Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Persamaan & Fungsi logaritma
Tim Dosen Matematika FTP
Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma
• Logaritma dapat digunakan untuk mencari bilangan yang belum diketahui (bilangan x) dalam sebuah persamaan, khususnya persamaan eksponensial dan persamaan logaritmik.
• Persamaan logaritmik ialah persamaanyang bilangannya berupa bilanganlogaritma, sebagai contoh : log (3x +298) = 3
FUNGSI logaJika a bilangan positif dan a ≠ 1, maka
y = loga x = alog xx = ay
Semula bilangan 10 dipakai sebagai bil.pokok logaritma menjadi biasUtk kalkulus (matematika lanjutan) bilangan e sbg bil.pokok logaritma
fungsi loge sbg f(x) = ex, adl lambang lain lnlogex = ln x
Apabila y = alog x x = ay, shg ln x = y ln a
alog x = ln x/ ln a
Pengertian Logaritma
alog x = y artinya x = ay
Keterangan:
a disebut bilangan pokok / basis
x disebut bilangan logaritma atau numerus dengan a > 0
y disebut hasil logaritma atau eksponen dari basis
Basis Logaritma
• Biasanya berupa bilangan positif dan tidak sama dengan satu.
• Basis logaritma yang paling lazim dipakai adalah 10 (common logarithm)/(logaritma briggs)
• Logaritma berbasis bilangan e (2,72) disebut bilangan logaritma alam (natural logarithm)
atau logaritma Napier
• ln x berarti elog x
Logaritma dengan basis 10
• Pada bentuk alog x = y, maka: 10log x = y cukup ditulis log x = y.
• Basis 10 pada logaritma tidak perludituliskan.
• Contoh:10log 3 dituliskan log 310log 5 dituliskan log 5
Logaritma
Bentuk pangkat Bentuk akar Bentuk Logaritma
yy aa x x a log x y
Logaritma pada hakekatnya merupakan kebalikan dari proses pemangkatan dan/atau pengakaran.
Suku-suku pada ruas kanan menunjukkan bilangan yang dicari atau hendak dihitung pada masing-masing bentuk
Kaidah-kaidah Logaritma
a
a
a
a x
a m a
a
1. loga 1
2. log1 0
3. loga x
4. log x m log x
5. log x x
7.
8.
9.
10.
a a a
a a a
a m
a m n
mna m a an
6. logm.n logm logn
mlog logm logn
n
logm loga 1
logm logn loga 1
mlog x log(x) log x
n
ax
x
a
log
1log.11
Contoh Soal
1. Jika 2log x = 4
Tentukan nilai x = ….
Jawab:2log x = 4 x = 24
x = 16
Contoh Soal
Jawab:3log 27 = x 3x = 27
3x = 33
x = 3.
2. Jika 3log 27 = x
Tentukan nilai x = ….
Contoh Soal
Jawab:
= 2log 32 + 3log 81
= 2log 25 + 3log 34
= 5 + 4
= 9
3. Nilai dari 2log 32 + 3log 81 = ….
Contoh Soal
4. Nilai dari 2log (8 x 16) = ….
Jawab:
= 2log 8 + 2log 16
= 2log 23 + 2log 24
= 3 + 4
= 7
Contoh Soal
5. Nilai dari 3log (81 : 27) = ….
Jawab:
= 3log 81 - 3log 27
= 3log 34 - 3log 33
= 4 - 3
= 1
Contoh Soal
6. Nilai dari 2log 165 = ….
Jawab:
= 2log 165
= 5 x 2log 24
= 5 x 4
= 20
Contoh Soal
7. Nilai dari 2log 84 = ….
24 2log 8=
Jawab:
= 2log 84
= 2 x 2log 23
= 2 x 3
= 6
Contoh Soal
Jawab:
log 1000 = x 10x = 1000
10x = 103
x = 3
8. Jika log 1000 = x
Tentukan nilai x = ….
Soal
log 3 = 0,477 dan log 2 = 0,301
Berapa nilai log 18 ?
log 18 = log 9 x 2
= log 9 + log 2
= log 32 + log 2
= 2 (0,477) + 0,301
= 0,954 + 0,301
= 1,255
Soal
log 2 = 0,301 dan log 5 = 0,699
Berapa nilai log 5 + log 8 + log 25?
= log 5 + log 8 + log 25
= log 5 + log 23 + log 52
= log 5 + 3.log 2 + 2.log 5
= 0,699 + 3(0,301) + 2(0,699)
= 0,699 + 0,903 + 1,398
= 3,0
Soal
log 3 = 0,477 dan log 5 = 0,699.
Berapa nilai log 135?
log 135 = log (27 x 5)
= log 27 + log 5
= log 33 + log 5
= 3(0,477) + 0,699
= 1,431 + 0,699
= 2,130
Bentuk persamaan logaritma
entukan penyelesaian
penyelesaian adalah x = 18
2
2
2 2 4
4
2
T log(x 2) 4
jawab :
log(x 2) 4
log(x 2) log2
x 2 2
x 18
Jadi log(x 2) 4
f( f(
a a
a a
log f(x) logm
jika log f(x) logm, x) 0,maka x) m
1,0,log)(log aadenganmxfBentuk aa
a b f(
a b
a b
log f(x) log f(x)
jika log f(x) log f(x), ,maka x) 1
2
2
entukan penyelesaian l
x -3 =1
x = 4
x = atau x = 2
penyelesaian l
adalah x = atau x = 2
2 4 2
2 4 2
2 4 2
T og(x 3) log(x 3)
jawab :
log(x 3) log(x 3)
2
Jadi og(x 3) log(x 3)
2
Bentuk persamaan logaritma
badanaadenganxfxfBentuk ba ,1,0),(log)(log
Bentuk persamaan logaritma
a>0, a
a a
a a
log f(x) log g(x)
jika log f(x) log g(x), 1, f(x) 0 dan g(x) 0
maka f(x) g(x)
entukan penyelesaian l
l
atau x = 5 uji dengan syarat
penyelesaian l
ada
7 2 7
7 2 7
2
2
7 2 7
T og(x 2x 3) log(4x 2)
jawab :
og(x 2x 3) log(4x 2)
x 2x 3 4x 2
x 6x 5 0
(x 1)(x 5) 0
x 1
Jadi og(x 2x 3) log(4x 2)
lah atau x = 5x 1
Bentuk persamaan logaritma
f(x)>0, g(x)>0, h(x)>0
dan f(x) maka
f(x) f(x)
f(x) f(x)
log g(x) logh(x)
jika log g(x) logh(x),
1, g(x) h(x)
entukan penyelesaian l
l
x + 2 =
atau x = -2 uji dengan syarat
penyelesaian l
x 1 x 1 2
x 1 x 1 2
2
2
x 1 x 1 2
T og(x 2) log(x 3x 2)
jawab :
og(x 2) log(x 3x 2)
x 3x 2
x 2x 0
x(x 2) 0
x 0
Jadi og(x 2) log(x 3x
adalah
2)
Bentuk persamaan logaritma
0loglog2
CxBxABentuk aa
y= Dari pemisalan diperoleh
Ay Nilai y yg diperoleh,
substitusi kembali pada pemisalan
y= sehingga diperoleh nilai x
a
2
a
dimisalkan log x.
By C 0.
log x,
entukan penyelesaian l
l
l
y =
atau y = 2
untuk mendapatkan nilai x, substitusi nilai y ke y=
4 2 4 3
4 2 4 3
4 2 4
4
2
4
4
T og x log x 2 0
jawab :
og x log x 2 0
og x 3 log x 2 0
misal log x,maka:
y 3y 2 0
(y 1)(y 2) 0
y 1
log x
y 1 log x
penyelesaian l
adalah atau x = 16
4
4 2 4 3
1,sehingga x 4
y 2 log x 2,sehingga x 16
Jadi og x log x 2 0
x 4
Contoh soal
• Bilangan pokok beda, pangkat beda diselesaikan dengan logaritma
bxgaxfba xgxf log)(log)()()( x 1 x 1
43
4 3
(x 1)log 4 (x 1)log3
x log 4 log 4 x log3 log3
x log 4 x log3 log3 log 4
x(log 4 log3) log12
4x log log12
3
log12x log12
4log3
Grafik logaritma asli
Fungsi logaritma :Fungsi f yang memetakan x ke a log x atau dapat dituliskan f:x a log x atau f(x)= a log x , dengan a>0, a≠1, dan x>0Grafik fungsi logaritma dibedakan menjadi dua yaitu untuk 0<a<1 dan untuk a > 1.
Hubungan Fungsi Exponensial (y = bx) & Logaritma (y = logbx)
• y = blog x adl inversdari y = bx
• Domain: x > 0
• Range: semua bil real
• x-intercept: (1, 0)
• y-intercept: tidak ada
y = bx
Domain: semua bil
real
Range: y > 0
x-intercept: tidak ada
y-intercept: (0, 1)
Hubungan Fungsi Exponensial (y = bx) & Logaritma (y = logbx)
Grafik y = alog x , untuk 0 < a < 1
Fungsi y =1/2log x memiliki sifat-sifat:
• terdefinisi untuk semua x >0;
• jika x mendekati nol maka y besar sekali dan bertanda positif;
• untuk x = 1, y = 0
• untuk x lebih besar dari 1, y berharga negatif. Jika x semakin besar, maka y semakin kecil;
Grafik y = alog x , untuk 0 < a < 1
Grafik y = alog x, untuk a > 1
Fungsi y = 2log x memiliki sifat-sifat:
• terdefinisi untuk semua x >0;
• jika x mendekati nol maka y kecil sekali dan bertanda negatif;
• untuk x = 1, y = 0
• untuk x lebih besar dari 1, y berharga positif. Jika x semakin besar, maka y semakin besar pula
Grafik y = alog x, untuk a > 1
Latihan
• Gambarkan grafik fungsi berikut ini:
• a) y =1/3log x
• b) y = 3log x