Upload
ezief-muhammad-fahmi
View
231
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ
1/19
Persamaan Pembentuk Aliran
(Governing Equations)
Persamaan pembentuk aliran yang mendasar untuk aliran fluida dan perpindahan
panas adalah dikembangkan dari tiga hukum kekekalan dalam fisika. Hukum kekekalan
tersebut adalah, kekekalan massa, kekekalan momentum, dan kekekalan energi. Hukum-
hukum kekekalan ini akan dibahas dalam bidang koordinat Kartesius.
2.1.1 Hukum Kekekalan Massa
Dengan menganggap sebuah elemen kecil dari fluida dalam bidang dua dimensi
dengan dimensi xdan y seperti yang ditunjukkan oleh gambar 2.1. Konsep utama dalam
hal ini adalah bahwa kenaikan laju aliran massa pada volume kontrol adalah sama dengan
laju aliran massa netto yang melewati pada bagian saluran masuk dan saluran keluar.
dalam hal ini M adalah massa yang tersimpan didalam elemen fluida dan adalah laju
aliran massa yang melewati permukaan dari elemen tersebut.
Gambar 2.1 Sebuah elemen fluida untuk hukum kekekalan massa dalam dua dimensi
Dengan menggunakan simbol-simbol pada gambar diatas, persamaan dapat diperluas
menjadi
7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ
2/19
Dengan menyelesaikan persamaan ini dan membaginya dengan ukuran elemen xy,
sehingga
Untuk mengembangkan persamaan yang sama untuk aliran tiga dimensi, elemen
yang sama dari fluida seperti yang ditunjukkan oleh gambar 2.2. Pada gambar komponen
kecepatan pada sumbu-z disebut w. Dengan menggunakan konsep seperti yang
digambarkan pada gambar, persamaan (2.1) memberikan
Dengan menyelesaikan persamaan ini dan membaginya dengan ukuran elemen xy z
yaitu
Dengan menggunakan operator divergensi, persamaan (2.5) dapat dituliskan sebagai berikut
7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ
3/19
Gambar 2.2 Sebuah elemen fluida untuk hukum kekekalan massa dalam tiga dimensi
Persamaan hukum kekekalan massa seperti yang ditunjukkan oleh persamaan (2.5)
dapat dituliskan sebagai berikut
Dengan menggunakan persamaan berikut yang didefenisikan sebagai
Dan dengan menggunakan operator divergensi,
Persamaan (2.7) dapat dituliskan menjadi bentuk yang sederhana yakni sebagai berikut
7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ
4/19
Persamaan diatas adalah bentuk umum dari hukum kekekalan massa atau juga dikenal
dengan persamaan kontinuitas. Dalam hal aliran inkompresibel, yang berarti bahwa variasi
temporal dan spasial dalam rapat massa adalah diabaikan, persamaan ini dapat
disederhanakan dengan menghilangkan D/Dtdari persamaan. Sehingga, persamaan
kontinuitas dapat dituliskan sebagai berikut ini
denganxi, i= 1,2,3 menunjuk pada sumbux,y,z
2.1.2 Hukum Kekekalan Momentum
Hukum ini juga dikenal sebagai hukum kedua Newton. Hukum tersebut
mengatakan bahwa gaya resultan yang bereaksi pada objek sama dengan percepatan
dikalikan dengan massa objek tersebut. Sebuah elemen fluida kecil dalam bidang dua
dimensi dengan dimensi xdanyseperti yang ditunjukkan oleh gambar 2.3. Pada bidang
dua dimensi, gaya hanya berada pada sumbu-x dan sumbuy. Pada gambar tersebut, hanya
gaya pada sumbu-x yang ditampilkan. Gaya bereaksi pada elemen yakni gaya padapermukaan dan gaya pada body elemen. Gaya pada permukaan diakibatkan oleh distribusi
tekanan, tegangan normal, dan tegangan geser.Gaya pada body dinotasikan sebagaif, yang
didefenisiskan sebagai gaya per unit massa yang bereaksi pada pusat dari elemen fluida.
Pada keadaan yang sebenarnya gaya ini dapat berupa gaya gravitasi, listrik, dan gaya
magnet.
Gambar 2.3 Sebuah elemen fluida untuk hukum kekekalan momentum dalam dua dimensi
7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ
5/19
Hukum kedua Newton pada arahx dapat dituliskan sebagai berikut
Fx= max
, Fx dan ax adalah gaya-gaya resultan dan percepatan pada arah-x. Dengan mensubstitusi
semua gaya-gaya yang berada di gambar dan dengan menggunakan defenisi daripercepatan ax =Du/Dt, persamaan (2.11) dapat dijabarkan sebagai berikut
Dengan menyelesaikan persamaan ini dan mensubstitusi massa m=xy sehingga
Dengan membagi persamaan diatas dengan xy, kita mendapatkan persamaan seperti
yang ada dibawah ini :
Untuk menghasilkan persamaan momentum yang lebih lengkap dari sebuah elemen
fluida maka dapat dilakukan pada bidang tiga dimensi seperti yang ditunjukkan oleh gambar
2.4. Pada gambar hanya gaya-gaya pada arah-x yang ditunjukkan. Sebagai catatan bahwadalam tiga dimensi, ada enam gaya normal dan gaya geser yang bekerja pada permukaan
elemen. Gaya-gaya ini, dua buah gaya berasal dari distribusi tekanan dan gaya yang berasal
dari dalam elemen fluida tersebut seperti yang tergambar pada gambar tersebut.
Dengan mensubstitusi gaya-gaya ini kedalam defenisi dari hukum kedua Newton
pada persamaan (2.11) yaitu
7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ
6/19
Dengan menyelesaikan persamaan ini dan membaginya dengan xyz,diperoleh hasil yang
lebih lengkap sebagai berikut :
Gambar 2.4 Sebuah elemen fluida untuk hukum kekekalan momentum dalam tiga dimensi
Dengan menggunakan cara yang sama, persamaan
dan,
Persamaan diatas diperoleh dari elemen fluida yang bergerak dengan aliran atau dikenal
sebagai bentuk yang tidak kekekalan momentum. Persamaan diatas dibentuk dari turunan
7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ
7/19
yang harus dikonversikan kedalam bentuk persamaan yang kekekalan momentum. Untuk
lebih mudahnya, proses pengkonversian Du/Dt yang ditunjukkan oleh berikut ini.
Dengan mengembangkan persamaan turunan tersebut dan menggunakan identitasdivergensi dari sebuah produk skalar yakni
dan
Dengan mensubstitusi persamaan (2.19) dan persamaan (2.20) kedalam persamaan (2.18)
menghasilkan
yang kemudian dapat disusun menjadi persaman berikut
Istilah lain dari persamaan ini adalah sama dengan nol seperti yang ditujukkan oleh
persamaan (2.6). Sehingga persamaan (2.22) dapat dituliskan sebagai berikut
Dengan mensubstitusi persamaan (2.23) kedalam persamaan (2.17) menghasilkan bentuk
persamaan kekekalan momentum searah sumbu-x
Dengan cara yang sama, persamaan dalam arah sumbu-y dan sumbu-z yaitu
7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ
8/19
Persamaan (2.24) juga dikenal sebagai persamaan Navier-Stokes dalam bentuk konservasi.
Jika kurva tingkat fluida stress versus strain diplot, ada dua fenomena yang dapat
ditarik(diketahui). Ada fluida dengan kurva linear dan satunya lagi dengan kuva non linear.
Fluida dengan kurva linear dikenal dengan fluida Newtonian, sebagai contoh air. Fluida
dengan kurva non linear di kenal dengan fluida non- Newtonian,sebagai contoh
darah.Dalam disertasi ini kita hanya mempertimbangkan fluida Newtonian. Untuk fluida ini,
tegangan normal dapat dirumuskan sebagai berikut.
Dan tegangan geser
7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ
9/19
Dimana adalah gradien kurva laju stress versus strain atau dikenal dengan viskositas
molekul (sangat dikenal dengan viskositas dinamis) dan adalah viskositas kedua. Kedua
viskositas ini berkaitan dengan viskositas bulk (k) dengan persamaan k=2
3+ (2.27)
Secara umum , diyakini bahwa viskositas bulk diabaikan kecuali dalam studi struktur
gelombang kejut dan penyerapan dan redaman dari gelombang akustik. Dengan kata lain,
untuk hampir semua fluida viskositas bulk sama dengan nol atau k= 0 . Jadi viskositas kedua
menjadi =2
3(2.28).
Sebagai catatan hipotesis ini diperkenalkan oleh Stokes pada tahun 1845. Meskipun
hipotesis masih belum pasti dikonfirmasi,bagaimanapun, sering digunakan untuk saat ini.
Karya ini disertakan. Mengganti hipotesis dan persamaan tegangan normal dan geser ke
dalam persamaan (2.24) kita memperoleh persamaan lengkap Navier-Stokes.
Persamaan ini dapat ditulis dengan lebih lengkap dengan menggunakan persamaan tensor.
7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ
10/19
Dimana i,j,k = 1,2,3 menunjukkan x,y,z, masing-masing sumbu.
2.1.3 The Law conservation of energy ( Konservasi Hukum Energi)
Pada bagian ini, prinsip fisik ketiga yaitu energi yang di konservasi diterapkan.
Menyatakan perubahan tingkat energi di dalam (E) sebuah elemen adalah sama dengan
jumlah dari fluks panas bersih (Q) kedalam elemen dan tingkat kerja yang dilakukan Wpada
elemen oleh bodydan kekuatan permukaan. Hukum ini di tuliskan E= Q+ W (2.31)
Tingkat pekerjaan yang dilakukan pada elemen oleh body dan kekuatan permukaan akan
dievaluasi pertama. Perhatikan elemen kecil dari fluida seperti ditunjukkan pada Gambar
2.5. Perhatikan di sini ada gaya akibat daerah tekan karena tekanan normal dan geser dan
karena gaya body. Sebagai catatan definisi tingkat kerja yang dilakukan pada elemen adalah
gaya dikalikan dengan kecepatan. Dengan demikian semua gaya di tunjukkan di sini. Namun
akan sangat jelas jika semua gaya di gambarkan pada elemen yang sama. Untuk
membuatnya sederhana, hanya gaya di sumbu x yang di tunjukkan pada gambar. Gaya-gaya
ini akan di evaluasi terlebih dahulu dan cara yang sama akan digunakan untuk mengevaluasi
kerja oleh gaya pada sumbu y dan sumbu z.
Gambar 2.5 Kerja yang dilakukan di elemen oleh gaya pada sumbu x
7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ
11/19
Dengan menggunakan definisi, tingkat kerja oleh gaya di sumbu x dihitung dengan
menggunakan persamaan berikut.
( ((2.32)
Dengan mensubstitusi semua kekuatan yang ditunjukkan pada gambar di atas maka.
Memecahkan persamaan ini dan mendefinisikan
Cara yang sama memberikan tingkat kerja oleh gaya di sumbu y dan sumbu z.
Secara total, tingkat net kerja yang dilakukan pada elemen fluida adalah jumlah dari
persamaan ini. Dengan demikian tingkat net kerja adalah
7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ
12/19
Bagian berikutnya adalah tingkat net fluks panas menjadi elemen fluida. Ada dua sumberfluks panas ini. Yang pertama adalah karena panas generasi di dalam elemen, seperti
adsorpsi panas, reaksi kimia, atau radiasi. Yang kedua adalah perpindahan panas ke elemen
di permukaan karena perbedaan suhu. Menentukan panas volumetrik yang dihasilkan di
dalam elemen sebagai qdan kecepatan perpindahan panas di seluruh permukaan sumbu x
, y, z dan masing-masing qx , qy, qz . Semua sumber ini ditunjukkan pada Gambar 2. 6.
Dengan menggunakan semua sumber-sumber yang ditunjukkan pada gambar, sehingga
tingkat net fluks panas ke elemen dapat dihitung sebagai
Memecahkan persamaan ini menghasilkan
7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ
13/19
7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ
14/19
7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ
15/19
(2.42a)
Menggunakan cara yang sama untuk momentum di arah y- dan z-
(2.42b)
(2.42c)
Dengan menjumlahkan semua persamaan (2.42) dan menggunakan definisi V2
= u2+ v
2+ w
2
menghasilkan sebuah persamaan. Dengan cara pengurangan persamaan yang didapat dari
persamaan energi dalam bentuk umum dari persamaan (2.40) adalah :
(2.43)
Persamaan energi diatas adalah persamaan dalam bentuk non konservasi dan pada ruas kiri
hanya mengandung energi dalam saja. Dengan kata lain, energi kinetik dan gaya berat
dikeluarkan. Namun, tegangan normal dan tegangan geser tetap muncul didalam
persamaan. Akan lebih sederhana jika mengubah persamaan ini ke dalam bentuk komponen
kecepatan. Digunakanlah hubungan dalam persamaan (2.25) dan (2.26) untuk fluida
Newtonian. Maka, persamaan (2.43) dikonversi menjadi :
7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ
16/19
(2.44)
Dengan mensubstitusi tegangan normal dan tegangan geser, didapat :
(2.45)
Agar semakin menyederhanakan persamaan ini, semua efek viskos dikelompokkan menjadisebuah faktor. Faktor ini dikenal sebagai fungsi dissipasi , yang bisa dituliskan dalam
persamaan :
(2.46)
Menggunakan fungsi ini, persamaan energi berkembang dan dapat dituliskan sebagai :
(2.47)
Persamaan diatas masih dalam bentuk non-konservasi, maka bentuk konservasinya dapat
ditulis sebagai :
(2.48)
Untuk mengubah persamaan ini sehingga terkandung unsur temperatur didalamnya,
digunakanlah persamaan yang menunjukkan hubungan antara energi dalam dan
temperatur. Singkatnya, kita gunakan persamaan dasar dari energi dalam i = cT, dimana c
adalah kapasitas thermal fluida. Subtitusikan persamaan ini, maka didapat persamaan :
7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ
17/19
(2.49)
Sebagai catatan, tujuan dari menyelesaikan persamaan energi adalah untuk mendapatkan
distribusi temperatur pada aliran fluida. Oleh karena itu, persamaan ini harus ditunjukkan
dalam bentuk persamaan temperatur.
Persamaan energi pada persamaan (2.49) dapat dituliskan dengan menggunakan persamaan
tensor :
(2.50)
Dimana i, j, k = 1,2,3 sebagai sumbu x, y, z. Jika beberapa asumsi direncanakan, maka
sebagian bentuk persamaan energi (2.50) akan menghilang. Singkatnya, jika kekentalan
fluida konstan atau fluida inkompressibel, bentuk p ui/xi akan sama dengan nol.
Selanjutnya, jika dissipasi viskos diabaikan, bentuk akan dikeluarkan dari persamaan.
Begitu juga jika panas yang masuk kedalam elemen adalah nol, akan dikeluarkan dari
persamaan pula.
2.1.4 Kesimpulan dari Persamaan Pembentuk Aliran
Walaupun hasil dari persamaan ini terlihat rumit, namun sebenarnya persamaan ini
didapat dari 3 hukum dasar konservasi, massa, momentum, dan energi. Pada kasus analisis
3 Dimensi, hukum ini menghasilkan 5 persamaan differensial. Persamaan ini merupakan
persamaan differensial parsial nonlinear yang sangat sulit diselesaikan secara analitis. Tidak
ada penyelesaian secara umum dari persamaan ini. Beberapa orang mungkin saja
mengatakan bahwa penyelesaian persamaan ini belum ditemukan dan belum di
publikasikan. Dengan kata lain, hal ini bukan berarti tidak ada penyelesaian secara umum
yang belum ditemukan tetapi para peneliti belum mendapatkan penyelesaian yang terbaik
dari persamaan tersebut. Persamaan-persamaan ini merupakan permasalahan tanpa
penyelesaian secara umum yang sudah hampir 200 tahun belum terpecahkan.Clay
Mathematics Institute, sebuah lembaga pemerintah non-profiy yang berlokasi di Cambridge,
Massachusetts telah menetapkan bahwa persamaan Navier-Stokes sebagai salah satu dari
tujuh permasalahan terpenting yang harus dipecahkan dalam bidang matematika. Lembaga
ini menawarkan 1 Miliar Dollar Amerika untuk sebuah penyelesaian atau sebuah contoh
yang berlawanan. Sampai hari ini, belum ada seorang pun yang telah dianugerahi
penghargaan ini. Penyelesaian secara analitis masi terbuka bagi semua orang. Metodealternatif dalam penyelesaian masalah ini adalah dengan menggunakan metode numerikal
7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ
18/19
yang merupakan fokus utama dari bab ini. Dengan metode ini, persamaan-persamaan akan
diselesaikan secara iteratif dengan tujuan menemukan penyelesaian sedekat mungkin
dengan penyelesaian sejatinya. Bagaimana metode ini bekerja akan dibahas pada bab
selanjutnya.
Sekarang kita akan menyimpulkan semua persamaan pembentuk aliran. Ada
beberapa bentuk yang bisa digunakan untuk menyajikan persamaan pembentuk aliran.
Beberapa bentuk ini sudah digunakan pada bagian sebelumnya. Bentuk lain yang mungkin
dapat digunakan untuk menyimpulkan persamaan ini. Dalam Fluida Newtonian transien 3
Dimensi, bentuknya dijabarkan sebagai berikut.
Persamaan Kontinuitas
(2.51)
Persamaan Momentum
(2.52a)
(2.52b)
(2.52c)
Persamaan Energi
(2.53)
Dimana Su, Sv, dan STadalah sumber yang berhubungan dengan u, v, w, dan T. Sumber ini
7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ
19/19
bisa dikalkulasikan dengan membandingkan persamaan-persamaan ini dengan bentuk
persamaan sebelumnya.
Tujuan utama mengubah bentuk persamaan menjadi bentuk diatas adalah untuk
mengeluarkan sifat umum persamaan tersebut. Mengamati persamaan (2.51) sampai (2.53)
dengan jelas menunjukkan hal tersebut. Jika kita menunjukkan sebuah variabel umum
bentuk konservatif dari semua persamaan pembentuk aliran bisa ditulis dalam bentuk :
(2.54)
Dengan kata lain jumlah dari persentase kenaikan dari elemen fluida dan persentase
aliran keluar dari elemen fluida adalah sama dengan persentase jumlah kenaikan karena
difusi dan persentase kenaikan akibat sumber. Persamaan (2.54) dikenal sebagai
persamaan pindahan untuk sifat . Sehingga dengan jelas dapat dilihat bahwa persamaan
tersebut bisa dibagi menjadi empat bentuk, yaitu perubahan aliran transien, bentuk
konvektif, bentuk diffusif ( adalah koefisien difusi), dan bentuk sumber. Mengakhiri bab ini
bisa kita simpulkan menyelesaikan persamaan (2.54) secara numerik bisa digunakan untuk
menyelesaikan seluruh bentuk dari persamaan pembentuk aliran. Metode untuk
menyelesaikan persamaan ini akan dibahas pada bab berikutnya.