari dua peubah, serta persamaan pecah rasional
yang pembilang dan penyebutnya berupa polinomial.
1
- 2 -
Persamaan Linear
Persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk :
dengan adalah bilangan- bilangan real, dan
adalah peubah.
Secara khusus, persamaan linear dengan satu peubah mempunyai bentuk
ax + b = 0, a 0
Jika semesta pembicaraannya adalah R (himpunan bilangan real), selesaian
persamaan di atas dapat diperoleh dengan menambahkan lawan b, yaitu –b pada
kedua ruasnya, kemudian kedua ruas pada hasilnya dikalikan dengan kebalikan a,
yaitu .
Secara matematik proses penyelesaian tersebut dapat ditulis sebagai :
(ax + b – b) = (0 – b)
(ax) = ( – b)
x = .
Contoh :
Carilah selesaian persamaan 2x + 8 = 10.
Penyelesaian :
2x + 8 = 10
2x = 10 – 8
2x = 2
2
- 3 -
x = 1.
Persamaan Kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah :
ax2 + bx + c = 0 , a 0
Bilangan real t disebut akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, jika
memenuhi at2 + bt + c = 0.
Untuk mendapatkan akar persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan tiga cara,
yaitu: pemfaktoran, melengkapkan kuadrat, dan rumus abc.
Contoh :
Carilah akar persamaan kuadrat x2 – 4x – 5 = 0.
Penyelesaian :
a. Cara pemfaktoran :
x2 – 4x – 5 = 0
(x – 5)(x + 1) = 0
Diperoleh x1 = 5 atau x2 = -1.
b. Cara melengkapkan kuadrat :
x2 – 4x – 5 = 0
x2 – 4x + 22 – 22 – 5 = 0
(x – 2)2 – 9 = 0
(x – 2)2 = 9
x – 2 = 3
3
- 4 -
x = 2 3
Diperoleh x1 = 2 + 3 = 5 atau x2 = 2 – 3 = -1.
c. Dengan rumus abc, yaitu :
x2 – 4x – 5 = 0
a = 1, b = -4, dan c = -5
= = = 2 3
Diperoleh x1 = 2 + 3 = 5 atau x2 = 2 – 3 = -1.
Persamaan Derajat Tinggi
Pembicaraan persamaan polinomial dengan derajat lebih dari dua, dibatasi
hanya pada derajat tiga, dengan penekanan pada dua rumus, yaitu:
x3 – a3 = (x – a)(x2 + ax + a2) dan
x3 + a3 = (x + a)(x2 – ax + a2).
Untuk pemfaktoran persamaan derajat tinggi dapat digunakan metode Horner.
Contoh :
Carilah bentuk pemfaktoran dari x3 – 8 dan 8x3 – 27
Penyelesaian :
x3 – 8 = x3 – (2)3 = (x – 2)(x2 + 2x +4)
8x3 – 27 = (2x)3 – (3)3 = (2x – 3)(4x2 + 6x +9)
1.2. Pertidaksamaan linear dan kuadrat
4
- 5 -
Pada dasarnya untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan dilakukan dengan
langkah-langkah berikut:
a. Ubahlah bentuk pertidaksamaan menjadi bentuk persamaan.
b. Carilah selesaian persamaan pada langkah a.
c. Berilah tanda dari nilai-nilainya.
Contoh :
1. Tentukan selesaian dari x2 – 3x + 2 > 0.
Penyelesaian :
x2 – 3x + 2 = 0 (langkah a)
(x – 1)(x – 2) = 0
x = 1 atau x = 2 (langkah b)
Dalam garis bilangan
+++++++ ------------ ++++++++ (langkah c)
1 2
Selesaiannya adalah x < 1 atau x > 2.
2. Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi x2 – 3x – 4 0.
Penyelesaian :
x2 – 3x – 4 = 0
(x + 1)(x – 4) = 0
x = –1 atau x = 4
Dalam garis bilangan
5
- 6 -
+++++++++ ------------ +++++++++++
–1 4
Selesaiannya adalah –1 x 4.
Berikut ini disajikan definisi nilai mutlak yang diperlukan untuk menyelesaikan
pertidaksamaan dengan nilai mutlak.
Untuk pertidaksamaan nilai mutlak, perlu diperhatikan hal-hal berikut:
1.
2.
3.
4.
Contoh :
Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi < 4.
Penyelesaian :
Menurut pengertian nilai mutlak diperoleh -4 < x +2 < 4 sehingga
selesaiannya adalah -6 < x < 2.
1.3. Penggunaan persamaan linear dan kuadrat
Contoh:
6
- 7 -
Tentukan banyaknya alkohol yang terdapat dalam 60 ml larutan alkohol berkadar
30%.
Penyelesaian:
Yang dimaksud dengan kadar alkohol adalah perbandingan antara volume alkohol
murni dengan volume larutan seluruhnya. Jadi banyaknya alkohol yang terdapat
dalam 60 ml larutan alkohol berkadar 30% adalah
Latihan 1.
1. Tentukan volume dan kadar alkohol yang diperoleh dari penambahan 50 ml
air kedalam 150 ml alkohol berkadar 40%.
2. Tentukan banyaknya air yang harus ditambahkan pada 50 ml larutan alkohol
berkadar 25% agar menjadi larutan alkohol berkadar 15%, dan tentukan pula
volume larutan alkohol berkadar 15% yang dihasilkan.
3. Seorang mahasiswa diminta untuk membuat 100 ml larutan alkohol berkadar
15%. Jika larutan alkohol yang dimiliki berkadar 40%, maka tentukan
banyaknya alkohol berkadar 40% yang harus digunakan, agar hanya
diperoleh larutan alkohol yang dibutuhkan saja.
4. Dengan menggunakan pemfaktoran tentukan akar dari persamaan:
a. x2 – 3x + 2 = 0
b. x2 + 3x – 4 = 0
c. 2x2 – 3x – 5 = 0
5. Dengan melengkapkan kuadrat tentukan akar dari persamaan:
a. x2 – 4x – 12 = 0
7
- 8 -
b. x2 – 3x – 4 = 0
c. 2x2 + 3x – 5 = 0
6. Dengan mengunakan rumus abc tentukan akar dari persamaan:
a. x2 + 4x – 21 = 0
b. x2 – 3x + 2 = 0
c. –2x2 + 3x – 1 = 0
7. Carilah bentuk pemfaktoran dari polinomial di bawah ini !
a. x3 + 81
b. 27x3 – 81
c. 27x3 +
d. x3 +
8. Tentukan nilai x yang memenuhi
a. x3 + 4x2 + x – 6 = 0
b. -x3 + 13x – 12 = 0
c. x3 + 2x2 - 7x + 4 = 0
d. x3 - 3x2 - 2x + 2 = 0
9. Tentukan selesaian dari :
a. x2 + 6x + 8 < 0
b. 2x2 + 3x – 5 > 0
c. x3 + 4x2 + x – 6 < 0
d. x3 + 2x2 - 7x + 4 0
e. 0 < < 1
8
- 9 -
f.
g.
10. Untuk menghindari resiko tabungan, Andi ingin mendepositokan uangnya
sejumlah Rp35.000.000,00 sebagian di bank A, sebagian di bank B, dan
sebagian di bank C, dengan bunga masing-masing 16%, 17% dan 18% per
tahun. Diketahui Andi setiap tahunnya menerima bunga deposito dari ketiga
bank di atas sebesar Rp5.960.000,00, dua kali besar tabungan Andi di bank C
adalah Rp4.000.000,00 lebih banyak dibandingkan dengan jumlah tabungan
Andi di bank A dan B. Carilah besar tabungan Andi pada masing-masing
bank.
@@@
9