PERMUTASI1.  Dalam beberapa cara 3 orang ppedagang kaki lima (A, B, C) yang menempati suatu lokasi perdagangan akan disusun dalam suatu susunan yang teratur?Jawaban:3P3 = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 cara

 2.  Menjelang HUT RI yang akan datang di salah satu RT akan dibentuk panitia inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil ketua), calon panitia tersebut ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Ada bera pasang calon yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut?Jawaban:6P2 = 6!/(6-2)! = (6.5.4.3.2.1)/(4.3.2.1) = 720/24 = 30 cara

3. Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 5 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah kelima mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja tersebut?Jawaban:P5 = (5-1)! = 4.3.2.1 = 24 cara

4. Dua bidang tembok akan dicat dengan 3 warna pilihan yaitu: merah, kuning, dan hijau. Ada berapakah cara kita dapat menyusun warna-warna tersebut?Jawaban:33 = 3.3 = 9 cara

5. Dalam berapa carakah kata “JAKARTA” dapat dipermutasikan?Jawaban:P7 = 7! / 1!.3!.1!.1!.1! = 840 cara

6.  Peluang lulusan PNJ dapat bekerja pada suatu perusahaan adalah 0,75. Jika seorang 

lulusan PNJ mendaftarkan pada 24 perusahaan, maka berapakah dia dapat diterima oleh perusahaan?Jawaban:Frekuensi harapan kejadian A adalah Fh(A) = n × P(A)Diketahui P(A) = 0,75 dan n = 24. Maka:Fh(A) = 24 × 0,75 = 18 perusahaan.

7.  Terdapat tiga orang (X, Y dan Z) yang akan duduk bersama di sebuah bangku. Ada berapa urutan yang dapat terjadi ?Jawaban: nPx = n! 3P3 = 3! = 1 x 2 x 3 = 6 cara (XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX).

8.  Suatu kelompok belajar yang beranggotakan empat orang (A, B, C dan D) akan memilih ketua dan wakil ketua kelompok. Ada berapa alternatif susunan ketua dan wakil ketua dapat dipilih ?Jawaban: nPx = (n!)/(n-x)! 4P2 = (4!)/(4-2)! = 12 cara (AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC) .

9. Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu. Jawaban:Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.Maka banyaknya cara duduk ada :7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara

10. Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan? Jawaban:

Banyaknya cara duduk ada (7 – 1) ! = 6 ! ® 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.

 11. Tentukan banyaknya permutasi siklus dari 3 unsur yaitu A, B, Cjawab:Jika A sebagai urutan I : ABCJika B sebagai urutan I : BCAJika C sebagai urutan III : CABJika banyak unsur n=4 –> A, B, C, Djadi banyaknya permutasi siklis dari 4 unsur ( A B C D) adalah 4!/4 = 4.3.2.1/4 = 6

 12. Permutasikan semua huruf dari MISSISSIPPI !Jawaban:11! / [ 1! 4! 4! 2! ] = 34650

13.  Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu. Secara umum Banyak permutasi k unsur dari n unsur adalah :

Npk = n! / (n-k) !Jawab:Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.Maka banyaknya cara duduk ada :

7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara14.    Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat 

duduk dengan urutan yang berlainan?Jawab:Banyaknya cara duduk ada (7 – 1) ! = 6 ! ® 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.

15.    Tentukan banyaknya permutasi siklus dari 3 unsur yaitu A, B, Cjawab:

Jika A sebagai urutan I : ABCJika B sebagai urutan I : BCAJika C sebagai urutan III : CABJika banyak unsur n=4 –> A, B, C, D

jadi banyaknya permutasi siklis dari 4 unsur ( A B C D) adalah 4!/4 = 4.3.2.1/4 = 6        KOMBINASI1) Dalam mengadakan suatu pemilihan dengan menggunakan obyek 4 orang pedagang kaki lima untuk diwawancarai, maka untuk memilih 3 orang untuk satu kelompok. Ada berapa cara kita dapat menyusunnya?Jawaban:4C3 =4! / 3! (4-3)! = (4.3.2.1) / 3.2.1.1 = 24 / 6 = 4 cara

 2) Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika terdapat 4 warna, yaitu Merah, Kuning, Biru dan Hijau, maka berapa kombinasi tiga jenis warna yang dihasilkan.Jawaban: nCx = (n!)/(x!(n-x)!) 4C3 = (4!)/(3!(4-3)!) = 24/6 = 4 macam kombinasi (MKB, MKH, KBH, MBH).

3) Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi.Jawaban: 10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45 jabat tangan

4) Suatu kelompok yang terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita akan memilih 3 orang pengurus. Berapa cara yang dapat dibentuk dari pemilihan jika pengurus terdiri dari 2 orang pria dan 1 orang wanita.Jawaban: 3C2 . 2C1 = (3!)/(2!(3-2)!) . (2!)/(1!(2-1)!) = 6 cara, yaitu : L1 L2 W1 ; L1 L3 W1 ; L2 L3 W1 ; L1 L2 W2 ; L1 L3 W2 ; L2 L3 W2

5) Dalam sebuah ujian, seorang mahasiswa diwajibkan mengerjakan 5 soal dari 8 soal yg tersedia. Tentukan:a. banyaknya jenis pilihan soal yg mungkin untuk dikerjakan

b. banyaknya jenis pilihan soal yg mungkin dikerjakan jika no.6 dan 7 wajib dikerjakan.Jawaban:a. 8 C5 = 8!/5!(8-5)! = (8×7×6×5!)/5!3! = 56 carab. 6C3 = 6!/3!(6-2)! = (6×5×4×3!)/3!3! = 20 cara

6) Banyak cara memilih 4 pengurus dari 6 calon, yang ada sama dengan ....Jawaban:6C4 = 6!/4!(6-4)! = (6×5×4!)/4!2! = 15 cara

7) Dalam sebuah kantoh terdapat 7 kelereng. Berapa banyak cara mengambil 4 kelereng dari kantong tersebut?Jawaban:7C4 = 7!/4!(7-4)! = (7×6×5×4!)/4!3! = 35 cara

8) Siswa di minta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan , tetapi soal 1-5 harus di kerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid adalah.Jawaban:5C4 = 5!/4!(5-4)! = (5×4!)/4!1! = 5 cara

9) Seorang peternak akan membeli 3 ekor ayam dan 2 ekor kambing dari seorang pedagang yang memiliki 6 ekor ayam dan 4 ekor kambing. Dengan berapa cara peternak tersebut dapat memilih ternak-ternak yang di inginkannya?Jawaban:Banyak cara memilih ayam = 6C3 = 6!/3!(6-3)! = 6!/3!3! = 20 caraBanyak cara memilih kambing = 4C2 = 4!/2!(4-2)! = (4×3×2!)/2!2! = 6 caraJadi, peternak tersebut memiliki pilihan sebanyak = 20×6 = 120 cara

10) Dalam sebuah ruangan terdapat 9 orang. Jika mereka saling bersalaman maka berapa banyak salaman yang akan terjadi?Jawaban:9C2 = 9!/2!(9-2)! = (9×8×7!)/2!7! = 36 cara

 11) 4 Sebuah perusahaan membutuhkan karyawan yg terdiri dari 5 putra dan 3 putri. Jika terdapat 15 pelamar, 9 diantaranya putra. Tentukan banyaknya cara menyeleksi karyawan!Jawaban:Pelamar putra = 9 dan pelamar putri 6 banyak cara menyeleksi:9C5 x 6C3 = 9!/5!x(9-5)! x 6!/3!x(6-3)! = 2360

Saya memiliki 5 buku kimia, 4 buku matematika, dan 2 buku fisika yang masing-masing buku berbeda satu sama lain. Buku-buku tersebut akan saya susun dalam sebuah rak buku, sehingga buku kimia bersama-sama, buku matematika bersama-sama, dan buku fisika bersama-sama. Berapa banyak cara penyusunan yang mungkin saya lakukan?

SOLUSI:Buku kimia dapat diatur di antara 5 buku kimia dengan 5! cara, buku matematika dalam 4! cara, dan buku fisika dalam 2! cara, serta tiga kelompok buku tersebut juga dapat diatur dalam 3! cara.

Jadi, banyak penyusunan yang dapat saya lakukan adalah:

5! . 3! . 2! . 3!= 120 . 6 . 2 . 6= 8.640 cara

Permutasi

Definisi: Permutasi k unsur dari n unsur dilambangkan oleh P (n, k) dan dirumuskan sebagai berikut:P (n, k) = n!/(n-k)!, dalam hal ini k< atau = n

Contoh soal:

1. Hitunglah P (5, 2)    Jawab:    P (5, 2) = 5!/(5-2)!

                 = 5!/3!                 = 5 x 4 x 3!/3!                 = 20

2. Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka yang berbeda yang dapat disusun dari angka-angka 3, 5, dan 7?

Jawab:Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka berbeda dan disusun dari angka-angka 3, 5, dan 7 adalah sama dengan permutasi yang terdiri atas dua unsur yang dipilih dari 3 unsur, P (3, 2)P (3, 2) = 3!/(3-2)!

             = 3!/1!             = 3 x 2 x 1!/1!             = 2 x 3             = 6

Permutasi dengan Beberapa Elemen Sama

Definisi:   Jika   dari   n  obyek   terdapat  p,   q,   r,   ...   obyek   yang   sama  maka  permutasi   dari   n  obyek   tersebut adalah n!/p! q! r!

Contoh soal:

Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari 6 angka yang disusun dari 2 buah angka 1, 3 buah angka 2, dan 

1 buah angka 3!Jawab:Banyaknya bilangan yang terdiri atas 6 angka yang disusun dari 2 buah angka 1, 3 buah angka 2, dan 1 buah angka 3 adalah:

6!/2! 3! 1! = 60 bilangan

Permutasi Siklis

Definisi: Permutasi siklis dari n objek adalah (n-1)! cara.

Contoh soal:

Empat orang siswa masuk perpustakaan sekolah. Mereka membaca di meja bundar. Berapa banyak cara agar keempat siswa dapat duduk melingkar dengan urutan yang berbeda?Jawab:Banyaknya cara posisi duduk 4 orang yang menghadap meja bundar adalah:(4-1)! = 3! = 6 cara

Ilustrasi bersumber dari Google

Kombinasi

Kombinasi k unsur dari n unsur dilambangkan oleh C (n, k) danC (n, k) = n!/(n-k)!k!, dalam hal ini k < atau = n.

Contoh soal:

1. Hitunglah C (5, 2)

    Jawab:    C (5, 2) = 5!/(5-2)!2!                 = 5!/3! 2!                 = 5 x 4 x 3!/3! 2!

                 = 5 x 4/2 x 1                 = 20/2

                 = 10

2. Dari 3 siswa, yaitu Budi, Rendi, dan Rema akan dibentuk pasangan ganda bulu tangkis. Berapa pasangan ganda yang dapat dibentuk dari ketiga siswa tersebut?

Jawab:Banyaknya pasangan ganda bulu tangkis yang dapat dibentuk adalah C(3, 2)C (3, 2) = 3!/(3-2)! 2!             = 3!/1! 2!             = 3 x 2!/1! 2!             = 3/1

             = 3

3.  Dalam  babak  penyisihan   suatu   turnamen,   25  pecatur   satu   sama   lain  bertanding   satu   kali.   Banyaknya pertandingan yang terjadi adalah...Jawab:Dalam babak  penyisihan,   25  pecatur   satu   sama   lain  bertanding   satu   kali.  Untuk  menentukan  banyaknya pertandingan yang terjadi digunakan kombinasi, karena tidak melihat urutannya lagi.C (25, 2) = 25!/(25-2)! 2!               = 25!/23! 2!               = 25 x 24 x 23!/23! 2!               = 25 x 24/ 2 x 1               = 600/2

               = 300

Nah,  mungkin   hanya   sampai   situ   saja   ya   Zuwaily  menjelaskan   permutasi   dan   kombinasi.   Moga   dapat bermanfaat. Dan sebagai latihan, ada beberapa soal buat sobat:

1. Perulangan tidak diperkenankan. Ada angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, 9.

    a. Berapa banyak bilangan terdiri dari 3 angka dapat disusun dari angka-angka di atas?    b. Berapa banyak di antara mereka (jawaban a) yang lebih kecil dari 400?    c. Berapa banyak yang genap?    d. Berapa banyak yang habis dibagi 5?

2. Dalam suatu ujian seorang mahasiswa harus mengerjakan 8 dari 10 soal. Berapa banyak ragam soal, bila:    a. Ia harus mengerjakan sembarang nomor?    b. 3 soal pertama wajib dikerjakan?    c. Paling sedikit 4 dari 5 soal pertama wajib dikerjakan?

3. Di suatu perkumpulan akan dipilih perwakilan yang terdiri dari 6 orang. Calon yang tersedia terdiri dari 5 pria dan 4 wanita.  Banyaknya susunan perwakilan yang dapat  dibentuk jika sekurang-kurangnya terpilih 3 pria 

adalah...

Soal-Soal Probabilitas1.       ada berapa  cara pelat mobil dapat dibuat, jika setiap pelat memuat 3 huruf yang

berbeda serta 4 angka yang berbeda dengan angka pertama tidak boleh 0.jawab :26 . 25 . 24.  9. 9. 8. 7 = ......

2.       Adam pergi bertamasya dari kota A menuju kota C melalui kota B. ada 4 jalur bis antara kota A dan kota B dan 5 jalur bis antara kota B menuju C. Berapa cara Adam dapat mengadakan perjalanan pulang pergi dari kota A ke C dengan syarat  tidak boleh melalui jalur yang sama.jawab:4.5. 3. 4 =....

3.       ada berapa  cara dari 10 buku yang berbeda dapat disusun dalam sebuah rak yang memanjang, jika ada tiga buku yang bersama-sama maka ada berapa penyusunan yang mungkin?jawab :

3.2.1.        8.7.6.5.4.3.2.1 =.....4.       ada berapa banyak bilangan 4 angka yang dapat disusun dari angka 0-9 jika

pengulangan tidak boleh digunakana.       ada berapa buah diantaranya yang lebih dari 5670b.      ada berpa buah diantaranya yang genapc.       ada berapa buah diantaranya yang ganjild.      ada berapa buah diantaranya yang merupakan kelipatan 5e.      ada berapa banyak bilangan genap yang tersusun antara 3700-5600f.        ada berapa banyak bilangan ganjil yang tersusun antara 3700-5600g.       ada berapa banyak yang keempat digitnya angka genap dan bukan kelipatan 2001h.      ada berapa banyak yang keempat digitnya angka ganjil dan bukan kelipatan 2003

jawab :a.       bilangan yang lebih dari 6000       = 4. 9.8.7= .....

bilangan antara 5670-5700           = 1.1.1.7=......bilangan antara 5700-6000           = 1.4. 8.7 =.......  +                                                            =........

b.      9. 8.7.4   = .........         (bilangan genap ada 2,4,6,8 khusus untuk 0 dipisah)9.8.7.1    = ......... +   ( bilangan genap dengan 0 sebagai angka akhir)                 =c.     9.8.7.5   =......d.     9.8.7.1   =........                        8. 8.7. 1 = ......+                                         =........e.     bilangan antara 3700-4000                          untuk nilai ratusan genap,  1. 1. 7.4    =....          untuk nilai ratusan ganjil,  1. 2. 7.5      =....        bilangan antara 4000-5000          untuk ribuan yang bernilai genap, 1. 8.7.4= ..... +

                                                                                            =.....f.  bilangan antara 3700-4000      untuk ratusan bernilai genap  1. 1. 7. 4 =.....      untuk ratusan bernilai ganjil   1. 2. 7.3 =......+                                                                                                  =.......g.   ada berapa banyak yang keempat digitnya angka genap dan bukan kelipatan 2001         angka genap ada 5 yaitu 0,2,4,6,8 dan penyusunannya ada            4.4.3.2= .....      sedangkan kelipatan 2001 adalah sebagai berikut,      2001 x 2 = 4002     2001 x  3 = 6003     2001 x 4  = 8004   yang merupakan bilangan yang semuanya merupakan angka genap adalah 4002 dan 8004.   maka, ( 4.4.3.2= ....) – 2 =....

h.      ada berapa banyak yang keempat digitnya angka ganjil dan bukan kelipatan 2003angka ganjil ada 5 yaitu 1,3,5,7,9banyaknya bilangan ganjil yang terbentuk dari angka ganjil adalah5.4.3.2 =....        sedangkan kelipatan 2001 adalah sebagai berikut,        2001 x 2 = 4002       2001 x  3 = 6003       2001 x 4  = 8004yang merupakan bilangan ganjil dan semuanya bilangan ganjil dari kelipatan 2001 adalah 0, maka banyaknya bilangan yang keempat digitnya ganjil yang  terbentuk adalah....

5.       5 orang pemuda pergi berekreasi menggunakan mobil. mobil yang digunakan mempunyai 2 kursi di depan dan 3 kursi di belakang. dari kelima pemuda tersebut hanya 2 orang yang bisa mengemudi. banyaknya cara mereka duduk di mobil adalah....jawab :

kursi depan                          4.  2kursi belakang                   3. 2. 1 maka        =....

6.       banyaknya bilangan bulat dari 1006 sampai dengan 2006 yang merupakan kelipatan 3 tetapi bukan kelipatan 6jawab ; 1008 adalah bilangan yang merupakan kelipatan 3 dan 6 yang paling mendekati 1006dan 2004 adalah bilangan yang merupakan kelipatan 3 dan 6 yang paling mendekati 2006maka,banyaknya bilangan kelipatan 3 antara 1006-2006   (2004-1008) : 3 + 1 =...

banyaknya bilangan kelipatan 6 aantara 1006-2006  ( 2004-1008) : 6 +1 = ...Kemudian, banyaknya bil kelipatan 3 – banyaknya bil kelipatan 6 = ......

7.       sebuah kelompok dari 2005 anggota, setiap anggota mempuyai satu rahasia. Setiap anggota dapat  mengirim surat pada anggota lain maupun untuk menyampaikan satu rahasia yang dipegang. Banyaknya surat yang perlu dikirim agar semua anggota kelompok mengetahui seluruh rahasia adalah.jawab :2004. 2005= ....

8.        andi diminta menulis angka 0-500.a.       berapa kali andi menulis angka 2b.      berapa kali andi menulis angka 0 danc.       berapa kali andi menulis angka 7

jawab;a.       andi menulis angka 2 sebagai ratusan antara 0-500 adalah 100 kali

(200,201,202,203....)                                       sebagai ribuan                         adalah 10 kali (20,21,22,23...) x 5= 50                                           sebagai satuan                          adalah 10 kali (2,22,32,..) x 5 = 50              maka, 100 + 50 +50 = 200

b.      andi menulis angka 0antara 0-100 = 12 kali (0,10,20,30,....100)antara 100-200 = 20 kali (110,120,130...200)antara 200-300= 20antara 300-400= 20antara 400-500= 20                maka, 12 + 20 +20 +20 +20 = 92

c.       andi menulis angka 7antara 0-100 = 11 kali maka, dalam rentang 0-500 ada 11 x 5 = 55 kali

9.       Berapa banyaknya jabatan 1 0 orang  dengan syarat 1 orang 1 kali.jawab :10 C 8 = 45 kali

10.   ada 7 orang mahasiswa yang akan duduk berjajar pada sebuah kursi memanjang. berapa banyaknya urutan cara mereka duduk. apabila

a.       satu orang tertentu harus duduk di kursi ujung.b.      satu orang bebas memilih.c.       hanya tersedia 4 kursid.      hanya tersedia 4 kursi dan orang tertentu harus duduk di ujung.

jawab :

a.       1.6.5.4.3.2.1 + 6.5.4.3.2.1.1 =...b.      (1.6.5.4.3.2.1) x 7 =....c.       6C4 =....d.      1.6.5.4 +6.5.4.1. =