Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Design by: Yani Pieter Pitoy

Peserta Diklat Komputer Untuk Pembelajaran Matematika SMK

PPPG Matematika Yogyakarta (9-21 April 2007)

DESKRIPSI PROGRAM

Program ini mencakup pembahasan tentang Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat. Berkaitan dengan materi tersebut, program ini juga memuat secara singkat materi Fungsi Kuadrat yang mempunyai hubungan yang sangat erat dengan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat.Menu Utama Fungsi Kuadrat Persamaan Kuadrat Pertidaksamaan Kuadrat

Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

Tujuan

Pembelajaran

Dengan program ini diharapkan:

1. Siswa dapat memami kembali pengertian fungsi kuadrat

2. Siswa dapat memahami konsep persamaan kuadrat

3. Siswa dapat menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan persamaan kuadrat

4. Siswa dapat memahami konsep pertidaksamaan kuadrat

5. Siswa dapat menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan pertidaksamaan kuadrat.Menu Utama Fungsi Kuadrat Persamaan Kuadrat Pertidaksamaan Kuadrat

Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

Menu Utama

• FUNGSI KUADRAT

• PERSAMAAN KUADRAT

• PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Menu Utama Fungsi Kuadrat Persamaan Kuadrat Pertidaksamaan Kuadrat

Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

5

FUNGSI KUADRAT

(pengenalan/mengingat kembali)

Bentuk Umum:

f : x ax2 + bx + c, a 0 (notasi fungsi)

f : (x) ax2 + bx + c, a 0 (notasi fungsi)

y = ax2+bx+c, a 0 (persamaan grafik fungsi)

TIP

Perhatikan baik-baik nilai a, b dan c. Nilai a

tidak boleh 0………….. Mengapa….???

Contoh


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

6

FUNGSI KUADRAT

(pengenalan/mengingat kembali)

Syarat a 0 mengandung pengertian nilai a

tidak boleh nol, karena kalau nilai a menjadi

nol, maka suku x2 akan hilang, sehingga

bentuk umum fungsi kuadrat y=ax2+bx+c

akan menjadi bentuk y = bx + c

(fungsi linier)

Contoh


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

kembali

Contoh:

1. y = 2x2 + 3x + 1 grafik

2. y = -x2 + 4x grafik

3. y = 3x2 grafik

4. y = ax2 grafik

FUNGSI KUADRAT


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

Klik di sini

untuk

peragaan

grafik fungsi

kuadrat

selengkapnya

bentuk grafik fungsi kuadrat dengan mengganti nilai2.xls

y = 2x2 + 3x + 1


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

kembali

Klik di sini

untuk

peragaan

grafik fungsi

kuadrat

selengkapnya


y = -x2 + 4


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

kembali

Klik di sini

untuk

peragaan

grafik fungsi

kuadrat

selengkapnya


y = 3x2


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

kembali

Klik di sini

untuk

peragaan

grafik fungsi

kuadrat

selengkapnya


11

Grafik fungsi y = a x2

Perhatikan

perubahan nilai a

dan akibatnya

terhadap

perubahan

bentuk gambar

kembali


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

Klik di sini

untuk

peragaan

grafik fungsi

kuadrat

selengkapnya


PERSAMAAN

KUADRAT

Pengertian

Bentuk-bentuk persamaan kuadrat

Menentukan Himpunan Penyelesaian

Diskriminan

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar

Menyusun Persamaan Kuadrat


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

Persamaan Kuadrat adalah persamaan

dalam x dengan pangkat atau derajat x

yang tertinggi adalah dua.

Bentuk Umum : ax2 + bx + c = 0, a 0

Pengertian

Persamaan Kuadrat

Bagaimana hubungannya dengan Fungsi Kuadrat…...


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

Dengan demikian dapat juga

kita simpulkan bahwa

persamaan kuadrat terjadi

pada saat fungsi kuadrat

memiliki nilai y = 0

Perhatikan grafik fungsi y = x2 - 4 di bawah ini.

Grafik melalui titik (-2,0) dan (2,0). Nilai -2 dan 2

diperoleh pada saat nilai y = 0 (selanjutnya disebut akar-

akar persamaan kuadrat). Sehingga fungsi di atas dapat

dituliskan sebagai

x2 – 4 = 0 (memenuhi bentuk umum persamaan kuadrat)


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

Bentuk-bentuk persamaan kuadrat

1. Persamaan kuadrat

sempurna/lengkap

Bentuk Umum : ax2+bx+c=0, a, b, c R, a 0

2. Persamaan kuadrat sejati/murni

Bentuk Umum : ax2+c=0, a, c R, a 0

3. Persamaan kuadrat tidak lengkap

Bentuk Umum : ax2+bx=0, a,b R, a 0


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

kembali

“Menentukan himpunan penyelesaian

disebut juga menentukan akar-akar

persamaan kuadrat (Dalam fungsi

kuadrat equivalen dengan menentukan

pembuat nol fungsi/menentukan titik(-

titik) potong dengan sumbu x”

Cara menyelesaikan:Memfaktorkan Melengkapkan Kuadrat Sempurna Menggunakan rumus

Menentukan

Himpunan Penyelesaian


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

kembali

Menentukan

Himpunan Penyelesaian dengan

memfaktorkan

Konsep dasar :

Menentukan dua bilangan dengan hasil kali

dan hasil penjumlahan yang sama.

Contoh : 2 bilangan dengan hasil kali 8 dan

hasil penjumlahan -6 adalah -4 dan -2Uji:

-4 x (-2) = 8

-4 + (-2) = -6LATIHAN SOAL….!!!!


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

KEMBALI

Tentukan dua bilangan yang

memenuhi syarat di bawah ini:

Hasil Kali Hasil Penjumlahan

6 5

9 6

-6 -1

10 -7

29 -30

-20 -19

TES HASIL…..


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

TES jawaban 2 bilangan.xls

Menentukan

Himpunan Penyelesaian dengan

memfaktorkan

Bentuk dasar persamaan yang harus dibentuk:

Tempat

mengisi Bil. I

Tempat

mengisi Bil. II

Perhatikan baik-baik tanda yang

menyertai bilangan itu…!!!


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

KE MENU AWAL

Contoh #1 :

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dari x2+5x+6=0

Langkah 1:

Tentukan dua bilangan yang hasil kalinya = a.c dan hasil jumlahnya =b

(ingat bentuk umum Pers. Kuadrat : ax2+bx+c=0

Langkah 2:

Bentuklah persamaan kuadrat dalam bentuk:

atau (x )(x )=0 karena 1x=x

01

)1)(1( xx

01

)1)(1( xx


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

KE MENU AWAL

Langkah 3:

Tentukan dua bilangan yang hasil kalinya = a.c dan hasil jumlahnya =b.

hasil kali a . c = 1 . 6 = 6

hasil jumlah b=5.

Diperoleh dua bilangan itu adalah +2 dan +3

Langkah 4:

Masukkan dalam bentuk (x )(x )=0

Sehingga diperoleh (x+2)(x+3)=0

Langkah 5:

Selesaikan secara aljabar : x+2 = 0 atau x+3=0

Diperoleh x=-2 atau x=-3

Ditulis dalam bentuk himp. penyelesaian: {-2,-3}

01

)1)(1( xx


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

KE MENU AWAL

Contoh #2 :

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dari 2x2 – x – 3 = 0

Langkah 1:

Hasil kalinya = a.c = 2.(-3) = -6

hasil jumlahnya =b=-1

Langkah 2:

Tentukan dua bilangan yang hasil kali -6 dan hasil penjumlahan -1 diperoleh angka 2 dan -3

Langkah 3:

masukkan dalam bentuk dasar

02

)32)(22( xx

02

)2)(2( xx


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

KE MENU AWAL

Langkah 4:

Selesaikan secara aljabar

Diperoleh (x+1)(x+3)=0

x=-1 atau x=-3

Himpunan penyelesaian : {-1,-3}

02

)32)(22( xx

KE MENU AWAL


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

Contoh #3 :

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dari 3x2–6x=0

Penyelesaian

Faktorkan dengan ‘mengeluarkan’ faktor yang sama dari kedua suku di ruas

kanan, diperoleh

3x(x-2)=0

3x=0 atau x-2=0

Diperoleh x=0 atau x=2

Himpunan penyelesaian: {0,2}


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

KE MENU AWAL

Contoh #4 :

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dari x2–4=0

Penyelesaian

Ingat bentuk (x-a)(x+a)=x2-a2

Sehingga bentuk x2-4=0 dapat ditulis dalam bentuk x2 – 22 = 0

(x-2)(x+2)=0

x-2=0 atau x+2=0

x=2 atau x=-2

Himpunan penyelesaian {-2,2}

KE MENU AWAL


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

Menentukan

Himpunan Penyelesaian dengan melengkapkan kuadrat

sempurna

Bentuk dasar yang harus diingat:

( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2)


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

KE MENU AWAL

Contoh :

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dari

2x2+8x-2=0

Penyelesaian

2x2+8x-2=0 x2+4x-1=0 (bagi 2 untuk membuat koefisien x2 sama dengan 1)

x2+4x=1 (kumpulkan suku sejenis di ruas yang berbeda )

x2+4x+4=1+4 (Masing-masing ruas ditambah ((1/2 )*b) 2 (b=4))

(x+2)2=5 (faktorkan ruas kiri, jumlahkan ruas kanan)


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

Hasil akhir diperoleh:

}52,52{

52

52

HP

x

x


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

KE MENU AWAL

Menentukan

Himpunan Penyelesaian dengan menggunakan rumus

Dari bentuk ax2+bx+c=0 dapat ditentukan formula:

a

acbbx

2

42

2,1


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

Contoh soalTentukan akar-akar persamaan kuadrat

dari 6x2+7x+1=0

Penyelesaian

Dari persamaan 6x2+7x+1=0, maka

a = 6, b = 7, c = 1

Masukkan ke rumus tadi, diperoleh…….


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

KE MENU AWAL

}1,{

112

12

6

1

12

7

12

57

12

57

12

57

12

24497

)6(2

)1)(6(477

6

1

21

21

2

2,1

nyaHPJadi

xataux

xataux

x


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

KE MENU AWAL

LATIHAN

LATIHAN

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dari

1. Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan cara memfaktorkan!

(a) x2+3x+2=0 (b) x2+8x=0 (c) x2+25=0

2. Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna !

(a) x2+2x-40=0 (b) 2x2-14x+1=0

3. Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan menggunakan formula/rumus !

(a) x2+x-3=0 (b) 2x2-5x-3=0 UJI DENGAN PROGRAM

EXCEL


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

KE MENU AWAL

bentuk grafik fungsi kuadrat dengan mengganti nilai withDISKRIMINAN2.xls

a

acbbx

2

42

2,1

DISKRIMINAN

Dari rumus abc, nilai di bawah

akar (b2-4ac) disebut Diskriminan D = b2 - 4c

SIFAT-SIFAT DISKRIMINAN (D)

PENGGUNAAN DISKRIMINAN

LATIHAN SOAL


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

KE MENU AWAL

1. Jika D > 0, terdapat dua akar real yang tidak sama atau berbeda (x1 x2)

2. Jika D=0, mempunyai dua akar real yang sama atau hanya terdapat satu akar real (x1 = x2)

3. Jika D<0, tidak mempunyai akar yang nyata (real) atau x1 dan x2 adalah akar-akar yang kompleks

4. Jika D = k2, maka x1 dan x2 adalah rasional

DISKRIMINAN


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

KE MENU AWAL

design grafis sifat2 diskriminan.xls

Tentukan m agar persamaan x2 – 2x – mx + 9 = 0

mempunyai dua akar yang sama.

Jawab :

Dari x2 – 2x – mx + 9 = 0, maka a=1, b=-(2+m) dan c=9

Dua akar yang sama D = 0

D = 0 b2 – 4ac = 0

(-2-m)2-4.1.9=0

4+4m+m2-36=0

m2+4m-32=0

(m+8)(m-4)=0

m=-8 atau m=4

Jadi persamaan kuadrat tersebut akan mempunyai dua akar yang sama jika m=-8 atau m=4

DISKRIMINAN


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

KE MENU AWAL

LATIHAN

Tentukan nilai kdari : k2x2+2(k+1)x + 4 = 0 agar

persamaan tersebut mempunyai 2 akar

yang berbeda.

Jawab :

Dari k2x2+2(k+1)x + 4 = 0, maka a=k2, b=2(k+1) dan

c=4

Dua akar yang berbeda D > 0

D > 0 b2 – 4ac = 0

4 (k2 +2k - 1) – 16k2 > 0

3k2 - 2k – 1 < 0

(bentuk pertidaksamaan kuadrat –akan

dibahas kemudian

DISKRIMINAN


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

KE MENU AWAL

37

LATIHAN

1. Tentukan a dan c, jika akar-akar x2 -

2ax + 3c = 0 dua kurang dari akar-akar x2 -

3ax + 7c = 0

2. Jika akar-akar x2 -(b-2)x + b-3 = 0 adalah p

dan q dan 2p – q = 2, tentukan b!


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

KE MENU AWAL

Dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0

dapat diperoleh :

a

bxx

21

a

cxx

21.

a

Dxx

21

acbD 42

a

Dbx

21

a

Dbx

21


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

Latihan akar-akar persamaan kuadrat.doc

contoh soal akar-akar persamaan kuadrat.doc

MENYUSUN PERSAMAAN

KUADRAT

Persamaan Kuadrat ax2 + bx + c = 0

equivalen dengan0

2

a

c

a

b xx

a

cxxdan

a

bxx

2121.

Dengan mengingatMaka bentuk di atas

dapat diubah menjadi

x2 – (x1 + x 2)x + x1.x2 = 0

(x – x1)(x - x2) = 0

Contoh soalLATIHAN


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

KE MENU AWAL

contoh menyusun persamaan kuadrat.doc

latihan soal menyusun persamaan kuadrat.doc

PERTIDAKSAMAAN

KUADRAT

Bentuk Umum:

ax2 + bx + c 0, ax2 + bx + c > 0

ax2 + bx + c 0, ax2 + bx + c < 0, dengan a 0

CARA MENYELESAIKAN

CONTOH SOAL

LATIHAN SOAL


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

latihan soal pertidaksamaanKUADRAT.doc

CARA MENYELESAIKAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

1. Semua suku ‘dipindah’ ke

ruas kiri, sehingga ruas

kanan nol

2. Menentukan harga nol, yaitu

mencari akar-akar persamaan

kuadrat misalnya x1 dan x2.


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

KE MENU AWAL

4. Harga x1 dan x2 ditempatkan pada garis

bilangan

x1 x2

5. Menentukan tanda daerahnya dengan

cara menguji salah satu titik pada

daerah-daerah yang dibentuk oleh x1

dan x2

x1 x2

daerah 1 daerah 2 daerah 3


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

titik uji titik uji titik uji

5. Tentukan tanda daerahnya dari hasil menguji. Misalnya

diperoleh angka -2, maka pada daerah dimana titik itu

terdapat diberi tanda (-). Daerah di sebelahnya pasti

berganti tanda..(lihat contoh perubahan tanda)

x1 x2

- + -

6. Tentukan daerah HP-nya dengan memperhatikan tanda

pertidaksamaan dengan tanda daerah uji. Jika tanda

pertidaksamaan adalah > atau , maka daerah hp-nya

adalah daerah yang bertanda positif.

Contoh soal Latihan


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

KE MENU AWAL


Tentukan HP dari x2 – x > 6

Jawab:

x2 – x > 6

X2 – x – 6 > 0

(x – 3)(x + 2) > 0

x – 3 = 0 atau x + 2 = 0

x – 3 = 0 atau x + 2 = 0

x = 3 x = -2


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

KE MENU AWAL

Latihan


• Tempatkan pada garis bilangan

-2

+ – +

• Tentukan daerah

• Ambil titik uji x=0, diperoleh nilai (– 6), maka

daerah dimana terdapat 0 diberi tanda -

x2 – x – 6 > 0

• Daerah HP adalah daerah yang bertanda

(+), sesuai dengan tanda pertidaksamaan

• HP = {x | x < -2 atau x > 3}

3


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

KE MENU AWAL

Latihan



Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

KE MENU AWAL


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

YANI PIETER PITOYSMK Negeri 1 Sonder

Kabupaten Minahasa – Sulawesi Utara

Jl. Siswa Tounelet Kec. Sonder

Telp. 0431-356391 E-mail : [email protected]

Rumah:

Jl. Raya Tomohon

Kelurahan Walian Kec. Tomohon Selatan

Kota Tomohon – Sulawesi Utara

Telp. 0431-319274 E-mail : [email protected]


Gunakan tombol

PageUp, PageDown,

Enter, atau

untuk bergerak di

dalam slide

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

Education

Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat