Perla talk

Par�doxa stic pijanìthtec

Πέρλα Σούση

University of Cambridgehttp://www.statslab.cam.ac.uk/~ps422

Pèrla SoÔsh University of Cambridge http://www.statslab.cam.ac.uk/~ps422Par�doxa stic pijanìthtec

http://www.statslab.cam.ac.uk/~ps422


Tuqaiìthta

Η τυχαιότητα απασχόλησε την ανθρωπότητα χιλιάδες χρόνια πριν...

Από πού προέρχονται αυτά τα ζάρια;

Είναι Αιγυπτιακά – περίπου 7000 χρόνων....



Tuqaiìthta






Tuqaiìthta






Tuqaiìthta






Tuqaiìthta






Tuqaiìthta

Ο Αχιλλέας και ο Αίας παίζουν ζάρια.

520–510 π.Χ., Μουσείο Λούβρου



Tuqaiìthta

Η τυχαιότητα ήταν δύσκολο να εξηγηθεί...

Οι φιλόσοφοι προσπάθησαν να την εξηγήσουν.

Ο Αριστοτέλης πίστευε ότι δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τίποτα

που να σχετίζεται με την τύχη.

Αντιθέτως, ήξεραν πώς να σκέφτονται και να υπολογίζουν

χρησιμοποιώντας μαθηματικά.



Tuqaiìthta









Tuqaiìthta









Tuqaiìthta









Met� to 1600

Μετά το 1600 όμως τα πράγματα άρχισαν να αλλάζουν κι έκτοτε

άρχισαν να εξελίσσονται πολύ γρήγορα.

Παράδειγμα

Γύρω στο 1600, 2 αριστοκράτες στη Γαλλία, ο A και ο B παίζουν έναπαιχνίδι. Και οι δύο έχουν ίση πιθανότητα να κερδίσουν κάθε γύρο.

Το παιχνίδι τελειώνει όταν κάποιος από τους δύο κερδίσει 10 γύρους καιαυτός ο παίκτης θα κερδίσει ένα ποσό χρημάτων x .

Κάποια στιγμή ο A έχει κερδίσει 9 γύρους και ο B 8 και πρέπει νασταματήσουν το παιχνίδι.

Πώς θα πρέπει να μοιραστούν τα χρήματα;



Met� to 1600










Met� to 1600










Met� to 1600










Met� to 1600










Met� to 1600










Met� to 1600

Πώς είναι πιο δίκαιο να μοιραστούν τα x χρήματα;

Ας υπολογίσουμε την πιθανότητα να κερδίσει ο A, αν υποθέσουμε ότι

το παιχνίδι συνεχιζόταν. (Ο A έχει κερδίσει 9 γύρους.)

Η πιθανότητα του A να κερδίσει:

P(A) = P(κερδίζει επόμενο γύρο ή χάνει επόμενο και κερδίζει μεθεπόμενο)

= 12 + 1

2 × 12 = 3

4

Αρα ο A θα πάρει τα 3/4 και ο B το 1/4 των χρημάτων.

Αυτόν τον απλό για εμάς υπολογισμό τον έκανε πρώτος ο BlaisePascal (1623-1662).



Met� to 1600






= 12 + 1

2 × 12 = 3

4





Met� to 1600






= 12 + 1

2 × 12 = 3

4





Met� to 1600





P(A) =

P(κερδίζει επόμενο γύρο ή χάνει επόμενο και κερδίζει μεθεπόμενο)

= 12 + 1

2 × 12 = 3

4





Met� to 1600






=

12 + 1

2 × 12 = 3

4





Met� to 1600






= 12

+ 12 × 1

2 = 34





Met� to 1600






= 12 + 1

2

× 12 = 3

4





Met� to 1600






= 12 + 1

2 × 12 =

34





Met� to 1600






= 12 + 1

2 × 12 = 3

4





Met� to 1600






= 12 + 1

2 × 12 = 3

4





Met� to 1600






= 12 + 1

2 × 12 = 3

4





'Allo èna aplì par�deigma

΄Εχουμε ένα δίκαιο νόμισμα, δηλαδή

P(Κορώνα) = 1/2 και P(Γράμματα) = 1/2.

Ρίχνουμε το νόμισμα ανεξάρτητα, δηλαδή το αποτέλεσμα της πρώτης

ρίψης δεν επηρεάζει τη δεύτερη κ.ο.κ.

1o πείραμα: περιμένουμε ώσπου να έρθει ΚΚ συνεχόμενα.

2o πείραμα: περιμένουμε ώσπου να έρθει ΚΓ συνεχόμενα.

Ερώτηση

Κατά μέσο όρο τι χρειάζεται πιο πολλές ρίψεις, το ΚΚ ή το ΚΓ;










Ερώτηση











Ερώτηση











Ερώτηση











Ερώτηση











Ερώτηση





΄Εστω x ο μέσος αριθμός των ρίψεων ώσπου να έρθει Κ για πρώτη

φορά. Τότε

x =

1 +1

2x ⇒ x = 2

και λόγω συμμετρίας του προβλήματος κατά μέσο όρο χρειάζονται

z = 2 ρίψεις ώσπου να έρθει Γ για πρώτη φορά.

΄Εστω y ο αριθμός των ρίψεων ώσπου να έρθει ΚΓ συνεχόμενα. Τότε

y = x + z = 4.

΄Εστω x ′ ο μέσος αριθμός ρίψεων μέχρι ΚΚ συνεχόμενα. Τότε

x ′ = x + 1 +1

2x ′ ⇒ x ′ = 6.





φορά. Τότε

x = 1

+1

2x ⇒ x = 2




y = x + z = 4.


x ′ = x + 1 +1

2x ′ ⇒ x ′ = 6.





φορά. Τότε

x = 1 +1

2x

⇒ x = 2




y = x + z = 4.


x ′ = x + 1 +1

2x ′ ⇒ x ′ = 6.





φορά. Τότε

x = 1 +1

2x ⇒ x = 2




y = x + z = 4.


x ′ = x + 1 +1

2x ′ ⇒ x ′ = 6.





φορά. Τότε

x = 1 +1

2x ⇒ x = 2




y = x + z = 4.


x ′ = x + 1 +1

2x ′ ⇒ x ′ = 6.





φορά. Τότε

x = 1 +1

2x ⇒ x = 2




y =

x + z = 4.


x ′ = x + 1 +1

2x ′ ⇒ x ′ = 6.





φορά. Τότε

x = 1 +1

2x ⇒ x = 2




y = x

+ z = 4.


x ′ = x + 1 +1

2x ′ ⇒ x ′ = 6.





φορά. Τότε

x = 1 +1

2x ⇒ x = 2




y = x + z

= 4.


x ′ = x + 1 +1

2x ′ ⇒ x ′ = 6.





φορά. Τότε

x = 1 +1

2x ⇒ x = 2




y = x + z = 4.


x ′ = x + 1 +1

2x ′ ⇒ x ′ = 6.





φορά. Τότε

x = 1 +1

2x ⇒ x = 2




y = x + z = 4.


x ′ = x + 1 +1

2x ′ ⇒ x ′ = 6.





φορά. Τότε

x = 1 +1

2x ⇒ x = 2




y = x + z = 4.


x ′ =

x + 1 +1

2x ′ ⇒ x ′ = 6.





φορά. Τότε

x = 1 +1

2x ⇒ x = 2




y = x + z = 4.


x ′ = x

+ 1 +1

2x ′ ⇒ x ′ = 6.





φορά. Τότε

x = 1 +1

2x ⇒ x = 2




y = x + z = 4.


x ′ = x + 1

+1

2x ′ ⇒ x ′ = 6.





φορά. Τότε

x = 1 +1

2x ⇒ x = 2




y = x + z = 4.


x ′ = x + 1 +1

2x ′

⇒ x ′ = 6.





φορά. Τότε

x = 1 +1

2x ⇒ x = 2




y = x + z = 4.


x ′ = x + 1 +1

2x ′ ⇒ x ′ = 6.



To par�doxo twn lewforeÐwn

Ελβετικό λεωφορείο Ιταλικό λεωφορείο

Κάθε ώρα ακριβώς 1 λεωφορείο ξξξξξξ Κάθε λεπτό 1 λεωφ. με πιθ.

ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ1/60.

Ερώτηση

Φτάνουμε στη στάση σε μία τυχαία στιγμή. Κατά μέσο όρο πόσο θα

περιμένουμε;

Στην Ελβετία: 1/2 ώρα!

Στην Ιταλία: 1 ώρα!







Ερώτηση











Ερώτηση











Ερώτηση











Ερώτηση











Ερώτηση











Ερώτηση







TuqaÐoc perÐpatoc (Random walk)

Σε μία διάσταση, Z.

0 1 2 3 4 5−1−2−3−4−5



TuqaÐoc perÐpatoc se 1d

΄Ενας περιπατητής ξεκινάει από το 0.

b




Κοιτάζει τους δύο γείτονές του

bb b




και με ίση πιθανότητα επιλέγει σε ποιον θα μεταβεί.

b




Και πάλι κοιτάζει τους δύο γείτονες

bb b




και με ίση πιθανότητα επιλέγει σε ποιον θα μεταβεί.

b




ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ

bb b




ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ

b



TuqaÐoc perÐpatoc

Σε δύο διαστάσεις, Z2, δηλαδή όλα τα σημεία του R2

με ακέραιες

συντεταγμένες.

(0,0)

(1,1)(0,1)

(-1,0)



TuqaÐoc perÐpatoc

Σε δύο διαστάσεις, Z2, δηλαδή όλα τα σημεία του R2

με ακέραιες

συντεταγμένες.

(0,0)

(1,1)(0,1)

(-1,0)




΄Ενας περιπατητής ξεκινάει απο το (0, 0).

b




Κοιτάζει τους 4 γείτονές του

b

b

b

b

bbb

b

b

b




και με πιθανότητα 1/4 επιλέγει σε ποιον θα μεταβεί.

b




Και πάλι

b bb

bb

b




ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ

b





b bb

b

b





b





b

b

b b

b





b





b

b

b b

b





b





b

b

b b

b





b





b

b

b b

b



TuqaÐoc perÐpatoc

Από τους πρώτους μαθηματικούς που ασχολήθηκαν με τυχαίους

περιπάτους ήταν ο Polya (1887-1985).

Κάποτε είπε ότι καθώς περπατούσε σε ένα πάρκο κοντά στο σπίτι του

συναντούσε συνεχώς το ίδιο ζευγάρι. Σκέφτηκε ότι θα νόμιζαν ότι

τους ακολουθούσε ή ότι τους κατασκόπευε. Θέλησε λοιπόν να

εξηγήσει το φαινόμενο αυτό μαθηματικά.



TuqaÐoc perÐpatoc

Από τους πρώτους μαθηματικούς που ασχολήθηκαν με τυχαίους

περιπάτους ήταν ο Polya (1887-1985).

Κάποτε είπε ότι καθώς περπατούσε σε ένα πάρκο κοντά στο σπίτι του

συναντούσε συνεχώς το ίδιο ζευγάρι. Σκέφτηκε ότι θα νόμιζαν ότι

τους ακολουθούσε ή ότι τους κατασκόπευε. Θέλησε λοιπόν να

εξηγήσει το φαινόμενο αυτό μαθηματικά.



TuqaÐoc perÐpatoc

Ο Polya λοιπόν ήθελε να αποδείξει το εξής:

΄Εστω ότι δύο περιπατητές ξεκινάν από το (0, 0) τη χρονική στιγμή 0

και περπατάνε ανεξάρτητα, δηλαδή ο κάθε περπατητής δεν έχει

πληροφορία για τη θέση του άλλου. Ποια είναι η πιθανότητα να

συναντηθούν άπειρες φορες;

Ας σταθεροποιήσουμε τον έναν περιπατητή στο (0, 0).

Ερώτηση

Ποια είναι η πιθανότητα ο άλλος να τον συναντήσει άπειρες φορές;



TuqaÐoc perÐpatoc







Ερώτηση




TuqaÐoc perÐpatoc







Ερώτηση




TuqaÐoc perÐpatoc







Ερώτηση




TuqaÐoc perÐpatoc

Θεώρημα (Polya 1920)

Σε μία διάσταση (d = 1) ο τυχαίος περίπατος επιστρέφει στο 0άπειρες φορές.

Σε δύο διαστάσεις (d = 2) ο τυχαίος περίπατος επιστρέφει στο (0, 0)άπειρες φορές.

Σε τρεις και άνω διαστάσεις (d ≥ 3) ο τυχαίος περίπατος επιστρέφειστο 0 πεπερασμένο αριθμό φορών.



TuqaÐoc perÐpatoc







TuqaÐoc perÐpatoc







TuqaÐoc perÐpatoc



Sunant seic dÔo tuqaÐwn perip�twn

Ας επιστρέψουμε τώρα στο αρχικό πρόβλημα του Polya.

Ερώτηση

Δύο ανεξάρτητοι τυχαίοι περίπατοι σε δύο διαστάσεις συναντιούνται

άπειρες φορές;

΄Εστω Xn και Yn οι θέσεις των δύο περιπάτων τη χρονική στιγμή n.

Η διαφορά τους, Xn − Yn είναι και πάλι ένας τυχαίος περίπατος σε

δύο διαστάσεις, επομένως επιστρέφει στο (0, 0) άπειρες φορές.

Αρα είχε δίκιο ο Polya όταν έλεγε ότι τυχαία συναντούσε διαρκώς το

ζευγάρι!





Ερώτηση







ζευγάρι!





Ερώτηση







ζευγάρι!





Ερώτηση







ζευγάρι!





Ερώτηση







ζευγάρι!




Στο επίπεδο λοιπόν παίρνοντας διαφορές έχουμε

ένας περίπατος επιστρέφει στο (0, 0) ∞ φορές ⇒ ∞ συναντήσεις δύο

περιπάτων

Ερώτηση

Ισχύει άραγε το ίδιο και για άλλους γράφους;






περιπάτων

Ερώτηση







περιπάτων

Ερώτηση







περιπάτων

Ερώτηση





b

b

b

b b

b

b

b

b

b

b

b b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



TuqaÐoc perÐpatoc sto Comb(Z)

b

b

b

b b

b

b

b

b

b

b

b b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b




b

b

b

b b

b

b

b

b

b

b

b b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b




b

b

b

b b

b

b

b

b

b

b

b b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b




b

b

b

b b

b

b

b

b

b

b

b b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b




b

b

b

b b

b

b

b

b

b

b

b b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b




b

b

b

b b

b

b

b

b

b

b

b b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



Sunant seic dÔo tuqaÐwn perip�twn sto Comb(Z)

Θεώρημα (Krishnapur, Peres (2004))

Δύο ανεξάρτητοι τυχαίοι περίπατοι στο Comb(Z) που ξεκινούν από τοίδιο σημείο συναντιούνται έναν πεπερασμένο αριθμό φορών.



TuqaÐoc perÐpatoc sto Comb(Z, f )

b b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

n

b

f(n)

b b b




΄Εστω f (n) = nα, για κάποιο α > 0.

Θεώρημα (Barlow, Peres, Sousi (2010) )

΄Οταν α ≤ 1, τότε δύο ανεξάρτητοι τυχαίοι περίπατοισυναντιούνται άπειρες φορές.

΄Οταν α > 1, τότε δύο ανεξάρτητοι τυχαίοι περίπατοισυναντιούνται έναν πεπερασμένο αριθμό φορών.

















KinhtoÐ gewmetrikoÐ gr�foi (Mobile geometric graphs)







΄Εστω ότι τα σημεία αυτά κινούνται ανεξάρτητα ως τυχαίοι περίπατοι

(όχι πλέον στο Z2αλλά σε όλο το R2

).

Τοποθετούμε ένα επιπλέον σημείο στο 0.






).







).





Ερώτηση

Ποια είναι η καλύτερη στρατηγική για το σημείο στο 0 ούτως ώστε να

μεγιστοποιήσει την πιθανότητα να μη συγκρουστεί με τα υπόλοιπα

σημεία για μεγάλο διάστημα;




Θεώρημα (Miller, Peres, Sousi (2011))

Αν το σημείο στο 0 παραμείνει ακίνητο, τότε μεγιστοποιεί την

πιθανότητα να μη συγκρουστεί με τα υπόλοιπα σημεία για μεγάλο

διάστημα.



Documents

Perla talk